六安数学模考二次函数图像分析题

不管你考几分，现在立刻停下来看亮亮的二次函数最热门八大类常考题型的总结，因为这很有可能是你考前最后一次完整复习我们二次函数题型的机会了。我们今天会从简单的图像性质到平移，以及我们选填压轴图像与系数方程不等式。 当然我们整个中考里面有一类应用题特别喜欢考，就是二次函数轨迹类的应用。那最后呢，我们会有三道压轴题，分别包括我们二次函数的含餐临界值问题，含餐区间问题、含餐定级了问题，以及我们二次函数最值问题和存在性的问题。 最常见的给出一个抛物线，对吧？哎，下的系数正确的是问什么呢？什么顶点呀，焦点呀，最值呀，增减性呀，巴拉巴拉的。那么通过图像，我们知道它是一个开口向上，并且顶点坐标呢？是三负四， 哎，这样的一个二次函数，那我们知道它的对应轴呢？很明显就是 x 等于三，对吧？好，当我们了解这一点之后呢，接下来我们就可以判断了， 好，顶点坐标是负三负四，不对，顶点坐标是三负四，所以 a 不 对。好， b 选项。说什么呢？说与 y 轴的焦点坐标是零负四。哎，我觉得这个比较容易错啊，很多人一看，哎，亮亮，哎，当然你看这后面是负四，对吧？所以肯定是零负四，那是一般式， 这是顶点式，所以你要把这个零，你把它给带进去。那我想问一下你， x 等于零的数， y 等于几呢？ 零带进去，零减三，负三平方九乘以二十八，十八减四 十四，对吧？所以也就是你与 y 轴的交点应该是零十四，而不是零负四，因此我们这个 b 选项呢，它是错的。嗯， 当 x 大 于等于三的时候，大于等于三就是在对正轴的右边了， y 数 x 增大而减小。胡说，这不是增大而增大吗？所以 c 也是错的。你会发现 唯独谁呢？ d 选项是正确的，最小值负四没有问题。为什么呢？我们这个开口向上的抛物线，所以在顶点处取得最小值，最小值呢，就是顶点纵坐标，也就是负四了，搞定。 那么函数的平移，大家记住八个字，叫做左加右减，上加下减。但是这个加减它是有一定要求的，比方说左加右减，这个加减呢，是在 x 上来进行加减的， 那么上加下减呢？这个加减是在我们表达式上面，你可以理解为整个函数的屁股上面，对吧？哎，在我们这个表达式上面 来进行加减。我们举个例子，比方说现在我们给出一个二次函数啊，就是它如何平移得到我们另外一个二次函数呢？那你会发现它是怎么变的？首先， 嗯，你这里加二了，对吧？左加右减，你只有往左移，你的 x 才会对应的加二。然后你又发现，你本来背平方的是 x 吗？ 现在背平方呢，是 x 加二，从这个 x 到 x 加二，它是不是加了两个单位？那既然你加了两个单位，左加，对吧？啊，就是往左移了两个单位，我们对应就加 好。然后加完之后，女伴在屁股上面，在外的这个表达式，屁股上面直接减二，上加下减，所以就是往左移两个单位，并且往下移两个单位，因此选哪个？因此我们选择 a 选项搞定。 其实在我们中考里面，你所遇到的有可能比这个更难，但因为我们之前跟大家讲过了所有的二三数魔鬼序号题的一个合集，所以今天我们就直接拿出一个比较具有代表性的，比方说像他了。 好，我们给出一个二三式外，对于 a x 方加 b x 加 c， 那 图像呢？如图所示。哎，你自己发现它有什么特点？好，下个结论，错误的是哪一个啊？也就是说有三个是对的，我们一个一个的判断啊。 首先第一个东西，那我们知道，嗯，开口向上，因此我们知道 a 大 于零，没有问题吧？好，接下来这个 b 怎么判断呢？那如果你知道左同右异，那就好了， 但如果你说这样的，我根本就不知道，对吧？怎么办？没关系， b 的 判断用什么呢？用对正轴。我们知道负的二 a 分 之比就是对正轴嘛，对，正轴在外轴的左边，对吧？所以也就是小于零了。好，接下来我们左右两边同时乘以二 a， 因为你 a 大 于零， 所以二 a 呢，是正的，对吧？你左边乘一个正数，右边乘一个正数，零乘以正数还是零嘛？乘以正数不变号。所以最终我们知道 b 大 于零， o， b 呢，也是大于零的。那最终 c 怎么判断呢？ 看它与外周交点，与外周交于负半周，所以我们知道 c 小 于零，因此你会发现 abc 的 乘积呢？是负的，对不对？完全正确啊， a 选项，这个是成立的，所以我们不选它。好，接下来我们再看。那 b 选项怎么去处理呢？你只要在整个函数里面遇到什么几 a 几 b 加 c 呀，那包括几 a 几 b 加 c 呀？ 啊，一般就是把 x 等于某一个数带进去，那带谁呢？带一带二带三，随便猜。不是的，我们其实一般看 b 的 系数就可以了， 你 b 前面系数是不是一，其实它指的就是 x 等于一所对应的函数值，不信你带进去 x， 一 带进去，你不就是 a 吗？一带进去不就是 b 吗？对吧？所以 a 加 b 加 c 就是 一所对应函数值，那一对应的函数值等于二吗？ 一对应的函数值，哎哎，真的等于二，对吧？那题目中你告诉你这个点坐标是一二，所以 b 选项完全正确好， c 一 样的，你看 b 前面的系数多少，是不是负一啊？所以其实它就是 x 等于负一所对应函数值，不信把负一你带进去。 好，当 x 等于负一的时候，你等于几？是不是 a， x 等于负一，你不就减 b 吗？后面加 c， 所以 它的确等于什么呢？等于负一所对应的函数值， a 减 b 加 c， 那 负一所对应函数之小于零吗？负一在哪？哦，负一在这，对吧，能不能看到这个是负一吗？ 那你这个负一所对的函数值。哒哒哒哒哒哒哒。哎，的确怎么样的哎，他的重做比较小零，所以小零怎么样也是对的啊。注意啊，我这里说的是 b 是 对的， c 是 对的，但这个要选择错误的，对吧？所以你会发现 abc 都是对的，那谁错？ d 选项一定错了， 也是，我们选的百分百是 d， 可是问题来了， d 怎么判定呢？哎嘿，你说这个 b 小 一，这咋弄？其实大家有没有这种序号题的时候， 他永远能够蹦出一个让我们摸不着头脑的，对吧？从来没有见过的，对不对？大家注意啊，你要知道，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白的。第二、三小问， 举个例子啊，你要知道，我们知道 bc 是 成立的，对吧？其实很多这种陌生的选项都可以由我们前面的正确选项来推导组合出来。比方说，孬，你想想这个东西等于几？这个东西等于二吗？哦，就是你等于二 成立的。这个东西它怎么样呢？它是小于零的，所以我们知道它是个负数，也没有问题吧？好，接下来你想想， 这里面有 a、 有 b、 有 c、 有 a、 有 b、 有 c， 而你这里面我只需要 b， 说明什么？如果我能够把这两个式子里面的 a、 c 给它消掉， 那是不是九只剩下 b 了，那怎么样消掉呢？挠你。比方把这个式子标做一式，把这个式子标做二式，一和二相减就可以了。你用一减去二，那么它等于什么呀？ 它不就是这个式子减去它吗？我的 a 跟你的 a 咔嚓是不是没了？我的 c 跟你的 c 咔嚓是不是没了？剩下你用这个正 b 减去一个负 b， 正 b 减去负 b， 其实就是二 b， 对 吧？好，那问题来了，嗯，那你要知道一是什么？哎，他是二呀，减去你是个什么？你是个负数，对吧？二减去一个负数怎么样？ 用二减去负数，他一定是大于二的，没问题吧？所以我们推出 b 大 于一，那你说 b 小 一，那肯定错了。搞定 好第四个二次函数与方程不等式，我们很多选择填空题就喜欢考它，包括我们很多大题里面的某些关键步骤呢，它的核心思路就源自于这里面的一些方法。好，这个题我觉得极其重要。 首先给出一个抛物线，嗯，好。当然 a、 b、 c 的 常数，我告诉你， a 小 于零，就是它是个开口向下的，对吧？好，它经过 a 点、 b 点，那你会发现这两个点的纵坐标小于零， 所以也就是怎么样呢？他是开口向下的，并且怎么样呢？并且与 x 轴交于怎么样？交于二零，负零，哎，就是一个横坐标是二，对吧？ 另外与 x 轴的一个焦点呢？横坐标是负四。好，现在下面有四个结论，一二三四，问，其中正确的有几个？那我们就一个一个来看了。首先第一个，他说这个一元二次方程，它的根是 x 一 等于二， x 二等于负四，这个怎么去处理呢？其实这个就是非常具有代表性的 函数与方程之间的联系。我们举个例子啊，比方说，我们随便给出个二次函数，好不好？比方说，哎，就比方开口向上吧，我们画个草图，就是 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 好 吧， 好，现在有这么一个，怎么样呢？啊？ x 轴。那现在我想问一下，你如何求一个二次函数与 x 轴，对吧？哎，它的焦点呢？也就这两个焦点，你怎么求？ 首先这两个焦点的横坐标你知道吗？你不知道，对吧？但你知道 x 轴上所有点，他的纵坐标一定是零的，所以横坐标是几不知道。纵坐标是零， 横坐标是几呢？不知道，但我们知道纵坐标零，对吧？好，现在有一个问题，既然我知道这两个点的纵坐标都等于零，都等于零，而这两个点还在整个抛物线上吗？也就是我知道抛物线上有两个点的纵坐标是零，那如果求横坐标， 已知纵坐标，求横坐标，所以你只要把这个零带到 y 里面去就可以了，对吧？所以也就是整个东西等于零就行了。那你可以得到什么？你令它等于零，就是 a x 方加上 b， x 加上 c 等于零嘛？哦，你可以得到一个方程，对吧？ 你只要把这个方程解出来，那你解出来之后，我们焦点的横坐标不就出来了吗？举个例子，如果你这方求着 x 一 等于二呀， x 二等于五呀，那你会发现，那那二和五就是我们这里的横坐标，你这个就是二，你这个就是五，理解没有， 所以你会发现，喏，那我们这个方程跟你这个二次函数，大家观察一下有没有联系，你会发现二次函数的表达式和方程左边的表达式是完全一样的。也就是说， 如果以后你只要给出一个二次函数，你会发现，如果某个方程的表达式跟它完全一样，那你会发现，喏，这个方程的解就是你这个函数与 x 轴交点的横坐标，交点的横坐标一样的， 你这个函数与 x 轴交点的横坐标反过来就是我们这个方程的解。方程的解，你会发现，与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以你这个方程的解就是二和负四， 搞定，也就是一呢，它是正确的。好，接下来我们看第二个，也是告诉两点的横坐标啊，说在这个抛物线上啊，让我们判断 y 小 于 y， 其实这个是什么？这个就考察我们二函数的增减性了，只要什么什么 y 大 于 y， 大 于 y 小 于 y 的， 对吧？哎，增减性， 你这个开口向下的抛物线。哦。开口向下的抛物线对不对？对，准轴是几对准轴能告诉我吗？ 因为你要知道与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以把这两个交点横坐标相加除以二。这个我不用说了吧？所以我们知道对称轴是等于负一的，那如果你不知道，你打个草稿好了，对吧？ 哎，一个交点横坐标二，一个交点横坐标负四，因为这两个点是关于对称的嘛，所以把这两个交点横坐标相加除以二，明白了没有？哎， 好了，那么接下来呢？我把它画出来。当我们知道对称轴是负一之后，那现在我怎么去判断二的重坐标的大小呢？其实很简单，除了开口，除了对称轴，那接下来我们就要判断距离就行了，你塞点横坐标负五， 负五是不在对称轴左边，距离四个单位，对吧？你要知道，开口向下的抛物线，你离对称轴越远，你的函数值越小，你离对称轴越近，你会发现你的函数值越大。 我在对正轴左边几个单位，你发现是四个单位，对吧？负五到负一是不是四个单位？好，那我们知道派是几啊？派是三点，你可以理解为三点一四，好吧，三点一四很明显在对正轴的右边，而且距对正轴呢？多少个单位？ 三点一四减去负一吗？是不是四点一四？这个就是派对不对，横坐标是派， 所以你会发现哪一个？你这个父，我所对的这个高度是 y 一 吗？你这个派所对的这个高度怎么样呢？是 y 二，对吧？所以 y 一 大于 y 二，你说小于，那不对啊，所以我们知道二是错的。好，接下来看我们的第三个啊，其实第三个它跟我们上一个有一点类似啊， 他说对于任意的实数 t， 总有这个东西成立，哎，大家说亮亮这咋弄呀？对吧？乌七八糟的，都没有任何的思路。好，其实你会发现，你只要左右两边同时加上某一个东西就可以了。什么呢？你看到我们刚才遇到解几 b 加 c， 他 往往是把某个数带进去所对应的函数值，对吧？这里也是一样的， 几 a 几 b。 呃，没有 c， 没有 c， 我 就补，比方，我把左边加上一个 c， 它是什么呢？它是 a， t 方加上 b， t 加上 c， 对 吧？右边我也加上 c， 嗯，也就是小于等于 a 减 b 加上 c， 对 吧？你让我去判断这个不等式，我不，我只要判断这个不等式是否乘以就可以了。而这个东西呢，我们上一题讲到了，它是 x 等于负一所对应的函数值，对吧？ 而它是什么呢？其实大家有没有发现我们这个式子相对于这个式子它发生了什么变化？它无非就是把你这里的 x 变成了 t 吧，把你的 x 变成了 t 吧，你怎么样去把 x 变成 t 呢？也就是当 x 等于 t 的 时候，把 t 带到横坐标 x 里面去吗？ 那你这个式子不就变成它了吗？对吧？所以它就是 x 等于 t 所对应的函数值，你是 x 等于一所对应的函数值。那这个大招怎么比较呢？一般跟我们的顶点会有关系，比方说我们刚才说了，大家记不记得 它是个开口向下，并且对准轴是几呢？那二和负四相加的一半，也就是我们的对准轴是 x， 等于负一，对吧？你想想， 对称轴是负一，所以我们知道顶点的横坐标一定就是负一了，所以你把负一带进去，负一在整个抛物线里面，你所对应的一定是什么呢？这个一定是顶点所对应的纵坐标，明白了没有？哎，你是顶点纵坐标， 那顶点纵坐标怎么样？一定是最大的吧，也是最大值。那 t 呢？ t 等于几？任意实数 t 给正的负的就是提取任何数，对吧？也就是你随便带入一些数进去，所对的函数值一定小于等于我们顶点所对的这个纵坐标，对不对？ 肯定对呀，我顶点对吧？这是整个函数的最大值吗？你随便代入一个数，要么等于我的最大值，要么小于我的最大值，小于等于完全正确，所以三呢是对的。好，接下来我们再来看第四个，他说对于 a 的 每一个确定值啊，就是 a， 你 可以取正的负的啊，当你 a 确定之后呢？ 如果这个一二次方程，哎，此时不等于零，等于屁了。我告诉你，屁是个常数，但是屁大于零啊，像这个方程，我要要求你的根是整数， 那像这样的屁的值只有两个，我们看到脑袋都大了，对吧？哎，什么一个两个，我都不知道怎么去确定它。好，其实我跟大家说一下啊， 我们在迭问里面，大家都应该有这种思维，在我们遇到整个抛线的题型的时候，如果题干中出现了方程，那么往往就是怎么样呢？哎， 涉及到求焦点，你一般函数求焦点，他就会构造方程吗？其实这里也不例外，你看在整个函数的题型中，如果出现了方程，那这个方程是怎么得到的呢？举个例子，你看左边 a x 方加 b x 加 c， 这个不就是一个二次函数吗？没问题吧？ 那二三十五如何等于一个具体的数呢？我举个例子，比方说，呐，这是个抛物线好不好？这是 y 等于 a x 方加上 b x 加上 c， 对 吧？ 好，现在有这么一条线哎，这条线是 y 等于二，这是一条水平线，上面所有点的纵坐标呢，都等于二。现在我让你求这两个焦点，求这两个焦点怎么求？一样的吧，这两个焦点横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是。 横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是二，对吧？好，那现在问题来了，我已经知道抛物线上两个点，他的纵坐标呢？是二，我已知纵坐标，如何求横坐标？ 把重坐标等于二把它带进去嘛，对吧？所以你会发现，喏，那此时你可以得到 a x 方加上 b x 加上 c 等于几等于重坐标，这个二有没有问题？所以其实你有发现，如果左边是二三数，右边是一个固定的数， 其实就是求二三数和一条水平线的交点一样的。那如果我这个是五呢？那你这个不就变成五吗？这个不就变成五吗？对吧？ 你这不也变成五吗？这不也变成五吗？所以一看就知道是一个二三数和一条水平线 y 等于五产生交点，对吧？ 现在你这个屁指的是什么？那很明显，那么这个就不是五了，而是怎么样，而是屁嘛，对吧？一样的，这里所有的数字都换成屁，都换成屁，都换成屁是不可以了，所以它表示的是什么？它表示的就是一个二三数，我们重新画一下好不好？ 他指的就是一个二三数，干嘛呢？和我们水平线 y 等于 p， 二者的交点，我要求交点，怎么求呢？构造这个方程，所以你这个方程的解就是我们这个焦点的横坐标，对吧？好，你看看这个题，说我方程的解根是整数， 所以我只要保证整个图形相交之后，这个焦点，这个焦点是整数，不就可以了吗？好，那问题来了，我如何保证这些焦点是整数？这个该怎么处理呢？大家不要忘了， 我们整个抛物线，它与 x 轴，它与 x 轴，对吧？焦点是二零和负四零，就这个呢？是横坐标负四零，那这个呢？是怎么样呢？是二零。我突然想起一个问题，我前面是不是画了一个抛物线，我的左边是二，右边是负四， 哎，我去求对中轴，对吧？哈哈，这让人怪不好意思的同学们，哈哈，这其实什么都没有发生，对吧？看这里啊。嗯，对，就是这样的。嗯，好， 那接下来你会发现呢？呃，也就是你会发现，如果我这个直线，对吧？如果我这个直线，直线与抛线，它会产生交点，一个横坐标负四，一个横坐标二。那你想我再往上移，那这里面会产生什么呢？举个例子，我们会产生什么呢？ 我横坐标是负三，我横坐标这个解，因为你要知道整个对称轴是负一嘛，对吧？你这个往右边去了一个单位，这个就怎么样呢？哎，就是一了，能不能理解 这两个相加除以二等于整个对称轴负一嘛？好，所以你会发现，哦，那这个屁要求出来吗？其实不需要，对吧？哎，我 y 等于屁，在这里面，你只要知道屁可以取到一个数就可以了。 好，你屁在这里，比方就在这里，你这是不可以负二呀，你这是不可以等于零啊？负二和零这两个交点是不也是 整数？那你整个方程的根不也是整数吗？你再往上行不行？比方我再往上，再往上，你这个负二，再大一个单位负一，零呢？再小一个单位负一。哦，这两个一样， 这两个一样意味着什么？就意味着啊，你的屁在尖尖的，在这里，理解了没有，对吧？我们知道整个顶点的横坐标是负一吗？所以说整个直线呢，经过抛线的顶点啊，产生焦点，这个焦点横坐标负一。 那有时候练了这个不行吧。为啥不行？这个题有没有说这个方程一定得两个不相等实数根，你只要解出来根是整数，我只要相交交点横坐标是整数就可以了。所有几个有这样的一条线，看到没有？哎，我们交点是负三一。 好，所以你这个方程的解呢，就是负三一，还有这样的一条直线，对吧？哎，焦点横坐标负二零，所以我们知道怎么样呢？我们这个根呢，就是负二零，还有这样的第三条直线，喏， 嗯，此时你会发现我们焦点的横坐标呢？负一，所以你这个方程的根怎么描述呢？它是 x 一 等于 x 二等于几等于负一，对吧？是不是也是整数？ 所以这里有几条？一条、两条、三条。所以你对应的屁应该有一个、两个，三个不同的屁，对吧？你的屁值怎么只有两个呢？不对，所以整个题目正确的就是一三，也就是有两个了，搞定。 那像我们以前二次函数的应用呢，特别喜欢考我们利润呢，成本呀，它的最值问题。但是我们近几年像这种 诡计类的应用题越来越多了，我们把这个题放大，大概长这个样子。那接下来呢，我们就把这里面的很多话把它清掉，比方说，哎，是一座彩虹门的喷船啊，对吧？ 啊，各安装一个喷船就叽里呱啦。为了避免游客被淋湿，设计团队我们把整个题目呢稍微精简一下，它就大概长这个样子。所以你会发现很多难度的假象呢，都是命题人造成的。那我告诉你，如图是一座彩虹门 喷泉景观啊，就是喷出来，对吧？可能用这个光在上面一打，形成一个这个水形的彩虹。嗯，好，然后圈起来收费。喷泉场地宽度呢？ ab 等于十六米。呃，就什么意思？整个 ab 是 十六的 啊，就是这段长度，对吧？好，现在 a m 等于 b n 等于零点八米，就是 a m 这个高跟 b n 这个高，对吧？它分别是零点八， 其实就是这一条红边，能看到吗？跟这条红边，它的高度呢？都是零点八。哦，零点八对吧？嗯，比较短。 好，当然我告诉你啊， a m 垂直 ab， 它是垂直底边的，同样 b n 也是垂直 ab 怎么样呢？它也是垂直底边的。嗯， 好，现在这个抛物线的顶点 c 到地面的距离是四点八米， o 就 它是个抛物线，因为 m 点和 n 点它的纵坐标，纵坐标是完全一样的， 抛物线上的两个点，如果纵坐标一样，那么这两个点一定关于抛物线的对称轴对称，因为整个 a b 等于十六，所以我们知道 c 的 横坐标呢，一定就是八。 那纵坐标呢？因为你到地面的距离是四点八，所以我们知道 c 的 纵坐标呢，也就是四点八。好，接下来第一个让我们求这个抛线的表达式，这个太简单，因为我知道顶点我肯定这么设，对吧？也就 y 等于 a 倍的 x 减八的平方，加上四点八。那接下来你随便带入一个数呢？ 比方说，我们肯定带这个嘛，你这个 m 点横坐标是零，纵坐标呢？零点八对不对？把这个点带进去， 横坐标是零啊，零减八，负八也是六十四倍的 a 加上四点八，等于几？等于零点八，对吧？哦，等于零点八，所以我们知道六十四。 a 呢，等于负四，所以 a 等于几？ a 等于负的 十六分之一。其实我们把 a 求出来，你整个抛线表达式我们就搞定了。嗯，也就是 y 等于负的十六分之一倍的 x 减八的平方，再加上什么呢？加上四点八。 好，接下来第二个，在 a b 上安装六个挡雨伞啊，一二三四五六，干嘛呢？就有人在下面看，那万一这个水溅到身上，那填感就不好了。 伞的顶端离地面的距离是三米啊，就每个伞的顶端对吧？到地面距离就整个高度呢，哎，一致都是三米，并且雨伞的间距相等啊，就每个雨伞呢，你们之间的距离都相等啊，要保证美观了啊。如果最外侧 最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的数值高度是零点三六，最外侧就是这两个伞，对吧？它的顶端 到水柱。水柱是什么？你水柱是怎么样？抛线型的吗？啊？就是到你这个水柱的距离多少？就这个数值高度多少？零点三六啊，就这一段是零点三六，对吧？零点三六。那其实我们知道，因为你整个整个伞的高度级呢？整个伞的高度是 三，对吧？所以你会发现其实这个点他的纵坐标知不知道你伞高是六？你这个伞的顶端到这个抛线的这个数值高度零点三六，所以我们知道这个点的横坐标不知道纵坐标呢？三点三六的是不是一样的？你这个点对吧？ 你的横坐标不知道纵坐标是不是也是三点三六呀？嗯，好，问题来了，那现在让我们求相邻两个挡雨伞的间距，求什么呢？也就是求我们，哎哎哎，对吧？他们之间的距离好怎么处理呢？其实你会发现，我知道纵坐标可不可以求横坐标？一定可以。 那我们整个抛线表达式知道了，负十六分之一倍的 x 减八的平方加上四点八等于多少？等于你的纵坐标三点三六，对吧？三点三六，所以也就是接下来它等于什么呢？嗯， 负的十六分之一 x 减八的平方等于挪过来负的一点。 你这么麻烦我们移过去啊，一点四四，对吧？那最终也就是你发现左右两边同时乘以十六吧，左边乘以十六呢？ x 减八的平方，对吧？右边这个东西乘以十六，这怎么弄 啊？乘以负十六，对吧？其实我一般我跟大家说下，如果是我，我会怎么算啊？呃，我，我一般会口算，怎么弄的？ 就是你把这个负的一点四四，你要知道一点四四是什么？哎，我把我平常这个口算的小技巧跟你们剧透一下，就是你要知道一点四四它是等于多少呢？它是等于一点二的平方，这个大家知道吧？一点二就是怎么样？一点二就是五分之六，对吧？所以你平方一下呢？也就是怎么样呢？ 二十五分之三十六，没有问题吧？所以你要知道这个玩意呢，它等于二十五分之三十六，你看看你自己想想一点二的平方，五分之六的平方，脑里面能不能算出来，我觉得没有问题吧，所以也就是它等于二十五分之三十六，你乘以什么呢？左边乘以负十六，右边乘以负十六， 你乘完之后不就符号这个变成正的吗？所以乘以十六，你不要算出来啊。为什么不要算出来呢？此时我们知道 x 减八等于多少，我把它清掉，你的平方等于这么多，那 x 减八等于多少呢？注意啊，正负 分母是二十五，嗯，谁的平方等于二十五呢？五吧，那剩下的谁的平方等于三十六六吧？谁的平方等于十六呢？ 四吧，所以也是等于多少？正负五分之二十四，那最终我们可以求出来 x 一 呢等于多少？五分之十六。那么 x 二等于多少呢？五分之六十四啊，就是我们知道一个横坐标呢？ 五分之六，对吧？一个横坐标呢？五分之六十四，那你会发现那整个的跨度，我们知不知道用你的横坐标减去他的横坐标嘛，所以也就接下来我们把它清掉了， 那你的横坐标减他的横坐标，用五分之六十四减去五分之十六，你换等于多少？等于五分之四十八，对吧？啊？这有几个距离？六八三一二三四五五个距离嘛，所以用它除以五就可以了啊。所以等于多少？ 我都不想写了，我都想直接写我们最终答案，二十五分之四十八，这个就是每两个相邻等于三的距离。搞定 好，接下来来到我们的压住部分。首先我们来讲二次函数含参零减值问题。哎呀，什么叫参数呀？啊的天，我举个例子啊，比方说 x 加上一等于八，你能不能求出这个方程？一定给求出来，对吧？一种 x 等于七，对不对？好，现在如果把其中某个数字变一下，比方我把这个八呢？变成小 m， 好， 那我想问一下， 你还能求出我们这个 x 等于具体的哪个数字吗？你求不出来了，对吧？所以像这种阻碍我们解方程的这种字母呢，我们就把它叫做参数。嗯， 那最终这个，我们把这个方程叫含参方程，那最终呢？我们算出了 x 等于 m 减一，你可以用参数也用字母来表示我们最终的解。那什么叫含参的函数呢？举个例子，比如 y 等于二， x 加上三，这个一次函数呢？ 它与 x 轴交点，它的草图你可以完整的画出来，对吧？但如果把后面这个三变一下，比方说加上什么呢？加上小 a， 请问那这个 e 函数，它与 x 轴、 y 轴的具体交点，你还求得出来吗？ 扯不出来了，对吧？你阻碍我去画整个一次函数的草图，你阻碍我去研究整个一次函数的怎么样呢？具体的性质，求焦点等等，像这种，我们就把它叫做参数，明白了吧？那对于参数呢，不管是方程呀，还是函数呀，在整个初中阶段，你都把它当做一个 数字来对待，只不过这个数字呢，你暂时不知道，那这里面的参数是谁呢？很明显就是我们的字母 a 了，对吧？ 那字母 a 一 旦知道整个抛线与 x 轴的交点， y 轴的交点对准轴位啊，对吧？我们都能求出来，那么这个呢，就属于含餐的二次函数，它所带来了一系列问题呢，我们就把它叫做二次函数的含餐问题，那么其中一种呢，就是我们要今天所讲到的零界值问题。 好，当 a 等于一的时候呢，求这个二三角图像的顶点坐标，这是不是太简单了？你比如把一带进去，所以整个抛物线 y 等于 x 方加上三， x 加上二，对吧？那最终我们可以把它配方下，也就是 x 加上二分之三的平方四分之九减四分之一， 那所以我们知道它的顶点呢？很明显，也就是负二分之三，负四分之一。搞定好，接下来我们看第二个，你不要看它很长，其实超简单啊，是否存在实数 a， 使得对于任意的实数 t， 你 看又来一个参数 t， 对 吧？ 当 x 取二加 t 和二减 t 的 时候呢？它对应的函数值始终相等，有吗？如果有，求出 a 的 值，如果没有，请说明理由。我如何保证我的函数值始终相等的？我问大家个问题啊，其实这个题说白了，考察我们的对称性， 你想想，给出一个抛物线啊，我首先想问大家问题，如果做一条水平线，他与这个水平线横坐标，哎，这个焦点呢，一个是三， 一个是七，大家能告诉我对中轴是几？画一条水平线交的横坐标三七，你把这两个交点横坐标相加除以二吗？对吧？所以也是对中轴一定是五，没问题吧？ 相加除以二啊。好，再画这个抛物线的草图。我告诉你，二加 t 和二减 t， 他 所对应的函数值相等，函数值相等，那就表明他们的纵坐标一样，就是二加 t 的 时候呢。哎，你的纵坐标在这里， 二减 t 的 时候呢？你的纵坐标也在这里，好不好？因为这两个点的纵坐标是一样的嘛，所以你因此二者的连线一定是水平的吧。水平意味着什么？就意味着这两个点一定关于我们的对称轴对称，对吧？你一个横坐标是二加 t， 另外横坐标呢？二减 t， 哦，我们知道。那这个对称轴怎么表示呢？把这两个点的横坐标相加除以二，你和我相加 t 抵消了吗？二加二等于四，所以我们知道，也就是我只要对称轴等于二就可以了。好，那问题来了，也就是我要使得整个抛线的对称轴等于二，它就成立了。那对称轴呢？我们知道，对称轴等于 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 么等于几呢？ 负的二 a 呢？那就是二 a， 对 吧？嗯， b 等于多少？ b 就 等于二 a 加一了哦，也就是二 a 加上一，那么等于几呢？等于二哦，等于二。好，接下来我们左右两边同时乘以负二 a， 左边乘以负二 a 呢？剩下分子二 a 加一，右边乘以负二 a 呢，也就是负四 a， 所以 我们可以求出来，六 a 等于负的六分之一。 搞定好，接下来我们看第三问，也就是最难的一问，当 x 在 一到二之间的时候， y 大 于 x， 这个结论呢？始终成立，让我们求 a 的 取值范围， 只要是含有参数，并且让我们求参数取值范围的，它都是考我们临界值的问题，在这里我们需要数形结合，那什么意思呢？比方说，我们首先看这个 y 大 于 x， 始终成立， 进去随便取一个点，我的纵坐标一定要比横坐标更大，对吧？那如果我们取一个点，横坐标是 x， 那 纵坐标呢？把这个 s 带到整个抛物线里面，我们可以得到纵坐标是 a x 方加上二， a 加一倍的 x， 再加上二。 好，我们知道这个纵坐标呢，要永远大于我。对，你的横坐标也是，我只要大于 x 就 可以了，说白了也是我只要使的这个不等式始终成立就可以了。好，那接下来我们把这个不等式呢 稍微的化解一下，也就 a x 方，我们加上二， a x 加上 x， 我 们再加上二，我要大于 x， 对 吧？ 那你会发现，喏，这两个它可以抵消掉，是吧？也是最终我只要使的 a x 方加上二， a x 加上二大于零就可以了，也就什么， 也就是当一小于 x 小 于二的数，这个不等式它是始终成立的，对吧？啊，在这种情况下，我们求 a 的 趋势范围，那可是问题来了，那这个不等式如何始终成立呢？其实你会发现，你只要遇到像这种类似的形式，你都可以把它当做二次函数的表达式， 它不就是 y 等于 a， x 方加二， a x 加上二，一个抛线的表达式吗？也就是对于这个二次函数，它在一到二这个范围里面，我的纵坐标永远是大于零的，就可以了。 当问题来了，那整个抛物线它的开口朝上还是朝下，你知不知道？你不知道，但我们可以推出来，你会发现前面是 a， 这里是二 a， 也就是我们知道整个抛物线它的对称轴是几呢？哎，我的对称轴一定等于负的二 a 分 之 b， 也就是等于负的二 a 呢，它就是二 a， 对 吧？ 它的 b 呢，也是二 a， 对 不对？所以我们求它整个抛线的对中轴呢，一定是负一，好，那么接下来我们开始分类讨论啊。第一种情况，我们考虑 a 大 于零，也就是开口向上，你要在这个范围里面，函数值永远大于零，那我首先把这个范围在我们整个竖轴上画出来，这个呢，是一，这个是二，好不好？ 一到这个范围，函数值大于零，你的对等轴是负一，也就是对正轴大概在这个位置，对吧？哎，负一，好，现在呢，你要知道，我们把这个 x 等于负一，这个线画出来，你这开口向上的对应轴负一，所以你把你整个抛线呢，你可以长这个样子，对吧？哎，行不行？ 那此时你会发现，一和二所对应函数值大概是这一段， 那他是不是永远是大于零的？没有问题，所以他是满足题的。好，那么接下来如果我把整个抛线变得越来越宽呢？比方说晋国赋一，我整个抛线可以长这个样子呀，对吧？满不满足题也可以长这个样子，对吧？ 满不满足题还满足？如果我整个开口箱上我变得更宽一些呢？此时你会发现喏，他还满足题吗？你会发现一到二这一段范围里面就是塌了，对吧？那么此时这一段 我的纵坐标永远大于零吗？就不是的。所以也就是如果窄的话，满足宽宽宽宽宽，它会逐渐的不满足。那请问什么时候会出现我们的 临界情况呢？也就是你整个图像刚好经过我们横坐标一零的时候，对吧？哎，经过我们这个点的时候，此时出现临界情况， 你整个抛物线在蓝色里面呢，可以，在蓝色的外面呢，它就变得不可以了。如果你比外面这个更宽，那就更不可以，它就大概长这个样子了，对吧？ 甚至呢，它会把整个二给包进去，是不是它就更不符合提议了？那问题来，我如何去求 a 的 取值范围呢？有两种方法。第一个就是你直接划入我们刚才的临界情况，也就是经过一零的时候，整个抛物线，你把一零直接带进去， 抛物线的 a 一定可以求出来，知道 a 我 们就可以斜取出方位了。还有另外一种怎么样呢？你想想，我如何保证我的纵坐标永远大于零呢？其实很简单，我只要像这个样子不就可以了吗？对吧？也如我这个直线呢， 你不能从一二之间穿过，你也不能从二旁边呢穿过，你只能在一的左边，怎么样呢？你这是一个地面嘛，你能在一的左边，你只要在一的左边这个地面穿过去就可以了，对吧？我如果在一的左边这个穿过去呢，其实很简单， 你只要保证一所对应的函数值怎么样呢？是大于零的，是不就可以了？那么此时你会发现呢？哎，我们在一到二这个范围里面，他永远总坐标呢？哎，是大于零的，所以你只要把一带进去，是不是？把一带进去， 我们可以得到什么？横坐标是一，那么你就是 a， 加上横坐标是一，那么你就可以得到怎么样呢？二， a， 对 吧？再加上二，干嘛一带进去？哎，你可以在一的左边穿过去，在一的右边穿过去。不行，哎，我想问一下，如果我们整个抛线告从一上面穿过去呢？ 从这里穿过去，请问符不符合 t 呢？就是一代数，如果等于零的话，那你会发现，喏，一到二之间是不是这一部分呀？这一部分我是不是注意啊，一到二我是取不到一，我取不到二，对吧？也就是喏，这个空心圈，这个空心圈在两个空心圈之间，我的纵坐标是不是永远大于零？是的， 一的纵坐标等于零，但是我这一段我取不到一嘛，所以我的纵坐标永远是正的，符合吗？符合，也就是经过一零的时候也可以，因此我是大于等于零了，对吧？一所对应的函数值可以是正的， 一所对应的函数值可以等于零，所以呢，我们最终求出来三， a 大 于等于负，二，也就 a 呢，大于等于负的三分之二，难道在这种情况下，我们 a 的 取的范围就是它吗？不是，为什么呢？因为我们有个前提条件， a 大 于零， 你在 a 大 于零的时候，你求出来这个取值范围，对吧？你把这两个结合起来，同大，你取大嘛？所以也就是在我们第一种情况下，我们求出来 a 的 取值范围呢？ o 是 a 大 于零的。好，那么接下来我们再来考虑第二种情况也是怎么样呢？ a 小 于零， 那 a 小 零呢？一样的，你在一到二这个范围里面还怎么样啊？你整个所有的函数值你都得是正的，对吧？而且我们知道对正轴呢，它是固定的负一，好，我们把整个对正轴把它画出来， 也就经过这条直线，并且在一二这一段里面，我的纵坐标永远大于零，你想想我能像这样画吗？这样画你一二一定取到下面的，对吧？那我也就是我需要怎么样？我需要你窄一点行不行？你要是变窄一点， 那更不行了，对吧？那一二取到更下面了，所以你整个抛线要变宽，你宽成这样的，哎，不行，你宽成这样的， 哎，你发现一到二之间，他只有一部分，对吧？他就这一部分是正的，所以你要继续宽，宽到什么程度，你会发现你宽到，哎，经过二的时候是不可以了，你在一二之间不行吗？在二的时候就可以了，你会发现一到二之间，你就是哪一段，就是这一段，对吧？他是不是永远怎么样呢？ 哎，大于零的对不对？好一样的，有量量，那二的时候不是等于零吗？注意啊，这个 x 他 取不到一，也取不到二，所以你这一段呢？他这两个端点永远是空心圈，永远是空心圈。理解。没有， 我取不到端点，在这两个空心圈之间，你会发现 y 永远大于零。那如果再宽一点，宽成什么样？我宽成这个样子行不行？那更行了，对吧？因为一二呢？哎，他们每一段对应的全都是 y 大 于零的， 也就怎么样。哎，我们的临界情况是什么呢？临界情况就是你窄了，不行，你得宽，对吧？最起码得宽到什么程度？最起码得宽到经过二零的时候 才可以。那问题呢，我怎么去求这个 a 对 应的曲值范围呢？有两种，第一个就是你把整个抛线呢，令它经过二零，也就是把二零呢直接带进去，你可以求出 a， 进而推出它的曲值范围。第二种，干嘛？ 就是你直接去用我们的代数来表示，你想想我如何经过二零，或者把这个二零把它给包进去呢？就像我们刚才所说的，对吧？你像这样的在一到二之间是不行的， 对吧？你经过二零呢？可以吧？因为你会发现一这一段空心圈，二这个空圈中间呢，的确总数比较大一点，或者你把这个二把它给包进去，是不也可以，对吧？那你会发现一二之间呢？ 哎，我这个图像有点夸张，对吧？也是满足的。那我直接画一个草图来辅助大家理解，比方大概长这个样子， 也就是你只要使得二所对应的函数值大于等于零就可以了。当二所对应函数值等于零，我就是经过二的，可以，对吧？当二所对应函数值大于零，那我一定是怎么样呢？在二的右边钻下去的，对不对？所以说，你只要把二 带进去，使得我对应的函数值这个点呢，大于等于零就可以了。好，二带进我们可以得到什么呢？把它带到这里面去，也就是四 a 加上把二带到这里面去，依然是四 a 再加上二，我怎么样？我大于等于零就行了。 好，所以我们求出来也就是怎么样八、 a 大 于等于负二也是怎么样？ a 大 于等于负的四分之一，难道我们求出来 a 就 等于这么多吗？不是的，因为我们是在 a 小 于零的前提下求出来的，所以我们最终取之范围呢，就是 负四分之一小于等于 a 小 于零。好，这是我们求的第二个方位，所以你可以这么说， a 大 于零，或者呢，负四分之一小于等于 a 小 于零。当然了，你会发现这两个方位你可以稍微合并一下，比方说，我可以把它写成 a 大 于等于负四分之一，且 a 不 等于零，这两个范围其实指的是同一个范围。好，那么接下来我们来搞定二次函数含餐的区间最值问题，以及二次函数含餐的定结论的问题，也如我们预期了，那我们首先来看前两位，他不需要图，所以我把这个图呢给去掉了。 那么首先给出一个抛物线，它与 x 轴只有一个交点，怎么样呢？二零与 y 轴交于点零二。其实这个题特别有意思，因为你不需要这个点的坐标，你单凭这一个条件，你就可以求出抛物线的表达式，但你给到了，那我就直接写了好不好？ 因为你告诉我交点是二零，所以也就是 y 等于，我口算一下，二分之一 x 方负二， a 分 之 b， 也就是减二， x 与 y 轴交于零二，对吧？加二就可以了。好，第一问我们就直接快速过了。好，接下来第二问，也就是当 x 在 这个取值范围里面， y 的 最大，这个最小值的差十二，那让我们求 m 的 值该怎么办呢？他给出了某一个范围，也就是在某一个区间里面涉及到我们的最值问题，像这种问题，咱们就把它叫做区间最值问题。对于所有的区间最值问题，我们只需要做一件事，也就是开火车就可以了。比方说呢， 我们整个抛物线的最值跟什么有关？只有两个东西，第一个开口方向，第二个对正轴，然后这里面开口方向向上，对吧？哎，我们知道整个抛物线开口向上，那这个对称轴可以求出来吗？啊？大家口算一下，对称轴呢，我们知道负的二十一分之一，也就对正轴是几， 哎，对正轴我们知道等于二，对吧？我们把整个抛线的轨迹呢，当做过山车的轨道，你把这段曲直范围呢，当做我们的过山车，我们分四种情况，第一种情况，当你这个曲直范围完全在对正轴的左边，比方说呢，就像这样的一段，对吧？哎，曲直范围在这里， 你会发现这个呢就是小 m， 这个呢就是 m 加一，那么此时我们整个方位里面它的最大，这个最小值呢？很明显在这取的最大值，在这取的最小值，对吧？好，一样的，我们这个过山车呢，接着往前走走走。第二种情况，它就会刚经过对正轴， 好，这是我们第二种情况，对吧？刚经过对称轴，你这个横坐标小 m， 这个横坐标呢？ m 加一。好，此时你会发现，在哪取得最大值？在这取得最大值，在哪取得最小值呢？千万不要觉得在这啊， 它经过了抛物线的顶点，所以在顶点处取得最小值。好，第三种情况就是我即将离开对称轴，就大概像这个样子，哎，我这个过山车呢？ 我这个火车呢，马上离开对正轴了。你这个顶点横坐标小 m， 这个顶点横坐标 m 加一，所以你看在哪取的最大值？在这取的最大值，反过来呢？在这，哎，不对，在这，对吧？在顶点这里取的最小值。好，最后一种情况， 我们怎么样？我们已经脱离对正轴了，就跑到完全跑在对正轴的右边了，对吧？这个呢，就是小 m， 这个呢，就是 m 加上 e， 所以 很明显，在这取的最大值在哪？在这取的最小值，所有的区间最值。问题，你只要分这么四种情况讨论，百分百可以全部都搞定，甚至你会发现 有些特殊类的区间最值，你只需要分三种甚至两种情况就可以搞定了。我们知道整个抛物线的开口向上也就大概长这个样子，那对准轴，我们求出整个抛物线对准轴，也就是 x 等于二。好，接下来我们来求第一种， 那你想想最大值和最小值，它的差是二吗？我们把 m 带进去，我们可以得到它的最大值二分之 m 方减二， m 加上二。好，然后我们再减去什么呢？ m 加一，它对应的是最小值，你说减去怎么样呢？哎，我们二分之一 把 m 加一带到 x 里面去。哎，我们可以得到这么多，对吧？我们知道最大值和最小值的差呢？等于二，也就是令他等于二就可以了。那么最终我们求出 m 呢？等于负二分之一，那这个负二分之一可不可以呢？你不要觉得求出来我们就直接拿走。不是的，你需要验证， 也是，当 m 等于负二分之一的时候，你整个的过山车是不是完全在对称轴的左边？你需要验证负二分之一，那你这个呢？就是负的二分之一，对吧？ 负二分之一加一呢，也是等于二分之一，那我想问一下，负二分之一到二分之一这个范围，它是不是完全在对称轴 x 等于二的左边完全符合？因此呢？哎，这个 m 求出来是 可以的。好，我们把 m 呢放在这里，接下来我们考虑第二种情况，我们知道整个对中轴呢，依然是 x 等于二，我把它写在下面啊，你是最大值，所以把 m 带进去，也就是二分之一 m 的 平方减二， m 加上二，对吧？最大值我减去谁呢？减去最小值， 最小值在顶点这里取到吗？那顶点的横坐标呢？是二，所以把二带进去，对吧？哎，等于几呢？把二带进去，呃，这个就是我们求出来 二减四加二，哎，你有发现整个纵坐标就是零，对吧？哎，所以我们知道它等于多少，它等于二，那最终我们求出来呢？ m 一 等于零， m 二呢？等于四， 那这两个 m 是 不都可以呢？还是说需要舍掉一个一样的，我们需要验证，当 m 等于零或者 m 等于四的时候，你整个取值范围是不是刚经过对正轴的时候，你整个取值是不是在顶点这里取？比方说当 m 等于零呢？你把零带进去，你是零吗？ 你这个是几？你这一对吧？我想问一下，零到一，他会穿过我们的对中轴二吗？ 你这个在对中轴的左边没有问题，一，他怎么可能跑到对中轴的右边呢？所以行不行？那不行，对吧？哎，是不可以的。那四行不行呢？如果 m 等于四，你会发现，那你这个就是四了， 你这个 m 加一呢，就等于五，你想想，五在二的右边可以，四在二的左边，怎么可能，对吧？如果 m 等于四，我就是四到五之间的，我就应该完全在对称轴的右边吧， 对吧？那我的最大最小值的取法跟这个图就完全不一样了，所以你可反，他也不可以，也就这种情况下呢，他是不成立的。 没有答案的。好，接下来我们再来考虑第三种情况。嗯，一样的啊，我们知道在 m 加一这里取的最大值，把 m 加一带进去，也就是二分之一倍的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一， 对吧，我们再加上，我们减去最小值呢？在顶点这里取到，也就是把二带进去，当横坐标是二的时候，你带进，我们刚才算出来是零的啊。最大值减最小值，我们求出来等于几呢？喏，告诉你，差是二， 那么最终我们求出来呢？ m 一 等于负一， m 二等于三，一样的，我们需要验证这两个 m 可不可以。当 m 等于负一的时候，你把负一带进去，你这个就是负一嘛。把负一带进去，这个是零，你觉得可能吗？ 负一到零这个范围会不会经过的对称轴？零，他根本就不在二的右边，对吧？所以不符合 t。 好， 那如果 m 等于三呢？如果 m 等于三，那么你这个东西呢？它就会变成三，你这个东西就会变成四，对吧？ 那三可不可能在二的左边，如果我是三到四的这个范围，我会不会经过对称轴？不会，我会跑到这边去，对吧？所以你发现跟这个图形呢， 展示的它是相矛盾的，所以你发现它呢，也不存在 m， 那 么接下来就只剩下我们最后种情况了。一样的，我们知道对称轴呢？哎，是 x 等于二， 最大值是 m 加一，所以把 m 加一呢带进去，也就是我们二分之一的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一，对吧？我们加上二，我减去什么呢？最小值是 m 所对应的函数值，那你把这个 m 呢，我们把它给带进去， 也就减去二分之一 m 的 平方减二 m 怎么样？加上二，我们知道他们的最大值减最小值等于几？等于二，所以因此呢，等于二。好，我们最终求出符合条件的 m 等于几。 m 等于二分之七， 那我们验证一下， m 等于二分之七，你整个图像长得是不是这个样子呢？ m 等于二分之七，就是你这个呢，是二分之七，对吧？你这个呢，等于二分之九啊， 三点五到四点五之间，它是不是在对准轴二的右边呢？哎，是的，完全符合，所以我们最终 m 有 两个，一个就是前面求的负二分之一，一个呢就是我们刚求的二分之七。搞定好，接下来我们看第三问。 好，现在告诉你，抛线的对正轴上有一个点屁二，二分之一，我们知道整个抛线的对正轴，我们第二位已经求出来，也是 x 等于二，对吧？好，上面有个屁点，屁点大概在哪？哎，比方说差不多在这个位置吧，可以吗？哎，放个红色的屁， 哎，臭子。那听半天不关注我的各位同学们好像这个样子。好，那接下来你会发现过点 n 的 直线， n 点在哪？ n 点在这，他是什么点？哦？他以 y 轴交于 n 点，零二抛线以外轴的交点就这个点的坐标是固定的，他多少呢？他是零 二，对吧？好，我们继续往后了，过这个零二呢，发现一条线，哎，如果你这个直线外的 k x 加与抛线只有一个交点，哎，不能没有，不能两个，只能一个。好，让我们证明这条直线平分什么？平分角？ o n p o n p 就 平分这个角，对吧？我把 n p 连接起来，就说白了，干嘛让我们求证这个角等于这个角，对不对？那你说这个咋证呀？其实首先我们知道啊，因为你这条直线干嘛呢？你这条直线是经过 n 点，经过零二的，对吧？哎，你经过零 二这个点，所以你整个直线相对于 k x 加上二，也就怎么样呢？我们这条直线 跟我们这个抛线，它只有一个焦点，那怎么去求焦点？很明显，我把这个抛线拿出来，也就二分之一 x 平方减二， x 加上二，我等于什么呢？ 等于你这个已知数，对吧？表达是 k x 加上二，我把这个 k x 移过来，也就是二分之一 x 的 平方减去二加 k 倍的 x 等于。那你想想， 我们整个直线和抛线干嘛呢？他只有一个焦点，那么也就意味着整个方程里求出来只能有一个数，对吧？哎，你不能有两个，不然就两个焦点。那如果只有一个数呢？很明显 d r t 等于零嘛， 也就是我们的 d r 等于 b 方， b 方不就是你的平方吗？你的平方前面带负号，负号要不要管？因为你前面带负号，负号也得平方嘛，是吧？所以最终 b 方应该等于我们这个也就二加 k 的 平方减去四倍的 a 是 多少呢？我不管为什么，因为 c 等于几， 这里有没有 c， 没 c， 没 c， 它是 c 为零，懂了没有？懂了吧， a 和 c 的 乘积，它就是零嘛？啊？就是减去四乘以 a 二分之一， c 呢？零，其实你会发现，这个东西是不是就直接消失了呀？就像那没减，对吧？我直接去掉好不好？ 哎，所以 b 方减 c， c 就 等于这么多，它等于几？它等于零。哎，你等于零， k 能等于几啊？所以你往 k 里面求出来，我就懒得写什么 k 一 等于 k 二等于巴拉巴拉的，对吧？我们觉得 k 它就等于负二， 明白没有？所以也就是你整个直线就是 y 等于负二， x 加上二的理解没有？整个直线的表达是知道了， o 点固定， n 点固定， p 点也固定。那接下来我们求证角平分线是不是要简单一点？那可是问题来了，哎，这个咋求呢？比方说这个是多少？这个是 y 等于负二， x 加上二，对吧？其实你会发现，那我想问一下啊，你平分 o n p o n p， 也就说白了，我们这个红角一定等于这个红角，对吧？没有问题吧？两个红角相等， 但你要知道我们有对称轴，它是平行外周的两只线皮，内错角是不是相等，也说你这个角它是不是又等于这个角呀？对吧？这两个角相等，能理解吗？啊？我标下你这个角呢， 哎，要等于这个角对吧？你这个角呢，还要等于它的内错角，还要等于这个角，其实本质上我们接下来只需要干嘛，我只要证明这两个角相等是不可以了，说白了也如我只要求证什么呢？求证 p n 一， 这怎么样呢？呃，这来一个焦点没有说，对吧？ 啊，就是 x 轴交点啊。那你这个，你差点忽悠我，那这个叫 q 点行不行，对吧？哎，我只要求证 p n q 它这个等腰三角形就可以了。说白了，我只要求证 p q 这个线段等于 n p 这个线段是不可以了。 那这个 p 点呢？坐标知道 n 点，坐标知道怎么求？你可以通过两点间的距离公式或者通过怎么样的？哎，勾股定律，我把它放在一个横平竖直的直角三角形中，行吧， 你的横坐标二，你的横坐标零，横坐标相差两个单位。纵坐标二，纵坐标二分之一，纵坐标相差怎么样呢？二分之三个单位，所以你发现你通过勾股定律，对吧？你可以求出 n p 等于几？等于二分之五，也就这条线段呢，是二分之五的，也是怎么样？二点五我写哪比较好？我写这吧。 哎，你这个线段二分组能看到。好，一样道理，你会发现，那现在我要求 p m p q 这个边怎么求 q 点？你可以把 q 点坐标求出来，咱们知道 q 点的横坐标已经是对称轴，对吧？横坐标是二，纵坐标呢？把二带进去， 哎，你会发现纵坐标是负二吧。好，接下来你会发现 p q 也是我们想要的。嗯 啊，你纵坐标二分之一，我的纵坐标负二，二者相减呢，你会发现我们这条线段我们算出来的长度呢，也等于二分之五，对吧？好，所以剩下你会发现，那这个边和这个边相呢？等腰三角形， 所以你这个角就等于我这个角，这个角等于他的内错角，因此你会发现，那这两个小角我们就正出相等了，因此角平分线推的完毕，搞定。 它的图呢，大概长这个样子。那我们首先来看一下它的前两小。问，那我们给出一个抛物线，你会发现这个抛物线呢？ a 已经知道了，但是 b 和 c 不知道有几个未知的字母，我们就需要几个坐标，那告诉你呢，经过 a 点，经过 b 点，那 a 点呢，也是这个点的坐标，它是负一零， 还经过 b 点，也就这个点坐标呢，三零。所以你只要把这两个点带到抛物线里面去，那么整个抛物线的表达式我们就会求出来，也是 y 等于负 x 方，加上二， x 加三，好，计算过程我就省略了。好，接下来我们再继续往后啊，好，与 y 轴交于 c 点，那整个抛物线表达式求出来，那其实 c 点坐标呢，也是我后面的 c， 对 吧？也就交零三的 好，现在点 d 和点 c。 关于抛物线的对称轴对称，其实整个抛物线的对称轴，我们也知道啊，整个抛物线的对称轴， 对吧？你可以把这两个点的横坐标呢，把三和这个负一相加除以二。所以我们求出对称轴呢，是 x 等于一， 或者你用这个负二分之 b 呢，也可以求出来，对，正轴呢，是 x 等于一。那既然对称的话，所以我们知道这个地点呢？哎，你到我们的对正轴一个单位，再走一个单位，所以是二纵坐标呢，一样的。嗯， 好，接下来第一问，让我们求直线 a d， 就是 这条直线。那你想想，我知道 a 点坐标，知道 d 点坐标，所以整个 e 函数呢，就是 y 等于 x 加上 e。 那 求解过程省略了，抛物线表达式呢？我们刚才也已经求出来。好，接下来我们看第二问 好，他说在整个直线 a、 d 的 上方有一点 f， 我 要在直线 a d 的 上方，要在整个抛物线上， 所以引入怎么样呢？我只要在这段曲线上怎么样呢？放给 f 就 可以了。那不管 f 在 哪，我永远过 f 点做垂线啊，过 f 点直接做一条垂线垂足呢，是 g 点。好，现在让我们求什么呢？求这条线段 f， g 也就是它的最大值。很多同学都会说，亮亮，哎呀，你这个这样这样的垂线段斜着的我没见过，但你要竖直的我就会了，对吧？但我告诉你啊，像这种垂线段和竖直的线段，它的处理方式是完全一样的，只不过呢，我们稍微做一个转化就可以了。比方说， 那首先我想问大家一个问题，你能告诉我这个角多少度吗？哎，就这个小角。其实我们知道 e 函数的 k， 你 的 k 是 一吗？ 只要一个一次函数，它的 k 是 一，那么它与 x 轴夹角一定四十五度。这个结论在我们中考里面可以直接使用。除此之外呢，你还可以求这条一次函数，它与 y 轴的交点，对吧？这个是不是零一啊？所以你会发现这个长度是 这个长度呢，也是一，对吧，所以它是个等腰直角三角形，所以这个角四十五度，因此这个角也是四十五度的。好，那么接下来我想过 f 点往下做一条铅垂线，也是平行于外周， 比方说呢，在这里没有屁，行，那我就在这里我放个屁了，这个焦点呢，就是屁点，对吧？一样的，你这个角四十五度，所以我这个小小小小的等腰直角三角形，因此我这个角跟这个角是不是都等于四十五度，对吧？你这个小小的尖尖角， 哎，跟我这个减减都等于四十五度，所以你会发现，我就是一个等腰直角三角形。等腰直角三角形。我的直角边和斜边什么关系呢？斜边是直角边的根号二倍，所以你整个 f g 一定等于什么呢？等于斜边除以根号，也就是二分之根号二倍的 f， 对 吧？所以接下来我只要求线段 f， 怎么求呢？这个太简单了， f 点，我们知道， 横坐标小 m 好 不好？纵坐标呢？把 m 带进去，也说 f 的 纵坐标是负 m 的 平方加上二 m 再加上三的，对吧？把它带进去， 好，那你这个 p 的 横坐标也是小 m， 纵坐标呢？把 m 带到一次函数里面去，它在一次函数上面吧，所以纵坐标是 m 加上一，因此最终你会发现，喏，我们只需要用二者的纵坐标做差，用你这个纵坐标，对吧？减去我这个纵坐标就可以了，所以也就是等于多少？ 等于二分之根号二倍的，你减去它，计算过程呢，我省略就是负 m 的 平方加上 m， 再怎么样，再加上二，对吧？好，那么整个函数的表达式，你会发现， 我最终结果不就是一个关于 m 的 二次函数吗？所以我们化解一下，等于负的二分之根号二，对吧？ m 的 平方加上二分之根号二倍的啊 m， 然后呢，我们再 加上根号二，那么最终配方的过程我就省略了，等于负二分之根号二倍的，嗯， m 减 m， 也就是 m 减去二分之一倍的 m， 平方四分之一，八分之一，也就是加上 八分之九倍的根号，所以我们知道，那当 m 等于二分之一的时候，我们能够取得最大值，那么整个 f g， 对 吧？线段的最大值呢？也就是我们这里的八分之九倍的根号搞定。 所以我们知道，当 m 等于二分之一的时候，此时我们整个线段 f g， 它的最大值呢，可以取到八分之九倍的根号。搞定。好，接下来我们看第三位，也就是存在性的问题，现在我告诉你， m 是 整个抛线的顶点， 那其实这个抛物线我们可以写出来，对吧？它等于负的 x 减一的平方，再加上四，所以我们知道顶点坐标呢，也就是一四。好，我们继续往后了。嗯， 屁点是外轴上一点啊，就屁点在整个外轴上动来动去，在哪呢？我不知道，比如我随便放一个点屁点在这，好， q 点是整个坐标平面那一点啊，可以在这在这，在这，任意位置都可以，对吧？好，现在以 a m p q 为顶点的四边形，它是一个以 a m 为边的矩形，说白了四个点围成一个长方形了。让我们求什么？求 q 点的坐标，求哪个点？ 求在整个平面内运动这个点的坐标。那该怎么处理呢？其实很多同学说的呢，什么矩形，菱形、正方形，那存在性问题，我觉得好难，对吧？我告诉你，越特殊的四边形，它越好处理。举个例子，比方说四个点， 他想围成一个长方形，哎，就大概长这个样。那请问如果我构成一个长方形，我随便取其中的三个点，他一定给围成什么？比方你取这三个点好不好？他能够围成什么东西？ 他一定围成一个直角三角形，对吧？同样的，那如果我取其他的三个点呢？比方我取这个三个点，他会围成什么？是不是也是直角三角形？又或者说我取什么呢？我取其他的，对吧？哎，我取这边的三个点，我取这边三个点，你会发现 no， 是 不是也可以形成一个直角三角形？所以你要注意啊， 矩形的存在性问题，永远把它变成直角三角形的问题来进处理，也就是你随便取三个点，你最起码先得保证是个直角三角形， 你剩下一个点加入进来，对吧？你这个点再加进来，你才有可能形成一个矩形嘛。所以在这里面你要选三个点，那我们选哪三个点呢？首先你要知道，喏， a 点坐标是固定的，我肯定优先考虑它，以及你会发 m 点，坐标也是固定的，我也会考虑它，对吧？所以把这两个点固定下来。固定下来。好，剩下的你会发两个动点， 一个呢？屁是外轴上一点在哪不知道，它相当于是动点，另外一个在整个平面内运动，它也是个动点，我们优先考虑哪个呢？注意啊，优先考虑半动点。 什么叫半动点？就是有一个点，虽然它动来动去，但是它的横坐标或者纵坐标有一个永远不变的，像这种点，它叫半动点，对吧？你会发现屁点呢？ 它的横坐标是零吧？纵坐标不知道，所以你就发现它的横坐标是固定的，你是个半动点，所以我们选择 p 点 o， 有 人把 p 点加入进来，说白了，你说我要使的怎么样呢？三角形 a m p 干嘛？它永远是个直角三角形就可以了。 好，那也就是我们把矩形的存在性问题呢？把它变成一个直角三角形的存在性问题。那问题来了，你是个直角三角形，谁是直角边，谁是斜边，你知道吗？不知道，所以因此我们需要做的就是分类讨论，我们把直角顶点当做分类讨论的对象，比方说，我们首先考虑 a 为直角顶点， a 为直角顶点呢？那你怎么样？你直接过 a 点做垂线就好了，对吧？哎，就像这个样子，是不是？所以你这个 p 点大概在哪？ p 点大概在这里啊？好，接下来我告诉你，你去求这个 p 点的方式有很多很多，相似一三数，对吧？ 包括我们用两点间的距离公式也可以，比如我令 p 点的横坐标呢？哎，我们知道是零纵坐标啊，那就小 m 好 不好？嗯，好，那接下来你会发现你这个直角三角形，我连一下， 哦，你说这个屁点好不好？求，太好求了，对吧？为什么呢？你比方说你用两点间的距离公式，我们之前讲过很多次啊，对吧？横坐标就是，你要知道啊，你的平方能表示出来吗？整个斜边的平方能不能表示横坐标减横坐标，我用 m 减四吧，就是 m 减四的平方，对吧？ 加上纵坐标减纵坐标，用一减零吧。啊，就是两个点之间距离呢？一减零就是一， 我跟大家说一下两点间距离公式，两个点，把纵坐标相减平方，再把横坐标相减平方，对吧？如果你开方， 对吧？你加上一个根号，那么它指的就是这条线段。但因为你是直角三角形，我要满足过古定律， a 方加 b 方等于 c 方吧，所以把整个斜边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方，对吧？加上 纵坐标减纵坐标 m 的 平方，是不是 m 的 平方？好，你指的是这条线段的平方，我再加上什么呢？加上剩下这条直角边，那一样的横坐标减横坐标呢？相差两个单位 二的平方，加上纵坐标减纵坐标啊，四的平方。所以其实你会发现，那我跟大家说一下，它指的是什么呢？指的是 o a 的 平方，对吧？它指的是 o a 的 平方， 它指的是什么？指的是我们 a m 的 平方。两点间距离公式，在我们整个量的各种视频里面出现的次数太多了。好吧，你直角三角形满足勾股定律吗？ 理解了没有，所以剩下我们需要做的就是把整个方程解出来。求解方程，过程呢？哎，交个量量。那最后你会发现，也就是 m 的 平方减去八 m， 加上十六，加上一等于一，加上 m 的 平方，加上加四加十六，我索性加二十，可以吧？ 所以你会发现，喏喏，也就是我们知道负八 m 等于多少，等于移过来，等于四 c m 等于几 m， 等于负的二分之一。好，也就是我们求出来这个 p 的 坐标多少？也就是零 负二分之一，对吧？好，有量量。你去构造一个直角三角形，但是我要一个矩形的矩形在哪呢？其实你要知道，你再加上一个 q 点， q 点，它就大概在 这个位置嘛，这个位置嘛，对吧？你三个点围成了一个，呃，直角三角形之后，那 q 点在这，他不就变成一个矩形了吗？这题让我们求什么？求 q 点坐标，对吧？好，那么此时会用到平行四边形的坐标公式，什么意思呢？矩形是不是也是个平行四边形，对吧？ 哎，你这个 m 点跟我们这个 p 点是相对的点，你这两个点横坐标相加是零，你这两个点横坐标相加是一，所以这两个点的横坐标相加一定也是一。你的横坐标负一，所以我的横坐标一定是二。一样的， 你这两个相对点，纵坐标，纵坐标相加几四加负二分之一，二分之七，对吧？所以我们这两个点纵坐标相加也等于二分之七，你是零，所以我的纵坐标呢？二分之七，这个就是我们求出的第一个 q 点。好，接下来我们考虑第二种情况，也就是我们的 m 呢，它是个直角顶点， 那 m 是 直角顶点，所以我们知道。注意啊， p 在 外轴上，所以你要过 m 做垂线与外轴相交，对吧？这个焦点就是我们的 p 点，是不是一样的道理？ p 点坐标呢？我们还是令它是零小 m， 好 不好？一样的，我们用勾股定律，你连接 ap 嘛， 我是一个直角三角形，是不是？所以你要知道，你的平方加我的平方等于 ap 的 平方。好，那你的平方可以表示出来吗？其实你用勾股定，你也可以求，对吧？好，嗯，我们用两点间距离公式啊，横坐标减横坐标啊，横坐标的平方加上纵坐标减纵坐标 啊，纵坐标的平方，它指的是什么？指的是我们这条线段啊，也是 am 的 平方。好，接下来我再加上你这个 pm 的 平方，一样的横坐标减横坐标 一的平方，再加上怎么样呢？纵坐标啊，减纵坐标。哎，我们就用 m 减四好不好？哎，我们用 m 减四的平方，那么一定等于什么呢？等于整个斜边的平方。喏，横坐标减横坐标相差一个单位， 嗯，以及纵坐标减纵坐标呢？相差 m 个单位。好，这里我就不再写了啊，最终你算出来这个东西等于多少？二十加上一加上 m 平方减八。 m 加上十六等于多少？等于 一加 m 方，对吧？一样道理，你会发现一咔嚓没了， m 方咔嚓没了，对吧？所以也就是我们得到负八 m 二十加十六，三十六移过去负的三十六，所以 m 等于几呢？八分之三十六，也就是 多少？二分之九。哎，我们就说 m 等于二分之九，也就是 p 点的坐标呢，是零 二分之九的。好，那么接下来当我们求出 p 点坐标处，你 q 点在哪？你都是一个直角三角形，所以 q 点只要参与进来，对吧？就大概在这个位置，对不对？我不就是一个大大大大的长方形了吗？好，那问题来怎么求？一样的 矩形也是个平行四边形，只要是平行四边形一定满足我们的坐标公式还有什么意思呢？也就是这两个点的坐标值和你的横坐标零，我的横坐标负一， 横坐标相加等于负一，所以我们横坐标相加也等于负一，你是一嘛？所以我等于几？我等于负二，对吧？哎，我的横坐标负二，那纵坐标呢？ 纵坐标相加二分之九，所以我们纵坐标相加也是二分之九，你是四四就二分之八嘛，所以我等于二分之一。哎，这是我们求出来第二个 q 点。 好，接下来我们再考虑。屁为直角顶点，其实这种情况你不需要再讨论的。为什么呢？比方说屁点，呃为直角顶点，差不多在这，对吧？哎，就是你这个角呢，是个直角， 是不是在这里？那你这个 a m p 呢？对，它的确是个直角三角形，屁股直角顶点，但你要知道，此时如果你构造一个矩形，如果你构造一个矩形，对吧？ 哎，就你这个 q 点，差不多在哪呢？哎，差不多，我不一定在外轴上啊，我这画了一个草图，可能在外轴左边，对吧？好，那你会发现它是不是一个长方形矩形呢？是的，但这个题目有要求， 就是你的 am 只能作为矩形的边，此时你这个 am 呢，是整个矩形的对角线，对吧？哎，所以你会发现，哎，不需要再考虑了。是不是因此我们这里的 q 点只有两个， 搞定。那顺便说一下，如果违边这个条件，去掉 a m， 可以 作为对角线，怎么处理呢？一样的嘛， 你令它的横坐标零，纵坐标 m， 用两点间距离公式把这个边这个边表示出来，像我们刚才一样构造勾股方程来进行求解就可以了。那么以上就是亮亮今天跟大家讲的八类二次函数的必考题型了。那问题来了，哎，亮亮你去年也讲了二次函数大盘点，跟今天有什么区别呢？ 这个去年我们所讲的知识点非常多，也非常全，我们的面积最值问题啊，等腰三角形存在性问题啊，相似存在性问题啊，几何的临界值问题啊。而我们今年呢，会在去年的基础上做了一些补充，比方说呢，我们的图像与系数， 我们的方程与不等式，我们的轨迹应用包括呢？含餐代数临界值问题，包括区间最值定结论啊，包括我们的线段最值问题和我们举行的存在性问题。 另外呢，就是我们今年的内容更加倾向于我们这两年中考的新题型，所以建议大家这两个视频都不要错过了， 如果你的时间非常充分，那这两个一起看当然更好了。如果你说亮亮我时间很紧，我就想快速的突破一下， 冲刺下我们的中考，怎么办呢？那就建议直接看我们最新的这个视频就可以了，亮亮还给大家准备了练习题，配合使用，相信你的二次中考高分跟着亮亮无脑学习。

每天拆一个数学技巧，今天拆 今天拆二三数的九大，看图说话，今天是我们拆数学技巧的第十四天，希望大家能够点个关注，主页有更多的实用技巧。 好，关于这种题型我是怎样的呢？我们来看一下，他说给出二三数的一个图像，让你去判断 abc 参数的代数式的相关情况，这说起来可能有点懵，大家看一下一个例题的例题就明白，你看这种哎，他给了你一个二三数，给你判断标号一二三四的大小，甚至我们在有些题中，我们需要去判断 a 大 a 的 和 b 的 c 的 这种数学关系，甚至是大有关系，对不对？我们都可以用到这样的一个方法。好，这样的一个总结呢，就有利于大家在考场上，因为它有很多个序号了，你每个题如果说都没有一个思路，那你相当于做一个 做一个题，你相当于做做四个题的时间，那这样就很浪费时间。所以我们需要在下面呢，就把自己在考试之前就把这些总结，总结好，之后呢，你把对应的方法给它记住，然后你碰到这些事，你就先往这些你总结的方法上面去想，这样的话能够节约你做题的时间和思路。那 我们来看关于这个 abc 就 很简单啊， abc 我 们怎么去判断？就说 a， 他 问你 a 大 于零是否正确，比如第一个选项对吧？ a 问你 a 大 于零是否正确，那你就要明白 a 是 靠什么判断的， a 是 靠什么？ a 是 靠什么开口方向来判断的好，然后 b 是 靠什么来判断呢？ b 是 靠左同右异来判断，就是这是一个二次函数，对吧？有些人对左同右异呢，他可能背的这口诀，但不知道左同右异啥意思。你要学会左同右异，你就要去分别去猜每一个字母代表每一个汉字代表什么意思。你看啊，这个左是什么意思呢？是对称轴 对伸轴与 y 轴的关系。这左和右啊，都是表示是对伸轴与 y 轴的关系，什么意思呢？比如，比如说这是一个二三函数，对吧？啊？对，这个对伸轴，这个对伸轴现在是不是在 y 轴的什么 左边？右边在 y 轴的右边，那么就是右右 e。 好， ok， 所以 说你要判断哪个用左哪个用右，就是你看对伸轴在，你就看对伸轴这条对伸轴在 y 轴的左边还是右边，那如果说是这样子的呢？ 而且是长这样的，那对称轴是不是这里啊？对称轴是不是在 y 轴的什么左边？那你就看左同，那同什么意思呢啊？同和异又是什么意思？就是 a b 同号的意思，就同是 a b 同号的意思，那 e 就是 a b 一 号的意思。然后你先通过开口方向，把 a 的 正负给他判断出来，然后你再通过左同右异去把 b 的 正负给他判断出来。好吧，这个是 a 是 通过开口方向来判断的，然后 b 是 靠什么呢？ b 是 靠左同右异来判断啊，左同右异。所以说你要知道左同右异是什么意思，特别是啊，你分别去猜左和右是什么意思 啊？然后呢，同和异又是什么意思啊？把它记住就可以了啊，把它记住就可以了。是对称轴在 y 轴的左边还是右边啊？最主要是这个点好， c 是 靠什么判断呢？ c 是 靠与 y 轴的交点判断，为什么？你看啊，对于一个二三数来讲，你把这些 x 逆差等于零，是不是 y 就 等于 c 的 意思？如果是这样子，我想问他与 y 轴交于是不是正半轴？交于正半轴是不是大于零的意思？那就 c 就 大于零 啊？ ok， 那 知道 abc 大 于零以后，他第一种问法就是问你 a、 b、 c 的 乘积乘积， 他说这个代数你认不正确，那你要知道 a、 b、 c 的 乘积代数，你就得知道 a、 b、 c 三个的什么正负的一个情况。如果说，你看啊， b 是 负的， c 也是负的，负负的啥？正正数？再乘个正数，是不是一个代数？就这个意思，就你把这三个分别知道以后，你也可以求它的组合情况就这意思，或者单独的 a 和 c 的 组合，或者说 b 和 c 的 组合，这种乘积的组合啊，不是加减法的组合。 ok， 我 们来再看 第四个，就是 b 的 平方减四 a、 c， 实际上这是什么呀？这是靠什么来判断的？这是他说的什么与 x 的 什么焦点个数，是焦点的个数来判断的啊，这是什么东西啊？这个是啥？这不就等于它吗？对吧？我们等于它是不是等于 b 平方减四 a、 c， 对 不对？他下次跟你说啊，这有个选项，第一个选项他说 b 的 平方减四 a、 c， 他 说他大于零， b 的 平方减四 a、 c 大 于零，你靠什么判断啊？如果说他给你个图像，都给你了，他有焦点个数，不就可以肉眼可见可见吗？两个，这两个的话肯定大于零呢，如果他是这样子相切的呢，对吧？ 这样子相切是不是等于零啊？所以他给你判断让他等于零大于零，小于零的这样一个情况，你得是根据什么焦点个数去判断的，这样他就是得他喽， 对不对？好，这是最基本的喽。啊，这是最基本的，这是最基础，最基础。嗯，好， ok， 这是最基本的喽。你是需要会的啊，会的，我们来看，稍微难一点点的啊。这，这个也不难啊，逐步会加深啊，逐步会加深啊。对于这个来讲，你怎么去理解？就是 让你判断这个 a 加减 b 加 c 加 c 减三大于零， 对不对？这些都是要去判断的啊，就比如说 a 加 b 加 c 大 于零，问你他是否正确，对不对？你要学会。那这种怎么去判断？然后下面对应下面一个二 a 四， a 加减二， b 加 c 大 于零或者小于零或等于零，这怎么去判断？这个实际上这个式子实际上就是什么？实 际上就是你把 x 等于正负一带进去，当它等于负数的时候，你看啊，你把 x 等于负一带到这里面去，那不就是 a 减 b 加 c 吗？那你给他，他如果给了你一个图像这样子，然后，嗯， 这样一个头像，这里写了个一啊，这里是相当于等于一了，我想这里一对上去的话，你是不是可以看得到？你是可以看得到这个当 x 等于一的时候，函数值是大于还是小于一，你是可以看得到的，明白不？我想这个如果说这里标了一个一呢， 对吧？他这里写了一，我想问，这里写一对下来，这个函数值你是不知道的，那就你把这个一给他带到这个函数里面去，就是 a 加 b 加 c， 因为 x 等于一喽，那所有的 x 平方加 b 加，是不是就这个就这个了？然后他，你看他是不是小于零啊？那他给你打个大于零是不是错了？ 明白我意思不？就这个意思啊，所以说这些式子都是通过 x 等于正负一去， x 等于正负二，然后去带进去看函数对应的值的正负来确定的，但什么时候复数，你就记住了，他当他是当他这个，就比如说他是什么四 a 减二， b 加 c， 问你这个你实际上是等于谁？他是当谁 当 x 等于负二，你把这个 x 等于负二带入这个解析式里面，就能得到这个式子。所以说，所以说你要去看什么？你要去看 x 等于负二的这个， 呃，这个对应的 y 值的大于零小于零的情况啊。 ok， 那 有些时候呢，他又不会给你负二，对吧？只是他这里给了你一个什么对称轴啊，他这里给你正二 啊，甚至多少？你有时候要通过对称轴去判断他在这个地方，然后呢，这里又是多少？他这里如果刚好等于负，我打个比方啊，这里刚好等于负二的话，是不是你看就可以看？所以你要利用对称轴去把这个全图像给他补全，明白没有啊？ ok 啊，这是这种啊，这种就是反正就带你记住一个事情就带住要么负二，要么负一，要么正三，万一他问你九 a 加三， b 大 于加 c 要大于一点呢？是不是你就知道 x 等于什么正三？如果这里是减三呢？那么 x 等于啥？负三啊？ ok， 这我太多了，我就不说了啊，不说好，这种 多少倍的 a 加减 b， 这什么意思啊？他问你，他比如说二倍 a 加 b， 他 说等于零或者大于零或者小于零，无所谓，无所谓，就这一就这个事。就是，反正就是不管是他等式还是不等式，关于多少倍的 a 加减 b 这种式子，甚至他可以把这个移过来嘛？就 b 加减二 a 这种式子， 对不对？无所谓，那多甚至多少倍的或者二 b 加二 a 这种变得奇怪一点对不对？那你都要去学会去换这种关于，只要是关于 a 和 b 的 式子嘛，说白了就是 a 和 b 的 式子组合，你不管是 a 在 前面还是 b 在 后面啊，组合又怎么样去思考呢？你利用对称轴去思考的位置关系及开口方向来判断。为什么要提到开口方向？有人说来，比如说，那你判断一个什么呢？他说，呃，那你，他给了你一个图像，那就给了你一个图像， 那给你图像，然后这里，这里是一啊，这是 x 等于一，你就可以看出来，他给了你画的对称轴，他给你说他等于一，那我就问那是不是 x 等于什么？二 a 分 成啥？负 b 等于啥？一，那等于一的话，我这两边同时乘上二 a， 是 不是就应该等于负 b 等于二 a， 然后呢？做四指，它表现形式就有几种呢？我把二 a 给它移过来，那就是负二 a 减 b 是 不是等于零？好，他问你这个是否正确，你是不是就判断它正确？那万一他把 b 给它移过去了，它就变成了什么，它就变成了二 a 加 b 等于零啊？二 a 加 b 问题它正不正确，它也是正确的，就看你怎么样去把它，这个它是怎么问的？凑出它的这个结论就可以了。 好，这是他等，这是他等于一的情况喽，对不对？这是他等于的情况，那他就会让你判断他等于零，问你他是否正确。好，这就是通过什么对通轴？好？有些时候他不是等，他不是等于喽，他可能是小于零，甚至这样的来，比如说，那这样他这种的图像，他就这样子的， 你看啊，他这里对通轴啊，这，这，这里是对通轴，但他不说他等于多少，他在这里写了个一，他这里画了一条虚线对通轴，他说这里是一，那我想问这个表示什么意思？表示 x 等于什么？二 a 分 之负 b， 这是对通轴喽，是不是小于一的意思？ 明白，这是，这就就是这个啊，这是这样的，他给你画了个图像，然后这里表示了一个虚线，这是他的对称轴，但是他不在这里写一，他说这里是等于一，那说明这个 x 等于二， a 分 之负 b 是 小于一的，那就不对，不等于了。那你就通过这个式子去把他，他本来这个式子就是给了一个不等式喽，他眼睛就看到这个不等式的正确符号，所以你就通过这个对称轴 去判断。好， ok， 这个时候你就千万注意了，你两边是不是同时乘上二 a， 你 这两边同时乘上二 a 的 时候，记住，你要去判断 a 的 正负，要通过开口方向去判断 a 的 正负。为什么？因为他这一个不等式来讲啊，这个不等式来讲，我把单独写下，就是二 a 分 之负 b 要小于一，这个不等式来讲，你两边同时乘上二 a， 如果说 a 是 个负数，二 a 是 个负数，那你这个不等号的方向是要改变的。说这就是要结合什么开口方向来判断，如果它 a 是 正的，无所谓咯。 开口向向上，那 a 是 正数，那两边同时乘以 a， 它没有什么影响。但是你一定要考虑到什么？一定要考虑到当 a 是 开口向下的时候，你两边同时乘以二 a， 这个不同的方向是要改变的。那就是如果说我这里是开口向下的，那就要小于零，那二 a 是 不是就小于零？那两边同时乘上二 a， 它就变成了负 b， 对 吧？嗯，就是什么？我重写啊，就是二 a 分 之负 b 是 不是小于一，然后两边同时乘上 a， a 是 小于零的，开口是向下的，好， ok， 那 就是负 b 要乘上二 a， a 是 小于零的，开口是向下的，好， ok， 那 就是什么要不同的方向改变喽？就大于什么？ 大于什么？一乘以啥？二 a 好？ 一乘以二 a 不 就相当于二 a 啊？ ok， 相当于负 b 要大于什么二 a， 然后呢？这个时候你就可以把它移过来，凑 成我们那个题目中问的那个什么，他说二 a 加 b， 问你他大于零对不对？你就看到把这个 b 移过来，是不是就是零要大于二 a 加 b， 我 想问这是零要大于二 b， 是 不是二 a 加 b 小 于零的意思来，他说他大于零，对不对？这这个序号，比如他是第一个序号，他是不是错了？ 就这个意思说这个地方，当他是不等号的时候，比如他大于零，小于零这种情况的时候，那你一定要去当你两边这个，你要通过通过这个二分之一或者大于来重来判断，那甚至他比如说对乘这个写了， 然后这是对乘轴，这里不给你写一，他给你写个二，那说明是二，二 a 分 之啥？负 b 是 不是小于二的意思啊？那小于二的话，你是不是又可以得到一个什么？两边同时乘上二 a， 那 a 乘以二 a， 你 就要考虑了，两边同时乘上一个负数不等号的方向改变。如果说 a 小 于零，那你乘上了一个负数，对不对？那就是啊，负 b 要什么大于二乘以二 a， 二乘 a 不 就四 a 吗？对不对？所以就应该是负 b 要大于什么四 a， 然后你再把这个 b 移过来，就是四 a 加 b 就 大于零的意思。好，如果说序号写的是这个，那他就正确的，我想表达这个意思好不好？这里是所以说他问的是多少倍的 a， 明白没有？他问的是多少倍的 a， 那 这样子是不是可以通过对称轴以及开口方向不就是 a 的 正负来判断这个不等号是否成立？ 看到没有啊？ ok， 这是很重要的一个思路啊，就是看到 a 加 b， 或者说四 a 加 b， 甚至六 a 加 b 这种就不要怕，不要怕，你只要是 a 和 b 的 关系，你就先套，先去套对称轴，先去套对称轴，看能不能从题目中看出。首先他题目中有没有给你对称轴等于具体的数，那就等于具体的，然后去解，如果他没有给你具体数呢？你就用不等式来表示，他本来就问的是不等二。 然后我们来看下一个啊，下一个就是 a 和 c 的 关系， a 和 c 的 关系，用维达利以及图像中过某个点来代入解析之后利用这个对角来消元得到。什么意思啊？什么意思？就比如说啊，比如说，比如什么呢？他说你三 a 加二 c 这种假设，假设他问你他大于零，问你正不正确，或者或者等于多少？无所谓了，反正就是一个相关的 a 和 c 的 一个式子，问你他是否正确， 那怎么去考虑在你的初衷内，哪哪里用到了 a 和 c， 哪里用到了 a 和 c 二？是不是 x 一 加上 x 一 乘以 x 二，就用到了什么 a 和 c 的 关系吗？ ok， 这里不就 a 和 c 的 关系吗？ 所以你如果说通过这个图像，他给了你一个图像，这 x x 是 啥？不就是这个吗？这是 x x， 这是 x x 二，如果他 x x 二都告诉你了，那你把 x x x 二给它乘起来，比如这是负一，这是二，那就是负一乘以啥？二是不是等于 a 分 之 c， 那 就相当于啥？就是 a 分 之 c 等于负二咯。 a 分 之 c 等于负二，那你把这个给它乘过来，那就是负二。 a 等于 c， 然后你再把这个移过去，那就 c 加二， a 是 不是等于零的意思？下次问你这个正不正确，你是不是就 c 加二 a 等于零的意思？下次问你这个正不正确，你是不是就 a 和 c 里面的回答等于零 啊？就 x 一 x 一 x 一 乘以 x 啊？但前提，这个前提是什么？前提是你得知道这个 x 一， 它给你给你解，就图像它告诉你了这是具体等于多少数，然后你才可以用什么回答你明白没有啊？才可以用你。实际上这个是不是也可以回答你的啊？那就是 x， 你 他给了确定的 x 一 x 二，你把它加起来 是不是也可以啊？然后呢？假设这加起来刚好点二，那就是二等于负 a 分 之 b， 然后呢，把这个乘过来是不是二？ a 加 b， 然后再移过去是不是就等于零？是不是也能得到这个式子啊？ ok， 废话不多说啊，这个这这种情况上稍微有点少，我只告诉你这种方法，万一遇到就他告诉你，他给了你一个图像，给了一个图像之后， x， x 上他确定都已经告诉你了，那你就可以用这种方法了。 a 和 c 的 关系好，然后先先讲到 a 和 b， 然后呢，我们来看 a 和 c 的 关系，还有三的关系，然后第二种方法，通过什么 图像中确定某个点，然后带入解析之后与这个对称轴结合来消元得到。比如说他问的是 a 和 c 的 关系喽，那比如说他现在已经知道了这样子了，这样子一个图像啊，这样子，然后这里写了个二，那现在什么意思啊？把 x 点二带进去，它是不是一定大于零的意思？那你就说也就得到了一个什么，得到了一个什么，把二带进去，它就应该等于什么？四 a 四 a 加二， b 是 不是加 c 要大于零？你是一定能够得到这个，然后你再通过对称轴，这里不是说你等于二啊，那对称轴这里等于一， 最终这里写了个一，它是不是相等 x 等于二， a 分 之负 b 等于一的意思啊？好，记住这个部分啥用？我再写，然后这个等于一，然后重新写，然后它等于四， a 加二， b 加 c， 大 等于零啊，大于零大于零，然后呢？我的对准头是不是又等于啥？二 a 分 之负 b 等于啥？就等于一。刚刚说了对吧？给了你个图像嘛，这里 对吧？这里写了个二，然后这里写个一，是不是就这意思就能得到这两个不等式啊？这个等式，然后呢，我通过这个就得，得到什么呢？就能得到什么负 b 等于啥？二 a， 然后呢，我要判断通过这个来判断什么 a 和 c 的 关系了。我现在是，那我要消掉 c， 我 把这个不等式里面消掉 c， 就 只有 a 和 c 了，我是不是消掉 b 啊？所以我就把它写成 b 等于啥？负二， a 就 通过这个式得到 b 点，负二， a 给它带到什么？带到这个里面去，那不就只有 a 和 c 的 关系了吗？是不是？ 那好， ok， 我 把 b 等于负二， a 带进来， b 等于负 a， 那 就等于啥？负 c， 这样子带进去之后就把就把这个消掉，消掉之后你就能判断他了。但这个题我觉得有点巧了，就是我举的这个例子来讲啊，万一这里是三呢，你就消不掉了，所以你消不掉了啊，只说这样子取了有点巧，就把 a 和 c 全部 a 和 a， 这样消掉了就负二，四， a 减 c 就 没了。实际上啊，当你当你这个它等于三的时候，那不就消掉了吗？它等于啥？ 对不对？消不掉。然后呢，你就当它对应着不等于一不等于一，我是为了方便好算的话，等于一咯，它等于二分之一，是不是也消不掉啊？就这意思。所以说你要先通过一个一个一个数字，先通过它 确定过某个点，然后呢，某个点你把横坐标给它带进去，带进去之后呢，你得到一个多少倍的 a？ a g， 呃，带入解析是多少多少倍，然后加上 b， 然后再加上 c， 他 说他，你就能知道它大于零或者小于零或者等于多少。如果它这里写的是一个等式等于等于多少，那么你就去通过等式去判断，如果它这里写的是不等号，那你就看不等号，就它， 就是有些情况他是这样子的，就是他有些时候他给了你一个二，要固定固定，固定过这个点，那你就能带出他等号，如果他这里没有给你给你写，他确定等于多少，那你知道二带去他大于零，就这意思，你要根据他的这个 a 和 c 的 关系到底是个等式还是是个不等式来判断你这个到底是用等式还是不等式，还要结合图像中的给的条件， 我想表达这个意思。然后呢，你通过得到了这个 a 多少倍的 a， 你 把 x 等于多少倍的，加上多减多少倍的 b， 再加上 c 大 于零或者小于零，或者等于无所谓了这个式子。然后呢，你要通过这个式子去消掉什么，消掉 b 而得到什么 a 和 c 的 关系，怎么去消 b 啊？就是通过二 a 分 之啥负 b 等于它对等轴， 等于对等轴之后呢，你把这个把它，如果你要消 b， 那 么就得到 b 等于多少倍的 a， 然后呢，再把这个带到里面去，那是不是只有 a 和 c 的 关系了？就这么个逻辑 啊，就这样的一个逻辑。然后呢，如果是来下一步，我们就得到一个什么 b 和 c， 来下一个求 b 和 c， 那 一样的呀，我通过刚刚那一种方法，我去，我看到他过哪个点之后呢？比如说这里点二，我把它带进去就能得到一个什么是 a 加 二， b 加 c， 如果它大于零，我就写个大于零。然后呢？是我现在是，我现在不是为了得到 a， a 和 c 的 关系，我现在是为了得到什么？ b 和 c 的 关系。那我是不是现在我通过这个公式，我要消掉 a 就 可以了，我怎么去消 a？ 我 就是通过二分之负 b， 然后呢，等于，比如他对六等于三，那等于三之后呢，我就可以把它写成什么呢？ a 等于多少倍的什么什么 b 可能跟 b 的 关系。是喽，我用下面用 b 来表示 a 就 能得到 a 等于什么？然后呢，我用这个 a 等于 b 的， 这个是关于 b 的 一个式子喽，多少倍的 b 无所谓了。然后呢，我把它带到这里面去，那把 a 削掉之后，是不是只有 b 和 c 的 关系了， 那这样就搞定了。所以说关于 a 和 c 的 关系，和 b 和 c 的 关系一定要注意，反正就是 abc 这种关键组合喽。刚刚是乘法的组合，现在就加减来， a 加减 b 的 组合怎么去搞定？ a 加减 c 的 关键组合怎么去搞定？而 b 加减 c 的 关系组合怎么去搞定？好，我们呢，先来总结，就是 a 和 b 的 关系， a 和 b 关系不就维达那个什么对成轴就可以搞定了。然后 a 和 c 的 关系呢？第一个，维达定律，但维达定律前提是你得知道 x 一 加上 x 二， x 一 乘以啥， x 一 就 x 一 和 x 二是明确告知的是多少的，你才可以用维达定律。那如果说 a 和 c 的 关系你不能用维达定律呢？你得用什么？你得用 消元的思维，就是 a 加 b 加 c， 你 得到它，当，当 x 等于一带进去的时候，然后 x 等于甚至等于二的时候，你看图像，它到底大于零还是等于一个数，还是小于零一个数，然后呢？我要这个你去消，如果你要判断 a 和 c 的 关系，你就给我消 b， 然后你要判断 a 和 b 的 关系，或者 b 和 c 的 关系，你给我消 a 通过什么样的消，通过对通轴去消 等于多少确定的数，然后把它写成 b 等于多少或者 a 等于多少的形式，然后通过这个带入去消。好，这就搞定了。好，所以说这两个思路大家一定要注意，一定要记住这个三 b 加 c， 有 些人看到这个懵逼了， 我们一般都学的是什么？二 b， 嗯？这个的关系啊，对不对？那你看到什么？三 b 甚至加二 c 啊？又懵逼了，懵得很，有些就懵得很，但前提，如果说你有了这样一个思维之后，你是不是看到这样就不懵了？ 好吧，这是你自己需要去总结的。好吧，我给你总结出来了，你用上就可以了，是不是遇到就直接用了？ ok， 最后一个也是稍微有点稍微一点点难度的，其实也不难，只要你理解住他，也不难啊，也不难。好，你看这个，他说什么？对于任意的这个 有不等式这样的一个成立，然后呢？只要考虑吧，我现在这样念这个可能大家听不太懂，因为我，我通过例题来讲啊，马上就通过例题了，他说只要考虑把不等式的一边转化成顶点，满足不等式啊，我们直接来讲一个例题，你就明白。 好， ok， 就 看这个例题最后一位，我们只直接看最后完，就看到这个图，看到这个图以后呢？他说当啊，不是最后完，是这个第四个，不好意思啊，第四个来，他说你看到没？就是他对拿 m 任意使手，就，就对应着。我这里说的是啥？说，你看没？对于任意的 m 看没？比如说为什么写 mnt 呢？因为它有时候用 n 来表示，有时候甚至可以用 k 来表示， 就是 n 代表是无所谓了，就这些字母只是一个形象的一个代数，对不对？然后你看这这个题就是用 m， 然后， ok， 关于任意的 m 看见没？这是这不就等于任意 m， 是 任意的 m 都有这样的不等式，你看就这个意思， 对于任意的 m 都有一个不等式，这样的恒成立对不对？让你去判断它正确与否，就这意思啊， ok， 然后你看这题，它就是什么关于 m 的 一个不等式，然后 abc 参数给它写进来，它就有这样一个不等式， ok， 这样一个不等式来讲啊，你怎么样去思考，怎么样去思考就怎么样能想到这个事情 啊？这边这边有个思路呢，我，我先讲讲这个题目，后面我再给大家总结，你就明白了啊。再你再回过头去看我写的那句话，你就知道我讲的什么意思啊。你看这个来，我想问，对于二次函数来讲，你想要一个东西，呃，把这个对于任意 m 给他带到这里面去，然后呢？他能得到一个东西横整，那我想问他，这个东西如果说 m 没有，你带入这个 x 等于 m 没有任何限制的情况下，他想要这个东西横整，比如说他等于等于多少，那横小于等于多少？我想问跟什么有关系？他才会横大于？横小于是不跟顶点有关系 就什么意思呢？我随便带入一个 m， 然后这里 x 等于一带进去，假设他这里给你写了个三，那我是不是随便带入一个 am 的 平方，加上 bm 加 c， 如果他这里是写了个三啊？那是不是应该小于等于，是吧？三，因为他最大值就是三了。所以说我关于 m 的 一个不等式，是不是这样的一个市值才会成立啊？ 明白我为什么没有？就是我下次给你写这个是不是一定成立？为什么？因为这是零点坐标，零点的坐标是不是一定大于零？小于等于等于它最大值，不管你 m 等于多少，你随便带他都不可能超过三，说白了就是这个。所以说我们有这样一个思维做，你看到这个式子， 他关于任意的 m， 那 都有这样的一个关系，那你如果说把这里给我乘乘进去，你把它乘进去，它就没什么 a m 的 平方加 b m， 你 看到没？这实际上你参这部分，那是不是就是把当什么当 x 连 m 的 时候带进去，得到，得到了一个市场，对不对？所以说关于这样的一个市来讲，那我也就是说我要把这个等式的什么， 我要把这个等式的其中一边，我要把它变成什么顶点的，什么重坐标，对不对？我要把等这个不等号的，就你看对于这个来讲，顶点是不是最大值，是不是应该小一点最大值？你说我要通过这个不等式，如果它要正确，那它应该转，能转化成什么？能转化成这边是顶点的重坐标， 明白为什么？那顶点的坐标怎么想？那顶点坐标是不是 x 减一的时候？那你把 x 减一带到这里面去，我想问这里的最大值是不是就应该是 a 加 b 加 c？ 也就是说我可以，如果说我把这个等式能够变成什么呢？变成他有一边这样小于等于 a 加 b 加 c。 好， 如果说能变成这样子，他也能够成立，那他就他就正确了， 明白没有啊？ ok， 我 把它成打开，那就是 a 加 b 要大于等于什么？ am 的 平方加 bm， 我 是不是要把它靠顶点？顶点坐标是怎么说的？顶点是小于等于顶点的最大值是不是 a 加 b 加 c， 你 说我这里有 c， 这里有 c 吗？没 c 我 可以这么，这不等号， 我等号方正。我两边是不是可以加 c？ 我 两边加 c 对 这个式子有影响吗？是不没有影响？没有影响是不我就能得到一些东西了。 ok， 我 就能得到我两边同时加 c 啊。重新写一遍，就是 a 加 b 加我这最后加 c 啊，是不是按照他的写法，按照他的写法， a 加 b 加 c 就 应该大于等于什么？ a？ a m 的 平方加 b， m 加 c。 ok， 我 两边加 c 以后存在了一个什么， 你看这里不就是当 x 等于啥 m 的 时候吗？这里是不是刚好是什么 x 等于什么一的时候？我想问 x 等于一的时候，根据图像来讲，它是不是带进去它应该是最大值啊？我想问这里最大值是不是恒大于等于？不管你 m 取任何值，你带进去它是不是都大于它？我想问这是是正不正确？ 是不是肯定正确的？那你正确了就。其实我们的思想是什么？我们的思想是把其中的一边，把其把这个不等号的一边给它凑成什么，凑成那个什么 顶点的最大值就顶点的重做标，就把这个不能。不管怎么写好，写这个题还是简单一点的，下次给你写，他给你写什么？他给你写 a， 让你看到什么？ a m 的 平方，呃，加，呃，这个加 a， 然后再加 b， 再加 b m， 问你他大于等于零， ok， 余生看到这个就彻底懵逼了。 余生看到这个彻底懵了，哇，这么减 b 哦，无所谓了啊，就这样，他给你写个 a m 的 平方，减减 a， 再加 b， m 大 于等于零。 ok， 余生看到这个就懵了， 这什么东西吗？搞不清楚。就像他这个式子跟这个式子是一样的一样，你想你把它整理一下 a m 的 平方，你把这个 a 给他移过去，把这个负 b 给他移过去，就变成了加上 b m 就 大于等于什么？ a 加 b， 你 看没是不是一样的，你把这个 m 给他提出来，就换成换成这样。就是我想表达是这种式子的表现形式，你不用管它具体是什么形式，它只要是 abm， abcm， 甚至把这个人下次给你换成 t， 行不行？这也行？只要是 abcm n t 的 这种式子，只要是它。关于这种不等式，你不管它是全部把它全部移到一边，大于等于零也好，还是大于等于一个数也好，还是这边有 a b， 然后呢？不等好呢？另外一边有 a a b m 这种式子，你就别管这个，它的表现形式也 不用去管，在于它的表现形式，你只需要记住，关于 a、 b、 m 啊，把这个 m 和 c， 然后把 m 可以 看成 n， 把 n 可以 换成 t， 甚至可以换成其他的 k， 甚至 h， 无所谓了， 反正就是这些这么组成的一个不等式。你的思维就是他要使这个任意的 m 时数都成立，都成立，他一定有，什么一定有，就对这个二三数来讲，只要找到他最大值，他一定有，等于是另一边是他的顶点的重坐标，你就围绕这个方向去转换就可以了。我们刚是不是刚好？你看 a 加 b 加 c， 如果里面同时加 c， 这这个刚好是什么？ x 等于啥？ x 等于一的时候， x 等于一等于一，但不就是最大值吗？他这里面这这边是不是就最大值？那肯定最大值肯定大于等于他的任何值啊，这就成立了，就这意思。所以说我们怎么样来总结这个事情啊？怎么样来总结这个事情？ 这个啊，这，这就可以这么总结，就是就是他遇到这种这种啊， a、 m、 n 啊，关于什么 a、 b、 c， 我 就不写了，这里面的，对吧？反正只要是 m， 关于任意的 m 都有这样的一个不等式存在，那你就只考虑把等式不等式的什么一边由顶点带入啊，由顶点带入满足不等式，然后呢？利用什么函数的最大值和最小值的思维来解决问题？ 关键是有个什么两边同时加 c 的 这样过程啊，这是一个技巧嘛，对不对？你要凑成这个顶点式喽，顶点的什么？纵轴标，那顶点的纵轴标多半都有 a 加 b， 就 算你把 x 点二代去，它是不是二 a 啊？四 a 加二 b 加 c 是 不是都有 c？ 但是很多时候不等式里面它是没有 c 的， 但是你可以两边同时。什么加 c 呢？满足这样一个小技巧的条件 就满足，满足了之后你再用他最大值的思维，是不是最小值的思维，你就能知道这题它到底是正确还是错误的，明白为什么，甚至有些题目你压根不知道，你直接你只要有这种思维之后，你只需要去看，他表示的是，如果你把对应的这边搞出来，他是最大值喽，他这里都是最大值了。我问他跟你这么写对吗？如果这能搞成点来，这最大值是不是不应该这样子写才对？你直接判断不同的方向， 都不用具体知道它是短的，直接就知道它是错误的。就是你用熟了之后呢，你会有这样的一个想法好不好？ ok， 这就是整体的啊，二十函数的看图说话啊，看图说话，这有九大啊，九大，你必须要提前去把它摸透， 这题没错的，然后你看到题你才会就就就很快，就有些题为什么别人做的很快你做，因为他线下有他自己去总结这些东西，对不对啊？ ok， 我 们来实操一下，来实操一把，实操一把，先给大家截个图啊，截个图啊，大家啊，截个图，特别这里要注意啊，要同意，这里写，如果怕错，你给同时加 c， 这样写一下，好吧， ok， 一 二三搞定， 我们来看这个实操啊，实操看图手势这里是不是？ ok， 你 看到这个看图说话，你就看对了，他给了你啥？什么叫看图说话？你一定要看清楚，首先 开口有没有告诉你，是不是告诉你了，开口向上是不是 a 就 大于零了？开口上方 a 来判断，然后呢？是左同右异来判断，所以你首先得判断 a、 b、 c， 你 看这个 a 和 b 乘起来大零小，你是不是得判断 a 大 于零还是 b 小 于零还是什么？ a 和 b 的 什么指数方，你得搞定了。那你首先看 a 是 不是大于零的好， a 已经大于零了啊，那写一个啊， a 已经大于零了， a 大 于零好， ok， 那 你就看到 b 了，是不是左同右异啊？ b 是 靠什么呢？是左同右异，对称轴在什么 y 轴的什么右边。那右异喽，就说 a、 b 什么一号， a b 一 号的话，它乘积一定小于零，你就不用你看 a、 b 一 号，它大于零，所以 b 就 什么小于零。那一正一负乘积是不是肯定小于零呢？那它就正确啊。 ok， 这个，这个 b 平方，这个来， ok， 我 跟你说过噻， 这个，但他给了你不是这样，他给了你这个，那你又不会了吗？你别这样啊，你这样就感到很尴尬，对吧？你只会 b 平方减 c、 c 吗？这种，那就学死了把东西对吧？有东西学死了 对不对？你把它移过去就不行了吗？就是你想要的那把移过去， b 什么减 c、 c， 那 如果他要正确是大于零，那我想问这大不大于零？因为他有几个焦点，一个是不是两个焦点是不是等于零？肯定有两个不相等的，所以说两个不相等的焦点 对不对？所以说它就正确啊。变形你一定要学会，对吧？我给了你一个基础的模板，你是不是得会变形？就比如说我给了你 a 大， 你 a a 的 怎么求 b 怎么求 c 怎么判断它？那他问你 a 乘以 b 乘 c， 哦，结果你说老师没有总结，那就不会，那废了，那就学死了， 那就别学了好吧。 ok， 一定要学会。什么？要把这些学的东西呢？给它组合起来，你也要会，这是很简单的，主，又不是什么天大难事，对不对？好自省一下。这个啊，这是什么？ a 加 a 加 b 加二， c 小 于零，我是不是写错了？我们先看一下，正常情况下啊， a 加 b 加二， c 小 于零，这怎么做？我们正常来讲是不是 a 加 b 加 c 啊？小于零。我把，如果我想问，你看到它能不能写出 a 加 b 加 c 的 关系来， ok， 你 把 x 点一带进去，是不是最小值？最小值，最小值，你看啊，最小值带进去。 好，这样，那他你是可以把它拆成什么呢？ a 加 b 加 c 再加 c， 那 这部分不就是它的 x 等于一的数吗？ x 等于一带进去，带进去，是不是这里是小于零的？好，这部分是不是小于零的？我想问这部分已经小于零了， ok， c 是 不是小于零？你看 c 是 不是有外角的焦点，看到没？是不是小于零的？你再加个小于零的数，那数一定小于零了，说他是不是正确， 这也正确啊，所以有些人就看到，哎，我只会判断 a 加 b 加 c， 但我不会判断什么 a 加 b 加二， c 懵逼了，所以你就看到，哎，我只会判断 a 加 b 加二， c 二 c 懵逼了，所以你就看到，哎，我只会判断他能不能解决就可以了， 灵活一点啊。 ok， 这个有什么办法呢？ ok， 这是什么关系？是不是三 a 加 c 的 关系？我想问刚说的啊， a 和 b 的 关系，我可以靠什么对称轴？ a 和 c 的 关系我是不是可以靠一个？是伟大定律，还有一个什么消圆的形式，我知道一个值之后我把它消圆， 消音咒，就看能不能得到这个来，我实操一下啊，看这个，看这个，我要求这个喽，来， ok， 我 用第二个肯定不用维纳尼亚，因为这个点又不知道这个点，也不知道他这里写的是一。喽，为什么这里知道？你知道吗？你想维纳尼亚，你是不是这两个确定的数得告诉你， x 一 乘以 x 二得告诉你，然后你才能知道什么 a 分 之 c 啊，对不对？如果 x x 二都没有确定，告诉你得多少？你用这个没办法用 好不好？你只能用，只能用，只能用什么？第二个思维，然后再回头看一下，只能用这个思维对不对？看看图像有没有用这个思维对不对？看看图像，一下，看这个，你看， 然后呢？你看他是要求和谁的关系喽？我看，我看这里还能知道，你看没？这里一定有用。你看，这里写了个负一，我想问这里他如果这里没有用，他干嘛写个负一呢？他直接不写不好吗？所以写了就一定得注意了，他这里为什么不写一啊？他这里拼命给你写个负一。哦，你写他为什么不在这里给你写二，或者这里写二，他偏偏在这里写负一，所以一定要注意，他数学没有任何一个地方是多余的。好吧，那你给他负一，给他带进去， 负一给它带进去以后，你看它这个指数里面它就是负一，带进去它就跟那一负一的标是不是一样就 a 减 b 加 c， 我 想把负一带进去，是不是肯定大于零，所以说它就大于零，所以说我就能得到什么？ a 减 b 加 c， 要大于零， ok， 就 能得到这个，得到这个以后啊，得到这个以后，那我是不是得？我是求 a 和 c 的 关系啊？我想问这里面是不是多了个 b， 我 得消掉， 我是不是就能得到他？我怎么靠消？我靠吨轴去消是吧？吨轴等于什么？你看吨轴是不是等于这个？它等于一啊？就等于二 a 分 之负 b， 它是不是等于一？那二 a 分 之负 b 等于一，我是不是我要消 b 啊？我要消 b 时候，我得把 b 写成 b 等于什么形式？ ok， 然后呢？我把这边我这样子写完了，看得清楚，然后我就把它写成什么？两边两边同乘，二 a 就是 二 a 等于什么？然后带进去才能消，所以我就把它写成 b 等于什么呢？ b 等于负二 a， ok， b 等于负二 a， 我 是不是就可以带到这里面去 啊？ b 等于负二 a 看到哈 b 等于负二 a， 那 这里是 b 等于负二 a 是 不是就是 a 减括号负二 a 加 c 是 不是大于零？因为我这个一等于它肯定大于零，负一等于它等于是不是得到这个这个 a 减括号，这个括号是不是加上三 a 的 意思？那不是，这里不就是刚好是三 a 吗？ 这就是三 a 啊。那三 a 加 c 是 不是像三 a 加 c 大 于零，那我就能得到三 a 加 c 大 于零，我想问这是不是这么写的来？我想问是不是小于零了？他写的小于零了，那小于零是不是错了？ 所以他就错了？明白，就这样，就是你看着我讲这个题用了这么久，实际上你直接会了之后，你这就很快，就这个稍微麻烦一点点也不麻烦，最多 几十秒都不到十五秒就搞定了。明白为什么好？前提是你要有这个总结啊，对不对？我们看到 a 和 c 的 关系怎么样考虑的，但是这个的前提是你得知道 x、 e、 x 具体是多少，对不对？你不知道啊？不知道，你用这个就是这两个方法，稍微这三个啊，这是实际上这两个是一个方法咯，你就是属于是消 a 和消 b 的 关系哦， 然后就是实际上就是这两个思维稍微要难一点点，把它记住就可以了啊，记住你思考方法，记住就可以了。我们再看最后一个例题啊，最后一个例题看这里，他说如图所示啊，这个啊，这是个二三数， ok， 看到这里你就明白了这里是什么 非， ok， 你 如果说想要把它补全，你一定有这种概念了，他告诉你对准头是告诉你，这边是让这边也告诉你了啊，这边你看二那二对过来，这里是二号一，有几个单位， 是不是一个单位？那你转过来这里是不是就相当于他的对乘，然后这里负一是不是相对这个三三的意思？那所以说你这个焦点的时候是不是应该在这里啊？是不是相当于零和三啊？不是，不是三哦，这是负一哦，就零和负一，就你这个焦点过来是不是应该零和负一之间，就这意思啊？这意思啊？ ok， 然后我们看题啊，看他说他过了个点呢，过这里，然后他说焦点 a 在 这个之间，那你对称过来， 把它对称过来以后，我把它补全一下啊，补全一下，因为二对应的是不是零？然后呢？你这个三是不是对应负一，三是不是和这里没交的？那负一是不是在这里？所以说你这个对称过来讲，这个是 b 点，那 b 一定在零和负一之间，明白没啊？要学会这种对应关系啊。啊，对称，用对称性来把这个图形给它补全， 一定有用啊，你别，你不用怕没有用啊，不用怕做无用功啊。 ok， 补全之后你看这好，这个很简单的吧，对吧？你看到 a 用开口，方向用 b 用左同右，我又不讲了，嗓子讲哑了， a 和 b 的 关系， a 和 b 关系，先考虑什么？作为伟大的不是对称轴对吧？对对对，啥？二 a 分 之啥？负 b， 你 看这幅图已经告诉你了，二 a 分 之负 b 等于啥？一，然后你看把它乘过来就负 b 等于啥？二 a， 这本 b 移过去的就二 a 加 b 是 不是等于零， 你看是不是正确的？ ok， 这个三就是哇，这个格式有点问题啊，三 a 加 c， 又遇到三 a 加 c 了，刚怎么解决啊？是不是先把这个什么，你看他这是啥？这是负一啊，这是负一，你带进去它是不是小于零啊？ 有没有这时候你就考虑了，所以说为什么要把它补全，就这意思，你要用到这个负一，但有些人会考虑我把这个二代函数能不能解决这个事情。我想一个问题啊，你把二代函数乘个零四， a 加二， b 加 c， 二代函数是不是应该大于零？你说我靠这种去解的话，你看能不能尝试这个二 a 分 之负 b， 你 看是不是得到这个了？他说 b 应该等于什么？ b 应该等于负二 a， b 等于负二 a， 你 把 b 等于负二 a， 你 能，你能搞定这个事情不？ b 零负二 a 给他带进去，这负 a 就 没了，你看没乘进去，这是不是等于高点？负四 a， 负四 a 是 不是没了？你这个事情能搞定这个事情吗？就搞定这个事情，有些人搞定之后你就放弃了，别放弃了，你带三次，那你把对冲过来带个负一看行不行？淡定。我我觉得哈， 你把这个对称补全，你先优先带这个。为什么？因为这个是隐藏条件把球拽的，对不对？哦？带进去他，然后你再通过这个呢？再通过这个对称轴去消，消什么？消 b 啊？消 b 是 不是能得到一些谁的关系了？好吧。 ok， 好， 这个我刚刚讲过了就不讲了，讲过了就不讲了，自己没有听明白的，回过头去听，嗓子哑了不能讲了。 然后，然后他说当负一，负一在哪里？你一定要通过负一啊，就你一定要通过这个对称轴把它给我搞出来， 一定就是你记住一个声音，以后你遇到这些事情，他给了你一个对称轴，然后给了你画了一半的图像，甚至反正就没有，没有全部画完了，你一定要有惯性思维把它给我补全，没有补全，通过这种对称性找到，找到这个二的对称点，然后找到这个三的对称点，然后焦点是不是在二和三之间，一定要学会这种思维啊？ 好，他说负一和三，负一在这里嘛，负一到三是不是，负一到三是不是包含了这部分图像对不对？这部分图像到时候他的 y 大 于零，你看这个图像的 y 大 于零吗？他一定大于零吗？ 我就不说多的啊，我就不说多的，你就把三三小一点点的这里带进来，他是不是小于零啊？你不用看这边都可以。你说你只要画，把图画出来之后他已经大于零吗？啊？不扯啊，那就错了。好，这题我就不不多说了啊，不多说， ok？ 回过头来，其实这个很重要啊，其实这个真的很重要，就是大家如果有耐心听完的啊，自己去拿一个什么呢？拿一个划思维导出一样的东西，把 a、 b、 c 怎么去判断的写出来， a 和 c 的 关系怎么判断？ a 和 b 的 关系怎么判断？ c 和 b 的 关系怎么判断 加减关系啊？我说是啊，不是乘除关系，乘除关系它就判断了，对不对？然后什么 a 加 b 加 c 关系怎么判断？什么二 a 四 a 加二 b 加 c 关系怎么判断？ 然后呢？对于任意的 m， 他 给你多加了个参数，然后关于 abm 的 这种不等式问你成立就是第四种了，就最后一种，不是第九种，怎么去判断？你把这个用自己的思维导图去画一下，才能够把它变成你的东西，我讲的永远都是我的，好吧，我讲的永远都是我的，你只有把它吸收消化了之后， 你下次说白了，你就拿着我这个东西，你去练，你去多练习几套这种序号行吗？你如果说你的正确率没有提升，你就来找我好不好？你来找我， ok， 拿着我，你先不用背这个，你就拿着我这个去告实验。一样的， 你去拿着多做几道数学题。数学题是不是很多拿着学校的试卷题去做啊，你一定有用的。没有用你来找我好不好？ ok 啊，感谢大家能够耐心听完啊，今天是我们第十四天喽，其实坚持到现在我觉得我也是挺厉害的，每天都讲啊。 ok， 感谢大家啊，今天讲到这里。

同学们大家好，今天呢，我们就来复习二次函数图像与性质。首先呢，我们看一下基本的内容，花个一到两分钟。 对称轴对于 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 它的对称轴就是 x 等于二， a 分 之 b 负的，那对于 y 等于 a 倍的 x 减 h 方加上个 k， 它的对称轴就是 x 就 等于 h。 零点的话， 第一个 y 等于 a， s 方加 b， x 加 c， 它的顶点就是个负的二 a 分 之 b 四 a c 减 b 方，比上个四 a， 那 对于顶点式，它就是一个 h。 ok， 开口方向，当 a 大 于零时，开口向上，当 a 小 于零时，开口向下平移，就是上加下减，左加右减。 另外还有一个 delta， delta 是 二次函数 y 等于 a， a x 方加上 b， x 加 c 与 x 轴交点的情况。 当 there 大 于零时，它与 x 轴就有两个公共点。当 there 等于零时，就有一个公共点。当 there 小 于零时，就没有公共点。 there 是 什么？ there 是 四， a c 减 b 平方。反过来啊， b 平方减四 a c。 来，我们看一道例题，给出来一个抛物线， a 小 于零，开口向下， b 大 于零。当 a， b、 c 都给出来的时候，让我们求顶点 p 的 坐标。第一问很简单啦，那就是把 a 等于负一， b 等于二， c 等于三，代入进来， y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 就 得到了一个 y 就 等于负， x 方加二， x 加三。那整理一下， 得负 x 方。我们下面就在研淘纸上面写啊，负 x 方加二， x 减二 x， 把这个符号提出来，怎么给它配平呢？你看到二 x， 你 就给它配平了，加上个一 减一，再加一加三，那就是加四，所以它就等于 y 等于负的 x 减一的方加上四，所以顶点 p 的 坐标，它就是个一，四就结束了。第一问，这几分一定要拿住了送分题 来。第二问，点 a 和点 b 是 抛物线与 x 轴的两个交点， c 是 与 y 轴的交点。从这一句话中，我们就能够把这个负一带进来，得到一个关系式，就是个零等于个 a 减 b 加 c， 点 c 的 坐标就是个零。 c 来第二问，不是第二问。第一题，当 a 等于负二时，若点 d 在 抛物线上角， c、 a、 d 等于九十度， ac 等于 a， d 让我们求点 a 的 坐标， 这就是竖形结合体。那怎么去画抛物线呢？不会画画出来呢？ c、 a、 d 它也不等于九十度呀，但是我们可以倒着画呀，我们可以倒着画的啊，来，我先把这个 给它去掉。怎么来倒着画呢？我们知道这个 c、 a、 d 等于多少呀？首先， a 点坐标我们是知道的吧，假如说 a 点在这， c 点在哪？ c 点在 y 轴上， y 轴可能在这啊，假如说它在这 d 点，那它就在第四象限了。 那 y 轴交点， c 点为什么是在上方呢？因为这呀， a 是 等于负二的话，你把它带进来之后， 来先先算这吧。把 a 等于负二带进来，负二，负 b 加 c 等于个零， c 减 b 等于个二， b 是 大于零的， c 也是大于零， c、 b 必须得大于二，它减去一个整数才能等于二。所以说 c 点是在上方的， c 点在上方，那么 d 点它就肯定是在第四象限。 那我们怎么来画一个直角三角形？让 c、 a、 d 等于九十度， ac 等于 ad， 你 就随便画吧。 如果说在这，那你就再画一个直角在这， c 点在这， d 点在这，你不用管我的 x 轴在哪， y 轴在哪，你就先这样给它画上来。抛物线咱是不用画的啊，不用画抛物线，你就用到哪个点就画哪个点就行了。好，现在 这是我们画出来的坐标。抛物线先不要画啊， a 点在这儿， c 点在这儿， d 点在这儿，我把多余的给它去掉，免得大家看混了。 好，他说 c， a， d 等于九十度， a， c 还等于 a、 d， 你 这打眼一看直角，那就直接垂直呀， 作轴呀。 a， b， c， d， b 在 哪？ b， 它用了我们这画 e 的 话，这里是个 o 来三角形， c， o， a 全等于三角形， a， d， a， e， d 这个自己去正啊正，它用的是 a， s， a， ac 等 ac， 知道吧？ a， c 等于 a， c， a， c 等于 a、 d， 然后呢，这个角加这个角等于九十度，这俩角等于九十度，所以这个角就等于这个角，这俩角相等了，这个角这俩角相等，这俩角也相等。自己去正啊正完了之后，我们从这是不是还得出来一个 c 减 b 等于二， c 是 不是等于个 b 加二？ 所以 c 点的坐标就是零， b 加二， e 点的坐标是多少呢？ e 点的坐标是这啊，这就是 b 加二呀， b 加二，这里还有一个一呢，所以这就是 b 加二，再减去个一，这里就是一个 b 加一，那这是多少呀？这是负一呀，这等于这，这是负一。 d 点的坐标，这不就有了吗？那没求出来，没求出来你就往这带嘛，往这里带。把 a 等于负二带，带到这里面就是个 y 等于负二， x 方加上 b， x 再加上个 c， c 等于啥？ c 等于 b 加二，然后把 b 加一和负一带进来。 y 负一就等于个负二，乘以个 b 加一的平方，加上个 b， 乘以 b 加一，再加上个 b 加二，等于负一。 解方程解出来之后，这个 b 一 是等于个负一加上个根号二， b 二是等于负一负的根号二，这个舍去， 为啥舍去？这里 b 大 于零，所以我们点 d 的 坐标就是一个根号二负一，这还有个加一的啊，不要忘了啊，不要算出来，咔，就写着了，那就没分了啊。第二问也是大家能够拿到分数的一道题啊。第二问也不难，第三问就难了， 也是第二问的第二小问，他是给出来一个角，这里 也是，我们不用画抛物线，我们就直接画三角形就行了。我们知道 a 在 这， b 在 这，大致方向， c 在 这，以 a， c 为边， a， b， c， c 在 上方啊， a， c 为边的平行四边形， a， c， e， f， f 在 对称轴 l 上， c， e 加上 c， f 取得最小值。当看到这种的时候，那肯定是它俩能够在一条直线上的时候能够取得最小值。当看到这种的时候，那我们就讲一下思路，我们就不讲具体方法了啊， 这题比较难来， c， a， b 等于二倍的 a， b， c， 所以 这个 c 要足够的高，而且离 a 足够的近，比如说它在这，那你要画一个角，是它的二分之一啊，大概就是这么多，你就往这画，可劲往这边跑， 其实这个角也不一定就等于十二倍啊，大概就是这样子。 b 在 这， c 在 这， c 还是啥呢？ c 还是与 y 轴的交点呢？题目里面给了点 c 为抛物线与 y 轴的交点，所以我们这个轴就画好了， 这里是 x， 这里是 y， 你 画好这个 x 轴之后，你 a 在 这， c 在 这， e 在 哪呀？ e 你 就随便点 e 如果在这的话，那你 f 就是 在这了， f 大 概就在这了。 哎，换一个颜色的笔，让我们求 c e 加上 c f， 这个有点细。 c b 加上 c f 这一对，加上这一对，这不是三角形吗？三角形啥时候最短？ c e 加上 c f， 哦，加上这一对， 就是当这个 c 在 这个 e f 上的时候呀，在这个 b c 上，就在这的时候最短。为啥？这个后面我们再讲 来，取到这的时候，那还没办法求呀，那你就只能去构造三角形。为什么我说这道题呢？这道题它 a c 在 这，我们要给它构造一个往这，因为你要求 b 呀， b 在 这里 构造出来这样一个三角形， ga 等于 c a， 这样的话来，我们 m 就 能够用 c 来表示出来了， m 就 等于一加 c 的 方，再加一，这个要自己下去慢慢琢磨啊。所以呢， c 方它就等于 m 方，减去二 m a 和 b 啊，它还是关于这个 f 对 称的，你看这个图画的就不是很标准。 af 就 等于个 c e c e 来写上吧，大家如果能看到这的话，大家就下去琢磨一下啊。 af 等于 c e， 然后呢，所以 c e 它就等于 b f c e e 加上 c f， 它就等于个 b f 加上 c f， 它是大于等于 bc 的 啊， 它是大于等于 bc 的。 当点 f 在 线段 bc 上的时候，就在这在这上面的时候， c f 加 ce 就 取得了最小值，也就是说，当 bc 等于二倍根号六的时候， 这个就是它的最小值。 r t 三角形 o b c o b 方 加上 o c 方等于 bc 方，哎，也就是说 m 方加上 c 方等于二十四。然后再回代该解的解，该舍的舍，求出来一个啥，求出来一个 bc 的 解析式。 l bc， 它就等于 y 等于负的二分之根号二， x 加上个二倍根号二， 然后你再就是再设 f 的 点，然后代，然后解，解出来这个 f 的 坐标是个多少来着？ f 的 坐标是个二分之三，四分之五倍的根号二。那你有 f 的 a 跟 f 怎么平移的？那你就 c 跟 e 就 平移一遍， 最终点 e 的 坐标就是个二分之五，四分之十三倍的根号二。这一问是比较难的，大家理解就做，不理解在考场上该放弃的时候就放弃。嗯，接下来这道练习题呢，大家做一做吧。啊，今天就到此结束了，时间还有点久。

我是数学学科张丽老师，最后这段时间具体做好以下三点，第一，立足基础，科学取舍，牢牢守住基础级、中档级的核心分值。每天坚持四十五分钟规范训练，熟练运用特值法、树形结合等技巧，提高解题效率。 遇到思路卡壳的题目果断跳过，严格遵循先易后难的答题顺序。第二，规范作答，按部得分。大题即使结果有误，只要完整写出核心公式，关键步骤仍可获得相应分数。 定域要常考虑，分类讨论要全面，概率事件表述要规范。第三，精研错题，稳住心态。 要保持好自己的节奏，以平稳心态迎接冲刺。最后，叮嘱大家考前远离偏题、外题， 重点攻克三角函数、数列立体几何解析、几何概率函数与导数等高频考点。愿大家在二零二六年六月的考场上，画出最美丽的函数图像，答出最亮眼的人生答案！加油！

今天我们一起来学习中考数学中比较喜欢考察的二次函数的图像与它的系数 a、 b、 c 之间关系的题型。已知二次函数 y 等于 a， x 方加上二， a 减三倍的 x 加上 a 减一， 那这时候我告诉你了 x 的 自变量，那说明 a 就是 那个参数，它的图像经过一二四象限，则 a 的 取之范围。其实这类型的话，咱们还是要尝试画图的。一个二次函数，它过一二四象限，那这是一，这是二， 这是三，这是四，就只能过这三个象限，而且还是必须过这三个象限。那我们先看一下开口方向，开口如果向下的话，开口如果向下的话，你无论怎么画怎么画，他都得经过三四象限，他不可能不经过这两个象限，所以一定是开口向上。 开口向上的话，我发现，哎，你要想经过第四象限的话，他其实一定是要与 x 轴有交点，他如果与 x 轴没交点，就只能经过一二， 与 x 轴有交点。并且还有一点，它与 y 轴的交点不能低于原点，低于原点的话，你这么画，它就过一二三四相像。 大体一看，我就发现这个图像它只能这么画呀，那只有这么画的时候，是不是才能过一二四相像？这时候我们就观察了根据这个二次函数和系数 abc 它们之间的联系的话，第一步因为它与 x 轴有两个交点，说明它的 d 它是不是减去四倍的 a 倍的 a 减一，它肯定得大于零， 这里面有一个焦点也不行，因为有一个焦点的话，它还是。不过第四象限必须要有两个焦点，那就是但是它大于零，这是第一个，第二个的话，那开口方向也有了，那 a 肯定大于零。第三个你会发现它有外流的焦点，必须也大。 您说 a 减一，它也在大，那我们就是解一下这个不等式就行。上面这个我们先化简一下，四 a 方减去十二， a 加九减去四 a 方加上四， a 大 于零，这四 a 方就没有了，那就负八， a 加九大于零，那我们就写在这 八 a 加九等于零，减这个不等式组了，行吗？那这是 a 大 于零，这个解出来 a 大 于一，这个解出来是 a 小 于八分之九，哎，那综合起来是不是得到 a 大 于一，小于八分之九？还有一个问题就是它等于一的时候算不算等于一的时候？也可以，因为你发现，哎，它等于一，比如说它过了原点啊， 过了原点的话，他也是过了一二四项线，这个地方他可以等于一，那就是大于等于零，大于等于一小于八分之九就可以了。有时候我们算完取值范围以后，一定要观察一下它的边界值能不能取，因为有些边界值能取，有些边界值不能取。 你看这个地方边界值肯定不能取了，因为等于零的时候有一个焦点，他是不过第四项线，所以说这边能取，等这边不能取的，那就选 a。 有 什么问题了，在评论区给我留言。

同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边的选择题，非常的有创意，也非常的有深意。同学们啊，观察已知条件，已知一个二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 给了这个二次函数的三组对应值，下边列出一个表格， x， y 的 对应值有三组，根据这三组对应值，就让我们求一下这一大长串柿子的值是多少？四个选项，这四个选项。 那么观察题目里面这一大长串柿子跟下面的这三组提供的数据有什么联系，看上去非常的庞大。这一串柿子啊，实际上你仔细观察它是非常有规律的。 那么出现这种列表格的问题，同学们，我经常强调的一句话就是，在二次函数里边出现列表格的问题，你的第一反应就是要去找纵坐标相同的两个点，纵坐标相同的两个点， 纵坐标相同的两个点，把它的横坐标加起来除以二，我们就能找到这个二次函数的对称轴， 所以说这个二次函数的对称轴，一定是直线 x 等于三，一定是直线 x 等于三。那么再来看括号里边这一大长串式等于啥？ 这么一大长串式子，很显然这是我们一元二次方程的求根啊公式，显然这是一个根，这又是一个根，一个负 b 加根号下答案它，一个负 b 减根号下答案它。所以说实际上这个括号里边就变成什么题呢？其实就是让我们来求这个式子的值， a 加 b 加 c， 乘以括号里的 x 一 加 x 二的值是多少，转化一下，其实就是这个样子， 那 x 一 加 x 二显然就是两根之合，那么怎么求两根之合呢？咱们再来看。那么如果我把这两个根的写成抛物线与 x 轴的两个交点坐标的话，你再观察实际上 x 一 x 二就是抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标， 我让他等于零，那这里边 x 一 x 二就是他的两个根。那同学再来看 x 一 x 二，他们俩的纵坐标相同不相同呢？ 显然他们俩的纵坐标也是相同的，他俩的纵坐标加起来除以二是对称轴，那显然他俩的纵坐标也相同，所以 x 一 和 x 二加起来除以二，他也是咱们求来这个对称轴啊。三了， 所以 x 一 加 x 二就等于六了呗。显然这一部分咱们出来了等于六。 接下来再来求 a 加 b 加 c 等于多少？再观察这个二次函数解析式，同学们，二次函数解析式 x 取几的时候，那个 y 会等于 a 加 b 加 c 啊。仔细观察，在这个解析式里边 x 取几，这是咱们经常用的一个知识点，显然是 x 等于一的时候， y 就 等于它了。也就是说，让我们来求的其实就是 x 一 的时候，对应的那个 y 是 多少。 那么这个表上还给了一组数值，五和三。同学们，你再观察一和五加起来除以二，是不是也是咱们这个对称轴三？ 一加五除以二正好也等于对称轴三，这就说明一和五的纵坐标它也是相同的。 那么纵坐标相同的两个点横坐标加起来除以二是对称轴。反过来，如果两个点的横坐标加起来除以二是对称轴，那也说明这两个点的纵坐标是相同的。所以说一 x 等于一的时候，对应的 y 是 啊，三了， 哎，这个是三，这个是六，所以他们的 g 就是 三六啊，一十八，所以这个题选择 a， 希望这个题能够帮到大家。

同学们好，今天继续给大家分享中考题里边的填空选择题的压轴题，这是一个二次函数的符号判断的压轴题。首先观察已知条件，同学们，已知一个二次函数 二次项系数 a 不 等于零，顶点坐标告诉我们是负一， n， 那 顶点的横坐标是已知的，那也就是告诉了我们这个二次函数的对称轴是直线 x 等于负一，而且还经过一个点一零与 x 轴的一个交点一零， 其中 c 的 取值范围是大于三小于四。给我们下边四个结论啊，三个结论，让我们来判断这三个结论里面正确的有几个。实际上这个题是有五个结论的。同学们啊，那两个比较简单的，我给他剔除了，我们主要来讲这三个难度稍微大一点的， 那么看这个顶点坐标。同学们，那么我们可以知道它的对称轴是直线 x 等于负一。那么咱们之前也讲过，知道对称轴是 x 等于负 负一的话，那其实就是在告诉我们 a 与 b 的 数量关系，那也就是负的二 a 分 之 b 等于负一。 整理的话，同学们， b 就 等于二 a 了，左右两边都乘以负一，二， a 分 之 b 就 等于一了，其分母 b 等于二 a， 这是我们首先要把握的一点， b 等于二 a 告诉你对称轴，就是在告诉你 ab 的 数量关系，这是其一。 其二，那么它还经过一个点，一零与 x 轴的一个焦点是一零。同学们，那根据对称轴，我们就可以求抛物线与 x 轴的另一个焦点， 另一个焦点横坐标。我们设为 x 一 的话，那 x 一 加一除以二，就应该是我们这个对称轴啊，负一了，也就是说一个是负一零， 一个焦点坐标是一零，另一个我设成 x 一 零，纵坐标相同的两个点，把横坐标加起来除以二，就是我们的对称轴负一了，所以这次我们就可以求得 x 一 加一等于负二，所以 x 一 等于的是负三。 那么也就是说这个二次函数与 x 轴的另一个焦点坐标也出来了，一个是一零，那另一个就是负三零了， 负三零，那我们现在能读取的这个有用的知识点就是对称轴是直线， x 等于负一与 x 轴的两个焦点出现了。还知道一个 c 大 于三小于四， 那么咱先来看第一个同第一个题目，同学们啊，第一个题目关于 x 的 这个一二次方程有两个不相等的时候根， 那显然你要解决这个问题，那肯定就得看二次函数图像了，直接解方程你是肯定解不出来， abc 还有 n 你 都不知道，所以说这种问题一定是借助于函数图像的草图来解决这个问题。那刚咱们求的这些东西给你们，就是来帮助我们画这个二次函数的草图的。那接下来咱们看一下这个二次函数的草图是什么的啊？ 这个 b 是 等于二， a 的 与 x 的 两个焦点坐标是一致的，而且对称轴是直线， x 等于负一，咱们来画一下它的草图，看一看是个什么样子的啊？ 这是 y 轴，这是 x 轴，一个一零，还有一个对称轴是负一 负二与 x 轴的另一个焦点是负三零，而且 c 呢，是大于三小于四的，也就是说这个抛物线与 y 轴的正半轴啊相交，对称轴是直线， x 等于负一。那同学们，据此你判断一下这个抛物线开口向上还是开口啊？向下 开口向哪能识别出来吗？与 c 的 正半，这个与 y 轴的正半轴相交，经过负三，还有一这两点，而且与 y 轴的正半轴啊相交，显然这个抛物线它应该是一个开口啊。向下的。同学们啊，它是一个开口向下的， 那如果开口向上的话，他是这个样子的，那个 c 肯定是个负的了。所以说既然他的 c 是 正能量，那肯定是开口向下，所以说这个抛物线的草图大体上就是一个这个样子的。 你如果换成开口向上的话，那个 c 要经过负三一这两个点，那个 c 必定是一个负的，不可能大于三也小于四。所以说根据这些点我们就能看出这个二次函数图像大体上这个样子，而且这个顶点的纵坐标， 这个 b 等于二， a 等于八，咱们推出来了这个顶点的纵坐标，顶点的纵坐标 这里是 n， 这是 y 轴，这是 n。 哎，顶点的纵轴便是 n， 那 注意观察这个一元二次方程， 咱们给它整理一下，就是 a， x 方加 b， x 加 c， 等于一下这边就变成了 n 减一了，负 a 移过来变成正 a， 正 a 移过来变成负一。 那也就是说，让我们来求一下 y 等于 n 减一的时候，这个二次函数这个一二次方程的根的情况。那首先我来问大家这个问题。同学们啊，如果我让 y 等于 n 的 话， y 要等于 n 的 话，也就等于顶点纵坐标的话，如果让它等于 n， 咱们能找到几个这样的 x 啊？ 显然只能找到一个，这就说明，如果他等于 n 的 话。同学们，那这个一二次方程是有两个相等的实数根，一二次方程绝对不会有一个根。同学们啊，他有的话一定是有两个， 那么如果 y 等于 n 的 话，这个时候这个一二次方程有两个相等的实数根，那就是 x 一 等于 x 二等于负一了，那我要给他减掉一个一呢？ 减掉一个一，那就是在 n 的 基础上向下平移了一个单位长度啊，这个时候我们能找到几个 x？ 同学们，观察， 显然这个时候在这个 y， 在 这个抛物线上产生这样的两个焦点啊，往下平一个单位长度，所以说这个时候他会有两个不相等的实数根啊，所以说这个答案是正确的，那这是 n 减一，那如果我改成 n 加一呢？同学们， 我改成 n 加一，那这个一二次方程它的实数根的情况又是怎么样的呢？要是 n 加一，那肯定就在 n 的 基础上向上平移一个单位长度啊，这个时候与抛物线根本就没有交点，所以说我们也找不到那样的 x， 所以 说 y 等于 n 加一的时候，没有 x 是 这个方程的根，所以说 n 加一的时候，它就没有实数根了。也就说以 n 大 的时候，最大的那个 y， 那 肯定找不着 x， 那大于 n 的 时候它就没有实数根，小于 n 的 时候，它就有不相等的实数根。那大于 n 的 时候，写着就有两个相等的实数根了。这是根据二次函数图像判断方程根的情况，第一个是正确的，对吧？啊？再来看第二个，再来看第二个， 第二个，这个找的是一个 a 的 取值范围呢，对吧？它给的是 c 的 取值范围， 所以说你要把这里的这个 c 要是给它等量代换成一个含 a 的 代数式，那么这个 a 的 其实范围不就找着了吗？ 那么怎么去等量代换啊？那肯定咱要用的刚才这个 b 等于二 a 了， b 等于二 a。 那 再来看这同学们，这里还有一个 x 轴的两个焦点，一个负一零，一个三零，咱把负一个正一零，一个负三零，咱把一零给它带进去， 一零带到这个解析式里边出来的就是 a 啊，加 b 加 c 等于零了， 我们把 b 给它等量代换成二 a， 那 这就变成三 a 加 c 等于零了，所以这个 c 等于的就是负三 a 了，这个 c 等于的就是负三 a 了。那也就是说我们在这里找的是一个 a 和 c 的 数量关系，把 b 换成二 a 等于八，这就变成三 a 加 c 了，那个粉笔不好使，写不了字，所以说 c 等于的是负三 a， 那 我们就找到 c 和 a 的 数量关系了。也就你得想办法把这个 c 等量代换成一个含 a 的 代数式。 怎么等待的话，你可以把一零带进去，也可以把负三零带进去，都可以啊，负三零带进去数字比较大，所以我带的是啊一零，然后把里边的 b 给它等量代换成二 a 就 可以了。 c 等于负三 a 了。同学们，那你就可以把这里的 c 换成负三 a， 那 就是负三 a 啊，大于三小于四了，然后在它的左右两边都除以一个负三，三除以负三，这就是负一 负三， a 除以负三，那就是 a 了。四除以负三，那就是负的三分之四左右两边同时除以负数不等号的方向要改变，所以 a 大 于负三分之四小于负一， a 大 于负三分之四小于负一，这个也是正确的。 这就是找这个 b 和 a 的 数量关系有什么用？朋友们，它往往就是用它来等量代换的， 往往就是用它来等量代换的。你也可以找到 a 等于二分之一 b， 那 么你也可以把 a 等量代换成二分之一 b。 就 看咱们这个关系式里边你需要保留谁了。显然这里我们要找的是 c 和 a 的 代数式，我们就得把 b 给它等量代换掉了，哎，把 b 等量代换成二 a， 那 么怎么找 c a 的 关系式？哎，通过它俩都能找到。同学们啊，这是第二个，咱们再来看第三个，这才是观点啊，第三个才是有难点的。同学们啊！第三个， 对于任意实数 t 总有下边这个式子成立，总有下边这个式子成立。那观察下边这个式子。同学们，观察下边这个式子啊， 非常的看上去不知道这个从何入手，没有头绪的样子，你要让老师看，老师也看不出来这是啥玩意啊。 那么当你观察不出什么特点来的时候，你要给它展开。同学们啊，展开，展开，再来看，咱把 t 加一跟这个 a t 减 a 加 b 给它乘出来， t 乘以 a t， 那 就是 a t 方减 a t 再加上一个 b t e 乘过来，那就是加上一个 a t 再减 a 再加 b。 哎，其实就让我们来判的是这一串式子， 合并同类项，对吧？合并同类项，那就是 a t 方，这里啊，有负 a t， 这里有正 a t 就 消掉了，然后还剩剩下一个，加 b t， 然后啊，加 b t， 哎，咱就要这俩啊，咱们就要这俩，因为对于任意实数 t， 这就是 a t 方加 b t。 剩下的那两题呢？我给它移向啊，给它移到这边来， 那就是小于等于 a 减 b 了，我把负 a 移这边来，正 b 移这边来，它就变号了。那观察这个式子，你再看这个时候有没有思路啊， a t 方加 b t， 那 怎么才能出 a t 方加 b t 这个代数式啊？ 显然我们就得把 t 给他带到函数关系式里边去。那再看一看，当 x 等于 t 的 时候， y 等于的，就是啊， a t 方加上一个 b t 再加 c 了。 要想出 a 减 b， 那 么把谁带到这个式里边会出 a 减 b？ 同学们，显然是啊，把。 当 x 等于负一的时候，当 x 等于负一的时候， y 等于的，就是 a 减 b 加 c 了。当 x 等于负一的时候，同学们，观察这个 y 等于的，这是什么呀？显然是这个二次函数的最大值。哎，这个时候就是 y 的 最大值啊。同学们，这是 y 的 最大值， 那显然就是这个 a 减 b 加 c， 他 肯定是最大的呀，他肯定大于那个 at 方加 b t。 往这边写吧， a 减 b 加 c 肯定大于 a t 方加 b t 啊，再加上这个 c 啊，同学们，再加上这个 c， 那 么这个时候他说 t 取的是任意式数，那 t 能不能取一呢？同学们，显然 t 也是啊，取负一 t 能不能取负一啊？ t 也可，也是可以取负一的，那如果要取负一的话，他俩肯定就相等了，取负一的时候，他是最大值，他也是最大值，所以他俩就相等了。那观察这个是同学们， 左右两边我们都减掉一个 c， 左右两边都减掉一个 c， 就 变成了 a， 减 b 大 于等于 a， t 方加 b， t 就 变成它了。实际上这还是之前咱们讲的那种含 m 的 代数式，有的时候加上这个条件是 t 不 等于负一，哎，不加这个条件，这里就不能加等号， 那如果加了这个不加这个条件，这里能加等号。加上这个 t 不 等于负一，这里就不能加等号。其实就是考察顶点坐标的一个问题。同学们啊，哎，把这个式子展开整理， 整理之后代替的都留到这边，不代替的都移到这边来。其实这就是 x 等于负一的时候， y 的 最大值，这就是 x 等于 t 的 时候，它的任意值，最大值肯定比这个任意值要大，或者说和它相等， 哎，这就是二次函数符号判断里边的一个综合性的题目，希望这个题目能够帮到大家。

昨天说了，从今天开始，每天一个中考考点，今天第一个二次函数的图像与性质，必考，易错，分值高，选择题、填空题都有它。第一步，看开口方向， a 大 于零，开口方向向上， a 小 于零，开口方向向下。第二步，找对称轴， x 等于负二分之 b， 离对称轴越近，函数值越极端。第三步，求顶点坐标， 顶点的横坐标就是对称轴重坐标，带入公式直接可以使用。第四步看与外轴交点， x 等于零时， y 等于 c， 所以 c 就是 图像与外轴的交点坐标。 核心考点往往就这四个，开口对准轴、顶点、焦点。把这张图画在脑子里，二次函数的题至少拿下一半。今天的考点讲完了，明天我们讲解二次函数与一元二次方程的关系。

hello， 同学们来看这道题，这道题直接给我了我们一个二次函数， 还给我们建立了直角坐标系，但是这些都不重要，它不影响我们任何的做题，因为这是一道互不规模型的题目，我们从解析几何的角度去分析它， 解析几何最重要的一个点是什么，就是他问我们什么，我们就去求什么，从题目出发去解析，所以我们直接看题目，让我们求二分之一 pb 加 pd 的 最小值，那么我们就把它表示出来就好了，对不对？ 二分之一 pb， 那 pb 是 多少呢？这里题目中的点 b 的 坐标是零负根号三，那么点 b 的 坐标是零负根号三， o b 的 长度就等于根号三，那么我们的 p b 就是 o b 加 o p， 那 么 o p 究竟是多长呢？ o p 是 一个动点，我们不知道它具体有多长，那既然我们不知道它具体有多长，我们就直接把它设为一个未知数就行了，是不是很有道理？ 不知道它有多长，它在动，那我们直接把它设为一个未知数就行了。我们不用具体去管它到底有多少，我们就设它为未知数，你就不知道，去吧。我们接下来进行我们的下一步，不管这个点 p 了， 因为我们已经把 p b 的 长度处理完了，很显然 p b 的 长度就是我们设的 x， 再加上根号三。 接下来我们做题还是那句话，从来不卡思路，没有那么多花里胡哨的，问我们什么，我们就去解决什么，现在已经解决了 p b， 下一步很显然就解决 p d 了。那么既然这是一个平面直角坐标系，我们如何去表示 p d 的 长度呢？ 可以用两点间的距离公式，也就是我们的勾股定律。两点间的距离公式本质就是勾股定律。那么用两点的距离公式知道了点 p， 还要知道点 d 的 坐标，才可以 用距离公式表示 p d 的 长度。那么点 d 的 坐标是什么呢？点 d 在 这个二次函数的对称轴上， a、 c 是 二次函数与 x 的 两个交点，那么点 d 不 就是 a、 c 的 中点吗？对不对？对称轴，对称轴嘛，它肯定是在最中间的， 那么我们把 a、 c 的 坐标，两个坐标横坐标一加再除以二，就是点 d 的 横坐标了，它的纵坐标就是零，因为它在 x 坐标轴上。好了，现在点 d 的 坐标我们知道了，点 p 的 坐标我们也知道了， 那我们现在就直接用两点间的距离公式把这个 p d 的 长度给表示出来。好的，那接下来 p b 我 们也知道了， p d 我 们也知道了，那我们直接把题目让我们求的二分之一 p b 加 p d 表示出来就可以了。 题做到现在，我们仅仅只干了一件理所应当的事情，那就是他问我们什么，我们就去表示什么。好了， 现在把这个式子写出来了，我们就只用处理这个式子，这道题目相当于已经完结了，我们已经把这道题做完了，现在剩下的就是处理这个式子，我们怎么处理呢？为了简洁美观，我们现在 把二分之一 pb 加 pd 的 值，用 t 字母 t 来表示。从现在开始，我往后做的所有计算中的字母 t 都代表二分之一 pb 加 pd 的 值， 为的就是简洁、美观、优雅。那么我们现在来看这个柿子，很显然这柿子里面有这么大一个根号，那为了我们方便计算，我们需要进行去根号， 大家可以理解吧？因为带着根号我们没有办法进行计算，所以我们下一步理所当然的顺水推舟的我们把根号给去掉 处理代数式我们去根号的手段是什么？那就是给这个式子两边都开平方，这样子根号就会被去掉了，因为一个根号开平方，那么他就等于原本根号里面的那个式子，对不对？ 但是要注意了，在开根号之前，我们要确保这个代根号的项是一个单项式，也就是这个根号单独成为一项。 在这个式子里，我们就是要把这个二分之一倍的 x 加根号三移到等式的右边去，从等式的左边给他移到右边去，这样子这个带大根号的式子他就是一个单向式了，等会我们再对他进行平方，他的根号就能直接被开掉了。 那从左边移到右边之后，我们会发现右边的这个柿子好像又有点长了，是吗？那我们等会开平方怎么处理？它？没有什么好处理，它的开平方我们就正常开，给它完全平方公式开开就行了， 其实计算量一点都不大，在这个前期视频我看到有人说觉得计算量太大了，怎么怎么样， 其实我觉得这些都是一个初中生正常的计算能力可以足够去做完这些计算的 熟练运用完全平方公式是我们的基础，你看这边我们给式子开完平方，结果又有一个完全平方公式让我们开，但我觉得这其实都是很正常的事情，无非是开两次平方，换糖不换药， 对不对？同学，你会开一次，难道再让你开一次你就不会了吗？那我们继续去整理这个式子，顺水推舟的一步一步的把这个式子给整理好。 这样子，这道题我们其实已经一只脚踏入了算出答案的大门了，所以同学们一定要稳住心态，慢慢计算， 不要去畏惧，你觉得你可以，你就一定可以的，全部都化为多项式之后还是那句话，我们为了简洁，为了好看，为了美观，为了优雅一点，我们把这个式子里所有的多项式统一移到左边去。 当然，如果你是右撇子，你就移到左边，是左撇子，你可以把它都移到右边去。反正最后我们的式子就是 另一边只剩下一个零，东西全都在左边。移过来之后，我们就可以清晰地去看到这样一个式子了。那么我们下一步就是把这个式子 配凑成关于 x 的 一元二次方程。也就是这样，让我们的未知数 t 跟这些常数项全部都成为 x 一 元二次方程里的参数 a、 b、 c。 那我们为什么要无厘头的去做这一步配凑？我明明好好的多项，是你非要给他配成一个一元二次方程，还是一个关于 x 的 一元二次方程？目的是什么呢？同学们可以自己思考一下。其实这并不是一个无厘头的行为，因为我们的目的 很明显，我们开头设了 t 等于二分之一 p b 加 p d， 那 么我们要求 t 的 最小值，首先得求它的取值范围吧，因为它取值得有一个确定的范围，它才有一个最小的值吧， 如果它的取值没有范围，我怎么知道它取到哪里是最小的呢？所以为了求 t 的 取值范围，我们把它配凑成一个关于 x 的 一元二次方程。由于 这个方程是我们推出来的，所以这个方程一定是有解的， x 一定有解，那么这就代表着它的的它一定大于等于零。 到这里同学们有没有大彻大悟呢？由于他的德塔有一个取值范围，然后我们又把有关于 t 的 式子配凑成了这个一元二次方程的系数，所以我们就可以用德塔大于等于零去 推出它的系数 b 平方减四 a c 大 于等于零，也就是这个有关于 t 的 式子大于等于零。 现在知道为什么我们一开始要配凑关于 x 的 一元二次方程了吧？为什么要把代替的式子都作为这个方程的系数呢？就是为了利用德塔这个判别式的取值范围，从而去关联到我们这个未知数 t 的 取值范围。 接下来我们就用完全平方公式进行化简，那么这个完全平方公式确实很重要，我们要熟练的掌握，其实也是一个很简单的东西，我们多练就可以了，这种题目考的也不难，所以我们不要从一开始就畏惧它。 化简到最简之后是一个一元二次的不等式，那么我们继续解这个不等式，解出一个 t 的 取值范围。 t 大 于等于四分之三倍根号三，那么就说明 t 的 最小值就只能取到四分之三倍根号三了，这就是我们求取值范围的意义，也就是我们二分之一 p b 加 p d 的 最小值是四分之三，倍根号三。

同学们好，今天继续给大家分享中考题里边的这个新定义的问题。 首先观看题目，同学们啊，新定义函数的项心值给了你一个新的定义，叫函数的项心值。 两个不相交的不相交的函数图像，在数值方向上的数值方向上的最短距离，就叫做这两个函数的相心值。 两个不相交的函数图像，在数值方向上的最短距离就叫做相心值，是两个函数图像之间的最小距离，也就是一个最小值的问题， 则这个函数与这个函数的相乘值是多少？这是一个二次函数，这是一个一次函数。 那首先确定的是这两个函数，他肯定是啊，两个不相交的函数图像。同学们啊，两个不相交的函数图像，那么咱们看一看他们的图像到底大体上长了一个什么样子？咱们再来看数值方向的最短距离是哪一段？看这个抛物线，朋友们开口向上，再先找一下他的顶点坐标， x 等于负的二， a 分 之 b 等于一，纵坐标 y 等于的。就是啊，一减二加三等于二，这是它的纵坐标，顶点坐标是一二，而且开口啊，向上， 与 y 轴的正半轴正三那个地方零三相交，咱们大体上画一下它的图像是个什么样子的啊？ 开口向上，顶点坐标是啊，一二，而且与 y 轴上的 一三零三相交。哎，这个样子的，大体上就是这个样子。咱们画一下草图。再来看这个一次性，同学们是 y 等于 x， 然后又减了一个二。 对于 y 等于 x， 同学们有没有概念？ y 等于 x， 这个直线是一个什么样的直线？或者说 y 等于负， x 是 一个什么样的直线？同学们有没有概念？ y 等于 x 是 一三象限的角平分线， y 等于负 x 是 二四象限的角平分线，所以说 y 等于 x 减二，显然就是一三象限的角平分线向下平移啊，两个单位长度得到的，那大体上就应该是这个样子呢？大体上就应该是这个样子， 哎，这就是两个不相交的函数图像，它就产生了就是一三象限的角平分线向下平移两个单位长度里面啊，这里是负二， 这里是正二，哎，大体这个样子。就让我们找一找这两个函数图像之间，数值方向上的那个最短距离是多少？数值方向最短距离也就是数值方向最小值，那个最短距离就是一个最小值的问题。 那么涉及到最值问题，题目我们知道有两种方式，一个是将近一码的问题，几何图形中的这个最小值问题， 再一个就是构建函数关系式，借助函数关系式再来找最值的问题。一般情况就是代数中的最值问题，还有几何图形当中的最值问题，一般就这么两大类。同学们啊， 几何图形当中的一般都考察的是将军印马问题，那么代数里面就考察的就是构建新的函数关系式，借助函数关系式找最值的问题。来，下面咱们来看一看。多数的同学看到这个题，他就以为是这个抛物线的顶点处，他是最低点了，哎，他就以为这个地方是最短的距离， 实际上给你目测看一下，他离这个地方，你看你往上走这个地方明显的这个距离就比这个距离要短，所以说同学们的感觉是啊，这个感觉是抛线的顶点到这个直线的距离是最短的，事实上不一定是。弟兄们啊， 那么咱们就随便找一个点，假如说这个抛物线，咱找一个点 p， 然后过点 p 向 x 轴做垂直，和这个直线产生一个点 q， 和这个点产生一个 q， 这个 p q 就是 这个抛物线与这个直线之间的数值方向上的距离。 就让我们来找一找这个数值方向的距离的最小值，事实上就是我们二次函数里面的经常找的那个铅垂高度的最小值。 那么像这种不确定的动点的问题，我们通常的思维方式就是射动点的坐标来解决问题。接下来咱们来射一下这个抛物线的这个这两个点的坐标。同学们啊，咱射点 p 的 横坐标是 m， 那 它的纵坐标就是 m 方减二， m 加三， 那 q 的 坐标 q 和 p， 它们俩显然横坐标是相同的，因为它和 x 轴垂直， 和 y 轴平行，那横坐标是 m， 纵坐标就是 m 减二了，哎，把横坐标带入解析式，横坐标带入解析式就是它的纵坐标。接下来咱们看一下这个 p q 的 这个长度的表达方式怎么表达， 那么竖直方向的这个铅垂高度里面，通常就是用上边那个点的纵坐标减掉下边这个点的纵坐标。 而水平方向的线段呢，通常情况下怎么表达？就用右边的那个点的横坐标减去左边那个点的横坐标，表达的就是水平方向的那个水平距离。 那么这里写的就是用点 p 的 总坐标 m 方减二， m 加三，再减掉点 q 的 总坐标 m 减二，减括号里的 m 减二，我去，括号给你们啊，就变成减 m 加二了。进一步整理 p q 的 解析式就出现了 m 方减三， m 加五。所以说新的二次函数就找最值的问题。同学们啊， 那么我们要找的就是 p q 的 最小值，最短距离就是这个 p q 的 最小值。那就因为观察这个二次函数，写着它开口啊，向上， a 大 于零，那么怎么找 p q 的 最小值？ 哎，有的人对这个概念也是没有概念的啊，不知道怎么找二次函数的，最显然这是一个二次函数，而且开口向上，所以说它一定有最小值。怎么找 p q 的 最小值？ m 等于什么的时候， p q 会有最小值啊？ 写着，这就涉及到了顶点坐标公式，也就是 m 等于负的二， a 分 之 b 代入负的二乘以一分之负三的时候，也就是等于二分之三的时候， m 等于二分之三时，这个 p q 会有啊，最小值 最小值是多少呢？把二分之三带进去就可以了，你也可以用四 a 分 之四， a c 减 b 方去求，但是那样做很麻烦的，还不如把二分之三直接带进去呢。四分之九减去一个二分之九，再加五， 也就是二分之四分之九加上一个五了，这是四分之十八，四分之九减。不对， 四分之九减去一个四分之十八，等于负的四分之九加五，也就是五减四分之九，整理就是四分之二十减九，四分之二十一。 嗯，所以这个题的答案就是四分之二十一了。实际上，让我们找的这个 p q 不 一定就是顶点，这个地方与这个直线之间的最短距离啊，你目测他这个点他是弯曲的，这个直线上升的，就让你找这个最短距离，不一定就是顶点处。这个 所有的同学，好多的同学啊，绝大多数的同学看了这个题都认为是这个地方，事实上不一定是一个铅垂高度的问题，就是一个铅垂高度的问题。 构建新的函数关系式，借助于顶点坐标找最值，那么找最值的问题就两类，一般情况下，你们啊，几何图形中的将军一马问题。再一个就是构建函数关系式，结合自变量的取值范围找最值的问题，这是一个填空题，希望这个题能够帮到大家。

初三的同学不要走二次函数学，懂了吗？今天带你过一遍二次函数的图像与性质。来看第一题， a 与零的关系。根据图像，我们很容易知道 a 小 于零，这个很简单来看第二题 b 与零的关系。这个时候我们就要把对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b 写出来， 根据图像可知，对称轴在 y 轴的左侧，所以说整个式子它是小于零的，那么二 a 分 之 b 就 得大于零，说明了什么？说明了 a 和 b 同号， a 小 于零，所以说 b 也要小于零。 来看第三题 c 与零的关系。你看，当 x 等于零的时候， y 就 等于 c， 所以 说函数图像与 y 轴的交点就是零斗 c， 所以 说函数图像与 y 轴的上方，所以说 c 大 于零。 接着看第四题， b 方减四 a， c 与零的关系，你看熟不熟悉，是不是一元二次方程的判别式的？当 y 等于零的时候，这个二次函数的图像与 x 轴有两个交点，所以说这个一元二次方程就有两个实数解，那么 b 方减四 a， c 就 要大于零。 看第五题 a 加 c 与零的关系。这时我们就要考虑到特殊值了， x 等于零， x 等于正负一， x 等于正负二。这里有一个技巧，就是什么 b 的 系数 是几，你就令 x 等于几，这里系数是一，那么我们就令 x 等于一，那么就会得到什么 y 就 等于 a 加 b 加 c， 就 得到了我们这个式子了。那么当 x 等于一的时候，你看 x 等于一，大概在这，那么 y 就 在这，说明什么是大于零的，那么这里就是大于零。 同理。第六题，你看系数是负一，那么我们就令 x 等于负一，你看 y 就 等于 a 减 b 加 c 也得到了这个式子，这个时候负一大概在这个位置啊，那么也是大于零的， y 就 在这里，也是大于零。 第七题，八 a 加 c 与零的关系你看，当 x 等于零的时候， y 就 等于 c， 哎，不对呀， a 也消掉了。所以说这个时候我们就要考虑到另外一种方法，用 a 表示出 b 来，你看，我们是知道对称轴是等于焦点坐标的，横坐标的中点的，那么我们就可以计算出 对称角。 x 是 等于负一的，那么负二， a 分 之， b 就 要等于负一， b 就 等于二 a， 此时就用 a 来表示出 b 来， 那么我们很容易就会发现， x 等于二的时候，你看 是不是就变成了四 a 加四， a 加 c 就 等于八 a 加 c， 也就是说，当 x 等于二的时候， y 就 等于八 a 加 c， 当 x 等于二的时候，你看 y 是 等于零的，所以说八 a 加 c 就 等于零。搞定。

欢迎来到中考数学路路通，今天我们来搞定二次函数图像。 二次函数的一般形式是， y 等于 x 平方加 b， x 加 c， a 不 等于零。它的图像叫抛物线形状像抛出去的球的轨迹。抛物线有三个关键要素， 第一，顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点坐标是负 b 除以二 a， 四 a， c 减 b， 平方除以四 a。 第二，对称轴对称轴方程是， x 等于负， b 除以二 a。 第三，开口方向， a 大 于零，开口向上， a 小 于零，开口向下。开口向上时，顶点是最低点，函数有最小值。开口向下时，顶点是最高点，函数有最大值。举个例子， y 等于 x， 平方减四， x 加三， a 等于一， b 等于负四， c 等于三对称轴， x 等于二，顶点是二负九，开口向上，最低点是负九。 c 的 值决定抛物线与 y 轴的交点，交点是零到 c 的 开区间， c 大 于零交 y 轴正半轴， c 小 于零交 y 轴负半轴。抛物线是轴对称图形，知道对称轴和一个点就能找到对称点。 二次函数图像是中考最核心的考点之一，必须彻底搞懂！中考必考！给我背下来！

同学们好，今天给大家分享一道二次函数里边的不等式的解集的确定方法，也就是说，借助于二次函数求不等式的解集，实际上就是一元二次不等式的解集的问题。朋友们啊，已知这个二次函数是这个样子的， 其中二次项系数 a 小 于零，也就是这个抛物线开口向下，孩子的这个抛物线经过点二零。就让我们来求一下 y 小 于零的时候， x 的 取值范围是什么？ y 小 于零的时候， x 的 取值范围如果 y 小 于零，同学们，其实就是这一串式子小于零。显然这就是一个一元二次不等式的解集问题。 那么之前的视频里面老师也分享过，一元二次不等式等于它不是解出来的，它是借助于二次函数图像看出来的。 那么既然要借助于二次函数图像来看，那咱们看一看这个二次函数，就告诉了，一个点经过二零，而且这里后边还有一个点经过二零，而且这里后边也求不出这个抛物线的解析式来。 所以说这个抛物线的解析式求不出来，那肯定就得另想别的办法。那么首先观察这个二次函数，同学们他的二次项系数和一次项系数有一个共同的特点，都是用字母 a 表示的。发现了吗？ 二次项系数和一次项系数是同一个字母表示的时候，那他就是在告诉我们，这个抛物线的对称轴 x 等于负的二 a 分 之 b。 哎，他就是在告诉我们，这个抛物线的对称轴是负一呢，负的二 a 分 之 b。 还告诉我们，如果令 y 等于零，两根之合也是已知的，让 y 等于零，两根之合不等于负的 a 分 之 b 吗？哎，他就等于负二， 也就是说，范式二次项系数和一次项系数是同一个字母表示的。这种问题朋友们，他就是在告诉我们，对称轴和两根之合呢？你得首先要把握题型，掌握题型。我在其他的视频上也分享过好多次了， 范式二次项系数和一次项系数是同一个字母表示的，他就是在告诉我们对称轴和根与系数的关系里边的两根之合。 那么有了对称轴了，同学们知道一个焦点坐标是二零了，根据对称轴和二零，我们能不能求得抛物线与 x 轴的另一个焦点坐标呢？那如果我设另一个焦点坐标是 x 一 零， 那这个焦点坐标是二零。根据这个对称轴，我们能不能求出 x 一 等于多少呢？ 有的同学擅长在竖轴上数格，能找到 x 一， 那么整数的时候可以数，那不是整数的时候，咱们用个简单的方法。咱说过好多次了啊， 纵坐标相同的两个点，只需要把它的横坐标加起来啊，除以二就是我们的对称轴， 所以 x 一 加二等于的是负二， x 一 等于的是负四，也就是说，我们要找的这个 x 一， 它就是负四了。所以这个抛物线与 x 轴的另一个焦点坐标就是负四，零了， 数格也行，也可以用这种对称轴，用这种对称轴是万能的东西啊，有的时候那个数字不是整数的数，不好数。那么我们找抛物线与 x 的 两个交点干什么呀？这不是 y 小 于零吗？你得先找到 y 等于零的呀， y 等于零了，然后再结合开口方向，咱们就可以找 y 小 于零的姐姐了，注意观察，咱们来画个草图啊，他的对称轴，是啊，又画偏了，他的对称轴，是啊，负一，对称轴是负一，那我们就得往这边画了， 这是 y 轴，这是 x 轴，对，这轴是负一，这边的这个焦点是二，这边的这个焦点是四，负四零。而且开口啊向下，那我们就大体上画一下，假如说就是个样子的， 哎，这边是二，这边是负四，那让我们找一找 y 小 于零的时候， x 的 起始范围，那同学们就要观察我画的这个图像上，哪一部分的纵坐标它是小于零的呀？ y 小 于零，那肯定就是啊，纵坐标小于零的呀，在我画的这个图像上，哪一部分的图像它的纵坐标是小于零的？很显然， y 要小于零，那得在 x 轴的下方，所以说就是这一部分，还有啊，这一部分了， 这一部分，那么结果二次函数图像，咱们这个一元二次不等式的解析就出来了，显然这个红色的图像出现在负四的左侧，所以它的解析就有一个 x 小 于负四， 而这个紫色的图像出现在二的右侧，所以这个就是 x 啊大于二了。 同学们观察他的图像是不是两个分支啊？图像是分着的，所以他的解集就是分着的。那同学们再来看，如果这个结果换成 y 大 于零呢？ y 大 于零的时候，同学们再观察他的图像又是哪一部分呢？ 显然这个时候的图像就成了， y 大 于零，就是 x 轴上方的部分，他那个 y 永远都是大于零的 这一部分，那这个时候它的解集又是什么呢？这个解集又是什么呢？显然这个时候的解集就在负四和二之间了，这就是 x 大 于负四小于二了。 图像是连续的，所以它的解集就是连续的。图像是分着的，所以它的解集就是分着的， 这就是一元二次不等式。 希望这个题目能够帮到大家。还要注意的就是二次项系数和一次项系数是同一个字母表示的时候，同学们他就是在告诉我们，对称轴还有两根之合的一元二次不等式是结合抛物线图像看出来的，而不是解出来的。

每天拆一个数学技巧，今天拆， 今天拆二次函数的实用技巧，今天是我们拆实用技巧的第十二天，希望大家能够点个关注主页有更多的实用技巧。 好在正式讲二次函数的实用技巧之前，我先给大家讲解一下，我们接下来几天着重的会讲二次函数的所有的技巧。第一天我们分享的是二次函数的六大常用技巧， 然后第十三天我们就会讲那个二十函数的最重要的一个区间最值技巧，一句话就可以实现破题。第二个就是二十函数的看图说话，在最后一个选择题经常会说一二三四这种序号题，然后呢给你一个图像，让你去判断哪些是正确的，就这种题型啊，我会有个常见的总结啊，常见的总结，第十五天的话，我们就会用二十函数会讲一个用图像的观点来看， 方程不等式，甚至方程不等式，它是有三种形态的，三种形态，然后第十六天我们就会用二三学习这个二三数的切平模型，就是什么叫切平模型呢？就是二三数加这样子，这样子，然后呢这里有个点，然后呢问你，他到这个线段数值的距离什么时候最最 大啊？什么时候，当然不是顶点的时候最大，这肯定不是的啊，就是他这个切皮，什么叫切皮呢？为什么他叫切皮呢？因为他这样相切的时候他是最大的啊，相切的时候最大，后面我会详细说，然后第十七天我们就会用二三数来解决那种价格涨了，他的销量就会降低的这种利润最值的，后面我会详细说，然后第十七天我们就会用二三数来解决的公式，实际上就可以解决， 一共是可举。好，这就是我们接下来要讲的关于二十函数的使用技巧，总共有六个啊，总共六个，所以说我们接下来六天都会来学习二十函数的常用技巧。好，废话不多说，我们今来开始今天的学习二十函数的六大常用技巧，这就是我将要讲解的二十函数的六大常用技巧，今天我们只讲技巧这六个我将会从以下六个方面来讲解。 第一方面就是四点一轴为核心。什么叫四点一轴为核心？就是对二三数来讲，他有很多的一些知识点，关键就围绕在这四点一轴，哪四个点呢？就是第一个就是与 x 轴的两个焦点，第二个就是与 y 轴的焦点，第三个顶点，那这四个点，哦，然后就啥一轴一轴就是什么对称轴，你只要把这四点一轴搞清楚， 怎么算，怎么求，它是代表什么意思，那么我们对于二次函数的一个核心的东西就可以基本上可以过了。好，我们来看一下这具体的这四点一周怎么样去学习。首先来讲这两个点，这两个点是与什么？是二次函数与 x 的 交点，首先这两个点怎么求？ 这一条是不是令令那个 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 这个函数的等于啥？零，它与 x 的 交点呢？有什么特点？在 x 上所有的点的横坐标都为谁零，所以说我令 y 为零，所以就可以这样解一个 啊，一元二次方程，那解出这个一元二次方程是不是有两个根，对吧？还有两个根，但是取决于这两个根到底是有多少个根，你还得根据这个二次方程的平方减四 a c 来判断，那不一定是一定有两个焦点，这样子是不是就只有一个焦点了？ 那只有一个焦点，那这样子是不是就没有焦点了？所以你得根据的来判断。所看到这这两个点，你得知道第一个他怎么求？他什么时候他的这两个解的情况是根据的， 而他来判断的。然后呢？这两个点是不关于什么对称，怎么对称？有一题他就会给你，他给你不画全把图，这样，这样给你画，然后给你一个对称轴，那别人这里标了一个负一，我想这里标了个二，我想问你通过这个距离是不是可以求出这个距离，然后你就能知道这个点坐标到底是多少，所以说这两个点是关于对称轴怎么样对称的，这也是需要知道的。好，这就是关于这两个点的。那还有一个点就是与外轴的交点，与外轴交点怎么求？刚刚是这两个点是与什么 x 轴的焦点对不对？那 y 轴的焦点怎么求啊？你想啊，在 y 轴上的点有什么特点？是不是 x 等于零？所以你就令这个 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 这个什么，那它是什么？ x 等于零，实际上这个点实际上就是 c 啊，实际上这个点就是 c 啊，这个点就是 c。 好， 然后就是最后重要的一个点，顶点，顶点，首先要知道顶点要怎么求？顶点的横坐标就是什么二 a 分 之什么负 b， 然后呢，纵坐标就是什么 背公式就是四 a 分 之四 a c 减 b 平方。知道这公式不用背啊，后面我们在后面，我们马上会讲这个为什么不用背啊？不用背，所以你只需要知道什么它的横坐标是什么，二 a 分 之负 b 就 可以了。好，这四点一轴讲清楚了，然后关于这个顶点的实际上运用会很多啊， 很多地方都会提到顶点，然后后面我们这个关于顶点的深刻理解，我会重点讲顶点，这里我就不过多的讲顶点，你只需要知道它怎么求好。关于对伸轴，对伸轴就是什么？对伸轴表示什么？表示 x 等于什么？二 a 等于什么负 b 啊，这对伸轴所有的点都是不都关于这样， 这两个对，只要它 y 轴相等点，是不是关于对称，怎么样对称啊？这是后面会讲的。好。第二，这是我们的四点一轴啊，了解这些核心啊，了解这些核心，好，第二个点呢，就是两点法函数图像。因为什么？我经常讲就是对于函数来讲，无什么无图像，不函数， 就是不管是二次函数还是一次函数，还是正比还是反比，就是你，你首先得学会怎么样去画函数图像，如果说你把函数图像都画出来，他问你最大值，最小值，单调性哪个区间的最大值，是不是很多都可以迎刃而解？关键是要怎么样去画二次函数的图像啊？后面我会讲一一的讲是哪个函数图像，怎么样用技巧去画好。我总结出两点法，画函数图像，就是哪两点呢？顶点与 y 轴的交点， 顶点以外的焦点，只要你知道这两个点，就一定可以画出二项图图像。我打个比方，我打个比方，比如说你这个知道它的顶点在这里了，这是顶点喽，然后呢？与外的焦点在这里，那我想问它只能什么只能？是不是只能这样子啊？只能开口向下这样子啊，对不对？只能这样子啊？ 就大概是这叫草图吗？大概是这样子喽，只能是这样子的，它不可能是开口向上的。明白，好，就知道顶点和与外的焦点来，我们随便再画一个。就比如说这样子的， 我知道它的顶点在这里啊，与 y 轴的交点在这里与 y 轴。那我这个图像是不是只能这么画？我还能其他方法吗？没有没有。好吧，没有啊，所以这是草图，就很简单就可以画出来。好，只要知道顶点坐标啊。顶点坐标怎么求的？二 a 分 之啥？负 b， 然后中轴标是四 a 分 之啥？四 a c 减 b 平方。但这个玩意不用背后面会讲啊，会，会讲，然后与 y 轴顶点。刚不是说了吗？ y 轴顶点就是什么令谁令 x 等于谁零，就可以求出 c 吗？剩下的点就是 c。 好，是说两点法画还是同样是很好的运用技巧。就是你在一个题目中，你记住在一个中，不管是填空题还是大题，你只要他给了你一个二三十吨，就他， 他已经具体给出了。就是有时候他 c 不知道，也可以有句话，因为他 c 不知道大，大不了就是个洞点喽，对不对？大不了就是一个洞点，就比如说 y 等于二 x 平方加三 x 加 c， 就 算这个 c 不知道，你是不是可以先大概知道它的一个对称轴，因为二 a 分 之负 b 是 知道的呀，对称轴知道了，但它的 开口方向又向上，他大概就这样子的，他无非就这样子在动啊，就你可以大致画出他的一个图像。所以说你关键是要找什么？两点就顶点有什么 y 轴的焦点，顶点有 y 轴的焦点。好， ok， 这就是两点法，画函数图像啊，画函数这样。第二个就是关于顶点的深刻理解啊，关于顶点的深刻理解，怎么样去理解就顶点，首先理解他的函数表是这样的，公式就是二分之负 b 或者负二分之 b 是 一样的。 然后呢，中轴边又是什么？四 a 分， 这是啥？ c a c 减 b 平方。这个有些东西背起来有点难，而且用的时候有点麻烦，因为它有有的二还 b 平，那等于啥？ b 平方减 c a c， 对 吧？ b 平方减 c a c， 然后这个是四平方减 b c 就 有点麻烦。就说这个这个公式，这部分是不用背的啊，我直说这部分不用背， 那你真正在用的时候怎么办？用的时候你只需要把二一分之负 b 求出来，之后你把这个反带入函数的里面， a x 平方加 b 加 c， 你 把 x 换成这个横坐标，是可以求出重坐标，那这个重坐标不就可以求出来吗？这样其实有时候比你背公式会更简单，而且背公式基础弱同学还会背错。这最主要的就是我们讲了一个简单的方法，就是你知道横坐标你怎么求重坐标，直接带入 y 就 可以了，对不对？ 直接带入他的函数解析式就可以了。好，所以你看到没，这个重坐标是不用背的，你只需要把横坐标还是重坐标， 你知道纵坐标，求横坐标，你就带入函数，你知道横坐标，你就要求纵坐标，你也可以带入函数，就是要有这种思维。好， ok， 所以 说这个顶点其实很好解决，特别是复杂的部分也是很好解决的。好，那你看还有一个对于顶点的深刻理解，不仅仅是如此哦，不仅仅是你知道横坐标，把它带入外头就可以带，带入，带入函数，解析式就可以算，就可以算纵坐标， 不止是如此，就是深刻理解，还有什么呢？就是横坐标。这里你要记住他的横坐标不止是他的横坐标，就顶点的横坐标除了是顶点的横坐标还是什么？还是对行轴，这个有什么好处？就是你要能明白，比如说题目中他告诉你他说顶点的横坐标为，嗯，横坐标为三， 对吧？顶点的他告诉你他顶点的横坐标为三，那你要知道这个他实际上也在告诉你什么对心轴等于三，就你要能反应出来这个事情，当然我线下来说大家肯定都知道，但是你要能够在题目中反应出来这个事情，所以说你脑袋里面一定要对顶点他有个深刻的理解，就是顶点的横坐标，他不只是顶点的横坐标，他还是什么？ 还是对心轴还是对心轴。就像拿重坐标是不是重坐标，是不是可以把横坐标带入 y 去解，那顶点的重坐标除了是顶点的重坐标，他还是什么， 对吧？对顶点的众标来，他除了是顶点坐标还是什么？当开口向上的时候，他就还是最小值，当开口向下的时候他还是什么最大值？所以说顶点的众坐标，他除了是顶点的坐标还是什么？还是最大值或者最小值，这个有个什么好处呢？就是在 还有一个好处，最大的好处就是在你求那个函数解析式的时候，他会说函数的最大值是多少，那你设的时候你不要去，你就不要去设什么一般式，你就直接设顶点式。 就后面我会讲到什么时候用顶点式，因为第一个函数的题一般就是求什么顶点，求它解析式喽。那顶点式有一般式和顶点式喽？那什么时候用一般式？什么用顶点式，我会总结什么时候用顶点式，它告诉你一些关于顶点的延伸的东西的时候，就想到用顶点式就可以了。后面我会总结，所以说你在这里必须要深刻的理解这些东西。后面我讲一些更多的小技巧的时候，你才知道我在讲什么，要不然你压根就不知道我在讲什么。 好吧，所以这里是必须要，就是六大常用的最基本的技巧，你是需要知道的啊，知道的好。关于第四个技巧就是 y 轴相等的， y 轴相等的 两个点的坐标，它是可求对称轴的，就题目上它告诉你它不会告诉你说它不会说 y 轴相等。这几个字，我想表达它会给你说，呃呃。在函数图像上过 a 点的坐标，它说是三点 m， 然后过 b 点的坐标是什么呢？负二点 m， 然后我想问这个时候你就能够反应出来，它实际上是想告诉你什么，实际上是想告诉你它两个坐标怎么样， 众标怎么相同，那众标相同，你就能反应过来一个事情，就是它关于对称轴对称，那你就可以通过一个负二，一个三去求它的对称轴，你把这怎么求？对称就中点坐标啊，怎么求？两个点中点坐标， x 一 和 x 二的中点坐标怎么求？后面我也会分享。如果不知道同学，那直接把 x 一 加上 x 二来除以二就可以了 啊，就是他的终点坐标啊，不是减法啊，是加法，是加法，后面我会详细讲啊。所以，所以说他这种只要你知道一个点，这边你看这里图像，从图像上表示，就这样看到没有？有些时候他会给你哦，他给你这样一个图，他也不会给你画对准走啊，不会给你画对准走，他就这样子写了一个 m， 甚至把 m 给你写成一个具体的数字，这里写了个负一，这里写了个三。我想问这样子是不是告诉你他也可以求对准走？ 明白了没有啊？所以说他的表后面我说了一句，看到注意，就他有很多种表现形式，文字的表现形式，就我刚刚说的，他给你直接告诉你两点坐标，三点 二和 b 点坐标是呃，五点二来，这样你能不能反应过来？我想问你，这样子你能不能反应过来？他实际上是想告诉你，除了过这两个点，你可以代入函数解析式以外，你还能直接求他的什么对数，你可以直接把这两个加起来除以二，实际上对数就等于谁四。因为五加三等于八吗？八加六等于四，所以他实际上是想告诉你，他对数等于四， 就是他通过文字坐标的形式，文字坐标的形式表示出来，你要能够反应出来，他告诉你的是重坐标相等的两个点，关于对数对乘，要可以求对乘，这是文字的表达形式 啊，还有一种图像的表达形式，就像我这样给你一个图像，告诉你这样随便写个三，这样子，你要能够求什么？求对称轴啊，这图像的表达形式，还有一种表格的表现形式，就它跟一些表格 啊，这是 x， 这是 y， 这里是零，这是一，这是二，这是三，然后这里写了个负一零，然后这里又写个负一，然后三，这样子，那你看这两个点重置表是不是一样的，那重置表一样，它是不？关于对称轴，是不是就可以求它的对称轴，就是它有三种表现形式，三种表现形式，文字图像 表格就是有这三种形式，你要能够反应过来，它实际上是告诉你什么 y 作比较相同， y 作比较能干什么，可以求什么？对，听懂， 这是需要记忆的啊，这是大家自己去下去记啊，就是边听的时候边记，就是它可以表现形式有两种，因为这个表格写空格写不下的时候，我就只只给大家提示了一下，就是表现形式，就是有三种的文字表格图像， 大家自己需要学会做笔记啊，可以暂停做下笔记，然后再继续往下听啊，然后我们来看这个就是一个小妙招了，接下来就是小妙招，关于对称轴的小妙招啊，就是比如说这告诉你一个二项式图像，二项式解析式啊，他说这图像关于 x 轴对称长啥样 对不对？关于 x 轴对称长啥样就长这样子啊。首先这是一个函数图像，它关于 x 轴对称，然后我想问结果啊，我想告，先告诉你结果，这是关于 x 轴对称后的图像解析，应该长这个样子。但我想告诉我想问大家，你画 x 的 时候，你是横着画的还是竖着画的？我们画坐标是不是都是横着画的？ 好，这样你知道这个横的话，你就好理解这个事情。前面说了，好，你这是不是，这是不是一个二三数的解析式？那你想，如果我这样子画一个横坐标， 对不对？你不要管歪啊，你不要看歪啊，就，就看这部分啊，就看这个解析式，这部分就看这部分。然后呢，你说你画一条横坐标，你是不是得这么画？ ok， 你 这横坐标穿过了谁？是不是穿过了 abc？ 好， 记住，你记住一个事情，就是穿过了 abc， 谁说 abc 都要变号，看到没？说 a 变成负 a， b 变成负 b， c 变成负 c 变成负 c， 这样你就可以直接写出它的什么关于对称和对称的。 好，这是关于 x 轴对称啊，记住， x 轴怎么画的是横坐标，横，横横着画的，那就穿过了 abc， 当你别说又穿过了 y 啊，就别去想 y 的 事情。跟你讲了，你只看这部分，对吧？只看这部分？好，那同样的道理，我们来趁热打铁学一下关于 y 轴对称的小妙招，怎么样学习呢？我想问，同样的关于一个二项，是不是长这个样子？ 我想你画 y 轴，你是怎么画？你是横着画还是竖着画的？你是不是竖着画的？我想问，关于这三项来讲，如果说它要对称的话，你觉得这条线要想这个四指对称，你想这个四指对称，那怎么画？你是不是得从中间画？ 你不可能从这么画吗？是个人他都不可能从这么画，对不对？那基本都从中间画呀，你不要看歪，听没叫你别看歪，你别说中间画成这样，那你就不要看歪啊，就看这三部分，你要这三步，要对称，是不是从中间画个 y 轴？好， ok， 你 就记住，那你从中间画歪轴，穿过了谁，是穿过了 b， 那 b 就 变化，其他角度就不变， ok， 这就是结论。这是一个很好用的小妙招，就是关于一般形式啊，注意啊，它是一般手， 一般是可以用的小妙招，它是顶点式的啊。顶点式，关于对称，我们后面再讲，用顶点式的话，你直接看，实际上直接就看对称这个顶点坐标，关于这个对称轴，关于哪条轴或者微轴对称要变到哪里去，你直接用直接写顶点式就可以了，因为顶点式好的用好的，用处在于什么呢？就是你直接用顶点式去写 解析式，不就很简单吗？你先从它原来的顶点式，把它通过这个两点法，通过两点法画出，这样把顶点找到，找到之后它关于 x 轴对称，你想啊， 如果它的顶点是关于 y 九 x 图像，你是不是可以这样子，直接把它顶点坐标写出来，然后这里是二，这里是负三，那就是二和正三了，那顶点就是二和正三了，你直接写顶点式啊，然后 a 又是不变的，就是开口向下吧，变一下就变成相反数了，那就是变成负 a， 括号 x 减二， x 平方加三，就直接就写出来了，就能先画出它的顶点的，是吧？ 顶点关于 x 对 称后的坐标，然后直接写顶点式，然后把开口方向变一下就可以了。关于 y 轴对称，是不是这样的？中轴标没变了，今天很很 中轴是没变的，横轴是会向竖，然后开口方向是没变，那 a 就 没变，这样就直接写了。所以说关于顶点，它顶点式，它其实更好理解，你只需要通过两点法画算数，这样甚至你就不用画，你直接脑袋里面看一下顶点坐标到底是多少，然后再去想它对称轴长在哪里就可以了。但纹头起见基础弱，还是要画图像的啊，通过两点法，所以说这几个方法它是不是不是单独的，它可能相互之间也有联系。 好，我讲的是这种一般式的，为什么一般是不用顶点式这种思维呢？因为我想你一般是你要用这种思维的话，你是不是还得求顶点坐标那些，但我这个就不用啊，对不对？我这小妙招我就不用求，我直接看图像就可以了，这样穿过一个手，然后穿过一种变 b， 对 不对？好， ok， 这就是我们关于什么 x y 的 什么对称小妙招，小妙招啊，这就是我们关于 x、 y 的 对称小妙招。 好，关于六函数，函数、二三函数常用的六大技巧啊，我们就分享这些，再给大家总结一下。第一个就是四点一轴为核心，就是他的二三数，他离不开这些东西，离不开这些东西。有 x 轴，焦点 与 y 轴交点，点点坐标啊，点点坐标怎么求，对吧？然后呢，这个对称轴那点坐标是不是又在这里又深刻的理解了点点坐标？深刻理解两个，三个，三个事情，第一个事情就是这个顶点中坐标是不用求的，然后你直接求横坐标带进去， 然后呢，对于顶点坐标，横中坐标的深刻理解就是它除了是顶点的横坐标还是对行轴，它除了是顶点的横坐标还是什么？最大值和最小值，然后就关于它 y 坐标相等的这个点，一定要注意它有三种表现形式，对吧？注意是注意的是表现形式啊，三种表现形式，哪三种你都能够反应过来，它是 y 坐标相等，可以求什么对行轴 好，然后关于就是 x y 轴的对乘小妙招，这是可以很好记的。这个倒是很好记啊，最主要的是如果记住弱的同学，这几个啊必须要熟记于心，因为后面我所讲的这些技巧，比如说二三数的区间最值，那我肯定会用到两点法画二三数图像， 把图像画出来之后，再去讨论他在某个区间内的最大值和最小值，都是要运用到这些技巧的。所以说我必须要首先先给大家把这个我们最常用的这个六大实用技巧讲完之后，我后面再给大家去分析的时候，大家能就能够听清楚我在讲什么啊。 ok， 这节课呢，我们就先讲到这里，大家可以截个图啊，截个图 好， ok， 今天分享到这里啊，明天我们继续。