初二下数学正方形的多种几何模型

八下数学有两大压轴难点特别重要，一个是依次函数，一个就是平行四边形，平行四边形继续往下细分，还有菱形、矩形、正方形， 所以对应的性质判定太多了，足足三十条，很多同学遇到这类综合的大题都做不出来，但是其实呢，平行四边形这里解题是有技巧的，我们把平行四边形这里常见的十五个模型掌握，像很多题目咱们都是可以秒杀的啊。 今天我就带着大家一起来说一说正方形这里相关的一个模型，十字架模型。那有关于四边形这个章节，我们每一个图形，菱形、矩形、正方形对应的基础证明题，老师都给大家做了一套总结，都是历年 考试的真题，大家这个假期就可以打印出来，逐个题目逐个模型的来啊，这个学习和练习，这样的话，你把你的证明过程还有思维都固定下来以后，咱们再去拔高就容易的多了啊。 下面呢，咱们来一起看看这道题吧！说如图，正方形 a、 b、 c、 d 当中 e、 h 分 别在这个上面， a、 e 垂直于 d， h， 好 了，这是垂直的，让你求证 a、 e 等于 d、 h。 乍一看啊，我们可以发现这两个三角形，它其实就是全等的，那怎么去推全等呢？其实想要证明它相等，不就是正全等吗？ 所以四边形这里的题目和我们上一学期三角形全等三角形分不开的啊，分不开的，那咱们来一起看一下怎么去证明这是个直角，所以这是小叉，这不就是小圈吗？ 小叉加上小圈，这是不是就是九十度对不对？那我们继续来往下看啊，这是不是又是一个直角，对不对？所以在这个小的直角三角形当中，这是小叉，这不就是小圈吗？对不对？ 继续来看大的直角三角形，这是直角，这是小叉印，又是小圈，所以小叉加上小圈等于九十度，我们用沪渝大法就可以解决这道题了，对不对？所以你会发现 在这两个三角形当中，我们有一个角是九十度对应相等，有一个角是小圈对应，哎，相对应相等， 所以我们再加上一组公共边，正方形的一组边，四条边，它其实就是相等的，对不对？所以我们就可以用角角边来证明三角形全等了，所以对应我们就可以推出 a、 e 是 等于 d、 h 的， 所以在这我们就可以推出十字架模型的结论了。 在正方形当中有这么两条像奥特曼一样垂直的线，无论他在这在这还是在往后平移，他永远有。 如果这两线垂直，可以推这两线相等，如果有这两线相等，就可以推垂直的结论，用互余倒角全等就可以证明下来了。那现在这个正方形十字架模型的结论你学会了吗？

本期视频我们来讲解正方形当中的半角模型分析条件，如图，正方形 a、 b、 c、 d 当中 ab 等于一， ef 分 别是 b、 c 和 c、 d 上的点，并且始终满足角 e、 a、 f 等于四十度，而我们知道正方形天然自带 b、 a、 d 等于九十度，九十度、四十五度半角模型，所以这个时候我们应该想到的是半角模型，该怎么去证明呢？哦，运用旋转法，我们在哪里提到了半角模型？ 六十、三十一百二，六十九十四十五，对不对？好，那我们来看看第一个问题，让我们干什么呢？哦，让我们去证明 e、 f 长的等于什么呢？ b 加上 d、 f， 对 吗？两短之和等于一长，好，疑问，相当于什么？当然是 哎呦，截长补短四个字了，对不对？那么怎样截长补短呢？哎，我们直接来旋转嘛，你告诉我你是正方形，既然是正方形，那四条边都应该是相等的喽，那这个绊脚是用来干嘛的呢？ 角的对不对？好，来，我们把三角形 a、 d、 f 给它什么转到这边来，合起来，对吧？两短加一长，我把这两短的给它和到一起去，变成一条长线段不就行了吗？好，所以我们把三角形给它转下来。好，大概在这个位置好旋转到这 连接。旋转多少度啊？这么毫无疑问吗？对不对？直接旋转九十度，因为只有旋转九十度，我们的 a、 d 这条边才能和 a、 b 这条边进行重合呀，再来这里，九十、九十、九十，所以 这个是共线的对吧？就不用那么麻烦了。好，旋转到哪个呢？哦， a、 b、 g 既然是旋转嘛，那这两个三角形肯定是全等的，毫无疑问。 好，接下来我的目标是什么？哦，我的目标原来是这这条边加这条边等于这条边。现在呢？哎，我一旋转， d f 被我变成了什么？哦， d f 直接被我变成了 b g。 好， 所以问题变成了，哎呦， b g 加上 b， b g 加 b 不 就是什么哎呦， g e 嘛，对不对？所以我现在问题是证明 g 和 ef 是 否相等，我们再来看看 g 和 ef 在 哎，这个三角形和这个三角形当中，那请问这两个三角形能不能证出全等呢？ 当然可以。好，全等的理由在哪里？第一个，我们小三角形的全等可以得到什么？哎呦，小三角形全等， 因为你是旋转吗？所以三角形 a f d 当然是全等于三角形 a g b 的 啦。那么这两个三角形全等，我是不是可以立马就得到？哎呦，这两个小角是相等的好，所以可以推导出角 g a b 等于角，谁啊？ o f a d， 对 吧？这两角相等，然后这个时候你会发现了半角的意义，就是在这里正角的，你看这个角加上中间这个小角等于四十度吧，因为整个这里是九十度啊，中间四十度，所以剩下来这两个小角是不是也是四十度啊， 对不对？同，因为你这两个角是相等的，所以这个角加它也是四十度吧。好，你看， 所以可以得到角 g a e 四数度，角 e a f 也是四数度。好， 第一个条件搞定了吧。第二个条件，请问在哪里？空空边啊，对不对？第三个条件呢？旋转圈等，对吧？小三角形圈等给我们得到的啊，所以圈的条件哦，叫做 s a s 是 不搞定了，所以我第二组的圈等可以得到哦，三角形， g a e 全等于三角形，谁？哎呦， f a e 对 不对？好，这两个三角全等，这不搞定了吗？立马就能推出谁啊？对了， g e 等于 e f， 对 吧？而我们刚刚推理过第一个问题，本质上就是要证明 g e 的 e f 问题就解决了。 好，那接下来我们再回过头来看看，除了这个结论，我们还能得到什么？来，全等，第一组，全等啊，我可以得到 这个角和这个角是相等的，对吧？角 a f d 等于角 a g e 第二个，全等， a g e 全等于 a f e， 那 么，哦，我们可以得到角谁啊？ 角 g 等于角 a f e， 那 是不就说明 a f 是 角 d f e 的 角平分线？通理， a e 是 不是应该是角 g e f 的 角平分线啊？哦，所以在这个结论当中，我们还可以得到两条角平分线的，对不对？好， 虽然它没用到，但是我们得知道。好，接下来我们看第二个问题呢？第二个问题，哎，就更加刁钻了， 平方等于平方加平方，那看到这个东西，那么毫无疑问，我们想到四个字，叫做勾股啊，定理对不对？那请问勾股定理得需要什么？哎，得需要直角三角形。来，我们看看 他给我们的这三条边现在在哪里，怎么帮他们去构造出直角三角形呢？来， m， 哎呦，在这里，边在这里，哎呦， bm， 在 这里。完了，三条线 断是共线的，我想要把它们放在三角形当中，哎，不要忘了这个问题是什么，我们的思路应该是 贯通的，你第一问，用什么旋转嘛？第二问，半角膜尼都是旋转，那好，一问，转呗，对不对？我把这个三角形给它转过来不就行了吗？好，转到这里来，大概在好， 这个位置。好，那么转过来，我们把三角形 c 呢 a， n， d 转到 a。 好， p b。 既然是旋转嘛，当然是全等的，对不对？所以我把什么东西已经转化了。哎呦，把我们的 d n， d n 变成谁了？哦，变成了啊， pb 对 不对？来， m n。 哦， m n 在 哪里？ m n 在 这里。不够啊， b m 和 pb 已经哎呦初见雏形了，那这两条边 已经在这里了。那毫无疑问，我们的第三条被 m 应该在哪里？应该在这，那既然他应该在这里，我就把他给连起来呗。这时候你发现哎呦 跟刚刚是不一样的正法，第一次旋转形圈的，第二次再正什么？哎呦，这两个三元圈的问题不就解决了吗？ 对不对？好，我们看看解决在哪里啊？旋转对角线，这是什么？四十度旋转过来，这当然是四十度，这四十度，哎，九十度齐了，对不对？好， 一条边过来了，另一条边过来了，所以现在的目标就只剩一个了。证明什么？ pm 等于 m n， 这个问题即可解决。如何证明 pm 的 m n 呢？刚刚讲过了，那我就要证明这两个算权的权等条件够不够呢？来，第一个， 这个四数度我们刚刚是不是一样的正过的？那我们就不用再正了，这个角也是四数告诉你的嘛。好，再来一发现，好像一模一样吧，对不对？还是 s a s， 你 看中间这两边 公共边再来。哎呦，旋转的谁啊？ a n 等于 ap 对 不对？ s a s， 所以 我可以得到三角形。谁？哎呦，三角形，我们的 a p m 全等于三角形 a m， 对 吧？好，两个三角形全等，我当然可以搞定了，什么 pm 等于 m， pm 等于 m n， 那 么最终， 哎，再等量代换回去，是不是搞定了？ m 的 平方等于 b m 的 平方加上 d n 的 平方，对不对？因为我们现在可以挣出 pm 的 平方等于 b b 的 平方加上 b m 的 平方，而由于全等和旋转， 哎，我们的 pm 等于什么？ o m n 的 平方，对不对？我们的谁叫做 p b 等于什么呀？哎呦，对于我们的 d n 是 不是好，所以一样的嘛？好， 所以第二个结论可以推导出来了，关键的是看第三个问题，求什么？ o e f 的 最小值？那么你看到 e f 是 在疑问去解决的，我们知道 e f 等于什么等于 d e 加上 d f， 而它就等于什么 记忆，对不对？那患者说，我还得把第一幅图给他盖还原回来喽，好，还原一下，那么这个点就是记点。所以根据第一问的经验，要求 e f 最小值，就是求什么 哦，记忆的最小值。这时候来想一想，为什么出题要让我们把 e f 转化成记忆呢？好，你看 e f 是 在 b c 和 d c 上运动的，但是什么时候呢？我不知道，那我转换成记忆就能知道了吗？来， g 所对的角是四数度，并且四数度还夹着一个垂线段 ab 啊，那这时候角用了一个推论了，那就叫做定角，角是一个定高， 那么什么时候最小呢？当这个三角形是等腰直角三角形的时候，那么我们的 g 就是 最小的。换句话说，此时我立刻能知道你要求最小值，就是告诉我 g a 等于 e a 的 好，等腰直角了来，垂直不就立马得到三线合一？ b 是 哎呦记忆的终点，那这时候是不是可以射了？射什么？哎呦，射 b x b g 还是 x？ df 转过来的 x， 那 是不就意味着图中的 d 和 cf 也相等？这是个什么三角形？等腰直角三角形？来，你看看，根据刚刚的结论，全等我们这个七二 x 不 就等于我们的 e f， 这是二 x 啊， 对不对？而 bc 等于 ab， 得几得一，那 c e 不 就是 e 减 x 吗？来，这是什么等腰直角三角形，它们的三边关系之比是一比一，比根号二，所以我还可以列出什么哦， e f 等于根号二倍的 一减 x， 哎，这样的话，我是可以列出一个方程了，对吧？第一个 e f 有 二 x， 表示我还可以有等于根号二倍的 e 减 x 来表示啊，是不是？那请问现在我可以得到什么？哎呦，关于 x 的 一个方程， 对吧？你要求 e f 的 最小值， e f 不 就是二 x 吗？我把 x 解出来了，按到二 x 当然可以搞定了。好，解一下， 二 x 等于负根号二倍的 x 再加上根号好一个项，那就是二，加上根号二倍的 x 等于根号，那么 x 就 等于哎呦，二加根号，二分之 根号来，分子分母同乘，什么二减根号？那分母是不是就是二分子呢？根号二倍的二减根号，那就是 哎呦，二倍的根号，再减去二。好，不要忘了我现在要求的是什么， e f， e f 几个 x， 两个 x， 所以 e f 的 最小值不就搞定了吗？就是二倍的根号，哎呦，再减二。 ok， 好， 那么本期视频就到这里，大家拜拜。

我们一起来看一下这道题，这道题目是综合了正方形的十字架模型以及构造平行四边形来求对角，是一道非常好的一个综合题啊。我们一起来回顾一下什么是正方形的十字架模型。 就说在这样一个正方形 a、 b、 c、 d 中呢，有这样两条线段， a、 e 和这里的 b、 f。 如果知道这两条线段它是垂直的，我们就能挣出来它是相等的， 那反过来，如果这两个线段它相等，我们也能证出来它是垂直的。证明方法呢，也其实很简单，我们只需要证这样两个三角形， a、 b、 e 和这里的 b、 c、 f 全等就行。那条件嘛，就因为 a、 b、 c、 d 是 正方形， ab 等于 bc， 角 abe 和这里的角 bcf 都等于九十度。同时因为 a、 e 和 b、 f 垂直的话，那我们就能得到这样一个角一和角 二，它是互余的，那角二和角三也互余，所以角一和角三相等，所以我们就能证得这样两个三角形呢，它是全等的，利用的判定角边角， 那反过来是类似的。那如果这里的 a、 e 和 b、 f 它发生改变，比如说在这里面有一条线段，它不过顶点了，它是这样一条线的，那结论成不成立呢？那这个结论其实它还是成立的。那我们如何来证明呢？我们 可以取一种方法，就是通过这里的点 g 做这个 a、 b 的 一个平行线， 那我们反过来再正这样一个三角形， g、 m、 e， 它和这里的 b、 f、 c 它也是全等的， 然后你可以自己动手正一下哦。当然，如果这里的 b、 f 也变化了， b、 f 也不过顶点了，它也取一般的这条线段，取这个 p q， 那当这里的 p q 和这里的 g、 e 它是垂直的时候，它同样也是相等的，然后相等的时候，它同样也是垂直的。那证明方法也类似，我们可以过点 p 做彼此的垂线来正。这样一对三角形，也就是 g m， e 和这个扇形 p q、 n， 它是全等的就可以了。 那有了这样一个模型，我们来看一下这道题。如图，在边长为二的正方形 a， b， c， d 中， e 呢，是 c， d 的 中点， 那既然是中点，我们就能求出这里的 e， c 的 长等于一， bc 的 长呢等于二。利用勾股定律，我们就能求出 b， e 的 长等于根号下二的平方，加一的平方，也就是根号下五。 然后 p、 q 呢，分别是 a、 d， b、 c 上的两个动点，且 p q 垂直于这里的 b、 e 交一点 f， 则这里的 b p 加上 q、 e 的 最小值是多少？ 那首先根据我们刚才的题目条件分析，在这样一个正方形 a、 b， c， d 中， b， e 和 p q 它是垂直的。 那利用这样一个正方形的十字架模型，在正方形里面取了两条线的垂直，那这两条线段它线段相等，也就在我们的选择填空题里面，我们可以直接用，所以这里的 p q 和这个 b e 也是相等的，也是等于根号。五。 大家说 p q 无论怎么变化， p q 这条线段的长度是固定不变的啊，我们继续来分析，那想要求这里的 b p 加上 q、 e 的 最小值，显然这两条线段呢，它是 没有办法做到首尾相连。我们能做到这两条线段首尾相连，那根据两点之间线段最长，我们只需要连接这两条线段来就能求出来这两个线段的和呢，它的最小值就是这条绿色线段。 那我们怎么样做到这里的 b p 和这里的 q e 首尾相连呢？那我们就可以利用构造平行四边形的方式来 做到，那怎么办呢？因为这里的 p q 是 个固定的一个长度，它等于根号，那既然这样，我们就以 b p q 这三个顶点呢来得到一个平行四边形，也就是过这里的点 b 做这个 p q 的 一个平行线， 而且呢还让这条线段和这个 p q 相等，它也取根号，这里取到一个点 m， 那 由于 b m 和 p q 是 平行且相等的，那这是我们去连接这里的 q m 的， 那我们就能得到这个 p b m q， 它就是一个平行四边形的，那根据平行四边形的限制，对边呢，它是平行且相等的，所以 b p 呢，我们就转化到这里的 m q 上来， m q 加上 q e 的 最小值，那它就变成了矢位相连的两点线段。那根据两点之间线的最短，我们只需要连接这里的 m e， 那此时 m e 与我们线段 b c 的 交点就是我们想要求的 q 点的位置，那这两条线段的和它的最小值是大于等于这里的 m e 的， 那接下来我们只需要求 m e 的 长度就行，那如何来求 m e 的 长度呢？我们再来分析一下这个题目条件啊，我们想要求这里的 m e 呢，因为这里的 m c 呢已经是知道的，那这时候呢，我们可以将这里的 m c 呢进行延长，得到这样一个 直角三角形 m n e， 我 们只需要求这里的 m n 和这里的 n c 啊，然后利用勾股定律就可以求出来 m e 的 乘以，那如何来求 m n 和这个 n c 呢？这个时候我们就想到这个点 m 的 由来，因为那这个 m 的 由来是过点 b 做的，这里的 b m 和这里的 p q 它是平行且相等的。那我们想要求这里的 m i， n 包括 c n 的 长呢，我们还可以过点 m 做这里的 bc 的 一个垂线，设这样一个垂足呢，为这里的 h， 那我们只需要求这里的 m h 和这里的 b h 就 行，那由于这里的 b m 和这里的 p q 它是平行相等的，因为这样一个 a b， c， d 的 一个边长为二，那我们此时呢，就可以过点 q 做这个 ab 的 一个垂线， 因为这样子的话，哎，正方形的边长是等于二的，而这一段的长度呢，也就是这里的 p q 的 长度呢，就等于一，那这时候这里的 p h 就 等于一，然后 h m， n， c 呢，它是一个矩形，那所以这里 c n 就 等于二，然后 m n 也就等于一。那在这样一个直角三角形 a， e， n， m 中呢，两个直角边分别是三和一，所以这时候 e m 的 长呢，就等于根号加三个平方加一个平方等于根号加十， 所以它的最小值就是这里的 e m 的 值等于根号加十。解决这道题的关键就是要第一件事情就是利用好正方形的，这是自家的一个模型，如果在选择题目中，如果出现了在正方形里面有两条线段垂直，它就相等，反过来如果它相等，也就垂直。 然后第二件事情呢，就是通过构造这样一个频次编辑， p b m q 这样一个频次编辑，将这里的 b p 转化这里的 m q 上，然后我们就可以利用两点之间线段最短，得到这里的 m e 是 我们想要求的最小值。那在求结过程中，我们需要构造这样三星，然后再利用这样一个设计师家的一个基础的真爱权等来求点这里面的这些线段，然后再利用空心来求解，你学会了吗？

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暖风吹那钟，来到羊群，悠然吃草。 hello hello， 大家好，最帅的王老师，今天给大家带来一种什么正方形三大模型。第二种模型是什么？是绊脚模型。遇到绊脚模型是干嘛？就构造就完事了？也叫旋转， 一般用构造啊，看怎么来看笨脚模型，笨脚模型就是什么？就是直角的一半，一遇到它就构造在正方形 a、 b、 c、 d 中 e 被，这是见 b、 c、 b、 a 上的一个动点，对吧？做角 e、 d、 f 多少度？四十五度。遇到这种你干嘛去构造？ 怎么构造呢？问你 e、 f、 a， e， c， f 的 关系吧？ e、 f， a， e、 c、 l 的 关系。你们还记不记得之前一个技巧，证明这上面数量关系以后干嘛？转化到同一条直线上，然后利用三角形全等去证明这是搭上知识对不对？那怎么办呢？看我构造什么？我延长 a、 b 构造一个四十五度的角，你看这个等于四十五度吧，这是九十度，所以这两个角加加起来多少度？是不是四十五度？我把上面的三角形咋了？这三角移到这边，延长 a、 b 对 不对？对吧？在 a、 b 上取什么？取 c、 f 等于什么？ a、 b， c， d， e， f， g 取 a， g 等于 c、 f 不 就完事了吗？再连接 d、 j， ok 了。那你看这两个三角形 a、 d、 j 和它全不全等？和这个角和这个三角形全等吧。 a、 d 等于 cd， 这个边又等于，这个边又因为直角 h、 l 全等吧，完事。 很简单吧，是不是很简单？生活如此简单，对吧？ 听懂了没？那全等以后，你看这个角等于多少度？不就四十五度了吗？半角转换过来了吧？转换过来有什么用呢？看好当然有用了， 你看转换过来，这是四十五度，这多少度？是不是四十五度？又因为全等以后 d j 和 d f 相不相等？是不是相等的？ 相等吧。那相等以后，你看 公共边，哎。 cs 全不全等？全等以后 j e 等不等于 ef？ ef 等于什么？就等于 j e j e 又等于什么？ a j 加 a e， a j 又等于谁？ h 等于 c f 加 a e， 你 看看是不是正好在同一条直线上？它没有存在的全等？ 固固固有套路。然后看第二问，如图二，当点 e 在 哪？在线段 b a 的 延长线上时，对不对？那么依据题补全，图二， 点 e 在 这，对不对？那个干嘛呢？他怎么提议呢？说什么做 e， d， f 等于多少？四十五度吧，先秒天连接 e d， 那 怎么了？你用两脚去量一个 e 等于 f 就 行了。呃，等于四十五度不就完事了吗？ 对吧？交 b c 于什么？于点 f 延长 b， c， 这是点 f， 这不就完事了？答案就出来了呗。那证明 e f， a， e， c， f 的 关系吧。连接 e、 f 还是需要你干嘛？还是需要你 转换到同一条直线上？ e f， a， e， c， f 在 同一条直线上，怎么转换？看好老铁。看好喽，看好喽，来喽，怎么做呢？半角模型，谁是半角？这是四十五度吧，对不对？ 这四十五度，但这是四十五度吗？他可不是的，他肯定比四十五度大。为什么呢？因为这四十五度，他是九十度，这还有一半呢呀，所以这个角肯定是小，就这个角小于四十五度，所以他肯定比四十五度大。所以干嘛取四十五度？ 怎么取呢？构建四十五度。怎么构建啊？看好在 c b 上取什么？取 a e 就是 让让谁让这个 c a b c d e m c c f 等于 a e 不 就完事了吗？ 那这两个三角形全不全？它这四十五度对吧？ 对吧？那取了以后，你看全不相等？ c f 等于 a e 这个和等于这个直角等于这个全等吧，全等以后， d f 和这个相不相等，是不是相等？又有公共边吧？是公共边。然后你看这两个角等于多少度 等于多少度，它为四十五度吧。为什么呢？为什么呢？因为刚才说了，全等以后，你看对应角相不相等。哎呦我的个头呀，完蛋了， 全等以后，对应角相不相等？这个角和这个角是不是相等啊？对吧？这个加这个等于多少度？是不是四十五度，对吧？ 没毛病吧？那这个加这个呢？也就四十五度，那中间这个呢？就四十五度嘛？是不是那四十五度 s e s 全不全等？全等以后， e f 等于谁？ 等于？这是 f 有 f 了，我这设为点 g 吧。 e f 等于谁？等于 f g 吗？ e f 等于 f g 了，你可遇到半角模型干嘛就构造全等，然后转换过去就行了，就这样考你 e f 等于 f g 吧， 对吧？ e f 等于 f g。 问你谁问你 e f a e 现在是谁？是不是 c g 和 c f 的 关系吧？那 c f 等于谁？等于 c g 加上 f g c 的是谁？ c d 不是 a e 吗？ f g 不是 谁 e f 吗？所以这不出来数量关系了，是不是很简单？所以这是绊脚模型。那下一种题型呢？给大家带来什么？手拉手模型这种题呢，比较有点难度了，这道题手拉手其实你们全在里边也见过，但是有点难度了啊。没事，没关系的，不要害怕， 请点个免费的小心心。下一期视频给大家更新安排好不好？拜拜。

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