第四章三角形思维导图七下怎么写

来，我们来看一下这个题啊，他说如图，在三角形 a、 b、 c 中， p p 点是角 abc 与角 a、 c、 b 平分线的交点，什么意思？换句话说，就是说 b p 平分的是 abc 嘛，对吧？角平分线，角 abc 的 角平分线， 那说明标啊，角一等于角二，为了方便就标角一角二，然后 a、 c、 b 也有个角平分线，那就这叫 p c， 对 不对？它角平分线和 abc 角平分线交于点 p 啊？那这就是角三，这就角四，对不对？ 那他最后求的是角 a， 求这个角，他告诉你角屁是二倍的角 a， 那 我们在图中就可以看到两个三角形呀，对不对？两个三角形，那我知道三角形内角和不是一百八十度吗？对吧？那我们先写啊，因为因为 b p 平分，角 abc， 然后呢 c p 平分，角 abc。 来，我们来看一下这个题啊，它说如图，在三角形 abc 中， p p 点是角 abc 与角 a、 c、 b 平分线的交点，什么意思？换句话说，就是说 b p 平分的是 abc 嘛，对吧？角平分线，角 abc 的 角平分线， 那说明标啊，角一等于角二，为了方便就标角一角二，然后 a、 c、 b 也有个角平分线，那就这叫 p c， 对 不对？它角平分线和 abc 角平分线交于点 p 啊，那这就是角三，这就角四，对不对？ 那他最后求的是角 a， 求这个角，他告诉你角屁是二倍的角 a， 那 我们在图中就可以看到两个三角形呀，对不对？两个三角形，那我知道三角形内角和不是一百八十度吗？对吧？那我们先写啊，因为因为 b p 平分，角 abc， 然后呢？ c p 平分，角 a c b， 我们继续来看啊，嗯，应用平分，那么所以角一等于角二，那么角三就等于角四好，角三等于角四，那我们就要用两个三角形的内角和啊。首先第一个在三角形 a、 b、 c 中， 这个大的三角形 a、 b、 c 中哈，那么角 a 加角一，加角二，角一加角二，其实就这个 a、 b、 c 嘛，对吧？那再加 角 a、 c b a、 c、 b， 是 不是角三和角四组成的？那就直接写加角三，加角四等于 一百八十度啊，为什么不直接写大角呢？因为你看在这个三角形 p、 b、 c 当中，你就没法用这个大角了，对不对？用二分之一就比较麻烦，所以我就再继续写啊。在三角形 p、 b、 c 中， 那就可以看到 p b、 c， 那 角 p 就 这个对不对？角 p 加角二，加角四，角 p 在 这角二、角四，他们三个加起来是不是也是一百八十度？ 那我们来比较上下两个式子哈，这里有角二和角四，那这里是不是也有角二和角四呢？对不对？那两个式子，因为两个式最终都是一百八吗？ 对吗？最终都是一百八，那把共同的去掉，角二去掉，角四也去掉，那剩下的是不是应该相等呢？剩下是一串哈，那就是 角，呃，角屁等于，你看这两个角二角四去掉，是不是只剩角屁了？等于上边，上边除去了角二和角四，还剩角 a 加上角一，角三，是不是还有角一和角三呢？加上角一加上角三， 对吗？那题目中告诉我，因为角屁等于二倍的角 a 好， 角屁等于角 a 加这俩角，那角屁又等于二倍的角 a， 也就什么意思？也就等于角 a 加角 a， 二倍角 a， 两个角 a 嘛， 那所以我就可以看到角屁等于角 a 加他俩，角屁又等于角 a 加角 a， 那 这两个是不是一样？所以说角他们的关系有什么？角 a 就 等于角 a 和这俩等于这俩的和，对不对？角 a 就 等于角一加 角三。好，角一加角三，那所以说，那我们现在找出角 a 和它的关系，那怎么办呢？再回到三角形 a、 b、 c 当中去啊？再回到 a、 b、 c 当中， a、 b、 c 当中是什么呢？角 a 加角一加角二加角三加 角四等于一百八十度，对不对？那角 a 就是 角 a 喽。那角一加角三，角一加角三，我在这写了，是不是角 a 等于 角 a？ 嗯，不，不错了，错了，角 a 加，我把角一和角三拿出来，他俩合到一块，是不是还是一个角 a， 再加还有个角二和角四呢？那你这里看啊，角 a 等于角一加角三，那角一和角二是不是相等的？ 角三和角，角三和角一和角二相等吗？刚才角平分线对不对？然后角三和角四是不又相等？那么所以其实这里也就等于角也不止等于角一加角三，角一还能替换成角二，角三还能替换成角四加角四，对不对？所以说角二， 所以说这里的角二加角四又是一个角 a， 再加角 a 等于一百八十度，那么就是三个角 a 等于一百八十度，角 a 就 等于六十度 啊，可以看一下这个过程。

今天老师教第几章了？今天老师教了第四章的三角形。第四章对不对？ 第四章对不对？第三，第四章里面要学什么？要学认识三角形，还要认识全等三角形，还要探索三角形要全等条件。第一第一节是什么？认识三角形，认识三角形，对不对？那认识三角形，你就要知道三角形有什么东西？ 有，有几条边，还有几个角，它有边跟角，对不对？它有边跟角构成的。那它的边需要满足什么条件？比如说随便三条边都可以组成三角形吗？不是的。那不然呢？ 要两要有一，一要就。假如说有两个角是一，不是？是边。我们现在说的是边， 满足要满足两条边之合要比第三边来的长。哎，两边之差要比第三边来的 小小，对不对？好，比如送我举个例子，一二三，一二三能构成一个三角形吗？不行。为什么？因为，因为它两条边加起来要大于第三边，所以一角，所以一加二等于三，三等于三，所以不能构成一个三角形，对不对？这是 三角形的边需要满足什么条件，对不对？对哦，那他除了边还有什么？他除了边还要还要全等的条件？不是？他三角形里面除了边还有什么东西？角角，对不对？那三角形的角有什么特点？ 三角形的角，他三三个角的和合起来等于一百八十度。对，三个角的和是等于一百八十度，对不对？那我们按角来分，可以把三角形分成三个角，分成几种三角形分成直角，三角形、 钝角三角形、锐角。对，那其中比较特殊的是直角三角非常好。直角三角形，那满足什么条件他才能是一个直角三角形？ 直角三角形有一个角是直角，对，直角就是九十度。对对对，然后剩下的那两个角要互余，对，互余就是两个角加起来等于九十度。哎，如果是互补呢？互补的话 三加等一个九十六，他刚刚是负余啊，一百八对，一百八是负负， 如果是负余是负余，是相加等于相加等于九十六对，那这一个其实就是我们要去认识他，认识三角形对不对？那三角形包括边跟角，那其实接下来还会研究他的 线啊，所以就是就是认识他，就从这三个方面去了解他。边角线那线的话，今天老师讲了 讲，今天老师讲了高三角形的高线，也就是三角形的角平分线、角平分线，还有还有三角形的中线，对不对啊？所以其实认识三角形就是认识他的边角根线线分成 线，分成高线、中线，还有平角平分线。对，那今天就讲到这里，拜拜。

今天的视频可能有点长，跟大家来分享一下思维导图对于我考试上的一个时间运用吧，尤其是临考前的临阵磨枪，跟大家简单来分享一下。 那首先说一下如果说你日常中思维导图运用的方式，我觉得大家先应试教育嘛，一个就是理科，然后一个呢就是文科，要分开来说的理科的话，就我自己之前也是理科生嘛，我觉得他首先呢是你看一个书 啊，这本书的考点有几个考点，可能说三角函数啊，圆啊，三角形，然后对应的这个公式一般是到这我自己就差不多了。当然如果说你再想往外拓展的话，你可能就需要通过做题来练习巩固一下这公式的运用，因为有时候他会涉及到变形吗？ 那对于文科我觉得是非常非常好用的，就我觉得他对文科的启发是大于理科的。 那对于文科这一块我跟大家来分享一下，因为语言学他还是属于文科的一个范畴。那我结合一下我自身，就我大学的时候是有一门叫法国文学， 这门课的话是大三的时候，当时可能大家法语的学习水平没有那么高，但是你学文学就会更深色难懂，还有要考试就很难，所以大家都比较头痛，包括其实当时可能通过率也不是很高，但是我当时研究的就是怎么用思维导图去把这个化解掉， 就是让他变得更容易一些。后来有补考同学拿了我的导图，他说很有用，所以跟大家来分享一下我做思维导图的方式吧。包括像这次的考试有一个叫什么翻译理论， 其实翻译理论呢，我之前就是没有接触，我是怎么准备呢？咱们就是说啊，全靠工具，我结合各个工具给我的一个答案，然后就总结了一下。那我今天呢就以这个为例，跟大家实操一下 具体怎么样去做一个思维导图。就首先说一下这个翻译理论可能没有那么完整，我是借助工具，而且我只需要去积累一下，常见的不是说所有的翻译理论我都要知道，那我大概就这样准备的，跟大家来分享一下我整个一个过程。那首先第一步你要了解， 然后通读，那举来说他当时工具呢给了我一篇文章啊，有很多，我首先呢要了解这个讲的是什么，我最起码要知道翻译理论他是一个什么东西， 还有就通读一下他大概设计的是什么内容啊，有可能涉及到有些人物啊，人物他们提出来的一些观点，就这些我是都要去了解的，你不能上来说，我就开始背，背的重点是什么你不知道， 我当时是这样子拿这个本子就是我在所有通读里以后，我先去整理了一下，我觉得它是重点东西。那其实我当时时间没有太来得及，我就在脑海里边自行去给他复述整理了一个思维导图了。那如果说你时间还是有的话， 或者说你还比较勤快的话，你可以动手写一下，我觉得是更有效的，这个是我当时整理的这些纸质性的，那后来呢，我就把它就是画在脑子里边，就内化成自己的东西去复述了。那我们今天就来做一下， 通过这些一堆的文字，怎么样去更加高效的便于你去应试。那首先就是翻译理论， 那翻译理论的话，我找的资料里它是分为两个流派的，按照地区嘛，首先西方还有我们 国家的。那首先西方这边呢，它是给了我五个，那我就记一下五个，但是最重要的是有四个，你要把数字标一下，我觉得数字起的作用是非常关键的。那这四个有什么呢？首先第一个就是语言学派， 然后第二个是功能学派，空一定的距离，万一你以后有东西可以写，你就给自己空好了，那我就不写学派了，我就知道他就是这同类的嘛。然后第三个呢是文化学派， 第四个是结构学派，这部分你没关系，你挪到下边来写都无所谓的，就是你的笔记是自己能看懂就行，就不需要说一定要多没。那我们就展开来说下。第一个 语言学派，它其实是有三个代表人物的，你就写三数字超级重要，这个是你后续去在脑海里形成记忆非常非常关键的一个点。首先第一个就是罗曼，什么什么，哎，就是这个，这个名字很复杂，我就写个罗曼吧。 正常情况下，他的重点的人物你是一定要记牢的，就是其他的你可能说是稍微模糊一点，但是重点的人物和作品就咱们这关键词， 这个是非常非常重要的，一定要记牢。他怎么写？然后呢？你给自己的，我给自己的提示就是罗马。当然其实可能大家不学外语，你你的关键词其实就是这个中文了，就不用这么去写了，我还要写一下，因为总是你的第一想法还是记中文比较记的牢嘛。那罗马他提出来一个什么呢？ 你在后面去写，他提出来了两个吧，一个呢就是语言本身的功能和语境，其实后来我觉得这个不是特别重要，所以我觉得他提出来一个最重要的就是什么三分法叫什么来着。哎，这可绕口了。嘿，说多米， 那第一个人物就好了。那第二个人物是谁呢？呃，卡特福德。 然后他提出来的一个是什么呢？就一个我就直接记头了。等值转换理论，其实我应该是写法语的，但是就是英中文比较好记。 嗯，法语的话可以展开去说，等值是 a g， 呃， valent， 然后形容词形式是 a g valent， 可以 写一下理论，理论是 la d o p， 然后转换转换，我一般会用 la tony 熊。所以说你自己去组合，你知道这些单词你就可以自己去组合了嘛。但是这个概念反正我知道就好了。那下一个呢？就是一个非常有名的人物，叫 尼达奈德。啊，奈达，说错了，不好意思，奈达就他是非常有名的，就很多，我会看到别人说考翻译理论都会考这个人。那这个人我就要啊，重点关注他。那他有两个贡献吧。首先第一个就是他翻译了 bible， 然后呢？第二个贡献呢？就是他提出两个观念，一个是动态对等，然后一个呢是功能对等。 其实我当时有查那个翻译软件，它给的这个翻译都不太一样，但是我就按照结合下自己的理解吧，它这个对等应该还说的是 a g balance， 就是 这个等值 a g 完了，然后动态的话用的形容词就法语，它是形容词，就这种长的都在名词后面，然后用的 dynamic 啊， dynamite 嘛，然后功能就是或者是 uh function， 奈勒就是法语，一般就你知道怎么读就可以写，因为它那个发音就是固定的，所以它提出来也是 uh legibandus， dana mica， a function， 奈勒就这两个，那你就知道了。 那除了这些呢，我还有一个额外的动作，因为我觉得这个东西太少了，就到时候问我，我就说比较干。那我就总结一下，因为他们都属于语言学派嘛，所以说他们有个共同点，就是他们就比较强调 语言本身的功能，还有语境，就是遵循语言啊， 重复这个本身的内容吧。好，这些就 ok 了。就我先举这个例子，那举来说到时候你怎么去复习呢？ 那你的复习的想法就是这样子，你到时候全部写完以后，你先记记差不多，然后你可以自己去复述，我一般是边复述边记啊，是这么记的。 那翻译理论呢？它是分为两部分，一部分呢是西方，一部分是中方。那西方的话它是有五个理论的，常见呢，我们有四种，有语言功能，文化结构。那在语言学派里，它是有三个重要代表人物，一个是 hohmann， 一个是 get four， 然后一个是妮达，然后其中呢？ hohmann 呢？他提出来一个三分法，哎，你这个是必须要记住的。还有一个呢是 get four， 他 提出的等值转换理论，还有妮达，他非常的重要，因为经常会考这个人，这个人就很火。 然后他首先呢翻译了 bible， 然后另外一个呢，他提出了动态对等，还有功能对等这两个概念。那宇爷学派这些人呢？他们的通用的一个理论就是必须要强调一下宇爷本身这种功能啊，语境就遵循一下这个原文的这个特色吧，可以这么去理解。好， 那这一部分你就记住了，就复习完了，其他的一样的，你就按照这样子去给自己去复述，复述的同时呢，你就记得很牢了，数字一定要记住起的关键性作用，还有关键的词，这都是关键词。还有一个复述完了以后，我觉得很重要的一部分就是模拟， 你要知道人家大概会怎么去问，其实包括之前我工作，我觉得我面试成功率都比较高，就是我要想一下他会怎么去问我，我大概去怎么答？那绝来说，对于翻译理论这一块，老师可能会问你啊，请你说一下你知道的翻译理论， 对吧？你就想说几个哦，翻译理论这一块呢，呃，有关于西方中方的，其实都有一些非常有名的人，然后他们在翻译理论上的有所成就，那我比较熟悉呢，对于西方来说是尼大啊，对于中方来说，那我们一定不陌生。严复的信达雅，你这样去，你就可以展开去说了。 那还有呢，老师可能直接问到人，这个就是更具象化的，就举例来说，老师说，你说一下你打，那如果说你没有这些网络的准备，你会怎么说啊？你打他翻译了啊 bible， 然后他有两个理论，动态对等和功能对等，没有了 你你就完了，就很干巴，但是呢，你文科类型的，其实你还是要表述的更完整更好一些，老师会觉得哦，你是有一个体系在你的脑袋里边的，那如果说现在就即兴让我去回答一下，你答我更建议怎么去说呢？ 尼达呢，对于学习翻译的朋友来说应该都是不陌生的，他在翻译理论这一块呢，是有所造诣的，也是属于西方翻译理论里边非常有名的一个学派，叫做语言学派。那这个学派呢，其实主要主张的就是我们要强调 语言本身的一个功能和语境，翻译的时候呢要遵循这个规则。那同时对于尼达本人来说呢，他的造也是非常高的，他首先呢翻译了我们举世闻名的 bible 圣经这本书， 同时呢也提出了两个理论，一个呢是动态对等，一个呢是功能对等，那这两个理论呢，对于我们现在学翻译来说，其实时时刻刻也是运用到的， 那再往后你再去延伸，就如果说你对于你俩他这两个理论知道比较多的话，但是可能对于我当时来说我就不知道很多了，那我就只能说是把前面这些去多说一说就是，总之你知道什么你去说什么，但是这样子一个框架下来， 就你总是有的说的，而且对于你的记忆是比较深刻的，就大概跟大家去演示一下我当时去记东西，我大概是怎么去记的，你可以试一下这个方法，对于这种文科性的一本书来说，去记录有没有用？还有就是哦， 我再补充一点，就是文科性的我觉得一般是可能以书为单位，你书的话你去按照目录， 然后去展开，这样子去做思维导图，我觉得是一个非常好的方式，这样子每一张呢，你可能就是一张纸，或者说他可能内容太多了，那每一小节就是一张纸， 这样整张纸下来一摞一摞的，你就明白了。我这本书呢一共有十张纸，十个章节，每个章节呢是说什么？每个章节是说什么？我觉得你自己可以复述完成一本书的， 因为他这个图像的记忆是比你单纯的看那么一页一页的资料强，非常非常多的，就推荐大家可以这样去试一下， 做完思维导图的同时呢，自己去复述给自己讲课，同时呢去模拟一下，可能会遇到一些问题，去尝试一下怎么去描述，怎么去运用，这样的话对于你应试来说应该是会有所帮助的。

今天什么案子坐标系中的三角形面积棘手？ 很多同学方法学了一堆，但其实核心策略只有一句话，数理黑板侦探索新案件接受委托。 提到坐标系中三角形面积的算法，你肯定能脱口而出切和补。如果你的水平够优秀，你甚至可以写出方法的思维导图，把它分为简单的横竖三角形和斜三角形， 再细分切和补。如果你比优秀还优秀一点点，你应该听过千锤法、中心开花和钻石切割。但如果要达到顶尖水平， 所有这些方法都可以忘掉，只留下一句话，找到横竖线段长度。在讲具体题目之前，咱一定得搞明白，这个面积是怎么来的啊，就类似于人是怎么从猴子一步一步变过来的啊。 在七上的时候，我们重点学了竖轴上两点间的距离，它就是一个一为长度。你比如说负三和四的距离是他们的坐标的差，四减负三等于七， 那坐标系无非就是有两个竖轴，一条是横向，一条纵向 x 轴和 y 轴。 同时对应点的坐标就有两种属性了，不像这个只有一个方向，横向的对应的一和四，纵向重坐标对应的一和三。此时去描述 a、 b 距离时，斜线段我们暂时还不会算它的长度，但是横向的距离和纵向就可以算了。 横向的距离找横坐标的差，一到四差是三。横向的距离找正坐标的差，一到三，差是二。不怕大家笑，很多同学复杂的计算写了一大堆，最后倒在哪呢？在算线段长度时，坐标 找反了，横纵找反了，一旦你会算横竖方向的线段长度，我再增加一个点， c 连接就变成了三角形。当我把 c 在 平面中随意的移动，就变成了 计算难度各不相同的三角形面积的算法。先看第一种最简单的三角形 a、 b、 c 面积的算法。我相信没有人会选 a、 b 和 a、 c 当底啊，因为 这种斜线段的长度咱们现在不会算，但是 bc 很好算呢，它是从负二到四，距离是六， 所以我把这条横线段就当做三角形的底。那叉一条高，从 a 往下做一条高，这个 h 刚好就是纵向，长度 是四，从四到零嘛。那 s 三角形 a、 b、 c 就 等于公式法直接来二分之底乘高，也就是二分之六乘四，等于十二。那你跳出来看， 为什么这种三角形面积很好算，就是因为它的底和高分别是横竖线段，它的长度很好算。你再看同样简单的第二题啊，养成好习惯。 此时坐标系上并没有给那个格点，我们把坐标标上去， a 负二负一， b 负二五， c 是 四 三。要算三角形 a 与 c 的 面积，仍然是优先选择横竖的边， 不会选 b、 c、 a、 c 的， 因为算不出来。 a、 b 很好算，横向找重坐标的距离，负一到五，它是六，所以我选这条边当底，那高就是从 c 往它做一条垂线， 刚好这个高是一个横向的线段，那找横坐标的距离，这边是负二到这来是四，负二到四之间差六，所以 h 也出来， 所以 s 等于直接用公式，二分之六乘六，等于十八也出来。你再跳出来想，为什么它简单，仍然是因为它的横竖线段很好找。再看第三题， 给了 a 坐标零一， b 二零 c 四三，我也可以标一下坐标啊，求 a、 b、 c 的 面积。 这时候你就发现了这个三角形的三条边， ab 是 斜着的， bc 是 斜着的， ac 也是斜着的。我们说算面积的核心是找到横竖线段的长度，因为横竖线段能根据坐标算出来 这三个都是斜的，肯定不行。所以我想到切或者是补，要么把它切成横竖，或者把它补成横竖的形状。好，先试下切。 哎，有人想，我从 a 做一条水平线交到这来，这个点呢，你说他到三吗？也没到大概多少呢？哎，我猜一下二点八，纵坐标是一， 能不能这样猜呢？不行，你猜二点八，别人猜二点七呢，没有依据啊。还有人想，哎，我从 b 竖着切刀也可以啊，这很像啊，你看这个点，哇塞，他跟这好像哦，所以这个点的坐标是二二可以吗？真不行啊，我的公主王子们， 你不是马良，你不能说他是几就是几啊，等后面我们学了三点贡献，你会明白，要想算这个点的坐标，且得费功夫呢。 所以说切不行，因为切出来这个点，咱不知道他的具体位置，那就换补，我怎么给他补成一个大的图形，用大的图形减去，其他我不要的， 哎， ab 很 舒服，在坐标轴上过 c， 我 补。补什么样的线，你别补斜线，本来斜线就算不出来，所以补横竖线，我发现补一条线就够了， 做垂线这个点标 d， 此时你发现出现一个 a、 o、 d、 c 直角梯形，然后我养成好习惯，我把线段长后边上去，这是一，这是二， 这边也是二，这是横向的， r 是 三，你可别搞成四了啊，看重坐标，零到三是三， 那面积不就来了，一个梯形的面积，上底下底高都知道了，减去两个小三角形没得问题啊。当然 有人想，老师，我习惯性的，你既然有竖线，我就还可以补一条横线，我补成一个长方形，可不可以？可以，长方形算面积会快一些。这是三，这边是四，但是减的时候你需要减三个三角形啊， 所以这我就用七星来做了啊。写格式的时候我还是要说一件事啊，由于坐标系算面积里边这个辅助线啊，不难， 但是到后面复杂图形的时候，辅助线会做很多，又不难，但是数量很多。如果你去说汉字啊，真的很费功夫啊。所以我的观点，两个字，把所有的辅助线交代一下，哪两个字呢？ 如图，我认为就够了啊，不要像小学生只有一个算式，像这样的啊，啪啪啪啪，你这没有逻辑的，咱把那个等量关系给写出来， s 三角形 abc， 等于 s， a， o， d， c， 减去 s 三角形 a， o， b， 再减 s 三角形 b， c， d， 这就是等量关系啊，我们就想看这个逻辑啊，然后你就可以直接代了， 二分之上底一下，底是三，高是四，减 a， o， b， 二分之一乘二，减二，分之二乘三，最后结果是 四。好，最后总结，为什么这个题需要去做辅助线，就是因为三角形三条边都是斜的，你没有横竖线段，你既然没有，我就自己做 a 和 b， 这已经有现成的两条坐标轴了， 所以我用 c 往下做，当你再做一条也行，补偿方形。但是只要有横竖线段了，那无非就是个面积的和差，而注意为什么不能切，在这个图里边，你横着切和竖着切，这个焦点的点的位置不确定，要想算它可费劲了。 当然也还可以切它的方法叫中心开花，我后面再详细讲。关注梳理黑板，现在下课。

我们今天主要来学习的是三角形的概念以及角的关系。在我们的日常生活中呢，我们经常能看到三角形的影子，比如说我们一些交通标志中，我们经常会出现三角形， 除了在交通标志中，我们经常看到三角形，三角形在我们的建筑结构中也是经常遇到的， 比如说我们的房梁，它就是一个三角形的结构，那么观察一下这个房梁的结构，你能从中找出几个不同的三角形吗？ 在这个房梁的结构中呢，其实是存在很多三角形的形状的，比如说这里是一个三角形，那么这里也有一个三角形，另外呢，这还有一个三角形，当然这里面还有其他的一些不同的三角形， 那么我们来观察一下，这些三角形有什么共同的特点呢？首先呢，我们会发现这些三角形呢，他都是有三个角，另外呢， 三角形他都有三条线段构成的，这三条线段呢，他们都不在同一条直线上，并且呢他们是首尾顺次相接的， 那么我们把由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形就叫做三角形。 三角形呢，我们可以用这个符号来表示，如图是顶点为 abc 的 三角形，那么我们就可以记作三角形 abc。 在之前呢，我们学习过线段的表示方法，一条线段可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，那接下来呢，我们来思考一下，三角形的边我们可以怎么表示呢？ 我们知道三角形的三条边呢，是三条线段，所以呢类比线段的表示方法，三角形的三个边呢，我们可以用顶点的两个大写字母来表示，那么在这个三角形中呢，它的三个边就可以表示成 abac 以及 bc。 另外呢，三角形的三个边呢，我们还可以用小写字母来表示，在这里呢，我们可以表示成边，小 b， 小 c、 小 a。 在这里我们需要注意，用小写字母表示的时候呢，是有一定要求的。我们来看顶点 a 呢，它所对应的边是 bc 边，那么 bc 这条边，我们就用小 a 来表示。 顶点 b 呢，它所对的边是 a、 c 边，那么 a、 c 边我们就用小 b 来表示，顶点 c 所对的边是 ab 边，那么 ab 边我们就用小 c 来表示。 在研究三角形的时候呢，我们经常要研究三角形的三要素，那你知道三角形的三要素是哪三要素吗？是的，三角形的三要素呢，是顶点、角以及边。 我们来看三角形 abc， 它的顶点有三个，分别是顶点 a， 顶点 b 以及顶点 c。 接着我们来看它的角，三角形 abc 呢，有三个角，分别是角 a、 角 b 以及角 c。 最后我们再来看它的边， 三角形 abc 呢，有三条边，分别是 abbc 以及 ac。 好， 那学习完知识点，接下来呢，我们来看一道例题， 在这里呢，给到我们一个大三角形 abc， 过点 c 呢，有一条线段 c、 e 过点 b， 有 一条线段 b、 d， 它们相交于点 f。 那 么观察这个图形，以 c、 d 为公共边的三角形是什么呢？ 首先呢，我们先找到 c、 d 这条边，那么 c、 d 边，它所在的三角形是不是就是 c、 d、 f 以及 b、 c、 d 这个三角形， 所以以 c、 d 为公共边的三角形就是三角形 c、 d、 f 以及三角形 b、 c、 d。 接下来问我们角 e、 f、 b 是 哪个三角形的内角？我们首先先找到这个角，角 e、 f、 b 它在这里。 那么找到这个角之后，我们不难发现，角 e、 f、 b 呢，它就是三角形 b、 e、 f 的 内角。 好，那接下来呢，我们继续往后看，在三角形 bce 中问我们 b、 e 所对的角，以及角 c、 b、 e 所对的边分别是多少？首先呢，我们先找到这个三角形 bce。 那么第一个问我们 b、 e 所对的角 b、 e 在 这里，它所对的角是不是就是角 b、 c、 e。 接下来我们再来找角 c、 b、 e。 角 c、 b、 e 是 这个角，那么它所对的边就是边 c、 e。 好，那我们继续往后看，以角 a 为公共角的三角形分别是哪些三角形呢？我们先来找到角 a 在 这个位置，那么角 a 所在的三角形有哪些呢？第一个三角形 a、 b、 d。 第二个还有三角形 a、 e、 c。 另外呢，它还在三角形 abc 中，所以以角 a 为公共角，那三角形有三角形 a、 b、 d。 三角形 a、 c、 e 以及三角形 abc。 好，那现在呢，我们知道了三角形的定义以及三角形的三要素。接下来呢，我们来学习三角形的内角和以及其推导过程。在小学阶段呢，我们学习过通过四角摆拼的方式，得到了三角形的内角和是一百八十度。 也就是说呢，我们将角 b 和角 c 撕下来，像图中这样去摆拼，使得角 b 和角 c 与角 a 的 顶点重合，并且呢，它们的一条边与角 a 的 一边重合。这时候呢，我们就会发现，角一、角二、角三构成了一个平角， 所以我们可以得到三角形的内角和等于一百八十度。那现在呢，小明同学他只撕下了三角形的一个角，也得到了上述结论。那我们来看一下他是怎么做的呢？ 首先呢，他剪了一张三角形的纸片，他的三个内角分别就是角一、角二以及角三。 接下来他将角一撕下来，然后呢，按照图二的方式拼摆， 其中角一他的顶点和角二的顶点重合，另外角一的一条边呢和角二的一条边重合。 小明呢，他就利用图二说明了三角形的三个内角的和等于一百八十度。那他是怎么说明的呢？我们一起来思考一下。 首先呢，我们知道角 a 和角一呢，它是同一个角，所以我们可以得到角 a 等于角一。另外，我们来观察一下角 a 和角一的位置关系，我们会发现角 a 和角一呢是内错角， 那么内错角相等，我们就可以得到两直线平行，因此我们能得到结论， c、 d 平行于 ab。 接下来呢，我们来观察这两个角，角三以及角 b、 c、 d 这两个角是什么关系呢？是的，它们是同旁内角，那两直线平行，我们可以得到同旁内角互补。因此呢，我们可以得到结论，角 b、 c、 d 加上角三就等于一百八十度。 而角 b、 c、 d 它是不是就是角一加角二构成的？所以我们接下来进一步得到结论，角一加角二加上角三等于一百八十度。 那么角一它又等于角 a， 所以 我们就可以得到最终的结论，角 a 加角 b 加上角 a、 c、 b 等于一百八十度。根据上述证明呢，我们可以得到最终的结论，三角形三个内角的和呢，它就等于一百八十度。 好，接下来跟着老师一起来看一道例题。如图，在三角形 abc 中，我们知道角 a 等于六十度，角 b 等于四十度，问我们角 c 等于多少度？ 好，根据三角形的内角和，我们知道角 a 加上角 b 加上角 c 就 等于一百八十度。所以呢，我们是不是可以推出来 角 c， 它就等于一百八十度，减去角 a， 再减去角 b， 也就是一百八十度，减去六十度，再减去四十度，所以最终的结果就等于八十度。因此呢，这道题我们选的是 b 选项。 好的第二个知识点我们就学完了，接下来跟着老师再来思考一个问题。在这里呢，老师给了大家两个三角形， 那么这两个三角形呢，分别都只露出了一个角，第一个三角形露出的是一个直角，第二个三角形呢，露出的是一个钝角，那么你能猜测出被挡住的两个角分别是什么角吗？ 首先呢，我们先来看第一个图形，它露出的角是直角，由于三角形的内角和呢是一百八十度，那么露出的这个角是九十度的角，那剩下的两个角的和是不是就等于一百八十度？减去九十度就等于九十度， 那两个角的和等于九十度，说明这两个角都要比九十度要小，因此我们可以得到这两个角就都是锐角。 好，那接下来呢，我们再来看第二个图形，第二个图形它露出的这个角呢，是个钝角， 钝角是大于九十度的，所以呢，它剩下的两个角就等于一百八十度，减去这个钝角，所以剩下两个角的和就一定会小于九十度，那么两个角的和小于九十度，这两个角也肯定都小于九十度， 所以剩下的两个角呢，也都是锐角。好，接下来呢，我们再来看一个图，这同样是一个三角形，它呢只露出了一个角，这个角是锐角，另外两个角都被挡住了。那么你能猜测出它剩下的被挡住的两个角是什么角吗？ 根据三角形的内角和是一百八十度，露出的这个角是锐角，也就是小于九十度的角，那么剩下的两个角的和就一定会大于九十度， 这时候呢，他的两个角就有不同的情况了。第一种情况，其中的一个角呢是九十度，那么另外一个角就一定是个锐角，所以他是这样子的。那么第二种情况，挡住的其中一个内角呢，是大于九十度的，也就是一个钝角， 那么剩下的一个角就一定是一个锐角，所以是这样的。当然呢，还有一种可能，就是挡住的两个角呢，都是锐角，而这两个锐角加起来是一个钝角。 好，通过上述研究呢，我们会发现，三角形的三个内角呢，可能是直角，可能是锐角，也可能是钝角。那么我们就可以按照三角形内角的大小，把三角形分成三类， 当三个内角都是锐角的时候呢，这个三角形我们就叫做锐角三角形。当有一个内角是直角的时候呢，这个三角形就叫做直角三角形。而当有一个内角是钝角的时候，这个三角形我们就叫做钝角三角形。 好，那知道了三角形的分类，接下来呢，我们再来看一道例题，观察下面的三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形呢？ 我们分别去看一下这些三角形。首先我们来看第一个三角形，它呢，有一个角是直角，因此这个三角形它就是直角三角形。接下来呢，我们再来看第二个图形， 它的最大的角是一个钝角，因此它是一个钝角三角形。好，继续来看第三个图形，这个图形它的三个角都是锐角，因此它就是锐角三角形。 第四个，这个角是直角，所以第四个三角形就是直角三角形。好，接着来看第五个图形， 他的三个角都是锐角，所以他是锐角三角形。第六个图形，有一个角是直角，因此是直角三角形。最后一个图形，他的最大角是钝角，所以他是 钝角三角形。因此呢，我们可以得到这样的结论，锐角三角形呢，是三和五，而直角三角形是一四六，钝角三角形是二七。 在我们刚刚学的三类三角形中呢，有一种三角形是在我们整个初中阶段会频繁看到的，它就是直角三角形。那么直角三角形呢，我们可以用这个符号来表示直角三角形。 abc， 我 们就可以表示成这样子， 其中角 c 呢，它是直角，那么角 c 所对的边 ab 边，它就是斜边， 而另外两条边 a c 边和 b c 边，它就是夹直角的两边，我们就叫做直角三角形的直角边。 接下来呢，跟着老师来思考一个问题，直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？我们知道三角形的内角和呢是一百八十度，也就是角 a 加角 b 再加上角 c， 总共是一百八十度。 现在角 c 等于九十度，那么我们就可以得到角 a 加上角 b， 它就等于一百八十度，减去角 c 也就等于九十度。 那么和为九十度的两个角是不是就是互余的关系？因此我们可以得到结论，直角三角形的两个锐角是互余的。 好，那接下来呢，我们再来看一道例题。如图，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 b、 a、 c 是 九十度，另外 a、 d 它还垂直于 b、 c 与点 d。 问，我们图中与角 b 互余的角有几个？ 我们知道直角三角形的两个锐角是互余的，那么角 b 在 哪个直角三角形中呢？ 首先呢，角 b 它在直角三角形 a、 b、 d 中，所以呢，角 b 加上角 b、 a、 d， 它就是九十度。因此角 b、 a、 d 与角 b 互余。另外角 b 它还在直角三角形 abc 中， 所以呢，角 b 加上角 c 也是九十度，那么角 b 和角 c 就是 互余的，因此我们可以得到与角 b 互余的角总共是两个。 好，那最后呢，跟着老师一起来总结一下本节课的知识要点。这节课呢，我们主要学习了认识三角形。首先我们学习了三角形的概念， 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形就叫做三角形。接下来呢，我们学习了三角形的表示， 三角形呢，可以用这个符号来进行表示，比如说三角形 abc， 我 们就可以写成三角形 abc。 接下来我们学习了三角形按角进行分类。三角形按角分类呢，可以分成锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形。 我们主要是看三角形中最大的内角，如果最大的内角是锐角，它就是锐角三角形。最大的内角是直角，就是直角三角形，而最大的内角是钝角的话，那就是钝角三角形。 接下来呢，我们还学习了三角形的内角和三角形的三个内角的和等于一百八十度。 最后呢，我们还学习了特殊的三角形，直角三角形，我们要记住，直角三角形的两个锐角是互余的。好了，那这节课的内容就是这些，你听懂了吗？课后要多多进行练习哦。好，我们下次课再见。

现在咱们七年级的学生啊，已经学到第四张全等三角形的证明了。有些同学学完之后， 嗯，仍然对证明三角形的全等感觉不知道从何入手。那今天我们就这个问题来给大家解释一下如何证明三角形全等。首先第一个我们学三角形全等的证明的时候，有 判定里有几个，有四个，第一个就是四个判定里你心里要清清楚楚，跟明镜一样。然后我们再来接着分析这个四个判定里面说的就是边和角的相等， 然后再分边的相等的证明和角的相等证明。那么边呢？证明 主要是咱们说已知，一个是已知条件相等的边，一个是什么公共边，还有一个就是边的简单的叠加，就是加或者是减，这就基本上是线段的长的。然后再说这个 呃角的相等，角的相等咱们学过的就是有最基本的一个对零角相等，这是一个常用的。还有一个就是咱们平行学完平行以后的同位角内错角是相等的， 当然还有什么同行内角互补也可以用来转向转化。还有一个就是直角三角形中两锐角互补 互余也可以转化。还有咱们之前说三角形内角和等于一百八也可以用来转化角的东西。所以当我们说要想完成这个，就是把三角形全等的证明学通，首先第一步 就是你要清楚这四个判定力，第二个紧接着是你要会对线段的相等，会证明角的转化，然后会证明， 所以这两步就可以了啊。最后总结一下咱们全等三角的证明，第一个是你定力要非常熟练，第二个是对线段和角的转化要非常熟练，那么掌握这两点，那么全等三角的证明也就思路也就打通了。

告别混乱，让孩子学会系统化思考。如果你的孩子做题没有条理，那么你用下面这个思维地图方法去训练他教不会你来找我。 题目很简单，用边长一分米的正方形和直角三角形两种地砖铺满一个两分米的大正方形，规定两种都必须用，不能剪也不能叠。问一共有多少种不同的铺法？ 关键来了，我们不是要答案，而是要借这道题给孩子画一张思维地图。第一步，让孩子在导读上写下中心问题和条件规则。第二步，引导他发现规律并完成问题转化，这类题都可以用剪纸来提示。 第三步，进行科学分类，让孩子推理出所有组合。第四步，运用有式美句进行探索验证，熟练的是不重不漏的严谨性。 这道题念的是一套拆解分类突破的系统思维模型，以及代数建模、空间想象、分类讨论、有序思维四大核心能力，这才是能运用到所有学科的真本事。想要更多训练题的，点我主页。

欢迎来到别拦我，我要变学霸的第四章第二节全等三角形这节课的内容是天线下侧的重点和难点，一定要认真听。 我们先来看第一个知识点，什么是全等三角形？以及它的表示方法是什么？如图所示， 三角形 abc 和三角形 e、 f 经过平移以后，我们发现这两个三角形是可以完全重叠在一块的。完全重叠在一块意味着什么？意味着这两个三角形是完全一样的，像这样的三角形，我们就把它叫做全等三角形。那全等三角形有什么特点呢？ 那对应边和对应角是相等的时候，有同学会问，什么是对应边？什么是对应角？ 你要在三角形 a、 b、 c 中是不是有一个边是 b、 c、 d、 e、 f 中有一个边是 e、 f， 我 们把它重叠之后，我们发现 b、 e 和 b、 c 和 e、 f 是 重叠在一块的，你像这种能完全重合在一块的这个边，我们就把它叫做对应边。 能完全重合在一块的角，我们就把它叫做对应角。你看这个 b 和 e 就是 一组对应角，那我们怎么来表示两个三角形全等呢？在我们以前所学的知识中，如果我们来表示两个直线平行，我们是不是用这个符号就是两个斜着的竖杠来表示平行啊？ 全等也是一样，我们有专属的符号来表示全等是这一个符号，这个符号怎么写的呢？是一个平躺的 s， 还有一个等号，这个符号就意意思就是全等。 在我们写两个三角形全等的时候，有一个注意的点就是你这个对应角的位置，就是说我们表示这个对应角的这个字母啊， 要一一对应，就它的顺序要一一对应。你像你把 a 放在三角形 a、 b、 c、 c 当中的第一位，你就要把 d， 因为这个角 d 是 角 a 的 对应角，你就要把 d 放在第二个三角形当中的第一位， 后面的这个位置要一一对应。你看我们看到写一下哈，我们写三角形 cba， 它要全等于谁呢？你还能写它全等于三角形 d、 e、 f 吗？肯定是不可以的。你像这个 c， 它的对应角是谁？是不是这个 f， 我 们第一个就要写 f， 角 b 对 应的是角 e， 我 们就要把 e 放在第二位，角 a 对 应的是 d， 我 们就要把 d 放在第三位，就是说他们的这个顺序，书写的顺序你要一一对应，这是我们的表示方法。下面我们再来看第二个知识点，三角形全等的条件。 三角形全等的条件是什么意思呢？就是告诉我们什么样的条件，我们就可以说这两个三角形是全等的。 我们先来思考第一个问题，如果只给我们一个条件，一个条件的意思是什么呢？就告诉我们有两个三角形，他们的他们有一条边，或者是有一条有一个角是相等的。问这两个三角形一定全等吗？ 我们来画一画哈。先看第一个情况，如果只有一条边的话，你看这个三角形， 这三角形是我画的，如果让你去画的话，你是不是有可能会画出来这样的三角形，让别人画的话，他有可能画出来这样的三角形，所以在这种情况下，这个三角形是不全等的。如果只告诉我们一个角呢？你看现在这个是我们 闹的，就说这两个三角形中相等的角，我话说的三角形是这样的，而你话说的三角形有可能是这样的，别人话说的三角形有可能是这样的，所以给一个条件的话，我们并不能说三角形全等，那我们再把难度稍微升级一下，既然一个条件不行，那我给你两个条件行不行？ 两个条件有可能是哪些条件呢？有可能是两个三角形中有两条边是相等的，还有可能是两个角是相等的，有可能是一个角是一个边是相等的。我们先来看第一个条件， 已经知道一个角或是一个边是相等的，我们来画这个三角形。你看这在这个例子当中，我们说有一个角是三十度，有一个边是三厘米， 我画出的三角形是这样的，而你画出的三角形有可能是这样的。你闺蜜或者是你的哥们画出的三角形有可能是这样的，我们三个画出的三角形是完全不一样的，所以这个条件也不行。那我们往后看， 我只告诉我，如果告诉我们两个角呢？我们画出的这个三角形是不是一样的？是我画出来的，而你画出来的有可能是这样的。 是不是我们也保证了我们所画的三角形中有两个角是相等的？我画的角，我画的三角形里面有两个角是三十度和五十度。你画的三角形里面也有两个角是三十度和五十度，但是我们所画的这个三角形并不全等，所以这个条件也不行。那继续往后看， 如果告诉我们两条边呢？错了，我们四和六，我们是不是可以直接连接他们的端点？是不是有的同学说，哎，全等了，那我如果这样换呢？是不是又不全等了？所以这一个条件也是不可以的。 我们再继续往后看，既然一个条件不行，两个条件不行，那我们再把这个难度升级到最终的难度。我们三个条件能不能证明这两个三角形全等？ 这三个条件有可能是哪三个条件？是不是有可能是三个角三个边，两个边一个角，或是两个角一个边？我们先来看第一种可能 三个角的情况，我们所给出的例子是两个三角形，他们的内角都是四十度、六十度和八十度，这两个三角形是一样的吗？ 是不是不一样？通过这个例子，我们就可以显而易见的发现它们是不一样的，所以一定全等。大家看这个条件，三个边有两个三角形，它们的边分别是四、五和七。我们来画一下这个三角形，你可能不会画，没事，我教你， 这个三角形是我画出的，现在假设你会画你画出的三角形，是这样的，然后我经过旋转或者是平移之后，我发现我们的两个三角形是可以重叠在一块的。那 我在这个条件下，就是说，当告诉我们两个三角形的三条边是相等的时候，我就可以说这两个三角形是全等的。 这时候爱问问题的你肯定会问，为什么？你是不是在这里糊弄我呢？我们来看看我们是怎么画的哈，当你知道我们怎么画出来的这个三角形的时候，你又知道了，哦，原来任何一个人，他这个条件下画出的三角形只有一只有一个， 我们来看看。据已知三条线段画三角形的方法，下面给了我们三条线段分别是小 a、 小 b 和小 c。 在 这里我要，嗯，帮着你们回顾一下， 这个小 a、 小 b 和小 c 分 别是哪一个角对应的边，这个大 a 对 应的边，我们是不是就把它记作小 a。 角 b 对 应的边，我们是不是就把它记作角，小 b 角 c 对 应的边，我们就把它记作小 c， 这是我们上节课当中讲的知识，对吧？好，我们下面来开始画哈。我们如果画一个三角形的话， 是不是确定了这三个这个三角形的三个顶点，我们就可以确定这个三角形。我们画出来小 a、 小 b、 小 c 的 长度之后，我们是不是又找到了这个三角形的两个端点？ 我们以小 a 为例，我们画了一个三段，长度是小 a， 小 a 是 谁对应的角，是不是这个点？ a 对 应的角，那么我们这两个端点就是 b 和 c， 那我们就确定了三角形的两个顶点。下面我们的问题成了，我们怎么样确定这个顶点 a？ 我 们知道做三角形剩下的两个边分别是小 c 和小 b， 我 以 b 为圆点，以小 c 为半径画一个弧，为什么要以小 c 而不是以小 b 啊？因为小 c 是 角 a 对 应的边，所以我们要以小 c 为小 c 去画。 在这个圆弧上，任何一个点到 b 的 距离是不是都是相等的，它都是小 c？ 同理，我们以点 c 为圆心，以小 b 为半径画一个弧，这个弧上任何一个点到小 c 的 距离都是小 b。 忽略我画的这个直线不直哈，这样我们发现这两个圆弧交于一点，这一个点就是我们要找的三角形剩下的那一个顶点 a。 为什么？因为这一个点既保证了到 b 的 距离是小 c， 也保证了到 c 点的距离是小 b， 这是符合我们给出的条件的。如果你不是这一个点，你是别的点的话，你就保证不了这两个线段是小 c 和小 b 了，就是它的长度是小 c 和小 b 了。你看我们用这种方法去画， 是不是任何人画出的三角形都是一样的？所以我们就说在这种条件下，这个三角形，这两个三角形是全等的， 那么我们就得到了证明三角形全等的一种方法是三条边相等，我们把它简称为边边。 我们用字母来表示的话是什么呢？就是 s， s， s， 他 说爱问问题呢，你又问了，为什么是 s， s， s， 而不是 b？ b， b 也不是 c， c， c 也不是 h， h， h。 因为 这个 s 是 这个编的英文单词的第一个字母，你可以去搜一搜编的英文单词怎么去写，它的第一个字母肯定是 s， 所以 我们把它记为 s， s， s。 那 么我们的几何语言是怎么写的呢？ 我觉你你可能会问，为什么要学这个几何语言？你学的这个几何语言是后面你在做证明题中必不可少的一个步骤，那你通过一系列的证明之后，你再去总结的时候，你要这样去写，就是说第一个，第一句话，你要陈述在三角形在哪两个三角形当中， 就是说你要证明的这两个三角形，这你要证明的两个全等的三角形，你要你要证明这个三角形 abc 和三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇全等，那你就要写在三角形 abc 和三角形 a 撇、 b 撇中， 然后开始陈述三条边相等。你有没有发现我们在三角形 abc 就是 在这个等式的左侧，我们的元素都是三角形 abc 里面的，在等号的右侧都是三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇中的，你这样看过去是不是一目了然？ 这是我们书写数学的逻辑，然后写，所以两个三角形全等，注意要掉了这一个东西，就说你用的是哪一个定律来证明的？ 就是我所出现的这个黄框呢？就是我刚才跟你们说的，你要把这一个你证明的过程当中，同一个三角形当中的元素写在这个等式的同一侧， 你还要会什么？还要会用尺规去做这一个，去怎么去做这个三角形，你要明白。好，这个地方我们又讲完了，下面我们来看一个两个角和一个边的证明。 如果告诉了我们两两个三角形当中有两个边和留有两个角和一个边是相等的，那有几种情况？是不是有两种情况，一种是两个角和它的夹边，二种情况是两个角和一个角的对边。 你这时候你可能听不懂什么是两个角和它的夹边，我在这里给你画一下，你就明白了，这是一个三角形，就是说这一个这里有两个角，这两个角所夹的边 在这两个三角形当中是相等的，就叫两角及其夹边。我们先来证明这一种情况，我们来看看我们画出的三角形是不是唯一的， 现在告诉我们有两个三角形，它有有一个角是六十度，有一个角是八十度，这两个角所夹的边是两厘米。我们来画一下这个三角形，我们第一步是不是要先画出来六十度或者是八十度的角， 然后再在这个角的其中一个边上，我们截取一个线段是两厘米，那我们是不是又得到了这个三角形的两个顶点， 我们再通过这个顶点再从这一个顶点做一个八十度的角，是不是他是不是又出现了这个样子？变了这个样子之后，你有没有发现他们的焦点就在这里， 这个地方就是他们的焦点，这样我们是不是就得到了三角形的另一个端点，我们画出的这个三角形是不是唯一的？是唯一的？哈，这样我们就到了证明三角形全等的第二个定力 边角。这怎么写呢？我们把它记为 a、 s、 a 和 a， 我 想你们已经猜到了它就是角的英文单词的第一个字母，角的英文单词是 angle， 就是 这一个字母。看一下几何语言，同样呢，你要陈述你要在哪哪两个三角形当中 有这样的条件，你有没有发现这时候他们的这个顺序也是按照 a、 s、 a 来写的，你想第一个我先写对应的角是相等的，第二个我再写边，第三个我再写角，这样是不是就符合 a、 s、 a， 然后最后你得出来结论，不要把这一个你要用的定力忘掉。 往后看我们再来看第二种情况，如果告诉我们两个角和其中一个角的对边相等，这个三，这两个三角形全等吗？ 什么是两个角和其中一个角的对边呢？就是说这两个三角形当中，这两个角是相等的， 我们把它记作角一角、二角一角二角一的对边，我们把这把这个就是这个，这个边就是角一的对面，对不对？我们把它记作小 a 吧，那这边也是小 a， 那 在这种条件下，我问你这两个三角形是不是全等的？ 我可以告诉你们结论是全能的，为什么？这个其实就是我们讲的上一个就是两角和他的一个夹边的一个逆，一个推理吧。 三角形的内角和是多少度？是不是一百八十度？那我这一个角是多少度？是不是一百八十度？减去角一，再减去角二， 那么我这两个三角形的这一个角是不是相等的？既然这个角相等了，那么我是不是就转变成了两角和它的加边的这一个定律了？就是 a s a 这个定律， 是吧？所以我们这样在这种条件下，我们画出的三角形也是唯一的，这两个三角形就是全等的，我们怎么样去写呢？这是我们证明三角形全等的第三个方法，叫做角边角。嗯，聪明的你肯定会写了 s a 嘛？ a a s 嘛，是吧？ a a s 是 什么意思啊？就是这一个角，这里一个角，然后这里一个边，我们就写 a a s， 证明的时候也是一样的， 看是不是他的顺序又变了，先写的是这是一个角，这里又是一个角，然后这个地方是我的边，最后也是要陈述出来这个这个东西。好，这样我们讨论了三种情况了，我们再来看最后一种情况。 最后一种情况是什么？是他的两边和其中一个角，有几种可能， 一种情况是不是两个边和它的夹角，就像我们两个角和它夹边一样，是什么意思呢？你看这一个边 b， 这一个边 c， 它的夹角就是这个角 a。 另一种情况是两边和其中一个边的对角，要么是这一个角，要么是这一个角。 好，我们先来证明。第一种情况，两边夹角，看看是不是全等的。除了我们的条件是二点五、三点五，还有他们的夹角是四十度，我们这个怎么画？我们是不是可以先把这个四十度的角画出来？ 画出来之后，我们再在这个角的两边上截取二点五、三点五的这个线段长度。我们这样是不是又得到了三角形的另外的两个顶点是不是唯一的？所以你画出来的三角形也是唯一的， 在这种情况下，三角形是全等的。那我们怎么表述它呢？三角边怎么表述？是不是就是 s a s 空写的几何语言也是一样的，和我们上边是一样，那你这个地方也还是一样，就是说这它的这个顺序 s a s 后得出结论。 再看第二种，两个边和它的对角，这个地方写错了哈，这是两边及其中一边的对角， 这个角我们已经知道了，其中的一个边我们已经知道了，我们直接去画另一条边， 我们所画的这一条边这个角币就是我们所画的这一条边的对角。我们怎么样可以把这个边画出来？你想一想，我们当时做就是边知道三条边的时候，我们怎么画的这个三角形，我们是不是用圆弧来画的？同样的，以 a 为圆心，以 l 为半径画弧， 你会发现它和 a、 d 有 两个交点。比如说我这个 c 是 可以满足提议的， c 撇也是可以满足提议的，所以我们画出来的三角形不唯一，这种情况下我们并不能证明三角形全等。 好了，那我们就把三角形证明三角形全等的定律全部讲完了。有几种？是不是总共有四种？一种 学的是三条边相等，就是 s， s， s， 二种学的是 a， s， a 就是 两角和它的夹边，二种是两角和其中一个角的对边， a， a， s 四个呢是学的是两边和它的夹角， s， a， s。 然后三角形有什么特，有什么性质，它的对应边是相等的，对应角是相等的。这里 你要会写他们的这个几何语言，以及怎么去画这些东西，包括我们后边证明过程当中我们经常用的定律是什么？其实这个 sss 并不常用，我们经常用的是剩下的这三个。 我现在讲的这节课是基于我们的基础知识去讲的，你听懂了还远远不够，你要去自己去练习一些题目才可以。

今天我们讲的是第四张，第一节认识三角形，好，我们来看这里面，在这个图中，你能找出几个不同的三角形，那这里面三角形非常多，老师就不再找了啊。而这些三角形有一些共同的特点，什么特点呢？ 它们都是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形，这是三角形的定义， 那么三角形它有三条边，三个内角和三个顶点，这就是三角形的一些要素，三角形可以用这个符号来表示，在这个图中啊，看图四个二， 这个顶点是 abc 的 三角形，我们就可以记作三角形 abc， 三角形 abc 的 三边，我们有时候可以用小 a、 小 b、 小 c 来表示。 就像这个图里面，角 a 对 的边 bc， 我 们就用小 a 来表示，角 b 对 的边就用小 b 来表示，角 c 对 的边就用小 c 来表示。当然我们也可以用顶点处的两个字母来表示，比如说这个是边 bc， 这是边 a c， 这是边 ab。 我 们知道，将一个三角形的三个角撕下来拼在一起，可以得到三角形的内角和是一百八十度。 那么小明只撕下三角形的一个角，也可以得到这个结论。我们来看他是怎么得到的啊，因为他是把这个角一挪过来撕到了这里，说明这两个角相等， 他们两个是内错角，内错角相等，两直线平行，所以 a 就 平行于 b， 而两线平行，我们是可以得同旁内角互补，所以角三加角二加角一就是一百八十度， 而角三角二、角一正好是这个三角形的三个内角。因此我们可以证出来三角形三个内角的和等于一百八十度。 我们再看思考交流说这个图四杠六中小明所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角？我们来看，因为这个很明显是一个钝角，对不对？而在一个三角形中不可能有两个钝角，所以剩下两个角很明显就是锐角。 对于小影来说，这个角是直角，所以另外两个角也是锐角， 因为三角形内角和是一百八十度。好，那对于第二个图里面小亮所拿三角形被遮住的两个内角可能是什么角？那可能是钝角锐角 对吧？也有可能是直角和锐角，因为我们只知道这个角是锐角，而三个角的和是一百八十度，你只知道这两个角的和是一个钝角啊，这就是我们通过三角形的内角和得到的结论。 我们可以按照三角形内角大小把三角形分为三类，比如说三个角都是锐角，那么他就是锐角三角形有一个内角是直角，他就是直角三角形有一个内角是钝角，他就是钝角三角形，这个相当于是按角分， 我们可以把三角形分成这三类。当然三角形我们是不是也可以按边分？之前我们说过有等边三角形、等腰三角形，对不对？ 好，那再来看。通常我们用符号 r、 t 三角形 abc 表示直角三角形 abc， 注意这个符号第一个字母要大写，第二个小写。如图，直角 所对的边称为直角三角形的斜边角 c 的 对边 ab 称为斜边，而这个角 c 夹的这两条，这两条边夹的这个角，那就 ac 和 bc， 我 们称为 直角三角形的什么呀？直角边。那么直角三角形两个锐角什么关系？因为直角三角形，所以这个角 c 是 九十度，而我们知道三角形内角和是一百八十度，对吧？所以角 a 加角 b 就等于一百八十度，减角 c 也就等于一百八十度，减九十度等于九十度，所以我们可以知道这两个锐角的和是九十度，也就说明这两个锐角互余。所以给你一个直角三角形，你就立马想到它的两个锐角什么关系啊？互余。 好，再看学堂练习第一题，观察下面的三角形，哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形。那先看第一个，有一个角是直角的，是直角三角形，所以圈一是直角三角形，圈二 他是钝角三角形，圈三是锐角三角形，圈四是直角三角形，圈五是锐角三角形，圈六是直角三角形，圈七是钝角三角形。我们可以按照角去分，如果你实在看不准，我们可以拿两角去去量这里面最大的角， 如果它是钝角，它就是钝角三角形，最大角是直角，那就是直角三角形啊。好，第二题，一个三角形，两个内角度数如下，问，你这个三角形是什么三角形？我们可以把最后一个角求出来，就拿利用三角形内角和 拿一百八十度减三十度，减六十度，发现等于九十度，那有一个角是直角，所以这个是直角三角形。 好，再看这个，我们拿一百八十度减去四十度，减七十度，等于七十度。然后这三个角都是锐角，所以它是锐角三角形。 第三个，我们拿一百八十度减五十度减二十度，等于一百一十度，然后因为一百一十度是一个钝角，所以它是钝角三角形。 那刚才我们说了，三角形也可以按照边去分啊，比如说你看三条 三角形的三条边，有的各不相等，有的两边相等，有的三边相等，如果个个不相等，我们称为不等边四角形。如果有两边相等，那我们称它为等腰三角形。如果三条边都相等，我们称为等边三角形。 所以三角形如果按边分，它可以分分为一个叫做不等边三角形， 第二个是等腰三角形。 等腰三角形又分为三条边都相等的等腰三角形和。这个什么呀？只有两条边相等的等腰三角形，就是一般的等腰三角形和特殊的等腰三角形。好，这是关于等腰关于三角形的一个分类啊， 刚才我们第一次讲的是三角形关于角的分类，这是关于边的分类，大家知道就行了啊，这个我们不作为重点。好看，下面这个说。节日的晚上，房间内亮起了彩灯，如图，装有黄色彩灯的电线和装有红色彩灯的电线哪根长？我们可以用刻度尺去量一下，你会发现 就是这个红色的，黄色的比较长。那我们来大胆猜测一下，黄色的彩灯相当于是这个三角形的两边之和，然后红色的是第三条边。所以我们就可以发现，在一个三角形中，任意两边之和和第三边的关系就会 任意两边之和大于第三边啊，任意两边之和大于三边。 比如说我们可以去量一量下面这三个三角形三边的长度，然后你看一看是不是这个两边之合都是大于三边的？那我们再看一看两这个每个三角形任意的两边之差，然后和第三边去比较比较，看看他又有什么关系。 那我们可以举个例子啊，你比如说像这个，我们以点 b 为圆心，以 ab 的 长为半径画弧，那么 b、 d 在 这里面是不是就 ab 那 两边之差 bc 减 ab 就 变成了 bc 减 b、 d 是 不是就等于 c、 d？ 然后我们直接就可以看出来 c、 d 是 比第三边 a、 c 要短，或者你以点 c 为圆心，以 c、 d 长为半径去画弧，你发现这个弧它是在线段 a、 c 上交的，所以我们就可以得到一个结论，三角形的任意两边之差小于第三边 啊。就如果说我们把三角形的三边分别表示为 abc， 我 们可以知道两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 那我们来看一下这个立体说有两根长度分别为五厘米和八厘米的木棒，用长度为两厘米的木棒能和他们摆成三角形吗？那我们来看一下 这个两边之合，我们就找这个最小的啊，两边之合二加五，他没有大于八，他是小于八的，所以他能不能摆成三角形？他不能啊，所以你看我们这个过程，因为二加五等于七小于八，他出现两边之合小于第三边，所以不能摆成三角形。那如果用长度十三厘米的 五加八是不是等于十三，他也不是大于十三啊？所以他也不能摆成三角形。所以说要满足他能够成三角形，他得是满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 好，我们来看这个随堂练习一个三角形的两条边分别是三和五，那么第三边可以是八吗？那我们来看一下啊。如果说第三边是八，三加五是不等于八，不满足两边之合大于第三边，当然我们也可以这样，我们可以设第三边为 c， 根据我们说的两边之合大于三边，所以第三就是三加五，他要大于 c， 两边之差要小于三边，所以五减三要小于 c， 所以 c 在 这里面 c 应该是小于八的，然后 c 又是大于二的，所以 c 满足的条件是大于二小于八，所以他不能是八，也不能是二。 第二题，已知 a 等四， b 等 c， b 等二，已知第三边 c 是 偶数。那首先第三边是要大于第三边，要大于两边之差，所以大于四减二， 然后小于两边之和，小于四加二，小于六，那大于二小于四小于六还得是偶数，那是不是 c 是 不是只能等于四，对吧？那这是第二题。 好，我们再来看说，在这个三角形中， d 是 边， bc 上一个动点连接 a、 d， 在 这个 d 在 bc 上运动的过程中，然后观察点 d 与线段 a、 d 有 哪些特殊的位置。好，那我们来看一下。如果说当这个点 d 运动到 bc 的 中点的时候， a、 e 在 这里面就叫做中线， 如果这个点定义到 a、 d 垂直 bc， 那 a、 d 在 这里面就相当于是一个什么呀，高线对不对？那有可能运动到 a、 d 正好平分角 b a、 c。 因此我们又引入到了一个知识点，从三角形的一个顶点向他的对边所在直线做垂线， 顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，比如说线段 af， 就是 这个三角形 a、 b、 c 边 b、 c 上的高。好，那么中线什么是中线呢？就连接一个顶点和它对边中点的线段，也就说现在 e 是 b、 c 的 中点，那么连接 a、 e、 a、 e 就是 这个三角形的什么呀？中线， 它是 bc 边上的中线，中线中线就是这个线段的中点与对和这个顶点的连线。好，再看最后一个角平分线，说在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间 的线段，就这线段 a、 d 叫做三角形的角平分线，叫三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是一个射线， 那这里面线段 a、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 一条角平分线。我们根据角平分线可以知道角一等于角二，所以这里面有三条线，高线，中线还有什么呀？角平分线。 那么再给大家说一个比较好玩的游戏啊，比如说你看第一个在纸上画一个锐角三角形，并画出的三条中线，你会发现，哎，三条中线会交于一点，那画钝角三角形和直角三角形，它们的中线也是交于一点， 那这个点大家可以尝试一下。我们画出这个中线的焦点之后，我们可以用一个铅笔，然后你会发现能够支起这张三角形的卡片，因此我们知道三角形的三条中线交汇点，这个点称为三角形的重心，而我们用铅笔 只在这个重心处，我们可以撑起这张纸片啊，这个大家注意重心，重心是中线的交点。好，那么同样三角形的三条角平分线也会交于一点，三角形的三条高线也会交于一点。 我们来看学堂练习的第一题，在这个三角形中，角 a 是 五十度，角 c 是 七十二度， 然后 b、 d 是 三角形 abc 的 角平分线，那说明这两个角相等，让求角 abc 的 度数。首先我们可以利用三角形内角和求出角 abc 的 度数是一百八十度，减去五十度，再减七十二度就等于一百三十度，减七十二度 就等于五十八度。然后又因为这个 b、 d 是 三角形 abc 的 一条角平分线，所以说角 abd 在 这里面应该是二分之一的角 abc， 那 就是二分之一，乘上五十八度 就等于二十九度。这是我们的第一题。然后看第二题，分别指出图中三角形 abc 的 三条高，那看这里面， b、 d 就是 a、 c 边上的高， ab 是 bc 边上的高线段， cb 就是 ab 边上的高，那在这个图里面，线段 b、 f 是 a、 c 边上的高线段， a、 d 是 bc 边上的高 线段， c、 e 是 ab 边上的高，那这就是我们简单说的三角形的中线、高线和角平分线。具体的练习的题我们到下节课再去讲题型，那么今天讲的内容你学会了吗？

今天我们来讲探索三角形全等的条件，如果我们要想画一个三角形，使它与其他人画的三角形全等，你会怎么画呢？好，首先我们来看靠谱上给的第一个方法，就是 三边分别相等的两个三角形全等。意思就是如何，如果你和你的同桌画的两个三角形，他们的三条边都分别相等，那么你们两个三角形一定是全等的。在这里面我们简称为边边边，或者是 s s s。 好，我们来看一下他的一个具体做法，如图，已知线段 abc， 用尺规做三角形， abc 是 ab 等于 c， ac 等于 bbc 等于 a。 那 怎么做呢？首先我们先做一条线段，然后这个线段 bc 等于 a。 啊，那我们就是以点 b 为圆心，画一条射线，哎，不是以点 b 为端点画一条射线，在这个射线上截取 b， c 的 长度等于 a， 这是我们已经确定一条边了。那接下来我们还要再确定两条边，我们以点 b 为圆心， 然后以 c 的 长度为半径，我们可以去画一条弧，再以 b 的 长度为半径，会画一条弧，这两条弧会有一个焦点，那么这个焦点就是 a。 此时三角形 abc 的 形状就是一个固定的形状， 因此我们又可以得到一个内容，就是三角形的一种性质，叫做三角形的稳定性。为什么呢？就是只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了。 而对于四根木条钉成的一个框架，它的形状是可以改变的，因此四边形具有一个叫什么呀，不稳定性。 我们来看我们的随堂练习，如图，在等腰三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 它是一个等腰三角形，这是它的腰， a、 d 是 它的一条中线，那根据我们学过的什么呀？ 中线之后， a、 d 在 这里面说一个公共边，他问你三角形 a、 b、 d 与三角形 a、 c、 d 全等吗？首先我们要说全等， 然后元音我们来写一下啊，就是因为他三条边分别相等，对不对？那我们在写的时候就可以说在三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 中，然后来大括号摆三个条件，第一个条件是 ab 等于 ac， 那这个 b、 d 等于 c、 d， 我 们要怎么得呢？我们要先说，因为 a、 d 是 他的一条中线，所以 b、 d 等于 c、 d， 我 们先给他得到，然后这个地方再写 b、 d 等于 c、 d， a、 d 等于 a、 d， 因为这是公共边，所以三角形 a、 b、 d 就全等于三角形 a、 c、 d。 后面写上边边边的数学符号表示方法就是 s、 s、 s。 注意，我们在写的时候啊，在谁和谁中和字前面的三角形里面的三条边，我们写在等号的左边 和字后面的三角形的三条边写在等号的右边，要注意这个书写。另外我们写完全等之后，要把这个什么呀？他的判定方法写在后面。 那么除了三条边分别相等的两三角形全等，还有其他的吗？啊，那我们来看第二种，两角及其夹边分别相等的两三角形全等，我们简写为角边角或者是 a、 s， a 角用 a 来表示， 边用 s 来表示。好，那我们来看一下，根据这个画图的步骤，我们也可以去画一下啊，当我们给你两个角相等，并且给你了什么呀？他们夹的这个边相等的时候，我们来看一下怎么去作图。 首先第一步我们要做一个角 d， a f 等于角 r 法，那怎么做啊？首先我们先去画一条射线，然后这里面就相当于我们是做一个角等于已知角， 那这时候这个角就等于 r 法，因为我们说了要角 a 等于 r 法，那这个地方肯定要是 a， 然后我们还要做角 b 等于贝塔， ab 等于 c， 那 ab 等于 c。 我 们可以首先我们先量一下 c 的 长度， 然后以点 a 为圆心，在这条射线上截取，那这个地方对应的肯定就是 b 了，因为我们要求的是 a， b 等于 c， 然后我们还要做角 b 等于角贝塔，好，那我们同样。 然后我们过点 b 和这个交点画一条射线， 那这个角就是贝塔，好，那这个地方对应的就是什么呀？ c， 对 吧？那这个三角形 abc 就是 我们所要做的三角形好，这是我们说的两角及其夹边。 那么还有一种判定方法，就是如果两角分别相等，且其中一组等角的对边也相等，三角形也全等，我们简写为角角边或者是 a s， 好， 也就到目前为止我们已经说了什么呀？ 三种判定方法了。那再来看我们的随堂练习说，如图， ab 与 cd 相交于点， o o 是 ab 的 中点，那我们就可以知道 a o 等于 b o， 然后还说这个角 a、 o、 c 等于角 b。 问你三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 d 全等吗？那首先肯定是三角形 a、 o、 c 与三角形 b、 o、 d 全等，那我们来看怎么正？这道题里面给了两个条件，但是存在一个隐含条件，什么呀？是不对顶角相等， 如果有这个条件之后，那就满足两角分别相等且夹边，对吧？两角积夹边分别相等的两角形全等。所以我们在写的时候就可以写在三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 d 中，好来摆条件。因为我们这个是角边角，所以第一个要先去摆角角 a 等于角 b， 然后第二个我们要去摆边 边，就是 a o 等于 b o， 那 a o 等于 b o 怎么正？我们要先说，因为 o 是 ab 的 中点，所以 a o 等于 b o， 然后我们再来这个对顶角，那就是角 a、 o、 c 等于角 b、 o、 d。 然后接下来我们就要写，所以三角形 a、 o、 c 全等于三角形 b、 o、 d。 注意写上我们的判定方法，这是角边角，那就是 a s a。 好，那接下来还有一种判定方法，我们来看一下，那就是两边及其夹角分别相等，两象形全等，我们简写为边角边或者是 s a s。 好， 那到目前为止，我们是不是学了四种，第一个是三边分别相等的，那就是边、边、边，然后第二种是两角及其夹边 a s a， 这是两角及其夹边。第三个是两角及其一角的对边 a s。 第四个是我们刚才说的两边及其夹角 啊，这是我们说的四种判定方法，那至于这个作图就不再给大家做了啊，大家自己去做一下， 在这里面大家要注意一下啊，我们两角集齐一角的对边相等，两象形全等，但是两边集齐一组等边的对角相等，两象形可是不一定全等的啊，我们可以举一个例子，比如说他不是两边分别相等吗？ 这个角且其中一边的对角好 这个边，然后每这个点为圆心，以四厘米的长为半径画弧，那这时候我们画的时候，他可能会有两个角点， 这也是四厘米，这个也是四厘米，对不对？我们让这两个边也相等，然后这两个角也相等，你看他满足两边及其一边的对角相等，但这两个三角形很明显，是不是形状都不一样，所以要注意啊，他不一定全等。 我们接着再来看这一节的随堂练习，分别找出各图中的全等象形，请说明理由。那我们来看啊，它表示的是这个角 a 和角 e 相等，这是一个角， 然后这个 ab 等于 e， f， ac 等于 ed， 你 看是不是就是两边及其夹角分别相等，所以这里面他两个是全等的。在描述的时候，我们要写清楚对应的字母。比如这个三角形，如果是 b、 a、 c 的 话，我们对应的，你看这个点 b 这个顶点， b 是 a、 c 这个边对的这个顶点，所以我们应该对应的是 e、 d 这个边对的点，哎，就 f， 然后这个 a 对 应的就是 e， 这个 c 对 应的就是我们的什么呀？ d 好，再看这个，这个里面有一组直角，然后这个 a、 d 又和 b、 c 相等，没有另外一个条件呢？它是不是有个公共边啊？那这就也是我们说的什么呀，两边及其夹角分别相等，所以这里面全等三角形就是三角形 d， a、 c 全等于三角形， bc， bc a 好， 再看第二题，小明做了一只如图所示的风筝，其中角 e、 d， h 等于角 f， d， h， e， d 等于 f d。 将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道。他说这个 e h 等于 f h， 那 原因是什么呢？因为这里面是不是有一个公共边 d h。 如果我们正出来三角形 d， e、 h 和三角形 d， f、 h 全等， 那么利用全等三角形的对应边相等，那么 e h 就 和 f h 相等了。好，那我们来正一下啊。在三角形 d、 e、 h 和三角形 d、 f、 h 中，然后把条件摆一下，首先 e、 d 等于 f、 d， 对 吧？然后这个角 e， d、 h 等于角 f， d、 h。 所以三角形 d、 e、 h 全等于三角形 d， f、 h。 它的判定方法是两边及夹角，又 s a、 s 由全等，我们可以得对应边相等，所以 e h 就 等于 f h 啊。另外我们还可以得到角 e、 h， d 等于角 f h d。 角 d， e h 等于角 d， f h 啊，利用这个全等，我们可以得对应角相等，也能得对应边相等。好，那我们再来看这个第一说，如图 ab 平行于 cd， 且 ab 等于 cd， 那 么三角形 a、 b、 d 和三角形 c、 b， d、 c、 d 全等吗？那首先这个 肯定是全等的，因为它给的平行，我们可以得内错角相等，所以可以得角一等角二。然后这个 b、 d 是 不是一个公共边？那不就是两边及其夹角吗？也就是 s a， s， 我 们还可以去证明它们什么呀？全等， 我们再来看例二说。如图， o， a 等于 o b， o c 等于 o d。 问你三角形 a、 o、 d 和三角形 b， o、 c 全等吗？那这里面给了这两个三角，因为这给的两组相等的边正好是这两个三角形里面边还有隐含条件什么呀？对顶角相等，所以我这里面就知道了两边及其夹角，那是不是就是 s、 a、 s 呀？ 所以他肯定是全等的啊！他问你全等吗？全等原因就是因为对菱角相等，还有两个边相等，那我们根据边角边就可以证出来他们全等。然后第二问，三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 d、 c 全等吗？啊，那这里面它也是全等的，为什么全等呢？我们来看，因为 a o 等于 b o， oc 等于 d o， 所以 我们可以知道 a o 加 c o 就 等于 b o 加 d o， 也就是 a、 c 在 这里面是不是等于 b d， ac 等于 b d 之后，然后这里面我们还知道这个 c、 d 是 不是公共边，对吧？另外有第一问的全等，我们是不是可以得到 a、 d 等于 bc， 有 a、 d 等于 bc， 那 我们就用什么呀？ s s、 s 就 可以证出来它们 全等啊，所以说第二问也是全等的。我们再来看学堂练习，如图，角 a 和角 d 是 直角， 然后说 b、 e 和 c、 e 是 相等的，请找出图中两对全等三角形。那首先来看 b、 e 和 c、 e 相等， b、 e 是 不在三角形 b e、 a 中， c、 e 在 三角形 c、 d、 e 中，那看这两象形全等不全等。首先有一个直角，还有个边，另外这里面是不是还有隐含条件，对顶角对吧？那不就是两角集齐一组等角对边也相等吗？有 a s， 所以 说这里面是全等的啊。三角形 a、 b、 e 全等于三角形 dce， 这个我们利用的是 aas 啊，一组直角边，一组直角，还有一组对角，还有一个边。好，那说还有没有其他的全等三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 c、 b 全等。 好，那我们来看这个怎么整啊？首先这里面 bc 是 一个公共边，对不对？ 然后因为我们刚开始正这俩这俩三角形全等，所以 a， d 是 不肯定等于 ab， 肯定等于 dc， 对 吧？然后因为全等之后， a e 肯定等于 d e， 那 么 a e 加 c e 就 等于 d， e 加 b e， 所以我们可以得到 a c 就 等于 b d a c 等 b d a b 又等于 c， d， b c 又是公共边，所以我们可以用 s s s 就是 边边边去证明他们全等，当然大家也可以尝试用不同的方法去证明他们全等。好，这就是我们讲的探索三角形全等条件的 基本的知识内容，你学会了吗？

今天我们讲的是全等三角形，首先我们来看全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形，我们叫做全等三角形，注意定义是能够完全重合。好，我们来看， 例如在图四杠十九中，三角形 abc 能够完全重合，所以它们就是全等三角形。其中 顶点 a 与顶点 d 重合，所以它们是对应顶点，那么顶点 b 和顶点 e 就是 一组对应顶点，顶点 c 和顶点 f 也是对应顶点。好，我们再来看 a、 b 和 d、 e 重合，所以它们是对应边，那这里面还有对应边 a、 c 与 d f， b、 c 与 ef。 好。 角 a 与角 d 重合，所以它们是对应角，那对应角还有角 b 与角 e， 角 c 与角 f， 他们是全等三角形，那么他就具有下面的性质。什么性质呢？如果他是全等三角形，他们的对应边就会相等，对应角就会相等，因为我们知道他们是能够完全重合的，所以他们是相等的。 如果说两个三角形全等，我们怎么来表示它呢？我们就记作三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d、 e、 f。 注意这个全等符号的书写不要写错。另外，当我们用全等符号的时候，我们要把对应顶点的字母写在对应位置上， 比如说点 a 和点 d 是 对应顶点，当他写在第一个的时候，点 d 也要位于第一个。点 c 与点 f 是 对应顶点，点 c 位于这三个字母中的最后一个，那点 f 要位于最后一个，一定要注意，我们要什么呀？要写在对应的位置上。 我们准备两张全等的三角形纸片，画出两张三角形纸片，对应边上的高，那么全等三角形对应边上的高相等吗？这个大家可以去尝试一下，是相等的，对应边上的中线也是相等的， 对应的角平分线也是相等的。我们再来看下面这个图中，已经知道他们两个全等，让你画出与线段 d、 e 相对应的线段， 那我们怎么画呢？我们可以用刻度尺去量一下线段 b、 d 的 长度，然后在线段 b、 c 上截取 b 片 d 片等于 b、 d， 然后我们再量一下线段 b、 e 的 长度，在线段 b 片 a 片上截取 b 片 e 片等于 b、 e， 然后我们再连接 d 片、 e 片， 那么线段 d 片、 e 片就和线段 d、 e 是 相等的，当然我们也可以用圆规去进行截好， 那这里面相等的线段有， b、 d 等于 b 片 d 片 c、 d 等于 c 片 d 片 a、 e 等于 a 片 e 片 a、 c 等于 a 片 c 片。同样 ab 等于 a 片 b 片， bc 等于 b 片 c 片。那这里面相等的角也有很多啊，我们就不再一一说了，大家自己去找一下。 那我们用一张等边三角形纸片，我们能用折纸的方法把它分成两个全等的三角形吗？ 能把它分成三个全等的三角形吗？这个大家可以去尝试一下啊。比如说我们要分成两个全等三角形，那我们对于这个等边三角形的纸片，我们可以沿着中间的这条线去给它进行左右折叠。 那如果我们来看我们的随堂练习，先看第一题 说如图，三角形 a、 o、 d 和三角形 b、 o、 c 全等写出相等的角啊，那我们知道对应角是相等的，相等角由角 a、 o、 d 等于角 b、 o、 c 角 d 等于角 c。 注意这地方不要说角 o 等角 o 啊，因为这地方以点 o 为顶点的角比较多， 这是这个地方。再看我们第二题，说，如图，三角形 abc 全等于三角形 a 片、 b 片、 c 片，角 c 是 二十五度， bc 的 长是六厘米， ac 的 长是四厘米。你能得出三角形 a 片、 b 片、 c 片中哪些角的大小，哪些边的长度呢？因为全等，所以对应角相等，我们可以得到角 c 片的度数也是二十五度。 对应边 b 片、 c 片等于 bc 也是六厘米， a 片、 c 片等于 a、 c 也是四厘米。 我们再来看题型四点二，第一题，如图，已知三角形 o、 a、 d 全等于三角形 o、 bc， 角 o 等于七十度， 角 c 等于二十六度。让你求角 o、 a、 d 的 度数。好，那首先我们要知道，因为全等，我们可以得到 对应角相等，角 a、 o、 a、 d 就 等于角 abc， 所以 我们只需要求出角 abc 的 度数就行了。那怎么求角 abc 的 度数？在三角形 abc 中， 角 o 加角 c， 加角 obc 等于一百八十度，因为角 o 是 七十度，角 c 是 二十六度，所以我们可以求出角 obc 的 度数，就是一百八十度减七十度减二十六度， 一百一十度减二十六度就等于八十四度。所以说角 o、 a、 d 就 等于角 o、 b、 c 就 等于八十四度。好，再看第二题，如图，已知三角形 abc 全等于三角形 f、 d、 e、 a、 d 的 长是一厘米， b、 d 的 长是两厘米，角 a 是 四十度， 角 e 在 这里面是六十二度。让你求 f、 d 的 长。好，那我们来看怎么求 f、 d 的 长。因为全等 f、 d 等于 ab。 好， 那我们只要求出 ab 的 长就可以了，因为 ab 等于一厘米， b、 d 等于两厘米，所以 ab 就 等于 ab 加 b、 d 就 等于三厘米。 因为三角形 a、 b、 c 是 全等于三角形 f、 d、 e 的， 所以这里面 ab 和 f、 d 相等，所以 f、 d 就 等于 ab 就 等于三厘米。 好，那这时候我们要求的还有一个是角 c 的 度数以及角 f、 d、 e 的 度数。好，那我们就因为全等，我们还可以得到角 c 等于角 e 等于六十二度，角 f 等于角 a 等于四十度，所以角 c 就 等于。 读出来了吗？角 c 就 等于六十二度啊，这个就不再说了。然后角 f、 d、 e， 角 f、 d、 e 就 等于一百八十度。减六十二度，减去四十度就等于一百一十八度，减四十度 就等于七十八度。好，再看第三题，如图，已知三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 d、 e。 三角形 a、 d、 e 又全等于三角形 c、 d、 e。 那 么 ab 与 cd 相等吗？ 那肯定相等，为什么呢？因为三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 d、 e 由全等我们可以得对应边相等，所以 ab 就 等于 ad。 然后又因为三角形 a、 d、 e 全等于三角形 c、 d、 e， 所以 我们又可以得到 a、 d 就 等于 c、 d， a、 b 等于 a、 d、 a、 d 又等于 c、 d， 所以 我们等量代换， a、 b 就 等于 c、 d。 好， 这就是我们今天讲的全等三角形，你学会了吗？