北京初二下东城数学新定义

好，然后咱们接着来讲这个新定义啊，这个新定义的话就是大家在学前面几个题的时候可能会有难度啊，但是我其实把这些题同类型的题是放在一起的啊， 就看你能不能深入进去啊，如果你能够深入进去，能够领悟到老师这个排版问题。什么是排版问题？就是这些都是同一类题，这些是同一类题，我是把同一类题放进去的啊，就看各位学生能不能理解。 好，然后咱们来看一下第一个题啊，就是这些题的话，你刚开始在学前几个的时候可能会有难度，但是一旦你突破的话，你明白他这个出题的逻辑的话，你就会慢慢的有感觉，知道吗？有感觉的话就慢慢能上手。 好，第一个的话就说在平面交叉坐标系里边，然后对于线段 a、 b， 还有一个是点 q， 它有两个对象，对吧？一个是线段，一个是点啊。给度专家定义说，如果在直线 y 的 x 存在点 p， 使得这个实线行为一个平时啊，我们称为点 q， 为线段 a、 b 的 沿线点 好，这地方是有一个平四，但 a 点的话，这个零五， b 点的话是一个二三啊，零五和二三，首先它说的是有一个平四，我们怎么分析问题呢？平四边形它具有什么性质对吧？ 对边平行且相等，而且它是个中心对称，对吧？所以这张是一个 ab， 这张是一个 p q， 那 我们就应该知道 知道什么呢？这个 ab 是 等于个 p q， 而且 ab 是 平行于 p q， 对 吧？你只要知道这个逻辑，那么这个题的话就变得简单了，为什么呢？因为点 p 是 在咱们这个 y 等元素上， 我们根据这个 p 点是可以求出 q 点规律的，对不对？怎么求 p q 呢？反正是 p 点是在这个地方嘛， 对吧？把它往上平移，平移到这，但是平移到这，咱们怎么去描述它，对吧？它为什么刚好平移到这？大家看这个 ab 啊，看这个 ab， 这个 ab 的 话，你会发现你往下划的话，它是个什么？它是个整数， 因为它是零五，它是二三嘛，所以说这个是二，这个是二，也就是说我从 b 移到 a， 我 要移动一个两倍根号的一个距离， 对不对？而且是什么了？是平行的移，所以说我把这个东西移到这个东西，我也要怎么了？向这个方向平移两倍根号的一个距离， 而且咱们说这地方四十五度，平行吧，四十五度，所以我在这移一个什么？等腰直角三角形，等腰直角三角形的话，这个地方是一个死，所以我们只需要把这个 y 等于 x 向哪个地方平移，向左移四个单位， 左一四个单位就变成谁左加凹减。所以这就是咱们点 q 的 这个规律，也就是说 q 是 在这个线上，但是大家一定要注意，人家说 a p、 q 是 一个平式，这个点是一定不能取的， 因为如果你要取到这个点的话，那就是 a、 b、 p、 q， 它们在一条线上，它就不是一个平式了，所以说需要把这个点给它扣掉啊，这个点应该是几呢？咱们可以代入一下啊。 怎么样代入呢？就是我们可以求一下 ab 的 一个直线表达式， y 等于一个负 x 加五和 y 等于一个 x 加四，它俩合并一下，那么 y 的 话应该等于个二分之九， x 的 话应该等于个二分之一，所以说这个点应该是二分之一。逗号，一个二分之九，对吧？当然呢，人家第一问，人家也没有给这个点，对吧？所以第一个不行，因为这个点不在这个直线上啊，这就咱们 q 点的轨迹， 第二个可不可以？可以？第四个可不可以？可以，所以说我们只能选 q 二和 q 四 好，第二本它说 q 呢，是在这个直线上一个点，这个直线它具有什么特点呢？它是过这个零二的， k 不 定，对吧？所以它是绕着什么呢？绕着零二进行什么 转动啊，对吧？绕着这个零二进行转动吧，就大概是在这个地方它是可以转的啊，因为它的 case 不 确定的嘛，所以它是横过定点绕到定点去转圈的，在这个地方， 对吧？就这个意思啊，大概都是这样子好，然后人家说的什么？人家说的是它不过哪个象限呢？ 而且不在第二象限，那咱们应该明白，这个引线点是在哪个线上呢？在这整个线上，对吧？他现在不过第二象限，他只能在哪？在这还有在这，所以我们只需要让这个直线与第一 和第三象限的线段有交点不就行了吗？对吧？有交点就行， 但还有一个东西在哪？它只要不在地上粘个轴上也可以，对不对？所以我们要考虑第一个临界位置 在这个地方，对吧？然后呢，随着它怎么了，继续变大，有个什么，有个平行的位置，它也是个临界， 偏的话就没有焦点了，所以我们从这个地方开始往上转不行啊，往上转的话还交在第二条线了，只能是往下转，往下转，这样什么转到平行为零界，所以我们要把这个直线 给它代入。代入哪个点呢？代入的是负四零，对吧？负一，负二，负三，负四零等于一个负四 k， k 等于二分之一 k 能不能等于二分之一？可以， 小于一一的时候平行没有交点啊？好，然后呢，咱们可以比这个一大，对吧？如果要是比一大的话，他应该交在第一项线，继续交，继续交，但不能取哪个点？不能取这个点， 对吧？这个点的坐标是几？这个点的坐标应该是二分之一逗号一个谁二分之九，所以说把二分之一 逗号一个二分之九给它代入这张应该是二分之九，等于个二分之一 k 加上一个二 k 的 话应该等于个五，所以 k 大 于一小于五， 对吧？然后呢，继续比五大行不行？可以， k 大 于五。所以这个题最后这个 k 的 取值它是有三个啊，大于等于二分之一，小于一，大于一，小于五，还有一个是 k 大 于五，这三个都可以取。好，这咱们的第二个啊， 然后呢，我在第三个题里边再给大家录一个视频去讲啊。好，然后咱们来看下第三个啊，其实第三个的话，只要大家理解透这个题目信息，这个题也变得非常简单啊，和第二个基本上差不多。 呃，他说他正好用 cdf， cdf 的 边上为一，对吧？然后呢，以这个 t 三为中心，也就是说这个重坐标是在这根线上啊， 在这根线上，而且呢，各边与坐标轴都是一个垂直的，对吧？边长为一啊， 就是它在这，这就是咱们边长为一的一个正方形，中心是一个 t 三，以为它在上面动啊，点 m 呢？在线段 a b 上，但它最后一句话说的比较绕啊，但是大家在翻译的时候一定要跳着读帖， m n 在 哪个地方呢？在 a b 上，对吧？我假设这个地方是一个 m， 这面是一个 n， m n p 在 哪？ p 在 这，那 q 呢？在这， 对不对？也就是说人家现在说的是 m n 在 线段 a b 上，我假设 m n 就是 端点嘛，那咱们的 q 和刚刚其实是一样的，它都在这个 y 等元素的加四，但是呢， m n 上它可以随便取嘛，对吧？它它可以在这个 a b 上随便取。如果 m 在 这， n 在 这， 对吧？咱们的 p q 应该在哪呢？ p 在 这， q 是 不应该在这，对不对？当你 m n 随便取这个线段一个点的时候，我们的 q 是 在这个区间之内随便取， 对吧？因为你 m n 边这么长，我的 p q 边这么长， q 在 这，所以你们会发现啊，咱们整个这两个线段之间夹着的部分，就是什么 q 点的一个区域，对不对？但是呢，还有一个东西，就是 m 和 n， 它俩可以换位置， 这是一个 n， 这是一个 m， 对 不对？这是一个 m， 这是一个 n， 然后呢， p 点在这儿，那 q 点值在哪？应该在下边， 所以它这个 q 点其实说白了，对吧？它并没有说 m n p q， 就 不像前面说的是是这个定定下来的这个四边形，它说的仅仅是说什么 m 那 个银杏点吧，那么 m 的 银杏点这个 q 可以 在这个区间之内，也可以在这个区域之内，为什么？因为 m n 可以 换位置， 只要它换位置了，那么 q 点就跑到下面了，所以就这一步可能对大家来说有点难度啊，所以我们先找出来它的一个银杏点的一个区域嘛，对吧？这两部分都是它的一个 q 点的一个区域。 好，这是先翻译出来它的一个圆形点的一个区域，然后再来看中间这句话，对于正方形 c、 d、 e、 f 任意点，对吧？任意一点都为线段的一个圆形点，那我们就说明什么了，需要把这个正方形放到， 放到什么呢？ q 点所在的一个区域当中， q 点所在的区域当中，但是大家一定要注意，这个区域里边，我刚在前面，其实在上两位也讲过，对吧？它不可能在这个线上，因为如果在这个线上的话，它就不是一个平四了，也不可能在这个线上了， 对吧？在这个线上的话， p 和 q 在 这呢， ab 在 这，它也不是一个平四，所以只需要让这个正方形和里边东西有交点，你看在这可以， 在这可以，对吧？右边不能取倒，左边能取倒，在这是可以的，左边不能取倒，右边可以取倒， 对吧？就这四个区域啊，但它的中心是谁？中心是一个 t， t 的 话一个三啊，三的话加了个二分之一，所以说这个点的一个纵坐标， 纵坐标应该等于几？应该三加二分之一，应该是二分之七，等于 x 加四，除了 x 等于负二分之一，也就是说这个点的横坐标是负二分之一啊，但咱们的边长为一嘛，就这个长是二分之一，也就是说此时的话 t 等于个零， 对吧？ t 是 等于个零的啊，那么同样的道理，咱们刚说这个 a b 的 话，是 y 等于负 x 加五，对吧？这个地方是一个三嘛，因为它在 y 等于三上， 上面呢，是有一个二分之一，它也是一个二分之七，也就说我让这个 y 等于二分之七， 代入 x 的 话，应该等于个二分之三，对吧？ x 等于二分之三，说明什么呢？说明这个横坐标是一个二分之三，而咱们 t 呢，在中间离它二分之一，所以这个时候 t 是 等于个一的， t 等于一，能去到吗？不能去到，所以这个 t 的 范围就出来了， 或者是在右边，对吧？在右边的话，大家来看啊，这个地方是 y 等于 x， 对 吧？ y 等于 x 的 话，这个地方重坐标也是个几，也是一个二分之七，三加二分之一，所以说 y 等于个二分之七给它代入， x 等于二分之七， 也就是说 x x 谁呢？ x 是 t 减二分之一等于二分之七， t 等于个四，为什么 t 减 x？ 因为 t 在 中间嘛，左边是 t 减二分之一， t 等于四，能不能取？等不能取，等 小于等于右边这个可以取到，那右边这个的话，三减二分之一，对吧？这个地方应该是 y 等于 x 减四，对吧？因为它是往下平行四个，把这个 y 等于个二分之五给它代入， 所以说 x 的 话应该等于个二分之三，对吧？ x 等于二分之三，在哪个地方？是在这个地方，这是 t 加二分之一 等于二分之十三， t 的 话应该等于个六，能去等吗？可以去等，所以这个就是咱们最后的答案， 也就是咱们要分析银杏点所在的区域，把整个正方形放到里边，然后从左到右运动就行。啊，好，这个题我讲到这里。

规定新运算 a， 三角形 b 等于三 a 减二 b 等式。右侧为通常的混合运算，其中小 a 等于 x 方，加上二 x y， b 等于三 x y 加上六 y 的 平方，则把 a 三角形 b 因式分解的结果为 本题呢，综合考察了定义新预算和因式分解。我们根据它的公式啊，先把式子给它写出来， a 三角形 b。 整个式子呢，是三 a 减二 b， 不过要把它代入，对吧？ a 等于 x 方，加上二 x y 也变成三倍的括号 x 方加上二 x y 减去二 b 二倍的括号三 x y 加上六 y 的 平方。 下一步是去掉它的括号等于三 x 方，加上，这是六 x y 减去六 x y。 要注意啊！第二个括号前面是减号去括号，变号减去二乘六，相减十二 y 方啊， 中间的这两项和为零了等于三 x 方减十二 y 的 平方。想要进行因式分解，我们要先提取数字，三 等于三倍的括号 x 方减去四 y 方，那后面这个是两项，它用的应该是个平方差公式。等于三倍的 x 方减去二 y， 括号 y 的 二次方， 用的是那个 a 减 a 方，减 b 方等于 a 加 b 乘 a 减 b 等于三倍的括号 x 加上三万，再乘 x。 啊，这里是二万啊， 再乘 x 减去二万。 和我们的计算结果一样的话，是 a 选项。

我们来看东城的新定义的最后一问，这个概念叫做锐切点，它是考察点和圆的位置关系，这个点它在切线上还要和弦，这两个点形成的三角形是一个锐角三角形，那么它不可能 就离着这个点 b 太近，如果它太近，角度不就会大于九十度，那它不可能太远，这个 c、 a、 b 就 大于九十度。如果太近的是 a、 c、 e、 b 大 于九十度，那么这个点呢？它要在一个合适的位置上。 然后第三个，他说这个圆的半径是一个参数是 t 零，那半径是 t， 它因为它经过 t， 那 么 a、 o、 b 就是 一个等边三角形。 我们来看找一下这个锐切点它会在哪里？那我们以 b 做 o、 b 的 垂线，那么斜切点要在这个 b、 c、 e 这条直线上，那我们知道它是锐锐角，那么我们找一下 a、 c、 e、 b 这样一个特殊的直角三角形和 c、 a、 c、 二、 a、 b 这样一个直角三角形，那么这个锐切点它要在红色的这条线段上，如果把它追踪轨迹，那么这个锐切点它是在两个圆环内。这个题考察是圆的点与圆的位置关系，那么点 的一个安全区域是在这个圆环内部，那么这在这个圆环内部，我们想要形成放一条线段，让它是二倍根号七，那么这个圆的 半径的范围，我把整个的计算过程写在旁边了，我跟同学们一起这样捋一下，那么在这个 a、 o、 b 是 等边三角形中，那我们设 a、 b 是 t， 那 o、 b、 c、 e 是 九十度，那么这个 a、 b、 c、 e 就是 三十度，那我们设 这个 a、 b 是 t， 那 a、 c 一 就是二分之 t， 那 b、 c 一 就是二分之二三 t， 那 在这个 c、 c 二 ab 这个直角三角形里，那么一个直角边是 t， 这个角度是三十度，那么它的这个 a、 c 二是三分之刚好三 b、 c、 r 三分之二倍杠三。在题目中，我们要放在这个圆环，就红色的这个区域内，我们要放一个弦长杠二倍杠七，那么它的一半是杠七。注意，红色的 这些线是在外面大圆上，蓝色是在外面小圆上，在这种特殊位置的时候，这个干号七，蓝色的和红色的，它形成的是一个 直角三角形，那么我们希望这个长度是等于二倍根号七，因为它是存在，它越大越好。所以在 红色的 o、 c 二，在 o、 b、 c 二这个直角三角形里面，它代表 o b 方加 b、 c 二方，那么 o、 c 一 的平方是 o b 方，减加上这里面是个加，加上一个 b、 c 一 方，那么 o b 方、 o b 方都没了，约没了 b、 c 二的方是三分之四 t 方， b、 c 一 方是四分之三 t 方，那么算完差之后是十二分之七 t 方大于等于七，那 t 方大于等于十二 t 是 大于等于二倍杠三，说明这个 圆的这个半径要大于等于二倍杠三才能满足。我们至少能把这个二倍杠三的这个线段放进去，而且放的时候有一个位，有一个要求，它和里面这个圆是相切的。

恶心但管用，带你搞定八下数学死穴，别再按课本顺序磨蹭了，那样你只会越学越懵。我初二数学九十分掉到及格线，换了套打法，一个月后直接拉回高分。今天把这个顺序分享给你。第一步，先别刷题，给我按死权等三角形。 初二数学两级分化根源就在这里。一个口诀，记住所有判定定律，边边边边角边角边角角角边，看到终点就被长，看到角分线就向两边做垂直辅助线的四大模型，飞镖、八字一线三等脚，手拉手练到走火入魔， 几何大题直接锁定思路。第二步，攻克一次。函数图像是灵魂，数形结合是钥匙，盯着 b 看焦点方程不等式函数图像三合一，互相转化，应用题理形成收费方案，选择套死模板，答案就摆在明面上。第三步，代数二次根式与勾股 计算，不能只求快，要绝对稳。勾股定律的折叠和最短路径，这是期中期末压轴题的常客。模型固定就那三四种，非模型，笔刷一百道题都有用。第四步，总结错题本是纲易，不是让你抄题，是记错的类型概念不清晰。 计算事务型，辅助线，没想到型每周复盘一次，下次看到同类型提大脑自动预警。现在刚五月初，期中刚过，期末不远，如果你真想翻盘，就从现在开始，按这个顺序把你的知识重新组装。视频里提到的我都整理好了，五百四十分享给想逆袭的你！

东城一模考完了，今天咱们来说一下东城一模这个最后一题，星丁意这个处理方法。 呃，首先呢是一个定义的分析，他要一个图形上取两点 ab， 呃，取一点 c 和这 ab 构成 a， b， c 为等，要知道三角形，并且角 b a b c 的角 b 是九十度，那也就是说这时候需要得到一个垂直。呃，第一问非常简单，咱跳过直接从第二问开始，第二问给出点 c 为二。一 直线 y 等于负 x 加 b。 首先分析， y 等于负 x 加 b， 平行于 y 等于负 x， 所以我们会随时可以随便画一条来探究，是吧？随便画一条之后发， 如果我要做一个等腰直角三角形，首先第一点一定是过 c 做这条直线的垂线，然后呢，再来做一个等腰，哎，截取一个等腰，截取的时候，我们会发现一个什么呢？呃，他这个等腰直角三角形两个方向， 一个方向是垂直于 f 球的，或者另外一个方向是垂直于 外头的，都可以。那现在我们画出来，画出来这个呃 b 是比较大的，是一个正，首先取一个正的，并且在 c 上方，这个 他是符合我们所要求的，可以画出等额绕三角形，所以这时候符合的，然后我们就可以干嘛呢？通过平移这条直线外等于 fy 加币，平移到什么时候呢？我们发现 当他过点 c 的时候，哎，这时候肯定不可以，因为什么呢？ abc 三点就聚成一点了，已经构不成等，要知道三角形了，所以这个射掉 再往下，再向下平移之后呢？哎，发现呢？呃，刚才做那个过 c 做的这个 y 等于负 s 加 b 的垂线与 x 交易一零，那当我这条直线经过一零的时候， 这时候我只能画出一个灯，要指导三角形，并且这时候教外轴鱼零一 x 轴与一零过点 c， 当我再向下移的时候，这个垂线的垂足就垂在了线段的外面，这个时候我们发现他就不可以，然后我们再将这个线移到第 三相线，哎，发现垂直，哎，垂直的位置是可以的，但是呢，要做出等要绕三角形，首先他与这个外等于负一，这条外等于一，这条直线的焦点就出现在第二向线，所以他也在线段 pq 之外了，所以我们就得到一个什么呢？呃，当 y 等于负 x 加 b 经过点一零时， b 是等于一的， b 需要大于等于一，当经过点 c 时代入得 b 是等于三的，他 b 还不能等于三，这样的话第二问就可以非常好办，非常好办啊。然后呢，呃，主要就是过 c 项，呃，直线 外等于负 s 加 b， 做一个垂线就可以得到，而这个负 s 加 b， 他的特点，首先哎， k 得负一，他与 s 加点四十五度，是吧？这样的话我们去求这个值，或者是取谁范围都很简单。现在咱们来重点说一下第三问， 第三个呢？呃，他说直线 x 加 d 交 x 轴，外轴与 e f 两点，并且要求 e f 上所有点都是半径，半径为二的原欧的油耗点。那么这个题目我们一读就需要干嘛了？需要找出 半径为二的原欧的油耗点范围，然后呢，让这个线段都在范围内，哎，这个想法就很很容易出来，那么现在关键就是找油耗点范围，我们来 画个十一图模拟找一下那么这个油耗点范围，最后既然是跟圆相关，那最后一定是确定到了和圆的位置关系。上面我们先画一个半径为二的圆， 然后来去分析一下这一点到圆心的距离应该是一个什么样的范围，可以成为圆的油耗点。我们在圆上可以随便取一点，然后呢连一条弦， 随便连这连一条弦，然后呢再做一个旋转九十度， 截取相等， 就得到一个圆的油耗点，然后呢还以这点不动，我们探究的时候，只需要以这一个点 不动就可以了，然后再划一条线，然后再做一条垂线，得到我们的油耗点的位置，过程都是一样的， 然后还可以再继续画， 通过观察，我们画出的三个友好点的位置和本来在圆上三个点 他位置基本上是一样的，只不过是旋转了，所以我们可以确定他的友好点，哎，关于这一点，这一点给一个点字母，比如说，呃， m 吧这一点，关于这一点形成的友好点，他 他的油耗点范围是一个圆形，那么当这一点可以是圆上任意一点的时候，我们只需要把这个图形给他转一圈就可以了，所以探究这一个点， 哎，关于人的油耗点就可以了。那么发现这三个点在一个圆上时候，我们下一步就是确定圆心，所以呢我连出 om 锁这条直径， 然后呢以这条直径为 b c 两点，做出这个圆的油耗点， 然后取这条线段的终点，就得到了这一点形成的友好点的圆心。 哎，我们给他画出来图没有那么准确，是吧？下一步呢就会发现，当我这个油油耗点必须是以一个 m 为 一点，为必点的话，那么我们得到油耗点范围，哎，就是这么一个圆，当 m 可以在圆上转一圈的时候，这个圆就可以在圆上转一圈，那么这个圆上到圆心的距离的最 最大和最小值就形成了一个什么能旋转的环形，他的图像就应该是这个样子的，连接这一点圆心和这和这个星圆的圆心， 然后最短距离一个圆，最大距离一个圆， 现在我们只需要求出这两个呃，圆的半径得到圆环应该是什么样，然后再把这个直线所得 ef 线段带进去就可以。 根据咱们刚才咱们画的线，经过直径的这条弦的这个油耗点，我们连 接之后得到一个等，要知道三角形圆的半径为二，所以 m o 一也等于二，所以 o o 一就等于二倍跟号二 半径相等，所以最小距离 d 就等于二倍根号二减二，最大距离 d 就等于 二位杠二加二，然后我们把坐标系给他画出来，在这画出一个示意图， 我们需要画 一个以 o 为圆星二百根号二减二的圆，再画出一个 o 为圆星二百根号二加二的圆。 直线 y 等于 x 加 d， 平行于 y 等于 x， 所以呢，他和 x 交点，哎，又说又说 d 大于零，所以这 ef 主要就是在第二向线内的部分，所以呢，当 地最大时他应该是和大圆相交，当地最小时应该是和小圆相切就行了，和大圆相交非常好，算大圆半径为二倍跟二加二， 那么直线就可以经过这一点零二百跟二加二，这时候 d 就等于二百跟二加二。当线段与小圆相切过圆形做线段的垂线半径为 d， 二倍跟二减二，那么它在外轴的长度应该是这个的。什么跟二倍，所以它等于跟号二倍的 d， m， i， n 等于四减二倍跟二，所以它应该大于等于四减二倍跟号二。 那么这个题我们在解决的时候，首先呢，嗯，直接判断油耗点的范围并不是特别好判断，我们只需要干嘛呢？只需要多多画几个图形，然后发现图 图形一直是一样的，是吧？旋转之后，他形成的点的位置和原图形上点的位置其实是没有任何变化的，只不过呢，这个时候 圆心发生了变化，然后我们的可以试着干嘛，把这个直径绕这一点旋转九十度，得到一个新的圆心，确定出新的圆，就确定出了友好点的范围。哎，这个题咱们就说到这，大家再见。

谁知道这条直线咋回事？怎么动的？同学，点一下 a， 谁知道这条直线它是什么样一条直线的？点一下 a， 各位啊，因为它 x 的 系数，咱们知道所有的 e 参数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 大家知道 k 的 名字叫斜率， 而这道题，这个 x 前面的 k 已经确定是四分之三了，所以它的斜率是确定的，所以它的倾斜程度是确定的，但是 b 呢？不确定。各位，所以它是上下动。大家还记得 b 决定什么吗？ 因为不管 k 等几，只要 x 等零， y 是 不是一定等 b 啊？各位，再看一遍，不着急啊，只要 x 等零的时候， y 是 不是一定等 b？ 所以 这个零逗号 b， 它是和外轴的交点，所以零逗号 b 就 决定它在外轴上的交点。 所以，各位，首先，这条直线是不是上下动的一条直线？嗯，那么这条直线它俩之间啥关系啊？各位？嗯， y 等于四分之三， x 加 b 和 y 等于四分之三， x 减 b， 啥关系啊？各位， 它俩的斜率是不是一样啊？然后它俩和外轴的交点是不是关于点 o 对 称啊？各位，各位，是不是这样的两条直线？好了，各位，第一问，咱们，人家让干嘛，咱们就干嘛呗，大清高啊！ 当 b 等于三的时候，这条红线是在这里，大家看了吗？啊，但是我看这条线啊，三写错了，三在这里啊，各位，当 b 等于三的时候，那条直线在那里，这条蓝线在这里，对不对？ 然后这条红线，各位啊，这条红线和坐标轴交于 m n， 这就是 m 啊，比如，这就是 n， 注意，它没说哪个是 m， 哪个是 n， 它只说不重合， 反正研究线段长度，这个是有可能是 m， 这个也有可能是 m， 你 们关注这点了吗？哥，其实有的时候给这个点起名叫 m， 还是那个点起名叫 m 是 有区别的，你们一定得关注，只不过这道题他没强调谁是 m n， 谁是 m， 谁是 n， 所以呢，看来是它俩不影响，但是你得关注，明白吗？你有，你有这种智商吗？好，它是和 o a、 b， c 的 这个两个边啊，大家看啊，这个三角形，这个这个矩形往下了一点，是吧？各位，我们看一看， 它和矩形的两个边交于 p q， 比如说，这是 p， 这是 q， 比如说，老师，这咋算呢？ 因为没坐牢的同学，我能理解你们，你们应该就是可能计算还不熟练，来，各位请看啊！你们要知道一点，我们很容易发现这是零，逗号三， 那么这样的话， b 就 等于三，咱们知道 b 等于三， y 等于四分之三， x 加三，你可以让 y 等于零，你看这个 x 等于几？ y 等于零的时候，你会发现，四分之三乘以负四，再加三等于零，对不对？所以这个点是负四， 所以这时候 m n 是 勾三，股四减五，所以 m n 等于五，对不对？然后那这个呢？各位，这个是 y 等于四分之三， x 减三，大家看，这个点是负三，我们把 y 等于带进去，会发现，哎，四分之三 x 加四分之三乘以正四，再减三等于零，对不对？所以这个点是正四， 那么这个边就是二。 好，各位，那有的时候咱们咋求 p q 呢？如果你没学过相似或者三角函数，各位请看啊，这个点 q 咱们知道啥了？各位， 点 q 的 横坐标是不是知道了？点 q 的 横坐标是不是六啊？各， 嗯，点 q 的 横坐标是不是六啊？ 嗯，对，是不是？那么你把 x 等于六带到这里边去，是不是就可以求出来它的纵坐标了？ 大家看，把 x 等于六带进去，四分之三乘以六，再减三二，这个消完以后是二三，二分之九减三等于二分之三，对不对？所以大家会发现它是不是六。逗号，二分之三， 所以这是四，这是二分之三。勾股定律，你会发现这就是二分之五。各位会了吗？就是说你只要，我跟你们说啊，各位，你只要有了这个直线的解析式，你只要知道一个 x， 或者知道一个 y， 另外一个马上是不是就知道了？各位， 直线解析式是不是就帮你干这个事的？你只要知道 x， 马上就知道 y， 知道 y， 马上就知道 x， 对 不对？好，我们再发现一个特点，各位， 你们发现这个直角三角形和这个直角三角形有什么相同之处吗？各位，发现他们两个之间有什么相同的地方的？点一下 a。 近似啊，这个词用的好叫近似，你们有没有发现他们的这三个边的比例关系，有没有发现是一样的呀？看一看 它们的形状是不是一样的。长柄号怎么着？长柄号封了？嗯，好，有的时候两倍的关系。哎，两倍的关系也是啊，特别好。嗯， 长柄号。老师，我那个键盘有问题啊，没事，我跟你开玩笑的啊，你摁个一，不犯死罪啊，不会枪毙的，不用急着解释啊啊，只要不是枪毙，其他的都是小事啊。嗯，好，来，各位，我们有没有发现只要是 哎这个红边或者蓝边和坐标轴形成的这个三角形，它们的形状是不是一样的？哎，三个角是不是相等啊？范成宇说了，因为这个角和这个角是不是同位角啊？哥， 所以它们的形状是不一样，形状一样，这是三比四比五，你告诉我这个边是不也是三比四比五？并且你们能看出来这个边比这个边比，这个边也是三比四比五，大家看了吗？ 所以咱们可以通过观察总结一个小经验啊，各位，虽然咱们还没学三角函数和相似三角形，但是咱们会发现，只要是这个红的边或者是蓝的线啊， 和两个坐标轴和横平竖直的这样一个三角形，就是有它们斜边是它们，其他的两个直角边都是平行于坐标轴的，那么它们就是三比四比五的一个三角形，这样的话，你就能快速计算了啊。各位，来好好看看老谢怎么分析这道题啊，看看是不是整个下来思路极其清晰啊。各位， 来，各位，我给大家分析一下啊。首先，各位同学， 当我第二问，看到第一等于三分之五，我就会去找，哪有第一啊？哦，这儿有第一，然后第一是谁呢？哦，第一，他俩是他俩里边的较小值。说白了，哎，各位，第一有两个嫌疑人 啊，一个是有可能是 m n 等于三分之五，有可能 p q 是 三分之五， 并且如果选 m n 是 三分之五的时候， p q 一定大于等于三分之五，选择 p q 是 三分之五的时候，哎， m n 一定大于等于三分之五。各位，这道题对我来讲很简单，就是把 m n 等于三分之五算一遍，算完以后看看这个时候 p q 是 不是大于等于三分之五，各位思路是不是非常清晰？各位， 咱们首先看啊，如果 m n 等于三分之五，各位请看，就是这种情况， 这个长是三分之五，各位还记得咱们刚才总结了，只要是这个红边或者蓝边组成的这种横平竖直的直角三角形，各位还记得都是三四五吗？还记得吗？所以这是五份，五份是三分之五，每一份是不是三分之一啊？各位， 每一份是不是三分之一啊？这是三份，三个三分之一是不是就等于一啊？果然这个时候等 b 等于一，对不对？这个时候是 y 等于四分之三， x 加一对不对？所以这时候 m n 等于三分之五，咱们再看 p q 呢？各位， p q 是 不是就不用算了？ 这个时候 p q， 因为这个时候的 b 等于一，然后那这个就是 y 等于四分之三， x 减一就是这条蓝线，你告诉我 p q 是 不是一定比 m n 大 呀？ 是不是确实是这俩里边的较小值是三分之五啊？各位是不是来提问？提问你告诉我整个思路清晰不清晰？ 就是第一是三分之五，但是第一有两个嫌疑人，我要把这两个嫌疑人都抓过来审一审，明白吗？ 我就先让 m n 是 三分之五，各位再说一遍啊，就是说 就是只要是这种红边和蓝边组成的这种直角直角三角形，并且这种直角边是和坐标轴平行的，它们都是三比四比五，各位能理解吗？ 大小不一样， k 不 一样，但是它们的比例都是一样的，因为很好理解它们的形状都是一样的嘛，对不对？是不是形状都是一样的？ 所以亲爱的同学们，咱们看一看啊，那么第一种情况是这个，第二种情况是这个是三分之五， 然后呢，我们就知道还是那句话，这个直角三角形是三比四比五，五分是三分之一，所以这是三分之三个，三分之一就是一，这个是三分之四，对不对？ 有人说，老师，这时候的 b 咋求啊？也很简单，各位，这条直线上你只要找到一个点，你就知道 b 等于几。 大家看咱们是不是发现六逗号一，在这条蓝线上，各位有没有发现，这个点的横坐标就是六，纵坐标就是一啊？所以我们就把六逗号一带到这个直线里边去， y 等于 x 等于六， 减去 b 对 不对？哎，二分之三是吧？ 二分之九减谁等于一啊？二分之九应该是减二分之七是吧？嗯啊，二分之九减二分之七对不对？所以 b 这时候等于二分之七，所以 b 要么是一，要么是二分之七，对不对？ 这时候我们看 m n 一定比三分之五大，所以这个三分之五也是这俩里边更小的那个，所以这俩答案是不是都行了？各位啊，首先做第二个，我是不是一点都不着急，俩嫌疑人一个一个来，一个一个来，是不是做题好清晰，好轻松啊？ 嗯，第二个，咱们是不是就确认了，这种直角三角形都是三比四比五，三比四比五啊？各位， 然后呢，你想求这个 b， 你 告诉我，求一个未知数，是不是只需要一个方程啊？ 我们只要把这条直线上的任何一个点的坐标带进去是不是就得到一个方程了？比如说把六逗号一带进去，是不是就得到一个方程？ b 就 求出来了？各位，所以咱们想求 b 是 不是只需要知道这条直线上的任何一个点啊？各位，任意一个点是不是都行了？大家，第三问里边， 因为这个定义本来就是小的那个小，最小值里边的最大值，这种题最烦了，但是我教你们一个方法，让你们一下子就能学会啊。各位，我看我在哪写一下。首先，你们知道坐标系是干嘛的吗？各位， 我告诉大家啊，其实坐标系可不仅仅是研究 x 和 y 之间的关系， 其实坐标系是研究任何两个事情，两个参数之间的，它们的变化关系的。比如说，我给大家举个简单例子， 年龄，身高，各位，你们告诉我年龄和身高之间的一个比例关系。一个变化关系是啥呀？我画一个，你们觉着是吗？ 各位，是这样的吗？各位，年龄和身高之间的关系是这样的吗？告诉我， 嗯，是这样的吗？他应该不是吧，他应该首先出生的时候 它已经有一些升高了吧？嗯，然后呢？慢慢，慢慢长，慢慢长，可能某些年龄长得比较快，然后到一定年龄就差不多了吧，然后到一定年龄又抽抽了，对不对？各位，是不是长得又抽抽了啊？你们告诉我，是不是差不多是这个意思啊？各位， 所以我告诉大家啊，就是这个坐标系它有一个好处，它能同时看到两个参数之间的关系。 来，我问大家一个问题， 各位，咱们能不能研究一下子？各位，大家看啊，各位，请看， 它说是 b 是 小于零，各位，咱们能不能研究一下？哎，随着 b 它从零变得越来越小，让它往左走，咱们能不能研究研究 m n 和 p q 的 长度变化呢？各位， 来来来，我看大家会不会啊，我给你们三分钟，我给你们发小黑板，各位请看啊！呃，稍等，我看怎么给你们发一下啊？ 各位，你们要真正的掌握坐标系好好啊，没事啊，来，各位 啊，稍等一下，我先把这些东西给你们发到小黑板上， 大家别着急啊，各位老师，我可能这个安排呢，比原计划讲的慢一点，但是呢，因为我很清楚，最大值里边的最小值是同学们初二初三新定义里边最绕的一种新定义，我想让他们彻底的稳扎稳打的掌握扎实。 所以，各位啊，好了，各位，请画一下这个图，用蓝线用蓝线画一画，随着 b 从零变得越来越小，往左走， b 变得负数吗？ b 小 于零吧， m n 的 变化， 各位，好好看啊，你们要想学好新定义，首先得彻底学好坐标系，各位请看，横坐标代表的是 b 的 数，纵坐标代表 m n 或者 p q 的 长度，各位请看啊，当 b 等于零的时候， 大家看，当 b 等于零的时候，这两条线是不是都在这啊， 虽然这时候不能取。等，我们会发现 m n 是 和坐标轴的交点，所以这时候 m n 是 不是等于零啊？各位， m n 是 不是就等于零啊？各位，然后你会发现，随着 b 是 负数越来越小，各位啊， 你会发现 m n 往下是不是 m n 的 长度是乘比例增大呀？各位，有没有发现乘比例增大？各位，你告诉我，随着因为 b 随着 b 越来越小，你告诉我这个长度是不是随着乘比例一直增大呀？各位， 嗯，你有没有发现乘比例一直增大呀？你比如说，当 b 等于负一的时候，它是多少？ 当 b 是 负一的时候，这个长度是一三比四比五，一是三份，那五份是多少？是不是三分之五？你会发现，各位，当 b 等于负一的时候，它是不是就等于三分之五啊？我写得稍微小一点吧。 当 b 是 负一的时候，它是不是就是三分之五啊？ 然后你再看看，当 b 是 负二的时候呢？你应该很容易理解，当 b 等于负二的时候，它应该就是三分之十了， 然后一直走。比如说，当 b 等于四的时候啊，或者 b 等于三的时候，大家啊，当 b 等于负三的时候， 它就等于五了，对不对？所以你会发现 m、 n 的 长度是不是乘比例的在变大啊？各位来体会体会，能理解这点不？消化半分钟来，我们再看看 p q 呢， 因为这条蓝线是 y 等于四分之三， x 减 b， 当 b 成为越来越小的数，这个负 b 是 不是越来越大啊？各位， 咱们会发现，从一开始我把这个换成绿色吧。 各位，从一开始这个 p q 是 不是已经比较长了？各位，当 b 等于零的时候，是不是这个 p q 已经是三四五了？ 各位能意识到吗？嗯，当 b 等于零的时候，它是不是已经是三四五的五了？然后呢，你会发现，随着 b 越来越小，负 b 越来越大，这个 p q 的 长度是不是等比例减小啊？各位， 当 b 等于负三，大家看，当 b 等于负三的时候，这是不是 y 等于四分之三， x 减负三就是加三啊？到这时候 p q 是 不是就等于零了？各位， 各位，能理解这个绿色的线段它代表的是 p q 的 长度， 随着 b 的 变化长度的变化，注意啊，绿色的这个线段它不是 p q 啊，各位，它的纵坐标代表的是 p q 的 长度。这个蓝色线段上每个点它的意思是当 b 是 负的二点五的时候， 它对应的 m n 的 长度，大家明白吗？这上边啊，各位，它的横坐标是 b， 纵坐标代表的是 m n 的 长度，明白吗？ 这条绿线上的每个点横坐标是 b， 纵坐标代表的是 p q 的 长度。 来，各位，所以这个图像理解了吗？如果你们理解了这个，你们现在能理解为什么第一最大的时候，或者说大家能描述出来第一在这个图里边怎么表示吗？各位，是不是在这个点右边的时候，这个蓝线 m n 的 长度小，是不是就选这一段啊？各位， 然后在这个点左边的时候，绿线变啊， p q 变小了，你告诉我这个黄线是不是代表第一啊？各位， 这个黄线上每个点的纵坐标是不是代表第一横坐标还是 b？ 纵坐标是不是变成第一了？ 所以当 b 是 不同的数的时候，你们告诉我这个黄线上的每个点的纵坐标是不是代表第一的长啊？那你们现在能理解第一最大的时候就是 m n 和 p k 数相等的时候，理解了，理解为什么情况下 第一最大，就它俩相等的时候，理解的点一下 a 就是 这种最小值的，最大值的新定义就是它们相等的时候来同时能理解。如果玩最大里边的最小值，咱们如果给它们起名，它们的较大值叫叫第二， 然后问第二的最小值，谁知道也是这个点的，点一下 b， 这两个点都理解的，点一下 ab 能理解。如果是第二是较大值，然后问较大值里边的最小值，其实也是这个点。各位，你告诉我那个图像是啥？那个图像是不是这个图像了？各位， 他俩谁大选谁，你们告诉我是不是也是这个点？这个点是较大值里边的那个最小值，各位理解了吗？好玩不？ 各位能理解了吗？所以以后如果问最大值里边的最小值和最小值里边的最大值，是不是都是他俩相同的时候？所以咱们今天我多花十分钟、二十分钟时间给你们分析，你们告诉我以后在考场上是不是就不用分析了？各位，考场上可以直接借助这个经验直接干就对不对？ 你们是不是觉得对坐标系的认识也比以前更强了？坐标系真的可以解决很多问题，对不对？理解了吧？ 所以咱们就看看他俩什么情况下相等就完了呗。嗯，大家咱们看他俩什么情况下相等，这个长度和这个长度相等。各位，你有没有发现这个三角形和这个三角形一定是全等的呀？所以这个边是不是一定等于这个边啊？ 而这个边是等于这个边的，你们有没有发现他们一直是对称的，刚才说了这个点和这个点是不对称的，所以这个边等于这个边也等于这个边，所以这个边也等于这个边，这个点是不就是三和零之间的终点？所以这个 b 就是 二分之三，各位是不就做好了？ 当然 b 是 负的二分之三啊。然后呢这个点呢就是它和它的坐标，只要知道这个点的坐标，求一下终点公式就出来了，各位看答案就出来了啊。

各位家长，您的孩子数学的成绩有没有达到九十分以上？如果再想提升的话，那其实主要就要攻克的是选填的最后一道题，还有呢，二十八题新定义的最后疑问，这些都非常难了， 那如果这些个题目没有做对，其他全做对的话，那其实您的孩子的分数也应该在九十以上或者是九十五以上了。 那么要想突破这几个难题，这就需要专项的数学的突破和训练。我们数学的专项和突破训练课程啊，一共分十个层级，那么突破最后这选填和新定义的最后疑问，这是属于最高层级了啊。第十个层级 这里边呢，其实在哎选择填空这里边往往是近几年的题型里边出的难度比较大的，它比二十七题的几何综合题其实还有难度， 包括一些，呃，表格大的计算，有没有短时间内能够精准的简化计算的一个练习。还有二十八题新定义最后一问，那是考察的由个别到一般的由静态到动态的一个数学思考的思路的检测， 那么如果需要提升这方面的能力啊，不进行专项的突破训练，那是肯定不行的啊。一道题两道题讲不清楚，至少十道题起步，用真题和一模二模的题目来去，一道一道的认真的拆解这些个思路， 那么直到理解，然后自己能够不断的重复性的把它还能做对，才算是真正的突破了， 这需要大量的时间，大量的提亮的训练才能达到目的。如果您的孩子真有这方面的需要，也真有这方面的决心要想突破的话呢，咱们随时沟通和交流。

刚考完的东城区一模，可能是由于前面的题比较简单，所以新定义的难度比较大，从第二小问开始就明显加大了难度。我接下来将会用超清晰的图形分析方法给大家把这个题梳理一遍，并且在过程中给大家讲两个非常重要的考试技巧。读完整个题干之后，定义本身并不难理解，核心就是那个 锐角三角形。第一小问也指向了这个锐角的问题，我们排除 c 一 就是因为它形成的直角。到了第二小问题目中给了明确的 o c 长为二， 让我们去求弦 a b 的 曲值范围。我一再强调，当我们遇到较难的题的时候，这个图形的大小很关键，本题就应该把图画大一点，否则接下来你会发现你很难在图中很清楚的去分析。第二个很关键的点就是要对对称性有充分的理解，我们找到一个满足提议的形态， 就是我图中画的这个 abc。 接下来我讲的对称性，结合这个点来看，就是 a c 和 b c 关于整个 o c 是 对称的，所以我如果能够通过单独的左边的 a c 就 能够分析清楚本题， 那我就没必要两侧都去分析。这是第一个对称性，也是我们比较熟悉的轴对称，第二个对称叫做中心对称，你可以想象一下，整个点 c 可以 绕着外面那个大圆旋转，是不是？如果我现在的这个状态是符合 t 的， 假设 c 点落在这个位置，形成了一个对称感的，这个图形还是符合 t 的， 也就说 c 点落在什么位置都不影响 ab 长度的取值。那我满足了以上来说的两种对称，我就会把这个问题给它简化成什么呢？分析这样的一种特殊情况， 一个点 c 刚好落在零二这个位置，然后找到其中的一个切点，去想 b 点在跑的过程中，什么情况下是符合题的，什么情况下是不符合题的？找那个临界值好了。有了这样的一个分析方法，我们就会找到第一个临界值， ab 一 刚好不符合题，如果 b 点再往上跑一点点，他就符合题了。此时连接 a、 b、 c 所形成三角形就是锐角三角形，所以 a、 b、 e 是 一个零件，且不可取。 那我们继续让这个线往上跑，跑到这个位置依然符合题一，还是锐角三角形。继续走，大概到这个位置，依然是满足题一的，此时会形成一个新的直角，它就是刚好不满足锐角三角形的概念了。所以我又找到了 a、 b 二这样的一个临界位置，因此 a、 b 的 长度就在 a b 一 和 a b 二之间， a b 一 好办，一定是二，可是 a b 二怎么求呢？哎，它就变成了一道几何题。这个几何题我们简单梳理，就变成如图所示的这个状态了。并且我们根据 c 点的坐标零二，且题中给的这个半径是一，可知这个直角三角形， 它是一个一比二比根号三的一个直角三角形，这是根号三，这条线是二，我要求的是什么呢？是 a、 b 二的长， 它就变成了一道几何题。如果考试中啊，我强烈建议大家把这道题拿出来，但这个前提是你稍作计算，发现它确实不好求解。那怎么办呢？我就把它给拿出来，变成一个清晰的几何体，去求解它 变成这样，并且我在画图的时候，我会刻意的把它的这种对称感给它展示出来， 这是根号三，这是一，这是一，这是垂直，这是垂直。如果我们中间连这条线还可以得到这地方有个二。看到了没有？我是不是特意错了一点角度？我接下来要的目标就是要求这个 a b 摆脱原来图中比较复杂的直角坐标系呀、圆呀那些东西，变成了一个纯几何体， 你一定要把所有的条件给它列全了，然后接下来计算。这个小几何题的计算还是有一定难度的，我怎么才能够把这个 a b c 是 个直角三角形这个条件给它很好的用上呢？很关键。好， 这道题最后的解法是根据对称性找到这个中点 m 连结 o m， 在 这个直角三角形中，我可以求得 o m 的 长，经过计算， o m 的 长是根号七，那由于垂直对称，所以垂直，那我就可以去算整个四边形的面积， s a o b m， 它的面积可以等于左右这两个直角三角形的面积之和刚好是什么呢？ 根号三啊，就是左右这两支和，所以是根号三，同时这个面积还等于四边形的对角线之积除以二。因为它是一个特殊的直角三角形，所以就会得出它的面积是等于根号三。而 a b 乘以 o m， 根号七除以二，刚好等于这个根号三。所以最后算出来 ab 的 长是七分之二倍，根号二十一。综上所述， ab 的 范围就是大于七分之二倍，根号二十一小于二，这是最终答案。再来看第三小问， 第三小问，他说存在一条长为二倍根七的线段，线段上的任意一点都是圆 o 的 长为 t 的 弦的锐切点， 直接写出 t 的 曲值范围。经过读题，我们会发现，圆的半径长就是 t， 而这个弦长呢，也是 t， 因此这条弦会和半径组成一个等边三角形。我先不去管那个二倍根七长的线段是什么回事，我先去想这个等边三角形， 这条弦它自身，它的衔接点在哪里？然后回到我们前面说到的，它具有中心对称，那我们就先去研究这个根据。我们刚刚找锐角三角形，我们可以得知啊，找到临界值，就如果 a、 b 在 这，你想让 a、 b、 c 是 一个锐角三角形，那第一个临界点就是点 c， 刚好形成直角，不符合题。第二个临界点呢，就是点 d 刚好在这个位置形成一个直角，也不符合题。因此，如果你在 c 和 d 中间选一个点 p， 你 连接 ab， 那 你会发现它一定是一个锐角三角形。 所以我们对于任意一个符合题的弦 ab， 它满足题的点一定是在这条 c、 d 线段上。 根据我们前面讲的中心对称性，我这个 a、 b 如果绕着圆 o 转一转呢？哎，如下图所示， 那就又会产生一小段符合题的线段，我们不妨给它设成 c 二、 d 二。那如果我这个 a、 b 它一直转呢？它绕着圆转一整圈呢？那其实会产生无数个这样的 c、 d， 这无数个 c、 d， 它会怎么样呢？它会铺满这样的整个圆。是不是不难理解？很多这样的符合题的 c、 d， 他会铺满整个圆，因此最终符合题意的点，他一定要落在这两圆之间，对不对？ 哎？而我们题目中不是要去找哪个点他符合题，而是说有一段二倍根号期长的线段，这个线段上的所有点都符合题，那是不是就意味着二倍根号期这么长的一条线段，他要能够完整的落在我画的这个阴影部分范围内？那如果这个二倍根号期， 它代表的这个长度啊，它比较轻松的就放到这个原理了。假如这段长刚好是二倍根号七，符不符合题呢？符合这上面的所有点， 都能够找到满足题的弦 a b 是 不是好？可是如果这个二倍根号七啊，它很长，对吧？你无法把它全部塞到我找刚刚画的那个阴影部分中，是不是就不符合题？因此我们就可以找到这个临界范围，就是它刚好能塞进去，那大体上是不是就这样 就变成这样一个临界状态？而这个临界状态很显然就是去找这个什么黄色的圆和红色的圆的直径就可以了，只要能够找到直径，利用这个直角三角形或者说半径 啊，这是小 r， 这是大 r， 两个半径一找到，就可以利用勾股定律，根据这地方是根号七去算，而这个小 r 和大 r 怎么着呢，都应该和本题要求的 t 有 关系。哎，那我们再回过头来，再具体的去看一看，它是怎么和 t 产生关系的呢？在这个图中，那个黄色圆， 它的直径就是这条线啊，根据题目的意思，这段长就是 t 啊，然后把这个 a c 的 长给它表示出来，因为这段长是 t 嘛，所以这是一个特殊的直角三角形，对吧？所以我们就可以求出 a、 c 的 长是多少多少 t， 然后就可以求出 o c 的 长是多少多少 t。 好， 同理，再根据另外这样的一个大的直角三角形去求出 o d 的 长是多少多少 t。 那由此我们就可以求出本题最终的答案了。具体的计算过程其实比上一小问还要简单，我就不再算了，大家自己去算一下。最后算出来的答案是 p 要大于二倍根号三、慢读题。以上就是本题最清晰的图解了。

东城新定义非常的妖，非常的奇怪，第二问最难，第三问吉易错几何，快待熟稳。新定义还能提智商。大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的啊，东城一木的这个新定义， 这个心里特别有意思啊，慢慢看啊。首先，从定义上锐角三角形，有的同学可能就会懵，可能就光关注角 a、 c、 b 这个角，锐角三角形，一定是每个角都是锐角，你关注了吗？所以你要把角 a 是 锐角，角 b 是 锐角，角 c 是 锐角，这三种情况都得分拆着分别考虑 啊。然后呢，同时他还要求 c、 a、 c、 b 是 一条切线，如果咱们随便确定了一个，哎，弦 ab， 以后 我们过 a 做一条切线，我们不难发现啊，各位，你可以体为我给你自己留，给大家留一个思考题啊， a、 b 是 直径行不行？你们可以思考思考，我在这不讲了。如果 a、 b 不是 直径，大家会发现，那么如果是点 a 的 左边这一部分切线 这个角，也就是点 c， 如果在左边这个切线上，这个 c、 a、 b 这个角是不是一定是钝角，所以它就不是锐角三角形，对不对？所以你会发现，哎，这个角 c 啊，当过点 a 的 切线画出来以后，当过点 b 的 切线画出来以后，你只需要研究这个切线，在 a、 b 裂弧部分，就是这个右上方的那一部分射线，也就是点 c， 首先有可能在这里啊，否则的话，角 a 或者角 b 本身就是钝角了，各位能理解吗？这第一个，第二个、第二个呢？ 咱们还得保证角 c 也得是锐角，咱们先把角 c 是 直角的情况画出来啊，你比如说咱们就研究这个点过点 b 的 这条切线上啊，因为点 a 和点 b 他 俩的切线都是一回事， 然后咱们先过了这个，你会发现点 c 在 c 一 上边的时候，他才能保证是锐角对不对？在下边就一定是钝角， ok， 所以 从 c 一 这 往上走往上走就行了吗？首先大家知道这个角是锐角是一定的了啊，那么咱们还得保证这个角是锐角，所以它的临界情况就是这个角是直角的时候，也就是过点 a 做 ab 的 垂线， 这个 c 二不能再往上，再往上。你看啊，如果在 c 二的上方，这个角又是钝角了，所以说锐角三角形就这一个条件，你就得好好的分析。 那么这样的话，我们就知道，要想保证是锐角三角形，那么点 c 就 在 c 一 和 c 二之间， 当然过 a 的 这个切线也一样， ok， 所以 我们要找这样的锐切点的话，一个是要做切线，二是要做垂线，做俩垂线对不对？一个是过 a 往 b 的 这个切线上做垂线，一个是过 a 做 ab 的 垂线，另外要注意空心点 啊。 ok， 这是定义的解读，定义的解读明白以后，第一问就非常简单了啊，大会发现这两个红色的线段上就可以。是啊，所以 c 二和 c 三应该是啊，你们确认一下，我没仔细看第二问就有点难了。 第二个，如果按照常规方法，我告诉大家，有同学可能会设 a、 b 的 长为 t， 然后呢去跟 o、 c 等于二去比较，我告诉大家那个方法不太好做，我给大家分享一个相对简单的方法。各位啊，通过刚才定义的解读，咱们随便研究一个切线啊，比如过 a 的 这个切线， 那么我们就知道这是垂直的，这是垂直的，是吧，这是垂直的。然后呢，点 c 就 在 c 一 和 c 二之间，并且我们知道点 c 和 c 一 到 c 二之间，你会发现，那么 o c 一定是小于 o c 二大于 o c， 而 o c 呢，等于二。各位同学不难发现 o c 二，你会发现啊，各位， ac 二是永远小于等一的， 因为你会发现 a c 二等于这个垂线段的长度，而这个垂线段的长度是小于等于 o b 半径的长度，所以 a c 二小于等于一， o a 呢，等于一。各位同学不难理解， o c 一 呢， 一定是小于等于根号二的，所以你放心，二一定大于它。不用管了，你只要确定一下子，看什么情况 o c 小 于 o c 二就行。这个时候我们基于哎极端性原理，我们先把 o c 二等于二的情况算出来 啊。因为如果你不把 o c 二等于二算出来的话啊，你不先不让 o c 二，如果不让它等于二，你会发现很难算。 ok， 怎么算呢？各位同学建议，没做的同学建议暂停一下啊，你得算一算啊，这个找对了，特别巧找不对啊，难死你。好，我接下来了啊 各位，如果你听过老谢讲过这样一个观点，什么叫高智商，就永远知道有何要？因为我教数学主要是用来提高大家智商的，不光是新定义啊，但是新定义特别提高智商。各位，这道题，我们先让 o c 二等于二找这种临界情况，因为 o a 等于一，这是九十度，所以 a c 二等于根号三， a c 二等于根号三，这个条件我们不太好用。各位，然后呢，我们如果你永远知道有何要高智商的话，你就知道有直角，还有给了一个斜边的长，我们就要想到斜边的斜边一本，这时候呢，我们点一下 a、 c 二的终点 d， 那么你会发现 b、 d 作为斜边上的中线，它的长度就等于 a、 c、 r 的 一半，就是二分之根号三， a、 d 也是二分之根号三。对，你不难发现， obd 和 o、 a、 d， 它是一个轴对称图形 啊，就是说如果连上 o、 d 三角形， obd 和 o、 a、 d 是 轴对称，全等，这个角就是九十度，咱们设它为 e， 各位，你可以利用勾股定律求出来 o、 d， 再利用等面积法， o、 a、 d 的 面积等于它自己。然后两种算法可以算出来， ab 啊，等于七分之根号二十一，那么 ab 呢，就等于七分之二倍的根号二十一， 这个时候是算出来 o、 c 二正好等于二的时候，但是呢， o、 c 二必须得大于二，这个时候我们 i 有 序动，你不难发现，如果你让点 b 靠近 a， 各位，你做一个 水点啊，我们做一个 b 靠近 a， 然后过 b， 做一个垂线段， 你会发现 c 二一定会往下走。反过来，如果你让 b 哎远离一下，然后呢，再做一个过 a、 b 的 垂线段，你会发现 c 二一定往上走，也就 o、 c 二一定大。 所以只要是 b 远离 a， 在 这个基础上远离 a， 这个就行啊。然后这时候我们就知道 ab 的 长，它就要大于七分之二倍的根号二十一。 注意，还有一个前提，确认它是个弦，并且不能等于直径。我一开始让你思考了，我不知道你思考明白呦，所以它也得小于二 啊，因为这个圆的半径是一。 ok， 这是第二个，这个第二个还真挺难。各位同学，我不知道你们能不能想到，如果在考点上想在三四分钟之内把第二个做出来，你得具备我总结的那些天才高智商的一些基本能力，就永远知道有什么要什么，否则你不一定在挨这想到 找到 ac 二的终点。 ok， 这是第二位啊，好好琢磨琢磨，咱们再看第三位。第三位，我告诉大家啊，这容易有一个误区，也就是说， 如果你看到存在啊，一个长度为二倍的根号七的线段，并且你刚才还研究了半天 c 一 c 二了，你可能就会错误的认为 c 一 c 二要大于二倍的根号二十七啊，根号七。 各位，这样的话理解可能就错了，因为他说线段上任意点都是圆 o 的 长为 t 的 弦的锐切点是长为 t 的 锐切点，不是说某一条弦长为 t 的 弦的锐切点。 也就是说这个二倍的根号七这个长度线段啊，它上面所有的点不一定全被这个紫色的线段给承包了。各位，咱们要画出来所有的弦长为 t 的 所有的锐切点的轨迹 啊，你要思考思考这点， ok， 在 这种情况下呢，咱们先用 a 内元大法算出来一种情况下的 o c 一 和 o c 二 啊，各位，你能理解这一点吗？所有的，如果你算完以后，你就知道它这个轨迹应该是个圆环，当然还要注意空心点，因为它不能等 o c 一 o c 二，各位，你能理解，也就是说咱们有这样一个圆环， 各位你们体会体会，就是说只要这个二倍的根号七，在这个橙色的圆环内，蓝色的圆外啊，橙色的圆外，蓝色的圆内就行了。各位能理解这点吗？所以咱们接下来要算出来这个，哎，内径和外径。 好，各位啊，这个呢，说实话比第二个呢计算简单多了，因为 ab 是， 如果是长度为 t 的 话，这个角就是六十度，因为半径是 t o a b 是 个等边三角形，所以这是三十度。各位，你们现在可以暂停看一下啊，不难算出来刚才那个啊，圆环的内径外径算出来，算完以后，它就变成了一道含难度中等的圆综合的题了啊，我们要保证 这个二倍的根号七的这样一个弦能够完全在圆环里边，我们可以找出来临界情况 啊，零线情况，算完以后是 t 等于二倍的根号三，你知道这个圆环要越大，他越能装得下二倍根号 t 的 这个弦，所以呢，答案是 t 大 于二倍的根号三，越大越好。 ok， 这道题就做好了。好啦，各位啊，新定义真的能提高智商啊，我希望通过我每道新定义都能帮你提智商。

今天我们来看一看啊，长郡初二期中考试的压轴题啊，这是一个新定义啊，我们看看他心在哪里。首先给了一个完全平方式啊，这个是没毛病，然后他隐身了一下，就是做了一个降次啊，做了一个降次，那么 把 a 的 平方变成 a， 那 么 b 的 平方变成 b， 那 理所当然，二 a b 就 变成二倍的根号 ab 啊，这个是一个降次的行为啊，那么他取了个名字叫完全平方根式啊，这个里面 如何去理解他啊？如何去理解他核心在哪里？其实这就是我们进行根号下哈，把根号里面的一些东西，把它 画出来啊，画出来的这么一个方法，那他的技巧在哪里呢？两个技巧，第一个就是这个，我们讲的这个中间项，他的系数是二 啊，一定要是二，不是二就不行啊，你要化成二，不能化成二，那就不是完全跟式，这是第一点。第二点，那如何去确定呢？最好的方法是什么呢？实际上就是对这个这个二次项，根号项，二次项做什么？ 分解因式，或者叫分解质因素因素分解 啊，因数分解，用因数分解要更快一点，这就是这两个技巧，我们来看一看啊。第一个， 哎，找到这个中间项二式的根号就是三，那三可以分成一乘以三，哎，一乘以三，所以一是第二个根号。十根号是无法放出一个二系数来，所以它一定不是再看这个， 这个系数是四，那就画一下，那就换成二，那另外二的是还一个二，就放根号里面去，那就变成四四六二十四。那二十四可以做哪些因素分解呢？正好四六二十四，所以一三可以。你看，我们从 中间向出发，是最快最准的啊，不信我们再做一道啊。做第二位啊，他说七加上二倍，根号六，哎，二十的根号六分成一乘以六，二乘以三，当然是一乘以六，因为一加六等于七，所以他就等于根号 六加一。再看这个部分，这个部分注意，八，我们要把它变成二二倍更好些。那剩下一个四四放进去，四四一十六，一十六乘以三， 四十八，对吧？四十八进行运数分解，可以分成谁呢啊？运数分解，那 四十八等于二乘以二十四，显然超了二十四，超了二十四三呢？ 一十六，对吧？也不行，六八，哎，六加八，一十四，刚好就是六加八，所以，但这是减号啊，所以就是大数减小数刚好八减刚好六，你看，刚好八是二比根号二 加一。好，这个就搞定了。再次证明，我们这个方法非常的行之有效啊，非常的行之有效。 好，我们带着这样的那个底气，我们来到了第三位。好，他说 a， 然后给了这么一个十字啊，同样的，我们显然要把 a 画一画，画成什么呢？画成 系数为二，对吧？那还多一个二就放进去啊。啊？多一个放进去，那是谁呢？那就是二，二四就十二，对不对？ 三四十二加 b。 哎，那我们知道，那就是要对十二进行匀数分解，对吧？先匀数分解，那正好就等于 a b， 对吧？那就十二因素分解啊。十二可以等于什么呢？一乘以十二可以等于二乘以六等于三乘以四。没有别的了啊？没有别的，因为 a 大 于 b， 他 们还是正整数嘛。啊，所以呢，就有三组， a 等于十二， b 等于一或者 a 等于六呢， b 等于二，或者 a 等于四， b 等于三，他要求最小。什么时候最小呢？我们看最小，这个是确定的，要最小就 a 加 b 的 和最小，对吧？ 我们发现 a 加 b 等于十三，或 a 加 b 等于七，所以我们知道了什么时候最小。所以当 a 等于四， b 等于三十，那显然 a 最小， a 取的最小， 那么 a 的 最小值是多少呢？那就是根号 a 更好比，对吧？根号 a 加上更好比，那就是二加根号三。 好，这一小问就是解决了，再看第二小问，第二小问注意啊，这个 b 他 好像挺复杂的，但是我们不要被他吓着了啊，为什么？你看 a 是 谁？ a 是 二加根号三啊， 这个根号 a 呢？ a 是 四，根号幺二， 同样的啊，二就是二减根号三，对吧？这个 b 呢？就根号三 y。 好， 那显然做到这里，我们能做的就是把它通分了，对吧？而且我们发现它是一个完全平方数啊，二平方减 根号三的平方就是一啊，那所以呢，这里就是它们俩交叉相乘啊，四 x 减去两倍，根号三 y 加上三 y。 好， 那这个东西我们要整理一下。为什么要整理一下啊？你看我们把四 x 加三 y 写在一起，然后呢？这个我们整理一下啊，这还有个 x 啊， a x， 那 我们其实要提出一个二倍钢化三呢啊，那这个就是 y 减 x。 注意到我们 b 是 整数， 那说明这个这个根号下面这个东西肯定必须是整数，对吧？ 这个里面的东西一定是整数，对不对啊？本来写的是他是整数，那他是整数，我们根据有你数的运算我就知道了，那这是整数，这是整数，那他就一定是整数，对吧？他怎么是整数？他带了一个根号， 那就只能是它的系数为零，所以就是 y 减 x 等于零，那也就是 x 等于 y 好， x 等于 y， 那 我们看就简单多了，所以 b 就 等于， 就用 x 表示， y 都可言呢，就是七 x 啊， b 就 等于七 x 好， 那注意它还 b 还满足这么一个不等式啊，它还要小于 a 的 平方加一，那 a 的 平方是谁呢？就是它那 a 的 平方开一下，四 加上四倍杠，三加三加一，那就等于这个四加三，七加一等于八八加上。注意，我们要比较大小的时候，方法要会带根号怎么办？放进去啊？四四一十六，一十六乘以三，四十八， 四十八接近谁接近四十九，那就是十五，那于是我们就知道了，根号七 x 小 于一十五，那怎么办呢？当然就开出来了，七 x 小 于十五的平方二百二十五啊， 那我们除一下，那 x 就 要小于七分之二百数，七分之二百，我们算一下啊，三七二十一乘以一十五，一十四，二十七，一十四，那也就是说 x 就 能取，怎么样？一到三十二之间取数，注意，我们同时注意到 这个 b 是 整数，所以那么根号七 x 就是 整数，那也就是说这个里面 x 呢？是七的倍数， 不光 x 七的个数，而且这个 x 它一定是什么等于什么？等于七乘以 k 的 平方，对吧？它等于这个性质，它开出来才行啊，而且 k 是 自然数啊。 嗯，但是 x 方我们又已经知道了，那么 x 等于谁呢？等于谁呢？啊？我们看一下 x， 它是 正整数啊，那我们就从七开始取七十四，二十一，二十八，你看哪一个符合这个，哪个符合这个？那我们几我们写一下啊，七等于一 七，七就是七乘以一啊，一的平方啊，那么十四呢？是七乘以 七乘以二啊，不行啊，七乘以三是二十一，那么七乘以四四就是二十二平方，所以呢， x 就 等于七， 或者 x 等于四七二十八。哎，那就出来了，那他要求的是什么？这个式子啊？所以呢， 看一下， x 加上 y 加上 x 乘以 y， 就 等于放七进去，七加七，加上七乘以七，七七，四十九，二七一十四，六十三啊， 七九六十三，三倍刚好七啊，好，那还有种情况呢， 那么 x 等于二十八的时候呢？这个 x 加上 y 加上 x 乘以 y。 好，你带进去二十八，加上二十八，加上二八乘以二十八。哈，那显然我们提一个二十八出来，操，这样算啊，提一个，这个就是二十八乘以二，这个是二十八乘以二十八， 那提出来一个二十八，那就是二加二十八，三十。好，那我们看看哪些能开四七二十八，对吧？四七二十八，所以这个七四可以放出来， 就是二，那七呢？乘以三，三七，二十一，二百一十。所以答案就出来了，两个三倍刚好，七和两倍的更好，二百一十。

今年海淀区初二的新定义压轴题终于没有那么为难同学们了，那么因为昨天呢，我们给大家已经解析过了，今年海淀初二期末的最后一道题呢，实际上是一个创新度非常高的几何压轴题，那么他把新定义呢，放在了倒数第二题， 而且据了解，应该是部分学校呢，把这道新定义的题目呢做了一点替换啊，所以啊，我呢，就还是以区里面的这道题目为基础啊，给同学们再来简单解析一下啊。 好，那么他说在坐标 c 当中呢，对于线段 a、 b 和线段 c、 d 呢，存在点屁啊，当然这个屁点不在 a， b， 也不在 c、 d 这个直线上，使得啊，看起来好唬人是吧？ p a b p b a p c d p d， c 的 大小均不超过，就是小于等于 c 它角，那么我们就称 a、 b 和 c、 d 具有性质， p c 它好，那当然这个定义不难理解 好，所以实际上呢，这个它表述起来呢，好像量特别多，对吧？四个角，但事实上，你根据一些特殊的角画一下简单的示图啊，并不是特别的困难，我们来看一下 它，如图一。呃，对于 a、 b 两个点给你了， c d 啊， c 二， d 二， c 三， d 三也都给你了。那么在这三个线段当中，和 a、 b 具有 p 四十五度的是什么？ 什么叫 p 四十五度？就是保证 p a、 b 小 于等于四十五度，保证角 p b a 角 p c， d 角 p d， c 都是小于等于四十五的是吧？好，我们首先呢，还是结合下面的这个题目啊，这个图啊，我们来给同学们简单的来看一下， 好， ab 呢，告诉你了， a 点负二零， b 点一零。好，我们先来第一个问题啊，老问题了，是吧？就是请问 满足 p a b 小 于等于四十五度，满足 p b a 小 于等于四十五度，那么这个图或者说这样的点 p 在 哪里呢？ 那当然了，你要小于等于四十五度，首先应该找的是什么？等于四十五度，是吧？所以我们来看一下，比如说这条射线啊，这个夹角呢，就是四十五度角， 好，所以点 p 在 这个位置可不可以？可以，当然在这个靠内部的一些区域，行吗？行，对吧？可以， 好，当然了，你 p a b， 除了这么画，你对称一下，假定这一条画一条射线于 a b 加角四十五度，行不行啊？也行，对不对？也可以？ 好，那么同理，你要保证 p b a 是 四十五度，是不是也应该画一条射线？哎，满足这个角多少度啊？四十五度，对吧？当然在内部的可以，同理，这样画呢，也行，对吧？ 所以事实上呢，这道题目同学们只需要能够明确，就是这里面的 p 多少度，它该怎么画 啊？这个图你能画出来，那么所有的点在哪里能够找出来这道题目呢？也就非常简单了，所以今年的这个新定义的题目呢，因为放在了倒数第二题啊，所以整体难度呢，不算特别的大啊，还算是比较友好的一道题目。好， 那我们给大家画一下啊，那么对于第一个图，我相信应该很好画了，是吧？你要保证 p a b， 是 啊，这个小于等于四十五度角的，那么就应该画一个什么图形啊？就是过 a 点 画一个，呃，四十五度角的，对吧？过 b 点画一个四十五度角的，当然要同时都满足要求啊。 好，所以很显然就是上面的啊，就是这个图形啊，当然边界及内部都能满足要求啊，因为你你点 p 在 这的话， p b a 小 于四十五度， p a b 也小于四十五度，对吧？都可以啊，当然同学们别忘了四十五，四十五这边是什么直角，同样的道理嘛，就剩下来的呢，也很简单了是不是啊，咱们继续啊画一下啊。所以大概呢，就是因为我画的这个不不太标准啊， 手动操作的同学们拿直尺、量角器啊等等来作图的话，就会比较精准一点。也就是说，对于 ab 而言，所有的点 p 应该在哪呢？在这个正方形的内部及边界上面， 是不是所有的点 p 能够存在的位置在这，当然这个都有了。那么请问 p c d 呢？那不一样的吗？是吧，也就是说，例如说对于 c 二 d 二，你就应该同样的道理，做出一个对应的 正方形。好，也就是说满足啊，角 p c d 小 于等于四十五度的啊。 呃，那么所有的点呢，应该是在这个内部及边界，当然我们既要满足 p a b p b a， 又要满足 p c， d， p 啊 dc， 所以 这个逻辑很简单了是不是？那就保证两个什么正方形有共同的部分，当然这个点还不能在 a b 或者 c d 这条直线上面啊。好，那我想这个逻辑很简单，当然这个正方形当中不是所有的都能满足啊，因为像这样的 a 点跟 b 点这样的顶点，肯定是不满足的， 前面我们解释过，对吧？因为你的所有的点是不能在直线上面的啊。好，所以这个稍微注意一下这种临界情形啊，当然这个题目也没有太多坑大家啊，所以你画一下 c 二第二，肯定不满足，对吧？ c 一 第一满足不满足，那么他画出来的这个图呢，大体上长这样，那肯定太满足了嘛，是不是？比如说找一个这个点行不行？ 肯定可以，是吧？好，那么当然同样的 c 三第三呢，那你画一个啊，这个对应的这个什么正方形，看一下，满足吗？那也太满足了，是不是？ 好，所以这个第一问呢，同学们，通过简单的基础作图啊，咱们就能够算出来啊，这个是 c 一 第一或者是 c 三第三 啊，这两个都满足要求。实际上第一问讲完了呢，其实第二问呢，也就自动出来了啊，为什么这么讲呢？同学们来看一下第二个问题， 那他说，如果 a 点呢，是二零， b 点四零，这是定的，对吧？ c、 d 在 第一象限内，以圆点为端点，画在一条射线上，面 角 a、 o、 c 呢，横内还等于六十度，那么 c、 d 的 横坐标分别是喵和 v， 那 么，呃，满足零小于喵小于 v， 也就是 d 点，就应该在 c 点的右侧嘛，是吧？好，第一个都具有性质 p 六十度。什么叫具有性质 p 六十度 啊？就是你要把 ab 的 满足要求的点 p 找出来，把 cd 满足要求的点 p 找出来，对吧？好，当然我们来看一下，那么因为是六十度，也就是说同学们作图的时候可以这么理解，就是过点 a 啊，做一条射线，满足这个角等于六十度角，当然下方肯定也有，所以就是如果你要问所有满足要求的，对吧？应该在这个菱形，当然， 呃，其实这个，嗯，端点是不能取的啊。端点不能取，这个我们前面解释过，就不多说了啊。好，那么因此呢，应该在这个四边形的内部及边界上面，对不对啊？当然零界值不可取啊，再强调一下，好，但是呢， 我们这个 c d 的 这个呢，很好画那，呃， ab 的 很好画 c d 的 怎么办呢？要说老师的 d 点是个动点呢？不知道啊，我们还是同样的逻辑，随便标定一个点 d， 这个时候同学们来画一下看看。 那你要保证都能满足就是保证，呃，你画出来图形有焦点就行了，对吧？特别注意一下，这个角是六十度， 所以 p c d 是 六十度，这个角六十度特别巧合，这两条线怎么样啊？平行，当然他也做一个六十度，所以这是一个什么图形？等边三角形，当然应该在另外一侧呢，也有这样的一个等边三角形，对吧？好，所以你画出来的应该是这样的一个图形， 但事实上理论上来讲呢，他其实是每一个都有两个等边三角形，但其实呢不太需要啊。原因是什么呢？原因是我们要看有焦点的部分呢，实际上只需要考虑这个等边跟这个等边就行了，对吧？啊，那么极限情形是什么？ 那肯定是这条线就是这条边刚好与这条边怎么样啊？有焦点刚好啊，相交的时候 好，那么当然刚好香蕉的时候呢，这一段长跟这段长应该是一样的，是二啊。好，所以这个逻辑呢，我们给大家解释清楚了呢。剩下来的我想这个图吧，应该就是比较简单的啊，我在这呢就给同学们来直接的用一个图来演示一下啊，大家感受一下， 因为在第呃，这一问当中呢，他已经告诉我们点 c 的 坐标是恒定的啊，那么也就是说 d 点我不知道，所以我随便取一个点 d 啊，假定 d 点在这， 那么你做出来的图应该是什么呢？就是过，就是这个角啊，假定这个点叫点 g 啊，就是，呃， g c、 d 等于六十度，当然了， g d， c 也等于六十度，对吧？这个时候刚好是个等边。 好，那么同学们都知道，因为点 c 是 定的，所以当地点无限靠近点 c 的 时候，肯定可以，呃，肯定就不满足要求， 这能理解吧，为什么？因为此时画出来的这个两个图形，它是没有交点的，因为这个图形肯定是确定的，就是 ab 的 所有满足要求的点 p， 它就是在绿色的边界及内部，当然除了特殊点之外啊， 而对于 c、 d 的 呢，如果 d 特别靠近 c， 那 显然是不满足要求的，对吧？好，那么当地逐渐增大，逐渐增大，逐渐增大，你会发现，这个等边三角形啊，就是 c、 d， g 啊，也在逐渐增大，直到一种极限情形。哎，同学们来看一下，这种情形是不是就可以了，什么时候， 即这个等边三角形的这条边长 c g 就是 这个点 g 恰好跑到 a n 上面来，跑到 a n 这条边上来，是不是就可以满足要求了？好，那么这个时候同学们来感受一下，这条边跟这条边有交点，我们刚刚已经说了啊，因为这个 g、 c， d 六十度，然后这个什么 a o， c 也是六十度， 所以它跟它平行，对吧？而且这一段的长跟 o a 的 长肯定是相等的啊，肯定相等的 好，直观看一下就行了啊。那因此 c f 的 长式 g 呢？三线合一嘛，是吧？就是一，所以 d 一 点的横坐标，此时是 c 点的横坐标加上一， 那么当然临界情形就是二分之三。好，当然，那个稍微大一点行不行啊？你只要保证两个等边三角形，就是 c， d， g 跟 a、 b、 n 有 交点就行了啊，可不可以？那当然可以了是吧？你越大，他越能满足要求啊。所以啊，临界情形呢，就是二分之三啊， 那名词呢，只需要保证它怎么样啊？大于等于二分之三就可以了啊，所以保证这里的 v 是 大于等于二分之三的时候，即可满足要求。好， 那么当然，其实这个第二问的第一小问说完了呢，第二小问呢，也就很好办了， 他说 ab 跟 cd 具有性质， p 九零 p 九十度啊，不具有 p 六十度，那什么意思啊？ 就是你画出来的九十度的这个东西得怎么样啊？他得有 焦点，对吧？就是这个图形，他得有焦点。你画出来的六十度的部分呢，一定怎么样啊？没有焦点，那不就这么个意思吗？ 只不过呢，差别在于说，在第二小问当中，他看起来是一个双动态问题，就是点 c 在 运动，点 d 呢，也在运动，看起来好像很别扭。 当然多动态问题还是那个方法，控制变量法，我们假定 c 点，随便确定一个具体的位置， 我们去看一下，当点 d 在 移动，在变化的时候，那么它所形成的图形要同时满足这两个哟，第一个，把九十度对应的，你要能够画出来，对吧？第二个，把六十度对应的画出来，并且满足九十度的部分一定有焦点，六十度的部分呢 啊，一定没有焦点，那就行了嘛，对不对？好，所以从逻辑上来讲呢，他的这个解法呢，跟前一问呢，其实是啊，一样的啊，好，当然我在这呢，也还是给大家呢，用一个具体的图，同学们来看一下啊。 好，我们假定随便随便标定一个点 c 啊，我也不知道他在哪随便标啊，随便标定一个点 c， 那 么假定 c 点是定的啊，点 d 呢？当然啊，也是一个动的，是吧，所以他就随便画啊，因为这个 a、 b、 m、 n 这个图呢，他就是肯定是没有变化的。那么只不过九十度是什么？ 就是过 a 点做垂线，过 b 点做垂线，所以就是这两条红色线区域内啊，包括边界上的点，都满足要求。但是再强调一下啊，再强调一下，强调什么？ 就是特殊点除外啊，比方说 a 点 b 点这样的点肯定是不行的，是吧，这个我们就不赘述了啊。好，所以在边界及内部， 那么同时要满足，嗯，这个六十度的话呢，就是我们刚刚画的这个两个等边三角形啊，当然这个边界及内部。 好，现在我们的要求是什么？要求是九十度的部分，满足六十度的部分，不满足就是保证九十度的部分一定有焦点，六十度的部分呢，一定没有焦点。 好，所以同学们来看，比如说我们随便标定的这样的一个位置，大家会发现九十度的部分呢，坦率讲的，其实是一个 没什么用的，这个也不叫没什么用，就是没什么特别大意义的这个结论。为什么呢？因为九十度的部分，他是两条竖直线，这个呢，无论怎么画是两条斜线，就是他们一定会产生焦点的 啊，就是一定有公共的部分，对吧？打个比方讲啊，你比如说点在这样的一个位置，他是不是就肯定能够满足要求？ 所以那当然有人会讲了，说，老师，那要是地变大呢？远离呢？或者缩小呢？就是你要想清楚，九十度对于 ab 这条线而言，它是两条竖直线 好，而且是无限延伸的。那么因此呢，无论你对于这个 cd 这个位置在哪里，就是画的这两条绿色的线，一定与红色的线呢，就是形成的区域啊，肯定是有交点的，所以其实九十度呢，嗯，咱们不用管太多，他一定满足。 那么现在的问题就是，六十度一定要不满足，对吧？一定要不满足。好，那么同学们来想一下，还是我们刚刚那个逻辑，如果你要不满足呢？肯定是， 如果我们确保 cd 尽可能的小的时候，这个跟这个肯定是没有交点，也就是说，嗯，就是肯定是不存在的，对吧？因为我们第二问前一问已经跟大家讲了，如果你要满足的话，就是这两个区域得有交点， 那么六十度啊，那么不满足呢？就没有交点，是不是？所以，当然 cd 尽可能小，肯定是可以满足要求的，但是问题是 c 的 位置不确定啊， 对吧？ c 的 位置不确定啊？好，那么因此我们想一下，还是定向分析，假如 c 点特别靠近点 o 的 时候，同学们来感受一下， 也就是说喵特别小的时候，这个时候呢，你会发现，这里的 v 啊，也就是说 d 点的横坐标啊，一定是有限制的， 因为 v 呃，尽可能的小，肯定是可以满足要求的，对吧？肯定可以满足要求，但是 当这个呃 v 呢，就是 d 点呢往右上方走的时候，这个 v 呢在逐渐变大，那么在逐渐变大的过程当中呢，就会导致 c d 这一条线啊，也在逐渐变大，所以它就极有可能会产生交点，那么这个时候就不满足了， 对不对？你只要两个这个等边三角形有交点，肯定就不能满足要求了啊。那么因此，同学们想一下，当 c 是 靠近点 o 的 时候呢，我们这个点 d 的 横坐标 v 呢，一定是有限制要求的，它一定要怎么样啊？ 好， c 点的横坐标是 miu， 然后我们刚刚也解释过了，极限情形就是有焦点的时候呢，刚刚说了啊，就是这个 c g 的 长等于二， d 点的横坐标比 c 点的横坐标大一，此时呢 miu 呢，应该等于 v 加上一，但是我们的要求是什么？ 我们的要求是没有焦点，所以这里面的 v 是 一定要严格的小于 miu 加 e 的， 是吧？所以在就是点 c 就 比较靠近点 o 的 时候呢，我们对于点 d 的 这个要求，点 d 横坐标的要求是肯定要大于啊，这里的 miu 就是 c 点的横坐标，但是也要小于 miu 加上 e 啊， miu 加上 e 好， 但是呢，同学们要想一下，因为 c 也在运动嘛，因为你只是要保证这两个等边三角形没有交点嘛，对吧？ 那么有没有一种可能性就是，呃，这个橘色的啊，或者说这个红色的这个图形，它已经跑到非常靠上的位置，那么因为这个等边它是确定的， a b n 是 确定的， 所以随着点 c 的 移动，同学们也都知道，哎，这个时候呢，一定会有 c g 呢，还会往上跑，对吧？还会往上跑？好，那么同学们想一下，这种极限情形是不是只要保证 c g， 哎，跑到了点 n 的 上方， 跑到了点 n 的 上方，这个时候，无论 d 是 怎么画的啊？这个时候，无论 d 是 怎么画的，都 是啊，满足要求的，你会发现吗？对吧？无论怎么画，因为此时 c g 就 已经跑到点 n 的 上方了，无论你的地点在哪里，怎么画，它都是可以满足这两个等边没有交点的，没有公共点的。 所以还有一种情形呢，就是当点 c 要跑到点 n 的 上当去，当然，这种极限情形是什么呢？也很好看，是吧？ 原因是极限就是在这个上面，当然这种情况不可取啊，这种情况不可取好，如果极限 c g 就 经过点 n 的 话， 同学们可以稍微算一下啊，那么这样一来， c n 的 长就是几啊，就是二了，是不是？呃， o a 的 长，当然它也是二，所以此时呢，点 c 的 横坐标呢？恰好是几呢？恰好就是一啊，恰好就是一。 所以，只要保证点 c 的 横坐标比一大，哎，只要比一来的更大，那么这个时候我们就一定可以确保 c g 是 在点 n 的 上方，那么所以这个时候的点 d 也就无所谓了，只要比 c 点的横坐标来的大，他无论怎么画，都没有交点，都是满足要求的，是吧？ 好，因此呢，这道题目呢，最后这一问呢，分析起来呢，稍微有一点点复杂，但它的本质没有变啊，本质是什么呢？ 就是多动态，我们怎么办呢？控制变量，假如 c 是 从无限靠近点 o 开始算起的，那么这个时候就需要考虑 c g 这条线与三角形 a b n 有 交点，那么 d 它是有一个限制要求的， 但是一旦当 c g 跑到了比较高的位置啊，也就是在 n 点的上方的时候，这个时候的 d 呢，只要比 c 点的横坐标来得大就可以了，是吧，它就没有什么太多的限制要求。而九十度的这个图形呢，实际上来讲呢，它只是一个幌子啊，只是一个， 呃，我觉得，嗯，对于整个解析来讲呢，有影响，但影响不大啊，这样的一个呃存在的角色啊，好，所以剩下来的我想就应该很简单了，对不对？因为你要满足第一种情况，就是当喵是在 啊零到呃一的时候啊，零到一之间的时候，这个时候要满足零。小于 miui， 小 于 v， 小 于 v， 呃，不是 miui 加 e 是 吧？小于 miui 加 e， 好，这个逻辑能理解的，对不对？好，那么第二种情况呢，就是当 miu 是 大于一的时候，此时呢，只需要保证 miu 是 小于 v 的 就可以了啊，这是第一种情形 啊，这是第二种情形，好，所以其实只需要对两种情形分类讨论一下即可啊， 好，所以整体来讲呢，我觉得这道题目今年的这个难度呢，不算特别大，因为最后一道题呢，是一个这个比较创新的几何压轴题啊，所以昨天我们给大家讲了，所以今天呢，就抽个时间给大家把新定义说一下啊，就给同学们解析到这里啊。