立体几何距离公式

一节课速通全国高考必考的距离问题与意面线线夹角！听完这节课，高考数学十分到手， 我已加入抖音精选高考应援联盟，大家可以去抖音精选追更我的高考百日百课。在高考中，空间中的角度与距离是，不管哪分卷子，不管哪一年的考试，至少考十分的。空间中的距离与角度问题在考试里是绝对一定会出现的，而且在解答题中必考， 那么解答题中必考，小题中也会考，考试占比绝对非常大，至少一道解答题完整的解答题。那我们把第一问算空间中垂直平行抛出在外，他的第二本一般来讲会占六分或八分，可能是个线面角，可能是个二面角，可能是个距离，也可能是个线线角。然后呢，小题中呢，可能还有一道， 那这种呢，我们必须要会，对吧？那这里面就会存在两种做法，解决空间中的角度和距离问题。一种做法呢，就是传统的用几何方法做，我们一般俗称为传统方法，还有一种呢，叫做空间向量的方法，通过间隙 用坐标来解决，对吧？那这里边呢，我们在这先讲传统几何法，那么空间向量的方法呢？后边有专门空间向量的解次去讲。那么为什么到了这个时候，我们还要 对于传统几何法有些同学还要掌握呢？其实主要原因啊，是因为随着考试的演变和这个新高考改革的深入，那么肯定硬式化的比例会越来越低，很多题目会越来越开始灵活，那灵活的特点呢，可能就是空间位置关系啊，不好解析。那如果有的题不好解析， 你就得对传统几何法有深入的了解。另外一个方向呢，就是对于小题而言，不需要写过程的时候，那有的时候如果你几何法用的好， 很多答案能直接出来。对于相对来讲一些几何关系比较简洁的问题啊，几何化是比间隙要快的好吧，那所以呢，我们这里好好来给各位总结一下，用传统几何化如何解决空间中不管是距离也好，还是各种角度问题。那首先呢，这里我们先来讲的是空间中的距离和意面线线角。 哎，我们二面角和线面角我们后边会继续讲。我们这一讲呢，先来看距离问题和意面线线角的问题。那首先第一个啊， 讲角度之前要说距离，为什么呀？距离是角度的基础啊，你的角度正弦与弦正切是距离之比啊，长度之比啊，你没有距离，很多角度没法求，所以第一个呢，我们先来看距离问题，空间中的距离，那空间中的距离啊， 基本上在这种位置考啊，只考点面距离，意面直线的距离一般不考啊，我们就来说点面距离，那对于点面距离的核心啊，就是换底求高啊，求一个点到平面的距离，核心方法呢， 就是换底求高，用等体积法，哎，又叫等体积法，当然啊，有些题过于简单，什么这个高明显在这摆着呢，一个高就是跟底面垂直的这个高有线段画出来了，那你求线段，这种不算，我们说的肯定是这个距离啊，在空中不太好找，比如说我们画一个，咱们就拿三棱锥来说啊，为什么选三棱锥， 一般求的都是一个这个点到一个面的距离嘛？所以咱们底下这面就画一个三角形，这样三角形，然后呢， 上面有个顶点 p， 我 现在啊就要算上面这个点 p 到底面的距离，这顶点 p 到底面有个距离 p 撇，那你看这图的一般性，导致 p 撇在底面上，位置是在面中间的一个很一般的位置，你肯定没有办法把 p 点找出来，不好找。那于是呢，设底面为 a、 b c 的 话，我现在要求 p 到 底面的高，对吧？那时候怎么叫用等体积法呀？那你想这个三棱锥的体积啊，是固定的，那么这时候你把谁当成底面都行，那于是呢，你就做 p p 撇垂直底面，对吧？你要求 p 到 abc 的 距离 pp 撇，那就等体积法，那你看我的体积 v 等于什么？就这总共体积，你可以当做什么呢？你可以当做 v p 杠 abc， 你也可以当做 v b 杠 p a、 c， 这俩是一个东西，但是你这么写的区别就是把谁当顶点，谁当底面，那于是你发现左边就是谁啊，左边这个体积啊，那它就等于 s 三角形 a b， c 乘以 p p r， 右边这个体积呢，你就等于把 a c p 这个面积当做底面，那就等于 s 三角形 p a， c 乘以什么？乘以 b 点 到左边的距离，比如说你就需要一个 b 点到这的距离，你就需要这个高 h， 对 吧？乘一个 h b， 那 如果这个 h b， 你 可以求就是 b 点，这个点到另外对面 p a c 的 距离，那么于是你就会发现，如果 abc 面积可求 p a， c 面积可求 b 点到那面的高度也知道，那你的 pp 撇是不就可以求了？这就叫换底求高。我要求的这个高和这个底面高不知道，那我把底面求出来了，我换一个底和另一组高，求出体积。用等体积法就能导到 pp 撇。所以其实你发现 hp 就 等于 pp 撇，其实就等于什么？哎，就等于，你看 这个乘积应该等于三分之一倍的，它是你的这两个体积，那应该等于三倍的 v， 三倍的 v 锥体 p 杠 a， b， c 除以面积 s 三角形 a， b， c， 这就是等体积法啊。等体积法你可以用底下这个算出体积乘以三除以底面积，你也可以直接用上面算两个底面积和两个对应的高，用一个底乘高等于体的三倍都可以，这就是等体积法来算高。哎，他就搞定了，要求的就是 pp 表。好吧，我们看一些具体的题目啊，这种考法比较固定，比如说 这样一道问题啊，新高考上海段考过一道题，这题呢在长方皮里，所以各边长都很好研究。给的边长呢是 m 是 b， b 撇竖直这条线上一个点满足 b， m 是 二，然后呢？这个你又知道， a a 撇就整个的高是五，所以这是二，这是三， 然后 cd 是 三， ad 是 四， cd 呢是这段是三，那就意味着这是三，然后 ad 呢，这是四，那就意味着这是四。好，各边都有了，那这里边每个长度你都可以求。现在要求的是 c 点到你这个 a m c 啊， a 点到 aemc 的 距离，那你看这个距离垂直垂上去，悬空中的，不好求，对吧？哎，不好找怎么办？求点面距离等体积法，那就看吧，这个 a， aemc 这四个点形成的四面体三棱锥好不好？求体积。 换个底题，能不能求？你肯定要找那个底，是贴着横平竖直的底，对吧？这样的话，底和高好办。那你发现把谁当底啊？哎，你就把这段当底不就完了吗？你把这一连，你把这段当底，哎，所以咱们直接等体积法，那就设什么呢？设 a 到平面 a， e， m， c 的 距离为 h a。 那好吧，我就先求这个体积，对吧？那你就算 v 什么呢？我把 c 当成顶点，因为你把这白色当成底啊，对吧？你把这个这个点 a 点 a 一 和 m 当成底，那你 c 就是 顶点，那你 v c 杠 a， e， a， m， 那 就等于三分之一高，但就是 c 的 高 h c 乘以底面 s 三角形 a a， e， m， 对 吧？那这好求啊， c 点的高到底面肯定是 c b， 那 高度就是四 底面面积呢？你这底面面积是这个长方形的一半啊，因为你这是 m 点的长方形，顶点上等于长方形面积一半，那就是二分之一三乘以五嘛， 所以算出来等于三分之一乘以四，乘以二分之十五，算出来得十等体积法这个 c 杠这四点。总之， a， a， e， m， c 这四个典型的四面体体积出来了是十。那你现在要求高，你就得求表面积，所以你得研究这个黄色的 a， e， m， c 这个三角形，那求它的面积，不归立体几何管，归介三角形管。那你得在卷子上简单写写过程，对吧？那就是三角形。这个 a， e， m， c 中， 你得算三条边长啊，各条边都能求，那你看，这是二，这是四，所以 c m 等于二倍，根号五，然后这是三，这是三 m a 一 等于三倍根号二。然后呢，你 a， c 是 体对点线啊， a， e， c 等于体对角线，那就是根号下四方加上三方再加五方，也算是五倍。根号三条边有了，求面积，解三角形里最基本的问题，对吧？这个如果不会的，请回去看解三角形的正义先定义及面积公式的基本应用啊。在这个内容在这咱们就不说了啊，这就求面积。所以呢，在例题角里画个图嘛。 哎，你三角形画成什么样不重要，但你得画出来这样三条边一放，我反正求面积啊，求谁都行。比如这是 m， 那 c m 二倍根号五， m a 一 是三倍根号二，然后 a， e， c 是 五倍，根号二。你比如说你就求 m 吧，知道三条边求面积最传统的方法就是求余弦定里得一个角，再到正弦定里，对吧？所以 cosm 就等于呢，他的平方，他的平方他的平方来，他的平方呢，是二十，他的平方是十八，二十加十八减五十，除以二倍的两边乘积三倍根号二，二倍根号五。上面一算是负十二，底下是十二倍，根号十，算出来等于根号十分之负一。那你余弦有了，正弦肯定是 三 m 呢，正弦肯定零到一百八呀。所以三 m 就 应该等于根号十分之三啊。根号十分之三，那三 m 有 了 s， 三角形 m， a， c 就 等于二分之一， m c 乘以 m， a 一 乘以三 m 也算二分之一。 二倍根号五，三倍根号二，乘以根十分之三。最后根十消了，等于九。哎，面积有了，行了，等体积法，所以根据等体积法，那么 h a 就等于三倍的 v c 杠 a e a m 除以什么除以 s 三角形 a e a c 嘛，总体就有了，把这个这面当成底球 a 到它的距离，于是一算，哎，应该等于三倍的体积，就是三乘以十除以九，算出来等于三分之十。答案最后一答题， a 到平面 a e m c 的 距离三分之十，那就完事了啊，这就是用纯几何法等体积的方式去求解啊。作为第二问，这样一个常规的考察啊，考距离就这个复杂度，好吧，那这种距离一定要会啊，为什么呢？一个是直接考距离，我们到后边讲到陷面点二面点的几何法的时候， 一个面外任意点到面内的距离，这个点面距离啊，将是你求出一个普通的陷面点二面点的关键啊，这个到此呢，空间中距离，各位掌握这个点面距离的等体积法就足够了 啊。考试呢，现在呢，也不怎么考线线距离和线面距离，对吧？那线面距离，如果线面平行，那线面距离不就是点面距离吗？随便找一个点到面算距离都可以，对吧？然后呢，意面直线距离呢，现在又不考啊，所以实际上呢，我们这就够了。那第二我们来看角度，那角度呢，首先我们看的是意面线线角两条空间中的直线意面加角， 这其实有的时候吧，用传统几何法还是很头疼的。首先先跟各位说，意面线线角在普通的情况下绝对是间隙最好算，因为有了坐标系，两个相量，直接点成就是夹角，只要保证夹角是锐角即可，对吧？但是呢，我们说， 毕竟有时候还得用几何法，对吧？那异面线线角的核心呢？首先你知道这个角 c 的 啊，两条直线的加角吗？肯定属于的是哎，咱们如果异面，哎，如果你规定异面了，那这肯定就不是零度了，因为你如果加角零度就是共面的，那就是零到九十度， 你可以异面垂直，但不可能是一百度。为什么？如果你加角一百度，在两条直线的角度上，这加角一百，你肯定认为加角是这个补角八十。那怎么算异面线线角啊？很简单啊，利用什么呢？利用 平行线夹角相等。所以的核心是什么呢？核心就是，我要算就是做平行线，或者叫平移，使得什么呢？至共面， 使得两个异面的线一平移，挪到一个面里，至共面，然后再算什么呢？再算共面的线线夹角，因为你在一个面里的线线角 就是解三角形的问题了，比如说余弦定力啊，正弦定力啊什么的，如果俩直线在一个面里求加角，那是解三角形的事，或者叫平面几何的事，对吧？那两个在空间里怎么办？那就是利用平移， 因为你平行线的加角，两条这个相交的线，如果这这条线跟这条线平行，那你的第三条线跟两条平行线加角一样，是吧？所以呢，做法呢？核心就是，如果让你算异面直线，我这么一划吧，比如算这条线和这条线，这俩是异面的， 这是 ab， 这是 cd， 算这个夹角，那你怎么办呢？你能把 ab 平移到这来，这个交于 q， 这是 b 撇， a 撇，哎，那这时候就可以算平移嘛，那就是 ab 平行于 a 撇， b 撇，那么则对吧？ a 撇 b 撇与 cd 共面在一个面内，对吧？共面交于 q， 所以 就能推出来角。 q 即为什么？ q 点这个角啊？肯定得选锐角，这个角就是你 cd 跟 ab 的 一点角的一面角，对吧？即为 cd 与 ab 的 一面加角。这个呢，因为 并不是具体的提示，随便画的悬空的两条线，你可能想象不太出来，那就记着，只要求一面加角，就是一条线，两条线要算，把其中一条线平移凑过来，或者把这条线平移凑过来，或者你两条线一起平一起凑，都可以啊。那我们来看一些具体的问题啊，比如在考试中， 小题就会考这样的问题，是吧？以一个正方体作为背景，那这有一个正方体，这正方体呢？画一下啊，一会点这道题还用这正方体啊，我就直接标出来了，我们正方体统一都管，这叫 a， b， c， d， 这是 a， e， b e， c e， d， e 来，现在呢，我要研究这个正方庭正方体里的角度，看一下啊。来，这题怎么说的？说的是 e 为 c， c， e 的 棱上一点棱中点，这是 e， 然后求 e 面直线 a， e 与 c d 乘角， a， e 与 c d 呢？来， a， e 在 这， a 是 这个墙角背后那个点， e 是 c， c， e 的 中点啊，这是 c， c， e 的 中点，然后跟谁的夹角呢？跟 c、 d 跟这条线的夹角 e 面吧。那 e 面怎么办？平移到共面，请问这俩谁好动，哪条线简单就动谁。哎，你看 a 一 a， e， e 是 一个斜着悬空的线，但你 c、 d 就是 一条棱啊，能不能平移到跟 a、 e 有 交点啊，能不能平移出来这条线？ ab 啊？所以你是不是只要算 ab 跟它加角即可，哎，你对吧，所以你只需要算什么呢？你真正角就是 ab 与 a、 e 夹角即可，就这么简单，你在真正的题里，它就有这么好的参照系， c、 d 跟 a b 平行，所以把 c、 d 平到 a、 b 上，那 a、 b 跟 a、 e 的 夹角就是 c、 d 跟 a、 e 的 夹角，那 a、 b 跟 a e 夹角怎么算啊？连呗，连这个，这条线，那就解这个三角形吧。 啊，记这三角形，那在这里边呢？我不妨设，因为没有边长，你就设棱长为二。为什么设二呢？因为有一个中点，棱长是二呢，中点的长度是一，也是整数，那我就可以算边了，这边是二，这边是一，所以这条边就是根号五。这条红色边是边长是二。然后呢，你看底下这条 绿色的虚线是底面对角线二倍，根号高是一，所以能算出这条斜边，斜边是三，所以在三角形 a、 b、 e 中，你发现这是一直角三角形 a、 e 是 三，然后呢， b、 e 是 根号五， a e， a b 是 二。现在要算谁跟谁的夹角 ab 和 a、 e 的 夹角角 a 啊，要算这个角，就是你的原来夹角 c， 它， 对吧？所以让求贪婪的 c 塔贪婪的 c 一 看，等于二分之根号五嘛。直角三角形二和根号五啊。这边是啊，这是直角出来了，哎，所以二分之根号五选 c， 对 吧？就是平移啊，平移。那再来看底下这道题呢？还是正方体，把正方体画在这啊，这样一个正方体，说这个 p 点啊，是 a、 b、 b 一 的重点 b 第一啊，这个的终点就是上表面的中心，这个点是 p 点啊，这点 p 点，然后满足 p b 和 a 一， a 第一，划下 p b， p 点和 b 点左下角这个点， p 点和 b 点还有的是，呃， a d 一 a d 一 在背面上墙角，这个点 a 和右上角这个点 d 一 a、 d 一， 这两条线的夹角， 这条白线和黄线异面吧。谁好动动，谁平移到一起，谁好动啊？你相对来讲， b、 p 是 一个在空中完全悬着的线，你 a、 d 至少贴在后表面上，那你把 a、 d 动到哪？ a、 d 哪能跟它平移到一起？是不是这个点可以平到一起啊？所以平移出来跟谁一样？你找前表面这个点 b、 c、 e 找 b、 c、 e 啊。所以你呢？这里边的 a、 d、 e 平行于 b、 c、 e 好 了，所以你只需要算 b、 c、 e 与 b p 加角 c， 它就是你要的啊。所以这俩黄线的加角，那俩黄线加角，你还是不妨设边长为二啊。我还设边长为二，边长设为二， 那于是这条边是一个前面面的对角线，就是二倍根号啊。二倍根号这条边呢？这是一直角， 这是二，所以这条边根号二，这是二的话，那这就是根号六啊。根号六，那 c p 是 上表面的对角线的一半，应该也是根号二，所以这个图画出来 应该是这样一个三角形，上边这个点是 p 点，这点 c 一 点，这点是 b 点 b、 c 一 是二倍根号， b p 是 根号六， c p 是 根号，你发现这又一直角三角形，然后而且满足的是一比根号三比二。那这直角三角形问你， b、 c 一 和 b p 的 夹角，这个角 c 它，你发现这个三角形一比根号三比二， 所以 c 得多少度啊？ c 等于三十度，一面线圈角平移即可解决，所以出来 c。 这在小题里考一面线角，借助一个几何体，可能是正方体，可能是长方形或者类似的图形，那两条线一定有一条线好挪，甚至两条线你都可以挪，那这种呢，是由于借助几何体你好找到平行的。那我们来看解答题里 有过这样的问法啊，那这道题呢，也是让你算一面加角，我们看一下，这里边可就没有正方体那么好的参照系了，那于是怎么用几何法算线段？角肯定还是平移，那平移你可以借助谁？我们读题看一看，这题说的是四面体中啊， abc 是 等边三角形，所以能标出来长度就标出来啊，这边长都是二， 这等边。然后呢，给了一个 a、 b、 c 垂直于 a、 b、 d 那 后表面， a、 b、 d 后表面跟这个侧面这个正三角形是垂直的，呃，垂直 a、 b、 c， 对 吧？然后呢，点 m 为这个中点，那这是中点呢？这就是一，这就是一啊。等边三角形中点 a、 b 长度有时二给了 啊， a、 d 长度二倍，根号三，这是二倍根号三，然后给了角 b、 a、 d 九十度， b， a、 d 九十度。所以你可以把背面这三角形摘出来啊，这三角形 a、 b、 d 中 ab 是 二，然后这九十 a、 d 二倍，根号三，那你肯定 b、 d 就是 四啊， b、 d 就是 四，那这里边 m 是 它的终点， m 是 它的终点，所以这是一，那你 m、 d 的 长度肯定也可以求，因为毕竟这道题要算 m、 d 成的角度，那你 m、 d 长度二倍，根号三，这是一， m、 d 长度，根是三，这是好办的来通过这个三角形， a、 b、 d 中 m、 d 等于根是三，因为这题毕竟是重力体结合，各位记得用几何法做立体结合的时候，它是立体几何题， 所以他大量的给分儿脸都在立体几何的部分。至于你把立体几何拆分成每一个平面三角形里解三角形的事儿，你过程不需要像解三角形那道题写的那么详细，因为毕竟高考里前面有一道题是解三角形， 你该考解三角形的，在里边已经都考过了，给分点已经在那复制给过了。那如果到立体几何里，你用解三角形解平面，那你就可以简约一些，因为立体几何的给分点并不是压在什么正弦令、余弦令、勾股令上，而是压在你这些关系怎么去调配，找平行角垂直，去做线段平行线的平移等等这些。那你 md 现在出来了，我现在要算谁？ 要算的是这条线， md 是 一条线和 bc， 你 看一面，请问这俩谁好挪啊？你想想谁好挪？ 你 bc 这条线在正三角形里，而且 m 是 个中点，你这个面是正三角形，是不好办一些，那在正三角形中怎么能让 bc 平移上去？这可没有正方体好让你平移的。那这时候其实我们在 这个空间位置关系的证明题里常用的一个平行线是怎么来的，还记得吗？哎，如果不记得，请去看咱们空间位置关系解答题。空间中垂直平行的证明里边有讲想推出平行关系最常见的 中位线和平行四边形，那这道题都有中点正三角形了，应该能想到中位线吧，对吧？所以在三角形 a m c 中做谁啊？做这个 a c 的 中点叫做 n， 找中位线，那连 m n， 于是你做题的时候肯定得写着过程啊，做 a c 中点 n 连 m n 为，所以呢， bc 肯定平行于 m n， 然后 m、 n 肯定等于 b， c， d 一 半就是一啊，中位线边长是二，中位线一半一，那于是你通过平行，所以就得到什么呢？所以得到 m n 与这个 m、 d 夹角 等于谁？即等于 b， c 与 md 缩成角，你就记为 c 它吧。哎，为了后边写余弦好办，那就想算这个了。那于是你看在共面里，你就研究谁连接 n、 d， 你 就研究这个三角形 m、 n、 d 即可。那连 n、 d， 那 你这时候需要各条边啊。现在你看， m、 n 有 了， md 有 了，还缺一个什么？还缺一个 nd， 你 没有 a、 d、 n、 d 的 长怎么办？有想法算一算呗。那 n、 d 长怎么办呢？你看这些，这个图里哪条边你知道了？我们描一下啊， a、 b 这条边知道， bc 知道，这个 b、 d 你 知道，因为 b、 d 这三角形 b、 d 研究过了， b、 d 是 四，你知道 a、 d 也知道， ac 也知道，现在就差 c、 d 不知道了啊，只有 c、 d 不知道。那你就想办法研究一下 c、 d 怎么研究。有一条你没用，叫做垂直 a， b， c 垂直 abd， 那 因为 a、 b、 c 垂直 abd， 你 看啊，我可以连谁？这是正三角形，我想研究 c 点，那我过 c 做这个连 c、 m， 那 你 c、 m 肯定跟底面垂直，所以你发现连 c、 m 之后，那必有 c， m 一定垂直 ab， 然后呢，你 c、 m 垂直 ab， 又因为面 c， a、 b 垂直于面 b， a、 b， 然后且 c、 a、 b 这个面胶面 d， a、 b 与 ab， 你 发现 ab 是 两面的公共棱，俩垂直面公共棱，然后结果你 c、 m 还垂直于这个公共棱，所以什么？所以 c、 m 就 垂直于面，是不是垂直底面？这个 abd， 那既然 c m 垂直 abd， 那 你 c m 垂直 md 也就出来了。因为 md 在 背面上，那于是根据勾股定律， c、 d 方或者叫 cd 就 等于根号下 c， m 方加上 md 方， 对吧？那你 md 是 什么呀？ md 根根号是三 cm 呢？正三角形的高线，根号三，于是就能算出 cd 等于四。那在三角形 这个 a、 c、 d 中，三边都有了，你看一下， c、 d 等于四，然后呢？ a， c 是 二， a， d 是 二倍，根号三一比根号二比三嘛，对吧？这你三边长。于是在这个三角形里，你想要研究这个 n、 d 画出来，在三角形里，你想研究 n、 d， 这是 a， 这是 c， 这是 d， 你 要研究 n、 d， 这是垂直啊，这是一，这是 n， 所以 就能推出来 n， d 也是等于根是三的，这是二倍根四， n， d 也是二倍根，十根十三，所以就行了。那则这些研究完了之后，回来再看三角形 m， n， d 中， 你的 n， d 根十三在这 n， d 根十三， m n 一 m d 根十三，于是出来 m n， 这是 d， m n 根十三。根十三对边是一，求加角，求谁？求 m n 与 dm 的 加角，这个角就是 c， 它，所以你的 cosine c， 它于先定里十三加一减十三，除以二倍的根十三乘以一 于先定里啊。所以算出来之后，应该等于上边是一，也是二倍根十三，等于二十六分之根十三， 余弦就有了。所以最后答题，哎，我就写，应该写着答题啊。所以 bc 与 md 乘角异面，乘角余弦为二十六分之根十三 即可啊。一看，因为线线夹角呢，一定是个直角或锐角，一看这个角余弦得正是锐角，没问题，那所以就搞定了。好吧，所以那这样的话呢，咱们就彻底解决了这样的问题啊，彻底解决这样问题，那这些就是我们说线线夹角的处理。那练了一些题啊，考试里肯定还会有不同的题目，那各位记着，见到距离， 如果有现成的高就是距离，直接求长度，如果没有等体积法换底求高一定可以，只要把体积求出来，然后呢，乘以三倍除以底面积就是高。那对于异面线，线角核心就是平移，如果有参照系或者有长方体，正方体好评移的， 那你就直接平移，不好平移的想办法去找中位线和平行四边形，两条线可以移一条，也可以两条一起挪，总之放到有交点的情况下，解三角形即可。抖音高考百日百科。

一个视频教会你点到平面的距离，所以我们用先用几何眼光观察，再用代数计算运算的方法去得到了空间中点 p 到平面派的距离公式 d 等于 a p 向量和 n 向量数量积的绝对值比上 n 向量的长，其中 a 点是平面派上任意一点，而 n 向量呢，就是平面派的任意非零法向量 几何的本质在于度量，度量的本质呢在于长度。今天我们就学习如何利用空间向量解决空间中点到平面的距离。首先给定空间中任意平面 pi， 平面的 pi 之外有一个点 p， 那 么我们如何去求点 p 到平面 pi 的 距离 p h 呢？ 垂直最能反映距离的本质，所以我们常常用勾股定律来直观的解决距离问题。我们首先就要从平面派上任意找一个点 a， 然后构造直角三角形，并且记角 a p h 为角 r 法。 接下来我们利用熟悉的勾股定律解决距离问题。在直角三角形 a p h 当中，根据我们初中学过的锐角三角函数可以知道 cosine r 法，也就是这个角的余弦值等于它的零边比斜边，也就是 cosine r 法等于 p h 比上 ap， 然后通过一项可以得到 p h 呢？等于 ap 乘上 cosine r 法，由此我们就得到了点 p 到平面派的距离 p h 的 几何表达。接下来我们就要用代数运算去解决这个问题，也就是将它的几何表达翻译为向量语言。首先 p h 是 不是就是我们要求的这个距离 d 呀？对，然后呢， a p 是 什么？ 我们可以表示成为 a p 向量的模长或者 pa 向量的模长没问题，那 cos 向量 r 法呢？记住，向量的夹角是有方向的，那么 r 法一定是 pa 向量和 p h 向量的夹角。由此我们就可以将距离问题的几何表达翻译成为向量语言， p h 转化成为距离 d a p 转化成为 a p 向量的模长，而勾三幺二法要变成 pa 向量和 p h 向量夹角的余弦值，那么通过观察我们会发现 p h 向量其实就是平面派的法向量之一，所以我们就可以利用空间中直线和直线所成夹角的结论， 将 p a 向量与 p h 向量夹角的余弦值转化成为平面的法向量之一，也就是平面任意非零法向量与 a p 向量的关系。那么我们就可以将 p a 向量、 p h 向量夹角的余弦值转化成为 a p 向量与平面派的任意非零法向量夹角余弦值的 绝对值。这个地方呢，我们利用到了空间中直线和直线所成夹角的结论，如果大家忘记了，就可以复习一下这个视频，对吧？接下来我们来研究 ap 向量和 n 向量加角的余弦值又该如何表示呢？对，我们空间向量当中是不是有对应的公式呀？我们利用公式将它打开， ap 向量和 n 向量加角的余弦值就等于 ap 向量和 n 向量的数量积比上 ap 向量的魔长乘 n 向量的魔长。别忘了，此处是有绝对值的， 因为分母当中已经是两个向量的模长，模本身就是非负的，而且此处的 a p 向量和 n 向量一定是什么呀？哎，一定是正的，所以这个绝对值存在的意义其实就是给对了，给分子，所以我们就将绝对值给到分子上， 于是就发现了 a p 向量的模长和 a p 向量的模长可以约分。所以我们就通过先用几何眼光观察，再用向量计算解决的方法，得到了空间中点 p 到平面 p 的 距离 d 公式，也就是 d 等于 a p 向量和 n 向量的数量积的绝对值比上 n 向量的模长。其中 a 指的是平面 p 上任意点， 而 p 呢，指的是空间中平面派之外任意一点，而 n 向量指的是平面派的任意非零法向量。利用空间向量解决空间中点 p 到平面派的距离问题，可以是一种公式，也可以把它理解成为一种运算的方法，你学会了吗？

点到平面的距离怎么求间隙？求反向量？当然可以，今天咱们换个思路，用等底解法，不间隙，不算相等，一步到位。 看这道题，正方体中 e 是 c 一 c 的 中点，若 a、 b 等于六，求点 c 到平面 b、 d、 e 的 距离。首先搞懂核心原理，三棱锥的体积换个顶点换个底， 体积不变。我们把以 c 为顶点的三棱锥换成以 e 为顶点的体积是相等的，为什么要换成 e 为顶点？记住，我们换的原则就是，换完后，三棱锥的高必须显而易见。 三棱锥的体积是三分之一，底面之乘高，左边的高就是我们要求的七点到平面 b、 d、 e 的 距离。同理，右边也按体积公式表示出来， 三分之一直接约掉。先算简单的部分，三角形 b、 d、 c 的 面积就是正方形的一半，高是 e 到底面的距离，也就是三，算一下是五十四。 接下来只要算出三角形 b、 d、 e 的 面积就 ok 了。先算三头边 b、 d、 e 的 面积就 ok 了。先算三头边 b、 d、 e 的 面积等于六倍。根号 d、 e 和 d、 e 的 长度相等，在这个直角三角形里算一下， b、 c 等于六， c、 e 等于三，斜边都是刚好四十五，化解是三倍刚好。三角形 b、 d、 e 是 等腰三角形做底边的高， 底的一半是三倍，根号二，高就是三倍，根号三。三角形 b、 d、 e 的 面积就是二分之一，底乘高算出来是九倍，根号六。化简一下， 直接锁定，最终结果为根号六，搞定。没有借记，只是换个列列体积等式就一步到位。这就是等体积法的魅力所在。

三十秒带你了解离心几何当中的二阶结论，两点间的球面距离 入图球面上两个点 ab 的 球面距离是指经过这两个点以及球心 o 的 这个大圆在这两点间的裂弧的长度，记为 l， 则 l 等于 r 乘 c 塔， r 为球的半径， c 塔为列弧左对圆心角的弧度数。 掌握公式之后，接下来就留给大家时间用刚学的结论自己完成这道练习题，拜拜！

同学们，发现了没，最近这个间隙法在互联网上那真的是热火朝天，那有的同学就会问到，老师，这个间隙法我要掌握哪些知识点好？没问题，今天我们来通过这个视频来告诉你啊，你要想彻底的运用间隙法，你需要知道哪些公式好？第一个 题目，这是一个正方形，然后告诉我们，这里为二，这里也为二。好，他干嘛呢？他让我们求 m n 的 长度，那我们知道，对于这种题，我们肯定就是一个间隙对不对？我们已经做了很多了，这就是一个间隙，我们是这是坐标原点，假如这里是零零， 那我可以知道 e 点的坐标对不对？ e 点的坐标零啊， c 点的坐标六，零间系法的第一步肯定就是找坐标对不对？然后呢， f 点的坐标，这是多少？ f 点的坐标，朋友们啊，六，没问题吧？好，那 n 点的坐标， m 点的坐标，我们要利用什么终点坐标公式？待会老师会讲，我们先把这个题啊思路给大家理一理好不好？那这道题它的终点坐标是多少呢？老师直接写三一， 他的呢？他的重点坐标是多少？哦，一三好，然后通过两点之间的距离公式，我就可以把它算出来了，对不对？好，那因此我们来复习一下，如果在一个暴力间隙法中，我们要想利用 这个方法来解决这个题，那我们需要掌握哪些公式呢？这是第一个公式。第一个公式是什么？两点之间距离公式，两点之间的距 离公式好，我们随便找到两个点，我们设 a 点的是 x 一 y 一 它的坐标， b 点的坐标是 x 二 y 二，如果要求 ab 两点之间距离，那我们 ab 两点之间的距离等于啥呢？根号下， x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减去 y 二的平方。 那你说老师我能不能 x 二减 x 一， y 二减 y 一？ 可以的，但是你记得一在前，一在后都没问题，但是你要保证统一，你的一在前，我的一就在前。你的一在后，我的一就在后。好，这是第一个公式，两点之间的距离公式。第二个公式叫做钟点公式，钟点公式也是我们经常用到的 钟点公式。那随便找两个点， x 一 y 一 x 二 y 二。好，那假如这也是好，我们都不用写， 我们直接用，还是用这两个点可不要。那他们 a b 的 终点公式是什么呢？就是二分之 x 一 加 x r， 动上二分之 y 一 加上 y r， 当然它的坐标我们可以加个括号，这是终点公式，也是我们需要牢记的。那第三个 也就是依次函数的依次函数的关系式。依次函数的关系式，为什么呢？因为这个我们会经常用到的。 虽然说这道题没有用到，但是我们以后，哎，如果这个焦点我不知道怎么求，但是我知道它是两条直线。假如说这道题我变了，我让你求这个是 q， 我 让你求 n q 的 距离， 那你说老师这怎么求呀？哎，没问题呀，我可以把 q 点的坐标给它求出来。那 q 点是什么坐标呢？是两个一次函数的焦点呀，我们只要连立两个函数给它解出来就行了。那因此我一定会用的到什么一次函数的关系式的求法。 依次函数关系式的求法最基础的是两点之间的代入，代入两点，哎，这个朋友们都会算，但是我跟你说，大家都会的，他考试反而不怎么考，或者说他的计算量很大，我们可以利用什么呢？斜率式来算，我们可以利用斜率式。 什么是斜率式？ y 等于 k， x 加 b， 这样的话，只要我能够求出这个斜率，然后找到一个点，我就可以求出 b 值，整个函数关系就求出来，这是我们经常用到。为什么呢？因为我们在九年级学三角函数的时候，学一个贪婪，它也是关于一个 k 的 求法好， 因此 k 是 比较重要的，所以第引入第三个公式，也就是我们的 k 的 求法。那 k 等于什么呢？ k 等于 好，我们再找两点 a， b， k 就 等于啥呢？ y 一 减去 y 二比上 x 一 减去 x， 横比 y 二减 y 一， x 二减 x 一 也可以。所以说基本上你要学了这三个公式。呃， 我们可以解决百分之九十九的用接替法来做的题。当然有没有其他的公式呢？有，比如说点到直线的距离公式，两条平行线之间的距离公式，这里也有，但是他用的毕竟很少，我们可以通过其他的方法给他解出来，不需要去专门再学一个公式。那这三个公式就是我们必须要掌握的公式。

老铁，两点距离公式来啦， 来个省牛版，它其实就是我们的这个勾股定律来，那现在我有两个点，一个 a 点，还有这个 b 点，我要求这两个点之间的这个距离。那怎么求啊？其实它就是去构造我们这样的一个直角三角形嘛。那这里 跨一下，把这个 b 点跟 a 点横坐标距离，这里就是我们 s 一 减 s 二，就是他对应的这个其实就是横着的这条线段的长度。 那这个重坐标呢？重坐标之差呢？其实就是这两个点他们重坐标进行相减，得到的是竖着这这一条线段的长度。那这时候我有这两条线段的长度了，他们平方 再加起来再开个根，是不是就是这个 a、 b 这条线段的这个长度啦？

哈喽哈喽，大家好，欢迎来到抖音高考百日百科，我是数学老师景鹤颖，我加入了抖音精选高考应援联盟，大家可以去抖音精选追更我的高考百日百科。高考必考的立体几何。距离问题是不是总是搞不清，不会找垂线，也不会算长度？今天老师带着大家一次性讲透所有距理解题套路， 做题再也不丢分。首先啊，我们要知道，我们遇到了空间当中的距离问题，一般来说就用间隙法就可以轻松解决，那么间隙法无非就是三个步骤，第一间隙，第二找点，第三写出向量。 那一般来说呢，我们写出了向量啊，同学们可能对于这些求距离的公式还不够熟练，那我们来一起来回顾一下。 首先第一个点到平面的距离，它的距离公式呢？长成这个样子，这是咋来的呢？我们一起来看一下右边的图。那首先我们要求的是点 p 到这个平面的距离，我们之前都是会用向量来表示平面，比如说找到法向量 n， 但是咱没有办法用向量表示点呢，那怎么办呢？ 那其实啊，我们想要求的点到这个平面的距离，无非就是我画的这条竖线 d 的 长度，那这个长度是啥呢？连接点 p 和这个平面上的任意一点，比如说点 m， 你 会得到一条这个向量 pm， 那 你会发现哦， pm 投影到咱这个法向量的方向上，这段长度就是我们想要的距离了。 那投影这事，大家在空间向量当中应该接触过非常多了吧，怎么算呢？拿咱这个向量 pm 和这个法向量去做数量积 乘，完了之后，不要忘记还要去除以咱法向量的模长，这样子得到的这个值，加上绝对值就是我们的距离了。所以说我们所谓的距离无非就是求投影，哎，找到这个点和平面当中的任意一点就 ok， pm 到它的投影长度， 这是点到平面的距离。那有的时候呢，也会遇到点到直线的距离，这个时候就会更麻烦一些，因为你看到右边的图像，比如说咱们依然是啊找这个点 p 到这个直线上，任意点 p a， 他 往这个这个直线的哪个方向去投影啊？如果我直接投影到方向向量上，你会发现我得到的其实是，哎，这一段， 这一段可不是我想要的距离，我想要的距离是右边的这个红色的线段是这段，那也不用担心，你知道了 p a， 知道了这段，再求个小弟，不就直接用勾股定律就可以了吗？ 所以啊，咱们点到直线的距离得分两步，第一步，先利用投影方法把我们的这个小 h 求出来，也就是 p a 在 这条直线上的投影的长度，那就是 v 去乘上咱们的 a p， 再比上 v 的 魔长，那有了这个之后，进一步的再利用勾股定律 根号下的 a p 平方比上 h 的 平方，就是咱们的这个距离的长度了。所以说啊，我们利用投影的这个方式就可以轻松得到距离了。那咱们在具体的题目当中来应用一下，比如说这道小题， 他说啊，在以 a、 b、 c、 d， e、 f 这为顶点的五面体当中，四边形 a、 b， c、 d 和四边形 a， d， e， f 都是等腰梯形，那也就是说左边这个边和右边这个边相等， a、 b 也跟 c、 d 相等呗。 然后呢，他又说 e、 f 平行于 a， d 也 bc 平行于 a、 d， 那 知道这个里题型当中谁谁平行了。接下来又告诉我， a d 是 等于四的，这条长边等于四， ab 等于 bc 等于二， abc 是 二， bc 是 二， e f 也是二。那其实我也知道 cd 也是二，因为咱等腰题型呗，我自己补了一下。那再来， e d 等于根号时， e d， 哦，这段等于根号十，那不用说，咱左边这个 a、 f 肯定也是根号十，咱等腰梯形啊。然后再往后看， f b 等于二倍，根号三 f b。 哎，斜着这条边我也知道了，又给了我一条一堆边，那同学们应该要有这个警惕。哎，在立体几何当中，给了我一堆的边长，那一会肯定要用勾股定律了。那我们先等等看， m 啊，是 a、 d 的 终点哦，这是终点。所以其实呢， a、 m 和 m、 d 也都是二，这点咱要知道，接下来它要求的是啥呢？是 m 到平面 f a b 的 距离， 你看，要求距离了，那咱要求距离肯定得要用间隙的方法来做。首先先来看怎么间隙，要间隙我得找直角啊。那这有直角吗？给了这一堆梯形，好像没啥直角， 但没关系，咱自己来创造一下。比如说啊，我们来看，这既然是二，二二二全是二，那就说明 a b m 这个三角形得是等边吧。 那等边三角形出个直角可太容易了。我直接啊过我们的这个点 b 做 a m 的 中线， ok， 找到这样一条线，那这样子不用说咱这个中点，比如说，我记为一个 o 点吧， 那 ob 一定是垂直于 am 的， 这件事总没错吧？好了，我有一个垂直了，那我不禁要想了，我如果再连一个，比如说我连接的是 o f o f， 哎，那这个 o f 会不会也跟咱这个 b o 或者说是 am 垂直呢？那这件事咱得稍微研究研究了哈。那这块怎么垂直啊？ 那肯定得用勾股定律来，不用说， b f 我 已经知道是二倍根号三了， b o 我 也知道了，因为在等边三角形当中，这是二，这是一，这一定是根号三，我把它写到这儿， b o 是 根号三，那我当然非常希望这个 f o 一定得等于根号三乘根号三是三，那它是不是这么相等呢？咱得来计算计算了。在这块啊，我们直接利用 r t 三角形，谁呢？ a o f， 哎，这里我们去找，因为在这里啊，大家会发现，哎，我们这是个中点的话，那既根据对称，我们这块一定得是一个直角，那这块是直角了，这是根号十，这是一，那这条边是不就直接知道了，我们就可以得到 o f 的 长度应该是等于一个三的，那 o f 知道了，咱这个角不就妥妥的知道了吗？所以 o b 也垂直于 o f， 哎，这一堆垂直啊，咱们轻轻松松就挣出来了，那挣出来了垂直，我们就可以去见细了。接下来，我们以这个 o 点为圆心 为圆点，去建立这样的一个直角坐标系。好嘞，这是我们的 x 轴、 y 轴和 z 轴。 建立完了坐标系，那咱下一步就找点，咱现在要的是 m f、 a b 这几个点的坐标啊，去写一写就 ok 了。这个点的坐标也不难吧，我们刚刚各个长度都已经知道了，比如说这个 m 点在 y 轴上，所以应该是零，长度为一零。 然后呢，再来看一下 f 点， f 点在这个位置，在 z 轴上，那应该是零啊，零。然后它的高度刚刚算过是三。再来 a 点， a 点呢，在这个 y 轴上的这个负半轴，所以它应该是零，负一零。还有一个 b 点，那就应该是在 x 轴上，它的长度是根号三 零零。 ok， 好 了，那我们写完了这些点的坐标，不要忘记咱们要算点到面的距离，得找到点和平面当中的任意一条直线啊。这个向量，那我们随便找一个 m 和 a 吧，那我们可以得到的是，呃， am 等于零二零。再来，我们还需要找到平面 f a b 的 这个法向量，那我们去写一下 f a 或者 f b 啊，把它写出来，比如说 f a， 那 应该等于的是零负一负三，那再写一个 f b， 那应该等于的是根号三零负三。接下来运用一下我们的这个大招方法，快速计算一下发向量，零负一，负三，零负一负三， 写两遍，下面也是根号三零负三，根号三零负三，哎，把它写两遍，掐头去尾，中间交叉就 ok 了，那我们可以得到最终的发向量， 这里交叉，那就是三减零是三，这里交叉应该是负三倍的根号三减零，那就是负三倍的根号三，这里零减去负的根号三，剩下一个根号三。在这块大家会发现都有根号三，咱们甚至还可以同时给他约掉一个根号三，写的更简易，那就是根号三负三 和一。这样子找到了法向量，那进一步我们就可以去利用我们刚刚说的那个公式来去做计算了，我们可以看到最终的距离 应该是等于我们的这个向量 m a 或者说 a m 吧，和法向量的乘积绝对值，再比上这个法向量的模长， 可以看到上面我们直接去进行数量积，那就是负六。哎，去绝对值下面求它的魔长应该是根号下的三加九加一，那是根号十三，最终应该是十三分之六倍，根号十三，这个结果确实有点丑，但是不用怀疑，它确实是正确答案。 这就是我们经常啊去出的啊，点到面的距离，会有这种答案，不用害怕。好嘞，那这道题目我们轻松解决了。那其实大家在平时做题的过程当中，还有可能会遇到他求的不是点到什么的距离，而是 陷到什么的距离。比如这道题目啊，他问的是 c c e 到平面 a e a b 的 距离。那这道题目呢，大家也不用慌张，因为他只要是能够求陷到面的距离，那一定会说明一件事儿， 什么事啊？这条线 c c 一 必然是平行于这个面 a e a b 的， 这件事你不用怀疑，百分之一百的对，所以说既然这条线跟这个面平行，那你这个线上是不是所有的点到这个面的距离都相等啊？ 那也就是说，咱们想求线跟面的距离也就相当于是什么呢？ c 到我们这个面的距离， 或者说是 c 一 都可以哈，咱们在这个线上面随便取一点就 ok 了，那不是又转化成了咱们前面所说的 点到面的距离了吗？那这种情况下，咱们直接间隙找点写向量，根据咱们刚刚的这个公式去计算就可以了，那这道题的过程我就不需写完了，留给屏幕前的你那同学们还想要听什么样的知识点，也可以在评论区下方告诉我。

今天一网打尽立体几何外接球模型，别人还在慢慢推导辅助线掌握这八个公式，外接球半径直接秒杀！

十六题，在正四棱锥中，侧棱长是正四棱锥，正四棱锥是啥特点呢？它的底面是一个正方形，然后所有的侧棱都相等吧，所有侧棱都相等。现在告诉你说这个侧棱长是四， 侧棱长是四，然后呢，且相邻两条侧棱的夹角是三十度，这个是三十度吧？ 三十度。然后 ef 分 别是线段 o、 b、 o、 c 上的一个点， 这两个点，然后问你 a、 e、 ef 还有 f、 d， 它们三的和的最小值是多少？那是不是还是一样的？相当于告诉你，有个蚂蚁从 a 点出发， 从顺着它这个侧面转了一圈，走到了地，问你这个爬行的距离是最短是多少，是吧？那你是不是还是要把它给它展开啊？展开吧，那展开的它的侧面展开是多少？是不是三个三角形啊？三个三角形啊，画一下， 我直接画它的展开图了， 大概画一下，可能画的不是非常的准确。 差不多， 这确实有点偏了。 嗯嗯 嗯，差不多这样啊，然后呢，我们要的是由 a 点到 d 点，这个是 o 点，这个是 a 点， b 点， c 点， d 点，这是 a 撇， 没问题吧？它是由 a 点到 d 点啊，不就是这个距离吗？由 a 点到 d 点啊， 然后那我们看一看呗，大家想想啊，他说任意的两个侧棱的夹角啊，相邻的两个侧棱的夹角是三十度，相邻的这是不是三十度，这是不是也是三十度？这是不是也是三十度？那你会发现啊，这个东西正好是个什么，是不是个直角， 三个三十度，直角，然后测棱长还是几啊？还是四吧，这是四，这是四，那不就是四倍根号二吗？勾股定底选 c 啊，这个图出来了是不是就好看了？四倍根号二啊？