六年级上册数学好玩北师大版平面图

同学们好，我是雷老师。很高兴今天又和大家一同学习 这节课，我们继续对图形与几何部分进行总复习。今天要复习的是第三单元，观察物体。上课前，请同学们准备好以下学具， 直尺、铅笔、十个小正方体。好了，快去准备吧！ 准备好了吗？我们的课程开始了。在这一单元中，我们学习了巴基木比赛观察的范围和天安门广场三个内容。 通过这一单元的学习，同学们有怎样的收获呢？我们来听一听这几位同学是怎样说的。 在搭积木比赛这节课中，我能正确辨认从不同方向观察到的立体图形的形状，并画出相应的平面图形。也能根据平面图形还原立体图形。 如果只给我从一个方向观察的形状，我可以摆出无数种立体图形。 如果告诉我两个方向观察的形状，我就能确定所需正方体的数量范围，也就是最少需要几个正方体，最多需要几个正方体。如果告诉我三个方向观察的形状，我就能确定这个立体图形了。 看来，通过这节课的学习，同学们观察立体图形能够画出相应的平面图形， 也能根据平面图形还原立体图形。 在观察范围这节课中，我知道了人的视线是直的，不会拐弯。观察者看不到的地方称作盲区。 观察者站得越高，看到的范围越大，盲区就越小。观察者越靠近遮挡物，观察的范围越小，盲区越大。 学习了这节课后，我还能用数学的知识解释影子的现象。路灯下同样的物体，离路灯越近，影子就越短， 离路灯越远，影子就越长。数学真是太棒了！是的，数学真是太有趣了！ 这些现象都是因为观察范围会随着观察点的变化而变化。那么我们怎样确定观察范围呢？哪些又是我们看不到的盲区呢？ 我们一起来听听这位同学是怎么说的。先找到观察点和障碍点， 再连接观察点和障碍点，画一条射线，就能确定观察的范围了。总结的可真好，要先找到两个点，观察点 和障碍点， 然后连接两点，画一条射线， 这样我们就能确定观察的范围了。好在天安门广场这节课中，同学们又解决了怎样的问题呢？ 在天安门广场这节课中，我知道了从不同的角度观察建筑物的相对位置是不一样的。判断一组连续照片的先后顺序我们可以假设自己就是拍摄者， 想象自己会先看到什么，再看到什么，从而做出正确的判断。 是的，在判断一组照片是从什么角度拍摄下来的，或者是他的先后顺序。我们要学会根据照片中建筑物间的位置关系进行分析和推理。 如果实在想不明白，也可以用物体当做建筑物摆一摆，看一看。好了，教材上的内容我们就复习到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。 首先请看填一填第一题，从远处看物体看到的范围 对更大一些，看到的物体想象一下，从远处看，看到的物体会比较小。是的，再看第二题， 在路灯下散步，走向路灯时，影子会变，想象你正朝着路灯走去，离路灯越来越近了，影子会变短。第三题， 添一个小正方体，使这个立体图形从正面看形状不变。有几种添法呢？同学们，拿出你的学具，赶紧摆一摆，添一添吧！开始 好了，同学们，摆好了吗？我们来听一听这位同学是怎么摆的。 要让这个立体图形从正面看形状不变，我就把这个小正方体摆在他的前面或者后面，可以摆在这一种，一种，两种，三种，四种， 五种，六种，一共有六种摆法。瞧这位同学摆的多清楚啊！ 要让他从正面看形状不变，可以摆在这个立体图形的前面，也可以摆在他的后面，一共有六种摆法。同学们，你摆对了吗？再看第四题， 一个立体图形告诉了我们从上面和左面看到的形状。搭成这样的一个立体图形，最少需要几个小正方体？最多需要几个小正方体呢？ 来用你的学具摆一摆吧！ 好了，同学们，你们有答案了吗？我们也来听听看这位同学他是怎么摆的。 我根据从上面看到的形状，拿出四个小正方体，摆出一层，再根据从左面看到的形状，在这一排的上面摆一个，这样这个立体图形就搭好了。 我发现最少需要五个小正方体在上面，这个正方的右边还可以摆两个小正方体，也不会影响这个立体图形从上面 和左面看到的形状，所以最多需要七个小正方体。 好，这道题最少需要五个小正方题，最多需要七个小正方题。 因为题目告诉我们从两个方向看到的形状，所以我们不能确定这个立体图形唯一的样子，但是我们可以确定摆成这个立体图形的数量范围。 好了，填空题就做到这，接下来让我们翻开数学课本第一百页，完成第三题， 找出下面的立体图形，从正面、上面、左面看到的形状，并连一连。 同学们，你们有什么好办法吗？和你身边的小伙伴交流一下吧！ 好了，连好了吗？我们来看看正确答案吧！ 我是这样想的，正面正对着我们，最好观察，所以我先看正面。 从正面看能看到四个正方形，分为上下两层，下层有三个正方形，上层有一个正方形，在中间的位置是第二幅图。 我再从上面看，也能看到四个正方形，分为两排，上面一排有三个正方形，下面一排有一个正方形在左边，是第三幅图。 对于从左面看到的形状，我进行了一些想象，我想象自己站在左边观察，发现有三个正方形，分为上下两层， 下层有两个正方形，上层有一个正方形在左边，所以是第一幅图。 好的，这位同学可真棒！左面的形状我们是看不到的，那么在这里他用到了一些想象，想象自己站在左面，置身其中，这个方法非常好。 哎，我听到还有同学有别的想法，我们一起来听一听吧！ 雷老师，我观察这个物体，左面的方法和它不同，这个物体的左面我们是看不到的，但可以看到物体的右面，左面和右面是相反相对的， 所以我是根据看右面想左面的方法找到物体的。左面是这幅图 哦，这位同学是根据左面和右面看到的形状是相反的进行了推理，非常好，这种方法也很棒！同学们，你们是不是也是这样想的？你们都连对了吗？ 接下来我们看到课本第一百零五页第七题，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状， 请拿出铅笔和尺子，动手画一画吧！ 画好了吗？我们来听听这位同学他是怎么画的吧！ 从正面看，我能看到三个小正方形，分为上下两层，下面一层有两个，上面一层有一个在左边，是这样的。怎么样，你们是这样的吗？ 从上面看，能看到四个小正方形，形成一个田字形。 从左面看，也能看到三个小正方形，分为上下两层，下面一层有两个，上面一层有一个在左边，是这样的， 非常好。这个同学三幅图都画对了，同学们，你们画的怎么样呢？如果错误了，请改正过来。 接下来我们看看第八题，如图，是从三个不同的方向看到的立体图形，请你搭出这个立体图形。好了，题目要求读完了，动手吧！ 搭好了吗？我们来看一看这位同学是怎么搭的。 根据从正面看到的形状，我先用三个小正方体搭出这个立体图形，再根据左面看到的形状，我可以在这个立体图形的左边的前面竖着放两个，也可以在它的后面放两个， 这样左边的形状也符合要求了。我再从上面看，这两个立体图形的形状分别是这样的，所以右边这个立体图形是正确的，这个是错误的。 搭好后，我又从正面、上面、左面三个方向观察了一下，进行检验，都是正确的。 真棒！同学们，你们答对了吗？这位同学有一个非常好的习惯，就是搭好以后，他还能从正面、上面、左面再看一看，进行检查。 这个好习惯，希望同学们都能向他学习。接下来我们来看看课本第一百零六页的第九题， 淘气和笑笑在剧院看演出，坐在二楼的淘气能看到笑笑吗？笑笑坐在什么位置时，淘气才能看到他呢？在图上标一标， 同学们，你们有什么样的想法呢？和你身边的小伙伴们说一说吧！ 好，我们来听一听这位同学他是怎么想的。 我将淘气的眼睛和楼上护栏的最高处看作两个点，过这两点画一条射线，发现笑笑在淘气的盲区内，所以坐在二楼的淘气不能看到笑笑。 哦，淘气不能看到笑笑，笑笑只要坐在淘气的盲区以外，我觉得这三个位置都是可以的哦。这个同学觉得这三个位置都是可以的。 哎，我听到了，还有同学有想法。雷老师，我一眼就看出淘气是不能看到笑笑的， 因为笑笑不仅坐在淘气的下面一层，而且还在淘气这一排的后面，所以淘气是不可能看到笑笑的。 怎么样，说的是不是很有道理，不仅坐在淘气的下面一层，而且还在他这一排座位的后面，所以一眼就看出淘气是不可能看到笑笑的。 嗯，还有同学有想法。老师，我认为笑笑坐在从右边数的第四个座位，淘气也是能看到他的。淘气能看到笑笑的头部。 这位同学认为笑笑坐在从右边数第四个座位，也是能被淘气看到的，你们觉得呢？同意他的想法吗？ 来，咱们让笑笑坐在这个位置上试一试，看一看好吗？ 怎么样，淘气？是不是能看到笑笑的头部？非常好，这位同学很棒，他能结合生活实际进行想象。 好了，看来坐在这四个位置淘气都是能看到笑笑的。同学们，你们明白了吗？ 书上的练习做完了，接下来呀，雷老师有两道挑战题，同学们有信心接受挑战吗？好，请看第一题。 下面是四个小朋友站在路灯下影子的情况看， 有的影子在左边，有的影子在右边，有的影子短，有的影子长。想一想，他们分别站在哪个位置呢？你能写出他们的名字吗？ 赶紧开动脑筋，和你的小伙伴们说说你的想法吧！ 怎么样，有想法了吗？我们来听听这位同学是怎么说的？ 我是这样想的，影子是由于这几个同学的身体挡住了光线产生的，站在路灯左边的同学影子也在左边，站在路灯右边的同学影子在右边， 所以路灯的左边是笑笑，其他三个同学在路灯的右边。 接着我又想到，离路灯越近影子越短，离路灯越远影子越长，所以在右边离路灯最近的同学是乐乐，然后是淘气，最远的是球球， 怎么样？这位同学是不是说的特别好，有理有据，条理清晰。 在路灯左边的是笑笑，在路灯右边的分别是乐乐、淘气和球球。怎么样，你们的想法和他一样吗？祝贺你挑战成功！接下来我们来看第二题。 机灵狗放学了，从学校出发，它看到下面四幅图片的先后顺序是怎样的呢？ 观察一下这四幅图片，仔细看上面的建筑物，开动脑筋想一想，排一排它的顺序吧！ 想好了吗？来，我们听一听这位同学他是怎样想的？ 机灵狗从学校出发，当他走到这个位置时，菠萝屋离他最近，所以他看到菠萝屋会比较大，风车塔会被菠萝屋挡住一些。 蘑菇屋离它最远，所以是图一的样子。怎么样？你们是这样想的吗？ 菠萝屋离它最近，蘑菇屋离它最远，是图一的样子。嗯，很有道理。 机灵狗继续往前走，会发现蘑菇屋、风车塔、菠萝屋都能看的很完整，没有遮挡。 蘑菇屋在左边，中间是风车塔，菠萝屋在右边。图二和图四很相似，都有可能，不过图二三个建筑物之间的距离更大一些。 图四，蘑菇屋和风车塔之间的距离很近，再往前走的话，风车塔就快要被蘑菇屋挡住了。所以机灵狗会先看到图二，再看到图四。 怎么样？你们是不是也是这样想的？再继续往前走，当走到这个位置时，菠萝屋就离他很远了，还被风车塔挡住了一些。 蘑菇屋在机灵狗的右边，离他很近，看着比较大，所以是图三。这四幅图片的先后顺序是一、二、四、三。 这位同学说的太棒了，老师都忍不住要给他一些掌声。 在观察时，我们可以根据建筑物之间的位置关系进行分析， 当两个图片的位置关系很相似时，我们也可以分析它们的距离关系，从而做出正确的判断。 不知不觉中，这节课即将结束了，同学们，通过这节课的学习，你有怎样的收获呢？ 孔子说，温故而知新，希望同学们在以后的学习中，能够经常对所学的知识进行整理复习， 提高学习效率。好了，这节课就上到这，同学们再见。

同学们好，我是九江市双峰小学的吴老师。上课前，请同学们准备好数学书、笔和三角尺等学习用品。 准备好了吗？我们开始上课啦！今天我们学习看图找关系， i want you to be my best friend。 数学图表有许多的特点，在我们的生活中有着广泛的应用，今天我们进一步学习有关图表的知识，通过学习，你会对数学图表有一些新的认识。 淘气将汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况画了下来，看图你能知道什么？ 想好了吗？听听同学们怎么说。我用横轴看时间，用纵轴看速度。 从图形上的每个点都能读出汽车行驶的时间与速度之间的对应情况。如点 a 表示行驶时间是零点五分时，汽车的速度是每分两百米。 你能像笑笑这样试着说出这几个点 的意思吗？说一说吧， 说完了吗？我们来看图。行驶时间是一分时，汽车的行驶速度是每分四百米， 两分三分时，行驶速度也是四百米，四分时，汽车的行驶速度为零。 你们都说对了吗？奇思的发现更有意思，你们听我。从图上可以知道从解放路站到商场站，汽车的行驶速度和时间的变化情况。 那么汽车的行驶速度究竟是怎样变化的呢？你能描述一下吗？如果觉得有困难，可以参考这组问题来思考。 同学们想好了吗？我们来听听淘气、笑笑、奇思和妙想是怎么说的吧！ 汽车从解放路站到商场站之间共行驶了四分， 在第一分内，汽车行驶速度从零提高到每分四百米。 从零分到一分，汽车行驶速度再增加。从三分到四分，汽车行驶速度再减少。 从一分到三分，汽车行驶速度保持不变，是每分四百米。 说得真好，你能自己看图完整地描述汽车速度的变化情况吗？试一试吧！ 会说吗？来听听妙想是怎么说的。 我来完整的描述一下，在第一分内，汽车速度从零均匀加速到每分四百米。在一分到三分，汽车以每分四百米的速度匀速行驶。 在三分到四分，汽车速度从每分四百米均匀的减速到零。 妙想的描述非常完整，刚刚我们描述了一下汽车速度的变化，现在你能说一说汽车从一分到三分行驶路程的大致变化情况吗？ 淘气，是这样说的，我觉得汽车行驶速度一直没有变化，所以路程也一直没有变化。笑笑有不同的意见， 我觉得不对，车一直在走，路程应该在增加。这两分一共行驶了八百米， 真棒！笑笑的发言让我们更清楚地看到了事物的本质。 通过刚刚的学习，同学们初步读懂了用来表示数量关系的图标，能从图标中获取有关的信息， 学会了分析量与量之间的关系，而且会用语言描述变化的趋势，真是太厉害了。接下来有一个稍复杂的图标， 我们去挑战一下吧。 我们从前面的图中找到了汽车行驶时间与速度的关系，现在这幅图反映的还是时间与速度的关系吗？ 不是，这幅图，纵轴表示的是足球场内音量的大小，所以它反映的是时间与足球场内生硬的关系。因为我看到纵轴上表示的是音量，而且图上面的标题也写着比赛场内生硬的起伏情况。 是啊，观察图表示，除了要看清横轴、纵轴表示的意思外，别忘了看上面的标题内容哦。 如果我们从整体趋势上去对比这两幅图，你有什么发现吗？ 想好了吗？听听这位女生怎么说。我发现第二幅图有明显的起伏，比如有三次声音非常大，但持续的时间长短不一，中间还有一阵子比较安静。 对，这就是图中几个重要的关键点，你的发现很有价值。下面就让我们带着以下问题去深入的理解理解吧！ 同学们，想好了吗？再来听听我们的学习小伙伴是怎么说的吧！第一个问题，从观众开始进场到全部退场，一共经过了多长时间？ 从横轴也就是时间轴上找到开始进场时间是十九点，退场完毕的时间是二十一点四十五分，所以一共经过二十四十五分 对二十一时四十五分减去十九时，正好经过了二十四十五分。来看第二个问题， 比赛开始前半时，足球场内的音量是如何变化的？ 比赛开始前半时，足球场内从开始没有声音逐渐变成声音大。 很好，你能从横轴和纵轴上体会时间与音量之间的关系，但纵轴上没有声音和声音大之间还有安静和比较安静两种音量。你能把这两种音量也说进去吗？ 哦，我明白了，那我再试试吧。从十九点开始的时分内， 足球场内的声音从无声到安静，之后的时分内，从安静上升到比较安静之后，足球场内的声音逐渐大起来，到比赛开始时，场内声音大。 总之，比赛开始前半时，足球场内的声音是无声到安静，再到比较安静，最后声音大的变化过程。 太好了，这样描述音量的变化就更加细致了。但是你是怎么找到安静和比较安静所对应的时间呢？ 这里没有虚线，时间不容易看准，所以我自己用三角尺画了两条虚线，注意一定要垂直哦，这样就很容易看清横轴上所对应的时间了。 嗯，这个方法值得推广，当眼睛看不准时，咱们就得借助一些工具，你也画一画吧。 画好了，我们继续来看第三个问题，上半场什么时间？足球场内的声音变得非常大，可能发生了什么事情？ 图中哪些线段表示足球场内的声音非常大呢？上半场什么时间声音非常大？ 这条线段表示声音非常大。换上垂线，看到是上半场十九时五十分到二十时，这时足球场内的声音变得非常大，可能是主队进球了。观众兴奋欢呼， 同学们真棒，立刻就能学以自用。接下来，我们来描述下半场足球场内音量变化的情况以及比赛的情形。 下半场前半时比较安静，办事后突然声音变得非常大，一定是客队险些进球，观众虚惊一场。最后十五分，双方拼抢积极，场内声音比较大， 同学们既看出了音量与时间的关系，还能合理想象图像背后隐藏的故事。这就是我们看图找关系的又一个重要方法，你们学会了吗？ 最后我们来看看比赛结束到观众全部退场的音量变化又是什么样的？ 比赛结束后的前十五分钟，场内声音非常大。过了这十五分钟，足球场内的声音逐渐变小，直至恢复了无声的状态。是啊，主场胜利，观众欢呼， 所以比赛结束后的前十五分钟，场内的声音非常大，然后观众陆续退场，声音就逐渐变小，直至恢复无声状态。 瞧，这就是数学图表在我们生活中的应用。今天的学习就要结束了，同学们学习了今天的内容，你有什么感受呢？ 听听同学们怎么说。画图能直观地表示出各种信息， 图中也蕴藏着一些有趣的关系，比如我们从图上可以看出，这场足球比赛还是比较激烈的。 说的对，数学图表具有简洁明了的特点，我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度研究变量和变量之间的关系，有助于人们更好的认识世界，预测未来。 看样子这节课同学们收获满满，期待你们下节课精彩的表现。小朋友们，再见！

来讲一下这五道题，主要涉及到了两个知识点，第一个是展开图，第二个是立体图形的切拼挖结。 好，我们来看一下第一题，把一个长方形铁皮按图剪开，刚好做一个圆柱形油桶油盖，我们把圆柱画住，把油盖画住，油盖的话，也就意味着这两个底面我们都需要算， 那么这个油桶的表面积是多少平方厘米？接头处忽略不计。派取三，注意啊，派取三。 好，那我们来看一下这道题啊，题目当中唯一的一个数据是不是一个十二厘米啊？那十二厘米呢，它其实是由两段组成的，由左边这一段啊，再加上右边这一段，那左边这一段呢，它就是圆的直径， 那么右边这一段我用蓝色的笔给大家描一下，它就是什么呢？是这个圆柱的底面周长，也就是派底， 我们把这两部分加起来呢，就刚好是十二，那么注意，这派取三啊，所以我们是 d 加上一个派， d 派取三，也就是三 d 等于十二，来整理一下，那么四 d 就 等于十二，解出 d 等于三。 好，那现在直径呢？就是三，我们要算一下它的表面积，还需要算出这个圆柱的底面半径啊，也就是 r 三除以二等于一点五。好，我们可以后面加单位啊，厘米那么高，是不也需要算一下高，你会发现啊，我用蓝色的笔吧标一下，那这条呢，就是，哎，圆柱的高 h， 那 么 h 它就等于两个直径，也就是二 d 啊，也就是二乘三等于六厘米。 好，那现在半径有了，直径也有了，高也有了，我们就可以算了，哎，根据公式，什么公式呢？圆柱的表面积公式啊，两个底面二 pi r 的 平方，也就是二 pi 乘一点五的平方， 再加一个侧面积，侧面积是 pi d h， 也就是 pi 乘三 乘六。好，我把公式写到上边吧。啊，那么就是圆柱的表面积就等于二派 r 的 平方加派 d h， 当然派 d h 也可以写成二派 r h。 来，我们算一下这个结果 啊，应该是二十二点五派，注意，这里派取三，那我们把三带进去，那么最终的结果就是六十七点五平方厘米。注意，题目当中如果告诉你派取多少，那我们最后一定要把这个数字带进去，算出来，不能保留派。 好，这是第一题，来看一下第二题。一本牛津字典长十三厘米宽八厘米高六厘米 长，宽高都告诉我们了，把三本这样的字典一起包装成一个大长方体，至少需要多少平方厘米的包装纸，我们来看一下这有个关键词叫做至少，而且呢是把它拼在一起了，对吧？那么拼的我们这块的知识点，拼一次少 两个面。注意，现在三本他拼了几次呀？拼了两次，我们把这个知识点写到旁边，拼两次，他对应的少的是四个面。 ok， 那 我们要把三本字典原来的表面积之合算出来，然后再减去这四个面的面积就可以了。好，我们先算一下一本字典它的表面积，也就是 s 长等于 好长乘宽、加长，乘高，加宽乘高的和乘二， 结果算出来是四百六十平方厘米。注意，这是一本字典的那三本字典，也就是三个长方体的表面积，四百六十乘三，结果是一千三百八十平方厘米。 好，这是三个长方形的表面积。那现在呢？减少了四个面，减少的面是什么呀？ s， 减， 减少的面，我们想让他尽可能的怎么样？是不是要尽可能的大？因为我们最后说要至少 需要多少平方厘米的包装置，我们要的这个结果最小，也就意味着我们要减的最大，减的多，剩的少。那最大的面是谁呀？是不是长乘宽，这个面也就是十三乘八，那解四个面，我们再乘四。 好，这个我们可以给他算一下， 结果是四百一十六， 单位是平方厘米。 ok， 好， 那也就是说在原来一千三百八十的基础上减去四百一十六，那最终的结果是九百六十四平方厘米， 好，当然了，我们也可以直接把它是不是摞起来啊？那么新的长方体，它的高呢？就是原来的三个啊，三倍。好，来看一下第三题， 一个人长八厘米的正方体，在他的面中央挖去一个高为八厘米，直径为二厘米的圆柱，来，我们把面中央给它画住， 求剩余部分的表面积。好，那我们这是一个挖的题啊，挖的题我们就四个算式就可以啊。先来算一下原来的表面积，就是正方体的表面积，八乘八乘六等于三百八十四平方厘米， 它在面的中央挖去一个高为八厘米。注意了，那么这个圆柱的高是八厘米，那么原来正方体的棱长也是八厘米，说明此时怎么了， 是不是挖通了呀？这个知识点它是一个隐藏的啊，很重要的一个条件啊，它挖通了，挖通的话，也就意味着它一定是有减少的面的啊，那我们 来算一下，先算什么？先算增加的吧，增加的是什么呀？因为他挖掉了一个圆柱啊，所以他增加的是这个圆柱的侧面积，增加的是圆柱的侧面积，也就是公式派 d h 啊，派乘二乘八等于十六派。 好，我们可以不用给他算出来啊，平方厘米，这是增加的，再来算减少的。减少的是什么呀？是不是就是两个圆了，哎，就是圆柱的两个上下底面啊，上下底面也就是二拍 r 的 平方。 二拍 r 是 多少呀？我们是不是需要算一下，告诉我们直径是二了，那么半径就是二除以二，这是半径啊，拍 r 的 平方来，这个结果算出来是二派。 好的，那么最后的这个表面积啊，就是用原来的表面积三百八十四加上增加的减去减少的，那也就是三百八十四加十四拍。 注意看这派取多少。派取的是三点一四啊，那我们算出来，那最终的结果就是四百二十七点九六平方厘米。 然后注意这个题，他有一个隐藏的挖通的一个条件啊，这是一个易错点， 好巩固。四，我们来看一下，如图，求下面这个零件的体积，那这个零件呢？它不是一个规则的图形，但是我们可以干嘛？可以哎，给它上面是不是再拼一个，来画一下吧， 再拼一个圆柱来跟下面一样的图形啊，两个完全一样的，那拼完之后你会发现这是不就是一个完整的圆柱了呀？哎，这是一个完整的圆柱，那我们看一下这个新圆柱它的高是多少呢？ 好，那么左面这一段是八，那么拼完之后，这一段他就是八，那右面的是七，那拼完之后，左面的他就是七。来，我们看一下这个圆柱啊，整个圆柱的高就是七加八等于十五啊，来，我们先算一下高，七加八等于十五厘米。 好，把高算出来之后，底还告诉我了，我们一个底面的直径。好，那我们要求体积的话，是不是还得知道半径，对吧？来，先算一下半径，那么 r 呢？就等于四除以二等于二厘米。 好，根据公式算就可以了。 pi r 平方 h， 也就是 pi 乘二的平方乘十五。好，注意，这我们算出来是不是一个圆柱的体积，那此时这个零件的体积呢？是整个圆柱的一半，所以我们还需要再除以二。 来，我们这个整理一下算出来是多少拍呢？是三十拍，三十拍，注意看，这里派取三点一四啊，那我们再把三点一四带进去，那也就是九十四点二，注意单位此时是立方厘米。 好，这就是我们巩固四这个题，那接下来我们再来看一下巩固五。 好，一个圆柱高八厘米，如果他的高增加二厘米，那么表面积就增加二十五点一二平方厘米。求原来圆柱的表面积，那这是一个结的问题， 那它的高增加了二厘米，对应的表面积增加二十五点一二。我们得清楚啊，这个二十五点一二，它只增加的是圆柱的侧面积，那根据侧面积的公式派 d h， 那么此时的 h 呢？就是这里的二厘米。那我们来算一下这个圆柱的直径啊，因为二十五点一二呢是它的侧面积，那么除以高二， 再除以 pi， 也就是三点一四，算出来的就是这个圆柱的直径啊，算完之后结果是四厘米。 好，我们要求它的表面积啊，这是直径啊， d r 半径呢？我们就用四除以二等于二厘米。 好啊，那这是直径和半径算出来了，那我们直接按照公式去算它表面积即可， 也就是二派 r 的 平方。哎，乘二的平方，再加一个侧面积，派 d h， 也就是派乘四乘。哎，注意这里的 h 乘的是谁呀？哎，乘的是这里的 八厘米，因为他问的是原来圆柱的表面积，所以我们要乘原来圆柱的高，也就是八， 来算一下啊。那么前面呢，就是一个八派，后面呢是一个三十二派， 两部分加起来，结果是一个四十派。四十派啊，我们背过四派是十二点五六，那么四十派就是一百二十五点六，单位是平方厘米。好，这是我们，哎，这五道题目。

两只蚂蚁比赛从 m 点到 n 点有两个不一样的跑道，是否公平呢？假设 m o 长第一， o n 长第二， 可以得到第二路线两段的长度，也可以得到第一路线的长度。发现两条路线一样长。总结，大圆的直径与几个小圆的直径和相等。那么大圆的周长的一半与几个小圆的周长的一半的和相等。

大家好，这里是一道六年级的求组合图形表面积与体积的题目，我们一起来看一下，要求求下面组合图形的表面积和体积，那我们稍微观察一下这两个立体图形，会发现上面是一个 圆柱体，下面是一个正方体啊，有两部分组成，那我们就来回顾一下圆柱体与正方体它们的表面积和体积公式吧，大家必须要熟练的去掌握啊。首先我们先来说一下圆柱体，圆柱体的表面积应该怎么算呢？ 应该用它的侧面几加上它上下的两个底面积，那么圆柱的体积呢？ 你是否能够快速的说出圆柱的体积应该是 pi r 方 h， 也就是底面积乘以高，底面积用 pi r 方来求高就是 h 啊，那下面我们再来回顾一下正方体的表面积， 正方体的表面积，其实我们要知道正方体的六个面是完全相同的嘛，那它的表面积指的就是它六个面的总和，也就是棱长乘以棱长是它的一个面的面积， 因为像这样的面它有六个，而且六个是完全相同的啊，棱长乘棱长再乘以六就可以了。那我们再来说一下正方体的体积呢，正方体的体积公式是棱长乘棱长再乘以棱长，三个棱长相乘，我们就用棱长的立方来进行表示 好了，那这个是我们回顾一下圆柱体以及正方体的表面积和它的体积公式，那下面的时间咱们来开始分析这个图， 我们可以优先来计算一下它的表面积啊，看一下这个表面积可以怎么求。首先我们观察一下，会发现圆柱的表面积呢，下下面的这个圆啊底面积，这个底被正方体的上面这个面给盖住了， 所以稍后我们在计算它的表面积的时候，这个底面是不要算的。然后在计算正方题的表面积的时候呢，同样的需要特殊注意一个地方，就是这里 它顶上的这个面啊，最上面的这个面有一部分被圆柱体的底面给盖住了，所以这个部分一会我们在求的时候需要稍微注意一下，那下面的时间咱们就一步一步来算它的表面积，应该先用圆柱的表面积 加上正方体的表面积，刚才我们已经说过了，我们只需要用它的 底面积一个底面积去加上它的侧面积就可以了，那么它的底面积呢是 pi r 方，然后它的侧面积呢就是底面周长乘以高 二 pi r h 啊就可以了，然后再加上正方体，我们能够看到的完整的是五个面， 一个面呢用棱长乘棱长，也就是八乘八，像这样的面呢一共有五个，所以我们再乘以五就可以了。那么现在最重要的就是老师刚才打阴影的这个部分，这个部分应该怎么求呢？应该用最上面的这一个正方体的这个面，也就是棱长乘以棱长八乘八， 减掉这个圆柱的底面，那最后我们要加上八乘以八减去 派二方他的一个底面，那在这里我们就会发现一个问题了，前面这里有一个派二方，后面这里有一个减派二方，那他们两个相减是不是就没有了呀？ 哎，就互相抵消掉了，所以在真正计算的过程当中，哎，其实这个派二方你就不用算了，就这个圆珠的底面积，然后剩余的部分我们正常进行代入就可以了。 二派派我们取三点一四啊，乘以三点一四 r 呢，就是呃，圆柱的底面的半径，这里面标注了直径啊，是六厘米，那半径就是三厘米喽，乘以三，再乘以高，高就是这里啊，也就是三厘米， 然后再正常的去加这个后面的这个部分了啊，八乘八乘五，再加上八乘八，实际上就是这个正方体完整的这个表面积了，那我们口算一下，它的答案是三百八十四， 最后把两部分合起来就可以了，两部分合起来的答案是四百四十点五二，单位是平方厘米，这样呢，我们就求完了它的表面积，那么下面的时间我们再来求一下它的体积， 它的体积呢，其实也是由两部分组成，一个就是圆柱的体积， 一个就是正方体的体积。那这个还是比较容易求的啊，直接代入公式就可以了。圆柱的体积公式是 pi r 方 h， 然后正方体的体积是棱长乘棱长乘棱长，也是棱长的立方， 所以呢， pi 我 们取三点一四 r 呢，就是它的半径，就是三的平方，高呢，也是三乘以三加上棱长的立方，棱长呢就是八，那也就是八乘八，再乘以八， 那这个地方大家可以在草稿纸上进行计算，它们最终啊相加的结果是五百九十六点七八立方厘米。 这道题目就结束了，那对于大家来说，它考察的公式就是圆柱体以及正方体的表面积和它体积的公式应用，同时需要注意我们上面这个部分，它的表面积应该怎么做？你学会了吗？

欢迎大家来到向上教育六年级数学亲子课堂，我们今天要练习的是简易计算好，同学们先来观察第一个 简单计算，三千三百三十三乘六千六百六十六加九千九百九十九乘七千七百七十八，这个算式我们会发现它有乘法，有加法，优先要考虑的是乘法分配率的逆运用， 那么乘法分配律的应用需要找到共同的因素，也就是共因素把它提取出来，而这个里面没有共因素，所以我们需要想方设法变出共因素。 我们会发现九千九百九十九是三千三百三十三的三倍，所以我们可以把第一组成法三千三百三十三，把它扩大到原来的三倍，变成九千九百九十九， 要想使它的基不变，一个乘数扩大到原来的三倍，那么另一个乘数就要缩小到原来的三分之一，那就变成了两千二百二十二。然后第二组成法不动，也就是九千九百九十九 乘七千七百七十八。好，写到这里，同学们就会发现里面的共音数是九千九百九十九，把这个共音数提取出来，那就变成了九千九百九十九乘 两千二百二十二与七千七百七十八的和好。那么再继续观察 两千二百二十二，加上七千七百七十八，他们的和正好凑成一万，所以它就变成了九千九百九十九乘一万。 好，那我们计算出最后的结果就是九千九百九十九万 好。所以同学们在做这类简单计算的时候，当有乘有加，我们优先要考虑的是乘法分配率， 而他们的乘法之间的每一个乘数有倍数关系的时候，你可以想方设法变出一个共因数，把共因数提取出来，再进行检验计算好，同学们会发现这里还有一道题， 那这个题和第一个题很相似，所以欢迎大家在评论区留言。 好，今天的题同学们学会了吗？

亲爱的同学们，你们好！我是辽宁省大连市沙河口区西南路小学的郭珊珊老师，很高兴能与同学们一起学习。 今天就让我们走进北师大版小学数学六年级上册数据处理这一单元。这节课我们将共同认识一下扇形统计图 同学们，随着生活水平的提高，我国肥胖症患者也在逐年增加，而这与我们的饮食结构息息相关。 那什么样的饮食结构才是合理的？我国为此研究制定了一幅中国居民平衡膳食宝塔图，它是结合居民的膳食结构特点设计的。观察宝塔图，你能获得哪些数学信息？ 我发现图中谷类食物在塔的底层吃的最多，蔬菜和水果类在第二层，鱼禽肉、蛋类食物在第三层，奶类和豆类在第四层，油脂类食物在最顶层吃的最少。 这位同学观察有序。要想做到膳食平衡，摄入的食物营养要合理。 平衡膳食，宝塔图便为我们提供了一个营养上比较理想的膳食模型。宝塔各层位置和面积的不同，反映出各类食物在膳食中的重要性和应占的比重。 笑笑想知道自己家一天的膳食结构是否合理，他需要调查哪些数据？要对应膳食宝塔图中的食物种类，调查他家一天中每类食物吃了多少。 光调查这些不够，还要知道各类食物占的比重，也就是它们占的百分比。 在同学们的帮助下，笑笑调查了他们家一天各类食物的摄入量，并制成了统计表。观察统计表，说一说，从中你获得了哪些数学信息？ 横着看，我知道了笑笑家这一天摄入的食物种类和他们对应的摄入量，以及约占总摄入量的百分比。我还发现统计表中增加了总摄入量一栏，知道了总摄入量是三千八百克，占百分之百。 竖着看，我知道笑笑家这天摄入了五类食物，他们的摄入量从上到下逐渐增大，加起来的核是三千八百克。 我还发现统计表中多了一列约占总摄入量的百分比，这里的百分数也是从上到下逐渐增大，它们加起来的核是百分之百。约占总摄入量的百分比是什么意思？ 它表示的是各类食物的具体摄入量，约占总摄入量的百分之几。读一读统计表，说一说表中百分数的意思。 百分之一点三是由五十除以三千八百得到的，它表示的是油脂类食物的摄入量约占总摄入量的百分之一点三。 百分之二十三点七表示的是蔬菜和水果类食物的摄入量，约占总摄入量的百分之二十三点七。百分之百表示的是一个整体，它也是其他百分数的。和 刚才同学有序的从统计表中获取数学信息，理解了百分数的含义，知道了总摄入量占的百分比是百分之百， 是各类食物摄入量占总摄入量的百分比之合，它表示的是整体和部分的关系。 结合表中的数学信息，同学们，你能说一说笑笑家的膳食结构合理吗？ 合理，因为笑笑家一天各类食物摄入量的百分比符合膳食宝塔图的结构特点。 老师，我发现表中油脂类占百分之一点三，他占的太少了，几乎没有，而谷类占了百分之四十七。点四，几乎占总摄入量的一半。 有没有一种更直观的方法将表中的百分比表示出来，让我们一种更直观的方法与总摄入量之间的关系呢？ 看下图，是根据右表中的数据绘制的统计图，你能看懂吗？ 统计图中的绿色扇形代表油脂类食物，占总摄入量的百分之一。点三， 白色扇形代表奶类和豆类食物，占总摄入量的百分之十五点八。 黄色扇形代表蔬菜和水果类食物，占总摄入量的百分之二十三点七，浅蓝色扇形代表谷类食物，占总摄入量的百分之四十七点四，这五个扇形合起来是整个圆，他们所占的百分比合起来是百分之百。 整个圆表示的是什么？整个圆表示的是笑笑家一天各类食物的总摄入量。我知道了，原来表中各类食物占总摄入量的百分比就是图中对应的扇形面积占整个圆的百分比。 这是扇形统计图，用整个圆来表示笑笑家一天各类食物的总摄入量。同学们，你能说说它为什么叫扇形统计图？ 我发现这个统计图中有一个个小扇形，所以它才叫扇形统计图吧。 扇形统计图与统计表这两种描述数据的方式，你更喜欢哪一种？我喜欢用统计图来描述数据更清晰、直观 对比扇形统计图与条形统计图，从图中获得的信息有哪些不同？ 条形统计图可以清楚地看出各类食物的摄入量。扇形统计图不仅可以看出各类食物的摄入量占总摄入量的百分比，还能表示出它们之间的关系，而条形统计图却不能表示出这种关系。 通过对比两种统计图，我们发现，扇形统计图用整个圆表示整体，用扇形表示部分，能直观地表示整体与部分之间的关系，这也是扇形统计图独有的特点。 和同伴说一说，从下面的统计图中，你能获得哪些信息？ 观察扇形面积的大小。从图中一眼看出，谷类最多，油脂类最少。也可以通过比较百分数，百分之四十七点四，大于百分之二十三点七。大于百分之十五点八，大于百分之十一点八，大于百分之一点三。知道谷类最多，油脂类最少， 它们相差百分之四十七点四，减百分之一点三，等于百分之四十六点一。所以，日常饮食中，我们要多吃谷类，少吃油脂类。 从图中可以看出，谷类占总摄入量的百分之四十七点四，大约占整个园面积的一半。 蔬菜和水果类食物，鱼禽肉蛋类食物、奶类和豆类食物，这些合在一起也大约占整园面积的一半， 和谷类差不多。实际算一算，百分之二十三点七加百分之十五点八加百分之十一点八，等于百分之五十一点三，确实差不多。因此，在吃饭时我们要注意它们的合理搭配。 如果知道总摄入量，我就可以通过图中食物所占百分比知道它对应的具体摄入量。比如笑笑家的总摄入量是三千八百克，那么鱼禽肉蛋类的摄入量应该是三千八百乘百分之十五点八，约等于六百克。 如果知道了某类食物的摄入量，我也可以知道总摄入量是多少。比如鱼禽肉蛋摄入量是六百克，那么总摄入量是六百，除以百分之十五点八，约等于三千八百克。 小小扇形图看着简单，但信息量却很丰富。刚才同学们都能从统计图中获得数学信息，直观地描述整体与部分之间的关系， 并能多角度观察说出各部分之间存在的关系，解决简单的问题。同学们，请说一说你见过的扇形统计图。 这是第二十九届奥运会我国获奖牌的分布情况，这是齐斯加十二月生活支出情况统计图。看看老师收集的扇形统计图，其实生活中的很多地方都用到了它。 这是某小学一年级与六年级学生作息时间统计图。观察两幅扇形统计图，从中你能获得哪些数学信息？ 我知道，整员表示的是一年级学生作息时间，其中上课时间占一天时间的百分之二十点八，校内外活动占百分之二十五，三餐及洗漱占百分之八点三，睡眠占百分之四十五点九。 这个整圆表示的是六年级学生作息时间安排，其中上课时间占一天时间的百分之二十五，校内外活动占百分之二十点三，三餐及洗漱占百分之八点三，睡眠占百分之三十六，自习占百分之十点四。 同学们都能从图中获取数学信息，根据这些信息，请回答下面的问题，一年级与六年级学生作息时间的分配有哪些不同？ 校内外活动和睡眠时间一年级略多一些，上课时间六年级略多一些，六年级还多了自习时间。 你能根据统计图计算出这两个年级的学生每天上课、校内外活动和睡眠的时间吗？ 一年级上课二十四乘百分之二十点八，约等于五十。校内外活动二十四乘百分之二十五等于六十， 睡眠二十四乘百分之四十五点九，约等于十一时。答，一年级每天上课约五十，校内外活动六十，睡眠约十一时。 六年级上课二十四乘百分之二十五等于六十。校内外活动二十四乘百分之二十点三，约等于四点九十。睡眠二十四乘百分之三十六，约等于八点六十。答， 六年级每天上课六十，校内外活动约四点九十，睡眠约八点六十。 你觉得六年级学生睡眠时间够吗？你有什么好建议？我觉得不够，我建议六年级的学生减少上课和自习的时间，增加一些睡眠的时间。 对，二零零八年九月四日，教育局在中小学学生近视眼防控工作方案中提出，要保证小学生每天睡眠实时。通过刚才的学习，你有什么收获？ 我认识了扇形统计图，知道它用整个圆表示总量，用圆内各个小扇形的大小表示部分量占总量的百分比。 对比条形统计图与扇形统计图，我知道了两者的主要区别是扇形统计图能直观表示整体与部分之间的关系。 我还知道了可以用扇形统计图描述收集的数据，并能分析出图中蕴涵的数学信息，解决生活中的实际问题。 同学们总结的很全面，课前我们收集整理数据，课上我们用扇形统计图描述数据，分析数据，进行简单的推断。 在这个数据统计的活动过程中，我们还运用了有序观察和比较这两种数据分析的基本方法。同学们真棒！ 今天我们学习的内容在教材五十七页，课后请同学们完成五十八页练一练的第一题， 并思考我们之前学习过的条形统计图、折线统计图与今天学习的扇形统计图都应该在什么情况下使用，它们有什么区别？ 这节课就上到这里，同学们再见！

同学们好，我是雷老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们将对教材中图形与几何的部分进行总复习。首先让我们一起翻开课本第一百页， 今天的学习将围绕这几个问题展开。同学们回忆一下我们学过哪些平面图形，你能将它们进行整理吗？ 好，我们来听听这位同学是怎么说的。 我们学过的平面图形有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆。 其中长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形是用线段围成的封闭图形，而圆是由曲线围成的封闭图形。 是的，圆相对于其他几个平面图形而言比较特殊，它是由曲线围成的封闭图形。今天这节课我们就对圆进行整理和复习。 在圆这个单元中，我们学到了哪些知识呢？下面让我们跟随教材一起来回顾一下吧。 圆的认识让我们了解了圆的特征，以及用圆的知识解释生活中的简单现象， 欣赏和设计，让我们进一步感受了圆的对称美。在数学阅读中，我们了解了圆周率的历史，学习了圆的周长和面积后，能帮助我们解决生活中的实际问题。 看来这个单元的知识还是非常丰富的，同学们在复习的时候可以用数学报、 思维导图或者列表格的形式对所学的知识进行整理。接下来让我们来听一听这几位同学的知识整理吧！ 我对圆的特征进行了整理，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆中心的一点叫做圆心，一般用字母 o 表示。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母 r 表示。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母 d 表示。 一个圆中有无数条半径，这些半径都相等。有无数条直径，这些直径也都相等。所以说圆与中同长，也同一个圆里，直径长是半径的两倍， 用字母表示，可以写成 d 等于二 r。 好 的，这位同学对圆的特征进行了整理，让我们把它说的记录下来。 圆中心的一点叫做圆心， 通常用字母 o 表示。半径，用字母 r 表示。直径，用字母 d 表示。 在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 半径有无数条，直径也有无数条。 在同一个圆中，直径长是半径的两倍，用字母可以写成 d 等于二 r。 反过来也可以说 r 等于二分之一 d。 好 的，还有同学想补充 老师，关于圆的特征，我还有补充，我知道圆是轴对称图形，有无数条对称轴。将圆对折两次，两条折痕的焦点就是圆的圆心。 圆还是轴对称图形，有无数条对称轴。 好的，接下来我们来听听其他同学的整理。 我对圆的周长进行了整理，围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母 c 表示。 上课时，我们用绕绳法和滚动法测量出圆的周长。通过研究发现了圆周率派，进而得到了圆周长的计算方法。用字母表示是 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 在圆的周长这节课中，我们用化趋为值的方法测量出了圆的周长，进而发现了神奇的圆周率 pi， 得到了圆周长的计算公式。可以用字母写成 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 ok。 在这一单元中，我们还学习了对圆的面积。接下来就让我们一起来看一段小视频，回忆一下圆的面积计算公式是如何推导出来的。 我们通过把圆分一分、剪一剪、拼一拼的方法，把圆拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高就是圆的半径，平行四边形的底是圆周长的一半。 就这样我们就找到了圆的面积计算公式。在这个过程中，我学到了把未知的图形转化成已知的图形，找到它们之间的联系，从而解决新问题的方法。在以后的学习中，我也要试着多用用这种方法。 是的，在学习圆的面积这节课中，我们用到了一个非常重要的数学思想，转化思想就是把圆转化成学过的平行四边形。 当然，我们也可以把圆转化成长方形或者三角形，都能发现圆的面积计算公式是 s 等于 pi r 的 平方。 好，我们来看看还有同学有什么想说的。 雷老师，我发现学习了圆的知识后，我可以解决生活中的许多问题， 而且只要告诉我圆的半径、直径、周长、面积中的任意一个数据，我就能计算出其他的数据是多少。所以我把这些计算方法之间的联系也进行了整理。 圆的知识还帮我理解了生活中的一些现象，比如车轮、下水道的井盖为什么是圆的了？圆真是一个美丽又神奇的图形。 是啊，这位同学可真棒，他还能根据圆的半径、直径、周长和面积的关系进行整理，从而解决问题。 好了，课本上的知识整理就到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。首先，数学判断听，请看第一题， 圆的半径都相等，这句话对吗？ 这道题是错的。要说在同一个圆或者相等的圆中，圆的半径是相等的。第二题，半圆的周长就是圆周长的一半 对，这道题也是错的。我们来看一看，这是一个半圆，它的周长是一个半圆弧加一条直径， 这是一个圆，这是圆周长的一半，很明显它们是不相等的，所以这道题也是错的。注意，半圆的周长一定要记得加直径哦！ 半圆的周长可以用字母表示， pi r 加 d， 同学们可以把这个公式记录在你的笔记本里 再看。第三题，直径大的圆周长，大圆周率也大，对吗？ 直径大的圆周长的确也大，但是圆周率是一个固定的数，所以这道题是错的。 第四题，求阴影部分的面积。用三点一四乘八减五的差的平方等于二十八点二六平方厘米，对吗？我们一起来分析一下吧。 阴影部分的面积其实也就是这个大圆的面积， 减去里面半径为五厘米的小圆的面积， 然后用乘法分配率可以写成三点一四乘八的平方减五的平方的差，答案是一百二十二点四六平方厘米，所以这道题也是错误的。 好，接下来我们来完成数学书上的练习。看到数学书第一百零五页第二题，按要求先画圆，再求出圆的周长和面积。 请同学们在草稿本上动手做一做吧。 做好了吗？我们来看一看这两位同学的答案。 第一个同学先画了一个半径为两厘米的圆，求出它的周长是十二点五六厘米，面积是十二点五六平方厘米。 在这里雷老师要提醒同学们注意，虽然这道题的周长和面积都是十二点五六，但是它们的含义是不同的， 这个十二点五六表示的是周长，要用的是长度单位。这个十二点五六呢，是圆的面积，用的是面积单位，所以说圆的周长和面积无法比较。 再看第二题，画出一个直径是三厘米的圆，直径三厘米，说明圆规两角之间的距离应该是一点五厘米， 然后求出它的周长是九点四二厘米，面积是七点零六五平方厘米。这道题的数据比较大，同学们你算对了吗？ 接下来我们来看看第四题。陶器和笑笑便习径走，陶器沿长为九米，宽为四米的长方形花坛走，笑笑沿直径为八米的圆形花坛走， 他们的速度相同，谁先走完一周呢？哎，这道题是跟圆的周长有关，还是和圆的面积有关呢？我们来听听这位同学是怎么分析的。 这道题和圆的周长有关，我是从这些关键词发现的，例如沿着走完一周，这些关键词都说明这道题和圆的周长有关， 同学们，你们听明白了吗？这些关键词都告诉我们这道题是跟圆的周长有关。我们来看看这道题该怎么算呢？ 刨器是沿长方形花坛走，所以它的周长是长加宽的和乘二等于二十六米。笑笑是沿直径为八米的圆形花坛走， 算出来的周长是二十五点一二米，因为它们走的速度是相同的， 淘气走的路程更远一些，笑笑走的路程更近一些，所以笑笑先走完一周。同学们，你做对了吗？ 接下来我们来看一看第六题。动物王国在举行盛大的马戏表演，瞧，调皮的猴子正在进行走钢丝表演呢。 请看，他提了一个问题，车轮一共要转多少周呢？同学们，试一试，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学的答案。这道题问，车轮一共要在长城上转多少周，与圆的周长有关，我是这样做的， 咦，怎么连一周都不到呢？不符合生活实际呀！哦，我明白了。车轮的直径是用厘米做单位，身子全长是用米做单位，单位不同，要进行单位换算，赶紧定正，听明白了吗？ 这个同学虽然做错了，不过他有一个很好的习惯，就是能够结合生活实际进行反思。他发现算出来的结果连一周都不到。 因此又把这个题目读了一遍，发现了问题所在。单位是不同的，要注意单位换算。 同学们在做的时候，可以把它统一成米做单位，或者也可以统一成厘米做单位。最后的结果都是二十五周， 同学们，你做对了吗？接下来让我们来看看第五题。 题目要求我们先用圆规画出右面的图形，并涂上颜色，然后求出图色部分的周长和面积。嗯，这道题看上去有些复杂， 同学们，拿出你的圆规，在作业本上画一画，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学他是怎么画的？ 我先以两厘米为半径画出一个圆，再通过圆心画出两条互相垂直的直径，再找到这四条半径的中点， 以一厘米为半径，画出四个半圆，最后涂上颜色，这个风车图案就画好了。我先算小半圆的周长是五点一四厘米， 再算四个小半圆的周长是二十点五六厘米，所以涂色部分的周长就是二十点五六厘米，涂色部分的面积是六点二八平方厘米。好，我们一起来看一看这位同学的方法。 三点一四乘二，再除以二，求出来的是这个小半圆的半圆弧， 再加上这个直径二厘米，得到一个小半圆的周长是五点一四厘米，然后算出四个小半圆的周长之和等于二十点五六厘米。 面积也是先算出一个小半圆的面积是一点五七平方厘米，再算出四个半圆的面积是六点二八平方厘米。这个方法非常好，同学们，你做对了吗？ 还有别的方法吗？我们来听听这个同学是怎么说的。 雷老师，我计算周长的方法和它不同，我是这样做的。这四个半圆的半圆弧可以拼成两个整圆， 用三点一四乘二，再乘二等于十二点五六厘米，求出两个圆的周长， 再加上四个两厘米，二乘四等于八厘米，十二点五六加八等于二十点五六厘米。 图色部分的周长也是二十点五六厘米，面积就是这两个拼成的圆的面积之合，用三点一四乘一的平方，再乘二等于六点二八平方厘米。 哎，这个同学的方法你们听明白了吗？他是先把小半圆拼成了一个完整的圆，算出了两个圆，周长之和是十二点五六， 不过要提醒你注意，要记得加上这四条两厘米的直径，最后算出的结果也是二十点五六厘米，非常好！ 老师，我还发现了拼成的两个小圆的周长之和等于大圆的周长都是十二点五六厘米。因为这两个小圆的直径之和等于大圆的直径，所以他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 哎，你们听明白了吗？这个同学说的是，这两个拼成的小圆的周长之合等于大圆的周长，他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 这个同学的发现是巧合吗？不是的，它里面呐藏着一个数学道理，让我们来听听数学博士是怎么说的吧！ 把一个大圆的直径地分成若干份，以分成的线段为直径，画出 n 个大小不同的圆。 第一个圆的直径，我们把它叫第一，第二个圆的直径叫第二，第 n 个圆的直径叫第 n。 这些小圆的周长之合可以列示为，派第一加派第二，一直加到派第 n。 用乘法分配率可以写成太乘上 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，而 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，正好等于大圆的直径 d， 那么小圆的周长之合就等于派币，也就是大圆的周长了。所以说，当 n 个小圆的直径之合等于大圆的直径时，这 n 个小圆的周长之合就等于大圆的周长。 同学们，你们都听懂了吗？当几个小圆的直径加起来的和等于大圆的直径时，这几个小圆的周长之和就等于大圆的周长。 好了，今天的练习就全部结束了，希望同学们在以后的复习中能够学会归纳、整理，总结、反思。今天的课就上到这，同学们再见！

好了，来，谁来说说。 来，这位男生就是我们在学习直述问题的时候我们用了数学建模的思想，然后还有在鸡兔同笼的时候也用了塑形建模的思想，哦数学建模，嗯还有没有？来？这位女生， 我还我还记得我们根据商不变的性质，呃由那个 有，嗯根据商不变的性质运用类比的思想方法，然后根据分数的基本性质推出那个比的基本性质类比是吧？我们一起来回顾 回顾整个小学阶段学过的打电话直述问题，借助同僚等等都用到了化繁为简、化难为易的数学思想和方法。 第七册的运筹问题，第十册的找次品问题，第十二册的抽屉原理。让我们知道在解决问题时都有考虑制裁的问题， 学会在多种解决问题策略中寻找最佳最优的策略，推理优化能力得到加强。 值数问题和基督同笼问题重在数学模型的构建。 还发现在整个数学学习中一直在用画图、列表、计算等策略和方法帮助我们数学思考找到规律解决问题。 是的，数学思想和方法可以帮助我们有条理的思考，简洁的解决问题。接下来你能灵活运用这些方法来解决问题吗？ 请同学们翻到书一百零三页，独立完成练习。题四 做好了吗？来，谁来说说你是怎么做的？ 来，这位男生，嗯。五边形的内角盒是，嗯。五百四十度。话筒不响吗？来，大声一点。好， 五边形的，呃。内角和是五百四十度，呃。六边形的内角和是七百二十度，嗯嗯。 多多边形内角和与它的边数有什么关系？嗯我答的是，嗯。它每增加一个边数它的内角和就增加一百八十度， 有不同的吗？来。好，来，这位男生我要来补充一下，嗯，就是呢，我认为多边形的内角和就等于它的边数减二的差乘一百八十度。嗯，来，继续。九边形呢？ 嗯，来，我找一个没有回答过问题的。来，这位男生， n 九 n 九边形的内角来大声的说就行了。九边形的内角和就应该是一， 一百八十度乘乘乘九减九减二的差是不是？是掌声，那 n 边形就可以是来 n 边形的内角和是一百八十度乘 n 减二的差， 是不是这样的？是同学们在几何领域中找到了有章可循的规律，那在大家熟悉的计算中会不会也有潜在的规律呢？思考 怎么办呢？ 可以动笔算一算。 来，谁来说说。来啊。我是呃用那种周期问题的那种方式来想的，因为我在我从最基本的开始推一乘七，那么他的尾数是七， 你先给大家讲讲二千零二十一个七连乘是什么意思？呃。就是七的二千零二十一次方，也就是七乘七乘七乘七，一直乘二千零二十一个七。嗯呃呃。所以说，呃。 接下来怎么办呢？我觉得我刚才思想有点错了。对不起。没关系啊，没关系。其他同学 来，这位女生，我是一个先算出七乘七，他的尾数是，呃，尾数是九，嗯，然后然后再乘七，他的尾数是三， 然后再乘七，他的尾数是七，然后再乘七的话他的尾数就是九，然后后面他就重复了，那么他的一个周期，呃就是四，我们就用二千零二十一除以四， 呃二，二千零二十一，呃，嗯，二千零二十一除以四，等于五百零五还要于一，所以说他的尾数应该是七。 太厉害了，那同学们通过媒局法找到了他们之间的规律。 同学们，你们知道吗？其实化繁为简的数学思想和方法，它不仅仅运用在我们数学上，它还广泛的运用于其他领域。 公元十四世纪，生活在英格兰奥卡姆的哲学家威廉修士提出了著名的奥卡姆剃刀定律，他主张如无必要，务增实体，简而言之，就是不要被事物的复杂表象所蒙蔽，要善于化繁为简。 比如要测量这个瓶子剩余容量是多少，最简单的方法是什么？对，就是叼转它，结果一目了然。再让我们回到上世纪四十年代，仍在化繁为简的道路上进行着持续探索。 被誉为计算机之父的冯诺伊曼开创性的通过二进制设计思想，大大简化机器逻辑运算流程，使现代计算机迅速登上了历史舞台。而后随着互联网的发展，沟通往来简化到点击发送键， 枯燥的资料解锁转化到输入关键词，打开网页，改个简单的帮人染事件变换人类追求让事物保持简单的目标，却始终未曾改变， 也就是简单有效原理。正如奥卡姆所说，切勿浪费较多的东西去做用较少的东西同样可以做好的事情。 希望同学们在接下来有限的复习时间里，运用简单有效的原理，用较少的时间取得更好的复习效果。那这节课已经接近尾声，你有什么收获呢？ 来谈谈自己的收获。来，你说说。嗯，我认为任何事物都是绝大部分的事物都是有规律可循的，我们以后在生活和学习当中也可以像这样去找一些规律，方便我们。嗯，还有吗？来，你说说。 我们平时在生活中很多类型的一些，比如。嗯，我们平时做卷子就会有一些解决问题，那些解决问题，其实我们都可以用树形结合的方法来思考 他给你提出的条件，你可以根据这些条件来画一个图，图上的话，通常画完过后就会一目了然了。嗯，还有没有想说的？来，这位男生 啊，我们平时解决数学问题时候，可以用按照画图还有计算列表这种策略来答题。 嗯，学到了精髓了。来，这位男生，就是呢，很多复杂的问题，我们都可以先把他们的简单模型，然后找到他们的规律，最后再嗯，利用规这个规律求出这个问题 来。我们解决问题的时候要从多个方面去，多多个方面去想， 还有没有，你学到了什么就说什么。这位男生想说是吧？嗯，来，你说说。 我觉得有时候有些很复杂的题，我们可以化繁为简，嗯，那种可以找规律来解答，是不是？对了，同学们都学到了这堂课的精髓。是的，这节课我们 连线段找规律，用画图、列表、计算等策略和方法， 用观察分析、合作探讨，再次领略数形结合、化繁为简的数学思想和方法，把复杂的问题简单化， 去寻找他们之间的规律，再应用这规律去解决问题。希望同学们以后多运用这些数学思想和方法去解决更多的问题， 这节课你对自己的表现满意吗？满意！ 来大声告诉我们满不满意？非常满意，老师也觉得你们表现的太精彩了，我们六年级一班的学生真的是 very。

数学启蒙动画六年级完全平方数的性质有三个完全平方数，分别每举一下，不难发现，它们分别有三个因素，五个因素和三个因素。 显然，它们三的因素个数都是基数个。这还有三个不是平方数的普通数，分别每举一下，不难发现，它们分别有六个、两个和四个因素。 显然，他们仨的因数个数都是偶数个。那是不是所有平方数都有奇数个因数，而不是平方数的就都有偶数个因数呢？嘿嘿，还真是这样， 不难看出，这里每个数都能写成若干对因数相乘的形式，所以他们其实都应该有偶数个因数才对。 但是平方数这里比较特殊，他们都恰好有一对乘积，是两个完全相同的数相乘，那当然只能算一个数了。本来应该是俩数，结果算成一个数，那总数就肯定比偶数少一个，自然就变成奇数个了。 表面的规律很容易看出来，那这到底是啥原因呢？这就要从因数个数定律说起了。你看， 如果一个数是平方数，那他必须能够写成两个完全相同的数相乘，因此，他的知因数也必须得能平均分成两部分。 也就是说，所有知因数都得是偶数个。既然指数都是偶数，那加一之后必然全是奇数相乘所得的因数个数当然也是奇数了。 由此可见，只要是平方数因数个数必然是奇数。那反过来，一个数的因数个数是奇数，他一定就是完全平方数吗？ 答案是肯定的。你看，因数个数就等于指数加一再相乘。如果最后的结果是基数，那所有括号的计算结果也必须都得是基数。这就意味着每个指数加一都等于基数，那指数本身必然就都是偶数。 这么一来，每种知音数都是偶数个，恰好可以平均分成两部分，变成两个相同的数相乘，那这个数自然就是平方数了。以后你再看到一个数的因数，个数为基数，就相当于说它是个平方数。 不难看出，这两种说法完全就是一码事。同样的，如果告诉你一个数不是平方数，那它的因数、个数也就一定是偶数。反过来，如果一个数的因数个数是偶数，那它一定不是平方数， 而这两种说法也是一码事。这俩结论非常重要，你必须牢牢记住。现在问题来了，这个算式的结果是平方数吗？