一次函数专项训练必刷题

一个视频搞定一次函数，整个初中数学所考察的所有考点都在这里，我们今天一次性通关，听完这期一次函数，彻底搞懂，准备好了吗？七个考点，我们现在开讲。 好，那么首先来看一下第一个，也就是图像与系数啊，就是我们给出一个一次函数，那他的图像如图所示。什么叫图像与系数呢？就是你要知道，给出一个一次函数，对吧？他的 k b 啊，对于函数图像有什么影响？嗯，好，现在问题来了，你可以推出 k b 的 正负， 请问另外一个意思是， y 等于 k， x 减 k， 它的图像大致是以下中的哪一个？那首先我们知道，因为图像从左往右是下降的，所以我们知道这个 k 呢，它一定是个负数， 你与 y 轴交于正半轴，因此我们知道呢？哎，你这个 b 一定是正的，但这个题呢？因为你这个 b， 他 根本就不考，他只有什么？只有 k， 对 吧？ k 是 一个负数，所以我们知道你前面这个系数呢，一定是负的， 对吧？那你这个 b 是 负 k， 你 不要觉得是 k 啊，这个负 k， 我 们知道啊， k 是 负的嘛，所以这个负 k 呢，它就是正的 o， 也就是你所谓的依次向的系数负的，所以你整个图像，也就是你如果画出来草图，应该长长什么样子？ 负的，所以从左往右是下降的，对吧？但你与外周交于正半周，与外周交于正半周，从左往右是下降的，所以你会发现选哪一个？ b 不 对吧？ c 不 对吧？ d， 你 从头往右下降，但是你交于怎么样呢？交于负半轴了，对吧？所以都不对。因此这里面你发现符合选项的只有 a 选项，但这个题你会发现，我个人觉得啊， 他对我们的口点挖掘的并不充分。喏，你比方，如果是我的话，我可能会画一个这个，再画一个什么的， 画一个像这种，对吧？嗯，这个是一，这个呢？哎，这是一，这是二，对吧？你觉得哪个对？好像你用这个正负极判断，好像每个都可以，对吧？但你要知道，其实我们这个一函数，你仔细观察一下，如果你令 y 等于零，也是求它与 x 轴的交点，有办法你移过去呢， 我们可以求出来，对吧？你这个移过来，负 k， x 等于负 k x 等于 x 等于，就这个一次函数，它与 x 轴，对吧？交点的横坐标百分百是一，那这里面标出来了，所以这里我们选的是 a 选项。搞定 好，接下来我们再看第二个啊，就是用待定系数法求我们的一次函数。好，那么首先我们给出一个一次函数，嗯， 当 x 在 一到三之间的时候呢？我们的 y 是 二到六之间，那么请问 m 的 值等于多少？我告诉你，这个题呢，分两类同学。一类同学说，亮亮，你看一到三的时候，我的值是二到六，所以也就是当 x 等于一的时候，对吧？ y 一定等于二， 以及当你 x 等于三的时候， y 一定等于六。把这两个点带进去，不就结束了吗？嗯，为什么呢？不能这么想，为什么？因为这里面 m 是 正的，而负的，你知不知道？你不知道，所以它的图像有可能像这个样子，有可能像这个样子，对吧？所以它有两种情况啊。亮亮，我早就知道有两种情况， 两种情况对应着两个一函数，所以你答案就有两个，对吧？所以这个题肯定选 c。 如果你这么想，哎，也是错的，那我们怎么去处理呢？首先分类是对的，因为你这里面不知道 m， 对 吧？我的图像是往上而往下的，所以我们考虑第一种情况，当我们图像呢？嗯， m 大 于零， 你整个图像也就是像这样，对吧？上升的。好，那我们知道你一到三的时候，对应的是二到六，所以我们知道啊，也就是像这个样子，那你这个是一，对吧？ 那你这个是三，现在你对应的是二到六，就是一所对应的外值是二三所对应的外值呢？是六。我画了一个草图啊，所以你会发现这个点的坐标呢，也就是一二吧， 这个点的坐标呢，也就是三六，对不对？好，但你会发现，我们整个一函数里面，它只有一个未知的参数 m， 所以 你只需要一个点坐标就可以把 m 求出来。比方说我们把一二带进去， 你把一二带进去，横坐标一，也是 m 减四， m 等于几呢？等于纵坐标二，对吧？等于纵坐标二，所以你求出来 m 等于几，也就是这边呢，是负三 m 负三， m 等于二，所以求出来 m 等于几呢？你这个求出来， m 等于负的三分之二，对吧？ 好，接下来你把这个点带进去，按理说你 m 应该也等于负三分之二，对吧？好，接下来你把三带进去， 三 m 减四， m 等于几？等于纵坐标等于六，也就是负 m， 对 吧？等于六，所以我们觉得 m 等于几？ o m 等于负六，那就说明什么？说明也就是把这个点带进去呢？ m 等于这么多，把这个点带进去呢？ m 等于负六，那你说你这个一乘以一 y 等于二，当 x 三 y 等于六，你觉得可能吗？ 绝对不可能，对吧？所以第一种情况他是不符合提议的，产生矛盾了，所以接下来我们考虑第二种情况也就怎么样呢？ m， 小 林，我们这个图像呢？哎，从左往右下降的好，在一到三的时候，你看看一到三，那很明显，一所对应的就更大了，对吧？你这个三所对应的反而更小一些。 一所对应，你看看，在整个方位里面，我是二到六的，你说明这个点，他的纵坐标是二，以及你这个点的纵坐标呢，是六，对吧？ 嗯，所以也就是你发这个点呢，他是一六，而且你这个点呢，是三二，是不是？那么接下来你会发现，喏，把这个点带进去，也就是 m 呢，减去四 m 等于几？等于六，对吧？ 你这个等于负三 m 负三 m 等于六，所以我们知道，你求出来， m 等于几？ m 等于负二， 那如果你还经过这个点，这个点带进去，你除了 m， 应该也等于负二，对吧？好，你把三二带进去试一下， 三二带进去，也就是三 m 减去了四 m 等于二，你这个求出来，负 m， 负 m 等于二，所以你算出来怎么样？ m 也等于负二，对吧？行不行？行，因此我们知道，也就是 m 呢，它只有一个值，也就是负二。所以这个题我们选择 b 选项搞定，要分类，但是我们要排除掉其中的一种。 那么有些同学呢，一直傻傻分不清楚，函数到底该怎么拼啊？其实所有的函数呢，大家只需要记住八个字，叫做左加右减，对吧？以及呢？我们上加下减，但你要注意啊，就是你这个左右加减， 它是在 x 上完成的，而我们这个上加下减呢，它是在我们表达式 上面完成的。好，那么接下来买什么意思呢？举个例子，比方说，我们有一个函数，也就是 y 等于二 x， 你 干嘛？你往右移动两个单位，对吧？我们说左加右减，所以你往右移动，你就应该怎么样呢？减二，我在哪减二呢？ 在 x 上面减二，你 x 减二，你这个 x 减二之后， x 就 会变成什么？变成 x 减二， 理解了没有哦，所以整个函数平移之后，它就会变成 y 等于二倍的 x 变成 x 减二了。好，接下来往上移动四个单位，我们说上加下减吧，你往上，所以我们就加，对吧？加式在哪加呢？在表达式上面 往上移动四个单位，所以在表达式上直接加四搞定。那最终你化简可得， y 等于二， x 减四再加四，所以等于几呢？等于二 x， y 等于二 x， 选哪一个啊？因此你会发现，选 a 搞定。 这个题考的就是函数与不等式，它没有任何的计算量，但是你需要去理解，你不理解，你可能都不知道答案怎么来的。好，给出一个一次函数，给出一个一次函数两个。哎，我就把它标一下，好不好？比方说这个一次函数呢，我就把它标成红色的 y 等于 k， x 加 b， 而剩下这一条呢，我就把它标成蓝色的，也就是 y 等于 mx 加上 n， 就 像这种形式。好，就像这样好，其实你会发现，在图形里面，我们可以看出来，二者会有个焦点，而且这个焦点的横坐标呢？是负三。好，请问 那么这个不等式它的解集是什么？那有没有同学说，亮亮，我要把这个，对吧？把这个直线表达式求出来，把这个直线表达式求出来，带进去。哎，我们就构造一个不等式，把这个不等式解出来就可以，如果你这么做就太麻烦，而且很多题目你是求不出表达式了，那该怎么办呢？ 其实你有办法， k x 加 b， 不 就我的外值吗，对吧？而我们右边这个 mx 加 n 呢， 它不就是这个蓝色一次函数它的表达式吗？哦，也就是这两个函数，对吧？红色函数小于蓝色函数。大家记住啊，像这种题，你只要记住一句话，叫做焦点左右望，谁大谁在上，你会发现这两个一次函数它会产生一个焦点吧？ 哦，焦点的左右就是大家大小的分界点。好，那你会发现红色小于蓝色， 所以红色应该在下面，蓝色图像应该在上方，就在焦点的哪一边，我们整个蓝色在红色图像的上方呢？ 哦，你会发现在焦点的左边，你这个蓝色在红色的下方，那不行，在焦点的右边呢。哦，你会发现， 喏，我的蓝色是不是在上，红色是不是在下，蓝色在红色的上方，所以这一边可以，对吧？所以焦点左右望，哪边满足？右边满足，焦点的右边满足。所以呢，我们的取值范围也就是怎么样？ x 大 于等于注呀，这里有等于号，对吧？就两个一次函数，它们可以怎么样呢？相等，所以你这个焦点满足的大于等于负三。搞定 好，接下来我们处理一次函数里面的最值问题，那首先给出一个坐标系，有一个菱形， a、 b、 c、 d 菱形，我们知道四边相等，对边平行。好，现在 a、 b 两点呢？它都在 x 轴上面， d 点在外轴上面啊， d 点在这， 嗯，点 c 呢？在第一项键，我们看得出来。好，现在我告诉你 a、 d 的 表达式等于这么多，那想想 一条直线的表达式告诉我们之后，我们可以求什么呢？首先可以求它以 y 轴的焦点，不就是你后面这个东西吗？对吧？所以 d 点坐标我们知道是零四的，那怎么求 a 点坐标呢？其实很简单，你令整个函数，对吧？ y 等于零， 解这个方程就可以了，所以我们知道也就是三分之四， x 加上四等于负四，所以我们求着 x 等于几等于负三， 也就是我们知道 a 点坐标呢，一定多少？一定是负三零，对吧？我写这里啊，负三零，其实也就是我们知道你这个边是三了，以及我们知道这个边等于几呢，这个边等于四，对吧？就 d 的 总坐标， 所以通过勾股定律，你可以求出来整个边是不是五呀？哎，我们就写在旁边好不好？哎，我们知道零时的边上这个边是五，可不可以？好，那么接下来我们继续往后了。好， 现在 p 是 b 边上一个洞点， p 点在整个对角线上动来动去的。哎，菱形有什么特点啊？好，现在那么 ap 加 o p， 它的最小值 啊，就是 p 点是个洞点，连接 o 点，连接 a 点，对吧？求这两条线段制合的最小值。好，比方说我把这一条边呢，把它标做红边。好，剩下这个 p o 呢，我就把它标做一条蓝边，比方说你是个蓝边， 也是，接下来我们要干嘛？要使得红边加蓝边，两边之隔最小，那很明显它就是一个将军一马问题嘛，我们要么做 a 关于 b、 d 对 称点，要么做 o 关于 b、 d 对 称点，都可以，但是哪个更简单呢？我们知道 菱形，它是个轴对称图形，对吧？ a 关于 b、 d 的 对称点就是 c 点哎，所以你会发现，喏，你是对称的，那么根据对称性，我们知道连接 p、 c， 那 么这两条线段一定相等， 所以也就是我只要舍得这一条红边，加上这个蓝边，两边这个最小就可以。那如何最小呢？其实你要知道，屁是一个动点嘛，他就相对从 c 点出发，走走走走，走到 b 地边上再走走走走走，回到 o 点，对吧？ 从 c 点出发到达 o 点，但是你要经过 b、 d， 两点之间线段最短，所以你直接连接 o、 c 是 不就可以了，对吧？你要经过 b、 d 边上的 p 点，那不就顺手的事吗？所以你会发现，最短路径呢，就是线段 o、 c 的 长度。那问题呢， o、 c 怎么求呢？ 非常简单，你要注意啊，因为你这个角是直角吗？坐标系哎，你外轴垂直于 ab， 你 这个外轴一定就垂直 dc 了，所以也就是这个角一定是直角啊。那最终你会发现，喏，在 c、 d、 o 这个大大大大的直角三角形中，一个直角边五， 剩下一个直角边呢？这个边其实我们刚才标出来了，它是 d 的 中坐标，也就是四，对吧。所以你会发现，通过勾股定律，你的平方 加上怎么样呢？我的平方在开方吧，所以我们求出来就是我们整个 o、 c 的 长度，对吧？选哪一个？根号四十一所，我们选 a 搞定。 其实我们整个一次函数里面的应用题非常多，但是我拿出非常具有代表性的一个调用问题。好， 现在我们将甲、乙两厂的生产设备运往 ab 两地啊，把甲厂乙厂有些设备呢运到这里，这里，对吧？哎，搞事，现在甲厂有六十台设备，乙厂有四十台。好，写出来。就甲厂呢，总共有六十台，你这个乙厂呢？总共有四十台，对吧？加起来一百台。 那 a、 b 需要多少呢？你会发现我们这个 a、 d 需要七十台。哎呦，我需要七十台哎，你都得给我对吧？好， b、 d 需要三十台。那你想想， a、 d 和 b、 d 总共加在一起，我需要一百台吗？ 我们总共有一百台，而你刚好需要的也是一百台，也就意味着假场和遗场所有的设备要一台不剩的全部运出去，对吧？好，现在每台设备的运输费用呢？如表所示，什么意思呢？就是甲运到 a， 每台呢，要七单位，是什么？七百元？甲运到 b 呢啊，每台需要十个单位。乙运到 a 呢，需要十个百元，对吧？ 以运一台设备去 b、 d 呢，要十五个百元啊，就这个意思。好，现在是从假场运往 a、 d 的 设备有 x 台， x 为整数，你不说我也知道，对吧？好，就是假运往 a、 d， 你 运了怎么样？运了 x 台对吧？好，那我想问一下，请问其他的我们能表示吗？百分百可以表示出来，你是 x 台吗？我们刚才说了， 我们所有的设备你要一台不留的全部运出去，对吧？我总共六十台，我往 a、 d 用了 x 台，剩下是不是都得用往 b、 d 去啊？用六十减 x 吧，所以你用往 b、 d 的， 甲用往 b 的 一定是六十减 x， 有 这么多台，对吧？所以你会发现哦，甲用往 b、 d 不 就出来吗？ 六十减 x 台，好问题呢，你用 a、 d 的 呢？其实这里面我们都会表示，为什么呢？因为 a、 d 需要七十台嘛，你给我送来了 x 台，所以剩下你需要给我补齐多少台？ 七十减 x， 嗯，就是这个意思啊，它要七十减 x， 需要这么多台，明白了吧？好，接下来 那么这块怎么表示呢？你有两种方法，第一个 b、 d 总共需要三十，你这个乙需要送多少呢？你用三十减去它，哎，你会把三十减去六十减 x， 我 们求出来等于多少？ 等于 x 减三十，这是第一种方法。第二种方法干嘛呢？我乙总共有四十台，我往 a、 d 已经用了这么多，所以我剩下是不都得用往 b、 d 啊？一台不留嘛，所以你用它减去它，你可以试一下。哎，你用四十减去你，对吧？ 七十减 x， 你 求出来也是 x 减三十 o， 不 管用哪一种方法，你需要的是怎么样？以往 b 运这么多台，所以你想想，以往 a、 d 运的呢？以往 a、 d 运的也就是七十减 x， 以往 b 运的呢？ 以往币运的怎么样？也就是 x 减三十。好，表示完毕之后呢？接下来让我们设计一种调运的运输方案，要使得总运费最低，并求出最低费用是多少。行，我们就利用这个费用呢，我们另他是 y 好 不好？那这个费用怎么表示？ 你假用往 a、 d 总共用了 x 台，每台是七个单位，对吧？哎，你就说七个，你说真讨厌。七百元也是怎么样呢？七 x 加上你用往 b d 呢？哎，每台多少？十个百元，总有这么多台，所以用十乘以它，说白了就是加了十倍的 六十减 x， 加十倍的六十减 x， 让我们再加上什么呢？一样的喏， e 往 a 运了这么多台，每台需要这么多钱，我们乘一下就是整个代数式吧，加上十倍的七十减去 x， 那 最后呢？ 以往币呢？运了这么多台，每台需要这么多钱，所以乘一下就是这个代数式，所以我们加上什么呢？加上十五倍的呢？也就是 x 减三十。好，所以最终我们需要做的干嘛？就是把整个式子，把它给求出来，我们来试一下啊， 等于七 x 加上六百，减去十倍的 x 加上七百，然后减去十 x， 然后怎么样呢？加上十五 x 再减去四百五，等于这么多。 好，所以最终我们求出来等于多少呢？来，我们算一下啊，七 x 减十 x 负三 x 再减十 x 负十三 x 加十五 x 呢？ o 总算是正的二 x， 对 吧？好，接下来 六百加七百，一千三，一千三减去，你呢算你最终求出来等于多少？八百五，对吧？哎，最终答案呢，比较简洁，也就是我们最终的费用是二 x 加上八百五。好，那问题来了， 你要去求它的最大最小值，你是不是得知道 x 取的范围才可以啊，对吧？你不然怎么求费用呢？ x 等于一百一万，一千负一负一百你都不知道，对吧？那范围怎么求呢？其实这种钓鱼问题，范围非常好求干嘛？你只要使的夹往 a、 d、 b、 d， 以往 a、 d、 b d 你 调用的这所有的台数的数量大于等于零就可以了，对吧？比方说 x 大 于等于零，哎，你要舍得这个东西， x 大 于等于零， 其次呢，你要保证这个东西大于等于零，对吧？也就是六十减 x 大 于等于零，我们就说 x 呢，小等于六十，其次，你这个东西你调用的不能是负数吧， 你最起码得大于等于零，对不对？你大于等于零，七十减 x 大 于等于零，所以 x 怎么样呢？ x 小 等于七十，还有什么你，对吧啊？ x 减三十，你得大于等于零， x 呢？得大于等于三十，所以也就是你会发现 no 同大取大，所以取值范围多少？也就是三十。小等于 x 同小取小，所以呢，小于等于六十。好，这个就是我们 x 的 取值范围。那你要知道我们整个 e 函数 k 是 大于零的嘛，所以 y 随着 x 的 增大而增大， 我要费用最低送你 x 越小越好。 x 小 到什么程度呢？嗯，最小三十嘛，对吧？所以也就是当 x 等于三十的时候，对不对？当 x 等于三十也就怎么样呢？他让我们设计方案 这个班我们直接说啊，就夹往 a 里，对吧？你这个是三十 x 三十嘛？你这是三十 x 三十，你这是四十， x 等于三十，你这是零，明白没有？这么去调运，哎，一定是最省钱的。呃，最少的费用多少？把三十带进去， 二乘以三十呢？六十加上八百五，我们求出来等于九百一十，单位怎么样？百元，你是百元，我也答百元啊，好吧。哎，开个玩笑了，就是我们平常这个答题的时候你要写啊，没有这种对吧？哎，九万一千元搞定。 其实像这种题，我个人觉得比较简单，无非就是把我们熟悉的东西呢放在里面。我们首先来看一下前面小问好，我们给出一个一次函数，它的图像呢，分别交 x 轴、 y 轴于 ab 两点啊，交 a 点、 b 点。其实通过这个一次函数，我们可以求出来，就像上一题一样吧， 我们知道 b 点坐标呢，是零三，以及呢？另外等于我们求出 a 点坐标呢，也就是负四零，我们把它标注出来。好，问题来了， 点 c 是 a 点，关于 y 轴的对称点，所以我们知道这个点的坐标呢，也就是四零，好 过 c 点做 y 轴的平行线啊，其实说白就是做 x 轴的垂线，对吧？嗯，交于 d 点，所以我们知道 d 点横坐标也是四，而 d 点在整个直线就是在它上面横坐标四，把四带进去， 你是三再加三的，所以我们知道 d 点坐标是四六的， p 是 整个射线 c d 上一个动点。注意啊， 射线 c d 就 意味着我可以在线段 c d 上，我可以跑到线段 c、 d 的 外面去，对吧？但不能在这啊，在这呢就叫直线 c d 了。好，第一个求地点坐标，我们已经搞定了。 好，接下来我们看第二问啊，就是把整个三角形 a、 d， c 呢？沿着我们 a p 翻一下，对吧？啊？把它翻过去干嘛？使得 c 点 的对应点 c 撇啊？你这个对应点 c 恰好落在直线 a、 b 上，让我们求这个点 p 的 坐标。其实这个题呢，你用等面积法可以，你用勾股定点呢，也可以，比方说，通过我们前面这个图，我们知道整个底边是几， 整个底边是八，对吧？哎，整个底边的长度一定是八，而且我们知道，那通过地点坐标，咱们知道这个边的长度是不一定是六，没问题吧？所以我们知道整个斜边一定是十八六，八十吗？你是把这个三角形，对吧？ 哎，你把这个三角形，你把它翻过去，你这个边是八，所以我们知道这个边长度一定也是八，并且你这个角九十度，所以这个角也是直角，说白了他也是个直角三角形。 与此同时，我们知道你整个斜边是十，拿走八个单位，所以这个边是二。好，你让我求 p 点坐标，其实说白了， 它的横坐标几？ c 的 横坐标是四嘛？所以整条直线横坐标都是四，所以我们知道 p 的 横坐标一定是四，我只要求纵坐标 c p 就 可以了，对吧？好，那么此时我们大胆引入未知数，比方说另这个边是 x， 你把它翻过去了，你这个边 x， 所以 我这个边也是 x， 你 整条线段长度是六，所以我们知道这个边六减 x。 最终你会发现，在这个直角三角形中，用勾股定律，你的平方， 也就是 x 平方加上你的平方，对吧？一定等于什么？等于它的平方，也就是六减 x 括起来的平方。那最终呢，我们可以求出 x 方加上四等于三十，六减十二， x 加上 x 方，对吧？ 好，左右两边我们哐当，哐当也就是十二， x 呢，等于三十二，所以我们求了 x 等于几。除以十二， 也就是除以四，三分之八，哦，也就是 c p 的 长度呢？三分之八，所以我的纵坐标呢，也就是三分之八。 p 点坐标搞定。 好，我们看第三个，如果直线 o p 啊，就是连接 o 点跟 p 点，那 p 点在上面动来动去，比如 p 点，你就在这吧，可不可以？好，你连接一下 o p， 哎，延长，对吧？哎，你会发现二指头会产生一个焦点。好，焦点是我们的 q 点在哪？不知道。 好，当然它呢，不能跟 d 点重合好，是否存在 p 点，它有什么要求呢？你这个 p 点使得 c p q， 哪个 c p q？ 哦，干嘛也是我连一下对吧？我把这个擦掉，哎，我连一下 是吧？ c p q， 这个三角形面积等于二倍的 d p q 等于这个三角形面积的二倍。有没有这样的 p 呢？如果有，求 q 点坐标，如果没有，请说明理由。好，你其实你想想啊，就是你有发现这个三角形跟这个三角形 它有什么联系呢？它的高是公共的，你过 q 点往这边做垂线好不好？比方这个是 h， 哎，把这个 b 擦掉啊，哎，这个 p 在 这里，明白没有？哎， p 点在这呢，连接 o p， 焦点 q 点。好，你会发现我们这个三角形能看到吗？它的底边是 dp， 它的高是什么呢？ h， 而我们这个钝角三角形，一样的底边呢，是 c p， 高呢？是 h， 所以 你有发现这两个三角形它的高是公共的，相等的，重复的，对吧？所以面积比呢，一定等于底边之比，底边之比，我的面积是你的二倍，说白了，也就是我们知道底边一定是你的二倍， 对吧？就是 c p 等于二倍的 d p， 而大家不要忘了啊，所以你发现面积关系，其实我们可以怎么样呢？把它变成我们的， 哎，线段的比例关系，对吧？哎，你刚才屁点在这，大家不要忘了 d 点坐标，它是四六的，四六就意味着整条线段是六，你把它分成二比一的两部分，所以我们知道整个长度一定是四，明白了没有？ 哎，也就是你这个屁点坐标呢？横坐标是四，对吧？纵坐标呢？还是四？好，那接下来你让我求 q 点坐标， q 点咋求？所以你看把图形，把图形补全，对吧？ q 点差不多在这， 那经过 o 点，经过 p 点，所以它是个正比的函数，对吧？那我想问一下，整个正比的函数大家可以求出来吗？ 那四四，所以我们知道它是 y 等于 x， 没问题吧？求正比的函数，你只需要一个点，四四代均没有问题。好，而我们知道这条直线的表达是多少呢？ 那 y 等于四分之三， x 加上三，所以我们知道知道 p 点坐标， 求出正比的函数，那求二者的焦点。剩下我觉得简单了吧，就是 x 呢，等于四分之三， x 加上三移过去四分之一， x 呢，等于三，所以 x 等于几？ x 等于十二，就是 q 点这个焦点，对吧？ 哎， q 点焦点的横坐标是十二，纵坐标呢？你可以把十二带到这里面去，你可以把十二呢带到这里面去。哎，带这个更快，对吧？所以我们求出 q 点坐标呢，十二，十二。好，那接下来问题来了，你要知道 q 点怎么样？ 它在整个射线 c、 d 上运动，它除了在这条线段上呢，它可以跑到外面去，对吧？那比方说呢？哎，差不多就长这个样子吧，可不可以好？连接 o p， 对 吧？连接 o p 怎么样？它这个与直线 a、 b 的 交点呢？这是我们的 q 点， q 点在这 好干嘛呢？哎，我们连接一下， c p q 是 哪个？ c p q 不 就是这个三角形吗？它的面积等于什么？等于 d p q， d p q 啊，就这个三角形吧，就是我这个大三角形，是你这个小三角形面积的二倍，一样道理呢？你会发现，你过 q 点做垂线，对吧？ 你会发现这个三角形，你把它当做底，它的高是不是这条垂线段一样的？你这个三角形呢？你把 d p 当做底，我的高是不是也是这个垂线段？所以整个大三角形的高是这么多， 你这个钝角三角形，这个小三角形高也这么多。两个三角形高是重复的，相等的，完全一样的，所以它们的面积比其实就等于什么呢？就等于它的底边这里，所以就是整个大三角形，它的底边 c p 是你这个小三角形，对吧？哎，它的底边 d p 的 二倍，也就是我是你的二倍。说白了， d 点就是整个 p c 的 中点， d 点坐标，大家不要忘了啊，是四六的好不好？所以你要知道整个是六嘛，所以这个也是六，也就是它的坐标是四十二，那一样道理。 它是一个正比的函数，经过圆点，经过 p 点，所以我们可以非常快速求出来，它是 y 等于三 x， 对 吧？横坐标四带进去，纵坐标是不是十二？ 好，接下来呢？和这条直线产生交点，对吧？这个直线我们说的是 y 等于四分之三 x 加上三的，所以接下来 求这个正比的函数和这个一次函数二者的交点。所以构造方程也就三 x 呢，等于四分之三 x 再加上三，所以把这个移过去，嗯，四分之九倍的 x 呢？等于三，所以我们可以求出 x 等于几， x 等于 三分之四。 o， 也就是干嘛？也就是你这个焦点 q 点，对吧？我们求出来焦点，哎，就是我们第二个 q， 它的横坐标呢？是三分之四的，那纵坐标呢？你可以把三分之四带到这里面去，你可以把三分之四带到这里面去，你会发现我们的纵坐标等于四。 搞定，也就是最终我们满足条件的 q 点呢，就这两个。好了，一次函数的核心考点就这些，哪块不熟，倒回去再看一遍。亮亮也给大家准备好了一次函数的练习题，赶紧去领取练习起来吧，跟着亮亮无脑学习。

其实就变成了 y 等于 k， 函数不能是含有 x 的。 在分母上示范比例函数淘汰第三题， x 的 次数是二，这是二次函数淘汰第四题， y 等于负零点五， x 减 e， k 和 b 都是常数，写 k 不 为零，是一次函数。正 确第五题遇到有括号的鲜花间展开得到 y 等于二， x 加六，完全符合定义，是一次函数。结论就是一次函数有一和四和五，正比例函数只有一。最后看一道高频考点，函数求解题一之外等 n 平方四方再加三十一次函数，求 n 的 值 描出来。第三步，拿出尺子 过来的我们在画面上准备了一根白色 零点，经过二四象限，小于零点下经过二三四象限，脑子里有着 不带进去算算出来 y 等于零点五一。 我题目说的是正比例还数，那就只有一个未知 数，用加减消元法两个四字上下。

挑战一个视频，带你彻底学会一次函数的所有必考题型，让你考试一分不丢。 ok， 我 们直接跟着老师来看。先来看我们的第一个题型，关于正比例函数的一个定义，你 像第一题的话，他就是典型的根据定义来求参，我们这个时候来读一下，他说这个函数呢，是正比例函数，那么我们如何去限制呢？正比例函数的话， 它前面这个系数，你看 x 前面这个系数需要满足 m 减二不等于零呀，对不对？这是第一个需要限制的，因为如果它为零的话，那这个 x 含有 x 这一项不就没有了吗？它就不是，你看它就不含有 x 了，就不能叫做正比例函数了哈， 对吧？然后它这里这里的指数部分的话，我们需要让 m 减一的绝对值，让它是等于一的嘛，因为它是正比例函数，也就是一次函数嘛，对不对？一次函数的一种特殊情况，然后它又加了个 n 减三，那我们肯定要限制 n 减三是等于零嘛，对吧？那我们把这三个条件依次来求解一下， 这个得到 m 不 等于二，这个得到呢？ m 减一应该是等于正负一的嘛，对吧？所以 m 就 等于一加减一，那对应的 m 要么等于二， m 要么等于零了呗。这两个一连立， 因为这里 m 不 等于二嘛，所以我们就可以推出 m 是 等于零的，然后这里 n 减三等于零，所以 n 等于三。那么这道题答案选什么？大家可以在弹幕里打一下这道题最终我们应该选什么呢？ m 加 n 的 值，那就是零加三了呀，很明显就等于三嘛，答案就是我们的四 d 选项了呗，对不对？这是第一题，然后再往下看，再来看第二题，它 说如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 a、 b， c， o 的 边， o， c 是 在 x 轴上的，现在 a、 b 等于四， 那我们立马利用平行四边形的性质，我是不是可以得到 o c 也等于四呢？对吧？所以说 c 点的坐标是不是四，逗号零呢？对吧？然后他现在将这个平行四边形向上平移了 m 个单位，大家注意哈，图形的平移其实就是点的平移，所以我们也就可以看作其实就是这个点 c 点 c 向上平移了 m 个单位，对不对？这个是我们可以推出来的，它告诉我们点 c 的 对应点恰好落在这个直线上， 那我们先把它平移后，对应的这个点 c 撇，我们来表示一下，那这个 c 撇呢？横坐标不变嘛，因为它是往上走，往上平移，所以纵坐标应该是加 m， 那 零加 m 的 话就是 m 了呗，所以说平移后的这个点 c 撇是四 m， 现在这个点在这个直线上，大家一定要注意哈，点在线上， 或者说点在函数上，咱们对应的解析思路非常简单，就是直接代入就可以了，因为你在上面呀，所以直接代入不就行了吗？对吧？我们代入到这个一次函数里面，可以得到二分之一乘四，再加个三就等于 m 吗？也就是二加三等于 m， 所以 m 是 等于五的，这是我们的第二题哈。 然后我们继续往下看，再来看第三个题型，关于我们的图像共存问题，这个题型也非常常考，我们来给大家讲一下这这一类题型对于你的解析思路非常简单，就是我们固定一个，给大家来写一下哈，固定一个， 然后我们再看另外一个是否成立，看另外一个是否成立，这是我们对应的解析思路。比如说这道题，他告诉你依次函数这个和依次函数这个在同一个平面直角坐标系中的图像可能是哪个？那这个时候呢？咱们就固定一个，比如说我把这个固定下来， 我假设什么呢？我假设它是 y 等于 k， x 加 b 啊，对不对？如果它是 y 等于 k， x 加 b 的 话，那么对应的这个时候 k 是 大于零的，那这个 b 的 话，因为交于负半轴，所以 b 是 小于零的，对不对？那这个时候我们再来验证一下另外一个是否成立哈， 那这个就是 y 等于 b， x 减 k 了吗？我们验证一下对不对？这个时候 b x 小 于零，哎，很明显它是单调递减的嘛，对不对？因为你看这个时候它的系数这里对应的就是 b 了嘛， 然后跟 y 轴交给了负 k， 我 们我们刚说了，它这个 k 是 大于零的，那么负 k 应该是小于零，所以它应该交于负半轴，很明显很明显这个图它画的没有问题啊，所以答案直接选的就是 a 选项了。 有些同学可能会说，哎，那我假设这个，你看这条线是 y 等于 b， x 减 k， 行不行呢？其实也是可以的呀，你可以自己去试一下哈，都是一样的。然后我们再来看一下 b、 c、 d 为什么错了？还是一样的？我们假设这条线是 y 等于 k， x 加 b， 那 我可以推出来 k 是 大于零的， b 也是大于零的，因为它交于正半轴了。 那这个时候你再来看对应的这个，如果说我们要画这条线的话，那这里它前面的系数是 b， b 是 大于零的，所以它应该单调递增，但是很明显这里是单调递减的，所以说这里是不对的哈。 再来看 c 选项，同样的，我们假设它成立，那对应的它其实跟我们的 a 选项是一样的呀。你看 a 和 c 是 同一类呀，它都是 k 大 于零，然后 b 小 于零嘛，对不对？所以说对应那个图像肯定是这样画嘛，单调递减，并且交于外轴的负半轴哈。 然后再来看我们的四 d 四 d 的 话，这里我们比如说假设这个，你看假设这个是 y 等于 k， x 加 b 的 话，那 这个时候 k 小 于零， b 也小于零，然后你再画这个 y 等于 b， x 减 k 的 话，那这个时候负 k 应该是大于零嘛？因为 k 小 于零，那负 k 一定大于零啊，对吧？所以说它怎么也得交于正半轴嘛，那这个很明显是不对的哈，所以四 d 也就排除了。 这就是咱们讲的图像共存问题，他对应的解析思路非常简单哈，大家记住就可以了。 ok， 我 们继续往下看。再来看第四个题型，关于图像和坐标轴的一个焦点问题。 像这种题型是非常常考的，比如说这道题，他告诉我们如图，已知直线 y 等于 k， x 加 b 和这个直线，你看这两条直线相交于了一个点， 那咱们对应的解析思路非常简单，我甚至不需要看他后面要求什么，我应该立马先把这两个函数求解出来嘛，对吧？ 它相交于这个点了一个直线，你看一个函数是已知的，那肯定是要把这个点 a 带进去，我把这里面的参数 a 要求解出来呀，对不对？ 咱们这里带带一下哈。这个 y 等于一，那就是一等于负二分之一 x 了呗。那 x 肯定等于负二呀，对不对？所以说这里对应的是负二逗号一，这个是我们的 a 点，那现在 a 点有了，那你再把负二逗号一再带入到这个直线里面， 是不是可以得到一个方程呢？对吧？然后这个直线 y 等于 k， x 加 b， 它除了经过点 a 的 话，它还交 x 轴于点 b 负三零。 那你看这个时候有一个 a 点负二逗号一，有一个 b 点负三，逗号零，你把这两个点全部带入到这个直线里面，是不是就可以把 k 和 b 求解出来了呢？是不是就能求出这个直线的解析式了呢？对吧？所以说你看它第一小问，就是让你去求直线 bc 的 表达式，大家自己直接去带一下就行了哈。 我们最终求解出来它的表达式呢是 y 等于 x 加三，这个计算大家自己下来去算哈。然后我们再来看第二小问，他让我们去求三角形 a、 o、 c 的 面积， 这个也很简单嘛， a 点的坐标是负二逗号一， c 点的坐标的话，你看 y 等于 x 加三，当 x 等于零的时候， y 是 等于三的呀，所以 o、 c 是 等于三的，对吧？然后点 a 到底边的距离是多少呢？那就是 a 它对应的横坐标的绝对值呀， 它的横坐标是负二，那么这段距离就是二了呗。所以面积不就是二分之一乘三再乘二嘛，就等于三呀，把面积也求解出来啦，对吧？ 然后再来看第三小问，他说如果点 p 是 直线 bc 上的一个动点的话，我们来给大家画一下哈，现在呢，点 p 是 一个动点，它是在这个直线 bc 上的，注意 bc 是 一条直线，这个点 p 在 这个上面， 它说如果三角形 p o、 b 的 面积，你看这个三角形的面积等于二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积， 这个时候 a 是 定点， o 是 定点， c 也是定点，所以三角形 a o、 c 的 面积是固定的呀，并且我们在第二问已经求解出来了呀，它面积是等于三的嘛。所以说第三题其实就在告诉你，现在你需要满足三角形 p o、 b 的 面积就等于二倍的 三角形 a o、 c 的 面积，也就是乘个三嘛，然后二乘三等于六，这是我们需要满足的条件。那大家来想，在三角形 p b 啊， p o b 里面， 那很明显我们肯定要让 b o 当个底边嘛，对吧？因为 b o 的 长度是已知的呀，你 p 点一直在动，那你这个 p b 和这个 p o 一 直在变化，肯定不能让 p b 和 p o 当底边了嘛，所以说我们一定是让 这个 b o 当底边，然后呢，过点 p 向下做垂线，对应的这段应该是它的高呀，对吧？那我们这个时候发现了，它的底边是固定不变的，它就是等于三的，因为 b 是 负三，代号零嘛，所以说 b o 的 长度是等于三， 然后它现在面积等于六的话，那就是二分之一乘底边，再乘这个高等于六，那对应的我们来计算一下三和六，消一下，那 h 很 明显等于四了吗？ h 等于四的话，其实对应的不就是屁点的，你看这个是它的纵坐标呀，所以它的纵坐标应该等于四，大家能理解吗？ 然后这里有一个易错点，就是大家可以来打一下，你觉得第三小问它应该有几个解呢？它有几种情况呢？大家可以在弹幕里打一下，这里有一个易错点哈，因为它是在 b c 上面去动的，所以说它也有可能是在这个，呃，在这个 x 轴的下方呀，比如说 p 点在这里， 那这个时候我是不是可以同，我是不是可以同样满足让它的高这一段是四呢？对吧？那这个时候对应 p 点的纵坐标就是负四了呀，大家能理解吗？ 所以说这道题一定是有两种情况的，一个是纵坐标为四，一个是纵坐标为负四，然后我们把这两个同步带到这个表达式里面，那对应的就是 x 加三等于四，以及 x 加三等于负四了嘛？我们来求解一下，这个就是 x 等于一， 这个呢就是 x 等于负七，所以对应的点呢，要么是一逗号四，要么是负七，逗号负四。所以说这道题最终的结果是有两个的，这是我们对应的第四个题型，它的一个解析思路哈，大家可以来看一下。 在咱们一次函数这块的话，它有一个非常常考的题型，就是跟面积进行结合，你看跟坐标轴去进行相交， b 点是焦点， c 点也是焦点，然后去研究面积啊之类的。然后对于这一类题型，咱们的解析思路呢，就是你取一个比较好计算的底边，然后再去求它的高就可以了。 所以说我们讲完这些题型以后，你会发现哈，不管是咱们刚才讲的第三题，他有对应的解析思路，还是咱们现在讲的第四个题型，他也有对应的解析思路。你会发现数学每一道题的本质其实都是题型，而只要你是题型，那么你背后就一定有对应的解析思路。 所以数学的话，其实本质上就是你只要提前学过解析思路，那么你做每一道题都应该能做出来。但是事实是，咱们很多同学你明明也刷了很多道题了，但是你成绩就是提不起来， 或者说某一道题你错了，然后你看完答案呢？你也会了，但是你下次换个形式的话，你还是做不出来，你的成绩的话就是怎么都提不上去。大家看一下你有没有这种情况，你有这种情况的话，你可以在弹幕里打一个真实， 其实咱们所有的这些情况，本质都是因为你学习方法不对，以及没有老师去给你讲不同题型对应的答题思路。没有人告诉你数学题怎么去做，那你怎么可能靠自己的脑思想出来吗？对吧？咱们又不是学霸，所以如果大家存在这些问题的话，那么你可以通过这里找到我 学校老师帮你提不了的分，小曼老师来帮你提，你加到老师以后可以把你的成绩发给我，老师可以来帮你分析一下现在到底是什么卡着你提不了分，并且老师会教会你，你现在应该怎么去做，才能快速提个三四十分哈， 老师会把不同题型对应的解析思路全部告诉你，到底应该怎么去学哈，这是我们的第四个题型，那我们就话不多说，继续往下看了。 再来看我们第五个题型，关于依次函数图像的对称问题，这个也是非常常考的哈，它也是一个比较重要的技术知识点，他说在平面直角坐标系中，如果这个直线 y 等于 k， x 减一和这个直线 y 等于负四， x 加 b。 关于 x 轴对称，问，我们依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像不经过哪个象限， 那这个时候呢？它很明显研究的是对称问题嘛。那我们来给大家讲一下基础知识点哈，对于 y 等于 k， x 加 b， 对 于一个函数， 如果说它关于 x 轴对称的话，那么得到的新函数应该是什么样子的呢？这里有一个口诀叫做关于谁对称谁不变，关于圆点对称的话，全都变， 那现在关于 x 轴对称，所以说 x 不 变，那么对应的另外一个就要变了，也就是这个 y 嘛，对吧？因为它现在不就是一个关于 x 和 y 的 一个函数嘛，那你 x 不 变的话，肯定是另外一个变了呗。所以关于 x 轴对称，那么 x 不 变，所以变的就是 y， 它就变成相反数了。 这大家需要注意的哈，就是关于谁对称谁不变，然后另外一个变成相反数，那负 y 呢？就等于 k， x 加 b， 是我们关于 x 轴对称，那如果说我现在是关于 y 轴对称呢？那 y 就 不变了，然后 x 呢？变成相反数，那不就是负 k， x 加 b 吗？对吧？那如果说我现在是关于圆点对称呢，那就全都变， x 和 y 全部变成相反数，这是它对应的 关于原点对称以后的一个函数哈，那我们现在知道这些基础知识以后，我们来看，他说这个直线和这个直线关于 x 轴对称，那我们直接来写，如果是直线 y 等于 k， x 减一，关于 x 轴对称的话， 那么得到的应该是负 y 就 等于 k， x 减一嘛，对吧？化解一下， y 等于负 k， x 加一，对吧？ 那你看这个是它对称以后得到的函数，然后现在它说是 y 等于负四， x 加 b， 那 么你一一对应不就行了吗？那负 k 一定等于负四呀，那这个一一定等于 b 呀，所以说 k 是 等于四的， b 是 等于一的，是不是求解出来了呢？对吧？现在它要求的这个一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 话， 那么很明显图像长这样子不经过第几项线呢？答案选什么？大家可以在弹幕里打一下，那么很明显图像画出来以后，答案也就出来了，一、二、三它都是经过的，所以答案应该选四， d 选项它不经过第四项线哈， 这是我们的第五题。然后大家跟着老师继续往下看，再来看我们第六个题型，用图像法解一元一次方程，这个非常常考，但是也非常简单， 我们来读题，他说如图，直线 y 一 和这个直线 y 二相交于点 a， 点 a 呢，是 m 倒号二，这个时候其实我们可以快速反应出来，点在线上嘛，这个点在直线 y 一 上，所以你其实可以立马把 m 求解出来嘛，对吧？这个时候 y 是 二的话，那 x 对 呢？肯定是四嘛，所以说这个 m 就是 四了， 这是我们可以快速去求解出来的，然后接下来呢，他要去求关于 x 的 这个方程的解是多少？大家看到方程的话，你不要直接硬去求解， 就是直接你看 k， x 等于二减 b， x 等于二减 b 除 k， 你 不要直接生硬的非要去解这个方程。你先看一下这个方程有没有什么意义呢？ 这个时候左边 k x 加 b， 你 有没有发现它跟我们的直线 y 二特别像呢？对吧？所以说这个方程它其实代表的就是 y 二等于二嘛，让这个依次函数函数值为二的时候，它对应的自变量 x 是 多少呢？那这个时候你直接看图像就行了呀， 你看纵坐标为二的时候，横坐标呢？横坐标是四呀，所以答案直接就是写四了，是不是就可以快速做出来了呢？对吧？这个就叫做利用图像法去解方程哈，大家一定要学会这种方法，要结合图像去看，这是我们第六个题型。 ok， 我 们再往下看，再来看第七个题型，同样的用图像法解不等式，还是一样的思路，给了你一个函数 y 点 a 呢，是 m， 逗号二。接下来让你去求关于 x 的 这个不等式的解集是多少？ 这道题呢，还是一样的思路，我们去看一下这个不等式，不要去硬解，我们要去看一下这个不等式有什么含义。左边负二 x， 那 正好就是 y 一 啊，右边 a x 加三，正好就是 y 二呀， 所以说它要求的是 y 一 大于 y 二的时候，对应的 x 的 取值范围是多少。那你这个时候直接看图就行了呀， y 一 大于 y 二，就是 y 一 在上方嘛，那很明显是左边这一段呀，也就是以 a 点为界，你看做一条垂直的垂直 x 轴的线， 在它的左边的话，都可以满足 y 一 大于 y 二嘛，对吧？那这个时候 m 的 值是多少呢？那你代入到 y 一 里面就可以求出来了呀。当这个 y 是 二的时候， x 很 明显是负一嘛。所以说 x 小 于负一的时候，很明显很明显满足 y 一 在上方嘛，也就是 y 大 于 y 二。所以答案就是我们的四 d 选项了呗，对不对？ 像这道题呢，咱们甚至都不需要去求这个 a 的 值是多少，虽然说我们可以求出来，就是把这个，把这个负一逗号二我们带进去，可以求出 y 二的解析式嘛，对吧？但是我们根本没有必要去求，这就是图像法比较好用的一个点哈。 ok， 那 我们继续往下看，再来看最后一个题型，关于他的实际运用。在我们后面考试的大题部分，经常会把依次函数和实际应用问题结合到一块。比如说我们拿这道题来举个例子，经常会给你一个类似依次函数的图像哈，他肯定不是依次函数，但是会有很多个直线，你看结合到一块的嘛，一个综合的图像。 我们来读题，他说已知张华的家、画社、文化广场依次在一条直线上，我们来画一个直线， 画社离家零点六千米。那我们假设家在这里的话，那这里有一个画社，画社和家的距离呢？是零点六千米，对吧？这个单位我们就先不写了， 然后文化广场离家是一点一点五千米，那这里还有一个文化广场，对不对？他离家是一点五的话，那就是画社距离文化广场是零点九了吗？这样零点九加零点六正好是一点五，对吧？ 张华从家出发，他从家这里，从这里出发，先匀速骑行了四分钟，到了画设， 那这个时候我们先来想哈，咱们看到下面这个图，我们就猜到了，应该是跟他的骑行有关的嘛，所以这个时候你就可以先看一下这个图像指的是什么，他这里说了， 呃，图像呢，反映了这个过程中张华离家的距离和时间之间的对应关系， x 表示时间外表是离家的距离嘛，对吧？所以说这个时候你可以一边读题一边对应的去看这个图像了。刚开始的时候张华是在家里的，对不对？ 然后他匀速骑行四分钟到了画设，那就说明在这里的时候他正好到了画设，对吧？然后呢，在画设停留了十五分钟，哎，正好这一段长度是没有变的，所以说在这个点的时候他是在画设的，然后他是从画设继续出发，你看 匀速行，呃，匀速骑行了六分钟，到达了文化广场，所以在这里的时候，他是到那个广场上面了，然后在这里呢停留了六分钟，又歇了歇，然后匀速步行返回家，那这里对应的你看还是广场吗？他这个时候还在广场，然后开始回家，这里又就回家了。 所以说你看你读完题，这个图像，你也就分析清楚了，对于一次函数和实际问题结合的情况的话，咱们一定要学会读这个图像哈，那这个时候我们现在把这个思路，你看，把它的过程想清楚了，那我们来看一下他考察的。先看第一小问的第一个第一点填表， 他说张华离开家的时间分别是一、四、十三、三十的时候，对应的张华离家的距离是多少？现在要填的是一十三和三十吗？我们来看一下一 十三三，呃，三十对应的一的话，他是在这段，那这段很明显是一个因此函数呀。所以说这里对应的有两种思路，第一种思路是你把这个一次函数求解出来，他也很好去求嘛。把这个点四逗号零点六代入不就行了吗？我们来代入一下， 那对应的 y 等于 k， x 的 话，那就是零点六就等于四 k 了吗？所以 k 是 等于零点六除四的，上下同除二就是零点三除二，那不就是零点一五吗？所以 y 就 等于零点一五 x 呀，对吧？然后如果说 x 等于一的话， 因为他不是说了吗？要找的时间是一分钟的时候，当 x 等于一的时候， y 等于零点一五呀，所以你就可以先填入零点一五，对吧？这是一种思路。还有一种思路呢，就是我们直接从它物理上面来进行思考，因为他说了嘛，他是， 呃，他是匀速骑行了四分钟到的，画设他是匀速骑行，那我可以求下速度呀，对不对？因为他是零点六公里走了四分钟，可以求出速度吗？然后现在时间也有了，求的时间是一分钟吗？对吧？然后你用速度乘时间，不就得到他这个距离，就就得到这个路程了吗？对吧？两种思路都可以哈。然后十三和三十的话，我们来看 十三的话，很明显是在这一段，那这一段离家的距离是固定的呀，就是零点六吗？所以我们直接填上零点六就可以了。 然后再来看三十三十的话，很明显是在这段呀，也没有变吗？对吧？他是停留的时候，这个时候是一点五吗？所以对应的也就填上去了。这个圈一是很简单的哈，然后我们再来看圈二，他说张华从文化广场返回家的速度是多少， 这个也很好去求呀，你看路程有了，路程是一点五吗？就是，呃，你看这段路程一共走了一点五，然后他用的时间呢，是三十一到五十，中间一共是二十分钟呀，对不对？所以你就用一点五除二十不就行了吗？我们来计算一下， 这个除出来呢，他对应的是零点零七五呀，所以速度也就有了，这个圈也就搞定了。再来看圈三，他说当零到二十五的时候， x 是 从零到二十五的时候，让我们直接写出张华离家的距离 y 和关于时间 x 的 函数解析式，那这个非常简单嘛， 它很明显是一个分段函数呀，所以说你就按照分段函数的思路来写就可以了。首先第一段我们刚已经求解出来了，它是零点一五 x 嘛，所以你就可以直接去写 y 呢，是等于零零点一五 x 的， 这个时候呢，零小于等于 x， 小 于等于四呀，对不对？然后再写第二段，第二段的话，它直接等于零点六呀，固定不变的嘛，它是四小于 x 小 于等于十九，对吧？然后第三段，这个大家自己去算一下哈，你把这个十九逗号零点六和这个二十五逗号一点五，把这两个点带进去 就可以求助他的解析式了，这里大家暂停视频自己去算，我们最终求解出来的结果呢是零点 y 等于零点一五， x 再减去二点二五，对应的就是十九小于 x 小 于等于二十五， 这个对应的你看就是我们 y 关于 x 的 函数解析式了。大家看一下自己暂停视频去算一算，看看有没有算对哈，这就是咱们的第一小问哈，然后我们再往下看，再来看第二小问，他说当张华离开家八分钟的时候， 那就是他刚好走到这的时候嘛，那他就是正好走到了这个画社，对不对？就是当张华走到画社的时候，我们来画一下哈，这里是家，这里是画社，然后这里是广场吧， 也就是当张华刚刚好刚刚好走到画社的时候，他的爸爸从家里出发， 他爸爸在这，大家一定要注意哈，一个是从家出发，一个呢已经到画社了，他爸爸呢是匀速步行了二十分钟，直接到达了文化广场，他走了二十分钟嘛，对不对？ 那我们从画社到文化广场的途中，零点六小于外小于一点五，两人相遇时离家的距离是多少？那这个时候我们来想哈，这个爸爸的话，就直接从家里直接你看匀速往这走嘛。然后这个张华呢？我们来看哈，在这个图像里面，他在这的时候呢， 他还要再歇一会呀，你看从八到十九的话，他还需要再歇十一分钟，对不对？所以其实在爸爸开始往右走的时候，这个张华在这呆着没有动，他是歇了十一分钟的， 所以说我们在想他什么时候相遇的时候，咱们需要先考虑一个点，就是当这个张华在这停着不动的时候，爸爸有没有到达画社呢？我们是不是需要先研究清楚这个点， 对吧？咱们这道题如果说你想做的，你想，你想把这道题想的比较透彻的话，你肯定是要一步一步去想的哈。这道题如果说非要做出来的话，其实你没有必要去研究的这么细，但是为了给大家讲清楚这个过程，所以说我们现在还是要讲的细一点哈，那这个时候我们就可以来算嘛，对不对？我们先来算一下爸爸的速度呀， 他这个 v 呢是等于路程除以时间，他的他的路程一共走了一点五嘛，然后时间用了二十，那十，呃，一点五除个二十不就行了吗？ 然后我们求出来是零点零七五，这个是爸爸的速度对不对？那我们就看一下这个张华呢，他在这里他是不是停留了十一分钟呢？那我们来看一下十一分钟爸爸走了多少多少千米哈，那就是用使一乘个零点零七五，大家自己来算一下， 他乘出来呢是等于零点八二五的，而这个加离画设的距离是零点六了呀。所以说他们正常来讲的话， 这个爸爸在往前走的过程中，他是在会在画社这里遇到遇到这个张华的，大家能理解吗？ 就是你张华还歇着的时候，你爸爸已经从画社这里经过了，他已经，你看他，呃，十一分钟已经走到前面了吗？那中间肯定在画画社会遇到张华呀。那有些同学可能就会说了，那是不是这里就算一次相遇呢？在画社是不是就算第一次相遇呢？大家来思考一下算不算呢？ 其实如果说这道题他没有给你这个限制条件的话，那么我们是需要这样去考虑的，所以也就是为什么老师现在要给大家详细去讲解，如果说没有这个限制条件，这个其实算做第一次相遇， 但是这道题他不算，为啥呢？因为他说了呀，他这个 y 是 不包含零点六的呀，对不对？在画设的时候正好对应的 y 是 等于零点六的呀，那这个是不包含的呀，所以就不考虑这种情况了，大家能理解吗？ 所以说我们就可以理解为，当十一分钟的时候，张华是在这里，张华是在这里，然后这个爸爸走到了这里，就是爸爸现在已经要领先张华了，然后现在从十一分钟再往后，这个爸爸呢，保持匀速，继续往右走，然后张华继续，他开始以新的速度匀速往前走了， 它不是禁止在画设这里了，那对应的，其实这里我们就可以跟函数进行结合了，我们知道这个章华呢，它从画设到广场对应的是这段嘛？那这段的函数解析式我们知不知道呢？我们知道的呀，我们刚才已经求解出来了，它是 y 等于零点一五， x 再减去二点二五嘛，对吧？这个是 张华对应的一个函数解析式，十一分钟以后他对应的一个函数解析式吗？对吧？我说的这个十一分钟是从这哈，一定要注意哈，是经过八分钟以后，又经过了十一分钟哈，大家千万不要搞混了，然后我们再来研究爸爸的一个函数解析式哈，我们设张华，爸爸呢，他距家是外撇千米， 然后呢，我们同样用这个 x 来表示这个 y 撇，那大家来想哈，因为 y 撇它对应的其实就是距离嘛，那距离不就等于速度乘时间嘛，对不对？所以 y 撇是距离，它就等于速度，速度呢是零点零七五再乘时间，这个时候时间的话，我们不能直接去乘 x 哈，因为 x 代表的是 张华，他出发对应的一个时间嘛。然后咱们是张华离开加八分钟以后爸爸才出发的，所以说我们应该用 x 再减个八呀，对不对？这个对应的才是 爸爸他，你看哈，他对应的离家以后对应的一个函数解析式， y 是 他距家的一个距离， x 呢，就是张华出发他所用的时间是多少？ 那我们对应的，咱们现在求出两个解析式了，我们要求两人相遇时离家的距离是多少？那这个时候我们直接让两个距离，呃，直接让两个，你看函数解析式相等吗？也就是零点一五， x 减去二点二五就等于零点零七五倍的括号里面 x 减八， 这个时候它们对应的函数值你看是相等的，也就是它们均加的距离相等吗？那不就说明它们相遇了吗？对吧？然后这里大家自己来计算一下，我们可以求解出 x x 是 等于二十二的吗？对不对？也就是当张华呃总共从呃从加出发经过二十二分钟的时候，它们相遇了。 那这个时候呢？我们要求的是相遇时离家的距离是多少？那你再把 x 等于二十二带入到下面这个式子里面不就行了吗？然后我们求出 y 撇， y 撇呢？最终求解出来以后是等于一点零五的，然后要加单位哈，单位是千米吗？所以我们就求出最终的结果了，最终的结果是一点零五， 这是我们这道题对应的整体的一个解析思路哈。 ok， 那 我们讲到这里就差不多讲完了，大家可以发现哈，就是比如说一次函数的话，他其实常考的题型就这几个，大家如果说你想数学考高分的话，那你对应的就应该去把不同学不同题型去搞定，比如说实际问题这里他可能还会有销售问题啊， 那咱们现在讲的是一个行程问题啊，对不对？他可能会考察的题型呢？虽然有很多种，比如说销售，比如说行程，但是他一定是有限的。 所以说大家如果说你现在数学想提个三四十分的话，那么你就记住老师一句话，你现在最重要的一定是改进你的学习方法，因为老师我就是从不及格，然后提高到很多次满分的，所以老师非常知道你现在不同分数段， 你应该怎么去学才能快速提分。说白了最重要的不是你有多努力，而是你有没有找对方法，你有没有走在正确的路上哈， 那么大家也是一样的，如果你觉得现在成绩怎么努力都提不起来，并且你想快速提分的话，你可以通过这里添加我，老师可以把我自己当时从不及格逆袭到多次满分，我用到的一些逆袭方法，老师可以全部分享给你哈，老师已经录制成了一节二三十分钟的课程，老师可以发给你， 你下来去学一学，老师相信你，你在期末考试前也能快速提个三四十分哈，因为往年跟着老师学这个方法的同学，他们都做到了，那么你也一定可以做到呀，对不对？ 那以上就是我们本期视频的全部内容了，接下来小曼老师呢会继续更新我们初中数学的一些必考题型以及对应的解析思路哈，大家千万别忘了三连加关注，我们下期视频再见，大家拜拜！

八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？

来，各位初二同学，一函数呢，是初二下半学期的一个难点，那我这里呢，整理了一函数的十个必考点，这些题目呢，很有可能就是你本次期末考试的原题。那第一个必考点就是函数的概念，第二个函数自变量的取值范围。 第三个一函数的定义，第四个一函数图像与系数的关系。第五个一函数的图像与坐标轴的焦点及面积问题。第六个一函数的平移。第七个一函数的增减性。第八个一函数的解析式。 第九个一函数的实际应用。第十个一函数的图像问题。那这些题目呢，全部都有详细的答案解析，有需要的家长在粉丝群回复一函数拿去练习。

一次函数还在死算，今天教你这辈子不会忘的三个口诀， k 怎么求，平移怎么移，面积怎么秒。第一题，已知两点求 k， 你 是不是还在列方程？记住口诀，纵叉除横叉纵坐标叉六横坐标叉三六除以三等于二， k 等于二，三秒都不用以后看到任何两点， 直接纵减纵底横减横秒出 k 来。现在弹幕打出来， k 等于多少？我数三秒。第二招，平移，超多人记反 我今天让你一辈子不混淆口诀，左加右减，字变量上加下减长竖向。注意左右是给 x 加括号，上下只动 b 看向左 x 要加二，记得加括号，结果变成二 x 加五，很多人直接写成二 x 加三，那是错的， 记住括号不能丢，所以你平移，如果老错，就把这句话刻在脑子里。左加右减，子变竖，上加下减长竖向。 第三题，求直线与坐标效为成的三角形面积，很多同学傻乎乎去求窗点再算。记住这个秒杀公式，一方除以二倍的 k 的 绝对值， b 等于四， k 负二， k 的 绝对值等于二十六，除以四等于四。你要是老老实实求焦点算底乘高除以二，起码花四十秒还容易错，考场上有这四十秒你都能做两道选择了。 最后提个醒， k 不 与零， b 决定图像上下， k 为正，图像上坡， k 为负下坡。看到图像先看走向，一秒判断函数增减性来。今天的作业，这道题面积是多少？评论区写答案，第一个答对的我置顶表扬， 如果你还想我讲二次函数随法性函数。点个关注，下期直接更点赞，过五万我直播带你们刷一套中考真题，纵叉除横叉左加右减，自变量上加下减长竖项比除以二 k。 记住没有？拜拜，记得关注再走哦！

八下数学重难点，一次函数八大题型专练题型一，一次函数与三角形的面积综合题型二，一次函数与全等三角形题型三，一次函数与等腰三角形 有完整空白版，附带详细解析打印，给孩子练会吃透，考试遇到同类型也能快速理解思路，高分功课宝籁。

同学们大家好，今天学姐想要给你们分享的章节是一次函数分值大约在五分，一般会出现在选择题或者解答题里。首先一次函数的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零， 它的定域是 r， 也就是全体实数。其中当 k 大 于零时是正函数，当 k 小 于零时是减函数，也就是一次函数的话，它是根据 k 的 值大于零或者小于零去决定它的增减的。其中 k 大 于零的图像，它是长这样了， 图像是直接单调递增，它有可能出现在 y 正半轴或者是 y 负半轴上，然后 k 小 于零也是一样的， k 的 正半轴和负半轴都有可能，但是它的图像是单调递减，也就是往下的。同学们一定要仔细的去记住这些图像，不要跟其他函数搞混了。好，我们来看第一题， 已知函数，已知一次函数 y 等于 k， x 加 b， 图像过点零二和一五。求这个一次函数的解析式。好，我们这种题目他给到我们两个点，那我们就首先把第一个点带入进去，求到基本的解析式。第一步就是 好，我们第一步就是把其中一个点带入到这条式子里面去。 好，我们算出来 b， 然后我们就带回进这个设置里面去。好，我们现在这个时候是不是还有还有其中一个点，然后我们再把这个点重新带回到这个设置里， 也就是把一五带入 好，最后我们的结果算到 k 等于三，所以我们这道题目最后 b 已经知道了， k 也知道了，那我们直接带进去这个函数式，所以我们这个一次函数的解析式是什么？ y 等于三， x 加上二好。我们如果看到题目里面出现两个点的话，我们首先要带进去其中一个点好，第一步的话就是先求出 b， 第二步就是要把第二个点给带进去，求出 k， 那 我们最后就得到这个式子的 好。我们来看下一题，已知一次函数 y 等于二， x 减四，求函数图像与 s 轴 y 轴的交点坐标，好，我们看到这种求交点坐标的，我们首先你看这里是什么？第一个叫我们求的是与 x 轴的交点，我们同学们要记住一个规律，与 x 轴的交点代表 y 等于零，与 y 轴的交点呢？代表 x 等于零 好，怎么理解呢？比如说你看这里 x 轴，那凡是在上面这些点是不是 y 都等于零，然后这也是 y 轴，你看这上面这些点是不是 x 都等于零？ 好，我们来算一下，如果说要求 x 轴下的交点，也就是要 y 等于零好这个，然后这个 y 轴也是要将 x 等于零 好，所以我们最后这个图像和有 x 轴 y 轴的焦点坐标，也就是二负四。好，学姐今天的分享就到这里，希望同学们有收获。

来一道直角高考数学真题，带你解决一次函数求解问题。这里边的话呢，已知 f x 是 一次函数，若 f x 加上 f x 加一等于四 x， 让你去求 f 一 啊，这里边一次函数。什么是一次函数来着？ 是不是 f x 等于个 k x 加 b 啊？对吧？这是标准的一次函数，那一次函数 f x 知道了，那所以现在我们是不是可以知道 f x 加一等于几啊？ 那这里边是不是就把 x 换成 x 加一就可以了？所以是什么？是不就是 k 倍的 x 加一，再加个 b 啊， 对吧？那所以对于我们而言，来简单化简一下，是不是 k x 加 k 加 b， 这是不是我们的 f x 加一，然后你这里边又知道个它了，对吧？知道它了，它俩相加等于四 x 来加一下它，加它 f x 加上 f x 加一，那是不是就是后边加后边就行了？也就是 k x 加 b 加上个 k x 加上个 k 加 b， 它等于四 x。 化简一下的话呢，这边是几 k x？ k x 是 不是二 k x 啊？加上个 k， 这加 b， 这加 b， 是 不是再加二 b 等于四 x？ 它俩既然相等了，什么叫相等？是不是左边跟右边完全一样？那所以你这有 x， 你 这是二 k 的 系数，这有 x， 那 所以二 k 和四怎么样？ 是不是二 k 要等于个四，所以 k 等于几？ k 是 不是等于二啊？对吧？那所以还有谁？是不是这一块你这边有个长数项，我这边没有长数项，那我这边是不是加了个零啊？所以的话呢，是不是就是 k 加二， b 等于零了？ k 我 已经知道等于二了，所以是不是二加二， b 等于零？来求出来 b 等于几？ b 是 不是等于一个负一，对吧？那现在是 k 有 了，这儿呢？二 b 也有了，那所以 f x 等于几？本来等于 k， x 加 b 是 不是二？ x 加 b 是 不是减个一啊？ 那你求到这之后是不是可以求出来 f 一 了？ f 一 直接把 x 换成一就可以了吧？也就是二乘一再减一，二减一是不是等于一？所以最后选的哪一个选择的是 a 选项？

小时候怎么也没想到一个视频，记住一次函数图像一次函数这样画，加上符号这样画，后面加二往上移，后面减二往下移，整体乘二向左转， 整体除二向右转。初中函数看似抽象复杂，其实掌握正确方法就能轻松掌握。就用作业帮的这本初中函数题型大全，他初中三年要考的函数题型都给你整理好了。 你比如常考的一次函数、反比例函数、二次函数等等考试必考的八十八个函数题型，这本书全都覆盖了每一种函数。先给你梳理基础知识，然后通过例题教你解析思路，学会以后再去做后面的专项训练。 全都是近三年的中考真题，还有函数新考法，紧跟中考趋势，答案解析单独一本，每一步都有详细的解析步骤，看不懂的可以看视频讲解，孩子自己在家就能学一套书，可以用三年，赶紧给孩子准备上吧！

这个视频我们来讲解一下关于函数部分最重要的三个问题，分别是过定点问题、动点问题，还有动直线问题。咱们争取一个视频把这三个问题都讲清楚。 首先咱先说过定点问题，什么叫过定点问题？就是说我们会有一个一次函数，这个一次函数的直线总会经过一个点，那么我们怎么来去找到这个点呢？ 同学们，记住就一句话，叫做参数为一，且只出现一次。按照这句话去做题，就保证你可以做对这种过定点的问题。 像这道题，一次函数 y 等于 ax 加 b， 其中呢， a 和 b 有 这样的关系，是 a 加 b 等于二零二二，问他的图像 b 过哪一个点，这种问题就是过定点的问题，怎么办呢？让我们发现这道题，这样的一个一次函数 y 等于 ax 加 b， 它其实是有两个参数的，一个是 a， 一个是 b， 那 么我们怎么让它变成只有一个参数呢？没错，就是利用这个 a 加 b 等于二零二二 解决一下呗。你可以化减 a， 也可以化减 b， 无非就是用一个参数来表示另一个参数嘛。像我们可以表示成 b 等于二零二二减 a， 是 不是可以通过我们这个式子得出来啊？ b 等于二零二二减 a， 那 么我们将 b 等于二零二减 a 带入到我们这个式子中，那 y 就 等于 a， x 加上 b 变成了二零二二减 a。 好， 我们现在新变出来的这个函数参数为一了，只有一个 a 是 参数，但是这个参数出现了几次， 第一次，第二次，出现两次，我们怎么让它只出现一次呢？对于 a x 这个项和负 a 这一项，我们提供一式 a 倍的括号， x 减一，加上二零二二， 这个就是我们化简之后的一次函数解析式，完成了让参数为一，且只出现一次。搞定这句话之后，我们令这个参数后面的这一坨，不管是什么都让它等于零，那么 x 就 等于一 加 x 等于一，再带回去，我们不就可以把 y 求出来吗？因为我们要求的是 b 过的点坐标吗？点坐标就是既有横坐标，也有纵坐标，横坐标是一，那纵坐标呢？既然 a 乘零，那是不是这一项就不影响了？ 这就是我们 b 过点的意义。 b 过点， b 过点，就是说我们在这个式子之中的参数，无论取什么值，它都不影响我这个函数的取值。所以说只有让这个参数乘以一个零， 那他这个数就永远等于零了，这个 a 就 不影响我们这个函数了，这个时候才是我们 b 过的定点。 那么如果把 x 等于一带进去，那第一项不就为零了吗？零加二零二二，那肯定就是二零二二，所以说 y 等于二零二二，那么他必过的点是什么呀？ x 是 一， y 是 二零二二，所以说一到二零二二， 这是我们过定点的问题。接下来来说一下过动点和动直线的问题。这两个题啊，我们其实管它叫做一类题，为什么叫一类题呢？因为动点动点，它是不是一般就是动一个点呢？那动直线是什么？其实动直线就是动两点， 因为我们在学习数学的几何方向的时候，是先学点，再学线，再学面，再学体其中点和线之间的联系， 其中点和线之间的推理联系，那就是两点，确定一条直线。动点问题，不就是确定一个点动一个点吗？动直线问题呢，那不就是两动两个点吗？只要确定了你动的两个点，那两个点之间一连线，不就是动直线吗？ 所以说呢，我们直接说难的，就是说一道动直线问题。来，我们来看一下这道题的思路。首先我们先把动直线问题的思路写好。动直线问题啊，其实就是动两点， 我们优先得把动两点的问题转化为动点问题，也就是说动一点问题，那怎么转化呢？我们要求这个直线呢，他不能瞎动， 他要确定一个点，再动另一个点，这样才是我们的动，这样才是我们的动直线问题。那怎么确定这个动直线问题确定的那个点呢？没错，就是用我们刚才学的那个方法过定点， 刚才过定点的思路已经说好了，那我们来看一下这道题，按照这道题来理，通过这道题来理一下有关动直线问题如何解决的思路。 如图，在平面直角坐标系之中，一个折线 y 等于负的 x 减二的绝对值加一与另一条直线 y 等于 k， x 加二 k， 尤其仅有一个焦点问 k 的 取值范围。 首先我们发现啊，此时动的直线是哪个直线？是 y 等于 k， x 加二 k。 注意啊， k 一定是大于零的，这个直线是一个一次函数，我们知道一次函数最重要的就是斜率 k 以及上下移动的截距 b， 那 么我们在这道题中发现， k 不知道上下移动的这个值，也不知道， 所以说怎么做，他不就是瞎动吗？那我要让他，他不就是瞎动吗？瞎动那就是动两点，动两点，我们优先先让他变成动点，问题动一点，求出这个直线横过的一个点， 也就是说让我们的参数为一，且只出现一次 x 加二，这样来进行操作就可以了。这样的话，我们参数是不是只有一个 k 啊？而且只出现了一次，出现一次之后， k 后面的那一坨就让它等于零， x 加二等于零， 那么 x 等于负二。把 x 等于负二。代入到解集式中求到求得 y， y 等于零，那么 x 等于负二， k 乘零永远等于零，所以说 b 过的点是负二零。 好，我们找到了这个直线呢，他永远过一个点，那就是负二零。好，我们接下来只要再找到他过的另一个点，那就是负二零。好，我们来找这种过动点的问题，怎么做呢？ 也就是说绕已知点三百六十度去找点，怎么说？因为啊，我们过这个点找一个洞点，洞点是不是在这个平面内哪里都可以求到？那么我们怎么确保把所有的点都求到呢？ 那我们就是以这个点为中心，绕着它进行旋转，可以怎么旋转？我可以举个例子啊， 我们向最开始是这条直线，将它旋转，向上进行旋转，一直转，转到这个直线，这个直线，这个直线只要让它转三百六十路，转完一圈就跟一个扫描仪一样，不就把这个平面内所有的点都找到吗？ 到了所有的动点，我们只需要从中筛选符合要求的动点，再来进行做题就可以了。 好，我们来进行旋转，最开始我们从这里开始旋转，此时这条线我们是不是只经过了两个点啊？ 此时这条线与这个折线是不是只有两个交点啊？一个是这个交点，还有一个是这个交点，那这个是不满足要求的呀？我们将它进行旋转，一直转，转到这个， 此时发现没毛病，我过这个点和这个点，只有我过这个点的直线和我们这个折线只有一个焦点，这个焦点， 那么接下来我们只需要找到符合要求的动点就可以了，是哪个动点呢？就是这个动点，来思考一下这个点是多少， 也就是说求这个折线的最大值。我们来观察一下这个折线是一个常数加上一个绝对值的负加上一个负的绝对值，这样的形式，我们知道绝对值永远是大于等于零的，如果是负的绝对值呢？那这个整体永远是小于等于零的。 一加上一个小于等于零的数什么时候最大呀？那是不是只要让这个数得零就是最大的了？所以说这个点的纵坐标一定是一，那横坐标呢？那 x 减二为零不就行了吗？ x 为 x 等于多少的时候， x 减二等于零啊，很简单，就是二啊， 所以说我们找到的第一个符合要求的动点就是二一，所以说二一和负二零这两个点所构成的直线是符合要求的， 那么求这个直线的什么？我们不需要求动点，我们只需要，我们不需要求动点，我们需要求的是这个斜率 k， 我 们知道 k 是 什么？ k 就是 纵坐标的变化量，除以横坐标的变。 k 是 什么？ k 就是 纵坐标的变化量除以横坐标的变化量，那 k 是 不是等于这个点和这个点两个点之间的横坐标变化量之比啊？纵坐标拿这个一减去后面的零除以，拿这个二减去后面的负二 等于什么？上面剩一，底下二减负二等于四啊，所以说此时的斜率 k 是 四分之一。好，我们还没有转完，我们一定要转三百六十度啊，我接着转，一直转到这，是不是都是没有焦点的？ 直到我转到了这里，这条线和这条线是平行的，此时是不是也是没有交点？但是我只要这条线再弯一点，对，再往上再走一点，是不是就能和底下这条线产生一个交点了？ 那么我们的临界条件是哪条直线？就是这条直线，也就是说和这一条直线平行的直线就是我要求的， 我们不需要求动点。我们这道题要求的是斜率 k， 那 么此时的这条线的斜率 k 是 什么呢？他既然和这条线平行，那他俩的斜率肯定也是平行的，那么这个折线的斜率是多少呢？ 我们要关注啊，斜率就是我们的自变量， x 前面的系数就是斜率， 那么这个 x 前面数肯定是一啊，因为这没啥变化，但是由于我这个绝对值正负不一样，所以说 x 前面的斜率 k 可能是正一，也可能是负一，没有别的可能，只有这两种可能。 那么我们这道题中这个斜率 k 到底是正一还是负一啊？当然是正一，因为我们可以明显的感觉到这条线它的 x， 这条线它的 y 是 随 x 增大而增大的，所以说它是往上增的，既然是往上增，那它的斜率就一定是一，而我们要符合要求的斜率 k 吗？ 临界值是符合一，所以说我只要这个斜率 k 比一，再锋利一点，或者再陡峭一点就行了，就永远和这条线有一个交点。所以说我们的斜率就是 k 大 于一， k 可绝对不能等于一啊。 k 如果等于一的话，那他没有交点，因为这俩是平行的，平行就没有交点。好，我们接着转， 一直转到这里，是不是啊？我们这条线与这条线有一个交点，再往后转是不是也是啊？ 只有一个交点，那什么时候是临界点呢？是这里啊，当我们新转的这条线和这条线平行的时候，是不是也是只有一个交点，交点在这了， 但是只要再往下缓一点，那是不是此时就有几个焦点？这会有一个焦点，延长线还会有一个焦点呢？那么我们还是去找这个临界点是哪里呢？ 那么我们还是要找这个临界线是哪里呢？这条线此时这条线的斜率是和向下减的斜率是一样的，刚才向上增的斜率是一，那向下减的斜率一定是负一啊， 我不能比负一，再不封，我不能比负一，我这个斜率不能比负一，再缓了。也就是说我这个斜率因为是往下减的，往下减，他的斜率就不能再比负一要大了。 所以说此时我的斜率 k 一定得比负一要小，因为只有比负一小，这个向下的斜率才能更加的锋利、陡峭，向下降的更快， 这样才只能与这条直线有一个交点，就和他没有交点了。那还是问题，这里可以等于负一吗？当然可以啊，此时等于负一不就是我们这个临界点吗？这个临界点和这条线并没有交点， 只和我们向上增的这条线有一个交点。所以说我们这道题 k 的 取值范围就是四分之一行，或者 k 大 于一也行，或者这个 k 小 于等于负一三种情况。 好，恭喜你此时就上当了。我们这个时候发现 k 是 不是在题目中说了恒大于零啊？如果 k 大 于零的话，那我们 k 小 于等于负一，这个情况就没有了，所以说这才是我们最后的结果。 那我们根据这道题的思路来继续捋我们如何去求解动直线的问题？绕已知点转三百六十度找点，找到我们符合要求的定点之后，你就可以求动点或者求斜率 k 来解题就可以了。 这就是我们有关过定点问题、过动点问题、过动直线问题的具体解析思路。好，同学们下课。

初中阶段一共有三大函数，一次函数，二次函数，反比例函数，而其中我们最早接触的就是一次函数，可以说，一次函数学的好不好，会直接影响另外两个函数的学习，最后直接影响中考分数。 所以啊，一次函数我们一定要学的扎实，明白，那孩子们刚开始接触一次函数的时候呢，碰到的第一个坑就是这种平移的题目了。 很多时候呢，孩子一看到题目里面啊，说图像去进行平移，然后就开始吭哧吭哧的画图了。但是这种题啊，恰不是用画图的方法做的，而是用一个方法大招，哎，今天我会把这个大招教给你，并且带着你把这道题给他搞定。 学完这道题之后，再把林老师给你整理的依次函数的八大题型拿去练习巩固一下。平时做题没有思路，你只要对着老师给你的解析，一步一步按步就把它练习，考试能多拿二十分。好，那我们来看题， 将 y 等于三， x 减二的图像向左平移五个单位，再向下平移三个单位，然后求平移之后的图像解析式是多少。 那这种题呢，千万不要去画图解决，因为我们有方法大招啊，叫做左加右减自变量，上加下减常数项，老师来教你怎么操作。咱们呢，先把这个原式给他写下来， y 等于三， x 减二， 好来第一个左加右减自变量啊，那他这里是左五对不对啊？所以呢，我们要进行一个左五的变形，我们呢，就对自变量向左进行加五 啊，那就是 y 等于三，自变量是谁？自变量就是这个 x， 所以呢，我们给它括个号啊，变成 x 加五，其他照抄啊，其他照抄。这样子呢，我们的左五就变形完毕了， 接下来再来变这个向下移三。哎，那么这个口诀的后半句，上加下减长竖项，我们呢长竖项就是这个，后面这个减二，所以呢，我们只要给它变成一个啊，下三啊，那就是 y 等于三， 其他不变啊， x 加五，然后呢，减二的基础上，我们再来减个三啊，那最后把这个答案给它化简一下就出来了，我们来化简一下啊， 三， x 加上十五，然后呢再减二减三，也就是减五，那加十五减五，最后就变成了加十啊，这个也就从最后的答案 y 等于三， x 加十。好，你学会了吗？

八级下册数学一次函数单元，反反复复就考这六大板块的培优的压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题，粉丝重点掌握，那我把这些压轴题型都整理到了这份一次函数的压轴题里面，可以用做这个配合练习巩固。 第一是一次函数与线段关系。第二，一次函数与将军印码模型结合。第三，一次函数和铅垂高法求三角形面积。 第四，一次函数和等腰三角形、直角三角形、等腰直角、三角形、全等三角形结合的七大类题型。 第五，一次函数和平形、四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形结合的存在性问题。常考期末考的压轴题。第六是一次函数动态问题。 以上内容我都整理到了我的八项系统拓展视频里面都有立体跟练习的配套巩固，帮助同学们解决压轴题不会写的问题。

这个视频主要是分享给常熟八年级的同学，我们八年级现在学这个一次函数了啊，如果说一次函数非常经典的题型，我们要挑一些出来的话，那这个旋转四十五度的这个题型啊，真的是再经典不过了， 他既考察了我们的几何，也考察了我们的一次函数本身。好，我们看这个题是怎么出的啊？大概意思就是有一条直线， ab 与 y 的 交点是零，三与 x 的 交点是四零，把这条直线绕着点 a 旋转四十五度。 好，旋转四十五度形成了新的直线解析式。怎么求的问题 好，能听懂吗？我们再重复一下啊，已知直线是 ab， 把 ab 绕着点 a 旋转一个特殊角，四十五度之后的直线的解析式怎么求？好，我们看怎么样去思考这个问题啊，有两个视角，第一个视角是关注这条直线， 你是如何求出一条确定的直线的解析式的？是不是至少需要两个点？我已经知道了，这条直线经过 a 点零三，我是不是还需要再找一个点，这条直线上经过的另外一个点啊，才能确定出这条直线的解析式？好，所以这是第一个方向，我要再找一个点。 第二，这道题本身呢，是旋转的度数是有特殊性的，是四十五度。那四十五的特殊性不是因为它的度数比别人更优秀，四十五度比四十四度、四十六度 是个大小的问题，而是四十五度本身的价值，它能够带来的特殊性几何价值就是直角、直角、三角形。 你先你把这个道理想明白啊，所以这个四十五度啊，很可能作为我们的核心切入点，我要构造一个等腰直角三角形。好，我们把这个思路再延续下去。啊，那怎么构造这个等腰直角呢？ 我们长话短说，看到你的目标角是四十五度，对于这种题，怎么做才能方便啊？有两种方式，我们看选哪一种？第一种是过点臂，往这条线身上做垂直。 好，这是 h 点，我接下来有没有可能求出 h 点的坐标，这样 a h 的 解析式就能求出来。这是第一种思路，过点 b， 往别人身上做垂直。 同时也不要忘了，不要老想着欺负别人啊，偶尔也要被别人欺负一下，就是我们的 b 点啊，很有可能本身就是垂足，这样做 形成这个焦点 h 点，有没有机会求出来，这样我们就能求出 a h 的 解析式，对吧？我们造这个直角的目的是要发挥等腰直角的特殊性啊，发挥四十五度的特殊性。其实呢，最终选哪一种？选第二种，我们选择你的目标角角， a 的 目标角 的夹边。哎，是不是 a b 的 方向和 a l 的 方向？选择你的目标角夹边有信息的点为垂足。 尽量不要过点 b， 往别人身上做垂足，虽然你能做出来，大家可以试一试啊，最好是什么呢？比较高效的方案就是选择夹边有信息的点为垂足。好，这个小口诀教给大家，选择你的目标角的 夹边有信息的点，信息就是数据啊，有数据的点，准确的点为垂足。 注意把这个有信息的点 b 当成垂足，不要把它往别人身上做垂直，效率会低啊，为垂足，你就是这样。 好，那现在呢， b a 就 等于 b e， 因为它是一个等腰直角三角形，我怎么样才能求出 e 的 坐标呢？我们要看 e 是 怎么产生的呢？ e 是 不是我们 b 的 垂直方向产生的，这个垂足方向产生的焦点 e， 这会 b e 还是一条斜着的，我们要依靠等量关系，那就是这里的 b a 等于 b e。 看到这大家都能想得到，悬空九十度，我们就造一线三直角，构造成这两个三角形的全等， 让他们两边的数据互通啊。这边的长度分别是三和四，我们对应过来呢，就是这里是三，这里是四，所以一点的坐标就能够快速读取，是七逗号四。这样呢，我求 a e 的 解析式就比较好求了。好， 如果你真的想提升这道题的能力啊，解决能力，你试一试。为什么不优先选择 b 做垂直呢？也可以试一试啊，他也可以锻炼我们的基本功，也可以试一试。