丰台一模数学几何综合多种做法

我也对二模做一个预测，寻求和二次函数结合的区域应该会变多。北京十二个区，初三一模的专题分析来了，今天要给大家讲的是选择压轴体，后续我们还会推出待增、己增等专项，希望大家关注我们账号。在一模之前，我曾做过预测，我说选择压轴题啊， 会有大约一半或者一半多的区域，会完全考察和二零二五年中考一致的，是反比例函数加几何综合的这种选择。亚洲这是二零二五年第一次出现的题型，更早之前呢，是纯几何的，所以大部分的区域呢，会选择完全模仿中考。 那这十二个区中，我们看到朝阳、西城、丰台、平谷、通州、房山、燕山这七个区确实超过了一半。那第二种类型是什么？就是我不仅想模仿，我还想超越。哎，我觉得这个题他不一定非得和反比例函数结合，还有可能去和其他函数结合，而这个所谓的其他函数，那大概率就是 二次函数，所以有的区想走在前面。那今年就出现了两个这样的区，一个是海淀，一个是大兴。除此之外呢，可能还会出现第三种类型。果然就是出现了。说我呢，不知道是由于什么样的想法，还是没有关注这种考试的变化。我依旧考察二三年和二四年喜欢考的这种 纯几何综合的题，那就是昌平、石景山和顺义。总结完了之后呢，我也对二模做一个预测，二模呀， 纯模仿中考的第一种类型应该会减少，寻求去往前进一步，和二次函数结合的区域应该会变多。至于是否还会有继续考察第三种类型的，那我确实就没法判断了。所以大家要重点关注和二次函数相结合的这种考试题型。

这道题我说句实话，出的其实还挺好的，但它的难度确实不大，如果说你在这里面出现了一个不太理解，或者说你的思路出现了卡点，那我觉得不太应该。因为今年我们不论是在课上还是在课下练习的过程当中，这种题就是大量反复练习的一个内容，特别的清晰，思路很清晰，过程 很简单。各位如果要觉得哪两个圆中确实不太擅长，在后续一定要多花点时间练练圆，不然在中考当中可能会成为卡点，导致我们后续的题目做的效果不是很好。 我们一起来看一下这道题。第一道题咱们就直接简单的说一下它的一个小的思路，因为这里面出现了一个角的关系，我们在上头也说了，根据条件直接找说这个角是阿尔法，这个角是二倍的阿尔法，那根据圆周角圆形角，我们可以到这个角是二倍的阿尔法，所以这个边和这一条边平行，又因为这个边和这一条边平行，这个地方是九十度，所以这个地方九十度，所以第一轮我们在这边就快速过了，大家在做题的时候一定要注意过程。 第二本这道题为什么说它简单的点也是在这？你在第一问的时候已经知道了这两条边平行，你也知道了这两个角是二倍的 r 法，所以这道题所有的思路都非常的清晰。如果说你在这里面出现了一个不太理解，或者说你的思路出现了卡点，那我觉得不太应该。因为今年我们不论是在课上还是在课下练习的过程当中，这种题就是大量反复练习的一个内容，特别的清晰，思路很清晰，过程很简 单。那我们这边有一个小点，也是我们在上课的时候重点强调的是什么，它告诉我们是 o f 比上 f b 是 六，那这个时候你可以设这个 o f 是 五 x， f b 是 六 x， 这个是 ok 的， 但是做起题目来可能会比较麻烦。还有另外一种说法，也是我上个重点讲的，如果说这一条边它是一个半径，那这样我们可以不用把它给拆开，我们直接去干嘛？转化成别的边上去，这样你的数值会很好算，所以我可以说这边是五 x， 这边是六 x， 这样做起来会非常的舒服。这个小技巧大家稍微注意一下， 在二零二四年的北京中考卷也涉及到了。好，那这边是六 x， 这边直径是十倍的 x， 所以 你会得到这边是我们所说的八 x， 那 现在大家看一下， 这个直角三角形当中，含二倍的阿尔法角三个边都是知道的六八十，那这道题还有什么难度吗？没有任何难度了，因为我们可以直接转化到另外一个含二倍的阿尔法直角三角形当中，这也是我们上课反复强调的一个思路，这个思路太普 通了，那你就能得到什么，就能得到这个边比上这个边，就等于这个边比上这个边，那也就是 cosine， 那 我们就直接求出来， x 等于五分之六，那 x 等于五分之六，那这道题就直接秒掉了，因为这一条边是五倍的 x， 这一条边应该是十一分之五倍的 x， 再乘以六就好了，所以算 当时的答案应该是十一分之九十六。所以如果要觉得男的圆中确实不太擅长，在后续一定要多花点时间练一练圆，不然的话在中考当中可能会容易卡点，导致我们后续的题目做的效果不是很好。

欢迎来到迷糊老师为你解答课堂，今天我们来讲十二题，把图呢画在了下面。在平行四边形 a、 b、 c、 d、 e 中，角 c 等于四十五度， ab 等于二， bc 等于二倍根号二，则 a、 d 也等于二倍根号二。 e 是 dc 的 中点， dc 等于 ab 等于二，所以 d 等于 e， c 等于一。动点 f 呢？在 b、 c 的 边上运动，所以 m 在 以 e 为圆心，半径为一的圆上运动， e、 f 为折痕，将三角形 c， e、 f 得到 m f， e， e， c 等于 m， e 等于 e。 连接 am， 求 am 的 最小值，求线最小， 要么是三点一线，要么是垂直线段最短。连接 a、 e 画的不是很标准。延长 d， e 找到三角形的直角边，因为 a、 b、 c、 d 为平行四边形，所以角 c 就 等于角 a， d、 h 等于四十五度。 在直角三角形 a、 h、 e 中，已知 a、 d 等于二百根二角 a、 d、 h 等于四十五度，所以我们用散音四十五度等于对边比斜边 a、 h 就 能求出来。 a、 d 等于二百二，乘以三英四十五度二分之二， h 等于二。在三角形 a、 d、 h 当中，角 a、 h、 d 等于九十度， a， d、 h 等于四十，所以角 h a、 d 也等于四十五度，即 a h 等于 h e， 所以 a、 h、 e 为等腰直角三角形， 所以 a、 h 等于 h， e 等于二。得 h e 则等于三， a、 h 等于二。那么 r t 三角形 a、 h、 e 中斜边 a、 e 就 等于两直角边的平方根号十三，求 a、 m 的 对角值。 当 a、 m、 e 三点共线时，点 m 在 a、 e 之间时， a m 最小，求出了 a、 e 三点一线，所以 a m 就 等于 a e 减 m e， a e 已经算的等于根号十三， m， e 等于 e， c 等于 e， 所以 最后选 c 选项。

考完的风台初三一模一宗出的还不错哦，不是说他有多难，而是他特别适合自我考察，或者说是自我检测。你几何综合部分学的怎么样？ 这道题可以说是融合了各种模型在里面的，那当然抛开模型的思想之外，这道题也是更加锻炼我们对于几何题目的处理。那我们一起来看这道题。他告诉我们有一个直角三角形， a b c 角 b， a c 等于九十度， ab 要大于 ac， d 为 a c 的 中点过点 d 做 d， e 垂直 a c。 当你看到有一个中点，有一个垂直，有一个九十的时候，你就应该反映出来 d e 和 a b 是 平行的关系，那么点 e 就 也是中点。 然后又给了我们一个信息，叫 d f 等于二分之一的 a c， 那 我们就可以得到的结论叫 d f 等于 a， d 等于 dc。 好， 那因为我们的 f d 等于 a， d， 这有一个九十度，所以它是一个等腰值，那么 f a d 这个角就是四十五度，四十五度九十度，那就说明被平分了，所以积分就结束了。 然后第二问告诉我们说，连上 b f， 将射线 f b 绕点， f 顺时针旋转九十度。当你看到有一个线段绕着某一个点顺时针旋转九十，你第一个反应应该是什么？就是有对应相等且垂直的线段出现了。好， 那让你补全图形，所以你可以补的啊，都是长成这个样子，给他补好。那补好之后，让我们去用等式表示三条线段之间的关系，叫 e f， a f 和 c g 之间的数量关系。 e f， a f 和 c g， 那 我们肉眼可见 c g 的 长度应该等于的是什么？可以有很多种，比如说等于 a g 加 a， d 加 c d， 也可以是 d， g 加 c d， 也可以是 a g 加 ac， 都可以，对不对？好，那这个时候我们就知道啊，既然是这样的话，我们就要把 e f 这条边给它往 a g， a d 或 c d 上去靠。为什么这样说？因为 a f 和 a d 的 关系我们是知道的， a f 等于根号二倍的 a d， 所以 它们的关系我们可以直接转过来了，那剩下 e f 怎么往这条边上去转？这是我们的思路，那接下来还是一样，我们从条件入手。条件入手，条件入手什么意思？ 当我们看到这有一个对应的相等且垂直的线段，那这是很明显的一个三垂模型的标志，而正好这边有个直角三角形，所以我会做的是过点 b 做 b m 垂直 d e 交 d e 的 延长线于点 m， 那 这个时候三垂模型就出来了。好，那么三垂模型出来之后，我们会发现 f m 就 等于 d g， 而 f m 里面就会有 e f， 那这个时候我们除此之外又能得到的是什么？ b m e 和我们的三角形 c d e 这两个三角形是全等，所以 m e 就 等于我们的 e d， 所以 整个 m f 就 等于二倍的 e f 加 d f。 能理解，二倍的 e f 加 d f。 好， 那所以接下来我们就去进行等量代换就可以了。为什么这样去说呢？你看 c d， 它是应该等于二分之根号二倍的 a f 加 f d， 所以 给它等量代换出来之后，就可以得到对应的结论了。 c g 等于二倍的 e f 加上根号二倍的 a f。 好，那这是我们说从条件入手，找到三锤模型，那接下来我们可以继续还是一样的辅助线思路啊，还是一样的，我们去想应该怎么做。当我看到这有一个点，这有一条垂直且相等的旋转线断的时候，他是不是很典型的手拉手？ 手拉手不就是一条线段绕着某一个点旋转多少度得到对应相等的吗？好，那接下来我就去构造手拉手就好了呀，那怎么去构造？我们会发现这是一个四十五度，对吧？我们可以知道 d e 是 什么？是中位线， d e 如果是中位线，那我再去连接 cf 并延长的时候交于点 n 的 时候，我们就会发现 ef 就是 b n 的 中位线，那这个时候 ef 就 应该等于 b n 的 一半。 接下来 b n 可以 怎么样往我想求的线段上去转移，这个时候我们就可以根据我们这个大的等腰值来去得到了啊。好，那这个大的等腰值，我们会发现这个角是四十五度，这是九十度，所以很明显它是等腰值。等腰值之后的话，我们就可以得到 fn， 它应该等于 af， 也等于 fc， 这叫什么？ 斜边中线，对吧？一个直角三角形，斜边中点等于斜边一半。好，所以这三条线段是对应相等的。好，那现在一条边另外一条边都相等了，接下来找加角就好了，加角也很好找，这是九十度，减去中间的这个角就是一个蓝色的点。好，那这也是九十度，减去中间这个角就是一个蓝色的点，所以这两个三角形边角边全等， 全等之后，我们就可以知道 b n 应该等于 a g， 也就等于二倍的 e f， 所以 我现在 a g 就 换成二倍的 e f， 二倍 e f 加上二倍的 a d 等于 c g， 那 我接下来把 a d 去给它往 a f 上转就好了。最后的结论也是一致的，所以这个方法会比上面这个方法简单。上面这个方法是三垂的思路，这个方法是什么？手拉手中卫线的思路。 好，那除此之外还有一个就是我们辅助线会更简单一些的啊。好，那这个也是根据手拉手的时候，它会有一个旋转九十度， 而 a f 加四十五度，这个时候可能也会有一个旋转九十度，所以我会去连上一下 c f， 连完之后我们是可以去证明的，因为地点是中点， a d 等于 c d 九十公共边，所以这两个三角形全等，那么 a f 等于 c f， a f 等于 c f， 然后 b f 等于 g f， 这不就是很典型的手拉手旋转的吗？共顶点等线段。好，那接下来我们就可以得到 a b f 这个三角形 和我们的三角形 c g f 是 全等的，那 c g 这条边就被转移到 a b 上来了， a b 等于二倍的 d e， 那 d e 又变成了 d f 加 e f， 所以 它就是二倍的 e f 加二倍的 d f， 那 接下来把 d f 转化成 af 也可以， ok 吗？这两个是不是特别简单啊？直接去用就好了，这就是很典型的手拉手的思路啊，手拉手的思想， 如果你在考试手想到的是这两个方法，那其实还蛮不错的啊。好，那接下来除了这个之外，其实还有的是什么？因为我们刚刚根据前面的条件都已经推出来了，点 e 也是终点，那就会用倍长中线了啊，怎么去用呢？点 e 是 终点，那你可以找到的，你看啊，你看可以找到的是什么？ 我这个方法其实就很像是我把 d e 去进行了什么加倍延长的思路，是不是？那我除了延长 d e， 还可以延长谁？ f e， 因为我要找的就是 e f 吗？我得去找 e f 跟谁有关，所以我会把 f e 加倍延长到点 n 连接 c n， 这个时候会有一个八字全等，八 八次全等之后， b f 就 被转移到 c n 上了，那么 c n 和 f g 是 对应相等的， c f 和 af 是 对应相等的。那接下来我又可以知道，因为它们俩是平行且相等，所以这个角等于这个角，那这三个角就都对应相等了。除此之外，这个大角加四十五等于一百八，所以它是一百三十五，那这个大角也是一百三十五，因为这边是四十五。 所以呢？现在角角边两个三角形全等，所以 ag 等于二倍的 ef。 那 接下来 ac 等于根号二倍的 af， 也就可以进行等量代换了， ok 吗？好，那除了这个方法之外，还有一个叫连 b n 构造平四。但其实这个方法我不推荐了，因为如果你这个方法都能做出来，你再去连 b n 的 意义不太大了。好吧，首选的肯定是这两个方法啊。然后剩下的这个就只是给大家去说几何思路的具体过程没有去写，大家自己去记就好了。好，拜拜。

意思，在坐标平面内，把直线向下平移一个单位，上加下减，得到 y 等于二 x 减二减一， y 就 等于二 x 减三，所以选 c。 答案给大家复习一个知识，针对 x， 坐标移 动左减右加。针对 y， 坐标移动上加下减，图形移动上加下减。 此题在三角形 a、 b、 c 中， ab 等于 ac， 所以 角一等于角二，角 a 等于三十度。 在三角形 a、 b、 c 中，我能把角一和角二的度数算出来，以 b 点为圆心， b、 c 长为半径，画弧交 a、 c 为点， d 连接 b、 d， 那 么 bc 就 等于 b、 d 为半径。那我们求 a、 b、 d 的 度数是？我们已知角一等于三十度，角一等于角二，那么角一加角二的度数就等于一百八十度。减三十度 等于角一，角二相等，所以角一等于角二就等于一百五十度。除以二等于七十度， b、 c 等于 b、 d， 所以 我角二就等于角三，得角四等于三十度， b 要求的角 a、 b、 d 就等于角 a、 b、 c， 也就是我们的角一减去角 b、 d、 c， 也就是我们的角四就等于七十五度。减三十度，最后等于四十五度，所以选必答。

峰台一默的这个新定义，这道题比较难，几何快待熟稳，新定义还能提智商。大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的峰台一默的这个新定义，这道题比较难，如果你精读能力不够，动手操作能力不够，那么这道题可能第三问做不出来 啊，包括第三问最后的计算也有一定难度啊。首先你如果做过这道题，你知道这就是我们双题经常讲的一个经典模型，大家在我们的讲义上应该看过这个吧， 啊，定边对定角背后的弧度，并且我们这个讲义场举的这个例子的六十度，就是这次风台一摸，别管，是啊，这这个第二问，第三问考的都是六十度啊，然后呢，大家可以看一看，但是注意要细节确认是不包括这个的，是不包括这个的 啊， ok， 然后呢，这个定义的解读呢，各位请看啊，也就是说如果我们哎确定了 m n 以后，怎么找这个点屁呢？各位，我简单给大家说一下 啊，首先呢，如果你了解了我们这个葫芦啊，这个呢，大家如果不知道的话啊，你们可以问我们啊，然后呢，这个我就不在这讲了。然后 如果你知道 m n 确定以后，咱们拿六十度对答案，因为第二个第三个都是六十度，那么就是哎，做一个以 m n 啊，就是这么说吧，从圆心 连 m n， 它会组成一个一百二十度的等腰三角形，就是这样一个一百二十度等腰三角形，就是以它为底边做一个一百二十度等腰三角形，然后呢，你就能找到圆心， 找到这个以后呢，现在这个红圆是 m n， 然后呢，正好和 ab 重合的时候啊，呃，这，这个，这个弦应该是 ab 啊，应该是 ab， 当 m n 和 ab 重合的时候，点 p 的 轨迹就是这个红圆，当然了啊，是上半部分，不包括这一部分啊，咱们只看一半吧，好吧，然后呢，根据极端性原理，现在这个红圆 就是最大的一个，然后呢，另外一个极端呢？你可以这么说吧， m n 在 蓝边上，在这个蓝色的 ab 弦上，它足够小的时候，各位你能理解，那么 那个圆啊，那个点 p 的 轨迹就可以无限地贴近于这个蓝色的弦，所以各位能不能理解，也就是说，当弦 ab 确定的时候， m n 最长是和 ab 一 样长，对应的点 p 就是 这个红色的这个圆圆周。当 m n 缩小的时候，比如说啊，我再给大家画一个啊，如果我给大家画一个小点的绿， 也就是说，各位请看，当这是 m， 这是 n 的 时候，各位你会发现，那么点 p 的 轨迹就是这样一个绿色的幽弧 啊，绿色的油壶，那么再从最大的圆到最小的绿圆啊，这个缩小的过程中，它是连续的，所以你能理解，就点屁的轨迹，其实就是整个上半部分，当然，然后呢，也包括下半部分， 但是请注意啊，各位，中间这个，这个 ab， 这个弦是不包括的，因为人家说的很清楚，弦 ab 和弦 ab 外一点 p， 所以 点 p 一定不在弦 ab 上， 所以中间啊，有这个，呃，一个 ab 的 弦，这是个虚线啊， ok， 这是轨迹 啊，第一问呢，还是比较简单的，各位是吧？然后呢，你们可以看一看，就是这个 p 二，并且呢，这个时候这个 m n 正好就是最长就是 ab 啊。第一问，第二问，各位，如果你听懂了刚才那个定义， 首先它说 ab 的 长为二，咱们就以点 a 啊为圆心，画一个二的啊，这这个半径为二的圆，你会发现和原来这个圆 o 交于 b 一 b 二，上下各两个。那么 根据刚才对轨迹的分析，你会发现这一部分包括这一部分，但是不包括这条蓝线啊， a b 一， a b 二都不包括，就是这样一个点批的轨迹， 你只需要让这一个斜率为根号三的直线从上到下有虚动，你会发现相切的时候就开始有了，然后在这个过程中，你仔细看一看啊，你会发现一直有，一直有，一直有，到最后这个阶段，这个阶段呢，各位，你是比较容易能找到 这个绿色的圆的圆心的啊，他在 x 等一上，然后呢，你找他具体的位置，你根据垂相切垂直这个长度，呃，是一，然后呢，你就可以算出来，比如说这个点的坐标啊，然后呢，或者是哪个好的啊，简单的点的坐标，就这个点的坐标应该能算出来，因为这个长度是一 啊，然后呢，你用这个点子坐标加上这应该是这个，这是三十度吧，应该是二吧，你们可以确认确认啊，我呢，待会录完视频以后，仔细算一算，把这个第二问的答案给大家贴到聊天区，好，重点看看。第三问，这个第三问说实话真挺难的， 很多同学都看不懂这是啥意思，来听老谢给你解读解读。首先大家还记得定义吗？定义上的关联值，咱们再看一看，定义的关联值就是 m n 的 长的最大值， 所以这个关联值自带一个最大属性。那听老谢给你用大白话解读解读，啥叫最大呀？他是最大值，那就是他行，但是比他大一点就不行，因为比他大一点，那他就不是最大值了，所以四分之三 m 行，更大的不行。 那么这个时候老谢怎么办呢？我先画一个，哎，就是四分之三，各位同学请看啊， 这个就是 m n 是 四分之三 m 的 时候， m n 是 四分之三 m 的 时候，对应的是一个籽圆，当然这个 m n 呢，这个线段它可以在 a d 上从左到右全面吸的有序动，那么它就会带着籽圆。大家看啊，从左到右全面吸的有序动， 他划过的痕迹在动的过程中就是这个黄色的部分。各位啊，就是这个黄色的部分，包括下边是水平的啊，这是水平的，哎，就这个黄色的部分。各位，首先咱们啊， any one 大 法，咱们先画出来任意一个，就是画出来四分之三 m 的 时候。 另外呢，咱们再看看，因为它四分之三 m 更大就不行，各位请看，我再画一个红色的圆，红色的圆，它对应的这个弦 m n 就 已经比四分之三 m 要长一丢丢， 长一丢丢。各位请看，那这个红色的圆也随着它的这个弦 m n 的 长，然后从左到右有序动，在动的过程中，你会发现它划过了 原来这个黄色区域，就是这个四分之三 m 对 应的点 p 的 绝大部分区域，并且这个红圆可以无限的接近四分之三 m， 它只要比四分之三 m 大 一点就行。各位你会发现，当这个红圆足够小，足够小，就是小的快，和四分之三 m 那 个对应的那个籽圆一样大的时候， 你能发现这个黄色区域几乎都被它扫过了，就剩下这样一个蒙古包似的一个边界了，大家看看。 所以你能理解这个绿色的这样两个弧，它们就是 能够满足最大是四分之三 m， 再大一点不行，因为再大一点就可以被红圆扫过啊，除了这一部分以外，它都可以被红圆扫过，红圆对应的是哎，这个 m n 超过四分之三 m 的。 各位，所以首先我们能够通过动手操作，这点非常重要，努力进行具象化，你一定要画图，我们就会发现满足提议的点 p， 也就是说关联值为四分之三 m 的 点 p 啊，最终他的轨迹是这样一个绿色的。然后接下来是计算，我建议大家暂停一下啊，这个计算也挺难的。好，我再给你们讲一下计算， 计算呢，我告诉大家啊，很多同学老师我找的理解点不会算，其实疑难计算的无敌模式非常简单，就这个方法可以找出来所有的决定性元素。大家看咱们刚才找的那个点， 这就是刚才咱们那个哎，那个弧对不对？那个弧上你很容易发现它到 a b 的 终点的最大的时候就是这个 f， 为啥？你看这个绿圆，它的最后一个焦点是不是 f， 所以 f 点就是那个哎，离距离最远的。然后呢，咱们算一算，各位咋算呢？我跟你说啊，一定要找到所有的元素，因为这个 f 点在这个小籽圆上，这个籽圆它对应的 m 是 四分之三 m， 四分之三 m 除以根号三，就是首先这个小圆的半径 啊，咱们找到圆心，圆心到 f 到 b 到 c 的 距离都是等于，哎，四分之三啊，这这个四分之根号三 m， 因为四分之三 m， 然后呢是这个底边除以根号三，就是这个半径，这个幺 啊，所以四分之根根号三 m， 是 这个。然后呢，二分之 m 是 这个，并且这个角还是三十度， 你会发现他比他还真等于根号三比二，所以你就很容易发现这是一个三六九三，所以你就可以算出来这是四分之一 m， 这就是六十度，这就是三十度。知道三十度，还知道四分之一 m， 我 们就往这边做个垂，做个垂以后这就是八分之一 m， 这就是八分之根号三 m 啊，那么这个时候我们还知道它也是半径四分之根号三 m， 根据勾股定律，它和它，我们就可以算出来它啊。最后算了它以后，我们会发现这是八分之根号十一 m， 这是八分之根号三 m， 那 么所以 d 就 用 m 来表示是这个。而大家还记得 m 的 范围是二到四吗？所以 m 最小的时候 d 也最小，哎，对应的是四分之根号三加根号十一，最大的时候二分之根号三加根号十一。哎，这道题就做完了， 这道题说实话挺绕的，但是你要用我的具象化，用我的精读啊，然后呢，用我的决定性思维，你会发现这道题其实还是能在考场上做出来的。

来，你能相信吗？今年北京一模几宗最难的区竟然是石景山区，而且这道几宗堪称是石景山近十年以来最难的一道几宗题。 这道题目呢，告诉我们，角 a、 c， b 是 九十度角 a b c 这个小角是阿尔法，同时呢， d 在 b、 c 的 延长线上，把 a、 d 这条线绕着 a 点旋转了一百八十度减去二，阿尔法转到了 a、 e 这个线段，所以 a、 e 和 a、 d 一定是相等的。 同时呢， e、 f 是 垂直于 bc 的， 又做出了 e、 f 的 中垂线，并且和 a、 c 与 ab 都相交，咱们把这条线做出来， 这个点叫做点 g， 这个点叫做点 p， 而此时与 a、 c 的 交点，这叫做点 q。 我 们要研究的是 p q 和 d、 f 的 长度。这道题目非常非常的经典，大家先来注意， 这是阿尔法，这是九十度，那么角 b， a、 c 就 一定是九十度减去阿尔法， 九十度减阿尔法就是一百八十度减二阿尔法的一半。看到了这种出题形式，一定要找到另外一个九十度减阿尔法的角，这就是北京近几年出题的风格， 而这有垂直啊，显然可以做对称呀，我们不妨呢延长 bc 这个点呢，我们叫做点 m 的 话，我们再连接一下 am， 我 们让此时 cb 和 cm 是 相等的， 那么我们就知道了， ac 是 垂直平分 bm 的， 那么 ab 的 长度显然和 am 的 长度相等， 而此时角一和角二的和就是九十度减去阿了法，而角二和角三的和也是九十度减阿了法，那么角一和角三一定相等，你会发现边角边， 边角边，咱们把 b、 e 一 连那一个全等，就出现了，此时三角形 m a， d 和三角形 b， a e 一定全等，那么此时这个小角由于和角 abc 相等，杀了法， 这是阿了巴，这个小角也是阿了巴呀，那么 a b 就 变成了 c b e 的 平分线。但是这道题目写到这，还没有真正进入到解决问题的环节。这道题目的核心其实在这 g 点是 e f 的 终点，并且 g q 是 垂直平分 e f 的， 那么此时 g q 和 f c 也一定平行，既有终点又有垂直。我一定要连接 e p， 我 连接 e p 并且延长这边的焦点叫做 n 的 话，你会发现此时 g 点是 e f 的 终点， 并且 p g 和 n f 平行，那么就是中微线。点 p 就 变成了 e n 的 中点，那么 p 既然是中点了，那么连接斜边的中线就变得顺理成章。咱们再连接一个 p f， 那 么 p f 的 长度和 p n 的 长度和 p e 的 长度一定是相等的。 而我们最终要问的是 p q 和 d f 的 关系。注意了，各位家长啊，各位同学，这道题目一个边长都没给， 没给边长的情况一定要设位置量。那么这种问题你会发现，这儿有垂直，这儿也有垂直， p q 是 能平移的，我只要过点 p 向 c f 做上一条垂线，这个垂足咱叫做 h 的 话，那么 p h c q， 它一定就是个矩形， 那么 p q 就 平移到了 c h。 而且我们又知道了 p n 呢和 p f 相等， p h 就 必定垂直平分 n f， 那 么这两段儿也一定是等的。 ok， 我 就设这儿是一个 x， 这儿也是一个 x。 同时呢，我又知道了 b e 的 长度和 b n 的 长度相等，因为点 p 是 e n 的 中点 p b 平分了 e b n， 所以 这儿我设成是 a 整个的。注意，从这儿开始啊， n b 的 长度也一定是 a， 同时我们知道了 d m 的 长度，由于全等它还是 a， 我 们再把 c d 设成 b。 大家注意， c m 和 c b 一定相等，此时 c m 的 一部分是 a， c b 的 一部分也是 a， 那 么剩下的这两小段 c n 和 c d 不 就都是 b 吗？ 写到这之后，你发现我的 p q 能表示出来了， p q 的 长度呢，就可以写成 b， 再加上一个 x， 而此时 d f 的 长度就是二 b， 再加上两倍的 x， 那 么显然 d f 等于两倍的 p q。 这道题目咱就做完了。 作为近十年最难的一道几宗这道题目的考点，大家注意，第一件事， 看到了二倍角，要找等角做对称。第二件事，看到了终点，有了垂直，要想到中位线， 然后在整个直角三角形中要有斜边中线构造等腰的意识。有了这些内容之后，这道题目你才能做的出来。下课！

近两年，北京在考察手拉手模型时，很爱用一百八十度减二阿尔法。二五年北京中考，二六年海淀一模、石景山一模都用了它。 今天我们单独把它拎出来，看看如何快速处理构建手拉手全等。如图， a、 d 等于 a e 角 d a、 e 等于一百八十度减二阿尔法， a、 c、 b 为直角三角形，其中角 b 等于阿尔法。遇到这样的条件，我们要能想到构造出手拉手全等的条件，也就是说，我们要做出另外一个角，让它等于一百八十度减去两倍的阿尔法。 怎么做呢？延长 b、 c 至既使得 b、 c 等于 c、 g 就 可以了。 a、 c 是 b g 的 中垂线，所以 a、 g 等于 ab。 又因为底角等于阿尔法，所以顶角角 b a、 g 等于一百八十度减二阿尔法。这样我们就得到了手拉手全等的条件了。共顶点、等线段等顶角 三角形 d、 a、 g 全等于三角形 e、 a、 b。 再来看情形二，依然是 a、 d 等于 a e 角 d， a、 e 等于一百八十度减二阿尔法， a、 c、 b 为直角三角形。不一样的是，这次是共顶点的角 b， a、 c 等于阿尔法。 辅助线依然是延长 b、 c 至 g， 使得 b、 c 等于 c g。 然后我们再延长 g a 至 h， 使得 a、 h 等于 a g 也等于 a b， a、 c 是 b g 的 中垂线，所以 a、 g 等于 ab。 角记 a、 c 也等于阿尔法，因此角记 ab 等于二阿尔法。这样角 b、 a、 h 等于一百八十度减二阿尔法。我们也得到了手拉手全等的条件，共顶点等线段等顶角 三角形 d、 a、 b 全等于三角形 e、 a、 h。 第一道真题二五年北京中考属于情形一、底角阿尔法。在三角形 abc 中，角 abc 等于九十度，角 abc 等于阿尔法。 将线段 a、 d 右点 a 逆时针旋转，一百八十度减。二、阿尔法得到线段 a、 e。 其他主要条件还有 e、 f 平行于 a、 b。 用等式表示 df 与 bc 之间的数量关系，并证明辅助线就很明确了。我们延长 bc 至点 g， 使得 bc 等于 c、 g， 这样我们得到 a、 b 等于 a、 g。 还有角 b， a、 g 等于一百八十度减。二、阿尔法于是就有了手拉手全等的条件。 共顶点等线段等顶角减去公共角后，角 d， a、 g 等于角 e、 a、 b。 再加上 a、 d 等于 a， e， a、 g 等于 a， b 由 s a、 s。 三角形 d、 a、 g 全等于三角形 e， a、 b 由全等我们推出 d、 g 等于 b， e。 还有两个大的钝角相等。 角 a、 g、 b 等于角 a、 b、 e 都等于一百八十度减阿尔法，所以角 f、 b、 e 等于角 a、 b、 e 减去角 a、 b、 c 等于一百八十度减。二、阿尔法 又因为 e、 f 平行于 a、 b， 所以 角 b、 f、 e 等于阿尔法。在三角形 b、 e、 f 中，角 b、 e、 f 等于阿尔法等于角 b、 f、 e， 所以 b、 e 等于 b、 f。 为了进一步探讨 d、 f 和 b、 c 之间的关系，我们不妨设 g、 f 等于 a， f， c 等于 b g、 c 等于 b c， b、 f 等于 b， c 加 c， f 等于 a 加二 b， d， g 也等于 a 加二 b， 所以 d、 f 等于 d， g 加 g， f 等于二 a 加二 b 等于二 b、 c。 小结一下，这道题的关键是构造辅助点记使 b、 c 等于 c、 g， 这样得到手拉手权等的条件。第二道二六年石景山异模同样是情形一，角 a、 c， b 等于九十度角 a， b， c 等于阿尔法。 将线段 a， d 右点 a 逆时针旋转，一百八十减二，阿尔法度得到线段 a， e。 过点 e 做 b， c 的 垂线，垂足为 f。 做线段 e， f 的 垂直平分线垂足为 g。 求 p q 与 d f 的 数量关系，延长 b d 至 m， 使得 b， c 等于 c m。 这样我们得到 a， m 等于 ab。 还有角 b， a， m 等于一百八十度减二，阿尔法。于是就有了手拉手全等的条件。共顶点等线段等顶角减去公共角后，角 m， a， d 等于角 b， a， e。 再加上 a， d 等于 a， e， a， m 等于 ab。 由 s a， s 三角形 m， a， d 全等于三角形 b， a， e 由全等我们推出 d， m 等于 b， e 还有角 d， m， a 等于角 e， b， a 等于阿尔法，所以角 e， b， a 等于角 abc 等于阿尔法， ab 是 角 e， b， c 的 角平分线。 第二步见到垂直平分线连两岸连接 p e 和 p f， p 在 垂直平分线上，所以 p e 等于 p f。 注意到 p g 平行于 d， b， 所以 p g 还是中位线，自然地延长 e p 交 d， b 于 n， 所以 e， p 等于 p， n 也等于 p f。 还有一个关键结论没用， a， b 是 角 e， b， c 的 角平分线。 上面这些都是根据题目条件应该能立马想到的辅助线和构造，但似乎少了一个桥梁， 前面手拉手全等得出 b， e 等于 md， 也转换到了 d， f 所在直线上，但跟要证的结论似乎没有关系。这里关键桥梁就是看图猜想 b， e 等于 b n。 这样 mb 各段都与 d f 或 p q 相关了。有角平分线，立刻想到过 p 作两边的垂线作 p， k 垂直， b， c 于 k， pl 垂直， b， e 于 l。 斜边相等，直角边相等。所以三角形 p， n， k 全等于三角形 pal。 进而容易证明三角形 p， n， b 全等于三角形 p e， b。 所以 b， n 等于 b， e 等于 dm， c， m 减 dm 等于 c， b 减 b， n。 也就是 c， d 等于 c， n。 四边形 p q， c， k 是 矩形， p， q 等于 c k， c， k 等于 n， k 加 c， n 等于 df 的 一半，所以 df 等于二 p q。 第三道二六年海电异模，这道是情形二，顶角阿尔法。角 a， b， c 等于九十度角 b， a， c 等于阿尔法。将线段 a， d 要点 a 顺时针旋转，一百八十减二阿尔法度得到线段 a， e。 用等式表示 a， b， c， d 和 c， e 的 数量关系，这个是顶角为二法的情形。我们延长 c， b 至点 n， 使得 b， n 等于 bc。 再延长 n a 至点 m， 使得 am 等于 an。 因为 ab 是 钟垂线，所以 a， n 等于 ac。 角 n， a， b 等于角 b， a， c 等于阿尔法。角 m， a， c 等于一百八十减二阿尔法。这样就有了手拉手全等的条件了。 共顶点 a 等线段 a， c 等于 am 等顶角都等于一百八十减二阿尔法。减去公共角角 d， a， c。 后角 d， a， m 等于角 e， a， c。 接下来的证明就跟合集里的前一个视频手拉手模型讲解视频一致了，这里就不再赘述了，感兴趣的同学可以看看过程。

好几何快，但是稳，心里还能提直畅。大家好，我是双擎数学邵老师啊，那今天呢啊，我给大家再次深入的研究一下西城的这个阴谋的几何综合，很多同学反应 很难啊，但是呢，今天呢，我在这个视频啊，这个靠后的位置，大家呢可以往如果着急看他的方法的话，就往后翻啊，我会给你提供他的第二问的啊，多种快速秒杀的方法啊。 当然呢，哎，这道题呢，我这个视频呢，主要是想给大家呢，再次通过新城区的这道几宗题呢，进行一个深入的探究， 看看通过这道题对我们接下来啊各位同学在几何综合的复习这块啊，还有哪些启示啊，所以呢，这个视频呢，可能会比较长，前面呢会对几何综合考察的一些热点的方向呢，去进行一个深入的挖掘 啊。最后呢，我会给大家提供啊，六种啊，目前的啊一些答题方法啊，当然我相信其实像几何综合一道题有十几种做法非常正常，也欢迎呢咱们各位同学家长，包括同行啊，在留言区啊，这个批评指正， ok， 好， 那这道题呢，题目条件各方面我就不读了啊，因为大家现在应该比较清楚了，而且我今天呢，重点就讲他的这个括号二，这个第二问， ok 啊，那么在这道题目当中呢，我想跟大家一起研究啊，首先先研究几个点啊， 第一个想要研究的点就是关于角度的这个理解啊，很多同学呢，在这个做几宗题的时候，往往对于角度这种条件呢，不是那么的敏感 啊，因为边呢，往往一标哎，比如说这道题 a b 等于 a c 是 吧，你一标这个边长相等，哎，他就比较醒目的提醒着我们啊，不管是哎用颜色去标啊，还是你标这种啊，斜杠啊等等 啊，但是角度这个呢，一个是有很多同学都没有标角的习惯啊，很多同学标角都这么标，一个圆弧代表一切是吧？啊，所以呢，往往很多同学不够重视它 啊，那么在这里面通过这道题呢，哎，我对角度这块呢，有这样的一些这个建议或者提示给到大家啊，第一个呢，就是关于主角角的这个概念啊，这也是咱们双题呢原创的一种说法啊，咱们呢，提出了主角，三角前有主角角，主角角什么意思？一般来讲， 题目中给某个角取一个名字，那你想想，它其实不是为了重点介绍介绍这个角 b a c 根本能理解吗？它其实为了重点介绍的是这个 alpha， 各位同学你体会体会啊啊，它就告诉你， alpha 在 这个题目中的角度当中，它占的地位是极高的啊，为什么要给它叫叫做 alpha？ 那 就意味着这道题的很多其他角都可以用这个字母给它表示出来， 这样的话，他可以串联起整个这个题目中的很多的其他角， ok， 所以呢，通常呢，这种的主角角，我们呢，第一个要标图传染啊，第二个要关注这个角度的关联性 啊，咱们叫同角 b 关联，对不对？比如说你有标阿尔法的，哎，有标二阿尔法的，有标二分之阿尔法的，这有背角关系，对吧？你可能还会标九十度减阿尔法的互余关系，是吧？哎，然后看到阿尔法，如果题目中还有一百八十度减二阿尔法，往往就会有 这种 r 为底角的等腰三角形，这叫哎，主角角的关联性哎，各位同学，你不信你可以翻一翻其他的带有这种 r 角的题目，你去验证一下是不是这样的 啊，所以在这里面的话，我们一定要标图传染，把能跟他相关的这个角度，尽量的都去确认一遍啊，都去过一遍， ok 啊，这就是关于这个主角角的理解啊，像这道题当中，哎，有一个非常重要的跟他关联的这个角，就是这个角是个阿法， 对吧？因为他后面有个平行线啊，平行线，那这个角的阿法在这道题的证明过程中啊，对全等这块啊，这个起着非常关键的作用。 好好，第二个，这道题呢，还有一个角度呢，就是这个 c i q 等于角 a p c 啊，这种呢，给两个啊，两个隔着老远的十万八千里的，这这样的两个角是吧， 那通常来讲，他就是我们造全等的重要素材啊，要么这两个角就是某两个全等三角形的对应角了，要么呢，哎，通过他们再找到第三者啊，比如说这道题，大家如果细细的挖掘，还能发现这样一个贝塔， 对吧？哎，那这样一来，这道题这个贝塔和这个贝塔之间的这种关联性就极强啊，除了这两个贝塔的补角也是相等的 啊，这两个补角的相等，对这道题的这个证明呢，也是有哎，很大的价值的啊，所以要充分的标图传染，把它开发透。 当然，这道题关于角度这块，还提供了像垂直呀，像平行啊等等这些非常常见的传染角的工具啊，咱们对这些可以倒角的工具特别敏感 啊。最后呢也提醒大家一下，虽然这道题呢没有重点考察，那还有可能是用了一次全等以后，再利用全等的对应角相等进一步转化啊，特别是我们最常见的这个几个全等工具，比如说 旋转的啊，这个全等，还有对应边的加角等于旋转角这样的关系是吧，哎，八字全等有平行线是吧？等等，这些大家要关注。 总之在这个角度这块，各位同学，如果你通过这道题哎进行了这种做题，并且进行了一些研究以后， 能不能对这个角度形成自己的一个总结，或形成自己的一个框架笔记，对吧？啊，我们建议大家有啊，那从这里面，哎，我再次啊理解了一下，那我发现就是首先乞丐中给的角度通常都是为了这个权的 来进行服务的。大部分情况是这样的，因为咱们这二十七题基本上就是要考全等的啊，所以给的这些关系不一定是直接就能用的，当然有可能直接能用 啊，我们一定要通过做集中的最基本的习惯叫做标图传染啊，再结合在我们熟悉的工具去灵活使用，那为什么要标图传染，因为角度最容易被我们忽略，只有你才能把它用的准，用的明白 啊。比如说这道题目中的关于贝塔，大家有没有发现我标出来的这个靠下的这个贝塔这个角啊，这个在后面的我的几种方法当中啊，起着非常重要的作用，有些方法就是得看一看，看到这里有个贝塔角才能想的清楚，想的明白， 好，这就是这道题的第一个啊，这个探求点，其实我的探求点就是价值点啊，就是大家看看通过这道题能不能让你对于角的理解，哎，又上了一个台阶，上了一个层次啊。 好，第二个，这道题的这个探求点是什么呢？是垂直哎，有同事说，垂直有什么好探求的对吧？标个直角，然后去倒角吗？护于角吗？ 确实有一些垂直就是给我们用来倒角用的，但是对于垂直这个条件来讲，他背后的东西可太多了 啊，很多同学往往看到垂直以后，没有深入的去想啊，比如说看到垂直，对吧？他是不是有直角三角形 啊？像咱们这个图当中有 dcp， 有 bcd 是 吧？有 acd 啊，一系列的这个直角三角形，那么这些直角三角形出现了，我们就可以用 勾股定律，斜变中线，哎，等等这样的工具是吧？这是直角三角形天生自带的啊，天生自带的，所以而这些工具的话，往往它不是那么显眼，它不是两个对应边相等那种，那么明显的摆在眼前， 都是背后要去再挖一层的，所以有些同学呢，往往看不透他啊，那再一个，哎，直角这个条件各位一定要重视，他有一个非常非常重要的热点的考点， ok 啊，叫做直角补等腰。那么很多同学对于直角补等腰的理解，他停留在补完等腰，会有旋转的手拉手，其实不只是这样 啊，这个咱们呢，在二三年中考有直角不等腰，补完以后旋转手拉手，对吧？哎，咱们二五年中考也是直角不等腰，补完了以后旋转手拉手，各位同学可以自己去翻一下啊，我就不给大家看图了啊 啊！然后呢，像这个今年的海淀一模也有直角补断腰， ok， 但那个补完以后就不一定是找一个旋转圈的，同样，咱们这个题目也可以直角补断腰，而且你看到因为他有三个直角三角形，理论上来讲可能有三种补法，是吧？啊，所以就带来了这种复杂性， 那么这个时候我们要想明白，我为什么要补等腰啊？直角补等腰是为了得到全等工具，而且我们会发现，咱们双体总结的四大全等工具，他都能找到 第一个，哎，补出等腰以后，等腰自带共端等长，是吧？哎，共端等长就意味着有旋转全等啊，各位体会一下啊，体会一下，比如说我把这个，这个，这个 c d p， 哎，我补成一个等腰，哎，变成了一个这样的一个等腰三角形，这就共端对称，是吧？并且补的时候呢，可以往上补，也可能往下补， 各位一定要看清楚，对吧？我也可以，甚至还可以这么补啊！同样，我在这里面也可以把这个 a、 c 这个边往往右边补，往往是一种非常常见的处理方法， 对吧？啊，当然也可能是往下面补，对吧？哎，这些都是他非常有可能的一些直角补等腰的补法，所以一个直角出来，咱们有多种补等腰的方向，而且补完以后，这些等腰往往首先都有自带边等，有旋转圈等 好。其次呢，直角补了一个等腰啊，为了方便看，我还是选择中间的这个小的啊。补完等腰以后，大家看，这里就有轴对称 啊，它自带这三线合一是吧？啊，如果是三线合一，就自带一个终点关系，所以你看，我要往左边，比如说补一个这个 d f 和 d p 相等，是吧？哎，那就显然 d 就是 一个新的终点 啊，终点就背后可以用八中斜三是吧？哎，同样，哎，这里面有一个轴对称的结构对吧？哎，这个白塔角就可以跑到这个白塔这个地方啊，好，再一个呢，就是他有可能直角补完等腰干嘛呢？就只是给你提供一对边等 啊，你只要利用这个边等去作为其他全等的转化一种普通全等，所以后面可能用照猫画猫 啊，咱们这道题也会存在一种这样的做法，所以关于这个点，我相信各位同学通过刚才我给大家的一个描述，应该开始重视了啊，所以垂直或者说九十度可能是最容易被咱们忽略的一个热点条件， ok 啊，这里面千万不要只是标一个直角符号，甚至有时候题目都已经标好了，你都不管他啊，这我认为，哎，我给他这个加一个属性，他可能是一个典型的叫做扮猪吃老虎的条件， ok， 看起来这种人畜无害的，但其实背后你看隐藏的四大工具全部都能从他背后挖出来， 是吧？所以面对垂直这个条件，我建议各位同学做做一个轻探索，哎，就是我一看到这个垂直了，首先看背后有几个支教三角形啊， 对吧？哎，所以潜在的边的勾股定律的关系啊，如果计算就勾股定律对不对啊？潜在的斜边中线你都可以看一眼啊，然后呢，这里可能往哪个方向去补等腰啊，哎，补完了以后，大概有个什么效果呀？先稍微建立一个直观的感受 啊，所以快速确认一下，这个叫浅探索，这样你有个印象，一会呢，信息多了啊，再去想，从这个条件去开发，是比较容易开发的。 ok， 好，这是这道题的啊，第二个，哎，值得我们深入思考的啊。当然呢，哎，大家可能有更多的更好的一些想法，也欢迎大家啊，在这个视频后面留言去啊，我们进行交流。第三个，就这道题，是个很好的探讨终点的一个啊，一个题目 终点呢？首先呢，咱们呢，跟同学们讲过很多遍，看到终点就是八中斜三八字全等啊，就所谓的背长中线是吧啊，然后中位线，斜边中线，三线合一， ok， 那 这道题呢，它的终点信号其实就很多，对吧？哎，除了题目中给的一个明显的意识，终点意识 ap 终点啊，包括刚刚说的这个直角不等腰以后，这个 d 很 有可能就是个终点 啊，很有可能是终点，所以这里面终点的线画很多的啊。另外就是这个里面，如果看到两条线段有两倍关系，这道题呢，我们可以猜 b q 等于二倍的定义对不对？ 哪怕题目中没有终点，结论中出现这种两倍的线段数量，这两条线段可能隔着十万八千里没管点，他往往背后也会藏在终点， 因为你说这两倍线段怎么出来呢？对不对？最快的，最容易得到两倍线段的，往往就是终点是不是？当然，如果题目中有三六九啊，或者什么呢，又是可能另外的可能了，但大部分情况下，这个背后都有终点， ok， 好， 那再一个就是这个刚才说的终点有八中斜三，各位要注意啊，终点背后的这个八中斜三这四个工具，他经常是组合拳 啊，经常会组合使用八字全等加中卫线啊，八字全等加三线合一等等。 ok， 这里面简单给大家画一个截个图来试一下啊，比如说啊，我们在这里面有一个终点的信信息， 对吧？哎，那么我们经常会看到有些题目，大家也不知道有没有见过啊，一个八字全等穿过这个终点， 同时呢，哎，这个八字圈的目的是什么呢？他为了让你得到的实际上是跟这个哎栏边相关的某一个某一个三线合一啊，因为这个三线合一呢，你又会发现他又有一个旋转圈的在这藏藏着，经常会啊， 当然这这这个不一定啊，有些题目经常会藏着一个旋转圈，等会什么样的啊，所以就这种叫组合拳， 对吧？哎，所以你看终点，你不要孤立的去看它，好啊，那么再一个就是关于这道题，关于终点的一个重要的启示啊，就是这道题的终点，很多同学看的会非常难受，因为这个终点在线段 ap 中的一部分， 是吧，这也是这道题很多时候做起来不舒服的地方。那其实如果你以后看到线段的一部分有终点，往往是再找一个终点，在这条线再找个终点，就出现了双中点结构。双中点结构，各位同学不用去记它的结乱 啊，初一的时候有的同学可能老师让记过啊，这个线段 a b 的 中点是啥？然后 a、 c 的 中点是啥？然后这两条线段啊，这两个中点连起来是哪条线的中点？不用去想，这里面就告诉大家，只要出现双中点就设参标点 啊，设参表示，各位能理解，就是对于一个双中点结构以后出来以后，他就是很容易用参数去表示他，比如说，这是 a 啊，这是 b， 对 不对？哎，假如 a、 b 有 个中点 c 啊，然后呢，我们在这里面再来一个一个一个中点，是吧？啊，比如说这个，这个里面这个 a d 再来个中点 e， 是 不是就很乱，对吧？哎，这个时候你去设参数去表示它，你发现就很简单啊。在这里面，比如说，哎，这个 d c 是 小 a 啊，这个是小 b， 对 吧？哎，那么 d e 就是 a 加 b， 那 a e 呢？也是 a 加 b 啊，那么这个时候 a c 呢？就是二 a 加 b 啊，所以 bc 就是 二 a 加 b， 哎，然后 b、 d 就是 二 a， 哎，你会发现这个 ec 就是 b、 d 的 一半， 对吧？这不用刻意记，就是这种射餐标边是非常好的处理双中点的，这个方法 ok 啊，所以这道题有没有通过这道题回头对咱们重点这块的这个认识又加强了呢？ 啊，又加成了， ok， 好， 那再一个啊，这道题呢，还有一个重要的探讨点啊，就价值点，就主角三角形这道题呢，同学们在实际考场上做的时候是感觉比较棘手的啊，那么这个我们有双题，有个独创的主角三角形技术 啊，什么叫主角三角形啊？任何一个三角形一定是有三个要素，这六个要素通常来讲只要有三个以上 啊，是跟条其他条件有关联的，或者跟结论有关联的，那这个三角形一般就是主角三角形了，就很有用了啊，甚至在某些时候有两个有用就已经很有用了。 ok， 那 这种三角形呢？通常叫主角三角形， 特别是如果这个三角形啊，他的这种有用的信息当中，既有跟条件中的核心工具关联的边或角，又有跟结论相关的边或角，那这个三角形基本就主角三角形。 ok， 他 是我们几种提速的关键，就是几何综合，有的同学不知道咋做，就在那里绕圈，绕圈绕圈 啊，绕圈就是没有目的，没有目标啊，你拿着一把利枪猎枪在在原始深里面走来走去，对吧？啊，你不知道打啥打什么啊，但是如果你知道主角三角形是你的目标，那你做题就快多了 啊，就像你打的时候，你知道你专门为了打兔子，你怎么去找兔子是吧？啊，你要去打鹿，你怎么去找鹿啊？所以主角三角形就是我们做这个几中的一个非常好的提速的技术。那么这道题呢，有一个非常非常好的三角形，主角三角形 啊，这个直角三角形，就是我们在下面的这个三角形， abm 啊， abq 啊，注意这个 m 和 q 很 容易混啊，为什么呢？首先看 ab 是 跟条件有关的，对吧？有 ab 等于 ac 这样的条件是吧？啊？然后呢， b q， 它是我们的结论边， 我们要证 b 口等于二分之一的，你看，这已经值两毛钱了啊，我们细称这个三角形三个边，三个角一共是六毛钱，这就有两毛钱了。好，然后呢，由平行线可以知道它里面有一个内角 r 三毛钱了吧。啊，由这个题目中这个角 和这个角相等，那么你会发现，这个角虽然没有直接标，但是跟条件给的两个一个主角角，一个给的等的角都有关联，所以呢，哎，是不是这个角也至少值半毛钱吧 啊，同时如果你关注到平行线，发现这是个贝塔的话啊，那这个角就是一百八减贝塔啊，那这个至少也值半毛钱吧，哼，所以这个这个三角形值三毛钱没没毛病吧？啊，那他确实是个主角三角形， ok， 这是个主角三线，围绕这个主角三线开发，是我们这道题非常快速的做法啊，那么接下来呢，哎，我给大家介绍介绍啊，这个我研究的几种这种做法啊，当然可能做法不止这些，但是呢，这些方法呢，主要是提供大家呢这个 探索使用啊，每个方法呢，我也做了一些简单的这个点评，大家来体会一下啊。啊，好，这道题呢，首先呢，就是主通过这个主角三角形来扩句 啊，这个主角三角形呢，给我们破局，主要是要通过一种照猫画猫的权的，但是呢，这个照猫画猫是不太好找的啊，那怎么办呢？你就需要找边和角的信息，而这道题主要是为了角的信号， 以及我们对于这个题目中直角不等腰的这个热点的敏感，就可以抓住这个方向啊，这个方法放在第一个说是因为主要是这个直角不等腰啊，是现在非常热点的一个方向啊，应该也是很多同学 尝试做辅助线的方向啊。 ok， 所以 我跟大家说一下，刚刚我已经说了，这个粉色阴影的三角形是个主角三角形很合理，对不对 啊？但是我怎么找这个全等呢？那你就观察他这里面有阿法角，有白塔减阿法角，对吧？哎，有白塔的补角， 所以还有红边，对吧？你要去构造，那要么就是在红边旁边构造，这道题可以啊，但是呢，一般同学不太容易想到那个方向，所以我放在后面说，要么就围绕这个角，哎，你会发现，白塔角旁边一百八十度减贝塔 这个一百八十减去的。而一旦同学们如果做了个直角，不等腰，就会发现，哎，这个红边就变成这个 c f 了， 对吧，并且阿法角也出来了啊，所以一下子就可以看出来，这个粉粉色的和这个青色阴影的两个三角形是一对全等三角形， 因为他们的三个内角都对应的啊，这个角也是北塔角啊，只要有一条边，那显然红边相等，所以不管是角边角还是角角边，都很轻松就可以挣出来这个全等了， ok， 所以 这就这道题目呢，非常快的一个方向啊。当然这个方向呢，有一个小难点，就是，哎，我们如果得到这个全等啊，我们会发现，这个 b q 呢，它是等于这个 f p 的，是吧？ 啊，这个 f p 怎么能等于这个 d e 的 两倍呢？啊？那这个时候你就要体会到，如果是共线的出现，这种隔着这个两倍的关系，一定是双中点， 所以呢，对于这个双中点的设参标编法，大家要特别熟悉，那在这里面我给大家再来一遍，是吧？啊，强化一下，一般来讲，设小的编，短的编啊，为那个小 a 小 b 啊，任意两个比较短的不等边，你设出来就行了，比如说，哎，这个 d e 是 a 啊，那 d p 是 b， 可以吧？啊，那因为 e 是 a p 的 中点，所以呢，这个 a e 呢，就是 a 加 b， 跟刚才一样，对不对？那这样一来，这个 a d 呢，就是二 a 加 b， 哎，然后呢，这个直角不等腰，有三线合一，这个 d f 就是 二 a 加 b， 对 吧？ 减去 d p 一个 b， 所以 这个 p f 就是 二 a， 也就是 d e 的 两倍，轻松出来了吧。 ok 啊，这就是双中点，咱们这个设餐标边的啊，常用处理方法，这也是咱们啊，今天给大家提供第一个思路啊，那第二个思路呢，也是围绕这个主角三角形 啊，只不过呢，在这里面我们直角不等腰呢，我不是像刚才那样啊，这个方法呢，也可以说是这道题所有证明方法当中，可以说是最简单的一个方法了啊，但是呢，这个方法呢，说实话啊，很多同学不太习惯往里面去，直角不等腰， 对不对啊？而我们会发现，因为这里面有贝塔是吧？啊，贝塔角跟这个粉色的三角形是有强关联啊，那如果我把这个 点 p 关于点 d 做一个中性对称啊，在就是在这里面截取一个 f 连接 c f， 那 这里面就出现了一个轴对称，那么贝塔就跑过来，所以这个角就是一百八减贝塔对吧， 而这个角是阿尔法，所以显然跟我们这个粉色的主角三角形角就对上号了啊，这个角是贝塔减阿尔法，对不对啊？而边呢，现成的 ab 等于 ac， 所以这个全等就出来啊，那这个全等出来了以后，咱们的这个 b q 是 吧？哎， b q 就 跟 a f 相等了， 那同样，这里面要证 af 是 这个 d e 的 两倍，也要去设参标啊，那么这里面同样我们设最小的那些部分啊，比如说 ef 是 a 啊， d f 是 b， 那 么 pd 就是 b， 那 么这个时候呢， p e 就是 a 加二 b， 对 吧？那 a e 呢？哎，也就是 a 加二 b， 对吧？ a e 就是 a 加二 b， 然后呢，我们这个要的 a f 是 不是就等于二 a 加二 b， 对 吧？然后呢，这个 d e 在 这个图里面是不是就小 a 加小 b， 所以 它俩是个两倍关系，轻松搞定， ok， 所以 这种设参啊，去处理双中点的方法非常之好用， ok 啊，那所以呢，这种方法呢，说实话啊，虽然是这个，这个 挺简单的一个做法啊，但是呢，这种内部去指导不准，要不是所有同学都很熟悉的一个方向啊，朋友们可以多去尝试，也就说在这个地垂直这个地方啊，我们可以任意去补，只要合理就补啊，当然， 好像把 c、 d、 b 补过来是不太行的，为什么呢？因为 c、 d、 b 当中没有啊，其他的有价值的边的，或者或者角的信号啊，所以补出来没有太大意义啊。 好，那接下来我跟大家说一下第三个思路啊，仍然围绕这个主角三角形，仍然是围绕主角三角形，怎么去构造？我们会发现，这个粉色的主角三角形有一百八减倍它角， 哎，在这个图形当中，现成的呢，就有一个红边，他这里面有个阿法角，但这个呢，有的同学不太好想，待会我提供另外一个思路也可以做啊，那么我们会发现，哎，如果往上做一个平行，这个就是阿法 啊，然后呢，这个地方就是被它减法，其实这种想法也可以用类似于一种轴对称的想法，因为 abc 是 个等腰三角形， 等腰就有轴对称是吧？啊，大家看吧，其实是相当于把粉色的三角形啊，沿着 bc 边上高所在的直线翻过去 啊，翻过去了，所以你如果啊对轴对称比较敏感，你也可以说这是一个轴对称的这个想法啊，其实这个想法我我我第一眼想的，当时是想试一试轴对称的工具能不能用啊，然后呢，哎，看出来 啊，那么这么翻出去以后的话，哎，咱们呢，这个 cf 就 跑到上面了啊，但是这个 cf 等于定义的两倍呢，哎，还需要你对这里面另外一个轴对称结构，就是有个等腰梯形，要稍微敏感一点 啊，因为这个角是贝塔，上下是平行的，对吧？啊，上下是平行的，所以这样一来，这就是一个等腰梯形，我们呢还需要呢，这个 这个再做一个啊， f 往下的垂线啊，正得这个左右的这两个小直角三角形全等之后， 得到中间这个 f c 啊，就是这个这个 d e 啊，这个这个就等于这个 b q 啊，然后呢，再根据意识终点等量减等量，就可以得到中间这两条线段，说明这个 c f 是 d e 的 两倍啊，也就是 b q c 的 两倍， ok 啊，这个呢，也是主角三角形，很容易切入啊，但这种对称的结构呢，我们不太熟啊，提供大家作为参考啊，各位一定要注意啊，我虽然讲几种方法，但最后我会跟大家说，我不推推荐大家啊，特别是同学们在平时 啊，去研究太多的一题多解。 ok 啊，那咱们各位家长同行老师啊，可以呢，这个多研究是吧？啊，咱们有时间啊，有精力啊。好， 那接下来呢，我们再来看看，如果我们对这个里面的条件比较敏感的话，我们还可以怎么做呢？那就是观察发现，只要你看到这边有一个贝塔角，这边有一个贝塔角， 哎，那你发现这里面就存在着两个直角三角形的全等直角三角形，那就是一个是这个粉色的和青色的直角三角形。 ok， 一个是我画紫色斜钢卷的这个直角三角形，那其实如果你看明白这个以后的话啊，这个当然需要对线段的这个关系呢，有一定的敏感度，你发现其实就是这两个边，一个是在 a d 这么长的基础上往外补一块，一个是在 a d 这么长的基础上往内收一块啊，所以最后一定可以得到两倍关系啊，对吧？那这个呢，同样咱们呢也要写一下啊，写一下就是这里的 a d 作为对应边，它应该等于这个 b f， 对吧？啊，那 a d 这个边它怎么回事呢啊？它在这里面我们要找到它这个 d e 啊，它是 a e 加上 d e， 对不对？而 b f 呢？ b f 呢？这条边啊，咱们看看它，它是 b q 加上加上 q f， 我 们先把目标的啊结论边先给它找出来，接下来再往这个方向转化啊，其中呢，意识中点是 a e 再写成 p e 加上 d e， 这个 b q 不 动，而 q f 作为全等的对应边，把它写成 d p， 对 吧？然后这个 p e 减去 d p， p e 减去 d p， 是 不是又是个 d e， 所以 是两个 d e 等于 b q， 哎，这就出来了。 这个说实话啊，这个方法整体来看也挺简单的，但这个线段关系，我认为很多同学在考场上是不太感觉到的啊，他对这个线段啊，是这么一回事啊，一个是过去， 这方面的经验不会太多啊，在考场上有压力的情况下，也挺难想到这个方向， ok 啊，所以呢，这个呢，大家可以参考一下啊。 好嘞，那我们会发现啊，在这里面，也就是说任何一个方法，你首先要有个关注点啊，知道基于什么去切入，因为直角三角形简单，所以呢，我们以直角三角切入，对吧？同样，如果我关注终点呢，因为这道有终点 啊，那终点也可以啊，那么围绕终点，我们可以开发相似啊，这个里面主要是对终点怎么用大家看，比如说这个 e 是 ap 的 终点 哎，在一的附近呢，还有直角三角形，所以在这里面的话，我们就可以综合利用。刚才说中点工具哎，它经常会组合使用，对吧？咱们只要取一个 c p 的 中点啊，那这样 e f 就是 a c 的 中位线， 它平行且等于 a c 的 一半，所以呢，这个 d f 啊，就是 pc 的 一半， 并且呢，这个角是 beta， 那 这个旁边这个角就一百八减 beta， 然后这个角就是 beta 减 alpha， 哎，所以这个小三角形的三个内角和这个大三角形的三个内角是不是完全一样的， 那也就意味着这个三角形 d e f， 它一定相似于三角形 q b a 对 不对？ 并且它其中的对应边 e f， 哎，和 a b 之比刚刚好是一比二， 所以这个 d e 就是 b q 的 一半，而且这个是不是也很简单啊， 当然，虽然简单，说实话啊，这个方法呢，相信同学们在考场上呢啊，不太敢用啊，因为我们都知道二十七题考察，我们主要考察的是全等是吧，所以像相似这种工具呢，是一些啊，呃，一个是对相似呢掌握的比较好， 同时呢，这对于这个图形的关系呢，结构呢，比较自信，就想到他必然的吗？这两个三角形他角都一样了吗？哎，并且有边是一比二的关系吗？ 啊，可以这么说，这方法应该是所有的证明方法当中可能是导边这个地方最简单的一个一个方向啊，但是呢，呃，确实说实话，虽然这个方法简单啊，也不是我第一优先推荐给同学们的啊，推荐的还是前两种这种做法好吧。 啊，那同样这道题呢，我们还可以有些其他的做法啊，比如说啊，咱们在这个里面啊，从结论出发，我就想找二 d e， 我 想有的同学考场上就这么想的 啊，我就找两倍 d e 行不行啊，我们把 d e 呢往左边去延长一下，其实这个没有辅助线，就取一个点是吧？啊，得到这个 f， 哎，这个 d f 就 要两倍， 那我怎么证 d f 和 b q 相等，同样利用 b q 所在三角形的角度关系，我们就可以强行的去做一个这样的构造啊，那就是在 f 这做一个 cp 的 平行线，那就有贝塔角啊，以及一百八减贝塔角是吧？啊， 在 d 这个地方呢，做一个阿帕角啊，然后呢交于点记啊，然后呢就连接 g a 啊，那这样一来的话，这个 青色的阴影的三角形就出来啊，剩下的话，我们需要呢，在这里面正一下，他得有一个边啊，得有一个边啊，这个里面的话啊，如果直接这么做辅助线去正 他，稍微有点麻烦，也不是不能正啊，所以呢，结结合刚才的这个分析，我们最后呢啊，可能做的辅助线是什么呢？是过 a 做一个 a g 垂直 ab， 并且跟 cd 相等 啊，然后呢，这个这个连接啊，在在这个里面再截取一个 a f 等于 d p 啊，然后连接先正这个紫色的全等，对吧啊，然后呢，这样一来，这个这个紫色小三角形全等了以后啊，我们呢通过这个关系呢， 可以得到这个大的啊，这个 a d g 和 c d a 也是全等的，所以这个阿发角也就出来了啊，然后呢红边也就出来了，最后再占这两个阴影的三个全等啊，这方法非常的复杂啊，那我之所以说一下是因为什么呢啊，这个方法就要讲一个道理， 就如果有同学想往这个方向去想，是不是因为考场上我们无法控制同学们的想法，是吧，很多同学都是基于某一个角度去想的，但是呢，其实在考场上我们是没有时间去想很多种方法的， 我的意思是，同学们只要在做题过程中你有想法，并且这个想法有一定的理性，特别是他跟其他的条件和结论的信息能整合在一块，这个想法通常就有用 啊，所以从我们考场上做几宗题，最怕的就是我不知道这个走法行不行，我们有个判断的标准，就是你是不是始终在用条件贴结论啊，就只要是不断的用条件贴结论的这种方向，他就可以， ok， 好， 那当然这道题肯定还有很多种做法啊，一道几宗题十几种非常正常啊，那我在这里面呢，也不给大家这个讲太多了 啊，啊，因为我认为我对这道题的研究目前还比较肤浅啊，那我把阶段的这个研究的成果啊总结跟大家再过一下。我认为通过这道题啊，我们得到的启示是，首先呢是几中，特别是啊，咱们这个备战中考同学 啊，不要因为这道题有一定的难度，然后呢就偏离他的方向啊，集中还是围绕最热点的这个考点和工具去进行开发啊，像咱们刚才讲的四大全等工具对不对啊？像咱们讲的主角三角形这些都是啊， 非常重要基础的啊，这种处理方法，这个还是最后一个阶段咱们复习的重点啊。第二个呢，这道题呢，我给大家讲了六种方法是吧？啊，但是 我不推荐咱们同学们啊，这个研究一题多解， ok， 研究一题多解的事留给老师干就行了是吧？啊，这个，为什么一旦你形成研究一题多解的这种 意识以后，你在考场上冷不丁的就会这个想想那个想想啊，结果选择多了，可能反而是弊大于利的，你反而不能坚定的从某条路走到终点， ok 啊，好，那再一个就是在这道题目中啊，提醒我们，对于这个直角不等腰这个热点的这个考点，还需要大家进一步深入的这个探讨啊，我相信呢，咱们呢各位老师啊，包括我们各位同学在平时做题中会刻意关注一下 啊，这个直角补等腰他是啊，二三二五年中考啊，像今年海淀西城都考到的这样的一个考考察的方向啊，并且补完等交以后，也不一定就是用旋转全等啊，也可能用它的角度关系，也可能用轴对称等等， 所以这个里面的话啊，是很有灵魂的一个应用的啊方向啊啊，所以值得我们各位同学多体会啊。嗯啊，在这里面我其实应该打的很灵活，哈哈。啊 啊，好吧，来，那这就是关于这道题的啊，我再一次研究的一个思考啊，这个各位呢，欢迎呢在留言区啊，这个这个做一些这种点评分享， ok 啊，那当然，如果各位同学啊，想在这个几东这块啊， 最后的冲刺阶段，还想进一步这个深入的这个去学习一下，你之前没有什么太系统的方法，也欢迎呢跟咱们科普老师了解一下啊，咨询一下咱们相关的课程，好吧。

今天呢，给大家深入的研究一下西城的樱木的几何综合，给你提供六种快速秒杀的方法。大家好，我是双庆数学邵老师，那今天呢，我给大家再次深入的研究一下西城的樱木的几何综合，很多同学反应难。今天呢，我在这个视频靠后的位置，给你提供他的第二问的多种快速秒杀的方法。 当然呢，我这个视频呢，主要是想给大家呢，再次通过西城区的这道几道题呢，进行一个深入的探讨， 看看通过这道题，对我们接下来各位同学在几何综合的复习这块还有哪些启示。所以呢，视频呢，可能会比较长，前面呢会对几何综合考察的一些热点的方向呢， 去进行一个深入的挖掘。最后呢，我会给大家提供六种目前的一些答题方法，当然我相信其实像几何综合一道题有十几种做法非常正常，也欢迎呢咱们各位同学家长这个批评指正，那 这道题呢，题目条件各方面我就不读了啊，大家现在应该比较清楚了，而且我今天呢，重点就讲他的第二问。那么在这道题目当中呢，我想跟大家一起研究几个点， 第一个想要研究的点就是关于角度的理解，很多同学呢，在这个做几宗题的时候，往往对于角度这种条件呢，不是那么的敏感，因为边呢，往往一标，比如说这道题 a b 等于 a c 是 吧，你一标这个边，长相等，它就比较醒目的提醒着我们， 不管是哎用颜色去标啊，还是你标这种啊，斜杠啊等等。但是角度这个呢，一个是有很多同学都没有标角的习惯， 很多同学标角都这么标，一个圆弧代表一切，是吧？呃，所以呢，往往很多同学不够重视它，那么在这里面通过这道题呢？哎，我对角度这块呢，有这样的一些建议或者提示给到大家。第一个呢，就是关于主角，三角前有主角角，主角角什么意思？一般来讲， 题目中给某个角取一个名字，那你想想，他其实不是为了重点介绍介绍这个角 b、 a、 c 根本的理解吗？ 他其实为了重点介绍的是这个 alpha， 各位同学你体会体会啊，他就告诉你 alpha 在 这个题目中的角度当中，他占的地位是极高的，为什么要被他叫做 alpha， 那 就意味着这道题的很多其他角都可以用这个字母给它表示出来， 这样的话，他可以串联起整个这个题目中的很多的其他角。通常呢，这种的主角角，我们呢第一个要标图传染，第二个要关注这个角度的关联性，咱们叫同角必关联， 对不对？比如说你有标阿尔法的哎，有标二阿尔法的，有标二分之阿尔法的，这有背角关系，对吧？你可能还会标九十度减阿尔法的互余关系，是吧？然后看到阿尔法，如果题目中还有一百八十度减二阿尔法，往往就会有这种阿尔法为底角的等腰三角形， 这叫主角角的关联性。各位同学，你不信你可以翻一翻其他的带有这种阿法角的题目，你去验证一下是不是这样的。所以在这里面的话，我们一定要标图传染，把能跟他相关的这个角度尽量的都去确认一遍，都去过一遍， 这就是关于这个主角角的理解啊。像这道题当中哎，有一个非常重要的跟他关联的这个角，就是这个角是个 alpha， 对 吧？因为他后面有个平行线啊，那这个角的 alpha 在 这道题的证明过程中，对全等这块这个起着非常关键的作用 啊。好，第二个这道题呢，还有一个角度呢，就是这个 c i q 等于角 a p c 啊，这种呢，给两个啊，两个隔着老远的十万八千里的，这这样的两个角是吧？那通常来讲， 它就是我们造全等的重要素材，要么这两个角就是某两个全等三角形的对应角了，要么呢，通过它们再找到第三者啊。比如说这道题，大家如果细细的挖掘，还能发现这还有个北塔， 那这样一来，这道题这个白塔和这个白塔之间的这种关联性就极强，除了这两个角相等，我们甚至可以看出这两个白塔的补角也是相等的。这两个补角的相等，对这道题的这个证明呢，也是有哎很大的价值的，所以要充分的标图传染，把它开发透。 当然这道题关于角度这块，还提供了像垂直呀，像平行啊等等这些非常常见的传染角的工具，咱们对这些可以倒角的工具特别敏感。最后呢，也提醒大家一下，虽然这道题呢没有重点考察， 那还有可能是用了一次全等以后，再利用全等的对应角相等进一步转化，特别是我们最常见的这个几个全等工具，比如说旋转的全等，还有对应边的加角等于旋转角这样的关系是吧？哎，八字全等有平行线是吧？等等，这些大家要关注。 总之在这个角度这块，各位同学，如果你通过这道题哎进行了一些研究以后， 能不能对这个角度形成自己的一个总结，或形成自己的一个框架笔记，对吧？啊，那从这里面我再次啊理解了一下，那我发现就是首先题干中给的角度通常都是为了全等 来进行服务的，大部分情况是这样的，因为咱们这二十七题基本上就是要考全等的啊，所以给的这些关系 不一定是直接就能用的，当然有可能直接能用，我们一定要通过做几宗的最基本的习惯叫做标图传染，再结合在我们熟悉的工具去灵活使用。那为什么要标图传染？因为角度最容易被我们忽略，只有你看得清楚，标出来， 你才能把它用的准，用的明白。比如说这道题目中的关于贝塔，大家有没有发现我标出来的这个靠下的这个贝塔，这个角，这个在后面的我的几种方法当中起着非常重要的作用，有些方法就是得看一看，看到这里有个贝塔角才能想的清楚，想的明白。 好，这就是这道题的第一个，这个探求点，其实我的探求点就是价值点，就是大家看看通过这道题，能不能让你对于角的理解又上了一个台阶，上了一个层次。好，第二个，这道题的这个探求点是 垂直，有什么好探求的？要不要标个直角，然后去倒角吗？互余角吗？ 确实有一些垂直就是给我们用来倒角用的，但是对于垂直这个条件来讲， 它背后的东西可太多了，很多同学往往看到垂直以后没有深入的去想，比如说看到垂直，对吧？它是不是有直角三角形？像咱们这个图当中有 d c p， 有 b c d 对 吧？有 a c d 啊，一系列的这个直角三角形， 那么这些直角三角形出现了，我们就可以用勾股定律、斜变中线等等这样的工具，是吧？这是直角三角形天生自带的，所以而这些工具的话，往往他不是那么显眼，他不是两个对应边相等那种，那么明显的摆在眼前， 都是背后要去再挖一层的，所以有些同学呢，往往看不透。那再一个，直角这个条件一定要重视，他有一个非常非常重要的热点的考点， 叫做直角补等腰。那么很多同学对于直角补等腰的理解还停留在补完等腰会有旋转的手拉手，其实不只是这样，这个咱们呢在二三年中考有直角补等腰， 补完以后旋转手拉手，咱们二五年中考也是直角不等腰，补完了以后旋转手拉手，各位同学可以自己去翻一下啊，我就不给大家看图了。然后呢，像这个今年的海淀一模也有直角不等腰，但那个补完以后就不一定是找一个旋转旋转，同样咱们这个题目也可以直角不等腰， 而且你看到因为他有三个直角三角形，理论上来讲可能有三种补法，是吧？所以就带来了这种复杂性。 那么这个时候我们要想明白为什么要补等腰？直角补等腰是为了得到全等工具，而且我们会发现咱们双提总结的四大全等工具他都能找到。第一个， 补出等腰以后，等腰自带共端等长，共端等长就意味着有旋转全等，各位体会一下啊，体会一下，比如说我把这个 c、 d、 p， 我 补成一个等腰哎，变成了一个这样的一个等腰三角形，这就共端等长是吧？并且补的时候呢，可以往上补，也可能往下补， 各位一定要看清楚，对吧？我也可以看，甚至还可以这么补啊。同样我在这里面也可以把这个 a、 c 这个边往往右边补啊。当然这道题因为他有一个阿发角，所以这么补往往是一种非常常见的处理方法， 对吧？啊，当然也可能是往下面补，这些都是他非常有可能的一些直角补等腰的补法。 所以一个直角出来，咱们有多种补等腰的方向。而且补完以后，这些等腰往往首先都有自带边等，有旋转圈等，其次呢，直角补了一个等腰啊，为了方便看，我还是选择中间的这个这个小的啊。 补完等腰以后，大家看，这里就有轴对称，它自带的三线合一，如果是三线合一，就自带一个终点关系，所以你看我要往左边，比如说补一个这个 d f 和 d p 相等，是吧？那就显然 d 就是 一个新的终点，终点就背后可以用八中斜三，是吧？同样这里面有一个轴对称的结构， 对吧？哎，这个贝塔角就可以跑到这个贝塔这个地方。好，再一个呢，就是它有可能直角补完等腰干嘛呢？ 就只是给你提供一对边等，你只要利用这个边等去作为其他全等的转化，一种普通全等，所以后面可能用照猫画，咱们这道题也会存在一种这样的做法，所以关于这个点， 我相信各位同学通过刚才我给大家的一个描述，应该开始重视了，所以垂直或者说九十度可能是最容易被咱们忽略的一个热点条件， 这里面千万不要只是标一个直角符号，甚至有时候题目都已经标好了，你都不管他，这我认为我给他加一个属性，他可能是一个典型的叫做扮猪吃老虎的条件， 看起来这种人畜无害的，但其实背后你看隐藏的四大工具，全部都能从他背后挖出来，是吧？所以面对垂直这个条件，我建议各位同学做一个轻探索，就是我一看到这个垂直了，首先看背后有几个直角三角形啊， 对吧？哎，所以潜在的边的勾股定律的关系啊，如果计算就勾股定律对不对啊？潜在的斜边中线你都可以看一眼 啊。然后呢，这里可能往哪个方向去补等腰啊，补完了以后大概有个什么效果呀？先稍微建立一个直观的感受，所以快速确认一下，这个就要先探索，这样你有个印象，一会呢，信息多了啊，再去想，从这个条件去开发，是比较容易开发的。 这是这道题的啊，第二个，哎，值得我们深入思考的啊，当然呢，哎， 大家可能有更多的更好的一些想法，也欢迎大家啊，在这个视频后面留言去啊，我们进行交流。第三个，就这道题是个很好的探讨终点的一个一个题目，终点呢？首先呢，咱们呢跟同学们讲过很多遍，看到终点就是八中写三八字全等，就所谓的背长中线是吧 啊？然后中位线、斜边中线三线合一，那这道题呢，它的终点信号其实就很多，对吧？除了题目中给的一个明显的意识，终点 意识 ap 终点，包括刚刚说的这个直角不等腰以后，这个 d 很 有可能就是个终点，很有可能是终点，所以这里面终点的信号很多的。另外就是这个里面如果看到两条线段有两倍关系这道题呢，我们可以猜 b q 等于二倍的 d e， 对 不对？ 哪怕题目中没有终点，结论中出现这种两倍的线段数量，这两条线段可能隔着十万八千里没管点，他往往背后也会藏在终点，因为你说这两倍线段怎么出来呢？ 对不对？最快的，最容易得到两倍线段的往往就是终点是不是？当然，如果题目中有三六九啊或什么呢？就是可能另外的可能了，但大部分情况下，这个背后都有终点。 好，那再一个就是这个刚才说的终点有八中斜三，各位要注意啊，终点背后的这个八中斜三这四个工具， 他经常是组合拳，经常会组合使用八字全等加中微线，八字全等加三线合一等等。这里面简单给大家画一个截个图来试一下啊。比如说我们在这里面有一个终点的信信息， 那么我们经常会看到有些题目，大家也不知道有没有见过啊，一个八字全等穿过这个终点， 同时呢，这个八字全等目的是什么呢？他为了让你得到的实际上是跟蓝边相关的某一个 三线合一，因为这个三线合一呢，你又会发现他又有一个旋转全等在这藏着，这个不一定啊，有些题目经常会藏着一个旋转全等会什么样的啊？所以就这种就叫组合拳， 所以你看终点，你不要孤立的去看他。那么再一个就是关于这道题，关于终点的一个重要的启示就是这道题的终点很多同学看的会非常难受，因为这个终点在 线段 ap 中的一部分，是吧？这也是这道题很多同学做起来不舒服的地方。那其实如果你以后看到线段的一部分有终点， 往往是再找一个中点，在这条线再找中点，就出现了双中点结构，双中点结构，各位同学不用去记他的结论，初一的时候有的同学可能老师让记过啊， 这个线段 a b 的 中点是啥？然后 a c 的 中点是啥？然后这两条线段，呃呃，这两个中点连起来是哪条线的中点？不用去想，这里面就告诉大家，只要出现双中点就设参标点设参表示。各位呢理解就是对于一个双中点结构以后出来以后，他就是很容易用参数去表示他， 比如说这是 a， 这是 b， 对 不对？哎，假如 ab 有 个终点 c， 然后呢，我们在这里面再来一个一个一个终点，是吧？啊，比如说这个这个里面这个 ad 再来个终点 e， 是 不就很乱，对吧？哎，这个时候你去设参数去表示它，您发现就很简单啊，在这里面，比如说，哎，这个 d c 是 小 a， 这个是小 b， 对 吧？哎，那么 d e 就是 a 加 b， 那 a e 呢？也是 a 加 b 啊，那么这个时候 a c 呢，就是二 a 加 b， 所以 bc 就是 二 a 加 b， 哎，然后 b d 就是 二 a， 哎，你会发现这个 ec 就是 b d 的 一半， 对吧？这不用刻意记，就是这种射餐标边是非常好的处理双中点的这个方法。所以这道题有没有通过这道题，回头对咱们终点这块的这个认识又加强了呢？ 啊，又加成了呢？好，那再一个啊，这道题呢，还有一个重要的探讨点啊，有价值点。就主角三角形。这道题呢，同学们在实际考场上做的时候是感觉比较棘手的，那么这个我们有双题，有个独创的主角三角形技术。什么叫主角三角形啊？ 任何一个三角形，一定是有三个边和三个内角，对吧？总共有六个要素，这六个要素通常来讲，只要有三个以上 啊，是跟条其他条件有关联的，或者跟结论有关联的。那这个三角形一般就是主角三角形了，就很有用了，甚至在某些时候，有两个有用就已经很有用了。 ok， 那 这种三角形呢，通常叫主角三角形， 特别是如果这个三角形啊，他的这种有用的信息当中，既有跟条件中的核心工具关联的信息的边或角，又有跟结论相关的边或角，那这个三角形基本就主角三角形。 ok， 他 是我们几种提速的关键，就是几何综合，有的同学不知道咋做，就在那里绕圈，绕圈绕圈啊，绕圈就是没有目的，没有目标啊，你拿着一把利枪猎枪在在原始深里面走来走去，对吧？啊，你不知道打啥打什么，但是 如果你知道主角三角形是你的目标，那你做题就快多了，就像你打的时候，你知道你专门为了打兔子，你怎么去找兔子是吧？啊？你要去打鹿，所以主角三角形就是我们做这个几中的一个非常好的提速的技术。 那么这道题呢，有一个非常非常好的三角形，主角三角形，这个主角三角形就是我们在下面的这个三角形 abmbq， 所以 这个 m 和 q 很 容易混啊，为什么呢？首先看 ab 是 跟条件有关的， 对吧？有 ab 等于 ac 这样的条件，然后呢， b q， 它是我们的结论边，我们要证 b q 等于二分之一的，你看这已经值两毛钱了啊，我们细称这个三角形三个边，三个角一共是六毛钱，这就有两毛钱了。好，然后呢，由平行线可以知道它里面有一根内角 r 三毛钱了吧，由这个题目中这个角和这个角相等，那么你会发现，这个角虽然没有直接标，但是跟条件给的两个，一个主角角，一个给的等的角都有关联， 所以呢，是不是这个角也至少值半毛钱吧。同时如果你关注到平行线，发现这是个贝塔，那这个角就是一百八减贝塔，那这个至少也值半毛钱吧，所以这个这个三角形值三毛钱没，没毛病吧？啊，那他确实是个主角三角形， 围绕这个主角三角开发，是我们这道题非常快速的做法啊，那么接下来呢，哎，我给大家介绍介绍啊，这个我研究的几种这种做法啊，当然 可能做法不止这些，但是呢，这些方法呢，主要是提供大家呢这个探索使用啊，每个方法呢，我也做了一些简单的这个点评，大家来体会一下这道题呢，首先呢，第一个思路呢，就是主通过这个主角三角形来破局，这个主角三角形呢，给我们破局主要是要通过一种照猫画猫的全等，但是呢， 这个照猫画猫是不太好找的，那怎么办呢？你就需要找边和角的信息，而这道题主要是为了角的信号， 以及我们对于这个题目中直角不等腰的这个热点的敏感，就可以抓住这个方向啊。这个方法放在第一个说是因为主要是这个直角不等是现在非常热点的一个方向啊，应该也是很多同学尝试做辅助线的方向。 ok， 所以我跟大家说一下，刚刚我已经说了，这个粉色阴影的三角形是个主角三角形很合理，对不对？但是我怎么找这个全等呢？那你就观察他这里面有阿法角，有白塔减阿法角，有白塔的补角， 所以还有红边，对吧？你要去构造，那要么就是在红边旁边构造。这道题可以啊，但是呢，一般同学不太容易想到那个方向，所以我放在后面说，要么就围绕这个角，你会发现贝塔角旁边一百八十度减贝塔， 这个一百八十减贝塔。而一旦同学们如果做了个直角不等腰，就会发现，哎，这个红边就变成这个 c f 了， 对吧？并且阿尔法角也出来了，所以一下子就可以看出来，这个粉粉色的和这个青色阴影的两个三角形是一对全等三角形， 因为他们的三个内角都对应的啊，这个角也是北塔角，只要有一条边，那显然红边相等，所以不管是角边角还是角角边，都很轻松就可以挣出来这个全等了， 所以这就是这道题目呢，非常快的一个方向啊。当然这个方向呢，有一个小难点，我们如果得到这个全等 啊，我们会发现这个 b q 呢，它是等于这个 f p 的是吧？这个 f p 怎么能等于这个 d e 的 两倍呢？那这个时候你就要体会到，如果是共线的出现，这种隔着这个两倍的关系，一定是双中点， 所以呢，对于这个双中点的设参标编法大家要特别熟悉，那在这里面我给大家再来一遍是吧？啊，强化一下，一般来讲，设小的编，短的编啊，为那个小 a 小 b 啊，任意两个比较短的不等边，你设出来就行了。比如说，哎，这个 d e 是 a 啊，那 d p 是 b， 可以 吧？那因为 e 是 a p 的 中点，所以呢，这个 a e 呢，就是 a 加 b， 跟刚才一样，对不对？那这样一来，这个 a d 呢，就是二 a 加 b， 哎，然后呢，这个直角不等腰有三线合一，这个 d f 就是 二 a 加 b， 对 吧？减去 d p 一个 b， 所以 这个 p f 就是 二 a， 也就是 d e 的 两倍， 轻松出来了吧，这就是双终点，咱们这个设餐标边的啊，常用处理方法，这也是咱们啊今天给大家提供第一个思路，那第二个思路呢， 也是围绕这个主角三角形啊，只不过呢，在这里面我们直角补等腰呢，我不是像刚才那样补，这个方法呢，也可以说是这道题所有证明方法当中，可以说是最简单的一个方法了，但是呢，这个方法呢，说实话，呃，很多同学不太习惯往里面去直角补等腰，对不对啊？而我们会发现， 因为这里面有贝塔，贝塔角跟这个粉色的三角形是有强关联，那如果我把这个点 p 关于点 d 做一个中性对称啊，在就是在这里面截取一个 f 连接 c f， 那 这里面就出现了一个轴对称， 那么贝塔就跑过来，所以这个角就是一百八减贝塔，而这个角是阿尔法，所以显然跟我们这个粉色的主角三角形角就对上号了啊，边呢，现成的 ab 等于 ac， 所以这个全等就出来，那这个全等出来了以后，咱们的这个 b q 是 吧？哎， b q 就 跟 af 相等了， 那同样这里面要证 af 是 这个 d e 的 两倍，也要去设参标啊，那么这里面同样我们设最小的那些部分啊，比如说 ef 是 af 是 b， 那 么 pd 就是 b， 那 么这个时候呢， pe 就是 a 加二 b， 对吧？那 a e 呢？哎，也就是 a 加二 b， a e 就是 a 加二 b， 然后呢，我们这个要的 a f 是 不是就等于二 a 加二 b， 对 吧？然后呢，这个 d e 在 这个图里面是不是就小 a 加小 b， 所以 它俩是个两倍关系， 轻松搞定，所以这种设参啊，去处理双终点的方法非常之好用。那所以呢，这种方法呢，说实话啊，虽然是这个 挺简单的一个做法，但是呢，这种内部去指导不准，要不是所有同学都很熟悉的一个方向，朋友们可以多去尝试，也就说在这个地 垂直这个地方，我们可以任意去补，只要合理就补啊。当然好像把 cdb 补过来是不太行的，为什么呢？因为 cdb 当中没有啊，其他的有价值的边的或者角的信号啊，所以补出来没有太大意义啊。 好，那接下来我给大家说一下第三个思路，仍然围绕这个主角三角形。仍然是围绕主角三角形，怎么去构造？我们会发现，这个粉色的主角三角形，有红边，有阿发角，是吧？有贝塔减阿发角，有一百八减贝塔角， 哎，在这个图形当中现成的呢，就有一个红边，它这里面有个阿发角，但这个呢，有的同学不太好想，待会我提供另外一个思路也可以做啊，那么我们会发现，哎，如果往上做一个平行， 这个就是 alpha 啊，然后呢，这个地方就是 beta 减 alpha， 其实这种想法也可以用类似于一种轴对称的想法，因为 abc 是 个等腰三角形， 等腰就有轴对称，是吧？啊，大家看吧，其实是相当于把粉色的三角形啊，沿着 bc 边上高所在的直线翻过去，翻过去了，所以你如果啊对轴对称比较敏感，你也可以说这是一个轴对称的这个想法 啊。其实这个想法我我我第一眼想的，当时是想试一试轴对称的工具能不能用啊，然后呢，哎，看出来，那么这么翻出去以后的话，哎，咱们呢，这个 cf 就 跑到上面了啊，但是这个 cf 等于定义的两倍呢，哎，还需要你对这里面另外一个轴对称结构，就是有个等腰梯形， 要稍微敏感一点，因为这个角是 beta， 上下是平行的，所以这样一来，这就是一个等腰梯形。我们呢，还需要呢，这个， 这个再做一个啊， f 往下的垂线啊，正得这个左右的这两个小直角三角形全等之后， 得到中间这个 f c， 就是 这个 d e 啊，这个就等于这个 b q， 然后呢再根据意识终点等量减等量，就可以得到中间这两条线段相等，说明这个 c f 是 d e 的 两倍啊，也就是 b q c e 的 两倍， 这个呢也是主角三角形很容易切入啊，但这种对称的结构呢，我们不太熟啊，提供大家作为参考啊，各位一定要注意，我虽然讲几种方法，但最后我会跟大家说，我不推荐大家啊，特别是同学们在平时 啊，去研究太多的一体多解，可以呢，多研究研究是吧？啊，咱们有时间啊，有劲。那接下来呢，我们再来看看，如果我们对这个里面的条件比较敏感的话，我们还可以怎么做呢？那就是观察发现，只要你看到这边有一个贝塔角，这边有一个贝塔角， 那你发现这里面就存在着两个直角三角形的全等，直角三角形全等，那就是一个是这个粉色的和青色的直角三角形， 一个是我画紫色斜钢剪的这个直角三角形，那其实如果你看明白这个以后的话，这个当然需要对线段的这个关系呢，有一定的敏感度， 你发现其实就是这两个边，一个是在 a d 这么长的基础上往外补一块，一个是在 a d 这么长的基础上往内收一块，所以最后一定可以得到两倍关系，对吧？那这个呢，同样咱们呢也要写一下，写一下就是这里的 a d 作为对应边，它应该等于这个 b f， 对 吧？ 啊，那 a d 这个边它怎么回事呢？它在这里面，我们要找到它这个 d e， 它是 a e 加上 d e， 对 不对？而 b f 呢， b f 呢，这条边啊，咱们看看它，它是 b q 加上加上 q f， 我 们先把目标的啊，结论边线给它找出来，接下来再往这个方向转化啊。其中呢，意识中点是 a e， 再写成 p e 加上 d e， 这个 b q 不 动，而 q f 作为全等的对应边，把它写成 d p， 对 吧？然后这个 pe 减去 d p， pe 减去 d p， 是 不是就是又是个 d e， 所以 是两个 d e 等于 b q， 这就出来了。 这个说实话啊，这个方法整体来看也挺简单的，但这个线段关系，我认为很多同学在考场上是不太敢去倒的 啊，他对这个线段啊，是这么一回事啊，一个是过去这方面的经验不会太多啊，在考场上有压力的情况下，也挺难想到这个方向， ok 啊，所以呢，这个呢，大家可以参考一下啊。 好嘞，那我们会发现啊，在这里面，也就是说任何一个方法，你首先要有个关注点，知道基于什么去切入， 因为直角三角形简单，所以呢，我们以直角三角形切入，对吧？同样，如果我关注终点呢，因为这道题有终点，那终点也可以，那么围绕终点，我们可以开发相似，这个里面主要是对终点怎么用大家看，比如说这个 e 是 ap 的 终点 哎，在一的附近呢，还有直角三角形，所以在这里面的话，我们就可以综合利用。刚才说中点工具，它经常会组合使用，对吧？咱们只要取一个 c p 的 中点，那这样 e f 就是 a c 的 中位线， 它平行且等于 a c 的 一半，所以呢，这个角是 alpha， 对 吧？然后呢，这个 d f 啊，就是 pc 的 一半，并且呢，这个角是 beta， 那 这个旁边这个角就一百八减 beta， 然后这个角就是 beta 减 alpha， 哎，所以这个小三角形的三个内角和这个大三角形的三个内角是不是完全一样？那也就意味着这个三角形 d e f， 它一定相似于三角形 q b a 对 不对？ 并且它其中的对应边 e f， 哎，和 ab 之比刚刚好是一比二， 所以这个 d e 就是 b q 的 一半，而且这个是不是也很简单？当然，虽然简单，说实话 啊，这个方法呢，相信同学们在考场上呢啊，不太敢用啊，因为我们都知道 r t t 考察，我们主要考察的是全等，是吧，所以像相似这种工具呢，是一些啊，一个是对相似呢掌握的比较好，同时呢，这对于这个图形的关系呢，比较自信，就想到它，必然的嘛， 这两个三角形它角都一样了吗？并且有边是一比二的，那必然就是这样的一个一比二的关系吗？可以这么说， 这方法应该是所有的证明方法当中，可能是导边这个地方最简单的一个一个方向啊，但是呢，呃，确实，说实话，虽然这个方法简单啊，也不是我第一优先推荐给同学们的啊，推荐的还是前两种这种做法好吧。 啊，那同样这道题呢，我们还可以有些其他的做法啊，比如说啊，咱们在这个里面啊，从结论出发，我就想找二 d e， 我 想有的同学考场上就这么想的，我就找两倍 d e 行不行？我们把 d e 呢往左边去延长一下，其实这个没有辅助线，就取一个点是吧？啊，得到这个 f， 哎，这个 d f 就 两倍，那我怎么证 d f 和 b q 相等，同样利用 b q 所在三角形的角度关系，我们就可以强行的去做一个这样的构造啊，那就是在 f 这做一个 c p 的 平行线，那就有 b 叉角啊，以及一百八减 b 叉角是吧？啊， 在 d 这个地方呢做一个 r 叉角啊，然后呢它交于点记啊，然后呢就连接 g a， 那 这样一来的话，这个青色的阴影的三角形就出来了 啊，剩下的话我们需要呢在这里面震一下，它得有一个边，得有一个边啊，这个里面的话啊，如果直接这么做辅助线去震它，稍微有点麻烦，也不是不能震啊，所以呢结结合刚才的这个分析，我们最后呢啊，可能做的辅助线是什么呢？ 是过 a 做一个 a g 垂直 ab， 并且跟 cd 相等，然后呢这个这个连接啊，在在这个里面再截取一个 af 等于 dp 啊，然后连接先正这个紫色的全等，对吧？啊，然后呢，这样一来这个这个紫色小三角形全等了以后啊，我们呢通过这个关系呢，可以得到这个大的啊，这个 a d g 和 c d a 也是全等的，所以这个阿八角也就出来了 啊，然后呢红边也就出来了，最后在这两个阴影的三圈的这方法非常的复杂啊，那我之所以说一下是因为什么呢啊，这个方法就要讲一个道理，就如果有同学想往这个方向去想， 是不是因为考场上我们无法控制同学们的想法是吧？很多同学都是基于某一个角度去想的，但是呢，其实在考场上我们是没有时间去想很多种方法的。 我的意思是，同学们只要在做题过程中你有想法，并且这个想法有一定的理性，特别是他跟其他的条件和结论的信息能整合到一块，这个想法通常就有用啊。所以同学们考场上做几道题，最怕的就是我不知道这个走法行不行， 我们有个判断的标准就是你是不是始终在用条件贴结论的这种方向 他就可以 ok， 那 当然这道题肯定还有很多种做法，一道几种题，十几种非常正常。那我在这里面呢，也不给大家这个讲太多了，那我把阶段的这个研究的成果总结跟大家再过一下。我认为通过这道题 我们得到的启示是，首先呢是几中，特别是啊，咱们这个备战中考同学，不要因为这道题有一定的难度，然后呢就偏离他的方向，几中还是围绕最热点的这个考点和工具去进行开发，像咱们刚才讲的四大全等工具， 对不对啊？像咱们讲的主角三角形这些都是啊，非常重要基础的啊，这种处理方法，这个还是最后一个阶段咱们复习的重点。第二个呢，这道题呢，我给大家讲了六种方法是吧？啊，但是我不推荐咱们同学们啊，这个研究一体多解， ok， 研究一题多解的事留给老师干就行了。这个为什么一旦你形成研究一题多解的这种意识以后，你在考场上冷不丁的就会这个，想想那个，想想结果选择多了可能反而是弊大于利的，你反而不能坚定的从某条路走到终点。 那再一个就是在这道题目中提醒我们，对于这个直角补等幺这个热点的这个考点，还需要大家进一步深入的这个探讨。我相信呢，咱们呢，包括我们各位同学在平时做题中会刻意关注一下 这个直角补等幺，他是二三二五年中像今年海淀西城都考到的这样的一个考考察的方向，并且补完等交以后，也不一定就是用旋转全等，也可能用它的角度关系，也可能用轴对称等等， 所以这个里面的话啊，是很有灵魂的一个应用的啊方向啊啊，所以值得我们各位同学多体会啊。嗯 啊，在这里面我其实应该打的很灵活。好吧，来，那这就是关于这道题的，那当然，如果各位同学啊，想在这个几东这块啊，最后的冲刺阶段，还想进一步这个深入的这个去学习一下，你之前没有什么太系统的方法，也欢迎咨询一下咱们相关的课程。

我们来看石景山的二十七题几何综合。首先我们来看一下题目，如图，在三角形中，这个 a、 c、 b 是 直角，并且 a、 b、 c 这个度数是 off， 先标一下 这个角是直角，这块这个角度数为 off。 点 d 是 bc， 延长线上一点，并且 dc 比 bc 要小。 连接 a、 d， 将 a、 d 绕着点 a 逆时针旋转一百八十度减去二倍的方法。题目中明确出现了旋转，所以大概率需要构造手拉手拳，等 得到线段 a、 e 后，经过点 e 做 b、 c 的 垂线，垂足为点 f。 五、 d 问证明这两个角的关系还是非常容易的。 记住， r、 t 三角形 a、 c、 b 如果它下方那个角是 alpha 的 话，那么上方 c、 a、 b 作为余角就应该是九十度减去 alpha， 跟整个 b a、 e 一 百八十度减去二倍的 alpha 相比，刚好二倍关系， 所以第一问轻松解决角 d、 a、 e 是 等于二倍的角 c、 a、 b 的， 所以，所以第一问轻松解决角 d、 a、 e 是 等于二倍的角 c、 a、 b 的。 下面我们先结合这些现有的已知条件来分析分析。既然出现了旋转，那么很有可能要构造旋转手拉手吧。 显然 a 作为旋转中心，那如果想实现旋转手拉手的话，想必不难观察出应该再构造一个顶角为一百八十度减去二倍 off 的 等腰三角形，而这个等腰三角形应该瞬间就能发现。 rt 三角形 a、 c、 b 它的另外一个锐角度数正好就是九十减去 alpha， 借助它和 d、 a、 e 的 二倍关系，不难发现，我只要直接将点 b 关于 a、 c 做个对称， 或者说将 b、 c 延长一倍，根据钟垂线的性质，就可以在左侧构造出一个顶角也为一百八十度减去二倍 off 的 等腰三角形。我们将这个字母 a、 b、 c、 d 称作点 g， 我 们将这个字母称作点 g。 那么结合现在这两个顶角为一百八十度减去二倍 off 的 等腰三角形，直接就可以观察出三角形 a、 d、 g 和三角形 a、 e、 b 应该是全等手拉手关系， 虽然暂时不知道它在第二份中能派上什么用场，但是至少根据题中的 已知条件，联想到这对手拉手的构造是非常容易的。辅助线或者说几何模型的构造只要有思路就可以先画画图再说， 毕竟它的特征都已经这么明显。接着我们来看第二问的补图，做出现段 e、 f 的 垂直平分线，垂足为点 g， 跟 a、 b 相交于点 p， 与 a、 c 相交于点 q。 那 么我们来看看垂直平分，大概就在这个位置标一下字母 垂足式点 g。 啊，那刚才那个点 g 我 们需要换个字母，那刚才旋转的这个字母就称作是点 m 吧， 它还跟 a、 b、 a、 c 相交于点 p， 点 q， 让我们用等式表示线段 p、 q 和 d、 f 之间的数量关系。在几何综合猜测数量关系时，通常是可以先借助刻度尺进行测量的， 只要不是勾股关系，刻度尺几乎都能准确地测出来。那么我们先量一量看看 p、 q。 按照我现在画的图，大概是二点七、二点八， d、 f 在 五点三左右，所以不难发现它们就是二倍关系吧。那么接下来我们就得考虑二倍关系应该如何证明 是通过中位线呀？中点背长构造出二倍线段？还是说通过作和作叉的方法将长线段分割？我们不妨先继续考虑一下刚才那对手拉手。由于三角形 a、 d、 m 跟三角形 a、 b 是 全等关系， 并且这对儿全等非常容易证明就是 s a s。 我 们可以得出在角 m 的 位置和角 a、 b、 e 的 位置，它们两个应该都跟角 a、 b、 m 相等，都是 off， 也就是现在这个点，这条线 a、 b 应该是角 e、 b、 m 的 垂直平，现在这条线 a、 b 应该是角 e、 b、 m 的 垂直。 现在这条线 a、 b 应该是角 e、 b、 m 的 角平分线。 那么又能进一步联想有角平分线，并且点 a 还向角平分线平分角的一边做了垂直，那根据角分线自带的对称性，理应应该也能向它所在的另外一边构造垂直， 这样又可以联想角平分线的对称性，构造出另外一对对称的全等 r、 t 三角形。我们将这个点称作是点 n 吧。 那么构造完这些辅助线之后还能干嘛呢？这都是我基于已知条件或者是简单推理后得出的可构造的几何模型， 他们对解析有没有什么帮助呢？目前来看， p、 q 本身并不是中位线，所以肯定不可能通过构造中位线的方式证明 p q 和 d、 f 有 二倍关系。 那还能通过什么样的方式呢？要截长补短将长线段 d、 f 分 割吗？本题根据 p q 和 d f 的 位置关系， 这样做还真比较靠谱。因为 p、 q 本身是 e、 f 的 垂直平分线，那自然就跟 e、 f 垂直， b m 也跟 e、 f 垂直，也就是现有的两条目标线段，它们天然就是平行关系， 再借助这垂直，我非常轻松能够再构造这样一条垂线段，将 p q 直接通过构造的矩形转移到 d f 的 一部分上。 所以接下来我只需要再证明 d f 的 剩余部分也与 p q 是 相等关系就可以。 那它究竟是不是呢？ 这个点我们先命名为点 h。 根据构造的矩形，此时四边形 q、 c， p、 h 一定是一个矩形， 那么 c h 它就是等于 p q 的。 我们先将这些思路先写到旁边去，刚才又通过对称得出了三角形 a、 c、 b 是 全等于三角形 a、 n、 b 的。 因为我构造的是垂直，并且它和三角形 a、 c、 m 应该也是全等关系，又构造出了矩形 q、 c、 h p， 所以 我们可以先得出 p q 和 c h 是 相等关系，只需再证明 d c 加上 h f 也等于一倍的 p q， 那 就行了。 可是应该怎样进一步证明呢？这里还需要结合角平分线再构造一条辅助线出来。 角平分线本身是具备三线合一的性质的，那有没有可能结合点 p 所在的位置，连接并延长 e p 交 b c 于点 k 吧？ 交 e c 于点 k， 这个点是点 k， 我 们做这么一条辅助线是干嘛的呢？ 结合垂直平分线的性质，点 g 既然是终点，并且 q g 和 c f 是 平行关系， 那么无论根据中位线还是根据平行线分线段成比例，我们都不难推导出在连接 e p 并延长后，点 p 应该也会成为 e、 k 的 终点， 它俩是相等关系，所以我们就可以推导出此时这 p g 和 k、 f 应该有一个二倍关系。再结合刚才我们构造的矩形 p g、 f h 也是矩形，再标记一下相等线段，它它它应该是相等关系， 所以 h f 刚好能通过这样的转化方式转化成 p q 的 一部分， 那我们就可以继续先进行推导。 h f 其实可以转化成 h k， 那 我只要进一步证明剩下的部分 c k 跟 h k 相加是等于 p q 的 就行了吧。而 c k 和 d c 显然就是接下来我们要搞定的相等线段，它们又为何能相等呢？我们在途中继续标注相等， 根据刚才的终点证明， e p 和 p k 是 相等关系， p b 又是一条角平分线，所以不难发现三角形 e、 p b 和三角形 k p b 应该是相等关系，它俩是全等的， 所以我们可以推导出 e b 和 k b 是 相等关系。再结合一开始找到的手拉手全等应该也与 dm 是 相等的， 所以我们又可以结合刚才找到的橙色全等。在橙色三角形全等中，我们是可以得到 bc 等于 mc 等于 b n 的。 那现在我又进一步推导出了这三条线段相等，所以二者一结合，就可以推导出最后我需要的线段 d c、 c k 和 e n， 它们都应该是相等关系。 所以最后本题也就梳理完毕了。结合图中出现的对称型全等、手拉手的旋转型全等，无断不断推导边之间的数量关系，将长线段 d f 结构分割成四小部分， 其中 c h 就 和 p q 相等，这受益于矩形性质。而其他的 h f、 d c 通过两步导边成功等量代换替换为 c k 和 k h， 最终证明数量关系成立。 所以本题其实可以算作是截长补短，但确实旋转手拉手和角平分线对称也深度进行了参与，这才说它综合性很强。

hello， 同学们，刚刚结束二六年海淀一模的考试，那与二五年的中考集中有很大的相似之处，同样是考的旋转手拉手，咱们来一块看一看这道题。 首先我们来看角， abc 是 九十度，那么 b， a， c 是 阿尔法，咱们首先把条件先表明， 这种情况下咱们继续读题，他说 a、 d 呢？绕点 a 顺时针旋转，一百八十度减二，那这个时候我们就知道了，顶角来放大一点啊，它就是一百八十度，减去二二法，那么角 e 跟角 d 一定就是二法喽。 角阿尔法是三十度的时候，让咱们修正 c， e 等于二倍的 c、 d， 那 这个 c、 d 一定是看谁跟它相等呗。那因为阿尔法三十度，所以咱们要把条件进行传导，那么 a、 c、 b 就是 优势度， 角 d 是 三十度，那么 c、 a、 d 也就是三十度。一个外角等于不相邻的两个内角之和，那么 e， a、 b 它就是个六十度，那就出来了，所以咱们就得出来了， 这个 c、 d 是 等于 c a 的， 而 a c 呢，就等于二分之一的 c、 e， 最终得出来。所以呢， c、 e 等于二倍的 ac， 等于二倍的 cd。 好， 那我们来看第二 好，同学们，咱们来看第二题，他说了，问咱们 abcd 跟 c、 e 的 数量关系，你乍一看，其实也不像相等，也不像二倍，对不对？ 那别着急，没有思路的时候，先把已知条件先梳理一遍。那首先，哎，做过二五年中考题，大家可以知道啊， 那 abc 是 九十度的话，通常看到了等腰直角三角形一定会翻折出等腰，哎，也就是倍长， 因为背长过来以后， b 呢就可以作为一个中点，而且呢，还可能会构成中位线，因为这有个旋转，所以还会构成手拉手，因为共端点嘛，所以这是九十度，他要常考的点。第二，如果看到 b， a、 c 是 r 法， 那这是阿尔法，咱就得构成一下，谁跟阿尔法有关系，让他去倒角对不对？同学们，咱们刚刚是不是第一问是倒角，第二问咱还目目前没发现出来。继续往下看，他说 a、 d 绕点 a 顺时针旋转一百八十度减阿尔法， 那也就是 a， e 和 a d 是 相等的，同时 e， a、 d 是 一百八十度减去二倍的二，那么它一定会出手拉手。 第三，那咱们来看，他问了三边关系，求三边数量关系，要不然就是共线，也就是咱们说的常说的截长不短啊，要不然就是共行。 但是很显然啊，他们三个就到一条直线上，其实翻不出什么浪花来，所以别着急，咱们先推论一下，因为咱们已经备尝做出了 h， 我 们可以连接 h， 这个时候我们看条件足够吗？同学们， 那题目中咱们可以看到了，有那么正常来说，咱们应该已经看到手拉手模型了，但现在还没有看到，那我们就看一看这个角度，他说了 e、 a、 d 是 一百八十度减阿尔法，咱们背长过来以后呢？ h a、 b 是 阿尔法，我们发现什么呀？同志们， 其实 h a、 c 是 阿尔法，与这个 e、 a、 d 是 一百八十度减阿尔法，它其实是什么呀？同学们，是互补，所以这就是出题给咱们留下的线索，咱们应该是被乘 a h 啊，倍长 a h 倍长 a h 过来以后，比如说咱们到 d 到 q 吧， q 的 话，那么 q a c， 那 它就是什么呀？老换一根笔啊， 那这个角就是一百八十度减去阿尔法，对不对？同学们，那我们就可以发现了，其实这个角 eac 这个角和 qad 这两个角是怎么样啊？ 是不是相等的呀？因为它们是共用的一个角，剩下两个角是不是相等啊？所以说，咱们直接连接 q d， 可以 知道这个 a e 等于 等于 a d， 哎，咱们看出来了， a e 呢，是等于 a d， 此外呢，这个 ab 呢，还等于 a q， 而且咱们刚刚还证明出来了，这个角 eac 和这个角 d a q 这两角是相等的，所以咱们直接可以多出来这两个三角形，是不全等啊，所以那角 a e d 就 会全等于三角形 a c e 判定应该是 s a s， 看到这以后，那么 c e 就 转过来了， c e 是 不是就已经到 d j 这块 d q 这 数，这 c e， 那 我们再来看 c e 跟 cd， 哎，别忘了咱刚刚说了，为什么背长它呀，因为就可能会出现了 等腰三角形，对不对？三角合一，又因为咱们背长了 a h， 所以呢，咱们应该要连接 c q， 连接 c q， 因为这样的话三边才能共行啊，所以我们就知道了，这个 a b 呢，它就等于二分之一的 c q， 那 显然这就全了，所以最终呢，就等于了四倍的这个 c q。 方法多写一步， c q 方加上 cd 的 平方，是不是等于 d q 方呀？那么 c q 方呢？其实就等于四倍的 a b 方加上 c d 的 平方，等于 c e 的 平方。哎，那这道题咱们就说完了，咱们再回顾一遍。 首先看到这类问题的时候，第一别着急，第二问一定是要把已知条件进行梳理，尤其是看到一百二十一百八十度减阿尔法还有阿尔法的时候，一定是要怎么样 倒角，而且要条件反射，把咱们的角度传染到图形的方方面面。第二看到直角三角形的这个情况下，一定是要 倍长的啊，这个咱们也不陌生啊，一直在考。第三，要共端等长，什么意思啊？只要有旋转，有一个共同的端点的情况下，一定是要给他找旋转手拉手， 当我们倍长过来的时候，我们发现了构成不了旋转手拉手，一定要想一想终点还会考察什么呀？ 中位线。第二，那就是中间有个一百八十度减阿尔法，那 e a b 跟 b a c 他 俩都是阿尔法，其实是一个互补的关系，所以条件都在哪啊？ 是不是都在藏在咱们的条件反射当中，是不是都在已知图形当中啊？所以说一定要认真审题，并且要做好笔记，不会考相同的问题，但是一定会考之前咱们学过的做题的方法和思路。好吧，大家做好笔。

大家好啊，那今天来看一下二六年朝阳初三下一模数学的第二十七题几何综合的题目啊。那么这道题给它的分类是，用公共边来 把我们需要求的目线段转化成这个，其目标线段转化成其他线段。那么首先读一下题目，在三角形 a、 b、 c 中， a b c 等于 r 发角 a c、 d 等于九十度， 将线段 a d 绕点 a 顺时针旋转 r 发，得到线段 a e。 呃，连接 d e 交 b c 于点 f。 那 首先补下图形，那么从这个图像就可以非常明显的看出来，这是一个比较标准的一个手拉手全等啊。后面应该要连一下 b e， 这个 a b e 和 a c d 能够全等，这两个是拉拉手量行。那么首先要证明 b a、 e 等于角 c a、 d。 那么用公共角，用这个两个 r 发角减去它的公共角，就可以得到角 b a、 e 等于角 c a d。 第二位是过点 d 做 bc 的 垂线，垂足为 g， 用等式表示线段 bc 和 f g 之间的数量关系，并证明 那大概就是这样的一个 f g。 然后我们去量一下 bc 与 f g 的 关系，可以很容易量出来 bc 就是 二倍的 f g， 那 我们应该要找到二分之一 bc 或者是二倍的 f g。 二分之一 bc， 呃，要把这个 从点 a， 然后做一个垂，因为这个等腰三角形，它就会是二分之一的 bc f g 呢？这个 f 点看着也很像是 aed 的 一个中点， 那么我们把 b e 给它连上之后，如果过点 e 做这个 bc 的 垂，也能够证出来这是一个中点啊。那比如说我们做的这个垂线就是 e k， 那 如果想要去证明这个 f 是 中点呢，应该是要证一下这个 e、 k、 f 和这个 d、 f、 g 全等，或者是比如说这边有一个点呢？嗯，比如说叫 m 呢？能想要称这个 e、 m、 f 和这个 d、 c、 f 全等， 那么这个 e、 k、 f 应该是要好挣一点的，因为它有个垂直，然后再加上这有一个对顶角，那么最后应该还剩一条边的关系， 那么这个边的呃，我们是比较容易发现这个 a、 b、 e 和 a、 c、 d 全等的，所以这个 b、 e 它就和这个 c、 d 全等， 那么这里面有非常多的垂线，然后 b、 e 等于 cd， 那 我们想要挣的是 e、 k 等于 d、 g， 所以呢，我们可以去看一下能不能证明 b、 k 等于 c、 g， 或者是再去找一个角相等，那么这个角相等呢？就比会比较好正一点，因为这是有一个 r 法角，然呃，我们可能会用到倒角， 那么这个角 b、 a、 c 是 r 发，那个这个角 a、 b、 c 就是 九十减去二分之一 r 发，然后里面专门专门给了这个 a、 c、 d 是 九十度，所以这个角的话呢， e、 b、 k 就是 二分之一的 r 发，呃，然后这个角 a、 c、 b 也是九十减二分之一 r 发，那这个角 d、 c、 g 就 也是二分之一 r 发， 那我们就可以证明这个三角形 b、 e、 k 是 全等于三角形 c、 d、 g 的， 那么用的应该是 a、 a、 s， 那 么就可以得到的这个 e、 k 等于 d、 g， 然后再去证这个三角形 e、 k、 f 全等于三角形 b、 g、 f， 那么也可以证明这个 f 是 一个中点，所以我们现在既可以求出来二倍二分之一的 bc， 也可以得到一个二倍的 f g。 另外呢，如果这个我们把 f g 往右边做延伸的话，也会得到一个等腰项形。 那么我们现在的问题就是说，我们想要证明 b c 等于二倍的 f g 呢？比如说我们想要证明二分之一的 bc 等于 f g 呢？实际上是比较困难的， 因为我们很难找到一个合适的三角形。然后我们想要证明 b c 等于 f 等于这个 k g 呢，它也是比较吃力的，因为 k g 呢，它也没有在三角形里面，和 b c 有 关的三角形是 abc。 那 这里面实际上我们除了证明 b c 等于 k g 之外， 因为 b c 和 k g 之间它是有一条公共边的，就是 k c， 所以 我们可以通过证明 b k 等于 c g 来证明 b c 等于 kg。 如果能够想到这一点，我们刚才已经证明了这个 b k 和这个 c d g 全等，那这个 b k 就是 等于 c g 的， 那 b c 就是 等于 k g 的， 那么 b c g 又等于二倍的这个 f g， 那 么 b c 就 等于二倍的 f g。 嗯，这道题除了这种思路之外呢，还有一种想到了另外一种和它不太一样的思路，就是用相似的方法来证明，两种方法都，嗯，过程都比较短，所以我们也讲一下相似的这个思路啊。那我们刚才如果证明了这个 e d 等于二倍的 f g 之后， 那我们会能够比较容易想到的这个三角形 a、 b c 和三角形 a e、 d， 它们作为旋转，呃，手拉手，它应该是旋转相似的，所以我们可以用四边形计算的思路来去解这个问题， 就是呃， bc 和 ed 的 比值应该和 ab 和 ae 的 比值是一样的，那么我们这个 abe 是 一个九十度的情况下，所以它这个比值其实就应该等于 cosine beta， 那 如果我们这个二倍的 bc 比上二倍的 f d， 它等于 cosine beta 的 话呢？ 那其实我们还能够发现这个 f g 和这个 f d， 它也在一个直角三角形里面，那我们只要 f g 和 f d 的 比值，它也是 cosine b， 它就可以了。那么也就是要证明这个角 d f c， 它是个 b 角， 那我们这个就很容易看到 a d f c 这有一个像沙漏一样的 呃四角。那么如果我们想要证明这个 c a d 等于角 c f d， 我 们需要证明的就是这个角 a d e 应该等于角 a c b。 那 么这两个角它本身是相似三角形的两个部分它都是九十减去二分之一二八，所以这两个角就相等。 那我们把这两个比值给它写出来，就会发现是 b c 比上一个二倍的 f d， 它就等于呢是一个 f g， 比上一个 f d， 那 b c 就 等于二倍的 f g。

各位同学和家长，我们一起来看一下刚刚考完的二六年东城一模这道几宗压轴题。那其实纵观整个东城的一模卷，整体来说还是比较简单的，原因在于你可以看这三道压轴题，原宗、代宗和几宗整体是没有出什么难点。 那我们一起来看一下，为什么说几宗会比较简单。在题盖里面，他提示了旋转，所以我知道这道题的主旋律依然是旋转。 另外呢，我们在做其他程序的几宗压轴题，往往是通过两步或三步全等才能证明出来我们想要的结论。 但这道题的话，我们只需要一步构造全等，就能证明出来我们想要的结论了。另外他还考察了我们在初二常练习的一种题型，截长不短，与等边三角形相结合。好，那我们一起来看一下，这道题我们能通过几种方法去解决。首先我们还是先来认真的读一遍题干。 他说在三角形 a、 b、 c 当中呢，角 a、 c、 b 等于六十度，那六十度当然是一个非常特殊的角，你给它标好 a、 b 是 大于 a、 c 的。 现在我们将 a、 b 就 绕着点 a 进行旋转，旋转一百二十度，所以角 b、 a、 d 就是 一个一百二十度的角， 然后过点 d 做了一个 d， e 平行于 b、 c 的。 那我知道两直线平行一定是用于倒角的，那现在我就可以把 b、 c、 e 和角 e 都标上一百二十度的角点 f 为 c 的 终点。那这个终点啊，其实是一个迷惑点，因为我们在以往看到终点的时候，你肯定会考虑到的是被上中线或者是中卫线， 但是今年一模好几个城区已经出现了，说终点啊，它就是用于导边的，比如说西城卷或者是石景山都用到了这一点。 好，那现在你先把终点放到这，我们一起来看一下这道题到底终点我们应该如何去用。首先我们来看第一问，补全图形之后，让你求证的是角 b 等于角 d、 a、 e， 那 我知道角 a、 c、 b 等于的是六十度，所以角 b 这个对勾加上一个角 b、 a、 c 的 这个分叉，应该等于的就是一百二十度。根据三角形的内角和 另外角 b、 a、 d 也是一百二十度，所以角 b、 a、 c 加上角 d、 a、 e 反勾等于的也是一百二十度。那这样的话我就得出来角 b 应该等于角 d、 a、 e。 那 第一问的结论我们就在第二问里面可以作为已知条件来用了。我们来看第二问，它让我们找什么样的数量关系？它让你求的是两边 a、 f 和 b、 c 之间的数量关系。 那当然第一步的话，你一定是拿尺子去量一下，那量完之后，你发现这道题非常善良，直接我们能得出来结论，那就是 bc 应该等于的是二倍的 a、 f， 所以 现在你就去构造全等三角形，那构造全等三角形你第一个想的是肯定是旋转啊，手拉手对不对？ 那这里边已经提示了 a、 b 是 等于 a、 d 的， 所以你要找的一定是含有结论边 bc 的 三角形，那就是 a、 b、 c 或者是含有结论边 af 的 三角形，那你发现 af 是 三角形 a、 d、 e 的 一段，所以要不然你就找一下三角形 a、 d、 e 的 全等三角形， 那这样的话，我们先通过第一步旋转来看，那 ab 和 ad 相等，所以现在我就旋转 a， 一 旋转一百二十度，让它就是 am， 那 这样的话 am 和 ae 就 应该是相等的，然后再连接一下 bm， 我 知道旋转之后啊，那这个角角 bam 也应该是一个缝勾，那这样的话我就得到了三角形 abm 应该是全等于三角形 ade 的 全等之后，对应边相等，对应角相等，那这里边 b m 和 d e 就 应该相等的。又因为角 e、 m， 它是一个一百二十度的角，所以 am 和 bc 它应该是两条平行线。 因为 am 等于 a e， 所以 现在我可以设一下边，假如说我令 c f 和 e f 分 别是角 a， a， c 是 角 b， 所以 af 等于 a 加 b， 那 a e 等于的是二 a 加 b， 那 am 和 a e 是 相等的，所以 am 就是 二 a 加 b。 那 现在我们就把 bc 给它分割一下。怎么去做分割呢？我们在 bc 上截取一段， 截个 b n， 让它等于 a m， 那 这样的话，这一段就应该也是一个二 a 加 b， 截取完之后，四边形 a m、 b n 就 应该是一个平行四边形。因为什么？原因在于 a m 和 b n 的 话是截的相等，又因为 a m 是 平行于 bc 的， 有一组对边平行且相等，就是一个平行四边形了。 那平行四边形对角就应该相等的。角 m 等于一百二十度，那角 a、 n、 b 就 应该也等于的是一百二十度，它的邻补角就应该是六十度，那这样的话，有两个角是六十度的三角形，就应该是一个等边三角形，所以 a、 c、 m 就 变成了一个等边三角形， 那这样 ac 就 等于 c n， 我 们也可以用小 b 来表示，所以此时呢，这个 bc 等于的就是二 a， 再加上一个二 b， 反观我们的 af 等于的是 a 加 b， 所以 bc 就 等于的是二倍的 af。 好， 那现在我们再来看一下图二，那我们依照这个方法，我们旋转做一个三角形 abc 的 全等三角形，这时候 ab 已经等于 ad 了，所以现在呢，我就需要旋转的是 ac， 将它旋转一百二十度，得到 am， 然后再连接一下 dm， 那 我们依然把这个图里面的角都用特殊的符号给他表示一下，角 b 用勾，角 b， a， c 用叉角 d， a， e 用的是一个勾， 那我们现在旋转完之后，其实我们是能得到三角形 abc 是 全等于三角形 a， d， m 的， 根据的是 s， a， s， 那 我们可以把这个条件稍微的罗列一下。首先 ab 是 等于 ad 的 旋转一百二十度， b， a， d 和 c， a， m 都是一百二十度，所以角 b， a， c 就 等于角 d， a、 m。 那 另外还有 a， c 等于 a m， 所以 s， a、 s 这两个三角形全等全等完之后，对应边对应角相等，所以现在这个角 a、 d、 m 我 也可以用一个反勾来表示，那这样我就能知道了，两直线应该平行的，也就是 a， e 应该是平行于 d， m 的， 那平行完之后，依然现在我把 b， c 就 导到了 d， m 的 位置。然后我们还是根据刚才这个图，我们如何做的呀？做的是一个平行四边形，那现在我可以过点 a 做一个 a， n 是 平行于 d、 e 的， 那两组对边分别平行，也就变成了一个平行四边形， 平行四边形依然对角相等，所以角 e 如果是一百二十度，角 a、 n、 d 就 依然是一个一百二十度的角，那这样它的邻补角就应该是六十度。另外呢，我们刚才第一步在证明全等的时候，角 c 是 六十度，所以角 m 也是一个六十度。 现在有两个角都是六十度了，所以三角形 a、 m、 n 又变成了一个等边三角形。那这样我们就可以知道 bc 它等于的是 dm， dm 又变成了一个等边三角形，那这样我们就可以知道 bc 它等于的是 d， m 再加上一个 m， n， 我们依然用小写字母来表示。用 c， f 和 e， f 等于小 a， a， c 等于小 b， 所以 am， a， n 还有 b， n 它都是小 b， a， e 等于 d， n 等于的是二 a 再加上一个 b， 所以 d， n 等于二 a 加 b， 再加上 m， n 呢，就是二 a 再加上一个二 b， af 依然是小 a 加小 b， 所以 我们还是能通过同样的方法证明出来它是二倍的关系。只不过我们做的全等三角形不一样。第一个我们做的是三角形 a、 e、 d 的 全等三角形。第二个我们做的是三角形 abc 的 全等三角形 都是通过旋转得到全等，然后做平四去结边，然后于等边三角形构造。那我们再来看一下下面这两个图，如果单纯，我就通过倒角能不能找出来全等三角形？我们先来看一下第三个图。 当然你要去构造全等三角形，一定是根据这里面有对应相等的边，也有对应相等的角，所以 ab 等于 ab 等于角 d， a、 e 那有一组边和一个角了，我们需要再截取一个边，用截长补短就可以。依然其实你要构造的还是三角形 a、 d、 e， 或者是三角形 a、 b、 c 的 全等三角形。那图三我们依然构造 a、 d、 e， 我 们就可以在 b、 c 上去截取 e， d、 m， 使 b、 m 等于 a、 e， 再连接 a、 m， 那 现在三角形 a、 b、 m 就 应该全等于三角形 b、 e。 当然根据的还是 s a、 s， 我 们可以将条件在后面罗列一下。首先第一个 a、 b 等于 a、 d， 角呢？角勾等于角勾， 然后 b、 m 是 我截取的，让它等于 a、 e。 两个三角形全等之后，我们知道你可以导边 a、 m 等于 d、 e， 你 也可以导角角 a、 m， b 等于的是一百二十度，等于角 e， 那 它的邻补角就是六十度。所以我们还是导到了一个等边三角形 a、 c、 m。 下一步我们还是用小写字母来标边 a， a 和 b， 那 现在 c、 m 就是 b， a， e 就是 二 a， 再加上一个 b， 那 这样的话我们依然能知道 bc 等于的是二 a 加二 b， af 等于的就是 a 加 b。 好， 那刚才是截长，现在的话我们就来补短，我们来补一个三角形 abc 的 全等三角形。 那这时候我们还是把已知对应边 a、 b 等于 a、 d， 然后角 b 等于角 d， a、 e 给它标出来。如果你想构造三角形 a、 b、 c 的 全等三角形，我就应该延长 a、 e， 使它等于 bc， 那 现在我们来做一个延长， 延长到一点 m， 使 am 等于 bc， 然后再连接 dm， 那 是不是我还是能知道三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d， a、 m， 那当然通过的还是 s a、 s， 那 此时的条件变成什么？ a、 b 等于 a、 d， 然后角勾等于角勾，然后 b、 c 等于 am 是 我们做的， 那全等之后，我们能推出什么样的结论呢？你可以看一下图三，因为图三和图四它们的方法其实是一致的。你是不是用到了三角形 a、 e、 d 里面的一个一百二十度的角 e， 然后让它对应到三角形 a、 b、 m 当中，那在图四这个方法里面，我们应该把六十度给它倒过来，那角 m 应该等于的就是六十度， 那角 a、 e、 d 的 一百二十度的邻补角依然是六十度，所以现在三角形 d、 e、 m 依然是一个等边三角形。最后一步，我们进行标边， c， f 是 小 a， e， f 是 小 a， a， c 是 小 b， 所以 d、 m、 e、 m 还有 d、 e 都是小 b， 那 此时 bc 它应该等于的就是 a、 m 等于的是二 a， 再加上一个二 b， 那 a、 f 呢？依然是小 a 加小 b， 所以 我们还是找到了它们之间有一个二倍的关系。那以上四种方法是我想到的，如果你有更好的方法，也可以补充一下。

哈喽，各位同学大家好啊，二零二六年西城初三一模题，原本呢，这道题我并没有打算讲，但是看到呢，给的标答以后，然后看到很多网上的一些视频啊，然后很多老师甚至也说他非常非常简单啊，然后很多同学实际在考场上也没有做出来 啊，我说题不是这么做的啊，题不是这么做的，我们这道题真正考的东西，我们该怎么做呢？我们看我们的答案是获取不了知识的。 好吧，我们各位同学认认真真的听一下这个解析，然后看看能不能对你有所这个这个帮助啊，也跟我前面一直给大家之前讲的这个录的这个模型也有关系。来，我们先来看一下这道题，三角形 a b c 中角 b， a c 等于 r 法啊，等于 r 法， ab 等于 ac cd 垂直 ab 与点 d 过点 b 做平行啊， p 是 线段上的一点啊，做角 c， a q 等于 a p， c 交射线于点 q 啊，题目读完了啊，然后呢，我们标了一下，第一问，当角 c a q 等于二阿尔法，这个阿尔法是三十六到六十度的时候，然后求这个角的度数，大家可以看一下啊，我在这给标了一下啊，标了下， 然后要求我们这个很小的角，我们不要在这等啊，我们标这个角是阿尔法把它表示出来啊，就是这个样子的啊，这个大家基本上都会做，我快速的写一下啊，就可以了啊。好吧， 那么我要讲的是第二问，他说如图二点， e 为 a p 的 终点， e 为 a p 的 终点，就是这个条件啊，用等式表示 d e 与 b q 的 关系， d e 和 b q 的 关系，并证明。 好吧，呃，我们很多老师说这道题非常简单啊，当然我也做啥，我也觉得它简单，但是你会发现好多学生没有得分，没有得分啊，我们来看，首先学生拿到这道题的时候，他的第一想法其实是什么？其实是找第一的二倍， d e 的 二倍，或者是 b q 的 一倍。为什么呢？他拿尺子一量，发现他是他的一个二倍的关系，我们来证明这个对不对，所以就找他的二倍和找他的一倍。那怎么办呢？取中点吗？不合适中位线吗？也不合适把他倍长二倍吗？也不合适，这边倍长也不合适。 所以这道题才是我认为他很难的地方，而不是像我们很多老师说他非常简单，能理解吧，各位同学能理解吧。好，我在这快速的说一下啊，我们给的标准解答其实是什么呢？他说是这样的啊，在这上面取一对啊， 这两个是相等假设，这是屁屁，然后这两个线段，哎，这是直角，他就是等腰了啊，然后啊，我这么来写啊，他是取 d p 等于 d p 撇啊，后面我就不写了，我想告诉大家的是，这样，后面能不能做了？能做，但是请问你想到了吗？ 有谁能想得到对不对啊？我们的学生脑子里装的思路，装的东西，你只要是好好的去研究我们中考的题目，你好好的学习我们的模型，你肯定不会这么去做，而实际上我们的学生，甚至我们的很多同行老师也其实不是这么做的。 好，接下来看我的方法。好吧，接下来看我的方法。来，我们重新画个图啊，已知条件，已知条件啊，已知条件是 a c 等于 ab， 这是一个等腰三角形，然后 a e 等于 pe， 然后角 c q 等于角 a p c。 我 在图中已经标好了，这是贝塔，这是贝塔啊，现在求证什么呢？ 现在求证 啊，求证什么呢？求证这个 b q 等于二 e、 d， 对吧？那我们怎么看？你二倍倍长取中点都不行，接下来怎么看？我们说怎么看呢？去看我们的条件，我们的条件是这是贝塔，这是贝塔， ab 等于 ac。 还有啊，根据我们这个跟这个是平行。好，我把它给标上去，那平行我们怎么标呢？同志们，平行我们有两种标法啊，我们有两种标法，就是标，这是 r 法啊，你还可以标标这个，这个是一百八减贝塔，当然也可以标，这是贝塔。 好，接下来你用我们的中点模型也不行，用我们的旋转模型也不行啊，还用到我们的其他的一些甚至将来讲的角平分线的模型呢，或者是我们的一些常见的一些我们学过的这个什么大小加半角的模型呢？可能都不行，对不对？那我们这我们来看一下它的条件， 有 a、 c 等于 ab， 有 这个地是 alpha， 这也是 alpha， 对 吧？还有这个地是 beta， 这个地也是 beta。 我 们此时此刻我们发现，我们发现什么呢？我们发现这么两条，两条，第一条啊，这个就是看我们题目当中的条件，我们发现的第一个，我们发现 这个阿尔法，这也是阿尔法，这个你也发现了。好，第二个，我们发现 a、 c 和 ab 是 相等的，而我们要求的 b、 q 刚好是在我们这个三角形里面，这个角是一百八十度减阿尔法，我们发现了什么呢？我们发现了 ab 这根线段，它对的是一百八十度减贝塔， 而我们的 a c 这根线段对的就是角 a p c a p c， 它就是等于贝塔， 这两个是互补的，大家能理解吧？这是相等的线段，对应的这两个角是互补的，而且还有这个角和这个角，所以我们说在这个地方，我们就说什么呢？我们就说三角形 a c p 与三角形 b b 什么呢？ b a q 啊， 满足边边角。各位同学，这就是这道题我们的思路， 这就是这道题我们的思路啊。注意啊，在这个地方有一个非常重要的是，这是贝塔，这是一百八十度减贝塔，然后他们所对的边是相等的，我们说边边角的模型是相等的，边对的角要么相等，要么是互补的，你看相等边对的是互补的， 对吧？然后另外一个这个是角阿尔法，这个角是阿尔法，他们可能能够找到对应的边，能理解吧？有可能这个边和这个边就可能是相当的，能理解吧。所以我们就来到我们边边角的做法，如果你不清楚，你看我们前面的视频，那他是怎么做的呢？各位同学，他就是这么来的啊，我在这用红笔写啊，用红笔写， 他就是找没有关系的那个角做对边的垂线。好，那这个是阿尔法，这个是一百八十斤渡劫阿尔法，没有关系的就是这个角了，这个角啊，那这个三角形里面没有关系的，那就是这个角了，这个角的垂线做好了，那就看他做，那就过 a a 做 a h 垂直 b m 于 h。 好， 我想问一下有多少同学这么做辅助线？有多少同学这么做辅助线？ 好了，接下来就不用做了，按照我们的步骤，直接按照我们的流程走下去就可以了，按照我们的流程步骤就做完了。好，我们首先我们能看到就是三角形 a h b 啊，它是全等于三角形，那就是啊， c d a 啊，这个地方是什么呢？这是一个相等的斜边，这是阿尔法，这是阿尔法，这是直角角角边。 好，所以他能得到我们的高相等，那就是什么？就是我们的 cd 等于我们的 a h 啊。当然了，在这个地方 cd 等于 a h， 还可以用别的方法啊，就是因为这两个是平行线，然后这是平行线之间的距离啊， 啊，这个是平行线之间的距离，所以你过 b z 做这个垂线，这两个垂线也是相等的，跟这个高等腰三角形两腰稍等高是相等的。一样啊，所以，但是用这个就直接不用动脑筋啊。好了，得到高相等之后，我们再去挣另外一个三角形 a h， 它是全等于 三角形，这是谁呢？ c d p， 它的理由是什么呢？就这是一百八十度角贝塔，那这个角就是贝塔了，这是贝塔直角又有高相等啊，所以它就还是角角面 啊，所以接下来我们就能够得到什么呢？我们就能够得到我们的啊，比如我们这能得到两个啊，一个是我们的 a q 啊，它是等于我们的 c p 啊，这是能得到什么呢？ d p， 它是等于我们的 h q， 就是这一段小的是相等啊，这一段小的。标一下，这一段和这一段是相等，能听懂吧？那接下来这道题马上就做出来，你看这个东西都是按照我们的步骤来写的啊，接下来我们就为什么就快速的就知道呢？呃，我们要求的这个 e、 d 对 不对？我们可以来标一下啊，我们就接下来导一下线段的计算就可以了啊， 好，我们就可以设啊， e、 d 等于 a， b， p 等于 b。 好， 我们来写一下，这个地就是我们的 a， 这个地就是我们的 b， 因为这个是终点，所以这个就是 a， a 加 b， 对 吧？ a， e 就是 a 加 b。 那 根据我们的相等的线段啊，这两个三角形是全等的，我们就可以得到什么呢？啊？就可以得到这一段线段，它就是我们的二 a 加 b， 而这个线段啊，这个线段就是我们这的 b， 那 理解哈，看到了吧？啊，所以我快速的写一下啊，在这个地方，所以我们的 a、 e 就是 a 加 b 啊，然后我们的 h， b 就 等于我们的 a， d 等于 b 啊，所以我们的这个 b 就 等于我们的二 a 等于二 d。 断了，疼了，是不是非常轻松？这就是我给大家讲的边边角模型， 就做这道题，我想告诉大家的是什么呢？就说有可能你要是没有学过我这个模型，你可能觉得这道题很难，这样做想不到，但如果你学到我的模型，你按照我给的条件，那每一步都是顺理成章，这个做高就非常轻松， 各位同学能理解吗？而不是说一道题拿来看到答案知道哦，该这么做，实际每次自己在做的过程当中都想不到，那我说明你的模型学的并不太好。好吧，这是我想给大家讲的这一道题，你看就非常轻松，非常轻松， 真的，大家，大家可以翻一下我们网上的这个视频大讲解的，我觉得可能很多他是误导我们的学生啊，讲完了之后，看到答案了之后就觉得特别简单，实际没有啊，你按照我这么做，这才是真的简单啊。 当然这道题我还是要稍微讲一下，其实我觉得标答给的不是很好，他只是给了一种大家一种做法，实际上如果你没有学这个模型，接下来也可以做，那他就是这样做。嗯，大家来看一下，那接下来我们讲的可能就是另外的一个想法了啊 啊，其实我们在讲边边角的时候，我们也讲过，用边边角的过程当中可能会遇上这么一种做法，就是我们这个边啊，它是等于我们的 ab 这个边的，对吧？然后这是贝塔，这是贝塔，这是阿尔法，这是阿尔法，对吧？这是一百八十度减贝塔 啊。那我们的学生可能在做的过程当中发现倍长二倍不行，找中点也不行，所以接下来怎么办呢？我们老师都讲过，你要做辅助线去构造全等，那有什么呢？有这个边等于这个边，我们一直调节， 有这个角是 alpha， 这个角是 alpha， 而我们的 b q 又是我们非常非常重要的这个线段。所以接下来有一种做法，其实是什么呢？是在 a b 上取 a f 等于 b q， 然后连 c f。 各位同学，这才是这道题，如果你说没有学我们的模型，用这种方法来做也是非常可以的，实际可能有同学这么做做出来，但是也有同学因为可能还有一些细节的处理没有把它做出来啊，接下来就是我们的这个 a c f， 它其实全等于我们的三角形谁了？就是 b a 是 理由，是边角边， 能理解吧？啊？边顶角吗？有老师讲的其实是这个，所以能够得到什么呢？我们的 b q 其实就是我们的 af， 能理解吧，所以我们要做的问题就转化成什么了呢？就是要求这 af 等于二倍的 e、 d， 就是 接下来要做的是这一件事情， 而这两个线段等于二倍的话，我们接下来其实还有一个重点啊，还有个重点是什么呢？这两个三角形全等了之后啊，我们是需要知道，是需要知道这个角和这个角是相等的，这个角和这个角是相等的啊，那就能得到这个角其实就是被它啊，啊，所以角 c f a 等于角 eq a 等于一百八十个角被它啊，所以角 c f p 等于角 c p f， 所以 d f 就 等于 dp， 同志们能理解吗？这才是我们把它做的话，你现在回过头来想一想，我们拿到这道题，谁能想到我们要把这个东西把它这边背长一下，或者这边把它延长一倍，是不是很难想的？所以接下来我们利用，利用什么呢？利用我们有一个小的结论啊， d 是 啊， d 是 什么呢？ d 是 f p 终点， 然后 e 是 a p 终点用我们在初一 v 班和 s 班和我们的讲义里面给大家讲的叫终点公式，我们马上就能推出这个 e d 啊，它就等于二分之一倍的 a f 啊，所以我们这个啊，所以我们这个最后的结论就 b p 了，它就等于二倍的 e d。 好， 讲完了，各位同学啊，这个最后这个如果不清楚的 你，你问我们吧，好不好？好吧，这就是我们讲的这道题。我觉得如果你是这么做的也很棒啊，你稍微动一点脑筋，如果你是我们这种方法做的， 那你真的是棒极了啊。如果你是这种方法做的，我不信没有人能做出来这么做。好吧，好了，今天就讲到这啊，关注我们的视频哈，后面继续学习，记得点赞关注哦。