高一数学必修二，立体几何的绘画

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。

很多老铁刚学立体几何啊，学不明白，真的不是你空间感差，也不是定力没有背会就是一个原因，图没画好，题就不可能做。对啊，今天我就讲透一个点，想要学好立体几何， 先从好好画图开始。第一，画图一定要画的标准，干净直观，虚线实线分清，平行线画平行，垂直线画垂直，不要随手乱画，图画的越标准，你脑子里的空间结构就越清晰，很多辅助线呢，一眼就能看出来。 第二，不会想象空中图形，那就多画几遍。同一个图形呢，换个角度画，画个视角画，画的多了，空间感自然就练出来了。 别光盯着题目的图看了，自己动手画一遍，理解程度完全是不一样的。第三，我们做证明题的时候呢，一定要边读题边标图，已知的平行、垂直相等线段，那全部在图上标出来，条件标全了，思路呢？自然浮陷， 比你在那空想十分钟都管用。第四，辅助线不会加，先把图完整。那么很多时候呢，不是你不会加，而是你图画的太乱，太潦草，看不到突破口啊。图画的规范了，该练哪里，该做垂线一目了然。 说到底，立体几何几乎没那么玄乎，你把图画标准，然后画清晰，画完整，空间感上来了，定力用活了，步骤也好写了，分数自然就上来了。来一句话，图画对立体几何会有一半。

好，通过立体总结方法这一课，我们来一起学习立体图形的直观图的相关题型。首先我们看第一个题型， 那么关于画这个直观图，我们在讲解知识点的时候，通过画这个正方形的直观图已经总结了啊，那这个地方呢，我们再用斜二次画法来画一下正六边形， 那么对于这个正六边形呢，我们首先要建立坐标系，我们间隙的时候，尽量把更多的点放在坐标轴上，或者说呢让更多的线段在坐标轴上或者跟它平行， 那因为我们在画这个直贯图的时候啊，是由那个两变两不变这个条件的啊，首先我们看一下，画完以后，首先坐标轴我们需要变成 啊，夹角为四十五度啊，这是 o 撇，这是 x 撇 y 撇， 好，那我们看一下，首先我们取这两个点啊， 那这两个点呢，因为它在 x 轴上，所以它的线段的长度是不变的啊，所以我们从 o 到这个点去和原来相等，那这边呢，也和原来相等 好，然后呢就是这些点呢，因为它不在左边轴上，所以它不好取，我们可以取谁呢？我们可以取这个线段，这个线段在外一轴上，这时候呢，我们知道外一轴上线段要取为原来的一半， 那过这个点呢？哎，过这个点与 x 轴平行的这条线， 那平行关系不变，并且长度不变，那这样的话，我们也知道，这里我们可以做一条和原来平行的直线 啊，并且呢它的长度和原来相等啊，那同样的下边这些线呢，和刚才的道理是一样的，所以呢，我们取这个长度为一半的地方做平行线 啊，好，这是这两点。好，那这样呢，我们做完以后，顺次把它们连接起来就可以了。 好，这就是这个正六边形的平面直角图啊，我们发现你看它完全符合我们上课总结的两遍，两遍啊，夹角变了 啊，原来这个与 y 轴平行或在 y 轴上的线段啊，这个 都变为了原来的一半啊，然后其他的平行关系不变啊，你看这些边还是平行啊，这地方呢，因为画的长度的原因，看起来这个是平行啊，这俩呢也是平行。 好，这就是第一个题型复习型啊。第二呢，就是关于平面直角图里边的面积， 那直角图的面积和原来图形面积有关系，因为我们知道它里边这个长度夹角有变化，所以呢，这个三角形面积 和它直观图的面积肯定是不一样，那我们看，原来它是个正方形，边长为 a， 所以 我们看一下一个正三也行， 边长是 a， 那 么它的直观图我们画的话，可以先建立坐标系，我们可以以这个中线为 y 轴，以这个底边为 x 轴。在渐细以后呢，我们做出 x 撇和 y 撇住，这样在原来上面的两个这个点的距离不变，那然后呢，这个要变成原来的一半啊， 所以呢，我们知道，你看这个三角形里边，这个底边长是 a， 是 不变的，那高呢？高，原来这个地方啊，是，这是 a， 这是二分之 a， 那 么这个高是二分之根三 a， 那么看这个呢，这个呢，显然这个不再是高了，因为它和地面不垂直，但是呢，我们知道这个长度是多少呢？它是在外中上，所以变为原来的一半是四分之根三， 那当然并不能说面积变成一半，那又由于这个高，应该怎么做呢？从这里做个垂线 是吧？所以呢，这个角又是四十五度，那我们就知道它们之间有根二 b 的 关系，所以它是高 h， 应该是等于它的二分之根二 b 啊，那也就是八分之根六， 所以呢，这个三角形的面积就是二分之一乘 a， 这是八分之根六乘八分之根六 a 啊，这样一算呢，应该是十六分之六倍的立方啊。好，所以这个面积呢？呃，应该是 d 选项啊，那在这个地方呢，我们可以把这个总结成结论啊，我们 可以把这个结论写一下，因为一个三角形，你看它的底边肯定是不变的，就是高 高呢，有两个变化，一是它本来原来高的长度，在这里它变成了圆的二分之一。那另外呢，那个我们从这个地方做垂线以后，发现新的高和原来的高线它有二分之二的关系 啊，那也就是说，那个现在呢，它的高的变化就是是原来的一个是减小了二减，减小为原来的二分之一。另一个呢，还有一个二分之跟二倍的关系，所以呢，这个直观图列三，三角形 s 撇啊， 应该等于原来的多少倍呢？先乘二分之一，因为底边不变，那高变为二分之一，再乘二分之二，就是四分之根二倍啊 s， 所以 大家可以把这个关系记住啊。 好，那么看同样的这个这个题，这个题是关于它的还原。你像三角形 a 撇， b 撇、 c 撇 啊，是三角形 a b c 的 这款图，那么在这个关系中， a 撇 c 撇，也就是下边的 o 撇 a 是 二，然后 b d 呢？ b 撇 d 和外周平行，那并且它的长度是一点五，那这样我们把它复原，复原呢，首先我们建立直角坐标系 啊，原来呢 o 撇 a， 那 在这里 o 就 其实就是 c 点啊，它的长度是不会变的，每一次它的长度是二，我们假设这个是二 啊，然后呢，呃，这个地方我们要注意的是啊， b d 撇 b d 撇呢，它是 和原来这个这个 y 轴 y 撇轴是平行的啊，那所以它现在在这个三角形中呢，它也是平行啊，那因此呢，这个地方就是垂直了， 那这样的话，我们看只要找到啊，这个地方，这个地地撇点的位置，我们做垂线就可以了，那地撇地撇点是多少呢？ 那这个地方我们看一下，可以知道，在这个三角形中啊，这个 b 撇 d， 因为这个地方和 y 撇中是平行的，所以这个夹角呢，是四十五度 啊，四十五度， 那因此呢，这个三角形中 好，这个地方呢，我们注意在这个三角形中啊，它这个地方是四十五度，那我们看在这里没法求出这个具体的点的 啊位置，所以呢，我们可以取原来啊，这个地方 o d 等于 o d 平啊，因为它和这边的长度保持不变的关系。那然后呢，我们这样做垂垂线， 垂线呢，原来它是一点五，现在呢，我们知道它应该是和原来有二分之一的关系，所以原来这个长度是三，那么这样我们就得到了 b 啊，然后呢，再去连接 bc 和 bc， 我 们就得出了这个三角形啊，这是它的复原图形，那原图形的面积 s 呢？ 那现在就是二分之一乘 o a 的 长，二是不变的，高呢，就变成了这个三，所以它的面积是三。好，这是画复原图， 下面我们再看第三个题型，关于立体图形的直观图的画法。那我们讲知识点的时候呢，画过这个正方体啊，那这个地方呢，让我们画这个 长方体，其实是一样道理，我们这个地方在一块画一下啊，首先呢，我们这个地方要建立左撇细 啊，这是 x 轴， x 撇入啊， y 撇，然后呢，这个地方要画一个 z 轴， 然后呢，长宽高分别是指三，所以呢，我们在 x 轴上取得它的长是三，这个不变 啊，这个长度是三，那我们假设这个地方是 a 点啊，那这一点是 b， 然后它的宽是二，宽是二，我们在外撇轴上取二， 那因为这个地方要变成原来的一半，我们假设是在这取了一啊，这是 d 点， 那这样呢，我们就可以做平行线，因为这个平行有 x 轴，所以它的长度不变也是三啊，做完以后呢，得到了这个点是 c， 那 然后连接 b 好了，那做出这个底面的图形以后，它的高是一点五，高是一点五，我们可以在 z 轴上从 a 点往上去一点五的长度啊，这个是一点五，我们取为 a 一， 那这样的话，我们可以直接用同样道理过 d 点做下面的垂线，也是长度为一点五，那这个就是 d 撇， 按这里做出啊，一点五的长度， c 撇，这里也是垂直，或者要平行于对准啊， b 撇，那这样我们连接 a 撇 啊， b 撇， c 撇， c 撇， d 撇，还有这个就可以了， 那我们做出这个图形以后呢，一般要求用实线啊，去画一下能看到的这些线条啊，那当然正面的这个可以看到， 然后呢侧面这些线呢，都是可以看到的，以及上底面这些都可以看到，那看不到的这些呢，我们用虚线，这样就画成了啊，它的直管图。 好，那么对于这个直管图啊，还有一种就是画圆柱圆锥， 那么首先这个底面圆，我们要注意啊，在画这个的过程中，首先底面圆，一般圆形的啊，对于这样的一个圆形， 我们一般是过它的圆心做两条垂线啊，作为 x 轴和 y 轴，然后呢也是一样去建立一个 直角坐标系，那当然画直观图的时候，它就不是直角啊， 这样我们还是一样，那这两边呢，取的线段长度跟 x 轴上的一样，这 y 轴上呢，要取到一半，所以我们画出来的圆呢，它应该成了一个啊扁的啊，这个椭圆形， 这么也行了，然后呢他要画里面是个圆柱，画出圆以后呢圆柱，首先我们画出啊他的两条母线 啊，然后同样的和下边这个面平行切相同的这么一个圆，然后上面的这一部分呢，那当然这是它的轴啊，上面这一部分呢是一个圆锥， 那圆锥呢，我们直接从这个轴上取一点，然后呢连接两边的这个团点就可以了。 好，这就是这里的这些图形，当然呢我们这些画立体图形啊，他考试的时候一般不会考，但是呢我们要会做图 啊，我们做图的时候呢，一般把握住刚才我们说的这些特点就可以了啊，快速画出这些图。哎，这本节课的主要考点呢？主要就是这个三角形的面积问题啊。

上节课呢，我们主要讲了斜二策划法的基本原则，还有两图关系，那么这里先做一个回顾。首先基本原则这一块呢，我们讲了平面直角坐标系中的原图到斜二策划法中的直观图之间的转换关系。 那么我们说总结出来呢，就是八个字儿，平 x 不 变平， y 变半。啥意思呢？就是说原图中的平行于 x 轴的线，那么到了直观图中呢？哎，它不发生改变，那把长度 该是多少还是多少？那么原先平行于 y 轴的线呢？变为原来的一半，那么如果说我想把原图中的一个点迁移到现在的直观图中，那我就得分别过它做 x 轴和 y 轴的平行线，那么再根据这个原则进行转换就可以了。那么之后呢，再来看一下两图关系， 对吧？两图关系呢，主要讲的长度和面积，那么这块呢，我们说长度靠画图，面积呢？靠公式，啥意思呢？首先长度呢，还是觉得把图像还原出来比较靠谱，从图像中呢，直接就可以找到它的几何关系， 那么再根据几何关系呢，去找到具体的长度，那么面积呢？上节课讲了，我的原图和直观图之间是存在一个系数，可以直接转换他俩的。当然，如果说你对这个公式不够熟练的话呢， 我还是建议大家画图可能更稳妥一点。好，那么我们今天呢，主要看一下斜二策划法的一些综合练习，他和其他问题哎，是怎么样进行综合的？那么一起来看这道二四年的福建省的校级期末考试题，那么这道题呢，首先给了一个直观图长这个样子，他说什么？他说这两条边长度都为二， 那么点 c 呢？在这里做了中点，问下列说法正确的事，那么我现在知道什么？知道这个角是四十五度，好，那么依次来看一下 a、 b、 c、 d 四个选项，那么 a 选项呢？说什么？说 oc 和 o b 这两向量数量基为零，那么这里就要求我们还原原图， 这个图很好画，对吧？那这里直接把 x 轴和 y 轴画出来好，那么首先来找平行于 y 轴的线，还在这里，平行于 x 轴的线呢？在这里，对吧？那么 x 轴直接不变，对吧？还是二，该是多少还是多少？那么 y 轴呢？这块变成原先的二倍啊，也就长度为四，那么在连接 ab 啊，就找到了这样一条线， 那么点 c 呢？作为 a 撇 b 撇的中点，它是不是同样的比例不会发生改变啊？那么它同时也做了 ab 的 中点， 哎，那么所以说点 c 呢？还在这里，那么我们把 o c 和 a b 画出来，这俩向量，哎，它俩能垂直吗？很明显不是垂直关系，对吧？所以说 a 选项呢？ 错的。再来看一下 b 选项，他说三角形 a o b 的 面积为二，那么这个三角形的面积呢？很明显不是二呀，对吧？这里是垂直的，所以说底乘高除以二，应该是多少？应该是四，那么 b 选项呢？也是错的。 好，再来看下 c 选项，说啥呢？说 o c 在 o b 上的投影向量为二倍的 o b， 对 吧？这个向量在 o b 上的投影向量，哎，是哪里呢？ 补过点 c 做垂线，那么也就是这一条向量没问题吧？那这条向量呢？很显然它是多少呢？它是二分之一 o b， 而不是二 o b 啊，那这个系数搞错了，哎，那么 c 选项呢，也是错的，那么作为单选择题，哎，是不是只能选 d 了呀？当然，我们要搞清楚为啥要选 d， 对吧？ b 选项呢？说什么 ab 同向的单位向量为这个十分之根号五倍的 ab， 那 么我们说呢，去找一个向量方向上的单位向量， 怎么找呢？哎，比如说，我要找小 a 方向单位向量，就是这个向量比上它本身的模值，对吧？那么我现在要找 ab， ab 呢，比上自己的模值是不就可以了？好，那么现在呢，我来算一下 ab 呢，比上自己的模值是不就可以了？好，那么现在呢，我来算根号下四的平方十六，再加二平方，也就是四， 那这里直接得到二倍根号五，没问题吧？好，所以说它就等于二倍根号五呢，分之向量 ab， 那 么算出来，哎， d 选项确实没问题，确实就是十分之根号五倍的向量 ab， 那么这道题呢，就选 d， 那 么这道题呢，也是我们这个斜杠策划法和平面向量呢，进行了个综合，对吧？你发现，哎，通过还原原图呢，这个坐标系里面还可以结合一下向量。继续来看这道二五年的河北省校级期中考试题。那这道题呢，首先给了一个梯形， 它的上底长度是二，下底长度是五，那么并且都是平行于 x 轴的，那么另外呢，又给了一条幺，长度为二，平行于 y 轴，哎，注意了，这是一个直观图。然后现在问题呢， a、 b、 c、 d 四个选项，问谁是对的？那么 这四个选项都是关于什么呢？都是关于原图的，这里就要求我们把原图还原出来，大家可以暂停下视频，自己来尝试一下。那么要还原原图简单，我先在这里画一个直角的，找一下平行于 y 轴的， 首先，哎，它是平行于 x 的， 它是平行于 x 的， 对吧？那么它呢，是平行于 y 的， 哎，我分别在原图中去还原这些线是不就可以了？ 那么还原这些线呢，都需要从点 d 开始，有些小伙伴可能就要问，哎，这个点 d 是 悬空的，怎么确定它的位置呢？ 其实不重要，对吧？我们大概在第一项线呢，找这样一个点 d 就 可以了。那么 d a 长度是五，哎，它平行于 x 轴，长度还是五，那么再来看一下谁呢？再来看一下 dc， 对 吧？ dc 它平行于 y 轴，那么长度为二，在原图中呢，长度就是两倍，也就是四， 那么 c， b 呢？它平行 x 还是二，对吧？最终把口一封，哎，得到这样一个梯形，那么 a 选项呢，我们是不是可以直接做了上底加下底乘以二算出来呢？面积是多少？面积是十四， 所以说 a 选项明显是错的，那么这里呢，也把点 p 牵过来，那么后面三个选项 b、 c、 d 呢？都是关于什么呢？我大概看了一眼，哎，好像都是关于向量，向量还有向量的， 对吧？所以说呢，哎，我们说向量，它是有大小，有方向，但是唯独是没有位置的，那为了方便计算呢，我可以把这个图像移动到坐标原点处啊，移动到下面来，对吧？那么 这样也让我得到的向量相对来说比较简单了。好，来看一下 b 选项。那么既然都是原图啊，我就不需要直观图了，光去看这个原图，那么 b 选项说什么呢？与 ab 同向的单位向量坐标是长这个样子，对吧？那咱们说单位向量，哎，一个方向同向的单位向量怎么表示呢？ 就是这个向量比上它本身的模值，那么我要求 ab 方向上的单位向量表示一下，也就是 ab 比上 ab 的 模值， 对吧？那 ab 的 魔值很好算呀，对吧？这一段怎么算呢？哎，做个垂线对吧？你是四啊，你是二，你是三，所以三四，哎， ab 的 值为五，所以说，哎，它就能被写成五分之一倍的向量 ab。 好， 那么之后呢，我们要做的就是表示一下向量 ab 是 不就可以了呀？那 ab 的 话呢，找到点 a 坐标， 点 a 坐标是五零点 b 坐标呢是二四，那终点减起点呢，就能得到 b 选项呢？是对的。 好，再来看一下 c 选项，这里说啥呢？说 a d 在 向量 a b 上的投影坐标啊，长这个样子，投影向量的坐标，那么我们说啥是投影向量呢，对吧？啥是投影向量呢？ a d 这条向量， a b 这条向量， 就做完投影之后呢，我得到了这样一条项链，如果大家对于投影项链的定义啊，还有什么不是很清楚的话呢，建议点到我的主页去看一下。往期关于投影数量和投影项链那一期视频讲的非常清楚。好吧，那么这里呢，我们说要算投影项链呢，它的公式怎么来描述呢？ 首先两部分组成对吧？第一部分是投影项链方向上的单位项链把，被投影项链是谁啊？是不是项链 a b 啊， 把它方向上的单位向量刚刚是不是已经算出来了，哎，就长这个样子，对吧？那投影数量是多少呢？哎，这里因为全部都是坐标的形式，所以说我们选择通过数量积把它表示一下，所以说呢，最终，哎，我要求的这个投影向量，也就是 a b 乘上向量 a d， 它俩的数量积，比上谁呢？ 比上 ab 的 魔值啊，也就是谁啊，也就是投影数量，对吧？再乘上 ab， 比上 ab 的 魔值，也就是 ab 方向上的单位向量，它俩乘在一起呢，得到这个公式，我们直接往里套就可以了。 那这里还需要谁呢？还需要 ad 的 坐标，对吧？ ad 也就是负五零啊，直接代入计算一下，那么 c 选项呢？也是错的，那么再来看下 d 选项，这里说什么呢？说三倍的 pa 加上 p b 魔值的最小值， 哎，那么这里用到这个动点，点屁了，对吧？点屁在 dc 上做了动点，那么它是不是需要去射一下呀？我就射它的坐标是零 m， 那 么这里注意了，它是不能超过 c， 也不能超过 d 的， 只能在中间这一段上动， 对吧？那么 m 的 范围呢？是有要求的，只能在零到四的 b 区间，那么这里我需要 pa 和 pb， 那 么写一下吧， pa 中点减七点五负 m， pb 中点减七点二，四减 m， 得到它俩坐标之后呢？哎，这个魔值我们表示一下，先把三 pa 加 pb 写出来， 横加横，纵加纵，哎，得到这样一个坐标，那么它的魔值呢？也就是根号下横的平方加上纵的平方，那么这里既然要求的是最小值， 对吧？我希望要什么？我希望要括号下面这一坨最小，所以说当然是这一项，他怎么样？他越小越好，对吧？但他又是非负的，所以说他为零，那肯定是最合适的。 那当 m 等于一的时候，哎，他确实来到了最小，没问题吧？那么最终开个根号之后呢？哎，就大于等于十七，那么 d 选项呢，也是对的。那么这道题呢，选 b 和 d， 你 们学会了吗？ 那这道题的话呢，就相当于是结合了一下我们前面学的平面向量，对吧？你发现我们要考这个啊，斜二策划法和平面向量是怎么综合的呢？其实很简单，对吧？他给你一个直观图，你把它还原成什么？还原成平面坐标系的原图，那么在原图中呢？哎，使用向量 对吧，就能解决它，相当于是两个考点非常生硬的拼凑在了一起，那么我们如果说对其中某一个还不够熟练的话呢， 哎，一定要多费点功夫。继续来看这道二三年的河南省月考题，那么这道题呢，给了一个等腰梯形，他说了上底和下底长度分别是三和十一，而且是平行于 x 轴了，那么两条腰呢，长度都为二倍根号五 点， p 呢，做了 o c， 这条腰上的一个动点存在。现在问下列说法正确的是，那么注意了，这里给的是一个直观图，那么首先 a 选项在说什么？再说四边形圆四边形的面积，哎，是十四倍根号二，他在说原图的面积，但是现在呢，题目中给了什么？给了直观图， 对吧？我们知道原图和直观图之间呢，是存在面积的倍率关系的，原图面积是二根号二倍的直观图面积， 对吧？ s 元等于二倍根号二，乘上直观图面积，所以说，只要我能算出它的面积，再乘上二倍根号二，哎，是不是就能算出原图面积，对吧？即使不用画图也能算，我们一起来体验一下，那这里呢，要算它的面积，还缺少什么？还缺少高，对吧？所以说，我就分别过 c 和 d 呢，做垂线， 好，那么这里呢，因为他是三，那么这里也是三，这一段就是四，哎，这一段也是四，对吧？两条腰呢，长度都是二倍，根号五，所以说高呢，就可以在这个三角形里面，哎，通过勾股定律算出来，那高呢，就等于二， 好，那么我这个 s 值是不是可以直接算了呀？上底加下底，哎，是十四，乘上二，再除以二， 那么 s 值的面积呢，就是十四，对吧？再乘上二倍根号二， s 圆呢，是不是就等于是二十八倍的根号二呀，对吧？和他所说的十四倍根号二还是差别挺大的，那么 a 选项呢？就是错的， 好，那么继续来看 b 选项，再把 b 选项再说什么？再说， o c 长度等于六， o c 在 哪？ o c 在 哪儿？ o c 在 这里，那么这里要算长度了，我必须得把原图还原出来，那么要画原图呢，我要找平行关系，但是问题来了，对吧？首先，平距 x 轴的啊，它和它我能直接看出来， 但是呢，这道题重点在于什么？在于找点 c 的 位置，对吧？但是 o c 呢，它既不平行于 x 轴，也不平行于 y 轴，那怎么确定点 c 的 位置呢？原图中点 c 的 位置， 哎，我们说在你看不清的时候呢，哎，我就去找 c， 撇过它，分别向 x 轴和 y 轴做平行线就可以了，对吧？那么做一下平行线，哎，这里过它向 y 轴做平行线，在这里 过它向 x 轴做平行线呢，在这里，好，那么我们要做的就是算出这一段和这一段具体长度是多少就可以了，对不对？好，那么由于呢，我这个角本身就是四十五度，所以说这个角呢，是不是也是四十五度呀？ 那么这个三角形哎，他是一个等腰直角，好，那么这里是二，这里也是二，那么刚刚算了，这一段总长是四，所以说你是二，哎，我也是二，对吧？那他的长度就有了，长度就为二，对吧？那么我们再来找一下 y 轴，这一段他的长度是多少？ 那么他的长度呢？这段的长度是不是也就等于这一段的长度呀？对吧？那这段是二倍根号二，所以说他的长度呢，也是二倍根号二， 哎，那由此我就可以找出点 c 到底在哪里了。好，把原图的这个直角坐标系画一下，那么首先呢，先把 o a 还原出来，对吧？原来是十一，那么我们说平行于 x 轴，它的长度不发生改变，现在呢，是不是还是十一啊？而且点一的位置呢，我能确定出来哎，他就在距离原点二的位置， 对吧？平行于 x 轴不发生改变，好，那么我们再来找一下平行于 y 轴的，那这里就过点 e 呢？过点 e 做 y 轴的什么平行线，这一段把它的长度是多少？ 它的长度是四倍根号二，而原先是二倍根号二，这里要扩一倍哎，找到点 c 的 位置，好，那么之后呢，我是不是还可以顺势找到点 d 的 位置，对吧？这里呢，平行于 x 轴，长度为三哎，长度为三，点 d 也有了，那由此呢，这个四边形，哎，它的四个点都有了，直接一连，对吧？这个题型就出来了， 好，那么现在呢，我既然要找 o c 的 长，那直接在这个三角形里面啊，使用勾股定律算一下是不就可以了？是根号下四，再加上三十二，哎，那么 o c 长度确实就是六，哎，没问题，对吧？那 b 选项呢？是对的，好，再来看一下 c 选项， 说什么？说 ad 在 a o 上的投影向量是十一分之六倍的 a o 在 哪里？ a o 是 这个向量， 说它在它上，它在它上的投影向量是十一倍的向量， a o， 对 吧？那要找投影向量，哎，我就得过这个向量，怎么办？做垂线对吧？做垂线 垂下来之后呢？哎，我发现投影向量呢，就是这一段，那么我就要找到，哎，这一段和 a o 具体的比值是多少？那由于这里是三，这里是二，垂下来之后这里也是三，那么总长是十一，所以说这段呢，长度就为六，对吧？那么这段就是六，比上十一的 a o 啊， c 选项也没问题， 对吧？如果说对于投影向量还不够熟练的小伙伴，一定要点到我的主页，那么我们从原理到方法哎，都有一期非常非常详尽的视频，大家一定要去看。 好吧，那么再来看一下 d 选项，说 pa 减去二倍的 pd， 哎，取值范围，那么终于轮到这个动点 p 了，那么点 p 呢？你想把它表示出来，哎，它在什么？它在 o c 这条线上移动，那么这里呢，需要怎么办？需要去设一下它的坐标，那么 o c 这条线呢？首先，哎，点 c 的 横坐标，我知道是多少，是 二四跟二，对吧？所以说 o c 啊， y 是 不就等于二根二倍的 x 呀，对吧？那么点 p 的 坐标呢？设一下 x 和 y 之间是不是存在二倍根号二的关系，对吧？我最重要找的是 pa 和 pd 这两个向量。这里先把 a 和 d 写出来了，对吧？也不影响，也不影响，因为这两个都是已知的嘛，对吧？可以完全写出来。好，那么点 m 的 坐标呢？纵坐标是横坐标的二倍，根号二倍。好，那么 m 的 范围怎么确定呢？那我们说它的横坐标范围是不只能是在零到二的 b 区间呀？那么这里一定要注意啊， m 的 范围我们要规划好。好， 那么有了，我们需要的三个点， p a， d， 对 吧？ p a， d 全部都写出来了。首先来看 p a， p a 的 话，中点减起点啊，长这个样子， p d 的 话，中点减起点，长这个样子，那么它俩一加呢？得到 p a 减去二倍的 p d 啊，长这个样子。那么现在呢，我要求模值，也就是根号下横平方加上纵平方展开之后呢，得到一个关于 m 的 二次函数，看起来非常复杂，对吧？特别不了解， 但这道题呢，它最终是要问取值范围，对吧？那不好解也得解啊，对吧？这里是一个什么？这里是一个开口向上的二次函数，其实也没有那么难，对吧？我们大概看一下它的对称轴位置，也就是负的二 a 分 之 b， 负的二 a 分 之 b， 也就是十八分之 六十二，对吧？两边同除一下，也就是九分之三十一，大概是三点几，对吧？三点几，这个对称轴的位置呢？大概是三点几。那么我最终 m 的 范围呢？是不是只能取到零到二呀？那么零到二，那你对称轴的三点几？那零到二呢？肯定是在他左侧的这个位置， 对吧？左侧的位置是一个单调递减的区间，所以说把零带进来呢，能取到最小值，对吧？我分别把零和二带进来 啊。 m 等于零的时候啊，这里是不是就等于根号一百二十九，哎，这是什么？这是最大值。那么 m 等于二的时候呢？这里是什么？这里是 四九三十六，三十六减一百二十八，再加上一百二十九，对吧？也就等于三十七，根号三十七，哎，这里是一百二十四，写错了，他俩一加之后呢，得到这是四十一啊，根号四十一， 对吧？根号四十一，那最小值是根号四十一，最大值是根号一百二十九啊，就直接算出来了，对吧？所以说 d 选项呢，也是对的。那这道题最终三个选项，那 b、 c、 d， 你 发现这种和平面向量综合的问题呢？其实主要难点还是出现在平面向量这一块。 那我们直观图呢，它只是作为一个小小的考点啊，我们在还原上可能会遇到一些问题，对吧？只要把它攻克之后呢，其实啊，它只是算一个比较小的考点。继续来看这道二十四年的福建省校级期中考试题，那这道题呢，首先给了一个梯形， 他说下底长度是上底的二倍，而且长度为二，那这条腰的长度为二。先来问原图中 c、 d 是 多少啊？注意了，给的是一个直观图，我要画原图的一个线段长，对吧？这是第一问， 那么这里就需要还原原图，我把坐标系画在这里，还原图非常简单，对吧？我要找平行关系，平行于 x 轴的，平行于 y 轴的，你把分别找出来， 平行于 x 轴，那么从 a 出发，哎，该是多少就是多少，对吧？你是二，我也是二，好，那平行于 y 轴的呢？哎，长度变为二倍，对吧？这里是二，那这里就是四， 好，那么 b c 呢？也能画出来长度为一，那最终把口封上，哎，找到这条我们要求的谁啊？我要求的 c d， 那 么这里呢，想算它的长度，把它放到一个直角三角形里面就可以了，那么这里是一，这里是一，这里是一，这里是四，那么根据勾股定律呢，斜边长直接算，对吧？就是根号是七， 没问题，非常简单。那主要来看一下第二问，第二问说啥呢？说这个直角梯形啊，他以 a b 所在的这条边哎为直线为轴转一圈，那把所得立体图形 体积是多少？那这里注意了，转完之后是个啥图形啊，对吧？我们说这样一个直角梯形，哎，转一圈一定会得到一个圆台，如果想不来的话，我们大概画一下，那把上面是补成一个圆， 下面呢也补成一个圆，对吧？得到这样一个立体图形，那么要算体积的话呢，有些小伙伴可能记了圆台的体积公式， 那么作为我的话呢，我每次都会去推一下，其实也就是两个三棱锥的体积相减，对吧？如果说把它补齐啊，上面补齐之后呢， 会得到这样一条小的三棱锥，对吧？那么我要算下面这个绿的圆台的体积，是不？也就是总体这个大的三棱锥的体积，减去上面这个小的三棱锥体积， 对吧？也就是微大减去微小，好，那微大怎么写呢？也就是三分之一 pi r 方，对吧？注意了，这个 r 是 谁啊？这个 r 是 下面这个大圆的半径，对吧？ r 方乘上谁乘上总高，对吧？也就是它的高，这就是微大 减去微小三分之一 pi r 方，再乘上小 h， 对 吧？这你注意了，小 r 呢，代表是小圆的半径，那么小 h 呢，代表的是这个小三能追的高。 好，那么这里代值算一下，也就是三分之一派乘上，这里是四乘上总高，哎，这里一比二，所以说两条高呢，也是一比一的，对吧？它的长度，它的长度是四，对吧？根据相似能算出来四乘八， 再减去三分之一派乘一，再乘上他的高啊，是四。好，那么这里呢，是三分之三十二倍的派，减去三分之四倍的派，那最终体积呢？就是三分之二十八倍的派， 对吧？其实也非常简单，那如果说更乐意记公式的小伙伴呢？这里也把公式给大家了，对吧？三分之一派 h 乘上谁呢？乘上 r 一 方 加上 r 二方，再乘上 r 一 乘 r， 对 吧？这个 r 一 和 r 二就是这里的大 r 和小 r， 好 吧，那么这道题呢，最终答案就是三分之二十八倍的派。最后来看这道二五年的黑龙江期末考试题，那这道题呢，首先给了一个直观图，那么是一个直角题型， 他说了上底根号二，下底二根二，现在说呢，原图哎，以 a d 为轴旋转一圈，问得到的体积是多少？那么有了上一道题的经验，这道题我们可以自己来尝试一下了。那首先他告诉我什么？他告诉我这里是个直观图，对吧？要还原原图， 那么我们大概想一下，这个直观图呢，既然已经把四十五度角填满了，把 a 撇 d 和 a 撇 b 呢？把这个四十五度角填满了， 那么原图会是一个怎样的梯形呢？是不是肯定也是一个把那个坐标系的夹角填满的直角梯形啊？对吧？那既然有一个直角梯形哎，那么把它旋转一圈，是不是一定会得到一个圆台啊？ 那既然已经有了原台的体积公式，我们这道题要做的呢，就是还原图形，直接套公式就可以了。好，那么要还原图形呢？哎，我是不是还缺少谁啊？缺少这段的长度，那么简单算一下吧，既然是直角梯形，所以说这里做垂线，做完垂线之后呢，这里根二，这里也是根二， 对吧？那左边这个等腰直角三角形啊，高为根二，那么斜边长呢，就为二，先把它快速算一下，那么来看一下原图，画一个直角坐标写在这里，那么平行于横坐标呢？这一段啊，它原本是二根二，那么现在还是二根二，那么平行于纵坐标呢，这里是二，那么现在变为原先的二倍 啊，变成四，长度为四的 a d 好， 那么 d c 呢？长度还是根二，最后把口一封，得到这样一个直角梯形，那么现在呢，我要围绕 a d 旋转一圈，对吧？旋转之后呢， 肯定是得到一个哎，上底长这样，下底呢，长这样的一个什么圆台，得到一个圆台，那么这次呢，咱们有公式在手哎，直接套公式就可以了，那么它的体积呢，是不是就等于三分之一 pi 乘上 h， 再乘上什么 r 一 方，加上 r 二方，再加上 r 一 乘二，对吧？那么三分之一 pi h 是 多少？ h 是 四， 那么 r 一 方呢？也就是二，他的平方呢？ r 二方是八，对吧？再加上他俩相乘，这里再加四，那么算出来呢，这里是十四乘四，也就是 三分之五十六倍的派啊，那看一下最终答案就是三分之五十六倍派。当然如果说我们不熟练的话呢，还是把它补回两个三棱锥，哎，体积减一下也可以。 完了，这里呢就是关于所有的邪恶策划法啊，他的一些综合问题。我们这期视频就结束了，大家如果说对于我们视频有什么更好的建议或者说想听什么内容的话呢，可以在评论区留言啊，如果要领取我们的免费讲义的话呢，也可以在评论区扣一下。

先来复习一下相关知识点，一个正四棱台 上，里面 a 一 b 一 c 一 d 一 平行于下，里面 a b、 c d 的， 还有它的四个侧面 是全等的 等腰梯形。 第二个是余弦公式， 在这样一个三角形中， a b 的 平方等于 a c 平方加 b c 平方减去 r a c b c 角 a c b。 好，我们来看这个题目。比如说在这样的四正四等式中， a b 等于三， a b 三， a b 等于六就是六， a b 等于二， a a 等于四。 那由人才的性质。可我们可以得到， a a 一 应该是等于 b， b 等于四， 同样的 ab 应该等于 bc 等于六。 然后再看他问的什么，说 p 为能 b b 一 上的一个动点 p 在 这里问 a p 加 pc 的 最小值，那么 a p 和 pc 连起来 很明显，在一个立体图形中，我们想要知道两条线段的和最小值是比较困难的，所以说我们可以把这两个侧面展开， 得到这样一个图形， a b a p 在 这， p 在 这里。 然后我们发现，假如说在一个平面上，要 a p 加上 c p 最小，明显就是连接 a c， 因为两点之间直线最短， 而 a c 与 b p、 e 的 交点 即为此时的 p。 这个问题转化成了求 a p 加 c p 的 最小值，就是求 a c， a c。 怎么求呢？我们题目已知条件， a b 等于六， b c 等于六， b b e 等于四。也就是说我们可以通过余弦定理，然后解出这 a、 c 的 长度在三角形 a、 b、 c 中，也就是说我们现在要求角 a、 b、 c 的 角度， 然后再是不是可以分成两部分求啊，因为它是垂直的两个等腰梯形，所以这个角等于这个角，所以我先可以求一半，然后乘二再三角形 a b sorry， 我 们就可以先求角 a b b e。 怎么求呢？可以做做 b e h 垂直于 a b， 那 这个 再做 a 一， f 垂直于 b h。 因为 a 一 b 等于二，所以这应该是一个正方。 oh sorry， 这应该是一个矩形，所以 f h a 应该等于 a 一 b 一 等于二， 因为它是一个等腰梯，等腰梯形的，所以说 a、 f 应该是等于 b h， 那 就等于二分之一， a b 减去 h， f 等于二分之六减四， 六减二等于二，也就是说在三，在这个角 h、 b、 b， 它的余减值等于零。边二除以斜边等于二分之一，所以 很明显它就是个锐角，所以角 h、 b、 b 等于六十度， 所以角 b、 b、 c 等于角 h b、 b 等于六十度，所以角 abc 等于六十度加六十度等于一百二十度。 所以 a c。 提到这里的余弦定理是吧？等于 改根号 ab 平方加 bc， 平方减去二乘上 ab 乘上 bc， 乘上扩散角 abc 等于根号下三十六加三十六，减去二乘六乘六乘上二分之一，等于六倍。根号三。 计算，这里应该是有一个结论的。对于这样一个 三角形， a b、 c， 他 们说是等腰三角形，且零角为一百二十度的话，那它的第三条边 a、 c 就 等于根号三倍的 a b 也等于根号三倍的 a c。 好， 所以这题等于六倍，根号三选 b。

来看一道高一的证明线面垂直的问题，说如图，在三棱中， p a、 b、 c、 d 中 d、 e 分 别为 a、 b， p b 的 中点 e、 b 等于 a， 且 p a 垂直于 a， c， p c 垂直于 p c。 然后来 b 证明 b、 c 垂直平行 p c。 首先我们来分析这个题，我们要证明 b、 c 垂直 p c， 那 我们就需要呃证明 b、 c 垂直的两条直线。首先看题目中第一个条件，它已经告诉我了 b c 垂直 p c 垂直的 好， bc 已经垂直于多少了 pc 了，那我们只需要证明另一个，找另一个条件，那另一个条件怎么去找？我们这么往往利用线面垂直的性质去找。怎么来看？首先我们来看因为 e、 b 和 e a 是 怎么样相等的？那 d 是 终点的话，很容易得到的， e、 d 是 和 ab 垂直的， 那 e、 d 和 ab 垂直的话，我们再来看，因为 e、 d 都是终点，它是中间， e、 d 是 平行多少 pa 的， 也就说我们得到 pa 和 ab 垂直， 那如果说 pa 能垂直这个面的话，那 pa 就 垂直 bc， 那 bc 也就垂直 pa， 那 我们这两条找到了，那我们再看条件。题目中告诉我又 pa 又垂直 ac， 那 我们得到 pa 垂直 abpa 垂直 ac， 那 就能证明 pa 垂直 abc 好， 那 pa 垂直 bc 垂直 bc 垂直 pa， bc 又垂直多少 bc， 那 就得正好。我们来说一下证明过程，说，因为 e 垂直 bc 垂直 bc 垂直 pa， bc 又垂直多少 bc， 那 就得正好。我们来说一下证明过程，说，因为 e 垂直 d 等于 a， 所以 d 是 ab 的 终点，所以 e、 d 垂直 ab 呃，所以 p a 垂直多少 ab， 因为 p a 有 垂直 ac 两个条件，所我们得到 p a 垂直平面多少 a b c， 所以 p a 垂直于 b c， 即 b c 是 垂直 p a 的 同时那个 p c 垂直 b c， 也就是 b c 垂直 b c， 那 b c 垂直于这个 p c d 的 两条相交直线，那么 b c 就是 垂直平面多少 p c。 那在这个找垂直的时候，我们线面垂直和面面垂直的本质就是找线线垂直，找线线垂直，我们往往有以下三种。第一个就是什么等于幺三角形的三线合一，它适合用的，如果说告诉我们两个边相等的话，我们首先考虑它。 第二个我们讲到勾股定力逆定律，那这种题的话，一般来说它会告诉我们很多边的关系。那第三个就是我们今天用到的线面垂直什么性质好？今天的课就分享到这里。

哈喽，同学们好，每天一道数学题，中考高考没问题，咱们今天来讲一个第七几何中比较小的知识点，叫习二策划法，然后他平时不是特别容易考到，然后但是他如果出现的话 就很容易丢分，然后对于很多高三的同学啊，学过之后可能时间太久了，容易忘，咱们今天来把它复习复习一下。好的，习二策划法的话，就是为了体现他的力气感，对吧？透视感，然后的话咱会把一个 平面的画成斜的，这样都会显得有平面感啊，然后它是有要求的，对吧？然后咱正常的平面的话，应该是直角啊，直角就是这个，呃，这个，这个 a 轴是垂直于外轴的 平面直角坐标系，然后它是立体的话，为了体现这一个立体感，就咱画一个正，画一个立体，立体的， 呃，使它如果这一个倾斜的话，就会显得它更有立体感啊，然后，但是，但是，但是，不是随便任意的倾斜，它是有要求的。斜二次画法的意思就是倾斜四十五度，倾斜四十五度，哎，它是一个倾斜的， 并且的话它这个 x 轴的长度是不变的啊， x 轴的长度是不变的，而平行于 y 轴的长度 会变成原来的一半啊，比如说这是一，然后这里也是一，我画一个一一的正方形，然后而在这个斜二上画法的时候，这里是一，但这里要取到它的一半是二分之一，哎，这个 就代表了这一个原来的这一个一乘一的正方形啊，但是它这个真实长度的话，在图像上体现出来的长度的话，会变成原来的二分之一啊，就这个意思就是倾斜，倾斜四十五度角， 然后的话会在这个平行于外周的所有的线会变成原来的一半就完了，然后通过计算面积的话，它的面积会就是原来的原图的面积，会等于它变化之后斜二次画画所体现出来的面积的二倍的根三 x 片。 然后他之前的时候最早学到的话，他会有一例题是算这个东西，算这个东西，呃，然后在高三的时候是很少出现，一般都是立体角直接考，但他在选择或者填空题的话偶尔会出现，这就很容易造成丢分啊， 这个五分的题还是要答住，所以这些小的知识点的一路一定要特别注意，很容易引起丢分。 好的，咱们来看一下这个十二题模考二题已知水平放置的四边形 a、 b、 c、 d， 原来它这个是斜二侧画法，对吧？它已经清洗了，它原来是什么样子的，它原来应该是一个这儿。然后咱知道斜二侧画法的话， 斜二侧画法的话应该是横的，平行于 l 的 部分是不变的。 a、 b、 a 撇 b 撇三，这边一，这边一，然后那这一个竖着的是一，那这一个的话现在还是一一，然后这一个重点，对吧？这个肯定是这个外轴的话会变成原来的一半，变成了原来一半，现在是 根二，那么它正常的话，这个 c 点肯定也是在这个外轴上的，然后但是这个 o、 c 应该是二根二，二根二画成斜二侧画法的话会变成原来二分之一，那斜二侧画法是根二，那这个图就是二根二啊，没问题。好的，然后 c 点在这， 那 d 点的话还是平行于 x 轴的话，它是不变的，对吧？还是一个二，往这平行长度画一个二，然后找到 d 点，然后连起来， 它的平面图的话应该正常的，平面图的话应该是一个平行四边形啊，然后这一个 是它的高，是吧？它的高线，然后的话它是二根，二的话，根据它要求周长的话，那我就求出 b c 二根二， b c 等于根号下一方加二根二的平方， 根九等于三，所以 b c 等于三就是三，然后下边是二，那它周长的话应该就是二加二加三加三 十，周长等于十，大家听明白了吧？然后的话就是它考试的时候会让你去求 这样的，是吧？他会求着一个呃，给你这个斜二尺画法或给你平面画法去求这个斜二尺画法的面积或者边长，然后反过来的话，也有可能有斜二尺画法去求圆图像的边长周长或者面积，然后咱可以看正一下这个面积， 它的面积的话应该是 s 撇，对吧？斜二尺画法，然后应该是二乘一， s 的 话应该是底层高二乘二，根二等于四根二，哎， s 刚好就是二倍的根二 s 撇，然后反向的证明啊，咱这个结论就这样算出来的。这个如果记住的话就比较好算面积啊。但是对于边长周长的话， 对于边长周长的话，还是要进行这个呃，转化，斜二转化和这一个力出现转化，转化的意义就是它的关键就在于它的定义，倾斜四十五度，然后横向平行于 l 轴的不变，平行于 y 轴呢，会变成原来的二分之一。 好的，还是要再注意这种小的知识点，因为咱平时考试的题型练的已经非常熟了，在考试之前这种常这种学过的比较小的 知识点还是要更注意一些，保证得分。祝大家中考考场顺利，希望对大家有所帮助，加油！

一分钟拆解一道福州高一立体几何的压轴题，这道题看着复杂，其实就是考两个核心大招，基本事实三和洁面画法第一问， 三点贡献证明题目任务证明 ceo 三点在一条直线上。解题大招，找公共点、正交线思路拆解一， 找主角要正三点贡献，只需证明这三个点都同时躺在两个固定的平面里。二、定平面，同学们看图，第一个平面是面 a， a、 c， c， 也就是对角面。第二个平面是面 b， d， c， 也就是那个正三角形所在的面。三、找焦点， 因为 c 是 这两个面的公共点， o 也是这两个面的公共点。根据公里三，两个平面相交，而且只有一条交线，所以 c 和 o 确定的那条线 就是两个面的交线。同理点 e 也在 a、 c 上，所以 e 也同时在这两个平面里。既然 e、 c、 o 都在同一条交线上，那这三点自然就共线了。第一小问，共点与截面画法第一小问，三线共点题目任务 证明， a、 p、 dc、 d、 q 三线交于同一点。解题大招，延长，找焦点，回归正方体思路拆解一，化繁为简证明三线共点核心就是找焦点二、找焦点，先看 a、 p 和 dc， 把 dc 延长，让 a、 p 和它们交于一点二三作验证。接着证明这个焦点二也在 d、 q 这条线上，因为 p、 c 是 bc 的 三等分点， 利用相似比就能推出 r 在 d、 c 的 三等分点，也就是 q 的 连线上。四、结论，既然三条线都经过同一个点二，那三线共点就挣完了。第二小问化洁面题目任务， 过 m、 n、 q 三点做结面解析大招，找焦点，连线成面思路拆解一、找焦点，利用面面相交的性质，把结面的边延长，找到它和正方体棱的焦点。二、连边线，把这些焦点按顺序连起来，形成一个封闭的多边形。三、 得图形，最后画出的这个六边形就是满足条件的结面。总结一下，这道题的核心口诀就是，正共线找公共交线，正共点 延长找焦点，画结面，连线找焦点。掌握了这个逻辑立体几何的证明题就能轻松拿下。我是阿陆老师，每天进步一点，记得关注点赞哦！

大家好，我是超越老师，我们这个视频讲这个直观图啊，直观图它的 x x 轴和外轴的夹角啊，它是可以是四十五度或者一百三十五度，但是我们经常做的都是四十五度啊，这个里面你要记住一点，你在画图的一定要记住，一定要是找平行 x 轴， 或者叫平行外轴，或者就在 x 轴上，就在外轴上的那些线，其你才画的出来，我们是平行 x 的 长度不变，平行外轴的减半， 是不是这样的？然后因为这个原理，所以它的面积啊，就它在直角坐标系上的面积，肯定是比这个面积是不是要大一点，这个里面它的面积中间是差了一个四分之根号二倍的啊，这个要你记下来啊，最好能记下来，记不下来 你最好有点印象也行，听到没有？有点印象也行啊。然后讲了这个四分之根二，我们要讲一个等边三角形的面积啊，他是等于四分之根二三倍的 a 方啊，这两个你可以对着记，也别记混啊，因为这里面后期我们算体积表面积，经常会遇到等边三角形啊，所以 这个地方别记错了啊。然后我们看一下，他让你求这个面积啊，求这个面积，我们可以怎么样 直接求啊，求出这个圆，他能求圆面积啊，那你把这个算一下，你上底加下底就是二分之七乘以高高，不是这个四啊，你要去算一下，这，因为这四十五度做一个高线下来，我就不做了啊，我们免得做花了，这是不是就四，这是二倍二，所以答案是七倍二，所以答案是七倍 根号二，是不是这样子？这个等于七倍根号二，要求圆面积，我们说圆的面积乘以四分之根号二，等于七倍根号二，那你现在反过来算，是不是除啊？是不是这样？ 当然这个题你要学会画这个原来的图啊，我们算，你怎么算都行，你要学会画，我们来教下怎么画，你要画一下这个对不对？然后这是 y， 这是 x， 它这个这个 a a 一 撇， b 一 撇，它是平行 a 个轴的，看到了吗？平行 a 轴从图上能看出来啊？是不是看出来，然后的话， 但是他这个点是不知道位置啊？不知道位置，这个你可以随便找一个点啊，他因为他这个球面积没有告诉你，没让你球值是不是 a， 然后这个五不变，看到没有？这五变，然后这个是不是，是不是平行于外啊？这是平行于一个轴，这平行于外走的话，这是不是往上走要走多少？要走八，要注意走八 对不对？走八完了之后，上面是不是二分之七乘以一个八，对不对？然后就做出来了啊？ 同理这边也是一样的啊，又是让你求这个直观图的面积啊，那你先把它的面积算出来，他说边长是不是四分之根号三倍的 a 方啊？刚说了正好就考到了啊，然后你还要怎么样？乘以一个四分之根号二， 看到没有？最后就等于是不选 d 啊？然后我们直观图怎么去画啊？首先你要画出这个坐标系啊，坐标系是不是这样的？然后因为这个 o a， o a 是 不是在一个轴上，这是 o， 这是 a， 然后这个里面你看一下他没有平行外轴的线，看到没有？所以你怎么样？你只做辅助线，你画的时候那怎么做？是不是他做一个高线下来就可以了？ 这个长是你要背下来就二分之根号三倍的 a， 对 不对？然后在这个中点这个地方你要去往上怎么样？去延长？而且这个长要平匀他啊？延长的时候怎么样？是不是是四分之根号三倍的 a， 看到没有？是把他一连他就长这样子的，看到没有？长这样子的， 求周长的话，你就必须要画出原来的图像，要不然你做不了啊，我们看一下啊，看一下，首先这个长没有变啊，那这个，这个还是 b， 这是 a， 看没有，这个长是仍然是一啊，这个坐标是负一，写坐标吧。然后这个长是多少？ 是不一呀？所以你往上走是不是二呀？这是二。然后去画周长呢？这是不是根号五？根号五，所以答案是不是选 c？

三分钟速同一面直线及解决方法在同一个平面中，两直线分为互相平行以及相交。相交又分为互相垂直以及不垂直，这些统称为共面直线。 而在立体几何中，这两条直线出现在两个平面内，它们既不平行也不相交，我们称它们为一面直线， 尤其注意任何这两个字。也就是说，即使两条直线出现在两个平面中，也有可能共面。 假设这条直线和对角线平行，那么这两条实线就互相平行， 他们重新构成了一个新的平面，所以这不是意面直线。同样的两条直线，如果有交点，他也会构成一个新的平面，这也不叫意面直线。综合刚刚讲的两种情况， 判断意面的关键就是看他是否平行相交。只要出现平行或相交的情况，就一定不意面。把刚刚所有的重点整理成一个表格， 额外补充一点，一面直线是也有可能相互垂直的，例如正方体重的这条是垂直于底边，它就垂直于底边。所有的直线，它们只要不平行不相交，就是一面的，它可以垂直。 第一个选项很明显， g h 平行于 m n， 它们一定是共面的。 c 选项中连接 g m 和 h n， 虽然 g h 和 m n 不 直接平行，但是这两个线平行，因为它们俩都平行于这条棱，所以这四个点在同一个平面内，它们是共面直线。 同样方法，我们做题就可以秒出答案。第一个选项中照样的做 q r 的 平行线连接对角线。 ps， 因为是中点，所以 ps 就 平行于这条对角线， 那么 a 选项一定是共面的， b 选项连接这条虚线，也可以判断互相平行， c 选项以后面的这条能长为桥梁。最后一个选项中四个点不共面，因为你没有办法找到图形中有任何平行线，也找不到 ps 或 r q， 可以 相交。 通过 b 选项的另一种方法，我们来学一学洁面，先把这几个点连接起来，如果我们把 p q 直接连接起来，那么会发现左侧它是空出了一部分。 这里的洁面需要我们把补充完整，所以我们从最简单的平行线先思考。 r q 的 平行线是连接，这边是中点 找到 ps 的 平行线以及 sr 的 平行线，所以正方体的截面是一个正六边形。那么今天问题来了，这个多选题你能选出正确的答案 吗？评论区告诉老师，今天内容就到这里，我们下一期再见！

南海区家长啊，这个学期的时间真的非常短，很多学校都在赶，进度赶得飞快。高一的新课现在已经讲到立体几何的八点四节了， 空间点线面啊，立体几何确实非常难，特别考验学生的空间想象能力啊，对学生来说是个不小的挑战。 这周五上课，我就发现了哈，孩子们做这类题目非常的吃力，尤其是那种没有配图的题目，连图都画不出来，根本没法下笔。所以呢，我专门带着学生画了画三能追，三能助、能抬这些图形，然后呢，让他们去求高，求表面积，求体积， 慢慢熟悉这类图形可能会遇到的计算。其实立体几何里呢，会画图真的非常重要啊，可能学校老师时间紧，很少带大家画图，所以刚刚接触立体几何的同学啊，可能看到这些图啊， 试一试自己能不能画出来啊。好吧，除此之外呢，也有个好消息哈，呃，学校里讲完这张就要暂停上新课的，之前一直都在赶进度，接下来正好啊，有时间把前面的知识点复习一下，比如说三角函数向量减、三角形负数等内容啊，好好的巩固一下， 不复习的话呢，很多知识点啊，都掌握不牢，这段时间算是给大家一个喘息的时间了哈。五一之后呢，高一可能就要进行一个统考，南海区大部分的高中都会参加啊，也请啊孩子们自己重视起来。

哈喽，同学们好，每天一道数学题，中考高考没问题，咱们今天来讲这个高中数学比较基础的知识点，然后还是立体几何，然后第二个出题方向规则几何体的结构计算， 然后所说的规则几何题，咱们在高中的话基本基本上就是下边几个几类。第一呢是正棱锥，正棱锥的话，那棱锥的话就是比如说这种或者是 这种，对吧？棱锥，然后正棱锥的意思的话，就是它的底面是一个规则的，是一个规则的， 呃，是一个正多边形，是一个规则的图形，然后它的底面是相等的，底面边长是相等的，那底面边长相等，然后的话那它的侧棱相等，侧棱和侧棱相等， 侧棱互相相等，然后底面边长相等， 各自相等啊，各自相等。侧棱等侧棱，底边等，底边就底边是一个正多边形，正四面体的话就四个面都相等，叫正四面体，然后的话侧棱和底边边长都相等，它就是更特殊一点啊，这是正棱锥里边更特殊的 一个，然后的话都是正棱锥里边更特殊的一个，然后的话都是正棱锥里边更特殊的一个，然后的话都是正棱都相等， 所以的话出道这种说他是正棱锥或者是正四面体的话，一定要知道他什么意思，然后才能更好的去解题，对吧？就正棱锥就是底面边长相等啊，然后侧棱等，侧棱分别相等，正四面体就所有的棱都相等， 然后都是正方向，就这个意思，然后正棱台的话就是上边的， 上边的底面是是就是正棱锥的话，截一个面，截一个面，平行于底面，截一个面，然后也就说它上面的这一个边长相等，然后下边的话边长也相等，然后侧棱等，侧棱 好的，然后圆台的话就截圆锥啊，对吧？截圆锥 这种烟台。然后首先的话规则几个题，你要知道它出现的话都是以这个名字来出现的， 你要知道它满足哪些性质，到底是棱长相等还是底边相等，还是都相等啊？就这么个问题，正确的认识这几个概念就可以了。那么它的解析思路的话，基本上咱们解这种空间体的话，就是平面的话就是截面，我去计算截面， 然后正常的话是和这个高相等，然后因为它是正棱台的话，然后这一个上下底面的这个重心 是垂直的啊，这个是垂直的，对，这个点是是可以做垂线的啊。其他的话点这个 a 一 和 a， b 一 和 b， c 一 和 c 是 不是不能做垂线的啊？是一个斜线， 只有这个重心 d 和这一个 abc 的 这一个底面的这一个重心 e， 它是上下可以做垂线的啊。这个点的话是相对来说比较好用的，很多题都是用这个点去过度， 然后整体来说的话就是这一类问题的话，都是把空间计算向平面化，就是取结面啊，取结面，好的，咱们来看一下具体的题吧。 然后这个二零二四年的第二卷，然后三星的三星难度的这么一个题，然后已知正棱台 a b c 和 a b c 体积个数的体积为三分之五十二，然后 ab 是 大变，然后是六，然后 ab 是 二，那大体的图形的话就可以稍微画一下，对吧？ 然后就是上面一个三角形，下面一个三角形， 龙台大体上是这样的，嗯，画的有点丑， 画的有点丑。这边然后的话他说咱怎么做嘞？然后要平面画，对吧？然后要求啥？他要求 a b c a 一 b 一 c 一 啊，然后它要求这个 a a 一 a a 这条线与这个底面 abc 的 夹角，实际上就是和它的底面高点夹角，是吧？高点夹角。 还有那个问题的话，它的这个上底和下底的重心是可以做垂线的， 所以这个很重要，这个是是是一致的，其他的都不对，都不对应，然后只有这一个 e f 了，上底和下底呢？这一个重心是对称的，所以的话，我如果截面的话，我截出来的应该是一个直角梯形， 就这个角呢？正 t 摊着，它 摊着角 a 吧， 就求这个，那肯定的话就是这一个高整体的这个高线除以在这个 a d 啊，所以等于高整体的高除以 a d。 然后由面积的话，他是知道上底和下底的边长的，因为都是正多边形啊，就是正三角形，所以的话我知道上底的面积是可以求的。还是截平面 a b 一 c 一 和 a a b c， 然后上底的话是一个边长，是二， 那面积，因为他知道是体积，对吧？体积的话，人们根据上一个的提供式圆棱台的话，应该是三分之一，上底加下底加上根号，下，上底乘下底乘以高， 那体积知道是三分之五十二，然后三分之一乘以上底， 根三，高斯根三，这三角形上底的这个高斯根三，所以这个 s 一 的话应该等于二分之一，比十二乘高，根三就是根三， 然后 s 二的话是六倍，呃，边长是六倍，那体积的话肯定是九倍，对吧？相似的，然后根号下九，根三乘，根三乘一次 五十二，等于 十三倍的根三乘一次 h， 等于 三分之四的平方。啊，有了 ace 了，然后就差 a d 了，对吧？ a d， a d 的 话，然后咱说了，这一个重心是一致的，我这三个形容重心， 重心的话等于啊，这个长度，这个 f 平面化，我就把它给拆掉，都拆成这个结面，这个 a e 的 话应该等于 三分之二倍的高啊。这个，这个是那个在数学三角形里边，它这个向量里边有一个定义啊，重心的话是三分之上边占二，下边上边占二，下面占一，所以它占三分之二的三分之二，所以是三分之二的 三根三，二根三，二根三，然后这一个的话就是我的 a f， 这 a e 的 话应该等于三分之二倍的平方，三分之二乘以高， 那这一段对吧？这一段 a d a d 的 话就应该等于 a f 减一 等于个二，根三减去三分之二倍的根三，等于三分之四倍的根三， a d 求出来了三分之四倍根三， h 求出来了三分之四倍的根三，所以它是它等一， 这一个算了好多平面，对吧？然后的话还是强调一点，就是截面的问题啊。截面，然后我用来求上底，单独截出来一个正三角形，边长是二，然后下底也是一个边长为六的正三角形，然后截这一个，因为这一个我必须得找一个这个上下对称的 啊。上下对称的，然后是 e f 重心， e f 是 这样子的，那我就可以求这个 a d 是 a d。 好的，这个计算量比较大一点。然后的话最主要的是这一个平面化，立体几何的平面化一定要非常熟。立体几何的平面化， 然后知道它截面的计算，然后把它截成平面，截成了三个平面去计算，相对来说我就知道他有一个条件，可以让位置上怎么过渡，然后重点就是这一个图形更好看一些。这个图形。 好的，这节课就讲到这里，希望对大家有所帮助，祝大家中考高考顺利。然后这一个常见的概念 和比较常见的这个平面化洁面，大家一定要非常熟才可以，然后能够得到这个考试的这一个五分的一个选择题。好，就讲到这里，再见。

好的，那么我们今天就开始讲解立体几何初步里面的内容。第一节我们一块去看一下助追台球的表面积与体积，还有后面我们的立体图形的直观图这两部分内容。对这两部分内容相对来讲会比较简单，牵扯到一些对应的公式，包括他的一些法则，希望大家可以搞清楚。首先我们去看助追台球的表面积体积公式， 在这呢我们以圆柱、圆锥、圆台啊用球来去研究。首先呢，第一个我们要去看它的这个 s 表，那表面积的话，就等于二倍的 s 底底面积，再给它加上一个 s 侧就可以了，所以呢，二倍 s 底，我们知道是二倍的 pi 二平方，那就是二 pi 二平方加上 s 侧，那侧面展开呢是一个 矩形，并且这个矩形的长就是底面的周长。二 pi r， 那 就是二 pi r 乘以 l， 它的 v 体积公式就是等于一个 s， d 乘以 h， s d 乘以 h 就 可以了。第二个就是我们的圆锥，圆锥的 s 表，圆锥的表面积就等于一个 s d， s d 再加上一个 s 侧，它侧面展开是个扇形，所以它的底面积就等于 pi r 的 平方。然后呢，再加上 s 侧 s 测的话，它是单行，那此时我们得知道单行的面积公式了，那就是二分之一乘以一个二 pi r， 再乘一个 l， 那 就等于一个 pi r l， 所以 在这呢，老师单独去写一下这个 s 单， s 单呢就等于二分之一 l 乘以 r， 反等于一个二分之一 l， 其中 l 为弧长，那 l 就 等于一个 r 法乘以一个 r， 这个 r 法是圆心角，所以此时我还可以推出来这个 s 扇是不是等于二分之一乘以一个 r 法乘以一个 r 方，我们画一个小扇， 这个扇长这样子，但是我们知道这是 r 法，这个是 r， 如果等于扇形，大家得搞清楚，所以呢，我们的 s 表，那就等于 pi 方加上 pi l， 然后呢它的 v 微锥圆锥的话，我们也可以把它当做棱锥的公式，跟它也是一样，它就等于一个三分之一 s 乘以 h 就 可以了。那第三个就是我们的棱台，那么棱台的表面紧呢？那我们说它侧面展开是一个上滑，也就是说它的 s 表 表面积就等于一个 s 底二倍的，十二倍的是 s 上加上一个 s 下，然后再加 s 侧 按上呢，就等于 pi r 一 方加 s 下等于 pi r， 二方再加 s 侧， s 侧，那就等于一个 pi 乘以一个 r， 一 加 r， 二乘以个 l， 跟我们的可以把它呢当做一个梯形，比如上底加下底乘以高除以个二，所以就等于一个 pi r 一 加 r 乘以 l 就 可以了。 那它的体积 v v 台，我们也知道它等于三分之一，它的面积呢？标得出，那就是 s 上加 s 下，再加上根号下 根号下的形式， s 上乘以 s 下乘以个高 h 就 可以了，非常高。最后一个就是我们的球体，球体的表面积和体积，比如说我们的 s 表就等于四 pi r 立方，我们的 v 体积公式就等于三分之四为 pi r 立方就可以了。 这样我们会得到柱锥台球，它的表面体积公式。我们棱柱棱锥棱台的话，跟它的这个计算一样的，只不过它的 s 表每一个侧面展开，它是不同的形状，这个需要去区分就可以了，其他的就用这个公式就可以计算。 ok， 接下来我们看一块一块去看一下这几个题目。首先第一个它让我们算的是表面积，那我们要去看一下这个圆锥的底面直径和高均是一个四，我们知道它这个底面直径高都是四过 p o 的 中点 o e 做平行于体面的结面， 而该结面为底面。挖取一个圆柱，让我们求所剩下的几何体的表面积，所以剩下几何体的表面积就相当于是我们的圆锥的一个侧面积，再加上一个，剩下这个表面积就相当于是我们 圆锥的一个表面起，再加上一个圆柱的侧面起。所以呢，我们要去算圆锥的表面加圆柱的侧面起，我们得知道它的高等于多少，那么此时我们从图中不难得出，因为它的高 p o 等于一个四， o 是 它的中点，所以呢，我们知道 o o 一 就等于一个二，底面呢，他说了我们这个 长度是一个四，所以这块是一个二，那所以这块半径就是一个一了，所以圆锥的母线我们就等于一个二倍的根五，所以剩下的表面积我们就可以去算了，那就是我们圆锥的面积，圆锥的底面积 s 底 就等于 pi r 的 平方就等于四 pi 再加上一个圆柱的侧面积，比如说 s 柱侧，那我们就可以得到它是二 pi r 乘以个二就是二 pi r 乘以个二等于个四 pi 再加上一个我们的圆柱圆锥的侧面，它是一个扇，那也就是说我们展开就等于一个 s 扇， s 侧就等于个二分之一，它的这个 l l 是 底面的半径是二，所以呢，二拍二是四拍，分一个二倍的根五，那我们展开的话，就变成了一个四倍的根五拍， 所以此时剩下的面积就相当于把他们三个加起来，那就是等于一个八拍加上一个四倍的根五拍，所以呢，提出来是八加四倍根五， 选择的是二 b 选项就可以了。这种题目要求大家把题目中给的我们这个几何体要看完整，并且呢，选择到对应的公式进行计算，不要多算或者少算就可以了。第二个四棱台的上底面和 上底面边长是二的正方形，下底面边长是四的正方形，并且呢，四幺侧棱长均是二比二，让我们算四棱台的体积公式就等于多少， 那就是说我得去研究它的体积，要知道它的体积公式，上下的表上下底面的这个面积比较好算，那关键就是它的高，比如说我们把这个软四棱台给它稍微画一下， ok， 比如说我们现在画出来这个正四棱台长这样子，它的底面呢，标成 a、 b、 c、 d， 此时呢，它的这个顶面对应的起来给它一标 a、 b、 c、 e、 d、 e， 它的侧楞长都是一个二倍根二，那就是说我们只要算它高就行。比如说我们假设这个 a a 一 是二倍根二，然后呢，我们连接这个 a c， 连接 a、 c， 过点 a、 e 做 a、 c、 e 的 垂线， a c 的 垂线，比如说垂交叉于一点， 所以呢，我们知道了这个 a、 e 要算这个高，我们不妨把这个式给它画出来，那就是说它的上下的边长分别是一个二和四，这是一个二，这是一个二倍根二。我们比如说把这个里面这个 结面给它画到平面中来，它长这个样子，这个是 a、 e、 c、 e， 这是 a、 c、 e， 然后呢我们做个垂线前，那这边呢就是一个 e， 所以呢我们知道了这个 a、 e、 c、 e 是 二倍根二， vc 是 四倍根二，那所以呢中间占二倍根二，两侧分别就是根二，这块呢也是一个根二，并且知道了它是二倍的根二，所以我们知道我们的 a、 e、 e 就 等于一个根六， 所以它的高 h 就 等于根六。所以此时我们只需要去用它的微台是不就可以了？就等于三分之一 s 上加上 s 下，再加上 s， 根号下， s 上乘以 s 下，再乘以它高 h 就 可以了，就等于三分之一 s 上， s 上呢？边长是二，那就是四，加 s 下，边长是四，那就是十六，再加根号加 s 上乘 s 下，那就是四，乘以十六，再它乘以 h， h 呢？高是根六不就可以了？那我们算出来这个东西就等于一个 三分之二十八倍的根六，所以选出来的是我们的 c 选项，所以利用立体几何，如果我们不确定这个关系，我们需要去把立体图形给它转换成平面图形就可以运算了。 ok， 最后一个我们讲这个等体积法，去求它的这个体积，或者求高，或者求点到线的距离都是可以的。这个等体积法的意思就是我们需要通过变换底面去找到一个高好球的这样一个式子就可以了。比如说换底，一般来讲都是 换底面的原因，就是因为我们把它转换成一个高好球的一个三横锥就可以了，或者说转换成高好球的这个结合体就可以了。 那这个题目一般还让我们去求解他点到面的距离，我们也可以用这个方法去求，所以掌握这个方法还是比较关键的。那通过这个题目我们一块去看一下。那第三个题，已知正方体 a， b， c， d， 它的棱长是二 m， n， 分 别是 b， e， b 和它的中点啊，这中点中点，而三菱锥 a， e， d， e， m， n 的 体积是什么？ a， e， d， e， m， n 的 体积，那就是说 a， e， d， e， m， n 的 体积的话，我们需要去把它转换成到一个高好球的时候， 此时的话，你发现听众给大家 a e 为顶点，并且呢这个 d， e， m， n 为底面，这个底面跟高都不太好球。那么此时的话呢，我们让这个体积转换成谁发现这个 v a e 杠 d， e， m， n， 我 们变换顶点，让它等于谁是顶点？那比如说我们一个人去翻呗，比如说假设我们让 d e 为顶点， d e 为顶点的话，它底面变成了 a， e， m， n， 那 发现非常简单，为啥？因为这个 a， e， m， n， 它就在前面的这个面上，所以 d e 到前面这个面上的高比较好求，就是 d e， a e， 对不对？所以呢，我们此时就等于 a d 一 杠 a， e， m， n， 因为它的高好求，所以这个高就等于三分之一 s 三角形 a， e， m， n 乘以一个高，这个高就是 a， e， d， e 的 长度了，因为 a， d， e， 它垂直于前面这个面，所以它就是这个 h。 这样的话呢，你发现我们通过等体积法是不是就可以算成一体结，那就等于三分之一乘以 s。 三角形 a m， a m 的 面积比较简单，因为它是一，它是二，所以它是根三就是根三，根三这边是一一一比一比根二， 所以呢，我们知道了它的面积，就简单，或者这个面积我们可以拿这个正方形的面积减去三个三角形的面积，这样的话也很简单，就等于一个拿后大的减小的，那就是四减去，这两个面积都是一减去二，再减去这个面积是二分之一， 再乘以它的高二，我们就可以算出来它的体积了。所以我们讲完之后变成了三分之一，乘以个二分之三，再乘以个二就等于个一，所以它的体积就是一，这个就是等体积法，在我们求一些 体积或者说点到面的距离的时候比较常用。最后一个我们去看的是立体图形的直观图了，立体图形的直观图我们只需要掌握两点，第一个我们平行于 x 轴的长度不变，第二个我们垂直于 x 轴，或者说平行于 y 轴的长度变为原来的二分之一，这两点需要去掌握。 完了之后还得知道它的面积比，它的面积比，我们会得到的是我们的 s 圆图形 比上我们的 s 直观图就等于一个二倍的根二比一，我们的 s 直观图比上这个 s 圆就等于一个根二比四啊。应用这些进行求解就可以了。此时比如说我们看我们的第一个题， 告诉我们在 a 撇 o 撇 b 表示的 a o b 的 直观图中， b 撇在 s 轴上，并且呢， a 撇 o 撇与 s 轴垂直， a 撇、 o 撇等于一则三角形 a o b 的 边， o b 上的高等于多少？那这个明显让我们用的是面积之比了，所以我们假设我们先去设这个 三角形圆图形，三角形 o b 上的高为 h， 那 我们知道了 s 圆等于二倍根二倍的 s 轴端图。 所以呢，我们可以得到的是 s 圆图形，那就是二分之一乘以 o b 乘以个 h， 就 等于二倍根二面积，直角图的面积就是二分之一。 o 撇 b 撇乘以一个高一，它的高就是一个一。那么知道了，在奇数中呢，我们的 o 撇 b 撇是不是就等于一个 o b， 因为它都平行于 s 轴，所以呢，我们把它约掉，就直接可以算出来，我们的 h 就 等于二倍根二，所以选择的是二 b 选项，这个就相当于用面积之比进行计算。二个呢，也是一样，它是水平放置的这个直观图。然后嘞，第一撇是它 b 撇 b 撇、 b 撇 c 撇边的终点， 且 a 撇、 d 撇平行于 y 中，则 a 撇、 b 撇、 a 撇、 d 撇 a 撇、 c 撇对应的圆算形中的线段 a、 b、 a、 d 和 a c， 对 于这三个线段中，他说正确的判断是多少，那么此时我们可以给他还原一下，我们画出它的圆图形就可以了。画出圆图形，我们知道了， 它 a 撇 b 撇呢，平行于 y 轴，所以呢， a 撇 b 撇变为原来的二倍。在直观图中，假设呢，这块呢，就是它的 a 撇， a 撇 d 撇变为原来的二倍，假设这块就是它的 a 撇，这块呢，就是它的 b 撇和 c 撇。 那我们发现了，在 a 撇 b 撇 c 撇，因为它是平行来的时候，它的长度呢，保持不变，所以在原图形呢，它还是一个 bc ad 呢，它变长了，变为原来的二倍，但是呢，它还是它的终点， 所以呢，我们知道了你的 a b 就 等于 a c， 并且呢大于 a d 了，对不对？画出来它长这样，那就是 a b 等于 a c， 并且大于 a d， 所以呢，判断正确的就是我们的 a 选项，最短的是 a d， 所以 这种呢，也就是说我们需要去把它的 原图形画出来，然后根据原图形的这个特点去判断，听不到正确。 ok， 那 这个就是我们直观图的一个做法，让大家下去应用这两个条件进行判断就可以了。 ok， 那 我们这个视频就到这里，下个视频继续，再见。