六年级下册数学基本功冀教版54页

同学们，这节课我们一起来研究圆柱和圆柱的侧面积，来看这里。老师，这里啊有一些物体，那我们来观察这些物体，你们能来说一说哪些物体的形状是圆柱？ 我们通过观察不难发现，那这里的易拉罐是圆柱，而抬也桶也是圆柱，这卷纸是圆柱形的，这段木头也是圆柱形的。 那我们再来观察这几个圆柱，我们看它们有什么共同的特点呢？我们通过观察不难发现，这几个圆柱形的物体，它的上下一样粗， 而且上下两个面它是大小完全相同的圆。 那为了便于观察，我们可以除去圆柱形物体本身的颜色、材质、图案等等因素，那么去除掉以后，我们就可以得到一个圆柱的直观模型，就像这里。 那我们再来想一想，在生活当中你还见过哪些形状是圆柱形的物体呢？ 对，像我们生活当中的蜡烛，水杯，还有我们压路机的滚筒，电池等等，它们都是圆柱形的物体。来观察这些圆柱形的物体， 圆柱有几个面，各有什么特点呢？请同学们拿一个圆柱形的物体先观察，然后再用手摸一摸它的表面。老师，这里也拿了一个圆柱形的冰淇淋，那我们把这个冰淇淋给它抽象出圆柱的模型， 我们观察这个圆柱模型，通过观察我们可以看出这个圆柱模型它是由三个面组成的。我们首先来观察上下两个面，我们发现上下两个面都是圆形的， 而且它们的大小是一样的，那么我们就把圆柱上下两个面给它起个名字，就叫做底面，而且它们是完全相同的两个圆。 再来看这里，这里还有一个面，这个面我们用手来摸一摸，发现它是一个弯曲的，那我们就叫它是曲面，那么这个曲面我们也给它起个名字，就是圆柱的侧面。 好，我们给它把这个侧面给它标出来。像我们再来观察这里， 我们通过观察我们发现圆柱上下两个底面之间他是有距离的，那我们就把圆柱上下两个底面之间的距离就叫做圆柱的高，而他的高是有无数条的，下面我们把高也给他标出来。 好了，我们认识了圆柱，知道了圆柱的特征，下面我们再一起来总结一下圆柱的特征，那圆柱有三个面，有无数条高，而无数条高它的长度是相等的， 三个面，两个底面是完全相同的两个圆，一个侧面是曲面。 好，我们知道了圆柱的特点，下面老师这里有一个长方形，那我们可以沿着长方形的一条直线进行旋转，我们猜一猜会形成什么图案呢？ 请同学们拿出长方形自己来试一试，下面看老师这里，老师这里是以长方形的长边为轴进行旋转， 那么通过旋转我们可以看出以长方形的长为轴，旋转一周以后，我们就得到了一个圆柱体， 那在这个圆柱体当中，这个长方形的长边就是圆柱的一条高， 而他这里的宽就是圆柱的底面半径。我们认识了圆柱，那我们来想一想，那圆柱他的侧面是什么样子呢？他能不能展开呢？下面我们一起来看一看。 老师这里啊有一个罐头盒，下面我们把罐头盒它的商标纸就像老师这里这样，沿着它的一条膏剪开，然后再展开。那同学们猜一猜这个商标纸是什么形状的呢？ 好，下面你们拿出剪刀，像老师一样一起来剪一剪吧，一定记住是沿着一条膏剪开。 好，下面来看老师剪的，那老师沿着一条高剪开，剪开以后把它展开。那同学们来看，展开以后这是一个长方形，那这个长方形的长与宽与这个的罐头盒有什么关系呢？ 我们通过观察不难发现，这个长方形的长就是圆柱的底面周长，而长方形的宽就是圆柱的高。 那再想一想，这个长方形的纸的面积与罐头盒的侧面积它有什么关系呢？ 圆柱的侧面积其实就是这个展开图的面积，也就是长方形的面积，它们是相等的。 那你知道怎样来计算罐头盒的侧面积吗？那我们来回一下，我们前面学过长方形的面积，长方形的面积等于长乘宽， 那长方形的面积就是圆柱的侧面积，而长就是圆柱的底面周长，宽就是圆柱的高，那长方形的面积等于长乘宽，所以圆柱的侧面就等于底面周长乘高。 如果我们用 s 表示圆柱的侧面积， c 表示圆柱的底面周长， h 表示圆柱的高，那它的字母表达式就可以是， s 测等于 c h， c 又等于派 d， 所以 我们 s 测还可以等于派 d h， 而 d 又等于二 r， 所以 s 测还可以等于二派 r h。 好 了，那么我们一起来回一下这节课来学习的内容。那么在这节课我们认识了圆柱， 知道了圆柱是有两个完全相同的圆形底面和一个侧面围成的立体图形。我们还知道圆柱的侧面是一个曲面，他的两个底面之间距离就是这个圆柱的高，而他有无数条高。 我们还知道把圆柱的侧面沿着一条高剪开，展开后就得到一个长方形，那么这个长方形的长等于圆柱的高， 那因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆柱的侧面积就等于底面周长乘高，我们用字母表示就是 s 侧等于 c h 等于 pi， d h 等于二 pi r h。 好 了，我们这节课就到这。

同学你好，今天我们来学习圆柱的表面积，请同学们看指出下面圆柱形纸盒的侧面和底面，这是圆柱的底面， 这是侧面。那圆柱的展开图是什么样子的呢？仔细观察， 圆柱的展开图是由两个同样大的圆和一个长方形组成的，那两个同样大的圆是圆柱的两个底面。 圆柱的展开图和圆柱的表面积有什么关系呢？我们知道表面积就是图形表面的面积，我们来看 那圆柱的表面积啊，就是圆柱的两个底面的面积加上侧面积。 那圆柱的展开图的面的面积啊，也是由圆柱的两个底面的面积和侧面积组成的。因此我们说啊，圆柱的表面积等于圆柱展开图的面积， 那圆柱的表面积也就等于了圆柱的侧面积加上圆柱的两个底面的面积。 我们用字母表示的话，可以用 s 表表示圆柱的表面积， s 侧表示圆柱的侧面积， s 底表示圆柱底面面积， c 表示圆柱的底面周长， h 表示圆柱的高， d 表示圆柱的直径， r 表示圆柱的半径，那用公式表示，就是 s 表等于 s 侧加上二 s d。 因为我们有时已知半径和直径求面积，有时已知 周长求面积，所以根据不同的情况我们就可以选用不同的公式，因此也就得到了当已知半径的时候，我们可以 用 s 表等于二 pi r h 加上二 pi r 的 平方。已知直径时， s 表就等于 pi d h 加上二 pi 乘以二分之 d 的 平方 已知周长时，那么 s 表就等于 c h 加上二 pi 乘以二 pi 分 之 c 的 平方。同学们，你们记住了吗？下面我们利用公式来解决一些问题吧。 看这道题，一个圆柱的底面半径是五厘米，高是十四厘米，它的表面积是多少呢？这道题我们可以先计算侧面积，再计算两个底面积，最后相加，那 s 测等于 c h， s 测等于派 d h， s 测等于二派 r h， 那 么我们选哪个公式呢？这里我们已知底面的半径，所以啊，我们要选择第三个公式。 那么测面积就是二乘以三点一四乘以五乘以十四，等于四百三十九点六平方厘米。 那底面积呢？代入也就是了，三点一四乘以五的平方等于七十八点五平方厘米。侧面积加上两个底面积也就得出来了，表面积就是五百九十六点六平方厘米。 我们还可以啊，也综合算式得到五百九十六点六平方厘米。答，它的表面积是五百九十六点六平方厘米。我们再来看一道题， 一个无盖的圆柱形铁皮水桶，如右图，做这个水桶至少要用多少平方厘米的铁皮，那就是要求这个圆柱的表面积，这里至少是什么意思呢？ 至少啊的意思是不考虑水桶接缝处的重叠部分。 五盖呢？嗯，五盖的意思是只有一个底面，我们可以先计算测面积，再计算底面积，最后呢再相加就可以了。 那我们选用的公式应该是哪一个呢？在这道题中，我们已知直径是三十厘米，所以选用公式是 s 测等于派 d h， 这时求到侧面积就等于三千二百九十七平方厘米，底面积呢等于七百零六点五平方厘米，那它的表面积就是四千零三点五平方厘米。 列出综合算式。答，做这个水桶至少要用四千零三点五平方厘米的铁皮。 同学们，我们来回顾一下我们学到了哪些知识？我们知道了，圆柱的表面积等于圆柱的侧面积，加上圆柱两个底面的面积， s 表等于 s 侧加上二 s 底。根据已知条件的不同，选用下面相应的公式，同学们，你学会了吗？

这节课我们一起用画图表示成正比例的量照，老师计划装饰一下教室会用到什么物品呢？ 老师要用到气球，还要用到彩带。已知彩带的单价，请同学们完成下面的表格。 在这个表格当中，我们要填的是应负的前数，应负的前数也就是总价，我们知道总价等于单价乘数量， 那这里零米也就零乘四还是零米，那一米长应该负的前数就是一个四，所以是四元。两米长是两个四八元。三米是三个四 十二元。四米是四个四十六元。五米是五个四，二十元。六米是六个四，二十四元。七米是七个四，二十八元。 好，那么我们填完表，请同学们来观察一下，那在这里购买彩带的长度和应付的前数成正比例吗？通过观察，我们发现它们是成正比例的。 你记住，有同学说，老师这有两零米，还有要付零元。我们在计算比值的时候不考虑这个情况，因为零比零是没有意义的。那我们看 应负的前数比上过满的长度。这里四比一等于四，八比二也等于四，十二比三 等于四，十六比四等于四，二十比五等于四，二十四比六等于四，二十八比七等于四。我们可以看透，购买彩带的长度越长，那需要负的前数就越多。 因此我们就说购买彩带的长度和应买彩带的前数是两种相关联的量，那一总量变化，另总量也随着变化。 而我们又发现，四比一，八比二，十二比三，十六比四，二十比五，二十四比六，二十八比七，它们的比值都是四。我们可以说应负的前数与购买的长度，它们的比值是彩带的单价，那彩带的单价是一定的， 那我们可以把乘正比例关系的量可以在方格纸上画出来。 那我们在这个图上来看一看，这里的横轴和纵轴分别代表什么呢？ 对，横轴代表购买的长度，它的单位是米，那么一个小格就代表一米，而纵轴它表示应负的前数，它的单位是圆，那这里一个小格代表的是四元。 那在这图中它的红点又表示什么呢？是怎样画出来的呢？ 那这个红点是当购买长度为零米时，应负零元。这个红点购买长度为一米时，应负四元，这是当的为两米时，应负八元。 长度是三米时，应负十二元。长度四米时，应负十六元。长度五米时，应负二十元。 长度六米时，应负二十四元。长度七米时，应负二十八元。你的红点我们可以用竖对表示出来，那在这里列就是购买的长度， 这第一列就是购买一米，第二列购买两米，而这里的牌就是对应的前数。 所以第一个点我们可以用竖对零零来表示。第二个用竖对一四，就是购买一米要花四元，第三个点表示购买两米应付八元。 第三个这里是三十二，这个用数字表示是四十六，这个点用数字表示五二十，这个点用数字表示。是六二十四，这个点是七二十八。 好了，我们知道图中的种点表示的意义，那它又是怎样画出来的呢？ 刚才我们把表格当中对应的数据以按照列对应购买的长度，列对应的长度，然后排是对应应负前数，写成数对的形式， 那这里分别是零零一四二八三十二，四十六，竖对五，二十，竖对六，二十四，竖对七，二十八，然后依次连线就画出了这个图。 那么我们再来观察这个呈正比例关系的这个图像，它有什么特点呢？ 我们通过观察可以看出这个图像它是一条射线，起点是横轴和纵轴的交点， 购买两米时对应付八元钱，购买五米时，然后对应应付二十元钱。 a 说购买的长度和应付前数两种量的所有对应点都在这条射线上。 下面我们来看这个图，我们不用计算，看图估计一下要买一点五米彩带要花多少元钱 卖五点五米呢？我们首先来看一点五米，我首先找找到一点五的位置，然后在一点五向横坐标做垂线，那么得到垂线与已知点的交点， 然后在这这一点向纵坐标做垂线，那么这个纵坐标与这个线的交点也就是音符的前数 像我们再来看五点五米，找到五点五米，那同样我也是从五点五米向横轴做垂线， 那这里得到垂线与已知点的交点，下面通过这一点再向纵轴做垂线， 那么纵轴上垂足对应的就是二十二元，那就是买五点五米彩带需要二十二元钱。 同样的方法也可以估算出五点五米彩带需要二十二元，那么通过估算购买一点五米彩带需要六元，购买五点五米彩带需要二十二元，你还能提出哪些数学问题呢？ 我们还可以说十元能买几米彩带呢？那我们首先找到十元这个点， 然后在这里向纵轴做垂线，然后找到 这条线和它的交点，那么然后通过这个交点再往横轴做垂线，那这时候就找到对应的是二点五米，所以十元能买二点五米彩带。 好了，我们知道了正比例图像的特点，下面我们结合着刚才学的知识是来做一道题，一辆汽车平均每小时行驶八十千米，照这样的速度计算完成这里的表格。 我们来看，在这个表格当中我们要求的是路程，我们知道路程等于速度乘时间，那么一小时是 八十，两小时就是两个八十，三十，三个八十四小时，四个八十五小时，五个八十六小时，六个八十，七十就是七个八十。 下面请同学们把表中的数据在右面的方格纸上画图表示出来。那我们要想画图首先要干什么？对，我们首先找到对应的竖对写出来，然后再从方图中找出对应的竖对 点上点，最后点一下就可以了。 好，那么这节课我们学习了正比例画图的方法，就是把表格中的对应数据写成竖对，然后在方格纸上找出这些竖对，依次连线画出图像， 那表示正比例图像的特点。第一个就是图像是从横轴和纵轴的焦点画出的一条射线， 第二个横轴和纵轴表示的两种量的所有对应点都在这条射线上，同学们，你们都记住了吗？好，这节课就到这同学。

同学你好，今天我们来学习容积的计算方法。大家看这道题，一个保温杯从外面测量的尺寸如图所示， 底面直径为七厘米，高为十八厘米，这个保温杯的体积是多少立方厘米？ 我们知道杯子是圆柱形的，所以用 v 等于 s h 计算出体积，这里已知底面的直径是七，先求出底面的面积， 三点一四乘以七除以二括号的平方，再乘以十八，也就得出了圆柱的体积为六百九十二点三七立方厘米。 答，这个保温杯的体积是六百九十二点三七立方厘米。再看这道题，已知保温杯 b 的 厚度是零点八厘米，这个保温杯能装多少毫升的水？ 得数保留整数。那保温杯 b 的 厚度指的是什么呢？我们看图， 零点八厘米就是这个保温杯壁的厚度，那这个保温杯能装多少毫升的水？也就是要计算保温杯的容积了。什么是容积呢？容积是指一个容器所能容纳物体的体积， 水杯的内部空间也是圆柱形的，计算出水杯内的体积就相当于啊计算出了保温杯的容积了， 所以测出从里面量的直径和高才可以算出容积来。那么我们看一下这个杯的容积怎样计算吧。 首先我们要测量它的内直径，那内直径啊，就是外直径减去两个杯壁的厚度， 外直径是七，那么减去零点八乘以二，得到了内直径是五点四厘米。同样道理， 内高度呢，就是外高度十八厘米减去了两个杯壁的厚度，那么也就是十八减去零点八乘以二等于十六点四厘米， 容积就等于三点一四乘以括号，五点四除以二括号的平方乘以十六点四，得到了三百七十五点四零五八四立方厘米。他要求啊，得数，保留 整数，那保留整数呢？我们就要看小数点后的第一位数，那么第一位数啊，是四，我们用四舍五入法，所以小数点后面的数都舍去，也就约等于三百七十五立方厘米。 我们知道一立方厘米等于一毫升，所以就等于三百七十五毫升。 把这个保温杯能装约三百七十五毫升的水。同学们，通过刚才两道题，我们来说一说，计算容积和计算体积有什么相同点和不同点呢？ 我们会发现，体积是指物体所占空间的大小，而容积呢，是指容器所能容纳的物体的体积。 体积的计量单位有立方米、立方分米和立方厘米容积的呢，在固体时用体积单位，液体时用升或毫升 在单位换算上，一立方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米，一升等于一立方分米， 一毫升等于一立方厘米。在测量方法上，体积是从物体外部测量物体的长、宽高、直径的，那容积呢？它是从物体内部测量物体的长、宽、高、直径的， 它们的计算方法是一样的，都是用体积公式 v 等于 s 来计算的。 好，那么我们看看如果把六个刚才那样的保温杯倒满，大约需要多少千克的水。 那我们知道一个杯子的容积积是三百七十五毫升，那六个就是三百七十五乘以六等于二千二百五十毫升。那问题是大约需要多少千克水？ 单位是千克，我们知道一毫升水重一克，所以啊，二千二百五十毫升水就重二千二百五十克，那二千二百五十克换算成千克就是二点二五千克。 答，大于需要二点二五千克的水。同学们，我们来回顾一下这节课，我们知道了体积和容积的意义，计量单位和测量方法的区别，也知道了他们的单位换算， 也知道了计算方法都是用体积公式 v 等于 s h 计算的。同学们，你学会了吗？ 同学你好，今天我们来学习实际测量和计算圆柱形容器的容积。我们来看饮水问题，准备下面的矿泉水和测量工具小组合作解决问题。 我们需要测量出一个矿泉水桶和一个矿泉水瓶的容积各是多少，然后算一算，一桶矿泉水大约等于多少瓶矿泉水。 那我们测量时应注意些什么呢？由于矿泉水桶和矿泉水瓶壁都比较薄，我们在测量时壁厚可以忽略不计。 测量高度时，因为矿泉水桶和矿泉水瓶上部都比较细，它的上部呢，可以忽略不计，只测量圆柱部分的高即可。第三就是结果用厘米做单位。 那么我们来小组同学分工再测算。首先啊，我们用绳子绕住桶身就可以得出桶的底面周长了，再通过计算得出半径， 然后测出矿泉水桶的高度，根据啊底面积乘以高算出一个矿泉水桶的容积。用同样的方法可以得出矿泉水瓶的半径和高，那根据底面积乘高算出一个矿泉水瓶的容积， 然后算一算，一桶矿泉水大约等于多少瓶矿泉水？那我们用一个矿泉水桶的容积除以一个矿泉水瓶的容积就算出来了。 那我们根据测量得到了这样的数据，那么已知底面的半径，求出半径后，我们再求出底面积， 然后再乘以三十二，约等于一万八千四百零八立方厘米。我们知道一立方厘米等于一毫升，所以一万八千四百零八立方厘米等于一万八千四百零八毫升。 用同样的方法，我们求出矿泉水瓶的容积就约等于五百一十立方厘米。 五百一十立方厘米等于五百一十毫升。那么我们再算算瓶子数，用矿泉水桶的容积除以矿泉水瓶的容积，大约有三十六瓶。 答，一个矿泉水桶的容积大约是一万八千四百零八毫升，一个矿泉水瓶的容积大约是五百一十毫升，一桶矿泉水大约等于三十六瓶矿泉水。 好，我们继续看这道题，测量玻璃杯的容积，然后算一算，一桶矿泉水可以倒满多少杯水。那怎样测量玻璃杯的容积呢？ 有同学说可以用直尺直接测量玻璃杯的内直径和内高度，我们具体来看看吧。那测量内直径，尺子平放在玻璃杯口， 尺子零刻度和玻璃杯内壁边缘对齐，移动尺子最长的线段的长度就是玻璃杯的内直径。 那内高度怎样测量呢？我们把尺子紧贴玻璃杯外部，并垂直于玻璃杯底部放置。 仔细看，这时的零刻度是向下的，零刻度对齐玻璃杯内底部，尺子与杯口边缘对齐的刻度就是玻璃杯的内高度。 这时我们知道杯子的容积等于底面积乘以高，所以啊，我们知道了玻璃杯的内直径是八厘米， 玻璃杯的内高度是七点五厘米，这里我们就可以先求出底面积，然后乘以高七点五等于三百七十六点八立方厘米，也就是三百七十六点八毫升。 然后呢，我们计算出杯子数啊，用一万八千四百零八除以玻璃杯的容积，约等于四十八杯。在这里注意啊，要采用的是去尾法去取值。 打一桶矿泉水可以倒满约四十八杯水，按每人每天饮水一千五百毫升计算， 一桶矿泉水能满足一个三口之家几天的饮水需要呢。那每人每天饮水一千五百毫升，那么三人每天饮水就是四千五百毫升， 那桶的容积除以四千五百就能够算出一桶矿泉水能满足一个三口之家几天的饮水需要。 用一万八千四百零八除以四千五约等于四天。那每人每天大约饮几杯水呢？然后我们用一千五百去除于杯子的容积，就算出了每人每天大约饮几杯水， 约等于四杯水。打一桶矿泉水能满足一个三口之家大约四杯水。 好，同学们，我们再看，要测量这个土豆的体积，前面我们测量的都是 规则物体的体积，那不规则物体的体积怎样测量呢？现在呀，每个小组准备了一个土豆， 一个盛有半杯水的水杯和一把尺子，同学们，用这些工具测量土豆的体积，我们来说一说怎样来测量土豆的体积吧。 由于土豆的形状不规则，不能直接测量土豆的体积，那我们可以把球土豆的体积转化成球水的体积，大家看现在呀，杯子中这是水的体积，我们放入土豆仔细观察， 会发现水面上升，那有同学会问，那水面为什么会上升呢？上升的水的体积又等于什么呢？ 由于土豆占据了一定的空间，把水排开，所以水面会上升，那现在杯子里 就是水和土豆的体积，也就是说上升的水的体积啊，就是土豆的体积。那我们来具体操作一下吧。首先先测量一下杯子的内直径 d， 计算出底面半径 r， 然后测量出放入土豆前水的高度 h 前，然后再将土豆浸没在水中，再次测量水的高度 h 后，这时 我们计算一下土豆的体积吧，用放入后的体积减去放入前的体积，也就是土豆的体积了。那用公式表示呢？ 可以用 pi r 的 平方 h 后减去 pi r 的 平方 h 前，或者还可以啊，用放入后水的高度减去放入前水的高度乘以杯的底面积，也是土豆的体积。 经过测量我们得到了这些数据，杯底内直径十厘米，加入土豆前水的高度为三点五厘米，加入土豆后水的高度为七点五厘米。 下面我们把它们带入到公式中，我们用加入土豆后水和土豆的体积减去加入土豆前水的体积，就得到了土豆的体积。 因为我们知道杯底的内直径是十厘米，所以我们用十除以二求出杯底面的半径，那然后求出这个杯的底面积三点一四乘以十除以二括号的平方，然后 乘以加入土豆后水的高度七点五得到了加入土豆后水和土豆的一共体积， 然后用同样的办法减去了放入土豆前水的体积，这样就得到了土豆的体积是三百一十四立方厘米。 还可以啊，用放入后水的高度减去放入前水的高度，乘以杯的底面积，也是土豆的体积， 就等于三百一十四立方厘米。答，土豆的体积是三百一十四立方厘米。 同学们，刚才我们在测量这个土豆的时候啊，采用的方法呢，叫做排水法。那测量这样不规则的物体，除了排水法还有什么方法呢？ 是的，还有溢水法。什么是溢水法呢？我们来看看吧。一、在阀门的下方啊，放一个量杯， 往带有阀门的容器中注水，直到阀门中有水流出时，啊，停止注水。 那当阀门中不再有水流出来时，将粮杯里的水啊倒掉，那将不规则物体浸没在水中，水再次从阀门流入粮杯中， 停止流水后，读出粮杯上的这个刻度啊，即可得到了不规则物体的体积。那这些物体都是能够沉于水下的，那像乒乓球是飘着的， 他就不能够用排水法测量他的体积，他可以采用啊，排沙法。什么是排沙法呢？在量杯中啊，倒入适量的沙并压时记下体积。 将不规则的物体完全埋入沙中并压时，记下体积，计算出两次记录的沙的体积的差就是不规则物体的体积。 同学们，我们来回顾一下今天学习的内容。我们知道了，用排水法测量不规则的物体时，要先测量容器的周长或直径，计算出底面的半径， 测量水的深度。要在容器的内部测量，将不规则的物体浸没在水中，再次测量水的深度，那不规则物体的体积就用放入后的体积减入去，放入前的体积 就得到了。我还知道测量不规则的物体的体积，除了有排水法，还有溢水法、排沙法等等，同学们，你学会了吗？

这节课我们一起来认识反比例的量，请同学们看，这里明明一共有四十元钱买下面几种练习本，分别能买多少本？ 第一种练习本它的单价是一元，第二种练习本它的单价是两元。第三种练习本它的单价是十元， 我们用四十元钱分别买，他们要想买多少本，我们就可以用四十除以他们的单价。 那通过计算我们可以看出，如果买第一种练习本，我们能买四十本，而第二种练习本我们能买二十本，第三种练习本我们能买四本。 这个练习本的单价越贵，而我们买的练习本的数量越少，反过来练习本的单价越少， 而练习本的数量就越多。那练习本的单价和数量之间有什么样的关系呢？下面我们一起来研究一下。来看老师这里，这是亮亮、红红、聪聪和丫丫各看一本安徒生童话。 那在这个表当中，你获得了什么样的信息呢？我们可以看出，亮亮每天看十二页就需要十五天，红红每天看十五页需要十二天，聪聪每天看十八页需要十天， 丫丫每天看二十页需要九天。而且结合着这里亮亮、红红、聪聪和丫丫各看一本安徒生童话，我们就知道他们四人看的是一本书，也就说他们看的总页数是一定的。 那我们再观察这个表，在这个表当中你发现了什么规律呢？ 通过观察我们可以看出，当书的总页数一定的时候，每天看的页数越多，那我们需要的天数就越少。而反过来，每天看的页数越少，而我们需要的天数就会越多， 那么每天看的页数和需要的天数它们有什么关系呢？我们可以通过计算一起来看一看。 我们首先来看聪聪聪每天看十二页，那我们要需要十五天，那每天看的页数和需要的天数，他们的乘积就是看的总页数一百八十页， 那再来看红红的，红红每天看的页数乘他的天数也是一百八十。 再来看聪聪，聪聪每天十八页需要十天，那十八乘十，他们的成绩也是一百八十， 丫丫每天看二十页需要九天，那二十乘九我们也等于一百八十， 那么通过这里我们就可以看出，他们每天看的页数和需要天数的乘积都等于一百八十，那么这个一百八十是书的总页数，那么通过这里我们就得到一个数量关系式， 也是每天看的页数乘需要的天数等于书的总页数，而这里书的总页数是一定的。 就像这样的问题，看完一本书，需要的天数和每天的页数，它们是两种相关联的量， 那需要的天数随着每天看的页数的变化而变化，而且每天看的页数和需要的天数的乘积是一定的， 那么在这里的成绩也就这本书的总页数是一定的。那么我们就说每天看的页数和需要的天数这两种量成反比例，在我们生活当中成反比的量还有许多，现在我们继续来探讨。 再来看这道题，老师想把十元的人民币分别换成同一种面值的零钱， 那么这个面值有一角的、两角的，五角的、一元的，还有五元的。那我们观察这个表发现了什么规律？ 首先我们首先要把这首这个表格填完，那我们这个表格当中我们需要填的是张数，那我们知道这里需要的张数就等于 十元除以面值的金额，那么这里的面值金额不同，所以我们首先要统一单位，我们把单位都统一成元，这的一角就是零点一元，十除以零点一一百张， 那两角就是零点二十除以零点二五十张，那同样五角就是零点五十除以零点五就是二十张，那这里一元就是一元，十除以一十，五元十除以五就是两张。 我们来观察一下这个表格，通过观察我们发现，把十元人民币换成同一种面值的零钱时，当面值越小的时候，我们换的张数就越多，而当钱的面值越大的时候，我们换的张数就越少。 而零钱的面值乘零钱的张数，它就等于十元，这个十元也就是总钱数，也就说明总钱数是一定的。 那我们来想一想零钱的面值与张数这两种量乘反比例吗？为什么？ 我们通过观察可以看出，他们是乘反比例的面值和面值的张数，他们两个是相关联的两种量。面值越大，学的张数就越小，面值越小，学的张数就越多，而面值的张数乘 面值数就等于十元，那十元就是总价钱是一定的，所以我们就说它是乘反比例的。 好，那么我们一起来看一看刚才的两道题，观察上面两道题，找出它们的相同点。通过观察我们不难看出，在这两道题当中，它们都有两种相关联的量， 而且这两种相关的量都是一总量变化，另一总量随着变化，而两种量中对应的两个数的乘积都是一定的， 那就像上面这样，两种相关的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。 那么简单一点说，就是当两种相关联的量对应的两个数的积一定时，那么这两种量成反比例，那么它们的关系就叫做反比例关系。 其实成反比例的两种量也可以在方格纸上画图来表示。我们来看这道题， 这里的单价和数量是两种相关联的量，单价越少，而他们的数量就越多，单价越多，而数量就越少。单价和数量的乘积是一定的，所以单价和数量成反比例， 那我们把这个反比例画到这个表格当中，那我们要想画表格就和正比例是一样的。我们可以先用竖对把对应的数据表示出来。我们来观察这个方格纸，在方格纸上，这里的横坐标 也就是横轴，它代表数量，而我们的纵轴代表的是单价。那用我们前面学的竖顿的有关知识，我们可以想一想，那在这里 我们竖着的这叫什么列？那么这个列在这里就相当于 数量，而这里的牌在我们这里就相当于单价。那我们来看，这第一个数量是二十，单价是六十， 那所以我们可以用竖对二十、六十来表示，那第二可以用竖对三十、四十来表示，第三个用竖对四十、三十来表示。 我们找到数对了，那下面我们就要在方格指当中找到对应的数，对，用平滑的曲线把它连起来，我们先来找对应的数对，我们首先来看二十六，哎，也就是数量是二十， 数量是二十，而它的单价是六十，这是二十，单价是六十，所以我们找着这个点， 那再来看这一个数量是三十，单价是四十，那我们再找找这个点，第三个数量是四十，单价是三十， 四十单价是三十。找着第三个点，那我们找着点以后，用平滑的曲线依次连接， 那么这个图就是反比例的图像，反比例的图像它是一条曲线，表示每组数据的点应该都在这条曲线上面。那么这节课我们认识了反比例， 那我们来回想一下反比例和正比例，它们两个有什么异同呢？先我们来看一道题， 请同学们观察下面两个关于购买方便面的统计表，回答问题。我们首先来观察表格一，通过观察表格一，我们发现 总价随着数量的变化而变化，数量增加，总价也就增加，数量减少，总价也就随着减少，那就说明这两种量变化的方向它是一致的。 我们再来观察，我们发现总价比数量，总价二十二点五，比上十五， 那发现总价与数量的比值相等都等于一点五，也就是总价与数量的比值等于单价，那么单价是一定的， 那单价一定，所以我们就说总价和数量成正比例。 好，下面我们再来观察表格二，通过表格二，我们也可以看出这两种量的变化方向， 数量随着单价的变化而变化，那单价增加，数量反而减少，单价减少，数量反而增加，也有它们变化的方向是相反的。 再来看它们两个量的变化规律，那么通过计算我们可以发现，一点二乘三十等于三十六，一点八乘二十也等于三十六，那二点四乘十五等于三十六，那也就是单价乘数量等于总价，它们的总价是一定的。 那通过这里我们可以看出这两种量，单价和数量它们的乘积一定，也就是总价一定，所以我们就说单价和数量成反比例。 像我们来一起来探求一下，那么单价、数量、总价这三种量之间到底有什么样的关系呢？ 那我们知道这三个量之间的关系是，其是单价乘数量等于总价，而总价除以单价等于数量，总价除以数量等于单价，那么它们三个之间又有什么样的比例关系呢？ 那我们再观察这三个等量关系式，当总价一定时，也就是啊基一定，基一定，所以单价和数量成反比例。当数量一定时，总价和单价的商一定， 商一定的时候，是成正比例的，所以我们就说数量一定，总价和单价成正比例。在同理，单价一定，总价和数量成正比例。那么通过这里我们就可以看出，在这里单价、数量、总价 这三种数量关系，在一总量一定，另外两种量形成比例关系的时候，能形成两个正比例和一个反比例关系。好，我们知道 单价、数量、总价之间的关系，其实我们正比例和反比例关系，它可以用字母来表示的，如果我们用字母 x 和 y 表示两种相关的量，用 k 表示一定的量，那么我们的正比例就可以用 y 比上 x 等于 k， 而反比例就是 x 乘 y 等于 k。 好，下面我们一起来总结一下正比例和反比例的一同。那么通过刚才那两个表格我们可以看出，不管是正比例还是反比例，它们的相同点都是有两种相关联的量。 还有就是一总量随着另一种量的变化而变化，那不同点，正比例关系， 他们变化方向是相同的。人说一总量增大，另总量也增大，而一总量减少，另总量也减少。而反比例关系，他们的变化方向是相反的， 一总量变大，那么另总量反而减小，那一总量减小，那另总量反而增大。 第二个不同的地方，那正比例关系是两种量中相对应的两个数的比值一定，也就它们的商一定。而反比例关系，两种量中相对应的两个数的积是一定的。 第三个就是它们的关系式，那正比例的关系式是 y 比 x 等于 k， k 一定，而反比例关系式是 x 乘 y 等于 k， k 一定。 好了，我们正比例和反比的一同，你都记住了吗？那我们这节课就到这，同学们再见！

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同学你好，今天我们来学习圆柱的体积公式，同学们请看图观察上面的情境，你想到了哪些问题？ 有同学说，他发现两个蛋糕都是圆柱形的，那哪个蛋糕的体积大呢？ 什么叫体积？体积就是物体所占空间的大小，占空间大的物体体积大，占空间小的物体体积小。 亮亮发现爷爷的生日蛋糕大，那爷爷的生日蛋糕大就是蛋糕的体积大。量亮的生日蛋糕小，那就是蛋糕的体积小。 那下面是两个茶叶桶，怎样比较两个茶叶桶的体积大小呢？可以用以前的直观比较方法，第一个茶叶桶又细又高，第二个茶叶桶又矮又粗，不能准确比较出哪个茶叶桶的体积更大。 有同学想到了盛装物品进行比较，可以在茶叶桶里装上茶叶，哪个桶装茶叶多，那个体积就大。还有的同学想到了可以在茶叶桶中放入水， 他认为哪个桶装水多，哪个体积就大。还有的同学想到了可以称一称两个桶的质量，哪个桶重，哪个桶的体积就大。 有的同学提出问题，那如果两个茶叶桶的桶壁厚度不同，那么所得的结果也就不准确了。 在这种情况下，如果能够计算出体积就好了。下面呢，我们就探究一下，怎样求圆柱的体积呢？ 亮亮记得在学习长方形的体积时，是利用了底面积乘高计算体积的，他猜想圆柱的体积会不会也是用底面积乘高呢？ 那有同学说，我们可不可以像求圆的面积一样，把圆柱体分成若干等份，转化成我们学过的长方体进行计算呢？ 我们来探索一下吧。首先啊，我们先把圆柱等分成十六等分，然后呢，拼成一个近似的长方体，再试着把圆柱等分为三十二等分， 拼成一个近似的长方体，我们发现等分的分数越多，拼成的立体图形就越接近一个长方体。那拼成的近似长方体和圆柱有什么关系呢？ 我们会发现，近似长方体的底面积就是圆柱的底面积， 近似长方体的高就是圆柱的高。我们知道呀，长方体的体积等于底面积乘以高，因此我们得到了圆柱的体积也等于底面积乘以高。 那如果用字母表示呢？如果用 v 表示圆柱的体积， s 表示圆柱的底面积， h 表示圆柱的高，那么圆柱的体积公式可以写成 v 等于 s h。 现在我们知道了公式，去解决实际问题吧。看这道题，一根圆柱形的钢材，底面积是五十平方厘米，高是一点五米， 他的体积是多少立方厘米呢？在这里我们知道底面积是五十平方厘米，高是一点五米，我们会发现他们的单位不统一，所以我们要先统一单位，一点五米等于一百五十厘米。 根据圆柱的体积公式，底面积乘以高，那么代入数值得到圆柱的体积为七千五百立方厘米。 答，它的体积是七千五百立方厘米。我们再看下道题，求右面罐头盒的体积。我们观察图会发现，这里已知罐头盒的底面直径为十厘米，高为十厘米， 那圆柱的体积等于底面积乘以高。这道题中啊，我们没有直接告诉底面积，所以我们根据已知的底面直径时，要先求出底面积 三点一四乘以二分之十的平方，然后再乘以高，最后求出圆柱的体积是七百八十五立方厘米。答，罐头盒的体积是七百八十五立方厘米。 我们再看下一道题，一个半圆柱形的木块，如下图，求它的体积。这里已知半圆柱形里面直径为十厘米，高为十五厘米。那怎样求它的体积呢？ 认真观察，我们可以发现，可以先求出圆柱形木块的体积，再用所求的结果除以二， 也就是半圆柱形木块的体积了。这里我们先求出底面的面积 三点一四乘以二分之十的平方，然后再乘以高十五。因为是半圆柱形，所以再除以二，最后求出它的体积是五百八十八点七五立方厘米。 答，它的体积是五百八十八点七五立方厘米。那同学们回顾一下我们学到的内容。 一、已知了圆柱的体积、底面积和高，三个量中任意两个量都可以求出第三个量，即 v 等于 s， h， s 等于 v 除以 h。 我们还知道了已知圆柱的底面直径或半径或周长和高。求圆柱的体积，应该先求出圆柱的底面积，再求出圆柱的体积。 同学们，你学会了吗？同学们，今天我们来学习测量并计算圆柱的体积。首先我们来完成这样一个任务，测量自己准备的茶叶桶的有关数据，计算出它的体积。 那如果要计算它的体积，我们需要哪些数据呢？我们知道圆柱的体积等于底面积乘以高，那么底面积就等于 pi 二的平方， 所以需要测量圆柱的底面半径和高，那么有同学说，只需要沿着任意一条高就可以测量出茶叶桶的高了。那怎样测量茶叶桶的半径呢？ 有同学说可以测量底面圆的周长，算出半径。测量周长，我们可以用绕线法， 用一根没有弹性的细线绕茶叶桶一周，标上记号，再用直尺测出记号间细线的长度，此长度就是茶叶桶的底面周长。 我们来看一下。那么测量结束后，用 c 等于二 pi r 算出半径，那么还可以测量直径，算出半径。那怎样测量直径的长度呢？ 方法一，量直径法，将三角板或直尺的零刻度线对准圆上任意一点，移动三角板或直尺的另一端，量出的最大读数就是直径。 方法二，夹圆法 读出尺尺上的两把三角尺所对的刻度，用大的刻度减去小的刻度，就可以求出直径了。 那同学们你觉得哪种测量方法更好呢？有的同学发现了，用绕线法测量底面周长是相对精确和易操作的方法，但是计算比较麻烦。 用夹圆法测量底面直径容易计算半径，但是测量比较麻烦。两种方法各有优劣，大家可以选择自己喜欢的方法。 那你觉得这个茶叶盒用哪种方法测量更好呢？ 两种方法都可以测量底面圆的周长，算出半径， 体面周长是三十七点六八厘米，高是二十厘米。半径等于三十七点六八，除以三点一四除以二等于六厘米。体积等于三点一四乘以六的平方乘以二十， 等于两千两百六十点八立方厘米。也可以测量底面圆的直径，算出半径，直径是十二厘米，高是二十厘米， 半径十二除以二等于六厘米。体积三点一四乘以六的平方乘以二十等于两千两百六十点八立方厘米。 答，茶叶桶的体积是两千两百六十点八立方厘米。 同学们，我们来看这样一道题，一根方高的长是五十厘米，底面是边长十二厘米的正方形， 如果把它锻造成底面面积是九十平方厘米的圆柱形钢材，这根钢材的长是多少厘米呢？ 我们看这里说方钢，方钢是地面为正方形的长方体，那么长方转化为圆柱体，体积是不变的。 那么我们可以先计算方钢的体积，实际方钢的体积呢，就是圆柱的体积 五十乘以十二乘以十二等于七千二百立方厘米，然后再利用体积和底面积求出高，也就是长那么七千二百除以九十等于八十厘米。 答，这根刚才的长度是八十厘米。同学们，我们来回顾一下今天学习的内容。 已知底面周长和高求圆柱的体积，先用底面周长除以三点一四除以二求出半径，再用 v 等于 pi 二的平方 h 计算体积。 二、已知底面直径和高求圆柱的体积，先用底面直径除以二求半径，再用 v 等于 pi 二的平方 h 计算体积。同学你学会了吗？

同学们，这节课我们一起来研究有关身份证号码的知识。首先我们来做一个小调查，你知道爸爸妈妈的生日吗？请完成下面的调查表。 在调查表当中，我们要调查爸爸妈妈的出生地、出生日期以及身份证号码。那在调查之前，我们首先来了解有关身份证的发展过程。 我国公民的身份证称为中华人民共和国居民身份证。一九八四年四月，我国开始实行居民身份证制度，颁发了由十五位数字组成的第一代身份证。 二零零四年三月二十九日起，我国又开始焕发由十八位数字组成的第二代居民身份证。我们现在所用的身份证就是由十八位数字组成的第二代居民身份证。 而我们的身份证它的有效期有五年的、十年的、二十年的和长期的四种。好了，我们了解了有关身份证的一些知识，下面请同学们快速的来完成这个小调查吧。 好，下面来看这里。这是老师班一个同学，他进行调查的爸爸妈妈的出生地、出生日期以及身份证号码。首先看他的爸爸，他的爸爸是河北省保定市高阳县， 出生日期是一九八三年五月十六日，爸爸的身份证号是，幺三零六二八一九八三零五幺六零零幺九。妈妈的出生地是河北省石家庄市新华区，他的出生日期是一九八四年十月三日， 妈妈的身份证号码是一三零幺零五一九八四幺零零三三二七。 好了，我们来观察爸爸和妈妈的身份证号码，你发现了什么呢？有同学说，在这十八个数字当中，第七位到第十四位，这八个数字，它是出生日期，我们一起来看一看是不是这样的呢？ 爸爸的身份证号里，第七到第十四位是一九八三零五一六，而爸爸的出生日期是一九八三年五月十六日， 妈妈的出生日期是一九八四年十月三日。而身份证号码当中，这里第七到十四位就是一九八四一零零三。 对了，那我们身份证号码当中，第七到十四位就是表示的出生日期，其他的数字你知道表示什么吗？ 其实啊，在我们身份证号码当中，里面蕴藏了还有许多的学问，下面我们一起来了解身份证号码的编制规则吧。 这是十八位数字的身份证号码，在这十八位数字当中，前两位数字表示所在省的代码， 第三到四位表示所在地市或者是自治州的代码。第五、六位它表示所所在区县、自治区或者县级市的代码， 那也就是我们前六位数字，它表示的是地址码，地址码表示编码对象常驻人口所在地市、镇区的行政区划代码。 我们再来看一下，第七至第十位，它表示的就是出生的年份，而第十一至十二位表示出生的月份， 十三、十四位表示出生的日期，那出生年份、出生月份和出生日期，也就是出生日期嘛。 这里的七至十四位，它表的就是出生日期码，出生日期码，它表示编码对象出生的年月日。例如一九八二年十月十四日出生的，它就表示为一九八二，一零一四。 第十五到十七位，它表示的是顺序码，顺序码表示在同一地址码所标识的区域范围内，对同年同月同日出生的人员编定的顺序号。 那在这里注意最后一个数字，在顺序码当中，最后一个数字它表示的是性别码，如果出现的是单数，它表示的就是男性，如果出现的是双数，它就表示的是女性。 还有最后一个数字它表示的是啊，叫验码，这个叫验码，是计算机自动生成的，一般的是由零至九这十个数字组成的。那如果数字十，我们就用大写的字母 x 来代替。 如果我们按照这样的规则来编制身份证，能保证我国十四亿多人的身份证号码不重复吗？其实我国一共有三十四个省级行政区域，所以我们用前两位来表示省足够了。 而我国的地级行政单位最多的省是广东省，有二十一个辖地级市，所以我们用第三、四位表示也就够用了。 目前我国没有所辖区县超过九十九个的市，所以用第五、六位表示也就够用了。 那同一个地区内人的出生日期可能是相同的，那出生日期相同也没有关系，因为我们的顺序码不同。 那顺序码我们说了有三位数，如果这一天出生的人数超过九百九十九就不够用了，只要是不超过九百九十九就够用。那我国一天到底出生大约有多少人呢？ 我们试着算一算一个大县一天当中出生多少人吧。我们以一百万人口的大县为例，算一算一天出生多少人，每年的出生率按照百分之一点三来计算，我们可以这样来算， 这里一百万就等于一百万，一百万乘百分之一点三，这是一年的出生人口，那问你每天的，所以一年有三百六十五天，所以我们这里要除以三百六十五，那约等于三十六人。 那一百万人口的大县，每天大约出生三十六人，那顺序码有三位数，所以足够了。那我们的身份证号码的编制规则太神奇了，你知道身份证在日常生活当中都有哪些用途吗？ 证是公民进行社会活动，维护社会秩序，保证公民合法权益、证明公民身份的法定证件。它是使用场景，有选民登记、户口登记、兵役登记、婚姻登记、入学就业。办理公证业务、 前往边境管理区办理申请出境手续、参与诉讼活动。办理机动车 船驾驶证和行车证、非机动车执照。办理个体营业执照、办理个人现代事务以及其他金融业务。参加社会保险、领取社会救济、 办理搭乘民航飞机手续、投诉旅馆办理登记手续、提取汇款邮件、寄卖物品等等。 好，这节课我们了解了有关身份证的知识，下面让我们再一起来回顾一下。在身份证当中，前两位数字代表的是省，第三、四位代表的是市码， 五六位代表的是县级代码。也就是说我们前六位数字代表的是地址码， 第七到第十四位代表的是出生日期码，十五到十七位表示的是顺序码，顺序码当中最后一位表示的是性别码， 单数表示男性，双数表示女性，最后一个是表示的叫验码 交换码。当中如果最后一个数字是十，我们可以用大写字母 x 来表示。好，你这节课就到这，同学们再见。

今天咱们来挑战一道经典的割草问题，很多孩子总是傻傻弄不清楚，其实用最不利原则几步就能算明白。首先咱们先把扑克牌的构成理清楚，这是解析的关键。 一副扑克牌共五十四张，包含两部分，两张大小王盒，四种花色，共五十二张，黑桃、梅花、红桃、方块，每种花色各十三张。接下来用割草问题的核心思路，最不利原则也就是先想最倒霉的情况， 要啥没啥来解决这个问题，至少就是摸出最少，保证就是一定能符合要求。好，现在开始摸牌，我们要摸三张牌的花色相同，最倒霉的情况就是 先把两张无花色的大小王全摸出来了。接着假设取出了一张黑桃，请问你接下来最想拿到什么？是不是黑桃？别忘了要啥没啥。我们继续拿到一张梅花一张红桃一张方块。 现在各种花色都有了一张，那我们继续取黑桃一张，梅花一张，红桃一张，方块一张。这时四种花色都有了两张，如果我再拿一张，肯定不会是大小王了，这张牌只能是这四种花色其中的一种。假设拿出来的是一张黑桃， 现在黑桃就有三张，也就是说不管摸到哪一种，这种花色的牌数都会从两张变成三张，刚好满足了题目要求， 所以摸出的总张数就是两张大小王加上四种花色，每种各两张，再加上最后任意一张，花色列式为二，加二乘四，再加一等于十一张，所以至少摸出十一张，才能保证有三张牌的花色相同。