甘肃数学最后一道大题中考做法

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六外围白卷函数压轴题 二十七题，如图一、抛物线，这给了一个交点式，所以你可以把 a 点和 b 点坐标写了， a 点负一都零， b 点是四都零，又告诉你与外周的交点是零负三。 所以我们现在要求解析式的话，就要把这个零负三带进去啊，带进去求出来， a 等于四分之三，所以它的解析式是 y 等于四分之三倍的 x 加一乘以 x 减四。那考试我建议你把一般式也写上四分之三 x 方， 然后呢，减去四分之九 x 再减三。这就是第一问的答案。表达式有了， 现在看还有什么条件。 d、 e 分 别从 b、 c 出发，沿着 b、 a 和 c、 b 方向运动，一定是同样的速度，然后呢， e 到 b 就 会停止，什么意思啊？ c， e 和 d、 b 永远都相等的意思呗？ 同样的速度，同样的时间，它们路程相等。接下来这一问问，你说 b、 d、 e 的 面积最大，我们看 b、 d、 e 长这样一个三角形啊，那很显然它有一条横线 d b， 所以 我们这里的底就当成是 d b 吧。 然后呢，它的高是第三点的纵坐标绝对值，所以这个位置这里就是它的高啊，我们把它当做 d h 吧， d h ok， 现在我们看这个面积怎么去表示了，因为 db 已经是 a 了， c， e 和 db 又相等，所以我们直接把这个 c、 e 也当成 a。 然后很显然，这里我们把第二问的答案又开始写一下了。第二问，我们先需要设 db 等于 c、 e 啊，那么都等于 a， 然后其实你 d 点的坐标已经能写出来了啊，那其实 d 点的坐标写不写呢？其实也无所谓啊，我们开始写一下吧，这点就是 b 往左移了两个，移了 a 个单位长度，他就是四减 a， 逗号零。然后呢， d b 的 长度是 a， 这 d 已经有了。其实 现在要把高写出来，就是要把 e 点的纵坐标写出来，所以我们需要求 e 的 坐标，那发现 e 在 bc 这个直线上，所以我们还需要写一下 lbc 的 解析式，这里呢，把两个点带进去求出来，解析式是 y 等于， 呃，这个四分之三， x 再减三，是吧？所以这里可以设 e 点坐标，横坐标 e， 纵坐标四分之三， e 再减三。然后我们要注意， 这个时候呢，我们要用这个 c， e 等于 a 这个条件，把里面的 e 给它替换掉，因为两个字母你肯定很难受，所以呢，我们需要的是把 c e 的 长度表示出来， c， e 就 等于坐标公式距离。呃，那就是横横叉减去纵动叉的平方 横坐标， e 的 横坐标是 e， 所以 减去 c 的 横坐标零一方，再加上 e 的 纵坐标是这一串四分之三， e 减三，然后再减去 c 的 纵坐标，是负三的时候加三，括号的平方加三减三没有了， 那这里我们进一步等一下，前面是一方，后面是四分之三一方，也就是十六分之九，十六分之九呢，就是一方加上十六分之九一方，所以根号下面是十六分之二十五一方，开出来其实就是四分之五 e， 那 这个 c e 呢，又等于多少呢？其实又等于 a， 是 吧？所以也就是 a 等于四分之五 e， 那 现在也就知道 e 就 等于五分之四 a 了， 所以这个时候一点的坐标横坐标就是五分之四 a 纵坐标四分之三，再乘五分之四， a 变成了五分之三 a 再减三一点的坐标也有了， 那所以这个 s 三角形 d， b， e 就 等于二分之一。底是 d， b， 再乘以高，高就是 y， e 的 绝对值，是吧？啊？ e 点纵坐标的绝对值，那我们再写一下，就是二分之一乘以 a， 再乘以 y， e 的 绝对值，就是因为一点在第四象限，所以它应该是个相反数吧，乘以括号三减五分之三 a 吧，好发现它就变成一个啊函数了啊，我们来乘进去啊，乘进去之后，二次项是十分之三 a 方 一次项是二，是负的负的十分之三 a 方，一次项是正的二分之三 a， 下一步我们就可以写啊，它是应该是在对称轴数的时候啊，我们在下面写吧，当 a 等于负的二， a 分 之 b 啊，也就等于 呃，负负呢，把 a 约掉了，所以就是五分之三，再分之二分之三，二分之三乘以三分之五，那就是二分之五十。那么整个的 s 三角形有最大，最大是多少？我们要算一下。 呃，这里二分之五就是负，十分之三乘以二分之五的平方是四分之二十五，再加二分之三乘以二分之五，这里我们需要啊，这好像有点难算呀。 呃，那我这算一下，这里十和二十五约个五，剩个二，这里剩个五，所以前面是负的八分之十五，后面是四分之十五，也就是八分之三十，所以这两个一加是八分之十五。 ok， 那 我们需要前面补一下，就是， 呃， a 就是 负的十分之三倍的 a 减二分之五，最后再加上八分之十五。第二问结束，第三问的 e 说 p 是 平面内一点，没有任何限制，四边形 a， c， b， p 是 平行四边形， 我们来看一下啊，这个我们就在左边这个图一上去看，呃，那现在说的是另外三点在哪里啊？其实就在这个 abc 这里啊啊， a c b p 这里。要是平行四边形，我们就需要进行一下分类讨论了，因为 p 没有任何的限制，所以呢，我们现在把这个分类讨论写一下，不用去画图，直接分类讨论。 我们首先要设第三文，我们先要设这个 p 点的横坐标为 m， 纵坐标为 n 吧，然后把 abc 的 坐标肯定要写一下。那分类讨论第一类，那么当 ab 是 对角线的时候， ab 对 角线的时候，这个时候呢，我们就能列一个方程，那就是 ab 的 中点和 c p 的 中点是同一个，我们这里用紫色来表示它，其实最后画出来大概在这种位置，这是又是 p 了是吧？ 哎，它这两个的中点是同一个平行四边形，就是这个紫色的平四。这种情况呢，其实还是 呃，用中点是一个办法，但第二个呢，因为三个点都知道呀，所以我们可以用，也可以用平移的方式去把它给解决了。那这里呢，我就呃用平移的方式吧，这种情况我们可以这样看啊，这个紫色我们就紫色来写， 因为我们要求屁，所以屁点坐标已经基本上就放那了，那我们看它是怎么来的呢？我们看由 a 点变成 c 点是怎么来的？是向右移了一个单位长度，向下移了一个 三个单位长度，是吧？然后呢，我们可以过屁做下面一个垂线，这两个三角形应该是全等，所以屁点就是 b 点向左一个单位长度，向上的三个单位长度。 所以这个时候啊，第一种紫色的屁的坐标啊，我们这里其实前有射的也多余了，射是我为了让大家用这个中点法去写，现在我们看，用这个全等或者是平移的方法去写的话，屁点向左移一个单位，屁的横坐标肯定是三，那纵坐标呢？向上移三个单位就行啊，所以纵坐标还是三。 ok 了， 接下来我们看一下第二个情况。第二个情况有可能这里的啊， ac 是 对角线，是吧？ ac 是 对角线，那这时候我们用绿色来写，如果 ac 是 对角线，那么 p 点应该在什么位置？应该在这样一个位置吧，是吧？在这样一个位置，这就是绿色的 p。 第二个情况， 这个 p 点坐标又怎么写？我们依然是用这样一个，也可以说是全等，也可以说是平移的方法去写啊。因为 ab 是 一条横线，所以这里其实你压根就不需要用这个呃，终点公式去写啊， 我们可以看是不是 ab 是 一个平平行与 x 轴重合的这样一个线，所以 c p 应该也是。那 ab 之间的距离是多少呢？四和负一，它应该是五，所以这个时候 p 点坐标就是 c 点向左走了五个单位长度呀， 所以它是绿色的。 p 是 负五，逗号负三吧。啊， ok， 负五，逗号负三。那么还有没有可能？其实还有啊，还有一种可能就是 ap 对 角线， ap 对 角线，我们就用蓝色来写 ap， 如果是对角线的话，它大概这个图呢，是长成这个样子，这里就是 p。 这种情况下，我们依然用平移的角度来讲，哎，我们把 b 做一个垂线，是不是这里这两个三角形是 是一个全等呀？而且你依然可以用刚刚绿色的这个角度来讲，就是 ab 之间相当于 a 到 b 移了五个单位长度， c 到 p 呢，其实也是五个单位长度，所以第三个类型啊，第三个类型，那就是当 ap 对 角线的时候， 这个时候我们蓝色的 p 的 坐标就是横坐标五，纵坐标负三，我们就把这三个给全部写出来了。 最后一问，那求 a， e 加 c 的 最小值，其实都不用我说，这是一个经典逆等线了是吧？这里的 b， d 和 c， e 相等，然后又让你求的是 a， e 和 c， d 的 最小值。 这种东西呢，我们就需要把它其中一条和另外一条动点重合就行。我们这里选择啊，把下面的 e 呢移到 d 的 这个位置，那同样 c 就 会移到 b 的 这个位置， 怎么移动？哎，这里呢，其实这道题呢，还是相对好做一些的，我们只需要保证啊，那这个 c， e， a 这个角度是和我们移动过去的角度相等就行了。因为现在 d， b 已经在 d， c 已经在 b、 d 的 下方，所以你只能移到上方去。然后这里红蓝加角也这个黄色的角，它大概是个多少度啊？ 七八十度的角吧，那我们也整一个大概七八十度的角就 ok 了，大概就是一个这样的一个感觉吧。呃，我们这里划一下，用黄色的带去划一下，大概就是这样一个感觉吧，是吧。啊，所以我们现在就是把这条 a e 移到了这个啊， d h 的 这种位置吧，当做 d h 的 位置， 然后再看看他第三边，原来的第三边应该是这个 ac 吧，我们把 ac 也要给他移过去，基本上就移到了这种位置。 ok， 那 我们现在看看他有哪些条件可以用。 现在呢？很显然，这两个三角形全等肯定是没问题，然后最终你要求最值最小值呢？其实就是要把这个 h 和 c 连起来，是吧？好，我们先把这个文字性说明写一下啊。第三问的二， 那现在我们异正三角形 bhd 全等于三角形 bhd 的 话，就是 c， 呃， a e 是 吧？所以你要求的 c d 加上 a e 就 等于 c d 加上 d h， 然后两边之合大于第三边，它会大于等于 c h， 所以 把 c h 算出来，就有了这样一个最小值了。 c h 怎么算？肯定要利用前面的条件了。这组全等我们利用的是啥呢？利用的是这个一个角和一个边相等，所以我们依然要利用这个角和边去把 h 的 坐标找到。 这道题之所以它出的好，是因为有一个隐含条件，很多同学都会去忽略了。我们发现 o b 其实和 bc 它都是几， 是不是都是五呀？因为 b 和 a 之间四减负一呢，肯定是五，那 b 和 c 之间呢？三和四呢？不就是五吗？所以说明等腰对等角，那也就是 b a c 等于角 b c a 刚才我们造了全等之后，是不是这个 a c e 这个角对应的应该刚好是绿红加角，也就是这个角呀？所以啊，这道题隐含条件其实什么？其实是这里的两条绿线，它有内错角，相互平行。呀， 那这里有平行，其实你的啊， a 和 c 的 坐标，还有 b 的 坐标都知道，我们依然可以把它当成一个平行四边形，直接把 h 的 坐标找到了， 所以我们现在要找 h 坐标就是，哎，那 d 就是 什么？就是刚才左边这个屁点的紫色度坐标，对不对啊？那这个坐标呢，我们就直接写出来啊。那 h 的 坐标就是呃，横坐标三，纵坐标也是三， 那所以 c h 呢？就等于根号下面 c h 横坐标的差，那么三减三是三的平方，三减零是三，然后再加上这里三减负，三是呃六的平方就等于 呃，整个算出来应该最后答案是多少？应该是一比二比根号五，所以是三倍的根号五，所以说这里的 a、 e 加上 c、 d 的 最小值就等于三倍的根号五。 ok， 关注我，考试再提十分。

木易木易数学荣誉课同大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六万维白卷几何压轴题二十六题第一问，如图一，在等腰值 a、 b， c 中 c a b 九十，所以我们把这个等腰值要画一下， c， a， b 是 个等腰值， 然后接下来 d 是 一个动点，以 a、 d 为边做了一个正方形，我们找一下这个正方形 a、 d 在 这，它就是这样一个正方形，有正方形，它也会有直角。 ok， 接下来看，他问，让你证什么？他让你证明 d， b 等于 f， c， f， c 在 这， d， b 在 这，其实这已经证明完了，对吧？因为这呢，其实可以当做是一个经典手拉手来去解决啊。 啊，那这里呢，蓝蓝相等，红红相等，再加上公共边公共角剪掉之后，两个圈相等，很容易证明这两个三角形全等，所以我们这里写一下吧。啊，证明三角形 c， a、 f 全等于三角形 b、 d。 啊，这个时候呢，就能证明啊，这是 s， a， s 证的全等，所以就能证明这个 d、 b 等于 f c。 第二个说，如图二，在一的条件上，什么叫一的条件？一的条件就是刚刚的等值你还得花， 刚刚的正方形你也得花。 ok， 并且刚刚我们证明的全等，所以 c、 f 和 d、 b 相等依然是成立的。 现在说 af 是 根二倍的 fc， 那 这种比例怎么办？我们就要设了啊，设 fc 为 a， 那 d、 b 也是 a， 那 么 af 就是 根号二倍的 a， 哎，然后他让你写的什么？写的是 af， bc 的 数量关系， 那 bc 在 哪？我们要找一下这个 bc 啊， bc， 我 们用绿色来表示， bc 在 这个位置，然后，哎，你发现啊，它 bc 和 af 本身不在一个三角形里面， 但是因为 a、 f、 e、 d 是 个正方形，所以 af 和 f d 是 有关系的啊，也就是和这条黄色的边是有关系的，它有个根号二倍的关系，所以我们可以把 f d 写成根号二倍的 fa， fa 又是根二 a， 所以 它这里就是二 a， 对 吧？ 那这里你要找 b、 c 和 f d 的 关系呢？看上去这里有直角三角形，对吧？这其实就是旋转手拉手中的第三个结论了，我们看怎么证的这个结论。那当 这两个三角形全等的时候，我们第一问，证的这个 c、 a、 f 和这里的 b、 a、 d， 那 这里就会有对应角向呢，也就是这个角 b， 这个黑色的圈就会等于这个角 f、 c、 a， 那这两个角相等之后，我们就可以用这样一个八字倒角的方式，我们画一下啊， f、 c、 a、 b 啊，这上一个啊，八字倒角的这样一个感觉啊，因为对零角相等， 然后再加上两个圈相等，那这里的角 c、 a、 b 是 一个九十度，那这个 c、 f、 b 就 也是一个九十度，这里你需要证明一下这个角度是九十度，是吧？证明完，那我们现在就找，哎，我们现在又在这个新的啊，三角形，也就是这个二三角形 c、 f、 b 里面去找一下 bc 和 f、 g 的 关系就行了。好，那这里呢，我们发现如果这个角 c、 f、 b 是 直角的话，那这里就是 a， 二 a 和 a 呢？就是三 a a 三 a， 那 所以 f b 就是 多少 a 呢？应该是，呃，应该是根号十 a 吧，这样一个 这样一个感觉啊，所以最终我们现在要得到的是 af 和 bc 的 关系，那啥关系呢啊？第二问啊， af 比上个 bc 就 会等于 af 多少是根号二 a 啊， bc 是 多少是根号十 a， 所以把这里约掉一个根号二，变成根号五，所以呢，这里的呃 b、 c 就 会等于根号五倍的 a、 f， 这就是我们的一个关系。 我们看第三问啊，第三问说如图三，再等值，我们看一下这个等值，那还是这个等值 a、 b、 c， 我 们把它划一下， 然后又来一个等值， a、 d， f， a、 d， f， ok， 我 们画好了，这里其实就有一个红色的等值和一个蓝色的等值，在这里我们知道它仍然是存在着类似于手拉手全等的东西啊。那接着就可以知道 f、 c 和 d、 b 还是相等的。目前 接着他又说 c， a， b 等于 f a， d， c， a， b 等于 f， a， d 等于九十，那其实还是在说这两个等值的事啊。 然后连接之后呢，当 af 等于三个 fc 的 时候，我们依然需要设设 fc 为 a， 那 b， d 就是 a， 然后呢，这里的 af 就是 三 a， 所以 我们可以算出 ac 是 呃，这是， 这是应该还是一个直角，这里我们就呃直接把这个结论写出来，一比三比根号十，所以 af 应该是根号十 a 啊，为什么？因为这里说了 af 和 fc 还垂直呢，这里还垂直呢？ 然后这里是根号十，那么 a、 d 就是 根号哦， a， d， a、 d 应该是三 a 啊，这是啥意思？ a、 d 是 三 a， 那 所以 f、 d 就是 多少？应该是呃，三倍的根号二 a， 然后 ab 也是根号十 a， c， b 也是根号十，再乘以根号二，应该是根号二十二 b 的 根号五 a， 我 们把目前的就都标出来了，但他问的是什么？他问的是 a c 和 b f 的 关系，那最终我们还是要求一个这样一个新的线段，也就是这个 b f， 这个怎么求呢？其实到这你应该看看前两问里都干了啥，前两问里面都有一个正方形，有一个正方形，对吧？ 所以第三问，它变成等值了，又告诉你这个 c f a 还是垂直，你怎么办？你先把正方形给补出来呀。 正方形就是把 f c 延长，然后呃，再把这里的这个 b d 延长， b d 延长取过去，这里就会是直角，那这个点呢？我们叫做什么？呃，就叫做 e 吧。出题人一般都很善意的，这边缺个 e 就 补上。 然后呢，刚才因为这个 fca 和这里的 dba 全等，所以这里的角的也是九十度，总之这是个什么形？这就是一个正方形，先是矩形，再变成正方形，它等值了一半。 那接下来我们就要看这个东西是不是又出现一个，哎，我们这样一个直角三角形啊，那就是 e b f 呀， g b f 这里呢？我们再看看有哪些没有标，对吧？刚才已经标过了，这里的 e f a d 正方形的边是三 a， 所以 这边是三 a， 那 么整个 f e 也是三 a， 所以 c e 是 二 a 吧，这都无所谓的。那我们就能把哎，现在要的这个 f b 的 长度求一下，那就是，呃，一边是三 a， 另外一边是几 a？ 三 a 加四 a 是 五 a， 对 吧？这个我们就三四五个固定里算出来， b f 是 五 a， 那 最终 a c 和 b f 的 关系， ac 是 呃，根号十 a， 然后 b f 又是五 a， 我 们就找到了，对吧？第三问， a c 比上个 b f a c， 这里是根号十 a b f， 这里是五 a， 所以 这里把 a 约掉，再把这个呃交叉相乘一下啊，五倍的 a c 等于根号十倍的 b f 啊，那这个 这我们就可以去不用化解了，直接把这个写上，其实答案也是对的啊，当然你也可以写成是 a c 等于五分之根号十倍的 b f。 结束关注我考试再提十分。

木易木易，数学容易，各位同大家好，我是梅老师，今天给大家带来二零二六万维黑卷函数压轴体，而其体如图。一、抛物线 分别与 x 轴交于 a、 b 两点， b 之道与 y 轴交于 c 零四、 d 是 抛物线对称轴上的一个动点，以 d 为直角顶点做了一个 r， t 直角等腰。第一问，求表达式，我们这里直接写答案， 呃，这里的表达式是， y 等于负二分之一， x 方再加上 x 再加四。 那所以呢，我们顺手把 a 点的坐标求一下 a 点的坐标，当 y 等于零带进去， a 点的坐标应该求出来是负二，逗号零。这里要用第二问说点 e 在 d 点的下方的时候， 第一个情况， a， e 如果平行于 y 轴，那这个情况我们把图画一下啊， a， e 如果平行于 y 轴，那就说明啥？ a、 e 两点的横坐标一样。刚刚我们求过了， a 点是负二到零，那么 e 点就是负二 纵坐标，怎么算？这里我们看到啊，它平行之后，其实就说明啊，这里的 a 啊，这个当做 h 吧， a， h， d 和下面的 e、 m， d 它是一组全等的等值，对吧？所以 d 点这会的坐标我们可以去先求一下 d 点的横坐标是 e， 为什么？因为我们算下对称轴，对称轴是 y 等于啊，对称轴应该是 x 等于 负二， a 分 之 b 算出来就是一呗，所以 d 点它在对称轴上，横坐标就是一，纵坐标多少呢？我们刚说了 a、 h、 d 是 等值呀，那么 h 这里应该是一零吧，它是对称轴与 x 轴交点。 所以这里呢？第一问，我还是划清楚一点啊，这里的 a、 h 和 h、 d 相等都是几呢？都是三吧，是吧？右减左一点，负二是三，那所以 d 点的纵轴不就是负三？那同样的道理，下面这个 e， m 和 dm 其实也都是三呀。这里是，呃，这里是， 呃，三啊，那么这里 e m 也是三，所以得到 e 点的坐标应该是横坐标负二，纵坐标应该是负六，对吧？好，我们现在要算面积，我们在这里第二文也简单写一下吧。啊， s 三角形 a d e 啊，第二文的 e 就 等于二分之一 底乘以高呢，就是 a e 再乘以，呃，这应该是 a 到 d 的 横坐标的差的绝对值，对吧？ 那就是 y x d 啊， x d 减 x a 的 绝对值，这时候算出来就是底是多少？ a e 的 长度是上减下应该是六，二分之一乘以六，再乘以横坐标的差呢？就是三呗。最终答案算出来是九，这是第二个。第一个， 第二个说，若 d 的 纵坐标为负五，在第二个图里面，横坐标是一是确定的，然后纵坐标又是负五， 然后 a 点呢，是负负二，逗号零。现在说让你在图二中画出这个三角形， 这里要注意一下，因为他已经说了 d 是 直角顶点，而且还限制溢在 d 的 下方，所以这个时候他的图呢，就一种情况，那就是在 d 为直角顶点画这么一个等值，大概长这个样子啊，把这个三角形画出来， 画出来之后另外两个点都知道，那么这个 e 点的坐标，我们就可以用一线三垂直的方法来去解决啊。我们把 a o， 呃，这个应该是 a h 啊，这个点当做 h 吧， h 啊，然后下面这个点叫做 m a h， 它对应的其实就是这里的啊，这里的 dm， 对 吧？ dm， 然后另外一边这个 h、 d， 它应该对应的是这个 e、 m， 我 们就造出了这样一个三垂直，有三垂直，我们就同步一下信息， 那么 a、 h 的 距离是多少？是一减负二是三吧，和第一问一样，它是五，所以 dm 也是三， em 也是五。 那综上我们就可以看出，横坐标这里千万容易错，不要写成五了。因为啊，这条线是对称，只有 x 等于一，所以说一减几等于五呢？一减负四等于五，所以横坐标是负四，纵坐标呢，五加三等于八，又是负的，所以纵坐标是负八。 所以这里呢，我们求出一点坐标，就是负四，都好负八了。现在说判断 e 是 否在抛物线，我们就把负四带进去，看 y 是 不是负八就行， y 就 等于负二分之一乘以负四的平方，再减四，再加四，后面没有了四，四十六乘以负二，确实是负八，是吧？所以是在这个抛物线上的。第二问，我们就没有写这个过程啊，我们今天重点讲解第三问。 第三个说，如果 e 还在 d 的 下方， f 是 一个动点，然后满足这样两个角相等，让你算 ef 的 最小值，算动线段的最小值。我们必须要搞清楚谁定谁动。我们先看看 e 和 f 分 别是怎么玩的。 e 点其实非常好确定啊，因为 e 点它是怎么来的，它是根据这个等值来的。我们画一下啊，它是根据这个 e、 d， a 这个等值来的，它始终是个等值，所以它是随着 d 的 运动而运动的。那这种问题呢，我们就简单称之为是瓜豆主从联动的问题了啊。但这个问题呢，我不想按照答案这么去讲，帮大家去确定一点是在一个什么情况去动的， 怎么确定呢？我们就看啊，当 d 在 e 的 上方的时候，我们只需要找两个特殊点就可以确定它的这个轨迹了。比如说我们把这个 d 点当成是我们刚才所谓的这个 h 点啊，那就是红色的 d 吧。我们这样写一下 这道题，我们把图稍微放大一下，这里是四十五度， d 在 这的时候，那么 e 就 在这，对吧？这是啊，符合要求的 d 在 e 的 上方，又是这样一个等值，然后呢，我们再去画一个就 ok 了，我们再去找一个，比如说找个什么点呢？随便找一个，但是我这里还想找一个特殊点，因为， 呃，最后你还是要划算出这个 e 点轨迹轨迹的这个直线呢，所以我们不妨让这个地点就跑到 e 的 这个位置看这个蓝色的 d 啊，叫做蓝色的 d， 那 蓝色的 d 长成这样的话，那是不是就说明他们的这个呃，直角边 a d 就 跑到这了， 那么 g， 呃， e 就 大概在大概是这么一个位置吧，这里是一个蓝色的三垂直，就其实就是图一的情况啊，这个这个时候蓝色的 e a， e 是 和这个外轴平行的，找了这么两个点其实就足够了， 为什么？因为我们知道这两个等值它永远都相似，这个不管是红色的 a d， e 还是蓝色 a， d， e 永远都相似， 所以发现 d 是 外轴上的一个动点的时候， d 在 外轴上动，我们把外轴描述成黑色，这是 d 点的轨迹，那么 e 点的轨迹都就会在哪里，就会在他且这两次的 e， 红色的 e 和蓝色的 e 之间的这个连线上，他就在这样一条线上去动 啊，主动点在直线呢，这个从动点也是直线，为什么？因为这两个三角形始终相似。我这里标一下啊，这两个三角形始终相似，所以我们还知道了这个直线，这里应该是个四十五度，所以他的这个倾斜角也是四十五度，斜率是一， 我们其实这个直线是很好算出来的，我们这里就顺便算一下吧，这顺便算一下，呃，这道题呢，我们就把图放在次放小一下，把这个内容要去算一下它的轨迹到底是怎么样一个直线啊？我们可以在这里写过程的话，你就主要写这么几点，我大概写一下， 你需要啊，先证明三角形啊，这个 a、 d、 e 和和三角形 相似于三角形，我就用这个蓝色的 a、 d、 e 来代表了，大家可以换字母啊，这里为让大家写看得更清楚，这两个相似，那所以我们就可以写一句话，那就是当呃 d 在 这个 x 等于一上运动时， 然后那个 e 点它的运动轨迹， e 点就在呃一个这样的直线上运动， e 在 蓝色直线，我们就当成是当成什么，当成直线 l 吧， e 在 l 上运动， 对吧？然后我们刚才为什么找这两个特殊点？因为这两个特殊点我们可以算出来，要算这个直线，我们就必要知道这个直线的斜率是多少。要知道直线的斜率啊，你可能需要两个点，我们现在呢，其实能看出来它的斜率四十五度，它其实就是一个 y 等于 x 剪辑了这么一个方程，但是我们现在要假装不知道，要写一下 这个点的坐标，紫色这个点的 d 还是 e， 无所谓啊，当做 h 吧。这个点的这个 h 点呢？它是多少？横着三，下面三，所以它是负一负三呀。 然后呢，这个点另外一个，这个 m 啊，这个点，这个点，其实就是哪个点？就是第一个点里面的 e 吧，是吧？这是多少？负二负六吧。所以我们可以这里写出 l 的 解析式， l 的 解析式，我们这两个点代入，你可以算一下，我们已经算出来了，就是 y 等于 x 减四。 好，这是我们 e 点的一个轨迹，它就在这样一个蓝色的线上运动，现在我们来再看 f， 我 们接着把它放大。 f， 它是定点动点呢，我们并不知道，但是我们这里只知道一个条件，就是，哎，这个 f o b 啊， f o b 就是 这个角啊， 啊，这个角画了绿色点，这个角和 f c o 是 相等的，那这个 f c o 没什么特点，但是 f o b 有 特点啊，它自己旁边还有一个和它互余的绿色的叉呢。 发现如果这个绿色的点和绿色叉是互余，那么发现这个角 f c o 就是 一个直角了， f c 是 直角，然后这个 co 的 长度又是几？ c 点是四，所以长度又是四，这叫什么？定， 定角定边，引元是吧？定角定边其实和去年考的那个定角定边是一模一样的。这道题呢，它其实模仿的非常好啊，我们就知道 f 是 在什么样的地方运动呢？ f 是 在啊，以 c o 的 中点，我们就把它标成绿色吧。 呃，这个黑点黑色啊，这个点叫做，呃，叫什么？叫做 n 点吧，这个 n 点是多少？应该是零逗号二吧，是吧？它是以这个点为圆心，以 o c 为直径啊，这样一个圆上运动，这是 f 的 轨迹啊， 啊，我们先帮大家去把这个圆画出来，然后把它给拿过来啊， ok， 现在我们就把 f 和啊，把这个 f 和我们的 呃，这个 e 点的这两个点的轨迹都找到了啊，当然这发现啊，这个点，哎，这个画不好哎，它是大概这样一个圆啊，这个圆有点大，我们把它删掉重新画一个啊，它是在这样一个圆上去运动的， 这两个轨迹都找到之后，其实这道题呢就非常简单了，我们先把原字给他画出来。 ok， 现在发现有引元出现，引元的轨迹怎么确定？你首先要一箭穿，一箭穿心吧，一箭穿心把圆心和我们的动点连起来， 然后知道半径是几，半径就是，呃，半径应该是二吧，是吧？所以现在要求 f e 的 最值只需要一箭穿心，那么 e 点在哪里的时候 f e 能最小呢？ 那很简单了， e 点刚好是过圆心做垂线的时候，是不是我们这里用黄色来表示一下啊？黄色来表示一下，呃， ok， 稍等，我们把这画一下， 过了圆心做一点轨迹的垂线段。哎，那这个时候我们的所谓的一点其实就是这个位置， 那这个时候呢？ f 又恰好在三点共线的位置，它是最小的，但是我们写的时候我不建议这么写， 你是可以去这么写的啊，我们要求的是这条蓝色的最值，但是我们知道这条红色是二，这条黄色如果算出来呢，用两边三边关系就能把它的最值求出来啊，我们在这里尝试去求一下吧，直接在这里求吧， 因为这里是等值，所以我们画出来这个黄色呀，啊，他这个黄色的直角三角形啊，他依然是个等值， 那这个等值我们就要算一下这个直角边是多少。要算直角边，我们还得需要先要知道这一条蓝色的轨迹啊，也就是我们的一点的 这个轨迹，它与 y 轴的交点在哪里？是刚才方程已经写了，所以 y 轴交点是零逗号负四，是吧？这个点是什么已经无所谓了啊，所以我们现在其实已经知道了整个的这个圆心 n 到下面的这个点，这一段距离是多少，上面是这个圆形是零二零二减去零负四，那么这个距离是六，所以在这个黄色的等值里面， 他的直角边就是多少，就是三倍根号二吧，是吧？最终那这个蓝色最值是多少？其实就是两边之差小于第三边，第三边的长度是三倍根号二减二。 ok， 我 们在左边的把大家的这个过程要稍微的再给大家补一下啊。 道题呢，其实我认为啊，讲到这里，我觉得他出的还是蛮好的，比较模仿去年的中考真题，但是呢，他在模仿当中又有一些创新。我们这里接着与我们思路啊，刚才我们是先把一点的轨迹找到了， 现在呢，我们需要找这个圆的轨迹，就是 f 点的轨迹啊，那么 e 正 e 正 f 在 以 n 零二为圆心， 以半径为二的圆上运动啊，所以我们画出来了，那所以呢，我们就知道最终就是应该在这样一个三角形，也就是呃，这个 n e f 当中啊，在三角形 n e f 中，当然中间，其实这个过程呢，你可以省略的去写一下啊，写一下，在这个三角形里面，那么我们的 ef 两边之差是小于三边的，它一定会大于等于另外两边之差，也就是这个 n e 减去 n f， 是 吧？ n e 又怎么算出来的？又因为三角形 这个 n e 下面这个叫做，呃， g 吧， n e g 中，那么 n g 就 等于，应该是等于六吧，是吧？是二减负四等于六，所以说 m e 是 等于三倍的根号二的，这是等值的一个，除以根号二就行。 所以最终呢， e f 的 最小值，那么就等于 m e 减去 m f n f， 这应该是 m e 减去 n f， 哎，不对，应该是什么？应该是 n e 啊，这写错了，应该是 n e 啊，这不要写错了，大家看错了， n e 减去 n f n e 减去 n f， 最终的答案就是三倍根号二，再减去半径二。 ok， 关注我，考试再提十分。

木易木易，数学容易，各位同大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六万维黑卷几何压轴题。二十六题模型建立如图，在正方形当中， e、 f 分 别是点，然后 a， e 垂直于 e， f， a e 垂直于 f， a， e 垂直于 f， a， e 垂直于 f。 又告诉你 m， n 是 两个动点， a， m 和 b n 相等，我们需要把这两组相等的去画一下， a， m 在 这， b， n 在 这第二个图里面仍然有 a， m 和 b， n 相等。第三个图有 a， m 和 b n 相等。 ok， 读题第一问， 如图一，当 m n 在 线段 b f 上时，让你猜想 b， m 和 c n 的 关系。我们先看一下这两个线段是哪两个？让你猜想的是，这个 b， m 在 这啊， c， n 在 这里。 那第一个呢？其实特别好做啊，看到有垂直呢，就一定会有这里的互余倒角，这个如果是圈，那么这里因为垂直所以圈差互余，所以下面这个角 n， m， n， b， c 他 也是一个圈，对吧？这个时候要注意一下后面这个 n， 这里可没说垂直，你没有办法说， 但是我们现在其实这两个的关系，是啊，这是相等呗，是吧，所以他的数量关系是相等 啊，怎么正的呢？我们认为是在正方形里面，所以可以把正方形的这个边也画一下， ab 是 等于这里 bc 的 蓝蓝相等，红红相等，再加上圈圈两个锐角相等，所以这里有这个 s， a s 或者你可以叫做 h l 都有 p 的 啊，这里是我们政权等之后相等。 第二个还有位置关系，位置关系，它俩能啥位置关系呢？肯定也是垂直了，对吧？因为全等之后，我们就可以把这个角 b， c， n 也标成叉，然后 b n， c 也是直角了，垂直了。那所以呢，这两个，呃， b n 和 c n 之间的关系呢？ 就是 b m 和 c 垂直， ok， 结束。第二问，当 m 在 a e 的 延长线上的时候，其实这种问题都一模一样，是吧？结论仍然成立吗？肯定成立啊，啥？啥理由？我们现在继续把正方形的边 e 标就好了， ab 和这个 bc 是 相等的， 然后依然会有我们刚标的这个小角和这个小角是相等，对吧？所以我们依然会证明全等，证明全等之后，那它让你证的这个结论也就是 b m 和 c n 自然就相等了。这两个三角形全等 啊，那么他们的位置关系也依然是垂直啊。这个具体的我们就不再去赘述了啊，其实也很简单。第三问，模型迁移。说当 m a n 共线的时候，如果给你个比例有比例呢？我们记得要设啊， cf 是 三分之一 dc， dc 谁？ dc 是 边长呀？ 所以 cf 是 a 的 话，那么整个边长都是多少？三 a？ 三 a 和三 a 再加上三 a， 是 吧？ a， 这里还要注意一点， 因为我们这里有一个垂直，也就是 a n 和 b f 是 垂直的，有垂直的再加上一条边。我们正方形当中，实在模型不就是这个 ab 等于 bc 之后再加上 啊，这里有这个互岛余角吗？这也就是圈吗？这里是圈呢？这里是叉，这里还是圈？所以啊，其实任何正方形里面中间有一条垂直的线，它都有圈呢，哪个圈呢？这个 c n 和 b e 是 相等， 并且啊，那这里的这条，呃，我们画个别的颜色，黄色 a， e， e 和这条 b f 他 天然就相等的啊，这里有一组全等啊，我们是要知道的啊，我们把这整完了， 整完之后再看他现在问的什么情况，他现在却问的是这个 am 和 am 和这个 bn， 我 们知道他是相等，是题目条件啊，然后他现在问的是 am 和这个 bm 这样的关系， bm 我 们有个绿色来表示和这个绿色的边之间的关系， 哎，这里怎么搞呢？我们就要看一下他给的条件到底什么意思了，条件只有一个，一比三。那一比三这是啥呢？我们发现 c f 刚才正完那个十字架全等之后，就和 b e 是 一样的，他也是 a 了， 那这两个是 a， 然后他又找的是 a m 和 b n 的 关系，我们发现 a n b 这里是不是也有个直角，哎，所以两个直角，我们把这个图呢在旁边给大家重新画一下啊，两个直角，这叫什么呀？一二三再加一个这样东西， 哎，有两个直角，这里有直角，这里有直角。你还知道这里是 a， 这里是三 a， 他 一比三知道，那这个题就简单了，因为我们这发现就叫做反 a 相似了， 所以对大正方形来说，那么短值比上长值是一比三，那对于小正方形来说，如果设个 b 的 话，这个是 b， 那 么这条短值，而长值就是三 b， 对 吧？ 然后还有没有条件，还有的，因为这里的 a m 和 b n 还有一个题目中的条件我们就能做了啊。这第三问，我简单给大家在左边写一下过程啊，这第三问写到这里， 我们可以证明啊，这个三角形 a b e 啊，三角形 a b e 全等于三角形，应该是 b e b c f b c f b c f 这两个全都有啥用？所以啊，你的 b e 是 等于 f c 等于三分之一 ab 的， 他俩一比三已经有了，那么我们还可以证明这一个三角形 a， b、 n 相似于三角形 a e， b， 是 吧啊？ a b n 相似于 a e b 这两个相似之后呢，他们就有相似比了，相似比就是 b n 比上短值和长值呢？ b n 比上 a n 就 等于右边的 b e 比上个 ab， 是 吧？都等于一比三。那这个时候怎么办？我们就可以设 b n 了吧，因为最后要求这个 b b n 和 a n 还有 b n 和 am 还有 b m 的 关系吧，是吧？因为你的 am 就是 b n， 所以 我们就不妨就设啊，设这个 b n 为 a， 是 吧？为 a， 所以 这个 am 也等于 b n 也等于 a， 这是题目条件 差，两都等于 a 之后，那这个 f a n 是 多少呀？ a n 是 不是就等于三 a 啊？因为它是一比三的关系啊。当然，这个我题目中的 a 这里写成 a 也是无所谓啊，这题目中是只是一个表示， a n 等于三 a， 那 么 m n 就 等于多少？是等于二三 a 减 a 等于二 a 了吧。哎，现在发现问题没有？我们把这个画一下，就在这个绿色的三角形里面。我现在画这个绿色三角形啊，这个三角形刚好是这样一个情况， bm 我 们不知道，但是 m n 是 二 a， 那 这个 b n 是 a， 我 们这里注意看黑色的啊。哎，是不是我们就求出来， b m 其实就根号五 a 了。哦，那我最后的关系其实就找到了，他俩是根号五倍的关系啊。 好，我们现在接着写啊。呃，这里知道这个关系之后，所以我们就知道这里 b m 就 等于根号五 a 了，是我们勾股算出来的。 最终 b m 和 a n 之间啥关系？我们就可以用 b m 比上个 am 就 等于根号五 a 比上个 a 等于多少根号五，也就是说它们之间关系是 b m 等于根号五倍的 am。 结束关注我，考试再提十分。

木易木易数学荣誉，各位同好，我是米老师，今天给大家带来二零二六九拳按摩几何压轴题。二十六题，模型建立在 r、 t 三角形 abc 和 r、 t 三角形 a、 d、 e 当中， d 是 b， c、 d， a、 e 都等于九十度， 又告诉你 ab 等于 ac， ad 等于 ae。 我 们把这些呢，在图上去反映出来，就会发现这些条件，就告诉你的是 bda 和 c、 e， a 全等。 既然有全等，我们就需要把 b、 d 和 c、 e 是 同一个边反应出来。看看题目问你什么问的是用等式直接写出 c、 d、 b、 d 和 a、 d 的 关系， c、 d 在 这，然后 b、 d 又是 ec， 然后呢， a、 d 是 谁呢？ a、 d 七十，他的根号二倍就是 d、 e， 所以 这里呢，就告诉你一个勾股的关系是吧。我们第一问呢，就很简单，直接写答案， 这里的数量关系就是 c、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方等于二倍， a、 d 的 平方。为什么是二倍？因为 b、 d、 e 就是 根号二 b 的 a、 d， 它的平方就是二倍 a、 d 方。第二问，在三角形 a、 b、 c 中， c、 a、 b 是 九十度，标注一下，又告诉你 ab 等于 ac， 同样也标注出来。这两边呢，我们标成红色啊， ab 等于 ac， 又告诉你一个四十五度 eaf 这种模型呢，叫做什么？叫做半角模型啊，中间一个角是四十五度，边上两个圈和叉加起来也是四十五度，我们只需要把其中一边旋转到另外一边， 这里呢，我们选择把 a、 e 逆时针旋转九十度，他就会到，大概在这样一个位置啊，这个我们就叫做一撇吧，现在我们只需要连接一撇 c， 发现它又有全等了，其实就是这里的 a、 c 一 撇和 a、 b、 e， 也就是第一问当中有的这个全等， 有了这个全等之后呢，我们看看还能知道什么？因为刚才已经说了，半角模型的核心就是圈叉四十五，所以把圈旋转到这里，所以这个一撇 a、 f 也是四十五，两个四十五就会有新的全等。 我们这里还是写一下吧，三角形 a、 e、 f 会全等于三角形 a、 e 撇 f， 那 既然有全等，第三边我们就需要标注 e、 f 这条边，就是 e、 f 这条边。现在看题目问你什么 问的是 e、 f， 也就是这个 e f， e、 f 呢？就是这个 e 撇 c 和 c、 f 的 关系啊。这里啊，其实又构成一个什么？又构成一个直角三角形呀，所以它们的关系还是勾股的关系哦， e、 f 的 方就等于 b e 的 方，加上 c、 f 的 方， 前两问都还比较简单。第三问，模型迁移在三角形 a、 b、 c 当中， c a b c 直角 a b c 四十五，所以这是一个什么？等腰直角三角形，我们依然需要把 ab 和 ac 都进行一个相等的标注。接下来他问你，平面内一点 c、 d 垂直于 b d， 既然 c、 d 垂直于 b、 d， 那 么这个垂足就是 d d 呢？有几种答案，其实这里有四种， 我们简单看一下，如果他出现在 b 点左边了，他大概这个图长这样，长这样之后，后面一个条件说 a、 d 是 四倍根号二，然后 c、 d 是 二，你发现他是不可能的，因为 c、 d 明显要长一些， 所以我们退回去啊， d 点在 b 点的下方行不行呢？其实也不行，因为他仍然存在一个问题啊，我们开始给大家去简单画一下，如果他出现在这里， 哎，这个角是 d 点的话啊，这个点是 d 点，那么 a、 d 和 c、 d 很 显然还是这个 a、 d 和 c、 d 的 长度呢，你没有办法去确定，对吧？ 那不如呢，我们就把它放到这个 c 点呃的下方，也就是不要把它的这个垂足呢， b、 d 放到左边了，把它放到右边可能会去更合适一些啊，因为明显 c、 d 是 比 ad 要短的啊，我们看放成这样，大概就是呃，这样一个图形啊， c、 d， 哎，垂直于 b、 d， 我 们把 b、 d 也标一下，这样呢，我们把图画出来，再把 ad 去连上， 哎，这里好像符合要求了哎， a、 d 是 四倍根号二， c、 d 是 二，这里符合要求之后，看他求什么，他求 abc 的 面积，也就是这个等腰直角三角形的一个面积，等腰直角三角形直到其中一条边就能把它面积求出来， 所以我们现在要看看怎么去求这个面积啊。前两问都进行了旋转，我们看到这个 a、 d、 c， 我 如果把它顺时针旋转九十度，那么就只需要把 a、 d 旋转九十度， 这里呢，大概就旋转成了一个这个样子啊，这样子，我们把这个点呢当做一个 d 撇吧， d 撇， ok， 我 们接着需要用这个紫色去连接一下 d 撇 b， 发现这个 a、 d 撇 b 和 a、 c、 d 这个三角形依然是全等的，所以这里 d 撇 b 的 长度就是这个 c、 d 的 长度就是二。 又因为 a、 d 撇 d 是 一个等腰值， a、 d 是 四倍根号二，所以这里的 d 撇 d 就是 四倍根号二，乘以根号二就是八， 那我们就会得到 b、 d 的 长度，哎， b、 d 的 长度是几？ b 的 长度就是六了。所以在这个绿色三角形 b、 d、 c 当中，两直角边知道算斜边， c、 d 的 平方就等于呃， c、 b 的 平方， c、 b 的 平方就等于 c、 d 的 方加上 b、 d 的 方，所以我们口算一下， c、 b 就 等于根号，下面二方加六方是根号四十二倍，根号十， 所以 a、 b 等于 a、 c 就 会等于二倍，根号五除以根号二就行。那么 s 三角形 a、 b、 c 就 等于二分之一， a、 b 乘以二分之一。最终答案一个多少？应该是十，对吧？ 再算一下啊，看看还有没有另外一种可能性，因为我们刚才算了，在 b 点的左右两边啊，或者是上下两边呢，它都是感觉好像这个 c、 d 的 长度会比 a、 d 巨长。 那么另外一种情况呢，其实就是把 d 点放到 c 点的上方，我们依然先把这个 abc 给你的条件画出来啊。 abc 它是一个等腰直角三角形， 标注一下， a 点在这， b 点在这， c 点在这，有九十有四十五。刚刚我们就说了， d 点在下方有可能，上方也有可能呀，所以这个时候呢，大概图画出来应该是一个，呃，这样一个感觉啊， 我们把另外一边移画，哎，好了，这里的直角在这 d 点就在这里，依然去连接一下 a、 d， a、 d 是 四倍，根号二， c、 d 是 二， 他怎么做呢？我们依然会使用旋转的方法，把 a、 d 顺时针旋转九十度，大概回到这里去。这个点我们叫做 d 撇吧， d 撇。 所以呢，你又拥有了红色和蓝色两个等腰值，那就会有全等 dc， 就 会等于这里的 d 撇 b 吧，是吧？这两个紫色的就会相等，我们换一下， ok， 他 就是几，他就是二，又因为 a、 d、 d 撇他是一个等腰值，所以这里 d、 d 撇就是四倍，根号二的根号二倍就是八。 那最终呢？我们在这样一个直角三角形里面，也就是 b、 d、 c 里面，能够把 b、 c 去算出来，是吧？我们知道 b、 c 的 方就等于 b、 d 的 方，加上 c、 d 的 方，这种情况下 c、 d 还是二，所以右边是四，那么 b、 d 就 变成几了。二加八等于十了十的平方了， 他俩加起来应该是一百零四，所以 bc 就 等于根号一百零四，那么算一下就是二倍根号二十六，是吧？二倍根号二十六， 那么这里的 ab 就 等于 ac， 就 等于二倍根号二十六，除以根号二二倍，根号十三，所以这个时候三角形 abc 的 面积就等于 还是二分之一。 ab 乘以 a、 c， 那 么这个时候又变成二分之一乘以二倍根号十三，再乘以二倍根号十三，所以算下来答案应该是二十六。 最终呢，这里的面积就有两个答案，一个是十，一个是二十六。结束关注我考试再提十分。

来，同学们，大家这一节课一定要聚精会神听魏老师给咱们讲咱们今天讲亚洲题的倒数第二道题，也就是咱们的模型建立问题。 那么其实这样类型的题其实并不难搞的无非就是矩形、正方形、菱形以及平行四边形这些知识点。 所以说同学们，把耳朵，把脑子，把你的手全部调动起来，对吧？跟着魏老师来听这一道题，这是咱们二零二五年的高中那个中考原题，所以说同学们请务必认真听下去。 咱们来读题， a、 b、 c、 d 是 正方形， e 是 一个动点三角形， e， f， g 是 一个直角三角形，也就是说 g 是 一个直角，对不对？同学们，他一直是肯定是个直角， 那么他又告诉你， e、 g 等于 a， f， e， j 是 这个，这个边等于 e， f， e， f 是 这个边。那么 j 在 cd 的 延长线上，如同以当 d e 与 d a 重合， d， n， b， f 在 bc 上是求 b， f 和 d j 的 数量关系， 求 b 那 个 d， b、 f 和 d j 的 数量关系。那么同学们来观察题目中告诉了你一个条件 是，角 g、 f 是 垂直的，也就是这个角是垂直的。要告诉你这个边等于这个边。第一文你绝对是要证明三角形全等的， 因为你只有通过证明三角形全等，你才能得出 g、 d 和 b、 f 的 某种关系。那么同学们来看第一文其实有两种方法，第一种叫角角边， 因为我们知道了一个角，知道了一个边，然后这个角是肯定是他是个垂直角， 对吧？同学们，那么我还需要知道一个角或者一个边。那么同学们来看， 我给这个角标上一个角一，给这个角标上个角二，那么给这个角标上一个角三，角一和角二一定是相等的。同学们，因为什么呢？你看，角一加角三等于九十度， 角二加角三等于九十度，对吧？同学们，那么角一跟角三等于九十度，对吧？同学们，那么角一跟角三等于角二， 明白吧？同学们，这就是咱们第一问，其实已经出来了，来，同学们来看，我们把第一问的条件来列一下。首先咱们知道的，呃，这个 e、 j 等于啥？ e、 f 这是一条边，那么还不还知道角 e 等于角二， 咱们还知道啥？咱们还知道 a、 d 是 等于 ab 的， 因为题目中明确告诉你，它是一个正方形， s， a， s 证明全证，那肯定 g、 d 等于 b、 f 着呢，对吧？同学们？而第二种证明方法叫角角变， 哪个角角变呢？你看，同学们来，角 b 等于角 a， d、 j， 然后角二等于角 e， 然后 e、 f 等于 e、 g 这个角角角比两个两种方法证明相等，同学们，明白吧？这就是第一问，非常的简单 啊。那么咱们接着来看第二问，如图二，当 d、 e 与 d、 n、 a 不 重合， d、 n、 e 为正方形， d、 f 在 正方形内铺数， e、 f 的 延长线与 b、 a 的 延长线交于 d、 n、 p， 如果 e、 f 等于 e， f 等于 e、 p， 这个边也晓得了。同学们，你要正 a、 e 跟 d、 j 的 数量关系很简单。第二问一定还是在证明全等啊！同学们，对吧？第二问一定还是在证明全等呀！我给这个角标上个角一，我给这个角标上个角二，我给这个角标上个角三。 如果此为明解的同学一定能发现，一定能发现角一和角三绝对相等，因为题目中明确告诉你，角 g e f 一定是直角，角 g e f 是 个直角，那么同学们，角一加上一个角二是不是等于九十度， 合适吧？那么角二加上一个角三， 角二加上一个角三是不是还等于九十度啊？同学们，那么我们根据这两个条件，是不是就能推出啥？角一等于九三， 那么角一和角三相等了？哎，同学们，你再来看，你题目中明确告诉你 e f 等于 e p， 但是我的题干中又告诉你， e f 等于 z e， 所以 我是不是还能得出一个条件，叫啥 e p 等于 e j 啊？ 我已经知道一个角根一个边了，同学们，对吧？依然还是角，角边呀！同学们， 来，我们这是角，这是一个角，这是一个边，那么还需要一个角对着吗？同学们，还需要一个角，那就是什么？那就是角。同学们来看，那直接很明确呀，那就是这个直角 和这个直角呀，角角边，它俩三角形全等呀，对吧？同学们，那么还有一个叫啥呢？角 j d e 和角 e a p， 它两个肯定是相等的。第二问，依然证明三角形全等，同学们，能明白吧？ 好，这么有啥问题吧？咱们接着来看第三个。第三个，同学们常常会说，难的很，难的很，实际上你仔细的分析，同学们，并不难。好吧，并不难，你还是不用心去弄。咱们就说个最实在的话， 为老师先把这擦掉，然后咱们给大家把这个第三个讲一下。那么大家先来读一下题目，看题目中说的啥东西。 大家先来读一下题， 第三，我跟你说，在第二的条件下，同学们，这东西很重要。在二的条件下，连接了一个 b f， 写出 b f 和 f j 的 和 d j 的 关系时， 同学们来看， b f 在 这里， d j 在 这里，这好像八杆子差不多，但是呢，给你提，明确体现来说是在 r 的 条件下，而咱们证明了个啥？而咱们不就证明了一个 a e 等于 d j 吗？同学们，那么要求 d j， 要求 b f 和 d j 的 关系，那么是不是只有求 b f 跟 i e 的 关系啊？ 对吧？同学们，这就是前面这一句话的作用，不是说是让你在儿的条什么条件，你儿证明了个啥，就是在啥条件下，对吧？同学们， 好，咱们来分析一下，有很多同学上来一拿，上这个题一瞅，如果能分析到 a e 跟 b f 一 看，哦，那 a e b f， 那 一看，这是 pa e 或 p e p f b 相相似着呢么说 a， 这个等于九十度，错， 经典的错误，经典的错误，同学们，这个叫九十度，听不懂，你说了吗？没有，没有，同学吗？没有告诉你， 所以怎么做？做垂直，不敢上来一激动，拿啥相思，跟他们吵吵的过了，对吧？那你绝对弄错了。 所以说同学们一定要细心，数学这个东西套路还是比较深的，所以说同学们，细心一点，你就能把题做对，那么咱们肯定要做垂直呢，对不对？过 f 点做 ppi 的 垂线垂作为 h。 那 么同学们，这还来看， 那么第二问啥条件，他这个和这个是相等的，对吧？同学们， 这个和这个相对的，那么同学们，我们来看三角形 p a e 和三角形 p b f， 这还是相似的，同学们，对吧？那么你看，同学们，我 p a b 上一个 p b 是 不是就等于 p e 比上一个 e f 啊？ p e 比上一个 p f， 对 吧？同学们，那么你看题目中呢？告诉咱们呢，说啥 p e 等于 e f 呢？ p f 比 p 二， p e 比 p f 都是一比二么？ 所以 p a b p b 也是一， p a b p h。 同学们，哎呦，这手底下写错误咧， p a b p h 是 不是也等于一比二？ 哎，那你奏说明啥呢？说明 p a 和 a h 是 相等滴吗？对吧？同学们，我是不是能证明出来 p a 等于 a h 呀？ p a 等于 a h， p e 等于 e f， 说明 a e 是 三角形 p e h 的 什么东西？ p a e 是 三角形 p e h 的 中位 线呀！同学们，中位线我是不是能就能知道 a e 就 等于二分之一个 f h 么？同学们， 哎，第一个关键条件出来了。同学们，那么同学们，咱们继续来看， 第一文中咱们证明，第二文中咱们证明了 p a 是 和 d e 是 相等的，因为这是一个啥？呃，咱们证明了两三个全等吗？对吧？那么全等同学们来看。 然后现在 p a u 等于 a h， 说明 a h 和 d e 相等着呢。哎，同学们来看， a h 等于 d e， 这个同学们能想来，然后 a d u 等于 a b 了。 那么通过这两个条件我能推出什么？同学们，懂了姐， d e 等于啥？你看同学们， d e 等于 a h， 然后 a d 又等于 a b， 说明 a e 和 b h 又相等了吗？对吧？同学们， a e 就 等于 b a 式，如果你这道题能做到这里，同学们，那你这道题已经解决掉了，为啥它要求 d g 跟 f b 的 关系？ 我们证明出来 d j 和 a e 是 相等的这第二种条件，那么也就是我求出 a g 跟 b f 的 关系，我就知道了 d j 跟 b f 的 关系。但是现在同学们， a g 跟 f h， a g 跟 b h 的 关系都知道了， f b 是 不是它的斜边呀？同学们，来， 我直接把它算出来， b f 等于什么？ b f 是 不是等于根号下同学们， f h 的 平方加上一个 b h 的 平方呀？同学们，它等于什么？ 根号下 f h 是 不是等于二 a e 着？那么它的平方是不是四 a 个 e 的 平方呀？同学们，再加上一个 b h 是 不是等于 a e 着？再加上一个 a e 的 平方 等于根号下五 a e 的 平方，那就是根号五 a e 么？ 同学们，那么它等于根号五个 a e 咧？ a e 和 d j 是 不是相等的？那它是不是就等于根号五个 d j 呀？所以说，同学们， 难道这样的题很多同学直接题都不看，所以我跟你说，你要考高分，要上一百一到一百二之间，这题你必须要做，必须，因为他没难度啊！同学们，中考题思维性、灵活性比较好一点，但是题的难度并不高，只要你能想到这题的关键之点，你就能把题做出来。同学们， 所以我说，咱们同学们一定一定要审题，一分一分半分都不许偏 这题，亚洲题，同学们，很简单就把它弄出来了，同学们，对吧？所以说，希望同学们好好弄，好好加油！嗯，好，这节课就讲到这里。

同学们做题的时候不知道有没有发现，就是我们二次函数这个题，我们从做模拟题开始就已经刷到很多，他把我们的二次项系数给出来的情况就是 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 他 已经把 a 给你给出来了，然后你就要去观察它的这个对称轴， 如果在对称轴的左边，那么，嗯，我们的 b 就是 我们的一次性系数，和 a 就是 同号的，如果在右边就是一号的，左同右异嘛。然后大家注意一下，如果出现这样的一个情况，那你往里带的时候一定要去注意我们，呃，这个 带进去的数的符号，有的同学经常会忘记编号，本来好好的可以拿到的分数就拿不到了。还有这个倒数第二题，他一般都考的是全等三角形，就是要么第三问可能偶尔会考一个相似三角形， 但是第一问他都很简单，相当于是送分的。如果你看到旋转呀，还有说，呃，这个，嗯，手拉手，他一般都是要你证明这个一致的三角形和旋转的那个三角形去全等。 如果出现说，呃三个角是直角的问题，那么就是一线三垂直也是需要去证明全等的。出现正方形，他已经在私下就告诉你有两条边就已经相等了，因为正方形嘛，四条边相等对不对？然后你再把中间的夹角的关系找出来，第一位就可以拿到分数了。

木易木易，数学容易，各位同道，我是米老师，今天给大家带来二零二六九全二模函数压轴题， 而其体如图，一、抛物线与 x 交于 ab 两个点， a 点是负二斗零， b 点是四斗零， 顶点是 c， d 是 线段， ab 上动点过 d 作 x 轴，垂线交 a， c 与 e 交抛物线 f。 第一问，问你表达式，有小朋友问我，为什么我写表达式总是直接写答案呢？因为啊，这里不想浪费大家看这个视频的时间， 所以呢，如果你不会的话，你可以去看一下书啊，这书上都会有写的啊。第二问，求 d， e 等于三 e， f 的 时候点击的坐标 求 d 的 坐标，我们不妨就设 d 的 坐标为横坐标 d， 纵坐标零，因为它在 x 轴上，接下来呢，又因为它是垂直于 x 轴的一个线，所以呢，这个 d， e 和 e、 f 的 长度，我们都能用它们纵坐标的差来表示， 这样要表示呢，就需要去知道他们所在的直线或者曲线。抛物线我们已经知道了，所以 f 的 坐标很好写。 e 点的坐标，我们需要去求一下 ac 的 解析式， 那么 lac， 我 们这里求一下的话，就是需要求出这个 c 点坐标，知道抛物线，那么求顶点非常简单，我这就直接写答案了。一负三这两个点呢，连立之后求出解析式。 lac 是 y 等于负 x 减二， 所以这里的 e 点的坐标就是横坐标还是 d， 纵轴变成了负 d 减二，那么 f 点的横坐标还是 d， 纵坐标是三分之一，地方减三分之二， d 再减四分之八。 ok， 那 这里坐标都有了，我们就分别写一下线段长度的关系吧。那么 d， e 等于三倍的 e， f， 那 么也就是说，哎，这里的外 d 减外 e 等于三倍的外 e 减去外 f， ok， 那 这里我们就代入啊，外 d 减外 e 零减负 d 减二就等于三倍的括号，外 e 是 负， d 减二， 那么 y f 是 三分之一地方，这里注意，负负的正变成加三分之二， d 再加三分之八。接下来化解， d 加二就等于负三， d 减六，减地方加二， d 再加八， 把负地方移到左边，变成地方右边呢？依次向负三 d 加二 d， 负 d 移到左边来，和 d 组成了，就组成了二 d， 然后右边的常数项负六加八是正二，移过来没了，等于零，所以这就是 d 倍的括号 d 加二等于零， 所以呢， g 等于零，或者是 g 等于负二。哎，但是这个负二呢？我们想想啊，如果 g 等于负二在哪里？ a 的 横坐标才是负二呢？所以它重合了。题目交界可是让你不能和 a 重合的，所以要把负二要舍掉，最终呢， g 的 坐标就是零，零，也就是原点了。 第三问说，即使线段 a、 f， a、 b 上的一个动点，线段 a、 b 始终保持 a， d 等于 b g， 如果你看到这几个字呢，你就有足够的敏感性了， a、 d 等于 g， b， 这就是什么？这其实就是逆等线了。然后问的什么？问的是 c、 d 加上 c， g 的 最小值， 那逆等线呢？其实就是把其中一个三角形呢给它啊，给它逆向构造全等，根据 g、 b 等于 a、 d 去做出一个在 g、 b 那 两个点的全等三角形啊。那 定点 a 对 应定点 b， 定点 d 对 应定点 g， 也就是把 a、 a、 d 给它转到了 bg 这里，那这里怎么构造呢？因为我们发现 a c 这条直线的解析式是 y 等于负 h 减二，所以说也就说角 d a c 等于四十五度，对吧？ 它等于四十五度，那我们只需要在点 b 那 里也去造一个四十五度的线，并且和这条呃，这个 a c 的 长度是一样的，就 ok 了。我们这里大概就 写成这个样子啊，那这个点我们就叫做 c 撇点， ok， 那 这样的话呢，其实我们就把刚刚的这个 dc 给它移到了这里的 g c 撇， 最后再利用三边关系 c c 撇，一定会啊，小于两面之合，也就是 c g 加上这个 c 撇 g 啊， c 撇 g， ok， 我 们现在就写一下啊，这里应该标注成什么？这里应该标注成 d， 对 吧？这里应该标注成 d 啊， ok， 我们这大概有了思路之后呢，我们就可以简单补一下过程了啊，这道题的过程呢，我们简单写一下吧。呃，那么我们再就是我们把这里构造全能的过程就给大家省略了，刚才已经讲过思路了啊，过 p 做的是 b c 撇平行于 a c 啊，并且 b c 撇还等于 a c， 为什么要做平行呢？因为做了平行之后啊，他俩和 x 轴就组成内错角了，他这两个角就相等了，当然你也可以直接做于四十五度，也是 ok 的 啊， 那这两个相等，然后又加上平行，有角相等，再加上一个条件，那就是 a d 和 g b 相等，我们就可以证明全等我们再接着写啊，然后呢，因为这里的 g b g b 等于这里的 d a， 然后再加上角 c 撇 b g 等于角 c a d， 再加上这个 c 撇 b 等于 c a， 所以 说我们可以得到三角形 b， g， c 撇全等于三角形 a、 d， c， 这里是 s、 a、 s 全等，造了全等之后，那么你要求的这个 c、 d 加上 c、 g 就会等于这个 c、 d 就 变成谁了，变成 c 撇记加上 c、 g， 那 么这两边之合一定会大于等于第三边呢，就是 c、 c 撇。 那现在问题来了， c、 c 撇的长度该怎么求呢？要求 c、 c 撇长度，就求出了 c、 d， c 加 c、 g 的 最小值，那么不难发现 这个 a、 c 是 一条四十五度的线，所以呢，我们这其实呢，哎，构造一组全等之后呢， 发现 a、 c 的 长度就是多少，其实就是三倍根号二。怎么算呢？因为这里 a、 c 是 四十五度，再加上 c 点的纵坐标，这里是三，所以 a 点的横坐标，这其实也是三啊，这个长度我这标的是，所以写边三倍根号二。 那这里呢， bc 撇也是三倍根号的情况下，就发现其实 c、 c 撇这条粉色的线，它就是一个横坐标，为一纵坐标，一个是一逗号三，一个是一逗号 负三的这样两个关系系数对称的一个线，对吧？当然这里你可能需要去说明一下，你这个三倍根号怎么算出来， c 撇的坐标怎么算出来的啊？这里我就不再赘述了，就直接写答案。 cc 撇的距离就等于多少，上减下三减负三等于六，所以说这里 c、 d 加上 c、 g 的 最小值等于六。结束关注我，考试再提十分。

兰州初三的家长同学注意了中考数学的最后一道新概念压轴题。很多孩子一看到新名词长题干，直接慌了，读不懂不会做，白白丢分。但我告诉你，兰州新概念压轴题就考三件事情，读题、转化、找临界条件。 结合兰州近五年的中考真题，给你三条本地专属的干货。第一，坚肯定义，别跳步兰州作业，在坐标系几何图形里面改新定义，逐字圈、条件圈例子，把定义翻译成直白的数学语言，再动笔定义。读懂了，第一问基本就没问题。第二，新题就做 看着新本质，往往是旧知识的迁移，相似、全等相切最直，往往都需要找临界条件。 第三，兰州压轴题永远是层层递进，第一问理解题意，第二问简单应用。第三步，求最值或范围，千万别直接冲最后一步，借助第一、二问的结论，难度直接减半。最后，提醒， 别刷偏题怪题，把兰州近五年的中考真题加一整，新题型做透，按照这三步复盘一遍，中考自信拿捏，中考想冲幺幺零以上，这这九分，必须稳稳拿下前两问。陈老师也录制了近几年中考压轴题的详细讲解视频，有需要的评论区回复六六六。

木易木易，数学容易，各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二六庆阳一模几何压轴题二十六题，如图一，在正方形边 a、 b 上取了一个点， e 作 e， f 垂直于 a、 b， 这个时候呢，我们看到 f 在 b、 d 对 角线上，所以这里会有四十五度，那这个三角形呢，其实就是一个等值三角形，我们需要把它的 e、 b 和 f e 相等，我们标注出来，又告诉你这个既是 f d 的 终点， g 是 中点，然后那 f g 和 d g 就 相等。现在第一个问你什么？问你 eg 和 c g 的 关系连接 eg 和 c g， 它俩的数量关系能怎么样？只能相等了，位置关系呢？猜一猜，可能垂直吧。那怎么证明这里用到中点用法之一的平行线加中点， 平行线加中点呢？有的时候呢，又被叫做什么？被长中线也是一个意思啊，我们只需要把 e g 给被长，或者说我们不需要去被长，我们直接去延长，延长他到底什么地方到与 a、 d 的 延长线 有一个交点的地方，交到哪里交这个点呢？就叫做 h 吧。这个时候呢，因为是平行的，所以呢会有很多的角相等， 再加上一个对顶角，其实三个角形相等了，再加上其中一条边，那就是 f g 等于 d g， 很 容易证明这两个红色的三角形是全等的。我们先写第一问啊，先正 三角形， e， f、 g 全等于三角形 h， d g 正完这个之后，我们看怎么去正 e g 和 c g 的 关系，连接 ec 和这里的 h c。 连接完之后呢，我们就可以从第一问正出的一组全等里面得到一个 d h 是 等于 e f 的， 那 e f 又等于 b e， 对 吧？ 所以呢，这在正方形当中呢，其实再加上一个边长，我们就可以用 h l 去证明这个新的三角形，也就我们把它标成黑色啊，黑色的这个三角形呢，是这两个三角形，全等， 这俩圈能有什么用，我们就能知道。哎，本身这两个黄色线之间是九十度，然后呢，这个黑色的点和这个黑色点是一样的，所以这两个绿色的线其实也是九十度，对吧？我们可以等量代换一下，那我们就写第二步的过程啊，那么在这 三角形 e b c 全等于三角形 h d c 这里用了 h l， 那 么所以 ec 就 垂直于 h c 它俩之间九十度。 然后呢，又因为啊，这个 g 是 终点啊，并且啊，这个 e e c 还是和 h c 相等的啊，等于 h c 又垂直又相等，所以三角形 e c h 就是 一个等值，是吧？等值三角形， 那又告诉你， g 其实是 e h 的 终点，对吧？为什么终点？因为第一步呢？全呢，已经证明了啊，又因为 eg 等于 h g， 那 么所以 啊，这就是一个直角三角形，斜边上的中点就等于斜边的一半，所以这个 c g 就 等于二分之一， e h 就 等于 e g， 那 么同时呢，这里因为等值了，所以呢，这个 c g 还垂直于 e g， 是 吧？第一问结束了， 第二问，其实我们可以先把题干的条件标一下，题干的条件就是这个三角形还没变，他说了旋转，但这个三角形呢，他本身还是一个等腰直角三角形，对吧？所以这个 e f 和 e b 仍然相等。 接下来还有一个终点，条件也是通用的，那就是 g 是 f d 的 终点， f g 等于 d g， 这你怎么办？他还问你的是这个 e g 和 c g 的 数量关系和位置关系，只不过没让你直接写，没让你做，让你写，对吧？ 那看看和左边图有什么区别？没区别，我们仍然是延长 e g， 这次呢，我们就需要延到了 c d 延长线的位置啊，这个位置呢，我们仍然叫做 h。 其实呢，他和第一问的证明方法就一样，先证明这两全等 啊，然后再去证第二组全等。这道题呢，第一问反而比第二问还麻烦，因为第二问发现这里需不需要证全等？不需要啦，只需要证明第一组全等，我们就能证这个。也就是啊，这个 ec 和 hc 这两条边相等，对吧？ 都是加上一个紫色边，都是由我们的正方形边长这个黄色边加上了一段紫色边，这样去正的，那正完了这个全等的，那我们不就说明这个 e g 和 c g 还是垂直的，并且 e g 也等于 c g 了，是吧？所以第二个呢，显得比第一个还要简单一点。 第三问，他又把这个三角形转了一下，我们直接把这个 e b e 和这个 f e 标一下，接下来呢，再把这个 f g 和 d g 也标一下。 ok， 发现啊，我们还是要让你去找 e g 和 c g 的 关系啊， e g 和 c g 的 关系咋办呢？那继续延长呗，延长 e g， 这个时候我们直接交 a d 与 h 就 行，所以我们依然能证明这两个红色三角形全等。 好，第三，我们就不写过程了，然后接着呢，证完红色，我们就证另外一个三角形，另外一个三角形就是以其中的一边， 然后再加上这个 h c 和。呃，这里连的是 h c 和什么？应该和 e c， 对 吧？这两个三角形呢？哎，这两个黑色三角形依然是全等的啊。 全等之后，那我们其实就能写出呃，这个所谓 c g 和 e g 的 关系了，它俩其实 c g 依然是等于一 g， 并且 c g 是 垂直于一 g 的， 对吧？好的， ok， 这就是这道题。关注我，考试再提，十分。

上个视频呢，我们讲了二零二四年陕西省中考数学的最后一道压轴题，那个题目呢，本身不是很难，但是呢，很有意思，大家可以去看一下我们上个视频的讲解。那么今天呢，我们来讲一下二零二四年甘肃省中考数学的最后两题，包括压轴题啊。那我们先来看第一题， 他说如图，一，已知在三角形 a、 b、 e 和 b、 c、 d 中，这个 ab 垂直 bc 啊，这个九十度 ab 等于 bc 啊，又告诉我们 cd 垂直 b、 d， a、 e 垂直 b、 d， 那这个东西是不是我们以前讲过的一线三垂直啊，对吧？它就是一线三垂直嘛，对吧？臂力这个线，然后出现了三个垂直。我们讲的一线三垂直模型，讲过很多次啊，其实那基本上是这种情况，对吧？这是一条线，然后这样子， 这种情况比较多，对吧？但是呢，这也是一种一线三垂直模型啊，就是有一个角，有一个直角啊，然后呢，这样子和这样子啊，这也是一线三垂直模型啊，我们以前也讲过的啊， 好，那这个就是普通的一线三垂直模型呗，对吧？呃，那么一线三垂直模型的话，你就知道了啊，这个角等于这个角啊，对不对？然后再加上一个 a、 b 等于 b、 c， 那 说明这两个三角形是全等的，对不对？他说， 呃，找出 a、 e、 d、 e 和 c、 d 的 关系，那你看啊，两个全等的话，这个 c、 d 是 不是等于 b、 e 啊，对吧？ b、 e 加上这个 e、 d， 哎，它是不是等于 b、 d 啊？ 啊？ b、 d 又等于 a、 e 喽，你看，那这样子的话，就是，呃，把这个呃这个替换成 c、 d 啊，你看 c、 d、 e、 d 和 a 的 关系，哎，不就知道了吗？对吧？就是说 c、 d， c、 d 加上 d e 等于 a e， 好， 这是第一个啊，再看第二个， 他说如图二，在正方形 a， b， c、 d 中， d， e 啊，这个 e、 f 分 别在对角线 b、 d 和 c、 d 上 啊。 b， d 啊，对角线和 c、 d 边上 a e 垂直 e f a e 垂直 e f a e 还等于 e f， 那 这个东西跟前面这个图一是不是完全一样啊？我如果过 a 点， 你看我如果过 a 点做垂线， 那这样子的话，这个是 h 一， 这个是 h 二，那和左边，你看 a、 e、 f 这个角里面包含的这个 a h 一 和 f h 二和左边这个是不是完全一样啊？完全一样对不对？ 那因为你 a e 也等于 e、 f 嘛，对吧？所以完全一样，写出 b， e， a、 d 和 d f 的 关系， b， e， a， d 和 d f 的 关系。那这样子的话，其实也不难，对不对？那我们可以这样写啊，你看啊，你看啊， b e， 哎， b e 啊，我们可以写成什么呢？ 那我们可以，我们可以这样写啊，我们用左边这个结论吧。左边这个结论就是，呃， c、 d 加上 d e 等于 a， 对 不对？好，我们用左边的结论啊，我把它写一下啊，那其实就是，那么对应的应该是什么呢？对应的应该是 c、 d， 就是 就是 f h 二，对吧？加上加上这个 e、 d， 那 就是 h e h 二等于什么？ 等于这个 a e 就是 a h e a h e， 对 吧？它要转化成什么呢？转化成这三边标一下啊。 b e， 嗯， a、 d 和 df 的 关系。好，那我们转化一下呗。首先 f h 二， f h 二，我可以转化成 df 的 关系，对吧？它就是因为你这个角等于四十五度吗？这是垂直的吗？ 所以 f h 二就等于二分之根号二倍的 f d， 对 不对？好，那就是 h 一 h 二 h 二的话 啊，是不是等于 d h e d h e 减去 d h 二，对不对？好，那等于，那是 a h e 了 a h e 啊？ a h e， 它是不是等于 ad 除以根号二，那就是二分之根号二倍的 ad， 所以 你就要把这个东西给转换一下，对吧？呃， d h e d h e 那 d h e 那， 那还要转化成 b e 是 吧？啊，那我不这样转化啊，这样转化成 b e 啊，不这样转化啊，这样转化呢，还得转化成 b e， 还得麻烦，对吧？ h e h 二，那就转化成这个 e h 二。 呃，不对，这样的话，转化成啊， f h 二加上 h h 二等于等于 a h 一。 呃，那么 h 一 h 二 h 二好像 h 一 h 二就等于 e h 二减去 e h 一， 对吧？ e h 二减 e h 一， 这样写吧，因为你还要和 b 建立关系嘛。那么 h e h 等于 e h 二减去 e h 一 啊，那么 e h 二就等于 a h 一， 对吧？那这个 e h 二就等于 a h 一 就等于二分之根号二倍的 a d， 是 不是？好，那这个 e h 一 呢？ e h e 哎， e h e 就 等于 b h e 减去 b e， 而这个 b h e 又等于 a h e 也就等于二分之根号二倍的 a d 减去 b e 啊，所以呢，把它写一下啊，那这个东西它就是变成了。嗯， 一 h 二减去一 h 一， 对的啊，那就是我们红笔写一下，那就是二分之根号二倍的 f d 加上二分之根号二倍的 a d 减去这么个东西减去二分之根号二倍的 a d， 再加上 b e 啊，也就说 b e 等于 h 一 h 二， b e 等于 h 一 h 二啊，好，然后呢？就等于，哎，二分之根号二倍的 a d， 对 吧？这个，这个就没了，那这个就是 b e， 所以你这这样写也可以啊，你如果左右两边同时乘以一个根号二，那也行，对吧？那就是 f d 加上根号二倍的 b e 等于 a d 啊，这样写就可以了啊，好，这是第二问， 第三问， 第三问。他说如图三，在正方形 a、 b、 c、 d 中，这个 e 呢？在对角线上，这个 f 点在这个 c、 d， c、 d 上啊， 那这样子的话，是不是跟刚才一样啊？还告诉我们 a e 等于 e f， 那 其实还是要怎么办啊？还是要，而且这个东西是不是一线三垂直啊？你看啊，这个就是经典的一线三垂直，对不对？那过 a 做它的垂线， 嗯，然后呢，我们把这个 b d 延长 过 f 做垂线，对吧？这个就是经典的一线三垂直模型， 垂直，垂直，这个是 h， 这是 i， 对不对？那这样子的话，我们就立刻能够知道 a e h 啊，就是三角形 a e h 全等于三角形。呃， e f i e f i， 对 不对？ a e h e f i 它们是全等的，他说，嗯，写出 b e， a d 和 d f 的 关系，和 d、 f 的 关系。 b e， a， d 和 d f 的 关系。好，那我们看一下，那这个 b e， 我 们就可以这样写啊，我们 b e 就 等于，首先它等于 a h 啊，你看啊，我们，我们用 b e 这个作为一个中间量啊，你看 b e， 它等于什么呢？等于 b h 加上 h e， b h 等于 a h， a h 是 等于二分之根号二倍的 ad， 对 吧？所以就等于二分之根号二倍的 ad， 再加上 h e， 对 吧？这个 h e 是 不是等于 fi， 对吧？ h 一 嘛，等于 f i 嘛？ f i 是 不是等于二分之根号二倍的 d f 啊？二分之根号二倍的 f d， 你 看出来了， 对吧？那就很简单就出来了，那就左右两面同时乘一个根号二倍啊，这样写就可以了啊，或者是你就说根号二倍的 b e 等于 a d 加上 f d 也可以啊。 那所以这个题目呢，不难啊，没有什么难度，他考的就是一线参垂直模型啊，我们讲过的一线参垂直模型，其中哪一个一线参垂直模型更？嗯，更常见呢？就是其实最后一个更常见啊，图一和图二反而不是很常见，但是呢，图一和图二一定要一定要记住啊，我们以后会再讲啊。 好，这个是，这个是倒数第二题啊，我们再来看最后一题， 他说这是加周题了啊，他说，如图一，抛线 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 交 x 轴于 o 点， a 点和 o 点和 a 点，还有 b 点啊， b 点呢？告诉我们 啊，交 a a， 交 x 轴于 o 点和 a 点啊，顶点的是 b 点，顶点是 b 点，那我们是不是能够因为这这个东西，他已经告诉我们一个顶点坐标显示了，对不对？那这样子的话，这个 h 等于二倍 k 等于二倍根号三吧，对吧？那这就很简单了，那就是 y 等于 ax 减去二平方，加上二倍根号三， 所以这个就是他这个顶点，出发形式很简单是不是？那这样子的话，因为还经过 o 点吗？那我们就把零零带进去，那零零带去就是零等于 零，减二等于负二，负二平方四就是四， a 加上二倍根号三，那么 a 呢？算出来应该是， 呃，负的二分之根号三，对吧？好，那这个呢，就是把 a 串出来了，那这个抛线我们就可以写出来了啊，就 y 等于负二分之根号三， x 减二的平方加上二倍根号三，好，这是，这是它的抛物线。好。第二个，嗯，他说过 c 做 c h 垂直 o a 过 c 做 c， h 垂直 o a， 那 么 c 点坐标是什么？ c 是 ob 中点，那么 c 点坐标就算算出来了啊， c 的 坐标，嗯，就是 b 的 坐标，同时除以二，对吧？横坐标除以二就是一，纵坐标除以二就是根号三， 好，他说，嗯，过 c 做 c h 垂直 o a 就 抛物线于 e 点求 c 的 长度， 那么 c 常数，那你就把纵坐标就是 y e 求出来，就可以了。 y e 求出来，那就，那就是 x e 和 x c 相等的，那，那你就把 c 的 横坐标带进去就可以了，对吧？那么 y e 呢？ y e 就 等于什么？ x c 带进去， e 带进去， 那就是负二分之根号三啊。 e 带进去， 一减二等于负一，负一的平方就是一啊，就乘以一，再加上二倍根号三，就等于二倍高三减去二分之高三，二分之三倍的根号三， 对吧？这是 y e， 那 么 c 长度呢？哎，就等于 y e 减去 y c 喽。 y e 是 二分之三倍根号三减去 y c， 嗯，根号三等于二分之根号三，对吧？啊，这个不难啊，这个不难，这是第一个。 然后呢，他说，当 d 呃为线段 o a 上的一个动点啊，在 o c 的 右侧做平四边形 o c f d o c f d 第一个小问，他说，如图二，当 f 点在抛物线上的时候，求 f 点坐标， 那是不是很简单？ f 点的横坐标是不是和 c 的 横坐标不一样？但是纵坐标是一样的，对吧？也就说我们把 f 点它的纵坐标带进去啊，就是 c 的 纵坐标带到这个方程里面， 那就是 y f 等于 y c 等于根号三，掉到这个方程里面啊，那就是， 嗯，在这算啊，负二分之根号三倍的 x 减二的平方加上二倍，根号三等于多少？等于 y c 等于根号三，哎，根号三就都约掉了啊。 呃，根号三，根号三之一，再乘以一个负二吧。 x 减二的平方 等于一，一减二等于负一，负一乘以负二等于二， 是不是乘负二嘛？就是一减二等于负一，负一乘以负二等于二啊。所以呢， x 应该等于 二加减根号二，二加减根号二，对吧？那么减根号二肯定是在 c 的 左侧，那么加根号二肯定是在右侧了，所以 f 点坐标就应该是，呃，二加上根号二， 加上根号二，然后纵坐标是根号三， 对不对？所以这个就是 f 点坐标啊，你看是不是都很简单算分题啊？最后一个，他说当 f 点啊，不是，最后一个，他说连接如图三， 他说如图三，如图三的话，也就说这个 f 点不在抛物线上了啊。他说连接 b d b f， 求 b d 加 b f 的 时候， 这个题目的唯一难度就在最后一本啊。唯一难度在最后一本，你看啊，让我们求 b d 加 b f， 那 你看啊， d 点是不是动点， 对吧？ f 点是不是动点？所以这个题目有两个动点，两个动点好不好求不好求啊，只有一个定点，我们如果能够把这个题目变成两个定点，一个动点，是不是可以？ 可以，这个题目很像什么呢？很像二零二五年连云港市中考数学的最后一道填空题，几乎一样，思路几乎完全一样。你们可以去看看一下那个那个题目啊，思路几乎完全一样。 你看啊，这题目唯一难题在这啊。你看，如果我们要直接求 b、 d 和 b f， 其实有个方法可以求啊，什么方法呢？就是你可以设我设地点坐标， 比如说是它等于 m 零，那么 f 的 坐标其实我们能够算出来，对吧？这样子的话，我们可以算这个 b、 d 和 b f， 因为具体公式我们应该都知道，对吧？好，这样子话也可以算，但是呢，有根号，那就很麻烦。那我们可以怎么算呢？我们可以这样考虑，你看啊，如果我把 c、 d 连起来， 这题目的关键在于什么地方？我们要把这个 b、 d 和 b、 f 啊，其中有一条边给它转化出去，因为两个动点，一个定点是不好求的，用将军印码什么的都不好做，对吧？ 将军印码肯定是两个定点，一个动点，对吧？那么这时候呢，我们就尝试着把这个 b、 f 啊，或者 b、 d 转出去，你看啊，如果我把 c、 d 一 连，那你会发现什么？ 因为你做的是 o c f d， 它是平行四边形，对吧？所以这个 f d 是 不是等于 o c？ f d 等于 o c 的 话，因为 c 是 o b 的 中点，所以 o c 等于 bc， 对 不对？ f d 平行且等于 oc， 那 么是不是平行且等于 bc？ 哎，那说明什么？说明 b f d c 也是个平行四边形，这样讲没问题吧？ 那么这样子的话， b、 f 是 不是等于 c d 了？好，你看啊，这个题目原来让我们求的是 b d 加上 b f， 那 么我们可以把 b、 f 转化成 c d， 那 就相当于让我们求 b、 d 加上 c、 d 的 最小值， 这样子的话，你看啊，就转化出来了啊。 b d 是 这个 c， d 是 这个 c， 是 不是定点？是 d 是 不是定点啊？那个 b 是 不是定点？是，只有 d 一个是动点，而且它在 x 轴上运动，说明这时候我们就可以用什么了，用 用将军印码了，是不是就很简单了啊，我们就可以过 c 点做 x 轴的对称点，对吧？比如在这。 好，这样子话，我们把 b 和它一连啊，比如说这是 c 一 撇啊，这时候我们要求的 b、 d 加 b、 f 的 最小值，哎，就是 b b、 d 加上 b、 f， 它的最小值就等于什么呢？就等于 b、 c 一 撇长度啊， b c 一 撇长度， b c 一 撇就好求了呀， c 点坐标是一杠三，对吧？那么 c 撇长度呢？ c 一 撇的坐标呢？就是一负根号三啊， b 点坐标我们也知道了，是二二倍高三，那么 bc 一 撇长度呢，就等于根号下，哎，两个横坐标，一减平方，二减一，等于一的平方等于一，对吧？纵坐标一减二倍高三加上高三， 三倍高三的平方等于二十七，对吧？所以等于二十八，二十八就等于二倍根号七。 是不是他有没有让我们算出 d 的 那个位置啊？没有算啊，所以这个题目呢，就直接算出来了，不难啊，不算难，但是他也考到了一个模型，就是这个东西呢，叫动静，嗯，动静结合讲不太合适啊，就是 转化边的思想就是将就一码，里面最常见的模型就是转化边啊，把边转化去。你们可以去看一下二零二五年连云港市中考数学的填空题的最后一题， 也是这个套路，完全一样。那为什么我能够这么快速的把这题目都讲出来呢？因为我都讲过。哎，我讲过的东西都记着啊，你们也可以去把我讲过的题目好好看一下。 好，这个呢，就是二零二四年甘肃省中考数学的最后两题了啊，都不算难。但是呢，其实都是我们先讲过的模型。 好，那这个题目呢，我们就讲到这啊，如果大家觉得还不错的话，可以把视频分享给你的。呃，朋友，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子。那我们下个视频，再见。拜拜。

中考最后一道大题，我用将军一马三十秒抢下八分，别再做辅助线，做到崩溃了。这个模型能让压轴体变松分体。考场还剩十五分钟，我盯着最后一道几何大题，手心全是汗。前面已经磨蹭了太久，倒数第二题还没完全算完。 题目大意，正方形 a， b， c， d 也是 b， c 中点 p 是 b， d 上一动点，求派 b， c 的 最小值。有时线段和最小，我脑子里一片空白，以前老师讲过将军一马，可我从来没真正搞懂过。 我深吸一口气，试着回忆，突然一个画面闪了进来。前天刷到的那个公众号文章，标题写的是将军印马。中考最值问题的老祖宗，我决定赌一把。 三十秒后，我写下答案，二十五出考场，对答案全对。这不是运气，是因为我找到了那个看一眼就能秒杀的规律。 将军印马到底是什么？你肯定听过这个故事，将军从军营外出发去河边印马，再回营地 b 问河边哪个点 p 能让总路程最短？答案很简单，做 a。 关于河的对称点， a 连接 a， b， 焦点就是 p。 就 这么一个动作，能帮你拿下一道八分的中考大题。为什么你总是做不出来？因为你一直在想，而不是在认。 每次看到 p 是 某条直线上的动点，求 p a p b 的 最小值，你是不是本能的开始设位之数列方程求导，或者乱画辅助线？学霸看到这道题，脑子里只有三个字，对称点。他们不是比你聪明，是比你多认识了一个模型。中考必考的四种将军印码。第一种 最正宗的两定点在直线同侧，如图， a， b 在 直线 o 同侧， p 在 o 上，求 p a， p， b 最小，秒杀操作，选 a 或 b 做。关于幺的对称点， a 连接 a， b 与幺的交点就是 p， 最小值就是 ab 的 长度。第二种，两定点在直线一侧，直接连 ab 与 l 的 交点就是 p。 太简单，中考一般不单独考。第三种，折线拉直过桥问题， p 在 l 一 上， q 在 l 二上， p， q 方向固定，求 x 最小。 操作，先平移再对称，把折线一次拉直。第四种，三角形，周长最小，在角的两边上找 m， n 是 pm， 周长最小，操作，做 p。 关于两边的对称点连接，这两个对称点与两边的交点就是 m、 n， 你看，全都是对称。这一个动作，手把手带你秒杀一道中考真题，就用我考场遇到的那道题。正方形 a， b， c， d 边长为四， e 是 b， c 中点 p 是 b， d 上一动点，求拍 p， c 的 最小值。步骤一，识别模型 p 在 b、 d 上运动，动点在直线上， 求拍 p c 最小。两线段合系数都是一，确认是将军印码。步骤二，找对称轴， b、 d 是 对角线，也是正方形的对称轴。步骤三，选一个点做对称 c。 关于 b、 d 的 对称点是谁？ 在正方形中， c 的 对称点是 a。 步骤四，连接连接 a 和以 e 与 b， d 的 交点就是 p。 步骤五，求值。在 a table 中，一 b 四 b 二，所以 e 四十二，二零二五，答案就是二十五，全过程不超过三十秒，不需要任何复杂计算。 考场上问自己三个问题，遇到动点最值题，马上停下来问，动点在直线上还是圆上？直线将军印码或胡不贵圆阿是圆，两个线段前面的系数是一还是别的数？ 技术一，将军一马，您 k 一 虎不归，能不能通过对称把折线拉直？三问结束，思路就有了。最容易犯的三个错，错误一，对称点选错对象，比如求 p a p b， 你 对称了 p 本身 p 是 动点，不能对称，只能对称 a 或 b 这两个定点。 错误二，对称后连接焦点不在线段范围内，如果焦点 p 跑到了线段外面，最小值就取在离焦点最近的端点。 错误三，分不清和最小与差最大。和最小用对称，差最大直接用两边之差小于第三边。连接 a b 并延长与直线的交点，就是差最大的点。将军一马 vs 胡不归，别再搞混了，这两个名字总被人放一起，但用法完全不同。 将军一马胡不归形式，啪屁屁啪 k p b 连 k 动点直线上，直线上。核心方法，对称构造角垂线段。记住一句，技术为一，对称拉直技术小于一，找角作垂。 送给你的一句大实话，中考几何压轴题从来不是考智商，是考见没见过。将军一马这个模型从初一开始老师就讲过，但你一直没有把它变成条件反射。从今天起，看到直线上动点，两条线断合，不要再犹豫，直接对称。别人还在纠结怎么画辅助线的时候，你已经写完了， 这八分本来就应该属于你。如果这篇文章帮到了你，点个赞，看转发给那个还在被压轴体折磨的同学！下一篇预告，刮豆原理，洞点也疯狂，从洞点轨迹秒杀最值！

好，我们看一下三十五中七年级期中考试的压轴题，嗯，告诉我们，三角形 a、 b、 c， 它是，呃，三十度、六十度、九十度的直角三角形 f 是， 嗯，四十五度，四十五度、九十度的等腰直角。三角形 a、 b、 c 绕着点 b 顺时针以一秒钟旋转一度的速度进行旋转，而 d、 e、 f 绕着点 f， 以每秒钟四度的，嗯，四度顺时针旋转。刚开始的时候， b、 c 是 与 m、 n 重合的， e、 f 它是和 p、 q 重合的，那么我们看旋转， 看两个三角形开始旋转的时候， a、 b， 它与 m、 n， 它的夹角是多少度啊？刚开始是六十度， 那么它旋转一一秒钟旋转一度，那么 t 秒钟是不是旋转 t 度？所以的话， a、 b， 它的旋转的角度就是六十度加 t， 而 e、 f 刚开始的时候它是零，随着这时间旋转一秒钟，它旋转四度，几秒钟就旋转四 t， 所以 p、 f、 e 这个角它是多少度？它就是四 t 旋转，旋转两个三角形旋转旋转到我们题目中要求的 b、 a、 b 和 e、 f， 它平行的时候。好，这是第一次平行的时候， 刚才讲过这几个 a、 b 旋转的角度是多少度，它是从六十度然后旋转过来的，所以六十度这几个是 t 嘛？一秒钟旋转，嗯，旋转 t， 那 么，嗯，旋转一度，几秒钟就旋转 t 度，所以它总共加起来就是六十加 t， 而呃， p、 f、 e， 它是一秒钟转四度，那么它几秒钟就转四 t， 这时候它两个平行吗？平行的时候，是不是它就是多少 四 t 两直线平行内错角相，嗯，相等，这 m、 n 它和 p、 q 也是平行的嘛，所以它就是四 t， 而 a、 b 和 e f 平行，所以同位角相等，所以的话，它是不是就是六十加 t 就 等于四 t， 所以 三 t 就 等于， 嗯，六十 t 等于二十秒的时候，那么它第一次平行好，我们清掉看后面继续旋转，当三角形继续继续旋转的时候，下一次 e f 和 ab 平行的时候会是怎么样子的？我们继续旋转，旋转，旋转好的 e f 和 ab 第二次平行好，会平行了，是不是看它继续旋转的时候，这时候它平行了，那么我们在这种状态下看它的 t 是 多少，要算出来不能看这儿的八十度啊，我们 ab 是 从哪， 它总共这个角度是多少？它是六十嘛，而这个角度一秒钟旋转，呃，一度，那么几秒钟旋转 t 嘛，所以总共加起来它就是六十加 t， 而 ef 刚开始它是在 p q 这条线上，所以从它这个位置旋转过来，它的角度是不是一秒钟旋转四度，总共旋转了四 t 四 t， 那 么剩余的这个角度是不是就是三百六十度减四 t？ 那 么 ab 和 ef 平行的时候，我们可以看出它两条直线平行，所以的话，如果我们能表示出这个角 这个角的时候，那么 ab 和它平行，同旁内角互补就可以算出来。而题目当中 m n 和 p q 这两条直线是不是也平行啊？所以它是三百六十度减四 g 的 时候，那这个角是不是也是三百六十度减四 g 啊？所以的话，它就是 三百六十度减四 t， 再加上一个六十度加 t， 等于一百八十度同旁内角互补嘛？ a b e f 平行的时候，同旁内角互补，所以的话我们就可以看出它是四百二十度减三， t 等于一百八十度，那么计算出来它是八十度 就可以算出，哎，八十度。好，我们这道题就讲到这，那么总综合上面的所述，你看它是不是就是当 t 等于二十秒或者是八十秒的时候， a、 b、 e、 f 平行了？

中考数学压轴题，你可以闭眼写答案得到消息了！最后三道压轴题，元二次函数几何综合大题，范老师给你三个口诀，直接让你拿满分！第一个考你元口诀来了，见等闲坐垂镜 见弦中点连半径见直径连直角见呼中点连圆心见切线连切点定点定长画个圆。第二，二次函数求解析式已知三点设一般已知顶点设顶点，已知交点设交点。让你比较函数值 离对称轴越近，函数值越小，离轴越近值越大。让你求不等式解集，图像在上取中间，图像在下取两边。 第三个，遇见几何综合大题，一般会涉及到三角形上，口诀，见十五，做中垂见三十做垂线见四五沿两线，幺二零补直角见等腰连中点见中垂，连两端。记住这三个口诀，压轴题满分到手！

今天我们继续兰州中考题型速写专法，那么今天讲的方法是针对兰州中考数学嗯， 几何类比迁移这道压轴题的专用解体方法，我们把它叫做什么类比迁移法？那么百分之九十的同学对 兰州中考数学最后两道压轴题都抱有一种放弃或者半放弃的状态，那么相信今天听完这套解析思路以后，那么大部分同学一定会对最后两道压轴题会重拾信心啊。那么我们先看一下就几何类比 迁移这道压轴题，他一般的出法或者问法啊，那么他的第一问往往是让你证明一道，呃，证明简单的什么几何模型就是几何模型的证明啊， 那么证明简单的几何模型，或者你就直接可以用什么相似相似或全等 全等，通常中考用相似和全等直接证明几何。那么第一问很简单，那么第一问是提出问题，第二问就是类比啊，第二问就是类比问， 那么第二问的类比问是在第一问的基础上，我们做了一个类比，可能我转化条件作为一个类比，那么他的解析思路呢？一般是我在第二问里面一定要出现什么第一问的模型啊，就在第二问里面一定要出现或者 或者通过辅助线啊，通过辅助线画出什么第一问的几何模型啊， 那么那么那么这个就是属于什么类比选项，那么哦，呃，类比问法，那么第三问的是一定是迁移问法啊， 那么迁迁移迁移问法和解析方法，那么一般是我通过第三问我我做了一个什么几何模型的延伸或者做了一个迁移，那么第三问的解析思路一定是我一定得凑出什么第二问的这种几何模型同样凑， 或者通过画辅助线啊，凑几何模型最重要的是什么？我在这个几何模型中一定要用到什么第二问的结论啊？第二问的结论， 用到第二问的结论，我们直接证明什么？第三问的结论，这是通用解法啊，那么也也可以说是他的通用的什么解题思路，那么他里边用到的解题方法呢？一定是我们首先是几何的什么万能解题思路啊？万能解题方法， 这个我们前面讲过，首先用到的方法一定是结合的什么万能解体方法，其次呢，有有可能出现一些简单的什么就是集合模型法， 那么所以解类比迁移的这道压轴题一定要有两套步骤啊，一套是它的什么整体的解析思路，我们把它也叫什么类比迁移法，那么其其次呢，就是你你的基础基本功啊，就是结合万能解体方法的熟练应用，或者一些简单的什么结合。 那么我们以二零二四年兰州市中考数学的呃这这道几何类比迁移的原题那么为例，给大家去讲解一下这个几何类比迁移法的这个思路，如何去解这道压轴题啊？那么 首先我们先看一下题啊，这是第一第一个问题啊，那么在一个三角形 a b c 中，那么已知三角形 a b c 是 整边三角形，那么我们在 三角形两边有一有两个动点 m 和 n， 那 么以那么呃已知 b m， 当 b m 等于 i n 的 时候，那么我们将 i m 绕点 m 旋转一百二十度，得到什么 m d， 那 么之后呢？他让让你弄正一下啊， m n 也就这个 m n 要等于什么 b d 啊， 那么那么第第一问呢？一般来说，呃，比较简单啊，那么我们看下第一问的解析思路，我们一般一定要用到什么几何 万能解析思路啊？我们标一只，我们先标着看啊，那么已知等边三角形，所以这三条边相等啊，三条长边相等，那我们把角度标一下，六十六十，那么另外一个可能是什么六十度啊， 那么右 i n 等于什么 b m， 我 们把这个两个相等的边标出来啊，那么这这这就是标已知，那么之后呢，它要它要证明 m n m n 在 这 b b d， 那 b d 在 这，要证明这两个线段相等，那我们把标出的已知和位置得放到一个等量关系中去，那么很简单看到哦，如果三角形，这个三角形 和这个三角形，那么如果它两全的，则画好证明这一个什么 m n 和 b d， 那 么这个全的就是这个什么就是，呃，标完已知你需要放的这个等价关系啊。那么首，首先我们看一下 b a 相等， 是不是有一条边相等，那么再看一下，我们已知还没标完啊，这是一百二十度，这是一个平角，这是六十度，那么标完以后，你发现看哦，这是六十度，这是六十度。边相等角相等，是不是那么之后由于旋转，那么这个这个三杠边是也等于这个三杠边，所以什么边， 你看边角边就能证明三角形 a n m 全等于三角形，看他和他，他选择啊，他和他选择，那么写全等于 m， 嗯， n 对 应的是 b 啊， n 对 应的是 b d 啊，那么证明他，呃，全等以后，那么选 m n 是 不等于 b d？ 那 么第一个很简单，那么我们再快速的看一下第二个啊， 咱们第二问，第二问一定是在第二问，我们先看一下类比的方法，一定得在第二问里面找出第一问的模型，然后通过模型去正比方， 那么这这也是类比法。那么其次呢，他的基础方法一定还是要用到什么几何万能解体模模板或者方法啊。那么我们看第二问的问法，已知三角形 a， b c 是 等腰直角三角形，那么我们把这个 已知条件先画出来，这两个边相等，这是直角啊，那么这是四十五度，这是四十五度。把间接已知先标出来，那么 am 沿 m 旋转九十度，用九十度我标出来得到什么？ dm， 那 么 am 两撇是等于 d f 吗？那么这是第二个什么？一直强调就是，那么那么我们通过这个你看，又是直角，又是等等腰，我们把这个四十五度标出来啊，这是间节一致， 那么由由这个间节一致，你看四十五，四十五，是不是首先再再看出啊？这个 a、 d 是 不是和这个 b f 是 平行， 嗯，平行，我们一般用这样表示啊，那么这两个边平行，那么之后呢，他又又说了一个 a e 垂直于 d m， 我 们把垂直标出来，延长与 b c 交于点 f 啊，那么这就是已知线段。那么之后呢，我们要证明 if b d， if b d， 这，这让你猜测并证明一下它的什么形状啊，那么我们大致看一下，它好像是一个什么平行四边形，是不是？那么平行四边形的话，我们通过标已知的方法是不是已经得到了有一组边什么平行，那么我们只需要证明 这一组边相等，或者证明什么另外一两条边平行即可啊，那么我们证明边相等好像 不太容易啊，那我们紧扣类比迁移的呃，那个那个的解析思路啊，一定要找到什么第一问的几何模型，那么第一问是通过旋转得全等，那么我们到这里面是不是也也得找到通过旋转得全等，那么通过旋转 am 旋转到 id 三角形 am 和三角形 m b d 值全等， an m 是 不全等于 m b d， 嗯，这是呃第一问的那个啥结论啊？一定要找到啥第一问的模型和结论这一块，那么全等以后，那么我们再标已知，那么这个 b i 是 不是等于这个 b i？ 那 么同理这个角一是不是等于这个角一，那么角二等于这个角二是不是？ 那么那么角二等于这个角二之后呢？我们看一下我们的目的是要证明他是一个什么撇平四边形，那么已知已经有这两个边平行了，现在只需要证明什么这两个边平行，那么我们一般证明要证明平行的话，我们只需要证明什么呃内错角或者 呃同一角相等是不即可？那我们看一下角二和这个角是不是？如果是平行的话，它是不是内错角，那么我们要证明这个角是角二，那么我们还有一个呃条件，因为这是垂直，这个是角二，那么那么在 这个 i e n 这个三角形和 i m n 这个三角形是不是也相似？或者说这两个角互余，那么这个角是角一，因为角一和角二本来就互余啊，那么这是角一，这是直角，那么角二和角一互余，这个是不是也是角二？那么其实我们现在还在标已知啊， 你看你通过标已知的方法，你标出来这个角是不是等于角二，那么这个是等于角二，这个也是角二，所以这个角相等，那么 b d 是 不是平行于 i h。 那 么这就是第二个方法啊，那么我们总总结一下第二类比的方法，第一一定会用到什么？ 第一问的什么模型？也就是这个全等于这个三角形，就一定要出现第一问的模型啊，第一问的一问的什么模型？ 那么第二第二步呢？我们一定要用到什么几何的基础解析思路，也就是万能的解析方法，我们通过把所有的间接已知一标以后，标标着标准，发现好多题目答案就是标出来了啊，那么那么这就是第二步的 解析思路啊，那么过程，那么其实通过我们刚刚分析啊，过程直接就能写出来啊，那么那么我们把这过程先说一下，通过这两个三角形全的 是不是？那通过这两个三角形全等我，呃，我我们最终是不是要证明这个角二等于这个，这个这个角二 互余，那么角一和角二互余，那么这个角和这个角数也互余也互余的话，这个一定是角一，又因为这是一个直角，所以这个角一定是角二，他的思路很简单啊，那么证明完他是角二以后，那么是不是就就就就平行， 平行的话，那么它 a f b d 就是 一个什么平行四边形啊，那么第二个的这个字母其实是动态啊，那么在之后我们看一下第三个啊，第三个是迁移，那么那么第三个的记是 已知 a b c 是 什么？等腰直角三角形，那我们这是一个直角，这个边角上四十五度，这个角也是四十五度， 那么嗯， i c 等于四， i c 等于 n c 啊，那么 i m i m i m 这个边等于这个边啊， 那么这这是两个动点所形成的变奥，那么在这样的条件下呢，让你求证一下 b n 和 c m 合的最小值，那么 b n 和 c m 合的最小值，那么它是两个线段合的最小值，那么而且这两个线段是两动点形成的，那我们一般的思路是用两动点的呃，求最小值的方法，但是用那种方法 在这道题目里边肯定会变得很复杂，那么我们怎么办呢？我们一定严格按照一款迁移的解析思路啊，找出第二个几何模型和几何直接应用，那么第二个是不是凑平四边形，通过旋转凑平行四边形， 那么我我们看一下，我们呢通过旋转，我们把 i m 啊，我们把 i m 旋转九十度啊，旋转九十度， 那么旋转九十度得到 m m d 啊，得到 m d， 那 么连接 id， 那 么 id 一定平行于什么 bc 啊？ id 平行于 bc， 那 么我们现在要找 b n 和 c m 和的最小值，那么这种最小值也就两个线段，假如说我们要求两个线段动点的最小值，那么如果我把其中的一个线段能， 就是我把其中的一个线段能移到另外一个线段，就让它的长度等于它的长度，因为它是一个一个动点，那让它们长度很很等的时候，那么这个动点移移一定移到三点共线的时候是 最小值啊，那么这就是，呃，就是求求两个线段最最小值的另外一个思路啊。那么你看，我们就相当于我把 b n 是 不是得移到 i m 上， 那么移到 i m 上，让 b n 直接等于 m 和一个点的距离，让它横横相等的时候，那么如果 m 一 到三点共共线的时候，是，就是就能求出它的最小值，那么我们先把第二个模型，同样我们先补全啊，那补全以后， 你看我们能找到平行四边形吗？我们过 b 点做 i c 的 平行线啊，或者啊，你就可以做做做做平行线啊，就好像稍微差一点 啊。嗯，假如说这一点是 e 啊，那么我过 b 点做 i c 的 平行线，与 a d 交于一点 e， 那 么那么那么你看一下，那么 b c 是 不是等于 a d？ 就这个圆，这个圆圈的这个线段等于这个长线段，右 c n 是 不是等于这个 a d 这个角？那你看我们要凑出 b n 呢？如果我们连接，你看我们把 b n 要凑到 c m 上，我一定连接什么？ 连接 me， 是 不是连接 me， 那 么当这个 m 点移动的时候，那么当这个 m 点移动的时候， i i n 是 不是 i m 是 会移动，那么 n 点是不是 也会移动？那他们在移动的过程中，那么这个边是不变的，而这个边很等于这个边，那么我们只要证明这两个角相等，是不就能证明这两个三角形全等？那么能证明全等的话，你看是不是 m e 是 不就等于 b n 啊？那么我们目的就要证明 n c b 三角形啊，全等于三角形 m i e 啊， 那么条件其实都都已知了啊，因为平行四边形这个边是不是 相等？那么再还有已知条件，这一段是不是很等于这一段，这是两条边了，只需要知道另外一个夹角，那么这个角是四十五度，那么那么由 平行内错角相，这个角是也是四十五度，所以这两个三角形是个全等，那么全等以后，这两个边相等，那么这这两个边相等以后，我们现在要求是不是转化为求 em 和 mc 的 最小值，那我们只要连接 ec， 也就是 m 撇， m 移动到 m 撇撇的时候，它是不是就是它的最小值？那么我们现在就转化为是不是要求 ec 求 e c 的 话，我们把啊线段的长长度再标一下，四等腰直角三角形，这是四，那么根据等腰直角三角形底边的算法啊，你看这四四的平方是十六十六除以二八二倍根号，这是四倍根号二， 那 bc 等于四倍根号，这是已知条件，那么这些是四，这也是四倍根号二啊，那么我们要求这个 bc， 我 们是不是得放到一个直角三角形中去求，那我们把第二个角先猜一下啊，看我们过他做他的垂线啊， 他说这是 f， 那 么 e f 垂直于 f c， 那 么 e f 垂垂直于 f c， 以后我们这个画好， 那么我我我们看。如果我们把 e f 求出来， f c 求出来，是不是根据勾股定律就能求求 e c， 那 么我们继续标一下，已知啊，因为平行，这是平行四边形，所以这个角是四 十五度，这是直角，这时候也是四十五度，那么斜四十五度，斜边是四四四四四十六十六，除以二八 八，那么呃，四四四四四十六，那么八八开根号啊，他八开根号，这是二倍根号二，那么这是也是二倍根号二，那么那么 e、 f、 c 这个三角形里面就是二倍根号二的平方，加上这是四，是不是六倍根号二 的平方是不等于 e、 c 的 平方？那么这这就是第三个的解答。

hello， 大家好，我是讲中考数学题的陈老师，我们今天继续来看二零二三年甘肃省中考数学试卷的第二十七题，也就是最后一道题目，压轴题。我们还是老规矩，先点赞收藏啊，再观看 啊。最后一道题目呢，这个难度，可能有些朋友比较害怕啊，但是呢，我认为第一问还是比较简单的，第二问也是比较简单的啊，第三问肯定是要费时费力一些。 呃，所以说，我认为咱们普通朋友第一问，第二问，你是必会啊。咱们第三问啊，如果你感觉自己有能力做，呃，考试呢，也有时间去做啊，那么可以去研究一下啊。那么普通朋友呢，这个第一问，第二问肯定得会，而且要做，对 啊，对吧。我这边的一些规矩就是，呃，你如果不会，你可以来听我的课，那如果听了我的课之后你还做不对，那么你到整错题本上，你反复整理，反复整理，反复看啊，反复做啊，那基本上就能解决问题 啊。来，我们看题目，如图一啊，抛物线 y 等于负 x 平方加 b， x 与 x 交于 a， 点 a 点在这，是吧？图一与直线 y 等于负 x 交于 b， 点四负四， b 点在这。 呃，点 c 零负四在 y 轴上啊，啊，这就不写在 y 轴上， c 点给出来在 y 轴上，是吧？点 p， 从 b 出发，沿线段 b o 方向匀速运动。 点 p， 从点 b 出发，沿 o 沿 b o 方向啊，那也就是这个方向， 呃，用中的 o 点是停止啊，这是交代了一个背景啊，那这个题目你看，有些朋友可能题目也不太会看，我分析一下，就这个题目，如图一，到这个停止。这啊，这是叫题母， 就是这个这个题母的这些规则下面一二三问跟他相关的都全相关的内容全部是遵循这个题母的内容有些朋友就题目都不会不太会看啊 啊你仔细要看啊来嘛。好吧求破线。 y 等于负 x 平方加 b x 的 表达式那就是只有一个未知数把它找个点带进去就行了。哪个点在上面 o 点在在上面 o 点是零零那带进去零零 b 算不出来 a 点不知道是吧。呃然后再有个 b 点 b 点给出来没有四负四啊那直接带啊。那个这个第一问就好弄啊。第一问直接带啊第一问直接带进去呃就是 将 b 四负四代入 y 等于负 x 平方加 b x 的。 呃我可以把这些写到左边嘛啊但是呃我可以把右边的写左边左边写右边这个等式等式是相互交换位置等式绝对没有问题的 是吧。嗯那我们来代。 x 等于四是吧负的四的平方加上一个 x 是 四四 b 啊就等于 y 等于负四对吧那就是四 b 就 等于一个四四十六负十六就正十六十六减四对吧十六减四等于十二那得出 b 等于三 呃那这个 y 就 等于多少 y 就 等于负的 x 平方加三 x 有 些朋友说老师我这个老算不对 是吧算不对。那没事你把这个 b 点圆给它带进去啊。左边是负的十六是吧 加上一个三乘四那就等于一个负的十六加上一个十二那就等于负四。负四是不是等于它所以正确啊。这个就是 y 等于负 x 平方加三 x 是 吧。啊那我们来看第二本 嗯第二问 b p 等于二倍根号二，是 b p 等于二倍根号二啊，且在图一中过点 p 作，呃，做 p d 垂直 o a 交抛物线于 d 点 p d 要垂直 o a 交抛物线 与 d 点，并不是这一点啊， d 点在这儿。有些朋友说，老师，我老做，不，我认为 d 点在这儿。那你读题目的就要抛物线与 d 点啊。连接 p c， o d 连接 p c， o d。 嗯，连上把判断四边形 o c， p d 的 形状，并说明理由。形状。那我们现在是先写形状再说明理由，是吧？那现在我也不知道，我只有弄正完之后，我大概看起来它像是个平行四边形， 对吧？我大概看起来像像个平行四边形。那平行四边形的话，我们找证明是平行四边形。那如果是一组对边，就这个边跟这个边平行且相等，就能证明平行四边形，这是我们的猜想。那我们试一下，看它是不是平行四边形，对吧？ 呃，首先呢，我们看这个，呃，第一个条件，对吧？二的第一个条件，呃，不是不写这个，我们直接写一个 o c。 不 不不不不，现在还不能不能这么写啊。嗯，要写什么？呃，如图示， 是吧？过。呃， p 点 做 p d 垂直 o a， 是 吧？交 o 线与点 d 连接 p c， o d。 有 些朋友说，老师，那你为什么要写这个？那人家说是让你做，是吧？做，然后你去给他交代抄一下嘛，这很快的，对吧？呃，然后呢，我们直接就知道这个 o c 等于多少， o c 直接就等于四，对吧？ o 点是零零嘛，对吧？或者你可以把是 o 写上零零，对吧？ 是不是 o 点是零零， o c 等于四。那现在我们要求 p 点跟 d 点啊，就先求 p 点。 p 点是，呃，我们可以这样做辅助线，对吧？画一下，大家画一下知道就行，对吧？那是，这是二倍根号二， 那这个这个边呢？这是二，这是二，比如老师是根号二，二的平方是四，二四得八啊。啊，两个四相加等于八， 对吧？嗯，两个四相加等于八，哈哈，然后八根号八，就二根号合适啊，那这个这个，这个，这个 p 点就好弄了啊， p 点正好坐标就是四减二， x 是 二， y 是 符号，是吧？ p 点好，那将 p 啊，加 x 等于二，现在要求 d 点嘛，对吧？哎，叫代入 y 等于什么？我们这算的负 x 平方加三 x 得 啊， y 就 等于负的四，是吧？二，负 x 平方等于四，负四加三 x 是 吧？六，那就等于二，则 d 点坐标 是什么？二跟二是不是？那我们看这个 p d 等于多少，则 p d 就 等于四，是吧？那 o c， o c 我 们知道 o c 平行且等于 p d 等，是吧？等 o c 平行且因为 o c 平行且等于 p d， o c 跟 p d 平行？不啊，早就平行，是吧？啊，我们忘了交代啊，但是这个题目呢，就就这样。呃，那所以 四边形，呃， o c， p d 是 平行四边形，这第二问就证明了它是个平行四边形，那这个证明之后呢？在前面我们要交代一下。呃，先交代是四边形什么？呃，在这，在这四边形， o c， p d 是 平行 四边形，交待到这，然后如图示，再再去接啊，那这个就搞定了 啊。这个第二问也是不难啊，很快的就可以做完，我这边写或者讲的过程是比较慢的，我希望呢，有些朋友就不要害怕， 我看它是平行四边形，我大概就要证它是平行四边形，证明是平行四边形的定律。我们复习一下两组对边分别平行的四边形是平行四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。那么一组菱角 互补的四边形是平行四边形是吧？ 啊？一组菱边啊，一组菱角互补的四边形是平四边形。好吧，就就先复习到这，好吧。啊，那我们来迅速的看第三问啊，第三问，有些朋友可能确实是害怕呢，确实是害怕呢。呃我这边在做的过程中呢，这个， 呃，因为在这个上面做啊，这个做图不太好做。嗯，我这边的，呃我在这个纸上把它分析了一下啊，做辅助线啊，做出来之后呢，基本就能搞定。好吧，我们看如图二，点 p， 从点 b 开始运动， 这样运动，这个是这样运动对吧？呃然后点 q， 从点点 q 从点 o 同时出发啊， q 跟 o， 呃这个是沿正方向运动啊，这个是在这边是吧？ 两个同时停止运动是吧？呃连接 b q p c b q p c b q 啊， 最小值，那这种我们要干嘛？我们在初中的这个课程里面，科目上提到的只有一个将就一码，我们称为将就一码，是吧，也就是对称，求两点之间直线最短 啊，然后另外一个就是造桥的，造桥的单置点很好，求造桥的问题是这个他桥有长度嘛， 对吧？这是两个问题，在书上提到的那要求最小值就是要去构造啊，这种像将就一码的一些的问题，对吧？我们来分析发现这个 o q 等于 b p， 发现没有？因为它速度一样嘛，是吧？速度，相同的速度，那相同的速度运动的时候， o k u 等于 b p， 那 我们就想办法把这个 b p 跟这个 o k u 如果重合的话， 如果重合，对吧？那我们构建一个三角形，构建一个三角形，它这个 y， 这个是 y 等于负 x 嘛？那这边一定就是 y 等于 x， 那为什么是 y 等于 x？ 肯定是 y 等于 x。 呃，然后我们构建下来，把它相连的话，这个 b 点如果在这， p 点在这，那就剩一个 c 点， c 点就在这，我们标成 c 撇，对吧？ 我们标成 c 撇的时候，我们来观察一下，这个 b p 是 一直等于 o q 的 啊，所以这样去构造的话，如果构造出来，那么我们只要将 c 撇点的坐标求出来，或者长度求出来， 把它相连啊，这个 b c 撇就是咱们要的最小值， 对吧？因为两点之间直线最短。再验证一个它的条件，条件就是条件就是什么条件？就是 o q 等于 b p 嘛？那就是到这的时候， o q 始终是等于 b p 的， 再往大延长，对吧？就更大了啊，所以就是这个啊，那分析清楚，分析清楚，我们来看一下， 呃，这个是四十五度，对吧？这个也是四十五，那正好这个是九十度，那如果知道啊，这个 o c 撇就能高低，那 o c 撇是我们构建出来的，那 o c 撇的长度，对吧？也就是原来的 b c 的 长度，那 b c 的 长度是多少？是不是也可以算出来？ 那这个问题就非常好解决了啊？我，那我们来解决一下这个题目啊，这这样做图之后呢，非常好解决，对吧？思路呢？就是思路，我们写下第三问的思路。 思路都是构造啊，类似于这个将军印马的问题，但不全是，如果是将军印马，那直接要把 b 对 称过去，对称过去，我试了，做不了 它，很巧妙的就是这一段等于这一段，然后构造一个三角形，之后呢，这个问题就非常容易的得以解决，而且有个直角啊，那这个就非常好解决了，真的是太太舒服了，是吧？是斜边。 那构造成这种之后呢？大家如果能听懂这个，我，我写一下吧。呃，思路是构造是吧？构造啊，嗯，做出来 最短距离是吧？分析清楚，分析清楚，这个就能搞定了。那我们来，呃，写一下如图式 啊，如图式怎么了？如图式，嗯，如图式怎么了？哈？这个应该怎么表述？嗯， 做 三角形 o q c 撇儿 跟三角形什么全等， o q c 撇儿就等于 b p c 是吧？啊，要求的最短距离。呃，然后这这里可以表述一下 o q 始终始终 等于 b p， 对吧？啊，这样写可以吗？我认为是可以的，因为我做题目是我怎么思考出来的，用正常逻辑语言去表述出来就行了，当然标准答案在后面，大家可以看啊。 嗯，我们来做一下最后一道题目，肯定做起来比较累啊，比较麻烦。嗯，写到这可以，对吧？写到这可以，嗯，则这个 b c 撇儿为 c p 加 b q 的 最小值。哇，这交代一下，交代一下你就知道我们大概意思，那这个 o c 撇 o c 撇等于 bc， bc 等于多少？ bc 就 等于四嘛，是吧？嗯，然后再然后交 c 撇 o b 等于九十度，是吧？然后 o c 撇。知道了，那那 o b 呢？ o b 也可以知道，对吧？ o b b 是 四，那就是根号下四的平方加四的平方，对吧？十六三十二， 是吧？那就是四倍根号二，对吧？ o b， 那 这个 b c 撇儿撇儿就等于根号下四倍根号二的平方加上一个四的， 就等于，呃，十六啊，十六三十二的十六，是不是四十八？ 四十八根号四十八根号四十八等于多少？这不是十六乘以三嘛，是吧？十六乘以三是四倍根号三， 是吧？十六乘以四三六，合适啊，那 b c 撇就等于四倍根号三啊，则 c p 加上一个 b q 的 最小值 v 四倍根号三啊。当然这个第三问看起来并不难，但是你要去构思做这个做图做辅助线是比较难的， 我在思考的过程中啊，当然在这里面在给大家没说啊，我第一次去思考，我，我自己这里提几个点，呃，当然这个已经做完了，我们先对一下答案，完了之后把我把这个第三问再给大家分分分享和分析一下。 呃，我们看一下这个，这是这是答案啊，给五秒钟时间。第一问，第二问， i d f x 平方加三 x， 合适，这里，这里合适，对吧？我们来看 pc 四边形，合适， 哦。这里不太合适啊，这里刚给大家忘讲，等会儿，等会儿讲，等会儿讲，呃，这个其实作合适啊。嗯，然后我们再看四倍光效三，合适啊， 作图的做法啊，做法都一样啊，做法都一样，四倍根号三，呃，但是这道题目呢，有一些点呃，跟大家分享一下。稍等一下啊， 稍等一下，有一些点要跟大家分享一下啊。嗯，最后一道题目嘛，呃，有一些点跟大家分享一下。 呃，这个因为数学内容比较多，呃，稍微有点卡。 好的，我我们来看啊，这个第三问啊，这个第三问，然后匀速运度 c p u c p 加 b q， 我 们一般的教就硬嘛，我把这个 b 点给它放到这个 b 撇点 去做，有个误区啊大家，呃，这个是不是说绞错，专门往错绞一个误区？那 b 撇在这儿对称过去， b 撇在这儿，我们连接 b 撇 c b 撇 c 完了之后把这些剪掉，能行吗？啊？这是一种思路，我们老师那这不是也是这个。 呃，但是这里头有个误区，我没有去尝试啊，我不知道对不对，哎。可以给大家拓展一下，有些朋友可能能力强一些，需要拓展。你看你如果说是这个情况，你得验证这个 p 点是不是在这了，对吧？啊？就是 p q c b 撇， 对吧？贡献的时候它就是最短的。但是你这里要验证一个问题，就是 p 点在这的时候 p c 和这个 o q 是 不是相等的？这个条件得有这个条件，如果不相等，你即便是算出来了，应该不对 啊，这是一个。呃。然后还有第二种情况，我尝试了一种情况，就是把这个 c p 加 b q 啊，把这四个点距离表示出来，我想我想用这个。呃，如果，如果，假设，假设它是一元啊，假设是二次函数， 是不是就是有最最值？但是呢？计算结果有什么问题？就是有，有两个根号下有，有个根号下， a 平方加 b 平方，加上一个根号加 c 平方加 d 平方，这种，这种要求最小值， 这这种要求最小值能不能求？可以可以。嗯，高中的时候有个叫均值不等式， 均值不等式就是当这个 a 大 于零， b 大 于零的时候， a 加 b 大 于等于二倍根号下 a b 啊，当前仅当 a 等于 b 时，等号成立 啊，这是均值不等式，这是高中的一些内容，可能有些朋友可能已经接触过，嗯，说了这么多啊，其实就是数学的研究和分析 啊，这个题目答案也给大家做了啊，其实讲到这就已经可以了。嗯，然后给大家再简单分享分析和总结一下，就是最后一道大题呢，第一问，第二问，我希望大家一定要有时间做，而且拿到分数 啊，最后一道题如果有能力你就做出来，那分数不会差，你不可能低于一百一的。那有些朋友说是老师我最后一道题连题目都没时间看， 那我希望你呢，就是把最后一道题的第一份跟第二份，你必须要把题目看全，而且要做出来，而且要做对，那么你的这个数学成绩才不会差很多啊。呃，这个标准答案再给大家看几秒，看几秒，我怕那会再是调过去了，一二三四 五，给大家看五秒钟啊，好吧啊，继续啊，这个看五秒钟啊，这个思维勾方三，我也是做对了，但是我的这个书写过程肯定跟这个标准答案是不一样的，而且我也不完全去看这个标准答案。标准答案你们的思维就是往它去靠 啊，并往他去靠啊，并不是完全等于他啊。有有有能力的朋友，就是你做出来之后，你跟标准大家对一下，然后你可以就是把你的这个思考过程呀，还有剪辑的过程跟他去对一下，就是朝着他的方向走，你记着千万不要跟他一模一样 啊，咱们做不到的啊，咱们做不到的。你只你只要把这个逻辑过程写清楚，答案算对，那基本就没问题，就能得全分， 好吧。嗯，还有注意的点给大家说了，就说是探索关系的呀，什么有什么关系要分析原因的，你先把你先证明完毕，之后把那个结果还要写到最前面，这样才是个完整的过程，对吧？来，我们看一下，你看你看， 是吧？人家说是四边写，是吧？理由如下，当然我们已经证明了他是这个，然后再反过来， 呃，反过来去看啊，当然刚才还有个第二问，刚才提到一个问题啊，对啊，看全我的这个内容的朋友可能获得的内容就比较多，但是我们证明了这个这个边是平行且等于这个边，他是平行四边形，那我们这个边跟这个边的关系 是否会相等？相等的话是不是就是菱形了，对吧？我们没有去验证这个问题，我看到标准答案也没有去验证啊，当然这个肯定是不等的，大家可以去验证一下，大家可以去验证一下他不等。这里其实我认为他要他要加一个这个 o d 是不等于 o h 的 啊，如果听的朋友应该 o d 不 等于 o h， 所以 它是平行四边形，要是等于 o h 呢，对吧？它它一定是菱形，对吧？那判断形状的时候时候，对吧？四边形都有什么？梯形 对吧？平四边形，菱形？正方形、矩形，对吧？这这都有可能的啊。好吧，这道题目呢讲的非常详细啊，希望能帮到你啊，能帮到你，尤其这最后一问。嗯，这个他这还证明了一个全等，对吧？嗯， 好吧，那就这样吧，就是标准答案也给你们了。呃，就是标准答案，你可以去仔细的分析和研究啊，用标准答案去做也行，但是我这个讲解题目是比较详细的，讲的非常清楚啊，就是不懂的朋友你可以多看几遍。好的，如果感觉到这个 帮到你的话啊，那个点赞收藏及转发啊。啊，谢谢你的支持啊，二零二三年的中考数学题，甘肃省中考数学题就给大家分享完毕啊，谢谢你的观看，请点赞、收藏、转发，谢谢！

今天我们继续兰州中考题型速通专法，那么今天讲的方法是兰州中考数学就新定义压轴题的 解法，那么这个呃方法很重要啊，那这对于中考数学要考一百零五或者一百一左右的同学，那这个方法是必须得学会的啊，那么它的通用解法是新定义解析法，专门针对这种 呃新定义题型的一个解题通法。那么我们快速的先看一下我们遇到新定义的这种题型该 该怎么去解啊。首先第一问或者第一步啊，一步一法，第一问我们直接根据什么新定义的，他的定义的概念，那么我们解析 或者理解他的他的什么新定义的，呃，原理，那么直接在图上直接能找出答案。第一问其实很简单，但第一问非常非常重要，那么你对第一问如果能理解彻底理解这个新定义，那么第二问，第三问他一定是在什么你理解这个新定义的基础上去展开的啊。 呃，所以第一问虽然简单，但是第一问一定得花一定的时间，得理解这个新定义，那么这是第一问的解法，第二问的解法一定是什么特制法。 第二种往往是在这个新定义的基础上，他给你给了一个什么新的图形，那么你只要在这个图形上找到特殊点，那么找到某些特殊点，这些特殊点就是第二种的什么。嗯嗯，解析的答案啊，那么关键呢就是第二种你得找到特殊点，得画图啊， 这是本质上这种新定义的体现，他考的还是几何。那么第三个往往问的是求范围啊，因为求 求某个坐标或者某个直线的斜率呀，呃的那个最大值或者什么最小值，那么第三问，那么其实也不难，那么 第三问的解决思路呢？就是你用极限思想，你可以无限把它放大和缩小，然后利用这个新定义去观察画出它的什么极限图形啊，一定要画出什么极限点的图形，也就是极值图形啊， 极值极值图形，那么极值图形画出来之后呢，我们利用相应的简单的几何知识就能解出它的什么范围啊。那么我们 就以呃，去年兰州中考最后一道压轴题为例啊，来演示一下这种新定义解解析法如何去解这类压轴题啊？那么首先我们快速的把题先嗯读一下啊，那么它已知一个新定义是啥？如果图形 w 上， 图形 w 上，这点很重要， w 上或者内有一点 n， 那 么 n 一定是在图形什么 w 上或者内，那么 n 与凹与原点不重合，那么右一只平面内， 也就是在 w 外有一点点 p， 那 么 p 点关于 o n 的 对称点，假如说 pp 啊，我们把这个假设我就定义为 pp 啊，那么 p 点关于 o n 的 对称点， pp 一定在什么 w 上或者 w 内啊，所则 p 点是 w 的 引射点。那我们来怎么理解 这个引射点的含义呢？我们利用第一问啊，那么第一问他问的是图形是 a b 啊，呃，那么呃，图形是 a b， 他的坐标是，就是这一点是 e 啊，这一点是负一啊，那么图形 a b e， 他 问了 p 一 和 p 二哪个点是 a b 的 什么引射点，那么我们就刚好用第一问去 理解一下这个引射点的真实含义啊，那么理解真实含义一定得标出来，标点就是你把定义里面的点 在新图形上，一定得什么得表表示出来，那么那么我们看题目啊， w 内和 w 上有一点 n， 那 么我们把这个图形这个 a b 是 不是记作 w， 那 么有一点 n， 现在这个 n 呢？一定在 a b 上啊，假如说我们随便找一个 n 啊，那么 平面内有一点 p， 那 么平面内的 p 它标出来了，一个是 p 一， 一个是 p 二，那么 p 关于 o n 的 对称点在 w 上啊，那么我们连接 o n 啊， 这个 n 点是可以是 id 上任意一个点啊，那么我们看一下 p 一 和 p 二，谁是？ 呃呃，图形 w 的 引射点，那我们先看哦，先看 p e 啊， p e 关于他的对称点，如果我们这么做下去，那他不不不，一定就是这一段，就相当于连接凹 n 过 p e 做凹 n 的 垂线延长，那么相当于这一段距离，一定等于这一段距离，那么这个我们看不出来，我们找特殊点，假如说你看啊 n 点是 a 的 话，啊， a 就是 n 点，那么 p 一 撇是就是撇， 嗯，或者说这个这个，这个，呃， p e 是 p 啊， p e 是 我们原先的这个 p 啊，就平面内的一点，那么你看我们连接 o n 是 不是？那么 p e 关于 o n 的 对称点，我们做垂线 一定在这个点上，那么所以 p 一 一定是它的什么引射点，那么其实我们发现这个引射点的真实含含义是啥？那么这一点就是 p 撇了，那么就相当于 p 撇和 p 到直线的距离是相等， 而且看什么就相当于是 p 一 和 p 撇在直线 o 的 什么？就是，呃，呃，垂线上面啊，就是，呃，那么这个，这个其实就是引射点点的真实的含义啊。那么在我们看下 p 二，那么 p 二点在这，我们要找 p 二。关羽，呃， p 一， 那个 p 二你看是不是 w 的 引射点，你看我们假如说找一个图形啊，我们把 o n 延长，那么对称点在这儿，那么我们再找它另外一个啊，假如说 o b 最大的一个 b， 那 么它的引射点是不就到这儿去了，那么也不在图形 w 上，所以 p 二不是，呃，图形 w 的 引射点啊，那么这是第一个，那么我们理解了引射点的含义，其实其实就是假如说一个点关于一条直线 或或者啊，就关于一个线段它的对称点，它的对称点在另外一个什么图形上啊，那么这条直线一定是 o 和什么 n 啊，这个 n 点和 p 点都在图形上，那么凹点是圆形，那么 p 点关关于凹 n 的 对称点，呃， p p 也在什么？呃，那个图形大致上，那么这就是，呃引射点的含义啊，那么我们有了引射点的含义，我们快速的看看第二个，那么已知 直线解析式为 y 等于 x 加 b 啊，从咱们在直线上存在一点 p 是 w 二的什么引射点？ w 二是一个正方形，这个坐标是一一啊， 那么负一一负一负一啊，呃，一负一，那么我们要求 b 的 最大值， 那么根据其意，那么第二个我们一定找什么？找特指的画图啊，我们先把 y 等于开，随便先画几条出来啊，那么因为 y 等于开，开开 x 加加， y 等于 x 加 b， 那 么这是一条， 我就，其实我们应该换特殊的几条啊，那么换，假如我们换特殊的三条，那么他说在 y 等于 x 加 b 上存在一点 p， 使得 p 是 w 二的引射点，那么求 b 点的最大。我们都知道 b 点的最 b 点是 这条直线与 y 轴的交点，那么所以 b 点就是这几个点啊，那么要求最大时，我们先看一下，如果我们把 b 无限放大，那么你看他能不能存在引射点啊？那么首先讲说这是 b 点啊， 那么那么这是 b 点的话，那这条直线上你找 e 点，那么假如说我在这条直线上，我随便找 e 点啊，那么他要是这条图形的引射点，我是不是在这条图形上看？在这个 w 图像得找到一个点 n， 如果你看我找这个点 n 的话，好像引射点引射不到，那么我这个点 n 是 到这去了，那么如果这个点是不是到这点去了也不行，那么我就找最远的一个点 n 是 不是就是它？ 那么最远的一个点 n， 你 看一下，我要让它的就是 p 点，也就是 p 点上任意一点到这个值，到这个关于这个凹 n 的 那个啥，呃呃，他的呃什么？就是对称点在这个图形上，那么这个图形最远的一个距离是就在这，所以这个点屁，如果在这的话，如果我们做垂直是不是就到这去了？所以一定在点外，那么特殊点一定找到是这个什么 负一和一这个点啊，那刚好这个点的对称点是不是刚好是一和负一啊？那么那么我们把这个特特值特殊点找到以后，我们再求相应的 b， 这时就是 b 的 最大值，那么很简单，由于 这个是一，是不是？呃，那么相当于是这个是一，那么这个这个是一的话，这是这个一定是一个什么直角三角形啊。所以 o b 的 距离一定是什么二吧？ 二，那么说 o b 的 o b 的 距离是二，那么所以 b 的 最大值， b 的 最大值一定是小于， 也可以等于二啊，那么 b 的 最大值就是二啊。那你看第二种，其实也很简单，第二种的关键就是找什么特殊值，找特殊点就是符合 t 的 这个特殊点，画出图直接解啊，那么关键是画图啊，你再看第三个， 第三个他说圆是以 o t 为圆心的，呃，以 o t 为圆心，半径为一啊，这少一个条件， 而半径等于一啊，半径为一的那么一个圆，那么 p 点在 x 轴上， p 点一定在 x 轴上，那么 p 点在 x 轴上是 w 三的引射点，求 t 的 范围，那么 t 的 范围其实就相当于是这个点 t 到，哦，就是点 t 的 什么？呃，重坐标的范围啊。那么那么我们拿到这种题，第三问这种题以后，我们一定要考虑到什么极限，极限思想，那么假如说啊，我们看一下，我们把这个 t， 我 让这个 t 无限次的增大，假如说我 t 增大到， 这是我们一个思路啊，我们先看这个词，如果我们把 p 无限制的放大啊，无限制的放大，你看 p 点在 x 轴上， p 点在 x 轴上。假如说，我们先先取一点，先试一下 p 点在 x 轴上，那它是关于 w 三的一个引射点，那么我们是不是得在这个上面找一点 n 呀？ 假如说，我找一点 n， 我 连接凹 n， 假如说我随便找一点，如果我 n 点找到这连接凹 n， 那 p 点关于这个凹 n 的 对称点是不是肯定在圆之外，那么怎么能让它在圆之间呢？所以我 这个 n 点一定得找到圆的右侧啊。假如说我找到这个最大范围，假如说我找到这个，这个是不是就这个切点？ 切点的话，你看我现在我过 p 点做这条直线的垂线，我延长它的 这个点，是不是都劈铁到这去了？肯定是在圆外，是不是，那么在圆外呢？所以我无限放大行不行？无限放大不行啊，所以我们得把这个圆往下移啊，往下移，我们移到什么位置呢？移到的位置是假如说我现在移到这个位置以后，我找 p 点关于它的引引 设点啊，那我们看一下，我们放大以后，我们给我们一个什么思路， n 点一定在这个什么切线上吗？就是这个一定是什么 n 点啊？那么 n 点在这儿的话呢？我们把凹坑确定了以后，我过他做他的垂线啊， 过他做他的垂线，那么这点是不是就是 p 撇点？ 假如说这点就是 p p 撇的地方，比如垂直，那么 p， 假如说这点是 e 啊，那么 p 撇 e 是 等于 p e 这两个三角形全等，这两个三三三角形全等的话，除除除以这个边等于这个边啊，那么这其实就是它的领界点啊，为什么是它的领界点呢？如果我把圆稍微往上移一移， 我把圆稍微往上一移，这个直线是稍微竖一点，那么他关于他的引射点一定就变成什么圆外啊，圆外，所以这种图形就是他的什么领界图形啊，也就是极致图形，或者找什么领界图形， 那么领界图形找，找到了之后，我们再检验一下，那么我把这个 t 如果往下放，那么往，如果 t 再往下放的话，那么这个 n n 点，关于 n 点的这个对称点一定在什么圆内啊？他也符合体，那么竖， 而且这个 n 呢，我可以不用切线，可以向上移啊，所所，所以那么现在的这个 t 点的位置就是这个圆的是吧？哦，就是这个 t， 这个 t 点的是吧？最大范围啊，也就它的临界点，那么我们现在要求这个临界点，那么已知这是切线， 那么我连接切线，这是垂直于它，那么如果我连接这个点，那么 p p 撇是不是也垂直于 o p 撇，所以 p 点一定是个 p， p 也也是个切线法，也是个切线的话，由于这两个三角形全能，这个角 r 法是不等于这个角 r 法 是不是，那么这个角 r 法等于这个角 r 法。又因为 o p 撇和 n 是 切线，所以这个角是不也等于 r 法？ 那么我们是不是就能求出了阿尔法的度数？因为我现在只知道它半径为 e， 我 要求 t， 是 不是我解，我是不是？我们要用解直角三角形的思路，那么解直角三角形的思路，在一个直角三角形中，我要知道一个角和一个边，就我一定得知道一个边和一个角的正弦与弦或者正切轴才能解这个 三角形，那我现在要求凹 t， 那 么 t 一 撇有了，我是不是还得知道一个角，那么我就就让我们得去求这个角的度数，那么我们根据刚 这个思路啊，这两个角相等，又这两个角相等，所以这个 r 是 等于六十度， r 等于六十度，这个是等于三十度，三十度所对应的边是斜边的一半，所以凹 t 是 不是等于二，那么凹 t 等于二的话啊？呃， 如果是 o t 等于二的话，那么你看一下，所以二是 t 的 什么最大范围啊？呃，最大值，那么它现在要求 t 的 范围，那么我们根据对称性啊，那么向上可以是，向下也可以，所以 t 一定是大于等于负二，小于等于二啊， 那么这就是。呃，兰州市中考数学最后一道就新定义压轴 t 的 解法。呃，那么它的解题方法很固定啊，大家只要 多按照这种方法相应的练几道题，那么把把就是解析新定义，包括找什么特质。第二，第二步，找特质画图，第三步找临界，第三步，用极限法找临界图形，然后画图，那么能图能画出来，那么这道题其实也不算很难。