数学必修二立体几何证明题单招

请坐，那今天我们把空间中线跟面这些垂直的问题我们再理理，但首先是 垂直，线跟线垂直，怎么判断线跟线垂直啊？你可以根据定义是吧？假小九十度，对吧？也可以，怎么样 深格考虑什么线和面垂直？那这个面我们往往去找的是什么面？ 空间中两条线要垂直，那要把意面的垂直转化为雾面的垂直，怎么转化为雾面垂直啊？把一条摄影到另外一个所在平面吧， 那实质上我们就证明线跟这个面垂直，这个办法叫做三垂线，是不是三垂线定律，所以线线垂直我们常见呢？这两招，那我怎么来判定线跟面垂直啊？ 根面里面任一条是地狱，但是好操作呢？ 每一条理都要去验证一遍，所以我们采取的办法是啊， 我们用两条线来代表这整个平面，所以他必须是这个平面的什么机机理， 所以通过线线垂直可以得到什么呀？线面垂直，那这个就是他的判定力，判定力。哎，那两个面垂直呢？ 什么叫两个面垂直啊？二面角，二面角，二面角是直的二面角，所以我们可以用定义来判断，我们去计算到二面角九十度，所以它们就垂直了。 或者呢判定定律，那就是线面垂直得到什么呀？面面垂直，一个面或另外一个面的 垂线，一个面过另外一个面去，那么这两个面就垂死了，所以我们要判断一下，直观判断，哪个面的垂线都好找，要找出来 啊。那么也可以由面面垂矢得到什么线面垂矢，所以可以用面面垂矢的。面面垂矢的怎么样性质定律来判断线和面垂矢 啊？当然，那面面垂直，他的判定定律是什么？垂直，对啊，那就一个面过另外一个面的垂线判定定，对吧？ 那当然这就是垂直。那我们还可以有用垂直来证明什么呀？平行，用垂直来证明平行怎么证啊？ 垂直一平面的两直线是平行的。垂直一直线的两平面呢？啊，也是平行的，对吧？所以由垂直来证明平行关系，这说明垂直跟平行之间有内在的联系。 好，大家，对吧？那我们先来看一下第一个问题，图图，这是一个三棱锥， 这两个面垂直，还告诉我们这一刻是垂直的， a 和 a b 是 垂直的。有这样线线垂直 来，弟兄们怎么选？ 也就你的车链是过屁座。这个啊，我们具体的车轮呢？车链上面 要线线垂直啊？线面垂直，哪个线？哪个面？到底是 a c 垂直， a b 锁在平面还是 ab 垂直？ a c 锁在平面，为什么是 ab？ 因为这一条要我们挣的，是吧？这条是已经有了，那你如果 都跟他垂直的，那叫 ab， 就 会跟谁垂直啊？啊？跟哪个平面？ p a 跟 o c 所在平面吧，那就是谁 p a c， 对 吧？所以你刚才你说的是什么？ 由面面垂直是吧？正面找一条跟 a b 垂直的吧。怎么找一条跟 a b 垂直的啊？过平做 a c 的 垂线，垂出记为 n， 那面面垂直可以得到什么啊？线面垂直，它就 p n 垂直于一面， a b c， 那 这样子 p n 就 会垂直谁啊？ a d， 所以，所以 a b 就 会垂直谁？ b a c， 所以 线线就平行了。好，所以两线垂直，把一条线分隔为一个面，分隔一个面，这个面往往找的是投影面， 但是，但是，各位，哎，我们这 a p 怎么样？跟 a b 是 已经共面了，我们找同一面，经常是把异面的变成共面，他已经是共面了吧？他已经是共面了，所以我们目标很明确，就是证明这对应的这个平面啊。嘴巴线伸折为面。 来，继续来看一下，底乘四轮锥，它的底是一个直角梯形，这两个角是直角。再来三段， c、 d 是 一个单位的话，那其他呢？ a b， b c， p， b c 都是两个单位 啊，把条件可设外，对吧？标起来啊。再来，这里还有两个面垂直，标注一下，那 pa 跟 b d 是 否垂直？请证明你的结论。 来来，我们承载了你 意面随形是吧？这两个是意面之间，那怎么办？ 摄影是吧，那这个把谁摄影啊？是 b d 摄影是在啊， pa 水上平面还是 pa 摄影呢？怎么做摄影啊？做 p 点去做垂线。垂线在哪里做啊？ 垂线在垂面里面，做交线的垂线。那我这里数有面面垂线，所以怎么做？ a b、 c 是 什么概念？ 等腰，所以我们取 b c 的 中点 m， 然后这坐下来以后， pm 是 垂的底面，所以 pa 在 底面摄影是谁啊？ am， 所以 我们目标，目标去证明谁 来目标证明 b d 垂直平面， a m 是 吧？朋友们， 那我只需 b d 跟谁垂直？ a m 这样 b d 跟 a m 垂直怎么测啊？那这个直观读不好看，我们把它的平面图还原出来，这个是 b d， 这个是 a m， 这看起来像九十度哈，怎么整？哎，别扔像，对吗？可以，还有什么办法？可以什么计算？计算哪个量？哎？正切哪个角？正切值？ 哎， b 啊， b a m 等于几？哎， 二分之一是吧？这个角正切出来二分之一，然后呢？再去算哪个角？正切这个角好算吗？ 不好算，不好算。这个角算哪个角啊？算哪个角？ d b c d， b c 也等于几，说明啥？ 说明这两个角是相等的，这两个角相等搞定了没啊？所以这个角跟他九十，那这两个角加起来垂直。垂线吗？搞定了，或者呢 两条线垂直，什么？项链？是不是项链啊？你说这样系行吗？ 总之可以利用几何三四全等，也可以用什么计算？计算什么？三角的或者呢项链的是不都行？请做。 那我个人比较偏好计算它的正确值，不是直角算一定。哎，这不很多直角吧，正确如何算？ 那么你如果算这个正切时呢？ a b d 呢？那应该他的正切跟他的正切相乘要等于几？ 以相乘等于一，是不是就赋予了把三角改为面？什么面 射影，射影面？对，把这个图影面，那其实就是叫做三垂线定力。是不是三垂线定力？ 好，接下来我们来看一下。面面垂直，那你要面面垂直，那就价格考虑。什么？线跟面垂直，那就一个平面要过另外一个平面的 啊？垂线就一个面过另外一个面的垂线。好，我们省题，这是一个四人柱 自然做那个底边是四边形哈，并斜差是正方形，圈出来第二个 a e a b d 和 a e b d 是 相等呢？角相等。求证，这两个面是垂直的。来思考一下。 uhh， 各位，我们的逻辑线条要面面垂直，那就面跟面垂直，而要线跟面垂直 啊，所以它最终的核心是线跟线的垂直，那我们要评估一下这两个平面谁的垂线好找？ a， b d a b d a， b d 往往是体对角线，是吧？ 这里好像不是那么好正的，是吧？还有那一个平面啊， a， e， a， c， c， 这是一个对角面，是一个对角面，好像它是站着的啊，好像它是不是站着的？ 那哪一条是它的垂线？一次是 b、 d， 对 吧？几何直观上面和线外一次是 b d， b、 d 有 垂矢的吗？啊？ b、 d 垂心， a、 c 的 一条还不够，对吧？那线段哪个条件粗啊？这个角你也可以怎么解读？ a， e， a 相对底面来讲叫它的什么线？ 斜线？哎，这个斜线的话，我们在上一次做了好多心投影，是什么心的问题，对吧？ 那今天这个斜线有什么特性？斜线跟面里面两条线所成角相等，与面中两条线所成角相等。 那有什么结论呢？则他在里面的摄影是什么啊？摄影是角平分线是吧？摄影是角平分线， 哎，怎么证明他摄影是角平分线？那这个角放在哪个三角形里面研究？ 而前面的是个 a， e， a、 d， 然后左边的是谁啊？ a e， a， d 这两个三角形 相等，那这两个数还相等完以后呢？啊，这两段是不是相等的啊？所以由这个相等可以得到的是 a， e， d 等于谁？ a， e， d， 对 吧？ 啊？利用群的得到这两个相等，这两个相等有什么用啊？啊？三线合一，那我们的 o 是 b、 d 的 中点，所以呢， a、 e、 o 垂直于 b、 d， 对 吧？ a， e， o 垂直于 b、 d 以后怎么样？ 那我这个臂力是不跟正面就垂直了，臂力跟正面的垂直了，所以呢，所以这束中线也是高，因此是他的绳线 来。三线和一是也是角边线，角边线，对吧？那好，那我 b d 跟正面里面是不是有两条线都垂直了，所以 b d 是 不是垂直？正面了， 所以得到 b d 垂直于平面， a c d， 对 吧？然后你一个面过另外面的垂线，所以面面就垂直了。 好，那这里面有三角形，我们是不是利用三角形来？如果没有三角形，咱们咱们怎么办啊？ 那就去过 a 一 哎，做正面的垂线是吧？ a h， 然后呢， 然后过 a e， 再做 ab 的 垂线和 ab 的 垂线，我们垂足即为 e f， 那 么 a e a e a e f 出全等呢？所以 a e 就 会等于谁？ a f 做 a e 等于 a f， 或者 a e 等于 a f， 那 a e 跟 a f 是 不是两条斜线？ 两条斜线相的折什么也相等，这也相等，所以 h e 等于谁？ h e 等于谁？ h f。 而 h e f f 是 不跟两边相垂直的， 所以这两段就叫做这个点到两边呢，距离，距离，如果相等到两边，距离相等，所以平行在它的什么线上？角平分线上，角平分线上， 所以它在角平分线上，所以勾上，勾上三角形来啊，勾上三角， 所以面面垂直，这样可考虑线面垂直，核心是线线垂直，而要线线垂直，又是线面垂直，是这种啊，循环的逻辑上面来啊， 第一次如果引入动点呢？那我们要去探讨跟垂直关系的动点问题，那怎么来想啊？好，我们看题，这是一个正的三楞柱， 底是正下弦没有歪掉，是直的楞柱，那叫正三楞柱。再来 a e a 四个单位， a b 两个单位， m 是 中点， m 是 a b 的 中点，证明两个面垂直 一周喽。看完图形，谁的垂线好找哎， 是 b m c e 的 好找，还是 a b e 的 好找呢？ ab e 的 ab e 是 我们前面的面，那它的垂线去哪里找啊？ 那找一个面的垂线，要得到线跟这面垂直，去他的啊，垂面，这前面，这个面跟哪个面是垂直的？已经垂直的 上里面，什么上里面就垂直了，所以他的垂线就是 再算里面根交线垂直的，那就是谁啊？ c e m c e m 垂直于平面， a b e 搞定对吧就好了啊，那这正三柱 底是一个正三角形，这个证明垂直线面垂直是不是好正？搞定了，所以面面垂直，那就有价格考虑。怎么样线面垂直，而线面垂直呢？ 又深，更考虑什么面面垂直，把这不好证的面转化为好证的这个面里面去转化的曲线啊。看第二个 b b 上面有没一点 q， 使得 a e q 跟 b m c e 垂直，如果有，把这个比值算出来， 哈哈哈哈 哈哈哈哈。 哎，王思凯，你怎么想 要找面的垂线？只要在垂面里面找 交线的垂线，而我 neq 竖在了垂面里面，所以要垂直，我只要找交线 bm 的 垂线，那请问 q 点在什么位置，我会有垂直呢？ 哎，跟刚才一样的，那就去算这个角的什么值，它的正确值是等于 q b 比去谁二？说 q b 比去二，这是 q a b 的 正确值。 来，这个角多少钱？我们去取这个角，那这两个角应该要干嘛？相等？相等，那这个角的正确等于几啊？ 啊？这个角的正弦 m b d e 是 四分之一啊，那你要相等，那就不要等了，那这样等的话， q b 就 等于几？ q b 等于二分之， q b 等于二分之一，那 b e q 跟它的比值呢？上面就二分之几，所以它的比值为几？ 一直为七啊，那我们写的上应该怎么写？当哎， b e q 除以勾 b 等于几的上七的时候， a q 就 会垂直于里面 b c e m， 然后呢，证明 如下是吧？先证什么？先证？这两个证先相等，所以呢，所以角角 q a b 是 吧？加上角加上角 m b， a 等于几度 九十，所以，所以 a q 垂直于 mb， 对 吧？ 为什么谁他这个线就谁的面？又因为两个面垂直出第一步已经正了 面，面垂直，然后再加个什么在面内，是吧？然后垂直交线，所以这边强调一下， a q 在 平面 a e b 里面，所以呢，截得出来没？ 所以我要线面垂直，我就去他的垂面里面找交线的垂线就行了。这垂面已经第一步证明完了，那我就用第一步的结论，马上就正第二步。 好，我们继续来看一下这个动点的问题。这是一个几何体长什么样呢？ e a 跟底面是垂直的，然后 e a 跟 dc 是 平行的， 那这个平行等于告诉我们什么？ dc 也跟底面怎么样垂直的？再来， ab 跟 ac 是 垂直的，所以这是一个什么模型？哦，这边是一个墙角， 这边是一个墙角，再来长度 d c 一个单位，那 e a 呢？两个单位， ab 两个单位， ac 两个单位。原来这个墙角也可以看作是 正方，而正方体的一部分，是吧？也可以看作是指三棱柱是切削下来的正方体切下来的部分。 好，那搞清楚几何体的结构以后， m 是 它上面的什么呀？中点，因为当 m 是 终点的时候，要这 bc 跟这个减面是垂直的，当 m 是 b d 的 终点时，求证 bc 跟这面是垂直的。 it's just it's just。 各位，这个面 e a m 长的有什么特点啊？ 不完整啊？有什么不完整？什么局部的？局部的什么？ 把这洁面给补齐了是吧？怎么补？不不不，不，做垂直，我们一般做中间做垂直不好做。你看几点连线是吧？几成点？ d c 的 终点 n， 然后连起来则 m a 跟 d c 平行，所以 m n 跟 e a， 所以 这四点是共面的，所以我的整个结面都长这样， 整个结面长这样，而且这个结面又长了什么特点？是站着的，是不是站着的跟底面是垂直的，然后我必须要跟他面垂直的，然后我必须要跟他面垂直。 那我只要去他的全面里面找交线，全面是吧？我的全面是谁啊？就你是谁呀？啊？ 我的前面说 a b c 啊，只要在 a b c 里面掉线是谁啊？ a n b c 跟 a n 垂直就行了。 b c 跟 a n 会垂直吗？所以 b c 垂直 a n， 而 e a 垂直谁？ b c， 所以 b c 会不会垂直？整个平面 搞定，这是一问，这局部不好看怎么办？延展对吧？对于几何体来讲，延展一下就看的好太多了。 哎，朋友们，继续看。第二问，现在问的是是否有点 m m 是 动呢？ 这不是终点吧，使得 e a m 和和 e b d 怎么样垂直？ e a m 跟 e b d 垂直。 如果有，把这个 m 点的位置找出来是吧？ 我要面面俱至，我只需 线和面垂直，只需线和面垂直，谁的垂线好走，谁的垂线好走？第一个 a m 是 这样子的 图，它的垂线如何走？ 但只需在底面里面跟谁垂直就好了 啊？就是 m 点现在动了啊，那我这个 n 撇吧， n 撇是不是也动了？那我只需在平面里面跟谁垂直？ a m 撇垂直，那行，那我就这条跟 a m 撇垂直吧。那跟你这边数一个焦点，我把这个焦点记做 f 吧， 我们只要找到 cf 跟 a n 点，随时搞定了，对吧？但很可惜 cf 在 不在 ebd 里面？不在什么 哦，要移到面里面去是吧？那就是要把 cf 移到上。怎么移上去？把 c 点移到谁 d 点，那把 f 点往上往上移到 g 点来就行了吧。那现在呢？要能移上去，刚好移到里面去，所以 g f 跟 d c 要什么相等？也是一个单位，所以我这个 g 点是什么点？ g 点是终点， 从下反推回来，你要能移回去，所以 g 点必须是什么点？终点，那 f 点呢？终点，那 f 点是终点？ f c 要跟 a 与 n 垂直，那 a 你 的位置确定了没？ 好，那我们把它平面图形还原出来，是吧？这两个单位这边中点，这不一个单位一个单位，然后连起来啊，然后呢？ f c 要跟谁垂直？ a n a n 是 不是垂直？ n 撇时候跑到这里来？这里要垂直， 怎么来？算？ n 点的位置正确啊？正确，是吧？正确，那应该是这个角的正确。跟谁啊？ 跟这个脚是要负来这个脚，跟这个脚要本来就得负于的，是不是啊？这个负于，那这个这个脚呢？ 啊？这个角跟这个角应该要干嘛相等，所以它应该是二比一，这个是不是二比一的？哎，那怎么算？我们做一个高下来吧。 那这个这个角跟这角是不是二比一的？所以我设这段为 x， 那 这段呢？二 s， 那 这段是二 s， 这段呢？啊，这段数也是二 s， 所以呢，整个就出来， x 三 x 三， x 等于二，所以 x 等于几？三分之二啊？ s 等于三分之二，那这边就等于三分之四，所以这点是什么点？三等分点，所以说 n 点也是几等分点？ 三等分，那 m 点呢？三等分点，用 b m 比 b m 去比啊，啊， 当这个上，那我们证明的，那怎么这样？当 dm 等于 b m 的 比为二的时候，然后我们取 m 点，使得这也是比值为二，所以是不是延展下来，是不是？ 然后啊，然后我们去证明这条线跟谁跟 f c 是 垂直的，所以 f c 垂直，这个面，对吧？ 右它是终点，所以取终点。这段跟这段平行，所以 f c 平行，谁 g d 啊？所以 g d 数也垂直面，所以面面就垂直了， 所以我们要线面垂直，那就线跟面垂直啊，在全面里面找交线的垂线，如果能一步到位，当然就好了，如果一步到不了位，那我们就两步，先把垂线找出来，然后再 平移，再平移进去。啊，这是动点，能这么来看究啊，这么来看究，去找它的充分条件。好，那同学们再把它跟方折结合在一起。 已知梯形中 a b 跟 p c 图形，这是底，再来 pa 等于 a， b 等于 bc， 然后 pc 是 pa 的 两倍， p c 是 pa 的 两倍啊，这一份这段呢？两份 a b 一 份 b c 一 份，这是一个什么图形？等腰梯形下底是上底的两倍， 然后 d 是 终点， d 是 终点，那么连起来呢 啊？这边是什么原因？等边？那这边是什么菱形？这菱形长的什么特点？六十度的菱形，是不是六十度的这个菱形？ 所以你先把这个平面图形的系数根据这些条件是不足够推出来了，所以因为这些条件你抄一遍，所以呢，三角形 a、 d 为等边呢？ 然后呢？ a、 b、 c、 d 为菱形，这菱形还有什么特点？且叫 b、 a、 d 等于这平面的问题，直接下结论。 好，那现在呢，我们把 p、 a、 d 翻起来， a、 d 是 不是它的轴？ a、 b 是 它的轴，在轴的轴的同侧，这图形有没有改变？翻起来以后构成四轮锥，所以翻起来的 p、 a、 b 是 什么图形？ 还是等边？ a、 b、 c、 d 呢？还是菱形？有没有改变？没有，但是 p 点到 b、 c 的 距离改变了，没？翻起来就改变了。那我们继续来往下看，使得它体积最大。求证 b、 g 跟 b， a、 d 求次， 体积最大啥意思？点 p 要跑到最高点去是吧？ 点 p 什么时候会跑到最高点去啊？他应该是值得，就值得 n 米小，所以他要体积最大则会怎么样啊？ 里面 p、 a、 d， p、 a、 d 垂直，谁？里面 a、 b、 c、 d 是 不是啊？他情绪上就告诉我们，这个面，这底面是垂直的，弯道垂直，弯道垂直，第一步既是终点。求证 b、 g 跟 p、 a、 d 垂直，那这个 b、 g 跟 a d 垂直， 那就 b、 g 跟 a、 d 垂直，那就 b、 g 跟 a d 垂直。 你怎么来说 b 七跟 a、 d 垂直啊？那你刚才说你是六十度，是什么菱形？所以呢？三角形 a、 b、 d 是 而等边三角形，所以呢？ b 七垂直，谁？ a、 d 因为体积最大，两个面垂直，所以在面对垂直交线则有线跟面垂直，所以第一步是不证明好了。 第二， e 是 bc 的 终点，在 p c 上是否有一点 f， 使得使得 d， e， f， p， f 和 a、 b， c、 d 垂直呢？ 钥匙的面面垂直充分线横， 谁的垂线好找啊？说 a、 b、 c、 d 的 垂线好找， a、 b、 c、 d 的 垂线在哪里啊？来一条啊。 那就去找 a、 b、 c、 d 全面里面找交线的垂线吧。它的全面是谁啊？它的垂线是谁啊？啊？ p g 是 吧？ 很遗憾 p g 不 在你那个面里面啊，平移过来是不是要找它？平移线 要过一条线跟正面平行，过线做面找用什么来投影这条线？所以我们把谁连起来？连起来， 连起来这点是什么点？中点？那你这个 f o 要跟 b 线平行，所以 f 点？是 啊，我们是不是已经来了？首先最终结论， f 点四啊， f 点四终点的时候是不是可以做得到了？ 那我们可以用平底把这一条 p 气换成谁，换成 f o， 而 f o 数在这平面里面呢？搞定。 所以我们判刑的时候还是按照找他的充分条件啊，把线把面面垂直问题这样个考虑线面垂直，而要线面垂直又深个考虑面面垂直， 然后我们就可以找到这条我们相应的线了啊，那今天就到这帅哥吗？

老师好，请坐好，那今天我们来看一下空间几何体的外接球跟内接球的问题， 那么第一类像这种怎么办？在三人追中， s， a 跟 abc 垂直， ab 跟 bc 垂直， 我们重新画一下 s， a 跟 abc 垂直，然后 a、 e 跟 b、 c 垂直，现在这三段的长度知道，请问外接球， 各位这是什么模型啊？啊？变老模型，哪里来的长方体来了？那长方体的外锥球跟这个三轮球外锥球一样吗？一样，所以我们第一种 第一种类型的问题就是把几何体给它组成什么长方体或者正方体这种 补完了以后我们就去学长八里正八里的外接球啊，那这一补的话是一个长八里 外接球的直径是啥东西？长八里外接球直径 底的对角线，所以我们这个二二会等于根号，说 a 方加 b 方加 c 方，所以它等于二根号二的平方再加二平方再加二平方，这边是十六， 随便记搞定，对吧？所以第一章就是补体啊，第一章就用补体的方法来，那我们再看这个几，已知这个四面体怎么样？ p a， b c 等于 等于根号十， p a 跟 b、 c 相等，等于根号十。 好了， p b 跟 a、 c 是 相等的，还有呢， p c 跟 ab 是 相等的， 这有垂直吗？没有啊，它特殊在哪里啊？对人相等对吧？那对人相等它有多特殊啊？哎， 对人相等，他是长方体的对角面的对角线围起来的，所以如果碰到这种，那咋办？补一下是一个长方底，补一下是长方底。 那长方里的外切球跟这的外切球是同一个球吗？是同一个球 啊，所以我这个 p a， 那 我这十二，这三边数 abc， abc， 那 我们这三条 面的对角线那面的对，那对应的不就 a 方加 b 方等于十，然后呢？ b 方加 c 方等于十二，然后 c 方加 a 方等于十四，你看这条是不是？然后我们几这条线是什么？ 哎，平方相加，那怎么得到平方相加？全部都加起来数两倍的几对角线的平方， 对吧？等于这三个相加，这边是等于三十六，三十六，所以，所以十八 k 二就三个二， 所以他的直性是不等于几秒就等于三倍的，三倍的话，那这块地球搞定了，所以对人相对没有这样子的信心， 那咱们那如果这个三人对人垂直呢？又有什么表现？对人垂直，哎，地面垂直怎么办？转化为共面怎么转化？ 异面垂直，转化为共面的垂直常用的是哪一张？各位是摄影，那你斜线跟它垂直折什么呀？摄影要不要跟它垂直？ 所以这个 a o 是 垂直， b c， 那 同样呢？ c o 呢？垂直谁 ab， 那 这个摄影是什么心啊？ 高的焦点是不垂心啊，高的焦点就垂心了啊，所以这个结尾的结构大家很清楚啊。三人追，三人追好，那如果不好补体，那我们又用什么办法来呢？比如说柱体，它的外追求问题怎么处理？ 已知已知值三人柱顶点均在球上，侧人二根号三 底的话，有一个角度三十度， b c 是 一，请问该求的表面怎么求？ 那对球来讲，如果用一个面去截球呢？那得到的是一个圆，是一个圆，那如果他没有过球心，那这样就是小圆了。 那小圆的圆心跟球心是与这个面什么关系啊？哎，谁吃的是谁吃的， 所以我们反过来呢，我要找球心的位置，那我就把小圆圆心找出来，那球心是在他的上方，就在他的垂线上 过小圆圆心的垂线上面，我们就用这一招反过来取。大家们，那我们这个这个图形是不是长这样子的？ a b c 有 没有个小圆啊？那球心跟弦连起来，跟这面是垂直的，那 o o 二呢？是跟上里面是垂直的，而上下底面是平行呢，可见这三点什么关系？ 哎，这三点是共线的，三点是共线的，并且根据对称性，那我的球心在哪里？哎，这个助理呢？中间，所以我这个高是等于二分之 h， 球心到面的距离是等于二分之 h， 那 我二是什么？二是到这点的距离是不是二？ 可见我 o a o e， 这是一个什么原因？直线而言，那我只要把小二求出来，问题就解决了。 小二是啥东西？底的外接圆的半径，外接圆半径，想到哪个定律？正弦，所以我二 r 除以 a b 去三， 那这里的 a 数等于一，上 a 数等于二分之几，所以这等于几？所以我的小二就等于一了，那我的高呢？高数等于高三，所以大二就等于几啊，啊，大二就等于二，所以表面积四 pi 平方搞定啊， 所以我们就可以这样来赌。那边呢，那如果我是是一个这样的三轮锥呢？不是编到的三轮锥呢？那怎么办？我是这样的三轮锥怎么办？ 这三轮锥的外接球跟这铸的一样不一样哎，那么古人铸，那他的外接球跟你铸的外接球一样不一样。 所以如果车轮跟底下里面是垂直的，那这样的三轮锥我们就可以把它补成。什么呀？补成 啊，这个直的能柱是不直的能柱，把这种就补成直能柱。那用直能柱的话，就用这办法，大小啊，二分之 h 构成直角三角形，那我们就可以解决啊。 好，那刚才讲，如果侧棱跟底下垂直的这种锥是这样子的，那如果是不垂直的，那怎么办呢？ 如同在三棱锥 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 跟 b、 c、 d 都是边长为根号三的等边三角形， 那这个图形我就可以看作是把 b、 c、 d 掀起来，是吧？绕着 b、 c 翻起来的，如果翻到二面角刚好是九十度，则这一刻的外接球表面积是多少？ 这好补体吗？哎，不好补，成长方体，正方体这种是吧？那怎么办？关键就是球心的位置是吧？怎么找球心？ 把两个面的小圆圆心都给他找出来，他们的焦点是不是你的球心啊？ 那么 b、 c、 d 是 等边呢？是一个小圆圆心，是 o、 e， abc， abc 小 圆圆心，我给他记做 o 二， 那球心呢？哎，球心连起来，则 o、 o、 e 就 会垂直。谁 啊？垂直于平面 b、 c、 d、 o、 o 二呢？垂直于平面，哎，垂直于平面， a、 b、 c， 对 吧？都垂直，都垂直，那怎么样？ 这两个面都垂直，那我把这面给。哎，我们把这个平面 o、 o 一、 o 二给它延展一下，会怎么样呢？哎， 延展一下跟个 b、 c 什么关系？哎， 跟 bc 是 不是就要垂直了？因为因为你 l 是 不是垂直 o 一 o 后一也垂直 o 二，所以这个 l bc 是 不是跟这个面是不是，是不是就垂直了？ 那垂直的话，所以这一点应该是 bc 的 什么点？那这都垂直的垂，这个角是什么角？ 这个角就是在二面角的平面角，这个角就是二面角的平面角，那么它是先成几度， 而且 a、 o、 r、 e， 你 是等边的，这三点应该是空隙，这三点呢？也是空隙，对吧？ 所以这三点都是空隙的。因此我们的球心的位置是在这样一个三角形 a、 e、 d 里面，而且 a、 e、 d 是 直角，三角 看见没？那哪一个是半径啊？到 a 点，到 b 点，到 c， 点数都是啊，那么这个点是中心，那你边长是根号三，二分之，根号三乘以高三，所以高是几？ 然后是二分之三，所以上面那段是，这段是一，这段是二分之一，这段是二分之一，那这个 e、 c 就 等于几？ e c 是 等于二分之根号三，那你 o c 怎么求？所以 o c 的 话是求的半径， o c 就 等于谁 啊？那就是 c e 的 平方加谁啊？ e o e 的 平方，这是 c o e 的 平方，那 c o e 呢？再加谁？ o e o 的 平方是不是零 c 了？ 那相当于这边是一个编码的模型啊，这里就有一个编码的模型。所以我们把这三段平方一下，二分之二，二分之一是不是一再加这段是多少？二分之一，所以应该是一加四分之一，所以二方等于四分之， 所以它的表面积就等于五块了啊，五块了。 所以如果是一些啊，普通的三轮锥，那我们关键就是球形位置，球形位置搞定了，那这个就可以找出来了来。刚才是弯成九十度，是吧？现在我弯弯成这样子的 平面四边形， a、 b、 bc 还有 a、 c 是 相等的， a b bc 也就它这个等边呢？等边呢？边长是二，边长是二的等边， 然后还有一个是 c， a d 角 a 六十度，再来 a b 跟 b c 是 垂直的，那现在呢？沿着 a c 把它翻起来， 翻起来翻到什么程度？翻到它的外切球半径刚好是二，请问你这个翻的多大啊？这个二面角是正弦值是多少呢？ 关键就是要把球星给定位出来，是吧？怎么找球星？ 小圆圆心？把它给找出来，是不是小圆？两个小圆圆心这样子对对接起来，是不是球心就找出来了？ b c a c b 是 直角三角形 小月月星，这是 o， 是 a c 的 终点，所以球心是不是在那个垂线上面？再来， abc 是 一个等边等边呢？所以我后移是不是连起来 只有 o o 二？ o 一 是连起来，那因为它是等边的，所以 b o 一 o 二三点是共线呢？啊，三点是共线的啊。 大家们，现在我这个外接球的半径是二，哪个东西是二零点，距离是二，那它是二，这条边是几一， 而我 o o 二是其的底面呢？所以这条就等于几啊？ o o 二就等于几？根号三，根号三， o o 二等于根号三，那 o 一 o 二等于几啊？啊？ o 一 o 二是等于高的三分之一， 高是不等于根号三，谁最大等于几？三分之根号三，那这里有没有一个角度二百， 所以，所以我的口三二百就等于几？就等于 o 一 o 二除以谁？ o 五 o 二，那就等于三分之一。口三二百是不是等于三分之一？哎，那这口三二百跟我二根角什么关系啊？ 人上去一点，分别引垂线，对吧？这里数已经是垂丝的，那我就过 o 二去做一条 o 一 跟他垂丝，所以这整个数二面角，平面角，对吧？ 啊？那这二面角跟我 r 什么关系？说这边数还要再加一部分，而 o o 二数跟底面弦加了几十度，加了九十度，所以我这个二面角，那就等于 r 加几 九十就二百加九十，那我的正弦值呢？啊？那我的正弦值是不等于三二百加九十，那就等于谁啊？可三二百，那可三二百零几三分之，所以他的正弦值是三分之对，三分之 好，所以，所以你折腾什么程度？那关键是我们连起来把 o o 一 o 二这面延展完以后，跟你的折痕什么关系啊？垂直的，那你这个面一切进去，刚好是二面角和平面角， 也就是我们是用垂棱法来做这二面角，平面角，对吧？做一个面跟你的棱垂直，那得到的交线，得到的就是二面角的平面角，我们就放在这个三角形里面来取线 啊，这是这一题。在台底的外接球怎么写呢？已知圆台的上下比半径是一样，体积是这么多，请问该圆台的外接球表面写 球心在哪里啊？圆台球心在哪里？ 上下圆心跟球心三点共线，三点共线， 那么我的球心可能在这角你的外面，你这个台体比较扁一点的下垂在外面啊，那也可能是他两个面之间啊，那总之这三点一定是什么呀？共线啊， 那我上下底的半径是一二，这个到前面的距离数都是二，所以关键就是要把谁给的位高高，那体积跟高什么关系 啊？底级是等一个三分之一的高，再乘以谁上底，再加下底，再加上下底的等比中下已知它等于三分之四十八，所以 h 点几来？ h 是 等于二方程，方程根号 r 方减一是不是 o e o 再加谁？根号 r 方减四是不 o o 二，所以它加起来等于几？加二点二，对吧？那你如果在外面减一样不一样， 不管是加还是减，是都是减。加方程都是同解的方程啊，移过去平方根都是同解的方程啊，所以不管是加还是减，也就是 o 点在外面，这里面是都是这个方程啊，都是这个方程。哎，那这个有两个根号的怎么办？ 把一边给他移的过来，然后再给他移一个过来平方，那按平方就可以解出来了。所以这是抬体的时候，我们啊跟柱体一样的球心位置定出来就行了。 第五课的话是内切球，内切球，那常见几何体的，我们要明白正四面体的那个们， 哎，正四面体的 我要求那些求的半径，我用什么来求那些求半径啊？经常是利用等几级来算，对比一下，在初中我们六七元的半径是等面积，所以这里是等几级。 那我这里总共几个面？四个面，所以我是可以割成几个三棱锥。四个三棱锥，每个三棱锥面积是不等于 s 乘以二， 加在一起加一等于谁啊？哎，等于三分之的 s 乘以，所以我的二呢？ 我的二是零几，是不是四分之一 h 啊？所以球心就在这里的，对吧？所以这个二是四分之一的高，那射四分之三是谁啊？ 那你是四分之一 h 是 外接球是多少？是不是四分之二 h？ 四分之二 h 啊，那 h 又等于谁啊？再等于 a， 这段是多少啊？ 二分之根号三 a 的 三分之啊，三分之二谁知道？应该三分之根号三 a 一 减三分之一，所以高等于几啊？三分之二开根号三分之根号六， 三分之二的四分之一是不是四分之二 a 是 不是它的高啊？内切啊，外切球，内切球，应该是啊，再乘以四分之一，是不是十二分之根号六 a 啊？所以这个大家很清楚的话，它是它的三倍， 那外切圆的半径是内切圆的几倍？来？ 外星人逆行逆行，人啊，两倍，这里几倍，三倍啊，那边是两倍，这边三倍，对吧？啊，那我们再来看一下，逆行正是人追，各条人肠都为二。 请问他的内切球的表面积是多少？ 那第一种当然是等几级来，是吧？等几级， 所以他应该是三分之一的内切球半径乘以谁表面积？表面积，其中有四个是， 四个是等边三角形，对吧？还有呢？还有一个是正方形啊，正方形是不是？ 而体积又怎么算？三分之一底面积再乘以高，这高怎么写 那么高？我们是可以放在三角形 p e c 里面，而 e c 是 底下外接圆的半径， 外外接圆半径，所以这条是等于根号二，然后这里二，所以高点几根号二，高点根号二，那这样二是不可以取出来了，所以内些圆半径，那应该是二分之根号六件根号二， 当然我们第二种也可以直接来。大圆在哪里啊？哎，那跟这些同心，大圆肯定是在高高上面，那个底面的缺点是谁啊？是底的中心， 那个圈面的缺点在哪里？是等边的中心，所以它大圆在哪里？ 是不是在沿着高中间切进来的？是不是这个图形？所以我的，我的内切球的大圆是不是就是这个圆？ 这三边是几？这等于二，这条根号三，根号三啊，那不就是这个等腰三角形的内切圆的问题吗？啊，所以我们去找大圆的位置啊，大圆的位置 好，这是内切球，那一般来讲，我们都用整体球会居多一些。第六人切球的问题怎么来考虑？ 如果一个正三轮锥里面的边长是二根号三啊，侧轮长是二根号二，如果一个球跟这个 轮锥呢？所有的人都相切，所有的人都相切，则这个球的表面上是多的。 let's do it， let's go to the。 关键是什么？关键是缺点的位置以及球心的位置。 那如果它跟 b、 c 边有一个缺点是 a， 那 跟 a、 b 有 一个缺点， a、 c 是 不是有一个缺点？这三个缺点构成什么 啊？这三个斜点构成的是一个小圆，是一个小圆，对吧？然后呢，跟 p a、 p b、 p c 是 不是也有三个斜点？ 那这三个斜点的位置呢？然后对应的是不是也有一个小圆啊？ 而且这个小圆刚好是不是它的外接圆啊？是不是这三个点的外接圆， 然后呢，这 m 点 n 点呢？你是正三菱形，那我球心在哪里啊？哎，那球心的位置跟这个三点应该是在一个啊，这个界面上 是不是这里相切的？这边过来是不是这样？大概是这样子的，对吧。各位 来，那我求外的一点，引流求的切切呢？ 从圆外一点与圆的切线切线长什么关系？相等，那我求外一点呢？哎，那我球心跟它连起来，是不是跟这切线应该是什么？垂直的？那这垂直的 ph 是 公共呢？所以这三条切线长应该是相等的， 所以我说这三段都为 a， 那 这三段是不是都为 a 了？那一样呢？我 a 点出发呢，你是不是跟我这三个人是不是都相切了？所以我这三段都为谁啊？都为 b 对 不对？都为 b， 大哥们，那你这个 pa 跟 pb 是 不是相等呢？那你前面 a 去掉的谁？这底下这段也是谁？ b？ 那 如果这段等于 b， 那 这三段都等于几？都等于 b， 那 其他的是不是也都等于 b 啊？ 对吧？可见 b 就 等于根号三， b 是 不是等于根号三？ 那 b 零根号三， a 等于几啊？二根号二减去根号三，对吧？ 那如果不是这三人追这种，我们是不是就得到一个方程组？你有几条人长，我就得到方程组。那一般来讲就是啊，这个对人这边的两段，他们之间长度是有关系的啊。对人的两段长度是有关系的， 所以我们只要你摸清楚了，那接下来我们就要去什么呀？求解。是不是用什么来求解呢？用什么来求解呢？ 是不是找方程啊？找方程？那你这边是小圆，所以，所以球心跟它连起来，跟中心连起来，这应该是中心嘛，说跟这底面是垂直的，可是 p h o 三点就要 啊， ph 二三点是要贡献我这个能切球的球心跟底面中心连起来是跟底面垂直的，而 p 点跟底面中心是不是也跟这个底面垂直的贡献？ 那我这个里面的边长是二，根号三，所以里面的高是零三啊，里面的高零三，所以 a o 是 不是等于二？ o n 呢？ o n 等于一， 然后，然后这 h 到 a 里的距离是不是能切出半径是二？ h a h m 呢？数也是能切，求半径，数也是二， 那利用什么来列方者搞出来？那我 p h 等于谁啊？ p h 等于谁？根号二方加谁？ a 方是不是二方加 a 方？ a 方二根号二键根号三的平方， 这是 p h， 那 h o 等于谁啊？ h 加球形啊， h o 等于谁啊？根号二平方减去这两个加起来是什么？是不是整条高？ 那这个是二根二数，整个高点几数，整个高数点二，这个方程能把二取出来啊，那我们这二就可以取出来了。 那你回过头把之前做的人切球那个屏幕再去研究一下看啊，之前是给过的人切球的问题， 所以人切球的问题，关键你就抓住这个取决于外的点做球的切线，切线长一定是相等的，切线长一定是相等的啊，所以每个顶点出发的三条跟切点的连线长都是相等的， 所以这个我们就是计算一下。 第七，跟这些有关的坠石问题怎么来处理呢？来让我们看一下第九题。已知求 o 的 半径是一 轮锥的顶点刚好是 o， 轮锥的顶点刚好是 o 里面那四个点。在求 o 上求 o 的 球面上，则该四人锥体积最大的时候，它的高是多少？ let's do it， let's do it。 有没有想是什么？是能追？没有没有，但是我们自己可以创造条件是吧？应该是什么时候他最大？正四能追，正四能追，所以我们就按照正四能追什么叫体积最大来数是吧？ 正四能追，什么叫体积最大？那如果底是正的是能追，那怎么样？我们高跟底的神秘有关系？ 哎。高跟底的小圆是不是有关系？用小圆是不是有关系？那我们先如果高确定呢？高确定，那这个小圆半径定了没？ 小圆半径高什么关系？那就 r 方加 h 方等于， r 方加 h 方等于一。对于每一个确定的高，那它的体积是什么？ 哎，体积的最大值是什么？那就三分之一高再乘以。谁说底面积最大？对于每个 h 大 底面积最大，它都最大了，请问这底面积怎么求啊？ 里面这四边形的面积怎么求啊？哎，里面四边形 abcd， 我们是不是可以靠直线来说它是正方形的最大？为什么？ 这四边形我们可以用什么办法来？就用正角线来，是不是面积的二等于谁？嗯，二等于 a、 c 乘 b、 d 再乘以角角的啊？正弦值是不是它面积啊？ 对吧？四边形的面积，如果两条棱是啊，两个对角形垂直的，那不就两个乘起来吗？那如果不垂直，如果加了一个角度，塞阿法， 塞阿法来塞阿法，取多少下才最大？ e 最大，而你这 a、 c 跟 b、 d 取到什么的下角最大，是不是直径的下数最大？ 所以它在零二二乘二，二乘一，那就等于二。什么二呢？所以它的面积啊，体积最大，那应该是这个整数最大， 然后，然后这 h 在 变化，这 h 在 变化里面这最大的有没有最大的？这个最大的是不是所有的体积里面最大的那一个？ 那双变量怎么办？哎，那三分之一 h 乘以谁二，二二就等于谁 二，二就等于二，哎，减二 h 平方，所以它等于三分之二 h， 然后呢？一减 h 平方，哎，这怎么求这值啊？哎， g 是 和是定值，只有最大值，但是这两个加在一起会是定值吗？它有平方，它没平方咋办？ 平方一下，所以这个量的平方它就等于九分之四 h 平方，然后这边写成一选 h 平方，然后呢？一选 h 平方，但是这三个加起来是定值吗？啊？要一个二，那这里一个二，它前面就设计九分之二 a， b， c， a， b， c 和为定值极就有最大值。什么叫取得 啊？那三个数相等的时候，所以单写平方 h 平方等于几的时候，三分之一的时候就取得，所以它的高低点几？三分之六乘三，对吧？ 我们是三次函数的，我们可以用最棒的啊，都在笔试定式啊，那这是高考题啊，这是高考题， 所以你看起来很简单，跟平常训练的也差不多，但是它新的地方在哪里？它不是外界，外界球，而是什么球形，杠是什么零点，但是内容是不是都是一样的？ 关键就是我的前面小圆圆心跟他连起来是垂直的，然后构造构造这个，哎，直来求解决问题啊，那我们今天要讲的是这些。

十分钟带你拿下考试必考的垂直，证明所有题型！一个万种方法带你解决线面垂直、线线垂直到面面垂直的所有题型。听完我这节课啊，考试全是人齐分数，嘎嘎齐！首先是线线垂直问题， 咱核心就是找一个线面垂直，比如说我要证这个直线 l 与 bc 垂直，那 l 和 bc 这个异面直线题目一般不会告诉你它很坏。咱们通过证明 l 垂直 ab 以及 l 垂直 ac， 这样整个 l 是 不是就垂垂平面 r 法了，从而得到了 l 垂直另外一个直线 bc。 那如何正线面垂直呢？咱就是要找两个线线垂直，特别好找，比如我要正 l 垂垂平面 r 法，那咱就在 r 法里面找两个相交直线 m 和 n， 它们分别和 l 垂直 l 垂垂 m， l 垂垂 n。 然后呢，大体你再稍微说一下， m、 n 都在 r 法里面，同时 m 和 n 呀，是相交直线的，这样直接得到了 l 垂垂 r 法。 而最后这个面面垂直啊，更简单了，咱直接找一个线面垂直，在其中一个面里面找一条线和另外一个平面垂直。比如咱找到了哎， a 垂直阿尔法，然后这个直线 a 又在贝塔里面，那直接阿尔法垂直贝塔 这些方法适用于所有的考试真题以及高考真题。那接下来我们实操一下，赶紧截图呀，愣着干嘛嘞！ 首先是线面垂直套路，就是找两个线线垂直，所有的题啊，都是套路，我只要在平面里面找两个交线都和这个直线垂直，那就线面垂直了。好，直接看题，第一题给了个四棱锥，然后底面 a、 b、 c， d 是 菱形，菱形什么垂直？请扣在弹幕里，对角线垂直，所以赶紧先连接下 b d， 还告诉了你 p a 是 垂直底面的，那 p a 是 不是和底面任意一个线都垂直了呀？相当于 p a 就是 我这个几何体的定海神针了。然后 e f 入中点，让你证明 b d 垂直平面， p a， c， p c 这个平面给它画一下哦，证明这个蓝线和红面垂直，我只需要在这个红面里面找两个线和它垂直，两个线垂直即可了。哎，题目已经告诉了 p a 垂直底面 a， b， c， d， 那 所以第一个线就是 p a 垂直于 b d， nice， 而第二个线呢，是菱形哎，菱形咱是不是又可以得到了啊？这个 b、 d 是 垂直于 a c 的 哎，我一不小心这道题就拿满分了。你看这个 b， d 啊，已经垂直于两个 a c 和 p k 了，那是不是已经找到两个线平行了？然后你再说明一下，两个直线是相交的，所以直接 b、 d 垂直于平面， p a， c 满分到手。这些题啊，所有详细的过程我会放在本节课的最后，咱们先讲方法。 ok， 接着赶紧看第二个题，还是一个线面垂直 四棱锥这玩意 p a 垂直，这，哎，又是一个 p a 垂直平面了。 ok， p a 是 一个定海神针，那说明 p a 和平面的任何一个直线都垂直。然后给了这么多条件，说白了， a d 平行 bc， 然后底面的 b a， d 九十度哦，底面是一个直角梯形，它的这些直角边眼分别是一一一二。 好，最后让我正这个 dc 垂直平面 p a， c， 哎，线面垂直还是找两个线垂直在哪个平面呢？ p a c 里面找两个线和 d c 都垂直，来，咱看一下嘛， d c 在 这， 而 p a c 呢，是我的这个弧面，这个弧面里面是不是已经有了一个 p a 垂直 c d 啊？啊？因为根据线面垂直的性质，所以第一个线垂直已经找到啦， 而第二个，各位小小们，大家猜一下，这个 c d 它是和 pc 垂直呢？还是和 ac 垂直呀？底面是个直角梯形咱都知道了，所以底面这个垂直肯定是能正出来的。那所以第二个条件其实就是，哎， cd 垂直于 ac 了。 ok， 这个其实是一个垂直的小妙招，在这种一一二的直角梯形里面，它的对角线和这个斜边是垂直的，我给大家简简简单正 来，先把它的平面图形画出来，把一个立体几何问题转化成平面几何问题，它是直角，然后这个是一一二。我家猫都看出来 c d 怎么算呀，它是不是就等于 啊，这里再做一个平行， ok， 这个是一，这个是一，那一一根二， c d 就是 根号二，漂亮。 然后我们连接 ac， 小 子看好了，这一笔会很帅，那这个 ac 一 一，哎，又是一个根号二了， ok， 在 三角形 cad 中哇，根号二，根号二，这是个勾股书眼那所以直接角 a c d 就是 九十度了，请把 nice 扣在单位里。 这个其实是一个必须要掌握的二一结论啊，相当于垂直模型了。在 b c r 系统课中呢，我给大家讲了垂直模型的至少五种，这五种是考试常考的一些小垂直，你只要能找到，那么答案很快就出来了。 ok， 结合这两个，那我家猫都会正了， c d 也不就垂直于平面 p a c 了，直接 nice， 这两个题呢，也记录在必须要系统课中是讲一六十五页题型二，线线垂直。刚也讲了线线垂直，万能的办法就是找线面垂直的， 因为一般题目出题老师比较坏，他会让你证明两个异面直线垂直。比如说，我想证这个 a p 和 b c 垂直，哎，它都没有焦点哎，所以咱通过构造这么一个平面， 哎，我能证出来 pa 是 垂直于 a c 的， 同时 pa 还垂直于 ab， 那 这样 pa 是 不是就垂直于平面 abc 了？然后再根据线面垂直的性质得到了线线垂直， 所以是通过另外两个线线垂直来证这个异面直线垂直。好，直接。看题给了一个四棱锥，底面是平行，然后 abc 呢？是个一百二十度啊，这个一百二十度我知道了， 噢耶， ab 是 一 bc 是 四号， m 是 中点 pd 垂直 bc。 哦，有一个小垂直了。好，现在让你证明 ab 垂直于 pm， ab 是 在这呢， pm 是 在这呢。哇，这两个八杆子打不着呀。 但是呢，我家猫看出来了， ab 是 平行 bc 的， 所以我其实是让证这个 bc 垂直 pm 好 找吗？太好找了呀，你看，这里是 bc， 然后咱刚已经知道了这个 dc 啊，垂直 pd， 题目告诉你了呦。哎，我想证明 dc 垂直 pm， 你 说我再证明 dc 垂直哪个线就行了呀？请在弹幕里扣出来。不就是这个线段 dm 吗？直线 dm， 所以 我只要证 dc 垂直 dm 是 不就完事了？好，思路有了， 问题来了，这个 dc 垂直 dm 如何正呢？哎呦， dc 和 dm 不 就在这个平行边形 a， b， c， d 中吗？肯定是利用平面几何知识啊，所以根据这么多条件，咱肯定可以把这个 dc 垂直 dm 给它正出来来试一试。 你看，我知道在平行边形这个 a b， c d 中， mc 是 二的，而 dc 是 等于一的，你想证明这个垂直是不是直接勾五点零，一点零就完事了？所以咱把 dm 求一下，如果它等于根三，这个事就成了。 哎，如何正呢？这是个解三角形问题啊，别忘了，题目还告诉你 abc 一 百二十度，那根据平行 c 边形这个平行的关系啊，这里是不是就是六十度了呀？ 好，平面图形提取出来之后，相当于我知道这么多条件，一二六十度，然后只需要正这个角 m d， c 是 九十度，这不是易如反掌吗？ 我女朋友都会证，先用 cosine 六十度算出来这个 dm 呀，是一个根号三的，然后根据勾股定律逆推理，哎， dc 方加 dm 方等于 cm 方，那咱直接就得到了这个角 mdc 是 九十度，所以 md 垂直 dc 了， ok， 正比 好，这两个连理下，你会非常惊奇的发现哦， c d 和这个 p d 垂直哦， c d 还和这个 m d 垂直，那自然这个 c d 是 不是就和整个这个红色的面 p d m 垂直了？从而间接的挣出来了这个 c d 和另外一个 e 面直线 p m 它是垂直的。 请把 nice 扣在弹幕里呀呼，那拿下了，线面垂直，还有线线垂直。最后再来一个二零二二年全国一卷高考真题的面面垂直问题。 另外，本节课的知识点啊，全都在必修，系统课是讲过的，在这个八点六的垂直专题，包含了线线线面面它的垂直证明以及垂直性的利用，以及还有这个线线线面二面角空间角问题。 好，回顾到这个题目必须要系统课呢，在我的主页即可获取面面垂直。刚刚说了，就是找一个线面垂直，比如我想证阿尔法垂直贝塔，如果贝塔里面有个直线 a 和阿尔法垂直，那直接就证出来面面垂直。所以你需要去找一个线和面垂直，而线面垂直是不是又需要去找线线垂直啊？ 所以其实我要告诉大家哦，三花猫金句，所有的垂直问题啊，都给它翻译成线线垂直，线线垂直，垂直啊，是所有垂直问题的一个根基，核心是桥梁。 哎，如图，在这个四面体这玩意中， a、 d 垂直于 c， d。 赶紧标一下这里小垂直， ok， a， d 又等于 c d？ 我 的天呀， oh my god， a d， c 呢？是个等腰值的 nice， 然后角 a， d， b 等于角 b， d， c， 呃， a， d， b 和 b d， c， 哎，没毛病吧？好，接着啊，说了，这个 e 为 a c 的 终点，让你证明 b， e， d 和 a c， d 垂直，来找一下吧， b， e、 d 呢，是这个平面， 而 a、 c， d 啊，就是刚刚的等腰直角三角形了。好想证明这个弧面和子面垂直，那我需要在弧面和或者说子面里面找这么一个线与另外一个面垂直即可了。而想这线面垂直，又需要回归到线线垂直了。所以你先去找这个题目中已知的垂直条件，有没有线线垂直呢？ 哎，有呀，你看这个，因为它是等腰三角形， d， a 等于 d， c 又是一个中点，那所以这个 a、 c 是 不是垂直于 d 啊？ 好，各位猜一下，我已经有一个 a、 c 垂直 d 了，然后我现在想证明这个 a、 c 与子面垂直，是不是我再来一个 a、 c 垂直于 e、 b 就 好了呀？哎，如果能指出它，那这个题就可以得到 a、 c 垂直平面 b e、 d， 那 平面 b， e、 d 就 垂直平面 a、 c d 了， nice， 所以问题在于这个 a、 c 垂直 e、 b 能不能找到呢？哎，别忘了这个 e 还是一个重点，所以 a、 c 垂直 b e。 咱还是利用这个等幺三角形的三线合一，我只需要能证出来这个 c、 b 是 等于 ab 的， 那这道题就犹如探囊取物呀！好，现在问题又简化了，相当于给了这么多条件，我只需要证明这个 c、 d 等于 ab 即可。那如何挣嘞？ 这个两个角向的条件怎么用呀？咱高中也没有学过这种角向的转换呢，但咱再观察一下 c、 b 和 a b。 呃，这儿， 哦，这儿噢！而别忘了，刚刚咱们得到了 a、 d 等于 c、 d， 以及这两个角相等，哎， d、 b 又是个公共线，哇哦，这不就是三角形全等吗？ s a s 呀！各位同志们， 在两个三角形中，咱这把这个条件一列，你发现它就是 i c s 了，所以，这不是一个高中数学问题，还高考题呢，这不就是个初中数学题吗？哎呦，然后接下来我就得到这两个三角形全等了，是不是得到 c、 b 等于 a、 b 了？漂亮！ 好了，回到梦开始的起点， c、 b 等于 a、 b 了，我是不是得到了 a、 c 等于 e b 了？哎，这两个条件都有了呀，那么 a、 c 呢？就垂直于平面 d e、 b 了， 也就是咱的这个，哎，紫色平面，那 a、 c 垂直平面第一 b， 我 要证明 b、 d 和 a、 c、 d 垂直了， a、 c 又在这个 a、 c、 d 里面了，所以直接 a、 c、 d 垂直平面比 amazing 全部拿下了高考题不过如此。那么最后撒谎猫再把这个垂直方法给大家总结一下，线面垂直，说白了是找哎，线面垂直，间接的去挣了， 说白了找两个线线垂直啊，然后再证明另外一个，一面直线垂直，而线面垂直，找两个线线垂直面垂直呢？只需要找一个线线线面垂直，但其实所有问题啊，你想找这个线面垂直，想找线面垂直，是不是还是要回归到线线垂直了？所以说，其实所有垂直问题都是线线 垂直问题，以及下面这种特殊梯形的，这都是些垂直的小模型了，这是两个模型，总共有五六种的。 ok， 再到这个线线线垂直了， 我们通过证明 dc 垂直平面 pdm， 从而间接的证出来 dc 垂直 pm 以及呢这个高考正题面面垂直用了一个小小的全等。那接下来啊，就是非常套足了，一个线线推线面，再用线面推面面了，全部拿下数学七栋必需要系统课呢，也在我的主页 这里展示了系统课这个立体几何的板块，以及它所包含的题型啊，那我们下个视频再见！

各位高中的小伙伴大家好，不管你是高一高二还是即将参加高考的高三同学，这个视频的内容都值得你去看一下。 我们本视频将用三个典型例题，把二面角的常用三种方法跟大家讲明白，并且给大家准备了完整版的讲义视频，回复讲义即可领取。首先我们来看一下第一种方法，本条视频我们讲前面两种方法，第三种方法在下条视频会详细讲解， 根据二面角的定义直接去求解。那首先我们把这个方法给大家看一下，如图所示，以二面角棱 a 上任意一点 o 为端点，在两个面内分别做垂直于 a 的 两条射线 o a 和 o b， 那么这样的话， a o b 这个角就是我们二面角的一个平面角，那这个很简单，其实我们一句话概括就是我们找到两个平面交线的两条垂线。好具体我们看这个题目在我们题目当中的一个应用，如图，在四面体 p a、 b、 c 中， 三角形 a、 b、 c 三角形 p、 b， c 是 边长为二的正三角形 pa 等于三， d 为 pa 的 中点，则二面角 d， b、 c、 a 它的大小为多少？那其实我们就是要来找到刚才这个题目要我们求的这个二面角的一个平面角，那这里我们可以直接取 b、 c 的 中点 e 点，然后把 a e 给它连接起来，把 d， e 给它连起来， 那这个角也就是角 d e， a 是 不是我们这个二面角的平面角？我们可以简要的首先来证明一下，因为是三角形 a、 b、 c， p、 b c， 它是正三角形，所以我们可以直接得出 pe 垂直于 bc， 同理 ae 垂直于 bc， 并且 pe 交 ae 有 交点为异点，并且 pe 都是属于我们这个平面 pe， 那 根据线面垂直的判定，这个我们可以直接得出 b c 垂直于平面 p a e 平面 p a e， 然后 d， e 是 属于平面 p a e， 所以 这里呢，我们又可以得出 d， e 是 垂直于交线 b c， 然后 a， e 本身就是垂直于交线 b c。 这个就回到了我们这个二面角的定义，所以我们可以得出角 d， e a 为这个二面角的一个平面角。然后这个计算就相对来讲是比较简单的，我们直接在 t 三角形 a， d， e 当中运用三角函数就可以解决掉，那就是三角 d， e， a 应该等于 a d 比上 a e， a， d 是 pa 长度的一半，所以它是二分之三 a， e 是 我们正三角形的高，他应该是边长的二，二分之根号三倍，那边长为二，所以这个 a， e 应该是根号三，所以他应该是二分之根号三， 所以这个角应该是六十度，那也就是我们这个二面角应该就是六十度。好，我们通过这样的一个典型的立体，把这个常用的定义法给大家 讲解了。接着我们来看一下第二种方法，因为在我们实际考试当中，有时候遇到交线垂线不好找的一些情况，那就是我们有了这种第二种方法，叫做三垂线法，我们具体来把这个方法给大家看一下。 在平面阿法内选一点 a 向另一个平面贝塔做垂线， ab 垂直为 b， 再过点 b 向棱 a 做垂线， b o 垂直为 o， 然后连接 a o， 那 么这个角 a o b 就是 我们二面角的平面角。 好，我们来看一下他为什么这样去做，那这个角就是我们二面角的平面角，我们也简单的来证明一下啊，因为我们首先过平面阿法力的一点 a 向贝塔做了一个垂线，那也就是 ab 垂直垂直于平面 贝塔，我们这个棱 a 是 属于平面贝塔，所以呢， ab 肯定是垂直于棱 a 的 好。然后第二个是我们自己做出来的，也就是 b o 垂直于棱 a， 并且 ab 交 b o 有 交点，然后 ab b o 属于平面 a b o。 好， 通过这个条件我们就可以直接得出能 a 是 垂直于平面 a b o， 并且 a o 这条线是属于我们平面 a b o， a o 属于平面 a b o， 所以 我们得出 能 a 垂直于 a o， 然后 b o 本身是垂直于 a， 这个就是我们回到了我们二面角的定义，所以最终我们能得出角 a o、 b 是 我们二面角的平面角。 好，在我们小题当中选填当中，如果采用这种方法，当然是不需要去写这个过程，我们只需要记得这个结论就行。但是如果是在大题当中，我们不能直接写结论，必须把我们严格的证明过程给他写出来。好，具体我们也用一个例题 来把这个方法的应用来讲解一下。好，我们看例二，如图，四棱锥 v a b c d 底面 a b c d 是 边长为二的正方形，其他四个侧面都是侧棱，长为根号五的等腰三角形，则二面角 v a b c。 它的大小是多少？ 首先根据我们题目这样的一个描述，这个棱锥它应该是一个正四棱锥，也就是说它的顶点向底面的射影应该是底面 中心，所以这里呢，我们过 v 点向底面做一个垂线，假设垂足为 o， 那 这个 o 就是 我们底面正方形对角线的交点。 然后根据我们刚才讲的这个方法，我们过 o 点向 ab 做一个垂线，垂足为 e， 最后我们把 v e 给它连接起来，我们把 v e 连接起来，那么也就是角 v e o 即为它的一个平面角，那这个计算是比较简单的，那这个证明杠的过程跟刚才完全一样，所以这里我就不再证了。那我们把这个计算给它算一下，因为 va 是 等于根号五， a， e 是 二分之一的边长，所以它应该是一，所以根据勾股定律，我们可以把 v e 给它求出来， v e 应该是根号下五减一等于二，然后 o e 的 长度应该是边长的一半，那就是二分之一乘以二等于一。 好，那么在这样的一个直角三角形当中，这是 e， 这是 o， 这是 v 的 长度是二，它是，它的长度是一，所以我们直接可以用扩散扩散角 v e o 应该是等于 e o 比上 v e， 那 就是二分之一，所以 v abc 的 大小应该是六十度，六十度。好，那这第二种方法我们就讲到这里， 视频回复讲义，就把本节的内容的详细版的奖励可以找我领取，拿回去仔细的去练一练。好，这本条视频就讲到这里，再见。

学学，学个屁，好同学们，咱们今天来看一道高三的立体几何题目， 这个题目他第一问很简单，让我们求他的体积，我们就不求了，主要看第二问，他让我们去证明的是一个慢慢面垂直， 那么我们要清楚，要证明面面垂直的方法有大概几种。第一种就是很简单，我们通过定义去求，我们只要去找到其中一个面的垂线，在另一个面内他就垂直了。所以其实就是先先要去正线面垂直，再去正线在面内，那么就面面垂直。 这个方法，呃，我相信很多同学大家都能做出来，比如说观察到它是一个棱长为一的正方体呢，代表着 c、 e、 b 和 c、 e、 d 两个边都是面对角线，所以两个边相等，那么直接找到 b、 d 的 中点，连接 c、 e、 o， c、 e、 o 就 会垂直于 b、 d， 再连接 a、 o， 再连接 ac， 那 就可以得到 a、 o 也是垂直于 b、 d 的。 通过这个东西我们可以推出来 b、 d 是 垂直于面 a、 c、 e、 o， 所以 又可以推出来我的 b、 d 是 垂直于 c、 e、 d 的， 那么既然 b、 d 既垂直于 c、 e、 d， b、 d 又垂直于 c、 e、 o， c e o 和 c、 e、 d 又交在点 c， 所以 代表着可以推出来 b、 d 垂直于面 c e、 b d。 那 b、 d 垂直于面 c、 e、 b d， b、 d 又在下面这个平面内，所以我们就可以得到面面垂直面垂直于面 这个思路其实大家要做起来要很顺，但是我们今天要提供一种新的思路，就是如果你这个题目你没有办法在短时间内看出来这些辅助线，那么你就要通过二面角的大小去判断它垂直， 如果这两个面垂直，代表他们的二面角一定是九十度，所以要通过 b、 d 这个边的棱上的点分别在两个面内做垂线。要去求角 a、 o、 c 夹九十度， 那么其实就要求出来 a、 o 的 长度， o、 c 的 长度，还有体对角线的长度。利用我们的余弦定律去求这个角度的余弦值，也是一样的做法。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

同学们大家好，欢迎来到肖老师课堂，今天我们讲空间的线线垂直，线面垂直和面面垂直的证明。首先我们看线线垂直，第一个线线平行的性质定律。 在这幅图中，首先我们看如果直线 a 平行于直线 b， 然后直线 a 垂直于直线 c， 那 么 b 也垂直于 c 啊，这是通过我们 ab 两个直线，如果说有其中一条直线垂直于这个直线 c， 那 么另一条直线也是垂直于这条直线的啊，这是线线平直的平行的性质定律。好，接下来我们看到线面垂直的性质定律 啊，如果这个直线 a 垂直于这个平面阿尔法，那么这个直线 a 垂直于平面内的任意一条直线啊，因为 a 垂直于阿尔法，所以 a 垂直于 c 啊。同学们，这两个线线垂直在空间中的定律，大家一定要注意 好，接下来我们看到线面垂直，线面垂直。首先我们看到第一个线面垂直的判定定律，这个定律是非常非常重要的，我们看 l 这个直线垂直于这个平面内的两条相交直线，那么我们这个 l 和这个平面就垂直。 老师再讲一遍， l 垂直于这个平面内的两条相交直线，那么这个 l 和这个平面就垂直啊，同学们一定要注意，一定是两条相交直线，如果说是两个平行直线是不行的， 嗯， l 垂直于 a， l 垂直于 b， 然后呢？ a 和 b 相交于点 p， 然后这两个直线都是属于这个阿尔法平面内的，所以说这个 l 垂直于平面阿尔法。 好。接下来我们看到线面平行的性质，这里这个是什么样子的呢？这个是如果 这两个直线平行，其中有一个直线垂直于这个平面，那么另外一个直线也是垂直于这个平面的啊。如果 a 平行于 b， a 垂直于平面二法，那么 b 也垂直于平面二法。 接下来我们看到第三个线面垂直的性质定律，这个也很简单啊，如果说这两个平面平行， 有一个直线垂直于某一个平面，那么这个直线也是垂直于另外一个平面的啊。看这个，这里阿尔法平行于贝塔，那么 l 垂直于阿尔法，那么这个 l 也是垂直于贝塔的。 好，然后我们看到最后一个面面垂直的心之力啊，同学们，这个也要注意，你看这两个平面相交于 m， 这个 l 垂在这个平面贝塔内， 这两个平面是垂直的，然后呢， l 垂直于 m， 那 我们就能够推出来这个 l 和这个平面是垂直的啊，这个是面面垂直的限制定律 啊，就是说什么呢？两个垂直平面其中某一条直线垂直于他们相交线，那么这个直线就垂直于另外一个平面 啊。在线面垂直中，这里的第一个和第四个是比较重要的，同学们务必要谨记 好。最后我们看到面面垂直，首先我们看到面面垂直的判定定律 啊，跟刚刚那个差不多。好，我们看一下，如果说这个 l 垂直于这个阿尔法的一个直线垂直于这个平面，那么 这个直线又属于另外一个平面贝塔，我们就能够测出来阿尔法和贝塔垂直就是什么呢？这个直线垂直于这个平面，那么这个直线所在的平面和另外一个平面是垂直的 啊，这是面面垂直的判定定律，我们在做立体结合的基本上都会用这个，但是我们面面垂直还会有有一种方法，那就用什么呢？我们用向量的方法来证明空间的垂直，这个我们后面学了向量之后，我们就知道怎么来求。 首先我们知道阿尔法和贝塔平面，然后求出阿尔法和贝塔平面的法向量，那么法向量他们的乘积是等于零的，那么能够说明他们法向量垂直，从而来推出面面垂直。 这个是我们后面学了下面的方法之后来证明空间的面面垂直。好的，今天老师的课程就讲到这里，谢谢大家。

元宝是，好，请坐好，那今天我们继续来讲光泽里面的一些问题，那昨天角度这边我们留了一个题，我们看一下， 在平面四边形中，这三条线段为一，然后 a、 b、 c 是 三十度， d a、 b 是 一百二， 哈哈哈哈， 那我们这个 a、 b、 c 恰好是一个等腰三角形，等腰三角形那轴是 a c， 所以 我们在翻折的时候是不要过地点去做 a c 的 垂线。 当你翻折过程中呢点 d 的 轨迹是什么啊？以 e 为圆心的一个什么呀？是以 e 为圆心的一个圆， 然后这些长度刚好都是一啊，刚好都是一， 那这个角度是九十是吧？那现在现在让我们求的是 a c p b a c p b， 那 这个是一个二面角啊，半平面是 a c p 和 c p b， 那 a c p 就是 谁啊？就是刚才的 a， c， d 是 吧？ a c d， 另外一个半平面是 b c p 能是谁？ b 啊？ b c 啊？ p c， 那请问这个余弦最小是多少？怎么想这个问题，那我们看标准的图形里面我们怎么研究二面角？ another 另一款能上去一点，分别引垂线，而要做这个垂线的话，我们也不用什么来做三垂线，那三垂线应该是面内找一点做另外一个面的垂线， 接着呢过垂出去做交线的垂线，根据三垂线这边呢也会垂垂，来我这边做斜线，跟他垂垂呢，这摄影都会垂垂。对，那这得到的数都是二位角平对角， 那我的人是谁啊？ cp 那 面里面找一点做 cp 垂线，你说是 a 点做好还是 b 点做好啊？ b 点做 a 啊？ pc 的 垂线好还是 a 点做好？ 当然是 a 点做好了，为什么啊？他本来就是在这个面里面吧， 所以你一这个点早一点，你要做面的垂线，做人的垂线，对不对？那我这个 a 点，当然做人的垂线不好做， 那我们做人的垂线转过来，那这段长度等于几？哎 哎，这个是一，这角度是六根，那这条等于几？二分之根号三，这段等于二分之根号三，对吧？那现在呢？现在我要垂出，是不是？所以要过 a 点去做这个面？ b c p 的 谁见，对吧？但是 d c p 是 什么？ d c p 是 一个什么样的面啊？装着洞的平面， 然后这个重点在哪里？在这个圆上，是吧？连起来，连起来就让你做，你什么时候会坠什么啊？这条是定的，那应该这段坠什么时候？他的角度最大？最长的时候角度最大， 而这个面点 b 是 动的，但什么是定的？ b c 是 定的，那你 b c 是 定的，那什么时候会最 会最长啊？最长来，那我们将为考虑一下，在平面里面呢？ 一点到谁过定点的直线？一点到过定点的直线，距离什么时候会最长最长啊？ 拐一点点呢，距离就变什么短了？那现在把这个点升格为面，这个点升格为线，然后到线的距离就升格为到谁的距离，那什么时候距离会最长啊？ 那应该过 a 点，做谁呀？做 b c 的 垂线， b c 的 垂线。 当我 pcb 跟这一条线垂直呢？那我的距离是不是就是 a h 这么长呢？ 当我这个面跟 a s 不 垂直呢？那我的距离就怎么样？我距离就比这段来的短时间短了啊。所以，所以 什么时候会最长？ a 点到这面的距离什么时候会最长啊？因为你这面是不是绕着这边来转动嘛？那就什么时候？ 那就是当 a h 垂直于平面 c、 d、 b 的 时候，是不是最长了 啊？那最长这个下的角度就最什么啊？别动，它最最长的值是几啊？这是一一二分之根号是二分之根二， 那这是二分之根号三，这二根号，所以最大等于几？二分之一，所以它余弦的最小值呢？余弦的最小值就等于谁啊？哎，那就等于根号三分是吧？三根号三出去。 好，然后呢？我们说这二面角是面里面线和这面所成角里面最什么的啊？最大的，那如果，如果这条线不是跟它垂直，是条斜线呢？ 那这里是不是有个线面角？把这个线面要记住。阿法，那刚才把这个最大的这个角，这个角最大的是不是二面角？ 那么我们给它标注一下，这是 p o， 这是 a b 两点吧。大家们，那我这个 or sin theta 等于 sin theta 等于谁啊？ 啊？上一 c 函数等于 p o 比去谁？ p o 比去 p b， 那 我这上一 r 函数等于谁啊？啊？ p o， p o 比去谁？ p a， 那 还有一段是啥？ p a 跟 b， p a 跟 p b 是 什么？ p a 跟 p b 是 哪个角有关系啊？啊？是不是跟这个角贝塔数有关系？是不是这条线跟人所乘角数有关系， 对吧？那我们把这角记错了，三与贝塔呢？那三与贝塔等于谁啊？ p b 比去谁？所以我们得到什么？ sina， 阿凡等于谁？ sina， 塞塔乘以 sina， 这不三个正弦啊，那这个就叫三正弦，公式 怎么样？三正弦是谁啊？线面角等于谁？ 等于线跟这条棱所成角，再乘以二面角的正值，是不是？哎，对吧？那像我这里是不是棱数 b c 了？二面角数这两个平面了？ 那我找的线是哪一条线啊？我找谁是找 a c 是 不是 a c？ 那 现在我要学的是不是二面角的最大值，是吧？ 那我现在这个线面角线线角等于几啊？我这条线跟 pc 首先角等于几？一百二十度，所以我这个是等于多少啊？这个就等于几 啊，所以它就等于二分之二。那我要求角度最大，我就要求谁最大？ side 最大， side 最大， side 最大是几度啊？啊？ side 二最大， 也就是 a c 跟这面所成角，什么叫最大？ 哎？ a c 跟这面所成角成的最大是 a c 长度，再来什么？哎？ a 点到正面的怎么样做？ a 点到面的距离，哎，这又回到了我们该前面的分集的，是吧？你过定直线动的平面，什么时候距离会最大？那就以 a 点到这条定直线的距离会最大，那就高的十二处距离最大 啊，所以他这个值就会小于等于谁二分之，哎，二分之根号二比去谁，哎，是不是 啊？那这这个弦是最大等于三分之根号六，那余弦最小就谁三分之根号谁？ 所以你如果能看得出来的同学，那是不是可以用直接用这方法来三正弦，然后来取出这个问题啊？所以我们要学会去分析它在旋转过程中。那对了，还有个问题能取得到吗？ 因为你点 p 的 轨迹在 a b c 的 射影是在这条线上， 然后你要垂直呢？嗯，那就是这个的话，是不是要记在 p c 上，沿着这边啊？ 所以只要把 p c 延长一下，跟它设焦点，你点 p 落在这里，是不是 p， b、 c 正面是不跟 a、 b、 c 正面就垂直了？那你的高校是不是 a、 h 这一段了？好，这是角度啊，角度里面 第四综合，那就在换折过程中，两个位置关系，还有呢三个角，还有呢七个距离。正确的跑法来让我们看一下，往往是在多选与里面的。 如图这个四边形，它是 a、 d 跟 b、 c 平行啊，是梯形，然后 b、 c、 d 四十五度， 再来 a、 d 等于 ab 啊， a、 d 等于 ab， 再来 b， a、 d 是 直角梯形，上底跟一条直角的腰是相等的，还有这里四十五度， 那现在呢？我们要把它怎么样折起来？ b、 d 折起来，折成，什么时候折成？ a、 b、 d 跟 b、 c、 d 是 垂直的，那么以下写是正确的， 来看看第一个咱们要干什么活。 ok， 先把平面图形搞清楚，怎么搞清楚叫平面图形？直角梯形横，怎么研究？ 要么是补，要么是什么个？五个行吗？直接来形容这几度，四十五，四十五，那你这两条平行，所以一百三十五，因此这个角，因此它是什么图形？等腰直角是吧？ 好，那我不光说它是一个单位吧，那这条就是根号啊，那这条根号这条， 所以我们先把平面的结构弄清楚，那臂力是轴，那宽完以后呢？ 啊，宽完以后的话，这两个面有没有改变，所以这两个面还是等腰直角是吧？ 这，这个是直角边吧，所以这翻起来以后，如果 c 这边来看，那 c 如果相对于 abd 来讲， c 的 轨迹是什么？有，那 a 的 轨迹是什么？ 那我们应该过 a 做它什么线？垂线，然后延长过来，刚好是一个什么形，所以这个点 o 呢？ 哎，这关的过程中， a 点的轨迹是以 o 为圆形的一个啊，圆形的一个角， 哎，折成十二面角，那哪个东西就很重要了哎，所以 ao 就 会跟底面怎么样？垂直，然后我这条 o、 e， 我 这条 o、 e 跟谁 跟 b、 d 数平行了，就垂直了，这角什么角？就这样，那这两个面垂直，所以 c、 d 呢？垂直 abd， 所以 这个 a、 c、 d 是 小于呢？ 垂直要小于，所以我们把把这个情况给摸清楚来啊，摸清楚来。但是点 d 处点 d 处是墙角吗？ 不是，因为这个角度四十五啊，四十五，然后这边还是什么垂直啊？那你把心啊，这个 信息都给他格式化的标到图上去了啊，把这个信息都格式化标到图上去了来。那现在 a、 b、 c、 d 你 选择一下， 那么是因为如果 a、 b、 c 求之于 a、 b、 c 的 话， b、 a 就 要求之于频率 a、 b、 c。 但是 b、 a 跟 a、 c 的 夹角不可能是九十度，所以 你就算它 n 面角是吧？算它 n 面角不可能九十度，或者，那如果它会垂直呢？会有什么样子的啊？ abd 跟 abc 垂直，那谁也跟 abd 垂直啊， abd 还会跟谁垂直？ b、 c、 d 垂直啊，这 abd 也会跟 b、 c、 d 垂直。如果两个面都跟一个面垂直，什么性质？只有 交线要跟他垂直，那我的交线是谁啊？ b、 c、 b、 c 有 没有可能跟他垂直？反正就是想对不对？如果会垂直是得到毛的吗？所以他不可能垂直，那么假定他垂直是吧？好，那我们利用面面垂直的性质 啊， bc 跟 abd 所成角用哪个角啊？因为 c 点到面的射影加上谁是不是这个角？记住， c， a， c、 d， a， b、 c 两面垂直什么？ 一个面过另外一个面呢？谁见行吗？ 不是我跟你谁知去算个什么啊？二面角他人是谁啊？啊？ ac， ac， 然后谁跟 ac 谁知啊？ a、 c、 d 里面跟谁？ a， b、 c 跟人垂直的是谁？好做吗？不好做 那怎么办？一个面过另外面的垂线，谁的垂线好找啊？到垂面里面找交界垂线是吧？ a、 c、 d 过了哪条线？ c、 d， c、 d 这个所在的平面跟谁垂直？ abd 垂直，对吧？所以它的垂线到 abd 里面找交线 ab 的 垂线，那就是谁啊？啊，是不就是 ab 啊？是不就是 ab？ 所以 ab 会不会垂直？ acd， 喂，搞定了没 来？事实上我们观察要一个结构， b， a 垂直谁 ad， ad 垂直谁？ c、 d 啊，所以 b、 a、 d， c 什么结构？ 是一个编码的模型？是一个编码的模型，所以这个角也是什么角，对吧？或者你刚才这一一吧，你看你把数据给我标出来，这个编号二，这个点几？编号三，这个？是啊， 这个是根号二，谁最大得几？二？会垂直吗？会垂直好搞定了啊，来， b 选项， c， a、 b， d， c， a， b， d 过 c 作 a， b、 d 的 垂线，垂足为垂足为谁？ d 再过 d 作 a， b 的 垂线，垂足为 a， 连起来，所以哪个角是直角角？ c， a、 b 是 二面角，平面角，二面角平行于弦时， p、 b 根号上搞定了没？这里是对的啊，所以 b、 c、 d 是 对的。 所以它的关键还是在于什么啊？几何底的结构。 那你要摸清楚节，你就要那方的前的结构先要弄清楚，然后方折就是一个旋转变化，所以跟轴垂直的线很重要，你把它辅助的画出来，那么它的图形就清楚了。 还有这些长度是不是都可以标注出来了？那标注完以后，我们看它的垂直关系就比较容易发现，是吧？所以你把它标完以后，就可以发现这是一个编号的图形啊，它不允许的 啊。第二块内容，动点的问题啊，动点的问题， 那保持动点平行呢？垂直呢？角度是定直的，体积是定直的等等的这类问题。来我们看一个比较简单的， 这是一个正方体，等长是三点， m 在 哪里？在正方体内部以及表面上移动，包括内部啊，因为我们正方体是这样围起来的图形，对吧？但 bm 要跟 a d e c， a d e c 平行，请问蹦点 m 的 轨迹所形成的区域面积是多少？ 点点运动成什么啊？啊？点点运动成点，那我 b m 始终要跟你平行 啊，那就过哪里的面，过定点 b 的 跟它平行的平面，是吧？ 那是不是这个平面？然后我们点 m 呢？包括它的内部是不是就是这整个面里面的点？ 所以点 m 是 不是这个平面啊？不是平面，因为它在内部，那应该是在三角形以及它内部的点， 点 m 是 三角形以及它内部的点，然后我们要求求什么这一块区域的面积，那就求这个等边三是什么？等边三的面积。所以如果是平行，那去运动成跟它平行的平面， 那如果是垂直呢？ 点 p 是 正方体表面上的一点啊，表面它始终保持 b p 跟 a c 啊， a e c 是 垂直的， 来区分点 p 的 垂直是多少？ 那 a、 e、 c 是 什么？ t 对 角线，那 t 对 角线跟正面什么关系？都垂直的，那你现在过这个点， 跟他跟这条 a、 c 垂直的线呢？跟他跟这条线垂直线呢？跟这面有什么关系？要么是平行，要么是在这个面上面面内，对吧？ 那其实也就是我们要做的是过点 b 跟谁？ a、 e、 c 垂直的， 对吧？你跟它垂直的线是运动成整个面，这个面的话是跟 ac 是 什么关系的？垂直的，所以我要做的就是过 b 点做 ac 的 啊。水面是不是？然后点 p 输在水面上，也在这表面上，那不就是在这个等边在里面吗？ 所以他的轨迹长度就是三段的面的对角线长度啊，面的对角线长度，所以他能写啊啊三对的。 那，那如果重点，那定点距离是定时呢？ 那这个点在哪里运动？球面上运动。那我们看一下这道题。在平行六面体中， a、 b、 c、 d 是 棱长，边长为二的菱形，再来 b a、 d 六十度啊， 边长为二的菱形，再来车轮长度是三， 然后这两个面都跟底面是垂直的，点 p， 点 p 是 在这个层面里面的一点，始终保持第一 p 的 一个好奇则点 p 的 轨极长度是多少 啊？那我们把信息标注一下啊，最关键就站，哎，这条链怎么用？ 两个面都垂直，一个面垂直？对，有交线是不跟它垂直，这交线是谁啊？ a e a 啊，所以 a e、 a 跟这底面是垂直的，能做的测量跟底面垂直，所以它是一个智能柱，智能柱，所以先要搞清楚啊，智能柱 那直角处的话，圈内一个底面就是垂直的。各位，现在我第一批的一个号是什么意思啊？在球面上，然后呢，又在右侧这平面， 所以从右侧这平面去截，比如得到的是一个小圆，是一个小圆。小圆，圆心在哪里啊？ 小人，圆心跟第一点连起来跟正面什么关系啊？垂直的，我要做面的。垂线去哪里做？ 在垂面里面找交线的垂线，所以是哪一段？ b、 c 的 中点处取出来，因为你这个 b、 c、 d 是 什么概念？等边呢？ 所以这一点就是什么？是不是小圆的圆心小于圆心？那这段长度等于几 啊？是不是零幺三？这段长度零幺三，然后呢？啊，所以点 p 到偶遇的距离为几？ 这边是根号七，所以它就等于二，所以这段长度是二， 而这两段都等于几？一，所以呢？二十一，所以它这个轨迹是什么？是这样子的， 它这段是等于二，这是一，所以这角度几度 六十。这边也去掉一个六十，所以这边几度六十，所以应该三分之派乘以半径二，谁是最大弧长 啊？所以答案是多少啊？三分之好，所以第三个动点到定点的距离是定长，那这就是什么啊？曲面上的点，曲面上的点 一次点 p 是 人长为一个正方，比上底面的一个洞点，上底面的洞点， 然后呢， a p 跟底面所相交都是六十度，则点 p 的 诡奇是什么 线？面角六十度在哪里啊？怎么做？这个线面角过点 p， 做这面的垂线垂足，我们设为 q， 然后 a、 b 的 射影就是谁 a q， 那 这个三角形呢？这个角度几度六十，那这三角一六十一，所以这条 求二求根号三，谁知道是等于二，求根号三啊，请问你变成什么？定长的问题？定长的问题，求球面上，然后运到上里面， 现在前面上遇到上里面，所以小二等于几啊？所以等于三分之根号三，三分之根号三比一来的 小，所以这个点的轨迹就是一个啊。四分之一的什么呀？就四分之一的圆羽绒服啊。四分之羽绒服，所以，所以它应该是二分之派乘以小二。那小二刚才是等于几？三分之五号三。 哎，那我把上里面改成什么呢？表面上的一个点， 表面上， 表面上，那就除了上里面上，里面已经上完了，还有什么？下里面，下里面不可能的，那还有什么？如果他的层面呢？ 如果它的圈面呢？那它的射影是谁啊？从底下的这个啊，所以那应该是 ab 假角为几度的直线，六十度的直线是吧？ 那这边假角等于六十度，那这条等于一，所以这条等于几？二除以二，除以多少三 啊？那这边有没有？那这边有没有？没有输在这里？那其实的话它就是变成一个什么，一个圆锥 就变成一个圆锥，所以这个时候的话，表面上，那你还要再加两段，两段都是二除两段。 那我们说面可以用水来代替掉， 面的方向可以用谁来代替掉啊？法线是不是？那我这面的法线是谁啊？这这屏幕也可以改成谁 a p 与谁啊？与与谁？ 以 a e a 夹角几度，把它法线夹入三十度 的点的轨迹，那更直接了，他一条定时线，角角是定时的点是什么啊？那不就绕一圈吗？谁的轨迹是什么？ 以谁为轴？以 a a e 为轴的什么？圆锥？是不是圆锥？ 所以跟平面所成角是定直，就是跟平面的轴所成角是定直，所以它的轨迹是一个圆锥，是一个圆锥，又在又在平面上，所以是不是用这些平面去截什么呀？ 用这平面去截圆锥，并且呢， 所以啊，所以面的法线是不是很重要？因为法线的法线定下来，这个面的方向就定了，方向就定了，所以你线跟面所指的是线相对于面的倾斜程度， 那你线跟面倾斜程度是不可以通过线跟法线的倾斜程度来定义它线跟面的倾斜程度。 那朋友们，那我们继续来看一下 判球是否有点使得是面平行，线平行使得线垂直，面垂直这种判球的问题，那怎么办？来看第五 屏幕条件都看完了啊，那这个是面面垂直，再来，那这三条 s、 a、 s、 d 这还有底是什么？正方形，这边就垂直了，标注一下，这里是垂直的啊， 下面面垂直很重要，垂直，垂直于交线就会垂直另外一个平面，那水果 c、 b 跟这面垂直，我 ab 跟这面，这面是站立的三把这局部面整体 尾骨会变什么啊？转换你吗？哦，那 s、 a、 b 当做什么底？那就是一个三楞柱，而且是 正的三楞柱，正的三楞柱，所以把几何体结构先剖析住，然后再来判断一下。这个跟这个 第一个比较简单啊，只需什么啊？ d、 m 平行于谁？不要这样， 只需什么？要面面垂直，线面垂直，那我们要评估一下谁的垂线好找？ s、 a、 d， 因为 s、 a、 d 都占着了它的垂线去垂面。 s、 a、 d 垂面是谁？ a、 b、 c、 d 交线的垂线，那就是谁啊？ c， d， c， d 垂直于 b 面 s a， d， 所以 这两个面是垂直的，如果要正的，就 c， d 跟个面垂直的。 好，同学们继续来看。三、 s c 上是否有一点 a 使得，使得 d m a 和 a b， c， d 垂直？ so yeah， 怎么他丢要面面垂直，那就去找线跟面垂直，谁的垂线凹掉， 底的垂线凹掉，那就 a， b， c， d 它的垂线是谁？ s e？ 那问题是 s， e 在 面对吗？不在面对，那什么移进去吗？那什么叫移进去？过线做面找标线，找标线， 那就平移进来的，是吧？所以，所以过 s， e 要跟 d m， n 交在一起， 那你要移，用什么办法来移中心？谁的中心？ c 的 中心？是不是 s c 出一个 n 点，所以把 e c 连起来，这有没有一个焦点？ 我们发现这个点是什么点？终点，那你要平移进来，选 n 点是终点搞定， n 点是终点，所以，所以这个 c n 是 cs 的 做线做面罩，交线交线裙子啊，这样我们来解决它。好嘞， come on！

单招秒了，这是很多学校必考的几何证明题型，来干就完了，给我看啊！首先这个图搁这了啊，已知点 p 是 平行于一点，然后 q 是 平行于顶点，这是重要的，然后证明 p c 平行于面 b d q 在 这个地方我要说明一点，证明平行他百分之九十九点九九都用什么三角形对称线啊？百分之九十九点九对不对？ 好，所以赛程中线你要知道啊，然后看着啊，证明 pc 平行于平面， d 一个 q， 那 这个 pc 平行于这个面呢？是不是还有一个方法，你可以把这条线呢？你们日常生活中可以拿拿个隔纸啊，还是拿个纸东西，你给他平移，你平移到这个平面内，你看看他平移的是哪条线， 你要你要，然后你就会大概猜到是哪条线，明白我什么意思吧，因为他考试过程当中，他所有的题的图都会非常非常标准，明白吧。所以你看你移的话，是不是正好就和这条我自己做的弧度线 q m 这条平行，那这个 f 怎么来的？ 连接 a c 交 b 的 与点 f， 那 a c 和 b 的 是不是？是不是就是这个平行四边形的什么对角线了？那平行四边形的对角线它有什么性质？交点是什么？两条对角线的终点啊，所以我们就得到了点 m 是 a c 和 b 的 终点，然后再看 是不是上面的微线，再看 q 啊， q 是 不是也交代了 q 是 pa 的 中点，然后所以咱们再看这个造型， p a c 这个造型 p a c 这个造型 q 是 ap 的 中点， m 是 ap 的 中点， 所以这样中微线两个边的中点吧，所以这条线就平行于它的第三条边，所以我们就得到了 pc 平行于处 m， 然后再正， 还得再需要我教大家啥呢？ qm 得在这个面内是不是才行？然后 pc 不 在这个面内才行，这个是重点，这个千万不能辣了，这要辣的话就错了啊，证明线面平行的康经理吧。所以我们就得到了 pc 平行的面对。

变化的东西光折后还在同一个平面里面呢，那他就关系就不会变。他不在平面里面，但不在同一个平面里面，那他的性质就发生变化了。 那我们在弯折的时候，其实就是一种旋转的变化，所以这条轴很重要，那么旋转的话就跟旋转体是相关的，那也就是说 垂直于轴，那旋转起来是一个什么图形？也就直角三角，如果绕着直角边旋转出来，它是一个圆锥，所以垂直于轴旋转起来，它是一个， 是一个圆，可以提出一个圆，圆所在的平面跟轴是垂直的。 好，那第一类问题，旋转完以后位置关系呢？好，那我们看一下第一个问题， 如图，等腰直角三角形， a、 b、 c 角， b 是 等腰，然后 a、 t、 g 分 别为 a、 c 跟 b、 c 的 中点，那 a、 d、 e 和 b、 c、 f 是等边三角形，现在沿着 ab 跟 bc 把它折起来，折在翻折过程中，下列结论中可能正确的是 z、 o 关系，就是平行跟垂直的关系。 好，那我们看第一个问题， a、 e 跟 b、 c 有 可能垂直的，但翻折以后它就意面呢？那意面垂直，我们一般怎么判断？ 硬面，对吧？硬面把它固面，怎么变成固面呢啊？只要把硬面的线变成固面的线，这个 a、 e 对 b、 c 来讲， b、 c 在 底面 向线要跟它垂直转化。为什么垂直来摄影会不会垂直？是吧？就摄影会不会垂直？会， 所以我现在是绕着 a、 b 这个轴运动，那一点的射影在哪里啊？所以我们过一点去做 ab 的 啊， 过一点做 ab 的 垂线吧。你说绕着轴来转，所以它的轨迹是什么？一点的轨迹是什么？是一个圆，这轨迹是一个圆弧， 对不对？好，那他的摄影有没有可能啊？这个摄影有没有可能跟 b c 垂直啊？ 那你只要是一点的摄影师，谁就会跟 b c 垂直？哎，是不是在这上面点数都有啊？那只要是 ab 的 什么点就好了。中点，那你要是摄影是 ab 中点，所以 a e b 这个面绕到什么程度？垂直于里面 n 的 九十度，是不是垂直的？所以有没有可能垂直 空间两条线垂直，一条射影到另外一条手在平面，那就把 e 面变成什么呀？所以 e 是 可以的。二、 f c 跟 a e， 哎，那现在他们都是什么空间两条线的 学生？哎，你这两个三个旋转的，那我们就给他怎么样， 看他变化过程。特殊位置，哪个位置最特殊啊？重在一起的时候，那这个图形是什么图形啊？ 这两段是等腰，然后这条呢？ a c 数还是根号？二，这两段数都是一，所以合在一起的时候 a e c 就 变成什么九十度，等一下再换一 啊。所以会不会垂直？会垂直啊？只要把它们变成一个啊。这个 e 点跟 l 点怎么样？重合在一起？这不就行了啊？那两个平行关系， e a t f g t e a t f g t 有 没有可能平行啊？啊？ 面面平行，那我们应该这样子考虑，什么线跟面平行，而要线跟面平行去找什么？有线线平行吗？中位线啊，所以 t c 是 平行的，面呢？ 还有没有平行的啊？哦，那你就是 mg 吧，对不对？ mg 什么时候会跟他平行？你这个 mg 跟底下垂直上，那这个也垂直上？说是平行啊， 你要找两条线，你这个在弯折过程中，弯折过程中，我只要是图一个平面的垂线，这两条线就平行了，所以，所以可以找两条线啊，平行一面，所以会平行。 那 b、 c 跟 a、 e 是 平行的，我们能，嗯，他们，他们什么关系？哎，异面，为什么是异面呢？ 来异面呢，我们有判定的定义，对吧？从判定两线异面或平面内一点跟平面外一点的直线与 平面内读过，该点的直线都是一面的，是这样来判断，所以这个就搞定了。啊，所以这是一面的 啊。首先在垂直这一类关系里面，如果是线线垂直，我们经常用三垂线定，对吧？把意面的空间转化为平面的 好，那第二个弯折里面的长度问题，如果在同一个平面内，两点间距离是不会改变的，那么你再翻起来，不在同一个平面内，它们距离就等于是改变。 好，那我们看长方形， ab 是 两个单位， 然后长是四个单位， e 是 终点，把 a、 b、 e 绕着 a、 e 关起来，关起来，然后把这些都连起来。 那么在翻折过程中， p 点 p 点到 a、 c、 d 距离的最大值是多少？那 p、 d 中点 f 的 尾极长度是多少？ 谁是旋转的轴？ a、 e， 那 再轴同色的路径有没有改变？没有，所以我们这关起来以后， p、 a 定不存在的。 等腰直角，因为 p、 a、 e 就是 跟 a、 b、 e 是 全等的， 等腰直角 c 加零二根号二啊，那 a、 e、 t、 d 还是一个直啊？等啊，直角梯形是吧？两边直角， 大家往下轴是谁啊？ a， 轴是 a， 所以 哪个东西很重要？垂直于轴的，垂直于轴的， 那么我们把这一个点叫做 h 点吧，垂直于轴的，当翻起来以后，点 b 的 轨迹是什么？是一个圆， 那翻动过程中是一个圆，对吧？那 p h 的 长度有没有改变 啊？没有改变。 p h 长度没有改变，它等于多少啊？除以根号二，没有改变，明白吗？那这个 p e p h 度乘以是 ab a e， 那你绕着它转的时候怎么样？始终保证 p 点到 a 的 距离有没有改变？没有改变。 p 点到 a 的 距离没有改变，所以点 p 到 a、 c、 d 的 线段，点到面的距离。 哎，如果 p h 垂直于面呢？那它是不是这个值？如果它垂直的，那就等于几根它二，如果不垂直呢？不垂直，那我过点 p 做面的垂线， 对吧？那这个 p 点到正面的距离比 p h 来的小，所以我翻起来立起来是要减去最高的，所以最大值等于高二。那么请问点 f 的 轨迹是什么呢？ 你说点 p 运动，败着谁运动？ l 点运动，那，那么你就左边，我想到哪一条线？中卫线，中卫线，怎么个中卫线法？哎，把谁连起来 啊？哎，把谁连起来？ 都把这里的 dh 都连起来。为什么连 dh？ 各位，嗯， dh 的 终点，终点 g 点是不是定点？ 那你刚才你这个是定时是吧？始终是不这样子的，所以你这边呢？啊，是不是这边做他的什么线？平行线，你是不是也是这样子来运动的啊？ 这上面 a 点跟 d 点就一点一点的这样子描出来吧，你是一个圆的，他这个终点呢， 是不是也是一个圆？是不是也是一个圆？所以我们就想到中位线，那你的长度呢？ 你到近点的距离呢？哎，二分之根号二，然后你转一转多少？转半圈？说半圈，那应该是二分之根号二，说二乘以圆心角 啊，搞定了吗？ 好，来，那我们继续再看一下距离。对， a、 b、 c 六十度边长为一个菱形， 这个菱形就是两个等边三角形啊，套在一起的菱形是吧？ 那么绕着 a、 c 弯折，弯到什么程度？弯到它的二面角是 c 角，求折后两条对角线之间的距离的最小值， 这穿起来就叫做空间式变形 来目标最小距离的最小值， 我们把这个最小的就叫做意面直线灯来距离是吧？也就是它的空锤线段的 空锤线段的长度来。那怎么求空锤线段长度呢？ 那我们就要翻折过程中它的位置关系呢？你这样子翻起来以后点 b 在 里面摄影是谁啊？ 摄影在哪里啊？在 b、 d 上，是不是从 b、 d 上？所以翻起来以后， b 撇 b， 恰好在 a、 c 的 成片上啊，所以 b 撇 b 跟 a、 c 恰好是垂直的，是不是垂直的？ 所以我要做 a、 c 的 垂线，是不是到它的垂面里面去 做？它的垂面是谁啊？ a、 c 的 垂面是谁？ b 撇 o、 d， 做 b 撇 o、 d， 而且 b 撇 o、 d 恰好是什么？是二面角呢？平面角吧，做二面角，平面角。 然后呢？现在在这个面里面，我现在这面里面所有的线数都跟 a、 c 都垂直了， 那现在我只要在这面里面再跟谁垂直就好了，一撇地垂直，而这翻起来的这个面是什么？是二零幺呢？所以我只要取什么中点，这一边数也垂直的啊，所以这是公垂线段，公垂线段长度是 最短的距离，所以我要取的是不是这条，那这个二面角的平面角是不是就是 b 撇 o b 啊？那这角度是不是斜长？ 那电场为一，所以最大等于几？二分之根号三。所以 o g 的 长度就等于谁啊？二分之根号三来可算以二分之，那二分之 c 呢？是三十到六十之间， 二分之 c 呢？在三十到六十之间。那，那什么时候是最小的？六十六十二分之一，所以最小的？各位， 四分之根号三，四分之根号三。所以最关键我们要理解清楚，它们之间距离的最小值就是公弦线段呢？怎么找公弦线啊？怎么找公弦面？ 第三，旋转中的角度问题。 好，我们看题，在边长为二的正三角形中， e f 是 终点。现在我沿着 e f 把这个三角形 c f 翻起来，翻完以后，我记作 p e f 翻到什么程度？翻到 p e 跟 a e 垂直的程度 啊。翻到 p e 跟 a e 垂直的程度，则 p b 跟 p e f 所成角正弦值是多少呢？ 各位，这 p e 跟 a e 对 不对？人不在 p e， 对 于 c e 啊， a e 来讲，叫什么线？ a 是 那个底上，那 p e 就 叫什么线。斜线，那斜线跟它是垂直的，摄影是垂直的。那请问 p e 在 里面摄影是 e 什么？是不是这意思？ b 在 里面射出 e 怎么办？那 e 怎么会跟 a e 垂直啊？在底面啊，你是等边呢？是 e b 是 不是跟它是垂直的？ 所以点 b 在 底面射在哪里？水翻到什么程度？翻到死的。 p e b 跟底面怎么样？垂直，对的， 就放在这层度啊，所以 p e b 跟底面是垂直的， p e b 跟底面垂直的。咱们接下来要求下大家思考一下， 接下来呢，这个几何体的结构不清了吗？我们看一下长度，这条是一，这条呢？一，这个是根号三。一一根号三， 然后呢？哎，那我这个 p g 垂直于 g 点怎么算？ 哎， p e 等于 p f， p e 等于 p f， 所以 怎么样？那 p e p e 要相等，那设也要不等啊，设也要等，那 g 点在哪里？ g e 要等于谁？ g f g e 要等于 g f， 那 g e 要等于 g f， 那 就啊，在 e f 的 形线上，中垂线上，而且我们是绕着 e f 来旋转的，所以哪条线很重要？ 所以这个轴是很重要，我们把它记错，分别记做 m 跟 m 啊，那刚才，刚才 p e 等于 p f， 那 它设要不等， 你翻起来是对称的对不对？所以你这个 g 点恰好是谁啊？是不是恰好从这个终点上面？那不就在在 m n 上面吗？所以这个点就是你的终点。 那这是几等分点？这是几等分点？哎，是一比二，是不是三等分点？那整条根号三，所以一 g， 哎，三分之根号三，一 g， 是 不是三比到三， 所以，所以它的位置是不是这样子的？ 而且你是轴，所以点 b 的 射影数都在我 m a 上，这个是点 b 在 里面，射影数都在 m a 上 啊，所以你的射影要刚好是 m a 跟 e b 的 交点的上 b 才会保证 p e 跟 a e 是 怎么样垂直的？因为这个射影它会垂直吧？啊，那剥清它的结构以后， 我要求谁 p b？ 跟正面所讲讲，各位， p b 现在长度是多少啊？根号 二是吧？根号二， p b 是 根号二。线面角怎么写啊？哎，那应该说做垂直，那做垂直连起来是这个角， 那它的正弦值就是等于 b 点到这个面的距离，那就是 b o 的 长度比去 b b 的 长度， b o 是 不是点到面的曲？点到面的曲两种处理方式，一种，一种是等底形，第二种直接记住， 那距离在哪里啊？在垂面里面做交界的垂线，就在垂面里面做交界的垂线， 但是很可惜，避免的垂面有没见到？没有？没有。换一个地方，哪一个地方？刚才距点这边有没有垂面？ 我们这折起来的 p m g p m a 是 不是就是 p e f 的 垂面啊？ 对吧？所以我过继去做谁的垂线？ p m 的 垂线， g k 垂直于 pm， 所以 g k 就 会垂直谁，哎， p e f， 对 吧？所以这是不是点击它的距离， 所以点 b 到它的距离呢？哎，点 b 到的 g b o 是 g g k 的 几倍，也就是它的距离不是这个距离三倍。 而刚才 p g m 是 什么概念？哎，直角三角形，是不是直角三角形， 对吧？这一段长度是几啊？我们的高速根号三，然后这一段是二分之根号三的三分之一，所以这段等于几？六分之根号三， 这 g m 是 六分之根号三啊，然后 pm 是 多少？ pm 是， 哎，二分之根号三，对吧？那我要求的是 g 点到它的距离是 g k， 这是二分之二的，哎，给他六倍一下吧。六分之根号三的六倍，那这是一，这是几三，那这条是几二倍？根号二，所以 p 七的长度是？哎， p 七的这么多，在乘以谁 三分之二六啊，所以用的面积能把 g k 取出来。 g 点到这面的距离 b 点是到那面，距离是它的几倍啊？三倍，是不是三倍？所以，所以这个 b、 o 的 长度是怎样的？那把 b、 o 除以 c、 e、 p 是 不是它们的正弦值的？ 他转那么多后门也可以，用什么啊？整体体来的，那整体体，我要求 b 点到正面的距离，是吧？所以我们去研究哪一个体型来一 p e、 f， 而 p e、 f 数这个等边上移，所以它等于三分之一的 b o 乘以 p e、 f 的 面积， p l 面等于几？四分之。另外一个方面呢？ 这体积有位，等于以谁为定点？那 b、 e、 f 的 b、 e、 f 的 面积可求吗？啊， b、 e、 f 的 面积，那就等于谁啊？就等于整个面积的四分之一， 就等于整个面积的四分之一。这块啊，四块就是四分之一，所以它等于三分之一。啊，四分之一的面积，面积是四分之二三，然后 p 点到正面的距离，这是谁啊？ p g 是 不是 p g？ 那 p g 的 长度怎么算啊？是换个直角算， p m g 里面算， p m g 里面算，所以算出来刚才说是三分之几，根号六，是不是三分之根号六 啊？所以第一 o 的 长度就等于谁啊？约掉约掉等于十二根之，又成十二个单位啊。 啊，所以他们所什么叫啊？那么它的基础还是在于我们这个旋转变化里面。我们注意到轴是 e、 f， 所以 跟轴垂直的这条线很重要啊，跟轴垂直的这条线， 哎，继续再看一下三角形， a、 b、 c 角 a 是 九十角 b 是 三十， a、 e 等于二 点， d 是 b、 c 的 中点，然后把 a、 c、 d 翻起来，翻起来给它记作 a、 d、 n， 把 a、 c、 d 改成 a、 d、 n， 那 这个 l 也就是起点， 那角 a 是 九十，那这个角度是。哎，三十，是不是这个角度？三十， a、 c 的 长度为二，这长度为二， 所以 a、 b 的 长度就等于几。哎，二倍根号三，然后那这个斜边 a、 c 就 等于几？ 斜边是为四，然后这个地点刚好是在终点，所以这段呢？呃，这段，呃，这段也是，所以它几何里的结构是什么？这个 a、 c、 d 是 等边三零啊，等边三都是攀起来了，那 a、 g、 b 是 什么概念 啊？等腰三角形，而且这顶角是几度？一百二，一百二，弯起来啊，这个结构宽起来，那这样太辛苦了，你就把层面先画出来啊，平面图先画出来啊，平面图先画出来 啊。那现在外接球的半径为二，求 a、 a 跟底面 abd 所成的角平行 关关到什么程度？关到外接球的半径刚好是。 那我们研究的锥底到外边，球锥底到外边，哪个形体很重要？ 哎，结面小圆是不很重要，前面讲我们先研究哪个结面？ a、 d、 b、 a、 d、 b， 它的小圆的半径是怎么算啊？ 小圆的半径我怎么算？三角形 a、 b、 d 外切圆的半径是吧？那我们就用什么定律来算？正弦定律属于二等于谁 啊？ a、 d 属于谁？三 b， a、 d 属于三， b 等于几？等于四，所以小二等于几？ 小二的。你看把球星啊，我们的球星刚好在哪里啊？这球星刚好是不是你这个这个小圆的手腕？ 这小圆圈什么圆？大圆，所以穿起来以后啊，这个就是他的钝角三，所以外外心在哪里？三角形外，三角形外，所以现在这个图形是不是更特殊了？ 刚才有评论就提到说正四面体，有正四面体吗？ 有正室面体吗？有哪一个是正室面体啊？啊？哦，原来这个是不是正室面体？各位，这个是不是正室面体 啊？因为 a， o， d 它是不是边上的都是二， 然后呢？ o， a 也是几二，而而 n， a， n， d 呢？ 都是二二，那能利用这个来求线面角吗？这样跟 abd 所成角结束了，就是正正四面体来能跟底面所成角，对吧？ 棱跟里面所成角，它是什么值？鱼弦值，射棱长为 a 啊，所成角线面角的线面角的鱼弦值棱为 a， 那高数是谁？三分之二开根号是三个，根号六，那求出来他正什么值啊？正弦值，那余弦值呢？三分之根号一下搞定了没？ 所以把这问题转化为你们熟悉的，你就可以把它熟悉的你这里有外界学，我们就这样了。 来求二面角余弦值的最小值，感的是什么呢？ 等等，他说他是平面四边形， a， b， c， d， 那 我 一开始也不要那么讲究了，就先给他画什么？ a， b， c， d， 你 先画等一下再调整一下，对不对？ 然后呢？ a， b， a， a， b， 还有呢？ a， c 还有 c， d 都是一，都是一，再来呢？ a， d， c， a， d， c 几度？三四，那这三只这呢？ 三十，这个也三十了，能要吧？那这个角度呢？一百二，这个角度一百二， 还有呢？还有哪个角度？ a， b， c 三十，三十变成一百二， 这是怎样？ d， a， b 是 一百二，那我看错了， d， a， b， c 一 百二，那这几度啊？哎 哎，这个是 a， b， c 三十，那这是一百二 b， a， b， 那 这是多少？ 所以我们可以图形一下，如果可以精确的话啊，那这边是什么？看？ abc 是 等腰直角，那这角度四十五， 然后这边要和在一起是多少？一百二啊？自己要一百二，那自己要一百二，那应该是这样子，是吧？ 这两个，这是 e， 这是 e， 这是 e， 是 吧？好，那现在呢？现在我们要沿着谁折起来？ ac， 把 ac 沿着这折起来，那么折起来动点 p， 动点是 p 啊，那画成直观图啊， 然后这个 a c p， a c p， 那 始终保持是等腰三角形， 这一点是 p， p 就是 原来的什么 d 啊。图形给大家画好了，来思考一下。求 a c p b 这个二面角的余弦值。什么是要被最小？二面角余弦值要最小，那就这个二面角要最大。最大是什么时候呢？ 我要把 a、 c、 d 关起来，那翻折过程中什么意思？最关键 我们的轴是谁？ a c 那 点 p 呢？点 p 的 位置在哪里呢？ 非常好，要去做轴的成线， 那我就把这条给延长这里做垂直过来，这是一个单位，这角度几度？六十，所以这个等于几？二分之一阶段， 所以我这边要在几个单位过来，二分之一个单位过来，是不是 啊？我们把这点记作 e 点吧。那 p 点在哪里啊？ p 点的轨迹是什么？ p e 的 长度是几？二分之根号三，然后让他 啊就转起来了，所以点 p 数在这个圆上运动，数在这个圆上运动， 因为我们绕着谁来翻折，就是什么呀？旋转体嘛，做旋转体，所以绕着这个方折，翻完以后，请问 a p p 什么？ pcb， 这个两个半里面所乘角最大是多少呢？是不是这意思？所乘角最大的一个，那一些是最小吧？啊啊，课后十点不再，我们下一节课再讲啊，大哥们。

一个超好理解的方法，带你直接拿下理解几何压轴的二面角问题，当别人还在辛辛苦苦间隙计算的时候，你已经十秒钟把这个题拿下了。三号猫独家总结的办法，一、垂面，二垂直，三连接。核心就是这个一垂面， 直接找一个平面的垂面，在里面做垂直即可。因为二面角是有两个面的，我找一个平面的垂面，在这个垂面里面做一个垂直。好，直接看题，实操一下，保证让你轻轻松松拿下一体几何的二面角压轴体。 看第一题，哎，让求这个二面角 b 杠 f c 一 杠 c 的 余弦值观察一下里面两个平面 b f c 一 以及 f c c， 呃，这个 f c 一 在这是交线，另外两个顶点 b 和 c 分 别在这里。 好，一平面儿，我们先找其中一个平面儿的平面儿，那比如说第一个平面儿，呃，这个二面角的 f c b 它的平面儿，哎，能找到吗？ 不能呀，因为它是这个往后仰的，它这个平面儿不好找嘞。那另外一个是哪个平面呢？哦， f c c e 它的平面儿，哦，太好找了呀！因为题目告诉你了， c c e 是 一个定海神针，是一个垂线，它是不是垂直底面儿呀？ 哎，那这个平面蓝色的平面就和底面垂直了，那所以我就找底面这个垂面。好，第一步，垂面已经找到了，那咱刚刚说了，找一个平面的垂面在里面做垂直，那就在这个垂面 fcb 中做垂直。 过谁做垂直呀？过我的这个二面角的顶点 b 往谁呀？只能往 f c 做垂直了呀。因为 f c b 是 个等边三角形，所以做完垂直之后，哎，这个垂线段，它的垂足肯定落在 f c 的 终点 q 上，那 q b 就 来喽， 最关键的第一步已经完成了，二垂直三连接，意思就是二垂直呀！第二步，我只需要过这个 q 往交线，也就是二面角的这个交线做垂线啊，这么一做，好，假如落在这里，我记为一个 t 三连接连接这个 t b， 哎，漂亮！ 各位小小猫前方高能一句，我要告诉你，这个角 q tb 这个 c t 就是 我要求的二面角了，请把六六六扣在弹幕里。 好，这个截得到流程我也放在这里了，大家可以直接看。那最后我只要求这个 qtb 的 余限制就完事了， 因为 qb 啊，它垂直于 f c 了，我们做的，并且 qb 还垂直于 c c 一， 那么 qb 是 不是就垂直整个平面了？那所以其实这个红色的三角形是个直角三角形哎，角 tqb 是 直角，那么 cos 角 qtb 哎， 就是 q t 除以 q b 了。而根据平面几何的知识，咱很轻松的算出来，等边三角形 i q b 是 根号三，这边等腰直角三角形 q t 是 斜边，这个 f q 再除以根号二，那么就是二分之根，从而非常轻松的算出来。勾股定律，勾一下 i t b 就是 二分之根十四，那 q t 除以 q b， 我 家毛都会散，不就是根七分之一，七分之根七吗？请把 nice 扣在弹幕里！一，水面二垂直三连接，牢记 这个口诀啊，几乎可以把所有的几何法求二面角全部拿下！因为几何法求二面角也是今年高考的一个热点，所以各位同学们呀，不要再老老实实见戏了，赶紧想想几何法是不是也非常快呀， 能拿到满分的证明。过程我也写在这里了，好，拿下系统课，接着再用刚刚的方法来试几道题，因为三花猫说了，它是一个万能的方法，几乎这种二面角的几何法都能用。入座时看第二题，让求二面角 p 杠 b m 杠 d ok， 交线 bm， 两个平面分别是 pbm 和 dbm。 那 第一步找垂面，哎，你说哪个平面的垂面好找啊？很明显，是不是这个底面 dbm 的 垂面，它的垂面就是谁呀？就这个 abd 了，因为题目告诉你了，哎， abd 和 bcd 是 垂直的，第一步就完成了， 那接下来开始操作流程，咱只需要在平面这个 a b d 中做垂线，因为咱的顶点是 p， 所以 应该是过点 p 做垂线，哎，平面 a b d 只有一个 b d 啊，那就往这个 b d 做垂线呗。啊，这一坐舒服了， 好，先给他接一个 q 吧。接着二，垂直做交线的垂线，做 b m 的 垂线，过 q， 哎，那我就做一个 q 大 或者 q t， 哎，垂直 b m。 最后一步，三，连接连接 t p 好， 那么这个二面角很明显就是角 p t q 了。 那最后这一球 tan 的 角 p t q， 也就是 tan 的 c t， 它在这个直角三角形 p q t 中，它不就等于哎 p q 除以 t q 吗？ 那剩下你只要算这两个边上是不是就好了？这我家猫都会算的，自己用这个平面几何知识算一下哈。那最后算完之后，哎，上面是一个二分之根号三，这个 p q， 而 t q 呢，就是一个十四分之三倍根号十一， 那答案五就是三分之根号七。我嘞个骚杠嘞， nice， 请把六六六扣在 w 那既然是万能的，再看一道二零二一年全国卷的一个真题，重点翻一下这句话，二面角 e 杠 bc 杠 d 的 大小，能不能找出来呀？ 哎，刚刚我们说 e 垂面，先找垂面，交线是这个 bc， 那 么有两个面了，一个就是 ebc 啊， ebc 它的垂面不好找呀，这个面是斜的，另外一个是 dbc， 哎，这个面好找， dbc 是 下面这个面，哪个和它垂直呢？题目说了 a b d 和它垂直， 那 abd 和 bc 的 垂直 abd 就是 这个垂面的呀，第一步启动，找完了， ok， 核心在里面做垂直，在这个平面 abd 中，我做一个啊，因为顶点是 e， 那 只能做这个 eq 垂坠 bd 了。 接着二垂直，哎，我们是不是要做这个 q 与交线垂直了呀？所以做一个 qt 垂坠 bc 三连接，直接连接这个 t 和 e， nice， 小 子看好了，这一笔会很帅！连接 t e， 那 么这个二面角就是角 e t q， 题目说了是四十五度，所以这个就是四十五度了，那么这个 e q t 就是 一个等腰直了呀，一比一比根儿 nice！ 翻一晚了，那这个题就迎刃而解了，接下来这些东西都非常的好求，这道题呢，也输入在我的必修系统课中啊，这个方法呢？再比如题的方法以及这个二面角的绝招，都在必修系统课中讲过的。 藏猫讲数学，用最通俗易懂的语言，拿下最难的数学题，带你上大分！最后呢，这个二面角也给大家留了一个小作业，可以做一下，把答案扣在评论区， 需要更多练习题的，在我的 b c r 系统课中，以及更多的方法讲解整个 b、 c、 r 的 系统讲解。

二十一题啊，如图所示，三棱柱，它里边侧棱的话呢， a a 一 垂直于底面 a b c a e c 垂直于 ab， a c 垂直 ab 啊，然后 ab 等于 ac 等于二， ab ac 啊，等于二，然后这个最后的话呢， a a 一 还等于三？ 第一问啊，让你去求证 a b 垂直于 a c 啊， a b 垂直于 a c 啊，怎么求证垂直呢？ 垂直的话呢？首先第一步，你看啊，人家告诉你了，是不是 a a 一 垂直于底面， a b c 因为 a a 一 的话呢，垂直于 底面， a b c a a 垂直底面 a b c 了，然后 ab 搁哪呢？ ab 是 不是包含于底面 a b c 里边的 一条直线垂直于一个平面，所以是不是垂直于平面内的所有的直线？所以 a a 一 是不是垂直于 a b 啊，对吧？然后还有一只什么是不是 a e c 又因为 a e c 垂直于 a b， 然后并且的话呢？你看啊， a a 一， 这 a， e， c 是 不是它们在平面里边呢？并且它俩也是相交的吧，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，所以干嘛？ 是不是 a b 垂直于平面 a a e c 啊，对吧？并且又因为啥 ac 是 不是包含于平面 a a c 的， 所以干嘛 ab 是 不是垂直 ac 啊？这是第一问啊，然后第二问的话呢，让你求三棱锥，它的体积 怎么去求？求它的体积？你怎么求你都求不出来？我告诉你啊，因为什么？因为好些东西它没有在一个平面上啊，它整起来是个斜的，所以对于我们而言的话呢，你这个 v c 杠 a b b， 它等于什么？先变一下，不影响吧，还是这四个点呢？ 所以对于我们而言的话呢，你看 b 一 搁这呢，底面 abc， 这是不是就是非常典型的三棱锥了，对吧？所以对于我们而言的话呢，三棱锥体积等于啥？是不是三分之一倍的底面积乘高，对吧？那底面积等于谁？ 第一位让你求啥呢？ a b 是 不是垂直 a c？ a b 垂直 a c 的 话，这块是不是直角？所以它的图像是不是这样的？这是二，这是二， 对吧？那所以底面积的话呢，等于几？是不是二分之一乘个二，再乘二高是几？ b b 一 是不是等于 a e a， 对吧？那所以是不是就再乘个三就可以了？来画讲一下，三分之一三没了，二分之一二没了，所以就剩下了，就剩二了，所以答案就是二。

来，我们来看一道例题，几何啊，如图所示的话呢，圆锥 p o， 它的母线 p a 长的话呢，是等于 根号十啊，并且这个 p c 也是根号十啊，它俩很明显就是一样的，里面半径的话呢，是二啊，然后三角形 o a c 的 话呢，是一个等边三角形啊，然后让你去求第一步啊，第一步比较简单，求它的侧面积和体积啊， s 侧的话等于什么？ 呃，对于它而言的话呢，是不是直接等于 pi 二 l 啊，对吧？来二是不是底下的二 l 是 不是就根号十？所以就是谁 pi 乘上个二，乘上个根号十，也就是等于二倍根号十倍的 pi 啊，当然 这是平方厘米啊，然后体积的话去求什么？你看啊，这里边这等于根号十， p b 是 不是也等于根号十啊？那所以我们可不可以先求一下 p o 啊，这个三角形就是 p o b 这啊， p o b 这， 这是垂直的，然后 o b 的 话呢，是二，这是根号十啊，所以是不是我们先求一下这个高啊，就这个 p o 啊，那很明显 p o 等于什么？ p o 是 不等于勾股定律吧， 斜边的平方是不是十，减去个底下这个边是不是四？所以 p o 等于几？是不是根号六啊， 对吧？那既然求出来它了，这是一个圆锥对吧？来圆锥的话呢， v 等于什么？ v 是 不是等于三分之一乘上个 s 底，再乘上个高 h 啊？来代一下，是不是三分之一乘上个底？面积是谁？是不是派二方，对吧？ pi 乘二的平方，然后再乘个 h， 是 不是根号六啊，对吧？然后，所以最后算出来的话呢，是什么？是不是三分之四倍根号六 pi 啊，当然此是因为是体积了，是立方厘米， 这是第一问啊，第二问的话呢，求二面角它的正切值 p 啊，公共边是 a c， 然后这个 o 啊，这里边有几个点是什么？你看 pa 和 pc 是 不是相等的，对吧？那所以这个 pa c 是 个啥？ p a c 是 个啥？是不是等于二三角形啊？并且这个 a c 你 要注意一下，人家告诉你了，是等边三角形，这个 a c 是 几？是不是也是二？因为它要跟半径是一样的啊， 所以的话呢，这是二，这是根号十，这也是根号十啊，然后的话呢，还有哪呢？哈？呃，对于它而言，呃，你做个它， 这是中点，这取个大啊，这个 p a， 这个 p 大 啊， p 大 怎么样？ p 大 是不是肯定要垂直于 a c 的 呀？呀？ p 大 肯定要垂直， a c 等于三角形嘛？这还是中点啊，然后的话呢，你再注意一下，这啊，就这个三角形里边啊，这个是大，这个 o 大 怎么样？ o 大 是不是依然是垂直于它？因为它是等边三角形，它是中点，对吧？那所以其实最后我们要求的这个正切值求谁去了？ 这是 p， 这是大，这是 o 啊，这是垂直，其实我们最后求的就是这块，来，我告诉你，就是这块 啊，这个的正切值是不是要求一个它 po， 我 们是不是知道了 po 等于几？是不是根号六啊？ 对吗？然后这个大 o 是 几？嗯，大 o 在， 是不是在这里边呢？这个边长的话呢，来，这是二，这也是二，这整体的事，这是不是一样来，所以这个 o d 的 话呢，是不是根号是三来，所以 tangent 角 p 大 o 啊， 等于谁？是不是对边比上谁？是不是邻边啊？也就是根号六，比上个根号二来等于几？是不是根号三？哎 啊对对，这是根号三啊，是不是根号二啊？对吧？最后答案就是它。

好，同学们，咱们今天继续来看二面角的下一个类型，也就是给我们给了一个二面角，让我们去求一些别的条件。以这个题为例，第二问，他说 a c m 和 c m b 两个半平面所成的角为六十度的时候，让我们去求 线面角。那么先简单复习一下，其实现面角就是斜线与其投影的夹角， 所以我们要求线面角的第一步，要先找到斜线在面内的投影。斜线是 c a， 平面是 amd， 我 们要去找的就是 c 这个点在 abm 内的投影点。那么根据题目条件，我们可以知道后面这个面和底面是垂直的，所以可以得到 ab 是 垂直于面 bmc 的。 因为我们可以通过面面垂直，然后又有一条线垂直于交线，得到了一个线面垂直 a b 垂直于 b m c， 就 可以得到 a b 垂直于面内的一条线，也就是 m c。 又因为后面那地方是一个 bc 为直径的半圆，所以 m c， 它还会垂直于 b m， 那 么就可以得到 m c 是 垂直于面 abm。 直线 c a 与平面 a m b 所成角其实就是我们的角 c a m。 那 咱们继续往下根据条件再推一步，因为 m c 垂直于 abm， 所以 是不是可以推出来 m c 是 垂直于 a m。 为什么要用这一步呢？因为我们马上就要用到二面角这个条件。二面角 公共棱是 mc， 要在公共棱上找个点，分别在两个面内做公共棱的垂线，所以第一个 am 已经找到了 am 垂直于 mc， 那 第二个也很好找，是 bm 垂直于 mc。 所以 咱们这个二面角的条件处理其实就是角 bma 等于六十度。又因为 a b 是 垂直于后面那个面，所以，所以可以得到 a b 是 垂直于 b c 的， 所以这个三角形 a b m 就 为 r t 三角形。那么我们根据边长是三，可以求出来 a m 的 长度是 二倍根号三。再通过勾股定律再求一下 a c 是 三倍根号二，那么我们要求的 c a m 这个角的余弦值就还差。最后一个东西就是 c m 的 长度， c m 的 长度求出来它应该是根号六，所以我们的 sin 角 c a m 就 会等于根号六。比上三倍根号二，约下分就是三分之根号三。

朋友们好，今天这节课我们来学习第八章立体几何初步第一节，基本立体图形。本节会涉及两个知识点，第一个知识点是七种简单几何体的结构特征，第二种是简单几何体的洁面。 对于空间中实际存在的物体，如果我们只考虑它的大小和形状，忽略掉其他因素，比如说忽略颜色，忽略位置等等，那我们就可以把实际的物体抽象成一个空间几何体。 我们按照空间几何体的形成方式，可以把空间几何体分为多面体和旋转体两类，那其中多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，它的关键词是围。 那围成多面体的各个多边形啊，都叫这个多面体的面。这里同学们注意，这个面只能是平面，不能是曲面， 那面和面之间的公共边，我们叫多面体的棱，那棱和棱的公共点，我们叫多面体的顶点。我们这节课要学的棱柱、棱锥、棱台都是属于多面体 那一条平面曲线或者直线。比如说我们这里的 o 一 撇 a 一 撇 a o 绕它所在平面内的一条固定的直线，我们这里的 o o 一 撇所在直线， 那绕这条直线旋转所形成的曲面，我们叫旋转面，那这个旋转面是封闭的，那封闭的旋转曲面以及内部空间所构成几何体就叫旋转体， 那这条固定的直线，我们叫旋转体的轴，所以旋转体的关键词是旋转。我们这节课要学的圆柱、圆锥、圆台球都是属于旋转体， 那这里有个知识点同学们要注意一下，就是多面体的特殊情况，正多面体。正多面体是指各个面都是全等的图形的多面体。正多面体只有五种，正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。 我们先来看第一种多面体，叫棱柱。当我们研究多面体结构特征的时候，我们会关注四个方面，底面、侧面、侧棱和顶点。 那棱柱有两个底面，上下底面是全等且平行的，棱柱的侧面都是平行四边形，而棱柱的侧棱也就是相邻侧面的公共边，都是互相平行且相等的， 那棱柱的顶点就是侧棱与底面的交点。那我们怎么写棱柱呢？我们就是先把一个底面的顶点的字母顺时针或者逆时针写在一起，表示一个底面， 再打个横杠，再把另外一个底面顶点的字母顺时针或者逆时针写在一起，表示另外一个底面。 对于棱柱而言，它的底面边数和侧面数量以及棱数三个数字是相等的。比如说图一，它底面就是四条边，是个四边形，那它就有四个侧面，那它就有四条棱， 那因此啊，底面有几条边，我们就把这个楞柱叫做几楞柱。那图一底面有四条边，我们就把它叫做四楞柱。那四楞柱有四个侧面，再加上上下两个底面，那他总共就有六个面，因此四楞柱又叫六面体。 如果一个六面体，它的底面是平行四边形的话，它的侧面本来就是平行四边形的，现在底面还是平行四边形，所以这个四棱柱又叫平行六面体。 如果棱柱的侧棱是垂直于底面的，那这样的棱柱我们叫直棱柱，那侧棱垂直底面，所以侧面全部是矩形。 那如果有一个直楞柱，他的底面是正多边形，那我把这样的直楞柱叫做正楞柱， 所以正楞柱是直楞柱的一种特殊情况。正楞柱的底面是正多边形，每条边的边长都相等，所以侧面此时就是全等的矩形，那与之相对应，侧楞不垂直于底面，那这样的楞柱我们叫斜楞柱。 接下来我们来看几种四棱柱，也就是六面体，他们之间的关系。对一个普通四棱柱来说，如果他的底面是平行四边形的话，那这个四棱柱他的六个面都是平行四边形，那他就叫平行六面体。如果这个平行六面体，他的侧轮与底面是垂直的， 那这个平行六面体就叫直平行六面体。此时他四个侧面都是矩形， 那如果它的底面也是矩形的话，那这个六面体此时就是长方形。那更进一步，如果底面是正方形的话，那就叫正四棱柱，此时它的四个侧面都是全等的矩形，它的上下两个底面是正方形， 那如果侧棱和底面边长相等，那就是一个正方体，六个面是全等的正方形。 接下来我们来看个例题，三棱柱的底面是三角形，那第一种说法是正确的，底面边数以及侧面数量以及侧棱数量这三个数字是相等的。 第二，一个棱柱至少有五个面也是正确的。那底面要是一个封闭图形的话，它至少要是三角形， 那三角形就有三个侧面，三个侧面加两个底面就是五个面。第三，五棱柱有五条侧棱，五个侧面侧面为平四边形，我们说这种说法是正确的。 五棱柱有五条侧棱，底面是五边形，有五个侧面，那棱柱的侧面都是平四边形。 第四，若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等。 我们以六面体为例，如果底面边长相等，那它的四个侧面、四个平行四边形，它的边长是相等的。但是如果它是一个斜棱柱的话，四个平行四边形的内角是不一样的， 所以各个侧面有可能不全等。所以第四种说法是错误的。那第四种说法怎么修改是正确的呢？ 如果我们再加个条件，如果棱柱的底面变长相等，而且它是一个直棱柱，那么它的各个侧面就全等了。因为直棱柱侧面都是矩形，内角度数也是相等的，都是九十度。 接下来我们看第二种多边体，人椎，人椎的顶面是一个多边形，它的侧面都是三角形，而且这些三角形有个特征，就是它们有公共顶点，那这个公共点我们就叫人椎的顶点 轮锥。还有另一种顶点叫底面顶点，它是指侧轮与底面的交点。那一般情况下，如果不加说明，我们只说顶点的话，我们就是指轮锥的顶点。 那棱锥的侧棱就是相邻侧面的公共边，它也是交于一点的，这个点就是棱锥的顶点。我们在书写棱锥的时候，我们先写 s， 就是 棱锥的顶点，再写这个底面 a、 b、 c、 d 与棱柱相似。棱锥的底面有几条边，它就叫几棱锥。那三棱锥就是一个底面加三个侧面，总共有四个面，所以三棱锥又叫四面体。如果一个棱锥，它的底面是正多边形， 这是第一个条件，而且顶点与底面中心的连线是垂直于底面的，那满足这两个条件的人追就叫正人追。这第二个条件很容易被忽略，朋友们要注意 那底面的中心，这个中心就是指正多边形，它的四心的焦点。 我们说三连锥，又叫四面体，但是正三连锥和正四面体是两个不同的概念。 正三连锥，它的底面是等边三角形，它的侧面是等腰三角形。 但正四面体，我们说正四面体是四个面，都是全等的图形，因此他的底面和侧面都是等边三角形。因此正三菱锥和正四面体，他们最主要的区别是，侧面是等腰三角形还是等边三角形。 或者我们可以这样说，正四面体是正三轮锥的一种特殊情况，那下一种多面体叫棱台，我们用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，那底面和截面之间的部分就叫棱台。 所以轮胎是有上下两个底面的，上下两个底面是平行且相似的，那底面有几条边，这个轮胎就叫几轮胎。 那轮胎的侧面肯定都是梯形，因为轮胎是轮锥截去部分之后得到的，所以轮胎的侧轮延长之后肯定会交于一点啊，这个点就是原先的轮锥的顶点。 那测人的这个性质非常重要，它是判断一个空间几何体是不是轮胎的重要依据。那轮胎的顶点就是底面与测人的焦点。我们写轮胎的时候，也是先写一个底面，再打横杠，再写另一个底面。 我们看这个图形，它是轮胎吗？虽然它上下两个底面是平行的且相似的，但是它不是轮胎，那这两个线是平行的，所以各条侧轮延长之后不可能交汇点，所以它不是轮胎。 接下来我们开始看旋转体。讨论旋转体的时候，我们往往关注轴、底面和侧面三种特征。我们以矩形 o， 一 撇 a， 一 撇 a o， 他的一条边所在的直线为旋转轴，另外三边旋转而成的面以及内部空间所构成图形就叫圆柱。所以圆柱的轴就是这个矩形的一边， 而他的底面是由垂直于轴的边旋转而成的，因此他的两个底面是两个全等的圆， 而它的侧面是由平行于轴的边旋转而成的，那这条平行于轴的边我们就叫母线。母线就是旋转以后形成侧面的线， 那这个侧面展开之后是一个矩形。我们在写圆柱的时候，我们先写一个底面的圆心，再写另一个底面的圆心。 第二种选择题叫圆锥，它是由直角三角形 s o a 以一条直角边所在的直线为轴 旋转而成的面以及内部空间所构成的图形。因此轴是直角三角形的一条直角边所在的直线， 而圆锥的底面是由另一条直角边旋转而成的，底面就是一个圆。而且旋转轴是垂直于底面的，那它的侧面就是由斜边，就是母线旋转而成。 侧面展开之后是扇形，那顶点到圆底面圆周任意点的连线其实都是母线。那我们在书写圆锥的时候，我们就写顶点 s， 再写底面的圆心 o。 我 们说以直角三角形的直角边为旋转轴旋转的话，我就得到了圆锥，那我以直角三角形的斜边为轴我旋转，我能得到什么图形呢？ 我们假设 a、 b 是 斜边角， c 是 直角，那我过 c 点做 a、 b 的 垂线，假设垂足是 d， 那 三角形 a、 b、 c 以 a、 b 为轴旋转的话，我就可以看成三角形 a、 d、 c 以 a、 d 为轴旋转，加上三角形 b、 d、 c 以 b、 d 为轴旋转的话， 形成的就是一个圆锥。那三角形 b、 d、 c 以 b、 d 为轴旋转的话，我得到的是另外一个圆锥， 那因此三角形 a、 b、 c 以 a、 b 为轴旋转的话，得到的是这两个三角形旋转以后形成的一个组合，那从中可知，也就是两个圆锥的组合体， 那下一种旋转体叫圆台。如果我用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，那底面和截面之间的部分就叫做圆台。或者我们也可以这样理解，圆台是一个直角梯形， 以直角腰为轴旋转得到的， 那他的轴就是直角梯形的直角腰。那直角梯形的上下底边旋转而成的就是两个底面，所以这两个底面是两个平行而且半径不同的圆， 把直角梯形的斜腰旋转而成侧面，因此斜腰就是母线，那侧面展开之后是一个上环。我们在写圆台的时候，我们就用上下两个底面圆的圆心写在一起表示圆台。 那下一种旋转体就是球半圆绕直径所在的直线旋转形成球面，那球面和内部空间所形成的图形就叫做球体，简称球。 所以轴就是直径所在的直径，那球心就是这个半圆的圆心，而半径是指球心到球表面任意点的距离， 而直径是指连接球面上任意的两点，而且经过球心的线段，那我们在书写的时候，我们就写求 o。 那简单几何体经过拼接，经过切挖之后，就得到一些简单的组合体，比如说我们这里的螺帽，它就是一个六棱柱挖掉中间的圆柱所得到的。 好，那我们来总结一下基本立体图形的结构特征。我们把棱柱和圆柱统称为柱体， 把轮锥和圆锥统称为锥体，把轮台和圆台统称为台体。柱体的上下两个面是平行且相等的，如果把柱体的上底面缩为一个点的话，就形成了锥体。 如果我们用平行于底面的平面去截锥体的话，我们就得到了台体。 如果我们让台体的上底面和下底面相等的话，我们就能得到柱体， 这就是他们之间的联系。那这一多面体的底面、侧面、侧轮、顶点以及旋转体的母线轴侧面以及底面有什么特征？朋友们不需要去列表格，去背画图看一看就知道了。 接下来我们来看空间几何体的结面，先看圆柱、圆锥和圆台。那第一种结的方法叫横结，就是用平行于底面的结面去结这个旋转体， 那对圆柱来说，结面和上下底面都是平行且相等的，那对圆锥和圆台来说，结面和底面是平行且相似的哦，看图就一目了然。 那第二种结的方法叫轴结，就是旋转轴在结面上，那因此啊，每一个结面都包含了形成旋转体的这个旋转图形， 而且这个结面有一条边的边长，就是底面的直径，还有一条边的边长就是母线的长度， 那另外两种结的方法就是旋转轴不在结面上，那又分两种小情况，第一种情况是母线在结面上，这里是圆柱的母线，这个是圆锥的母线，这个是圆台的母线。 那第二种小情况就是母线不在结面上，也就是我们通常说的斜结。 那如果我用一个平面去结球的话，它的结面一定是一个圆，这是第一个结论。第二个结论，球的球心与结面圆的圆心， 它俩的连线一定是垂直于这个结面的。那我假设小 r 是 结面圆的半径，大 r 是 球的半径， d 是 球心到截面圆心的距离，那我由勾股定律我就可以得到一个式子，小儿等于根号下大，而平方减 d 平方，这在计算题中经常考。 如果用空间平面去截一个多面体的话，那这种情况就很复杂。我用正方体为例，给大家做一个说明。 空间平面截正方体的话，截面有可能是三角形，但是只是锐角三角形，截面不可能是直角三角形或者钝角三角形。 这个结论是可以用空间直角坐标系去证明的。截面也有可能是四边形，截面有可能是五边形，那截面还有可能是六边形。 好，那这里的只可能是锐角三角形，以及不可能是正五边形。这两个特殊结论。同学们要记一下， 那这个截面的边数是不可能超过多面体的面数的。也就是说，我截正方体的话，我最多只能产生六边形的截面，不可能产生七边形的截面。我给大家说明一下原因。 面和面相结，就是面和面相交，就会产生一个边，那正方体最多只有六个面，所以结面和这六个面相交，最多只会产生六个边，也就是说结面最多只能是六边形。 我们来看道例题，将一个圆锥截成圆台，已知截的圆台上下底面面积之比是一比四，截去的小。圆锥的母线长是二， 则截得的圆台的母线长度是多少，就是求这一段的长度。假设它是 x， 那 圆锥是由直角三角形的直角边旋转得到的， 所以圆锥的顶点和圆台上下底面圆的圆心肯定是在一条直线上的，而且这两个角都是九十度。 我们假设圆台上底面的半径是小 r， 下底面的半径是大 r， 那 pi 小 r 的 平方比上 pi 大 r 的 平方就等于一比四， 所以小儿比上大儿就等于一比二。那途中上下圆台我们画的这两个半径是平行的，那根据相似的知识我们能得到，小儿比上大儿就等于二比上二加 x， 所以 x 就 等于二，也就是圆台的母线长是二。 好，那本节课我们学习了七种简单几何体的结构特征。对于多面体，也就是轮柱、轮锥、轮台，我们要关注底面、侧面、侧轮顶点， 那对于旋转体，也就是圆柱、圆锥、圆台和球，我们要关注轴底面侧面以及母线。我们又看了简单几何体的截图，对于圆柱、圆锥、圆台有红结、轴结以及其他三种情况， 那对于球体来说，结面就是圆，而且结面圆的圆心和球心的连线是垂直于这个结面的。 那对于多面体来说，就有多种情况，比较复杂，要各地来讨论好，本节课就到此结束了，我们下节课再见。

好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。