必修二数学书立体几何146页

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考这种老掉牙的三十头的还原了， 以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三式图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？你要抓的是教材背后的拓展模型， 这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置，有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 柱体啊，常见的柱体，锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分，就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四点线面的位置关系，这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六，一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂。因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积表面积里面的一些分析，全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合，不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么巨型模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三、垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题，辅助线一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角，二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做？甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面， 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略。 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型。胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好，好好下课！

好，同学们，咱们今天继续来看一下如何去求意面直线所成的角。就这个题而言，它给我们给了一个三楞柱，而且告诉我们高和每条底边的棱都是一样长， 然后并没有给我们给出来具体的长度，然后告诉我们了 d 和 e 是 两个中点，让我们求 b、 d 和 a、 e 的 所成角的余弦值。那么我们正常做这个题的思路其实就应该是在 ab 中点 取个点，在 a、 e 中点取个点，然后再在这这个边的中点再取个点，就相当于说我要把这个 b、 d 给他移过来，但是这样做法我们会导致这个图的辅助线非常多，那所以我们依然采用向量法，他告诉我们是个正三楞柱，哎，那我们上下底面都是正三角形，又告诉我们高和 边是一样长，所以我们首先只需要表示的就是 a、 e 向量，可以表示为 a、 c 向量加 c， e 向量，再表示 b、 d 向量是我们的 b， b、 e 向量加 b、 e、 d 向量，我们只需要表示为这两个向量，以后 把它们乘起来， a、 e 乘以 b、 d， 把这地方化简以后，我们就可以得到它。其实是因为因为 a、 c 乘以 b、 b 一， 这个 a、 c 向量和 b、 b 一 向量肯定是垂直的，随之是零， a、 c 乘以 b、 e、 d， a、 c 向量乘以 b、 e、 d 向量，我们可以把 b、 e、 d 向量平移到这个位置，所以发现 a、 c 向量和 b、 e、 d 向量，它们所夹角是三分之二排，那么我们写一下，它就应该是 a、 c 的 模， b、 e、 d 的 模， 再乘以三分之二半的余弦值，然后就是 c、 e 和 bb 一， c、 e 和 bb 一 是平行的，而且同向，那么直接写，再加上 c e 的 模， 乘以 bb 一 的模考三零，那就是一就不写了。最后一个 c e 和 bb e d， c e 和 bb e d 依然是垂直，所以我们就不用考虑。 到这一步以后我们发现，哎，所有的东西都是边长了，我们就直接设边长为 a 了，设边长为 a， 那 么这个式就会变成负的四分之 a 方，再加 二分之 a 方，那最后答案就是四分之 a 方，也就是说这两个向量的数量积是四分之 a 方。然后让我们求的是夹角的余弦值，那么我们就要算两个东西， b d 的 模和 a e 的 模，那么 b d 是 边的中点， a e 依然是边的终点，它俩肯定相等，他们应该勾股定，理解一下，就应该都是二分之根号五 a， 原因是我们随便看一个，这 b d 是 二分之一 a， 然后 b b 一 是 a， 一 比二比根号五，所以 b d 啊，所以 b d 是 二分之根号五 a， 那 么我们要求的这个烤三角， 它就变成了数量积，除以模之积。最后答案五分之一。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

请坐，那今天我们把空间中线跟面这些垂直的问题我们再理理，但首先是 垂直，线跟线垂直，怎么判断线跟线垂直啊？你可以根据定义是吧？假小九十度，对吧？也可以，怎么样 深格考虑什么线和面垂直？那这个面我们往往去找的是什么面？ 空间中两条线要垂直，那要把意面的垂直转化为雾面的垂直，怎么转化为雾面垂直啊？把一条摄影到另外一个所在平面吧， 那实质上我们就证明线跟这个面垂直，这个办法叫做三垂线，是不是三垂线定律，所以线线垂直我们常见呢？这两招，那我怎么来判定线跟面垂直啊？ 根面里面任一条是地狱，但是好操作呢？ 每一条理都要去验证一遍，所以我们采取的办法是啊， 我们用两条线来代表这整个平面，所以他必须是这个平面的什么机机理， 所以通过线线垂直可以得到什么呀？线面垂直，那这个就是他的判定力，判定力。哎，那两个面垂直呢？ 什么叫两个面垂直啊？二面角，二面角，二面角是直的二面角，所以我们可以用定义来判断，我们去计算到二面角九十度，所以它们就垂直了。 或者呢判定定律，那就是线面垂直得到什么呀？面面垂直，一个面或另外一个面的 垂线，一个面过另外一个面去，那么这两个面就垂死了，所以我们要判断一下，直观判断，哪个面的垂线都好找，要找出来 啊。那么也可以由面面垂矢得到什么线面垂矢，所以可以用面面垂矢的。面面垂矢的怎么样性质定律来判断线和面垂矢 啊？当然，那面面垂直，他的判定定律是什么？垂直，对啊，那就一个面过另外一个面的垂线判定定，对吧？ 那当然这就是垂直。那我们还可以有用垂直来证明什么呀？平行，用垂直来证明平行怎么证啊？ 垂直一平面的两直线是平行的。垂直一直线的两平面呢？啊，也是平行的，对吧？所以由垂直来证明平行关系，这说明垂直跟平行之间有内在的联系。 好，大家，对吧？那我们先来看一下第一个问题，图图，这是一个三棱锥， 这两个面垂直，还告诉我们这一刻是垂直的， a 和 a b 是 垂直的。有这样线线垂直 来，弟兄们怎么选？ 也就你的车链是过屁座。这个啊，我们具体的车轮呢？车链上面 要线线垂直啊？线面垂直，哪个线？哪个面？到底是 a c 垂直， a b 锁在平面还是 ab 垂直？ a c 锁在平面，为什么是 ab？ 因为这一条要我们挣的，是吧？这条是已经有了，那你如果 都跟他垂直的，那叫 ab， 就 会跟谁垂直啊？啊？跟哪个平面？ p a 跟 o c 所在平面吧，那就是谁 p a c， 对 吧？所以你刚才你说的是什么？ 由面面垂直是吧？正面找一条跟 a b 垂直的吧。怎么找一条跟 a b 垂直的啊？过平做 a c 的 垂线，垂出记为 n， 那面面垂直可以得到什么啊？线面垂直，它就 p n 垂直于一面， a b c， 那 这样子 p n 就 会垂直谁啊？ a d， 所以，所以 a b 就 会垂直谁？ b a c， 所以 线线就平行了。好，所以两线垂直，把一条线分隔为一个面，分隔一个面，这个面往往找的是投影面， 但是，但是，各位，哎，我们这 a p 怎么样？跟 a b 是 已经共面了，我们找同一面，经常是把异面的变成共面，他已经是共面了吧？他已经是共面了，所以我们目标很明确，就是证明这对应的这个平面啊。嘴巴线伸折为面。 来，继续来看一下，底乘四轮锥，它的底是一个直角梯形，这两个角是直角。再来三段， c、 d 是 一个单位的话，那其他呢？ a b， b c， p， b c 都是两个单位 啊，把条件可设外，对吧？标起来啊。再来，这里还有两个面垂直，标注一下，那 pa 跟 b d 是 否垂直？请证明你的结论。 来来，我们承载了你 意面随形是吧？这两个是意面之间，那怎么办？ 摄影是吧，那这个把谁摄影啊？是 b d 摄影是在啊， pa 水上平面还是 pa 摄影呢？怎么做摄影啊？做 p 点去做垂线。垂线在哪里做啊？ 垂线在垂面里面，做交线的垂线。那我这里数有面面垂线，所以怎么做？ a b、 c 是 什么概念？ 等腰，所以我们取 b c 的 中点 m， 然后这坐下来以后， pm 是 垂的底面，所以 pa 在 底面摄影是谁啊？ am， 所以 我们目标，目标去证明谁 来目标证明 b d 垂直平面， a m 是 吧？朋友们， 那我只需 b d 跟谁垂直？ a m 这样 b d 跟 a m 垂直怎么测啊？那这个直观读不好看，我们把它的平面图还原出来，这个是 b d， 这个是 a m， 这看起来像九十度哈，怎么整？哎，别扔像，对吗？可以，还有什么办法？可以什么计算？计算哪个量？哎？正切哪个角？正切值？ 哎， b 啊， b a m 等于几？哎， 二分之一是吧？这个角正切出来二分之一，然后呢？再去算哪个角？正切这个角好算吗？ 不好算，不好算。这个角算哪个角啊？算哪个角？ d b c d， b c 也等于几，说明啥？ 说明这两个角是相等的，这两个角相等搞定了没啊？所以这个角跟他九十，那这两个角加起来垂直。垂线吗？搞定了，或者呢 两条线垂直，什么？项链？是不是项链啊？你说这样系行吗？ 总之可以利用几何三四全等，也可以用什么计算？计算什么？三角的或者呢项链的是不都行？请做。 那我个人比较偏好计算它的正确值，不是直角算一定。哎，这不很多直角吧，正确如何算？ 那么你如果算这个正切时呢？ a b d 呢？那应该他的正切跟他的正切相乘要等于几？ 以相乘等于一，是不是就赋予了把三角改为面？什么面 射影，射影面？对，把这个图影面，那其实就是叫做三垂线定力。是不是三垂线定力？ 好，接下来我们来看一下。面面垂直，那你要面面垂直，那就价格考虑。什么？线跟面垂直，那就一个平面要过另外一个平面的 啊？垂线就一个面过另外一个面的垂线。好，我们省题，这是一个四人柱 自然做那个底边是四边形哈，并斜差是正方形，圈出来第二个 a e a b d 和 a e b d 是 相等呢？角相等。求证，这两个面是垂直的。来思考一下。 uhh， 各位，我们的逻辑线条要面面垂直，那就面跟面垂直，而要线跟面垂直 啊，所以它最终的核心是线跟线的垂直，那我们要评估一下这两个平面谁的垂线好找？ a， b d a b d a， b d 往往是体对角线，是吧？ 这里好像不是那么好正的，是吧？还有那一个平面啊， a， e， a， c， c， 这是一个对角面，是一个对角面，好像它是站着的啊，好像它是不是站着的？ 那哪一条是它的垂线？一次是 b、 d， 对 吧？几何直观上面和线外一次是 b d， b、 d 有 垂矢的吗？啊？ b、 d 垂心， a、 c 的 一条还不够，对吧？那线段哪个条件粗啊？这个角你也可以怎么解读？ a， e， a 相对底面来讲叫它的什么线？ 斜线？哎，这个斜线的话，我们在上一次做了好多心投影，是什么心的问题，对吧？ 那今天这个斜线有什么特性？斜线跟面里面两条线所成角相等，与面中两条线所成角相等。 那有什么结论呢？则他在里面的摄影是什么啊？摄影是角平分线是吧？摄影是角平分线， 哎，怎么证明他摄影是角平分线？那这个角放在哪个三角形里面研究？ 而前面的是个 a， e， a、 d， 然后左边的是谁啊？ a e， a， d 这两个三角形 相等，那这两个数还相等完以后呢？啊，这两段是不是相等的啊？所以由这个相等可以得到的是 a， e， d 等于谁？ a， e， d， 对 吧？ 啊？利用群的得到这两个相等，这两个相等有什么用啊？啊？三线合一，那我们的 o 是 b、 d 的 中点，所以呢， a、 e、 o 垂直于 b、 d， 对 吧？ a， e， o 垂直于 b、 d 以后怎么样？ 那我这个臂力是不跟正面就垂直了，臂力跟正面的垂直了，所以呢，所以这束中线也是高，因此是他的绳线 来。三线和一是也是角边线，角边线，对吧？那好，那我 b d 跟正面里面是不是有两条线都垂直了，所以 b d 是 不是垂直？正面了， 所以得到 b d 垂直于平面， a c d， 对 吧？然后你一个面过另外面的垂线，所以面面就垂直了。 好，那这里面有三角形，我们是不是利用三角形来？如果没有三角形，咱们咱们怎么办啊？ 那就去过 a 一 哎，做正面的垂线是吧？ a h， 然后呢， 然后过 a e， 再做 ab 的 垂线和 ab 的 垂线，我们垂足即为 e f， 那 么 a e a e a e f 出全等呢？所以 a e 就 会等于谁？ a f 做 a e 等于 a f， 或者 a e 等于 a f， 那 a e 跟 a f 是 不是两条斜线？ 两条斜线相的折什么也相等，这也相等，所以 h e 等于谁？ h e 等于谁？ h f。 而 h e f f 是 不跟两边相垂直的， 所以这两段就叫做这个点到两边呢，距离，距离，如果相等到两边，距离相等，所以平行在它的什么线上？角平分线上，角平分线上， 所以它在角平分线上，所以勾上，勾上三角形来啊，勾上三角， 所以面面垂直，这样可考虑线面垂直，核心是线线垂直，而要线线垂直，又是线面垂直，是这种啊，循环的逻辑上面来啊， 第一次如果引入动点呢？那我们要去探讨跟垂直关系的动点问题，那怎么来想啊？好，我们看题，这是一个正的三楞柱， 底是正下弦没有歪掉，是直的楞柱，那叫正三楞柱。再来 a e a 四个单位， a b 两个单位， m 是 中点， m 是 a b 的 中点，证明两个面垂直 一周喽。看完图形，谁的垂线好找哎， 是 b m c e 的 好找，还是 a b e 的 好找呢？ ab e 的 ab e 是 我们前面的面，那它的垂线去哪里找啊？ 那找一个面的垂线，要得到线跟这面垂直，去他的啊，垂面，这前面，这个面跟哪个面是垂直的？已经垂直的 上里面，什么上里面就垂直了，所以他的垂线就是 再算里面根交线垂直的，那就是谁啊？ c e m c e m 垂直于平面， a b e 搞定对吧就好了啊，那这正三柱 底是一个正三角形，这个证明垂直线面垂直是不是好正？搞定了，所以面面垂直，那就有价格考虑。怎么样线面垂直，而线面垂直呢？ 又深，更考虑什么面面垂直，把这不好证的面转化为好证的这个面里面去转化的曲线啊。看第二个 b b 上面有没一点 q， 使得 a e q 跟 b m c e 垂直，如果有，把这个比值算出来， 哈哈哈哈 哈哈哈哈。 哎，王思凯，你怎么想 要找面的垂线？只要在垂面里面找 交线的垂线，而我 neq 竖在了垂面里面，所以要垂直，我只要找交线 bm 的 垂线，那请问 q 点在什么位置，我会有垂直呢？ 哎，跟刚才一样的，那就去算这个角的什么值，它的正确值是等于 q b 比去谁二？说 q b 比去二，这是 q a b 的 正确值。 来，这个角多少钱？我们去取这个角，那这两个角应该要干嘛？相等？相等，那这个角的正确等于几啊？ 啊？这个角的正弦 m b d e 是 四分之一啊，那你要相等，那就不要等了，那这样等的话， q b 就 等于几？ q b 等于二分之， q b 等于二分之一，那 b e q 跟它的比值呢？上面就二分之几，所以它的比值为几？ 一直为七啊，那我们写的上应该怎么写？当哎， b e q 除以勾 b 等于几的上七的时候， a q 就 会垂直于里面 b c e m， 然后呢，证明 如下是吧？先证什么？先证？这两个证先相等，所以呢，所以角角 q a b 是 吧？加上角加上角 m b， a 等于几度 九十，所以，所以 a q 垂直于 mb， 对 吧？ 为什么谁他这个线就谁的面？又因为两个面垂直出第一步已经正了 面，面垂直，然后再加个什么在面内，是吧？然后垂直交线，所以这边强调一下， a q 在 平面 a e b 里面，所以呢，截得出来没？ 所以我要线面垂直，我就去他的垂面里面找交线的垂线就行了。这垂面已经第一步证明完了，那我就用第一步的结论，马上就正第二步。 好，我们继续来看一下这个动点的问题。这是一个几何体长什么样呢？ e a 跟底面是垂直的，然后 e a 跟 dc 是 平行的， 那这个平行等于告诉我们什么？ dc 也跟底面怎么样垂直的？再来， ab 跟 ac 是 垂直的，所以这是一个什么模型？哦，这边是一个墙角， 这边是一个墙角，再来长度 d c 一个单位，那 e a 呢？两个单位， ab 两个单位， ac 两个单位。原来这个墙角也可以看作是 正方，而正方体的一部分，是吧？也可以看作是指三棱柱是切削下来的正方体切下来的部分。 好，那搞清楚几何体的结构以后， m 是 它上面的什么呀？中点，因为当 m 是 终点的时候，要这 bc 跟这个减面是垂直的，当 m 是 b d 的 终点时，求证 bc 跟这面是垂直的。 it's just it's just。 各位，这个面 e a m 长的有什么特点啊？ 不完整啊？有什么不完整？什么局部的？局部的什么？ 把这洁面给补齐了是吧？怎么补？不不不，不，做垂直，我们一般做中间做垂直不好做。你看几点连线是吧？几成点？ d c 的 终点 n， 然后连起来则 m a 跟 d c 平行，所以 m n 跟 e a， 所以 这四点是共面的，所以我的整个结面都长这样， 整个结面长这样，而且这个结面又长了什么特点？是站着的，是不是站着的跟底面是垂直的，然后我必须要跟他面垂直的，然后我必须要跟他面垂直。 那我只要去他的全面里面找交线，全面是吧？我的全面是谁啊？就你是谁呀？啊？ 我的前面说 a b c 啊，只要在 a b c 里面掉线是谁啊？ a n b c 跟 a n 垂直就行了。 b c 跟 a n 会垂直吗？所以 b c 垂直 a n， 而 e a 垂直谁？ b c， 所以 b c 会不会垂直？整个平面 搞定，这是一问，这局部不好看怎么办？延展对吧？对于几何体来讲，延展一下就看的好太多了。 哎，朋友们，继续看。第二问，现在问的是是否有点 m m 是 动呢？ 这不是终点吧，使得 e a m 和和 e b d 怎么样垂直？ e a m 跟 e b d 垂直。 如果有，把这个 m 点的位置找出来是吧？ 我要面面俱至，我只需 线和面垂直，只需线和面垂直，谁的垂线好走，谁的垂线好走？第一个 a m 是 这样子的 图，它的垂线如何走？ 但只需在底面里面跟谁垂直就好了 啊？就是 m 点现在动了啊，那我这个 n 撇吧， n 撇是不是也动了？那我只需在平面里面跟谁垂直？ a m 撇垂直，那行，那我就这条跟 a m 撇垂直吧。那跟你这边数一个焦点，我把这个焦点记做 f 吧， 我们只要找到 cf 跟 a n 点，随时搞定了，对吧？但很可惜 cf 在 不在 ebd 里面？不在什么 哦，要移到面里面去是吧？那就是要把 cf 移到上。怎么移上去？把 c 点移到谁 d 点，那把 f 点往上往上移到 g 点来就行了吧。那现在呢？要能移上去，刚好移到里面去，所以 g f 跟 d c 要什么相等？也是一个单位，所以我这个 g 点是什么点？ g 点是终点， 从下反推回来，你要能移回去，所以 g 点必须是什么点？终点，那 f 点呢？终点，那 f 点是终点？ f c 要跟 a 与 n 垂直，那 a 你 的位置确定了没？ 好，那我们把它平面图形还原出来，是吧？这两个单位这边中点，这不一个单位一个单位，然后连起来啊，然后呢？ f c 要跟谁垂直？ a n a n 是 不是垂直？ n 撇时候跑到这里来？这里要垂直， 怎么来？算？ n 点的位置正确啊？正确，是吧？正确，那应该是这个角的正确。跟谁啊？ 跟这个脚是要负来这个脚，跟这个脚要本来就得负于的，是不是啊？这个负于，那这个这个脚呢？ 啊？这个角跟这个角应该要干嘛相等，所以它应该是二比一，这个是不是二比一的？哎，那怎么算？我们做一个高下来吧。 那这个这个角跟这角是不是二比一的？所以我设这段为 x， 那 这段呢？二 s， 那 这段是二 s， 这段呢？啊，这段数也是二 s， 所以呢，整个就出来， x 三 x 三， x 等于二，所以 x 等于几？三分之二啊？ s 等于三分之二，那这边就等于三分之四，所以这点是什么点？三等分点，所以说 n 点也是几等分点？ 三等分，那 m 点呢？三等分点，用 b m 比 b m 去比啊，啊， 当这个上，那我们证明的，那怎么这样？当 dm 等于 b m 的 比为二的时候，然后我们取 m 点，使得这也是比值为二，所以是不是延展下来，是不是？ 然后啊，然后我们去证明这条线跟谁跟 f c 是 垂直的，所以 f c 垂直，这个面，对吧？ 右它是终点，所以取终点。这段跟这段平行，所以 f c 平行，谁 g d 啊？所以 g d 数也垂直面，所以面面就垂直了， 所以我们要线面垂直，那就线跟面垂直啊，在全面里面找交线的垂线，如果能一步到位，当然就好了，如果一步到不了位，那我们就两步，先把垂线找出来，然后再 平移，再平移进去。啊，这是动点，能这么来看究啊，这么来看究，去找它的充分条件。好，那同学们再把它跟方折结合在一起。 已知梯形中 a b 跟 p c 图形，这是底，再来 pa 等于 a， b 等于 bc， 然后 pc 是 pa 的 两倍， p c 是 pa 的 两倍啊，这一份这段呢？两份 a b 一 份 b c 一 份，这是一个什么图形？等腰梯形下底是上底的两倍， 然后 d 是 终点， d 是 终点，那么连起来呢 啊？这边是什么原因？等边？那这边是什么菱形？这菱形长的什么特点？六十度的菱形，是不是六十度的这个菱形？ 所以你先把这个平面图形的系数根据这些条件是不足够推出来了，所以因为这些条件你抄一遍，所以呢，三角形 a、 d 为等边呢？ 然后呢？ a、 b、 c、 d 为菱形，这菱形还有什么特点？且叫 b、 a、 d 等于这平面的问题，直接下结论。 好，那现在呢，我们把 p、 a、 d 翻起来， a、 d 是 不是它的轴？ a、 b 是 它的轴，在轴的轴的同侧，这图形有没有改变？翻起来以后构成四轮锥，所以翻起来的 p、 a、 b 是 什么图形？ 还是等边？ a、 b、 c、 d 呢？还是菱形？有没有改变？没有，但是 p 点到 b、 c 的 距离改变了，没？翻起来就改变了。那我们继续来往下看，使得它体积最大。求证 b、 g 跟 b， a、 d 求次， 体积最大啥意思？点 p 要跑到最高点去是吧？ 点 p 什么时候会跑到最高点去啊？他应该是值得，就值得 n 米小，所以他要体积最大则会怎么样啊？ 里面 p、 a、 d， p、 a、 d 垂直，谁？里面 a、 b、 c、 d 是 不是啊？他情绪上就告诉我们，这个面，这底面是垂直的，弯道垂直，弯道垂直，第一步既是终点。求证 b、 g 跟 p、 a、 d 垂直，那这个 b、 g 跟 a d 垂直， 那就 b、 g 跟 a、 d 垂直，那就 b、 g 跟 a d 垂直。 你怎么来说 b 七跟 a、 d 垂直啊？那你刚才说你是六十度，是什么菱形？所以呢？三角形 a、 b、 d 是 而等边三角形，所以呢？ b 七垂直，谁？ a、 d 因为体积最大，两个面垂直，所以在面对垂直交线则有线跟面垂直，所以第一步是不证明好了。 第二， e 是 bc 的 终点，在 p c 上是否有一点 f， 使得使得 d， e， f， p， f 和 a、 b， c、 d 垂直呢？ 钥匙的面面垂直充分线横， 谁的垂线好找啊？说 a、 b、 c、 d 的 垂线好找， a、 b、 c、 d 的 垂线在哪里啊？来一条啊。 那就去找 a、 b、 c、 d 全面里面找交线的垂线吧。它的全面是谁啊？它的垂线是谁啊？啊？ p g 是 吧？ 很遗憾 p g 不 在你那个面里面啊，平移过来是不是要找它？平移线 要过一条线跟正面平行，过线做面找用什么来投影这条线？所以我们把谁连起来？连起来， 连起来这点是什么点？中点？那你这个 f o 要跟 b 线平行，所以 f 点？是 啊，我们是不是已经来了？首先最终结论， f 点四啊， f 点四终点的时候是不是可以做得到了？ 那我们可以用平底把这一条 p 气换成谁，换成 f o， 而 f o 数在这平面里面呢？搞定。 所以我们判刑的时候还是按照找他的充分条件啊，把线把面面垂直问题这样个考虑线面垂直，而要线面垂直又深个考虑面面垂直， 然后我们就可以找到这条我们相应的线了啊，那今天就到这帅哥吗？

好，同学们，咱们继续来看一下线面垂直的性质和判定。这道题第一问，他让我们求一个四棱锥的体积，我们就略过不看来看。第二问，他说 bc 垂直于 s， c、 d。 让我们去证明一个线面垂直怎么证，我们要先清楚，必须得找到的是 bc 垂直于这个面内的两条相交直线，这是对于一个线面垂直的判定。 那么咱们要考虑一下线面垂直又有什么性质。因为这个题目中说了一句话叫 sd 垂直于底面 a， b， c， d。 所以 咱们要清楚线面垂直的性质，就是 sd 会垂直于这个面内的任意一条直线，那么我们根据这两个条件，一个性质还有一个正方形，就可以去推出来我们的线面垂直，因为 s、 d 是 垂直于面 abcd， 所以 可以得到 s， d。 垂直于 bc， 又因为底面为正方形，所以可以得到 bc 垂直 dc， 又因为 dc 交 sd 于点 d， 所以 可以得出来 bc 垂直于面 s， c、 d。

姨姨们，最近我开始学必修二了，我一共刷了十四也不刷四，不能说完全全对，只能说他特别特别特别特别接近全对，我基本所有页都只做一两道题，我觉得我自己做的是比较好的， 然后我其实还挺期待后面它的具体几何图形的，因为我感觉它是比这个项链要好玩。那今天就说到这，拜拜。

十分钟带你拿下考试必考的垂直，证明所有题型！一个万种方法带你解决线面垂直、线线垂直到面面垂直的所有题型。听完我这节课啊，考试全是人齐分数，嘎嘎齐！首先是线线垂直问题， 咱核心就是找一个线面垂直，比如说我要证这个直线 l 与 bc 垂直，那 l 和 bc 这个异面直线题目一般不会告诉你它很坏。咱们通过证明 l 垂直 ab 以及 l 垂直 ac， 这样整个 l 是 不是就垂垂平面 r 法了，从而得到了 l 垂直另外一个直线 bc。 那如何正线面垂直呢？咱就是要找两个线线垂直，特别好找，比如我要正 l 垂垂平面 r 法，那咱就在 r 法里面找两个相交直线 m 和 n， 它们分别和 l 垂直 l 垂垂 m， l 垂垂 n。 然后呢，大体你再稍微说一下， m、 n 都在 r 法里面，同时 m 和 n 呀，是相交直线的，这样直接得到了 l 垂垂 r 法。 而最后这个面面垂直啊，更简单了，咱直接找一个线面垂直，在其中一个面里面找一条线和另外一个平面垂直。比如咱找到了哎， a 垂直阿尔法，然后这个直线 a 又在贝塔里面，那直接阿尔法垂直贝塔 这些方法适用于所有的考试真题以及高考真题。那接下来我们实操一下，赶紧截图呀，愣着干嘛嘞！ 首先是线面垂直套路，就是找两个线线垂直，所有的题啊，都是套路，我只要在平面里面找两个交线都和这个直线垂直，那就线面垂直了。好，直接看题，第一题给了个四棱锥，然后底面 a、 b、 c， d 是 菱形，菱形什么垂直？请扣在弹幕里，对角线垂直，所以赶紧先连接下 b d， 还告诉了你 p a 是 垂直底面的，那 p a 是 不是和底面任意一个线都垂直了呀？相当于 p a 就是 我这个几何体的定海神针了。然后 e f 入中点，让你证明 b d 垂直平面， p a， c， p c 这个平面给它画一下哦，证明这个蓝线和红面垂直，我只需要在这个红面里面找两个线和它垂直，两个线垂直即可了。哎，题目已经告诉了 p a 垂直底面 a， b， c， d， 那 所以第一个线就是 p a 垂直于 b d， nice， 而第二个线呢，是菱形哎，菱形咱是不是又可以得到了啊？这个 b、 d 是 垂直于 a c 的 哎，我一不小心这道题就拿满分了。你看这个 b， d 啊，已经垂直于两个 a c 和 p k 了，那是不是已经找到两个线平行了？然后你再说明一下，两个直线是相交的，所以直接 b、 d 垂直于平面， p a， c 满分到手。这些题啊，所有详细的过程我会放在本节课的最后，咱们先讲方法。 ok， 接着赶紧看第二个题，还是一个线面垂直 四棱锥这玩意 p a 垂直，这，哎，又是一个 p a 垂直平面了。 ok， p a 是 一个定海神针，那说明 p a 和平面的任何一个直线都垂直。然后给了这么多条件，说白了， a d 平行 bc， 然后底面的 b a， d 九十度哦，底面是一个直角梯形，它的这些直角边眼分别是一一一二。 好，最后让我正这个 dc 垂直平面 p a， c， 哎，线面垂直还是找两个线垂直在哪个平面呢？ p a c 里面找两个线和 d c 都垂直，来，咱看一下嘛， d c 在 这， 而 p a c 呢，是我的这个弧面，这个弧面里面是不是已经有了一个 p a 垂直 c d 啊？啊？因为根据线面垂直的性质，所以第一个线垂直已经找到啦， 而第二个，各位小小们，大家猜一下，这个 c d 它是和 pc 垂直呢？还是和 ac 垂直呀？底面是个直角梯形咱都知道了，所以底面这个垂直肯定是能正出来的。那所以第二个条件其实就是，哎， cd 垂直于 ac 了。 ok， 这个其实是一个垂直的小妙招，在这种一一二的直角梯形里面，它的对角线和这个斜边是垂直的，我给大家简简简单正 来，先把它的平面图形画出来，把一个立体几何问题转化成平面几何问题，它是直角，然后这个是一一二。我家猫都看出来 c d 怎么算呀，它是不是就等于 啊，这里再做一个平行， ok， 这个是一，这个是一，那一一根二， c d 就是 根号二，漂亮。 然后我们连接 ac， 小 子看好了，这一笔会很帅，那这个 ac 一 一，哎，又是一个根号二了， ok， 在 三角形 cad 中哇，根号二，根号二，这是个勾股书眼那所以直接角 a c d 就是 九十度了，请把 nice 扣在单位里。 这个其实是一个必须要掌握的二一结论啊，相当于垂直模型了。在 b c r 系统课中呢，我给大家讲了垂直模型的至少五种，这五种是考试常考的一些小垂直，你只要能找到，那么答案很快就出来了。 ok， 结合这两个，那我家猫都会正了， c d 也不就垂直于平面 p a c 了，直接 nice， 这两个题呢，也记录在必须要系统课中是讲一六十五页题型二，线线垂直。刚也讲了线线垂直，万能的办法就是找线面垂直的， 因为一般题目出题老师比较坏，他会让你证明两个异面直线垂直。比如说，我想证这个 a p 和 b c 垂直，哎，它都没有焦点哎，所以咱通过构造这么一个平面， 哎，我能证出来 pa 是 垂直于 a c 的， 同时 pa 还垂直于 ab， 那 这样 pa 是 不是就垂直于平面 abc 了？然后再根据线面垂直的性质得到了线线垂直， 所以是通过另外两个线线垂直来证这个异面直线垂直。好，直接。看题给了一个四棱锥，底面是平行，然后 abc 呢？是个一百二十度啊，这个一百二十度我知道了， 噢耶， ab 是 一 bc 是 四号， m 是 中点 pd 垂直 bc。 哦，有一个小垂直了。好，现在让你证明 ab 垂直于 pm， ab 是 在这呢， pm 是 在这呢。哇，这两个八杆子打不着呀。 但是呢，我家猫看出来了， ab 是 平行 bc 的， 所以我其实是让证这个 bc 垂直 pm 好 找吗？太好找了呀，你看，这里是 bc， 然后咱刚已经知道了这个 dc 啊，垂直 pd， 题目告诉你了呦。哎，我想证明 dc 垂直 pm， 你 说我再证明 dc 垂直哪个线就行了呀？请在弹幕里扣出来。不就是这个线段 dm 吗？直线 dm， 所以 我只要证 dc 垂直 dm 是 不就完事了？好，思路有了， 问题来了，这个 dc 垂直 dm 如何正呢？哎呦， dc 和 dm 不 就在这个平行边形 a， b， c， d 中吗？肯定是利用平面几何知识啊，所以根据这么多条件，咱肯定可以把这个 dc 垂直 dm 给它正出来来试一试。 你看，我知道在平行边形这个 a b， c d 中， mc 是 二的，而 dc 是 等于一的，你想证明这个垂直是不是直接勾五点零，一点零就完事了？所以咱把 dm 求一下，如果它等于根三，这个事就成了。 哎，如何正呢？这是个解三角形问题啊，别忘了，题目还告诉你 abc 一 百二十度，那根据平行 c 边形这个平行的关系啊，这里是不是就是六十度了呀？ 好，平面图形提取出来之后，相当于我知道这么多条件，一二六十度，然后只需要正这个角 m d， c 是 九十度，这不是易如反掌吗？ 我女朋友都会证，先用 cosine 六十度算出来这个 dm 呀，是一个根号三的，然后根据勾股定律逆推理，哎， dc 方加 dm 方等于 cm 方，那咱直接就得到了这个角 mdc 是 九十度，所以 md 垂直 dc 了， ok， 正比 好，这两个连理下，你会非常惊奇的发现哦， c d 和这个 p d 垂直哦， c d 还和这个 m d 垂直，那自然这个 c d 是 不是就和整个这个红色的面 p d m 垂直了？从而间接的挣出来了这个 c d 和另外一个 e 面直线 p m 它是垂直的。 请把 nice 扣在弹幕里呀呼，那拿下了，线面垂直，还有线线垂直。最后再来一个二零二二年全国一卷高考真题的面面垂直问题。 另外，本节课的知识点啊，全都在必修，系统课是讲过的，在这个八点六的垂直专题，包含了线线线面面它的垂直证明以及垂直性的利用，以及还有这个线线线面二面角空间角问题。 好，回顾到这个题目必须要系统课呢，在我的主页即可获取面面垂直。刚刚说了，就是找一个线面垂直，比如我想证阿尔法垂直贝塔，如果贝塔里面有个直线 a 和阿尔法垂直，那直接就证出来面面垂直。所以你需要去找一个线和面垂直，而线面垂直是不是又需要去找线线垂直啊？ 所以其实我要告诉大家哦，三花猫金句，所有的垂直问题啊，都给它翻译成线线垂直，线线垂直，垂直啊，是所有垂直问题的一个根基，核心是桥梁。 哎，如图，在这个四面体这玩意中， a、 d 垂直于 c， d。 赶紧标一下这里小垂直， ok， a， d 又等于 c d？ 我 的天呀， oh my god， a d， c 呢？是个等腰值的 nice， 然后角 a， d， b 等于角 b， d， c， 呃， a， d， b 和 b d， c， 哎，没毛病吧？好，接着啊，说了，这个 e 为 a c 的 终点，让你证明 b， e， d 和 a c， d 垂直，来找一下吧， b， e、 d 呢，是这个平面， 而 a、 c， d 啊，就是刚刚的等腰直角三角形了。好想证明这个弧面和子面垂直，那我需要在弧面和或者说子面里面找这么一个线与另外一个面垂直即可了。而想这线面垂直，又需要回归到线线垂直了。所以你先去找这个题目中已知的垂直条件，有没有线线垂直呢？ 哎，有呀，你看这个，因为它是等腰三角形， d， a 等于 d， c 又是一个中点，那所以这个 a、 c 是 不是垂直于 d 啊？ 好，各位猜一下，我已经有一个 a、 c 垂直 d 了，然后我现在想证明这个 a、 c 与子面垂直，是不是我再来一个 a、 c 垂直于 e、 b 就 好了呀？哎，如果能指出它，那这个题就可以得到 a、 c 垂直平面 b e、 d， 那 平面 b， e、 d 就 垂直平面 a、 c d 了， nice， 所以问题在于这个 a、 c 垂直 e、 b 能不能找到呢？哎，别忘了这个 e 还是一个重点，所以 a、 c 垂直 b e。 咱还是利用这个等幺三角形的三线合一，我只需要能证出来这个 c、 b 是 等于 ab 的， 那这道题就犹如探囊取物呀！好，现在问题又简化了，相当于给了这么多条件，我只需要证明这个 c、 d 等于 ab 即可。那如何挣嘞？ 这个两个角向的条件怎么用呀？咱高中也没有学过这种角向的转换呢，但咱再观察一下 c、 b 和 a b。 呃，这儿， 哦，这儿噢！而别忘了，刚刚咱们得到了 a、 d 等于 c、 d， 以及这两个角相等，哎， d、 b 又是个公共线，哇哦，这不就是三角形全等吗？ s a s 呀！各位同志们， 在两个三角形中，咱这把这个条件一列，你发现它就是 i c s 了，所以，这不是一个高中数学问题，还高考题呢，这不就是个初中数学题吗？哎呦，然后接下来我就得到这两个三角形全等了，是不是得到 c、 b 等于 a、 b 了？漂亮！ 好了，回到梦开始的起点， c、 b 等于 a、 b 了，我是不是得到了 a、 c 等于 e b 了？哎，这两个条件都有了呀，那么 a、 c 呢？就垂直于平面 d e、 b 了， 也就是咱的这个，哎，紫色平面，那 a、 c 垂直平面第一 b， 我 要证明 b、 d 和 a、 c、 d 垂直了， a、 c 又在这个 a、 c、 d 里面了，所以直接 a、 c、 d 垂直平面比 amazing 全部拿下了高考题不过如此。那么最后撒谎猫再把这个垂直方法给大家总结一下，线面垂直，说白了是找哎，线面垂直，间接的去挣了， 说白了找两个线线垂直啊，然后再证明另外一个，一面直线垂直，而线面垂直，找两个线线垂直面垂直呢？只需要找一个线线线面垂直，但其实所有问题啊，你想找这个线面垂直，想找线面垂直，是不是还是要回归到线线垂直了？所以说，其实所有垂直问题都是线线 垂直问题，以及下面这种特殊梯形的，这都是些垂直的小模型了，这是两个模型，总共有五六种的。 ok， 再到这个线线线垂直了， 我们通过证明 dc 垂直平面 pdm， 从而间接的证出来 dc 垂直 pm 以及呢这个高考正题面面垂直用了一个小小的全等。那接下来啊，就是非常套足了，一个线线推线面，再用线面推面面了，全部拿下数学七栋必需要系统课呢，也在我的主页 这里展示了系统课这个立体几何的板块，以及它所包含的题型啊，那我们下个视频再见！

好，同学们，咱们今天来看一下下一个类型题，也就是通过线面平行来判断一下我们这个点它在线段上的一些比例位置。以这个题为例，它告诉我们这是一个底面为平行四边形的四棱锥 点 e 是 靠近在 a、 d 上的三等分点，点 f 是 一个点，然后它告诉我们，当线面平行的时候，让我们去求 p f 和 p f、 c 的 一个比例关系。那么我们要先分析这个条件，这个题目的条件其实有两个，第一个是平行四边形三等分点基本上没有什么用， 那么下一个条件就应该是 pa 平行 e、 b。 我 们的出发点要考虑一下线面平行会得到什么有用的信息，那无非就是线交平。所以我们就需要把 pa 放到一个平面，能够和 e、 b、 f 交在 这个四轮锥的某个面上，最好是底面，因为底面有一个特殊的平行四边形，我们可以通过比例转化它。 那么观察一下 pa 在 哪里？ pa 在 pa d， pa 在 pa b， 这是两个明显的面，但是我们会发现 pa d 和 e、 b、 f 只有一个交点，是 e， 找不到第二个交点。同理这个 pa b 也是一样，只有一个点 b。 所以 我们就要想到这个题目肯定是要构造一个 pa 在 新的平面上出现， 使这个 p a 这条直线所在的平面明确与 e、 b、 f 能有一个交线，所以我们连接 a、 c， 连接完 a、 c 以后，我们可以发现这个 p p a， 它是在面 p a、 c 上。再观察一下，我们这是不会有个交点，这个 p a、 c 和 e、 b、 f， 这会有一个交点，我们记为点 h， 这个点 h 是 同时在两个面上，它在这个面 p a c 又在这个面 e b f， 那 么同理这个点 f 它也是既在又在，所以我们可以得到 h f 其实就是我们的 两个面的交线，所以我们就可以通过线面平行转化成 p a 平行于 f h， 下一步连接 f h 连接 f h 以后，我们就会让我们求的是 p f 比 p c， 那 其实无外乎就是 a h 比 a c， ah 比 ac， 它又告诉我们 a e 是 个三等分点，那所以 a e 比 bc 是 一比三，所以 a h 比 h， c 也是一比三，所以 a h 比 ac 就是 一比四。那么所以这个题目选到 d， 选。