沈阳中考二次函数压轴题2026

我们看下这道题，这道题是想要大动区一模的压轴题，也是抛物线二次函数的题型。题干给出了抛物线是 y 等于 a， x 平方加二 x 减去四分之十五，与 x 轴交于 a 变两点，并且给出了点 a 的 坐标是三零，对称轴是 c d， d 呢，是抛线的顶点。好，我们从题干可以知道的已知信息式，我们把这个抛物线给它变一下形，就变成了 a， 括号 x 加一的平方减去 a， 减去 四分之十五，那我们可以知道它的对称轴是 x 等于负一，那 a 点的坐标是三零，从而知道 b 点的坐标它就是负零，那 c 点的坐标它就是负一零。 第小问求抛物线的函数表达式很简单，把 ab 任意一点代入到上面的式子当中，我们就可以求出来， a 等于个四分之一，那这个抛物线就变成 y 等于四分之一， x 平方加上二分之一 x 减去四分之十五，我们再给它变换形，可以变成顶点的模式，还可以是 y 等于四分之一， x 加一的平方减去四，那从中我们可以知道顶点 d 的 坐标是负一和负四。 好，那我们看第二小问。第二小问说的是过点 p 零 t 与 x 轴平行的直线交抛物线与 m n 两点，说点 m 为线段 n， p 的 中点，求 t 的 值，那我们看点 p 零 t， 说明 p 是 y 轴上的一点，那什么情况下才能满足题杆给的 m 为线段 n p 的 中点呢？ 假如说我们在这个抛物线与 y 轴的交点之上的时候，那么 p 点如果是在这里过它做与 x 轴的平行线， 那我们会发现 p 点永远是在 m n 的 中间，所以说他不可能是 m 为线段 n p 的 中点，所以说这个 p 点只有在抛物线与 y 轴交点之下的时候，才能满足这个条件，也就是说在大概这个位置。好，那这个是 m 点，是 n 点，是 p， 此时我们看可以满足 m 为线段 n p 的 终点，那我们会发现 m 点和 n p 的 两点，并且它们的纵坐标呢，都是 t， 也就是说现在我可以设 m 的 坐标是 x m t， 那 n 的 坐标。因为 m 是 n p 的 中点，所以说 n 的 坐标的话，它就是二倍的 x m， t， m， n 都是抛物线上的点，那么我们把 m n 代入到上面的函数式当中，就可以变成变成这两个式子。 从中我们可以解出 x m 的 值的话，一个是零，一个是负的三分之二。好，那我们知道 x 等于零是不符合题义的，那我们舍去，我们取 x m 为负三分之二，代入到上面的式当中，我就可以得出来， t 等于负的三十六分之一百四十三。那这个就是第二小问的答案。我们再看第三小问， 第三小题是我设了一个值，是 m 小 于负一，小于 n， 那 么还是这个抛物线。当 x 在 m 和 n 之间的时候，抛物线上这一段正好是夹在了与 x 平行的两条直线 l 一 和 l 二之间，然后给出两条直线的之间的距离是十，求 n m 的 最大值， 那他说是 m 是 小于负一的， n 是 大于负一的，也就是说 n 是 在这个方向， m 是 在这个方向，那 x 在 m 和 n 之间 的时候，他所夹的这一段正好在两个平行于 x 轴直线之间。我们看 m 和 n 不 管是在什么位置，一个是小于负一，一个是大于负一，那 x 在 这两个之间的话，也就是说有一条直线，他要经过这个顶点，并且平行于 x 轴， 那这条直线如果是 l 一， 那这个直线的话，就是 y 等于负四，那我们知道顶点到 x 轴之间的距离的话是四，而 l 一 和 l 二之间的距离呢，是十，也就是说它应该在上面 x 轴之上，它还有六个单位， 那这样加起来的话，总共就是十个单位，这是 l 二， l 二实际上是在 y 二等于六的这么一个位置，此时就可以满足提议了。当 x 这是 m 点， 这是 n 点，当 x 在 m 和 n 之间的这一段抛线就是这个样子。 如果说我们把 l 一 往上移， l 二也往上移的情况下，那它 x 在 m 和 n 之间的话，它就变成了两段，那就不符合这个提议了。所以说我们就可以分析出来， x 在 m 和 n 之间所对应的这两点，那么就是 y 等于六，它满足 抛线。 y 是 等于四分之一，括号 x 加一的平方，我们减去四，而这个抛线上呢，有两点，他的 y 值正好是等于六，也就是我们只要解出这个式子就可以了。好，最后我们解出来的是 x 等于正负二倍根号。十减一，也就意味着 n 这个点它是等于二倍根号时减一，而 m 点它是等于负的二倍根号时减一，那 n 减 m， 它就等于四倍根号时，那这个就是第三个小问的答案。

这类二次函数结合三角形面积最值的问题，中考年年考，孩子年年错，你像这道题啊，问，抛物线上的动点 d 跟这里的 b 和 c 组成的三角形，什么时候面积最大？让我们对应求低点坐标， 常规方法呢？计算量特别大，今天姜老师教你用我的方法千锤法来系统的推导一下这道题的前因后果，前世今生。好，我们来看这道题有什么迅速的解法？ 首先呢，这道题的抛物线解析是给到我们了，是 y 等于什么？负 x 方加五， x 减四，对吧？学过一元方程的人都知道，可以干嘛？因式分解对吧？求出这里的 a 和 b 的 坐标，我们来简单算一下啊，其中这里的话，就是负 x 方加五， x 减四等于几，对吧？你想， 抛物线跟 x 轴相交，这两个点的什么纵坐标是不等于零，对吧？所以说令它等于零。好，它等于零的话，也就是 x 方减五， x 加四等于零，十字相乘，那就是 x 减四乘以 x 减一等于零，所以 a 点坐标是一零， b 点坐标是四零。 这应该是所有准初三以及初三备战中考的孩子基本功练习好不好？好，那么根据题干呢，我们可以得到我写一下啊， a 点坐标是一零， b 点坐标是四零，当然 c 点坐标对吧？ x 等于零，那么 c 的 坐标就是零。逗号负四 是不是好？这个题呢，他问的比较干脆啊，他问的是哎， d 点在这个直线上方，且在抛物线上，对吧？可能是这儿对吧？这样的话，这样三角形 对吧？可能是这儿，就这样，三角形可能在这儿，对不对？等等等等，这么多三角形中，什么时候 a、 b、 c、 d 的 面积是最大的呢？求对应地点坐标。 好，先跟大家分享一个技巧啊，这个技巧是非常之简单啊，怎么回事呢？大家记好了，我们只要找到什么呀，这个 b 点和 c 点的横坐标，求它的平均数，就是我们地点的横坐标。 好，大家可以记笔记啊，就是 d 点的横坐标等于二分之啊， b 点的横坐标加上我们这里 c 点的横坐标。一会给大家解释一下为什么，咱们详细的给大家推导一下，那所以这个题而言，他如果求 d 坐标的话，横坐标你是可以算出来的，对不对？横坐标，横坐标，那么就等于几？ 二分之四加零，答案是等于二对不对？第一点的横坐标是二，那么代入的话， b 点的纵坐标等于什么？是不是带到这个解释式里面，对吧？就是负 x 方加五， x 减四， 答案就是负四加上二五一十减去四啊，所以答案就是，哎二，因此呢，第一点的坐标就是二，逗号二， 可以直接秒杀。好，那接下来呢，佳老师是一个负责任的数学主讲，一定不会让大家死记硬背。结论，好吧，我们来推导下为什么是这样？首先从第一种方法来推导，用铅锤法来推导一下 啊，什么意思呢？大家去想啊，你这个 b、 c、 d 的 面积呢？我可以用什么不规则图形的面积切割对不对？过地点向下作垂相交，这个地方于 m， 对吧？然后这条线呢，注意它跟 y 轴是平行的对不对？所以三角形啊，拨 cd 就 变成了三角形 cd， m 加上三角形拨 dm， 对 不对？然后呢，我们拿谁当底呀？拿这一段去当底，二分之一， dm 乘以高是这里做垂，这里是 c n 加上二分之一，好，这个三角形的面积也是它当底，这里当高啊， b p d m 加上 b p， 好， 别眨眼好吗？那我们提取共因式的话，就是二分之一 d m 乘以几？ c n 加上 b p， 各位，大家去想， c n 加上 b p 是 不是恰好就是什么？对，就是 c 点的横坐标到 d 点的横坐标的水平宽，对吗？所以大家就是这一段呢，就是我们的水平宽， 对不对？那最后呢，你会发现这一段是什么？没错， dm 就 决定了哎，因为它水平观是固定的吗？对吧？ c 点横坐标， b 点横坐标，距离就是四，对吧？就是四，乘以二分之二倍的 dm， 大家发现没有，这个三角形的最大值其实取决于什么？是不是 dm 什么时候最大？ ok， 好， 那我们来分析一下啊， dm 什么时候最大？首先呢，我们是向下做的一条线，相交于 m 这个位置，能理解好，大家想低一点的坐标能不能设一下？ 好，我们假设啊，答案是 m 逗号满足纵坐标就是负 m 方加五， m 减四 啊，这个步骤呢，准初三的人啊，面临中考的孩子是必须要牢牢掌握，熟熟拿下的啊。好，那么 m 点的什么坐标有题可得，它的横坐标也是一样的，小 m 纵坐标来了， 各位，什么纵坐标呢？因为 m 点在这条什么直线上，所以我们要把 b c 直线的解析式求一下 好，怎么去求 k 呢？对，纵差比横差，那就是负四减零，比上零减四就是一对吧？ x 对 吧？然后再过这个点是零负四， x 减四， 各位有没有问题？所以说呢，解析式求出来，那么这个点的纵坐标就是什么啊？就是 m 减四。 好，大家现在去想，我不是求 dm 的 最值吗？这就是它的纵坐标减去它的纵坐标。好，我们来求一下啊， dm 等于什么？它减它，你看负 m 方 五 m 减 m 是 加上四 m 对 不对？负四减负四，哦，是不是没了？所以答案就是负的 m 方减四 m， 想到了什么？ 各位是配方一比四比四，再加个四，负四在前面再加个四， ok， 所以 答案就是负的 m 减二的平方再加四。因此我们 dm 什么时候取到最大？是不是当 x 等于，就是当这里的 m 等于几的时候，等于二的时候。好，当 m 等于二的时候， dm 是 有最大值，对吧？开口向下，这里是加四，最大值是四。这个题没有问你面积最大，问什么时候取最大，是当它横坐标等于二的时候， 对不对？好，然后你再带入到我们的纵坐标，就可以把纵坐标，横坐标是不是就都求出来了？各位啊，这就是千锤法，你详细写过程的话，需要搞定的事情。 好，这是第一点，第二点，全网没有一个老师给大家推导一下，为什么这个公式会存在？就是当你的第一点的横坐标等于二分之他俩横坐标的平均数的时候，面积最大。好，今天我来给大家推导一下，为什么？认真听啊，记好笔记， 就为什么这个时候三角形的面积是最大的，我给大家用最一般的方法来推导一下哈，我们看一下怎么推导。 假设这是一条很普通的抛物线，那 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 啊，这是一条直线，就是 y 等于 k， x 加 n 吧，对吧？直线的解析式。那我想问大家啊， b、 c 两个点是什么？ 是不是抛物线和直线的交点？所以说看到交点，我问大家联想到什么？是不是连力方程？ 好，我们就连立 y 等于 k， x 加 n， 以及 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 我 们连立一下它好不好？连立完以后我们发现对吧，它俩是不相等，所以说 a x 方加 b， x 加 c 等于 k， x 加 n。 好，整理一下， a x 方加上 b 减 k 倍的 x 加上 c 减 n 等于零。好，老师你要干嘛呀？请大家想啊，连立完的交点的横坐标是不是 x 一 和这里的 x 二 b c 的 横坐标，对吧？根据尾答定理， 那么两根之什么？两根之合是不等于负的？ a 分 之， b 就是 它， b 减 k， 能理解吧？我们现在要正的事情是不是 d 点的横坐标等于二分之，它 能理解，所以二分之 x， b 加 x， c 就 等于二分之 x， 一 加 x， 二等于二， a 分 之负的括号 b 减 k。 我们要想方设法证明取到最大值的时候，那个 d 点的横坐标就是这个式子，能跟上我的思路哈，好，那我们来看一下 d 点坐标怎么求？因为你 d 点是在一条更一般的抛物线上，所以它的坐标就是什么 x 逗号啊， a x 方加上 b， x 加 c， 大家说对不对 是吧？然后呢，刚才已经验证过了，这里的坐标等于什么？用牵扯法是不是它最大的时候面积最大对不对？ ok， 那 它的坐标就是 x 逗号，注意哦，纵坐标是它在直线上是不就是 k x 加 n， 好，那现在我要求的是什么？是不是这一段的最大值？所以说纵坐标减纵坐标，我们来求一下，我写在上方啊，得到的是 a x 方加 b， x 加 c 减去它减 k， x 再减去 n 等于 我的什么？ dm 这个线段，是吧？我现在要求什么？大家想是不是求它的最大值？ 我能不能把这个想成是一个函数抛物线对不对？那就是 a x 方加上 b 减 k 倍的啊， x 再加上 c 减 n， 好， 这是我们的还是这个 d n 对 不对？那现在我要求它的什么值？最大值？所以说呢，我就把它再变形，等于 a 倍的 x 方加上 b 减 k 除以 a 倍的 x， 回想一下配方怎么配，是不是就是它的一半， 也就是加上二 a 分 之 b 减 k 扩注的平方，这里变成中括号，对吧？多加了一个，再减去 a 倍的二 a 扩注 b 减 k 的 平方，然后再加 c 减 n， ok， 好， 这个都不重要，重要的是看这里，看这里，大家想是不是 a， 如果是开口向下的话，你这里是负的，就是 x， 什么？减去二 a 分 之？ sorry， 加啊，这里是加号加上二 a 分 之 b 减 k 括住的平方再减。我就不写了，这一坨 把，这边可以想成一坨。好吧，现在我们去思考有什么问题，是不是求它的最大值？回想一下所有的平方配方，求最大值，是不是平分为零，取最大值开口向下，所以说你会发现，是不当 x 等于它等于零，是不是 x 等于负的二 a 分 之 b 减 k， 对不对？这个时候的 x 谁的坐标是不就是 d 的 横坐标，你看 d 的 横坐标，各位看这个式子哦，是不是 d 的 横坐标就等于 b 和 c 横坐标的一半？来看一下是不一模一样？二， a 分 之负的括号二， a 分 之负的，这里是括号， 对不对？所以我们知道结论了，下次遇到小题，直接代入，什么时候面积最大，当地点坐标等于二分之 b 横坐标的 平均数就可以了。好老师应该是全网第一个，给大家系统证明完了你看大题可用千锤法写过程，如果是小题，用我推导完的结论直接去用就可以了啊。关于这个题，三角形面积最大，求动点坐标，各位你学会了吗？

今天刚结束的沈阳二模几何压轴和二次函数又调换了位置，那其中二十二题考察了二次函数平移变换的性质，我们一起来看一下。 已知二次函数图像与 x 轴相交于 a， b 两点，与 y 轴相交于 c 点。第一个问，求二次函数解析式，我们直接把点坐标代入，能判断出解析式是 y 等于二分之一， x 的 平方减 x， 再减去二分之三。 第二个问，如图一， p 是 二次函数图像上的一个点，并且在对称轴的右侧，那么我们能判断出来对称轴是 x 等于一顶点坐标呢，是一头负二。我们先标一下，在直线 bc 的 上方，点对是 b 关于 y 轴的对称点。 那首先 b 点坐标我们可以自己求出来，是三斗零，那的点是 b 点关于 y 轴的对称点，所以点对就是负三斗零。接下来连接 p 对 交二次函数图像的对称轴与点 e， 且 p e 等于对 e， 那 好，通过 p e 等于对 e 这个条件，我们就可以得到 p 和对这两个点是关于点 e 呈中心对称的， 因此我们能得到一点就是 p 对 的中点，而一点他的横坐标呢，恰好就是一，因为他落在对称轴上，那这样的话，我们通过中点坐标公式就可以求出 p 点的横坐标等于五。那接下来回带到二次函数解析式当中，就可以判断出 p 点他的纵坐标为六。第二个问也比较简单，接下来看第三问， 如图二，将二次函数的图像沿着射线 b c 的 方向进行平移。首先我们把射线 b、 c 圈起来，接下来平移后的二次函数呢，与 x 轴的两个交点当中，右边的交点为点， f 连接 a、 c 和 c， f 设平移之后的二次函数图像的对称轴为直线 x 等于 m， 并且 f 点不与 a 点重合。 三角形 a、 c、 f 的 面积小于二分之三的时候，让我们去判断 m 它的取值范围。那好，既然涉及到了二次函数的平移变换，首先我们先把原函数的解析式写出来， 那我们给他写成顶点式。因为针对二次函数进行平移变换的时候，我们用顶点式来判断会更加简单一点，那因为它是沿着射线 b、 c 的 方向进行平移的，所以我们需要求一下直线 b、 c 的 解析式，也就是 y 等于二分之一， x 减去二分之三。 ok， 判断完它之后有什么用呢？因为我们现在呢沿着射线 bc 进行平移，我们要想判断平移之后的新的函数，其实找的就是平移之后的它的这个顶点的坐标。 那首先对于我们原函数，它的顶点坐标是一斗负二，那平移之后，因为对称轴为 x 等于 m， 所以 平移之后它的顶点就是横坐标呢？我们把这两个顶点设成两个字母， p 和 q， 那我们来观察一下 p、 q 这条直线应该和 b、 c 是 互相平行的，因为根据平移性质嘛，对应点的连线在位置上是平行或者是共线的， 那既然 p、 q 平行于 b、 c， 我 们想要通过 p 点坐标来判断 q 点坐标的话，我们给它单独的提取出来，构造在一个直角三角形当中，那同学们来观察一下 p 点横坐标是一多负二， q 点横坐标为 m， 那 也就意味着 q h 的 长度就应该是一减 m， 紧接着 p， q 呢，还平行于 b c b c， 它的直线截式是 y 等于二分之一， x 减二分之三，说明这个 角 q 它的弹性值就应该是一比二，进而我们能判断出 p h 的 长就是二分之一减 m， 那 么我们就可以通过用 p 点它的纵坐标负二减去二分之一减 m， 得到 q 点它的纵坐标，也就是二分之 m 减五。 ok， 这样的话，我们就可以得到平移之后的新的函数的顶点，进而我们可以表示出它的解析式就是 y 等于二分之一， x 减 m 的 平方，加上二分之 m 减五， 得到这个函数。解析式之后，接下来我们看，既然想要求 m 的 取值范围， m 呢就是这个函数的对称轴，所以我们需要明确的就是这个新的函数它是在什么范围内进行平移的，也就是说我们需要找到它的一个临界位置， 最远可以平移到哪儿，最近可以平移到哪儿，只需要找到这个邻界，那么我们就可以确定出 m 的 曲值。而这个给我们提供邻界的条件是什么呢？就是三角形 a、 c、 f 的 面积小于二分之三，我们来观察一下三角形 a、 c、 f 在 这儿呢， 对于这个面积，我以 a f 为底，高的话就是 o c 的 长，而 c 点坐标我们是已知的零的负的二分之三， o c 长就是二分之三。进而我们借助三角形 a、 c、 f 的 面积，二分之一乘以二分之三，再乘以 a， f， 它得小于二分之三，这样的话，我们就能得到 a、 f 的 长，它得小于二。 ok， 得到 a、 f 的 长小于二，那么我们是不是就可以得到点 f 它的位置了？ 那因为 a 点他的坐标是负一到零，而 a f 的 长如果小于二的话，可以在 a 点左侧两个单位，也可以在 a 点右侧两个单位，那这就是他最远和最近能够平移到的两个临界位置。那接下来我们就可以得到点 f 他的横坐标 最远的话就是用 a 点的横坐标负一减二，也就是负三，最近的话就是负一加二，也就是一， 这样我们就能判断出点 f 它的横坐标的范围是大于负三小于一的。那好，当你判断到这之后呢，有一个小小的陷阱，就是题干当中说点 f 不 能与 a 重合，所以我们能确定出这个 f 点的横坐标还是不能等于负一的。接下来我们就可以去求点 m 的 取值了。 点 m 是 什么呢？是这个新的函数它的对称轴，而现在我们得到的这个 f 点是什么呢？是这个新的函数与 x 轴的交点，并且它明确告诉我们是右边的这个交点， 而这个右边焦点最远最远他能到负三斗零的位置，最近最近能到一斗零的位置，而中间呢又不能等于负一斗零，所以我们只需要把这三个临界位置情况下的 m 的 值求出来，取出他们满足条件的范围即可。那接下来我们依次来代入一下。 首先第一个我们需要将负三负零回代到我们的 y 撇函数解析式当中，带完之后呢，大家可以得到 m 的 值就是二分之负七加减根号三十三。但是在这个地方大家要知道如何做一个取舍啊？ 那假如说这个点是负三都零的话，那我们这个平移之后的二次函数得大概在哪啊？是不得在这边，因为点 f 是 它与 x 轴右边的这个交点嘛。 所以他的这个 m 的 值，我们应该取的是什么呢？是不是他得比负三得小才行啊？也就是取负负七减去刚好三十三。这个解如果要是加的话，那对应的应该是什么呀？点 f 如果要在这的话，如果要加的话，那应该是左边的这个，因此是不行的啊。然后同理我们把一斗零也带进去， 一斗零回带到 y 撇当中，这样的话，大家能得到 m 的 值是二分之一加减根号十七。同样我们要注意解的取舍，这回我们取的就应该是二分之一减根号十七了。为什么呢？因为大家把一斗零带进去的话， 一斗零在这，那他的这个函数应该是这样来画的，这种情况应该舍掉啊，这个是保留的，所以我们取的是较小的那一个， 那最远和最近我们都找到了临界位置，满足条件的就应该是他们两个中间。但是大家别忘了，你得把 f 点坐标为负一斗零，也就是与 a 重合的这种情况的对称轴再求一下，把它排除掉才可以。那我们把负一斗零带入到 y 撇当中，能够得到 m 的 值应该是负四， 还有一个好像是一那个直接舍掉了，那我们最终 m 的 取值范围就应该是 m 大 于二分之负七，减去根号三十三，小于二分之一减根号十七，且 m 不 等于负四。 ok， 这个就是我们最后的答案。所以整体来看，我们针对这个二次函数，它考察的就是平移变换的规律。 呃，不管是平移还是对称，我们虽然一般是顶点式都能判断，但是顶点式相对来说能简单一点。还有就是如果我们在平移的时候不是水平和数值方向进行平移，我们需要给它转换成水平或数值方向，在这只需要借助一个三函数值即可。

二零二六沈阳中考数学二模新鲜出炉，这张卷就是中考风向标，选择填空全是高频考点，大题全是中考必考题型。我跟你们说，第一题正负数意义送分题必拿科学计算中心对称整式运算全是基础坑位次矩形折叠五文方程年年考次次错 填空倒数第二题反比例函数一步出答案，最后两道几何加二次函数直接压住中考题型。我告诉你们一个真相，二模分数约等于中考分数，现在刷会这张卷，中考直接多拿二十分！想要完整版答案加主体解析的口令二模。

好，来看这道题，已知二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c。 对 于任意实数 x 都有 x 小 于等于， y 小 于等于二分之一， x 方加二分之一，令 t 等于 y 减 x， 且函数 t 的 顶点坐标为一零。 第一个，当 x 等于一的时候，求 y 的 值。好，这一问比较基础哈，我们先来写，呃，因为 x 小 于等于 y 小 于等于二分之一， x 方加二分之一， 那把 x 等于一带进去，就是一小于等于 y 小 于等于二分之一加二分之一，所以 y 等于一。 好，这是第一问，再来看第二问，当 x 等于负一的时候， y 的 函数值为整数，求 a 的 值，那这里边 y 的 函数值为整数，就是这个题解析的关键点。好，那我们先把 x 等于负一带进去， 因为 x 小 于等于， y 小 于等于二分之一， x 方加二分之一，那把负一带进去，负一小于等于 y 小 于等于一， y 在 负一到一之间，那它可以取得整数，因为 y 为整数， 所以 y 可取值为负一零一。好，有这三种可能， 那我们再来看啊，那自定义了一个函数，大 t 等于 y 减 x， 我 们把它代入，那这个就是 ax 方加 b， x 加 c 减 x， 合并同类项，得到 ax 方加 b 减一， x 加 c。 对 于这个新定义的函数，它的顶点坐标是一零。好，我们先来说它的对称轴， x 等于负的二， a 分 之 b 减一，那就等于顶点的横坐标一。从这里我们能知道， b 减一等于负二， a 加一，顶点的纵坐标 y 等于 四， a 分 之四， a c 减 b 方，这里的 b 是 b 减一的平方，那这个等于零是不是？也就是说它的分子为零， 让四 a， c 减去 b 减一的平方等于零，那 b 减一就是负二 a， 我 们从而得到四 a， c 减去负二， a 的 平方等于零 四， a， c 减去四， a 方等于零，所以 a 等于 c。 好， 那 a 和 c 的 关系我们也知道了。再来看，当 x 等于负一的时候， 好，我们把它代入 y 就 等于 a 减 b 加 c， a 减 b 加 c， 我 们把 b 和 c 的 值代入，就是 a 减去负二， a 加一，加上 a， 化简之后得到四。 a 减一， 那 y 有 三个取值分类讨论，当 y 等于负一时， 四， a 减一等于负一， a 等于零。因为题目中说 a 为正有理数，所以 a 等于零。舍去当 y 等于零时， 四 a 减一等于零， a 等于四分之一。当 y 等于一时 四， a 减一等于一， a 等于二分之一，那我们分类讨论了。最后来说一下哈，综上所述， a 的 值为四分之一或二分之一。

沈阳二模二十二题是抛物线加轴体放在二十二题的位置，可见它并不是特别难。在坐标系中，二次函数含有两个参数， a 和 c， 那 你需要带入两点哦， a 和给的点 c 零到负二分之三往里一带，解析式就出来了，所以这是白送的。括号二， 点 p 是 二次函数图像上一点，且在对称轴右侧，在直线 b、 c 上方，然后 d 是 点 b， 关于 y 轴的对称点，那么这里是三，这里就是负三喽。然后连接 p、 d 交二次函数图像的对称轴于点 e， 当 p e 等于 d e， 说明这个点 e 恰好是个正点 啊。同学们，你会立刻想到这两道线是平行的对吧？对，那就有中位线了，平行线分线段成比例，这两段就相等了，那这个长度能求是四， 这个长度也是四，这样你就知道点 p 的 横坐标四加一，所以横坐标是五，这个分数又到手了。括号三，如图二，将二次函数的图像也 沿射线 b、 c 的 方向平移。平移后的二 x r 图像与 x、 r 两个交点中，右侧的这个是 f， 三角形 a、 c， f 的 面积小于二分之三，它的面积小于二分之三，那说明我这个点 f 有 一个位置，肯定能让它刚刚好得二分之三，那二分之三就是它的一个界点，那我们就求出 f 点坐标喽， 让它的面积刚刚好是二分之三，知道高，当然能求底，所以就能求出 f 点的两个坐标了。知道 f 点坐标，把坐标带入平移后的抛物线解一式不就 ok 了吗？那平移后的抛物线解一式是啥呢？这就是第二步了，所以你第一步搞定 f 点坐标， 第二步找平移后的抛物线解一式，第三步往里一带，答案就出来。好，那我们看平移后的抛物线怎么确定它的解一式。首先他给了 平移后的横坐标是 m 顶点横坐标也叫对称轴，是吧？是 m， 就 相当于你向左平移一减 m 个单位，那么横坐标是这样平移了，一减 m 纵坐标呢？我就要确定这个，因为这两条线平行， 平行这个角和这个角就相等了，就和这个角相等，所以它俩的比例关系是一比二的关系，所以这个是一减 m， 这个就是一减 m 的 一半， 那么它向下平移的就是二分之一减二分之一 m 个单位。所以你将原来的抛物线向左平移一减 m 个单位，向下平移二分之一减二分之一 m 个单位。所以能得到新的平移后，抛物线解出式。接下来 先把一斗零带入，解出一个 m。 当然你看这个 m 啊，这个 f 点是一斗零，那应该还往左走一些，对吧？它应该过这个点， 那么这个对称轴一定是负的，所以你要取负数。接下来再把另一个 f 负三斗零代入， 那负三斗零都在哪了？在这了，那新的抛物线长这样了，那它的对称轴 m 当然是一个更负的数了，对吧？所以代入，我们仍然取这个负的取值范围就出来。但是这个题有一个控制满分的点，就是 f 与 a 不 能重合， 所以这里还要抠出一个 m 的 值，抠出哪个呢？就是 f 刚刚好是 a 的 时候，所以你要把 a 点负一逗，人人带入，解出 m 有 两个值， 这两个值我们仍然要取那个负的，所以最终的答案是， m 在 二分之负七减根号三十三和二分之一减根号十七之间， 要把其中一个 m 值扣掉，那就是 m 不 等于负四，这样就满分了。关注我，全网唯一贯通小学、初中数学的女老师。

我们来看一下刚刚进行完的沈阳二模这套试卷呢，整体难度比较适中，贴合于中考今天的视频，重点来看这套试卷的两道压轴题。其实我们能够发现， 这一套二模试卷其实和大零一模比较相似，二十二题都放了一道函数的细题，二十三题呢则是用几何作为压轴。 所以在中考里面想去冲击满分的同学，在后面的一段时间里面，一定要把几何的做题思路和逻辑理顺清楚。那这个视频首先我们来先看一下二十二题的考点和比较出色的部分。那首先第一问和第二问都是比较常规的题型， 求表达式，以及用中点坐标公式去求 p 点坐标，我想重点来分析一下第三问。这道第三问非常不错，首先考到了 平移，但是这个平移不仅仅是简单地向左向右，而是水平方向和数值方向，它是有距离关系的，我们一定要分析出这个 b、 c 射线斜着平移，它的水平方向和数值方向存在一个什么样的距离关系， 找到这个关系之后，再去写出顶点坐标这个函数，那就非常可以简单进行求解了。但是在真正做的时候，我们能够发现，在二十二题第三问，相当一部分同学成都比较好的往往会扣一分，这个一分到底是在哪里扣的？ 其实是在读题审题的时候，有一个关键性信息，点 f 不 与点 a 重合，这个情况没有讨论到，没有舍掉， 所以在这种细节问题上，大家一定要注意，再注意看看题目中有没有限定条件。二十二题看完之后，我们来看一下二十三题。二十三题我们可以从题目中能够发现，它是以一道翻折作为底色的一道题，而且其中包含了倒角， 虽然它的背景是翻折，但是我们可以在做题的时候显而易见的能够发现它的核心本质是一线三等角。 很多同学都进行了卡壳，所以没有摸清出题人的逻辑，一味的再去进行翻折呀。这个思路往下进行，所以能够发现我们不要去一味的被模型被套路，而是在短时间内找到出题人的核心逻辑， 想让我们干什么。第二问就是很明显的一个一线三垂直嘛，对不对？当第三问他不是垂直的时候，那我们应该再怎么去分析？所以在后来的一段时间，大家再去复习的过程中，一定要去把自己的薄弱项去 补充好，尤其是在几何这一部分啊，不要去被太多的在模型和套路了，而是一定要拿到题之后，我应该从哪个地方下手，提到终点，我应该怎么下手？提到角分线该怎么下手？ 翻折我能得到什么条件？倒角我应该如何去倒，这才是我们现在重中之重的主要目标。

同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边的二次函数的压轴题。这个题第一问是求抛物线的解析式，第二问还是根据最值的问题解决点的坐标的求法， 咱先看这个解析式的求证，朋友们啊，已知这个二次函数二次项系数 a 未知，一次项系数 b 未知。经过点， a 的 坐标，抛物线与 x 轴的两个焦点坐标出来了，一个 a 四零，一个 b 负二零，求抛物线解析式。 那么最原始的方式，朋友们依然是要把四零和负二零带进去，组成 ab 的 二元一次方程组，解这个方程组求 ab 就 可以了，这是比较传统的方式，那么朋友们再观察还有没有比较新颖的地方呢？ 有没有发现他给提供的这两个点是抛物线与 x 轴的两个交点啊？所以说这个题我们求抛物线解析式，依然可以用啊交点式来解决这个问题，那么咱们就可以啊，设 y 等于 a 倍的括号里 x 减交点的横坐标减四乘，以括号里 x 减另一个交点的横坐标减负二，那就是啊，加二了。 有的人我会社交点式，但是接下来怎么求 a， 我 还是不会，那同学们，你们观察这个时候怎么去求这个二次项系数 a 呀？会求吗？有的人就给了两个点，我把这两个点都用进去了，那怎么去求 a 呢？显然没办法求，还不如直接把这两个点带进去，组成 a b 的 二元次方程组呢。 那出题者肯定是让你不会做的同学，那个那个传统的传统的方式，传统的同学就用这个方式，那聪明一点的同学就用下面这个方式，老铁们，观察怎么求这个 a 一定要注意审题！同学们啊，这种这种题我也分享了不止一次了，一定要注意审题。有没有发现二次函数里边解析里面还有一个已知的数字负四啊？ 这就是在告诉我们，这个点， c 的 抛物线与 y 轴的坐标是零啊，负四啊。 那如果这个题他要这么说，这里是个 c， 说这个抛物线经过这这这这三个点，那你肯定能看出来他有零四零负四这个点，那么一旦放到解析式里边去，就往往会被好多同学忽略掉。 所以说，接下来咱们再把零负四给他带进去，负四就等于 a 倍的括号里零减四，乘以零加二，这里就是负四。所以 a 等于的是二分之一啊， a 等于二分之一，把 a 等于二分之一给它乘进去就可以了。哎， a 等于二分之一， y 就 等于二分之一。对了，先把后边展开，同学们啊，后边用多些的乘法去展就可以了。减二， x 再减八，然后把二分之一乘进去二分之一 x， 方减 x， 再减四， 二分之一 x 减，这就是抛物线的解析式了。 y 等于二分之一 x 啊，方减 x， 再减四， 这就是二次函数解析式。那么接下来呢，我们还需要求一个 a c 的 解析式，观察一下 a 的 坐标和 c 的 坐标。同学们，那 o a 的 长度显然是个四， 而 oc 的 长度显然是个负四的绝对值也是个四。所以说 ac 的 解析式等于。我只看这两个四，我就知道 ac 的 解析式是什么，它一定是 y 等于 x 啊，减四。那同学们有没有好感到好奇，为什么我一看见这两个四，我就知道它的解析式 y 等于 x 减四呢？ 同学们，有没有这个这个思维定式啊？有没有这种思维的方式？因为这个形成的是一个等腰直角啊三角形。既然他是等腰直角三角形，同学们，那说明他就是由一三向线的角平分线向下平移四个单位长度得到的。 一三象限的角平分线是 y 等于 x， 二四象限的角平分线是 y 等于负 x。 只要一条直线以坐标轴为成的是等腰直角三角形。同学们，那他一定就是一三象限角平分线，或者是二四象限角平分线平移得到的。咱们一看就应该知道答案啊！那么当然你也可以设他的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 然后把零负四还有四零带进去去求，对吗？传统的方式就是这样求，那你让老师写这个解题过程我也得这样写，但是我出答案的时候，我直接口算就出来了。 那么接下来咱们求这两个解析是有什么要领呢？就是为了第二份做准备的，第二份看题目。点 p 是 抛物线上位于直线 a c 下方的一个动点，涉及到动点问题，你们依然要形成思维定式，涉及到抛物线二次函数或者一次函数的动点问题，我们就要设动点的坐标， 然后他过点 p 做 p d 平行于 x 轴， p e 平行于 y 轴，也就是 p e 垂直的是 x 轴， p d 垂直的是 y 轴。那么两条线段有数值方向的铅垂线段，也有水平方向的水平线段。 那么就让我们来求一下这个 p d 加 p e 最大的时候，求点 p 的 坐标。 b 是 指这个直线与这个 ac 的 交点。朋友们啊，这个 d 是 这个直线， 是与直线的交点啊，不是与那个 y 轴的交点，这里是 d 啊。 p d 平行于 x 轴，也就是 p d 垂直于 y 轴，但是垂足不是 d， 垂足是这个与 a c 的 交点。那么当 p e 加 p d 的 值最大的时候，求点 p 的 坐标，这显然 看，他肯定认为是一将军一马的问题，是不是一条河，两个村庄的问题啊？你只要能找到那条那条河。 d 这个屁，他不是直线上的动点，他是抛物线上的动点。所以说，这不是将军一马的问题，将军一马问题，那个动点屁，他是在直线上运动。 那么接下来咱们还是直接设动点的坐标。设 p 点的横坐标是 m， 那 纵坐标就是二分之一 m 方减 m 减四了。那点 d 的 点 d 的 坐标怎么设也依然要用 m 来表达。同学们啊，点 d 的 坐标用 m 来表达，那同学们，观察 p 和 d， 他 们俩和 y 轴垂直，垂直于 y 轴，那说明 p 和 d 的 什么坐标相同？同学们， 哎，这就是这个题新颖的地方，他和以往的题目不一样，以往咱们设一个动点的垂直的，这个铅垂上的这个这个线段长度，横坐标相同，把横坐标带入解析式，就能表示纵坐标。而这个 p 和 d， 他 显然是啊，纵坐标相同， 他们的纵坐标都是二分之一啊， m 方减 m 减四啊，纵坐标相同，关键是怎么去表示点 d 的 横坐标呢？ 这不是有点地所在的那条直线的解析式吗？你让他的纵坐标 y 等于二分之一 m 方减 m 减四不就可以了吗？横坐标 x 不 就求出来了吗？这边一个负四，这边一个负四，左右两边都加上一个四， 左右两边都加上一个四，那这个负四和正四就没了，负四和正四就没了。所以说 x 等于的就是二分之一啊， m 方减 m 了呀，这就是 p 和 d 这两个动点的坐标就设出来了。接下来咱们再用点 m 含 m 的 代数式去表示 p d 和 pe 的 长度啊， p d 的 长度，水平线段的长度最慢。咱们也总结过水平线段的长度，用右边的横坐标减左边的横坐标， p 的 横坐标是 m， 减掉它的横坐标，那就是减二分之一 m 方，再加 m。 我 去，括号的同学们啊，合并同类项，就是负二分之一 m 方加二 m 了， 这是 p d 的 长度。再看 p e 的 长度，那显然就是 p 的 正坐标的绝对啊，值了， 也就是 e 的 纵坐标零，减掉 p 的 纵坐标就可以了，也就是点 p 的 纵坐标的相反数。同学们啊，因为它是一个负数吗？负数的绝对值等于它的相反数，那就是负二分之一 m 方 加 m 加四了。求它的相反数，给它加括号，括起来，加括号，括号加起来显得就是负 m 方了。那么 p d 加 p e， 咱们给它加起来，显然就是负 m 方了。 这里的正 m 跟这里的正二 m 相加，显然就是三 m 了，还剩一个四，你给他抄下来就可以了。新的二次函数就产生了，这显然不是将军印码问题，这是构建新的二次函数关系式，借助于二次函数的顶点坐标来解决问题。 那么接下来咱们看一看， m 取和值的时候， p d 和 p e 会有最大值，显然 m 等于负的二 a 分 之 b e 啊，就是等于二分之三的时候， p d 和 p e 就 会有啊最大值，这个最大值是多少？没让我们求，你急着求的话，你把它带入解析式就求出来了。 让我们求的是点 p 的 坐标，那 m 有 了，同学们， m 等于二分之三，带到这里边来点 p 的 坐标，也就啊产生了这个题，依然是构建新的二次函数关系式， 借助二次函数的顶点坐标来解决问题，这是一点。再一点就是水平方向的线段，他们是纵坐标相同，同学们 纵坐标相同的时候，怎么跟你纵坐标相同去表示横坐标，这才是一个难点，这是所有的学生走到这里都是会卡一下的，那么你只需要把他的纵坐标带到解析式里边去就可以了，你们去求他的横坐标就可以了。 跟你知道横坐标去求纵坐标道理是一样的，你把横坐标带进去求纵坐标，同样也可以把纵坐标带进去去求横坐标。水平线段的长度往往是用右边的横坐标减左边的横坐标。希望这个题能够帮到大家。

别人最值问题，稳稳拿满分，你想知道高分诀窍吗？一个视频讲清楚转化成二次函数的最值问题。视频结尾看解析方法总结，这道题在中考压轴题中属于中等难度，可以说同学们拿到六分左右是没有问题的。区分度主要体现在最后一问，也就是线段积的最值。 我们今天重点就借着这一问，说一说遇到一些令人头秃的条件，我们要怎么展开思考。只有自己会思考，咱才不用死记题型，而是慢慢自己独立解析。好，你先自己读读题，一会一起分析条件。 看图，直线 l 的 解析式是 y 等于负四分之三， x 加 b 只有一个参数，而且和 x 轴交于点 a 四零 一个参数，一个坐标。 l 的 解析式怎么样啊？可以求吧。然后 l 与 y 轴交汇，点 b 点 c 是 线段 o， a 上的一个动点，然后 ac 有 个范围，在零到五分之十六之间，所有的范围都很重要。 然后这是以 a 为圆心， ac 为半径，一个圆。到这里我们要注意了，因为 ac 的 长度是变化的， 所以圆的半径也变化，那圆的大小也就是变化的了。这就是之后第三问，作妖的点。然后剩下的条件图上都很明显了， d 是 圆和 x 轴的交点， e 是 圆和 ab 的 交点， f 是 o， e 延长线和圆的交点。 第一问，求直线的解析式和 tangent 角 b a o 也就是这个角的值。这一问简单吧，知道点的坐标，用待定系数法很容易求出。解析式，过程太简单了，我们解析式写在旁边， 下面知道 a o 和 b o 的 长度， tangent 角 b a o 就 有了两个长度呢，都可以从点 a 和点 b 的 坐标直接得出。这题就不多讲了，大家看一下过程，主要呢我们来看第三问， 当点 c 在 线段 o a 上运动时，求 o e 乘 e f 的 最大值。刚才咱们说了，这个点 c 是 动，点 a 不 动，那这条线段 ac 的 长度有个范围，导致圆的大小是变化的，我们要求的就是在这种变化中，这条线段 o e 和这条线段 e f g 的 最大值。 分析完，三姐建议你先自己找找思路，这个要求的两条线段的基就是比较让人头秃的问题，那看到他我们首先不能慌，要从各个角度去找找线索。首先我们有一个待几综合题的通用方法，就是不管三七二十一，设坐标，然后把坐标带进解析式，利用几何关系列方程， 然后我们再想想几何方向，有没有可以入手的点。看到这个 o e 乘 e f 的 形式又有个圆，是不是能想起一个定律啊？哎，对了，割线定律，这个乘，这个等于这个乘，这个也就是 o e 乘 o f 等于 o c 乘 o d， 这也有可能是转化的一条路吧，那还有其他的吗？这个相乘的形式有没有同学联想到相似啊？如果能找到 o e 比上谁等于谁，比上 e f， 那 是不是也能把这个乘积进行转化啊？毕竟呢，图里有个圆，找相似还是有希望的。 最后题目又是要求最值，而求最值呢，我们经常用的一个工具就是函数，所以这题也可能要表示出函数，然后求最值。 那这四条都是我们看到问题展开的联想，接下来我们就要再结合条件，看看哪些联想可以用。想直接设坐标，我们发现因为圆在变化，所以这个点 e 的 坐标固然还可以通过直线表示出来，但是这个点 f 的 坐标就太难求了，因为他所在的这条直线 o f 和圆 a 都不是固定的， 所以这个路呢，我们暂时搁置。那么搁线定底有没有可能呢？看到这个式子，我们发现很尴尬的点在于无法直接转化 o e 乘 e f， 所以呢，暂时也先搁置。 那么第三条可以利用相似呢？我们发现其中一条线段 e f， 他 不在三角形中，所以想用相似肯定需要有辅助线。 那在原理最美妙的三角形是什么？三角形啊，当然是直径左边的那种，所以我们描一下这个点，记做 h， 然后连接 f h。 这个三角形是什么呀？直角三角形， 接下来找相似，找相似，先找角，这里有一对对顶角。这么巧，这条 o e 还是我们要的线段，那接下来我们做一条垂线， 哇，出现了一对一看就很有用的相似三角形了，这条路很 ok， 我 们继续往下走，有两个三角形相似，我们看图就能得到。 o e 比上 h e 等于 eg， 比上 e f， 对 应边乘比例吧， 所以 o e 乘 e f 等于 e h 乘 e g， 所以 o e 和 e f 的 g 就 成功转化成了 e h 和 e g 的 g， 看图也就是这条线段和这条线段， 这实际上就舒服多了，因为点 g 在 这条定直线 l 上，那这条直线既然是定直线，所以点 g 肯定可以求 用不用的到，咱先不说，至少心里很安全吧。那接下来我们就来表示一下这些线段，设原 a 的 半径是 r， 那 么这条线段就是二 r， 这条就是 a g 减去 r。 到这一步，思路已经基本清楚了，回到式子看， g 就 成了这个样子， 我们只要把 a g 也用 r 表示，那么就能得到一个和 r 有 关的表达式，而 r 呢，其实也就是 ac 的 长度，是有范围的，还记得吧， 所以再考虑一下我们的思路。第四条，用函数就可以求最值了。那求 a g 的 方法有很多，求出点 g 也可以求，但是这里呢，我们不用这个，而是选一种简单的看图，这里有个双垂直的基础图，所以用射影定律，我们有 a o 的 平方等于 a g 乘 ab， a 坐标我们知道，所以 o a 是 四， b 坐标第一问求出来了，所以 o b 是 三， ab 就是 五，那求出 ag 就 等于五分之十六。 惊喜了，连 r 都没有， ag 就是 个常数，再把 ag 带进去，表达式就出来了。 下面利用二次函数，用交点式求个顶点，两根呢是零和五分之十六，横坐标是两根的平均数五分之八，在取值范围内带入表达式就能得到最大值是二十五分之一百二十八。好了，看一下解题的完整过程， 这类问题的方法总结来了，其实从题目条件和问题联想也不是那么难，一条路走不通，就走另一条路嘛，只是在考场上呢，这些试错要快， 那就需要平时多积累和练习。另外，其实求醉之我们经常可以用到函数，这个如果说在几何体里，我们还会担心会被节外生枝，那在代几综合体里，我们就应该更有底气才对。

沈阳二模这道几何题，据说考场上一半孩子都卡脖子了，但其实只要看懂一个隐藏条件，就是送分题。今天咱们不聊虚的，直接拆解上午刚考完的沈阳市二模数学卷，看看哪些题才是真正的分水岭。 先说整体感受，这套卷子满分一百二十分，我把它定义为中档偏上，但坑不多。基础题一到七题，十一到十三题占三十分，基本是送分的，但有个别题需要仔细，真正拉开差距的是第十五题、第二十二题和第二十三题。 这三道题加起来二十八分，是冲高分的必争之地。整张卷子计算量不算变态，但对几何直观和模型识别的要求很高。换句话说，光刷题没用，得会看门道。这套卷子适合多少分的同学做？ 九十分以下重点功课，一到九题，十一到十四题，十六到十八题，先抓基础，九十到一百零五分死磕第十五题。第二十题，几何最值，第二十一题元一百零五分以上 第二十二题，韩餐二次函数平移和第二十三题折叠构造是你拉开差距的核心。这套卷子电子版我已经整理好了，想让孩子练练几何模型思维的家长，敲二模数学，我分享给大家。

我们看一下这道题，这道题是给出了一个定义，说是正坐标是横坐标，二倍的点就是双倍比例点。然后第一小问就让求出这个函数的双倍比例点的坐标，那就很简单， y 是 x 的 二倍，那我们直接就可以解出 x 等于正负二，好，那这个双倍比例点的坐标就是二四和负二负四。那我们再看第二小问，第二小问它是给出了抛物线 y 二等于这个式子， 好，那我们这个抛物线可以变式为这个形式，它隐含的一个条件就是这个抛物线的对称轴是 x 等于二。现在抛物线有两点， p 和 q， 那 p 点给出的坐标是 m r m 好， q 点给出的坐标是负一和 n， 那 我们通过上位比例点就可以知道 q 点实际的坐标是负一负二 好，他过点 q 做平行于 x 轴的直线交抛物线于点 m， 若三角形 p q， m 的 面积为十，求 m 的 值，那过 q 点做平行于 x 的 直线，交抛物线于点 m， 实际上它隐含的条件就是 m 与 q， 它是关于这个 x 等于二这个对称轴来对称的，那我们 q 的 坐标值是负一负二， 那么 x 等于二的抛物线对称轴对称，所以我们 m 的 坐标我就知道是五和负二，那我们再看这个三角形是什么样子， 好，那我们看他现在给出的条件，可以画出来是 q m 平行于 x 轴的，然后呢？ q 的 坐标是负一负二， m 的 坐标是五和负二，那他的抛物线有可能是开口向上对称轴是 x 等于二，然后过 q 点和 m 点。好，那他有可能是这个样子，他也有可能是， 他也有可能是开口向下这个样子，那我们看 p 点有可能在上面，也有可能在下面，但是不管怎么样， p q m 的 面积的话，他的底都可以是 q m， 而他的高实际上就是 p e 到 q m 的 这个垂直距离，所以我们通过这个面积可以求求说 好他可以等于二分之一乘以底是 q m 的 长度乘以高，那我们看 q m 是 六 乘以高，它这个值是面积为十，我们从中可以得到 h 等于是三分之十， h 等于三分之十呢，实际上它有两种情况，一种我们看当 p 点在抛线上方的时候， p 到 q m 这个垂线距离呢，实际上就是它的纵坐标加上二。 好，那它当它在 x 轴的下方的时候，假如说 p 点到这了，那它就是相当于 相当于二减去 p 点纵坐标的绝对值，那如果 p 点要是在下方呢？ 那这个高呢？它就是等于 p 的 纵坐标的绝对值减去二。那我们分这几种情况看一下啊，它有三种情况好，那第一种情况， p 在 x 上方，那就是 p 的 纵坐标加上二，也就是说 y p 加上二，它就等于这个高是三分之十。 那当 p 在 x o 和 q m 之间的时候，那我们看实际上就是二减去 y p 的 绝对值，二减去 y p 的 绝对值，那我们知道 y p 是 负值，所以我们就可以变成二加上 y p 等于三分之十。所以这两个式子我们看是一样的，那解出来， 解出来 y p 呢？就等于三分之四，那 y p 等于三分之四，也就是说等于个二 m， 那 m 就 等于个三分之二。 好，这是一个，我们再看第三种情况，是 p 在 q m 的 下方， p 在 q m 的 下方的时候，它就等于 p 的 纵坐标的绝对值减去二。 好， p 的 纵坐标的话，因为是负值，打开，打开绝对值的话，它就是负的 y p 减去二，然后等于个三分之十，那么我解出来这个 y p 等于负三分之十六 等于二 m， 好， 推导出来 m 等于个负的三分之八，那这就是第二小问。 m 的 值等于三分之二，或者负的三分之八。 好，那我们再看第三小问。第三小问说的是有一个抛物线是 y 加零，负的括号 a 加一，平方加六，它关于点 t 零 t 这个坐标中心对称图像为 l 二，当 l 一 与 l 二的图像共有三个双倍比例点时，求 t 的 值。 那这里面涉及到一个很重要的知识点，就是我们一定要知道一个抛物线，关于一点中心对称后的图像，它仍然是一个抛物线，并且形状是相同的，但是开口相放，方向相反，那我们用红笔给它标注出来就是。 好，那我们看它通用的一个市值。假如说我原先的抛物线是 y 等于 a， x 减 h 的 平方加 k， 那 我知道它这个顶点就是 h k， 那 它如果关于一点 m n 对 称后，它的新抛物线是什么样呢？新抛物线呢？它的开口方向相反，所以 a 变成负 a， 那 我们的顶点坐标就会变成 x 减去括号二， m 减去 h 的平方，然后后面变成二 n 减 k， 那 新抛物线的话，就是这个函数。所以我们代入到这道题的这个抛物线当中， l e， 它是 y 三等于负 x 加一的平方加六，我们看我们代入公式当中的话， a 是 等于负一，那 h 它是也等于负一好， k 呢，它是等于六。那当我关于点 t 零， t 中心对称后，那我们知道 这个开口方向相反，负一就变成了一，那对应的这个顶点坐标的话，就应该是二 m 减去 h， 而这里的 m 是 零，所以二 m 减 h 的 话，它就是等于一， 那所对应的二 n 减 k， 这里面的 n 实际上就是这个 t， 所以 它就变成了二 t 减六。那新的抛物线这个式子呢？我们如果用 a 四来表示的话，它就变成 x 减一的平方，加上 二 t 减六。好，他说 l 一 和 l 二图像共有三个双倍比例点，那我们看一下 l 一 的图像共有几个双倍比例点呢？双倍比例点的话，就是 y 坐标的话，是横坐标的二倍，我直接代入进去 二， x 等于负的， x 加一的平方加六，那我就解出来这个式子呢，它是等于 x， c 是 等于负， x 二等于一，说明 l 一 是有两个双倍比例点，分别是 负五和负十，以及一和二。假如这两个比例点的话，我一个是定为 a 点，一个定为 b 点，也就是说 l 一 有两个双倍比例点，那 l 一 与 l 二图像共有三个双倍比例点，那 l 一 已经有两个了，那 l 二它是有几种情况呢？我们可以看 第一种情况很简单，也就是说 l 二它有一个双倍比例点，那我们把这一个双倍比例点的话，我们也是给它代入进去。代入到 l 二的式子当中，它就会变成二。 x 等于 x 减一的平方，加上二 t 减六，我们变一下这个式子，它会变成 x 平方减去四， x 加上二， t 减五等于零，好，那它有一个双倍比例点的话，说明得它是等于零的，那么得它等于个 立方减 c 一 c 好， 它等于零，我带入进去的话，就变成是三十六减八， t 等于零，那我减出 t 是 等于个二分之九， 这是一种情况，那我们看第二种情况是什么呢？第二种情况的话呢，是 l 有 两个值，这是 d 等于零，那当 d 大 于零的时候，它有两个值，这两个值呢？其中一个值呢？要么是与 a 点重合，要么是与 b 点重合，那这个时候它加在一起的话，它也同样会有三个双倍比例变。 然后我们解出来这个式子看一下，首先我得需要满足得它是要大于零的，也就是说我这个得它刚才算出来的是三十六减八， t 我 一定要大于零才能满足。它有两个值，那么解出来 t 的 话是要小于二分之九， 这是前提条件，那我们继续，如果它与 a 点重合的话，我们把 a 点的坐标带入进去，也就是说 x 等于负五的时候，带入到这个式子当中，它就变成了一个二， t 加四十等于零，好，解出来 t 等于负二十，我们看 t 等于负二十，小于二分之九，那这个是满足的，那这是与 a 点重合的情况。那另外一种就是要么与 b 点重合，我们再把 b 点这个式子代入进去，就变成二 t 减八等于零，我解出来这个式子是 t 等于四，我们看 t 等于四，它也小于二分之九，所以说这两个值都是满足条件的，也就是说我综合上面这一个 t 等于二分之九，是说 l 二有一个双倍比例点的时候，那么 l 一 l 加上 ab 两点，就是有三个也满足条件。那在第二种情况的话，当我有两个双倍比例点的时候，那也就是满足我的它要大于零，有两个值，我把其中的一个点要么与 a 中和，要么与 b 中和，分别代入得出来， t 等于负二十和 t 等于四，而他们同时都满足 t 小 于二分之九的这个条件。所以最后就要提 t 的 值，它就等于 二分之九，或 t 等于负二十或 t 等于四，那这个就是第三小问的答案。而我们最主要是要知道的就是当一条抛物线关于一点中心对称后，它的新的抛物线的函数应该是什么样子，这是这一道题几题的关键。

咱们先来说一说函数中的线段，一般在一个函数题中给你线段的条件，或者让你去求一个线段呢？一般会有这么几种情况啊，要么长度有关的，要么线段最值有关的，要么是给你线段的关系让你求坐标啊，诸如此类。 那么不管是哪种线段让你去处理，有一个基本的思路大家要先明确，因为我们面对的是函数中的线段， 那么函数是由什么组成的？函数是不是有点坐标组成的，有点坐标组成的，而你会发现点坐标跟我们的线段也是存在关联的。所以函数中的线段有一个很基本的思路，就是你把它的端点坐标搞出来，然后试着去干啥呢？ 试着去表示线段，这个表示是核心啊，给你函数中的线段，你先尝试能不能表示，这个表示的大方向。有了以后，那么具体在题目中怎么去表示线段呢？那么咱们从易到难说起啊， 坐标系中我们最喜欢的线段长啥样呢？最喜欢的就是那些横平竖直的线段，就是平行于 x 轴、 y 轴的线段。 比如说给你一个线段 a、 b， 或者给你一个线段 c、 d， 看到这样的线段，怎么表示，怎么表示它的长度呢？哎，你会发现，这个横线的长度其实就相当于两个端点的横坐标差啊， x b 减 x a， 那 么竖线的长度呢，就相当于两个端点的纵坐标的差啊，你用上面的减去下面的 y c， 减去 y d， 坐标差，就能表示出横竖线段的长度。那么稍微注意一个小细节就是，有的时候呢，图中给你的这个端点位置呢，是不确定的，比如说这里面，比如 b 或者 a 是 个动点， 那么 b 在 a 的 左边还是右边呢，你就不确定了。所以严谨起见呢，应该给他加上绝对值啊，加上绝对值，这个竖线长度同样如此啊，给他加上绝对值。总之啊，就是看到横竖线段的时候，横竖线段它其实就相当于是坐标的差， 这个坐标差得线段长的过程中，注意绝对值，这是最简单的线段啊。那这种你知道了以后呢？ 我们也知道，不是说所有题都是这么简单的线段，有时候呢，确实会看到斜着的线段，斜着的线段怎么表示呢？比如说，这有一个线段 e、 f， 斜着的线段怎么表示呢？先说简单的，最简单的情况就是你发现斜着的线段，两个端点坐标都很简单，比如说啊，随便举个例子， e 点是个已知点， f 点呢？哎，我们知道他在一个一次函数上运动啊，比如说他的坐标是啥呢？他的坐标是 t， 逗号， t 减五， 我随便来的啊。这你发现两个点的坐标很简单的时候，这个斜线的长度也就很容易表示了，直接带一个两点间距离公式就行了啊，横坐标的叉， t 减 e 的 方， 加上纵坐标的差， t 减五，再减五的平方，利用这个两点间距离公式，我就能表示出这个线段的长度啊。所以比较简单的斜线可以直接上公式， x 一 减 x 二的方，加 y 一 减 y 二的方， 这是坐标系中的斜线。但是啊，我们要知道，有的时候它给你的点坐标会比较复杂， 或者更有甚者，这一两个点的坐标，你是压根搞不出来，斜线的坐标你不好搞，或者搞不出来，那这时候还可以怎么去表示这个斜线呢？我们说还有一种思路，就是你可以把这个斜线转化一下，把这个斜线转化一下。 那我想问一下大家，那你说要转化一条斜线，我们应该有个目标，有个方向，你把斜线转化成什么样的线段， 他就好算了，你会发现我们如果能把斜线转化成横线或者竖线，尤其是竖线，那么这个问题就会简单很多。因为我们刚刚说了，如果是个竖线的话，你直接上减下纵，坐标差就可以表示长度了， 对不对？横线的也会比较简单，但是你完了可以自己试一下横线，竖线都能转化的时候，通常竖线一定会更容易啊，我这就不多解释为啥了， 总之你知道斜线有个转化方向，就是转化成横竖线，最好是竖线，最好是竖线。我来给大家举个例子啊，要转化 我们就简单写了啊，转化竖线我们来举个例子啊，比方说，比方说现在呢，我告诉你，有一个直线 y 等于啥呀？ y 等于负的四分之三， x 加一个六，负的四分之三， x 加一个六，那么这个表达式有了，你就相当于知道了这两条线段是六和八。来，那各位 现在如果给了你这样的一节红色线段，让你去表示，你可以怎么表示呢？我们就可以想着先把它转化成竖线，哎，你会发现这条线段啊，它是很容易找到跟竖线的关系，怎么找呢？ 我们可以先尝试把它放进有竖线的三角形，有竖线的怎么放呢？你就直接过端点，你去做个竖线， 你是不是就把这个斜着的红线放到这个红直角三角形了？这叫做放进有横竖线的三角形，而你只要放进去，你就会发现，哎，原本的这个斜线他跟竖线就产生关系了。 怎么产生的呢？小红和这个大的六八十的三角形它是相似的，所以这个小三角形的边长比就是多少呀，大的六八十，小的呢，是不是就是三比四 比五？那么你要表示的相当于就是个五 a 嘛，那这个五 a 是 不是就可以找到它跟跟这个竖线三 a 的 关系？你五 a 不好表示，三 a 总好表示吧，那这个斜线我就给它转化成横竖线了，大家体会一下这个过程的想法啊， 我看到一个斜着的问号，线段不好表示，斜着的这条线段不好表示，我想要转化，怎么转化呢？我给他做竖线，放到有横竖线的三角形里，放到这样的三角形以后呢，你会发现你很容易就能找到啥呢？相似或者三角函数， 哎，利用这个相似三角函数，哎，我就找到他跟竖线的关联了。所以啊，这里注意这个画斜线为竖线的思路啊，怎么画的呢？放进有竖线的三角形 看相似或者三角函数，这是转化单一线段啊。那么其实我们还可以利用这种放进有横竖线三角形的思路呢，去转化比例啊，转化比例。来，我给大家随便画个例子啊，比如说， 比如说啊，现在呢，有 l 一 l 二两个依次函数，我把这个 l 二画的斜一点啊，不然总以为是个横线，现在呢，有可能会出现一些题，让你求啥呢？它可能会让你去求这里面 a e 和 e b 的 比例啊，它让你求 a e 比 e b， 求 两条斜线的比。那我们知道斜线的话，你直接表示就不好表示啊，最次也得带个公式，所以这时候就有一个想法，是啥呢？我可以把这个斜着的比例转化成横竖线的比例， 转化成横竖线的比例，怎么转呢？跟刚刚一样，你就想着把这个斜线放到有竖线的三角形，怎么放？直接做个竖线就好了，朋友们，直接做个竖线就好了， 比如说你过 b， 直接做个数值的线，得到一个 b m， 你 过 a， 同时也做一个竖线，得到一个 a n， 那 你会发现你就得到啥了， 是不是得到这两个小三角形是一个八字相似，哎，那八字相似里面，我的斜线比就是什么我的 a e 和 e b 的 比就等于啥了，是不是就变成了竖线？ a n 和竖线 b m 的 比 是不是也是通过把斜线放到有竖线的三角形，放到这个三角形以后，哎，我就有办法去转化这个斜线的比例了，所以注意这个放进三角形，通过相似三角函数转化线段的思路。 那到这呢，就给大家把函数中线段的处理思路梳理完了啊，我们最后总结一下啊，以后看到函数中的线段，你要有一个整体思路，就是要用点去表示线，这个表示是关键啊， 要用点去表示这个线怎么表示呢？最简单的是什么？最简单的就是横竖线， 横竖线直接就可以变成坐标的差，这是最容易的。然后再接下来呢，我们还会遇到斜线，斜线最简单的呢，直接带什么就行了？直接带两点间距离公式就行了。两点间距离公式啊，根号下横坐标差的平方 加上纵坐标差的平方好，那如果是带公式不好算， 或者压根就不知道坐标不好表示的线段，该怎么办呢？我们要想到去给他转化，转化最好转化成什么样的线段呀？ 最好给他转化成竖线段，因为竖线段你用咱们坐标差的方式很容易得长度，那么这就是坐标系一种线段处理的基本思路。那么有一个说法叫做画斜为直啊，这个画斜为直就是咱们刚刚说的这个斜线转化。横竖线 斜就是倾斜的线段啊，直就是横平竖直的线，这个 b 就是 大家熟悉的画斜位置。第一题是比较容易的已知抛物线，已知了直线 b c、 p 在 四象线的抛物线上做垂直， 垂足是 d， 跟 bc 交于点 e。 现在呢，他给了这个红线黄线之间的一个比例关系，让我们求 m 的 值， m 就是 点 d 的 横坐标。 你看这个题就是给了一个线段的关系，给了线段的关系，我们的思路就是表示他。那么这里我会讲两种思路啊，一种就是直接干啊，直接硬表示也不难。然后呢，还有一种呢，就是可以把不好表示的斜线 稍微转化一下。先说第一种啊，直接表示，那么我想表示这里面的线段啊，那你会发现我肯定需要有什么呢？需要有点的坐标啊，比如说表示 p e 的 长度，它是竖线。竖线是什么呀？竖线就是上面的 y 减去下面的 y， 所以 我是不是需要有 p e 两个点的纵坐标， 然后接下来 b， e 是 个斜线，那这个斜线的话呢，它可以用两点间距离公式表示，那我是不是同时也需要 b 和 e 的 坐标？就所以你要表示这个线段呢？首先肯定是搞坐标，那这里面 b 已知了 e， p 坐标怎么来呢？我会发现它俩呢？ 什么坐标已经有了？它俩的横坐标是不是跟 d 是 一样的呀？啊，相当于横坐标已经有了， 那纵坐标怎么来呢？是不是直接带到对应的函数表达式就行了？ p 点 x 等于 m， 带进这里面就有了坐标了。 e 点 x 等于 m， 带到依次函数，也就有了坐标了啊。所以这里面很容易得到 pe， 而有了 pe 的 坐标以后，线段长就很好表示了，比如说这条竖线的长度，竖线就是纵坐标的差，上减下啊，二分之一 m 减二， 减去，二分之一 m 方减去。这个式子啊，我不念了，这是 p e 的 表达式，那么整理一下的话， p e 就 可以整理成一个负的二分之一 m 方， 加上一个二 m， 你 把这化简一下，合并一下同类项就有了。这是竖线，很简单，上减下，然后再接下来这个斜线。斜线怎么表示呢？我们说斜线是不是有两点间距离公式，所以呢，我的 b e 也能直接得， 就是根号下横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，这一坨减个零 就是二分之一 m 减二的平方。你会发现我能把线段长表示出来，那么有他俩的关系是， 那我是不是只要把这两个货带入进去就可以解放成了？这是最直白的思路，就是上来以后你就想着直接去表示，反正表的试起来都不复杂啊，你就直接干，这个思路肯定没毛病啊，你 这个往下算就拿到满分了啊，没啥难的。但是呢，我想通过这道题给大家说一下斜线的另一种处理思路。我们说斜线还可以想着去转化，转化成横竖线，那么这里怎么转化呢？ 你会发现竖线 p e 的 长已经不用你纠结了，竖线 p e 的 长已经有了，所以接下来呢，就算需要转化，你也只是要考虑一个 b e。 而我们刚刚说转化这种斜线毕页要放到什么样的三角形呢？是不是要放到这种有横竖线的三角形里？有横竖线的三角形里， 所以呢，我就把它放到这个红直角三角形里想办法。而你只要放进这个三角形了，只要放到这样的三角形了，你会很容易看到有什么关系？这个红直角三角形存在什么关系？它是不是存在一个 a 字相似的关系？ 当然，你也可以认为是啥呢？你也可以认为是红三角形里的 alpha， 同时在蓝色直角三角形里， alpha 的 三角函数。知道了这里 alpha 的 三角函数跟两个三角形相似，效果等价 理解成哪个都行。而你忽然有了这个相似以后，大蓝三角形的边长我是知道的。 哎，那所以呢，根据相似小红三角形的边长比，我也就知道了， 小红三角形肯定也是一比二比根号五，你看二四二倍根号五，一比二比根号五，小红也是一比二比根号五，那斜线占根五份，我就能把它转化成谁？斜线占根五份，是不是就能转化成这个小竖线 d e 的 根五倍了？这个逻辑详细的写出来，就是我通过把 b e 放到这个有横竖线的小三角形，横竖我用首字母 h s 代替了啊，放到这个有横竖线的三角形里，那么我就得到了一组相似， 而借助这组相似，我就得到了 b e 其实就等于根五倍的 d e。 你这个 b e， 这是个斜线对不对？那我是不是把这个斜线就转化成了一条竖线？那这个竖线的表示，那就是直接瞪眼瞪出来的， 是不是就比你直接代公式要简单？好，咱们把它操作完啊。竖线这一节有了，接下来你会发现我得到它是根五 d e 以后带进来，带进来会发现就得到了 p e 等于二分之五倍的 d e。 你把根五 d e 带到 b e 里面， p e 就 等于二分之五 d e， p e 是 有的，你再表示个 d e 就 行了，那 d e 的 长度都不用费心想 d 点纵坐标减去一点纵坐标，直接等于二减二分之一 m， 二减二分之一 m 啊。所以这时候方程就得出来了， p e 等于二分之五 d e， p e 是 啥呀？这个式子负的二分之一 m 方加二 m d e 呢？二减二分之一 m， 这不比刚刚那个方程看着舒服吗？你就解这个方程就行了，这就是个一元二次方程啊。这个一元二次方程呢？你可以把它化成一般式以后可以解出一个二分之五，一个四解出二分之五四。 那么注意干啥？注意取舍吗？你算出来地点的横左边是四，那不就跟 b 重合了， b 重合了，那 b e、 e、 p 都不存在了，这个比例关系也就不成立了。所以把四舍掉，最后就一个答案 好了。这是这个题的处理思路啊。其实这就是最简单的函数中的线段题，他给了你一个很明确的线段关系，你只要想着去表示就解决了。 只不过咱们讲了两种表示方式，一种是直接代公式去表示斜线 b e， 用两点间距离公式。还有一种呢，就是刚刚这一套操作， 相当于是通过化协为值，把不好表示的斜线 b e 转化成了很容易表示的竖线 b e 简化的问题。那么在这道题中呢，你可能还觉得这个转化的意义不会特别大，因为它节约计算量，节约的也很有限啊。但是注意，在一些比较复杂的题中， 你会发现，那个斜线表示起来就会很麻烦，甚至就表示不了。那么这时候这个化邪为直的思路就非常重要了。这道题的题目我给大家简单说一下，还是已知了一个抛物线，然后呢，在 y 轴上找了一个零三的点 d， 把负四零和点 d 一 连呢，做出来个 a f 直线表达式，我也送你了。现在呢，他说这个点 p 在 线段 a o 上动，做了个竖线， 抛物线交于了 q， 直线交于了 e， 然后他搁这做了个什么呢？他搁这做了个 q e q f 相等的等腰三角形， 做了个 q e q f 相等的等腰三角形。现在呢，问我们这个等腰三角形周长的最大值，那么你看到求一个周长的最大值啊。所以呢，你还是回归函数题的基本思路， 函数题里面，不管是求啥最值，你的想法都是先去表示它，去表示它，那么你会发现这个三角形呢，它其实就是圈圈叉三条边的和，这个周长就是三条边的和吗？而这三条边里面， 我们会发现， q e 等于 q f， 其实相当于就是一条竖线， q e 竖线是很容易表示的，对吧？所以呢，这里面 q e 没啥难度，相当于 q f 也就有了 两倍 q e。 然后接下来呢，关键在于谁呢？关键在于这个斜线 ef， 竖线没压力斜线， 我们需要想明白怎么表示，而抢这个斜线的时候呢，你会发现，哎，这个斜线呢，一种想法就是看他的 两点坐标，直接带这个两点间距离公式，那你后面这时候呢，一点坐标，一点坐标呢？你可以设，因为他跟 p q 两个点的横坐标是一样的啊， 所以一点呢，本身就得设，他好说，但是你会发现这个 f 点 f 点，那你就不得不另外搞一个 坐标了，另外设一个坐标，那你说你 e f 两个坐标设出来的线段，那表示出来也没有意义，未知数太多了，所以这就是咱们说的那种不好表示的斜线，那这时候的想法是啥呢？ 不好表示的斜线，那你就要转化它嘛，对不对？所以接下来的想法是转化我的 e f， 最好转化成什么呢？最好给它转化成竖线。怎么转化？你要转化你就要找关系，那你首先得把它放到一个三角形里去， 而且最好是什么样的三角形，有横竖线的嘛，对吧？那这时候选择就非常的明确了， 你说你要转化 e f， 肯定在哪个三角形里玩？他正正好好就在一个很特殊的还有竖线的三角形里嘛，所以肯定在这个绿三角形里玩，而他的绿三角形，他又是等腰三角形的底边。 等腰三角形的底边，各位想到了什么？等腰三角形的底边，那我们是不是可以想着做三线合一啊？这是等腰的基本处理思路嘛。好，做个三线合一， 做完了以后，哎，你就变成了需要转化两个小勾线段了。好了，那小勾线段怎么转嘞？小勾就在这样的一个直角三角形里，这个直角三角形能看出什么特征？你会发现它里面的角呀， 是容易倒的，而阿尔法跟这个角是互余的，阿尔法跟这个角显然也互余，所以这两个角是贝塔。 好了，看出啥了？有没有发现咱们的这个小红三角形啊？他又跟一个已知的直角三角形相似了呀？ 是不是 b 点坐标知道， a 点坐标知道，这个蓝三角形就是一个三四五的直角三角形，哎，我的小红跟小蓝又相似了，他俩相似了以后，小红的边长比是不是也是三比四比五呀？ 对不对？也是三比四比五。哎，那这时候呢？这个比例关系如果不好想的话，我可以设一下，就是三 a、 四 a 和五 a， 这边是三四五等腰三角形嘛，那这边是不是就是五 a？ 这边是不是也是三 a？ 我 就用这个 a 把所有的边都表示出来了。那各位，你说这时候我能不能让 e f 转化成竖线呀？你发现 e f 的 长度是六 a， 这个六 a 跟我的竖线五 a 是 同一个字母呀，所以斜线跟竖线的关系找到了就能转化了，写出来就是你会发现周长它就相当于是二乘五 a 加了六 a 等于十六 a， 我的不好转化的 ef 跟我的 q e 都用 a 表示出来了，那我现在想要求周长的最大值，那我是不是就是求 a 的 最大值， 求 a 的 最大值，那你看看这里面哪个 a 的 最大值最好求呢？那我们会发现这里面竖线 q e 就是 五个 a， 竖线的长度最好表示最值最好求， 所以我就把 e f 相当于转化成了我的 q e 去搞定 q e 问题就结束了。又是放三角形画斜位置，不过这次因为放的是一个等腰三角形， 所以多了一步三线合一，其实就是做了个三线合一，找到个相似，那么这个等腰三角形的边长比就可以得到了。有了边长比，那你发现求周长就变成了求 a 的 最小值， 那 a 里面最简单的是 q e， 所以 你求 q e 就 ok 了，就是这么个逻辑啊，那么咱们把它写清楚点，其实就是周长十六 a， q e 等于 五 a， 我 只要去求出 q e 的 最大值就可以了。那这就进入一个新的问题了啊，转化完了以后，求 q e 的 最大值来 q e 的 最大值，大家会不会求求这颗竖线的最大值？竖线，那我就表示它嘛， 那 e 点 q 点的坐标就得到了， e 点的坐标也就得到了 坐标。有了以后， q e 的 长度是不是就能算出来，是不是就是纵坐标的差上减下？ 所以呢，写一下负的二分之一 t 方减 t 再加四，减去啥呢？减去这个四分之三 t 再加上一个三， 这个线段你表示出来就是负的二分之一， t 方减了一个四分之七， t 再加一，它的线段表达式就长这样。那我要求 q e 的 最大值。先不要管这个答案啊，我要求 q e 的 最大值，那不就是求这个式子的最大值吗？ 各位，这个式子咋求最大值？ q e 是 一个关于 t 的 啥呀？二次式怎么求它的最大值？配方呗，对不对？你给他配方呗。配完方了以后，你会发现，当 t 等于负的四分之七的时候，我的 q e 最大值就是三十二分之八十一。配方求最值 这块就很简单啊，一看到是竖线求最值，设坐标表示长度，表示完了，通常是个二次式，二次式配方求最值就解决了。那这个求完了，我相当于是得到了五 a 的 最大值 等于一个三十二分之八十一。那各位， a 的 最大值是不是就有了 a 的 最大值？你把五除过来，是不是一百六分之八十一带进去，周长最大值十分之八十一就搞定了。讲完了啊，总结一下就是两个环节，第一个环节，发现这个三角形的周长有一个斜线，不好表示， 所以呢，咱们想到了通过做三线合一，倒角得相似化斜位置啊，倒角得相似化斜位置。所以第一步的关键在于化斜为值的这个转化。而第二步呢，转变成了求一个 q e 的 最值。 q e 的 最值就简单了， 直接设坐标表示就行了，表示完了以后就是一个关于 t 的 二次式，二次式求最值配方就完事。 那么通过这两道题，就带大家感受了一下线段的基本处理思路啊。最后呢，我们再强调一下，你在坐标系中只要看到线段，不管是长度最直还是线段的关系式， 我们都要想到干什么？基本思路就是用点坐标去表示，他可以怎么表示呢？最简单的就是横竖线段直接坐标差，然后再接下来呢，稍微麻烦一点的就是斜线，那么斜线第一反应会想什么呀？ 第一反应会想到用公式，两点间距离公式，如果用它能直接秒也很快乐，但是如果直接秒不了，那这时候就要想着干啥呢？想着去转化，最好是转化为什么？最好是转化为 竖线，这里怎么转化的？注意一下这个思路啊，我们每次想要转化一条斜线，都是先把它放到什么样的三角形，是不是把这个斜线放进有横竖线的 三角形？有横竖线的三角形，最简单的情况就是直接有，比如刚刚做的两道题，都是直接能看到有横竖线的三角形，难一点的，你就得自己主动去做竖线啊，主动去 做竖线，一般做竖线啊，其实做横线理论上也可以啊，一般做竖线会简单一些，主动做竖线，你就能通过 三角函数和相似化切为零了。我们有时候会在函数题中看到已知了一个三角形四边形的面积，或者已知了两个图形的面积关系，或者让你求一个面积的最值，甭管是哪种情况，这些面积的题基本的思路就是一句话，把 面积转化成线段，你要想办法把面积的问题转化成线段的问题， 那么接下来就能用刚刚的思路设坐标表示线段来解决了，这是大方向，面积要转化成线段，那么怎么去转化呢？ s 转化，线段怎么转化呢？通常是两大类思路。 第一类思路呢，就是直接代公式，代公式，比如说，哎，有的面积我直接二分之一底层高，二分之一底层高就变成线段的关系式了。然后呢，再比如说，有的面积底层高不好用啊，比如说三边都斜的面积。 三角形三边都斜。有一个公式叫啥？是不是三角形面积等于二分之一，乘以水平宽， 乘以千锤高。这是第一种思路，就是你看到一个面积，你看能不能用底层高 把它表示出来，能不能用水平宽千锤高把它表示出来。表示完了，面积的条件就变成线段的条件了，你就能用前面的你已经熟悉的思路去解决了。 这是第一种思路，咱们今天就不讲了。为啥呢？因为二分之一底层高，这对大家而言毫无难点。 而第二个呢，你知道这个公式就非常 easy， 你 不知道公式的话，我得搁这讲半个小时。公式怎么推的，我觉得就太浪费时间了。 如果你不知道这个公式，如果知道就罢了。如果你不知道是这啊，不知道这个公式，你到马哥主页，你到他的主页搜一个视频，他有一个 函数的六讲六练，就在他首页，你往下翻一翻也找到了啊。或者搜一下函数六讲六练， 他这个六讲六练里面第一个题讲的就是水平关千锤高的，你到他主页去看那个视频就会了，我这就不再去重新讲了啊。这种思路是比较直白的，面积代公式一表示转化成线段再去处理就行了。接下来第二种思路呢？ 第二种思路就是借助面积的转化，借助面积的转化，把面积直接变成线段的关系，把面积的关系直接变成线段的关系啊，来这块呢，我给大家展开说一下啊， 怎么转化呢？面积转化有哪些方式？朋友们来一块看啊，其实大家很熟啊，有三种思路，第一种， 你看到这样的 s 一 和 s 二来，那我请问你，求 s 一 比 s 二可以转化为求什么？ 你发现这两个 s 一 s 二呢？高是相同的，同高三角形底边比等于面积比，所以 s 一 比 s 二就等于 bc 比 cd。 这是面积转化的第一种思路啊，面积比等于底边比。然后接下来第二种啊， 比方说，我现在告诉你说，这个蓝三角形和这个红三角形底相同，面积相等，这两个三角形底相同，面积相等。各位要想到什么， a、 b、 c、 d 底相同，面积相等，是不是就可以得到直线 bc 和直线 a、 d 是 平行线，这个其实是大家小时候学过的拉窗帘对不对？ 因为平行线的存在，两个三角形高是相等的，底又相同，所以面积相等，反过来已知了三角形面积相等啊， s 三角形 abc 等于 s 三角形 dbc。 那么由这个等面积，我就可以推出啥呀？可以推出这个图中存在平行线，这个是利用平行线的等面积关系，然后呢，这里要注意啊，这个二呢，它有一个变形。 各位，如果我告诉你 s 一 等于 s 二，你能得什么？写错了啊，平行 a、 d 平行 bc， 抱歉啊，如果我告诉你 s 一 等于 s 二，你能得到啥呢？来注意啊， 这个 s 一 等于 s 二，同样可以得到平行线，同样可以得到平行线，这个是咋得的呢？其实就是让 s 一 s 二 都补个 s 三， s 一 加 s 三也就等于了 s 二加 s 三，那你会发现这幅图就变成了跟前面这幅图一码事了。告诉你， s 一 等于 s 二，你一连就变成了一加三等于二加三，这两块面积加起来也相等， 所以呢，跟前面一样的道理就能正出平行线，这个就是大家小时候学过的蝴蝶等面积啊， 蝴蝶等面积，那这里一定要注意这个蝴蝶等面积，蝴蝶等面积其实就是平行线的变形啊，所以注意这样的等面积也能得平行。那这些呢，是相对而言，大家可能课本里面没有直接提过的啊，这两个是课本里面没有直说， 但是很容易自己悟到的。然后呢，最后还有一个就是课本里直接提过的，如果看到相似三角形面积比相当于什么的比，相似三角形面积比相当于啥？相似比的平方，对吧？所以呢，还有一种呢，就是相似三角形，我写在这个角落啊， 那么这三个就是咱们转化面积的常见思路，以后转化面积你就想底边比面积比，想平行线等面积以及蝴蝶等面积，还有一个呢，就是相似，各位一起来瞅一下啊。抛物线已知依次函数已知 d 在 异象线抛物线上动，那你会发现 d 动的过程中你的一点肯定也在动，然后呢，动着动着给了两个面积求面积比的最大值。首先我们知道看到面积基本思路是什么？你的面积你得转化成什么问题？ 面积要转化成线段问题，那这里呢，又是一个面积的比例，面积比例很自然，想到了啥，要么相似，要么底边比。面积比嘛，那这就太明显了， s 一 s 二， 它的 a e 和 d e 边共线啊。然后呢，你会发现这些边上的高呢，就是相同的同高三角形，底边比，面积比。 所以呢，我直接就把面积比转化成 d e 和 a e 的 比了。这是这个题的第一步，底边比等于面积比，直接把面积转化成了线段。而转化成线段以后呢，我会发现，我要处理的是两条斜线的比例，斜线的比例是不是不好处理啊？ 所以这时候要想着怎么转化呢？这时候是不是要想着把斜线转化成横竖线？ 横竖线我就好处理了。那咱们刚刚讲半天了，斜线怎么画横竖线我给他放到有竖线的三角形里吗？横线也行啊，横线稍微麻烦一点，所以尽量画做有竖线的三角形。 怎么做呢？那就很简单了，我过 d， 我 做个竖线，那么圈线段是不是就进了有竖线的三角形了？同时，我过 a 也做个竖线，那会发现叉线段也进入有竖线的三角形。 所以啊，直接做竖线，把两个斜线放进去，哎，我就得到这两个三角形。 而各位，这两个三角形是什么关系啊？因为都做的是竖线，是平行的，所以直接八字相似，八字相似，哎，我的圈比差， 是不是就转化成了 dm 和 a n 的 比，转化成了竖线的比？好，这是这个题的两步核心转化。咱们稍微停顿一下啊。第一步，面积转线段怎么转的？这里是不是用到了咱们的写完整一点吧。 同高三角形，面积比等于底边比，我把两个 s 一 s 二的比就变成了圈比差了，而圈比差是斜线，那么你会发现斜线不好处理，我要想着给它转化成谁呀？转化成横竖线，就咱们说的画斜为直， 怎么转呢？直接往有横竖线的三角形里放啊，或者再说的直白点，直接做竖线 给他放三角形里，做竖线过 d， 做竖线过 a， 做竖线放三角形里。那你发现你放到三角形呢，其实就得到了一个八字相似。哎，那这时候我就利用相似 把斜线笔转化成竖线的笔了。这是咱们的第二步转化，转化成两个竖线以后，竖线就好办了。怎么办？竖线我就看他的坐标就好了嘛，坐标上减下就行了。那你发现左边的 a n， a 点横坐标，知道 n 点横坐标就也是负一，那么 n 点坐标整个就能算出来负一带进去，整个横坐标纵坐标就都有了。那这时候你发现这条线段的长度等于二分之五就有了。 而各位，这个二分之五一出，你往进一带二分之五分母上是二分之五，那你发现这个比值是不是直接变成五分之二 dm 了？ 各位，那你说你想要求一个面积比的最大值，它一通转化呢？已经转化成这么个式子了，那我求谁的最大值就行了。那我是不是只要求我的 dm 的 最大值就行了？所以接下来 你就去求 dm 最大值，求 dm 最大值是不是就跟上一问一样了？求 dm 的 最大值，射坐标表示 dm 的 长就结束了吗？ 接下来呢，展示一下计算啊。 dm d 点坐标，一设 m 点坐标就有了，那么接下来表示长度就是纵坐标做叉，纵坐标做叉，叉完了就得到了 dm 的 表达式长这样。然后呢，怎么求它的最值配方呗。 那么这时候你会发现，当 t 等于二的时候， dm 就 取到了最大值。二， dm 取最大值的时候，面积比也取最大值吗？所以二带进来四比五比值最大值有了， 你地点的横坐标二也有了。好了，这就是这个题啊，这个题最后的计算其实就是一个配方，求最值没啥啊，关键在于前面这一页我们还是倒回到前面这一页啊。 关键在于它的前两步转化，第一步，同高三角形底边比面积比。第二步，斜线，斜线想到了做竖线，放到三角形里画斜位置，那利用这个八字相似，斜线笔直接变成竖线笔，那有一个竖线直接是已知的， 所以接下来求个 dm 的 最大值就完事了。来，我简单的说一遍啊，整个思路其实很简单啊，就是一上来看到求面积比的最大值，面积你是不是要给它转化成线段？ 面积你要转化成线段，看到啥呢？这是面积比等于底边比，因为这个 s 一 s 二正好是两个同高三角形的面积，所以它俩的比就等于了图中的 d 比上 ea 等于了 d， e 比上 e a 转化成线段笔以后呢，线段呢？我们的思路就跟前面是一样的啊，横竖线你就直接表示斜线， 斜线看看能带公式不，公式不好带就划斜为止。那这里怎么划斜为止呢？你要划斜为止就是要找线的关系嘛。找关系，那你是不是得先把它往三角形里放，然后呢，你又希望找到的是横竖线的关系， 所以呢，这时候你做的线就应该是横竖线。那当然了，有小伙伴说做横线也能得八字没问题， 但是函数体里竖线通常会更好表示，所以呢，我们选择了过 d 做个竖线，过 a 也做个竖线，就构造出一个八字相似。 八字相似，就帮你把斜着的圈比叉转化成了竖线。 dm 和竖线， a n 的 比竖线就比斜线，好处理嘛，所以这是第二步画斜位置。而画斜位置完了以后呢，你会发现，你肯定要表示这两条横竖线的长度吧。 那你会发现，左边这个 a n， a 点已知 n 点坐标直接算了，所以 a n 的 长度是知道的。那这时候它俩的比是不是就变成了 dm 比了个二分之五？ 所以我求这个比例的最大值就是求 dm 的 最大值，而 dm 的 最大值怎么求呢？ dm 最大值，这就是二次函数里面最基本的图形问题了。竖线求最值，你就设坐标表示竖线的长度。设个地点的横坐标是 t， 带到表达式里坐标有了，嗯，那 d 点和 m 点是竖线，竖线横坐标一样，所以 m 的 横坐标也是 t， 带到依次函数里， m 的 坐标也有了，两个点的坐标都有了， 纵坐标作差。上减下，这个线段的长度就能表示出来。这两个式子相减嘛，二和二直接减没了二分之三， t 减去负二分之一， t 就是 变成了个正二 t 了嘛，所以表示出来就是右边这个式子，就是上减下算出来的， 减完了以后，这个式子求最值。你把它看作一个二次函数就好了呀， 它相当于是一个关于 t 的 二函数， dm 是 一个关于 t 的 二函数， 所以呢，你求它的顶点坐标就完了啊？怎么求顶点坐标？其实还是配方对吧？所以呢，看到二次式想配方就完了。配方当 t 等于二的时候，前面这坨取零了， dm 就 取得最大值二了。 你求 dm 最大值是二，你求它俩比值的最大值，那不就是五分之四吗？来，咱们看一下这道题，这道题的条件很简单啊，图也很简单，各位，只是我觉得函数题里这种考法比较少，所以带大家看一下啊。同样是已知一个二次函数，已知了 b、 c、 d 点的坐标， 现在呢， p 在 四象线的抛物线上，它搁这一通连线连出来，这两个面积相等，让你求 p 的 坐标。来我们看啊，题目呢，其实就相当于是给了我们这样的一组面积关系啊，我随手画一下，我把它摘出来啊， 他给了你 s 一 等于 s 二点，我用他的 d、 c、 b、 p 啊，告诉你，这样的两个面积相等， 这是咱们刚刚说的什么面积？这是不是就是那个蝴蝶等面积？看到这个蝴蝶等面积，要想到能得啥呢？蝴蝶等面积要想到可以得平行，怎么得嘞？你只要把这里面 d、 b、 c、 p 连起来， 哎，你会发现，因为 s 一 等于 s 二，所以 s 一 加 s 三， s 一 加 s 三这个蓝三角形的面积和 s 二加 s 三 这个绿三角形的面积。蓝三角形、绿三角形面积相等，底又相同，所以高相等 证出了这两条线是平行线，所以看到蝴蝶等面积注意得平行。你这个只要知道这个平行，这题就结束了。我连 d b 连 c p， 哎，我就可以证出这是平行线。证出这是平行线以后呢？坐标系中的平行想什么？直线平行想什么？坐标系里面直线平行，你是不是想 k 相等，想 k 相等来，那你会发现 b、 d 的 表达式能求呀？ b、 d 表达式是不是可以很容易求出来？是三分之一 x 减一，所以它的 k 就是 三分之一平行 k 相等，所以呢，我就得到了 k， c p 也是三分之一 k， c p 是 三分之一 k， 知道了 y 轴交点，这不就是 b 吗？所以 c p 的 表达式是不是有了 c p 的 表达式就是啥呀？ 三分之一 x 减三， k 是 三分之一，它的 k 也是三分之一， b 是 负三啊，所以呢， y 等于三分之一 x 减三。好了，只要 cp 的 表达式出来了， 我想要求 p 点的坐标怎么求？ p 点不就是 cp 直线和抛物线的交点吗？ 焦点连立就完事了。连立就是 y 等于 y， 表达式等于表达式嘛，解一下屁子作边就搞定了，最后算出来是个三分之七。这这个题的核心就是给你一个面积关系，你把它转化成了两条直线的平行关系， 也是面积转化成了线段关系。来，各位总结一下今天讲的线段怎么处理？表示它 表示，它实在是不好表示，那你就化写为直了再表示， 直接表示，化写为直了再表示啊，就这么个基本思路，然后再接下来。面积呢？函数中的面积啊，前面这些函数中的几个字不写了啊，但是避免出现误会啊，写个这样的形式， 函数中的面积怎么处理呢？函数中的面积转化成线段问题，转化为线段问题啊，转化的方式，第一，公式 第二，直接面积转化。这个面积转化指的就是平行线底边笔相似啊。各位，细节，咱们今天讲课涉及到的哪些细节？ 所谓细节就是除了主线剩下的重要思路。方法，首先等腰三角形注意做什么？做三线合一啊，我剪写成三一， 蝴蝶等面积。主要说一说怎么画斜为直啊，我觉得这个细节比较重要，画斜为直是主线，是大方向。但是具体怎么画呢？我们通常会把那个斜线 放到有横竖线的三角形，甚至更直接一点啊，有时候你直接去做横竖线就好了。 再说一个，看到二次式求最值想干啥？二次式求最值，你想到配方吗？好了啊，大概就这些吧，没啥问题，打六。

大家好，今天上午刚刚考完的沈阳初三二模数学哈，我是刘德老师带大家一起看一下这套卷啊，这套卷的话和大连这个一模哈，有一点点相似之处，就是什么，它的这个二十二题是二次函数，二十三题是什么？几何哈， 然后其余的题，我觉得整体的卷的难度还是不错的哈，还是可以的。让我们来一起看一下前面题就比较正常哈，我把这张卷做了一下， 我们来看一下这个第呃，十五题哈，从第十五题我挑一些题讲，大家可以自己划这个进度条啊。十五题的话，这个是一个什么？ 是一个四边形， a， b， c， d， 哎，角 a， b， c 等于九十度，然后 b， c 是 大于 a、 d 的， 然后他在做什么？他这个什么做出来，做的是角，平分线，加角相等又平行，平行加角平分线就会出现，什么就会出现等腰哈， 哎，然后这两个平行，这两个三角形是相似的啊，这是四，这是二，这是三，这是二分之三。勾股定力三四五，这个就能知道它是二分之五，总长就知道。这有两种方法，第一种看见等到三角形，我可以怎么办？我可以做垂直， 对不对？哎，做垂直那总长是五加二分之五，是不是二分之十五？哎，你一半是不是二，二分之十五，再除以二四分之十五。在这个三角形里面，你这个角和这个小的里边是不是都是一样的？三四五吗？ 他这个点点对应的边就是四，哎，这就是三，这就是五分，那你就可以是他除以三乘以五，哎，这是第一种方法啊。 第二种方法的话，我可以用勾股定律，我可以过点 a 往下做垂直，对不对？我就设这个长是 x， 那 这个长是不是也是 x？ 这个是三，这是二分之三，这是不是二分之九？所以说这小段就是 x 减二分之九，在这里面用个勾股定律，它方等于它方，加它方就可以把 x 解出来了哈，这个也可以哎，四分之二十五，哈，这是第十五题。 然后，哎，这个十七题考了一个我觉得还不错的啊，考了一个什么，哎，分式方程的应用应用啊，这里边你解完之后一定要什么？一定要检验，哎，很多同学总也想不起来检验啊，一定要检验啊。 然后十八题考了一个这个三角函数啊，我们一模没有考三角函数，他考了个三角函数，这个的话就正常做规范书写，还要再约哈。然后十九题，这个也比较常规一些啊。 然后二十题，哎，二十题的话就正常做就行了。他求周长的最小值，哎，我们以前求周长的最小值，经常会用到什么长度最小值，或者周长最大值，或者什么最大值，一般都是二次求最值，问题对不对？哎，这道题里边其实 出了一个什么，出了一个一次函数求对式周长。你通过把直线解式表示出来，直线解式表示出来， d 点就不要设出来，然后 d 和 e 等高，说明它的弯相同，把它的横度要设出来，把 d 长度表示出来，把 d 这长度表示出来，它还加一起乘以二，就是它的周长，哎，你算到最后你会发现它是一个关于 n 的 一次函数， 关于 n 的 一次函数的话，如果它前面系数是大一点呢，是 y x s 增大而增大，哎，然后 y x s 增大而减小，如果是系数要小一点，你看这块是二啊，对不对？而 n 给了范围， n 是 不是大一点，负一，小一点一的，所以这里边那就是 c 随 n 的 增大而增大，他让你求最小值，那我就把负一带回去，所以周长是六哈，然后二十一题，哎，这道题的话，嗯， 跟我们以前烤那块一样，这种切线不太一样哈，和我们那个，你看他给的弧长相等，哎，那弧等是不能推相对在同圆或等圆中相等的弧能推圆周角相等，那直接是不是内侧角相等，这两条直线就平行了？ 而第二个，哎，这道题我觉得出的也还不错哈，也不是很难。现在这个圆哈，好像都没有像以前出的那么特别难了啊。他说这个 d c 弧和这个 c g 弧相等，那你可以把它连上，那同弧所对的什么是相等的呀？ 哎，同时对的。首先圆周角是相等的，对不对？这俩圆周角相等，那这块是直角，是不是说明它是等腰直啊？你一连上这个 o 又是中点，这块是不是直角？这是四十五，这是四十五，两根之间平行，这是不是四十五？这块是九十。其实你只需要求出它是四十五就可以了， 因为他让你求的是什么？哎，求的是 bc 弧啊，那是不是要求它求的圆心角是多少度？那我要求半径啊。这个长是什么？根号二，这是垂直，垂直，垂直，这是不是矩形了？那这个就是根号二，这个是不是应该是个等腰直 o h c 啊？那这个就是二弧长公式一百八十分之 n pi r 就 可以了哈，求出来是二分之 pi。 然后我们来二十二题，二十三题，呃，稍微详细的讲一讲啊。二十二题，第一个问，正常把两点带进去，就可以求出它的紧式哈，一定要紧式，要求准确，求完之后一定要把这个点再带回去，看他成不成立哈，这要成立才行，你这紧式都求的是错的，后面全错了哈。 然后第二个他说什么？如图一啊，这个点 p 是 它上一个点哎，点 p 在 外面右边，然后 e 是 它的什么终点呢？ e 是 不是它的对称轴，对称轴是不是直线 x 等于一啊？ 哎，那这里边的话，这个是负三到零，这是它。如果我能知道终点公式，可以直接用哈。嗯，但是我们也可以用全的，或者用相似来正一下啊。 你看这个一点的横坐标是一，哎，这是负三的零，是不是他俩的横坐标加一起除以二就是一点的横坐标，他俩的纵坐标加一起除以二就是一点的纵坐标吧，对不对？你只需要知道它的对称轴是一，那是不是 t 减三，然后你再除以二，就应该等于一吧，你就能解出来 t 等于几？ t 等于五啊， t 等于五，把它带过去，你的 p 点的纵坐标是不是就可求了？如果不用中点坐标公式的话，你可以用全等来求，你也可以用相似来求，怎么求都行啊。 这是框二，框二也还可以，框三是稍微费点劲的啊。我们来看一下框三，读一下题，他说将二次函数它的图像沿着射线来，你要把射线圈上啊， b c 的 方向平移，平移后的二次函数图像与 x 轴的两个交点中， 右边这个点是 f， 按连接 a c， c， f 射平以后到二次函数，它的对称轴为直线， x 等于 m， 当你 f 不 与它重合的时候，这也是要画重点，这肯定是有范围要求的，对不对？说这个三角形的面积小于二分之三，让你直接写出 m 的 平方， a 直接写出， 就喜欢直接写出，不用有过程，对不对？哎，那来看一下你第一个二次函数的解析，知道你另外等于零，是不是可以把 a 点 b 点的坐标解出来了？ a 点的坐标你解出来应该是什么？负一到零，哎， b 点的坐标解出来是多少？三到零啊，对不对？那对式中也知道 c 点坐标是不是也可以求出来 c 点是不是就令 x 为零，你就能解出来它应该是多少？零到负的二分之三？哈， a 点 c 点知道 afc， 那 这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个是多少？ af 是 不是就是二分之三？ 哎，二分之三，二分之三约掉，说明 a f 就 要小于二，且你这个 f 和 a 不 重合， a f 是 不是不等于零了？他 不等于零，哎，那 a 点的坐标是负一到零，那他俩之间的距离你可以加个绝对值的，是不就说明你可以射，是不是 x f 减去负一就是加上一，他是不是小于二？绝对值小于二是不是说明他在负二到二之间？哎，你再加再减去这个一，是不是在负三和这个一之间？ 哎，可以的哈。所以你最后就能解出来什么，我的 f 点的横坐标是在负三到一，且不等于负一，那这三个是不是都是借点？ 负三是借点，一是借点，负一是借点。那我们就把这个抛物线移动后的这个抛物线解释给它搞出来，是不是就可以了？哎，然后你把这借点带出去，带回去是不是能求出那个小 m 了？哎，那我们来看一下怎么去求？你不是沿着它往左边移吗？对不对？哎，你去看啊，这条直线， 这条直线这个点的坐标是 o， 哈，这个点是那个 c， 你 看你这个是 b， ob 长是不是应该是三， oc 长是不是应该是二分之三？说明这个小角的弹性值是不是一比二？哎，然后你往下平移啊，它零点坐标是不是也相当于是沿着这条直线方向进行平移？ 它的角是不是应该都是一样的？你看这个小角啊，应该是一样的。那往左移这块，假设这块给个什么呢？给个 p q 吧，这个顶点就当没给啊。假设这是 p， 这是 q， 哎， p q 之间的长度 是不就应该是从一到 m， 因为他说往左移，哎，那一到 m 移动多少？是不是一减 m 的 单位长度？ 然后这不弹性的值不是一比二吗？那说明这个也就是 ph， 这个 h 是 新的抛物线的顶点坐标，哦，那 ph 长是不是二分之一， 二分之一减 m 长，哎，那这个 h 点的坐标横坐标是 m， 纵坐标是不是在负二的基础上再往下走二分之一减 m， 你 就用它减去它，是不是就可以求出来了？哎，就会发现它是二分之 m 减五，那这个抛物线的解释我就可以大概给它写出来喽，就长成这样， 然后我就把那几个界点带进去哈，把一到零带进去解出来，还有两个。把负三到零带进去，你解出来也有两个，那你说我要哪个？哎，正常情况下，你想啊，过这个一到零是不是左边有一个，右边有一个，你是往左滑呀， 对不对？你是不是沿着射线往左边走嘛，对不对？所以他一定要取得那个负的两个负的那个哈， 然后你要再把那个负一到零给我带进去，就不等的那个点，你带完之后，一个是 m 不 等于负四，一个是 m 等于负四，一个是 m 等于一，哎，一就是最原始的那个，那一定是要把这个扣掉，把负四这个扣掉哈， 所以说你去看他俩谁大谁小，哎，肯定是从最小的到最大的，然后把这个负四扣掉，你看负四在不在这里边，在这里边就给他扣掉，哎，这个就是二十二题，二十四题啊， 这个题我觉得出的也挺好的啊，前两个相对来说简单，第三个呢，还是有一定难度的啊，尤其是求这个，第一步你要先会求平移之后这个抛物线，哎，它的解析你要通过顶点来求它的开口大小没有变，所以说它的那个 a 二分之一是没有变的啊， 这是二十二题哎，我们来看一下二十三题。注意到题啊，这是一道几何题啊，这道几何题我觉得出的也还挺好的啊， 也不是那么特别特别难。括号三的圈二是有一定难度的啊，第一个问正常倒角就行了， 哎，记住哈，这个几何题哈，他都是给你，就是给你搭梯子。第一个问求出来的肯定第二个问有用，第二个问求出来一般可能第三个问有用，对不对？你要一点点的，他如果直接让你求这个，那可能稍微有点费劲，对不对？那我们来看一下这里边，嗯，给了说他俩 是那个互补，对不对？这俩又相等，那我就是阿尔法，阿尔法，这是一百八十减二阿尔法，这是不是阿尔法？给它翻折过来，这是不是阿尔法？哎，这三个蓝色的边都相等啊，那你看这个是阿尔法呀，这是不是也阿尔法？哎，那他俩加在一起是不是一百八十减阿尔法，他俩加一起是不是也是一百八十减？阿尔法？ 哎，同角和五角相等，这俩角是不相等，所以说括号一是不就出来了？那这两个角相等在之后的题中都可以应用了啊。那我们来看一下括号二，括号二，他说角 abc， 这个角是九十度， 他如果是九十度，互补吗？这个角是不是九十度了？哎，旁边这角就是九十度了，这俩又相等，说明这小的是等腰值，等腰值，这个大的是不是也是等腰值啊？也就是我的 c a， c f 是 不是应该是相等的？哎，可以的。然后他现在想让你求证， bc 等于 b e bc 啊， bg 等于 b e， 这是 bg， 这是 b e 啊。这块你知道是直角了，你想证明它俩相等，是不是证明有一个角是四十五度就行了，就能证出来它是等腰直了啊？哎，那我去观察这里怎么看？我看到刚才这个 acf 是 等腰直，我可能就会想到什么， 想到一线三垂直，哎，因为这块是直角，这块也是直角啊，我就不点 f 往下做垂线交 bc 的 延长线，一点 h， 你 就会发现这个三角形和这个三角形它俩是全等的， 它俩一乘等的话，你看这个绿色的边和这个绿色边相等，本身它告诉你了 a、 b 和 e 是 相等的，哎，它等于它。那剩下那俩小段是不是相等了？这一段和这一段是不是相等了？这俩算成乘等，我这 bc 和我这 f、 h 是 不是相等了？ 哎，所以这个小的 h、 e， 它就应该是什么等腰值了？它是等腰值，这点是不是四十五度？对顶过来是不是四十五度？我都是延长的，它是四十五，它是九十，这个是不是应该是等腰值了？ 哎，所以我就能得到 b、 g 和 b、 e 相等这道题，我这么做也可以，当然我还可以选择第二种方法，我就是在这块截一截，这不相当于一边一角了吗？我知道我的 c、 a 和 c、 f 是 相等的，我可以在 a、 b 上截取个 a、 h 和我这个 c、 e 相等，然后你一连接 h、 c， 那 这两个小细条的三角形是不是就全等了？ 当然全等，哎，那我就有什么对应的角相等，这个角和这个角肯定是相等的，哎，这两个红色的边相等，那 b、 h 和 bc 是 不是相等了？ 所以 b、 h、 c 是 不是应该是等腰直角三角形，这是直角这四十五，这一百三十五，这是一百三十五，这是不是四十五了？它如果是四十五，这块又是等腰直了，我这个 b、 g 和 b、 e 是 不是又可以证出来它俩相等了，哎，可以的啊，这个是 第二个问哈，也可以用两种方法来做。然后我们来看第三种第三题哈，科二三，科二三，他说当他是一百二十度，这个题我觉得考的很好哈，就是我觉得很有梯度，你看你这个科二一、科二，其实科二都在考初二的内容，这个全等对不对？而科二三的圈三就设就涉及到了相似， 哎，就把这难度往上提了一下哈，而且计算量也是有的。这里边他让你求角 b g、 e， 他的度数哦，给了什么条件？给了这个角 abc 是 一百二十度，他是一百二十度，他是不是六十度， 这两边相等呀？这是六十、六十、六十，这都是六十，这是一百二十度，哎，这不是又是那个类似于一线三三等角吗？对不对？之前一线三等角都是等腰直，这个是一百二十度，一百二十度。当然这个题你也可以用刚才那两种方法，一种是什么？你可以做一个，就是做个大的， 就再做一个大的全等。另外一种你可以做个什么？可以截一个，截一个，一边一角正全等，哎，我们一个，我第一个， 你可以怎么办？你可以我延长 c e 至 h， 使我这个 c h 啊，和我这个是相等的，那这俩三角形是不是边角边全等了？全等，你这角是一百二十度，这角是不是一百二十度？ 哎，可以的呀，然后你去抖边的关系哦，这个 ab 等于 c h 等于我的什么？等于我的 b e， 哎，那这两个小绿边是不是相等了？ 本身这俩三角形全等呀，这俩三角形全等，你这个 b、 c 和我这 f h 是 不是相等？所以说就可以导出这两个绿边相等，这俩绿边相等，那是不是等于三角形？一百二十度，三十度，三十度，他是三十度，这是三十度，这是一百二，这边是不是六十、 三十、六十，那这个角是不是九十度？他不让你证明这个角是多少度吗？哎，证出来了，九十度，三十、六十，还是个特殊的三角形，一定有点用哈，可以这么做，也可以 在这上结就结， a、 h 等于我的 c、 e 长连接，证明俩小三角形全等呀，对不对？小三角形全等。你看这个 ab 等于 b、 e 这俩小边相等，那我的 b、 h 和 bc 是 不是相等？一百二十度的等腰是不是三十？三十？一百五，一百五，这是不是三十，这是不是六十？这不又回来了， 都可以哈，都可以。然后，哎，他是九十度，那我来看最后一个问哈，圈二，他若 ab 等于八角 f， c g 等于一百五十度，让你求 bc 的 长，哎， a 这是八， 然后呢？这个角 g c f， 哎，是一百五十度，哎，这跟我们刚才有个一百五十度是不是很像啊？你看刚才这个角，我是不是得出的是一百五十度了？ 所以如果我用这个方法的话，然后这个题当然也是两种方法啊，就是我去看，哎，一百五十度，这个角也是一百五十度，这一看就有个反应相似了， 对不对？但是你也得仔细去观察你才能看出来啊，不可能一眼就看出来。那我们来看一下他让求谁长，他让求 bc 长啊，我们一般求什么射什么，对不对？我就求 bc， 我 就射的是小 a， 这就是小 a 一 百二十度的等腰三 a， 哎，这个也是刚好三 a， 哎。然后你去看这个长是多长，这个长是八呀，对不对？哎，这长是八， ab 是 八，那 b e 是 不就是八？ 哎？ b e 如果是八的话，这不三十对角随的边西边一半，这是四，这是不是四倍刚刚三。我的 g c 长是不是四倍刚刚三？ 哎，那我来看一下，这里边我三角形，我的这个 f c e 和我这个 f g c 反 a 相似，对不对？哎，这个是刚好三 a， 那 你这个 f g 是 刚好三 a， 再加四倍，刚好三。如果我能把 c f 用含 a 的 式子写出来，这是不是就可以列列个方程了？ 函数的方程，我这小 a 是 就可以解了，这道题就出来了，那我就想怎么去呢？这又是一个解三角形啊，什么叫解三角形？在三角形里边可能给你一个角，给你两个边，哎，让你去求其他的条件，其他边，其他角，或者给你什么那个几个边，然后让你去求角，一般可能会什么， 给你一个角，两个边，让你去求其他的边哈。哎，那我来看一下，我把这个给它拿出来，我把这个 abc 给它拿出来啊， abc 给它拿出来了， ab 长是八呀， bc 长是不应该是小 a 吧， 对不对？哎，那在三十个在这个直角三角形中，三十根弦的边形的一半，这是二分之 a， 这是二分之二三 a， 那 你看在这个直角三角形 a m c 中，是不是 a c 的 平方，应该等于 am 的 平方加 m c 的 平方啊， 而 am 是 不是八，加二分之一的平方加上二分之二、三的平方，你可以把它打开整理哈，它可以化简合并到这块，就是 a 方加八 a 加上六十四。 哎，那由于这个三角形和这个三角形它俩反义相似啊。反义相似我是不是能得到谁啊？我能得到我的 c f 的 平方就等于我的 f e 乘以 f g。 哎， c f 的 平方不就是 ac 方吗？而我的 ac 方是多少？我的 ac 方不就是刚才写的这个吗？ 你直接给他带进去，让它等于根号三 a 乘以它，把它打开整理化简合并就能得到关于 a 的 一元二次方程。你可以解出 a 有 两个，一个是根号三十三减一，一个是负根号三十三减一。这肯定舍了。哎，留它啊，这种可以上面这个一样的呀， 对不对？没有什么区别啊，也得利用这个 a c a， c 方也是这个啊，就是一样的。 所以说整体看一下这个卷哈，我觉得，哎，还是挺好的，就是让适合自己能力的孩子得到自己适合的分数哈。一定要严谨一些，拜拜。关注刘老师，再见。

中考数学最难的二次函数压轴题全部掌握！考试我拿前三、二次函数十三大压轴题拆分突破，拆分突破！一、二次函数与线段长竖线、横线、斜线。 二、二次函数与等线段。三、二次函数与位置关系。四、二次函数与面积计算五、二次函数与面积转化。六、二次函数与特殊角等角完整版八二九一领取！

哈喽，大家好，我是在沈阳教了十五年初中数学的王老师，今天呢是我们沈阳市二模，这个中考二模这个已经考完了，那个卷纸拿到手了，看了一下 整体，我觉得各位孩子应该考的还都不错，因为二模的这个难度还是循规蹈矩的，要比一模要简单。 这个二模他的第十五题，可以说非常简单的一道题，他是结合了的等腰，直角梯形、八字形相似、勾股定律、 平分、平行等腰这样的一个共存的这样的一些关系，包括一些基本算法，这个题就可以做出来，基本上是没有什么太大的阻力。 二十二题和二十三题，二十二题呢，它是一个函数，常规的我们会把函数放到二十三题，它这个互换的一个位置，但是在本质上这个无所谓，反正二十三数这个题我早晚都得答，对吧？先答后答其实没有多大的影响。 这个函数这一块也非常简单基本的考法，函数的这个解析式图像的平移，包括要找那个焦点 f 它的这个范围，进而讨论出来它平移之后的抛物线，它的对称轴的一个曲线范围。 二十三题，解数综合题，这题呢，可以说也是很简单的，在我们沈阳本地的这个模型经常会被称之为叫胖瘦模型，其实呢就是一个四边形 对角互补，有一种连线的，我们进行旋转来得到我们想要的一些东西。纵观整个这套卷纸，我觉得和二四年还有二五年 咱们辽宁中考的真题还是非常相像的。其实呢，也给我们释放了一个信息，大家呢一定要回归教材，要抓住这个基础和重大题，不会太难。最后比的是谁食物少，谁更注重细节，加油！

中考数学最难的二次函数压轴题全部吃透，稳进班级前三！二次函数解答压轴题题型一，存在性问题题型二，最值问题题型四，二次函数与相似三角形 提醒六，公共点问题提醒七，最值问题提醒九，定值问题完整吧？

中考压轴题怎么得满分？今天说二次函数，一找二表三转化来看，什么意思？ 无论这个题怎么给你形式，你第一个要找的是定点，然后对称轴， 然后是和外轴的交点，然后再求表达式。表达式就清楚了啊，表达式有一般式，有顶点式，有焦点式， 掌握这三个表达式，你就运用的非常灵活了啊，哪个简单用哪个来。再看表表达，哎，比如说这，我随便画一条直线吧，那这条线段怎么表达？那是不是就是这个 y 减去这个 y 啊？那就是 a x 平方加 b x 加 c 减去这个表达式吧，随便写一个。 这就是表达很多八九十分的事，卡在哪了？他能表达出来，但是算不对，因为带着字母呢，特别难算。最后一个字转转化。二次函数里边的最值问题通常是平行四边形，然后三角形， 有的省份还考圆啊。河北省通常是考平行四边形，还有直角三角形多一点，河北省相对还是比较友好的。这个字怎么转？平行四边形，三角形，无论他怎么变化，他都是找终点。河北省爱考终点，随便画一个吧，比如， 比如这个终点他的横坐标就是二分之一，这个加上这个啊， 河北省甚至不考外州的重点光考横轴的啊。河北省相对来说还比较友好一点的啊。然后其他省份考哪些？其他省份很多，还考点与点的距离，点到县的距离公式，这个就相对来说比较复杂。河北省把这部分的知识挪到高中了啊。

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