几何画板高级教程套装

好，本视频我们来简单的聊一聊如何利用几何画板制作网格，比如我们先画一个，需要画一个 十三行十列的网格，我们先来画横着的，首先 这里面定义坐标系是一个灰色的，那遇到这种情况呢，我们可以先制作一个点，然后绘图，选中这个点，绘图定义原点， 下面就是选中这两个点，按照按复制 ctrl c， 然后撤销 ctrl z， 再 ctrl z， 那 么我们已经复制了刚才那两个点，再 ctrl v。 那 这两个点有什么好处呢？就是右边的点你可以随便随意拖动，它能够保持水平位置，左边的点控制位置就有点像圆一样，左边这个点控制位置，右边这个点控制大小，而且这两个点保持水平的， 呃水保持水平位置。下面呢，双击左边这个点，选中右边这个点，变换缩放。注意我们是实列，所以横向的应该是实格十分之一， 选择第一个点，再选择第二个点，变换中标记向量，也就是向右平移这段距离，选中第二个点，平移确定， 再来一次平移，确定，然后选中这个点，再来一次平移，确定好了， 然后呢，我们选择第四个点和第五个点，那么我们就把这两个点呢他们的变换方式给他做一个创建自定义变换， 然后我们只需要按住第一个点，另一只手不停的按住，按住 control 一 一一一好了，那这样就有十十个点了，下面呢我们来选中 另外十个点，因为这个这个这个点呢是变换中心，所以它既可以缩放，它既是缩放中心，也是旋转中心， 旋转九十度，拖一下来，好，看来框框里面看不到，所以我们就按照这个点把它缩小，让你看得到，看得到以后呢，我们按住这个点和这个点，标记项链 一定要变换三次，平移，一次，两次，三次好，最后这两个点呢，选中一二两个点，再次创建 自定义变换。好，我们来看一下，我们这里面有两个自定义变换，变换一是向右平移变换，二是向上平移。 那这时候呢，我们再来连接这两个点，按照网格的习惯，我们把它写成 设置成细线，虚线，然后再深蓝色，按住第一条线。还记得 control， 一 是向右平移一格， 按住 control， 不 停地按一一一一，记住是按住 control 之后，另一只手手指呢不停地按一 好了，然后水平做出这条线段， 然后 ctrl 二，二是向上平移，一二三四五六七八九十十一，十二十三。这样我们就画出了 十三行十列的网格， 选，全部选中，把这个点呢，用最小的来设置成最小的，然后拖动这个点就可以放大或缩小啊，比如再选中这样的位置已经差不多了。下面还有个操作， 因为我们网格线是虚线和细线，但是里面的图它是实线，所以再次全部选中，显示里面典型， 再换成中等，然后选中线，中等，再设置成实线。好，那么 几何画板它这个功能呢，它就是记住了你的点的类型和线的类型，那这时候呢，已经可以把它隐藏， ctrl h， ctrl h。 好， 下面按照题目的意思，我们把题目中的三角形画出来， 注意这个点是这两条网格线的交点，那这两个网格线呢？就变成红色，注意这个细节，一条，第二条，我手里面是，手里面是有题目的， 你可以看着我如何制作就可以 啊，这是 c 点，最后再把它连接起来，那就是原题的 abc， 三个点选中 abc， 然后显示里面有焦点的标签，这时候切换成大写字母 a， 那 它就自动是按照你的选点的顺序 abc 就 可以了。 然后这道题目的第一题是在图中画出平移之后的三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇。好，我们选择他说是点 a 一 撇的位置是一二三四五。 将三角形 a、 b、 c 平移之后，得到三角形 a 一 撇， b 一 撇，三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，然后告诉我们呢， a 一 撇的位置，那就是 a 加一撇，可以了。 好，这是原题，也就是说圆三角形 a、 b、 c。 在 网格网格上把三角形 a、 b、 c 平移，得到三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，然后 a 一 撇，这个点呢在这个地方， 所以这时候呢，我们按选中 a 和 a 一 撇，变换标记向量，把另外三条边和两个点选中平移。哎，弄错了， 标记，选中另外三条边以及点 b 和点 c， 因为点 a 边已经平移了，这时候按照平移就可以，这时候呢，我们再把点标一下，标一下，这样就可以了。 然后作为课堂上我们不可能是这样子，所以呢，按照题目的讲解， 因为从点 a 平移到点 a 表示向上平移五格。那跟题目跟学生讲题目的时候，也应该是我们把另外两点也按照点 a 的 平移方式向上平移五格，所以选中 b、 b 一 撇，隐藏，然后选中，选中 c 一 撇，隐藏顺次另外三条选中三条边，用另外一种颜色，比方说深绿色， 如果这时候选择选中的是网格线，鼠标呢，还放了这地方，再按一次，它就选中了 a、 a 一 撇， b 一 撇这条线段。选中三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇的三条边，然后编辑 操作类按钮隐藏好，再把它隐藏。然后呢，文件保存再次打开的时候就是这个画面，所以你跟同学学生讲的时候，就是 我们也把点 b 和点 c 按照点 a 的 平移方式向上平移五格，就会得到点 b 一 撇，点 c 一 撇，再顺次连接 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，就会得到 三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇。好，下面这道题目呢，还要求我们画出 a、 c 边上的中线 b、 e、 a、 c 边上的中线 b、 e。 所以呢，我们先要选中或者说取 a、 c 的 中点。注意， a、 c 是 一条网格线，那它很显然是由 一行两行两行三列的撇对角线，两行三列的矩形的撇对角线，它是有两条这样的 网格线拼接而成的，所以中点正好是一个格点，所以只要鼠标按一下，这个点就自然就出来。然后选中文本工具， 双击双击，然后按照题目的意思，我们是 e 点啊，把 e 拖动到合适的位置，再利用线段工具连接 b、 e， 我 们再换一种颜色， 右击右击红色。好，这时候我们选选中点 e 隐藏，选中线段 b、 e。 操作类，操作类按钮隐藏 好，我们再来看一下效果。先讲第一题平移，再讲第二小题，取 a、 c 边的中点，连接 b， 得到中线。那这道题目呢，还有疑问，就是做出 b、 c 边上的高 a、 d。 显然三角形 a、 b、 c 是 一个钝角，三角形做 b， c 边上的高 a、 d， 那 就从边 bc 的 对角顶点 a 出发，向线段 bc 所在直线做垂线段。 由于网格做图题，他是按照网格的方式，就就是说你每你做的每一条线段，延长的每条线段都是经过特定的格点的。 我们再来看看 bc， bc 是 一二三四四行两列的撇对角线，但是呢，四乘二的撇对角线，我们可以经过约分，那就是二乘一 一二，它是由两段二乘一的撇对角线，所以 它是由两段二乘一的撇撇对角线拼接而成的。所以如果我们延长 c、 b 的 话，应该是一段一段的延长，首先延长 d 段，那么在点 b 的 左一下二两格取这个格点 延，也就是说你延长 c、 b 必须要经过这个格点，延长以后呢，我们再取格点，然后取了这个格点以后，用线段工具连接点 b 和这个格点，好过点 a 向 bc 所在直线或者说直线 bc 做垂线的话，我们也是，这是 二乘一的撇对角线，那么我们过点 a， 就 必须要做一乘二的捺对角线，一行两列，所以要经过这个格点。经过这个格点以后呢，我们会发现与 c、 b 的 延长线没有交点，所以我们需要再延长一段啊，第一段它，第二段它，所以取这个隔点再连接点 a 与这个隔点， 显然延长以后与这两个有交点了，这两条线线段有交点了，那这个交点呢，一定是垂足，所以再用文本工具 双击这个点，那就是它要我们做出的是高 a、 d， 好， 把点 d 拖动到合适的位置 好。再来看看在讲解的时候如何延长 c、 b。 必须要取这个格点，所以按住选中这个格点，隐藏连接点 b 和这个格点隐藏 过点 a 做 c、 b 的 沿垂线的时候呢，由于必须要有垂足， 所以过这个格顶，它是垂直的，但是它没有交点，所以我们还需要再次延长一段，所以取这个格顶，选中它 隐藏，再选择选中这条网格顶线段隐藏， 选择选中点 d， 隐藏好，我们最后看一下效果，全部隐藏，然后保存，再次打开的时候，画面就是这个样子。 第一步，平移点 b 点 c 一 撇，顺次连接 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， 取线段 a、 c 的 中点正好是格点 e 连接 b e， 做出了三角形 a、 b、 c、 a、 c 边上的中线 延长 c、 b。 由于它是钝角三角形，延长 c、 b。 一定要按照网格的方式，或者说网格的特定要求去延长，而不是只是用无刻度的直尺 随手延长 c、 b。 他 必须要经过这个格点，所以讲解的时候呢，一定要先取中这个格点，然后连接点 b 和这个格点，那我们就延长了 c、 b。 那 过点 a 做 c、 b 的 垂线， 做这条线格点，线段不够，因为没有交点，我们要得到交点，交点就是垂足，所以要延长两段这样的，这样的， 呃，隔顶线段，也就是一行两列的捺对角线，一段不够，没有交点两段，所以我们要取这个隔顶连接点 a 和这个隔顶，这样 这两条垂线垂线段，这两条相互垂直的线段有了交点，那这个交点就是 就是垂足，这样我们就做出了三角形 a、 b、 c、 b、 c 边上的高 a、 d。 好， 本节视频呢，我们就讲到这里，谢谢大家。

大家好，今天呢跟大家介绍一下我们自定义题库自己研发的自带的这个几何画板工具。几何画板工具，然后我们在这里面有一个几何画板， 我们点进来可以看到这个地方呢，我们提供了很多的呃工具，基本的常见的几何图形、立体几何我们都有， 然后还在不断的迭代，那我们的定位是什么呢？就是市面上有 g g b 这样的一些强大的工具，那我们为什么还要自己做一个呢？因为第一个它是我们系统自己的自研的，我们有一些适合题库的需求，可以自己去做得很细致。 我们主要是解决我们题目里面有一些配图，它不清晰，我们需要重绘，能够快速的重绘，或者呃一些缺失的图片，我们可以把它补充，那我们后面还的研发目标是我们会结合 ai 把它自动的重绘，那这样到时候就更省事了，所以我们呃通过字研能够更精准的把握住我们题库的自身的需求， 所以我们做了这个，然后我大概给大家演示一下我们这个怎么用。嗯，我们的基本操作呢，比如说我们要画一个线段，点一下两点，这基本上都是常规的，就我们只要选中这个状态，然后在画布中就可以直接绘址，然后这个折线结束，就是那个按 esc 键，键盘上左上角结束了，然后我们画一个圆， 就是我们一个圆画一个多边形这样子，然后我们按移动，那就可以去调整， 也可以就是调整这个，然后我们画一个椭圆，这是轴和点，还有焦点和点，就是不同的方式 切换到这个，就是两个是不一样的，然后我把这个清空一下，画布，我们再画一个扇形 就画出来了，然后我们可以移动去调整这个扇形，都是可以的。然后我们再画一个立方体， 就是我们怎么确认立方体的水平呢？就是我们如果不确定的话，它就是一个歪的，那它就是这样子，那我们同样是按 shift 键，它就是水平的，就是这样子，把它清空一下，画个长方体。 那么画长方体之后呢？那我们这里面的线是需要是虚线的，呃，我点这个线模式，然后开始线模式，线样式就是告诉你，我们想调整线，那么改把它改成虚线，这个改成虚线， 它的颜色粗细都可以改，那就改好了。那改好之后呢？那这个长方体我可能想调整尺寸，那我们点移动，点移动的时候我们看到它有一些提示，我们就可以直接调整 调整合适的尺寸，然后我们再画个圆柱， 然后把它移动一下，啊，画一个球， 我们移动一下，刚呃它会自动自动修正，然后是这样子的， 嗯，我们这个还有添加三角形，我们把这个我们先假设我们现在已经是会制，需要的部分已经有了，我们怎么把它导出来呢？就有个导出就是这种效果。如果我们不要做标轴，我们只需要内容，那就是选择这个图形内容就可以了，下载就下载好了，我们想一下摄像头还是呃这种位图可以选择， 然后我们把这一块清空掉来画个函数，我们可以画个抛线，再添加一个三角函数， 就是我们可以常见的，我们可以呃直接画，然后也可以自定义，然后这个，这个是一个表达式，它对叠加在一起了，我们可以把它移动一下，然后这个函数，那我画好了之后想改怎么办呢？有一个编辑函数，只要是这个状态，然后你就可以点击他，比如说我们给他改个颜色 就可以，就这样子，所以说这个我们可以整合起来，会制，呃，很多的场景都能都能用得起来。对，这个时候我们老师们有什么需求？就是啊，有新的想法的我们可以交流，就是这个欢迎大家用一下。

咱们中小学数学教师学几何管的目的啊，是用来解决咱们的教学问题，突破教学重难点，而不是拿来作秀的。 所以上个视频我已经教大家如何制作几何画板了啊，如何制作动画了。那这一节咱们 啊，就来聊一聊如何从解题这一块去进行更深入的研究啊， 所以我制作了这样的啊，这个怎么制作？你们可以看我前面的啊，就可以了啊，我接着说呢，怎么制作 解析这一块配合解析，我再把这个图形啊，再把它拓展一下， 那我们这个线条啊，可以全选图形，点简字再等线型要它细一点， 再点简字，再等点的大小要中等就 ok 了。 至于要研究这两条红线啊， b h 加 g h 的 最值，我们夸张一点，把它放大 好不好？那下面咱们就来研究啊，如何解答这道问题了。 我们这样想，我问老师们，你们看到这个图是否有一个联想，你想到你学过的怎么模型？ 那好多人说，哎，我学过将军云马啊，无不归啊，瓜豆园里那些啊，对不对阿？志元， 一线三等角，什么东西都有十字架模型，那从十字架模型来研究啊，我们显然啊，很容易发现啊， 很容易发现啊，这两个三角形啊， d f a 啊， d f a 和 a e b， 显然它是全等啊，根据已知条件可以证明它全等啊。 那这两个全等以后呢，我们利用全等三角形的 对应角相等，可以很容易证明，这个阿尔法角和下面这个阿尔法角它相等，对不对？ 那很显然，我们看这里啊，这个角假设为 b 的， 显然啊，这个 b 的 角它和这边的 这个 sita 角它是有互余的，因为绿色三角形是直角三角形，所以 sita 和 bita 互余，对不对？ 那这个阿尔法角啊，这个角 b a b a g 也可，或者说啊， b a f， 你 看它和哪个互一样？ 这个角它和阿尔法是内错角啊，内错角，这个和这个锡塔角， 它显然刚才用这个来，这个是它，用，这个是它 全等咯，这个是它和，这个是，它叫 d a e 相等，那这个比特和比特它是互余的啊， 为什么？因为 e a b 绿色的三角形中啊，这个 b 的 它是和这个 c 的 互为的， 那这个是它根据全等三角形对应角相等，它又转化为这个是它，所以这两个角都是是它。那在三角形啊，一 g a 中， 由于 b 打和 c 打误于，所以啊，这个 e 距垂直 a 距啊，那显然 这个 a f 就 垂直啊这个 b 距。所以咱们可以选中 a b 以 a b 为直径啊，构造一个圆，先取中点， 因为你直径所对的圆周角是直角。反过来，呃，九十度的圆周角所对的弦就是圆的直径， 这样我们就发现这个点巨啊，牛掰吧，他应该在半圆上运动， 当然这个点太小，我不方便选，我还是把点设定为大一点，操作起来呢，方便啊，选中点 a 和点 b 和圆周构成啊，这个圆， 所以我们研究，你先看啊，图中十字架模型的这个点距啊，它的轨迹啊，它就是一个圆，那这个红色的圆就是它的轨迹了， 设置虚线，那咱们看是不是大家验证一下，显然啊，它都是对不对， 到这边他也全等了。 ok， 那 现在 咱们想一想，这里面有没有类似将军野马的图形呢？有没有？ 那将军野马数什么钱？核心是要做轴对称来转换，所以咱们猜想应该有 另一方面，从大的策略来看，解决最值问题无非是啊，要转化的数学思想方法，对不对？我们先看 如果从将军银马的竖什么形，往往有啊，做对称轴，然后对折，拿一条线来做对称轴， 那显然咱们讲到这个 cd 啊，显然可以作为对称轴，所以咱们呢， 双击线段 c d 啊，我们说解敌，也顺便说解个换版了啊，选中线段 h g 点变换菜单中的反射变换，那得到的这两条线牛不牛掰？他能不能转换？ 那我们研究的是 b h 加 h g 的 最小值的问题， 那由于对称点的连线是被对称轴垂直平分的， 换一句话来说啊，做轴对称对称轴是对应点连线的垂直平分线啊， 怎么意思啊？如果连接这个锯锯一撇，那点 h， 它就是线段 啊，在线段锯锯一撇的垂直平分线上，所以为什么转换啊？这样来转换就得利用轴对称的性质啊，那么 两条线相等，我把它啊，涂为蓝色的，也就是说在运动的过程中啊，咱们都可以把蓝色的线端啊，进行两条 啊，长度等，它都可以转换。那有些老师就说了，老梁，那如果 h 要动， h 要动，它也可以转换 线段垂直平分线上的任何一个点， h 到线段两端的距离都是相等的，所以啊，理由要充分，对不对？ 所以这两个主动点，一个是 h， 一个是 g 啊，无论是哪个点动，我们都可以证明两条蓝色的线段是相等的， 所以他就可以转换了。那咱不是说嘛，咱们要研究啊，这个把问题转化为将军银马的问题。 那既然 h g 啊，转化为了这个 h g 品，那我们这个就可以啊，进行转化啦，我们顺便把这个转换的过程把它书写一下， 那这个它可以等于转化，转化呢？然后呢，后面咱们肯定利用不等式来放大啊，只要把这个模板搞出来先 啊，这条是蓝色，所以我们的文本也搞成蓝色。那问题是 h g 它应该是和 h g 一 撇相等，要记得修改这个啊， 这个是等量代换就可以转换了。那然后咱们从啊，三角形的啊，任何两边之河啊，大于等于第三边，对不对？ 那显然咱们应该把 b 句啊连起来， 连起来的，利用啊，将军云马数学模型啊，利用那个 三角形模型中任何两边之合，它是大于等于第三边的， 那这个和你点距点 a 角的位置啊，都可以，在任何情况下他都有这个三角形存在的时候啊，任何两边之和 就大于等于第三边，所以这个 b 句啊， h 这里就有一个三啊，三角形了啊，咱们应该把它做出来， 那这个两条线段之合啊，他就可以转化为这里呢？啥呢？ b 句 先到这一步先了，那 b 句他的最小值是多少呢？ 这个 h 也在动啊，比如我再做一个点 h 的 动画按钮啊，选中点 h 点编辑操作类按钮， 那好多同学和数学老师就被这个三个动点，你这个如果严格了，呃，从表面上看呢，它有一二三四个动点， 哎， h 要动起来，乱云飞渡啊，咱们杨从容啊， 怎么办？那我们可以先把 h 这个动点停止啊，来研究， 所以双洞点也好，四个洞点也好，我们先画洞为界，把一个洞点先把它变为不动， 另一个动点在动啊，那两点之间线段最短能不能达到 h 跟上就可以了，所以这个 h， 我 们这个 h 是 烟雾弹啊，烟雾弹啊，对不对？纸老虎啊， 纸老虎，我们主要看这里啊，那问题是， 自从线段 b 距一撇中点 b 是 定点，点距是动点，那咱们要去研究 这条动线段的最小值应该怎么想呢？那我们还要记住一些数学模型啊，或者利用一定的数学方法，把这个 b 距一撇， 他的最小值，最终把他求出来啊。刚才我们说我们总将军人满问题，我们学习得到怎么的？呃，结论 怎么治？学习得到了一个重要的数学方法，就是要做求对称，那对称轴是这个 c d， 那 咱们如果从高观点 来，我为了把这个图形辅助线做出来，那么咱们能不能大胆的又来双击 cd， 我 连 啊，这边直线在地下的部分全部做轴对称啊，当然 e f 不 用 e f 和这个 b， e a f， 我 把正方形的这个大的格局就是正方形有关， 对不对？以及这个半圆通通啊，连原声 o 我 都做走对称变换反射， 牛逼！格拉梅。这里 o 的 对称点 o 一 撇， b 的 对称点 b 一 撇， a 对 a 一 撇， g 就 对 g 一 撇， 对不对？那显然我们再来想一想，我们问题呢，已经转化为研究 b 距离撇的最小值了， 那最小值刚才我们用到的数学模型是构造三角形， 利用三角形啊，任何两边之合大于等于第三边，当等了。就是啊，三点共线就退化成一条线段，就取得最小值了。 那这个定律，它的一个等价的命题是，三角形的任何一边啊，它小于大于第 两边之隔，大于第三边。那任何一边啊，它大于其他两边之差， 比如 a 加 b。 这个很容易想啊， a 加 b 大 于 c， 那我一个等价的命题是不是 a 啊，就大于 c 减 b 啊？不等式的，你把左边的 b 加号移到右边，一向要变号啊， 和解方程差不多，也不等式。问题是，那现在你去构造三角形的时候，你选用哪个三角形呢？ 咱们哦一、观察，牛逼克拉斯， 因为刚才我们说过啊，这个圆的半径，由于轴对称，这个 b o 等于 b， o 一 撇，由于轴对称， bc 等于 b 一 撇 c。 那你要利用这个已知啊，所以我们呢，选重点 o 去一撇，构成辅助线了吧，这条用虚线啊，虚线， 那我们为了找三角形呢，因为三角形才有任何两边之和大于第三边。 一个等价的提法，任何一边啊，它大于其他两边之差， 构成 o 一 撇 o 一 撇 b， 那这条线是不是定长？如果这个也是动点，那就是要继续往下探索了，这时候 咱们又回到哪个三角形呢？所以有几何画板的数学老师们啊，咱们可以选重点 o 一 撇和 b 和 g 一 撇。 看这个绿色的三角形中，那这个 b 去一撇，任何一边大于其他两边之差。 有些老就说，那我两边之家如果得负数呢？得负数他也成立，正数大于一切负数，牛掰呢？相等，那也得相等，差就得多少啊， 恰好相等。但是你如果拿短的减大的，他得负数，负数的不等式也成立，但是我们还要考虑，我们要解决问题啊，所以我们这个不要用小的来减大的， 小的点大。那你等一下，从不等式来看，它是成立的，但是现实中就没有符合那个负数的线段，就来等一下你就没有答案了。所以咱们应该大于其他两边之三，应该用长的 b o 一 撇大减小，大减小你才得正数。如果你小减大娘得正数，不过小减大也得你举绝对值就 ok 了，对不对？ 但是我们何必又来取一个绝对值呢？那我们干脆用大减小啦，你看啊，大减小就我问你，我标有这个的 这条线段，它变了，有些人说，哎，那它是洞啊，洞是洞，圆的半径会变了， 它的半径是一，永远不变，牛逼格拉了吧这个，所以这个放心了，这里搞一些不同的颜色 继续研究。那问题是它这个地方里，它可以写成 啊，这个 b o 一 撇减去呢？这个 o 撇去它到底等于多少？举到最后啊，无非是要去算这个线段的长短出来啊， 看啊，怎么去算 o 一 撇 b， 以及怎么去算这个 o 一 撇。 至于撇，那很简单啊，由于圆的半径之一啊，所以我后面这个根本口算秒杀就是一嘛， 不用去算这个 o 一 撇去了。这个 e 要用正体啊，不是要用斜体，那还有个 b o 一 撇怎么算？哎呀，我们做轴对称的时候， 那这个四边形啊，这个 c c d a 撇 b 也是正方形喽，嘴角 b 撇也得九十度啊。那最后临门一角在直角三角形这边， o 一 撇 b 一 撇 b 中啊，利用所谓的勾股定律，这个呢，颜色我们又要看的舒服一点的黄色， 显然勾是一股，是四，那斜边二四四十六，十六加一等于十七十七的平方根开不完了， 开不完怎么办？就带上一个根号，写上十七， 牛逼克拉斯啦。嗯，所以这个问题的答案，嗯，就是根号十七减一。 所以这道难题，嗯，就是答案应该选哪个答案？选答案 c， 是不是不是答案 d？ 看翻译，答案 d 可以 设置为红色的字号，要统一了，大家都用二十四号字，那这道题最终咱们就解决啦， 这个地方多了这个点， 对吧？啊？ c 撇 c 在 这里， c 撇不用这里，明白了吗？回过头来，那有些老师说，你这样做，那 h 就 不管了， h 怎么不管？ 那你先考虑距啊，它三点共线距到 b b o 一 撇上，这是第一步啦， 第二步，那你这个 h 跟上来就 ok 了嘛，对不对？也就是这个 h 对面也可以说是一种烟雾弹，事实上它这个点 h 呢，它就是这条这个两点之间线段最短，刚才这个距离比 b 和直线 c d 的 焦点就是点 h 一 撇， 随着你要做，就说呢，你这个点要跟上来就可以了， 牛逼格拉梅。当然这些三角形我们要做成呢，这个 隐藏显示的按钮方便呢，到上课的时候，呃，老师们就可以在需要的时候再显示，而且不需要又隐藏了。 那现在有一个疑问啊，如何啊？快速的做出啊，这个对称的地方啊，对称的地方啊，那比如我主动点知啊，这里啊， 可以做得到，可以做得到得为我录一个屏，录一个视频来说这个地方怎么决定这个点好不好？ 最严格来说呢，我应该呢继续讲，但是由于解题这一块到这里的已经基本上完工了， 但是我们如何手动了？那你得到的都不一定啊，手呢，有时候打仗当然也明白他肯定存在。所以这一节先说到这， 感谢大家的支持啊。如果你想学习破解最直难题妙招的，那可以到初中数学院来听我说这样的一些啊专题， 感谢大家的支持，再见。

第四十四讲圆的顶级动态和牛津绕木桩， 那这两个呢，其实都是我们前面所讲的方法的一个呃，一个迁移或者说辨识。我们先来说顶的，呃，圆的顶级动态 啊，如何得到一个随机的这样一个， 呃，我们在做这个抛豆实验的时候啊，如何制作一个随机的点值，并且能够 能够进行叠带啊？我们先构造一个正方形，其实我们不需要构造一个正方形，我们只需要啊构造两条垂直的线段就可以了，当然垂不垂直也无所谓，我们就借用这个 啊，抛豆实验当中的这个这个这个部分的过程吧，好，选中这两条线段来构造线段上的顶啊，给他一个标签，一个是 a 顶， 一个是 b 顶，好，选中这两点直接度量顶值。然后呢我把这两个顶值做一个计算啊，就是 把这两个点值呢都都参与进来啊，就是直接相加啊，两个点值。好，下面呢，我们再随机的构造一个点， 然后构造一条线段，那么以选中这个点和这条线段，那构造一个圆，那就这个圆呢，其实就是以 哎，圆的这个我们可以把这条线段进行适当的拖动 啊，比如啊，这这个样子大小已经差不多了，然后我就可以把它拖动到框子的外面去，然后只要拖动这个圆心啊，就可以改变圆的位置啊，给他一个标签，然后呢 这个好像也用不到了啊，这啊用的到的，暂时还是用的到， 嗯，选中这个点值的和和这个圆进行在圆上绘制一个点，这个点就是一个随机的，嗯，下面就可以叠带，比如我，哎，这个怎么回事？这个怎么这么大， 可以把它改变过来啊，然后呢？比如这是我们希望的是三十六就可以了啊， 保存一下，如果你下一次再文本框的话，那他自然就是三十六。好了，我这个也正好也按错了，也不是需要这个文本框，我们是新建一个参数， 这个参数呢，就是产生点的次数啊，的个数应该是八十吧，八十，然后 因为这个参数我们只需要正整数，所以它的变化改变是一，然后这个精确度也是单位一好了，然后选中点 a 和点 b， 以，这两个是它们都是 半字有点啊，分别是由线段两条线段产生的半字有点， 半字有点是可以叠代的，呃，因为这两个半字有点啊，进而产生了原上的这个，呃，以这两个半字有点的点值的和， 进而产产生了在这个圆上这样一个随机的点，所以我们就可以进行进行叠带，选中 a， 选中 b 和这个叠带的次数，呃，变换深度叠带。 然后呢？呃，之前我也讲过， a 可以 直接到 a 上， b 可以 直接到 b 上啊，但是因为都是随机的嘛，所以我们还是把 a 到 b 上， b 到 a 上， 然后这个结构，这不需要，有些时候他自动生成这样一个数据表，我们不需要注意，不忙叠代，一定是叠代到对象的随机位置好，那什么意思呢？就是你这个 a 到了，替换到点 b 上以后呢，替换到的是点 b 的 随机位置，所以 b 呢，又到 a 的 随机位置，而不是初始位置，所以我们可以得得到这样一个啊典籍。 那我们说在讲圆的时候啊，把这个圆进行隐藏，再把这个初始的这个一开始迭代的这个点呢，就出象，是吧？也把它隐藏好了， 适当改变位置啊，把这些辅助的这些数据点值啊，都把它移动到框子的外面啊，这就是 迭代的次数。然后呢，我们再给两个新建两个参数，一个是 a， 我 们让 a 等于零， 好，它这个因为你刚才的参数是精确度是单位啊，改变也是单位。一好了，我们再建立一个 呃参数，比如，呃是 b， 它的这个比方说是 一千一千个 d。 呃，什么意思呢？就是我们在学习圆的时候，我们说圆是以圆是 到定点等于定长的点的集合。呃，在课堂教学的时候呢，我们可以让学生，比如在草稿本上画一个距离点 o 两厘米或者三厘米吧，画三个点，那么不同的同学都可以画呃，随机的画三个点。那老师可以提问，这样的，这样的点有多少个？同学肯定能回答，有无数个，那这样子的话，有无数个，我把这无数个点全部收集过来， 好，它到它那就是先选中 n， 再选中 a 啊，这进行移动。这个移动呢，我们可以是高速。呃，标签呢？可以是粗式化， 把这个拿过来啊，粗式化，把 n 选中 n 和选中是一千移动，比如啊，是慢速， 好，把初步放到这个开始收集啊，好，把这个不需要的也放到旁边。那这个空白区域呢，可以输入呃学习活动的这个名称，比如，呃活动一， 利用刻度尺在超过呃画画三个或者五个到点 o 的 距离等于三厘米的点，那那 五个点也行，三个点也行，那这样子的话，这位同学可以画这样五个，那位同学可以画那样五个，那这时候呢，可以教师可以提问啊，这样的点我们一共可以画多少个，是吧？那大家肯定会回答，肯定有无数个，那么我们把这无数个点把它收集过来， 那会发现啊，这些顶级所能够构成的图形呢，是明显是一个圆啊，啊，在出实化，这就是 圆的定义，圆的集合定义啊，圆有两种定义，一个叫， 呃运动定义和和这个集合的定义，当然圆还还有第二定义，第二定义是圆是到两个定点的距离之比， 等于一个不等于一的常数的这样一个集合。好，这是那是圆的第二定义，圆的第一定呢就是， 呃，定点和定长啊，可以是运动法，也可以是集合法。好，这是圆的点级的这个动态收集，下面呢我们再来 制作，我们之前也学过一个，呃，鎏金鎏金碰钉子下面，如果鎏金碰这个钉子呢，可以看作是一个点，对吧？嗯， 如果鎏金碰到这个木桩呢，那又是另外一种形态。好，我们给出三三个自由点， 然后呢再建立一个参数，这个参数是圆的半径 r， 这个 r 呢等于两厘米啊，两厘米距离，然后选中这个点，选中这个参数来构造一个圆，这个圆呢就是 半径就是两厘米。好，现在我们给他一个标签，比如这是点 o， 点 o 啊，这是点 a， 这是点 b， 然后我们双击 o， 选择选中点 a 和点 b， 然后进行缩放，这个缩放比是二分之一，然后给他一个标签。好， 下面呢我们就可以可以构造两个圆，一个圆，两个圆 啊，把这个拖动到适当的位置啊，好了，第一个圆与他有个焦点，第二个圆与他呢，也有个焦点啊，那比如说我给他一个点地， 它是底 e， 下面呢，就是来度量 a、 d、 b 的 大小，选中 a， 选中 d， 选中 b， 嗯，度量角， 好，来看一下，如果这样子的话，你看看它永远是一个，呃，是一个正角，对吧？是一个正角，下面呢，我们希望它可以是负角，什么意思呢？嗯，如果我连接 a、 a、 e 和 a e 和 o e， 那 我们说角 a、 e、 o 肯定等于九十度，因为 a、 o 是 直径，所以直径所对的圆周角等于九十度。如果我们再连接 o、 d 和 b、 d 的 话， 同样的道理，因为 o、 b 是 这个圆的直径啊，是直径，所以这个角 o、 d、 b 也等于九十度。现在现在我把它往下拖一点，当点 d 与点 e 重合的时候，那这个角呢，就是一百八十度啊，一百八十度 啊，不怎么容易拖动的到啊啊，当顶翼顶地与顶翼重合的时候呢，这个角就是一百八十度，而这样子呢就变小了，所以我们 有什么办法呢？就是参数选项里面有一个角度，角度呢，我们给他一个方向角，那这样他就有一个正负角了，这边就是负角，这边就是正角。好，现在呢，我们把刚才是为了说清楚情况，我们把这个这些线段呢都隐藏着， 显示隐藏线段啊，下面就是做一个简单的计算，那就是 s、 g、 n， 立刻一一加 s g n 啊，这个数它有正有负。好了，那就说 如果点 d 在 这个圆上，在这个圆上，如果点 d 在 点 e 的 左侧，那左侧 或者说在它的负方向上，它就是一，在它的正方向上就是零，那我们如果以 o 为圆心啊，这个逆时针方向为正的话，说明点 d 在 点 e 的 负方向上，也就是在他的顺时针方向，那他就是一，而如果点 d 在 点 e 的 正方向上，那就是零。现在 我们双击点 d， 选中点 b， 进行一个缩放， 缩放笔呢，就是这个他啊，我们立刻给他一个点的标签啊，就是一号点，因为经常重合，所以我们立刻给他一个隐藏按钮 啊，隐藏按钮，那这样子的话，你看看，只要这样他就到到到与点 d 是 重合的。然后呢，我们再双击一点，把一号点隐藏，又选中点 b， 再做一个缩放，还是刚才的缩放笔， 呃，立刻给他一个标签，二号点，也立刻给他一个隐藏按钮 啊，一号点，二号点，这时候呢，一号点和二号点都是重合的，只要这样子，那你看看，只要点 d 在 点 e 的 正方向上，那么这个 s g n 值呢？是零，那么点 b 呢？进行缩放啊，分别与点 d 和点 e 重合，现在我们就把它呃放处于这样的位置好，然后给点 d 一个 隐藏按钮，把它隐藏了，给点 e 一个隐藏按钮，也把它隐藏了。好，就让这时候的 s g n 值是零，哎， 把点的，这时候的 s g、 n 值是零，那我们构造选中零，呃，圆点，二号点和一号点按照逆时针旋转，所以构造了圆上的弧，给这段弧呢，一个另外一种颜色 啊，比如我们把它显示成红颜色，显示成红颜色以后，呃应呃选中圆，构造圆的内部， 呃，我们就把它看作是木桩啊，把它看作是木桩啊，木桩是黑颜色的，嗯，把圆也隐藏了，然后呢，我们连接连接 a 二一号点和 b 点，好，选中这两条线段，也把它显示为红颜色。这时候呢，我们就可以把不必要的先把圆 a 和圆 a 一 撇，圆 b 一 撇进行隐藏 好，一号点隐藏，二号点隐藏啊，这样子就可以了。嗯，现在我们把这个线段 a、 b 看作是 牛皮筋啊，橡皮筋啊，当绕的时候呢，就可以绕着这个木桩啊，有这样一个效果，当然这个也不可能是绕着，很非常的夸张的啊，绕，绕着这个程度呢啊，这个角是还是负的时候，他永远是绕着的，一旦是正的，他就不行了啊， 一旦是正的，它就是线段 a、 b 本身啊，这样子好，已经绕到极限了，不能再绕了啊，这样子 好，这节呢，我们这一讲呢，我们就讲了啊，圆的顶点的动态和牛牛筋绕木桩啊，都是我们前面所讲的，一个是抛豆，抛豆实验的这个一个一个迁移使用啊，可以产生随机 呃，点值，随机的点的点值，然后进行迭代，这个呢是运用的是负角度的 s、 g、 n 值，那也进行一个变换啊，或者说变式 产生一个牛筋，不是碰这个钉子，钉子可以看作是一个置顶，一个顶呃，绕木桩呢，就形成一个比较，一个直观的一个一个一个视觉效果吧。好，这讲呢，我们就讲到这里。

各位数学老师看过来，还不知道怎么把大脚几何画板插入到 ppt 里做交互式课堂演示吗？今天手把手教你，超简单几步就能搞定！首先打开网页版 wps 新建或者导入你做好的 ppt 文件，在上方菜单栏点击插入，再选择插入网页互动内容， 弹出窗口之后直接点插入代码。接下来打开大角几何，找到已经制作好的画板文件，点击左上角菜单，选择导出嵌入链接，在弹窗里一键复制代码， 再回到 wps 编辑页面，把复制好的代码粘贴进去，直接运行。这样就成功把大角几何画板嵌入 ppt 了，上课可以直接动态操作，拖动演示几何教学，直观又省心，赶紧去试试吧！

今天我要分享的是显示菜单之对象外观。改编对象外观的主要有三个点进，限行和颜色。先会制一些点，选重点以后点击显示点进， 可以通过选项调整点的大小。接着会制一条线，选中这条线，点击显示限行， 可以调整线型和粗细，选中这条线，点击显示颜色，可以改变线的颜色。

各位数学老师看过来，是不是觉得这个勾股数很漂亮，拨动点的时候大小数据还能跟着变化？其实用大角几何就能轻松做出这种效果。打开大角几何画板，用基础的多边形和半圆工具画出勾股数的基础图形。打开样式属性面板，点击选中画好的图形， 先点基础选项，在这里可以给图形命名，锁定，不想显示的部分还能隐藏。再点击样式选项，就能自定义调整图形颜色、线宽，让勾股数变得更美观。如果选中的对象是线条，在这里还能添加箭头和标记， 点击标签就能显示图形的面积、长度等，数值，字号和字体也能修改。一步步操作下来，一个可拖动、可变化的五彩勾股数就做好了，你学会了吗？

有一位初中数学老师问我啊，老梁，我是梁建民老师等初中数学院的， 他问我如何用几何化板动画来研究这道最直难题呢？ 或者说如何准确地做出啊动点 d 或者动点 d 的 他的那个准确的运动。然后呢，我也用几何化板来研究 发现这个问题呢啊不能够啊，做出啊连续的那些啊动画， 也就是说呢，我现在我只能够做到呢满足啊一定的条件，他那个图形可以做出来， 比如第一是这个，或者这样他都内心等边三角形， 那第一值得变，我做了八个动画，八个动画， 但是这个不是连续呃，可以拖动点地啊，或者啥我是手动来调啊，所以 那说明呢，这个问题还是不能够像做其他的最值一样能够连续的多动某个主动点，使得这个图呢他都能够啊内接于上，呃，等边三角形 麻烦大了。那然后呢，我还从这里我就猜想答案会不会是嗯根号三呢， 因为我得到的数比较接近 一点七三好像，嗯，可以猜想这个， 然后我想到了这个咱们中国医学院啊张鼎中院是 他呢极力的推荐咱们老师呢啊用动态数学软件，而且张韵是对什么动画软件也有深入的研究。 然后就问豆包啊，能不能啊豆包这方面啊，请怎么样？有没有张愿士的一些写这道题的啊方法？ 然后呢啊豆包就啊给了我回复， 我还问豆包说比如中国医学院的吴文进院是他是专门研究数学的机械化证明的啊，能不能也请教这些大师来帮助咱们中小学 教师来解决啊这方面的问题，然后这个豆包也很热情啊， 豆包你他就建议啊，给张愿士啊写一个呢，这个咱们写一封信， 比如可以问一下张愿士啊张愿士您好，现有一道动态给额难题啊， 等边三角形 a， b， c 边长为四 d。 是 啊， a， c 上的动点 c， d 等于 x， 假设点 e 属于边 bc， 点 f 属于边 ab 啊，给一些约束条件， 三角形 d， f 是 等腰直角三角形角 e， d， f 的 角值都啊， e， d 等于呢 d f 啊， d， e 等于 d f。 设 d， e 为 y， 常规的出等极法只能凑个别的定点，就像刚才我老梁啊这样研究 无法给出 x 的 连续变化，全程自动满足约束函数解析式与有效定义域啊取，现在严格列出约束条件啊，用坐标法来研究， 恳请啊，用消减法，数学机械化方法荷叶并给出啊，这个 y 关于 x 的 权威连续的函数点有效区间， 得到可信的标准答案啊，万分感谢啊，但是我老梁是一个普普普通通的一位老师啊，我怎么敢 去联系张景忠这么权威的大师啊，也无法 联系啊，没有他的联系方式啊，对不对，而且人家科研啊，工作很忙。 嗯，然后呢，刚才不是我，呃，我研究的时候啊，发现 可能是等根号三。嗯，然后我就想当啊，用这个做辅助线的方法 做等边三角形 d， k， f 啊，然后呢，那很容易啊，证明啊，四点共圆啊， d k a f 那这样呢，如果从全几何来考虑，这个点看，他的轨迹应该是直线 a k， 而且直线 a k 平行 b c。 因为同弧上的圆周角 k a， d 等于角 k， f， d 也是六十度啊，角 c 也是六十度，内侧角相等，两直线 平行嘛，那如果这样呢，倒是可以得到一个，呃， 这样的思路，这样的思路对不对？ 但是呢，我也觉得这个现实很怎么很杂，骨感，理想，理想很丰满，现实很骨感。 如果你从根号三来说呢，咱们很容易啊，联想到把等边三角形的高求出来， 因为啊，这个高是二倍根号三，所以呢，我们这样呢，虽然得到答案啊，第一的最小值根号三了， 但是问题是你存不存在符合 d e 等于根号三的点 d e f？ 而且 还要求啊，这个绿色的三角形啊， k d e 垂直， c b 垂直 可以做，但是你能不能实现这个不等式等号成立的条件，你就是点地必须在一可以生，那我老娘做不出来， 比如我把 e d 移动到这个上呢，它就有可能这个高就那个了，不是等于 a h。 所以 这个问题我很困惑啊很困惑，大家看看怎么办，对不对？ 豆包还给出了另一封信啊，看给我老娘，他说啊，咱们中学老师给问一下啊，中科院的一些院史。 豆包给的另一个图片就是这样， 他说治，张景忠愿治啊，政治有政敌，是和机器去证明，这个的确是豆包由 ai 生成的， 我们听着算啊，看着算，因为豆包给的方法 是不是啊，很精确的能够实现啊？刚才我说啊，理想很丰满，现实很骨感， 他要怎么去问呢？张景忠愿是正式调整体制和机制证明啊，用焦点法，无方法 就是无文字啊，方法，因为他专门研究数学机器证明这一块的一道题，他可以啊，用啊机械化的方法自动生成， 那给出的条件就是我们这道题呢，豆包建议请求权威严格解答，一个是要给出函数的 关系是，一个是要求出他最大有效的连续定义，一定要保证点地在 a 身上完全能够滑动，全程自动满足 点 e 在 b， c 点 f 在 ab， 无需人工微调啊，验证这个几何结构是否全区连续的出等函数级 和本质上为啊啊引含那个啊，约束的一些引含的 引函数有没有可以啊求出来啊，这个问题是不是不可能呢，用简单的初等方法求呢？我也很困惑啊， 所以今天呢啊，发出来给有兴趣的数学老师啊，还有数学爱好者啊，也来研究研究我们这个 难题。也就是能不能啊，用语文画板给出啊严格的这个动画啊， 然后给出个可信的证明，因为刚才我说这个证明呢，我是不太可信啊， 为啥从理论上看这个证明也好像。对啊对，但是你这个点的 要在一一 k 上才对啊，你在三点贡献 那一 k 又等于高 a h 在 前面。大家觉得怎么样，可以在评论区发表你们的结论啊，或者是你们的意见，感谢大家的观看， 也可以转发给更多的朋友，来讨论一下你的画板能不能用来解决这个问题， 感谢大家的支持，再见！

好，下面我们来讲几何画板的第十八讲，第十八讲并几何画板制作正多边形 的思路。第一种思路呢，是用迭代 来构建一个窗户， 制作这个十二边形二边形，然后呢，计算计算这个我们要制作的正多边形的 边角度数， 三百六十度啊，去取一边数。好，我们这样得到一个度数，然后呢， 我们换两个点。好，我们把这个点，这是菱形 o 点， a 点， 然后我们选中 o 点，让 a 点抱着 o 点旋转，旋转多少呢？旋转就是我们所计算的这平行角的度数。 好，然后呢，这个点就是我们要找的 b 点， 然后呢我们连接 a b， 这样呢，我们这个正十二边形的一条边 a， b 就 出来了，下面我们使用叠带的方法，我们选中 a， 然后选中变换中的叠带， 让它依次地从 a 到 b。 啊，这样叠带 第二题的好，当然呢，我们也可以在许信中直接填上我们要叠代的次数。 好，这样呢，我们一个正十二变形，行， 这就好了， 这是采用叠带的方法，我们还可以怎么办呢？我们还可以采用深度叠带，我们选择一个点，然后呢，再来描一个点， 我们仍然以 d 点为 o 点， 然后还是选择 o 点，让这个点轮转这个角度，然后跟上 a 连接 a， b。 好， 然后呢，这一次呢，我们采用深度叠的方法， 我们选出 a 点，然后再选出叠代的次数，在变化中按照深度叠代到 b， 这样呢，我们一次性就能够啊制作出正十二点。行，当然我们还可以通过这个 shift 的 加号 来改变因子， b， b 组已被解锁， b 组。

大家好，今天呢我们再来跟大家介绍一下我们这个提酷白板，因为我们提酷白板最近呢密集的在升级做迭代，所以有新的功能。呃，就录个视频跟大家讲解一下。因为我们系统里面有很多的一些细节 非常多，然后老是在用的时候才会发现更多的一些功能，所以有就是我之前都还没有把它讲的很细，所以现在就是我发现不告诉大家，大家也不太知道，所以还是有必要录一下的。那这个地方呢，就是我们 那常用图形这块新增的一个旋转工具，还有一些规则图形，然后我把这个再来给大家演示一下。 那我们在会制的时候，其实啊老师有一个需求，就是我，我怎么样？我们之前是我点一下他，那他中间我们画布中间就会自动新增一个。那我们现在改成了手动拖，就是你在任意地方可以连续的拖动， 像之前可能点一次就生成一个，现在呢是告诉你，你现在正在创创建矩形，而且只要不点结束，你可以一直去创建，那而且从哪创建完全由你自己决定。所以这个就有一个好处，就可以连续高效的去运作。那我们再会制一些其他的把它选中， 然后我们会制一下三角形，这个三角形是它的圆心，那个 中心中心，然后拖动就行了，我们只要拖动就行了，然后拖动之后我们结束，我们看到这个三角形是可以去自由调整的，那我们还有这个三角形角度，就是这里面会把它的角度 给你显也显示出来，然后我们移动就是都可以把它正常调整，然后我们再来演示 这个圆是基本上不用怎么用颜色的这个扇形，扇形有角度的，就是我们鼠标直接拖拖松手，然后确定一个圆角的一个出使边，然后移动鼠标呃来确定它的半径和它的角度， 点一下确定好之后再点一下就行形成了，我们先拖，然后看就这样子就行了，这是我们的一个 呃扇形，然后呢我们再会制一个这个规则矩形，所谓的规则矩形就是有约束，你看这是直角，这是等边，这是等腰正方形，这些都是有规则规律的。那我画一个直角，我把这个先清空掉， 然后我们来绘制一下这个直角三角形，它是这样子一个直角开始，然后我们会发现我鼠标移动位置，它就会跟着我去动，那我们结束绘制之后还是可以调整 这个角地方可以调整，然后我们这个我先都把它绘制好吧，然后我们再演示一下怎么去旋转， 把它删掉，然后我们再演示一下这个等边三角形，等边三角形其实就是这个 他移动的时候不像我们刚，你看他是规，他是等边，规则是不会变的。像我们之前用这个平面图形里面的三角形，他是可以任意自由的去调整的，这里面呢就有约束，你调整不了。像这个等腰三角形，就是这样可以控制他始终保持等腰， 然后这正方形它始终保持正方形，然后这个平行四边形，你看平行四边形，它始终保持这个规则，松开之后我们这样去调整，你看它有一个手柄在这里可以去控制它， 这个是规则，然后菱形也是一样的，我们选中之后，它始终保持这个菱形的规则。梯形，这是我们的梯形，看它都一样，有一个手柄在这控制， 然后我们把这个清理掉，然后来绘制一下我们之前 这个立方体。立方体现在是什么呢？就是我们之前也是的，我们点一下，它会自动在画布中创建，那我们现在就是可以点一下， 点一下拖，拖一下，它会自动去创建，不停的创建，可以连续的创建，这就是它比较现在就效率更高的一个方式。那这是我们 已经啊，昨天还不是这样子，就是每天都在升级，那我们把它清理掉，我们来演示一下旋转，就是我画一个嗯，这个任意的三角形，然后结束，我把它调整一下， 随意调整一个形，任意的形状，然后我现在要给他做一个旋转。那么旋转是怎么样呢？就是我们看到这里面有个旋转按钮， 也可以这里面有一个旋转，我点一下或者点右边，这个都是一样的，选中，嗯，点了之后呢，我们会看到就是他这里有个提示，绕 o 点旋转这个角度， 嗯，他告诉你是半透明，是一个预览效果，然后确认后会写入画布。那这个选绕 o 点是什么意思呢？其实这里我应该把它在画板上指定旋转中心， 指定旋转中心，其实就是这个 o 点，就是以谁为中心来旋转，是完全自自己控制的。比如说我以这个点来旋转，我，我只需要点一下它，我们看到这个旋转的提示就在这了，然后这是一个旋转手柄，我绕我点的这个它， 你看我们这个旋转的多少角度，实时的告诉你。然后这个灰色半透明的这个就是我们预览的一个效果，那这个是是这样子的，那就是这种， 然后我们松手之后，只要点一下确认，他会告诉你旋转了二十一度，二十一个角，二十一度，然后点确认，最终就是这个效果，然后我点这个试试看，然后我以这里为中心来旋转，那我们就会看到是这样子旋转的 旋转多少度之后松松开手点确认，就是这样子，就是非常的方便，就是任意角度去旋转，比如说我旋转，我在外面再选找一个角， 这是他的旋转中心，那我在移动，我们会看到这太丝滑了吧？ 就这样子确认一下就过来了，那嗯，我们的旋转功能就是这样子， 然后，嗯，其他的都一样，就是然后我们像这个连续绘制，有一个点，就是我们画虚线的时候，比如说我这个想画一个虚线， 你就可以连续的去作图，这种画这种垂直线的， 哎，这里还有个小问题吗？我这个画好了，然后再来看 这样子画，画好之后结束，然后我们可以调整一下这样子，那基本上我们新的这个功能就演示到这了，就是主要是呃一个规则矩形，然后呃旋转，嗯，这里面， 嗯，其他的一些配置啊，在上一个视频也都介绍到，像立方体这些都介绍过，然后我们看就这个再来演示一下他的这个厉害的地方，就他这个可以， 可以去调整他的位置，不断的调整，然后这个虚线他会自动的去计算，这是我们的立方体，然后我们老师在用的时候呢，就是有新的需求都可以跟我跟我提，然后我们这边会，嗯， 响应的非常的及时。就是这也是我们昨天老师我们公布了录了新视频之后，老师使用起来给我们的反馈就是这种连续的去绘图会更高效，所以我们马上就实现了， 就是都是通宵去做的，所以老师们有什么新的想法及时的跟我们去交流一下，那我们这里就展示到这里。

有空再回来啊。我，我有空再回来。 知道了，知道了。

啊？大家好，今天呢跟大家介绍一下我们呃深度自定义题库的一个新的模块，是我们的几何画板模块，这是我们自研的一个功能， 就是为了我们满足我们的几何绘图，就是我们数学，呃，初中、高中有很多的几何题，那有时候，呃我们的资源，呃里面的图片非常的不清楚，那有时候我们希望重绘，那我们就可以用我们这个工具，那我们简单介绍一下， 我们这边是呃工具箱，工具箱，然后这边有移动，就是我们可以移动画布，也可以移动我们的这个图形，然后我们这有一个框选就可以选中它，选中我们就可以呃一起删掉，按 delete 键就删掉了。然后我们可以呃加点，就是加点， 但是我把这两个点不要删掉，那我们可以加中点，中点就是什么？在这个地方，这线的中间，我点一下可以加了一个中点，那我们点删除，这里有个删除，我就可以把它点掉，把它删掉了。然后这是我们我们可以画直线， 直线线段，然后折线，按结束，按那个 esc 键左上角的，然后射线，射线是这样子的，那我们把它全删掉了。这几个 我们来演示一下对应的多边形，就是这是我们的多边形，然后正方形，正多边形，正多边形。你点两个点之后就问你，那你要正几边形？我们六边形等一下给你画好了，然后我们移动一下 这个正多边形，然后这里有平行四边形，平行四边形、矩形、正方形， 然后菱形，常见的一些形状，然后就是圆，我把这个都清空掉，它全选清掉我，我可能在这边还得加一个按钮，叫一键清，一键清平。那画一个圆，以这个点画一个 半径为二的圆，然后这是圆弧，圆弧和多少？这样子。扇形，这是个扇形，那我们椭圆，椭圆轴加点，轴加点，然后椭圆弧、 椭圆弧这样子，然后这里我们有隐藏标，标签，隐藏就是把这个，你看啊，这个啊就隐藏掉了，然后有变更，标签变更，比如说我这个， 呃，把它改成圆心，然后确认它就是个圆心，删除，然后点一下，这个状态下我直接点哪里，哪里就删除， 这是删除那。嗯，还有点样式，比如说这个点，我把它改成另一个颜色，改成红色啊，本来就是红色，把它改成蓝色， 然后确认它就变成蓝色，然后线样式，线样式就是这个周长。比如说我弄一个线段，那它这个线样式呢？我把它改成虚线， 虚线，那他就是虚线，我想再加个箭头，我再点一下，把它加一个箭头，确认他就有个箭头。面样是什么意思呢？面样是，比如这个圆，这里面填充是什么颜色？我给他一个，呃，浅蓝色，那他就是个浅浅蓝色。坐标轴，坐标轴，那就是这个坐标轴。是否有显示 文本啊？你添加文文本本呢？支持 the x， 就 这样，我教一个，可以把一个题目都放在这，都可以，我把字号放大一点，这是预览的一个效果点确认，那这个时候这个就在这了， 就就在这了。然后我们来演示一下联动我这个框，选一下，把它删掉，把这个删掉，都删掉吧。我画一个正方形， 正方形再画一个圆形 二吧。那这个，呃，我们刚看到，我原是从这个正方形的一个点开始画的，那我们改调到移动的状态，那我移动看看，那我们会发现它是联动的，它是有一定关系的， 就是非联动的点它无所谓，那么可以缩放，可以拖动调整画布，那这个画好之后，假设我们要的图画好之后，我们把它下载下来。怎么下载呢？这里有个导出，我们想把整个画布都下载下来的话，点第一个，我们会看到它就是这样子的一个效果，那我如果要画，我只需要这个图，我不要这个画布，那我们点第二个内容区域，我们会看到 他就是这个，那我们就直接上来用了，那这是在首页看到的，那我们回到我们的空间，我们空间里面我们录题的时候，如果需要画图，那我们直接有一个几何画板在这里画就行了。 然后我们可以如果我们的这个图是要呃长期维护的，就是可以存储一下，我们在这里面建个目录，建个目录就分类，这个和题目里面一样的，我们去建个分类，然后在这里面去创建一个项目，取个名字，取名字之后呢，那 就会出现出现在这里，那这个是我之前画的。嗯，这个这个之前画的呢，我们这里面这个建设文件一点保存，他会被保存下来，下次再打开 还是能够继续编辑。那像这个这里面是空的，我点开看一下，这就是空的，那我把这个之前画的，我想在这个基础上再去去调整，那我们就可以点复制，把这个数据复制一下，我们到这个空的里面，我们点把这个粘贴， 我们会发现应用一下，那就过来了，这个时候我再去调整，比如说我调整到这，调整到这我保存一下。啊，那这个我取个名字， 然后我们下次再打开，我们发现还是可以继续编辑的，而且我们再打开这个，它是原来的不相关，互相不影响，就是可以一直去呃多次编辑。那下次用了某个题的时候，其实我们就可以把直接把这个下载下来，其实我们后面还会拓展更多的功能，就是在这里面直接上传到我们的图库，然后在录题的时候可以直接选直接用， 这是我们呃几何画板，嗯，跟我们题库的做一个有机的结合，那我们呃基本上初步是介绍到这里，我们还还会继续叠带，那欢迎老师们来体验一下。

我一定红透半边天的。