南通四模2026数学评分标准

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昨天刚考完呢，江苏南通四模的这个压轴题啊，这个压轴题出的也是比较不错的，改编自之前的一道江苏高考压轴题，当然整体难度不是很大，因为是高三最后一模了，但是作为练手呢，还是比较好的，我们一起来看一下。已知竖列 a n 的 首项为一， 公比为 q 的 等比，竖列设集合 u 式 a 一 点点点到 a 大 n 对 u 的 任意非空子及大 m， 即大 m 的 所有元素和为 c 个码 m。 第一问，若 q 等于二，大 m 等于 a 二 a 五，求 c 个码 m， 那 如果 q 等于二的话，我们知道首项是一，那么我们就能算出 a 二就是等于二， a 五就是 q 的 四次方就是十六。那么这个 c 个码 m 呢？有有，它定义就是这两个元素和嘛，所以是十八。第一问比较送分 好，第二问开始就有，抽象起来，有些同学就不知道怎么做了。其实第二问非常简单，他说若任意若 q 大 于等于二 m 呢，是 u 的 一个子集，证明 c 个码 m 小 于 a 大 n 加一。那我们知道 a 大 n 加一是固定的，就是首项乘以 q 的 大 n 嘛，对吧？那我要证明 c 个码 m， 因为 m 是 一个不确定的东西，但是我要证明这个 c 个码 m 比 a 大 n 加一小。我是不是只要证明 c 个码 m 的 一个最大值 比大 a 大 n 加 e 小， 相当于是一个函数思想。哎，这里就是个竖列函数化思想，因为 c 个码 m 具体是什么我不知道。如果我能证明它的最大值比它小的话，那我当然能证明 c 个码 m 小 于它了，那就非常简单。那因为 m 是 u 的 子集吗？那你说 c 个码 m 什么时候最大呢？ 那非常显然就是说它所有元素都有的时候，所以 c 个码 m 的 max 就是 a 加 a 加 a 大 n， 那 我们用等比数的求公式，一减 q 分 之一乘以减 q 的 n 次， 那 r n 加一就是 q 的 n 次，那我们相当于只要证这个东西就行了。那只要证这个东西，我们用分析法证就可以。因为 q 大 于等于二，所以我乘过去的时候要改变符号，只要证一减 q 的 大， n 大 于 q 的 大， n 乘一减 q， 对 吧？然后我们整理一下， 相当于就得到这个东西，那这个东西大于零很好证的，我们只要把 q 的 n 次提出来，就 q 减二大加一了，那因为 q 大 于等于零，所以这个东西显然是大于零的， 那就显然成立了啊，那我们就证完了，对吧？所以第二问呢，本质上考察了一是一个函数的一个思想啊。然后 我们再来看第三问，他说如果 q 大 于等于二， ab 属于 u， 从下面两个结论中选择一个证明，他说第一个 sigma a 等于 sigma b 的 冲量条件是 a 等于 b， 第二个是不存在 a 时的 sigma 又等于两倍的 sigma a。 其实这个证明也非常简单啊，那我们一起来看一下，比如说我先证 e， 我 来证 e 啊， 那冲要条件的话，首先充分性非常简单，如果 a 等于 b， 那 么它们两个 c 个嘛， a 当然是等于 c 个嘛 b 的， 对吧？因为它们两个集合相等求和当然一样了，对吧？那我们下来证必要型，如果 c 个嘛， a 等于 c 个嘛 b， 那 这个时候我们就是竖列中最常用的证明方法叫反证法。我们可以假设，因为他让我推出的是不是 a 等于 b， 我们来反证，如果 a 不 等于 b， 那 么会怎么样呢？那我们知道 a 不 等于 b， 那 么他们一定有元素是不相同的。那我们就假设，因为我们从第二面也看到了，其实取决于他的就是那个 大的那一个元素，是非常关键的一个比他，比他比他最大的元素要大的一个元素，可以比他所有求起来求和都要大， 所以我们就抓住最大的那个元素来进行讨论。我们假设 a b 不 相同元素的最大下标叫做 r， 那 我们不妨设这个 a r 在 a 中，但 a r 不 在 b 中，那我们来两个式子作差， c 个码 a 减 c 个码 b， 对 吧？那肯定大于等于 a r， 什么意思呢？ c 个码 a 一定有 a， a 里面一定有 a r， 但是其他也有可能有。那我既然为了放大放放成大于等于号的话，那我就假设它就只有一个大于等于号的话，那 c 个码 b 呢？ c， 因为 a r b 没有，那它要减去减去的东西，我要放成大于等于的话，那我是不是最大？最大就是说 i 等于一到 r 减一 a i， 对 吧？所以这个就是它一个极端情况，对吧？因为 c 个嘛， a 照理来说可能有 a 一 a 三的，它减减减到 a r， 对 吧？那肯定大于等于 a r 单独的一个的，然后这个东西呢，肯定是小于等于 a 等于 a， r 等于 a r 的， 然后它因为填个负号，所以整体不等号，就往这里走。好，那我们知道，当 r 等于 a 的 时候，那是显然，当 r 等于一的时候， 意味着 b 是 空集嘛？ b 是 空集 b 什么东西都没有，对吧？就矮子矮从零开始了，对吧？就没有，没有，那那是显然的，对吧？就是 a 一 肯定大于没有东西嘛，对吧？那如果 r 大 于大于等于二，如果 r 比二大，那我们由第二稳值，这个是非常显然的一件事情，因为我们一个比他下 价标大的元素就可以抵上它所有求和了。所以我们通过第二个问的证明，我们知道，哎， c 个码 a 减 c 个码 b 是 比零要大的，那么它显然与条件矛盾了，对不对？显然与条件矛盾， 所以我们就知道啊，所以假设就不成立，所以 a 等于 b， 那 我就证完了。那有些同学说，那我第二个怎么证呢？其实我如如果你把第一个证完了，来证第二个，就是非常简单了，我们来 来看一下，比如因为他，但是他考试只让我证明一个啊，后面那个你不研究也无所谓。那我们来严谨的来看一下，我们再来证第二个也同样简单。如果 sigma u 等于两倍的 sigma a， 那 我们令 b 等于 u 减 a， 那 我们 sigma u 呢？可以拆成 sigma a 加 sigma b， 他因为告诉我等于两倍。四个码 a 呢，意味着就是四个码 b 等于四个码 a， 那 四个码 b 等于四个码。如果我第一个证完了，我就能推出 b 等于 a 了，对吧？ b 等于 a， 但是呢，我们知道 b 是 u 减去 a， 所以 而但是 b 与 u 它是互为一个，叫做补集关系，它是不可能相等的，那就与我的假设是不是矛 盾了，假设不成立，所以第二个也证完了。所以如果你把第一个证完了，再来证第二个也比较简单啊。 当然如果你直接证第二个，思想其实也是一样的，就是我取它最大元素去讨论就可以了，也是非常的简单。好，本题我们就讲解到这里。

我杜米亚讲二零二六届南通四模的压轴单选择题。这里我通过举例验证，存在不单调的 f x， 也存在单调递增的 f x， 但不是所有的 f x 都不单调，也不是所有的 f x 都递增，这样便能排除 ab 选项。 与此同时，这个例子也说明 f x 可能存在最小值，这样直接选 d。 假如是不定项选择题，我一定会继续分析 c 选项。这里我假设 f x 存在最大值，此时 f x 小 于等于 f x 零横成立。 这时候可以验证 g x 零小于等于 g x 一 啰减 t， 但 g x 递增 g 大 于零，进而 g x 一 啰大于 g x 一 啰减 t。 c 选项错误。

根据二零二五年专题解读以及历年卷面分析，南通中考数学最后两道题呢，考点相对来说比较固定，但综合性和创新性在逐年的加强。第二十五题，几何综合， 通常围绕着四边形、矩形、菱形、相似三角形、全等三角形、勾股定律等核心的这些知识点展开。常考动态的几何问题，如动点产生的面积变化、线段关系 要求啊，进行严密的、有逻辑的推理和证明。第二十六题呢，一般会考函数的综合， 常作为代数与几何的缝合怪出现。近几年高频考点是二次函数与一次函数、反比例函数的结合，或函数背景下的对称变换面积最值存在性问题。 他非常强调塑形结合的思想，计算量也往往比较大。二零二六年，我们精准预测一下方向，结合南通市教科院二零二六年命题培训提出的情景化命题、 数学文化渗透和思维过程的考察三大风向标，今年呢，最后两大题命题的方向大概会这样做。

同学们，最后十几天，今天咱们看一套含金量很高的卷子哈，九中高三四模这套题整体难度跟高考很接近，甚至略高一点点。好坏我都说 选择题第四期十三题全是倒数逻辑，知识点有点扎堆，但真正的好题是真的好说。三个最值得做的题目， 第八题，神经网络数列给一百个一，每次相邻相加，问你多少次后变成多大的数。很多同学一看就猛，其实内核是阳辉三角加二项式系数 算到最后是二的九十九次方，用 l g 二估一下数量级十的二十九点七次方，答案秒出。这种题考的就是你能不能把心情仅翻译成数学模型。第十题，平行六面体 侧棱和底面夹角可变 a、 b、 c、 d 四个选项，从向量垂直到外接求半径最小值，特别是 d 选项，动角条件下求半径最小，得用均值不等式。这题把所有例题、几何核心考点揉在一起， 高考特别喜欢这样层层递进。第十八题，圆锥曲线，前两问常规，第三问给了一个斜率倒数的关系， e k b， d 加二， k s， c 等于负两。你老老实实设直线为达定里，带进去会得到直线横过定点 t 六减二，然后因为 o q 垂直于直线， q 的 轨迹是以 o t 为直径的圆。 最后问是否存在定点 k， 使 q k 为定值，这不就是圆心吗？这道题把几点极限和隐形员玩的明明白白，区分度特别好。总结一下，这套卷子，情景化命题狠心，计算量适中，但思维深度够，缺点就是导数题稍微重复， 不过不影响，它是一套高质量的考前模拟。这套试卷想练手吗？评论区打哈九中四模，然后死我直接拿走。觉得有用，点个小心心，咱们高考加油！

朋友们大家好，今天我们讲一下南通四模的这张卷子。这张卷子整体而言，选择题是有难度的啊。我们先来看一下第一题，能截图答案，选 a， 只要你平时认真画，应该没问题。 当然呢，这个地方考察了波尔的能量量子化， e， n 等于 e， e 除以 n 方， 那 e 一 表示的是这一段啊，这是 e 一， e 二呢，是这一段，那么 e 二呢，等于 四分之一个二的平方，四分之一个 e， 嗯，好。然后第二题，磁感强度对 m 而言， 手握一下，右手螺旋，嗯，向下，对于这个 n 而言呢，它在 o 点产生的磁场也向下，所以呢，向下 答案选不完。第三个 啊，分子间距离的数值，大概这个分子力源于电磁相互作用，是正负电赫的相互作用导致的一个分子力选 boy。 那么在这建议看一下书，四种基本相互作用，强相互作用弱相互作用分别在什么范围内？强相互作用在十的负十五次方米的范围内，如果没记错的话，这负十八次方米范围内，还是去看一下， ok。 然后第四题，内壁光滑且导入性能良好的气缸，缓慢放倒后，如图所示。那这道题目还是要加两个字会好一点。用有质量的 活塞，质量要考虑，所以一开始呢，这里面要强调是 p 零，加上 mg 除以 s， 活塞质量，嗯， m 除以 s， 然后倒下来之后呢，就是 p 零，嗯， 所以这个过程呢，压墙在减小，那么体积就会增加，那压墙减小，体积增大，那意味着这个气体要对外做功啊，活塞往外推，对外做功，所以呢， 它就要吸热，保证内能不变，达到良好温度不变，内能不变？ 答案选到第五题，半衰期，你选举的可能是一到零点五，零点五没有，那就零点八到零点四，零点八到零点四，或者呢，零点四到零点二， 所以一百四十五减三数，或者二百五十五减一百四数算出来， c。 第六题，答案选 dog。 这道题目，数值电梯停靠在它的上方时， 那图稍微画一下， 同步卫星电梯呢？在 在这 啊，然后自由释放一颗小型卫星，这个小 m， 那 最初的运动是什么？那么这题目难度不是很大啊，因为它和同步 卫星就静止卫星一起绕地球做圆周运动。角速度，角速度啊，那相同，把这个力画一下，这是引力，对于同步卫星而言，是引力提供向心力 求 r 方等于 m， 奥妙方乘以 r r 一 吧。而对于这个绿色的小型卫星而言呢，它是 g 大 m 小 m 除以 r 的 平方啊，这个 r 是 这个了， r 的 平方 等于 m omega 方乘以 r， 那 么很明显，和上面比的话，要 omega 相同，这个式子呢，是不成立的，对吧？所以和上面对比一下，你会发现呢，明显这边的 r 二要大于 r 一， 所以后面呢，变大了， 而 r 二呢，大于 r 一， 前面呢，和前和之前的比呢，又变小了，所以这个地方肯定要加上一个 f， 这个 f 指的就是电梯啊，给他的一个力 才能成立。那现在呢，自由释放，也就是把这个力去掉了，把这个力去掉之后呢？那么很明显， 外力呢？将小于所需要的向心力，嗯，外力小于所需要的向心力，那做的居然是离心运动。所以答案选到了 好。然后第七题，第七题，这个题目还是蛮好玩的，人在走，匀速前进，那这个过程呢，你需要去思考的就是 人在往前走的过程中，这个水杯，它为什么水面为什么会晃动啊？那本质上就是我把图画一下，你先就能明白啊。 看一下，这个图画的不太好， 应该是这样子，两个腿在同条竖直线上的时候，水杯呢，会变高，然后呢， 再这样子的时候啊，所以这是假设，是右脚在前啊，这左脚在前，这迈了一步，这步幅呢，是零点七五米啊。画好那水杯， 所以你会发现，实际上这个水呢，也在做这样的一个看水的重心在上升下降这样的一个运动， 那这个就导致了水面那个晃动，那这个晃动的频率呢？应该和水人往前走路的频率应该是一样的啊，所以呢，等于四赫兹就等于周期分之一，周期等于它的浮 零点七五除以 v 啊，所以呢， v 就 等于四，呃，四乘以零点七五，算出来三面面面， 这题答案选择 a。 当然这道题如果你不懂也没关系，也能猜出来啊。 然后第八题，第八题，这个题目考的是非常的，嗯，我觉得这个学生能力要求有点高了啊，因为他考的形式，这个时间由什么决定呢？由运动方向或者速度方向的力决定。 由速度方向的力决定， 说白了，就是他的运动的时间只由和速度相同方向或者相反方向力决定。 那也就是说，我画任意一个位置，这是支持力， 这是重力。 嗯，这是 我不用设 c 大 角的不引入计算啊。这是 g 一， 这是 g 二， g 一 呢，提供了它沿着运动方向的加速度啊，改变速度，改变速度大小， 这个速度大小呢，决定了时间。 那这道题目如果这个懂了的话，那么加洛伦兹力也就加磁场， 这个洛伦兹力的方向呢，与运动方向是垂直的，所以呢，不影响速度方向的力，所以加磁场没任何影响。当然选择 boy t r t 相等，如果加向数值向下的匀强电场的话，那就意味着 f， 这个 f 要分解一下。嗯， 那这个时候呢， f 一 加上 g 一， 就提供了这个 a 一， 很明显， a 一 变大了，变大的时间可能会变短了，所以呢， t 三呢，小于 t 一， 嗯，所以答案选 boy。 第九题考的是速率问题啊，那是速率问题的话，那么 比较简单的做法呢，实际上就是描点作图，因为它考的速率 v 呢，等于， 这是 v 一， 这是 v 二啊，那任意时刻的速 v 呢，应该等于根号下加 v 二减 g t 或者平方 啊，所以 v 和 t 的 关系，如果你光写出这东西，可能你算不出来，可能算出来可能能得到啊，答案选择 dog。 那 么我是怎么做的呢？比较简单，秒点作图非常容易， 随便画一下就可以了。 这是 v 零，这是二 v 零刚开始抛出的时候速度啊，然后到最高点，速度变成了 v 零，对了吧，那么在中间的时刻， 它的速率呢？是 v 零， v 零，对了吧，所以有了这个东西的话，我就可以直接画图了啊，描点作图，这个是刚好五个 v 零， 根号为零，最高点呢，速度是 v 零，根号五是二点二几，对吧？二点二几，所以这是 v 零，所以先把它秒好， 这是 t 时刻最高点，这是出射时刻，我找二分之 t 就 可以了。二分之 t 在 哪呢？在这个这一点四，根号为零，一点 c， 四个 v 零 啊，根号为零呢，对应是二点二个 v 零，所以你会得到什么呢？ 你会得到这个 v 零和根号为零，中间这个速度呢，应该是一点六个 v 零，大概，而他现在呢，在一点 c 四，瞄一下，往下面一点， 那自然你知道了啊，这个速度呢，应该是这样子画的。 答案呢，选择 dog 第十题第十题，这道题目很新颖啊，是一个考察等效电路图的问题， 考得学生的底层的分析能力，对学生要求其实比较高的。也是第十题嘛，好， b 和 s 瞬间电流等于一除以二。那闭合瞬间，把电路图画一下， 闭合瞬间电容器要充电，相当于短路， 它能产生自改阻碍电流过来，那相当于断路。 那这电路图画好之后的话，答案就出来了啊，线圈这边相当于断路， 所以电路中电流呢，实际上就是一除以二，线圈里面呢，电流为零，所以它不对。线圈中电流 那么稳定之后呢？稳定之后就把这个电路图也是画好， 稳定之后他告诉你，线圈电阻不计，稳定之后质感现象就没有了，因为电流不变了啊，所以呢，这个电路也是这么画的。电容器呢，是这么画的，那电容器呢？被短路了，电压为 e。 错了，电压为零。 那断开瞬间电流是多少？那断开瞬间电流等于断开前流过线圈的电流，这电流呢，是一除以二啊，所以 c 是 对的。 那断开瞬间自感电动是最大啊，在这注意一下是不对的，原因很简单，把电路图画一下，因为断开瞬间呢，这个 电感线圈将要给电容器充电，它的自感电动势呢，应该等于电容器两端的电压，这是 ab 的 话，这 uab 是 电容器上的电压，也等于呢， q 除以 c 也等于 l， 乘以它的 i 比上对到 t， 因为在这个瞬间，注意一下，电流不变， 电流不变，所以呢，带大 a 为零，因为在这瞬间呢，它的 q 等于零，所以呢，两个都得到了 u a， b 呢，应该等于零的。 u a b 等于零的，注意一下啊，自感电动势为零， 因为在瞬间电流不变。然后第十一题，第十一题，这道题出的好啊，这题，这题。嗯，最老的题目呢，它是矩形线框， 这题目呢，变成了圆形线框也没什么问题，把它当矩形线框做就可以了啊。因为这边呢，这边从磁动量的变化率来考虑的话 啊，和形状无关，和线圈形状无关。 当成矩形线框来考虑，相对简单一点。把模型稍微改一下，不然的话算比较难。算一点啊， 好，把它当矩形线框，随便画几个位置往下落嘛，对吧？高度是 h， 高度是 h， 那我首先要把这里面词动量表示一下，这里面词动量怎么表示呢？磁场的变化，所以聪明的同学应该能想得到， b 随 y 成正比，那么在第一个 h， 第二个 h， 第三个 h， 看一下 这个面积呢，这面积实际上就是这个里面的磁通量，再除以一个这个水平的距离，假设是 x 的 话， 嗯，所以呢，这个面积乘以 x 就 对应是这边的磁通量，所以这是 h， 这是 k h， 所以 低位值是 x 乘以一个 k h 除以二啊， 然后再看第二个位置 f x 乘以什么呢？这块面积二分之 k， 这是二 k h k h 加二 k h 乘以 h 除以二 m 的 k h 啊，不好意思， low 了。前面乘一个 h， 那 这个就是 二分之一个 k h 加二 k h 三 k h 这样，然后再看一个斐三，斐三是这个，嗯， 等于 x 乘以一个二分之五和 k h 乘以 h。 好， 写到这儿上你就知道了。从 f 一 到 f 二，从 f 二到 f 三，这个待它 f 一 二，等于待它 f 二三，所以下落相同的高度，它的这个待它 f 一 样意味着什么？一样呢？ q 一 样待它 f 除以总电阻， 所以通过线圈电和这个下落高度呢，是成正比的。因为下落一个 h 呢，就是一个 q， 那 下落两个 h 就 两个 q， 下落三个 h 呢？三个 q， 因为通过每一个 都是一个 q， 所以 这地方答案就出来了。 好答案，选择 c， 那 么其他的选项每个过一下啊，穿过线圈磁通量呢？跟 h 肯定不是成正比。能看得出来啊。 下落一个 h 啊，下落两个 h 对 应的是 把磁通量给写一下吧， f 等于什么呢？ x 乘以一个这个二分之一的 k 乘以个 二 n 减一个 h， 然后乘一个 h， 那 这个 h 是 这个，那 下落这个二 n 减一个 h， 嗯，往里面带一下，这个假设大 h 等于三个小 h 往里面带一下 n 个。呃， 把这个 file 往里面带一下啊，两个小 h， 所以呢，这个就是。咳咳咳，还带得出来啊。算了，不写了吧，有兴趣同学自己把它算一下，往里面带进去 啊，或者不用这样子，脑脑抽了，不好意思，脑抽了，脑抽了，直接死死算一下就行了 啊，死算一下就行，我们算一下啊，不难算，刚才脑抽了， 假设下落的高度呢？是 h， 那 这时候磁量是多少呢？ k 大 h， k 大 h 加小 h， 所以 磁动量就是这个 f 等于二分之一的 x， 乘以二分之一的 k 大 h 加 k 大 h 加小 h， 对 吧？然后再乘一个小 h 等于 h， 二 h 加小 h， 所以怂量和下落高度是不成正比的，这个问题不大啊。 好，然后看它的电动式，电动式，电动式呢，就是怠怠比，怠怠 t 啊，那这个地方就是怠对 t 求的， 因为你算过了这个地方斐的这表达式啊，这个斐的表达式，那么 h x 都是定值，因为线框的高度若是 h 的 话都定值，那么这个地方呢，就是对 对这个相当于对这个大 h 求的啊，因为是撇等于这个 二分之 h x 乘以个 k 二 h 加 h 对 它求个导，在求导之后的话，你会发现这个过程呢，应该只和就相当于对这个大 h 求导啊，因为其他都是定值嘛。那它的话 就直接对应的是 v 啊，要求的就对应的是 v， v 的 话再增加 就是速度，那它的速度呢？和这个 v y， 嗯，这个 v y 和这个 h 并不是成正比的， v y 和 h 并不是成正比， 如果成正比的话，那它的斜率呢？ 用它的斜率就是 dy 比上 dyh 等于 a 比 v 啊， a 比 v， 那 这个 v 越大呢？ a 是 越大的，而这个过程肯定不是因为 v 越大往下跑的过程， v 越大， 它所说的安培力是越大的，安培力增大，所以呢，它的加速度呢？应该是减小的，所以肯定不成正比，所以波也错的啊。然后 double 选项线圈产生的交耳热， 那么交耳热很明显应该是 重力势能，减掉一个动能增加量等于九二六，因为有这个动能，所以它和这个下降的高度 h 不 成正比，所以它不对。答案选择这个 c 题目还非常好玩的啊。 当然电动势你也可以通过这个线框下落啊。线框下落来求， 因为星光下落速度饱和时的速度是 v 的 话，那么这个电动势呢，应该等于 blv 下面的 b 二，上面 b 一， b 二减 b 一 乘以 lv， b 二减 b 一 呢，应该是 k h 啊， k h， 然后乘以 lv v 呢，它还是一样的，刚才一样，也就是 e。 电动式正比于这个速度 v v 和 h 不 成正比，所以最后肯定不成正比啊。 然后第十二题，第十二题这题目出的也是蛮好玩的啊。难度还好，主要把得得 t 搞清楚。什么是得得 t？ 接收到碰撞声卡机时，小球反弹后又落下， 然后再次碰撞，然后连续碰撞，时间间 隔式代交替。碰撞的时间间隔式代交替，第一次碰，然后反弹起来， 第二次碰。嗯，那这个时间间隔呢？是怠速 t， 那 么很明显，因为对称性上去的时间二分之一个怠速 t， 所以呢，这个速度 v 呢，就等于七乘以二分之一怠速 t 就 出来了， 所以七乘以二分之怠速 t 一 就好。 好，然后第二个都给你了，零点八保留两位就可以了。那下列因素对实验有影响的是地面不平整肯定是，对吧？我这边反弹，然后到这 下落不平整，我只把它放大了，其实同一个位置，同一位置， 他给的就是这样的一个，叫 高度释放。我是把这个同一个位置把它画大了啊，注意一下，不平整导致这样的一个碰撞，并且不平整会导致它的速度会反弹起来啊，导致有误差，所以呢，这个不平整可能是有影响的。 a 球释放时有释放速度，这个无所谓，有释放速度相当于第一次释放的高度，高了一点而已，因为我研究的是碰撞过程啊，有速度无所谓，跟我没关系。嗯，然后手机固定在小球释放点附近，手机放上面， 那声音传过去，声音传过去，这个时间是可以抵消的，也就声音传递的时间可以抵消，那么对它也没有影响。答案选择 a 好， 然后男的是第四问，第四问告诉你，阻力与这个 速度成正比，所以呢，把这个图画出来 好，画好之后选项就出来了，嗯， v t 图像，嗯，在这边呢， 最高点呢，速度为零的时候，它的斜率呢？是重力加速度啊，所以呢，同样的画下这个图 好，而我在算的时候呢，注意，我是不考虑阻力的时候，我是按这个来算的。那么很明显，在考虑阻力的时候， 阻力这边呢，是碰前啊，这边碰后。说错了，和地面碰后，这边呢？和地面碰上前 啊，碰后反弹呢？然后这是碰前的，碰前呢，很明显啊，我的有阻力是考虑 f， 那 碰前碰前它的速度呢？ 考虑 f 碰前速度，碰前速度是这个值，红色的这个值，碰前速度这个值，但我算成了什么呢？算成了绿色的值。所以碰撞前啊，我的速度 考虑 f 的 话，碰撞前我的速度要小于不考虑 f 时， 然后碰撞后速度，碰撞后的红色的速度啊，红色的速度图里面，红色的速度要大于 不考虑 f 时，那 k 是 不考虑 f 的 时候， k 一 撇是考虑的时候，那么碰后的速度注意啊，是大于前面的，也就是 这个 k 一 撇等于二分之一 m v 二一撇的平方， 而 k 呢，是等于二分之一 m v 一 的平方减去二分之一 m， 碰后的速度是 v 二，不好意思，这是 v 一， 碰后的速度是 v 二啊， v 一 的平方，那碰前速度，碰前的速度 这个小于不考虑 f 的 时候。碰后的速度大于不考虑 f 的 时候，那就意味着碰后的速度。看一下 k 一 撇这边的 v 二，这碰后的速度， v 二一撇和 v 二，这是 v 二 v 二一撇， 所以 v 二大于 v 二一撇，同时呢，这边的 v 一 撇也这边 v 一 撇，嗯， v 一 撇要小于 v 一， v 一 撇小于 v 一， 那就意味着这个 k 一 撇呢要大于 k， 所以这边写小于小于，理由就是这个碰后的动能大，碰前的呢动能小，碰后动能大，碰后呢碰前呢动能小。也就这个 v d 图像看懂就行了。 第十三题属于送分题了啊，相对比较容易。十欧姆十比一 十九千瓦，三百八十伏，所以这电流出来了五十安培，所以这边电流也出来了五安培，所以 i 二等于五十安培。 等于 p， 除以 u 啊，第二根得到 p， 得到 p 等于这边的 a 方乘以二等于五五二十五，再乘以一个十二百五十瓦，所以这根相对比较容易。 好，我看一下第十四题，第十四题呢，就是一个小的计算啊，入射角告诉你了，折角告诉你了，六十度，三十度，所以第一个传播速度 v 等于 c 除以 n， n 呢，等于 sin， 六十度， 比上三，三十度等于根号三，所以这边算出来 c 除以根号三，然后第二问有点小计算，求这个距离，求这距离呢，肯定是把这一段求出来，因为这个角度呢， 六十度啊，耳返三十，这也三十啊，所以求一下，那求这段角度呢，这段长度呢，肯定要做个垂直下来啊，这边总长度，这边是耳，这边是三分之 啊，瞎写了，二分之，刚好三 r 啊，然后这边是二分之一个 r 啊，然后这个角度也三十度，所以呢，就得到了 这段长度，这段长度或者呢的这段长度都一样啊，解法都差不多。二分之二除以一个根号三啊，等于六分之根号三啊，所以呢，这段长度就是三分之，根号三， 嗯，然后有了之后就出来了，因为这边三十度，嗯，所以 o q 这个长度啊，就是这个三分之根号三，二 除以根号三，就等于三分之二。搞定了纯几何体，然后这个第十五题，第十五题也是我感觉出的非常有意思的题，虽然是一个老题，但是出的很有想法。第一个宋本题 啊，从释放到刚接触所需的时间，它在上面说一个摩擦力啊，加速度就是 mu g， 它告诉你达到 v 零的时候刚好结束，所以 t e 等于 v 零除以 mu g 出来了。 好，第二个，第二个电机由于多运送木块，做多少功， w 等于动能的增加量，再加上热量，热量等于摩擦力乘以相对于挪度乘啊， 所以微地图画一下难度不大 啊。求一下，这是 v 零啊，然后这是 m u g， 所以 这是 v 零，出一个 m u g 啊，往里面代入之后得到等于 mv 方， mv 零方 前两问比较容易，第三问是比较难的。第三问呢，需要学生对这个过程有一个非常准确的分析。 好速度， v 零啊，到这的过程呢？ 还是 v 零，这时候弹簧给个弹力啊，这个时候呢，传送带给摩擦力，只要摩擦力是轻摩擦，那么 雾块相对于传送带还是静止的啊，所以这段时间是镜摩擦，当达到一定位置的时候，这个镜摩擦力变成滑动摩擦力之后，这个物体呢，就要减速了 啊，因为有速向前的速度为零嘛，对吧，它要减速了。所以呢，我们可以把这个图像画一下， f 随时间变化的图像前面是 均匀增大的，因为雾块匀速向前，那么它就匀速向前挤压这个弹簧，弹簧的长度匀速增变小， 其面量呢，匀速变大，所以呢，这个弹簧弹力呢，随时间匀速增加，摩擦力呢也匀速增加， 然后当达到滑动摩擦力之后呢，它就不会变了。所以题目中告诉你，总的时间是 t t 零， 那么在这段时间内，摩擦力冲量就很好求了。这如果是 t 的 话，所以 i 就 等于我算这段时间啊，等于 m g 乘以 t 零，减掉一个 这个面积二分之一，没有 m g 乘以 t， 那 这个 t 就 应该很好求了。 t 应该等于什么呢？ x 除以 v 零， x 等于什么呢？等于，因为在型变量为 x 的 时候，弹簧弹力等于 x， 对 吧？除以 k 再除以为零啊，然后把它带进去，答案就出来了，那他问的是从释放到最右端，那这个从释放到最右端，那一开始它的出速度为零， 那么释放到队友端的话，还要加上前面这段摩擦力，提供冲量，让它加速到 v 零的过程。那么这段呢，就是 mv 零啊，所以最后的总的 i 就 等于 i， 一 加 i 啊，结果就出来了。 这问，只要你能想到画这个 f t 图像，那实际上做起来还是蛮容易的。然后第十六题，第十六题，这道题难度不大啊，所以亚洲题的话，可能难度略低了一点。第一个求粒子速率 二 a， 所以呢， r 呢？等于 a 等于 m， v 除以 b q v 就 出来了， v 等于 k b a k 是 q b m， 这是比和然后求离子到达 x 轴的最大时间差，得到 t， 这得到 t 也比较容易。看一下这个和这个，嗯，那么通过几何关系呢，可以很快的得到。 这角是六十度，那么这个角呢？就三百度，所以这个得的 t 就 应该等于，嗯，二百四十度，也就三分之四个 pi， m 除以 b q， 嗯，三分之四个 pi 除以 b q， 那 算出来等于三分之四 pi 除以 k b。 好， 最后一问，最后一问，他说有一半数量的粒子被收集，求它的最小长度。那第三问就是考察的最基本的这个粒子的一个分布在上面的分布，那我们把这个 先找一个任意角度找一下关系啊， 找到关系其实很容易，这是 v 啊，是 mv 除以 b q r 嘛，那这段长度呢，就应该等于 r 乘一个 cosine sine， 所以这段距离呢，等于两倍的 mv 除以 bq 乘以 cosine c 的 也就基重的范围啊。所以呢，有了这个图贝纳什，我就能画出这样的一个函数图像了。 这是典型的和数形结合的题目啊， 口算函数啊，负的六十到六十之间， 也就意味着它击中的范围应该是什么呢？就是 x， 就是 c， 它的话击中的范围应该是 这一段曲能被击中，看的很清楚。好了，那现在我要找一个最短的，要接收一半，那就意味着 我两边可能要对称，因为不对称的话就没有意义了。你看我集中我，我这样子前面多一点，这边少一点的话，集中一半，那我至少需要这么长才可以。那， 那肯定没有意义了，因为有有一部分的话是只有小于。呃，只有这个向左边，那只有这段， 因为这部分长度。注意啊，这部分长度仅仅是这部分粒子单独记到的。我最希望的是什么呢？ 这个板上两边都有粒子能集中啊，那就意味着我只要把这个板放在什么位置就行了呢。 注意，肯定是关于这个 o 对 称的， 对称的，那我找这么长的就够了 啊，这么长就够了，那这个怎么去算呢？那很容易啊，这边对应的是多少度啊？ 一百二十度，那这边只要等于六十度就够了，那意味着这 c 塔呢，只要等于三十度就行了啊。三十度，然后到什么呢？到零度之间啊，零度打到这个最上面的位置，所以我可以得到 这个 x 一 等于二， a x 二呢？ x 一， 这点是 x 二， x 二等于二， m v 除以 b q 口算 c， 它二分之 根号二，然后等二根号三，等于这个是 a 啊，也就是根号三 a， 所以呢这个 l 就 出来了，等于二减根号三 a， 这样就做好了。 好，用图像来解还蛮快的哈。然后比答案稍微简单一点可能。好，这个我们讲到这，谢谢。

我的模考成绩出来了，完全不在我的预料之中，至于多少分，视频最后告诉大家。上期视频呢，告诉大家，我同学生一块参加了南通二点五摩的数学考试，我是提前半小时交卷的，没有检查，主要是觉得选填部分信心还是比较足的，大题呢，就算写满了也没有空间修改的， 还不如听天由命。但是呢，最关键的一个原因是憋了一个半小时没有抽烟，所以就提前交了。首先谈一下这份试卷啊，如果说难呢，肯定是不及不上提八年考的创新度也是不及不上提八的， 但是呢，我觉得意义非常大，想拿高分着实很困难，尤其是计算量，几乎是从第三集开始就得具备很强的计算功底。多选填空，几乎可以说是条条都要算，还得细致，不能掉进题目所设定的坑里。 解答题的第一题都涉及到大数据的计算，甚至很多同学算出来却不敢写十六十七题，对答题规范要求也是极高的，尤其是十七题的第一问的证明并不是中分，第二问也容易出现漏一个答案的情况。第三问呢，对切割以后空间几何题的解释也做了要求， 十八题的第二问要比第三问难，而且两种情况我也漏了一种，十九级的计算更是一步都不能错，一种情况都不能漏， 不然呢，直接前功尽弃。第三问呢，把期望地推结合马尔科夫念，很有创意，不辱使命，我拿下了一百四十八分，也是所有考生当中的最高分。 那两分呢，扣的我心服口服，是解析几何。第二问少写一种情况，我甚至觉得有放分感觉扣少了，因为我跟的判别式也没有验证。还有最后一题，我在把握答题卡空隙上不够准确。第三问呢，省了很多步骤，甚至空间还不够，直接把结果写在拐角的空白处。 可能是这道题的得分率不高吧，玉娟老师也手下留情了，原则上是要扣几分的。总之呢，这次考试发挥的还可以，也积累了一些经验，适合所有应考考生去刷一遍的考题。

南通市区初三二模和高三四模在时间上联动了，会在明后两天进行。初三二模的时间和科目安排给大家放在这里了，初三的家长要注意，二模后会进行志愿调研，采取网上统一调研的方式，必须在六月五号前完成。 本次高三四模是市区、通州区、启东联考，时间和科目安排也给大家放在这里了，作为高考前的最后一次大型考试，心态要稳住，如果出现了出错的情况，那就是在给我们高考前做最后一次检查，避免高考的时候出错。 最后，愿所有的初三和高三的孩子们都能稳定发挥。关注赵老师，了解更多学习讯息！

第三类，经管、社科类。基本上这些专业的最低分数线都在五百六十左右，历史类为此在一万六七左右，物理类在七八万左右。 分数线说完了，但我要和大家说一个注意，由于通大近几年在扩招，比如我们专业二四年室内仅仅招生三十六个，二五年就招生了七十一个， 在省内的招生名额在逐步增加，所以如果为此预往年稍差一些，也可以试着冲一下，欢迎大家在评论区和我交流。

南通初三家长看过来，新鲜出炉的二零二六南通中招指南到手了！每年到志愿填报阶段，大家都一头雾水，批次怎么填？哪些学校有扩招？分数卡在临界线，该怎么选？中考志愿真不是随便写写，规则复杂，名额有限，一旦失误后悔都来不及。 结合今年最新招生政策和历年的录取数据，陈老师专注中考志愿规划，根据孩子分数、兴趣就业科学搭配，出门保志愿，规避填补误区，最大化利用分数优势。担心志愿填不好的家长，关注陈老师，帮你做个性化填方案，让孩子的每一分都用对地方！