什么是拉格朗日插值法参考文献

主包在上高中的时候听说过拉格朗日数乘法，其实用起来也非常简单，先 摆出你所需要求的式子，再列出约束条件，两边同时对 x 和 y 求偏导。这个求偏导是什么意思呢？对 x 求偏导就是把 y 看作常数， x 当自变量。对 y 求偏导就是把它反过来。两个对应的偏导比例相等，设一个比例系数，还有一个约束方程， 三个方程，三个未知数恰好能解出答案，最大值、最小值都可解出。你们来看看这道地狱级难度的题，用拉格朗日数乘法有多么简单。

大家好，欢迎参加本次关于 flowint 模拟仿真的分享。今天我们将深入探讨计算流体力学中两大核心方法，拉格朗日法和欧拉法。 这两种方法如同看待世界的两种不同视角，深刻影响着我们对流动现象的理解和模拟。本次分享将带您系统解析它们的区别联系，以及在 flowint 软件中的最佳实践。 本次分享将分为五个部分，首先我们将通过一个生动的比喻引入拉格朗日和欧拉这两种世界观，接着深入剖析他们的核心哲学和数学表达。 然后我们会聚焦于这两种方法在 fluid 软件中的具体实现和应用模型。之后我们会提供一个清晰的对比和选择指南。最后通过实际案例分析，帮助大家理解如何在实践中做出最佳选择。 让我们从一个简单的比喻开始，想像你站在河边研究水流，你有两种选择，第一种是像扔漂流瓶一样追踪每一个水质点的运动轨迹，这就是拉格朗日视角关注个体命运。 第二种是在河岸上建立固定的监测站，测量每个位置的水流状态。这两种截然不同的观察方式正是我们今天要讨论的核心。 接下来我们将进入第一部分，深入探讨拉格朗日法和欧拉法的核心哲学思想，以及它们背后的数学描述。理解这些基础理论是掌握后续 flow and tonic 的 关键。 首先来看拉格朗日法，它的核心思想非常直观，就是跟踪物质本身，而不是固定的空间。 想象一下我们给流场中的每个微小颗粒一个独特的标签，然后全程追踪它的运动轨迹和属性变化。在 fluid 中，这种思想最典型的应用就是离散项模型，也就是 d p m。 在 d p m 中，我们把流体看作背景，重点追踪那些离散的颗粒或液滴。 从数学上讲，拉格朗日法处理的是常微分方程，因为我们只需要关注单个置点随时间的变化， 这使得我们可以精确地记录每个颗粒的完整轨迹和经历。但这种方法的缺点也很明显，计算成本与颗粒数量直接挂钩，当颗粒非常多时，计算量会变得巨大，因此它最适合模拟颗粒浓度较低的稀疏相流动。 与拉格朗日法相反，欧拉法关注的是固定的空间。我们在空间中建立一个网格，就像布置了无数个监测站， 记录每个位置上流体的状态随时间的变化。我们不再追踪单个置点，而是统计通过每个点的流体通量。在负 o n 的 中，所有连续箱的求解都是基于欧拉框架的，甚至在处理多箱流时，也可以将颗粒箱拟流体化。用欧拉方法来描述 欧拉法的数学基础是偏微分方程，比如著名的那维斯托克斯方程，我们求解的是整个流场的宏观信息，得到的是速度场、压力场等分布。这种方法的计算成本主要由网格数量决定。 在处理多相流时，欧拉法通过引入体积分数的概念，巧妙地将不同相统一在同一个框架下进行求解，这就是欧拉欧拉模型的基础。 这里我们用一个表格来直观对比两者的核心区别，拉格朗日法关注个体，使用长微分方程，成本与粒子数相关，适用于稀书项，并能输出个体轨迹。 而欧拉法关注空间，使用偏微分方程，成本与网格数相关，适用于稠密项，输出的是宏观场分布。理解这些差异是选择正确模型的第一步 理论。了解清楚后，我们进入第二部分，看看这些理论在强大的 fluent 软件中是如何具体实现和应用的。我们将重点介绍离散项模型和欧拉多项流模型。 拉格朗日法在 fluid 中的化身就是离散相模型，简称 d p m。 它采用的是欧拉拉格朗日混合方法，流体用欧拉法，颗粒用拉格朗日法。它的关键假设是颗粒浓度比较低，对主流场影响不大。 但 d p m 功能非常强大，可以模拟颗粒的蒸发、燃烧、碰撞等一系列复杂的物理过程。 d p m 模型的应用非常广泛，例如在喷雾干燥塔中，我们可以用它来追踪每个液滴的干燥历程。在煤粉燃烧炉中模拟煤粉颗粒的燃烧过程， 在旋风分离器中分析不同颗粒的分离效率。这些都是典型的稀疏项流动问题，非常适合用 d p m 来解决。 接下来看欧拉法的家族多相流模型。 fluid 提供了三种主要的欧拉欧拉模型。 v o f 模型擅长捕捉清晰的流体界面，比如水面 mixture 模型是一种简化模型，计算效率较高。而尤里尔模型是最通用、最完整的，适用于颗粒浓度高、相互作用强烈的复杂系统。 这三种欧拉多项流模型各有专长， v o f 模型完美适用于像溃坝这样的自由表面流动问题。 mixture 模型可以用来模拟颗粒沉架， 而对于像硫化床这样颗粒浓度极高的复杂系统， uli 模型是唯一的选择，它能准确描述颗粒间的相互作用和宏观流动行为。 了解了两种方法的原理和应用后，第三部分我们将聚焦于如何在实际问题中做出正确的选择。我们将提供一个更详细的对比表和一个实用的决策树，帮助大家快速定位最适合的模型。 这张表格更详细地总结了 d p m 和 u l r n 模型的区别。从观察视角、控制方程、计算成本到适用浓度和信息输出，每一项都结实了它们各自的特点。 例如， d p m 能给出个体轨迹，但在高浓度下计算成本高昂。而 u l r n 模型能处理稠密项，但丢失了个体细节。物理真实性方面，两者也各有侧重。 为了让大家更直观地做出选择，我们设计了这个决策树。你可以按照问题一步步回答是否涉及多相流，是否需要追踪轨迹浓度高低，有无清晰界面。 通过这个流程，你可以快速定位到最适合的模型，无论是 d p m v o f mixture 还是 u l r n 模型， 理论和方法都清楚了。最后，我们通过两个实际案例来看看这些模型在复杂工程问题中的应用，以及一些最佳实践策略。 第一个案例是喷雾干燥塔，这种设备内部流畅复杂，既有高浓度区域，也有低浓度区域。最佳实践是采用混合建模策略，在喷嘴附近用欧拉模型，在塔体主体用 d p m 模型。 第二个案例是气固硫化床，这里颗粒浓度极高， d p m 完全无法胜任。唯一的选择就是使用带颗粒动理学理论的尤里瑞恩模型，它能准确描述颗粒间的相互作用。 最后总结一下，拉格朗日法就像一个个体主义者，关注每个粒子的命运，适合稀疏相，而欧拉法更像一个集体主义者，关注整体的宏观行为，适合稠密相。 在实际工作中，没有绝对最好的方法，只有最合适的选择。我们需要在物理真实性、计算成本和工程目标这三者之间找到最佳平衡点。

这个源是在误导你，其实拉格朗日点的源星根本不是地球球星，而是双星系统的源星，非要以地球为中心也可以，那就得让双星系统的源星随着地球去转动。 一哥，物理物理一哥，大家好，我是肖毅，我们来看一下万有引力里面的拉格朗日点，这个考点本身并不是很难，不过也是非常值得我们去专门讲一下的。 那首先我们要理解到底什么是拉格朗日点，其次啊，我们要明白它和一般的天体问题的区别是什么。还有一些细节，比如说， 呃，在 l 四 l 五这两个位置，航天器受到的万有引力的合力方向其实是这个方向，并不是指向地心。那为什么航天器还可以围绕地球做圆周运动呢？好，所以说啊，也是有很多的点值得我们去研究的 来。首先读题，拉格朗日点，它是指在两个大天体的引力作用下，能够使航天器稳定的点，由法国数学家拉格朗日之前推导证明 每个两天体系统都存在五个拉格朗日点，如图所示。那在拉格朗日点上的航天器，在两天体引力的共同作用下，可以绕地月双星系统的圆心做周期相同的圆周运动， 从而使地月、航天气三者在太空中的相对位置保持不变。那这一块啊，就出现第一个理解上的偏差了。题目也强调了，现在的这些航天气是围绕着地月双星系统的圆周运动的， 地月的双星系统，它的圆心肯定在地月连线上的一点，比如说啊，在 一个地方好，可是看图，好像这些航天器它是在围绕着地球运动的呀，题目也是给我们画了这样的一个圆， 那到底是围绕地球运动还是围绕着这个双星系统的圆心在运动呢？这个啊，是我们要关注的一个核心。好，继续看题。他现在说其中 l 一、 l 二、 l 三位于两天体连线上， 然后地心、月心、 l 四和 l 五，它们构成的三角形是等边的。好， 接着还告诉了地球质量是月球的八十一倍，地月间距是 l， 地球、月球、航天器均可以看作质点， 不考虑航天器及其他星体对双星系统的影响。关于地月系统的拉格朗日点，下列说法正确的是。 那首先我们要明白，并不是只有地月系统才存在拉格朗日点，其实只要是一个双星系统都存在五个拉格朗日点，这个是拉格朗日严格证明过的，比如说地球和太阳， 它们也算得上是一个双星系统，那也存在五个拉格朗日点位置也是像这样的五个位置 在科幻小说三体里面是有提到过的，说在地球和太阳它们的拉格朗日点上举行了一次盛大的会面。好，那回到问题本身啊，到底什么是拉格朗日点？这里所说的 三者他们的相对位置保持不变到底是什么意思？我们能根据这句话推出什么结果来？那首先我们以地球为圆心啊，那月球就是在围绕着地球做圆周运动的。好，地球是球心， 这些拉格朗日点上的航天器也都是在围绕着地球做圆周运动，这种理解是没问题的。并且， 呃，它们的周期都和月球的周期是一模一样的，因为只有这样子才可以保证相对位置不变。它们转动的角速度或者说周期啊，是完全同步的，完全一致的。比如说月球现在转了 theta 角度， 那这些点啊，它们也都各自转动了四大角度，好，在各自的圆上转动了四大角度，因此啊，它们角速度完全相同，或者说周期是完全一样的， 只有这样子啊，才可以保证相对位置是不变的，因此这句话告诉我们，它们角速度全部是相等的。 好，那现在我们可以和地球同步卫星去类比一下同步卫星，它是说，呃，周期啊，这个卫星周期，它是和地球自转周期一致的，所以说，在地球表面看起来，这个卫星好像是永远不动的，永远在那个地方始终保持静止。 而拉格朗日点，它现在是说和地月这个系统的位置保持相对不变，那自然而然就要和月球的周期相同了。 好，来看一下 a 选项，现在说处于 l 二点的航天器，其限速度大于月球做圆周运动的限速度，那既然角速度相同， 因此线速度等于角速度乘 r， 所以 说线速度和半径 r 成正比，很明显， l 二的半径大于月球半径，因此 a 选项没问题。现在就好比是一种同轴转动，角速度相同，慢同轴转动的这些结论都是可以去用到的。好， 呃，再来看 b 选项，处于 l 四点的航天器，做圆周运动的圆心恰好在 d 心。 这个啊，看起来好像没问题，因为 l 四 l 五啊，这两个点，它好像就是在围绕着地球做圆周运动嘛，或者说它们和月球啊，本身就是在同一个圆上，题目也说了， 呃，这两个三角形都是等边的，所以说这个等于这个，也等于这个。 l 四、 l 五，它俩的轨道半径都等于月球半径，因此看起来确实是围绕地球做圆周运动的。但仔细想一想，我们就会发现问题了， 这也是这个题目它最值得讨论的一个选项了。呃，从受力分析角度上讲，在 l 四这个点啊，航天器受到了两个万有引力，地球的和月球的 两者引力的合力，它肯定是在这个方向的，根据平行四边形法则啊，好，那很明显并不是指向地心的或者说啊，题目也讲到了现在是，呃，围绕着什么呀？围绕着地月双星系统的圆心呢？ 或者说啊，是地球和月球它俩的质心啊，也就是等价的质量中心，那这不就矛盾了吗？ 合力方向指向这个方向，可是航天器却可以围绕着地球做圆周运动，这矛盾了呀。其实啊，并不矛盾，这里可以用运动的合成去理解，因为月球在围绕地球转动的时候， 这个双星系统的元星它也在移动呢，也就是说啊，双星系统的元星，它本身就在 这个地方做圆周运动，圆心在变化，现在在这个地方，那当月球运动到这个点的时候，圆心就到这个地方了，月球进一步到这个地方的时候， 圆心在这个地方了，所以圆心本身就在动，因此在当前这个位置， l 四这个点啊，它其实就是在围绕这一个点做圆周运动的。好是，假如说啊，长这样的一个圆， 但是呢，这个圆心本身还在转动呢，那两个运动组合起来，把围绕着这一个点的圆周运动和圆心本身的旋转组合在一起，就变成这个圆了。 所以说啊， b 选项这个地方是不对的，不管是 l 四 l 五还是 l 一、 l 二 l 三，它们做圆周运动的圆心啊，都不是地球的球心，都是这个双星系统的那个圆心啊，或者说是地球和月球的等价的那个中心。好， 那这个中心啊，它本身在旋转，然后呢，两个运动合成之后，就变成了围绕着地球的圆周运动了。 好， l 四 l 五啊，在这个圆上， l 一 在这个圆上， l 二在这个圆上啊， l 三有它自己的一个圆呢， ok， 所以 说啊，这一块是比较细节的，也是不太好去理解的，我们不用管它具体是怎么合成，能够合成出这样的圆啊， 这个不用管，我们只需要知道它现在是存在着这样两个运动的。合成的。好， b 选项不对，这个圆根本就不是，呃，做圆周运动的圆，其实啊，这个圆是圆周运动和圆心的转动合成之后的结果了。 ok， 处于 l 一 点的航天器加速度大于处在 l 三点的航天器的加速度。好，那能不能用高轨低速大周期去判断呢？ l 一， 它的轨道比较低，因此加速度比较大，对吗？不对，因为现在根本就不是围绕中心天体旋转的那个情况，现在是双星系统作用下的一个情况啊，所以说，这个地方我们是要用同轴转动角速度相同的结论去处理的， 那加速度它等于 omega 方乘以 r， 所以 说半径越大，加速度也会越大，因此 l 三大于 l。 一 再来看四 d 处于拉格朗日点上的航天器，做圆周运动的周期为这个值。刚才我们讲过， 这些点上的航天器，它们的运动和月球周期是一样的，或者说就是和地月这个双星系统的周期是一致的。也就是讲，我们现在有两种看待问题的方式，可以把这个问题看作是以地球为中心，天体 这些点还有月球啊，都要围绕着地球去旋转的。第二种就是说把地月看做一个双星系统，圆心在这个地方呢，两种看待问题的手段啊，方式啊，都是可以的。 ok， 那 现在我们就来算一下这个双星系统的周期，直接根据双星系统的结论获得答案， 也就是大 g 小 m 加大 m 等于 omega 方 l 的 三次方，进一步也就是四派方比上， t 方再乘 l 的 三次方， 那周期 t 它就等于二派再乘根号下 l 的 立方比上。 呃，我们注意啊，大 m 题目说了是八十一倍的小 m， 因此分母这个地方是八十二倍的小 m 再乘。记好，这就是答案。因此四 d 是 没问题的，选择 a 和 d， ok， 双星的这个结论如果你不知道啊，或者说忘了，可以去看之前我讲过的圆周运动的这个体系梳理啊，去复习一下。好， 那总结一下，这个题目容易选错的就是 b 选项了，很坑啊。如果我们好不容易选了 a 和 d， 然后呢？看着这个 b 啊，好像确实没什么问题，把 b 给选了啊，这个心痒难耐，把 b 给选上了， 那么一分都得不到，非常可惜啊。这个 b 该怎么理解，一定要想明白，也就是我们可以从两个角度看待这个问题， l 四它的最终的运动形式确实是这样的，一个圆圆心确实是地球的球心，但这是最终合成过的结果。 呃，本质上啊，这个 l 四的航天器它是要围绕着这一个点做圆周运动的。 ok 啊，这里我们要注意一下。好，一哥，物理物理一哥，咱们下一节课再见。

作为一个求极限中直观重要的一个方法，拉格朗日法，我发现很少人能彻底讲明白它，今天我就给大家详细讲解一下这个拉格朗日法。首先我们看到定义，我们最主要用到的是这个形式， 他说存在一个可 c， 使得 f a 减 f， b 等于 f 撇，可 c 乘以 b 减 a， 这可 c 介于 b 与 a 之间。所以这个拉格朗日呢，总结的讲就是一句话，外层函数求导，内层函数作差。来，我们先看一下什么叫外层函数，我们看到这三个式子，这三个式子它其有一个共同的外层函数，叫做 e 的 u 次方。 同时，那么什么叫内层函数呢？它们各自有着不一样的内层函数。第三个是 ten， 所以 这个外层函数和内层函数 就构成了它这个函数本身。同样的，我们看下面这个例子，它们三个有着一个共同的外层函数，叫做根号下 e 减 u， 那 么内层函数分别对应着 x、 三 x 和 ten 减 x。 然后可 c 的 值呢？你就记住它与内层函数的值相等。 好，我们直接看到一个例题，来告诉我他们的外函数是什么？他们有着一个共同的外函数，叫 long u， 那 么内函数呢？分别是三 x 与 x。 外层函数求导，内层函数作差， long u 求导是 u 分 之一， 但是你不能写 u 分 之一，你要写可 c 分 之一。内层函数作差，三 x 减 x 除以 x 方。刚刚说了，可 c 的 取值与内乘数相等，这里有两个内乘数，一个是三 x， 一个是 x， 你 取任何一个都可以，都是一样的，所以它等于 limit， x 除以零可 c， 我 们取一个三 x 吧， 乘以一个 x 方，分子是三 x 减 x 就 等于分子，其等价于这个负六分之一 x 三次方，分母等价于这个三 x 三次方，所以它答案是负六分之一。如果在这里的时候可知你取一个 x， 可以 看到它结果也是一样的。 来，我们再看到下面这个例题，它有个共同的外函数叫什么？叫根号 u， 那 么内函数是什么呢？一个是一加 ten x， 一个是一减一加三 x， 那 根号 u 求导是什么？ 二乘以根号 u 分 之一嘛，所以 y 乘函数求导内乘函数做差，外乘函数求导之后是一除以二倍的根号被 c。 内乘函数做差，是 ten 乘 x 减三 x 来，这个可得的取值是什么？可得的取值是一个 y 函数，但是这里的 y 函数不是这两个哦，一定要记得它是一加 tangent 和一加 sine， 任取一个就行了。这里还少一个除以 x 三的方，那应该等于什么？ limit x 除以零。上面是 tangent x 减三 x， 分 母是二倍的根号下，我们取的可得可得一加 tangent x 乘一个 x 三的方来，这个一加乘以 x， 它其实是等于一的，所以这个东西消掉它不看，那么上面它其实等价于这个二分之一 x 三的方， 下面是二倍的 x 三次方，所以总的来说答案是四分之一。然后在这里刚开始的时候，其实它的外函数可以是根号 u， 当然了也可以是根号下一加 u， 那 么如果你取的那外函数是根号下一加 u， 那 么内函数呢？就是 ten x 和三 x， 然后根号 u 求导是二倍的根号下一加 u， 那 么 y 函数求导内乘数做差，所以这个结果是二倍根号下一加上克 c， 内乘数做差是 ten x 加上三 x， 这个时候克 c。 什么克 c 是 内乘数，这个时候内乘数是 ten x 或者三 x， 所以 你会发现这个算出来呢，跟那个结果是一样的。上面是 ten x 减三 x， 下面是一二根号下一加 n x 乘以 x， 这个结果算出来也是四分之一，所以可以看到这个 y 函数的取值呢，是可以不同的，但结果呢，肯定是一样的。

学会这个技巧，像这种极限都可以直接秒杀，比如说这是六分之一，这是二分之一，这是二分之一，这就是拉格朗日求极限法。拉格朗日求极限法的要点就是内层函数做叉，外层函数求导， 看到两个相似的函数相减，直接用这个拉格朗利求极限法对它进行求导，然后内乘函数做差。我们看一下第一个题，这个函数可以看作这个口在 u 的 函数，对口在 u 求导，就三不三， 这个我们用可略表示，然后内乘函数做差，就三 x 减 x 除以 x 四次方。 这个可 c 是 介于三 x 和 x 之间的，所以它同它也等价一个 x， 那 么就等就等加起来是负的 x， 三 x 减 x 等价于负六分之一 x 三次方，除以 x 四次方，所以等于六分之一。 我们再看一下旁边这个，我们可以把这个函数看成根号 u， 那 么根号 u 求导呢？就是二二分之一的根号 u， 这里我们用可 c 表示这个内存函数作差，一加 ten 减去一加三 x， 那 就是 ten 减 x 减三 x， 分 子是 x 提出来， x 减零，一加 x， 这个是等价二分之一 x 方的。 然后我们再看上面这个可 c， 它是在一加 tangent x 和一加三 x 之间的，所以这可 c 是 去一的，那么这个地方就消掉了，所以上面是一个二分之一 tangent x 减三 x 等于二分之一 x 三次方， 分母是一个 x 乘以二分之一 x 平方，所以算出来是二分之一。我们再看下面这个题，这个我们可以看成 e 的 u 这个函数，那么 e 求导还是 e 的 u 方求导还是 e， 那 么 e 的 c 括号里面函数作 x， 二 x 减一，减掉 二， x 加一，乘以一个 x 方，这个可 c 是 介于这个两者之间。当 x 趋无穷的时候，这个是趋零的，这也是趋零的，所以这个可 c 它也是趋零的，那么前面这个就前面这项就是一，这消掉了。 我们再把这个乘法减一下，通分一下。下面就是二 x 减一，乘以二， x 加一。 下面是二 x 加一，减二， x 加一，乘一个 x 方，等于二 x 方除以四 x 方减一。当 x 趋于无穷的时候，那这个式也就是二分之一。

你知道为什么拉格朗日是这样证明出来的吗？每日一个定例，我们今天来更新的呢，是拉格朗日终止定例。 那么我们先来回顾一下拉格朗日终止定例的这个前提条件，它说设 f x 在 p b 区间 a 到 b 上是连续的，在开区间 a 到 b 内是可导的， 那么一定存在一个可 c 属于 a 到 b， 使得 f 到可 c 等于 f， b 减去 fa 比上 b 减 a。 那 么我们来看一下这个定理是怎么推导出来的呢？ 其实它的核心方法是非常固定的，就是通过构造辅助函数，把它转换成我们上一个视频所学过的鲁尔定律，因为我们知道拉格朗日其实就是鲁尔定律的推过， 然后我们用鲁尔定律来证明，这就是对于拉格朗日来说最典型的一个推导思路了。那我们在推导这个证明之前，我们先来看一下他给我的这个式子的几何意义是什么？ 它是 f 导，可 c 等于 f， b 减去 f， a 比上 b 减 a。 我 把这个图像呢画到这个坐标系上了。首先我们看等式右边的这个分式， f b 减去 f， a 比上 b 减 a， 它就相当于是连接这个函数图像上 b 点和 a 点两个端点上的弦函数 就是这条黄色这条直线。然后左边这个 f 到可 c 相当于我在整个曲线上取出一点可 c， 在 可 c 这一点取得这一点的切线的斜率。那么也就是说在整个拉格朗中之定律，它想告诉我们的就是在这个 a 到 b 的 区间内部， 一定有一个点的切线斜率和这条弦的斜率是相等的。那这个又能说明什么呢？说明这一点，切线的斜率和这条弦的斜率是具有平行的关系的。好，那么我们接下来呢就来进行这个定力的推广，那在推广之前，我们要先把这个 透析的辅助函数给它构造出来。我们对于构造这种形式的辅助函数，我们把这个等式右边的这个分式移到等式左边去，我们要得到的是 f 到可 c 减去 f b 减 fa 比上 b 减 a 等于零，那它是关于 e 级到等于零的一个定力，那我们说了拉格朗尔就是鲁尔定律的推过，那我们只要找到它的辅助函数，我们令它的辅助函数大化可数 就等于小 f x 减去 f a 减去 f b 等于上 b 减 a， 然后乘上一个 x 减。我们来看一下，为什么我们要把辅助函数设成这样的一个函数呢？ 因为其实我们刚才也说了，他是相当于鲁尔定律推广，那要找到一些导函数值等于零的条件，右边的这个分式移到左边去，那你通过取它原函数 f x 这个这个斜函数相当于一个常数， 常数呢？求完导直接就是零了，那他求完导能存在这一项说明什么？说明他后边一定存在一个 x 了。 为什么我要从这再加一个 f a 和减去一个 a 呢？因为我们要构造鲁尔定律，那鲁尔定律除了满足 b 区间连续开缺内可导之外，它还有个条件就是 f b 是 等于 f a 的， 也就是在整个区间内部，我要找到两个端点是相等的， 所以我们取出一个小 f a 和 x， 后边取出一个负 a， 这样的话我就能构造出两个相等的函数值的条件了。那我们通过把已知的端点带进去 a 和 b， 我 们带一下大 f a， 大 f a， 我 们带进去的话，那这里就变成了小 f a 减去小 f a 就是 零，然后这里变成 a a 减 a 就是 零，零乘任何数它都是零，所以大 f a 是 等于零的。 然后我们来看大 f b， 大 f b 带进去呢？这就变成了小 f b 减去小 f a 减去 f b 减 f a 比上 b 减 a， 这就变成了 b 减 a， 那 它和这个分母的 b 减 a 就 约掉了，前面是 f b 减 f a， 后面是减去 f b 减 f a， 两式相减 底消掉了，所以 f 大 于 b 也是个零。那这样的话，我们罗尔定律的条件就构造出来了，必须连续开圈和端点相等，那就由罗尔可知，我们一定存在一个可 c 属于 a 到 b， 使得大 f 到 c 等于零。所以我们求一下导，又因为大 f 导 x， 它就等于 f 到 x 减去 f b 减去 f a 比上 b 减 a 就是 它，所以我们就得证了，大 f 到可 c， 它就等于小 f 到 可 c 减去这个弦函数， f b 减 f a 比上 b 减 a 是 等于零的。然后我们再把这个斜函数上的这个斜率移到等式的右边去，这不就是我们所要的拉格朗日中制定理的结论吗？ 你只要把这个定理它所包含的这个几何意义，你给它弄懂了之后，我们通过已知拉格朗日是鲁尔定律的推广，然后构造鲁尔定律的条件直接就出来了。 那么这个呢，就是我们今天这个视频的讲解，我们下一个视频继续来证明科西种植定律，那么我们下个视频，再见吧，同学们，拜拜。

这是兰哈德欧拉分析学的化身，要是欧拉一辈子在学术方面有什么遗憾，那就只能是在泛韩极致问题探索上被年轻的拉格朗日拍在沙滩上了。 今天，几乎每一本辨分学或者分析利学的教科书都会把这段十九岁小伙不行，四十八岁老同志的事拿出来讲一遍 说什么欧拉虽然早在一七四四年就发表了解决泛韩极致问题的欧拉拉格朗日方程，但是他的推导过程借助的几何直观严谨程度很差，以至于连他本人都不太满意，直到十一年后被拉格朗日的来信震撼到。 然而呢，八卦小故事听多了，就免不了会开始好奇，到底什么样的几何方法能够推导出这坨玩意呢？很显然，这种非主流的上古圣遗物是不会收入在一般的资料里的。但好在欧拉作为数学发展历程中最高的山，他一生的著作和信件都被较为完好的保存了下来，让我们有机会一睹他当年的风采。 先来回顾一下什么叫泛函极致问题。杰哥之前讲过，函数始终不变的定义就是我们输入一个数 x， 他 便输出一个确定的数 y。 而泛函就是我们输入一个函数 y x， 他 输出一个数 i， 可以 理解为函数的函数。 在欧拉的年代，函数的世界还没有后来那些妖魔鬼怪，大家都觉得函数总是有简单的表达式和光滑的图像， 因此当一个函数取极值时，它的图像在局部看起来会像一个山包或者山谷。当自变量 x 变化一点点时，相比于 x 变化的多少，函数值几乎不变，这就是高中数学经常用到的导数等于零的条件寻找函数极值点的原理。 现在面对泛函即值问题，一个很赞的想法就是将上述方法推广。当泛函的自变量变化一点点时，泛函的值与之相比几乎不变，那么这里就是泛函的即值点。欧拉当年也是这么想的，然而他很快就意识到了一个棘手的问题， 泛函的自变量是一个函数 y x， 要怎么变才叫让他变了一点点呢？这个问题虽然看起来平平无奇，但是想从分析学的角度严格来说清楚，其实会涉及到无穷为空间测度等深刻的内容。 在咱们这个时间线上，这些东西可是实打实的到了二十世纪才被希尔伯特那帮人搞定。身处两百年前的欧拉还远远不能具备触碰这些课题的条件。 欧拉在这里的破局方法可以说是他个人风格的绝佳体现，两个字，战神。他首先将目标限定在一类具体的泛函里，就是杰哥之前讲过的涉及字面的函数值歪和导数值歪撇的这种。 欧拉注意到，这玩意虽然乍一看很吓人，但仔细想想，泛函的取值哎，其实就是由函数 y x 身上所有的函数值和导数值完全确定的。有了这个想法，欧拉决定直接把 y x 原本光滑的函数图像暴力拆结成一堆理散的点，再把这些点用折线连起来。 于是这些点的纵坐标 y 零、 y 一、 y 二等金丝代表了原来 y x 上的所有函数值，而这些点之间的斜率，例如这个 k 三等于 y 三减 y 二，比上 x 三减 x 二 就近似的代表了原来 y x 在 各点的导数值。经过欧拉的一系列暴力破拆，泛韩的指 i 近似的由 y 零、 y 一、 y 二等这些的纵坐标和 k 一、 k 二这些连线的斜率确定，并且欧拉相信这些点取得越密集，这个近似的效果就越好。 也就是说，欧拉在发现自己没法好好处理泛函的自变量函数 y x 之后，直接手起刀落把它砍了个粉碎。在砍碎之后，泛函值 i 就 变成了以 y 零、 k 一、 y 一、 k 二、 y 二等等为自变量的多变量函数。 更绝的是，欧拉设计的这种切碎方法，几乎消灭了函数 y x 全部性质的同时，居然保持了他身上函数值和导数值之间的固定关系， 即每条连线的斜率都有左右两个点的位置所固定，而当我们改变任何一个数的纵坐标时，其左右两条连线的斜率也会随之变动。也就是说，在范围的所有自变量里，只有 y 零、 y e 这些是可以独立变化的。 而这后面的事情就是处理多变量函数极致问题的标准操作了，让每一个独立自变量 y 零、 y e 等分别变化一点点，要求 i 的 值几乎不变。 当函数 y x 被砍得足够碎时，就得到了欧拉拉格朗日方程。方程里的第一项来自于 y x 函数值变化直接引发的泛函值的变化，而第二项来自于函数值的变化通过引发导数值的变化，从而间接导致了泛函值的变化，二者之合为零，就是说泛函的值几乎不变。 这就是欧拉最早对泛函极致问题的处理方法，堪称暴力美学的典范。他通过把函数切碎的方式，将泛函的自变量从一个函数转化为了一堆数，从而巧妙的绕过了对于函数变化一点点这个复杂问题的讨论。不过，这种极致的暴力与分析学的精神完全背道而驰。 更要命的是，在这个极限语言还没问世的年代，连欧拉自己都不能完全肯定这种用折线对函数进行近似的方案，在切的足够细之后，是否能够变精确。这个问题在一七四四年论文发表后，一直困扰着欧拉，而这一晃就是十一年。 一七五五年，欧拉收到了法国小伙拉格朗日的来信，在信中，拉格朗日介绍了他的新思路。与欧拉的出发点几乎一样，拉格朗日也意识到，泛痕的极致问题之所以难以处理，就是因为很难刻画泛痕的自闭呢。函数 y x 变化一点点这个概念， 欧拉是通过暴力分解将一个函数处理成无数个独立的函数值绕过的这个问题，而哪个老人还是希望函数能看成一个整体？他的想法是，既然一个数 x 发生改变，说的是对它加上一个数 f x， 龙变成 x 加 f x 龙， 那么一个函数 y x 发生改变，就应该是对它加上一个函数 h x 变成 y， x 加 h x。 我 们说从 x 到 x 加 f x 龙只改变了一点点，其实就是说变化了 f 龙这个数很小。 而之所以说不清函数 y x 改变一点点的含义，则是因为当时人们还不知道如何刻画函数 h x 的 大小，而这时十九岁少年天才的含金量就体现出来了。 拉格老人表示，虽然我不知道 h x 的 大小，但做事也不要这么死板嘛。函数 y x 发生改变，就非得是 y x 加 h x 吗？完全可以稍加修改，让它变成 y x 加 f 符号 h x。 这样一来，只要 f 符号是个很小的数，就可以认为函数只改变了一点点。 折磨了欧拉十几年的问题居然这么轻松的就消解掉了。接下来只需要要求当泛函的自变量 y x 变化 epsilon h x 时，相比于 epsilon 的 大小，泛函指 i 几乎不变。拉格朗日将这个要求用公式写下来，发现与欧拉一七四四年论文中方程的形式完全一致。 在欧拉的鼓励下，他将这套被称作变分法的理论整理出来，与莫佩都去世的一七六零年发布在了都林文集上。自此，泛函的极致问题被严格的纳入了分析学的框架，处理该问题的方程上也多了拉格朗日的名字。 从现在的视角回看，拉格朗日的变分方法与现代泛函分析里把函数作为一个整体看成无穷为现象空间里元素的思路完美契合。 身处十八世纪的拉格朗日尚不具备提出这套完整泛韩理论的物质文化基础，但这却更能衬托出他想法中闪烁的智慧光芒。这种契合就像是一块来自文艺复兴时期教堂上的彩色玻璃花窗，完美的镶嵌在现代数学大厦的一个窗框里，那样 他就矗立在这座现代风格的大厦里，静静地射着跨越几个世纪的瑰丽光影，让每一个从他脚下走过的人，在不经意抬头仰望的瞬间，都不禁被那份穿越时空的深邃而呼吸一致。 欧拉老师，其实我后来发现，您当年那个把函数切碎的思路是能够严格化的。您看，这是我写的证明，用到了您走后才逐渐完善起来的极限语言和分析学里面的几个重要定律。 唉，还好刚才没告诉他用到的其实是拉格朗日终止定律。

孩子们，咱们今天来讲一下这道题啊。首先这道题，呃，咱们看到分母之后，咱们首先对它进行一个变形， 也不是变形吧？就是，呃，就是加一，再减一， 一加上一减一的 x， 塞眼，塞眼， x 减去塞眼，看着它 x， 呃，那么这样的话，你看啊，这个东西等加成二分之一 x， 这个东西等加成负 x， 那么下边的话就变成了负二分之一 x 的 立方，对吧？下边整体等加乘负二分之一 x 的 立方，那么这个时候上边的话，咱们把它看作这个， 这个自变量是 sin x 和 tan 值的 x， 然后这个函数是 sin x， 那 么就变成了利用拉格朗日公式定律 减去 tan 值 x， 然后乘以什么呢？乘以 cosine， cosine， 然后比上负二分之一 x 的 立方，然后 cosine 在 sin x 与 tan 值的 x 之间， 那么这个时候 x 去零， cosine 和 cosine x 就 给 cosine 加逼到零了，那么 cosine， cosine 根据这个非零因子可求求 他直接就是变成一，那么三 x 减去它的 x 比上负二分之一 x 的 立方，这个就很好很好做了， 答案应该是负二分之一 x 的 立方比上负二分之一 x 的 立方，对吧？利用它的展开，最后结果应该就是一。

快叫你那个听到拉格朗日就想跑的朋友来旅行者！你有没有见过这种名字特别吓人的数学定律？拉格朗日 终止定律听起来像数学咒语，但他其实讲的是一个你每天都可能遇到的东西，平均速度。比如 你从家到学校，全程十公里，用了一个小时，那你的平均速度就是每小时十公里。你可能会说， 太猛，我前面骑得慢，后面骑得快，中间还等了红灯。那怎么能保证某一刻刚好就是平均速度呢？嗯哼，这就是拉 格朗日终止定律最神奇的地方。只要你不是瞬移，只要这段运动是连续发生的，那路上就一定存在某一个瞬间，你的瞬时速度刚好等于整段路的平均速度。听起来像开挂，但他不是魔法，他看的是一个更关键的东西，斜率，别急，太猛，把它画出来。现在横轴是 时间，纵轴是路程。你从家出发，在图上是一个起点，你到学校，在图上是一个终点，中间这条弯弯曲曲的线就是你真实的运动过程。 骑得慢，曲线就平一点，骑得快，曲线就陡一点，停下来等红灯，曲线就几乎横着。 现在重点来了，我们把起点和终点连成一条直线，这条直线不是你的真实路线，而是整段路的平均变化趋势，他的斜率就代表你的平均速度。而曲线上某一个点的切线代表什么？代表那一瞬间的速度。拉格老人种植定律说的就是， 只要这条曲线中间不断掉，中间也可以画切线。那在这条弯弯曲曲的线上一定能找到一个点，这个点的切线会和气垫中点连成的那条直线平行，两条线平行说明什么？说 说明他们的斜率一样，也就是说某一瞬间的速度真的等于整段路的平均速度。所以拉格朗日中直定里不是在炫名字，它的本质就是把整段的平均变化和某一瞬间的真实变化连在一起。翻译成函数语言就是，如果一个函数在一段区间里是连续的， 中间也可以求的，那一定存在某一个点，让这个点的导数等于整段函数的平均变化率。听起来又绕了，是不是？ 派蒙，换成人话，整段曲线平均有多斜，中间就一定有某个地方，他的瞬间斜率也这么斜，也就是平均斜率一定能找到同款瞬间斜率。派 蒙，帮你记一句，拉格朗日中直定里的核心画面就是一条弯曲的函数，图像上一定能找到一条切线和起点终点连线平行。所以你以后再看到拉格朗日，不要先逃跑，你就想平。 平均速度路上一定有一瞬间真的达到过平均斜率，曲线上一定有一条切线和他一样斜。这就是拉格朗日中制定里最核心的想法。如果你听懂了，就在评论区打平行切线，如果还没听懂，就打派蒙再画一遍。我是这题有点怕，关注我继续把理科里的奇怪知识讲明白。

练式求导法则，这个就像一个专业有两个班级，你现在要找这个专业的男生，而这个找的动作就是偏导好的。接受这个概念之后，我们来看练式求导法则中最重要的性质，也就是求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构。这个怎么理解呢？ 就是你在这个专业中找了男生之后，不代表你要把这个专业拆了，只是标记了一下这个专业我找过了，这个专业本身有几个班级，班级里有男生和女生都没有改变，这个就是这个性质的本质了。 华子带你复盘三十讲之第十三讲二点零。上面结合上期的视频，练实球的法则，华子认为已经没啥问题了。我们再来看权威分形式不变性， 说白了就是这个公式任何情况下都适用，记住就行了。而引函数存在定，存在定力，就是由权威分形式不变性推导而来的，大家跟着底下的证明写一下，应该都没啥问题，实在不行就背过吗？最后就是这一讲最重要的极值和条件最值， 这个也是华子认为章鱼老师讲的经典中的经典，开不开心少年团，只要别画错了，那就是把极致拿下了。再看条件最直理的拉格朗日乘法，这个必要的时候可以引用限性代数求解限性方程组的方法来求，有奇效呦，还有一件事，加纳。

考研数学每日一题，大家先思考，准备出发了，朋友们大家好，咱们今天继续讲考研数学每一题。今天是第二十九天，偏导数，哎，我们之前学过导数，那我们这题是偏导什么意思呢？聪明的，顾名思义，我们是 进行一个偏向一个，然后不找另外一个，那我们具体的场景怎么样呢？好，废话不多说，我们来个具体的题目，我们看这一题， 但是这题自变量比较多，对不对？它有两个自变量， x， y， 对 吧？那我们如果求导数的话，那我们给谁求导呢？有没有说 x， y 求导，那我们不知道对不对？那我们这里就上升了一个新的概念，偏导数，我们是偏 x 呢？还是偏 y 呢？对吧？这是这个题目的一个不一样的地方。好，那我们废话不多说。来到第一题， 第一题， z 等于 x 的 三次方乘以 y 减 y 的 三次方乘以 x。 看到这题之后，哎，我们看求偏导，那么求偏导是它有几个变字变量，它是两个，那分别其实言外之一就是要关于 x 求变导和关于 y 求变导，那呢？关于 x 求变导怎么样？ 关于 x 求变导，那我们这是 y 什么？ y， 你 不用管它，直接把它看做常数，对， y 当做常数，那我们 x x 的 三次方就是求到之后，三加下来，下面是平方，对吧？那后面的 x， 然后直接大家求导，那是不是只剩下一个长度 y 的 三次方？ y 这里不管，同样的不管，对吧？同样的对于 y 呢？ 对于 y 进行求偏导，好，求偏导之后，那就变成了 x 的 三次方，对吧？对吧？这里是第一项， y 求掉了，那后面这个 y 的 三次方呢？哎，三拉下来，这上面这只剩下二次方了，那这就是求 y 求偏导的形式。好，这是第一题，那我们接下来继续往后来到第二题。 第二题，它是，它是一个三角函数了，三角函数怎么对它进行求偏导呢？哎，一样的，关于，我们先找到它有几个自变量 x， 它是 y， 好， 那我们先对 x 进行求偏导， x 求偏导，那 y 就 不管了，把它看成常数求出来， 对吧？然后把它常数，那前面都常数，那是不是就 y， 它这个 sin 呢？就变成了可 sin 一 样的，那第二个，第二个是个简单的复合函数了。好，先对 x 求导，那 y 先出来，先出来一个 y， 然后呢？再对这个整体，我们可以看个整体求导，那我们就变成了 前面是个二倍的，然后再一个负号，因为它是要求，是因为 cosine， 然后呢？因为对 cosine 再求偏导呢，它就变成了三 a， 对 不对？好，这题不就变成了二负二倍的 y 乘以三 a， 然后再乘一个 cosine， 然后整理一下，我们提一个 共音式，共音式提出来，那就变成了整体这个形式。好，然后呢？继续对 y 求偏导呢？好，对， y 求出来，那就变成了整体这个形式。好，然后呢，继续对 y 求出来，那这变成了 cosine。 x 呢？就将前面的系数乘出来，那就是 x， 对 不对？然后呢？这后面呢？一样的，先把它看这个整体的 y 求导 a， 把里面求出来的时候，它前面系数 x， 然后呢，再对整体求导，那就变成了负二倍的 si， 然后再乘一个它本来的 cosine， 对 不对？ 好，那我们就变成了这个形式，然后呢？再怎么办？再画到一个题，共因式，其实到这一步也可以的，我们为了更简洁一点，把它共因式提出来，共因式是 x 乘以口三一，对吧？好，那这一题的对外求呢？到这里好，继续往后来到第三题， 第三题我们稍微加一个条件了，嗯，不仅要求偏到的，然后我们还有说明是要在 一到二出，一到二出的偏导，哎，先我们先不管，一样的先求导，先关于 x 求导，关 y 求导，关 x 的 求导呢？这个时候我们发现这么一个指数在外面它显示 y， 那 我们这时候比较烦，那我们其实大家不要慌，我们对 x 求导的时候，我们把这个指数就看到一个正常的常数了， 我们常说之前怎么求的？对，直接拉下来，上面减个一，对不对？对，然后这里里面保持不变，然后呢？再怎么办？再因为它又是小小的复合函数，把这里面又是复合函数，在它这个里面进行一个关于 x 求导，再求出来，是多了一个 y， 对 不对？那前面一个 y， 两个，后面一个 y， 那 是不是 y 的 平方乘以这个 括号的一减一加 x 乘 y 括号 y 减一的次方，对不对？然后再继续关于 y 求偏导，哎，关于 y 求偏导，哎，一样的呀， 把 x 当成函数，然后我们这这它的指数同样的也要乘下来，对吧？我以为我们关于自己求偏导下来，然后上面还有一个减一个，然后呢？这里面又是一个又是复合函数，对不对？把这里面跟它关于进行关于 y 求导， x 乘 y， 那 关于 y 乘导，那是不是乘一个 x 生成一个 x， 那 整理一下 x 乘以 y 对 不对？然后再乘一括号的 y， 乘以 y 减一次方。好到这里很多朋友千万不要忘记，我们要把这个 括号一到二，这具体的这个点要带进去。好，那我们这怎么写呢？应该写成如果你一一气合成熟练的话，直接可以在这里写， 嗯，直接可以在这样写也可以。嗯，但是让大家熟练一下，在这里后面单独的给它列出来。把 x 等于一， y 等于二，带进去， 带进去，那得到这第一个数字里面， y 等于二，带进去二的平方乘以括号一加二，括号上面就是二，减一就是一等于正好等于十二，同样同样的带 y 求变道呢，也是这样， x 等于 y 等于啊，带进去就可以了。好，今天咱们这几个偏导数的题目先说到这里。好，还在的话，关注我，每天分享最干的干货，让关注我的准研究生们干翻那些不关注我的竞争对手。

兄弟，你要分不要，只要你开金口，我这不都给你送来了吗？今天啊，我们来说一个百分之九十九的高中数学老师都不给你讲的一个东西，叫做拉格朗日中之定律， 为啥不讲呢？只要一学到这个玩意，再跟你结合一下的泰勒展台式，他都说这东西全是高数当中的东西，高考他不让使，你使，他不给你分。 嗨，纯扯淡，我们要知道人家高考命题组的老师说了，人家原话是咋说的呀？我出我有理，你管不着，但是你用你高明对不对？况且这是啥？这是基础定理性的东西 是不是？啥叫基础定理啊？一加一等于二，你说没法使，这不扯淡吗？ 他，你连使劲挣都不用，使劲挣你咋弄呢？基础定律对不对？所以说是完全可以使的，所以说赶紧的，拿出笔和纸，把我们的这个东西给他使上啊。好，我们这回我们来说啊，什么是拉格朗的中置定律啊？特别简单， 函数 f x， 只要满足以下条件，第一个看好了啊，我这是写着呢， f x 在 b 区间上，连续 b 区是 b 区间， 因为不 b 的 话我们使不了啊。然后第二个啊，含函数在开区间上，可导，就是必须能求导才可以啊，满足这两个条件，那么则在这个 a 到 b 这个范围内啊， 至少存在一个点，可 c， 哎，使得 f b 减 f， a 等于 b 减 a 的， 这个是个啥玩意啊？同志们 有点水平的老师啊，他们肯定会给你讲一个东西，叫做切割线定律，这个东西它指的就是我们的什么割线 啊，割线的斜率对不对？那 f 撇 x 怎么说来，切线斜率嘛，都纯斜率嘛，对不对？哎，那么我们通过它的几何意义，我们来理解一下子啊，啥意思呢？你看，我用半色笔随便画了一个啊，画了一个曲线，然后此是这个点 a 看见了吧，这个点 b 看见了吧， 俩点之间的斜率就叫做割线的斜率， ok 吧，非常好理解。然后我们练完之后，你发现他都 k 这个了，一点问题没有，那么此时我们就拿着这个啥呀，拿着这个拉上的这个线， 拉着他，你平移啊，平移到这跟他平行不平行吧，平移到这跟他平行不平移吧。哎，我再给他推开来啊，那么此时，那你说跟他平行了，那你说我们这个点处的啊，这个点处的 切线斜率是不是跟他相等的？那同样在刚才这个点处的切线斜率是不是跟他也一样啊？这就是我们的拉格朗的中置定律 出来了，没有问题，对不对呀？非常好的一个点啊，基本定律吗？是不是？好？然后啊，我们找一道曾经啊，我们考过的高考题，我们来 研究一下子啊，为什么不要使它？首先啊，你看啊，它说已知函数 f x y x 设 x 一， 小于 x 二和大于零啊，然后让你求证这么个东西成立， 你看见这玩意，你给我脑瓜仁坑对不对？特别是当你没有学过这个割线切割线方，切割线定里的时候，你看这东西更脑瓜仁坑，这咋整啊？这是个傻， 就算是你会，你看见他的时候，你也已经慌乱了，对不对？哎，那你说我们这题该怎么正啊？我们先说一下正规的解题思路就是一定给满分的啊，就是啥呀，你先正右吧，拆开就正了右，把它拆过来，然后给他出过去， 对不对？变成这样的一个方程，然后此是，哎，你看变成这样的形式了吧，变成这样的形式之后，我们再重新去构造函数，构造函数，然后求导，求极值嘛，求单调性嘛，然后此是通过证明的， 我们可以得到啊， g t 是 在这上面单调递减的，然后 g t 呢？因为他在一到整数上嘛， t 大 于一是不是？我们还原了这一步，还原了一步很重要啊，同志们啊，那我们就知道它在这是单调递减的，那么递减不就 g t 小 于零 没有问题吧，那么这一等于零了呢？那么我们就有 l n t 小 于 t 减一，那么我们就得到左右边的这个证明了啊，然后再正左边，左边其实跟他就一模一样了，左边就是啥呀，还是一样对不对？一项 还原构造单调性，得正得正。结论，是不是这个题其实相对来说还简单一点， 因为有的稍大点 o t 啊，他可能会在这里给我们，在这里面给我们加系数，比如说 log x 二变成 log 一 加 x 二，是不是？或者给我们加绝对值，是不是碰见这种东西的时候啊？其实此路是纯一模一样的，全是得重新去构造，只不过我们在转化的这个过程当中， 很多同学全部卡在这个过程了，他转化不明白，构造不出来弦函数了，那不都这不都记记了吗？还还还还想着扣分都得不着分了是不是？然后我们大招来了，看我们拉格朗日的这个解法， 哎，首先我们看 f x 在 x 一 到 x 二上是不是连续的浪 x 谁都知道吧？是不是？那他在这个范围内呢？是不可导啊？ x 分 之一，切完导之后谁也都知道，所以说由拉格朗日中之定律可知怎么的存在 f 撇可可 c， 它是等于这么个东西的 是不是？那么你是不是可，然后你是不是可以直接把我们题目中的这个东西这个玩意给它直接替换了呀？是不是？然后死神带进去，因为 f 撇 x 等于 x 分 之一，那么 f 撇可 c 等于可 c 分 之一，直接替换它，那么带到圆方程 是不是因为我们要的是它大于 x 二分之一，小于 x 一 分之一，哎，那么你看，由于可 c 大 于 x 一， 小于 x 二没有问题吧？在中间嘛，是不是？那么 y 等于 x 分 之一，在上面答到 b 减，所以说可 c 分 之一大于 x 二分之一，小于 x 一 分之一，所以得证 简单吗？多简单呐，太简单了是不是？那有的同学说，老师你这反不出答案了，我不敢使啊，没事啊，对不对？那你说，那我们老师天天跟我说，这没法使，你这拉格朗这四个字就不能出现，那也没事啊，不能出现怎么办？别写就行了呗， 你不写不就可以了吗？你把这几个字嘎叽一擦怎么样啊？因为它连续，因为它可倒，所以说肯定存在这么多东西。然后你写一个可 c 大 于啥呀？大于 x 一， 小于 x 二，存在可 c， 在 这个范围内满足它等于它 不就可以了吗？对不对？赤裸裸的分摆在这这里对不对？选择填空，随便使大题改变一下思路，同志们 能做出来总比得不着分强吧？你要这么去考虑对不对？而且大概率啊，大概率高考他这个老师他会给你分的，一定要明白这个事情啊。好了，那么这就是我们的今天的内容。好。