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动态规划 动态规划是计算机科学和数学中一种重要的算法设计方法,广泛应用于优化问题的求解。其核心思想是通过将复杂问题分解为相互重叠的子问题,并存储子问题的解以避免重复计算,从而显著提高算法效率。动态规划由美国数学家理查德·贝尔曼在20世纪50年代提出,最初用于解决多阶段决策问题。其名称中的“动态”并非指时间上的变化,而是强调问题的多阶段特性;“规划”则指通过系统化的方式寻找最优解。动态规划与分治法类似,都是将问题分解为子问题,但关键区别在于动态规划的子问题通常存在重叠,因此需要记忆化存储中间结果。 动态规划的核心可归纳为以下三点。1. 重叠子问题:问题能够分解为若干子问题,且子问题之间存在重复计算。例如斐波那契数列中,计算F(5)需要重复计算F(3)和F(2)。2. 最优子结构:问题的最优解包含其子问题的最优解。例如最短路径问题中,从A到C的最短路径必然包含A到B的最短路径。3. 状态转移方程:定义如何从子问题的解推导出当前问题的解。例如背包问题中,状态转移方程描述是否选择当前物品。动态规划并非万能,适用的问题需满足以下条件。1. 问题可分解:能够划分为规模更小的子问题。2. 无后效性:当前状态一旦确定,后续决策不受之前决策的影响。例如棋盘游戏中,当前位置的下一步选择仅与当前坐标有关。3. 子问题重叠:递归求解时存在大量重复计算,记忆化能显著提升效率。 动态规划的优化技巧。1. 滚动数组:减少空间复杂度。例如斐波那契数列只需保存前两个状态。2. 状态压缩:用位运算等技巧简化状态表示。3. 记忆化搜索:递归+缓存,适合不确定计算顺序的情况。动态规划在现实中有广泛的应用场景。1. 生物信息学:DNA序列比对、蛋白质结构预测。2. 经济学:资源分配、投资策略优化。3. 路径规划:机器人导航、GPS最短路线计算。4. 自然语言处理:机器翻译中的词对齐、语音识别。5. 游戏开发:AI决策、角色行为优化。 动态规划作为一种高效的问题解决方法,其价值不仅体现在算法竞赛中,更在工程实践和科学研究中发挥着重要作用。通过持续练习和思考,开发者能够培养出将复杂问题抽象为动态规划模型的能力,从而在面对挑战时多一种强大的工具选择。正如贝尔曼所说:“问题的困难往往不在于答案本身,而在于如何正确地提出问题。”动态规划正是教会我们如何系统化拆解问题的艺术。
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