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66663周前
这个理论在数学上极其优美,优美到让人窒息。但它有一个问题太难了,不光数学难,物理意义也很玄乎,而且当时根本没有什么实验能验证它。大部分物理学家看了一眼,说了句厉害厉害,然后就去忙别的了。但有一个人没走,这个人叫西奥多卡鲁扎。卡鲁扎是个德国人出生在西里西亚,这个地方现在属于波兰,但当时是德意志帝国的一部分。他在科尼斯堡长大,就是那个出过康德的城市。这座城市现在叫加里宁格勒,归俄罗斯管,驻扎着俄罗斯的波罗的海舰队。 卡鲁扎成长的那个世界现在已经完全不存在了,但他的想法流传了下来。卡鲁扎拿着爱因斯坦的广义相对论方程翻来覆去的看了很长时间。然后有一天他问了一个奇怪的问题,爱因斯坦说我们生活在四维时空里,三维空间加一维时间。那如果我把方程改成5维的呢?四维空间加一维时间会怎么样? 你可能觉得这问题特别无聊,我们的世界明明就是三维空间,上下左右前后就这三个方向,你用眼睛看、用手摸、用尺子量怎么测都是三维,你非要假设有四维空间,这不是吃饱了撑的吗?跟现实世界有什么关系?但卡鲁扎说等一下,如果这个额外的维度非常非常非常小,小到我们根本观测不到呢?这是什么意思?让我给你打个比方,想象一根消防水管,你站在100米外看这根水管,它就是一条线,对吧一维的。 但如果你是一只蚂蚁,爬到水管上去,你会发现情况完全不一样。水管的表面是一个二维的曲面,你不仅可以沿着水管的方向走,还可以绕着水管转圈。那个绕圈的方向对于100米外的人来说是看不见的,因为太小了,但对于蚂蚁来说,它是真实存在的。 卡鲁扎想,也许我们的宇宙就像那根水管,表面上看是三维的,但其实有一个额外的维度,只不过它蜷缩的特别小,小到人类和人类所有的仪器都感知不到。只有当你变得足够小,小到能钻进那个蜷缩的维度里去,你才能发现它的存在。 这个想法听起来很疯狂,但卡鲁扎决定认真算一算,他把爱因斯坦的方程改写成五维的形式。假设其中一个空间维度蜷缩到极小,然后一步一步的推导下去,结果出来的时候,他自己都惊呆了。五维的引力方程,经过一系列复杂的数学变换之后,居然自动分解成了两个部分。第一部分就是我们熟悉的三维空间中的引力。爱因斯坦的广义相对论第二部分看起来特别像另一种我们熟悉的力,电磁力麦克斯韦方程组那一套自动就跑出来了。 你知道这意味着什么吗?这意味着如果宇宙真的有一个我们看不见的额外维度,那么引力和电磁力这两种看起来完全不同的自然力量可能本质
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【中配】双摆:关于确定性与不可预测性的极致演练 双摆是一个令人着迷的物理系统,它完美地诠释了物理与数学中一个极其反直觉的概念:一个系统可以是完全确定的(Deterministic),但同时又是不可预测的(Unpredictable)。这期视频从基础的受力分析出发,推导了运动方程,并深入探讨了混沌现象的本质。 1. 物理建模:从摆动开始 双摆由两个质量分别为 $M_1$ 和 $M_2$ 的小球组成,通过长度为 $L_1$ 和 $L_2$ 的无质量刚性杆连接。为了推导其运动方程,我们需要遵循三个步骤: 运动学约束:利用三角函数确定两个质量点在坐标系中的位置及速度。 拉格朗日量 (Lagrangian):计算系统的动能减去势能($L = K - V$)。相比于牛顿第二定律,这种方法在处理复杂系统时更为简洁。 欧拉-拉格朗日方程:基于最小作用量原理(自然界总是选择让作用量积分最小的路径),求出描述角度 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 随时间演化的运动方程。 2. 预测的界限:线性与非线性 视频对比了两种截然不同的运动状态: 小角近似(线性系统):当初始摆角非常小时,方程可以简化为线性方程。此时,双摆的每个部分都在进行简单的简谐运动,能量在两个摆之间周期性转移,运动是可预测且确定的。 大角运动(非线性/混沌系统):当初始角度增加,系统变得极其非线性。此时系统进入混沌状态,对初始条件展现出极度的敏感性。 3. 混沌的量化:极度敏感性#知识前沿派对 #双摆 微小差异的放大:设定 10 个初始条件差异极小的双摆(差异范围从 $0.1\%$ 到惊人的 $10^{-9}\%$)。 路径发散:最初几秒钟,它们的路径几乎完全重合;但仅仅过了一会儿,所有摆的轨迹就彻底分道扬镳,呈现出完全不同的运动形态。 结论:除非你拥有无限精确的初始测量值,否则你永远无法预测双摆的长期轨迹。 4. 科学的哲学 双摆教会了我们关于自然界的一个深刻教训:虽然我们掌握了完美的物理规律(方程是确定的),但由于测量精度永远无法达到无限,未来的某些部分注定是神秘且无法计算的。这种在秩序中产生的随机感,正是动力学系统最迷人的魅力所在。 原视频标题:Everything You Need to Know About the Double Pendulum #SoMEpi 原作者:Abide By Reason #青年创作者成长计划 #知识前沿派对
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