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杨付民6月前
无理数的数码均值可以是9吗?已知无限循环小数数码均值不可以是9,否则就意味着它小数部分全由数码9构成,0.999…其实只是整数1的一个特殊表达方法,它的数码均值是1。但无理数的数码均值却可以是不大于9的任何一个非负实数。求无理数的数码均值其实就是求它的有效数字无限增加时数码均值的极限。例如刘维尔数0.101001000100001…的数码均值u=0,刘维尔数中任两个数码1和1之间的数码0替换为9,得到 (I,9)=0.191991999199991…数码均值u=9。这个无理数乘以2得到的另外一个无理数0.38398399839998…数码均值u=9。可以证明(I,9)乘以任何一个正整数以后得到的一个新无理数数码均值仍然是9。现在构造一个超越无理数(I,4.5)=0.45455445544545544554…,它小数点后每连续2n位(n=1,2,3,4…)都是由数码45与54交替出现。它的前n项数码均值数列收敛,有极限u=4.5。(I,4.5)*2=0.909108910890…前n项数码均值数列仍然是收敛的,极限u=4.5。有理数乘以另外一个正整数以后数码均值可能会发生变化,例如11*0.0909…=1。0.0909…数码均值4.5,1数码均值1。无理数也是如此,例如刘维尔数小数点后面的数码0全部换成8得到的新数0.181881888…数码均值8,新数乘以2得到0.36376377637776……数码均值变为7。只是在数码均值等于4.5的构造无理数中乘以另外一个正整数以后还没有发现数码均值有一个会改变为其它数值的。一般认为圆周率π的数码均值是4.5,统计表明圆周率π当有效数字无限增加时的数码均值确实在4.5附近上下波动,但统计表明2π的数码均值却是一个大于4.5的数字,由此不妨猜测,圆周率π的数码均值本就不是4.5,而是一个很接近于4.5的的常数。这个猜测对不对呢?
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