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第 26 讲:快速泊松方程求解器(第2部分);二维有限元方法 本讲是快速泊松方程求解器部分的延续,并且引入二维有限元方法的核心思想,包括如下两个主要部分: 1. 快速泊松求解器——第二部分 继续讨论在二维网格上求解泊松方程的快速算法。重点是如何利用矩阵的结构特征和快速傅里叶变换(FFT)来提高求解效率。 二维差分矩阵具有高度对称和结构化的特点,因此可判断其特征向量是正弦/余弦型函数。 对这样的结构,可用快速傅里叶/正弦变换 将线性系统转到频域,大幅减少运算量。 这个技巧对于规则且等距网格特别有效,有时称为“分离变量 + FFT”方法。 已知拉普拉斯矩阵的特征向量 → 利用其频率表示 → 用快速变换计算和反变换 → 快速求解大型线性系统。 2. 二维有限元方法简介 在本讲后半部分,Strang 教授给出二维有限元思想的初步介绍,为接下来的讲座做铺垫。主要包括: 网格划分与基函数 将二维域划分为很多三角形(或四边形),形成三角形网格(可能是结构化或非结构化网格)。 在每个节点附近构造局部基函数(例如线性基函数),这些函数在其节点处为 1,在其他节点处为 0(类似“帽函数”/“金字塔函数”)。 弱形式 有限元方法是从偏微分方程的弱形式(利用试函数的内积)出发,而不是直接用强形式,因此对边界条件的处理更灵活。 基函数与线性组合 所选基函数(试函数)通常是简单的多项式,例如在三角形上的线性函数,对应三角形节点上的“金字塔形”图像。 这种选择使近似解在每个节点的系数正好是该点的近似值,而整体解则由这些基函数线性叠加构成。
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光的简史13 事与愿违微粒派弄巧成拙 泊松助波动派获江湖地位 1819年,第二次波粒大战终于打破僵局,这源于1818年法国科学院的一个悬赏征文竞赛。竞赛的题目是:《利用精确的实验确定光线的衍射效应;根据实验,利用数学归纳法推导出光通过物体附近时的运动情况》。组织这次竞赛的本意,是希望通过微粒说的理论来解释光的衍射以及运动,以打击波动理论。 到了征文发布后的第二年,也就是1819年,时任评委的波动派大佬阿拉果和安培一起鼓励菲涅耳出山,菲涅耳提交了一篇应征论文。这篇论文的核心就是后来被人们称为惠更斯-菲涅耳原理的理论。 前面我们说过惠更斯原理,它的缺陷很明显:一是无法定量计算衍射波的强度分布;二是根据理论会有“倒退波”出现,这明显和实际不符。菲涅耳在惠更斯原理的基础上,对子波的振幅和相位作了定量描述,同时又引入了“相干叠加”的概念——空间任一点振动是所有子波在该点相干叠加的结果,最终形成的理论就是著名的惠更斯-菲涅耳原理。 菲涅耳阐述这套理论的论文推导严谨、天衣无缝,让诸多评委为之赞叹,但是坚信微粒说的评委泊松并不认可这一理论,对这篇论文进行了极为细致的审查。 在评委会会议上,泊松报告了他的审查结果,根据菲涅尔的理论,用数学计算应该会看到一种奇怪的现象:如果在一束光的传播路径上,放置一块不透明的圆板挡住,在离圆板一定距离的地方,圆板阴影的中央应当出现一个亮斑。 这在人们的意识中是一件十分荒缪的事情,用一块板子挡住光线,怎么可能在背面反而会出现一个亮斑呢?泊松这个“以子之矛攻子之盾”的反击手段,简直是精妙绝伦!这无异于是射向菲涅耳的一击毙命的子弹。所以当时泊松认为自己已经驳倒了波动说。 泊松的反击确实老辣,差点让菲涅尔的论文中途夭折。但菲涅耳的同事阿拉果,在关键时刻挺身而出,坚持要进行实验检测,结果发现真的有一个亮点,如同奇迹一般地出现在圆盘阴影的正中心,位置亮度和理论符合得相当完美。 这个结果让泊松大惊失色,原本射向菲涅耳的那颗子弹,瞬间变成了回旋镖击中了自己!至此,这次竞赛以波动派的完胜而落下帷幕。从此波动学派重获江湖地位,光学世界里迎来了短暂的波粒共治时代。 圆盘阴影正中的亮点,后来被相当有误导性地称作“泊松亮斑”。从此这个亮斑成了波动军手中威力不低于干涉条纹的又一重武器。菲涅尔也因此一战成名,成为可以与牛顿、惠更斯比肩的光学界的传奇人物。 然而,这个半路杀出的名不见经传的菲涅耳又是何许人呢?我们下回细说。
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