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全民自学数学工厂•第22课 · 数理逻辑:非 ¬ 不刷题,不考试,从零自学到大学数学。 想完整学完的,点关注,一集一集跟着刷。 #全民自学数学工厂 #数学思维 #从零开始学数学 #高等数学入门 #自学数学 第22课 · 数理逻辑:非 ¬ 你好,欢迎来到《全民自学数学工厂——3分钟讲透数学》。 今天我们一次性讲透数理逻辑里第三个核心连接词:非,记作 ¬。它也叫“否定”,是逻辑里最基础的逆向思维工具,也是命题变形的核心。 先给你最标准的定义: “非”,是对一个命题的全盘否定。对命题p进行否定,就能得到新命题,记作¬ p,读作“非p”,也叫“命题p的否定”。 一句话记死核心规则: 命题p和¬ p真假永远相反,p真则¬ p假,p假则¬ p真。 口诀浓缩,考试永远不会错: 真假相反,一真一假。 举两个直观例子,一眼就懂: 第一个例子,命题p:3>1(真), 否定¬ p:3≤1(假),真假相反。 第二个例子,命题p:所有质数都是奇数(假), 否定¬ p:存在至少一个质数(比如2)不是奇数(真),真假相反。 “非”命题的核心性质,必考必用: ① 双重否定回原命题:¬(¬ p) = p 对命题否定两次,就回到原命题本身,和补集的双重否定逻辑一致。比如“2不是偶数”的否定就是“2是偶数”。 ② 命题p与它的否定¬ p,必然一真一假,没有第三种情况。 高频易错点(一次性全理清) 易错1:命题的否定 VS 否命题(最高频丢分点) 先记死一条边界: 否命题,只针对“若条件,则结论”这类句子才有,简单命题没有否命题。 再记核心操作: - 命题的否定(¬p):只否定结论,绝对不改变条件 -否命题:只存在于“若p,则q”结构中,是把条件和结论一起绝对否定 【极易混淆警示】 “若非条件,则非结论”≠“非条件且非结论” 前者是如果…就…的推理关系,后者是同时成立的并列关系,逻辑完全不同。 举例区分: 原命题:若一个数是正数,则它大于0 命题的否定:若一个数是正数,则它不大于0 否命题:若一个数不是正数,则它不大于0 一句话记死: 只否结论是“非p”,条件结论全否是否命题。 本课讲的“非”,仅指命题的否定。 易错2:看到“所有都是”,别错成“所有都不是” 很多人会误把“所有都是”的否定,说成“所有都不是”,这是典型逻辑错误。
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全民自学数学工厂•第21课 · 数理逻辑:或 ∨ 不刷题,不考试,从零自学到大学数学。 想完整学完的,点关注,一集一集跟着刷。 #全民自学数学工厂 #数学思维 #从零开始学数学 #高等数学入门 #自学数学 第21课 · 数理逻辑:或 ∨ 你好,欢迎来到《全民自学数学工厂——3分钟讲透数学》。 今天我们一次性讲透数理逻辑里第二个核心连接词:或,记作 ∨。它和“且”是一对互补的逻辑连接词,也是数学推理、命题运算的核心基础。 先给你最标准的定义: “或”是连接两个命题的逻辑连接词。用“或”把命题 p 和命题 q 连接起来,得到一个新的复合命题,记作 p ∨ q,读作“p 或 q”。 一句话记死核心规则: 只要 p、q 中至少一个为真,p∨q 就是真命题;只有两个同时为假,它才是假命题。 口诀浓缩,考试永远不会错: 全假才假,一真即真。 举两个最直观的例子,一眼就懂: 第一个例子,命题 p:3>5,命题 q:5<10 p 假,q 真,有一个为真,所以 p∨q 是真命题。 第二个例子,命题 p:2是奇数,命题 q:3是奇数 p 假,q 真,所以 p∨q 仍是真命题; 只有当 p、q 同时为假时,p∨q 才是假命题。 关键提醒:逻辑里的“或”,和日常语言不一样! 这是90%的人都会踩的坑,一定要分清: 日常里的“或”多是二选一,只能一个; 但数理逻辑的“或”是至少一个,可以都真,包含三种情况: p 真 q 假、p 假 q 真、p 真 q 真。 只要满足一种,p∨q 就为真,绝对不是二选一。 举个例子: p:正方形是矩形,q:正方形是菱形。 两者都真,所以“正方形是矩形或菱形”依然是真命题。 “或”命题的4个核心性质,必考必用: ① 交换律:p ∨ q = q ∨ p 两个命题交换位置,真假不变。 ② 结合律:(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) 多个“或”命题,先算哪一组都一样。 ③ 真假运算规则 真 ∨ 真 = 真 真 ∨ 假 = 真 假 ∨ 假 = 假 一句话:只要有真,结果必真。 ④ 范围上的“或” = 取并集 “或”用在取值范围里,满足任一条件即可,对应集合的并集。 比如“x<1 或 x>3”,就是两段范围合在一起。
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全民自学数学工厂•第20课 · 数理逻辑:且 ∧ 不刷题,不考试,从零自学到大学数学。 想完整学完的,点关注,一集一集跟着刷。 #全民自学数学工厂 #数学思维 #从零开始学数学 #高等数学入门 #自学数学 第20课 · 数理逻辑:且 ∧ 你好,欢迎来到《全民自学数学工厂——3分钟讲透数学》。 今天我们一次性讲透数理逻辑里第一个核心连接词:且,记作 ∧。它是逻辑判断的基础,也是数学推理、命题运算的核心工具。 先给你最标准的定义: “且”是用来连接两个命题的逻辑连接词。用“且”把命题 p 和命题 q 连起来,得到一个新的复合命题,记作 p ∧ q,读作“p 且 q”。 一句话记死核心规则: 只有 p、q 同时为真,p∧q 才是真命题;只要有一个为假,整个命题就是假命题。 口诀浓缩,永远不错: 全真才真,一假即假。 举两个最直观的例子,一眼就懂: 第一个例子: p:3>1(真),q:5<10(真) 所以 p∧q:“3>1 且 5<10”,是真命题。 第二个例子: p:2是偶数(真),q:3是偶数(假) 所以 p∧q:“2是偶数且3是偶数”,是假命题。 “且”命题的4个核心性质,必考必用: ① 交换律:p ∧ q = q ∧ p 两个命题交换位置,真假不变。 ② 结合律:(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) 多个“且”命题,先算哪一组都一样。 ③ 真假运算规则 真 ∧ 真 = 真 真 ∧ 假 = 假 假 ∧ 假 = 假 一句话:只要有假,结果必假。 ④ 范围上的“且” = 找交集 “且”用在取值范围里,就是同时满足,对应集合的交集。 比如:x>1 且 x<5,结果就是 1<x<5。 高频易错点,一次性讲透 第一个易错点:“且”必须连接能判断真假的完整命题,不能是零散词语。 第二个易错点:日常里的且、和、同时、既…又…,全是“且”逻辑,都用 ∧。 比如:“他既会篮球又会足球”,就是 p∧q。 第三个易错点:多个命题且连接,必须全真才真。 只要有一个假,不管其他多真,整个命题都是假。 “且”逻辑的本质 “且”的本质就是:同时满足、缺一不可。 解不等式、做逻辑推理、判断条件是否成立,本质都是在找“同时满足”的情况,是最基础、最常用的严谨思维工具。
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