常见的等价无穷大公式

有同学问主播复合韩秀内部能不能等价无穷？小主播回答一般不能，但 lin 韩秀极其特殊，他就可以基本继续等价无穷大，证明过程如图所示，相信大家可以轻松看明白。现在我们来快速秒杀这三道题。第一题碰到密制结构， 我们首先就是取值对数，然后把这部分极限抽出来单独预算，根据泰勒展开。有这样一个式子，那么 x 区域零时有这样一个等价关系，根据前面的结论， e 可以 得到这样一个等价关系， 那么该极限就等于它，然后分子拆开，显然极限等于二，那么整体极限就是一的平方。再来看第二题，依然先密指结构，画指对数，然后抽离出这部分极限，对这部分化简， 因为有这样一个等价关系，所以内内部等价为这样，显然该极限为负二分之一，那么整体极限就是一的负二分之一次方。最后来看这道真题，同样的操作即可极大降低运算量， 因为这部分极限为零。根据该等价关系可知，有这样一个等价关系，那么 lay 内部就可以实现相同的等价，所以该极限就可以实现化简。 l n x 等于 t， 显然这部分极限为负一， 所以整体极限就是一的负一次。这三道题全都是 k k 资料函数专题中的等价无穷大例题，如果你想要学习更多实用的解题方法，请看 k k 资料。

好，我们这一期分享一下一些常用的等价无穷小的替换公式，叫简称等价代换。那么首先回顾一下上次课的上次的内容应该是 x 区 x 零的时候， f x 比上 g x 极限，如果它是一个零比零型啊，前提它是零比零型， 那么这个极限如果是一，我们就称 x 去 x 零时， f x 等价于 g x， 对 吧？那么这样的话呢，我们马上就会想到第一个在 x 去零的时候，前面所学的重要极限，三 e x 比 x 的 极限是就是一，所以在 x 去零的时候，是不是发现了三 e x 可以 等价于 x 对不对？那么好，我们接下来就是由他推出来了一些基本公式。首先这些公式的前提啊，是建立在 x 趋零的时候推出来的，所以那么我们的第一个公式是谁呢？是 x 趋零的时候，里面的三 x 可以 代换成 x。 第二个 r 三 x 等价于 x。 第三个 ten x 等价于 x。 第四个 r 等 x 等价于 x。 第五个 第五个是什么呢？是 a 的 x 减一等价于 x 倍的幂 a。 第六个 e 的 x 减一等价于 x。 第七个 n 次根号下一加 x 减一等价于 n 分 之一 x。 那么第八个一加 x 的 阿尔法次就减一等价于阿尔法乘 x。 第九个 law 一 加 x 等价于 x。 第十个一减 cos 等于二分之一 x 方。其实一般情况下这十个已经足够用了，但是呢，我们后面再补一些。好，那么首先 补一个啊，那第十一个 x 减三， x 等价于六分之一 x 三次 x 减二克三 x 等价于负六分之一 x 三次。 第十三个 x 减 t， x 等价于三分之一 x 的 三次乘个负一。第十四个 x 减二克 t， x 等价于三分之一 x 三次。 第十五个三 x 减 t， x 等价于负的二分之一 x 的 三次。第十六个 l n 考三 x 等价于负二分之一 x 方， 第十七个 x 减 l n 一 加 x 等价于二分之一 x 方。 好，这是我们的这十七个等加代换的公式，使用前提都是在 x 去零的时候，那么这里面的 x 都可以换字母换成方框，方框去零，那么散引方框就等价于方框要换所有的位置统一换。

今天我们先给各位小伙伴带来一套简易的关于常见的等加无穷小的记忆方法， 很多同学都容易记混，尤其是二阶和三阶的这种，一阶还好，那么今天我们教会大家怎么样快速而且不会错，把它准确的记忆好。首先我们看一下常用的一阶等加无穷小，一共我们教材上所有的高等数学教材上都总结出来了， x 去零的时候，前提 x 去零，那么 x 会等价，为什么？ sin x 等价？ arg sine tangent arg tangent 洛以一加 x 好， e 的 x 四米减一。 那么我们知道等价无穷小其实是泰勒公式展开的什么？第一项哈，一种特殊情况，它都用一弯弯来表示，它只是近似的相等，近似的不是严格的，当我们很多时候极限计算的精度不够时候，我们要往更高阶进行展开。此外还有 a 的 x 次幂减一等于 x 乘幂， a 一 加 x 加减 x 的 阿尔法次幂减一等于什么？正负阿尔法 x 是 吧，都可以用定义去证明它。那么常见的二阶等加无穷小替换它的规律是什么呢？首先 a 啊，路由一加 x 到 x 好 x， 再到 e 的 x 之密减一，它们之间相差了二分之一 x 的 立方，怎么去记呢？我们看一下 y 的 x 这个图像是这样的，是不是？ 而路由 x 加一是路由 x 向左平移的一个单位是这个图像，而 e 的 x 之密减一是这一条图像，你看最高的是谁？是 e 的 x 之密减一， 其次是 x， 再次是 lo 一 加 x， 所以 最大的是它，其次是它，再次是它，它们之间相差的是二分之一 x 的 平方。当然如果你记不住这个相差多少，我们也可以用它的展开去证明。 e 的 x 乘以减一是一加 x 加二的阶层分是 x 方加小 o x 方。 螺引一加 x 是 x 减去二分之 x 的 平方，加小 o x 平方。所以你看把它移向之后到左边，是不是差了它，对不对？这个移向到左边，把 x 减过来是负的二分之一 x 平方，所以它们之间依次增大差值为二分之一 x 的 平方。 所以三个常用公式二减五从小一个是一减 cosine， x 是 二分之 x 平方。还有就是 x 减去幺幺 e 加 x 是 二分之 x 方， e 的 x 次幺减 x 也是二分之 x 的 平方。 好，当然还有一个就是一减 cos 以 x 的 阿尔法之密等价于二分之阿尔法乘以 x 的 平方。这个阿尔法是什么？是指数？咱们常用的三阶等价无穷小替换，这个很多同学可能就容易错了，那么核心把这个不等式关系记住， 就是最小的是 argentant。 我 们来看一下 argentant 的 图像是这样的是不是？其次是 sign， 是 x， 然后是 argentant x， 然后是 argentant x。 斜率最大的是 argentant， 然后是 argentant。 只要你会画这几个函数的图像就简单了。是 sign， 最小的是 argentant， 就是 你看当 x 去临阵的时候，是不是临阵的时候好，由大到小，意思是它们 这个关系，他们之间相邻两项相差的是六分之一 x 的 立方。只要你记住这个准则，那么整个三阶无穷小替换就不成问题了。哈啊，这个不等式关系要记住，不要记这个顺序不要记反了，就用图像的高低去记忆。 那么 x 减三 x， 我 们看一下， x 大 于三 x， 中间相差一项就是六分之 x 地方，那么 r 个三 x 等于 x 加它，为什么呢？ r 个三 x 和 x 之间相差的是六分之 x 地方，所以它就等价于 x 加六分之 x 地方， 这是第十三个，第十四个 tangent x 到 x 中间差了几个一项，两项就差了两个六分之 x 地方， 那么两个六分之 x 地方就是三分之一 x 地方。这样就出来了，同样 x 减阿克托尼的 x， x 到阿克托尼的 x 差了几项，中间隔了一个三 x 差了两项，所以也是两个六分之 x 地方就是三分之一 x 地方。 第十六个阿克三引 x 减去三引 x， 阿克三引到三引中间隔了一项，是不是也是两个六分之一就三分之一 x 地方。 tangent， x 减去 x 这里到这里隔了一个 x 三引，所以两个六分之一 x 的 地方也是三分之一。所以很多同学说，老师搞不清楚什么时候是三分之一，什么时候六分之一，你只要把这个顺序记清楚就 ok 啦。 tangent 减三引， tangent 到三引中间隔了两个，就是差了三项，三个六分之一就是二分之一 x 立方，同样 r 个三引减去 r 个 tangent， 中间也隔了两个，所以一共是三项，三个六分之一就是二分之一 x 立方。 sin 减去 argentant， 我 们看一下 sin argentant 隔了一项，是不是六分之 x 一 方 sin 减 argentant， 我 们看到 sin 减 argentant， 减 argentant 比它小，小的减大的应该是负的，隔了两个六分之一就是负的三分之一 x 一 方， 所以三阶无穷小的核心关键就是把它记住就行了。第一个是这个不等式的次序，是不是由小到大的次序就是通过图像的高低去记忆，另外他们之间相差的都是六分之一个三阶无穷小啊，这样我们就把常用的等加无穷小总结出来，而且他的记忆规律也给大家 掌握了，是不是好？欢迎各位小伙伴评论区留言哈，明天我们更精彩，如果大家有更好的记忆方法，不妨评论区我们多讨论。

哈喽，大家好，数学式思维体操，我是考研数学杰哥，关注杰哥学习更多的考研数学技巧，养成先在后看的好习惯。杰哥感谢大家的支持啊。那咱们今天视频主题呢，就是我们等价梧桐大，不能随便替换， 那么可能很多同学针对于等价无穷大呢，我比较陌生，大家更熟悉的是等价无穷小， 那么在我们求签的过程中呢，等价五乘小呢，是可以替换的啊，在这道例题里面啊，由于我们三 x 和 x 等价，所以我们就把它换掉，由于我们烙印一加 x 呢和 x 等价，所以可以把它换掉。由于我们一减扣三 x 呢和二分之一 x 平方等价， 所以把它换掉。哎，所以结果呢是我们的二分之一，那这里面我们直接替换呢是等价物，从小啊是没有任何问题的，但是很多同学呢， 学咱们等价无穷大，那在这里面使用替换的时候就出现了问题啊。那首先呢，我给提一下什么叫等价无穷大，比如说在 x 区中无穷的时候， 我们有两个函数，一个 f x， 一个 g x， 当 x 趋于重无穷的时候， f x 呢趋于重无穷， g x 呢，它也趋于重无穷。 那如果说他俩相比极限是一的话啊，那我们这时候就说呢，他俩是等价无穷大 好，但是我们等加无穷大呢，是不能随便替换的啊，我们等会来看一下原因。首先呢，我们来看这样一道例题，求 n 区无穷时 saying 派乘一个根号下四 n 方加 n 啊，求这个，那很多同 同学呢，想起来我们抓大头的这个想法，根号下四 n 方加 n， 那在 n 区域无穷大的时候，显然呢，他是大头，那也就是说，根号下四 n 方加 n 应该与我们的二 n 等价无穷大。哎，他会想到哦，这个抓大头，然后他跟他是等价无穷大。当然了，我们也有同学呢，直接去计算一下这个极限啊，根号下四 n 方加一 n， 他除以个 r n， 然后把 r n 放进去， 这个极限也方便算出来是一，所以在 n 区无穷时，他就把这个呢，直接换成了我们的二 n， 好，那就变成 satin 二 n pa， 那 sain 二 n pa 呢，就等于零啊，所以 n 区无穷是零的极限呢？还是我们的零？好，那这个吧，我们同学在这里就做错了，那，那么同学们还不知道到底是咋回事啊？那杰哥在这里面给大家介绍一下，其实等价无穷大呢，他是有一个 bug 的， 他这个名字实际上取得就不是很好啊，取名字取得不好，各位要注意啊，等价无穷大，他实际上指的意思是， 在 n 区无穷时啊，在 n 区无穷时，我们 勾号下四 n 方加 n 与我们的 r n 呢？接相同啊。那如果不用接这个词语的话，我就说它俩呢， 趋于正无穷时的速度相同。 哎，注意到我用了速度这两个字眼，给大家举个最直观的例子啊，比如说，我们 y 等于 x 和 y 等于 x 加一，那我们画在这个坐标器里面啊，这是我们 y 等于 x， 这是我们 y 等于 x 加一。 在无穷远处，在无穷远处给定一个小的增量，他俩给定相同的小的自变量增量，则他们函数值的增量呢，增长是一样的， 增长是一样的。所以说这俩呢，实际上很明显能看出来，他俩区域无穷大的速度是一样的，我们只看速度，所以你也很明显能看出来，当我们 x 去无穷的时候，那 x 除以 x 加一呢，极限是一，对吧？那也就是说，实际上我们根号下四 n 方加 n， 它是和二 n 加 c 等价无穷大的 加减，这长数呢，并不影响我们区无穷大时的速度啊。你看，我们 n 区无穷时，根号下四 n 方加 n 除以我们的二 n 加一个 c， 这个时候呢，我们可以怎么办呢？哎，我把上面呢提一个二 n 出来， 二 n 乘以根号下，我们一加一个 n 除以一个四 n 的平方除以二 n 加一 c 嘛。好，那这个实际上是四 n 分之一，对不对啊？那上下同时除以二 n 好，那是不是就得到根号下一除以我们的一了啊，就是我们的一哦，那也就意味着哦，原来两个 等价无穷大只是指的 n 区无穷时，他的结相同，或者说区无穷的速度相同，并不代表他们俩可以替换， 对吧？实际上呢，我们这个时候就看啊，这俩无缺大，让他去减。然后呢，分母分子有理化啊，上一下同时乘以一个勾号下四 n 方加 n， 然后再加一个我们的二 n 嘛， 好，分子也来一个这个平方叉公式啊，分子就剩一个 n 啊，分母是叉，那上下同时除以 n 呢，我们就得到这个极限呢，实际上是我们的四分之一，所以我们再返回来再去 看这道极限啊， n 区无穷时，三引派乘以根号下四 n 方加 n limit， n 区无穷时，我们三引派乘，根号下四 n 方加 n， 这时候呢，我减一个二人派， 因为我们 sanin x， 它的周期呢，是我们的二 pa， 对吧？那我加一个二 n pa， 减一个二 n pa 呢？横等变化，它不变。好，那接着呢，就是 n 区无穷时， sanin， 各位注意，当 n 区无穷时，这个 我们把派提出来啊，就勾号下四 n 方加 n， 再减去一个二 n 嘛，这个极限是多少呢？啊？这个极限刚才已经算过了，就是四分之一，对吧？啊，所以把它四分之一带过来啊，那是不是就是我们二分之勾号二啊？ 好，所以就是等价无穷大呢？咱们不能够是替，不能够直接去替换的，在求极限的过程中，有可能会出现常数常数倍的差异啊。好，那么接着我们再看同一道类题啊，同一道类题，这个题目也是一样，如果你用这个抓大头的做法去做的话， 你就会把它做成 n 区无穷时，咱们 saying n 派啊，又变成零了啊，那实际上不是，你看 n 区无穷时，我们 saying 派乘根号下 n 方加 n， 这时候呢，应该减一个 n 派，再加一个 n 派， 好，减一个，因为你在这里面直接等加 v c， 那是错误的。好，接着在这里面呢，我们用一个诱导公式啊，叫 sanin alpha 加 n pai， 实际上是等于负一的 n 次方乘以我们的 啊，塞牙法，对吧？好，所以就是 limit n 区无穷，这是负一的 n 次方，再乘以我们 saying 派背的啊。根号下 n 方加一个 n， 就减去我们的 n 嘛，对吧？好，当 n 区无穷是这个极限是多少？ n 区无穷时，根号下 n 方加 n 再减 n， 实际上是等于我们这个分子有理化啊，上面呢就是我们的 n， 下面呢是根号下 n 方加 n， 再加一个 n 啊，实际上就是我们的一个二分之一，所以呢就是我们 limit n 区无穷 负一的 n 次方，这个里边呢实际上是三亿二分之派，对不对？三亿二分之派实际上是我们的一啊，我们的一好，这个极限是否存在？这个极限不存在， 因为我们负一一负一一直一直在震荡，对不对？所以这个极限呢？它是不存在的 啊，不存在的，对吧？啊？那他如如果说这个极限我给他加一个平方啊，那他这个极限就存在了。 所以这就是咱们这个这节小课里面给大家讲的内容，希望大家能够学会啊，等价评价，不能随便切换啊。那我们这个如果视频对对你有帮助的话，希望大家能够给杰哥多多点赞，投币转发收藏，多多支持杰哥创作，那我们下期节目再见！拜拜。

那么你记得求极限啊，如果方法不一样， 那么这个题呢，减一层都是完全不同的啊，比如说我们上次这个题，完完全全这一下，用一环比啊，用它来整开这一下，一样的，直接用它来公式， 所以整个过程是比较复杂的。而如果它们结合提取因子法以及结合的六个方向，那这个题目就变得特别简单， 所以这是第二种做法。我们上次讲过的啊，如果 f 键 g 有种很重要的 b 形，把 g 提出来，前面这一项啊，就啊，用于反比， 就 f 取 g 解决，来减去这最重要的点的 b 形。如果这项创明，那么词典的作用下 啊，就像一把整个这一下，看到吗？看到 x， 现在就点掉吗？点掉于 x 啊， 啊，就是整个都是一样条件呢，我们这里吗？抓手整个这一下，圈了圈里，圈了圈里， 向你整个起名这一项来跳你，这是一种非常重要的变形形式。咱们看这个题啊，把这个题就为 i， 所以呢，整个几项 i， 它等于厘米 x 跟正无穷 x 顶啊，往后面这一项写，外面来 有变量啊，这一项 t 的 一键，这一项是 be 什么啥？ be 这个减一叫摩擦而的 experience 再减一，那明显 整个这一项呢，它算零的。这么十节，用等效公式， x 乘 x 平方啊，有等效呢，等效于 x， 等于一个 x 乘以减一角上 o， x 乘以 三乘以这个，所以上整个这个极限啊，整个这个成绩它需要移， 所以这个极限呢？就换成吗？换成这个啊，这一项相当于这个极限 x 是 正无穷 啊，一一键 a， x 分 之，它得移的，这是我们没用的， 求极限那个最终的原则，如果成立极限非零，那么一定把这个极限求出来啊，这是这这一部分 啊，好，所以整个点就化成，化成，因为这是 x 分 之一，所以我们再减 x 出来，就变成了 x 的 正无穷啊。 x 的 平方，这个场子给外面的 啊，乘以 re 一 加 x 分 之啊，减 x 分 之，加上 o x 平方分之跟这一项下面整个底去哪了？ 因为我们这里十节用吗？用它的公式，用这个，这个这一项，记着我们三改过来，这一项是确定的用这几个 x 取向吗？取向 j 无穷 啊，所以呢，他等于整个看成整体 x 分 之一，然后呢，减去二分之一平方， 后面呢？三分之一立方，好，后面打个折哈，整个对象呢，就等价于三分之一 x 立方分之一，所以整个题是对吗？等于三分之一啊， 乘八乘一，那这种做法呢，就比嘛，比上次整台式少简单一些啊，上次是用俯卧还是整台式的？整开以后再整开。所以同样，你这个啊，记得，特别是球机键打底 不懂的方法，他的剪辑都不同啊，而且差别很大。所以说每三天考试啊，包括平常都练习过很多招，一定选择什么？他选择简易方法啊，这个题兄弟们别想那么多了。

好，下面我们来看一下第三个知识点，无需少替换。首先我们要知道什么叫做无穷小，这个地方一句话大家需要记住，就以零为极限的函数，我们称为无穷小。比如说给出下面这两个，在 s 区域零的时候，这里的 s， 二 s 平方 tnty 的 s 都是区域引领的， 那么我们就称为啊这一函数为这个 s 均匀的时候的无穷小。你比如说这里的 s 均匀无穷的时候，那这三个函数它都是均匀零的，那么我们就称为这些函数为 s 均匀无穷的时候无穷小。 好，下面大家就需要知道。第二点就是这个无穷小比较，如果这个阿尔法贝塔都是无穷小的话，把它写成笔直的形式，然后再求他的极限，如果他为零的话，我们称为高阶无穷小。 k 的话 k 不等于零，我们称为同阶五求小，如果他的笔值是等于一的话，我们称为等价五求小，他这个等价五行小还是比较重要的。 好，第三点我们需要知道的就是等价无线条替换，在 s 区域零的时候，下面这些公式都是成立的。所谓的等价无线条替换什么意思？就在我们计算求极限的时候，可以直接进行替换，你比如说如果这里的三 s， 我们可以用 s 直接替换， 那么对于这个等价微小替换公式，首先大家需要记住，而且要会背，这是必考的。其次大家需要知道两点，第一点就是这个 s 区域零的时候才成立， 就是这以上这一攻上只有在 s 区域零的时候才成立，如果他这个球极限的时候是 s 去一，那这里不是不成立的， 需要知道这个 s 要作为整体来看待，它不仅仅只 x， 哎，题目中间也有可能是三 s， 也有可能是 s 平方，也有可能是一减 s， 那么这个整体是区域一零的话，那么以上公式都是成立的。好，下面我们看一下具体的题目。首先把我们刚才讲的公式给大家列在这，然后我们做下这个第一题。这个第一题我们来看一下这里的摊题的三 x， 那么在这个 s 区域零的情况下，那么这个三 s 作为整体也是去引领的，那么我们就使用这个公式，就是把这个 s 变成三 s， 那么这里他可以直接使用无用效替换公式，等价与三 x， 然后把 s 预掉以后，他的值是二十三。好，下面我们看下第二题。第二题，在 s 区域零的情况下，那么这 一部分那用到的就是这个公式，然后这一部分他用到的是这个公式，那么等价微小替换下来以后，就得到下面这个式子，这个分子上等价于二分 s， 这个分母上就等价于二分一，跟上 s。

无穷小量等价代换原则一来讲一下这个无穷小量等于代换这个东西虽然简单，但是有很多人还是没有弄明白。无穷小量等于代换的原则一共有两条，第一条对整体的因式为无穷小的进行代换。什么是因式呢？也就是乘法和除法的部分叫做乘除的部分，比如说 a 乘乘 b， a 除乘 ba 和 ba 和 b， 就叫做因式。再比如说 a 加上 b 比上 c 加上 d 好了， a 加上 b 是整体这个式子的一个因式， c 加上 d 也是整体这个式子的一个因式，这叫做因式。 你比如说 a 加上 ba， 减上 ba 和 b， 就叫做象，这个象是针对这个式子的，象好了，这个式子的象就是谁， a 和 b 这个式子的象就是谁。 a 和 b， 这是象和音式的区别，你得知道什么是 音，是什么是像吧？好了，对整体的音是为无从小进行代换。比如说举这么一个例子，阿尔法和 bat 是无从小，并且在极限过程中，阿尔法等价于阿尔法一， bet 等价与 bet 一 lame 他俩作弊。好了，这个阿尔法和 bet 是整体的一个因式吧， 可以代换了。你比如说把阿尔法换成等价的这个阿尔法一，把贝塔换成等价的这个贝塔一，也可以同时换上面换成阿法一，下面换成贝塔一。这是咱举的第一个例子。 再举一个例子，比如说有这么一个极限，雷梅他阿尔法成成型。阿尔法是什么？是整体这个式子的一个音势啊，那么阿尔法就可以直接换成阿尔法一。

像幺三年这个八分的这个大题，对吧？不要问哪个省份考八分啊，考八分的大题，这省份还是多啊，对吧？你们自己去猜啊。 好，你看像这地方，如果我们去定型啊，兄弟们，这个玩意是不是零，对吧？你看这个地方是不是零分之 c， 这玩意是不是无穷减去？如果单独看这一块 x x 的 立方，它是 x 平方分之一，对吧？ x 平方分之一，它也是无穷，那就是无穷减无穷。好，这玩意是不就是一个未知数？ 然后这个地方我先说啊，有个最容易错误的做法，就是有的兄弟们会把塞盈等价乘 x， 对 吧？写成 x 平方分之一，减去 x 的 立方分之 x， 那 他说这玩意不就 x 平方减 x 平方吗？所以答案就等于零，这种我们在等加，那就给他讲了，这种是严格的， 严格的，标准的零分操作，对不对？不能这样做，因为这玩意是加减预算，加减预算里面直接等价，它的误差特别大，精度不够，不能直接等价，对吧？专升本加减，不要去这样等价，对吧？而加减的话，等价有什么呢？有我们三阶的 那些三角函数的加减对数函数的二阶有一些整体的等价，对吧？不能单个单个去等价啊，单个单个单个的等价容易出错。好吧，这我们就不再啰嗦了，好，以后的话你也别管那么多了，这是不是分式？这是不是分式？两个分式在一起怎么样？ 通分？好吧，基本上我们的核心思想，以后大家看到这个就是两个分式， 两个分式，那么在一起怎么办？那他的操作就是什么通分？而这个题的话，为了训练同学们的计算能力啊，我讲两个方法，好吧， 看同学们有没有想到，想到的话，那 ok， 我 们都一样，没想到也没关系啊。好，这就是核心思想的解法一， 解法一好，这个 limit x 趋近于零，对吧？前面呢，这个是 x 平方分之一减去 x 的 立方分之三 x。 因为有些方法就是，我如果不提不带同学们去训练，那么慢慢慢慢的，同学们，这个对，这个方法它就会越来越淡化， 对吧？就跟生锈的老爷车一样，对吧？这个我们就不再啰嗦吧，这个分布是立方，这个分布是平方，最简单的通分就是前面是不是乘个 x 就 行了， 分母是不就一样了，对吧？所以我就直接了前面前面分子分母同时乘 x， 那 就 x 立方分之 x 减去 x， 立方分之三 x， 对 吧？以往的话，有的学长学姐他在这容易搞错的，但我们今年是给他单独上了一些通分的，而且细讲了很多通分预算，希望大家不要有问题。好吧，就是再来遍啊，分子分母同乘 x， 那 现在分母是不一样了， 结束了吧？那所以这个结果是不是就变成了 limit x 趋近于零，然后 x 的 立方分之 x 减去三 e x 好。 看到这个前面我们是不是进行了一个通分运算，这都是通分的运算，通分是把它合成了一个 通分，变成一个整体，变成一个一个分式，这是不是就倒分式？行了？那我想问你，这个应该 ok 吧，你定型零减去零吧，分子是不是零，这是不是零？ 也就是说，你看这个题，实际上我们最后定型出来就变成什么零比零型，真的是真的是啊，很多的题你只要搞到最后，他都是最基本的零比零型，或者是无穷比，无穷零比零吧。那零比零，我想问大家 这个很熟悉吧，这个地方用什么方法来做等价吗？对不对？所以这我们也不再啰嗦啊， 这要用的一个公式，三以 x x 减去三以 x 等价成六分之一 x 的 立方狗减三赢狗六分之一狗森，对吧？整体思想嘛，对吧？ x 是 不是趋近于零的时候，所以这个方采用等价，对吧？ 好，那就等于 limit x 趋近于零，然后六分之一 x 的 立方除以 x 的 立方，立方约了，所以这个答案就等于六分之一， 好吧，就等于六分之一，那这个的话就是我们这个题的一个做题的方法，对吧？希望大家没有什么太大的问题啊。 好，那通过这个最基本的一个入门的题型呢？大家就要固定固定好一个思想，对吧？我们以后经常会见到这种，看到两个分式，我们的核心想法就是通风而通风我们前面介绍过，他有好多的思想，对吧？比如说两个分不相成呐，还有其他乱七八糟的一大堆，对吧？当然这个题除了通风 当然太简单啊，有没有别的方法呢？我觉得还有吧，我们前面是不是也提过，看同学们能不能想得到啊？讲过类似的啊，之前我讲过一个山东的题，对吧？山东数一还是数几二十四年的，你看这是 x 平方，这个是 x 立方，我想问大家，这个和这个有相同项吧？ 好，不？啰嗦了啊，如果还没想起来的同学们要想一想啊，我把这个题我看一下啊，这个题往下挪一点啊， 我先把它挪到这儿，等会儿再调整顺序，好吧， 讲这些就是多讲几个方法把，帮同学们打开思路，对吧，还有解法二吧， 能反应过来吗？提供因子吧，有相同项，是不是可以提供因子，你看啊，这玩意儿是不是 limit x 趋近于零 x 平方分之一，大家千万不要小瞧它，你千万不要说，哎，这个题这么简单，你提什么公因子嘛，对吧，那如果复杂一点的，你提不提对不对？好，那这个玩意后边我们也我也给大家准备了整体的，等一会看啊。好，来吧， x 趋近于零，哎，前面这个， 哦，对，前面这个地方上节课还给他写了一句红色的，我突然想起来，好了，大家是骡子是马，后面好好干，对吧。突然想起这个题了， 好好继续啊，这个地方我们不啰嗦啊，大家应该如果还是啰嗦，晓不得，我怕有的兄弟们看不出来啊，这块是不是 x 平方分之一减去，兄弟们应该要承认吧，这个 x 立方，它是不是就是 x 平方乘上 x 增值三 e x， 对吧？而这个我是不是可以写成 x 平方分之一乘上 x 分 之三 x， 对 吧？分式的运算吧。所以这个东西我是不是可以写成 x 平方分之一乘上三 x 除以 x， 对吧？什么意思啊？哎，这个和这个是不一样的，先提到前面去吧，对吧？当然不是提到外面去啊，提不到极限外面，对吧，他要受极限符号的管制，极限管的是 x 啊，对吧，是不是提出去是不是有 x 平方分之一好，里边剩下的 那是不是就这是不就只有一了？后边是不是只是一个 x 分 之三 x？ 这样子，你通过提供因子之后给你留下的分式是不就简单了？他们的通风就要柔和一些，就要 easy 一 点点，对吧？这个通风不啰嗦了吧？我们还是写一下啊。 这个，我这个地方，我们是不是可以就可以写成 x 分 之 x 减去 x 分 之三 x， 对 吧？那它是不是就是 x 分 之 x 减去三 x， 对 吧？提供一下多余的一个思路而已啊，那所以这个玩意我是不是写出来就变成了厘米次 x 趋近于零，对吧？ x 平方分之一乘上 x 分 之 x 减去三 x， 对吧？乘法运算分不跟分不成，分子跟分子成，是不是就回到了刚刚的那个题型，一模一样，对吧？这儿 x 立方，然后上面呢，就是 x 减去三 x， 好， 那最后的结果跟刚刚一样，算了啊， 那又对，它这儿是不是等价六分之一 x 立方，然后除以 x 立方，所以答案等于六分之一，对吧？答案等于六分之一， 好，这是我们的这个题，对吧？啊？当然我再说一下，对于老学员啊，就是兄弟们之前学过的同学们， 像这个玩意，他是零比零，行吗？对吧？最后我们定出来这玩意是不是零比零，那你其实还可以用诺必达，对吧？零比零可以采用诺必达，还有无穷比，无穷采用诺必达，对吧？诺必达，那这就变成一减 cos x 除以三 x 的 平方，对吧？一减 cos x， 再等价二分之 x 方， 对，呃，二分之一 a， 呃二分之一 x 方，对吧？你也可以去算，但在这的话我们就不再讲等价，因为照顾有的初学的兄弟们啊，因为还人家还没学，对吧？

他让我们求解，一加三 x 分 之一 d x， 大家会发现啊，这个是属于含有三角函数类的不定积分，那么这个里面呢，我们可以第一考虑三角函数相关的等加变形，比方说特殊的一啊，可以分解成什么三乙方加 cos 乙方， 比方说可以啊，类似于油理化的构造，上下同成，什么 a 加 b， a 减 b 等等，其实它的根本还是为了化解三乙方和 cos 乙方的和好，那么除此之外，也可以考虑万能代换， 我要说这个万能代化啊，基本在这个积分角度下，是迫不得已的情况下啊，我们可以将原本的三角函数转化成有理多项式来进行熨算，所以他最终还是以有理多项式的方式来进行求解。好，那么接下来呢，我想用两种方法来给大家把这个题目讲一讲，好来，方法一， 方法一，我们先看这个分母啊，分母为一加三 x， 那 么在这个里面呢，我们完全可以上下同乘一减三，其实这个目的很简单，因为一减三亿方为 q 三亿方，这样我们方便错位，所以在这呢，我这样我原式上下同乘一减三亿 x。 好， 大家可以看一下，这样一乘上面我们就剩呗，上面就剩一个一减三 x， 这个不动，下面为一减三乘一，是一减三亿方，一减三亿方数变成了 q 三 x 平方啊， d x 到这 好，这样我们将这个积分拆开就好做了。 q 三 e 方分之一是不是正好就是 second x 平方啊，对不对？好，后面这是三 e x dx， 下面除以 q 三 e x 的 平方。大家会发现这两部分现在都是以积分的其中第一部分 second 方的原函数在这是不就是 tan x 探测到 v 三个方吗？对吧？然后面这个我们先等下变形一下啊，这个是不可以写成 d 扣三 x 常数平衡有个符号，负得正变成加，然后下面是扣三 x 的 平方啊， 这样就把它看成了 t 方分之一 d t， 其中 t 为扣三 x， 心中有 t， 手上不写吗？对吧？就是你能够心中看出它这个 t 的 位置，我们可以 不做相应的一个替换，你心里能够把它看出来就行了。好，那么接下来我们全部还原掉它的 x， 那 么这个是 t 方分之一 d t， 原函数是负的 t 分 之一，所以就是负的 t， 在 这就是 cos 三 x 分 之一，然后再加 c， 当然我们在这也可以写成啊，判特减去 second， 这也是可以的。 哎，所以在这啊，就是第一种方式，我们利用三角函数来等加变形啊，进行预算啊。好，方法二， 就是我们在基础阶段给大家讲解的叫做万能代换，万能代换啊，好，万能代换，大家先回顾一下啊，并且在这再给大家说明说明啊，加强一下大家这个记忆啊。首先万能代换的根本核心，首先把核心不要漏掉，是如何替换的？是令贪的二分之 x 等于 t。 首先这个是最根本的啊，就万能代换是将 tangent 二分之 x 半角设成 t， 为什么呢？是因为我们可以将 sin 和 cosine 全部转化成 有关于半角 tangent 的 这样一个正切的函数表达。哎，那接下来也可以了，好啦，根据它，那我们先把公式写一写啊，小一，先把 x 的 问题解决掉，那么这个里面我们可以马上得到这个 x， 是 不是最终就是二倍的 akkant t 啊？ 对吗？所以 d x 在 这我们完全可以写成一加 t 方分之二倍的 d t， 这也是我们万能公式当中的第一个替换，就是微元替换好，第二， 第二个在这我们考虑就是三 e 嘛，对不对？来啊，大家先想三 e x 在 这如何转成它的二分之 x， 那 肯定要先往半角上去处理啊，那这是一个倍角，半角是不是二倍的三 e 二分之 x 乘 cos 三 e 二分之 x 大 小，对不对？ 就是由你这个二倍角相当于二倍的二 x 二分之 x 嘛？啊，转成它，但是我们现在要谁要贪的，要贪的，所以接下来我们在这上下再同除谁同除 cosine 可以 这样考虑吧，就是或者说我上面乘个 cosine， 在 下边除个 cosine， 来，我再给你写一步，就是二倍的 cosine 二分之 x， 我 这乘一个 cosine 变成方，等价变形，再除一个 cosine 可以 吗？ 为什么这么干？是因为这个里面 sin 出 cosine， 是 不是出 tan 的？ 那 cosine 方是不是可以写成倒数？来，我们来想啊，这样的话，大家看这个 cosine 和 cosine 之间合并是不是可以写成二，放在外面上面是不是变成了 tan 的 二分之 x， 看到了吧？来，然后剩余这个 cosine 方，同志们， cosine 方是不是可以放在分母当中变成 cosine 方分之一啊？ cosine 方分之一就是这样，就是 second 方呀，我们不就这点目的吗？ 对吧？我一步一步给你换啊，除下去。好，此时来再来一步就又变成了 ten 二分之 x 下面 cosine 方分之一是谁啊？ second 方对不对？ second 方为一加 ten 方啊，大家想想对不对？ 哎，这样是不是就可以替换了？所以三 e x 万能代换才有二 t 除以一加 t 方，这是这么来的，所以我希望大家能够了解它等价变形的原因。当然我们最后这个公式肯定建议大家，能背过还是要背过的，这个要记清楚啊。好，第二个 来，接下来第三第三个就是 cosine x。 好， cosine 一 样的，我们先考虑它到底是转成倍角还是半角啊？这个连是考虑 cosine 方减三一方， cosine 二分之 x 平方，减去 cosine 二分之 x 的 平方，没错吧？ 首先是半角公式啊，好，我还是那句话，我们的目的是想转 tan 的 方，所以我们可以先将 cosine 方提出，对不对？好， cosine 方提出之后，里面第一个是一，第二个 cosine 方出 cosine 方是不是就 tan 的 方， tan 的 二分之 x 的 平方。哎，同志们，这样，继续继续，那么上面为一减去 tan 的 方，这个不变， 然后前面本来乘 cosine 方就变成谁啊？除以 cosine 方，它的倒数啊， cosine 方倒数不就出 sine 方了吗？你看，完美了，所以在这再来一步， e 减 tan 的 二分之 x 平方，下面这是不正好是 sine 方， sine 方不就是一加上 tan 的 二分之 x 的 平方了吗？ 哎，看到了吧，好，那么接下来把它用替换掉就有了。第三个公式，叫做一减 t 方除以一加 t 方。到这儿 那个啥啊，好，这样，综上所述，三 e 扣三 e， 它的二分之 x 和 t 之间转成 d x， 我 们就都有了万能公式。所以请大家把万能公式的重要，第一，替换原理， 第二，微元公式啊，第三，餐饮公式，第四，扣餐饮公式，把它当场记住。哎，这个很好记的，首先最核心的你就只需要背一个 tan， 二分之 x 为 t。 那 么请屏幕前的在座各位大家跟冰姐一块记，首先，第一，你那个 d x 是 谁？一加 t 方分之二倍的 d t 啊， 对不对？这个把它背过啊！好。其次， sin x 直接你会发现它分母都是一加题方，分母都是一加题方啊，那 sin 就是 一加题方分之二 t， cosine 就是 一加题方分之一，减题方就它只有分子不同。所以希望大家把这个牢牢掌握 好，这是我们对应的三角函数。那么接下来我们回到这个题目，这个题目的积分 i 呢？在这个地方为啊，原题我们的写一下，为 d x 除以一加三 x， 那 么我们现在就令它的二分之 x 等于 t， 此时是不可以用万能代换。哎，来了，万能代换开始背了啊， d x 为谁来着？一加 t 方分之二倍的 d t， 是 这样吗？好，再来，一加三，怎么背来着？一加 t 方分之二 t 啊， 你看，现在就变成了有关于 t 的 多项式问题，所以接下来我们分别通分嘛，通分化点即可了。那么此时来上下相当于同乘一加 t 方，这样的话分子就变成了二倍的 d t， 对 不对？分母同乘一加 t 方，就是啊， t 方加一，再加二 t 多分掉，你看这样反而简单很多啊，这样就更为简单了。这样我们直接把这个常数二拿出去来看一下里面 d t 是 不是正好是完全平方式 t 加一的平方，你看这个就是 u 方分之一 du 是 不是这个形式？ u 方分之一 du 的 原函数是负的 u 分 之一，所以最终就为负的 u u 就是 t 加一分之一，再加 c 啊，呃，还有个系数二是吧，放在这儿吧，还有个系数二好，别忘了干什么还原嘛。所以这个题大家化不化解都无所谓啊，所以最终就是负的二除以 t 是 谁来着？ tan， 二分之 x 再加一，然后再加 c， ok， 所以我希望大家通过这个题目啊，能够掌握万能代换的一种思想。另外大家也会发现啊，我们在不同的求解过程当中，这个最终的表达式它的确不一样。你看上面这个，我们用的是恒等变形，下面这个我们用的是万能代换，所以在这呢，而大家要对于不定积分啊，建议大家多用方法， 结果不同不要紧的，你能把方法掌握住，我想这个是更为重要的。好，这道题我们就讲到这。

函数的微分公式，根据刚才我们得到可微等价与可导微分就等于谁就等于 x 内点导数乘上谁呀？ d x， 所以呢， 这个时候呢，基本出等函数的导数公式，在这立马就对应的就形成这个基本出等函数的微分公式。 那你比如说我们看一个啊， x r 法次方，它的导数等于谁，就等于 r 法倍的 x， r 法减一， 那你说它的微分等于谁？ d x， r 法次方是不是等于它的导数乘 d x， 那 所以它就等于 r 法倍的 x， r 法减一 d x。 同样的，我们再写一个塞以 x 导数等于谁就等于 cos x 啊，那塞以 x 为分就等于谁，为分，就等于它的导数 cos x 乘上谁啊 d x。 所以这个基本初等函数的微分公式，只要把我们基本初等函数导数公式每个后面多乘一个 d x， 那 不就是它的公式吗？所以我们就不用在这背了，也不用在这一一去写它了。 但是光有这些微分公式还不行，就相当于我们导数里边只有基本出的函数导数公式还不行。我们是不是还讲了导数的有理运算法则，复合函数的导数公式，这地方是一样的，微分也有相应的这个四代运算法则。 大家看 u 和 v， 如果都可 v， 那 么这个时候呢，我们就能得到他们的和差积商商的时候分不得零，一定是可 v， 并且有这样的微分公式。 这个呢，我们在这看一个啊，证一个，其他证明都是一样的，因为你 u v 都可 v， 那 我就是证明一下 u 加 v， 那 首先因为你 u v 可 v， 所以 u v 就 都可导，因为可 v 等价也可导，这样的呢，根据导数的法则，你俩相加就可导， 那么相加就可导，并且呢，和的导数就等于导数的和，就等于 u 一 撇，加上谁 v 一 撇， 但是你俩相加以后，因为你可导，所以你就一定可 v， 那 并且呢，你的微分等于谁？就是 u 加 v 的 微分就等于谁，就等于你的导数乘以 x， 那你的导数等于谁啊？你的导数就等于 u 一 撇 v 一 撇，然后再乘上是 dx， 那 这个又等于谁？ u 一 撇 d x 加 v 一 撇 d x， 那 u 一 撇 d x 不是 有底 u 吗？ v 一 撇 d x 不是 有底 v 吗？ 这就证明了，如果 u v 都可为，他俩相加一定可为，并且和的为分，就等于为分的和，这一说差乘积。

无穷小量等价代换原则二。无穷小量等价代换代换原则的第二条好了，加减关系在一定条件下是可以换的。有的人说了，加减关系是不能换的，事实上是怎么样的呢？加减关系在一定条件下是可以换的。 好了，在同一极限过程中，阿尔法和贝塔都是无穷小量，并且阿尔法等加于阿法一，贝塔等加于贝塔一， 并且阿尔法和贝塔是同接非等价的无穷小好了，阿尔法和贝塔同结无穷小，但是不等价，则 阿尔法减去背他就是可以换的了。阿尔法可以直接换乘二，法一背他，换乘背他一好了，在相减关系中，他俩同阶，但不等价的话，就是可以换的啊。这个相减 就是可以换了。用同接不等价。用极限如何来表示？在同一极限过程中，阿法比上北，他等于一个长数，这个长数不等于一，他就叫同接不等价好了，同接不等价的两个无穷小相减的话，是可以直接换的，直接拿来用虽然咱可以挣，但是你 直接拿来用就行了啊。第二条，阿尔法等价与阿尔法一杯，他等价于杯他一，并且这个时候阿尔法和负的贝塔同接非等价的话，那么他俩相加就是可以换的。好了，阿尔法和负的贝塔同接非等价如何来表示？ 也就是在这个极限过程中，阿尔法比上北，它等于一个长数，不等于负一呗。这个不就代表什么呢？代表阿尔法和负的北 给他同接不等价吗？咱举几个例子啊，比如说在这个极限过程中，也就是在 x 趋于零的极限过程中，他俩是可以换的，直接就换就行了，因为怎么的相减关系，并且他俩同接不等价，对， 同接不等价，他比上他，结果等于二，好了，直接就换了。再比如说在这个极限过程中， x 趋于零时，弹进他 x 减去散压 x， 这个时候你要是直接给他换了这个换成 x， 这个也换成 x， 这个就是错的了，为什么呢？因为 他俩相减，并且他俩等价，相减的等价就是不能换的了啊。再举一个例子，在 x 区域零这个极限过程中，弹进的 x 加上 散养 x 可以直接换，换成 x 加 x 等于二 x， 因为什么呢？因为这是相加关系， 并且弹进的 x 和负的散养 x 在这个极限过程中，同节不等下，他比上他，在这个极限过程中等于一， 而不是负义，所以在这个相加的关系中，可以直接把他换，换成 x 加 s， 最后结果就是二 x。

当十九世纪的物理学家们以为已经建造起一座完美无缺的理论大厦时，他们并不知道，天边飘来的两朵乌云，即将把这一切彻底颠覆。 黑体这个理想化的物体成了检验真理的试金时，实验测出的能量分布曲线像一座沉默的山峰，等待着理论的解释。 按照经典物理的推导，能量是连续的，每个频率都应该有相同的份额。公式写出来预言却让人隐隐不安。当频率越来越高，经典公式算出的能量竟然趋向无穷大，这显然是荒谬的，但问题出在哪里？没有人知道。 这个荒谬的结果被后世称为子外灾难，他像一道裂痕，撕开了经典物理看似完美的外衣。一九零零年，德国物理学家普朗克决定挑战这个难题，他不是要推翻经典，只是想用数学凑出一个和实验吻合的公式。 为了凑出公式，他被迫做出一个违背直觉的假设，能量不是连续的，而是一份一份的，就像货币的最小单位， 这个最小的一份能量被他称为能量子。量子这个颠覆性的概念，就这样在数学的无奈中悄然诞生。 经典物理认为，世界是连续的，平滑的，像一台精密的钟表。但量子告诉我们，世界本质上是离散的、跳跃的，黑体辐射的无穷大。错误没有摧毁物理学，反而打开了一扇通往微观世界的大门。有时候，最大的错误里藏着最大的真理。

大家好，欢迎大家收看小杨子录制的视频，今天我们继续录制蒋小谦每日一讲，今天到达了第三讲零比零类型的极限， 那如果说大家学的快一点的话，可能应该到达了中指定力这一块，那前期的极限的计算也很重要，极限的计算是我们学习后面知识的一个基础。 那关于零比零类型的极限，我们有以下几种方法。第一种就是诺必达法则，那诺必达法则呢？包含三三个条件。那第一个呢，是它满足零比零型或者是无穷比，无穷型类型可以使用诺必达法则。第二个它在 x 零的驱行领域内是可导的。 第三个这个极限导函数存在的或者是无穷大，那满足了这三个要求以后，我们就可以用洛必达法则。还有一个就是咱们在求简单函数的极限的时候，也可以用到 洛必达法则，简单函数。那关于复杂函数呢，咱们就要用后面两种方法。 第二个就是等价代换，这里面咱们看 x 等价于 sin， x 等价于 tangent， x 等价于 arc， sine， arc tangent， 还有 e、 x 减一这些基础的等价我们需要知道。第二个需要知道的是它有一一个特殊性，就是它可以推广。 那比如说咱们这是三引， x 等价于 x， 那 是不是三引二 x 也等价于 x 呢？那是不是就相当于框框？这个三引这个二 x 其实就是个框框，它等价于二 x 也是个框框，就框框等价于框框，这是一个推广，大家需要知道。第二个呢，就是何时用等价代换， 就是等价代换，在用的时候它有一个条件可以相互抵消，那我们就用不了等价。后续题中有一个经典的错误，就是不能用等价，那我们在后续练习的时候来再说这个点。 我想给大家教一个比较好记的方法，叫数轴计算法， x 旁边是三 x， 它这边是四二克 sin x 这边是 tangent x arc tangent x， 然后它这一小格代表的是六分之一 x 的 三字方，可以用泰勒公式来证明。还有一个竖轴画法，就是 x law e 加 x， e 的 x 减一，这一格不是前面六分之一 x 三字方，是二分之一 x 的 平方。 大家如果说能把这个竖轴法能记住的话，在后面的等价运算过程中会很方便。那第三个方法就是泰勒公式，有相关的八个泰勒公式，需要我们熟记于心， 就跟章鱼老师说的，每天早上起来背一背，记一记。那泰勒公式呢？也有两个需要注意的点。第一个也是推广， 比如说咱们的 e x， 它是等价一加 x 加二的阶乘分之一的 x 平方加小 o x 的 平方，那 e 的 二 x 是 不是就等于一加二 x 加二的阶乘分之一 二 x 的 平方加小 o x 平方，就相当于框框，跟等价一样，框框等价于框框，我们要明白这个怎么是推广的。 第二个就是咱们在用泰勒公式的时候，到底是展开到几阶，比如说 e 的 x 减去 x 平方，那斩的时候，比如说咱们就斩先斩一阶，一阶以后 x 跟 x 平方消不掉，那是不是咱们就可以 呃斩到呃消不掉，呃消不掉，然后再斩到 x 的 平方， 二的阶乘分之一的 x 平方减 x 平方，正好他们 x 平方 x 平方之间是消不掉的，所以他就已经斩到最大的极限了，所以就不需要再斩下去，咱们就以这个最小量给收尾就行了， 这就是泰勒公式需要的两个注意点。讲完这三个方法，咱们就来一个题进行一个练习。 关于这个题，先判断它的类型，一加二 x， 它是趋向于一的，一减二 x 也是趋向一。一加一减二是趋向于零的，底下也趋向零，那它就是个零比零型。那零比零型咱们就有好几种方法，第一种方法肯定是用洛必达法则 原式， x 趋向于零，底下是二 x， 上面就是一加二 x， 一个二倍的根，二倍的上面一削就是一减，去根号下一加。哎，不是一减 减二 x 分 之一。 接下来呢，我们先进行一个通分，通分以后就是二 x 乘上一个根号下一加二 x， 根号下一减二 x， 上面就是根号下一减二 x， 减去根号下一加二 x。 接下来呢，我们把非零因子提到前面，那这个是趋向于一的，也是趋向一，那前面非零因子就是二分之一，提到前面 s 趋向于零。整体咱们上面进行一个有理化，有理化之后，上面就变成了一个负四 x， 下面呢就变成了一个 x， 乘上根号下一减二 x， 加上根号下一加二 x， 结果呢就等于一减二 x， 这个是趋向于一，相当于底下变成二 x 和负四 x 就是 负二，负二和前面的二分之一，那结果就是负一，这就是用洛必达法则进行一个计算。 那接下来我们要介绍一个经典的错误，每年都会有学生进行一个犯错，那这个经典错误由来就跟咱们前面介绍第二种方法等价的时候的一个呃，那个 错误一样，就是它上面是根号下一加二 x， 它是不是就等价一个二分之一二 x， 而根号下一减二 x 等价于一个二分之一负二 x， 那这样的话上面就是 x 减 x， 它们就抵消了。等价以后，抵消了之后，底下的 x 平方分之二，负的 x 平方乘之二，它就是一个无穷，无穷，它就属于一个不存在，那就极限就不存在了，既然不存在，那肯定这个题就做错了嘛，这就是一个经典错误， 所以说等价有时候咱们一定要注意一下，判别他是不是能够抵消，如果说能够抵消，那就用不了等价，用不了等价，那咱们还有一个杀手锏，那肯定就是咱们的法二拍了公式， 泰勒公式，那泰勒的公式呢？就是原式等于 limit x 趋向于零。根号下一加 x 展开以后，就是一加二分之一 x 减去八分之一 x 平方，加上小 o x 平方， 那这样的话，我们把它展开就是一加二分之一二 x 减去八分之一二 x 的 平方，加去小 o x 的 平方， 加上一加二分之一负二 x 减去八分之一倍的负二 x 的 平方，加上小 o x 的 平方。 那它的公式咱们知道要展开到几阶呢？首先跟分母有关，分母是平方向，一般就跟平方向展开，如果说还能展开的话，看它能不能消，如果说能抵消，比如说你看一和一 跟后面的减二是不是抵消掉了二分之一二 x 和二分之一的负二 x 抵消掉了，那咱们就得继续展开负八分之一和二 x 的 平方和负八分之一二负二 x 的 平方，它们不能抵消，所以说正好展到这。 讲到这的话，是不是 x 趋向于零就比较简单了，约掉以后就变成了负 x 平方，加上无穷小量 x 平方，那无穷小量比 x 平方，它就是趋向于零的嘛？负 x 平方和 x 平方约的就是负一。我们我们再来看这个例八这个题 来看，我们先分析这个的类型是什么类型。三， x 趋向于零，那上面就是一一零 x 趋向于零，一减一也是趋向零，上面还是零比零形，那很熟练啊，就是法意，就是洛必达法则， 由于洛必达法则太过于复杂，大家可以去算一下，大家可以自己去算一下，那我就直接用法二，咱们用泰勒公式来快速的进行一个做题， 那是不是原式它就等于 limit x 趋向于零， 那我们知道根号下一加 x， 它就等于一加二分之一 x 减去八分之一 x 的 平方加小 o x 的 平方，那底下我们用一次等价绕引，一加 x 等价于 x， x 乘以 x 就是 x 平方， 那上面就变成了一加二分之一二倍的三 x 加减去八分之一二倍的三 x 的 整体的平方，再加上小 o x 的 平方 减 x 减一。我们再核对一下，到底是不是得展开到平方向，一般分母是平方的话，就展开到平方向，再看能不能约， 是不是二乘以二，三 x 和 x 就 约掉，一和一，一约正好占到平方向合理。那咱们继续往下做，那一约掉是不是 后面是四 x 平方乘以八分之一负二分之一 x 平方加小 o x 平方，然后底下就是 x 平方，最终答案是不是负二分之一， 这就是最终的答案，大家可以用洛必达法则进行一个计算。好了，今天我们讲的零比零极限的三种方法，感谢大家对小杨子的支持，大家一定要一箭三连哦！

好，各位同学，大家好，我是陈学长，我们来看一下之前给大家说的这个题啊，这个题的话呢，一直没有跟大家讲， 然后的话我们今天来看下这个题啊，这个题的话呢，其实那个错误的做法，我看很多同学其实都知道啊，就说那个错误的做法就是他不应该用我们说的等价无穷大 说，你千万不要把这个分子呀，把它等价成一个根号 n 啊，因为有的同学说了，你这个地方根号一加，根号一加到根号 n 啊，那么抓大头的话，那不根号 n 最大吗？所以说直接把它等价成根号 n， 到时候你把这个结果算来，算了个零啊，要是把结果算出来个零的话，那你这个做法就 啊，按照我们说的那个话叫有点大聪明的做法，因为这个地方的话呢，其实你分子的这个极限呀，这个等价无从大， 本质上我们说这个抓大头其实本质上是等价无穷大吧，要当你 n 区无穷大的时候，如果你分子这个极限，他除以根号跟这个极限得是一才行， 得一才行，所以说这个地方的话呢，他很明显他分子这个属于根号，那极限他不是一。所以这个题的话，做法其实应该是用什么呢？应该是用考察定积分的定义 啊，我们这边的话呢，一加二怎么样？加三一直加加到 n 啊，根据我们的等差数列求和的公式，就是二分之 n 口中的 n 加一吧。 好，那么这样的话呢，你其实可以把这个分母呀，把它化解成什么呢？化解成一个 limit， 然后呢 n 去无穷大这个地方的话呢，它其实啊，前面有个 n， 所以 n 的话，它其实可以开根号开出来，开了一个 n 吧，那么开了一个 n 之后，其实还可以开个谁呢？ 还可以把这个根号二给它开出来了啊，所以还可以开一个根号二开出来。好，这样的话，它其实里面剩下了个什么呢？剩了一个根号下怎么样？ n 加一吧，上面就是根号一啊，加一个根号二一直加，那加到我们说的根号 n 好，那这个时候的话，能把这个长度啊，你先给他提出去，对吧？他一个变成一个 limit n 去无穷大，然后呢根号二，然后再乘一个谁啊？再乘一个 n 分之一。这个地方的话呢，我要说一下 啊，我们的等价无穷大，其跟等价无穷小是一样的，他必须是成绩因子才可以，所以你这个地方呀，他是一个成绩因子，而且当你 n 区无穷大的时候呀，这个一呀，他其实相对无穷大，他可以忽略的，所以这根号 n 加一呀，他是等价于根号 n 的，所以你可以把这根号 n 加一处理成根号 n。 你要实在不理解的话，你在这个地方除一个 根号 n， 到时候的话，你在这边再给分子上再添一个根号 n， 那么到时候话根号 n 呢？再除以根号 n 加一啊，他的极限会去一啊，所以你也可以把它这一项拿出来，谁知道他就是根号一加一个根号二好，一直加，加到一个根号 n 好，那么这个时候的话呢，我们就可以把这个赤子写成一个累加的形式啊，他写了一个 i， 从一到 n， 然后 n 分之一，再乘以根号下 n 分之 i 吧， 你把它放进去，根号 n 分之一，根号加上根号 n 分之二，一直加到根号 n 分之 n， 那么这个时候的话，就考察我们的定期分的精确定义吧。我说这个 n 分之一的话，你可以把它写成一个 d x， n 分之 i 的话，你可以把它写成一个 x 号，我们的这个极限号啊，极限符号和这个累加号呀，它们其实就可以写成一个零 到一这个积分号吧，所以这样的话呢，应该是一个根号二，然后呢？零到一，然后呢根号 x 怎么样？ d x 吧，所以说他最后的这个结果呀，大家这个根号 x 应该会积分吧，他应该是一个根号二，再乘一个谁呀？二分之三啊，再乘一个 x 是吗？ 看这边是三分之二啊，三分之二，三分之二，然后再乘以 x 的一个二分之三次方吧啊， 然后呢从零到一啊，所以算完之后就是三分之一个两倍的根号二，这个题的话呢，还是比较简单的哈，好，希望今天的视频呢可以帮到大家。