欧拉公式推导全过程李永乐

欧拉公式的证明啊，有很多种方法，那如果你要想知道欧拉公式的一个证明方法的话，那你可以去危机百科上还有比较严格的证明， 是吧？也有一些人呢，他们使用这个泰勒展开来进行证明，但是泰勒展开啊，实际上是一个循环论证，他的证明是不对的，是吧？ 我比较了很多种欧拉公式的证明方法，我发现呢，呃， three blue one 不让他用的一种方法呢，是特别容易理解的，所以我就用他的这种方法给大家解释一下，是吧？如果大家愿意看原视频的话呢，可以到 three blue one 不让的这个主页下去搜索一下他关于欧拉公式的说明啊。他的方法是这样的，他说呀， 啊，如果 x 要是一个实数，是吧？在 x 是一个实数的时候，那么 e 的 x 次方的倒数 d e x 方除以 d x 等于几？是不等于 e 的 x 次方是不是等于这个吧。然后这个这个式子到底是什么意思呢？他说吧，你可以这么去理解， d e x 除以 d x 实际上表示的是 e 的 x 次方的增长率，对吧？他的增长率正好等于他本身，也就是他越大，那么他的增长度越快， 增长的越快，他就越大。所以如果你画一个图像的话，你会发现他是这个样子的，那这是 e 的 x 四方啊，这个是 x， 他呢？是这样的一个指数函数，是吧？最开始的时候增长的比较慢，后来呢？你长大了，长大了之后斜对就大了，对吧？后来你又长大了，斜对就更大了。后来你又长大了，斜对就更大了。 你的增长率是和你自身是一样的啊，你自己越大增长的越快，对不对啊？这是，这是实数情况下，当然了啊，按照求导的规则，第 e 的 k x 次密除以 d x， 它应该等于 k 倍的 e 的 k x 次密，这是基本的求导法则，是吧？好，他说，假如啊，这个求导法则也适用于负数的话，那么会有什么结果呢？咱们看，他说有一个 z z 呢，属于一个负数， 在这种情况下，我就问，假如这正好是 i c， 它的话，会有什么结果？那我们看一个假设的 e 的 x 次密的求导法则依然适用于复数，对不对？所以我问你， d e 的 i c 特次密 除以 d c， 它等于什么啊？等于什么？它是不是等于按照规则等于把这个 i i 就相当于刚才的 k 嘛？把 i 放前面， i 乘以 e 的 i c 的词密是不等于这个，对吧？然后神奇的地方就来了， i 乘以 e 的 i c 的字密是什么意思？那不就是把这个 e 的 i c 的字密怎么样？转了九十度角吗？是不是逆转九十度角吗？所以这个呢，就是他的变化 率，也就是说呀， e 的 i c 的词密，这个函数啊，它的变化率是等于它自身的大小在逆时针转九十度角的， 你能不能把它画在一张图上呢？是吧？这个函数的变化率啊，等于它自身在逆时针转九十度角，是吧？啥意思啊？咱们来看， 这是一个负平面啊。首先我们说 c 的等于零的时候， e 的 i c 的次面是不是应该是等于 e 的零次面就是一啊，对吧？这个是 e 的 i c 的次 密啊，在 see 等于零的时候， see 等于零的时候，他是一嘛，是吧？好，然后我们仔细讲啊，在你刚刚开始变化的时候， see 他变了一点点，你是不是就有一个 see 的增量？这个 see 的增量是多大呢？首先，他和 e 的 i see 的字密是成正比的， 但是它相当于 e 的 i c 的私密转了九十度角，转到这个方向去了，它的增量是这个方向的，对吧？它的增量变化率是这个方向的。于是我们就说，经过了很短的一段时间，你的这个 e 的 i c 的私密的变化是这么变的， 这叫嘚特 e 的 i c 的私密，你是这么变的。那我问你啊，你原来的 e 的 i c 的是这么大，对吧？完了，你的增量嘚的 e 的 i c 的是这么大，那我问你，你新的 e 的 i c 的是多少？新的 e 的 i c， 大家想一想，是不就是这个量了？这就是新的 e 的 s 的。好，再来啊，新的 e 的 s 的有了之后，你又经过了很短的一段时间，你又有一个新的增量了，这个新的增量是把它逆时针转到九十度角这个方向的，所以新的 dert e i c 的次密就是这个量了，对吧？啊？这样一来呢，你在下一个时刻， e i c 的次密就是这个样子， 是不是再过了一段时间啊，你又有一个增量，这个增量是嘚特 e 的 i c 他，于是你的 e 的 i c， 他就变成了这个样子。又过了一段时间，你的增量是这样，那么 e 的 i c 他就转到这来了。 大家能想象出来吗？你的增量永远和这个半径是垂直的，这就像一个什么样的运动，是不是一个圆周运动？圆周运动你的速 速度方向是不是始终垂直于半径？反过来说，你如果速度始终垂直于半径，而且速度大小又不变的话，那你就始终是一个圆周运动，对吧？因此我们说 e 的 s 的词密最终会画出一个什么样的东西来？画出一个圆来， 画出一个圆来，对吧？你画出了一个圆，那我问你，你能不能告诉我，在某一个时刻， e 的 i c 的私密怎么表示，是吧？咱们看假如就在这个时刻吧， 假如就在这个时刻吧，你的模还是一对吧？你同时有一个角度 see 他，那这个点他对应的一个负数应该是多少呢？这个负数 也就是 e 的 i c 的词密，它是不是就等于 cosine in c 加 i 倍 c n in c， 它，那 这就是什么？就是欧拉公式，就是欧拉公式。所以他的这个说明方法呀，是比较有趣的啊，虽然说可能不是一个严格的证明，但他使用了这种导数的类比，然后又加上了一个单位员的变化，是吧？把这个问题呢，比较通俗的跟大家做了一个解释。 那么有了这个结论，那有了这个欧拉公式， e 的 i c 的私密等于 cos s 的加 i 三 s 的之后，我们就可以继续去探讨 e 的 ipad 私密有什么应用了啊？擦一下黑板。

好，黑板擦完了啊，我们来说一下欧拉公式的应用啊，应用这个公式啊， e 的 i c 特词密等于 cosine c 加 i 倍 size。 刚才我们从这个啊 导数的半角度来理解了这个问题，那我们先来说一下它有什么应用啊？首先我们先说假如这个 city 啊， 假如这个 c 他等于派，会有什么结果？ c 的如果等于派的话，那就是 e 的 ipads me， e 的 ipads me 等于 cosine pa 加 i 倍的 sanin pa， 对吧？ cosinepie 是几？ cosinepie 应该是负一，对不对？ saninpai 是几？ saninpai 是零嘛？所以 cosinepi 加 i 被 saninpa 其实就是负一对吧， e 的 ipad 就是负一。所以在这个呃火柴 个人大战数学里边呢，他出现了负一之后，一下子八就变成了一个 e 的 ipad s me， 对吧？然后 e 的 ipads me 就开始跟这个呃，跟这个小小黄人作战啊。当然了，其实我们还可以有一个更简单的办法，看出 e 的 ipad 等于负一，因为什么呢？因为 e 的 i c 的词密其实是一个圆儿嘛，刚才我们画了一个圆儿，对吧？ 啊，那个角度，这是 e 的 i c 的私密，那个角度啊，实际上就是啊，它的辅角。那么我问你 e 的 ipad 私密是多少？那你不就从这块开始你转一个 pa 吗？ 你转一个派，那你是不是就转到这个点了，所以他就是负一，是吧？所以你不用公式呢，你也能看得出来，甚至于我们通过这件事还可以说明一个道理。什么道理呢？就是我们小学的时候学过啊，负负得正是吧？说为什么负负得正？有一次有小孩问我，我还一下子给蒙住了，那现在呢，你就可以通过负数的办法来说明为什么 负负得正了，是吧？咱们看，为什么啊？那是因为啊，这个负一乘以负一啊！ e 的 ipad 密 乘以 e 的 ipads me， 它是不是根据复数的规则，应该是 e 的 i 乘以二 pass me， 对不对？而 e 的 ipads me 是不是就是负一？ 再乘个 e 的 ipad 还是负一吧。 e 的 irpad 是多少？你转过二派角度，那是不是又回到这了？所以，那不就等于正一吗？所以你也可以说明为什么这个负负得正啊，因此，这个公式的应用还是很重要的啊。好，这是第一个应用，第二本，我想跟大家讨论一下指数函数啊，这个擦一下， 负数的指数函数怎么算呢？比如说，我们想知道 e 的 a 加 b i 次密怎么办？那这个很简单，那就是 e 的 a 次密再乘以 e 的 b i 次密，对吧？所以呢，它就等于 e 的 a 次密乘以一个 cosine b 加爱贝 sine b。 你看，这个指数函数是不是就出来了啊？有人说，那我不要算 e 的指数函数，我要算任何一个数 x 的指数函数， x 的 a 加 b x me 又该怎么算？其实也一样，你把这 x 吧，换成以 e 为底的就行了。它等于 e 的 low n x x me， 它的 a 加 b x me。 看到了吗？就是你把这个 x 换成 e 的 l n x me 就行了。然后这样呢？啊，按照这个指数的这个规则，等于 e 的 a l n x 次 me， 再加上 b lower x cme 乘以。哎哎，你又可以使用这个复数的规则就可以进行计算了，对吧？再比如说，我们想求对数啊，我们想求对数，比如说，我们想求一下，说是 lower a 加 b i， 那我们该怎么办啊？其实也很简单， low a 加 b i 呢？我们可以把它写成一个三角的形式，等于 low a robe 的 e 的 i c 的次密，我是可以这么写吧，对吧？因为 e 的 s 的私密等于 cosins 的加 ever sens 的嘛，我们把它的膜和浮角搞出来，就可以写成这个样子，然后我们就可以利用对数的规则，它等于 low and row 加上 i seat， 对吧？哎，你就可以写成这个样子，但是大家注意啊，这里面的这个 seat 呢，是浮角，浮角实际上是一个多值函数， 它是多值函数，因为你转一圈之后，你的这个负数并没有发生变化。所以呢，呃，我们对一个负数取对数之后，它有很多很多个值，就好像我们对一个自然数开根号，它有俩值，一个正的，一个负的一样，是吧？那么你对这个，呃，这个负数 取个对数，它其实也是个多值函数啊，那我们要对其他底数求对数呢？我们就使用换底公式就行了啊，我们在这里就不再坠数了，那我们继续想，假如我们要想求三角函数怎么办？那其实也很简单，你看啊，我们已经知道了 e 的 i z 次密，它等于 cosine z 加 i 倍塞 in z， 对不对？我们还知道 e 的负 i z s m e 等于什么？那我们就把这个 z 换成负 z 不就行了吗？那就等于抠在于负 z， 抠在于负 z 还是 z 啊？因为呢，这个抠在我们认为它是一个偶函数啊，然后减去 i 倍的塞 in z， 你通过这个连例，你能告诉我 say in z 等于什么？ cosine z 等于什么吗？ say in z 等于等于一个负数，求塞音值，等于把他们两个相减，然后再除以二 i， 所以等于二 i 分之一倍的 e 的 i z 次密，减 e 的负 i z 次密，对吧？而 cosine z 等于什么？等于他们俩相加，再除以二二分之一 e 的 i z 次密加 e 的负 i z 次密，然后你通过指数函数，你就可以定义三角函数了，对吧？ what？ 当然了，我们利用这种办法呢，还可以去求复数的密函数，以及复数的反三角函数。那么关于复数密函数呢，在我们之前讲过一个视频，叫 x 的 x c 图像长什么样？ 在那个视频中呢，我们有仔细的讲解，大家可以去看一下。反增量函数比较复杂，我们在这里呢，也就不再坠述了。怎么样，大家看，我们从一个欧拉公式就可以得到所有关于复数的运 算，这欧拉公式啊，作用真是太大了啊！关于这个视频中的另外一个问题，为什么 e 的 ipad 还能够变身，也就是泰勒展开，咱们在下一回视频中啊，再给大家做讲解。大家如果喜欢我的视频，欢迎关注我的账号，英子老师。

那么这个定理后来最后是被谁证明的呢？是被一个伟大的数学家叫柯西，在一八零九年的时候啊，柯西证明了， 柯西这个人呢，非常厉害，他在二十岁的时候就证明了这个定理，把欧拉都错了的问题他给证明出来了啊，那么这个他是怎么证明的呢？咱们简单说一说柯西的这个过程啊，其实也非常简单，我们以一个正六面体为例，其他的正多面体啊，我们也可以类比成这样的一个类四的情况啊， 说这个有这么一个物体啊，请问这个物体啊，为什么就满足 f 加 v 减一等于二，为什么？可惜？说呢，你首先看这里有一个面，对吧，你先把这个面给去掉，你先把这个面去掉，就是 f 呢，让它减一， 如果 f 减一了，我们不妨定这个值叫 k 吧，你把 f 减了一之后，那么整个这个数就会少一，对吧，所以就会造成呢，这个 k 也会减一啊，这个 面去掉了，面去掉了之后，我们把剩下的图形啊，把它变成一个什么形呢？变成一个平面图形，虽然说他会变形，但没有关系，你的棱和顶点是不会变的啊，你变成一个平面图形， 变成平面图形之后，下一步就非常神奇了，可惜就说呀，咱们这么办啊，咱们呢把这些个不是三角形的，通过加一些线的办法，让它变成个三角形 啊，中间这个也编好，咱们看一下每次去加一个线的时候会有什么结果，在你每一次加线的时候，你会多出一个边来，对不对？所以说呢，这个议会加一， e 会加一啊，多出一个边来，但是同时你把一个面变成两个面了吧，所以这个面也会加一。这样一来，你 e 和 f 都加一了，这个数字怎么变？它不变对不对？所以 k 是不变的 啊，不变。好，下一步继续说神奇的事啊。再往下我们擦边。 科西说呢，你首先把最外边这个边给擦掉，咱们看一看会有什么结果？假如你把最外边这个边擦掉了，会有什么结果呢？大家看， 我们把这个边擦掉了之后啊，他的这个边就会少一，对不对，所以就造成了一减一，但同时这个面也不存在了，对吧？这个面也不存在了，所以他的 f 也减一，这个一也减一， f 也减一。造成什么？造成 k 还是不变吧， 是吧？因为这个 k 是等于 f 加微简易的，所以他还是不变啊，把边给擦了，虽然既然不，既然不变，那我们再擦，把这个也擦了，把这个也擦了，把这个也擦了。哎，他就变成了一个什么样？变成一个飞镖的形状了，对不对？好，我们继续啊，我们继续，我们要擦脚。什么叫擦脚呢？就是这个三角形 外边有两个边，把这两个边全擦掉，那会有什么结果？首先顶点就没了吧，所以说 v 会减一，两个边都没了吧，所以一会减二，一个面没了吧，所以 f 会减一。 咱们看，如果 v 也减一， f 也减一，但是一减二的话，这个式子是不是还是不变，所以 k 还是不变，那这样一来我就可以一直擦，你知道这么一直擦下去，最后有什么结果吗？最后他就会变成一个三角形。 对于这个三角形来讲，他有几个面啊？有一个面，有几个边呢？有三个边，有几个顶点呢？有三个顶点，所以就会造成 f 加 v 减一等于一，对不对？ f 加 v 减一等于一， 但是你最开始的时候你是把这个数给减了一的，因为你去掉了一个面，对不对？所以最后这个三角形 f 加 减一等于一，是不是证明了最开始这个图形它的 f 加 b 减一等于几等于二，对不对？所以这个呢，就是科西给出的严格证明。那么通过科西证明的这个欧拉提示性定理呢？人们就可以证明柏拉图立体或者说正多面体就只有这五种啊，这个问题呢，两千多年以后才被一代一代的数学家给解决了， 你会发现呢，一个足球其实也有很多有意思的数学内容，是不是啊？大家如果喜欢我的视频呢，可以在西瓜视频里关注我，令我的老师。

欧拉研究到这之后，就明君收兵了，搞别的去了，所以他没有继续往下，没有提出关于质数分布的更加详细的定理。那么这个荣耀就属于后面的数学家了啊，这个呢，就叫素数定理，或者叫质数定理 啊，这个质数定理和数数数定理到底谁提出来？首先我们要说一个人物啊，就是高斯。高斯啊，是与 投啦齐名的数学家。那么高斯在小的时候就对数学非常痴迷，比如他小的时候玩游戏啊，玩什么游戏呢？别你说我现在玩玩王者荣耀，什么，我现在玩吃鸡人。高斯十五岁的时候玩的游戏可高级了，他在数轴上怎么样啊？找一个段，这一段一共有一千个数， 一千个数，他把这一千个数里面所有的质数都找出来，数数有几个啊？然后我们用质数的个数出一千，看一看质数分布的密度有多少，他没事找一千个，没事 是找一千个。结果最后欧拉就发现，什么呢？说这个质数的密度啊，他约等于烙啊， x 分之一，哎，约等于这个事。然后这是高斯在小的时候就得到的一个猜想，但他没有写出来，他虽然知道了这件事之后，他没有把它写出来，因为他的内容实在太多了，他觉得这个东西微不足道，所以他不足以去写 啊。于是呢，有一个法国的数学家，名字叫乐让德，这个乐让德 在一七九八年的时候就提出了素素定理。素素定理是说的什么呢？他说呀， 在不大于 x 的质数的个数等于什么呢？等于一个积分，从零积分到 x lt 分之 dt， 然后再加上一个余下，也就是说呢，啊，不大于 x 的质数个数，我们大概可以通过一个积分是 进行求解，而这个东西呢，其实已经用到了欧拉的这种思想，对吧？啊，但是呢，他是洛阳尔德最早提出来的结果呢？高斯啊，高斯 在一八四九年的时候已经过了五十年了啊，这个时候高斯给别人写信说呀，其实他早就发现了这件事，又把这个勒尔德的功劳揣到自己，揣到自己兜里了。有人说，那这也行吗？啊，这个因为他是高斯，他就行， 你要是别人就不行，对吧？别人相信高斯的名望，没有必要去把这个小小的功劳揣到自己的兜里啊，所以他这事应该就是他发现的，所以呢，人们就把这公式叫乐让德高斯公式啊，好，这两个东西得到这么一个结果，这个结果到底对还是不对呢？不知道，所以他称之为一个猜想， 称之为一个猜想啊，这个猜想就叫素书猜想，那么后来为什么叫素书定理了呢？是因为啊，又过了五十年左右， 有一个数学家把它证明出来了，这个数学家怎么把它证明出来的？就是在研究黎曼猜想的时候，顺便就把素数猜想给证明出来了。所以可见呢，这个黎曼猜想和数数数数的这个关系啊，是非常非常紧密的啊，那么这个剩余的这一项 c 到底是多大呢？ 有一个数学家科赫啊，就指出了这样一个问题，就是科赫雪花那个科赫，他说呢，如果黎曼猜想能够被证实的话， 这个鱼项 c， 它大约就等于根号 x 倍的浪啊 x 啊，如果你黎曼才想被证实了，我们就可以把这个范围呢缩小到这么样一个程度，那人们对于智术的理解就更加深刻了。 当然，即便黎曼猜想被证实，我们也不能够完全得到素数的全部规律，素数的规律肯定还需要很多很多年数学家们的探索，也许呢，素数就是宇宙给人们的密码。说了这么多，明天我们终于要给大家介绍黎曼猜想到底是什么了，大家如果喜欢我的视频呢，可以在西瓜视频里关注我，令我老师。

那么在古代的时候，人们是怎么获得质数的呢？比如说有一个古希腊的人啊，他其实是埃及人，但是是在古希腊时期的这个埃及人名字叫埃拉托塞尼，大家对这个名字有印象吗？ 埃拉托塞尼啊，其实就是测出地球半径的那个人啊，以前我们也讲过这个人，这个埃拉托塞尼呢，他提出的一种方法就是埃拉托塞尼筛选法， 通过这种方法呢，我们可以很方便的得到一个质数的表格，比如说吧，我们想知道啊，一二、三四、五六、七八、九、十、十一、十二、十三、十四、十五、十六， 比如我们就知道这十六个数，我就想问这十六个数里边哪些是质数，哪些是和数啊？我们怎么判断这个阿拉图册，你怎么说？他说吧。首先你把最大的这个数开根号，开根号，比如说十 十六吧，你开根号就是四啊，十七的话，开根号就是四点多，对不对？然后呢，你把这个求出一个什么呀？求出一个根号，恩来，求出根号，恩来，这是你的第一步，第二步啊，你把这个小于根号恩的质数， 他的倍数给划掉，给划掉，剩下的就全都是质数了， 为什么要这么干呢？这是因为啊，人们发现，呃，如果最大那个数是 n 的话，那么这个 n 有很多个约束，其中比较小的那个约束肯定会小于根号 n 啊，这是一定的。 然后我就把小鱼根号里面所有的质数的倍数全都划掉，这样剩下的那些数就全都没有约束了，于是他就变成了一个质数。比如说我们首先把这个最大的数十六开根号，开根号就是四，对吧？我们把不大于四的质数的倍数 约掉，不大于四的质数有几个？就俩，一个二，一个三，对吧？首先我们先把二的倍数约掉，注意二不要划啊，把四划掉，把六划掉八十，十二，十四十六啊，划掉了，划掉之后呢，我们再把三的倍数划掉，三不要划，三的倍数有六，六已经划掉，九九划掉十二，十二已经划掉了，十五，十五划掉。 好，我们还剩一个数，一既不是质数，也不是和数，所以这个数我们也不要还剩下的数就全都是质数了，哪一数是质数啊？你看二三、五七十一，十三，对吧，这几个数就是质数了， 当然我们会发现呢，这种方法其实还是比较笨的啊，我们想求出一个大叔，到底是不是质数，这么干其实很繁琐，有没有什么更好的方法来研究质数的分布呢？中世纪的时候，数学没什么太大发展啊，直到后来神人欧拉出现了，才终于 又把质数的研究啊向前推进了一步。我们在上回的时候讲到了，欧拉呢，求出了一个级数，这个级数呢，叫可赛 s， 等于一除以一的 s 次方加一除以二的 s 次方加一除以三的 s 次方一直加，加下去，对不对？欧拉通过研究这个级数呢，得到了一个著名的公式，叫欧拉乘机公式叫可赛 s， 他等于什么呢？他等于连成 一减 p 的负 s 次方的负一次方，其中 p 是全体质数。而说这什么玩意啊，我们简单的 解释一下，左边呢就是上面这个含义啊，这个我们就不多说了，而右边呢，这个符号是连成就一个乘，一个屁，是全体的质数，所以这个事我们把它写开呢，大概是这个样子，第一个质数是二，对吧？ 一减去二的 s 次方分之一，这就是第一项。第二项啊，第二个质数不是三吗？就是一减去三的 s 次方分之一，第三个质数是五，一减去五的 s 次方分之一。一直乘，把所有的质数全都乘起来，乘完了之后就等于上面这个数。 而且我们又知道呢，上面的这个级数，他如果紧细研拓，就是黎曼函数，对不对？所以黎曼函数就与质数有某种隐含的关系，那现在人们发现黎曼函数质数的关系比这个要多得多啊。 其实呢，欧拉还发现了一件事，他通过研究这个函数发现呢，派 x， 什么叫派 x 呢？就是小于 x 的所有质数的个数叫派 x。 质数的个数约等于多少呢？约等于 x 除以 l、 o、 n、 x， 所以我们可以大概的估计一下，这个小于 x 的质数到底有多少个，对吧？

好，我们来举个例子啊，比如说大家看这样一个图形，一个口，他能不能一笔画显而易见呢？口，这个图形有一二三四四个点，这四个点呢，每个点的度数都是二，都是藕点，所以他有零个积点。 那既然有零个基点，它当然是可以一笔画的，而且从任何一个点出发，都可以形成一个欧大回路，因为它落笔和收笔是在同一个点的，对吧？你看我这么一画，这一个口就出来了，对不对？甚至这个图形啊，可以复杂一点，比如说啊，我可以这加一笔，这加一笔，这加一笔 加一笔，加完了，加了这么多笔，请问这个图形有几个几点？咱们看这个点是一二三四，度数为四一二三四，度数为四一二三四，度数为四一二三四一二三四。所有点都是藕点，他依然是零个几点。因 因此这个图形还是可以一笔画的，而且你从任意一个点出发都是可以的，他能够形成一个闭合的回路，我们称之为殴打回路，对吧？好，这是零个几点的情况。那么也有的一些图呢，他可能是有两个几点的，比如说大家看这样一张图， 我把底下去掉，上面保留。这样一张图有几个几点呢？上面呢，全都是偶点，而这个点有一二三度数为三，是个几点，这个点呢，一二三度数也为三，是个几点。所以呢，他有两个几点， a 点和 b 点，他有两个几点， 有两个基点的话，它是可以形成欧拉路径的，你就是从一个基点出发，经过一笔，然后画画画，画到另外一个基点就可以了，我们来试一试啊，哎哎，失败了啊，失败重来 重画啊，应该是这样这样这样这样这样这样这样。哎，你看我画完了，对不对？他确实是从 a 点出发到 b 点结束，成为一个一笔画的问题啊。好，咱们有一些图形呢，他就没有办法一笔画了，比如说我把上面也去掉，变成这个样子， 变成这个样子啊，现在有几个几点？你数一二三四，他有四个几点，对不对？ 四个极点是没有办法一笔画的，你可以试一试，无论如何你没有办法把这个图形啊一笔画出来，那这个呢？就是欧拉的一个结论。那我们说到这来，回头看一下这个哥尼斯堡七条问题吧。 托尼斯堡七条问题一共有四个点， a 点是有一二三四五，度数为五，所以他是个基点， c 点，一二三基点， b 点一二三基点， d 点一二三基点，他四个点全都是基点， 所以他的情况和他类似，能不能一笔画，不能一笔画，对不对？因此哥尼斯堡七条问题是无解的，这就是当时欧拉的一个结论啊。好，那么既然欧拉说这个问题不能一笔画，那他能够几笔画呢？我们可以把它往前引申一点。首先我要说这样的一个结论呢，就是说， 呃，一个图形，他的基点的个数，他的基点个数不是随意的，他的基点的个数是必为偶数的， 基点的个数必为偶数。因为你只要落笔，你就得提笔，如果落笔和提笔不在一块，就出现俩基点，如果落笔和提笔在一块，那就是一个偶点，没有基点，所以基点要出现就是两个两个出，因此他一定是偶数。我们假设这个偶数叫做二 k 吧， 啊？ k 是一个整数。然后我们就说，那么假如啊，不能一笔画，那么你可以几笔画呢？结论就是你可以 k k 笔画，你通过 k 笔可以画出。我举个例子啊，比如说，那你有几个几点呢？你有两个几点，那 k 就等于一，所以你就可以一笔画。如果你有四个几点，你需要几笔？你需要两笔。 比如说这个图形吧，我一笔画不了一二三四，画完了还少一条，对吧？我再加一笔，哎，我就可以把这个图形画出来了。哥尼斯堡题桥问题呢，他也是四个积点，对不对？所以我可以用两笔把它画出来，咱们看 这样画一个，这样画一个，这样画一个，哎，少一条线，我再画一条就够了，对不对？所以啊，哥尼斯堡七条问题，四个几点，他就可以用两笔把它画出来，那你说我就想一笔画怎么办？你可以往上面加路径，是吧？我们可以增加， 增加 k， 减一条线干什么呢？其实就是把 k 减一对积点消去，那 这个时候呢，你就只剩下两个基点了，只剩两个基点你就会出现什么，你就会出现欧拉路径，哎，就是一个不闭合的一笔画路径。比如说啊，你从这四个基点的情况，你把它增加一条线，变到这种情况，就增加上面这条线，这样一来，你本来是有四个基点的， 你增加完了一条线之后，你就只剩下这两个几点了，那这回你是不是就可以一笔画了？当然这个一笔画他不是封闭的，叫做欧拉路径，因为你这么干了之后，你消除了两个几点嘛？是不是？好，那么如果我还可以再怎么做呢？我还可以增加 k 条线 啊，在基点之间，我增加 k 条线，我再增一条，把底下这俩基点也划掉，就变成了第一个图了。这个时候你会发现他完全没有任何基点，那你就会出现什么，你就会出现哦啦，回路了。也就是说你完全可以从一条，从任何一个点出发，画完这个图之后又回到了这个点，对不对？

那么在欧拉之后啊，黎曼呢，就把这个问题啊进行了拓展。黎曼说呀，这个欧拉呢， 他只能研究在 s 是实数，并且 s 大于一的时候，我呢可以对这个函数啊进行一下解析研拓 啊，解析研拓这个概念也我之前讲过，我们在这里就不再复述了，解析研拓了，就相当于把这个函数呢，你在 s 小一的时候不是没有定义吗？因为你发散，我可以啊，我用一个光滑的曲线把你延长到 s 小一的时候， 并且我还可以延长到整个的这个复数的平面里啊，所以哦，这个黎曼进行解析研拓之后，得到了一个新的函数，这个新的函数呢，就是黎曼 z 的函数，他的表达是比较复杂，我这里就不写了，有很多种形式是吧，但是解脱解析研拓之后，这个黎曼 c 的函数的定义就变成了 s 是一个负数 啊，并且呢，只要 s 不等于一就行了，你可以想象这欧拉的级数啊，他只能是在一个时数轴，而且是在大于一的范围内才有定义。而这个黎曼 z 的函数呢，他是拓展到整个副平面，只要你 s 不等于一就可以了。那么黎曼 z 的函数有什么性质呢？黎曼经过研究就发现呢，这个黎曼 z 的函数啊， 有一些平凡零点，平凡的零点，平凡零点是什么意思呢？就是当他的自变量等于负二 或者负四，或者负六等等吧的时候，那么这个函数值都是零，哎，这就叫平凡零点是吧，就是只要你这个自备量取一个负偶数，哎，带进去之后，里面最大函数都是零，这叫平凡零点， 还有一种叫做非凡零点，就是除了刚才说的这些个零点之外，其他的这些 这个零点就叫非凡零点。经过研究呢，黎曼就发现非凡零点是有一些特征的。什么特征呢？第一个特征，这个非凡零点吧，他不是实数， 他一定不是在十轴上，而是一定有虚部的啊，这是第一个特征。第二个特征呢？就是他的实部啊，他不是不是实数有十部，有虚部吗？他的十部一定是介于零和一之间，一定介于这个范围内，而且， 而且这些个非凡零点吧，一定是关于关于一条线对称的，关于 二分之一这条线对称，是吧？我画个图大家看一看，能不能理解这个意思啊？就是这是一个负平面，是吧？石轴虚轴，然后呢？在石柱上有一个点 叫一啊，所有的平凡零点都在十数轴上，负二、负四、负六、负八等等，所有的非凡零点都在零到一之间，而且肯定不是实数，也就是肯定不在这个轴上，是吧？肯定不在这个轴上。还有什么特点呢？就是他关于二分之一一条线对称，二分之一这条线在这 啊，关于这条线对称，关于这条线对称，什么意思呢？就是假如这有一个零点，那么跟他对称的位置，这一定也有一个零点。假如这有一个零点，那么跟他对称的位置，这也一定有一个零点，假如这有一个零点，那就一定是这有一个零点，假如这有一个零点，一定是这有一个零点，对吧？ 除此之外，你在这条线上，在二分之一这条线上，你也可以有很多个零点，但注意你不能在十轴上，是吧？所以你要不然呢，就在这 这个啊时数十步为二分之一条线上，要不然呢，你就在零到一之间其他的位置，但是你必须是对称两个，两个出，是吧？这就是我们已经研究的非凡零点的一些特征，是吧？那么黎曼经过研究就发现的，好像十步是二分之一上，有很多个零点， 而十步不在二分之一的其他的位置就是在左右两侧，这些位置好像都没有零点，虽然理论上我正不出来，但是这两个区域好像都没有零点，好像所有零点都集中在啊，十步是二分之一条线上，对吧？于是黎曼就提出了一个猜想，什么叫黎曼猜想呢？他就说 啊，黎曼基的函数的所有非凡零点，所有的非凡的零点，他的十步怎么着呢？十步都是二分 之一，也就是所有的非凡零点都处于这一条竖线上，是吧？都在这条线上，这就是所谓的黎曼猜想。黎曼猜想非常困难，提出一百多年的进展也非常缓慢。

只写一笔，既不离开纸面，也不重复，你能写出一个田字吗？这实际上是十八世纪一个经典的数学问题，哥尼斯堡七桥问题。 在普鲁市的哥尼斯堡有一个公园，公园里有七座桥，一七三六年呢，当地的居民举办了一项有意思的健身活动，一次不重复的走过七座桥， 有许多人进行了尝试，但是最终呢，都失败了。当时啊，世界上最伟大的数学家欧拉刚好在这里，他敏锐的发现这里隐藏着深刻的数学内涵，并且把他称之为一笔画。问题， 欧拉把七座桥化作七条线段，并且呢，把问题转化成，是否可以通过一笔将这个图形画出来。 经过思考，欧拉确认这是不可能的，他还得出了哪些图形是可以一笔画的，哪些是不能一笔画的条件。首先呢，图形中的点分为两种，如果过该点的线段数目是偶数，就称之为偶点。如果 够该点的线段数目是基数，就称之为基点。比如下面的图形中，红色圆圈的点就是藕点，而绿色圆圈的点就是基点。 欧拉指出，如果一个图形可以一笔画，那么他的基点个数要么就是零个，要么就是两个。如果基点个数是零个，那么从图形中任何一个点出发，都可以一笔画。如果几点个数是两个呢？那么只能从一个几点出发，画到另外一个几点，才能将图形完整的画出来。比如说，我们来看日这个字能不能一笔画呢？ 由于日字腰上的两个点有三条线段，因此是基点，其余的点呢，都有两条线段是偶点，因此日字是可以一笔画的，而且必须从腰上的一个点出发，到另外一个点结束，这样就能画出来了。 我们再来看一看哥尼斯堡七条问题，在这个图形中过 acd 各有三条线段是基点，过 b 点呢？有五条线段也是 几点，图中有四个几点，因此呢，是不能一笔画的。说了这么多，朋友们是不是可以看一看田字有几个几点了，他能不能一笔画呢？

今天呢，我们继续来讲解火柴人大战数学这个爆款视频。在上一回呢，我们讲解了欧拉公式，讲解了 e 的 ipad 这方为什么等于负一， e 的 ipad 这方为什么可以变身成 cosine 派加 every 三音派，还顺便解释了为什么负负得正。 如果还没有看过上一期视频的小伙伴呢，欢迎点进我的主页，先从上一期视频学起，那么今天的视频呢，我准备为大家继续讲解火柴人大战数学中的另外一个非常关键的细节， 大家看啊，在视频中， e 的 ipad 方突然变身成为了一个很神奇的形式，然后不停的发射子弹，如果你仔细观察呢，就会发现每次发射的子弹都不一样，每一发子弹爆炸之后呢，都会幻化成一堆数字，这又是怎么回事呢？为了解释这个问题啊， 我们首先必须解释什么是泰勒展开。泰勒展开其实很简单，就是一句话，用蜜函数的和去逼近某一个函数。 蜜函数啊，就是像 x 的一次方， x 的二次方， x 三次方这样的函数。这种函数呢，具有非常好的性质，因为啊，即使不使用计算器，也能比较方便的计算出函数值。 可是其他函数，比如说指数函数、对数函数，三角函数，如果不用计算器而用手算的话，难度就大得多了。 于是有人就想，能不能把一个函数表示成一大堆秘函数相加的形式呢？如果能做到的话，那么许多计算呢，就会变得很方便了。举例来说，我们想把三角函数塞因 x 展开成一个秘函数加和的形式，我们 该怎么办呢？首先呢，我们先画一个函数， y 等于 x， 这是一个一次函数，显然呢，这个函数与 y 等于三元 x 相差很多。然后呢，我们再加上一项六分之 x 的三次方， 你会发现，现在这个函数在负三到正三之间已经与萨 in x 很接近了，但是超过这个范围呢，还是相差很多。 于是我们再加上一百二十分之 x 的五次方，再加上负的五千零四十分之 x 的七次方，你会发现这个函数越来越接近三元 x。 可以证明啊，如果我们按照一定的规则不停地添加密函数，就能够严格逼近萨 in x 了。所以我们说用密函数逼近萨 in 函数是可能的，它的形式就是这个样子，等号右侧的密函数 项数越多，整个函数就越来越接近三 ix。 如果密函数的项数有无穷多，那么整个函数的和就严格等于三 ix 了，这就是三 ix 的密集数展开，或者叫做泰勒展开。 我们再来仔细解释一下这个公式吧。首先呢，叹号叫接乘，它表示从一乘到这个数，比如说三的接乘就是一乘二乘三等于六五的接乘就是一乘二乘三乘四乘五等一百二十等等。 每一项 x 的密次分别是一、三、五、七，我们可以把它写作 x 的二人加一次密，其中 n 呢，等于零一二三 阶程和密次相同，也可以写成二 n 加一的阶程。最后再看正符号， x 的向是正的 x 三次方向是负的 x 五次方向是正的 x， 七字方向是负的。所以啊，符号可以写成负一的 n 字密。这样一来呢，再因 x 函数的泰勒展开，又可以写成一个比较集中的形式。 这里的西格马表示加和，而下方的 n 等于零和上方的 n 等于无穷，表示后方象中 n 要从零开始，一直到无穷多，有无穷多象，再把这些象加起来。 实际上啊，这个形式和刚才我们所写的形式都表示同样的密集数。只是这样写呢，看起来更简洁。除了三 a x 函数之外，还有很多函数可以展开成密集数的和，比如 cos 函数以及指数函数 e 的 x 次方都是如此。

在一七四零年，大数学家欧拉写下了著名的欧拉公式及 e 的 ipad 词方等于负一。 他将自然对数的抵译、虚数、单位癌和圆周率派这三个最常用的数学常数融为易卢，优美、巧妙，常常被称为上级公式。 可这是为什么呢？我相信很多小伙伴和我一样，第一次看到 ora 公式之后觉得满头问号，什么是 e？ 为什么服数能放到指数上？优美之余，它又有哪些应用呢？今天的视频，我将带大家以小学生二年级都能听懂的难度来理解这一晦涩而优雅的公式。 许多教科书和视频中喜欢用 type 展开来 证明欧拉公式，利用三角函数的泰勒展开变换一下再拼起来，恰好就得到了欧拉公式。然而，这样的证明有几个问题。首先，他以泰勒展开为基础，这对很多人来说未免有些尖深了。 此外，他的展开一般是定义在实数上的，推广到复数域后是否仍然成立，这里需要服变函数来回答这个问题，而这又是一个大坑。 在这期视频中，我将展示一种全新的可视化的理解方法，在地球直观的同时揭示出公式背后的几何意义。不过，为了展示这个证明，我们需要一些基础知识的铺垫。 首先，我们会回顾指数函数和 e 的来源，最后，我们会介绍负数的运算法则以及复数乘法的几何意义。最后，一切 就绪之后，我们就可以直面欧拉公式了。嗯，如果你对自己的数学有信心，可以直接跳到第三部分。 要理解欧拉公式，我们首先要理解 e 及自然对数的底 一在数学中随处可见，从光的衰减到用于近似阶层的 sterling 公式，从自然对数再到正态分布， 都有他的身影。毫不客气的说，他是知名度仅次于派的数学常数。然而，我们今天只关注他的一个方面。意的起源 e 最早是在研究复利时被提出的。假设李华有一单位的本金存进了银行年利率 vr， 一年之后他就有一加二单位的钱等等。这里有一个问题，银行一年结算几次呢？如果银行一年结算两次，每半年的收益率相应的减为二分之二，那一年之后，李华就有一加上二分之二的平方这么多钱。 第一期的收益二分之 r 也被记住了。第二期的本金额外产生的利息是李华的总收益增加了。 那如果一年分三期呢？总收益是一加上三分之二再立方，经过计算，发现他比一年两期的收益还要高。 你可能已经猜到了，当一年分的期数越多，总收益一加上 n 分之 r， n 次方就越多。令人意外的是，当期数 n 区域无穷时， 总收益并不会趋于无穷，而是趋于一个确定的极限。当 r 等于一及年化收益率为百分之一百的时候，这个极限恰好就是亿。 这里的关键在于，虽然指数 n 区无穷，但每期的收益 n 分之一也在减小，最后二者相互抵消，收敛在一个确定的值，这便是大名鼎鼎的自然对数的底。也许你的高速课本上不会介绍这段历史，但是他确实是有实用含义的。 以时间为自变量，对李华的银行存款作图，就得到了我们熟悉的指数函数，每个时刻的资金增长率都是定制，这就是指数函数的定义对吗？ 这个函数又被记为 e x p， 而 t 等于一时的值二点七八就是李华的一年后的总资金。 我们之前都假设 r 等于一，那如果 r 不等于一，会发生什么呢？事实上，通过几个巧妙的变换可以发现，此时求极限后的收益率就是 e 的 r 次方，利率越高，收益就越大，是不是很合理呢？ 回顾刚刚的分析，问题的关键其实并不在复利问题本身，关键的是我们赋予的指数函数另一种意义。在这个具体问题中， r 本身只是一个利率，但是我们也可以将 r 抽象出来，将 r 视作一个作用，作为一个抽象的变换。 当原本要变化 r 时，如果我们把变化细分成无穷份，每一次都变化 r 的 n 分之一部分，那么最后得到的就不再是 e 加 r， 而是 e 的 r 次方。 注意，严格来说，这一结论只在底数为 e 时成立。如果底数不是 e， 而是任意时数 a， 那指数上会相差一个长数。 可能有的同学已经开始好奇了，如果 e 上放的指数不是 r， 而是一个虚数，例如欧拉公式中的 ipad， 那会发生什么事情呢？ 这对应了极限中将 r 切换成 ipad 情形。但这个带虚数的极限现在对我们来说还是太复杂了，还没有办法直接处理。 我们需要进一步研究复数和复数乘法，将他们理解的更透彻，才能回来处理这个极限。关于复数，我不打算从头讲起，那样的话，视频就太永长了。如果你对复数或者抚平面完全不了解，我建议你可以 先去看一看刘老师做的这个视频，或者医术的这个视频，讲的都很好。这是一根竖轴，将负一开根号就得到了虚数单位癌，所有实数和虚数组合在一起，就得到了全体复数，又或者说抚平面。 这里我不得不提一句，抚平面这个概念最早也是由欧拉引入的。复数的加减法很简单，只需要把十步和虚步分别相加就可以了， 反应在抚平面上，就是两个复数对应的相量相加。但复数的乘法就有些复杂了，我们要用乘法分配率展开四项化减整理之后，才能得到一个仍然看上去很复杂的式子。复数乘法真的就只有这样粗鄙的理解方 是吗？答案是否定的。当复数被放在平面上的时候，我们其实还可以用另一种方式来描述复数，不是用横纵坐标，而是复数与十轴的夹角和踏到远点的距离 这两个量。对于符数其实还有专门的叫法，这就是人们常说的符角和魔肠。如此一来，我们除了可以用食部和虚部描述一个符数之外，还可以用符角和魔肠来描述它。这两种描述方式是等价的， 这就好像把浮平面看作极作标题一样。下面我们来看几个具体的例子。例如，对于符数，根号三加 i， 它与十轴的夹角是三十度，模长则可以根据勾股定理算出是二。如果 我们想让他的辅角是四十五度呢？利用三角函数很容易就可以算出对应的符数是根号二加上 i 乘以根号二。我们关心的问题是，如果两个符数相乘，会发生什么？ 面对这样一个复杂的数学问题，一个好的习惯是先从简单的例子入手。我们不妨先考虑根号三加上癌乘以他自己的情形， 打开四项，利用 i 的平方等于负一化减，再合并同类项，最终就得到了二加上二，根号三 i。 这个结果的辅角是六十度，刚好是两个因数的辅角相加，而它的模长是四，刚好是因数的模长的乘积。真的有这么巧吗？我们换几个数试试看。已知二加 i 的辅角 是二十六点五度，而他与自己的沉积也就是三加四。矮浮角是五十三度，刚好是二十六点五度的两倍。 到了这里，我们好像发现了一个规律，两个符数相乘，结果的符角是因数，符角的相加结果的模长则等于原来因数等模长的乘积。 不过，这是我们从归纳观察得出的结论，并不严谨。事实上，利用三角函数的和插角公式，我们可以在一般情况下严格的证明这一结论。由于证明有些永长，我就不仔细推倒了，有兴趣的话可以暂停观看。 这意味着什么？这意味着我们对复数乘法有了一个全新的、强有力的理解手段。复数乘法不再仅仅是一坨灰色的 代数推倒，而被赋予了鲜明的几何意义。一个负数 z 乘以另一个符数 z 二，就相当于在辅平面上逆时针旋转了 z 二的辅角，再根据 z 二的模长放缩相应的倍数。 有了复数乘法的几何意义之后，我们终于可以直面殴打公式了， 还记得吗？我们在第一部分通过复利的概念和无限细分的方法，引出了指数函数和 e。 一个很自然的想法是，如果把这一思想运用到复数上，会发生什么？ 这里我们选取了欧拉公式中的 ipad 作为代表，当然，你也可以带入其他的复数。注意，在等式的左边，复数已经出现在了指数上，这看上去有一些离经判， 但此时等式的左边正是由等式的右边定义的义的 ipad 次方，并不意味着义乘自己连续乘上 ipad。 不，不是这样的，它是由右边的极限定义的。换句话说，我们正在发明新的数学理论。 大多数没有受过正规训练的同学可能会对右边的极限束手无策，但索性我们刚刚研究过辅助乘法的几何意义，而这正是处理这一问题的有力工具。 等式的右边其实不过是一串复数的连城，而处理任何极限，一个有效的方法都是先看看 n 比较小的情形。让我们先从 n 等于一的时候开始，从一乘以一加上 ipad， 得到的结果就是一加上 ipad 扫过的面积。我用 这个小三角形表示。当 n 等于二时，我们把一加上 ipad 分成两部分，先乘以一加上二分之 ipad， 然后再乘一次，得到的结果。在这里， 当我们乘以一加上 ipad 除以二，小三角形变矮了，因为虚步变少了。当我们再次乘以一加上二分之 ipad， 根据复数乘法的几何意义，我们只需要再次转过相同的角度，放大相同的倍率。 从一怎么到一加上二分之 ipad， 那么从一加上二分之 ipad 就怎么到它的平方， 注意到了吗？扫过的区域仍然是一个直角三角形。因为两步我们扫过的三角形是相似的，我们乘以了同一个符数。那 n 等于三呢？一加上三分之 ipad， 再乘以一加上三分之 ipad， 再乘以一加上三分之 ipad 等于四呢？一二三四。 聪明的同学可能已经猜到会发生什么了。随着 n 不断的增大，这些三角形会逐渐的弯曲、收拢， 最后当 n 区域无穷时，变成一道半圆。这也就对应了连乘机一一加上 n 分之 ipad， n 次方会越来越趋向抚平面的左边。可这是为什么呢？ 让我们来看一看每一个小三角形。当 n 很小的时候，他们都是直角三角形，斜边与直角边相比，每一步都增长了很大的比例。而当 n 很大的时候，三角形越来越扁，斜 边与直角边几乎相等。每乘上一个，一加上 n 分之 ipad， 几乎不改变原来的模长。当 n 区无穷的时候，每个小三角形近一次成为了一个很扁很扁的扇形，模长就不再增长了，而整个一连串的三角形也就变成了真正的弧形。 嗯，有的同学可能会觉得这样推理不严谨，每个三角形的边长增量是无穷小，可以看作一个扇形。但无穷的三角形放在一起就不一定了。 一加无穷小等于一，但一加无穷小的无穷次方就不一定了。严格来说，这是一个一的无穷形式的未定式。但实际上可以证明，每个小三角形带来的模 长增量是 n 分之一的高。介物从小因此连成 n 次之后，极限的结果还是一受篇幅限制，我就不展开了，有兴趣的同学可以参考高数课本。 言归正传，我们的下一个任务是确定这个扇形的终点落在哪。确定了终点在抚平面上的位置，我们也就确定了原来连成绩的极限，进而也就得到了亿的 ipad 四方的结果。 看上去，负一是一个非常显然的结果，但是我们希望能给出一个更具体的解释。实际上，这并不难回到 n 等于一的情况， 大三角形的竖直直角边代表虚部，长度是 pi。 而当 n 区域无穷的时候，每一个小三角形 意味着乘以一加上 i 乘 n 分之派，那么它的直角边边长就是 n 分之派。所有小三角形的短直角边共同构成了大圆弧的周长，因此整条圆弧的弧长就是 n， 乘以 n 分之派等于派。 根据弧长公式，我们立马就得到结论，圆形角是一百八十度，这确实是一个完整的半圆。 由于半径是一，我们立马就可以读出圆弧的终点就是抚平面上的负一。从而我们也就证明了 ola 公式 e 的 ipad 次方等于负一。 数学中有一句话，当一个公式中出现派的时候，你一定要去问自己那个圆在哪里？ 当我们谈论 ola 公式时，千万不要认为 ola 公式是变了什么戏法，在十轴上把 e 变成了负一。恰恰相反， ola 公式的奥妙在负平面上，他借助极限和单位源的力量，在十轴上方深为打击，绕了一大圈之后才来到了负一。 如果只有十轴是不可能完成这一任务的。换句话说，欧拉公式中的那个圆在抚平面上。 现在我们已经对欧拉公式有了形象而扎实的理解，我们还可以进一步将它推广。 如果公式中出现在符指数上的不是派，而是任意角 cat， 那会发生什么？当符指数上带入另一个符数，我们仍然可以通过前面的极限来 理解。进一步，我们最终仍然可以回到熟悉的抚平面上，通过几何的直觉来理解他。回到刚刚的三角形和弧形。此时，小三角形的短直角边长都变成了 n 分之 cta， 而不是之前的 n 分之派。 最后的弧长也相应变成了 seta 而不是派。利用弧长公式，此时圆弧的圆形角就是 seta， 终点落在 cosine seat 上，有 seta 的位置，也就是 cosine seta 加上 i sine seta。 例如，当 cta 等于二分之派，圆弧的圆形角便是一个直角九十度，终点刚好落在曲轴上及虚数单位 i。 而当 cta 等于派时，我们就回到了之前的情况。这样一来，我们就得 得到了更为一般的欧拉公式。 e 的 i sit 次方等于 cosin sit， 加上 i 乘以 sine sit。 你以为故事到这里就结束了吗？不，才刚刚开始。 由于欧拉公式和圆有着千丝万缕的联系，许多科学领域中常常用它来表示旋转。在 cta 中插入 omegat， 我们就有了一个随时间 t 增长的圆形角，这就是旋转，一种可以被数学语言描述的旋转。 在力学和电学中，科学家用它来表示震荡。在光学中，物理学家用它来表示电磁波的相位。甚至在复利业变换和量子力学中也因此而有了欧拉公式的身影，可以 说，欧拉公式已经成为理工科不可替代的一块基石，在机械、光学、电力、原子物理等领域有着重要的应用，竟然影响着我们生活的方方面面。欧拉公式你学会了吗？

麦克斯伪方程组呢，被称为啊，世界上最漂亮的物理公式之一，那么这个最漂亮的物理公式，要想理解他，我们首先得了解一些数学工具啊。首先呢，我们先来做一下数学基础， 我们并不需要把数学学的太多，我们只要了解一点点就够了。首先我们要知道一个概念叫做通量，比如说我们这里有一个面，这个面面积是 s 啊，面，有一个发现， 此时呢有一个厂，鞋子穿过了这个面啊， e 呢，我们表示的是电厂啊，电厂我们用字母 e 来表示，而磁场我们用字母 b 来表示啊。 假如有一个电厂鞋子穿过了这个面，此时呢我们就说呀，我可以把这个电厂分解成两个，一个呢是垂直于这个面的，垂直于这个面，假如电厂与发型夹角是 c， 那么垂直这个分量就是一抠赛 c 的，我们发现垂直于面的电场可以算是穿过了这个面，对不对啊？还有一个电场分量呢，是沿着这个面，这个分量没有穿过这个面。然后我们就说啊，我可以定义一个叫做通量的东西， 通亮啊，通亮是什么呢？通亮就是垂直穿过这个面的电场分量， e cosy insit 再乘以这个面的面积 s 啊，这就是所谓的通量。通量一般用字母 fa 来表示啊，它表示等于这个 fa， 这就叫通量。其实通量的含义是什么？通量的含义啊，就是穿过这个面的电厂线根数，我们可以用一个通俗的说法，就是根数来表示它， 不过呢，如果电厂他是各处不同的怎么办？如果各处不同啊，我们可以把它写成一个积分的形式， 这个积分的形式就是在这个面上做积分， e 点成 ds， 其实含义就是穿过这个面的电厂线根数，如果这个电厂是云墙的，你就可以用上面这个式子来表示，如果不是云墙的，我们就用积分式来表示就可以了。他表示把这个电厂分解成两个，把这个垂直面的分量再乘以面积，如果每个地方电厂不同，你就把每个地方的电厂乘以小面积，再进行累加啊，这就叫通量。 除了同量以外啊，我们还要知道一个叫做路径积分的意思，那路径积分是什么呢？比如说啊，电场 e 是朝右的，电场是朝右的，然后有一个路径，这个路径是斜着的啊， ab 斜着的，路径的长度呢？是 l， 这个时候啊，二者之间有个夹角 ct 啊。所谓路径积分就是还是我们把电场分出两个来，一个是沿这个路径的， 一个是垂直路径的，沿这个路径的分量应该是 e cosiza， 对不对？我们用沿这个路径的分量乘以路径长度，这就叫路径积分啊，路径积分， 路径积分。如果电场是云墙的，那我们可以写成是 e 乘扣赛 anc 的，再乘以 l， 对不对啊？但是假如我们不匀墙的话，我们可以用积分形式来写，积分形式来写就是沿着这条线进行积分， e 点成 dl， 他的意思就是你把这个 e 分解成沿着这条线的，然后呢，把这个沿这条线的分量再乘以长度啊，一段一段乘，再把它加起来，这就叫路径积分。现在我明白了，这两个量啊，一个叫做通量，就是在面上 做积分，一个叫路径积分啊，是沿着这条线做积分的。我明白了，这个我们就可以研究麦克斯给放生组了。

大家好，这期讲欧拉公式，在漫长的数学历史长河当中，诞生了无数美丽的数学公式，他们宛如一颗颗璀璨的明珠，光彩夺目，而只有他被称为上帝公式，他就是欧拉公式。那我们来看一下他有什么特别之处啊。 它的形式是这样的，一的 i x 次方等于 cosine x 加上 i 乘以三 x， 其中一是自然长数， i 是虚数沙眼， cosine 呢，是三角函数。当 x 等于派的时候啊，公式就变成了一的 ipi， 次方等于负一，这个就是欧拉横等式。 这个等式包含了自然长数、虚数、圆周率和自然数。每一个单拿出来啊，在数学史上都是非常炸裂的存在。而欧拉公式竟然以一种极其简洁的形式，轻描淡写般把他们 结合了在一起，在以简洁唯美的数学世界里啊，难怪他会被称为上帝公式吧。事实上，与欧拉公式相近的公式，在此之前就已经被发现了。其实这也不奇怪，我讲虚数的那期视频呢，也有推导到类似的结果啊， 例如一七零七年，法国数学家蒂莫福就发现了一个这样的公式， cosine x 加减 i 乘以三 x 的 n 次方，它是等于 cosine n x 加减 i 乘以三 n x 的。 又例如，一七一二年，英国数学家罗杰科特斯在研究螺旋线无常的时候呢，就得出了一个这样的公式， l n cosinex 加上 i 乘三 x 呢，它是等于 ix 的 啊，这里注意一下啊， l n 这个符号呢，是后来欧拉取的啊，是表示自然对数的意思。在此之前，数学家们呢，都是用别的方法去表示自然对数的啊，这里我为了大家好理解，直接就用 用了 l n 啊，包括虚数 i 也是后来欧拉给的符号，在此之前呢，虚数都被写作根号负一，我为了方便表达啊，也是直接用了 i 的啊。 这个公式呢，可以说是无限接近欧拉公式了，只要两边同时取一为底的指数操作就可以了。不过科特斯在一七一六年突然离世，这一结果呢，也从未正式发表过。接下来为了说明欧拉公式，我得先讲一下这个自然长数是什么啊？ 自然常数一，其实我们在高中的时候呢，就接触过了，他和 pi 一样，也是一个物理数来的，他约等于二点七一八二八。 自然长数又被称为欧拉数，但是欧拉数却不是欧拉发现的，是雅阁部博努力在研究存款复利的时候发现的。注意一下这里的博努力和流体力学的博努力啊，不是一个人， 流体力学的是丹尼尔博努力啊，他是雅格布的侄子。这里说明一啊，其实是有两个数学模型可以选的，一个呢，是一年之内无穷次存取 gc 啊，博努力用的就是这个。第二个呢，就是定期只存取一次啊，但是你可以存无穷多年， 不过不同年份的定期啊，就会对应到不同的利率，因为时间无穷细分这个事情对我来说呢，有点离谱啊，所以我这里用的就是第二个模型。 假如银行规定了一个这样的规则，存一年利率就是百分之一百，存两年利率就变成了百分之五十，也就是二分之一，存三年利率变为三分之一，而存 n 年呢，利率就变成 n 分之一， 复利的意思就是今年的本加息呢，会变成下一年的本啊。好，那么我们用一个具体的例子来说明啊，我有一块钱， 存一年之后，到手就是一加上一乘以百分百等于二。存两年，最后到手呢，就是一加上二分之一，加上一加上二分一，再乘以二分之一的，也就是一加二分一的二次方，等于二点二五。 存三年，最后到手的就是一加上三分之一的三次方，等于二点三七的，以此类推啊。存 n 年，最后呢，到手就是一加上 n 分之一的 n 次方。哎，这个时候好像发现存的越久，赚的就越多。如果我存无穷多年，那么本息会不会最后就是无穷多呢？ 不会，他只会无限趋向于二点七一八二八点点点点，对吧？甚至呢都到不了二点七二。我们可以画一个一加上 x 分之一的 x 次方的函数图像啊，可以明显看到，函数值到了二点七一左右啊， 就上不去了。欧拉在他后来的注册中多次引用到了这个数，并且给了他一个符号一，所以这个数也被后人叫做欧拉数了。这个自然长数有什么特别的地方呢啊，我们来看一下啊，假如有一个指数函数是以一为底的，也就是 y 等于一的 x 次方， 我们随便找一个点吧，例如 x 等于二，那它的函数值呢，就是一的平方，在这一个点的倒数，也就是切线的斜率，它也是一的平方。 函数曲线与 x 轴围成的面积呢，它也还是一的平方。放眼整个数学界，这个函数的特性啊，也是独一份的啊， 当然，三角函数三 x 啊，求两次导之后呢，会变成自己的相反数啊，这个特性倒是和 e 的 x 方啊有点类似，感觉这两个函数冥冥之中就是有关联的。当然，对复数领域和三角函数领域研究颇深的 欧拉也是这样认为的。一七四八年，欧拉发表了一篇名为无限研究导论的论文，里面就引用了蒂莫夫的公式啊， 我们来看一下啊，两式相加除以二，就得到了 cosine 的 n x。 两式相减除以二 i 就得到了 cyan 的 n x。 欧拉大胆的把 x 取了无穷小，于是呢，就有了三眼 x 是等价于 x 的，扣上 x 呢，是等价于一的啊，那么式子呢，就变成了这样， 然后再取 n 为无穷大，令到 n x 等于 k 啊，那么就有 x 呢，是等于 k 除以 n 的。最终的式子呢，又变成了这样。 哎，大家看，这不就是我们刚刚讲过复利的计算形式吗？这个其实就是一的 i k 次方，而这个呢，就是一的负 i k 次方， 所以最后 q 三 k 和三 k 呢，就变成了这样。哎，我们看这两个式子，拿二式乘以 i 再加上一式， 于是乎，我们就得到了欧拉公式的最终形式码， q 三 k 加 i 三 k。 之前讲虚数的时候就提到过，它可以在副屏面上表示旋转，所以呢， e 的 i k 四方也是一样的。 举个例子，五乘以一的 i 三分之拍次方，这个数表示了负平面上五为半径，逆时针旋转了六十度所在的位置。 又例如一个负数一加 i 化成负指数，形式是怎样的呢？在负平面上画出来一加 i 的点在这，它的半径就是根号二全过的角度刚刚好是四十五度，也就是四分之派。用三角函数表示呢，就是根号二乘以 扣上四分派，加上 i 乘以三四分派，也就是根号二乘以一的 i， 四分之派次方。好。至此，欧拉公式就跟三角函数和旋转关联了到一起。 你想想啊，复离液激素还得用沙哑和抠上两种函数做基底去分解，如果用一的 ic 塔次方去做基底的话呢，一个就够了。好了，这期讲到这，下期我们讲复离液变换在复数域的展开，我们下期见。

我们画一条连续的线，随意画哦，然后首尾相连，像这样。好啦，数数有多少个焦点，一二三四五六七 八九，然后有多少条边？一二三四五六七八九十十一，十二，十三十四十五，十六，十七十八。再数数有多少个面，一二三四五六七八九十十一。 哦，对了，最外面的也算一个区域哦，我们用焦点减去边，再加上面等于二，我们再画几个试试看， 都是这个结果。哎，有点意思啊，也就是说，我只要知道其中任意两个数字，那么第三个数字自然就能算出来。这个规律是欧拉发现的，所以也被称为欧拉公式。 欧拉一笔画定理，他有许多非常有趣的应用，像科斯堡七桥问题、最优路径问题、拓补学等等都是以他为基础的。不过不知道大家注意到没有，刚才我们的画图是在平面上的，而且是一种全覆盖哦。我想请问 像这样的全封闭的多面体算不算一种全覆盖呢？他是否也符合欧拉定理呢？把平面和立体的结合起来思考，这就是三百年前从二维过渡到三维的数学思维，欧拉牛。

一加二加三加四加五加六加到无穷大等于多少？当时我第一次看到这个公式时，下意识的感觉答案是无穷大，但是我错了，欧拉给出的正确答案是负十二分之一。看到这个答案，我简直不敢相信自己的眼睛， 怎么可能！左边的数学公式每一个数字都大于一，累计无穷大的数字之和怎么可能是一个小于一的数字，而且还是一个负数，这就是神记，只有神才能让一加二加三加四加五加六加到无穷大等于负十二分之一， 而且逻辑严密，无可挑剔。那么这个等式成立的神一般的逻辑是什么呢？下面我们请数学家拉玛努金上场。这哥们在数学界被称为天才， 这位天才野性养神，他就公开宣称自己所有成果都是神告诉他的。这些不重要，重要的是这位天才的数学家用一串小学生都能看懂的公式，完美的证明了以上 欧拉等式的数学逻辑。以下是辣妈母亲证明过程。我们把一加二加三加四加五加六加到无穷大的和写成 s 一，然后我们再引入 s 二， s 二等于一减二加三减四加五减六，接下来我们用 s 一减 s 二等 于四加八加十，二加到无穷大等于四乘以一加二加三加四加五加六加到无穷大就等于四倍 s 一。所以这里我们就可以得到 s 一等于负三分之一 s 二，这时候我们就要求出 s 二等于多少，就可以知道 s 一等于多少了。 接下来我们再拿出一个 s 二等于一减二加三减四加五减六，这次我们将两个 s 二错位相加，结果就是 s 二加 s 二等于一减二加一加三减二减四加三加五减四减六加五，等于一减一加一减一加一减一加 一减一等于二倍 s 二。然后我们将二 s 二再做一次错位相加，即四 s 二等于一，那么 s 二等于四分之一，于是 s 一等于负十二分之一。 以上证明的过程简单而且逻辑无可挑剔，但是我们总认为好像还差点什么，毕竟这个答案与我们的常识认知差距太大了。于是人们又用其他方法论证这个该死的欧拉公式。这一次，人们用上了黎曼函数证明过程，略去不提，答案还是该死的负十二分之一。 这个结果让很多人犯愁，这个在数学上看起来无懈可击的正确结果，在现实中好像就完全不可能发生，反正就是咋看咋不对劲。没办法， 当时的数学家们为了弄清楚这到底是怎么回事，他们就一步一步把黎曼函数证明过程图像化，然后就得出这样一个图像。这个图像的意思就是这组数的和刚开始的时候，他是沿着 c 一这条 路径开始变大的，然后变到非常大的时候就来了急转弯，就是 c 二这段路径，然后此后就开始变小了，就是 c 三这段路径。 写到这里，可能很多人还是无法理解一个意志相加的数字之和为什么会在某一个点之后突然拐弯。人同样会认为这是上帝的神技，他在我们看不到的地方做了一个手脚，将均衡变大的数学公式扭曲成弧形。现在你也许隐隐开始理解为什么科学界大佬都信仰上帝， 为什么连爱因斯坦这样大佬也会说出科学的尽头是神学？毕竟即使是大佬，对这个世界未知事物的认知也是远远不够的。 最后，爱因斯坦这个大佬也懒得去证明这个欧拉公式的合理性，而是直接将欧拉公式上升到哲学的高度去认识，然后就说出这样一段话，那问题的解决方案永远不可能在产生这个问题的维度上出现。这一句充满智慧的哲言，简直 就是划破未来迷雾的一道闪电。怎么理解？先来一个简单的例子，一个十字路口在四面都有车辆与人流通过的时候，为了让车辆与人行通过更有效率，我们发明了红绿灯，但是 当四面来的车辆与人流足够大的时候，红绿灯也没戏了，这个路口将不可避免产生庸塞。怎么办？那就得修立交桥。 这就是用三维空间思路来解决二维空间的疑难问题。按照辩证法的宇宙观来解释，任何复杂的矛盾都不可能自我克服，只有通过下一个矛盾来克服他。宇宙本质就是万物矛盾交替运动的混沌体，下一个矛盾可以说是克服原有矛盾的方法，但是与其说是克服他， 不如说是因为历史的发展的进程不再需要他，也就是说，克服一个矛盾的方法就是让这个矛盾无需被克服。我们用这个思维来看待当下的国际问题。最近美国与俄罗斯在乌冬问题上剑拔弩张， 俄罗斯威胁要动用军事手段，而美国则威胁俄罗斯，一旦俄罗斯入侵，乌克兰将面临最为严厉的经济制裁，而这个最严厉的经济制裁就是将俄罗斯踢出 swift 系统，这就是美国依仗美元霸权对俄罗斯发出的威胁。美元霸权有两个组成部分，一个是美元与中东石油贸易挂钩，形成石油美元体系， 你要买石油就得要美元。另一个是通过国际支付系统 swift 绑架全球贸易，你要参与全球贸易，就离不开 swift 系统。任何一个国家被提出 swift 系统，意味进出口贸易无法与境外银行结算。 从另一个层面来看，美国掌握着 swift 系统，也是对石油美元体系有力的支撑，因为中东石油国家不可能摆脱 swift 系统出口石油。同样，在中美关系日趋恶化的时候，美元霸权对中国的国家安全也造成重大于威胁。怎么化解美元霸权？我们似乎应该也联合伊朗、俄罗斯搞石油人民币体系，建立一个相 四的人民币跨境结算系统，以替代 swift 系统。但是以上方案就犯了一个方向性错误，因为重大问题的解决方案不可能在问题本身的维度得到解决。那么最好的解决方案是什么？是数字货币，只要用数字货币来替代传统的主权货币， 那么自然就绕开了银行 swift 系统。看看上面柯达与复试的竞争案例，干掉柯达与复试最好的方案不是生产出比柯达复试更好的胶卷，而是研发出不需要胶卷的数码相机。这就是在另一个维度去寻找复杂问题解决方案的思路。 干掉美元霸权最好的方式就是让美元霸权的支柱如同过去的胶卷一样被自然淘汰。只要我们拥有数学家的思维，按照爱因斯坦的思路去观察问题，再复杂的问题也会迎刃而解。数字货币可以直接打在自然人与法人社交账户上， 注意不是银行账户，并且不依赖银行系统就能便捷转账。不通过银行系统自然就避开了依附于银行的 swift 系统。上帝喜欢制作恶作剧，在我们视线之外做手脚，但是如果你能洞察视线之外上帝制造的恶作剧，你就是上帝。

大数学家欧拉写下了著名的欧拉公式，即 ipad 等于负一。 他将自然对数的提议、虚数、单位矮和圆周率派这三个最常用的数学长数融为一炉，优美巧妙， 常常被称为上帝公式。可这是为什么呢？我相信很多小伙伴和我一样，第一次看到欧拉公式之后觉得满头问号，什么诗意？为什么符数能放到指数上优美？至于他又有哪些应用呢？今天的视频我将带大家以小学生二年级都能听懂的难度来理解这一晦涩而优雅的公式。 许多教科书和视频中，喜欢用泰勒展开来证明欧拉公式，利用三角函数的泰勒展开变换一下再拼起来，恰好就得到了欧拉公式。然而，这样的证明有几个问题。 首先，他以泰勒展开为基础，这对很多人来说未免有些监视了。此外，泰勒展开一般是定义在实数上，推广到复数域后是否仍然成立，这里需要复变函数来回答这个问题，而这又是一个大坑。 在这期视频中，我将展示一种全新的可视化的理解方法，在力求直观的同时揭示出公式背后的几何意义。不过，为了展示这个证明，我们需要一些基础知识的铺垫。 首先，我们会回顾指数函数合一的来源，随后，我们会介绍复数的运算法则以及复数乘法的几何意义。最后，一切就绪之后，我们就可以直面欧拉公式了。 但如果你对自己的数学有信心，可以直接跳到第三部分。要理解欧拉公式，我们首先要理解一级自然对数的底一在数学中随 随处可见，从光的衰减到用于近似阶层的 siri 公式，从自然对数再到正态分布，都有他的身影。毫不客气的说，他是知名度仅次于派的数学常数。然而，我们今天只关注他的一个方面。意义的起源 亦最早是在研究复利时被提出的。假设李华有一单位的本金存进了银行，年利率为二，那一年之后，他就有了一家二单位的钱。