随机对照试验样本量计算公式

随机试验法作为一种科学研究的核心方法，在统计学、医学、工程学乃至社会科学等领域发挥着不可替代的作用，其本质是通过可控条件下的重复操作，观察结果的变化规律，从而均是事物之间的因果关系或概率分布特征。随机试验法的理论基础 随机试验法的数学根基源于概率论。随机试验需满足三个基本特征，可重复性、结果明确性、不可预测性。例如投掷硬币，虽然每次结果非正即反，但具体哪一面朝上无法提前预知，这种不确定性恰恰是概率研究的起点。 法国数学家拉普拉斯提出的古典概行为随机试验提供了早期量化工具。当试验所有可能结果构成有限且等概率的样本空间时，世间概率可通过有利结果数与总结果数的比值计算。而随着伯努利大数定律的发现，人们认识到当试验次数趋近无穷时， 实践频率会稳定收敛于理论概率，就会通过有限试验逼近真实规律，提供了理论保障。方法实施的关键步骤。规范的随机试验需遵循严格的流程设计，首先需要明确定义研究目标，如验证新药疗效或测试材料强度， 急着构建试验环境，确保除目标变量外其他条件完全受控，这是区分因果性与相关性的关键。样本量计算是另一核心环节。根据中心极限定律， 当样本量足够大时，样本均值分布近似正台分布，这使得统计推断成为可能。实践中可采用功效分析确定最小样本量， 以保证检测到预期效应。随机试验法并非万能钥匙，当研究对象涉及复杂系统时，难以构建完全受控的试验环境，此时需要结合观测性研究和计算机模拟进行三角验证。此外，量子力学中的贝尔实验证明， 在微观粒子层面存在超越经典概率的关联性，这提示我们概率论本身也可能需要范氏革新。随着互联网技术的发展，连续随机试验成为可能。智能设备能实时采集个体行为数据， 通过强化学习算法，动态调整干预策略，这种始终在线的试验模式正在重塑消费品优化、健康管理等领域的研发流程。但随之而来的隐私保护和算法透明度问题， 也需要建立新的理论框架加以规范。从抛硬币到基因编辑、疗效验证，随机试验法历经三个世纪的演进，始终保持着用不确定性理解确定性的哲学智慧。在可预见的未来， 他仍将是人类探索未知世界最可靠的罗盘之一，而其本身也将随着科学实践的发展不断丰富方法论内涵。正如统计学家费希尔所言，试验的本质就是带着问题去观察自然，但必须让自然以他自己的语言作答。

同学们，我们这课程的前几讲介绍了这个概率论的一些基本知识， 并且介绍了古典概型等相关内容。从本讲开始，我们就要开始一个新的内容，这就是围绕随机变量及其分布函数进行讨论。 随机变量，应该说随机变量的引入对于概率论的研究来说是一个革命性的。那么我们说为什么要研究随机变量呢？ 我们通我们前面讲了我们概率论是研究什么的，是研究随机现象的，研究随机现象的所谓统计规律的。 那这个统计规律具体来讲是什么呢？主要的就是指它的数量规律，就随机现象中间的一些数量规律。所以我们有一个很自然的想法， 就是把随机变量这样一个东西，把把这个样本空间的这样一些一个结果，每一个样本空间的一个实验结果 跟一个时数相对应起来，找到这样一个关系来，对他实际上呢，从粗略的来说就是找到了一种因色的关系，找到一种因色的关系。 那么或者我们进一步的解释嘛，就是这样像随机我们要研究的就是随机现象，这个随机现象是我们所关心的，但是我们现在已有的 熟悉的是什么呢？是我们的各种数学工具，数学里边我们经常碰到的 啊，比如说我们的比较熟悉的就是时值函数，怎么样在这个我们所关心的随机现象和我们所熟悉的这个时值函数之间找到一个联系呢？这个别这个就是我们今天要讲的随机变量， 这个随机变量就是我们联系这两者之间的一个纽带啊，为什么要我们要做这样的？做这个工作有什么好处呢？我们来举啊，可以看一些，看一些例子， 就说我们研究的这个随机现象，有些问题，我们关心的不是随机实验的结果， 而是跟这个结果相联系的一些数量，数量关系。所以如果我们引入随机变量的话，就有助于研究我们所关心的问题。那比如说 啊，我们要做一个设计评估啊，比如说在啊，一个人去进行设计，我们要看他的这个对他设计的这个训练情况啊， 这个要考核一下，为了对他这个设计能力进行评估呢？我们比如说给他五发子弹是吧？如果是，然后呢，我们就记录每一发子弹是不是打中了，是打中了还是没打中啊？命中了的话是 hit， 我 们记为 h， 否则的话呢？没有命中的话呢，就记为 n no， 是 吧？那么我们就考虑这样， 第一个像这样一个记录，就是记录了我们这个随机试验的结果， 也就是说我们前面讲的它本身就是一个随机试验，是吧？随机试验的结果呢？那也就是说是一个样本。那么我现在要问这个样本空间怎么来表达呢？ 实际上这个样本空间就是我们的那张记录纸，比如说张三李四中了，第一枪中了，第二枪没中，第三枪中了，第四枪没中，是吧？那么我们写出来啊，啊，这个 啊，就是，呃，第一个，这就是第一个问题，是吧？这个样样板空间怎么表达？那么第二个问题呢？就在这个问题中间，我们最感兴趣的问题是什么？好，我们现在来回答这两个问题，那第一个问题样本空间怎么表达呢？ 那就是我们前面讲的无非就是说张三李四，他他他的设计的那个记录纸，就是第一枪中了，第二枪没中，第三枪中了，是吧？那么写出来就是这个样子，是吧？ 啊？你看那像像这样的一个情况，就是没中没中，没中没中啊，这个是没中没中没中 中了啊。最后一种情况，比如说中了中了，中了都中了，是吧？像这样的这个空间里边这种样本点有多少个呢？因为我们知道每一位上面都有两个结果，是吧？所以一共有五位，那么五位的话，那就是二的五次方就一共有三十二个这样的不同的结果， 这个样本空间整个的样本空间就是这么一个东西。那么我我们想问，在此问题中间，我们最感兴趣的问题又是什么呢？ 其实我们目标啊是要进行这个设计的评估，这个人的设计的最后他的命中率到底是多少， 那么既然是命中率是多少的话，这个我们最关心的应该是他中了几枪，至于这一枪，这几枪是在第几枪上中，并不是一个非常重要的事情， 是吧？所以我们就这个时候，我们就为了要突出这样一个事情的研究，我们可以引入随机变量， 更感兴趣的就是这个我们样本这个小 s 中间，这个中间呢，中了的次数就是 h 的 这个个数有多少个 h， 那 我就可以定义什么呢？就比如说我就定义 x s， x s 等于什么呢？ s 中 h 的 个数， s 中 h 个数啊，那我们讲 s 是 什么东西啊？小 s， 大家要记得小 s 就是 我们样本空间里面的每一个元素，比如说小 s 要是等于 n n n n n 的 话，是不是那么 x s 在 这个 s 是 应该等于多少啊？ 当然就应该等于零嘛，没有一枪中的嘛，对不对？那如果是小 s， 如果是等于 n h n h n 的 话，是不是？那么这样的话，这个小 s 应该等于多少呢啊？这个 x s 应该等于多少呢？当然它应该等于 二，是吧？应该等于二，所以这个从这里我们就可以看出来，引入随机，引进随机变量，对于我们研究这类问题啊，这类随机现象是非常有非常有好处的。 我们再来看另外的问题，是吧？比如说网店，呃，网店问题，那么现在咱们是这个网络销售是比较比较流行了，是吧？比较现在比较普遍了，是吧？那么网店我们就 叫他出出售一个商品，出售某个商品，如果说说这个商品合格的话，这个开网店的人呢，他就能够赚 n 元钱，是吧？如果不合格的话呢？不合格的话，他就要赔人家退货啊，他这个中间的运输费啊啊，仪器等等的其他的一些手续费，他可能就要赔 m 元。 但是合格和不合格的这个问题呢，是有随机性的，对不对？这是个，这是个有随机性的，那么我想问能不能否赚钱取决于什么因素呢？ 当然我们我们想这个显然首先是跟这个你的运气好不好，就是你这个网店的这个老板，他拿到的货 到底是合格的还是不合格的？但这个事情是有随机性的，所以说首先就取决于这个随机事件，是吧？这样一个这样一个随机试验的这个试验结果， 这是一个。第二个呢，就是说了还要不，但是这个随机试验的结果还取决于什么呢？还取决于说我赚能赚多少，如果是我合格的话能赚多少是吧？我不合格的话要赔多少？我要评估这两个， 如果是说我合格的时候能够赚很多，不合格只赔一点点，哪怕是不合格的东西再多我可能也会哎，觉得这个这个生意还是合算，还是能够做，是不是？ 反过来说，如果是说我赚只赚一点点，但是只要赔一次就砸了，那就赔的很厉害的话，那么即算是你给的东西的合格品的合格率再高，我可能都不敢做这个生意，是不是不敢做个生意？ 所以我们说这个时候的随机试验这个样本空间实际上就是两个点，一个点叫做合格，一个点叫做不合格，是吧？这个时候呢，但是我们要把这个这跟合格和不合格，我们要跟一个数量先联系， 跟跟一个数量线联系，要用什么联联系呢？如果是合格的话，我就可以定义一个 x， x 的 在合格这一点让他等于 n， 而在不合格这一点呢？我等于负 m 是 吧？负 m， 但 m 本身肯定是正数了是吧？这习惯上 m 肯定是正数。所以说这个这样的话呢，我们就啊就能够把这个问题表达出来， 当然你要最后这个问题的最后的这个解决，那要今后我们还要就是再讲到引入随机变量的期望的这个概念以后，我们就能够最后的解决这个盈亏的计算问题啊，这是第二个方面，这个例子 前面讲了，我讲了举了第一个理由，现在我举出第二个理由，就是有些问题，这个样本空间它本身就是 时数级，所以引入随机变量的话呢，那么对于我们所关心的那些随机事件的描述就会变得更加简洁，或者简，简洁和准确 啊。比如说血糖值啊，血糖值问题，那么现在我们的文明，现在这是生活，这个大家的营养程度提高了，但是随之而来的一种文明病就是糖尿病啊什么的，是吧？血糖偏高，这都是对身体有害的。那么现在我们知道 在医学上说这空腹血糖如果高于这个六点一，高于六点一 这个值啊，这个是每每升啊，怎么每每升里边多少毫？这个单位是就是高于这个六点一 的，这样一个就称为高血糖。好，那么我们现在随机的抽取一个人检测 这个结果呢？这个因为随机的抽取一个人，有可能你并不，你并不事先知道他的血糖是多少的，是吧？那么有可能这个人是高血糖，有个人有可能是低血糖，那么我们所以说这种试验是一个随机试验，对不对？ 这个实验是随机实验的话，现在我就要问结果，就什么事件呢？这个事件 a， 这个事件 a 是 什么呢？就是叫做高血糖这个事件发生了， 那么我们讲高血糖这个事件发生这个事情，我们都是用一用一堆这个中文来描述的，是吧？用中文描述的，像这样一个事情，我们可不可以描述的更加简单呢，更加简洁呢？或者是更加赋予数学容易用数学的方式进行处理呢？ 我们可以这种情况下，我可以定义一个什么呢？就是这个随机变量 x x s， 注意啊，这个 s 是 什么呢？ s 就是 我们测的血糖血糖值，我就让这个 x s 就 等于 s， 就 这个随机变量的值就是这个血糖的值。这样的话， 这样的话，那么高血糖的这个事情我们就可以怎么来描述呢？就可以这样的描述，就是这样一个东西，它是一个 这个事件是 a， a 是 由这样一些样本点组成，什么样本点呢？它的这个血糖值大于等于六点一零的话，就是这样一个啊，就这样一个值。 好，你看现在我们就用这么一个简单的式子，就代替了原来的这个事件式高血糖这些中文字，那么不但是写书写的时候简单了，而且也便于我们今后带到一个算式里边进行运算。 那么这个是指，大家注意啊，我们有更加简单的证的记法，就简单的记成 x 大 于等于六点一零这样一个东西。注意啊，这个记号大家一定要看习惯， 这个记号是今后我们后面以后的这个随机变量中间我们经常要用的啊，今后要经常用的 这个写它就是值，就简单的就写成 x 大 于等于六点一零。我们再重复一遍，这是什么意思呢？就是这是这样一个样本点的集合，这些样本点 满足什么条件呢？满足这个 x 在 这个随机变量在这些样本点上面的值是大于等于六点一零的。 你看现在我们高血糖这样一个事件，就简单的用这样一个式子来表达了 啊，这是我们的在的第二个理由。那么当然还有一些啊，还可以有，还可以举出一些理由，比如说有些问题它的背景不同，但是它的数学本质完全一样，引入随机变量的话，就可以在更抽象的 一般的层次上进行研究。那比如说我们前面的设计的设计评估的这个问题， 我们就讲设计评估的问题，中间就是说打了 n 枪啊，我们那个问题就是打了五枪，中了几枪，是吧？那可以用用于什么类似的这样的随机变量的这个研究？那包括比如说 试验中间成功的次数啊，比如说试验 n 次，成功了几次啊？这个成功的次数啊，是吧？产品中合格品的件数啊，是吧？啊？比如说一共有 n 件产品啊，其中合格品有多少啊？啊， 比如说治病的，治病的人中间治愈治愈的那个人数啊，等等等等这一类的问题。 由此可见，引入这个随机变量对于我们研究随机现象是有很多的好处的。好，那么现在我们可以正式的给出随机变量的定义，其实非常简单，称一个映色 成一个什么映色呢？从这个样本空间 s 到时速空间上面的一个映色，我们就叫它是一个随机变量，称为是一个随机变量，当然我这里给个括号叫做可测映色，这是严格的数学表述，是叫做可测映色， 是吧？那我们就，呃粗略的讲，我们就讲是一个映射，这个地方呢？可测呢？它这个这个中间的这个数学含义和相关理论涉及到比较多的 这个数学理论，深入的数学理论，我们这就不不做介绍了，那么它的它的作用是什么呢？作用就是它能够保证啊，由 x 刻画的这些纸质， 你比如说 x 大 x 小 于等于小 x 大 x 啊，大于某个 x， 大 x 等于某个 x 啊等等等等，保证这样一些集它都是随机事件，它都是随机事件。 这里我们我还有必要再强调一下啊，像这个 x 大 x 小 于等于小 x， 这个记号是什么意思啊？就是说 这是什么意思啊？这是样本空间大 s 中间的一个子集，它由那样一些小 s 的 点组成，什么样一些小 s 点呢？就是 x 小， 在小 s 这些点的值都小于等于这个固定的，原来给定的这个小 x 是指这样一个意思，那么随机变量就是有了这个随机变量，你看我们很多事件都可以用这个随机变量来刻画它，随机变量来刻画它。 好，那么我们就要问了，随机变量是一个映射， 那么我们也学过实函数，实函数你也可以看成是从实数空间到实数的一个映色，那么随机变量呢？ 你也可以看，从从映色的来讲，在这一点本质上跟函数呢也是一样的，只是它的定义域是定义在样本空间 s 上面，它的值域当然也是到实数空间的。 那么我们对于这个随机变量，我们最关心的是什么呢？我们感兴趣的是，问题是什么呢？我们回忆一下，我们平常我们学高等数学的时候， 学高等数学的时候啊，就是学习区间上面的这个定义的函数小 f x， 那 么关心什么呢？这个小 f x 是 否是连续的呀？是否是可微的呀？等等等等。随机变量显然不能去研究这些东西。 为什么？因为样本空间上面你根本没法定义。实时运算都没法定义，是吧？在样本空间，这样本空间有可能是，当然有的时候样本空间是实数，但是有些样本空间，你像我刚才前面讲的，是吧？那个 设计问题那样，般空间就是一些中中中或者不中，不中不中，就这样一些东西，你根本没法去定义。实时运算，那也没法定义什么。呃，这个连续性啊，可维性啊，你都没法定义，是不是？ 那么我们对于随机变量所关心的是什么呢？关心的就是它这个 x 的 取值所体现出来的统计规律。 哎，什么是统计规律呢？具体来说就是对于这些事件， u x 描述的这些事件，这个这些事件啊，用用 x 刻画的这些事件，它的概率到底是多少？ 它的概率是多少？我们所关心的是这样一个事情。好，为了研究这个东西， 那也就是说我们如果说要用记号来写的话，就是我们要关心的是什么呢？就是类似于这些东西的概率， p x 小 于等于 x， 是 吧？ p x 大 于 x 这些东西的概率等等等等，就是这些东西的概率是多少？我们关心的是这样一些事情， 关于这，关心这样一些事情，那么为了研究这个概，这些概率，但是我们说这种它刻画的这个集合有各种各样的呀，是吧？ 像我这最小于等于这大于，呃，大于它大于 x， 这个呢？还有大于 x 一， 小于等于 x 二，你还可以举出很多喽，是吧？还可以是这些集合的病啊，或者是其他的，以其他的形式等等等等， 是吧？像这么多种种的这些东西，我们能不能用一个最基本的东西，就是最基本的一个集合的概率来描述它呢？ 我们说有，我们注意到这样一个事情，像我们这个这个集合啊，你看是不是有这些关系？ 你看如果是说像这个 x 大 于等于 x， 那 就可以看成是 x 小 于等于 x， 就 可以看成是 x 小 于等于 x 的 余集，是不是？而这个呢？ x 在 x 一 到 x 二之间，大于 x 一， 小于等于 x 二，就可以看成是两个这样的 x 小 于等于 x 二，减掉这个集合， x 小 于等于 x 一。 哎，我们发现，实际上在种种用由这个 x 所刻画的事件中，种种的由 x 刻画的事件中，这个 x 小 于等于 x， 这是一个最基本的事件，这是一个最基本的事件 啊。当我们实际上深入的用深入的理论，我们就知道，实际上 不但是这样一些事情，更复杂的，更复杂的一些集合，我们都可以用它的这个多次的运算，有限次运算，以及用这些集合的极限状态来表示，总之这个东西是一个最基本的事件， x 小 于等于 x 是 个最基本事件。所以呢，我们就只需要研究这样一个形容 x 小 于等于 x 的 这样一个集合，这种集合，这种事，这种这种事件出现的概率 啊，研究这样的事件的概率，好，这个就比较好了，因为像这种集，这个集合啊，像这个集合，它只有， 它只涉及到一个固定的小 x， 涉及到一个固定的小 x， 是 吧？它只跟它有关。这样的话，我们都有一个随机变量 x， 我 就可以定义这样一个函数。一个什么函数呢？对于任意的一个时数，我定义一个 f x f 时数小 x， 我 定义一个 f x f 小 x， 它是什么呢？它是这样一个集合。什么这样一个事件，什么集事件呢？就是随机变量大 x 小 于等于这个小 x 的 这样一个事件，这个事件的概率我就称为是 x 的 分布函数 啊。因为是 distribution 放型，所以我们有个时候也简写为 df， 我 们看这个 f x 这个定义定义以后，我们就要知道啊，他有他的，他和随机变量不同，是吧？分布函数是定义在实数 r 上的，普通的实函数的。 哎，你说这不是随机变量吗？我们仔细看一下啊，这是随机变量对不对？ 这个是随机变量，但是这个随机变量取了概率以后，就变成了一个时数了，是不是？所以而这个的小 x 是 固定的时数，所以它的这个变量，它的质变量也是时数，最后它的取值也是时数，所以分布函数 它已经是定义在 r 上面的，普通的实函数跟随机变量不同了。随机变量？什么随机变量？虽然虽然它也是一个实实值的映射，或者你也可以说它是一个实值的函数，但这个函数的定义域，它是在什么地方呢？ 是在样本空间上面的，而不是我们通常讲的实函数是在定义在实数上面的，但分布函数不一样，分布函数它是定义在这个实数 x 上面的，定在实实数 r 上面的，这是第一个要注意点的。 那么分布函数是什么意义呢？如果我们你看随机变量 s x s， 我可以把它有一个观点，随机变量 x x s， 是 吧？我可以看成是什么呢？看成样本点 s 在 这个时速上面的坐标 啊，因为这个 s 有 的时候这个点啊，可能是抽象集合的，也可能是完全根本跟实数没有关系的，就像我前面讲的那个那个设计，是吧？是打中没打中，打中没打中是这样些东西。那么这些点我给他定义他的坐标， 用什么来定义呢？就用 x， 用它的随机变量来定义它的坐标，这个作这个东西呢，就可以看成是这个随机变量，就可以看成是这个样本点在时数轴上面的坐标， 在时数轴的坐标，那么 f x 就 可以看成是这个座，这些坐标落在从富无穷一直到 x 这一点，包括这一点，就这样一个半 b 区间中间的概率是多少？ f x 的 含义。就这样，我们现在有了 f x 以后，我们又发现我们要表达前面的那些用由 x 刻画的随机变量，这些集合 刻画的这些随机变量，这些事件就比较方便了。有啊，这个，呃，有，呃。利用分布函数，我们就可以表示许多由 x 刻画的这些随机事件的概率，用它来表达就比较方便， 比如说我们看看用 x 的 分布率来表达下面事件的概率，一个是 x 大 于 a， 这个事件你怎么表达？ 我们说了 x 大 于 a， 是 是哪个事件的余集呢？第二个是 x 大 于 a， 小 于等于 b 啊，我们来看看这个题，是吧？对于 a， x 大 于 a， 我 们要算的是这个 x 大 于 a 的 概率，是不是？但是 x 大 于 a 的 这个概率啊？它可以看成是什么呢？ 可以，它可以看成是 x 在 整个实数上取值减掉 x 再小于等于 a， 这这个这个集合是不是？那么这个集合是这个集合的真值集，所以这个概率， 这个事件的概率，这个事件的概率就等于整整个这个事情的概率来减掉这个东西的概率，是吧？减掉它的概率，那么这个概率刚好是一， 而这边这个概率是什么呢？右边的这个东西的概率是什么呢？就是我们前面啊已经 定义过的，那就是 a， 就是 分布函数 f 在 a 这一点的值，那就这个就是 e 减 fa， 是 吧？ e 减 fa， 好， 再看我们这个，你看这个是什么呢？先看这个集合， x 小 于等于 b， x 大 于 a 并小于等于 b， 并且小于等于 b 这样一个集合，这样一个事件， 它应该等于什么呢？就是这样一个事件，它本身应该等于 x 小 于等于 b 这个事件，减掉 x 小 于等于 a 这个事件，是吧？但是因为这个事情， 这个 x 小 于等于 a 是 比它小的，是吧？ a 是 比它小的，所以这个事件是这个事件的一个一个真值级。所以要取概率的话呢，那就可以把它的就直接这两个概率相减， 那就是变成了这个东西的概率，减掉这个东西的概率，减掉这个东西的概率。而这个东西的概率呢？根据我们的分布函数定义，它刚好就是什么呢？就是 f a f b， 后面这个东西的概率呢？就刚好是 f a， 是 吧？再看一个例子， 收入分布啊，根据有关我们的那个研究资料表明，我国二零一二年家庭人均收入如底下这个表啊， 这个表是什么呢？这个是收入的情况，单位是千元、一千元、两千元，这是四点，这个等等等等，是吧？那这这个是三万四千多， 然后下面这一排字是什么呢？就是收入低于 x 的 家庭比例， 是吧？收入低于这个 x 这个数字的这个比例，那么在实际问题中，这个比例我们通常就是说也可以理解成一个概率，可以理解成概率，那这就说什么意思呢？ 这个表给出了什么东西呢？就是如果我们随机的抽取一个家庭，我们看他的人均收入， 这个人均收入如果我们记成 x 的 话，是吧？那么我们要看看，如果他他收入不超过，根据我们这个表，他收入低于，实际上不超过多少呢？不超过一的 这样一个比例是多少呢？按照我们这个表上看可以看得出来吧？不低于一的话啊，低于一的这个比例是零点零五， 是零点零五，那么这个比例，我们说在实际问题中，这个比例这个东西比例实际上就理解，那就实际上是理解为这个东西，实际上会理解这个东西是不是。那么就这样在这一组数据数字，就是说如果我们给出了这个 x 的 假如它的这个分布函数 为大 f x 的 话，那也就是我这张表给出了这个分布函数在这几个点的值，在在若干的在这些点的值，是不是在在这些点的值？好， 那就是这个啊，家庭的人就说 f 为的分布函数，现在呢，我们就是要用这个分布函数来表示下列事件的概率。 第一个呢，就是他的这个家庭人均收入小于一千，小于等于一千元。 第二个呢是家庭人均收入啊，三万三万四千三百块钱啊。第三个他的家庭人人均收入是在大于两千块钱，小于等于两万五千 八百块钱。就这些事件的概率，我们能不能够用分布函数来表达呢？那根据前面我们知道像这样一个事，这个事件的概率就是分布函数定义是不是，所以它就是 f 一， 它就是 f 一， f 一 等于多少？哎，查到刚好查我们这个表是零点零五，是吧？像这样一个概率呢，就是我们前面已经算过的，是吧？前面前面那个例子算过的，那就是一减去，一减去 f 啊，一减去 f 三十四点三，那么三十四点三是多少呢？我们可以查一下，它是零点九五，所以呢，这个是一减去零点九五，等于也是等于零点零五，就是收入大于它的百分之五， 这个呢也是百分之五，是吧？那么再算一下这个呢， 这个就是在这两个之间，前面我们已经讲过了，是吧？讲这个事情的表达，它可以用 f b 减 fa， 在 这里呢， b 就是 二十五点八，减 fa 就是 二啊，这个呢刚好是零点九减零零，零点一等于 零点八，也就是说收入在这两个两者之间的这样的概率是多少呢？是零点八。 好，那么我们现在进一步的讨论一下，看了这几个例子，我们对分布函数以及用分布函数来表达事件的概率已经有了初步的印象，那么我们进一步来讨论，这个 f x 作为一个实质函数，它有一些什么性质呢？ 他有些什么基本性质？第一条他是单调不减的函数啊，我们知道这个一个这个一一元 一元函数，是吧？它是单调不减，它意思是什么？大家高等数学中间学过，就是如果是说 x 一 小于 x 二的话，那么应该有什么呢？应该有这个 f 应该这个如果 x 一 是小于 x 二，应该有什么呢？应该有这个 f x 一 要小于等于 f x 二，是不是应该有这样的事情啊？是吧？ 那这个事情其实是非常容易的，我们就啊，你看 x f x 一， 就这个事件的概率刚好就是 f x 一， 这个事件的概率刚好是 f x 二，是吧？ f x 二，所以 这个事件是是包含在这个事件中间的，所以利用它的单调性，利用它的单调性，我们就马上知道了，是吧？ 马上知道这个咱们这个数字成立啊，这个数字成立。第二个呢，就是 f x， 当这个 x 趋于负无穷的时候，当 x 趋于负无穷的时候， f x 是 趋于零的， 那么这个极限符号，这个记号我们以后用一个简单的记号，就是 f 无穷，是吧？ f 无穷，这个不是说因为无穷这一点是没有定义的，但是呢，我们借用这个记号表达这样一个极限的事实，就是 f 无穷等于零， 另外呢就是 f 无穷等于零， f 无穷等于一， 那么这个是从直观上来讲是很好理解的，因为为什么呢？ f x， 它既然是大 x 小 于等于 x 的 这个概率 小一点， x 概率，我们想象当这个小 x 往这个负无穷跑的时候，那这个集合应该是个空集了，是吧？应该是空集，而这个大 x 往正无穷跑的时候，那么这个集合就应该是从负无穷到正无穷，就就充满了整个时数了，所以它应该是一是吧？ 但是我们，呃，我们下面啊，我们还还是可以，我们可以严格的来证明这个事情。那么第三个性质是什么呢？就是这个 f， 这个分布函数 f x 是 个又连续的函数， 又连续的函数，也就说这个 f x 啊，是等于 x 的 右极限，这个右极限我们写成 x 加零，这意思是什么呢？就是 这个 f y 啊，从大于 x 的 地方向 x 取进，从大于 x 向它取进，那么就是这三条性质，这是这个 含这个啊，分布函数的这个最基本的性质，最基本性质啊，进一步其实我们也可以知道，如果有一个含那个时 直线上的这个十字函数满足这三条性质的话，我们也可以造出一个随机变量，刚好以它为分布函数，刚好以它为分布函数，所以这几个性质是分布函数比较本质的性质。那么下面我们再看一个例题 啊，再我们再下面我们啊再考虑这样一个问题， 如果假如说我们这个分布函数改成原来我们的分布函数定义是 x 小 于等于 x， 是 吧？现在我如果改成小于 x 呢？这个情况会怎么样呢？这个大家去思考一下，那么这个呢？ 呃，我们提示一下，就是说这样定义出来的，也有些书上也是这样定义的，那么这样定义的出来的这个分布函数的性质， 其他的都还一样，他的那个，但是第三条性质他就不是右连续的，是左连续的啊， 这个啊，所以有些如果我们看到有些参考书上他说他是左连续的，但不要奇怪，那你就仔细看看他的分布函数怎么定义的，但现在我们目前通用的教材大部分都采用。是啊，现在的这个分布函数定义他一定是右连续的。 另外呢，我们再看看，我们再来看看现在进一步看看这样一个问题，就是第一个就是 f 等于 a， 这一点，它的概率是多少？还有像这个 我们前面算过， x 大 于 a， 小 于等于 b 这样一个事情，这个概率是吧？用分布函数表达，我们表达过，现在这里的不同的是这里加了个等号，这个时候怎么样用分布函数来表达这些事情的概率呢？ 好，我们来看一下， 因为这个事情啊， x 等于 a 这样一个事情，是不是？我是不是可以看成这样一个事情的一个极限 x， 请大家看一下这个式子是吧？那 x 等于 a， 我 可以看成什么呢？先试的这个 a， 这是这一点是 a， 这个这个地方取一个很小的区间，先考虑这一段东西的，先考虑这个东西的概率，是不是啊？这个东西的概率，这个事情概率，然后我让这个 n 呐 减去一分之一，是吧？然后这个 n 区无穷的时候，这个区间是不是越来越短，越来越短，最后就说到 a 这一点了吗？是吧？好，那么这个是什么呢？这个刚好就是这个事情刚好是多少呢？我们前面算过的 这个就是这一点的值。 f a 减去 f a 减去 n 分 之一， f a 减去 n 的 n 分 之一。 好，那么我们把这个极限取进去，是吧？对于这，对于这一点来讲都没有什么极限问题。对于这一点来说，这个 n 趋无穷的时候，是不是这个是趋于 a 的？ 是不是 这个 a 减去？当 n 趋无穷的时候， a 减去 n 分， n 分 之一是趋于 a 的，是吧？趋于 a 的 去 a 的， 那它就等于 fa 喽。哎，这可不能这样认为啊，我从来没有讲过这是个连续函数啊，我只只它趋于 a， 并不见得这个函数要趋于 a， 是 不是？ 你要注意啊，这个不是连续函数，你要看它的区域方式是什么？它是从大于的方向区域的，还是从小于的方向区域的？ 他是从小鱼的方向区域的，是不是小鱼的方向区域的？我没有说过他是连续的，那么我们但是有一点，他既然是单调函数的话，他一定有什么？ 他一定有极限，是不是这个函数一定有极限，所以这边这个呢，是他的左极限， 那么我们就可以写成 f a 减去 f a 减零。哎，就这样一个式。好，那么这样的话呢？就我们就得到了这个式子， 它就是这样一个式子，是吧？好，有了这一点以后，那么 b 这个事情就好算了，它无非就是相当于什么呢？ 这个事情就很好算了， 这个事情的概率，那就等于什么？等于 p 在 并上 a 这一点，在并上 a 这一点， 是吧？好，这个事情是什么呢？ 这个事情是原来我们算过的，是 f b 减去 fa， 是 吧？这个是我们前面已经算过的，前面已经算过的，后面这个呢？就是刚才算的，那又加上因为这两个事件肯定是互斥的，又要加上 fa 减去 fa 减零， 所以这个结果就把这两个一抵掉，就是 f b 减去 f a 减零，是吧？ f b 减去 f a 减零，就是我们这个课间上这个东西，这就是最后的结果，就是 f b 减去 f a 减零， f b 减去 f。 好，最后我们再来看一下啊，污染物体问题，我们在呃第三讲的时候，其曾经举到这个例子，那么我们知道 空气中间这个 pm 二点五， pm 二点五 这个指标现在越来越受到大家的重视了，因为我们关心我们的身体的健康，一般的话这些值是在零到一百二十点四，这个单位是每平方米为微克啊之间， 那么根据这个有关的这个相关标准啊，这个含量如果在一百点五以上，那就对人体有害。 好，我们现在假设什么呢？这个 pm 二点五的值在任何一个什么呢？就是在它，它是在这个区间中间分布，在零到一百二十点四中间取值。 这个当然是个理想的模，是个假设的模型，是吧？不，不是说这个 pm 这个值就不可能超过这个，但是我们在建立模型的时候，我们就假设 这个 pm 的 值就是在这个中间取值，在这个中间取值，这就意味着什么呢？就不，不会有比一百二十点四更大的地方的值了，是吧？不会有这些值了。 好，如果是这样的话，我们假设在任何一个，而且假设在任何一个小区间中，这个 a b 中间， 这个这个它的值啊，在这个任何一个小区间中间取值的这个概率跟这个小区间的长度 b 减 a 成正比，按照我们前面说的就是，就是等可能的啊，等可能的， 那么以后我们也要会谈到，我们在在讲到具体的这个密度函数的时候，我们要也要谈到像这种情况呢，我们叫它均匀分布。 那么现在呢，我们就给出这样一个概念，就是说它在这个在这个取值范围中间随便一个小区间取值的这个概率与这个区间 b 减 s 成正比的。 好，那么现在我就要你，我们要随机的抽取抽检这个空气的质量，是吧？我要求这个 pm 二点五值这个 x 的 分布函数，把这个图做出来， 再求什么呢？再另外要求空气质量正常的概率。空气质量正常正，呃，空气质量正常的概率是什么？正常是指它在这个以上为有害， 那么正常的话呢？就是说要在这个以下，是吧？应该要在这个以下，在一百点五以下。好，怎么来做呢？ 好，现在我们要来求这个问题的，做这个问题的分布函数， 求它的分布函数，并且作图。先我们来做一下，那么它的分布函数是什么呢？分布函数当然是 f x， 那 么按照定义它应该是 p x 小 于等于 x 这样一个事情，是吧？那么这个事情等于多少呢？我们看一下分几个，分几种情况。第一个情况，如果 x 本身是小于零的， 我们知道这个 x 大， x 是 pm 二点五值， pm 的 二点五的值，它不，它取值是在零到一百二十点四之间，所以在小于零的地方它是不取值的，既然不取值的话，那么 x 小 于等于这个 这个小 x 的 这个概率肯定当然是零，是不是？好，那么就是零，我们这个呢，就是 x 是 小于 小于零的。好，现在我们再来讨论。 x 从零到这个一百二十点四，在这个区间中间， 在这个区间中间它是取值的，那么它应该等于多少呢？我把这个式子先写成这样一个式， x 小于等于零，在并上零 x 小 于等于 x 这样一个事情，这个事情的概率， 这个事情概率，那么这两个集合当然它是互斥的，是吧？这两个集合是互斥的，所以说呢，它就这个这个集合刚好是什么呢？这个集合我们已经算了，它是它的概率是零，是吧？它的概率零，那么剩下就是这个东西， 这个东西，那么这个东西它如果这个小 x， 如果我们限制在零到一一百二十点四之间的话，那么也就说 x 在 零到一百二十点四之间的话，那么也就说 x 在 零到 x 这个小区间中轴的取值， 是不是零到这个 x 小 小区径取值，我们所要跟这个长度成正比，那也就是说它等于一个 k， x， 这是 x 什么呢？ x 是 大于零，小于 大于等于零，小于一百二十点四，小于一百一百二十点四，这个因为只是成正比，我也不知道它等于多少，我就展示放在这里吧，展示放在这里，是吧？好，然后我们再来看看，当这个 x 大 于大于 大于一百二十点四的时候，那它是什么呢？那我又把它写成两段， 大于一百等于四时候，一个是 x 小 于等于一百二十点四，这是一段，是吧？这是一段，然后还有一段呢？是 一百二十点四， x 小 于等于 x， 好，这个事情的概率，这个事情的概率。好了，我们再看看这里， 这个 x 在 大于一百二十点四到小于 x 之间，按照我们这个题目，它这个取值是取不取值的，是不取值的，对不对？它不取值的，所以这一段的概率应该是多少啊？ 是零，是吧？这两个事件也是互斥的，那我把概率取到这里来，这里是零，那就只剩下这个概率了，只剩下这个概率，这个概率是多少呢？它就是等于 f 一 百二十点四，它是个常数，这是对于什么？这个 x 大 于一百二十， 大于等于一百二十点四，它都是等于这个东西，都是等于这个东西。但我们知道，那我让 x 趋无穷的话， 它是应该是多少啊？根据单调，根据这个咱们的这个前前面讲过的分布函数的性质，它趋无穷时，它应该等于一的，这个地方是应该等于一的， 是不是啊？等于一的，那么从这个式子我们又可以马上解出来了，是吧？因为在特别的，在，在这里呢，我们就可以解除。好特别的，我们取一百二十点四，这个这个点的这个这个值带到这里来，就可以看出来， 这个点的值就是什么？ 就是 k 乘上一百二十点四，就是 k 乘上一百二十点四，这样的话，这个 k 我 们，我们我们就把它算出来了， 最后算出来就是一百二十点四点一，是吧？就把它算出来，所以呢整个的这个分布函数，最后我们就可以 整个的这个分布函数啊，这个分布函数在这个区间就是一百二十点，一百二十点四分之 x 在 这个零到， 呃，在零到一百二十点四之间，它就是这样一个表达，在小于等于零的时候呢，它就是零，在大于一百二十点四的时候呢，它是 f x 这样一个分段表达，是吧？得到这样一个分段表达，那么最后的图画出来呢？就是这样一个样子。 好，我们如果说要算这个空气正质量正常的概率是多少呢？那就是 f 小 于等于 啊，一百点五，是吧？一百点五的概率就是要算这个事情，这个一百点五的概率一算下来的话， 那就这个把它带到这个分布函数这个式子里面去，它应该等于大概是零点八三四七，零点八三四七。 好，那么这里这样的话呢，我们就把这个问题就就全部解决了。

这节课我们一起来学习求实验样本空间的三种方法。首先我们来看第一种方法，利用列举法求样本空间的思路。 所谓列举法，我们又称为穷举法，把满足条件的所有基本事件呢逐一列出来，然后计数的方法，把它列出来以后呢，我们数一下就行了，但是在做列举法的时候要注意三点。第一点呢，试验或随机事件是否与顺序有关？我们之前讲过一个题目，一家呢有两个小孩， 那么一个男孩一个女孩，那么他的基本事件有几个呢？要注意男孩女孩有大有小，所以他的可能性呢？两个都是男孩，或者呢，两个都是女孩， 或者呢，一个男孩一个女孩，但是有可能男孩比较大，有可能女孩比较大，所以男女女男是不一样的，这个呢， 它与顺序有关。第二点呢，我们在做任何列句法的题目的时候，要注意，不重也不漏。第三个，它是适用于样本，点个数呢，比较少的情形，要比点个数比较少，比如像这种情况，我们直接把它列出来就行了。接下来我们做一个练习题，来看一下 有红黄、蓝三种颜色的旗帜呢，各三面，在每种颜色的三面旗帜上分别标上号码，一、二、三，现取三面，任取的三面事件，三面旗帜的颜色与号码均不相同， 比如说红色如果取一，那么黄蓝就不能取一，只能取二。如果红色取一，黄色取二呢？蓝色一二都不能取，只能取三。这就是所谓的三面旗帜的 颜色和号码均不相同，所包含的基本事件的个数呢？有多少个？那么这个题该怎么来做呢？我们看一下题目给出的是有红色，有黄色，还有蓝色 三种颜色的旗帜，三种颜色的旗帜呢，各有三面，各有三面，而且在每一面的旗帜上呢，都标上一二、三，红色的旗呢，有三面，我们把它标出来， 而且呢，每面旗帜上都标了一二三，黄色呢，黄色也是有三面旗，而且每面旗帜上也标了号码是一、二、三，蓝色也是有三面旗，我们把它画出来， 一、二、三，现在我们任意从三个里边呢，取了三面，任取三面， 说明与顺序是没有关系的，不需要考虑顺序事件。三面旗帜的颜色与号码均不相同，那么颜色不同，说明红、黄、蓝各取一面，号码不同呢，说明一、二、三各取一面， 他所包含的事件的个数，我们把它列出来就行了。红，如果取一，黄呢取二，蓝呢只能取三，那么这个我们把它列出来就是一、二、三，一，红， 二黄三蓝。好，红，黄蓝我们写在上边。第二种情况呢，如果红色还是取一，黄色色 取三，那么蓝色只能取二，那么如果红色取一，黄色呢取三，那么蓝色只能取二。 好，第一，红色这种方法都取完了，一的情况，那么红色为二呢？红色取二，黄色取一，那么蓝色只能取三，所以是二、一、三。红色如果取二，黄色如果取三，那么蓝色只能取一，那么会有二、三，一。 好。在红色取三的情况下，红色取三，那么黄蓝呢，只能取一和二，红色取三，黄色取一，那么蓝色取二，三，一、二， 把黄蓝翻过来，红色取三，黄色取二，蓝色呢只能取一，那么总共呢，有一二三四五六六种，把它列出来以后呢？一红二黄三蓝和他方法是一样的，一把它列出来数一下，先 一列出来，然后计数计数，把它数一下，一二三四五六，总共是有六个这样的基本时间，这是有关利用列举法求解样本空间的思路。

hey， 各位宝爸宝妈们注意啦！今天是中医药育屏风颗粒通过 rct 随机对照试验的第十一期分享。 咱们要聊的这项研究，可是发表在 jc 二 q 二区的国际儿科权威刊 frontiers in pediatricians 上的，含金量直接拉满家有娃的都懂，孩子三天两头感冒咳嗽，跑医院都跑烦了吧？这种反复忽视到感染，在五岁以下娃里特别常见， 发病率最高能到百分之十八点七。不仅娃遭罪，咱们家长也跟着心力交瘁。之前西医常用的调节剂，要么效果一般，要么价格太贵，实在不划 算。而咱们的经典中药库方玉屏风颗粒，虽然临床一直在用，但缺了统一的科学政治撑腰，重点来了，数据说话才够劲！用玉屏风颗粒辅助治疗中医辨症为备品 气虚背表和固证反复呼吸道感染的麻，临床总有效率对照高血压大结。这里有个关键数据， p 值。这次研究的 p 值小于零 一，远低于零点零一点五的条件，说明这个效果可不是瞎蒙的，是实打实的科学。还有个百分之九十五执行区间，意思就是咱们有百分之 的把握这个疗效，结论是靠谱的。更惊喜的是，吃了绿屏风颗粒的娃，体内的免疫球蛋白、 iga、 igg 都明显 升高，这可是咱们身体里的免疫小兵。小兵变多变强，娃的抵抗力自然就上去了。同时，那些搞破坏的炎症因子也 会降下来了，炎症消了，感染自然就少了。说到底，这就是咱们中医药走出国门，用国际公认的科学方法证明自己最好的，以后再有人说中药不科学，就把这份研究甩给他。

哇，今天是中医针灸通过随机对照试验第十三期，稍微介绍下这项研究发表在 complementary therapies in clinical practice 刊刊二零二二年 jc 二分区在 integrative and complementary medicine 学科是 q 二区， 权威性妥妥在线。现在身边又胖又有血糖困扰的朋友越来越多，常规调理要么控不住血糖，要么减不了重，偶尔还会有不舒服的副作用，真的太让人头疼了。很多人知道针灸能调理身体，但一直好奇这效果到底有没有科学依据。 这项覆盖九百九十三位患者的研究，直接给出了实打实的答案。针灸组症状缓解的概率比对照组高百分之十九，这个结果的靠谱程度几乎接近百分之一百。对应屁，小于零一，只有万分之一的可能是偶然， 而且有百分之九十五的把握确定缓解概率提升幅度在百分之十一到百分之二十八之间，度差特别小。体重指数平均降了二点一，相当于实实在在瘦了一圈，这个结果靠谱的。俗话说， p 小 于零 一，同样只有万分之一的可能是偶然，百分之九十五的情况下，体重指数会降约一点一，靠谱程度同样接近百分之一百。 p 小 于零 一，还是只有万分之一的可能是偶然，百分之九十五的把握确定降伏在零点五九到一点六零之间，糖化血红蛋白平均少了零 点六，这对长期控糖太关键了。靠谱程度超过百分之九十九点八，只有千分之二的可能是偶然，百分之九十五的情况下会降零点二零到零点九五，还有甘油、三脂、腰围体脂率也都明显下降。这些结果的靠谱程度都超过百分之九十九，屁值均小于 一，完全不是巧合。其实原理很简单，针灸刺激中阪、中三里这些常见穴位能帮助抑制多余食欲，还能改善身体对胰岛素的敏感性，让身 体更好的代谢糖分和脂肪，既控糖又健壮，一举两得。传统中医遇上现代科学验证，这样的调理方式真的太香了！本视频所有内容均由文献推荐，不提供诊疗建议。