扬州一模数学第五题怎么做

这道题呢，大家在网上一定是找不到答案的，是我自己编攒的一道题，它的内容呢还是很契合咱们现在考试的内容的。第一个呢是手拉手模型，第二个呢是三锤模型，我们只要把这两个常用的模型给它给用好，那这道题我们做起来相对来说就会比较舒服。 我们来看一下，第一题对他来说应该是没有什么压力的啊，我们在这边可以根据他给的这样的一个等角的信息呢，去设参 a、 b 等于角 e、 c、 b， 对吧？这两个角是阿尔法，这两个角是阿尔法之后，各位这个角我们就知道了，这个角应该是我们所说的是四十五度，对吧？因为什么呢？因为这个是 d、 b 旋转九十度得到这个 b、 e 啊，然后呢它还共线，那所以我们就知道这个角呢，它应该就是四十五度，减去一个阿尔法， 到此我们会发现这个大的呢，它也是四十五度，所以上面这个小角呢，应该就是阿尔法，这样的话呢，我们就能得到 a、 e 和 b、 d 是 平行的了。 好在第二遍的时候呢，咱们在这里边又涉及到了一个平行的一个状态，教的是 f， 我 们把这个图呢先给他画出来，这里边大家需要注意一点， 注意什么呢？就是平行状态，他是特殊的状态，特殊状态出特殊点，所以我们在这里边这个 f 点呢，你一定要留意一下，你看看他是特殊在哪，像不像钟点呀？就特殊状态出特 点，这一点大家一定要弄清楚，对吧？所以你看这道题，这个 f 呢，它确实是一个特殊点。好，如果你做这道题，你没有什么思路，那怎么办？我们现在呢思路没有了，我现在想去解决这道题，我应该先想什么呢？ 按照我们的考试，中考考试的内容走，考试考什么？考手拉手，那我们就去想什么，想手拉手有没有呢？还真有，在哪呢？大家看一下，你这个 d、 b， e， 这是一个等腰直角三角形，它的 顶角点是我们所说的 b， 按照我们所说的，你要是想勾到手拉手，应该是在 b 处还有一个等腰值，这 b 处的另外一个等腰值在哪？你说老师是 a、 c， b， 那 不对，因为你要把 b 变成顶角才行，对吧？那这样的话，咱们思路就比较清晰了，可以干嘛呢？咱们可以倍长 a、 c， 这是一个呃，等腰值，咱们倍长了一条直角边之后呢，它依旧是一个等腰值，对吧？然后你连接啊，这个点假设是 m 连接这个 d m， 所以 你能立马的得到三角形 a， e， d 全等于三角形， 嗯， m d， b 这两个权等，这个权等呢是非常非常好中的 s a s， 为什么我们来看一下，首先呢，是这样的，你这条边和这条边是相等的， 其次呢，这一条边和这条边是相等的，对吧？那我们现在知道的是，这个角是假角，是九十度，这个假角也是九十度，我们呢就可以假设这边是角一，中间这是角二，这边呢，这是角三，所以角一加角二是九十度，角二加角三也是九十度，所以角呃，一等于角三，对吧？这两个手拉手全等，我们把它给简单的划一下啊，用红色的笔在这 这样的一个全懂的状态，好，大家注意了，你的全懂的目的是干嘛？是导边导角找状态对吗？那这个时候有哪些呢？注意了，题目中有俩平行，你这条边和这条边平行，这个角是九十度，对不对？所以说这个角它是不是也九十度，进而我们得到这个角是不是就九十度了？ 你这个角在第一问写的是个阿尔法，所以说这个角它是不是也是阿尔法了啊？我们把这个角呢给他给标上去了，标上去之后，接下来可以怎么着呢？大家看一下啊，不会，那就要导角集中，就是这样，一定是角度隐藏的更加的 深，对吧？你会发现这个角是九十度，这个角是四十五度，减去一个阿尔法。所以各位这边这个角我用黑色的笔写一下，这边这个角应该是一百三十五度，减去一个阿尔法，因为他俩平行，所以说这个角是不是应该是四十五度加阿尔法，那这样的话，这个角是不是就四十五度？进而这个角是不是就四十五度减去一个阿尔法， 你会发现这个大的是不是也是四十五度？那这个时候下面这个小的是不是也是四十五度减 r， 所以 同位角相等，这两条线是不就平行了？这两条线平行，那我们知道的是什么点？ c 是 不是终点？那你这个点 c 是 终点，两条线又平行，那你这个 f 是 不是就是终点了，对吧？我们就能得到什么呢？一个关键的信息叫做 dm 就 等于二倍的 c f， 那我们怎么去证明这三个边之间的一个关系呢？大家这一次听视频应该能感受到，我没有通过这个结论出发，因为这个结论怎么着呢？不好想。那你现在才去思考这个东西，你会发现它就相对来说简单一点了。怎么简单呢？大家看一下啊，但这里面还是有点小的 需要我们注意的思路啊。这个是，这个是九十度，这边这个是不是四十五度，所以你会发现这个角是不是也是四十五度？那我现在，我现在本来要研究的是 c， f 和这两边的关系，我是不是可以转化成研究 dm 和这两边的关系，哎，你会发现 c， d 旁边呢，正好有一个是四十五度的，对吧？那我接下来可以干嘛呢？我就可以把这个 定好，这个四十度构造一个等号角三角形，假设这个点是 n， 好 了各位，这点是 n， 这个时候你就又得到了一个全等，这个全等呢，我用荧光笔给划一下，也是非常好中的一个小全等在这， 这一个三角形和下面这一个三角形是全等的，这两个全等呢，对大家来说呢，中起来都是比较简单的，我们在这边呢也简单写一下啊。第二个是 c d， b 三角形 c， d， b 全等于三角形 c n， m。 好，那这样的话呢，你会发现我们就能得到了，这个是 m， n 就 等于 d， b 就 等于 b e。 那 此时这道题呢，咱们就做完了，最后呢重现出来的结果应该就是 d， 哎，应该是，嗯， d， m 等于二倍的 c， f， 它等于根二倍的 c， d 加上一个 n 啊，加上一个，咱直接写答案嘛，加上一个 b， e， 对 吧？就是你这边根二倍应该是他，然后这一条边呢，应该就等于他，对吧？等于他，那这样的话呢，咱们这道题也就做出来了，这是我们所说的构造两次手拉手使用的一个思路，非常契合，而且他在这个题目当中呢隐藏了一个终点，也是咱们现在考试常考的一个考试方向，这里呢大家一定要注意， 当然也可以在里面简单的和大家说一下这道题的第二个方法，因为我们在第一问当中证明了这条边和这条边平行的，对吧？然后呢我连接一下 a、 d、 r， 你这里边 c、 f 和，呃，这 c、 f 和这一边又是平行的，这里边的平行关系特别多，那这个是垂直，这个地方它也垂直，那我把这个 c、 f 稍微延长一点点，它会发现这个地方它也垂直。 三垂啊，三垂，怎么着？三垂出局，我们在之前就已经说了，你把这个 b、 d 啊给它给延长之后，各位你会发现此时就能出现一个矩形，假设这个点是 m， 这个点是 n， ok， 至此你就能得到一个非常有意思的三垂全等啊。我们再来简单的划一下，就这个三角形， 这个三角形和下面这个三角形，它就是全等的，各位看一下，这个比较简单，咱们在第一问的时候其实已经 写了，对吧？因为你这个角是四十五度减去 r 法嘛，这一角也是四十五度减去一个 r 法嘛，对吧？你在第一问的时候，这两个角度咱们也都重现过来了，这个四十五减 r 法，四十五减 r 法，对吧？所以三垂全等啊，对于我们来说呢，是比较清晰的，清晰完了之后，接下来咱们可以干嘛呢？好，大家看一下啊， 这个时候呢，你会发现这个 f 呀，它就特别像中点，那我怎么去证明它终点呢？哎，你会发现，哎，这道题它最有意思的点就是这一条边 啊，它应该就等于这一条边，然后你会发现这个角在第一问是不是重合它的四十五度了，然后是不是又等于这个角，是吧？所以这个边和这个边是不是相等的？各位，这条边和这条边是不是有平行？平行加相等，那你这个时候是不是就得到了咱们所说的这一个三角形 a m f 这个小三角形 和下面的这一个小的三角形是不是就全等了？嗯，这两个三角形全等，这个时候它一旦全等了之后，我们就能得到什么呢？能得到这个点 f 就是 我们所谓的终点，对吧？然后你会发现这个大的图形是什么呀？是不是矩形？那所以说这个它就是等于这个一半，对吧？那这样的话，我这个关系怎么建立呢？各位，你看啊， c f 是 不是这样的一条边？我在这边写一下 c f， 它是不是被我们拆成了 c n 加上一个 n f 了？ c n 在 这一条边，它和 c d 的 关系是什么？是不是二分之根二倍的 c d， 然后 n f 在 这 n f 是 不是等于二分之一倍的 b e 加上二分之一倍的 b e， 所以 你看这个关系也就出来了。当然了，当我们把这个都扩大二倍的话，就是二倍的 c f 就 等于根二倍的 cd 加上一个 b e， 这样的话呢，它就和前面的这个结论一模一样了，对吧？ 前面的结论一模一样，这个呢，就是这道题给的两个方法，也希望呢可以帮助到大家，也是咱们在接下来咱们公司的一个模拟卷当中会有所呈现啊，大家可以看一下，咱们在接下来咱们公司的模拟卷当中会有所好的有学习问题私信咨询。

好，然后再来看这个解答题，解答题，解答题，嗯，二十七题难度也很大， 考验大家对于函数的一个理解的深入的程度，这个东西就是它的计算呢，不算是特别的复杂，它也不是那种特别难的代几综合 啊，像有一些待机综合问题，他的那个计算量会非常的大，说我要分好几类，每一类里面都要去列出一个方程，然后去解很多的东西，他这个没有那么大啊，当然有还是有的，不过对于理解的这个程度是很很深的。 然后二十八题的话呢，其实相对而言要简单的多啊，可能都比不上那个十八题的那个难度。我们先来着重的讲一下二十七题， 他给了一个新定义，这个定义叫做横纵坐标之和为零，对吧？我们要把这种文字的描述啊，数学很多的这种文字的题，你一定要把它去转换成一个，就数学语言一个式子给他表示出来， 那横纵坐标之合最直白的是不就是 x 加 y 等于零，对吧？你把这个再理解的更深入一点，什么叫 x 加 y 等于零呢？就是 y 等于负 x， 换而言之就是这个点它一定在直线 y 等于负 x 上。那如果我们去研究某一个函数有没有这样的点，就是研究这个函数与 y 等于负 x 有 没有交点，这个交点就是所谓的极点平衡点， 所以这个定义要理解到这一步，什么叫集团平衡点，就是这个函数与直线 y 等于负 s 的 交点，就这个意思理，理解到这一步，下面的问题才方便进行下去啊。所以其实这个第一个没什么好说的，对吧？这两个肯定不行 啊，三和四是可以去，比如说我把这个里面带进去，也不用画图，你就把它令它等于负 x， 对 吧？那就是 x 平方，嗯，减三 x 减一等于零，他的单调呢，肯定是大于零的，所以肯定有啊。 然后下面这个呢，也是一样的，对吧？ x 平方减加 x 减三等于零啊，等于负 x 啊，那就是 x 平方加二 x 减三等于零，它的答案它一样是大于零的，对吧？算一下就可以。好，然后呢，第二小题 这里开始就是强调这个理解了啊，函数 y 等于负 x， y 的 负的 x 分 之四，我在这画一下，注意是 x 大 于零的部分，所以你只需要画双曲线中的一只，就是你要画出这个就可以了 啊。然后呢，与直线 y 等于 x 加 b， 这个直线我们不清楚，但是呢，它肯定是与直线 y 等于 x 是 平行的，把这条直线进行上下平移的意思，对吧？ 说它们俩的集团平衡点分别是 a 和 b。 第二个我暂且不谈，第一个就是看它和这个直线 y 等于负 x 的 交点呀，这个交点显然是二负二，所以这个就是 a 点啊， 过 a 点做 a， c 垂直往外走好，垂直，这个是 c， 那 我们要三角形 abc 为等腰三角形，那我 a 点和 c 点都确定了，我找 b 点，使得 abc 成为等腰三角形，那这个是不是就是等腰三角形的分类？ 等腰三角形的分类讲究一个四个字叫做什么呢？两圆一线吗？对吧？ 所以就是去化了。当然，因为你这个 b 点也是集团平衡点，那就意味着你这个 b 点是不是也在直线 y 等于负 x 上？所以其实就是在直线 y 等于负 x 上面去找一个 b， 使得 a、 b、 c 成为等腰三角形啊，所以就是两圆一线啊。那如果说，比如说第一个， 如果这个 c 点是等腰三角形的顶点，那就是 c， a 等于 c b， 对 吧？这个我的是第一类啊，然后类似的，那第二类呢？就是 a 点 啊， a a 点有点难。我先先说 b 点啊，就是第二个，如果是 b 点，那就是 b， a 等于 bc。 第三种情况，那就是 a 点，那就是 a， c 等于 ab， 对 吧？好，如果是 c， a 等于 cb， 那 其实其实就是这个点，这个我觉得大家都是一眼能看出来的，就是这个点， 对吧？那也就是说这个点就是 y 等于 x 加 b 和 y 等于负 x， 焦点其实就是他会过这个点，把这个写下来，过这个点零零，那 b 等于多少呢？ b 当然等于零。 好，如果 b a 等于 bc 的 话，那说明 b 应该在 a c 的 中垂线上，对吧？我把这根中垂线画上去，那么这个这个就是 b 点了，对不对？这个 b 点的坐标我觉得也是能够一眼看出来的， 这个是多少？具体过程我就不写了，我这个空间也写不下，时间也不支持。那这个 b 点的坐标也是比较简单的，很容易看出来，应该是等于一逗号负一，对不对？那我们把这个一逗号负一代入到 y 等于 x 加 b 当中，你会发现 b 等于多少呢？ b 等于负二。 好，然后这个稍微有一点难度的是下面两个啊， ac 等于 ab。 呃，这个图太小了，我重新画一个大一点的图， ac 等于 ab， 就是 啊，比如说这个是 a， 这个是 c， ac 等于 ab 呢，就是以 a 为圆心，对吧？ ac 为半径，因为 ac 的 长度一定是等于二嘛。以二为半径去画圆，你会发现啊，这个圆你画完整了， 它和这根直线会有几个交点？会有两个交点，比如说这个点我记作 b 一， 这个点我记作 b 二啊，那么这个 a b 一， 它的长度是多少？ a b 一 的长度是二呀， 对吧？所以我这个 b 的 长度，我们这里面啊，也能写，也能写坐标啊，但是没有这个另外一个方式来的快一点啊，我就这个是 o 吗？ 然后这个就是它与 y 轴的交点，假如说这个交点是 g 啊，你看我第一个 o b 一 的长度是不应该等于二根号二减二， 对吧？然后我这个 o g 的 长度，应该是因为这里也是形成了一个等腰直角三角形，应该是它的根号二倍，那就是四减二，根号二。而这个 o g g 点就是 直线和 y 轴交点处，但是因为我 o g， 它是个线段，它是正的，所以那个 b 是 应该等于相反数，也就是二根号二减四， 这是一个。然后另外如果是 o b 二的话，那 o b 二呢，应该是等于二根号二加二，对吧？所以如果我在这个地方把那根直线划出来啊，因为这里肯定也是一个等腰直角三角形，对吧？这个是 g， 那这个时候的 o g 就 应该是 o b 二的根号二倍，也就是四加二，根号二，那这个 b 是 负的，所以是负四减二，根号二。 所以你看一下这一题，他一共有四个答案啊。第一个他考察我们对于集团平衡点这个词的理解，第二个是等腰三角形，他的这个两元一线分类讨论啊，然后再加一点小小的计算，这个计算并不复杂。 然后再来看第三小题，说将这个抛物线 y 等于 x 方加二 x， 图像绕 y 轴上一个点， m 旋转一百八十度，旋转后恰好有一个集团平衡点， 然后我们的这个，呃，求 m 点的坐标啊？还是的先画图感受一下。 y 等于 二 x 平方加啊， s 平方加二 x 是 会过圆点以及负二的，对吧？ 然后把它绕着 y 轴上，比如说这个，如果你一下子找不到它的一个嗯，特征，你可以去多画几个，比如说我就绕着这个零零去转，转完了是这样子的，是吧？ 哦， no no no no， 这样子就完蛋了，它是旋转一百八十度 啊，旋转一百八十度，你去找点就可以了，那圆点还在这，它旋转一百八十度是在这，然后呢，是这样子的一个感觉啊。 那如果是换一个假如说我过这个点呢，对吧？过这个点，你看这个圆点就会跑到上面旋转一百八十度，然后呢，这个你把它转过来是不是这样子的感觉？然后开口向下，是不是这样子的， 对吧？所以它旋转后的那个我们其实可以理解什么叫做恰好有一个集团平衡点呢？因为集团平衡点呢，就是在这个直线 y 等于负 x 上，那恰好有一个，就说明我旋转后的新的抛物线和它应该是刚好是怎么样呢？ 相切的一个状态对不对？你说甚至可以画的感受过来，是不是应该大概是这种感觉的？那所以我们就可以去预想到了什么叫相切。我连立两个解析式，然后得它等于零就好了嘛。 但是你旋转后的解析式是什么？这个很重要。旋转后的解析式，呃，通过两次话筒，你其实可以感受到，因为我们说弹一个抛物线吗？解析式就是 abc， 对 吧？那你看这个 a， a 一定是多少？ 原本的 a 是 一旋转一百八十度过后的 a 一定是等于负一的，对不对？但是 b 和 c 是 不是都会发生变化？ 就是这个，呃，也不能说发生变化吧？ c 肯定发生变化的，但是这个 b 是 多少呢？是不是不太清楚？可是你通过画好几个抛物线去感受到，你会发现它旋转后的对称轴会不会发生变化？ 不会的，因为原本的对称轴是直线， s 等于负一。你把这根直线绕着圆点啊，不是绕着圆点啊，就是随便绕着 y 轴上任意一个点去旋转一百八十度，旋转过后，他肯定会变成直线， s 等于一，这个是不会变的， 所以我们就会知道它的对称轴呢？就是 x 等于一，那我就可以把它的抛物线解析式设成什么啊？设成一个顶点式， y 等于负的， x 减一的平方，然后再加一个 b， 这样是不是就好了？只有一个参数了，对吧？然后我把这个直线和 y 等于负 x 连立，连立之后求他的单调，令他的单调等于零，是不就可以得到 b？ 这个 b 求出来应该是等于负的四分之五。 那这个 b 求出来了，我们怎么去求 m 点的坐标呢？ m 点作为旋转中心第一个，你可以去求出原来的那个顶点，然后它们俩的终点就是那个 b， 或者呢，你也可以求出现在的抛物线与 y 轴的焦点，比如说令 x 等于零，可以算出来这个 y 呢，应该是等于负的四分之九的，所以原本图像与 y 轴的焦点呢，是在零零处， 是在零零处啊，在这零零处，然后我们旋转过后，刚好相切的那个焦点呢，是在零负的四分之九处，那么我们的这个旋转的中心 m 是 不是应该就是他俩的终点，对吧，也就是 负的八分之九啊，当然这个求的是坐标，所以是零逗号负的八分之九。 所以这个第二小问和第三小问第二小问的话呢，首先第一个考察集团平衡点这个概念的理解，然后利用两元一线去解决。第三小问，就考验大家对于抛物线的这个变换，他对于我解析式的一些影响 啊，然后呢，我们设好解析式，然后就去求解啊。最后这个二十八题相对而言更稍微轻松一点， 就是这个问题，他，呃，求线段的不多啊，主要是求这个角度的，而角度呢，相对于线段而言，他所能用的性质定律少，所以他相对而言求起来更好求， 对吧，养成好习惯啊。他说 ab 等于 bc 角， abc 是 一百二十度点， d 是 中点，这题他肯定是有叫什么删减的， 我估计是老师啊，出题出着出着，激情四溢的出到了二十七题，发现，哎，难度好像有点大了，你二十八题要是再放的很难就没法收场了，所以二十八题给他的难度做了一点三减，因为你会发现， 嗯，这个地点就是终点。这个呢，用处没有特别的大啊，没有特别的大， 好，然后呢？这个 e 是 线段 a d 上的一个动点 bc， 关于 b e 对 称得到 b f 啊，然后说三角形 a b f 为等腰直角三角形，求 a b e 的 角度。好，既然跟角度有关，那我就开始能把 能知道的去标，不知道去设。这里面由于一些角相等，并且有一个洞点，所以我肯定把这个小角，我就把它设成而法好来，这个就是一百二十减而法，对吧？这个 e b c， 那 e b c 等于 e b f e b f 是 一百二减而法，而这里有一个而法，那这个角是不就一百二减二而法， 对吧？而包括还有这里像一些三十度，三十度啊，甚至我这个角也可以标啊， 对吧？这两个角是不是也可以标？我就给他标好，你看啊，这个两个，注意，这里又是一个等腰三角形，顶角是一百二十度减去二 r 法，那么剩下两个角的和应该是六十加 r 法，对吧？所以它是三十啊，六十加二 r 法， 所以他是三十加 r 法，他也是三十加 r 法。我身上这个题如果我想要上难度，我会发，我告诉你，就是我可能会用到这个角，因为这个角不也是三十加 r 法吗？所以这个角和这个角，或者说这个角它是相等的 啊，当然这题没用到好，现在如果要是一个等腰直角三角形，那可太简单了呀，那 a b f 就是 多少度？九十度呗，对吧？所以第一问就是一百二十减二， f 等于九十度，然后 f 等于十五度， f 就是 角， a b e 啊，就出来了。 第二小题说延长，然后求角记，你就把这些角给他标上去，你看这个是三十加 r 法，这个是一百二十减二 r 法，这个是 r 法，这个一百二十减 r 法，你会发现什么呀？ 这这底角，这个角，这个角，这是三十加 r 法，这是一百二十合起来，对吧？一百二十减 r 法，所以就是角 c f b 加上角 g f b g b f 就 等于三十加上 r 法， 加一百二十度减 r 法，会发现和是固定的一百五十度，所以角计就等于多少度呢？三十度，对吧？所以这个结束了啊。最后一问，说 ab 等于二，那就是他是二，他是二，他是二， 然后求三角形 bfg 面积的最大值， bfg 面积的最大值啊，这个问题其实看他求谁，你就把谁做一个定边对定角，对吧？这里面固定的三十度，然后呢，我既然是要 bfg， 我 就把 bf 当做是底啊， 那就是这个是定边定角，所以这 里出现了定边对定角，然后呢，我们这个 g 的 轨迹呢？就应该是一个圆，圆心在哪里呢？在 b f 的 中垂线上，并且圆心角是六十度，不一定在这啊，我就，我只是刚好画在这了而已， 而且半径是二，对吧？就是这样子的一个圆，然后我要 b f g， 它的面积最大，那你这个 g 点是不是应该刚好做垂直下来过圆心，而且半径是二，这个地方是一，这个地方是根号三， 所以底是二，高是二加根号三，再乘二分之一面积就是二加根号三。此时 a e 的 长度是多少呢？ a e， 这个时候我们来看一下这个时候的度数 啊，这个时候因为你耳法，呃，这叫什么？你的这个 g 点呢？刚好是上叫什么？ 我这个图虽然看到有点歪啊，就是你这个 g 点做垂直下来，是不是应该刚好过圆心过这里？所以其实 g f g b 是 不是相等？ 换句话讲就是三角形， g f b 肯定是个等腰三角形，对吧？那等腰三角形，咱们把这个度数给它求一下，就是三十加 r 法，这个底角应该等于一百二十度减 r 法这个角，所以求出来 r 法呢，是等于四十五度的， 好，把这个角度求出来。那三你你就眼睛放在这个三角形里，我把其他的擦掉， 尔法等于四十五度嘛，所以你看这个角就是四十五度，这个角是三十度，这个长度等于二，那你说 a e 好 不好？求 典型的一个就是已知两个特殊角，求一条边，就是已知两个特殊角和一边求这个三角形的另外两边，或者还有一种是已知两边和一个特殊角，这种是都是可以去求的，对吧？因为这两个特殊角我肯定是要把它放在 直角三角形，两个直角三角形中的，对吧？然后呢，关系就一目了然了。我说它是 x， 它是 x， 它是根号三 x， 它是二 x， 所以 x 加根号三， x 等于二， 求出 x 应该是等于根号三减一，然后 a e 等于二， x 就是 二，根号三减二。 二十八题呢，其实相对而言还好一点啊，像前面的这个真的是 计算量不大，但是理解非常的深刻啊。嗯，这份试卷就讲到这，等后面数人的出来之后呢，我们再做一个数人和他的一个的对比，大家感受一下这样的一个 差距啊。这份试卷我觉得难度还是相当大的，尤其是他在前面呢，他二十八题，这个放在最后，可能有同学二十七题做的就 已经快丧失信心了，或者说时间也来不及了，对吧？我觉得这也是老师的可能一个设置吧，就是考验你对于考试时间的一个把控， 考试不要像平时写作业那样啊，说，或者说我考试的时候开始胜负欲上来了，我就要把这道题给他搞明白，那可是违背了考试的这样的一个核心的 理念啊。你你，你不要在乎这个题目难或者是简单，你要在乎的是我要把我能拿到的分尽可能拿到，如果这个分，如果这个题特别难，我要花很长时间才能解决他，但是他又并没有说能够给我的分数带来很大的优势，那就没必要， 对吧？就好像那种填空题选填的这种十八题啊，那么难，然后呢？也就三分，那你二十八题，你把它弄完了，你这十二分拿到手多舒服。所以这也是一个考试策略的衡量啊。 所以大家考试的时候呢，其实不仅仅要关注你的本身的数学实力，还要关注这个时间的规划， 甚至有的时候有一些题目从考试的时候呢，你甚至可以去给他，嗯，有一些比较极端的方法。好，那我们这个就讲解到这。

我们来看第二题，如图，在矩形 a、 b c d 中， ab 等于四， bc 等于二。 e 是 对角线上一个动点，连接 b e， 把 b e 向上旋转，呃，向上做一个等边三角形，其实就是什么转六十度嘛？ 当 e 点在 a c 上，从 a 运动到 c 的 过程中啊， c g 的 最小值是多少？那你看这条题目，它就是一个什么刮斗原理？刮斗原理我们要求谁？求 c g 最小？最小的话，我们 反着转就行了，把这个平行转到这边来啊。这么转，把 b c 转六十度就可以了啊。 b c 转六十度，大概到这个位置， 嗯，一连连，不连他，连他了啊，你看他就转过来了，能理解吧？转个六十度啊，转个六十度，这边是二， 所以这两三角形全等啊。这个点呢，我们叫做一个 m 点啊，所以三角形 b c g 全等于三角形 b m e， 所以 c g 它就等于 m e， 而 m e 怎么办？ e m 点动不动？不动了， 转六十度，转过来了，不动了， e 点在哪里？在上面动。什么是最小？垂直最小， 它应该大于等于 m h， 所以 我们只要算出 m h 就 行了。 m h 怎么算呢？哎，这里的话，我们需要用到一个画斜为止，做个垂直啊，做个垂直，你可以间隙啊，做垂直就行了。垂直怎么做呢？然后这边做个垂直， 做个垂直，这个是一，这是二，这是根号三，所以这条边它就是一个根号三。那所以这条边就多少呢？哎，这个三角形和这个三角形相似的，一比二就是二分之根号三，而这条边是一，所以这条边它就是一减去二分之根号三。 所以 m h 等于多少呢？ m h 应该等于，你看一比二比根号五，所以它应该等于多少呢？应该等于一，减去二分之根号三。括号除以根号五，乘以二就乘以一个根号五分之二，就是五分之二根号五。 这个计算你们自己过啊，乘以一个五分之二根号五就得到它了，因为这个小三角形，它和这个三角形也是相似的， 也就是这边所有的直角三角形几乎都是一比二比根号五的，你用到这个比例关系去算就好算了，所以最后算一下，应该等于五分之二根号五，减去一个五分之根号十五。结束了。好吧，这是第二题啊，过。

我们来看第一题啊，直线 y 的 mx 加 a 与交反比例， y 的 x 分 之 k 与 ab 两个点啊， ab 比上 bc 是 三比二，那这里的话，我们可以设它为 ab， 那 么三比二的话呢？我们可以知道这个 b 点，就把这个算出来了。怎么做呢？这种比例的我们之前讲过，做过垂直 二比三，所以这边是二比，就是二比三，所以他是二比五，所以二比五，所以他是 b， 他 就是多少五分之二 b， 所以 他的正坐标就是五分之二 b， 横坐标就是二分之五 a， 因为乘积要是相等 啊，所以先由 a 点坐标是 ab 推出， b 点的重坐标是五分之二 b， 然后再由五分之二 b 推出，横坐标是二分之五 a， 因为乘积相等好，然后我们再看，这边是 a， 这边是二分之五 a， 这边就是二分之三 a， 然后这边二比三，所以这边也是二比三，所以这边就是一个 a 啊。最后我们再算一下 p 点坐标，然后这个是 a， 对 吧？这个 a 点坐标是 a 嘛？对，这个长度是 a， 这边是五分之二 b， 哈，所以这边和这边是几比？是三比二，所以这边和这边也要是一个三比二， 所以它就应该等于五分之二 b 乘以一个多少啊？乘以一个三分之二，也就等于 十五分之四 b， 所以 最后我们 s 三角形 p、 c、 d 的 面积，它就等于二分之一，乘以一个二分之五 a， 乘以一个十五分之四 b 要等于多少？等于四， 所以约掉，约掉， ab 等于十二，所以 a 就 等于十二。选择 b 选项就搞定了。好吧，这是第一题啊。

好，我们来看看这一次广一博有没有一些很好的方法做这些题目，因为这是比较难一些嘛，看一下。好，我们这次讲这个第五题，第五题他这里呢， 他是讲啊，我们可以看到前面的这个平均数是多少？是一，翻差是多少？翻差是二，然后他变成后面这一段，就是还是 x 一 x 二 x 三，但是他后面多了三个数嘛，是变成了二 x 一 减一，二 二 x 二减一，二 x 三减一。好，那我们有有什么方法就是说快速的做出来呢？啊？之前我教的这个学生，他这是没做出来，他忘记了，哎，这五分真的是一分钟就能做出来。好，我们看一下啊， 他是说之前这里的平均数是一，然后大家是二。好，那我们怎么想呢？ 我们之前啊，其实我有教过他们，就是说你这里的平均数是以根据公式来，这里的平均数也是以这三个数的平均数，对吧？然后这三个数的平均数是 是多少？是二乘一，二乘二，乘一减一嘛？是三还是一，对不对？好，这个的翻差是多少？这个翻差是二嘛，对吧？那这个的翻差是多少？这个翻差是二的平方乘二嘛，那就是八嘛，对吧？好，那就可以做完了。 呃，他这里整体这个平方乘二嘛，那就是八嘛，对吧？好， 那这里的平均数是一，是不是我可以把这个全部看看成一。好，我们可以怎么做？那就是怎么算翻差？看看这里的翻差是不是 一，这个的数所有的数都是一一减一的平平方，然后加上就是我把这里的数全部看看，都是一一减一的平平方，然后加上就是我把这里的数全部看看，都是一一减一的平方。然后加上就是我的，我的，我都是妈妈的爸爸。 然后他对整体的影响是多少？是三个数吗？三个数数拥有几个数？六个数数吗？然后讲讲后面这一段，后面这一段是什么？是什么样的？是不是也可以去看看是不是一，每一个数数的平均数数也是一的等方法， 加上内六分三，内六分三是多少？是八八八八算过来了，然后乘上他对整体的这个印象，就是全码加全码六分三，那这就等于二分分之一的，呃，也就是一加四，等于一分分钟搞定。

好，我们来看第三题啊，在平面直角坐标系中， p 点横坐标和纵坐标互为相反数，那么 p 点为平衡点啊，判断是否存在平衡点啊。第一个，若存在，我们设 p 点坐标为 a， 负 a， 设 p 点坐标为横坐标和坐标互为相反数嘛， a 负 a 不 能设 a， a 有 了 m 吧， m 负 m， 那么带进去就行了，所以负 m 应该等于负三， m 减八，所以二 m 等于八， m 等于负四，所以 p 点坐标是负四，四啊，就搞定了。第一个，好，第二个 函数，函数中有且只有一个平衡点二负二，求 a c 的 值，那首先它有且只有一个平衡点，所以二负二带进去应该是成立的，并且它只有一个，那我们就设 还是一样， p 点坐标为 m 负 m 啊，那么带进去就是得到负 m 应该等于 a m 平方加三 m 加 c 啊，它怎么样啊？只能有一个啊， 一个解啊，所以就它，它的只有一组解是多少？二负二，所以把它整理一下，就是 a m 平方加四， m 加 c 等于零，它的唯一的解，所以它的解，解下来应该是什么？解下来应该是 m 一 等于 m 二应该等于二 啊，对不对？然后首先，首先，所以它可以列出两个等量关系，第一个，呃，点二等于零 啊，然后二二代进去，二代进去是不是要成立啊，是不是二代进去也成立啊，就行了啊。呃，或者用 m 一 加 m r 等于。这样子写好简单一点嘛，就是 把这个，把这个 m e， m r 直接带进去啊，就是 m 一 加上 m 二，应该用伟大定律等于 a 分 之 c 啊，应该等于多少？应该等于四负。呃，错了，错错错， m 一 加 m 二应该等于负的 a 分 之 b 就是 负的 a 分 之四应该等于四。第一个，然后用 m 一 乘以 m 二应该等于 a 分 之 c 应该等于 也等于四，所以最后我们就可以求出 a 应该等于多少？负一， c 应该等于负四， 所以最后就出来了第二。好，第二份的第二个，它说若 x 大 于负二小于 n 小 于等于 n， 函数的最小值为负十四，最大值是为四分之七。我们先把它函数写一下， y 应该等于负 x 平方加三， x 减四啊，这是在 d 啊，这一大文里面的，这一大文里面的 a 和 c 求出来是对下面一位有用的啊，是可以用的啊。我们发现 x 等于负二的时候，带进去 y 等于多少呢？负二带进去算一下，应该得负十四， x 等于二分之三，二分之三，怎么样的？对称着的时候， y 等于负的四分之七啊，也就是说这个图像啊，你看 在这个负二的时候，它是负十四啊，负十四，然后呢？这个负的四分之七的。呃，负二分之三的时候， 二分之三的时候，它是负的四分之七在这个位置，所以它的图像应该长这个样子的啊，负二的时候在这个位置 啊，它的范围呢？它它的范围就要在这一段，在这一段，所以这个 n 怎么样啊？ n， n 如果 n 能在二分之三左边吗？不能，如果 n n 在 二分之三左边的话，它就负的四分之一就取不到了， 能理解吧？啊， a 只能在右边，右边的话还不能跑到这边来，跑到这边来的话，你看啊 a 如果跑到这边来，那这一段如果能取到这一段的话，那他的最小值就是在这边取了，不在这边取了，所以他要比这段高，比这段低，所以值只能在哪里啊？在这一段之间，所以 a 应该在这一段， 而这个点算一下这个点应该多少？应该是对称的啊？对称的，这是二分之三，所以他加他应该等于三，所以他是五，所以 a 最后应该是大于等于二分之三，小于等于五的啊。所以最后是这个答案结束。好吧，这是第三题啊，我们过了啊。

hello， 各位同学们好，我是 a 加培优初中数学的房老师，那我们本次视频把数人这次一模的数学试卷呢，给大家啊，进行一个难题的讲解。 整体来说，这份试卷的难度比起这个刚刚讲完的这个梅中的一模试卷啊，它的难度是有所下降的啊。 嗯，但是他们其实有个共同的特点，就是这种难题都是那种偏理解式的，而不是我们以往常见的比如说几何类的一个大题，对吧？第一问先证明这个，第二问证明那个，第三问再怎么样？ 然后或者二次函数类的啊，要分好几个大类，然后每一类里面都分别有分，这个比较复杂的计算， 他不是这种呃，常见的传统式的难题的模式，而是呢，都是偏理解式的，你如果没有理解到位的话，那你根本就无从动，无从下笔的。 所以说大家遇到这种问题，先不要着急说，就是似懂非懂的情况下去算啊，那这个时候你会把自己 带入到一个偏胡同里面的，所以一定要先去好好读题，去咀嚼，去理解他这里面的每一句话的含义，能不能把它转换成一个比较能够落笔的一个，就是数学的概念。 好，我们来看一下这个第，这个第八题。第八题呢，它是一个函数问题啊，它说在平面直角坐标系中，经过 a 点零逗号六 的一次函数 y 一 和经过 b 点零逗号二的一次函数 y 二的图像交于 c， 若 c 点的纵坐标是三啊，也就是说 c 点这个坐标横坐标不清楚，纵坐标是等于三的，然后求新函数 y 一 乘 y 二的大致图像， 那么这样的一个问题，它呢，也不是说就是一眼能看出来它的一个 怎么样的一个结果，对吧？但是呢，他也不算是很难，因为以函数的问题，如果没有涉及到一些特别新的概念，那么他的逻辑是很单纯的，就是有解析式求坐标，有坐标求解析式，那我最终想要的肯定是跟这个 y 一 y 二的解析是有关的， 我肯定要去求他的解析式啊，那这里面解析式没有一个非常明确的，对吧？但是呢，我们是可以去设的啊，我就直接去设 y 一 等于，比如说是 a x 加六， 然后 y 二呢，就等于 b x 加二，对吧？然后下面一句话呢，也是很直白的说，它们俩交于 c 点，那我肯定是连立解析式， 但是这个时候计算上有一个小技巧，连利你是可以算出这个 x 的， 然后你这个 x 有 了注意， x 不是 等于三，是此时的 y 等于三，那我就会想说， 我把这个 x 带回到 y 一 或 y 二，然后呢，这个函数值等于三，所以我能得到一个关于 a 和 b 的 等式，对吧？啊，这样子计算也可以可能，但是可能稍微麻烦了一点，那我们这里既然有纵坐标是三，我不妨把三直接往两个解析式里面带， 我把 y 带进去，求出各自的 x， 然后它俩 x 是 相等的，对吧？这样子算起来可能稍微方便一点啊， 所以我们可以直接令 a x 加六等于三，对吧？那么在这里面， x 就 应该等于负的 a 分 之三，代入到 y 二就是 b， x 加二等于三，那么 b 就 等于，而 x 就 等于 b 分 之一，而这两个它们应该是相等的，所以就会有负的。 a 分 之三等于 b 分 之一，那把这个式再给它化简一下，看的更舒服一点。 a 等于负三， b， 这个等式有什么作用呢？啊？这是一个比较典型的含餐的函数问题，那我最终表示完的这个结果肯定是有参数的，对吧？如果我知道 a 和 b， 那 这个问题就太简单了，但是你的参数越多越好，还是越少越好？ 肯定越少越好，参数越多，我越搞不清楚这里面的一些符号啊，大小啊，对吧？所以参数多的问题，我们有一个核心的思路就是去消餐。怎么消餐呢？就是利用这种等量关系，我把这个 a 全部替换成 b， 那 我只需要看 b 就 可以了， 所以说它的这个等式就是用来帮助你去消餐的。这样的话呢，那我最终的这个函数 y， 对 吧？它等于 y 一 乘 y 二， y 一 是 a， x 加六，咱们把 a 直接换成负三， b x 加六，然后 y 二呢，就是 b， x 加二，所以 那他显然是个二次函数，我们只要找到这个二次函数的 abc， 就 能确定函数的大致图像了，对吧？把它写一下，就是负三 b 方 x 方，这是二次项。 然后一次项呢，有六， b x 又减六， b x 再加十二，合并一下就是负三 b 方 x 方加十二。 而且这里的 b 我 们要知道一点，就是 a 肯定是大于零的，对吧？有这个直线的趋势，可以看出来 b 是 小于零的啊。当然这里 b 因为是 b 方，它不影响，所以显然这个抛物线它有什么样的一个特征呢？ 首先它开口是向下的，对吧？其次它没有一次向，说明它的对称轴就是 y 轴，所以它关于 y 轴对称，再有这个十二，说明它和 y 轴的交点是不是十二，对吧？所以你看来我们来看一下这个 哪一个图像呢？非常明显，就是 c 啊，所以这个第八题算不上难啊，只是对于计算稍微有一点小要求，然后你就正常的去算解析式就可以了。好，下面我们来看一下这个填空题的十八题。十七题不讲了，十七题也非常的简单， 十八题他说菱形 a、 b、 c、 d 边长是六 角， a、 b、 c 等于一百二十度。好，菱形里出现一百二十度，要去注意到一百二十度就有六十度，六十度就有等边三角形。如果我把 b、 d 一 连 a、 b、 d， c， b、 d 是 两个等边三角形啊，你可以不用，但是你要立马反应过来， m 是 边 c、 d 上的一个动点，做点 c， 关于 b、 m 的 对称点 c 撇好，这里也是的一个好习惯。对称这个东西啊， 他的结论有两层啊，第一层叫做对应边，对应角都相等，对吧？这个大家都知道，很简单，但是很重要，我是一定会用到这个结论的。第二层这个结论比较难， 但是呢，我们不是每道题都会用到，它也是对称轴对称的一个，它的核心的性质叫做对应点，连线段被折痕垂直平分，很多时候用不到啊，但是如果你折叠问题里感觉好像 算不出来，你就可以去尝试一下，所以这个里面呢，他说对称你不要就看完，听完就结束了，那你要把对应边，对应角给他连起来呀，这个就是对称这两个字所能带给我们的几何信息呀，对吧？所以我会把这个 b c 撇给它连上，我还会把 m c 撇给它连上。就算我把三角形 b c m 翻折过来，并且这里面呢？你想比如说我这个角 c 是 六十度，那这个角就一定是六十度，对吧？还有这个小角和这个小角是相等的， 还有 b c 撇的长度等于 b c， 哎，很重要的，你这折过来就是看一些关键的边，关键的角，如果你这个边有长度，我肯定把它标上的啊， 好，然后射线 a c 撇。这个这个文件啊，不是特别清楚，是肯定是 a c 撇和 b m 交于点 p， n 为 c d 的 中点，当点 m 从 c 运动到 n 的 过程中，求 p 的 运动路径长，那这个东西你肯定要看 p 点是怎么去动的，对吧？怎么动的呢？猜，预测一下，猜测一下， 你划两三个点就能看出来了。或者说啊，我们其实折叠或者说对称这个词跟轨迹圆的第一个就是那个定点定长，它的关系是很密切的， 对吧？也就是说我们其实能知道，比如说 c 撇，我就不谈屁了， c 撇的运动应该是什么？ 以 b 为圆心，六为半径的一个圆，对吧？当然这个你不用画啊，我们只是稍微说一下定点，这里其实有个定点定长的，那么这个屁点它的轨迹呢？它当然不是定点定长，对吧？但是 你画两三个点，就让他肯定不是一个直线，那不是一个直线，那就一定是一个圆，是个圆就有它形成圆的原因。所以我们可以从这一点去倒推，就是你觉得屁点他的轨迹圆是通过什么方式形成的？是定点定长吗？ 显然不是，对吧？是定边对定角吗？不知道，是刮豆吗？那更不像了，因为刮豆有一个明显的特质，就是你要出现那个呃旋转，或者说出现那个比例固定、夹角固定这样的特征。所以我们讲过啊，就是 这三种里面，定边对定角是隐藏最深的，当你排除掉定点定长定瓜豆之后，那么大概率就是这个定边对定角了，这是其一。其二，定边对定角呢？还有一个 就是比较可能稍微稍微有一点明显的特征啊。就是啊，如果是两条直线相交，就有这个词， 或者说做垂直，那垂直定角就更明显了啊。相交可能不太明显，因为定角没出来，是需要你去推的。但一般来说就是出现这种两直线相交的，大概率是定边对定角啊， 所以我们这样子就可以去想着，我想把这个角度是个定角推出来。那怎么去推？肯定跟我翻折这个操作有关了，对不对？那翻折这个操作里面有一些角度是固定的，比如说角 c 是 六十度，还有一个就是跟我这个小角有关，那我们就设这个小角是阿尔法，我去给他推导一下。 好，那如果我这个小角是阿尔法，他们俩肯定是相等的，那我可以首先推出哪一个角呢？ 退出角， abc 撇是不是等于一百二十度减二 r 法，对吧？好，然后下一步就很关键了，就是你这个 bc 撇，或者说我要这个角屁，这个角屁和哪个三角形中的哪个角 关系会比较大一点呢？那我既然有 r 法了，我肯定是一眼去看 r 法，脚屁跟 r 法合成的刚好是这个角，对吧？这个是它们的外角，而这个角和 a、 b、 c 撇，你会发现 a、 b、 c 撇是一个等腰三角形呀。 你顶角是一百二十度减 r 法，那么两个底角就是这个 bc 撇 a 是 不是应该拿一百八十度减去一百二十度减二 r 法再除以二， 你会发现这个结果等于多少呢？是三十度加而法，而 b 撇 c， a 就 等于而法加角屁，所以角屁等于三十度，这个是需要通过一点计算去推理出来的。 那角屁是三十度，定角就有了，定边呢？他对着哪一条定边对着 ab， 对 吧？所以角屁三十度， ab 等于六，就是这个问题的定边对定角，那我们就要把它的这个圆心找到半径，找到圆心在哪里？ 在 a、 b 的 中垂线上，这个中垂线我们在画的时候要结合这个一百二十度，它的中垂线其实就是过 d 点的， 而且我的圆这个 p 是 三十度，就是圆周角嘛，那圆心角就是六十度，其实就是谁啊？就是这个角 a、 d、 b， 所以 圆心就是 d， 那 半径就是几呢？ 半径是不是显然就是六啊？所以这个点 p 在 以 a 为圆心啊，不，以 d 为圆心，六为半径这样的一个圆上啊，你会发现啊，其实 abc 全都在这个圆上。 嗯，画的不是特别的规整啊，无所谓，能看懂就明就可以啊。好，所以 p 点的轨迹就有了。那我们现在要的是路径长，路径长就是要找到它的运动的起点和终点。起点在哪里？ m 在 c 点上，对吧？ m 在 c 的 时候，那你想 我做 c 关于 bm 的 对称点 c 撇，那 c 撇不就是这个吗？对吧？就是 c 点呀，然后我连接是 a， c 和圆产生的焦点，连接之后，哎，你是不是这叫什么？这个屁 还是在 c 点处，这个就是 p 的 起点，我们说是 p 一 啊，然后呢，当点 m， 终点是 n， 如果点 m 在 终点处，那么 c 关于 bm 的 对称点 c 撇，是不是就会在这个位置处？ 然后呢？射线 ac 撇和 bm 其实就是把射线这个 ac 撇给他去延长和原产生的焦点就是他的终点 p 二， 所以这个圆这个点 p 啊，它是从 p 一 到 p 二，这是一段圆弧吧，圆心角呢？哎，这个是六十度，所以就是一个弧长的问题。一百八十分之 n pi r r 是 六啊，算出来应该等于二 pi， 所以第十八题，嗯，还行，也不算特别复杂。可能稍微有一点难的就是这个定边对定角，你要能去发现到他啊，怎么去发现他的？第一个 定点定长和刮豆是有明确特征的，你把这个先排除掉，然后第二个就想着，如果是定边对定角，那我就必须要把脚屁这个地方的这个角度给它推理出来，所以我把眼光放到这个各种角度上， 角度这个东西有现成的你就直接标没有，但是有那种就是很关键的，有别的跟他相等啊，或者有谁跟他有什么密切关系的，我们就设一个 而法，然后把其他的角尽可能用而法去表示出来，这样子去推导推导，你就会知道屁点的这个角度是多少了啊。角度推理也非常重要，你看上一份那个美中的一模试卷二十八题，对吧？也是一个角度推理的题啊。其实几何本质上 大问题无非两类，第一类求线段，第二类求角度。角度推理很重要啊，而但是，而且他还比线段推理要简单的多，对吧？所以这个东西一定要掌握。

同学们，大家好，今天我们来看这一道题目，这是二五年上饶一模的一道题目啊，他说，嗯，在三角形 a、 b、 c 中有个小 b 的 一个两倍的啊，括号 b 乘以口，三引十二分派减二分之 a 的 方减去一个 a 乘以三引二分之 b 乘一个口，三引二分之 b。 第一问，让我们求这个 a 角等于多少？好， 在求这个第一问之前呢，首先我们一定要知道一些公式，也就是我们的一些二倍的公式啊，也就是半角公式。什么呢？有一个括三引 c 的 方啊，啊，它等于多少呢？它等于一个二分之一加括三引二 c 啊，这公式要记住了，还有个什么呢？还有个三引 c， 它 括三引 c 等于多少呢？等于个二分之一三引二 c， 这公式要记住了啊，好公式啊，对，这两个是化简。好，现在我们来看这个啊，先看这个，看这个， b 乘一个， 看这个。括三 x 的 方是二分之 pi 减二分之 a 啊，利用我们这个第一个式子，能够把它化简成什么样子呀？是不是可以直接等一个多少？等一个， 你看，就是把里面的这个整体看成什么呀？看成这个 c 它吧。啊，同学们，理解啊，那么就是一个二分之一加括三以把这看见 c， 它这里是二 c， 是 不是把它乘以二，这就是六分之 pi 减 a 吧。啊，能够理解吧，啊，好，还有再来看这个啊，三以二分之 pi 乘以二分之 b， 你 看 sin 二根 b 乘一个 cosine， 二分之 b， 它等于多少呢？你用这个公式可以把它换成什么呢？是不？你看，就把这个二分之 b 看成这里的 c 它吧，是吧，那么就是二分之一 sine 多少啊？ sine b 吧， 对吧？那么你看现在我们的换出来，把这个什么二分之 a， 二分之 b 都没有了吧。啊，半角变什么呀？变成一个整个角了吧？啊，好，那么现在我们把它再带进去就是多少？就是一个 b 等于一个啊，二啊，括号 b 成一个啊，把这个带进去啊，把咱们都替换掉啊，就等于一个 一加括号以内六分之派减 a， 然后减去一个 a 乘一个二分之一三以内。好，现在我们再慢慢把它展开啊，就是把里面的先划进一下啊，一步回来啊，把里面的划进一下啊，把这个乘过去 就等于多少呢？就等于一个二分之 b 加 b， 括号以内六分之派减 a， 然后减去一个二分之 a 乘一个三引 b。 好， 现在我们再来看后面的这个 b， 你 把这个二又乘进去吧，把这个二又整体乘过去啊，最后就发现等于多少呢？等于一个 b 加上一个 b， 括三引六分之派减 a， 然后减去一个 a， 三引 b。 啊，好，现在这样式的，你看这两边的 b 是 不可以都可以消掉一下呀？啊，可以消掉一下啊，那么现在 这里左右点多少？就一个 b 就是 零等于一个 b 或三引啊，六分之派减 a， 减去 a， 三引 b 吧。啊，好，你看像这样式的，我们把它移过来啊，是不是有一个 a 三引 b， 等一个 b 或三引六分之派 减去 a 呀？啊，好，同学，在这里啊，我们要把什么呢？要把我们这些嗯，余弦的差角公式把减转 cosine alpha 减到多少啊？等一个 cosine alpha 乘一个 cosine beta 加上一个 cosine alpha 法 cosine beta 啊，啊，来吧，那么现在我们这个数字就等于多少啊，可以把它展开啊， a 三引 b 乘一个， b 乘一个，这个把它展开吧。啊，当然在展开之前啊，我们先用正弦的边角呼唤，可以把这个 a 和 b 的 边角三引 a 乘一个三引 b， 点一个 sine b 乘一个 cosine 六分之 pi 减 a 啊，就是把这里的 a 和 b 就 变成正弦啊，全变正弦啊，变成 cosine a cosine b 了。好，你看现在，哎，这边有一个 cosine b 吧，这边又有一个 cosine b 吧，两个 cosine b 是 会消掉吧，因为你看啊，这是可以直接消掉的，因为在三角形里面啊，我们这个 b 角是不是属于一个零到 pi 呀？ 是吧，那么我们这个三隐 b 是 不是不可能为零呢？可以直接消掉吧啊，你看，因为啊，三隐多少才得零啊？三隐零和三隐派才得零吧，但是三隐型内角是不能去到零，不能去到派的啊，好，现在接下来那么就是一个三隐 a 等于一个括三隐六分之派减 a 吧。好，现在就要用到 我们这里的这个公式啊，这个公式了，也就是把这个展开了，就只剩下 a 角了吧，那么就是一个 sin a 等于一个 cosine 六分之派 cosine a 加上一个 cosine 六分之派 cosine a 啊，好，同学们要知道，这里的 cosine 六分之派等于一个二分之括号三，然后 cosine 六分之派 等于一个二分之一啊，那么现在这个设计变成一个三 a 等于一个二分之根号三括三 a 加上一个二分之一三 a， 现在我们把这个都把左边的都移到右边去，那么 那么就能得到什么？或者你只把这个移过去啊，你就有个什么呢？就一个二分之一三 a 等于一个二分之根号三括三 a 吧。好，同学们又知道这里一个贪心 c， 它等于多少啊？ 等一个三以内 c 的 比上一个阔三以内 c 的 吧，那么你看这个贪停 a 等于一个贪停 a 比上一个贪停 a， 那 么就是一个啊，贪停刚好三，贪停刚好三，贪停 a 比上一个贪停 a 啊，就等于个根号三吧，那么 a 角数一个零到派是三角形内角，那么 a 角等于多少啊？贪停多少等于在零到派内，贪停多少等于一个我们的刚好三啊。好，那么这个第一问啊，这个 a 角就出来了，那么我们再看一下这个第二问， 第二问啊，看这个 a 角找出来之后呢？你们看第二问啊，第二问，他说，哎，这个 b c 边上的高是七分之三倍高，二是一啊， b 的 一个三，现在我们先把图画出来啊，先把图画出来， 嗯，请问这有个图，比如说这是 b， 这是 a， 这是 c， 你 看你这个 bc 边上高，是不是这样子呀？这个吧，你看，我就说这是 d 啊，这是 d， 意思就是说 ad 等于多少啊？ at 等于个七分之三倍，根号二十一吧，是吧？好，那么现在我们要知道啊， 可以先看，哎，我们要求周长 b， 这个 b 等于个三，我们是不是要把这个 a 求，把这个这个边上去了吧，这个就是小 a 吧，把小 a 和小 c 求出来吧，是吧？好，怎么求小 a 和小 c 呢？ 小 a 求小 c 怎么求啊？首先啊，在这个三角形 a， d c 中啊， a d c 中啊，你看我做的是高吧，是吧？所以是这样三角形啊，所以是不是有什么呀？是不是有一个 a d 比上一个小 b 的 一个三角 c 呀？是吧，你看 对边比斜边是不是什么？这个角的正弦值吧，能理解吧？啊，好，那么就是三角 c， 就是 啊，这个都有啊， a、 d 是 三分之七分之三倍高二十一吧， b 等于三吧，是吧？就是七分之三倍根号二十一，比上三就等一个七分之根号二十一了。好，那么现在我们继续怎么做呢？为了求这个 a 和 c 要有正弦定律啊，我们可以找出啊，找出 a 和 c 之间的关系，你看 这里有一个 a 比在三角形啊， a 比三 a 是 不是等于 c 比三 a c 呀，这是正弦定律吧，是吧，你看小 a， 但是三 a， 我 们知道三 a a 角出来了吧， a 是 三派吧，你看啊，比上一个三影三分之派点一个小 c 啊，小 c 比上三影 c， 三影 c 出来了，是七分之根号二十一。同学们要知道，这个三影三分之派它等于多少啊？它等于一个二分之根号三啊，那么就是一个 a 比上一个二分之根号三， 一个 c 比上一个七分之根号二十一。好，现在我们是不是可以把这个啊？我们把这个可以把这个除过去乘过去啊，那么就是一个二分之根号三乘一个根号二十一分之七，把它倒过来乘一个 c 啊，那理解吧，就把这个乘过去，然后把这个翻一下乘过去，哎，啊，那么就等于一个多少呢？ 就等于一个二分之根号七 c 了。好，现在 a、 a 和 c 的 等根关系我们找到了啊，你看 a 的 等关系找到了，现在占了什么呢？由余弦定啊。余弦定余弦定有什么呢？我们是不是有个 a 方？你看用的，你看余弦定有三个吧，余弦定有一个 a 方等于一个 b 方加 c 方加一个 减一个二 a， c 减一个 c 方等于 b 啊，也有个 c 方等于个 a 方加 b 方减一个二 a， b 可乘以 c， 是 不是？那么我们选哪一个呢？我们要选第一个啊，为什么呢？因为我们知道 a 角，是不是啊，我们知道 a 角，可乘 a 就 知道了吧，是吧，可乘 a 就 知道了啊。我们这里只求出了三乘 c， 没有求出可乘以 c， 是 不是啊？我们就直接用这第一个啊，因为 a 角已知了啊，就是 a 方等于一个 b 方加 c 方减一个二 b， c 可乘以 a 了。好， b 乘以 a， 那 么就多少 a 方 a 方是不是这个四分之七 c 方呀？等一个 b 知道了，题目有吧， b 等于三吧，是吧？ b 等于三啊，那么就是 一个三方就是九吧。九加上一个 c 方，减一个二乘三啊，减二乘三乘一个 c 乘一个可三乘以三分之派吧，同学们知道可三乘以三分之派等于一个二分之一啊，那么现在这个式子，我们全部把它啊 化掉，化简之后呢，就等于多少？移到一边去，就是一个四分之三 c 方加三 c 减九等于零啊，就这一个啊，就只只有 c 了吧，是吧，这是含 c 的 一个方程吧。那么你再把它两面同时乘一个四 乘以四，然后消一下你，我们就发现啊，它等于多少呢？它等于一个 c 方加四， c 减十二等于个零啊，你就化简一下。那么对于这样十字，十字乘法 c c 啊，你看这个十二可以把它分解成什么呀？是不可以把它分解成一个六乘一个负二啊？你看六， c 负二， c 加十二六， c 加负二， c 加负二， c 刚好是四 c 八，所以是 c 加六， 然后 c 减二等于个零啊。那么 c 等于二或 c 等于个负六啊，这个负六要舍去，因为我们这个 a 等于一个，这里有等于二倍 二分之根号七， c 吧，是吧，那么就是多少啊？就是二乘一个二分之根号七吧，那就等于几啊？就等于根号七吧。那我们周长 a 加 b 加 c 啊， a 等于根号七， b 等于题目有等于三吧。 c 等于多少啊？ c 等于一个二吧，所以就是一个五加根号七吧。啊，好，同学们，这题我们就讲完了啊。

我们来看一下粉丝一模的填空压轴题，它是这样一个问题啊， abc 是 一个等腰三角形， a b 呢等于 a c， 然后 b c 的 长度一百二，这两个角呢是告诉你的，现在让我们求 a d 的 长，好，我们来标一下哈，这个角是告诉你是等五十度，这个角呢是七十度， 那么我们很容易算出这个角是等于六十度，那这个六十度是关键对不对啊？六十度我们怎么去用？我们肯定会把六十度放到一个直角三角形当中，那么这个直角三角形我们去怎么去构造？我们可以向内构造，也可以向三角形到外面去构造，这里呢？我们向三角形到外面构造呢，会简单一点， 我们可以把它延长，然后过 a 点做垂线，那么这个六十度和以也要求的这个边呢，都放到了一个直角三角形当中，那么关键我们该怎么去求？好，然后呢我们再利用三角形的我们长度的一个辅助线，叫做三线合一，这条线 我们讲这里是 f 的 话，那么这个 a b f 和 a d、 e 这两个三角形它就全等了，全等，为什么呢？因为共用一个斜边嘛，然后这里是二十度，然后这里也是二十度。 好，那么 b f 的 长是六十，那么所以说 a d 的 长也是六十，我们进来呢求出 a d 呢等于四十倍，根号三啊，这个我们就分出来了。好，当然这里我们也可以怎么样向外面去够向内去构造，因为我们一般的都是习惯性的向内去构造，向外构造呢，我们不太容易能想到，那么向内构造我们又该怎么去做呢？ 我们来看一下，我们还来标一下哈，这是 d， 这是五十度，这是七十度，这是六十度过 c 点，所以是一个垂线啊，我们讲这里是 h 的 哈， 那么剩下怎么办，对吧？好，我们来还是观察角度哈，这里是二十度，这个顶角呢是四十度，它是与这里呢是两倍的关系，两倍的关系，所以说这里呢，我们去构造一个两个等腰三角形， 各到一个 d， g 的 长等于 a d 啊，那么我们假设 a d 是 x， 那 g d 也是 x， 这个也是 x， 那 我们查这个是 y 的 话，那么 a g 的 长也是 y， 那 么关键我们怎么样才能和一百二十这个边相联系上？好，这个时候呢，我们还需要怎么样 过 d 点做 a g 的 一个垂线啊？我们假设这个垂足是 f 的 啊，那么这个时候就会出现直角三角形全等，也就是这个直角三角形和这个直角三角形是全等的， 因为都是直角三角形，并且都有四十度和五十度这样的一个锐角，那全等就好办了。那么小直角三角形的斜边 x 要求的比上大的直角三角形的斜边一百二十，等于五十度的对边 a、 f， 也就是二分之一外三角合一， 比上这边 c、 h、 c、 h 呢？我们可以在这个三角形当中给它标出来等于二分之根号三外，进而求出 x 呢，也是等于四十倍根号三。

今天的这道题呢，很多人都在讲，但是我讲的这个方法，我相信你极少能看到，我们一起来看一看。这道题是扬州一摸的第七道选择题， 他说这个函数在范围内有两个零点，求它的值。很多老师在讲的时候呢，就看，哎，这是一个余弦减余弦， 所以核叉化机公式，把它化简没有问题。还有的呢，这里有一个三 x， 咱们学过三倍角公式的同学就可以把它化简，然后再用二倍角公式把 cosine 二 x 也化简，当然也没有问题。但是我今天想给大家讲的方法呢，就是我 我们特别熟悉的一种思路，遇见了余弦型函数呢，当然就去想整体法。所以大家来看，既然它们相等，那就是 cosine 二 x 等于 cosine 三 x， 这个方程的解就是圆方程的零点。 然后既然 x 的 范围是零到派，那么二 x 肯定是大于等于零，小于等于二派。而三 x 呢，是大于等于零，小于等于三派。我们不妨把前面这个当成 t 一， 后面这个当成 t 二。那既然都是余弦，咱们就画余弦的图像， 那么 t 一 和 t 二这两个数呢，肯定不一样，要不就是 x 等于零，所以我们来看，我随便画一条虚线，它的外值一样，那么我们就不妨令这个点对应的是 t 一， 这个点对应的是 t 二。我们来看一下，如果它是 t 一， 它是 t 二，那它俩的 cosine 值就一样。这个时候我们的二 x 加上三 x， 也就是 t 一 加 t 二，一定是这条对称轴的两倍，所以它就等于两个 pi， 那 么 x 就 可以等于五分之二 pi， 这就是 x 一。 那接着再来看，我们还可以让这个虚线在这个位置上，那么遇到了这个点和这个点，它俩的 y 也是一样的，那我们不妨设这个就是 t 一， 这个就是 t 二。 那有的同学说老师，不能这个是 t 二，这个是 t 一 吗？首先我们要满足它的条件， t 二是在零到三派的， 其次这两个交换位置其实也没什么区别，因为我们要的是它俩的和。那大家来看，此时的 t 一 加 t 二是不是应该是对称轴的两倍，也就是二 x 加上三 x 应该等于四派， 所以 x 就 等于五分之四派，那么这个时候它对应的就应该是 x 二，因为这两个数的值都在零到派之间，所以我们就解得了 x 一 和 x 二。 看又有同学问老师，为什么不能这个是 t 一， 这个是 t 二呢？这个问题问的很好，大家来想一想，如果这个是 t 一， 这个是 t 二，那么它俩的差值就是一个二派，换句话说就是三 x 减去二 x 应该等于二派， 你得到的 x 就 超越了这个范围，所以不可能出现刚才说的这种情况。那么了解了这些之后，那咱们再来看 cosine 五分之二派乘以 cosine 五分之四派的值该如何计算？这个就用到了一个三角函数恒等变换的计算技巧，大家发现没有，它俩是一个二倍关系，所以我给这个式子乘一个 cosine 五分之二派，再除一个 cosine 五分之二派。那么为什么要凑这个散印五分之二派呢？就是为了用正弦的二倍角公式，它俩二倍角公式是二分之一的散印五分之四派， 然后再乘以 cosine 五分之四派，这个东西就等于四分之一的散印五分之八派， 所以上边是四分之一散引五分之八派，下面是散引五分之二派，这两个角加在一起是二派，那么他们的正弦值应该是相反数的关系，所以最终答案是负的四分之一。 所以对于这道题目来说，我讲的这个方法呢，就是用大家非常熟悉的整体法，然后数形结合解得。你不需要知道三倍角公式，你也不需要知道和差化积。

在，我应该说在我还还在读初中之前还是有这个定型，后面被删掉，但这个定型真的是很好用。弦切脚定你听过没？原密三大定型，弦切脚定型胶 那个香蕉弦定理，还有切割线定理来，这个定理你可能说听过，但是你不知道怎么用。来看看这一题啊，如果说你能够掌握到那个模型的话，这一题他就是用那一个了。好，什么叫做弦切脚定理呢？ 我先把这个模型给你们讲明白啊，讲的过程当中你们不要做笔记，等下你们再慢慢做。那就是说在一个圆形里面，如果说 在一个圆形里面，如果说有一条线跟圆形有且只有一个交点的时候，这一条线是不是就叫做它的切线？ ok 吧？然后这个唯一的焦点叫什么点？切点 ok， 那 这里呢？有切线就有切点，那么我过切点去做圆形随便一条线段，这条线段是不是叫做弦？ o 不 ok， 那 这一个角就叫做弦切角， 这个角就叫做弦切角的度数，它会等于这个圆形里面这条弦所对的任意一个 圆周角的度数，也就是说角一会等于角二。好，怎么推的呢？首先你看啊，放回来这个圆在这个圆里面，角二叫做圆周角，那么我同一段弧呢？这里一段弦弦就会有弧吗？对不对？同一段弧所对的圆周角是不是都会相等？ 你把这个角二掰去一个你觉得最特殊的地方，哎，直径很好，就是把角二掰过来，拉到它成为直径的时候， 那个角二是不是就被你搬过来这里了？ o 不 ok， 就 这样子搬过来了。好，然后搬过来之后，哎，因为他过了圆心变成直径，这里是不是有九十度啊？所以你角二跟角三就会不匀。 ok， 不 匀再来。哎，在我连的这条直径的时候，刚好你这里是切线，所以我这一条半径，哎，刚好又会跟他对，就会垂直，所以就会有这么一个结果，就是角一加 角三对角一加角三就等于九十度，然后呢，角二加角三又是等于九十度，所以这个角一就会等于这个角二了吗？ o 不 ok， 先这一个定领叫做弦切角定领，弦切角定领。再说一遍，就是 在圆形里面，一条弦跟切线之间的夹角，它会等于这条弦所对的任意一个圆周角，这个能理解， ok， 哦，好，那所以来到这个图呢，你这么看过来，我们刚刚说这个圆形是有点必要的，所以我们提前做了上去吗？在你做了这个圆形之后，你自己观察一下 哪一条是圆形的切线， a 刀，还有 bc 的 a 刀跟 bc 是 不是都叫做圆形的切线？所以这里弦切角它是有两个的，第一个是哪一个？ a 刀？ a 刀？谁？这是切线，这是那条弦，所以第一个弦切角就在，哎，对啊，就是 a 刀一嘛。 好，再来，这写是一条切线，这是一条弦，所以下一个弦切角在，哎，就 b c 一 了嘛。 o 不 ok， 但是你看，哦，题目他想问的是这条比这条，那很明显 条件都在上面吗？所以就跟下面没啥关系，这一个你就不用管他了。 o 不 ok， 我 们就看上面那一个。好，再来，你知道了，这是一条弦，这是一啊，这是一条弦，这是一条切线。好，弦切角有了， 所以如果现在我让你以包一为弦，在这个方向看，这样子吗？这里是弦切角，在这里拉一个圆周角过去，包一在这往这里去拉一个圆周角，你想怎么 画？你随便画一个度数都会跟前切角相等的。问题是怎么画？这样子画一个圆周角过来，这个圆周角的度数就会等于红色这个角了，所以这个圆周角这样子画，这样子画，反 向延长。谁？ a e 延长 a e 为啥要延长 a e？ 挺好的，四相四相。哎，不知道为什么，但是你会有感觉的吗？如果我说我自己随便画一个，你真的是随便画的时候，你除了知道角相等没有任何条件，但是如果你延长了，延长就不一样的 pose 呢？ a e 把它一延长过来 再过来，是不是衔接脚定，你就会等于这一个角 o 不 ok 哎，然后谁跟谁相似了？哎，对，相似不就来了吗？所以怎么正的不用多说了啊， 三角形 a e 刀就相似于三角形 a e 刀相似于 a d h ok， 然后对应线段成比例，刚好题目给的那个就来了吗？ a e 比刀， e 就 会等于那个，这条比这条就会等于 ok， a 到比上到 h 好。 再来，如果我希望这个整体小一点，你会发现这里谁已经是个定值 a d？ 虽然说 a d 从来没有说过长度啊，至少有个两倍在那里嘛。两倍的话能不能把人家看作二 s？ 可以 哦，好，那如果这个是定值，它等于二 s， 如果我希望它整个很小，所以分母就得更 更，是不是分母得要更大？你分母越大，你怎么说就会越小嘛？那你觉得 d h 什么时候可以去到最大？对，当 d h 等于那条直径的时候，等于 c， d 直径的时候，它是不是去到最大值就等于？ 如果它等于二 x， 它就会是，对，它就会是 x 了嘛？所以二 x 比 x 就 等于二，最大值就等于二了呀， 对吧？但如果你说这一题我从来没有了解过，什么叫衔接脚定力，你要直接这么在这里拉一个脚延长过去，很抽象的，你考试你不会想得到的。 o 不 ok， 好， 这里还没完，顺便给你们把另外两个定力一起讲啊，这个叫衔接脚定力，还有一个叫 相交弦，还有切割线，那相交弦呢？是这样子的，这里从前有一个圆形，然后呢？圆形里面什么叫相交弦？就是两条弦在相对，然后呢？这里有一条，这里有一条，长度不一样，度数未知。 abcd 就 交于点一， ok 吗？哪两条弦一条一条相交好，然后我随便你连两条线，你想连谁？ 所以 a c 和 b 刀，或者是 a， d 跟 b， c 连谁都行完就对角连两个吗？对不对？为什么你想连这两个？ 连完之后就会有对，怎么这么相似？不用我多说了吧？ o 不 ok， 连了这两条辅助线之后再来。哦，你这两个象形能正相似了？我称它为 a， b， c， d 好 对应，线段成比例， a， b， c 就 会等于 a 比 c， 就 会等于 d 比 b， ok， d 比 b， 所以 交叉相乘之后， a 乘以 b 就 会等于 c 乘以 d， 这一个叫做相交弦定律好，相交弦 的结果意思是什么呢？在圆形里面有两条弦在相交，那么他们自己乘自己，等于自己乘自己。

二零二六扬州中考一模落幕，作为考前最具参考价值的全真模拟数人，每领两校试卷一出炉，立刻成为家长和考生关注的焦点，整体难度略高于中考百分之五到百分之十，完全贴合扬州中考命题思路， 但在三大维度上明显加码。阅读量、新题型占比情境化设计。这是一次高标准、高质量的考前大体检，阅读量普遍偏大，语文、英语道法尤为明显。新题型占比提升。数学新定义题、英语 ai 话题、语文跨学科融合， 都在考察现场学习能力，对信息提取和速度能力要求极高，情境化程度拉满。从 ai 论语到机器人保护装置，从青团文化到莺歌舞非遗 试卷与时代脉搏紧密相连。数人数学核心考点密的运算。反比例函数正方形旋转规律 圆锥测面积圆综合二字函数新定义关联三角形动点最直。每领数学核心考点倒数圆内接四边形旋转最直。反比例函数与矩形面积 新定义函数集团平衡点几何斗坠吞综合，两项方向各有侧重。一模不是终点，是中考冲刺的起点，把问题暴露在考前，才能在中考中稳操胜券。

市中区数学一模大题考点与难点，一分钟带你吃透本次大题啊，共十道 基础题，是稳拿分，中档题呢，是易丢分的哈，压轴题呢，是拉开差距的题。十六到十八题是基础送分题哈，考时数运算、不等式组 平行四边形的全等，只要步骤规范呃，这肯定是都能全对。十九到二十二题是中档核心呃，解直角三角形的实际应用，原综合切线证明 统计分析以及方程函数的最值哈，这部分是卡步骤算错数呢，是丢分的一个重灾区。 最后三道压轴题的大题是关键哈，二十三题是反比例函数的综合，二十四题是二次函数的平移加上角度的分值。二十五题是几何的旋转的探究哈， 重点呢，考察的是模型的构造以及复杂的计算，也是中考压轴的一个题型哈，而且是高频题型 呃，咱这次考试呢，是抓牢基础，突破中档，冲刺压轴，这考大题的提分思路啊，就清晰了。我是朱朱老师，关注我，升学不用愁！

梅岭初三党集合，一模一过，别再瞎努力了，结合这次梅岭一模的难度跟考点，帮你精准冲刺，少走弯路！很多梅岭同学啊，考完 一模还是陷入盲目刷题的怪圈，每天呢，熬到深夜，刷不完的试卷，背不完的知识点，可是下次遇到同类题啊，还是会错。还有同学呢，跟风刷难题，忽略了基础，结果呢，基础题丢分严重。要知道，这次梅岭一模告诉我们，基础扎实才能够拿高分，细心规范才能够拔尖。 结合每领一模的考试特点，最后冲刺呢，只抓三件事，精准提分不内耗，每领学子直接抄作业。第一呢，就是抓基础，稳拿百分之六十五基础分。这次每领一模啊，基础题占比百分之六十五， 都是课本核心考点，无论是语文的默写，英语的语法填空，还是数学的基础计算，化学的概念实际背诵，分题呢，一定要吃透，不丢一分，这是冲刺的底气。第二呢，就是盯难点， 突破高频易错点，重点攻克这一次英模的核心难点，语文的阅读四遍题，作文真情实感表达，数学的灵活应用题，化学的综合实验与计算。这些题型呢，不仅是这次英模的重点，也是中考的核心考点，每天呢，花三十分钟专项突破，比盲目刷题高效十倍。 第三呢，就是上复盘错题本用起来，梅岭一模的每一道错题啊，都是你提分的密码。每天呢，花二十分钟复盘错题，搞懂错误原因，整理解题思路，同类题型反复练，避免下次再犯，坚持下去，提分肉眼可见， 以笔为剑，以情为镜，梅岭一模不是终点，是冲刺的起点，愿每一位梅岭学子都能够找准方向，精准发力，把一模的遗憾变成中考的惊喜，记得点赞关注哦！

二零二六扬州中考一模正式落幕，作为考前含金量极高的全程模拟啊，数人没领。两套试卷一经公布便成为家长与考生的热议焦点， 那整体难度啊，略高于中考百分之五到十，命题思路完全贴合扬州本地考情，堪称一次高标准、高质量的考前大体检。那本次考试在三大维度明显加码，释放出清晰的中考信号。 第三大核心变化直击备考关键。一、阅读量大幅增加。语文、英语、道法三科尤为突出，文字信息量大，对阅读速度、信息抓取效率提出了更高的要求。二、新题型占比提高。数学新增 定义题型，英语聚焦 ai 话题，语文主打跨写学科融合，重点考察现场的学习能力，灵活度明显提升。三、情境化设计拉满。从 ai 轮历、基石保护装饰到集团文化、 音歌舞非遗考题，仅够时代的考点与传统文化学与智用导向明确。第二，数学核心考点。一、染数文卷啊密的运算，反比例函数正方形旋转规律圆圆锥侧面积圆综合二次函数 新定义题型，三角形动点最迟没领卷，倒数圆内接四边形旋转最迟。 反比例函数与矩形面积新定义涉及函数、平衡点、几何轴锥等。一模不是终点，而是中考空冲刺的重要起点，把问题集中暴露在考前，针对性查了补缺，才能在正式的中考中稳扎稳打，从容取胜。

天津市武清区高三的预谋考试已经尘埃落定了，我是在武清区的高中数学宋老师，今天呢，来跟大家剖析一下这套试卷的难度是怎样的。 呃，首先这个试卷啊，它的呃简单题和中档题的这个难度基本上和高考是一致，是持平的，但是它的压轴题，也就是难题的部分，其实没有到达高考的一个难度，比高考是要稍微简单一点的。 所以这次如果你部分区的一模考试呢，数学考了一百三十加，那么不一定代表你在高考里面能拿到这么高的分数，但是如果平时成绩在一百左右上下，这样的孩子 啊，那么说明啊，你的主要得分点还是在简单题，中档题，那这个试卷的分数对标高考是比较有参考价值的。 然后我注意的每一部分来剖析一下这个题目啊。首先来看选择题，选择题呢，整体上来出的是非常的 中规中矩和常规的，除了第九题，他稍微有点考察孩子们的这个空间想象能力，如果你平时在这个立体几何题目上面积累的不够多的话，那可能这个题你就直接放弃了。 但是前八道啊，按理说应该都是拿到分数的，好多孩子第八题做不对啊，双曲线，一看到双曲线呢就有点害怕。 嗯，但这个题的思路考察的真的不难，还是比较常规的，如果没有做对第八题啊，说明大家平时做题的时候，对于解析经验的一个积累啊，解析技巧的技巧，模型的一个记忆，还是需要再加强再巩固。 然后我们再来看填空啊，六道题啊，最后两道不好做啊，一如既往的向量比较难，然后呢，分段函数的零点比较难，但是前四道啊，真的是考的非常的常规，思路非常的 呃，这个中规中矩啊，所以这四道应该是要拿到满分的，如果你这四道有出现错误，那接下来要狠抓这四道题，好吧啊，去猛狠练狠练啊，因为这个难度的题目呢，是要拿到分数的。 然后接下来说一下大题，十六十七呢，非常常规十七题啊，注意审题，有的孩子审题不细导致丢分的啊，很遗憾。 十八题啊，是一个我一直以来非常去强调重点抓的一个题目，因为，呃，他是我们后三道大题唯一一个有希望拿满分的题目。你看这个十八题啊，他就是计算量也不大，然后思维量呢，也是呃，偏简单，所以这是， 嗯，非常有可能拿到十五分满分的一个题目啊，可以的，然后十九题，数列呢，较为常规啊，但是他第二问考的是并向的一个拓展，需要并四向。第三个呢，考的是放缩，就接触过这个题目的同学可能觉得会做能上手，但是没见过的还是会觉得有点难啊。 二十题的导数，前两问特别的简单啊，第三问呢？还是啊，做过的同学啊，专门练过的可能觉得 ok， 但是他没接触过导数的，可能第三问还是会觉得难，但整体来说呀，这个数列和导数难度是低于高考。

这份试卷是扬州市梅岭的一模考试试卷，下面的话，我会用一个高中老师的视角去解决这份试卷里的压轴题。如果你对于初中的知识已经学得非常的熟练了，那么你并且你也涉及过高中的知识，那么你不妨可以从不同的视角来看看这些题目它是怎么样解决的。 好，我们先看单选压轴第八题，他说在直角三角形 a b c 中，那这是个直角三角形，并且告诉我们这个角是直角 c a 是 等于 c b 等腰直角三角形，他说 c d 是 绕着 c 点去旋转的，也就是说 d 点是走的这样一个圆轨迹，握 b 点往 a d 去做垂线 交射线， a d 于 e 点，他说若 c d 等于二，我们 a e 长度的一个最大值。好，也就是说这里动的唯一动的一个东西就是这个 d 点啊。我们把 d 点的轨迹画出来， 它是一个半径为二的一个圆，那么我们想一下 a e 怎么样才能取到最大？如果我们希望 a e 取到最大，是不是就等同于希望 b e 要取到一个最小啊？因为你 a b e 这个直角三角形，它的这个斜边是固定的，是等于四根号二的，对不对？ 那么 b e 怎么样取到最小呢？那么我们是不是就应该要让这个 a e 这条线怎么样尽可能压的低一点，比如说 a e 抬高了，那么你这个 b e 是 不是肯定会变大？是不是？那么它怎么样能够让 a e 压到最低呢？那肯定是刚好啊，相切的时候刚好，这里 相切的时候啊，此时这个射线 a e 的 位置是最低的，那么 b e 长度是最短的，所以 a、 e 长度会最长。好，我们知道这段长是二，这段长是等于四，那么这个比例不就出来了吗？所以我们可以推到这个角度是三十，所以我们就可以得到这个角度是等于十五度，那么我们就可以在直角三角形 a、 e、 b 中 写 a 就 等于好。 ab 再乘以一个 cosine 十五度，所以它就等于四根号二，再乘以一个四分之根号六，加上一个根号二，四就低掉了，所以它就等于二根号三加上一个二。所以这道题选 boy。 好， 我们继续看十八题。 十八题他告诉我们，在四边形中，角 b 等于角 c 等于角 d 啊，并且角 b 是 一个锐角 c， d 等于 a， d 等于三，这是三，这是三。他说当 bc 长度取到最大值的时候，要问我们此时 ab 的 一个值， 那么你要知道角等的话，在初中数学里面只一般只有三种，就是要么是等腰，要么是啊，这个全等，要么是用来称相似。而求线段长度的话，我们一般可以用勾股对吧？或者用相似，或者用等积对吧？那么也就是说这里共性的一个问题就是相似，也就在这里我们应该要去想办法构建相似， 那么怎么构建呢？啊？我们可以过 a 点做 c、 d 的 一个平行线啊，我记它为 e 点，那么做完这个平行线之后，我们是不是就可以把这个角 c 给它挪到这里来，所以我们顺便它就形成了一个等腰。同样的道理，我们可以过 a 点做 bc 的 一个平行线， 那么我们是不是也可以把角 c 挪到上面来，所以这时候我们就会形成两个等腰三角形，我们可以假设 bc 的 长度为 y， 假设 ab 的 长度为 x， 那 么我们就可以得到这个也是 x 啊，对吧？它是等腰，并且中间这块是不是形成了一个平行四边形，所以我们就可以把三挪下来，所以这里就是 y 减去一个三， 好，然后这里也是 x， 这就变成了三减 x， 并且我们可以得到这两个等腰三角形啊。这个等腰三角形和这个等腰三角形它是相似的，所以我们就可以写相似比了。 x 比上一个 y 减三，就等于三比上一个三减 x， 所以 我们就可以得到三倍的 y 减三，就等于这 x 乘一个三减 x， 所以 我们可以得到 y 减三，就等于三分之 x 乘一个三减 x。 如果我们想要让 y 取到最大，那么我们等同于需要让它取到最大，它是一个开口向下的二次函数，当解仅当 x 等于一点五的时候，它会取到最大值，所以这道题目应该是一点五。好，继续我们来看二十八题。 二十八题他告诉我们 ab 等于 bc， 哦，这是个等腰三角形，告诉我们 abc 等于一百二十度，那也就说它的形状也定了。他说 d 点是它的一个中点， e 点是 a d 上面的一个动点啊。然后呢，他说把 bc 绕着 b、 e 去进行一个对称，那么也就是说对称我们就可以得到 角 e、 b、 c 这个角度就等于角 e、 b、 f 这个角度。他说当 a、 b、 f 为等腰直角三角形的时候，要我们去求 a、 b、 e， 哦，也就是说我们知道这个角度就变成了九十，那么我们不妨假设这个要求的角度为 c 塔，所以这个角度是不是等于一百二十度减 c 塔？哦， 我们又知道它有这样的一个等量关系，好，反之得到等量关系，所以我们就可以得到九十度加 c 塔，就等于一百二十度减 c 塔，所以我们就可以得到二 c 塔，就等于三十 c 塔等于十五。第一问就结束了。 好，第二问，第二问，他说，若延长 fa， 我 们是否可以得到角 g 的 大小是不变的啊？如果是不变的，请求出 g 的 大小，那么这种定角的问题，我们是不是一般都是通过倒角的方法来解决的？所以我们可以照葫芦画瓢吗？我们可以假设这个角度为 c 塔，那么我们就可以得到这个角度是不是应该是一百二十度减 c 塔？ 然后我们可以根据你的一个翻折可以得到角 g， b， c 是 等于角 g b f 的， 所以我们就可以推到这个角度，应该是等于一百二十度，加上减去一个二 c 塔。 好，然后呢，我们又知道 b a 是 等于 b f 的， 它是一个等腰吗？对不对？所以我们就可以得到这个角度，就等于三十度加上一个 c 塔。啊，这个角度也是三十度加上一个 c 塔，那么我们就可以用内角和推到这个角了。 那么在三角形 g f b 中，我们就可以得到角 g 就 等于一百八十度，减去一个三十加 c 塔，再减去一个一百二十度减二 c 塔， 再减去一个 c 塔，所以我们就可以到角 g 就 等于三十度。那它是不是一个定角式的角 g 的 度数是三十？好，那么他问我，若 ab 的 长度是等于二的，我们可以标注一下 ab 的 长度等于二。他要问我们 b、 f、 g 三角形面积的一个最大值， 你告诉我 a、 b 等于二，就等同于告诉我 b、 f 等于二吗？那么你这里又是一个定角，它就是定角对定弦引圆。哎，所以我们可以把这个圆给它找出来 啊，定角对定弦，这是 f， 这是 b。 好， 你要是这个角度是多少？是三十度，所以我们就可以得到你的圆心是圆心，角是应该是等于六十度。 好，我们又可以得到这里是二，所以我们就可以到这里是二，这里是二。那么 g 点在这个圆上运动的过程中，它是不是肯定是在正上方的时候高最高，它的面积会最大，所以我们就可以得到这里是二，这里是根号三，所以我们可以得到它面积的一个最大值，就等于二，加上一个根号三。 他要问我们此时 a、 e 的 一个值，我们会发现当它面积取到最大的时候，也就是说它这个三角形形成了一个三十度、七十五度、七十五度的这样的一个等腰三角形，所以我们就可以得到我们的 c 塔是不是等于四十五度， 所以我们要求 a、 e 的 一个大小。我们可以写一下角度，这个角度是等于四十五度。好，然后这个角度是等于三十度，所以在三角形 a、 e、 b 中， 我们可以用正弦定力，可以得到 ab 比上一个 sin 一 百零五度，就等于我们要求的 a、 e 比上一个 sin 四十五度，所以我们就可以得到 a、 e 就 等于 二乘一个二分之根号二，除一个四分之根号六加上一个根号二。好，所以上面可以同时约掉一个它上面就可以变成四根号，底下变成根号六，加根号二就等于四，比上一个根号三加上一，所以就等于二倍的一个根号三减一，答案就写成二根号三减二。 那么我们可以回顾一下，在这三道题的过程中，我们有两道题是用到了高中的知识，那么这个第八题我们用到了一个三角的一个合角公式，求到了 cosine 十五度，当然这个东西在高中的话还是需要大家直接去记住它的，会用比较方便一点。然后在最后一题的过程中，我们求最后一个空 的时候，用了一下正弦定力的一个使用，那么正弦定力再去求一些三角形的问题的时候，也是非常好用的啊，对于初中生的话也是可以去掌握一下它的。