横坐标距离公式

函数当中的避讳公式之两点之间的距离公式，掌握了这个公式啊，老师见到你都会说，真是纱布擦屁股给我露了一手啊。那我们现在看一下这个两点之间距离公式到底是什么玩意啊？已知平面内两点， a x 一， y 一， b x 二， y 二，然后让你求这个两点之间的距离是多少。 那此时呢，我们直接利用两点之间的距离公式啊，得到 a b 之间的距离，它等于根号下 x 一减 x 二的平方，加上 y 一减 y 二的平方啊，这个 x 一它就代表着 a 的横坐标，对吧？ x 二代表的是 b 的横坐标， y 一呢，代表的是 a 点的纵坐标， y 二代表的是 b 点的纵坐标，是不是非常的好记，其实就是横坐标叉的平方加上纵坐标叉的平方，再开一个根号就可以了。那我们也要理解一下，它到底为什么是这样的一个公式啊？那我也告诉你啊， 这个公式的本质啊，它其实就是勾股定理啊，为什么呢？我连接一下 a b， 然后过 a， 做 x 的平行线，过 b 呢？做 y 轴的平行线，这样的话，他们是不是会有个焦点啊？我假设这个焦点是 c， 那此时这个三角形 a c b， 它是不是一个直角三角形啊？而且我们可以表示出点 c 的坐标吧， 点 c 的横坐标应该和 b 的横坐标一样，都是 x 二，对吧？那点 c 的纵坐标呢？是不是应该和 a 的纵坐标一样是 y 一？ 所以此时我们可以表示出 b c 的长度啊， b c 的长度它是多少呀？它是不是绝对值的 y 二减 y 一啊？而 a c 的长度也可以表示出来呀，它应该是绝对值的 x 二，减去 x 一， 所以 a b 的长度是不是直接通过勾股定理啊，他得到的式子就是这样的一个式子了呀，那掌握了两点之间的距离公式啊，他到底有什么用呢？哎，用处简直是非常的多。 那我这边举一个非常简单的例子，给你个坐标轴，给了你一个 a 点，他是负二斗四， b 点呢，是一斗二，点 c 在 x 轴上啊，点 c 在 x 轴上。问你这个三角形 abc 啊，他是以点 b 为顶点的，等腰三角形的时候， 让你求点 c 的坐标。好，题目当中非常非常关键的一句话是什么？就是这个三角形，它是以点 b 为底点等腰三角形， 所以我们应该可以得到这个三角形的边的关系啊，应该有一个 a b， 它等于 b c 吧。那 a b 等于 b c 的话，我们其实可以计算出 a、 b 的长度， 怎么计算呢？还是我刚才说的两点之间的距离公式对吧？我们通过 a b 的坐标就可以计算出 a、 b 的长度，它等于根号十三。那 a、 b 的值知道了，接下来是不是要求 b、 c 的值呀？那你要想求 b c 的值， b 的坐标知道了，那是不是还缺一个点 c 的坐标呀？那点 c 的坐标是多少呢？哎，不知道，但是我们知道点 c， 他是在 x 轴上运动的呀，所以我们可以设点 c 的坐标，他是 a 斗零。设完点 c 的坐标之后，我们就可以通过两点之间的距离公式来表示出 bc 的长度， 那么分别把它们坐标带入到我们的公式当中，就得到 b c 的长度，它等于根号下一减 a 的平方，再加上一个括号二减去 零的平方，得到 b， c 的长度是根号下一减 a 的平方，再加上一个二的平方，就是四吧。 通过我们刚才说的 a、 b 等于 b、 c， 对吧？得到它的值，应该是等于 a、 b 的长度等于根号十三，所以等号两边同时平方啊，就可以得到一减 a 的 平方，加四等于十三，也就得到了一减 a 的平方等于九吧，所以得到一减 a 等于正负三啊，那 a 的值第一个是负二 啊，第二个应该是四，所以这时候有同学就说了啊，老师这道题目就做完了，点 c 坐标是负二斗零或四斗零，那你觉得对吗？ 不一定，为什么，因为你忘了很重要的一个步骤啊，就是检验检验，那到底检验什么呢？看一下啊，我们刚才是不是求出两个值，第一个是负二斗零啊， c 在这边，那这种情况乍一看肯定是没有问题的，对吧？ a、 b、 c， 它是一个等号三角形，但是第二种情况你看一下啊， 点 c 的坐标是四斗零，它在这里，那这种情况会让我们产生一个顾虑啊，是什么？就是 a、 b、 c， 它有没有可能是贡献的？那如果是贡献的话，虽然说 a、 b 等于 b、 c， 但是它不能够构成一个等腰三角形， 那对吧？所以我们这时候需要简单的去检验一下啊，怎么检验也很简单，你求出 a、 b 的解析式啊，求出 a、 b 所在之间的解析式，那这边呢，你可以利用代替系数法 得到 a、 b 所在直线的解析式，它是 y 等于负三分之二 x 加上三分之八，那当 y 等于零的时候，得到 x 的值，它等于四，也就是说这条直线它与 x 轴的焦点就是四斗零， 恰好就是我们求的这个点 c 的坐标，因此我们可以判断此时 a、 b、 c 三点光线，那这种情况我们就要把它舍去，对吧？这个四的情况我们就要把它舍去，所以我们点 c 的坐标只能是负二斗零。好，那这个就是两点之间的距离公式的妙用啊，那你学会了吗？

这简直太酷了！ 先看一下坐标轴， 正正对角符号相反，负正对角符号相反。 根据勾股定理，斜边平方等于两个直角边的平方和 带入 x y。

各位同学大家好，我是刘老师，今天刘老师带着大家一起来证明一下在平面直角坐标系里边的点到直线的距离公式。首先我们看到这个平面直角坐标系啊， x y 轴 在这个坐标系里面呢，他有外等于 kx 加 b 啊，这么一条直线，也有一个点， px 零到 y 零，红色的这条线呢，就代表这个点 p 到直线啊外等于 kx 加 b 他的一个距离。 我们的目标就是要用 x 零， y 零以及 k b 这些啊已知的参数表示点 p 到这条直线的 距离。那么这一节课呢，刘老师采用的是三角函数法来证明，本来 证明这个公式应该最常用的是在高中阶段的啊项链法，但是呢，我们在初中没有接触项链，我们只有利用三角函数给大家证明一下， 如果在平面直角坐标系一次函数学的好的同学啊，你们都会知道直线与 x 轴的夹角啊，假色角 c 他的话，那么弹剑的 c 他也就这个角的正贴纸啊，他就是等于直线的 k 指的。 这样一来，我们就把三角函数和斜率联系在了一起， 怎么表示红色这条线呢？我们需要构造一个直角三角形，首先已经有了啊，垂直，我们直接过点屁 做一条平行于外轴的直线交，这条直线呢，有一个点讲述，这个点叫 m m 点的横坐标肯定也是 x 零，他的重坐标就是 k 背的 x 零加 b 啊，直接带进去这个直线的键是就可以了， 那么这样一来，很明显就可以得到 pm 是等于 y 零减去 k 位的 x 零 减臂的。由于啊，我们不知道这个点屁他到底啊是在这个直线的上方还是在下方，我们点屁的位置是任意的，所以这里边我们对 pm 要打一个啊绝对值的符号 啊，不管他在哪里啊， pm 这段一定是这么多球，到了 pm 的长度，我们就要巧妙的利用三角函数来球的红色啊，这条线段的长度 假设啊，这个焦点为 n， 好描述一点， 很明显呢，三角形，那 pnm 就是一个直角三角形， 刚才说了这个脚是 c 塔，那个这个脚通过倒脚我们可以得到这边这个脚脚屁他也等于 c 塔。 很明显啊，因为这个 c 塔的对顶角这里是 c 塔啊，这个 c 塔呢，加上这个啊 m 等于九十度，然后这个 m 呢，加上这边脚屁也等于九十度，所以啊，这个脚屁啊，他就等于 c 塔， 这样一来我们就可以构建一个啊三角函数的等量关系，就是啊， pm 乘上扣三 e c 打就应该等于 p n 间接把屁人表达 出来，所以 pn 就等于绝对值啊，里面装的是外零，减去 k b x 零再减 b， 然后乘上扣三也 sat。 我们现在的任务就是要把这个 c 塔啊用 k 来表示出来，因为有了之前的贪剑的 c 塔啊，这个等量关系很快就可以表示出来，贪剑的 c 塔在三角函数里面等于三 e， c 塔除以扣三 e， c 塔等于 k， 间接就可以表示为啊三 ec 他等于 k 一倍的靠三 ec 他。 我们又发现呢，为了替换科三以 c 他，我们希望把这个等式里边的啊三以 c 他换成科三 赛赛塔，赛赛塔，怎么换呢？我们有一个公式就是赛赛塔，他的平方加上 co 赛赛塔的平方差是等于一的，所以咱们只需要将这个式子啊给他两边先平方， 然后再用这个等式一换，我们就可以得到。这样一个等式就是一减去靠三营 c 大的平方，他就等于 k 平方，乘上靠三营 c 大的平方 转化一下呢，最后就可以得到 co 赛 c， 他是等于根号下 k 平方加一分之一的，所以 我们只需要这个时候啊，把它带到这个柿子里边去就可以得到。原来呀， pn 就等于 y 零，减去 k 一倍的 x 零，减去 b 的绝对值啊，再乘上一个 k 方加一开根号分之一。 我们稍微把这个公式整理一下，永红色的笔啊写给大家， 就是 pn 等于根号下 k 方加一，然后 分子上面是 k 倍的 x 零啊，减去外零加上 b， 他的一个绝对值。不很好理解，关键是啊，这个分子如何理解呢？我们可以把点 p 的坐标直接带入 啊，这个直线就可以得到 y 零，是等于 k 一倍的 x 零，加 b 的 全部移到一边就可以境界的得到 k 一倍的 x 零啊，减去外领加 b 是等于零的。所以上边分子啊，这个式子怎么来的？实际上这个式子就是把我们已知点的坐标带入这个直线里边就可以了，所以 pn 也就是点 p 到这条直线的距离。公式是非常具有实际意义的，只需要知道一个已知点，再知道一条已知直线，把点的坐标带入直线方程 作为分子，然后分母呢，就是斜对的平方加一开根号，就可以非常方便的求出距离，大家不妨可以试一试，看行不行呢？

同学你好，我是大潘。要想顺利的解决树轴上的动点问题，我们要先了解几个非常重要的公式。我们先来看第一个公式，树轴上的两点距离的通用公式。 首先我们来看数桌上的一个点到圆点 o 的距离应该如何来表示，假如我们不知道点 a 所表示的数小写的 a 是正直还是复制，那么我们就要分两种情况来探讨这个问题。 第一种情况是 a 是一个正数啊，假如说 a 等于五，第二种情况呢，是 a 是一个负数，那假如说 a 等于负五，在课本上呢，有这样一条定义，那就是关于一个数的绝对值，数轴上表示数 a 的顶 与远点的距离就叫做 a 的绝对值，记做 a 的绝对值这样的一个符号。好，那我们先来看第一种情况，当 a 是一个正直的时候，那么线段 oa 就是点 a 的绝对值，那么 oa 就等于五的绝对值等于五。那假设 a 是一个负值呢？那线段 o， a 就等于负，五的绝对值 等于五。我们发现，无论 a 是一个正值，或者是 a 是一个负值， 那么都可以用 a 点表示的数的绝对值来表示啊，线段 oa 的长度。所以说呢，我们就可以总结成一个通用的公式，那就是线段 oa 的长度等 a 的绝对值。在一条水平向右的数轴上，有 ab 两个点，其中 a 点表示的数是小写字母 ab 点表示的数是小写字母 b。 那现在我们知道 a 点和 b 点的相对位置是 a 在左， b 在右，那如何来表示线段 ab 的长度呢？ 虽然我们知道点 a 和点 b 的相对位置，但是我们并不知道原点在哪里，所以我们要分三种情况来探讨这个问题。 第一种情况，点 a 和点 b 都在原点 o 的右侧，也就是说 a 大于零， b 也是大于零的，那此时线段 ab 的长度，我们可以通过受抓非常直观的观察出来，就等于 线段 ob 减去线段 oa。 通过刚才的学习，我们知道线段 ob 的长度就是点 b 所表示的数五的绝对值， 那线段 o， a 的长度就是点 a 所表示的数二的绝对值，我们去掉绝对值等于五，减二等于三。 第二种情况，点 a 和点 b 都在原点的左侧，也就是说 a 和 b 都是小于零的，那此时线段 ab 的长度 我们可以观察出来，它是线段 o， a 减去线段 ob， 那就等于 a 表 四的数的绝对值，负五的绝对值减去 b 的绝对值，也就是负二的绝对值 就等于五，减二等于三。那第三种情况是，点 a 和点 b 在圆点 o 的两侧， 也就是 a 是小于零的， b 是大于零的，那在这种情况下，线段 ab 的长度等于线段 oa， 加上线段 ob， 也就等于负二的绝对值，加上五的绝对值等于二，加五 等于七。通过对以上三种情况的讨论，我们发现一会加，一会又减，非常的不确定， 那能不能找到一个通用的公式可以解决所有的问题呢？我们来这样思考线段 ab 的长度，他是一段实际的距离，所以 ab 一定是大于零的， 那通过数轴的方向呢？因为 a 点在 b 点的左侧， b 点在 a 点的右侧，所以说我们可以得到 b 一定是大于 a 的。 那如何通过 ab 进行运算，得到一个确定大于零的数呢？我们知道大数减小数一定可以得到一个大于零的数，所以说 b 减 a 一定是大于零的。 那 b 减 a 能不能表示线段 ab 的长度呢？我们可以用以下三种情况来检验一下。我现在看第一种情况，我们用 b 减去 a， 五 减二，可以得到正确的结论。三。那在这样图上呢，我们用 b 减 a， 也就是大数减小数，我们可以得到负二减去负五就等于负，二加五等于三，我们也可以得到正确的结论。 那在这张图上，我们用 b 减去 a， 也就大数减小数五减负二等于五，加二等于七，我们发现也可以得到正确的结论。 因为在竖轴上，右边的点一定大于左边的点，所以我们就可以总结出与之相对位置的两个点的距离， 我们就用右边点的竖直减去左边点的竖直，我们可以简单的记为右减左。 如果在题目中并没有给出点 a 和点 b 的相对位置，只告诉我们数轴上两个点 ab 表示的数分别是 ab。 让我们求线段 ab 的长度应该如何来处理呢？常规的方式我们应该分两种情况，经讨论，第一种情况是 a 在右哦， b 在左，此时线段 ab 的长度，我们应该用右边的点 a 减去左边的点 b。 那第二种情况呢？是 a 在左， b 在右，那此时线段 ab 的长度应该用右边的点 b 减去左边的点 a。 那如何把这两个公式统一成一个公式呢？我们来思考一下， a 减 b 和 b 减 a 是什么关系啊？我们知道 a 减 b 等于负的 b 减 a， 也就是说他们两个是呼为相反数的，那我们知道呼为相反数的两个数，他们的绝对值是相等的。举个例子，二和负二是一组相反数，那如果给他两个加上绝对值， 那么二的绝对值就等于负二的绝对值。所以说 a 减 b 的绝对值 就等于 b 减 a 的绝对值。所以我们要想把这两个公式统一成一个公式，只需要把 a 减 b 加上绝对值就可以了。所以我们可以总结一下 线段 a b 的长度。在不知道点 a 和点 b 相对位置的情况下，我们可以用 ab 等于 a 减 b 的绝对值来表示。通过本节课，我们就 找到了数轴上两点距离的通用公式。我们来总结一下，一个点与圆点 o 的距离就等于这个点数值的绝对值，我们可以简单的记为 o a 等于 a 的绝对值。如果知道在数轴上两个点的相对位置， 那这两个点的距离，我们应该用右边点的数值减去左边点的数值，也就是用大数减小数记做右减左。 那如果我们不知道在数乘上两点的相对位置关系，我们可以用两个点数值差的绝对值，我们简单的记为 a， b 等于 a 减 b 的绝对值。 学习了这几个通用公式之后呢，我们来做一道题巩固一下。如图所示，数数上有 ab， 两个点 表示的数分别是负五和四。数轴上有一点 m， 表示的数为小写的 m， 一共有三个小 t， 第一个小 t 让我们求线段 o a， o b， o m 的长度，我们来写一下解题步骤。解 第一个小题， o a， o b， o m 都是点到远点的距离，我们可以用这个通用公式， 那就是点到远点的距离等于这个点所表示数的绝对值，所以 o a 就等于 a 点的表示数的绝对值，也就是负五的绝对值等于五。 o b 等于点 b 数值的绝对值等于四的绝对值等于四。 om m 表示的数是小起来， 所以啊， om 就等于 m 的绝对值，因为我们不知道 m 的正负，所以我们可以给他带着绝对值符号就可以了。 第二个小题让我们求线段 ab 的长度，线段 ab 的长度就是速度上两个点的距离， 我们知道了点 a 在左，点 b 在右，所以我们可以用右减左这个公式，那现在 ab 的长度就等于右边的点 b 的数字四减去左边的点 a 的数字负五等于四加五等于九。我们来看第三个要记 求线段 ambm 的长，因为点 m 在哪里我们根本就不知道，我们也不知道他和 ab 两点的相对位， 所以我们要用到第三个公式，那就是不知道相对位置的两个点，那么他们所组成的线段长度应该是等于两个端点数值之差的绝对值啊。那 am 就等于 a 的数值负五减去 m 的数值， m 就可以写成这样就可以了。如果你想进一步给他画剪，把五前面的符号给他去掉，我们也可以这样来写，他就等于 负的五加 m 的绝对值，对吧？那我们可以给他把负号去掉，等于五加 m 的绝对值也是可以的。那线段 bm 呢？就等于 b 点的数值四 减去 m 点的数值小写的 m， 哎，所以 b m 就等于四减 m 的绝对值。

今天这个视频讲解一下关于二字函数的一个小结论。 y 等于 a， x 的平方加 b， x 加 c 的图像交于 x 等于 a b 两点，那么 a、 b 之间的距离就等于 a 的绝对值分之根号 德塔。那这个公式怎么进行证明呢？其实也蛮简单的， a 点的横坐标我们可以设为 x 一， b 点的横坐标我们可以设为 x 二，那么 a、 b 之间的距离就等于 x 一减 x 二的 绝对值，再把它进行平方， x 一减 x 二的平方等于 x 一的平方减二倍的 x 一， x 二加 x 二的平方，它就等于 x 一加 x 二，括号的平方减 减去四倍的 x 一 x 二。那为什么要写成这种形式呢？因为写到这，我们就可以利用伟达定理，把 x 一加 x 二和 x 一乘 x 二给它换掉。 x 一 加 x 是等于负的， a 分之 b 的， x 一乘 x 是等于 a 分之 c 的，往里面带入，那么圆式也就等于 a 的平方分之 b 的平方 减去一个 a 分之四 c， 然后进行通分，他就等于 a 的平方分之 b 的平方减 四 ac。 所以那么 ab 之间的距离就等于把它进行开根号了，就等于 a 的绝对值分之根号得他。那这个小结论你记住了吗？

函数当中的必会公式之点到直线的距离公式，掌握了这个公式啊，老师见了你都会问，你把这道题目做对 是故意的还是不小心是故意的？那我们一起来看一下啊。题目当中给了你一条直线 y 等于 k x 加 b， 又给了你直线 y 一点 m， 它的坐标是 x 零 y 零， 然后让你求这个 m， 他到这条直线的距离为多少。那我们的传统做法什么样子的呀？我们过 m 往 x 轴做垂线，然后通过 m 点的坐标和这条直线的解析式呢，我们可以表示出这条线段的长度， 也可以表示出这条线段长度，然后通过勾股定理求出这个三角形斜边的长度啊，当然了，也可以表示出他的长度，然后通过这个三角形与这个三角形相似，通过三角形的相似比呢，就可以求出这一段长度 d 了。那当然了，这个做法会比较的麻烦， 所以我接下来直接告诉你点到直线的距离公式，让我们五秒钟就搞定他。那点到直线的距离公式到底是什么呢？突破口就在这条直线的解析式当中，我们把这条直线的解析式稍微变个形啊，变换成 ax 加 by 加 c 等于零这样的一个形式， 然后 m 点到这条直线的解析式直接就可以写成 d， 它等于根号下 a 方加 b 方分之 as 零加 by 零加 c 的绝对值。看似很复杂呀，但其实很好记，看一下分母它是什么？分母它是根号下 x 的系数和 y 的系数的平方和，对吧。然后分子是怎么产生的呢？ 我们直接把 m 点的坐标带入到我们刚刚变形完成的这个方程当中去，最后在它外面加上一个绝对值就可以了，那这就是点到直线的距离公式。当然要提醒大家一句，这个公式是我们推导出来的，所以不可 可以直接用在解答题当中。那接下来我们一起看个小例子，求这个点 a 负三斗二到这个直线的距离为多少？那根据我刚才说的步骤啊，我们先对这条直线的解析式做一个变形，我们稍微一个项得到它是四分之三， x 加 y 加四分之三等于零，那画成这样的形式其实我们也能够计算，但为了我们计算更方便，我们再稍微变一个形， 把前面的分数，后面的分数把它化成整数，因此我方程两边同时乘以个四得到它，其实就是三， x 加四， y 加三等于零，然后直接套用我们点到直线的距离公式得到 d， 它等于根号下 a 方加 b 方，就是 x 和 y 的系数的平方和，那就是三的平方加四的平方，然后分子是什么呢？我们直接把点 a 的 坐标带入到这个方程当中去得到，他是三乘一个负二就是负六，加上四乘一个三就是十二，再加上三。最后不要忘记啊，在他外面加上一个绝对值，以保证我们这个距离他一定是大于零的啊。 所以简单的计算一下，得到分母，不用我多说了吧，根号下三的平方加四的平方就是五嘛，那分子呢？十二减六，再加三就是九，所以点到这样的距离，我们五秒钟就可以把它给求出来，那你学会了吗？

大家好，我是梦伴班长啊，最近有点感冒了，昨天就没有更新，然后今天呢，我们一起来看一下二点三这一节呢，就是直线它的焦点坐标和距离公式。 哎，那大家也能发现啊，焦点坐标合距的公式其实包括直线的两种这个位置情况，对吧？如果两条直线他们平行的话，我们可以去看距离，那如果是香蕉的话，我们可以去看一下他的焦点。那我们先从第一种情况，就是香蕉 如果两条直线相交的话，我们怎么去求出他的这个交点坐标呢？那我们先把两条直线他的方程写出来。首先 l 一，我们设它为 a 一倍的 x 加上 b 一倍的 y， 加上 c 等于零。我们设 l 二，为 a 二倍的 x 加上 b 二倍的 y 加上 c 二等于零。那同学们看，如果这两条直线它是有焦点，我们设为焦点 p 的话，那也就说明我们 p 这一点它记在 l e 上，也会在 l 二上，也就说明我们 p 点它的坐标。如果我们说为 x y 的话，这个 x y 它既满足 x 一这个 等式，也满足 l 二直线这个等式。哎，那这样其实我们就得到了一个方程组，对吗？因为它系在 l 一上，也在 l 二上，所以他一定会满足这样的方程组的。那当我们解除这个方程组，两个方程两个未知数，我们就能够得到批点他的坐标， 那说明如果你要去求解两条直线它的交警坐标就相当于去解 l e l 二这两个方程所构成的这个方程组的减。那我们拿一个具体一点的例子，比如说我们 l e， 它就等于三倍的 x 加上四倍的 y 减去二等于零，而 l 二呢，就等于二倍的 x 加上 y 加上二等于零的话，那这样我们当解的时候， 哎，我们就可以进行一个消炎，比如说我们直接让这个二十乘四，那这是八倍的 x 加上四倍的 y 加上八等于零，然后再跟上面一减，哎，我们用这个式子去减去一，是的话，那会等于五倍的 x 再去加上十等于零，那说明 x 会等于负二， 哎，而外呢，我们只要代入到二十里面，会得到只是负四，再加二，那外会等于二，那这样其实也就说明了， l 一跟 l 二交点坐标就是负二，二， 哎，大家可以理解哦，哎，所以要解焦点的话，相当于解一个 ledl 这两个方程的方程组，如果他们有焦点，说明他们是相交的，那同样如果他们没有焦点，你发 现在误解，那说明他们就不相交吗？就不存在这个焦点，那这样的话，我们就可以来判断几对直线他们的位置关系，如果香蕉的话，我们可以求一下他们的交警坐标， 好，那时间留给大家，大家可以自己先判断一下，然后我们可以一起来对一对 好，大家判断完了吗？那我们从第一个来开始看，不好意思啊，同学们，今天嗓音可能有点奇怪，首先第一个大家得到他们是什么样的位置关系啊？ 哎，很好，他们是香蕉的，那我们只要去解这两个方程就好了，那我们一解这个方程，我们会发现啊，我们只要把上面这个柿子带到下面这个柿子里面， x 等于 y， 那六倍的 y 等于十，说明 y 等于三分之五，那说明 x 也等于三分之五， 哎，那也就说明优姐的话，就说明这两个直线他是相交的，而且交点坐标就是三分之五，三分之五，那么第二个呢？ 哎，第二个大家发现当我们去求解方程组的时候，他是没有解的呀，哎，没有解的话，就说明这两个直线他并不相交，哎，不相交就说明这两个直线他是没有公共点的，那也就说明 l e 他是平行员玩的。那我们再来看第三个， 第三个大家得到他们是什么位置关系啊？哎，大家能发现第三个他们对人 前面这个系数都是成比例的，我只要让一是乘二，哎，就完全会等于 l 二他的方程，所以说明这两个直线他其实同一条直线是重合的。那我们可以大概观察一下，大家有没有发现，对于二跟三来说， 好像这两个他们前面这两项，哎，这个系数都是成比例的，而二跟三区别在于我们这个 c， 对吧？那如果 c 跟 c 二他们是相同的，哎，就是你不但成比例，而且 c 这个位置也成比例， 我们都是可以画成一个方程，说明他们就是重合的。而如果 cc 二跟前面的比例是不一致的，不能够画成同一方程的话，就说明他们是平行的关系。 所以我们也可以总结一下对于 l 一跟 l 二这两条直线的位置的判断，其实我们是可以通过他们一般式的这个系数的关系，如果我们是 l 一， 他的一般是方程为 a 一倍的 x 加上 b 一倍的 y 加上 c 等于零，那么 l 二也是同样的形式，哎，那为什么能够判断呢？其实就说明 l 一他的形 率，我们知道 l e 他的斜率 k 一，我们可以把它写成，哎负 b 一分之 a 一，因为你可以把它放到一侧之后，这一项移过来，负的 a 一这一项移过去，然后我们还要再除一个 b 一，哎，才能够画成他的斜结式。那这个时候我们的前面斜率 k 其实就是 b 一分之负的 a 一，那同样我们 l 二他的斜率就是负的 b 二分之 a 二嘛，那如果我们相交的话，我们知道相交说明两条直线他的斜率一定是不相等的， 那不相等也就说明我们可以把它画一画符号都没有了，那么交叉相乘会等于 a 一倍的 b 二，减去 a 二倍的 b 一是不等于零的，那我们可以把它画成好看一点的形式，也就是 a 一比上 a 二是不等于 b 一比上 b b 二的。当然我们这里讨论 a 二和 b 二都不等于零。好，这不也就说明了我们前面这个系数 x 和 y 前面的系数，他们要不成比例，这才说明 l 一跟 l 二他是分交的，如果成比例说明他们写率相同了， 成比例的话，同学们看成比例，而且 a 二 b 二我们讨论的是不等于零二，也就说明 k 一他是等于 k 二的，两个斜率他是相同的。而我们如果不单单 a 一比 a 二， 这是第一种情况，等于 b 一比 b 二，如果还等于 c 一比 c 二，哎，你发现这两条直线，它就能够画成一条直线了，对吧？那这种情况 我们其实就是重合的情况了。那第二种情况，如果我们只是前两个比例是相同的，哎，斜率相同，但是我们的 结局不同，那这样我们两条直线才能够错开，这个时候他们才是平行的时候，哎，所以同学们看，不但要判断 k， 你还要看一看他们结局是不是相同的，万一相同的话就变成重合了。 好，那么这是我们第一小部分，就是关于我们两条直线他的焦点坐标，我们可以去通过求解方程组，那么如果方程组没有解的话，说明他们是平行的， 而且在求解防城组的过程中呢，大家也可以通过一般是哎，先简单判断一下这两条直线的位置关系，如果前面对应的 a 和 b 是成比例的， 说明他们配置相同，斜率是相同的，那么斜率相同包括两种情况，不要忘记重合。这种情况，如果 c 他们也对应成比例，而且是一个比例，说明是重合的，如果 c 他们不成这个比 的话，说明他们那就是平行的，那么如果 a 跟 b 就不成比例，说明这两个直线相交，相交就能够通过上面的这个方法解方程组的方法求到交警坐标。 那我们接着来看这个距离，距离呢，一共包括三个距离，我们先从点到点的距离开始说，然后是点到直线，然后是直线到直线，那首先 两点间距离公式，因为这个距离是最基本的，我们在整个的几何度量中，其实直线段的长度是最基本的嘛。那么如果我们设两个点， p 一是 x 一 y 一， p 二为 x 二 y 二的话，我们可以简单画一个图像， 那其实我们初中的时候就已经学过了，它的距离公式，其实就是 ppr， 这个距离就等于根号之下的 x 二减 x 一的平方，加上 y 二减 y e 的平方，那我们也可以带着大家 回忆一下，怎么得的呢？那其实就是这样子，这是 p 二，哎，这是 p， 这是 p 二，那么我们要求的其实是这一段的距离，那也就相当于一个直角四角形，他的斜边的距离，对吗？那当我们过 p 二来做外轴的平行线哦，上面有直升机吗？ 那如果我们过 p 二来做外轴的平行线，而过 p 来做 x 的平行线，我们会得到一个直角三角形，那这一段呢？我们现在画的是 p 一在 p 二的下侧，但是很有可能当你一般的时候，他不一定在下侧，所以这一段我们可以把它写成 x 二减 x， 他的绝对值， 这段自然就是 y 二减 y 一他的绝对值了。而且你发现无论是哪种情况， p 跟 p 二哪个在上，哪个在下，当我们用购物定理的时候，我们进行一个平方，其实 就已经消掉了这个符号的情况，所以距离公示就是由购物定理我们可以得到，或者你也可以通过限量的摩长，但限量的摩长他勾根结底还是这个购物定理啊。 那么这里大家要注意几种情况，第一种情况就是我们把这里擦一下， 就是我们如果 pp 二他是平行 x 轴的话，如果平行 x 轴。同学们，这个时候你就不要再用上面这个公式了，因为他直接就是 p 二，这段的距离其实就是 x 二减去 x 一吗？ x 二键 x 一，他的绝对值，哎，看哪个在做，哪个在右，你加个绝对值就可以了。那同样，如果我们 p 一 p 二平行于外轴的话，那就变成了，嗯，我给他，哎，这个样子，我们让 p 二到这个地方，那如果平行外轴，你 发现这段距离其实就是外要减去外衣，他的绝对值，哎，可以理解啊。而这里呢，也有一个比较啊，重要的变形，哎，在我们马上学的这个圆锥曲线里面经常会用到， 哎，我们看 pp 二，他的距离已经有了，那如果这条直线 pp 二这条直线，他的斜率也有，斜率为 k 的话，哎，我们这里讨论斜率存在的时候啊，那如果他的斜率为 k， 斜率为 ky 等于 kx 加上 b 吗？ 哎，那就说明 y 二会等于 k 倍的 x 二加上 b， 而 y 一等于 k 倍的 x 一加 b 也没问题吧？那也就说明后面这一项，我们可以把它变成 k 倍的 x 二加 b， 减去 k 倍的 x 一减 b， 那么 b 跟 b 其实就消掉了，会等于 k 倍的 x 二 二减去 x 一，好，说明第二圈已经变成了 k 倍的 x 二减 x 一，他的平方平方。 那你就说明，我们可以提出一个 x 二减 x 一，他的平方拿到根号外面去，就是 x 二减 x 一，他的绝对值再乘上高号之下，还剩一加上 k 的平方，哎，对吧？这是第一种变形，我们是把外换掉，留下 x， 那当然我们也存在第二种变形，就是把 x 拿掉，换成 y， 那么外的话，其实就相当于我们让 x 一到一侧，会等于 k 分之一倍的 y， 再减去 k 分之 b， 对吗？把 b 移到这边来。好，那这样的话， x 减 x 一，其实就变成了 k 分之一倍的 y 二减去 k 分之 b， 然后再减去 k 分之一倍的 y 一，加上 k 分之 b， 对吧？质量降还是超出降还是消掉的，那会等于 k 分之 一倍的 y 二减 y 一。好，那说明这项的平方就等于 k 方分之一倍的 y 二减 y 一，他的平方，再去加上我们的这个 y 二减 y 一的平方。哎，那我们这个时候就可以把 y 二减 y 一的平方拿到港号 y， 那么就等于 y 二减 y 一的绝对值， 再去乘上高下还剩的一加上 k 方分之一。好，同学们，这样两种形式啊，两种形式大家可以先了解一下，这样之后我们在圆追曲线那里讲的时候，大家都觉得不是很突兀了。 哎，我们经常用这样的变形。好，那这是关于两点间距离公式，那我们接着往下看，点到直线的距离公式呢？

坐标反算的过程讲解，今天跟大家讲一下坐标反算。坐标反算正好跟坐标正算相反，比如说给了已知两个点， a 点和 b 点是用给的这已知的这两个点来求他们的方位角和他们之间的一个距离啊。 比如说这里给了两个已知点， a 点和 b 点， a 点对应在 x 轴上，叫 xa， 对应在 y 轴上，叫 yab 点对应在 x 轴上，叫 xb， 对应在 y 轴上，叫 y b。 那么我们可以得到这两个公式，一个是发挥角公式，弹进 r， i， b 等于 b 点在 y 轴上的坐标减去 a 点在 y 轴上，坐标除上一个， b 点在 x 指上，坐标减去 a 点在 x 指上坐标。他们的距离公式就是边长距离公式。 s a， b 等于根号下括号 x， b 减去 x， a 括号外的平方，加上括号 y， b 减去 y， a 括号外的平方。 举个例子，比如已知 a 点的坐标在 x 桌是三百，在 y 桌上是五百， b 点的坐标在 x 桌上是五百，在 y 桌上是三百。那么我们如何求 ab 这两点的方位角和之间的一个距离？ 首先我们求他们的方位角，根据这个公式盘减，而法 ab 等于三百减五百，除上一个五百减三百，这个是根据这个数据代入啊。 yb 减 ya， yb 是三百，减去 ya 是五百，三百减五百啊， xb 减 xaxb 是，呃，五百减去 x， a 是三百啊。而法就等于 x 弹紧这个式子，三百减五百，除上五百减三百，就等于负的四十五度啊。 然后因为他的 x 上面是 y 吗？ y 是负的， x 是正的，所以他在第四向线，第四向线我们是拿三百六十度减去四十五度是要转换一下的啊，这里算出来的四十五度其实是他的一个向线角， 向线角因为他在第四项线，所以他的方位角等于三百六十度，减去四十五度等于三百一十五度，这个是方位角。然后根据这个距离公式啊， sab 等于 根号下 x b 减去 x a， x b 是五百减去三百啊，加上一个 y， b 减 y， y 是三百减去五百。括号外平方开根号啊，算出来距离是两百八十二点八米， 这个就是坐标反算的整个过程，你明白了吗？

大家好，今天我来讲一下直线方程的五种形式，还有拘留公式，他究竟怎么去用？那么咱们来看第一点啊，直线方程的话主要分为五种形式，第一种形式的话是斜结式，大家应该非常熟悉，因为在初中阶段的话，学依次函数跟他长得就完全一样。 那么依次函数和斜接式方程究竟有什么区别呢？其实区别不是很大，但是呢，主要在于这个 k 究竟能不能取零 依次函数，依次函数指的是关于 x 的意思函数，如果说这个 k 等于零了，你说还含有 x 的依次式吗？就不含有 x 的依次式了，就不能称之为 依次函数了。所以说在依次函数中，默认这个 k 是不能等于零的。如果以函数的角度来看，当 k 等于零的时候，这个 y 等于 b， 他应该叫做什么函数？ 说他应该叫做长函数，长数函数，这个是区别于一次函数的啊，也当然也是基本触动函数了。那好，这是这样一点，那另外斜截是斜截，是的话，为什么起这样一个名字呢？首先你得知道 这个直线的斜率是 k， 那节指的是什么意思啊？这个节其实指的是重节句的意思，什么叫重节句呢？我画一个图啊，重节句，重节句，它标准的定义指的是在平面直交坐标系中，直线 跟谁的焦点啊？跟外轴焦点的那个纵走标。这个币一定要记住了，纵结句，纵结句，千万不要理解，这个结句是距离的意思， 他是指的一个实数，可以是正，可以是负，甚至可以是零的。当这条直线过远点的时候，实际上重结局他就是等于零，应该清楚我的意思了吧。那么 实际上这种形式 y 等于 kx 加 b 斜结式方程，他呢，还是有缺点的，缺点也非常明确。你想啊， x 等于一，这条直线在平面直角坐标系中，他是怎样的一条直线啊？ 他是垂直于 x 轴的一条直线，大家也学过，这个 k 呢，是等于瘫着的 c 的，这个 c 的指的是倾斜角，当这个倾斜角等于九十度的时候，瘫着的九十度是没有意义的。所以其实我们可以得出来什么呀，当 x 等于一，也就是说当直线跟 x 轴垂直的时候啊， 直线是没有斜率的，这个斜率是不存在的。所以既然斜率 k 都不存在了，你能写成这个斜结式的形式，显然是不可以的，应该清楚我的意思了。那第二点，看第二种形式，点斜式方程。点斜式方程 也非常经典，什么叫点斜式方程呢？一只直线 l 经过 x 零万零这个定点已经知道了啊，这是一个确定的点，并且它的斜率呢，是 k， 也告诉你了，实际上斜率为 k， 就告诉了直线倾斜的情况，然后点了，也就完全把这条直线给确定下来了。 这个呢，就是点斜式方程，点就指的是过定，点斜就指的是能够知道这条直线的斜率，知道什么意思就行。那么怎样得出他来呢？比如说啊，点屁， 他是直线上任何一个点，随便的一个点啊。点 p， 首先是易于点 a 的，那根据这个斜率公式的话，初中我们就知道了吧，外减 y 零， x 减 x 零。但是你写上这种形式的话，有一个缺点，什么缺点？缺点就是 你说点 p 能跟点 a 重合吗？ pa 是不能重合的啊，因为重合的时候分补就是零。那怎样能够避免这一点呢？避免这一点非常容易，我们只需要把它横着来写就行了。外减外零等于 k 倍的 x 减 x 零，这种形式大体小推力都可以直接用的，非常好用。 当然他的缺点跟第一种就这种斜接式是一样的，斜绿，斜绿，什么时候他这个斜绿不存在啊？ 当这个 x 轴怎么样？当这条直线跟 x 轴垂直的时候，这条直线它的斜率不存在。斜率都不存在了，哪来的点斜式方程或者斜节是方程。所以呢，前两种 方程他的缺点都是一样的，不能表示跟 x 轴垂直的直行。那么接下来我们看第三种形式，第三种形式的话 并不是特别推荐啊，我建议大家呢，可以画一个星号，因为它完全可以被点斜式方向上所取代。为什么呢？首先他是告诉你 a 点 b 点是直接上确定的两个点，比如说 a 点在这， b 点在这， x， e， y， e， x， r 啊， 那么当你知道了这两个点以后，两个点确定方程，你说你求的时候，是不是可以用这种方法来求啊？假设外等于 kx 加 b， 然后分别带入点 a 和点 b， 就可以把这个 k 和 b 这两个数字给求出来了，这是第一种吧。另外一种方法的话，我们完全可以怎么样？先通过公式， 外减外一， x 一减去啊？外一减外二， x 一减 x 二，先把斜率求出来吧，然后再怎么样，然后再点斜式方程就行了。外减外一等于 k 倍的 x 减 x 一，能听懂我的意思吧，所以说点斜式方程被取代性非常强，这种方程大家知道有这个名就行。两点是方程缺点还是非常明确的啊，首先是形式很复杂，其次是不能够表示垂直于坐标者的直线。为什么？ 比如说我简单的来说一下，当 ab 这条直线 l 啊，确定的这条直线 l， 它都是垂直于谁？垂直于 x 轴的时候，垂直于 x 轴的时候，此时 x 一，还有这个 x 二，是不是就怎么样了？就相等来，我都写上 x 一，那你想一想，当这个 x 一 和这个 x 二相等的时候，那此时分母是不是零了？你说还能写上两点式的形式吗？就不能了，对吧？所以说两点式的话大家就听一下就可以啊。结局式的话挺有意思的一种形式，有些时候很好用啊。什么叫结局式呢？ 结局是分为两个，一个是横结局，中结据的话一开始已经介绍过了，指的是直线跟谁的交点啊？直线跟外头的交点，跟纵轴的交点，当然就叫中结局了，这个就是 b。 那么还有什么横结局的话，很清楚了吧，就指的是这条直线跟横轴交点的坐标，这个横坐标的话可正可负口为零啊。所以大家理解结局的时候，不要把结局理解为距离，就理解为一个数数字就行了，对吧？那么缺点的话也是非常非常非常明显的。 嗯？为什么呢？想一个问题啊，是这样的啊，结局是结局是想呀，当这条直线过远点的时候，横结局重结局是不是领了分母能未领吗？显然是不可以的呀，应该清楚我的意思了吧，所以 就不行了啊。那接下来我们看高中数学最重要的一种直线式方程啊。这这个直线方程指的是一般是方程，那么这个一般是方程。首先得保证 aab 不能同时为零，因为当这个 a 和 b 同时都为零的时候， c 等于零，你说跟那个 xy 还有任何关系吗？没有任何关系，所以说就不可能表示平面内的直线，就不可能表示轨迹了。所以呢， a 和 b 不能同时为零， 他的优点也是很明显的。为什么呢？看了啊，为什么他可以表示平面内所有的直线？首先当 a 和 b 同时都不是零的时候， 这种情况下的话，这个直线你看了啊，我要改变形式了，这个直线完全可以写成 y 等于负的必分之 ax， 然后负的必分之四，这 这个不就是 y 等于 k， i 加 b 这种斜结式的形式吗？对吧？斜率就是副的 b 分之 a， 然后结局就是副的 b 分之 c， 所以呢，它可以表示有斜率的这样一个直线，对吧？没有问题的。那么另外一种情况就是，当 a 等于零， 但是 b 呢，不是零， b 要不是零的话，那就变成了 y 等于负的 b 分之 c 这样一条直线。告诉我他是怎样的一条直线？是水平的直线吧，如果用以函数的角度来看，他是一条长函数吧，也就是说这是外轴， 这个就是 y 等于负的 b 分之 c 了，负的 b 分之 c 是一个长数啊， abc 都是长数嘛。然后当这个 a 等于不等于零，然后反过来 b 等于零的时候，这种情况下，我们可以写成 x 等于负的 a 分之 c， 那么写成这个形式之后的话，大家要注意，你说 x 等于某一个长数，他表示怎样的直线？表示垂直于 x 的直线，所以说垂直于外直的直线，垂直于 x 的直线，然后有一定清洁程度的直线，都可以用这种 一般是方程来表示，你说他有点明显不明显啊，确实非常明显，所有的直线都可以表示成一般式的方程。 嗯，那么继续来看第三点距离公式啊，到最后必须得写成一般是，这也是一般是最重要的应用了，来看一下吧。先看比较简单的两道题啊，这个第一道题的话很简单，他说 过点屁跟两个坐标轴，然后所围成的三角形是等腰三角形，求这样的直线方程，那么这个直线方程的话，首先是过点屁的吧， 那么另外的话，跟坐标之后构成了等腰三角形。我想说的是，这个等腰三角形肯定是等腰直角三角形，那我们大概画一下图吧，点屁大概在这个位置啊，一逗号应该是二逗号一吗？那么看一看， 这种情况肯定没问题吧，这种情况我们可以记，以他的结局为横结据，终结局都是 a， 因为是等要直角三角形啊，对吧？你看啊， oab 是等要直角三角形， 所以说我们假设的时候呢，只需要假设 xb 上 a 加上 yb 上 a 等于一就行了，这就是结局。是，然后啊，再带入点 p， 其实也就是，嗯，二比 a， 然后一比 a， 最后算出来呢，是等于一的，很容易算出来 a 其实就是等于三啊， a 等于三的话，所 所以说就变成了 x， b 上三，然后呢，这个外比上三等于一，其实也就是 x 加 y 减三等于零，我们最后呢，一般都要写成这种，一般是方程的形式，懂了吧？但是这道题就结束了吗？我们横向直接写一个 x 加 y 减三等于零，这道题你少情况了，不能得满分。 为什么？想一想，这个等腰三角形只能是刚才画的这种情况啊，难道说不能是这种情况吗？这个是那个点屁啊。可以的呀，只不过这种情况下的话，你注意 ab 这样一个等腰直角三角形，他怎么了？ 他的横截距注意 a 点 b 点他这个横截距。纵截距的话，呃，正符号还一样吗？不一样啊，这个点 b 这个位置，我们横截距可以写上 a， 但是纵捷距是个复数，就 必须写成负 a 了，所以假设的时候必须写成 x， b 上 a 加上 y， b 上负 a 等于一，然后再带入二到一。这种情况下，呃，详细过程就不写了啊，写完之后的话，你说你这个 a 算出来是多少是一啊？所以最终写完之后的话，是 x 减 y， 然后再减一等于零。所以其实应该有几种结果呢？应该有两种形式，一个是 x 加外减三等于零，一个是 x 减外减一少一种情况都不可以，横向两种结果都得写上。那继续来看第二题啊， 第二题的话是一个旋转九十度的问题啊，旋转九十度问题的话，其实大家也应该清楚，当什么当这个直线上，我们可以画一下这个图吗？外等于 x 加一，这个图还是挺好画的啊，三都好，四 大概在这个位置吧。只能说是这样了啊，三到四，他说呢，这条直线怎么样？绕着这个点屁，三到四，其实顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度，他最后的结果都是一样的。然后现在让你求什么呀？现在让你求旋转以后的直线， 他这个点斜式方程，那咱最后就写成点斜式的形式啊，点斜式方程，点斜式方程，那怎么办呢？看好了，其实很简单，因为你这个 l 是垂直于原来 这样一条直线的，所以说斜率乘积应该等于负一吧，对吧？其实也就是什么呢？咱们假设这个 l 他的斜率啊，他的斜率是 k， 那其实就相当于什么？相当于这个 k 乘，他的斜率是正一吧， k 乘一等于负， 所以马上就算出来这个 k 是等于负一的呀，也就是说点斜式方程点就完成这个 l， 他首先斜率是等于负一的，其次还过这个点， 所以说点斜式方程，你注意啊，他最终让你写成点斜式方程，那就是外减四等于 k 倍的，其实也就是负一倍的 多少，负一倍的 x 减去三，就写成这种形式就行了，因为他就是让你写上这个点斜式方程的啊，就这么来写就可以。关于直线方程的话，最后一点，他当然不是直线方程的第六种形式，但是很重要的一点应用就是我们需要考虑一下 两条直线的位置关系，如果两条直线放到同一个盆面比较坐标起，比如说他这个斜率，一个是 k 一，一个是 k 二，另外一种形式就都写的是这种一般式的形式。那么如果说两条直线互相垂直的话，这个 k 一乘 pr 等于负一，就是斜率互为负到的时候，这个在初中阶段很多同学都已经知道了，主要是第二点。第二点怎么理解呢？第二点其实也非常好理解，如果说什么？如果说这个 b 不等于零的话，那第一个斜率你改出来，写出来不就是负的 b 一分之 a 一吗？ 第二个斜率写出来不就是副的 b 二分之 a 二吗？我们改一下，你既然互相垂直的话，那就是斜率乘积，副的 b 一分之 a 一，然后副的 b 二分之 a 二等于几啊？ 他的成绩等于负一吧，是这个意思吧？既然等于负一的话，那就好说了呀，等于负一的话，你最后改造一下形式，就改成这种结果了，所以这个是没什么问题的。主要是第二种，观察一下，这是一个等价符号，但是第二行他箭头只能向右，也就是说 当两条直线平行的时候，可以推出来这个斜率相等。但是反过来，如果斜率相等的话，就不一定推得出来这个两条直线是互相平行，因为有可能是重偶的关系。 比如说外等于二 x 加一和外等于二 x 加一，这两套直线 k 一等于 k 二啊，当然是两套直线是重火的关系， 并不是平行的关系。所以我们最后呢，必须验证一下是否重合。第二点的话不用多说了吧，那你要记住了啊，如果写的是一般式的形式，那两条直线互相平行，其实就能推出来 b 一乘 a 二等于 a 一乘 b 二，最后肯定得验证一下是否重合的， 因为咱们可以举一个例子，二 x 加三万减几呢？减四等于零，另外一个呢，是多少？是四 x 加六万减八等于零。 然这两个方程的话，怎么样？其实是完全等价的呀，这两条直线是重合的关系，但是如果你只验证了三乘四等于二乘六的话，很可能发现这两条直线是平行，其实不是平行，是重合的关系，一定得检验一下是否重合。 好，我们还是练两道题，第一道题非常简单，他说了平行，对吧？那既然平行的话，平行平行，平行就意味着什么呀？平行实际上意味着我竖着写吧， x 加上 m 减一倍的 y 再加二等于零，平行反而是 m 乘 m 减一等于二乘，嗯，等于二乘一的意思。 稍微整理一下，其实就改成了 m 方减 m 减二等于零。这个音是分解相当容易，我就直接写了，所以我们最终很 嗯，可以求出来。这个 m 呢，有两个指，一个是负一，另外一个 m 呢？是等于正二都行吗？并不见得的啊，我们先看哪种情况？先看第一种情况，当这个 m 等于负一的时候，你得验证一下究竟重合了没有。当他等于负一的时候， 第一个直线其实就是负 x 加二 y， 然后第二条直线的话，是 x 减二， y 加二等于零，这两条 你说有什么区别吗？这两个方程本质是一样的，这两条直线是重合的。直线的意思啊，所以说我们舍掉了，因为两条直线是重合的关系， 那么所以按照填空题来说，肯定有正确答案，那只能写二了，对吧？我们演验证一下吧。当 m 等于二的时候，两条直线我就直接写了，分别是长这个样子，你说这两条直线有可能重合吗？不可能啊，肯定是不重合， 所以说只能写 m 等于二了。那继续来看第二道题吧，有了平行，那就有垂直，垂直的话不用验证什么啊，都是等价符号，那么垂直的话指的是 a 乘一，然后再加上二乘， a 减一等于零，这个一算就算出来 a 是等于三分之二的，没什么可以说的，所以横行上写这个三分之二就可以了。 行，我们继续来看距离公式。距离公式的话，主要是研究清楚怎么去用就行。第一种的话我就摆这了啊，因为两点之间的距离公式用歌舞定理可以推出来。在初中阶段，很早他们就已经知道这个公式了， 那么主要是介绍高中学习的点到直线距离公式和平行直线直线的距离公式。点到直线距离公式的话，首先已知点屁，并且已知 l 的 解析试试。 ax 加 b， y 加 c 等于零。注意啊，距离公式，距离公式最后必须写成这种类似于方程的一般式的形式，必须写成这种形式，那怎样求距离呢？ 把点屁带到这样一个等号左边的式子里头，加上绝对号，这就是分子，然后分母的话就是根号下一个方向，比方记住就行了。 那么平行线之间的距离的话是这样来的，首先第一条直线，首先啊，你要注意，如果两条直线互相平行的话，那么 ab 他的笔直是一样，我们都可以画成这种 ax 加 by 加舵手的形式。 另外一个呢，也得划成 ax 加 b， y 加 c 二等于零的形式，它就更简单了，只需要怎么样，只需要分子是 c 一减 c 二绝对值，分母就是根号下 a 方加 b 方就 可以。需要注意的一个点就是，如果啊，某一道题里头写的是 x 加二， y 减一等于零，二 x 加四， y 加五等于零， 如果你直接带的话，这个是不行的，需要把平行直线先转换成系数相等的形式，比如说第一个也改成这种，二 x 加四万减一等于零，第二个他们就不变了啊，那此时他们的距离怎么求啊？那就是负一减五的绝对值对吧？ 然后呢，根号下二的平方加四的平方算最后结果就可以了，一定要清楚，先得把这个大 a 和大 b 这两个系数画成一样的形式才可以。 那继续来，还是练两道题。第一道题的话是点到直线的距离公式是吧？点到直线距离公式的话，我们直接用就行了呀，零加上三万， 那么就三乘二分之一，再加上 m 的绝对值，除根号下一的平方加上三的平方等于根号十，稍微整理一下都可以算出来， m 加上二分之三等于十，那其实也就是 m 加上二分之三应该有谁？应该有正式和副式两种形式， 如果说等于正式的话，那 m 就等于二分之十七。另外一种情况就是负的二分之二三了，所以横向上写上这两个结果就可以。那继续来看第二题吧。第二题的话是怎么回事呢？ 直线你注意啊，是两个距离，首先直线是经过点的，那么这个点 p 是确定的。另外啊，点和点 b 到这条直线啊，距离都相等怎么办？距离公式肯定是少不了的啊，但是呢，先看第一种形式，有同线的， 刚看到过点 p， 就直接假设 y 减二等于 kb 的 x j， 假设这种点邪式的形式，你思路上是没错的，但是少东西了，少什么了？ 难道说直线 l 的斜率就一定存在？谁告诉你直线 l 的斜率就一定存在了？所以其实你在假设直线方程的形式的时候，我们应该首先考虑的是，当直线他这个斜率不存在的时候啊，可以不存在， 直线斜率不存在不就等价于这条直线垂直于 x 轴吗？哎，垂直于 x 轴的话，你想清楚了， 这种情况下 l 的解决是不就是 x 等于一吗？对吧？ x 等于一的话，你看我们画好了啊，一个是 x 等于一，一个是点 a 在右侧呢，他的横左边是二，总主要不写了啊，一个是点 b， 他的 乘坐零和二的中间不就是一吗？所以一定要清楚啊，此时成立的 s 等于一没问题啊。继续来看第二种，第二种形式才是说斜率存在的时候。嗯，这条直线斜率存在的时候呢，我们就直接假设 这个 l 的解释是 y 减二等于 k 倍的 x 减，但是写上这种形式之后的话，最好是写上，一般是因为你最后要用巨流光是吗？所以就是 kx， 然后呢，多少啊？减外加上二减 k 就可以了。那么接下来你得让两个距离吧，两个距离，比如说点 a 到他的距离，那实际上就是二 k 减三加二减 k， 然后分母其实是一样的，分母就是这个 k 方加上负一的平方， 然后点闭到这条指间的距离，零多号负五带入吧，等号左边那就变成了负五加二 减 k， 然后跟好下 k 方加一。因为你这两个分母一样，所以我们就不用整理了啊，很容易就得出来这样一个方程， k 减一等于七减 k。 这个很简单吧， 他表示的是数轴上 k 和谁的距离啊？ k 这个点跟一的距离，然后等号又是表示数轴上七和 k 的距离，那 k 只有可能是一和七的终点四了，所以很容易算出来。这个 k 呢，就是等于四的。所以说 l 他这个方程你知道几种形式啊？他两种形式啊，当 k 等于四的时候呢？我们把这个四带到画圈部分这样一个解决室里头，最终画成这个。嗯，一般方程的形式 是四， x 减 y 减二等于零，所以横线上应该填几种结果呀？填两种结果，一个是 x 等于一，另外一个就是我刚刚写出来的四 x 减 y 减二等于零。那么直线方程还有距离公式应该学会了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下集和再见！

大家好，今天晚上的话就是讲一下最后一个，也就说是平面到平面的 距离，毫无疑问这两个平面吧，肯定是一个平行平面，如果说，比如说我现在画一个平面啊，对吧？我现在随便画一个平面， 那比如说我现在画的这两个平面，对吧？这边假如是派一、派二他俩相交的话，那么这两个平面的距离毫无疑问，对吧？最小值，对吧？ d 的最小值是等于零的，所以说没有研究的一个意义，那么所以说我们研究这个平面到平面的时候吧， 毫无疑问吧，对吧？我们是把它看成一两个平行的一个平面，比如十五线的话，两个平行平面 这边的话是排一，然后我再画一个平行平面，这边的话是排二，那么这两个平行的一个平面之间，我们算一下他的那个几，那个距离，比如说我现在写一下排一的一个， 对吧？它的平面方程 a e x 加 b， e y 加 c， e z 加 d 等于零， 然后派二的话是 a 二 x 加 b 二 y 加 c 二 z 加，对吧？ d 二等于零这么一种情况，那么那平面到平面的一个距离吧，很简单的啊，因为他俩是平行平面吗？所以直接是 第一前区第二就可以了。然后接下来再出一个根号下， a 的平方加 b 的平方，再加一个 c 的平方。其实我们今天晚上的时候是什么情况呢？ 关于这个距离吧，我们是相当于系统的讲了一遍，对不对？这个其实相当于是第六个，现在是第六点，那么我们第一点，对，我们第一点我写到这里， 对吧？我第一点讲的是一个什么情况呢？空间中两点的一个距离，说白了就点到底。那接下来我讲第二个视频，点到直线的一个距离， 接下来我讲第三点，点到平面的距离， 第四点，对吧？直线到直线，第五点 直线到平面，对吧？然后再加一个第六点，第六点，也就是这一点，也就是我讲的这里的这一个平面到平面的距离，所以说相当于是系统 的讲解了一遍，点到点、点到直线、点到平面，直线到直线，直线到平面，以及这一个平面到平面相对，系统的讲解了一下这边的一个距离。

今天呢，我们讲解平面支架最标记两个重要公式，第一个是两点，两个点坐标之间的距离公式，比如说 a 点 x a y a， 当然这个这个点的话具有普遍性的啊，不管哪个向前都可以。 b 点呢？ sb y b， 那我们要求这两点之间距离公式，距离怎么求呢？我们本质上是利用勾股定理，比如说我们 bh 的距离怎么表示呢？其实就是 xc 减 xb， 两个横竖标的差值就是 bh， 那 ah 怎么表示呢？就两个重组表的差值就是 ah， 比如说 y a 减 y b， 所以呢， 要你求 ab 不就勾五定理吗？所以的话是 x a 减 xb 是必 h 的长度的平方加上个 y 减 y b 就是 ah 或者平方，然后，然后再开根号就求斜边的平，就求出了斜边的长度。 ab 的终点坐标公式呢？这个更简单，任意的 a 点 csay， b 点 cxb yb， 那终点 ab 的终点坐标就是什么呢？ 这两点的横坐标的和出压做横坐标， 重坐标的和除压做重坐标这两个公式，哎，这两个公式挺有用的，希望大家能够记住。

大家好，今天给大家分享在坐标系中怎么求线段长。线段有竖直的、横平的，还有倾斜的，分三种情况讨论。 一、求数值的线段长。如图线段 a、 b a 点的坐标是 x 一 y 一， b 点的坐标是 x 二 y 二。因为 a、 b 平行于 y 轴，所以 a、 b 两点的横坐标相同，也就是 x 一等于 x 二、 求线段 a、 b 的长度，可以看成是由点 a 向上平移一定的距离，得到点 b 平移的距离，就是线段 a、 b 的长度。所以线段 a、 b 就是 b 点的纵坐标外。二、减去 a 点的纵坐标外一。总结一下求数值的线段长，就是纵坐标上减下。 应用如图 a 点坐标是二五， b 点坐标是二一。线段 a、 b 的长度，就是纵坐标上减下，也就是五减一，结果是四。二、求横平的线段长。如图 a 点坐标是 x 一 y 一， b 点坐标是 x 二 y 二。 因为线段 a、 b 与 x 轴平行，所以 a、 b 两点的纵坐标相等，也就是 y 一等于 y 二、 求线段 a、 b 的长度，也可以看成是点 a 向右平移一定的距离，得到点 b 平移的距离，就是线段 a、 b 的长度。 也就是线段 a、 b 等于 x 二减 x 一。总结横平的线段长，就是横坐标右减左。应用如图 a 点坐标是二八， b 点坐标是 七八。线段 a、 b 平行 x 轴，所以线段 a、 b 的长度是横坐标右减左，也就是七减二，等于五。三、求倾斜的线段长。 如图 a 点坐标为 x 一 y 一， b 点坐标为 x 二 y 二。在坐标系中。在坐标系中，我们做的辅助线一般都是横平竖直的，所以我们过 ab 两点分别做竖直横平的线，两线交于点 c， 就可以得到一个直角三角形 a、 b、 c、 c 点坐标也是可求的。求出 c 点坐标来以后， 我们就可以勾股定理求 a、 b 的长度。现在我们求一下这点坐标。因为 a、 c 线这条线段平行于外轴，所以 a、 c 两点的横坐标相等。又因为线段 b、 c 与 x 轴平行，所以线段 b、 c 的重坐标相等，所以 c 点坐标就为 x 一 y 二。那么线段 a、 c 的长度就是重坐标上减下为 y 一减 y 二。线段 b、 c 的长度就为横坐标右减左 等于 x 二减 x 一。那么根据勾股定理就可以得到线段 a、 b 就等于根号下 y 一减 y 二括起来的平方，再加上 x 二减 x 一的平方。这个式子还可以叫做两点间距离公式。 也可以读作 ab。 等于纵叉的平方，再加上横叉的平方，再开平方。纵叉是指的纵坐标之叉，横叉就是指的横坐标之叉。应用如图。 a 点坐标是 三六， b 点坐标是七三，分别过 a、 b 两点。做竖直横平的线，两线交于点 c、 c 点坐标就为三三线段 ac 的长度是纵坐标上减下为三。线段 bc 的长度为横坐标右减左是四。 所以线段 a、 b 的长度根据勾股定理就可以得到是五。也可以用两点间距离公式求 线段 a、 b 就等于纵叉的平方，再加上横叉的平方，再开平方也等于五。总结 求竖直线段长是纵坐标上减下，求横平的线段长是横坐标右减左。求倾斜的线段长，可以用勾股定理求解，也可以用两点间距离公式求解。

数学基本功，点到直线距离的计算是一个非常实用的技能，来看看他的推导过程。 说直线 l 的解析思维， y 等于 k， x 加 b， p 点坐标为 x 零， y 零。让我们求 p 点到直线 l 的距离好过 p 点做 p h。 垂直直线 l， 也就是让我们求线段 p h 的长度， 过 p 点做一条垂线，他与直线也要交于 q 点，那么 q 点的横坐标和 p 点的横坐标相同，为 x 零。由于 q 点在直线 y 等于 k， x 加 b 上，那么 q 点的重坐标为 k x 零加 b。 线段 pq 的长度为 q 点的重坐标 k x 零加 b， 减去 p 点的重坐标 y 零，再加上绝对值，也就是 k x 零加 b 减 y 零的绝对值。不妨射角 p 等于 c 塔，那么 p h 等于 p， q 乘以扩散 c 塔。我们只需要扇出扩散 c 塔即可，不妨射直线 l 与 y 轴较于 b 点，不然扇珠 b 点作为零， b 与 x 轴交于 a 点，那么 a 点坐标为负， k 分之 b 零。由于这两个直角相等，再加上两个对零角相等，那么角 b a o 等于角， p 都等于 c 塔。 显然， o b 的长度为 b 的绝对值， o a 的长度为 k 分之 b 的绝对值，那么 tangyceita 等于 b 的绝对值。除以 k 分之 b 的绝对值等于 k 的绝对值。好知道 tang c 塔，怎么求扩散 c 塔呢？我们构建这样一个直角三角形，他的一个直角边长度为一，另外一个直角边长度为 k 的绝对值，那么这个角度就是 c 塔。 根据高股定理，斜边长度为根号下 k 方加一，那么扩散 c 塔等于一，除以根号下 k 方加一，也就是这个次字， 拿 p h 等于 p q 乘以扩散 c 塔。 p q 和扩散 c 塔都已经算出来了，代入后，不然算出 p h 等于 k x 零减 y 零加 b 的绝对值，除以根号下 k 方加一。

hello， guys 啊，我是郭老师。那么今天的话呢，给大家讲解的是七年级上的这样的一个必刷题啊，也说你在学有理数这一单元的时候会遇到的， 呃，数轴里面的一个距离公式啊，就两点之间的距离啊，当然现在的话呢，是在数轴方面的，所以到了明年的暑假啊，或者是秋季的话呢，会把它落实到这个平面之角作派系当中。呃，老规矩，还是讲这个题之前的话呢，先领大家去 回忆一下啊，或者说领大家这个学习一下他的这个两点之间的一个距离。 ok， 好，这里面的话呢，给大家准备的第一部分是这个已知两个点的位置啊，求他们之间的这个距离， 那这里面我们先用这个基本的一个这个常识，你比如说 a 的值是一，呃，这个一的值是七，那么 ab 的长度的话呢？ 呃，你可以从一数过去啊，或者是呃你通过计算啊，或者是你通过这种感觉，你会发现这个 ab 的长度应该是等于六，对吧， 那你比如说这是这是二三四五六这格子，一二三四五六，对吧？有六格子啊，那么这里面的话呢，你就会发现啊，其实这个结果就是七减一得到的， 那我们再继续看啊，那再比如说这个 cdcd 的话呢，这个是一正一副的这样一个情况，那我们可以用这个圆点去做一个这个帮助你啊，去找到他这个两个点之间的距离。负三到零的话呢，这段长度是三 零到五的话呢，这段长度是五啊，所以 cd 的长是等于八的啊， cd 长是等于八，那么可以看成是 五减去负三得到啊，五减负三的话呢，就相当于是五加三吗？所以进入十八，然后我们再看这个 e f 啊，注意 ef 的话呢，是这个负十三和负啊，他之间的这个距离，那同样你也可以去数啊，同样你可以去数 啊，或者是你可以借助这个原念可以这样子啊，这段长度的话呢，等于十三啊，这段长度的话呢，等于五， 对吧？所以这个负十三和五之间，这个长度应该是等于八的啊，这个长度是八，这长度八的话呢，我们同样也可以看成是负五，减去什么呢？ 负十三，也就是负五加上十三，这答案也是吧。所以在数轴上任意的两点，如果你知道谁在左谁在右的话，我们就用什么呢？就用大 大减小啊，其实也就是什么用右边的数啊，减去这个左边的数就可以了。那现在给大家举的这三个例子的话呢，是你已经明确知道谁在左谁在右，也就是说你知道谁大谁小的情况下，我们选择大减小啊，或者是用右减左都没有问题。 ok， 那么再往下就说你未来所接触的这种压轴体啊，或者说压轴体里面某些题，这个疑问的话啊，他一般给的是这个两个点，有的时候是位置的啊，甚至是用 x 来表示这个点所对应的数啊，有时候位置两点的时候， 位置两点的这个位置啊，告诉你点 a 代表数是小 a， 点 b 呢代表数是小 b， 然后问你 ab 的纸，那么这个时候的话呢，你就会有这个疑虑啊，或者说有这个疑问， a 和 b 谁在左谁在右，他没有给你，对吧？那有可能是 a 在左啊， b 在右，那这个时候呢，你的 ab 的这个值就是什么呢？ b 减 a， 那同样呢，也可能是 b 在左， a 在右啊，那么这个时候的话呢，你的这个 ab 的值 啊，现在 a b 就是小 a 减 b， 所以到底是小 a 减 b 还是小 b 减 a 呢？这里面的话呢，我们给大家这样一个出口，就是说如果给了你 a 和 b 两个点，你不知道 这个 a 和 b 的大小的话，我们就用什么呢？就用 a 减 b， 然后套上绝对值，对吧？因为 a 减 b 的话呢，你要么就是他俩谁的距离，要么就是这个负数，所以呢，不管是正还是负，我们加上绝对值之后的话呢，这个结果 都是非负的啊，就是大于等于零的这样一个数。那么有同学问老师呢，我要用这个 b 减 a 套绝对值呢，没有任何问题啊，所以在这个位置的话呢，我们就要定一个基调啊，在整个初一 啊，乃至到初三的时候呢，我们涉及到距离的话呢，主要还是以做减法为主啊，然后等一下的话呢，就是在还会给大家去准备这个中点公式的这样的一个推导，包括习题，一个讲解，好吧，好，这两个你没有问题的话呢，继续啊，就再次强调一下，距离一定是用减法。 那我们就回过头来看这道题啊，他是在数轴上说这个点 a 啊，对应的数是四加 x， 点 b 对应的数是二减二 x， 对吧？然后告诉你 ab 两点间的距离是等于八，然后问你 x 值，那么首先你知道 a 所对应的数呢，是四加 x 啊， b 的话呢，对应的是二减二 x， 你并不确定 a 和 b 谁大谁小，那么这个时候你 ab 的长度还给你是等于八的，对吧？那你不确定的话呢，我说过你可以做叉，然后套上绝对值就可以了啊，所以你用 a 的这个值啊，四加 x 减去二减去二 s 减去这个 b 的值，对吧？然后呢是等于这个八，哎，你不确定吗？你不确定两个值大小的话呢，他们两个做差啊，有可能是小减大，有可能大减小，但我不管，我套上绝对值之后，这个值一定是正的，他就可以代表这个距离是八了。 那这个时候其实你解的是这样的一个绝对值方程啊，里面咱们整理完的这个结果是四加 x 啊，减二加上二 x 的绝对值等于八啊，再整理三 x 减，呃， 加上二的绝对值等于八。我们的暑假时候给大家讲过，说这一坨的绝对值等于八的话，好，这一坨的绝对值等于八，那就说明这一坨啊是等于正八，或者是这一坨 是等于负八的，所以三 x 值啊，等于六 x 一是等于二的啊，这边三 x 等于负十 x 二的话是等于负的三分之十啊。 所以这道题的话呢，他的答案是有几个呀？哎，是有两个，这也是咱们新出的孩子需要注意的啊，所以答案应该是二或者是负的三分之十。 ok， 那今天的话呢，这道题给大家就讲到这里了， piece 啊，呃，对你有帮助的话呢，你可以点赞然后收藏一下啊，有有任何疑问的时候可以回过头来再看。