三维流形几何

非流行几何体就是几何结构不符合正常三维物体规则的模型。它看起来好像是没问题，但在数学上是不成立的，是三 d 模型里潜在的毒瘤。建模一百个关键词第四十期，我们来看看什么是非流行几何体，它是玛雅、 blender、 游戏引擎和烘焙软件都会报错的致命突破问题。 什么叫数学上不成立呢？首先要成为一个正常的三维物体模型，必须满足一个基本规则，就是每条边最多只能被 两个面共享。但是非流行几何体呢，就违背了这个原则。常见的几种情况是，第一，一条边被三个或者更多的面共享了，这个当然是最典型的一个错误，这在数学上是不可能出现的，一个三维结构玛雅和游戏引擎都会蒙。第二是面和面之间只用了一个点进行连接，也就是没有连接的共同 的边，这在软件里面看来根本就不是一个封闭结构，也是不完整的。第三是反向挤压导致内部出现内部面，或者一种嗯， 内脏结构。比方说新手在挤压后往往向内部拉伸，就会产生这种卡在物体里面的面，这个时候我们按三就会出现奇怪的交叠结构，它就没有办法去正常平滑，这些都属于非流行几 何。第四种情况就是零厚度但是被分割的面，经常我们在操作的时候会发现多边形切割没有用了，那么有一条看似是边的东西在两个面之间，而且它还没有办法按边选择去删除。不形结合体往往会导致很多问题啊，比方说 u v 展不开了，发现烘焙炸裂了，然后包 包括游戏引擎导入报错或者 mesh， 如我们的网格直接消失，因为 unity 和 unreal 都会认为这种结构不是真的物体，或者我们在析分的时候它也会产生各种各样的奇怪的问题，也没有办法正确地去布线，包括我们 去插入边或者倒角或者折边，他都会感觉像命令失效了一样。总而言之一句话就是非流性结合体的存在会让整个工作流全都崩坏。那么我们在马鞍里面去怎么检查？我们可以选中物体，然后在清理功能里面去勾选非流性结合体， 那它会帮我们检查到有问题的情况，但一般情况下这个地方我们是不用勾选的，它有可能会给我们在正常的时候也显示绿色的点。如果你在命令使用的过程中，或者说是在 zv 的 过程中，它提示你了有非流性几何体，那至少我们知道可以用这个功能去帮我们找出来，或者帮我们解 解决掉，或者起码让他帮我们选出来。我们可以手动去进行处理。这是把模型交给下一个环节，或者说模型在推广下一个环节之前必须要完成的清理步骤。我们最近上架了美术， p b r 造型等多个训练营，还有就业班课程，欢迎大家来学习。

哦，硬卡上画两条相互垂直线，借助圆规画角度线，两角相等，两线同长，圆规连接，两端点圆周长等于扇形弧长，根据公式求出圆的半径，这里扇形角度一百二十，半径十二，圆半径四，一上一下的规律。串线， 这里注意线回绕，串到对面再次回绕打结贴胶粘在硬卡上。

有个看似简单的问题折磨了数学家们整整五十年。假设你有一根针，将他朝所有方向旋转时，能扫过的最小面积是多少？这看似是个有趣的几何练习，但通过提出类似问题，研究者们发掘出了丰富的数学宝藏。 这就是卡压猜想，其构成调和分析中诸多重大未解问题的猜想链条的第一步。信号与播数学的研究整个领域都建立在这个 卡亚猜想基础上，一旦他被政委，整个推论体系就会崩塌，所有成果都将失效。数十年来，卡亚猜想的 高维情形始终困扰着全球顶尖数学家的智慧。直到二零二二年初，两位数学家发表了调和分析领域 百年一遇的正，这至少是二十年来最重大的突破。你必须竭力克制自己的兴奋。该成果与复利业、变换行为、微分方程等众多开放行为都有着深刻联系。 但究竟什么是卡亚才想？关于旋转针尖的问题，如何成为现代分析与几何的基石？突破性证明背后又蕴含哪些创新思路？ 一九一七年，日本数学家挂古宗一正在思考空间的几何特性和空间的性质。他设想在平面上 放置一根无线细的针，旋转一周形成圆形区域，但若改变旋转方式，其面积仅为圆的一半。这类结构后来被称作卡亚。因此，卡 卡亚问题的核心在于探究这类集合的最小尺寸，因为他们包含了所有可能方向的直线。我们推测这类集合不可能太小。俄罗斯数学家亚伯拉罕被悉科为被卡亚猜想深深吸引， 短短两年后，他得出了令人震惊的结论，若采用复杂的 u 型路径组合，可实现零面积覆盖。 他证明实际上能够构造出面积任意小的卡亚吉，甚至零面积。这一结论完全违反直觉，这就是科维奇构建的集合之一。该几何结构的总面积怎么可能为零？这表明卡亚吉 仍具有某种空间规模，只是不能用常规面积度量。我们需要新的数学工具来描述空间填充特性，这就是维度概念的由来。维度描述的 是物体在空间中具有的独立方向或自由度，一个点是零维，一条线是一维，平面为二维，立方体为三维。但也存在具有分数维度的几何结构，例如某些分型， 其维度值介于一到二之间。为研究分型，数学家赫尔曼铭克夫斯基提出了新的维度理论， 现称名可夫司机维度，通过计算覆盖集合所需特定尺寸的合资数量，故又称和技术维度。 假设使用边长为零点一单位的立方体盒子，对于单位长度的线段，至少需要十个盒子才能完全覆盖。但如果是一个面积唯一的正方形，就需要十的平方及一百个小方格才能覆盖。他。宁可夫斯基围度正是这个 指数的数值，因此，直线段的明可夫斯基维度是一，因为其指数为一，正方形的明可夫斯基维度则是二。而分型曲线的明可夫斯基维度可能介于一和二之间，因为覆盖他所需的小方格数量特殊。 后来，数学家费利克斯豪斯多夫改进了民可夫司机的测量方法，将这种新维度定义称为 豪斯多夫维度。简而言之，其原理与合资技术法类似，但在合资技术法中，所有方格尺寸相同， 而新方法允许某些区域使用大盒子，某些区域使用小盒子。一九七零年代，数学家罗伊戴维斯开始运用这些新的维度理论探索卡亚及复杂的几何结构。他提出了一个关键问题， 卡亚级的最小可能维度是多少？为解答这个问题，让我们将每段线段稍作加速处理。 此时集合有许多极细的矩形组成。戴维斯通过精确计算不同角度矩形间的交集面积，发现大多数矩形队之间的交集面积都很小，这使得所有矩形的病极在空间中占据较大范围。本质上， 这种几何约束限制了卡亚级的可压缩程度。戴维斯最终证明，所有二维卡亚级的豪斯多夫维度 都等于二，以及二维的铭克夫斯基为数。这些卡亚集合及 c a 集合面积可以很小，但必须是全维度的物，因此他们必须满足二维的要求。通过从维度角度重构 aa 问题，戴维斯为卡亚猜想奠定了基础。该猜想将他提出的定理推广至所有维度。每个 nv 空间中的卡亚集合及豪斯多夫和敏可夫斯基维度也必须是。恩。换言之，卡亚集合必须始终与其所在空间保持相同维度，即使面积为零。 直观上，这是合理的。要让线条指向所有方向，需要占据相当空间。 尽管这个表述看似简单，但数学家们证明过程却异常艰难。当你以特定方式表述这个问题时，核心就变成了理解线条如何相交与交错。 这像是基础几何问题，但要彻底理解，他却耗费了巨大努力。同年，在戴维斯发表论文时，查尔斯费弗曼取得了一下颠覆性发现，将 卡压猜想从几何问题转变为数学核心支柱。费福曼当时研究的复利业变换是调和分析领域的强大工具，它能让数学家通过不同频率正弦波的叠加来研究复杂信号或函数。复利业变换是数学中极其基础的概念， 几乎无处不在，在那些最初难以想象的领域也会出现令人惊讶的联系。你本不认为富力业变换会发挥作用，但他确实存在。以下是费尔曼的疑问， 若仅掌握函数的部分频率分量，能否通过复理页逆变换重建原始函数？数学家已掌握意为情况下的实现方法，但高维空间呢？这看似顺理成章，函数理应可以复原，但查尔斯费曼 却推翻了这一认知，这堪称重大突破。此结论已足够震撼。更令人惊讶的是其证明方式，他借助了卡亚征问题的证明方法，数学界为之震动。调和分析与卡亚猜想竟存在深刻关联，这揭示了全新的基础联系。人们逐渐认识到， 解决分析学难题的关键在于理解几何学。顶尖数学家们纷纷深研卡亚吉， 发现基于其他领域未解问题存在广泛联系。围绕卡亚猜想，他们建立了关于 护理液变换高维特性的猜想体系。最基础的是限制性猜想，探究护理液变换在球面等区面上的表现规律。其次是巴赫纳奈斯猜想能否通过护理 也变换优化信号边缘而不引入噪声或失真。而最顶层的局部光滑猜想则关乎微分方程，只在探索波在空间的传播本质。卡压问题与波传播之间存在着极其深刻的关联。 若卡亚猜想不成立，则上述命题及其层级体系也将被推翻。若猜想成立，其证明方法亦可助力攻克更高层级的猜想。理解卡亚猜想变得日益重因其属于 横跨多个领域的高难度猜想族的核心成员戴维斯证明之后数十年间，数学家们将目标转向在更高维度证明卡亚猜想 关键差异在于三维空间的方向更为复杂多样。正因如此，三维空间会出现诸多二维空间 无法观测到的特殊现象。三维卡亚猜想断言，任意三维卡亚集合的民可夫斯基与豪斯多夫维度均为三，理解该定理需回速至二维卡亚集合。戴维斯将线段加粗为矩形，现在转换到三维空间， 沿用相同策略将得到极吸管状集合体。二维线段长相交， 三维管状体却鲜有交集，他们往往相互避让。卡亚猜想的证明核心实质在于论证，当存在指向不同方向管状集合体时，其交集必然极为有限， 仅证明有大量线段不够。关键在于这些线段必须具有指向不同方向。结果发现，要实际利用这一点异常困。你不能只考虑单一的配置方案，而必须考虑 所有排列方式。针制于不同区域的情况实际上存在着无限多种这样的实际情况，我们需要证明每一种配置都必然占据巨大的空间。整整十年间，陶哲轩与数十位数学家不断精进日益创新的研究方法， 研究曾长期陷入停滞。我耗费多年钻研此问题，但整个研究计划仍缺失关键环节。二零二二年，王红与约舒亚扎尔加入共同攻克三维卡亚猜想。首先，他们着手证明该猜想对一类特殊集合成立及数学家所称的粘性集合。 这意味着弱量跟管状集合方向相同，他们在空间中的位置也必须彼此接近。该特性使得粘性集合的几何结构比非粘性集合更具组织性和可预测性。若假设集合具有粘性， 就能获得丰富信息，例如，集合具有强纲性粘性假设在直观上更易证明。二零二二年，二人成功证明该猜想对粘性集合成立。这有例表明研究已接近突破他们已攻克的问题中最棘手的部分。接下来，只需论证非粘性情形。 非粘性集合呈现出不规则几何特征，管状体向各方向分散。为攻克该问题，王红与扎尔基于数学家拉里古斯的研究，他发现任何针对 卡亚猜想的反力都必须具备一种特殊性质，称为颗粒性，这种特性称为颗粒感。颗粒性源于将所有方向压缩进微小卡亚集合的必然结果。集合终会形成微小区域，称为精力。众多管状结构再次重叠。 我们耗费大量时间研究这些经历之间的相互作用机制，彼此共存经历，研究形成了一种可供利用的结构。王红与查尔据此证明， 卡亚集合不同区域的精力，不可能与其他区域的颗粒产生大规模交集。随后，他们运用尺度归纳法拓展了证明框架。 学界一直梦想通过尺度归纳法证明卡亚猜想。这种方法通过小步推进，连接相距甚远的 a 与 b。 先前运用尺 度归纳法证明猜想的尝试常因信息损耗导致失效。典型案例如传话游戏多人依次传递信息时，若每次传递即使仅有微量信息损失，最终结果 可能变得毫无价值，甚至荒诞可笑，仍将保持与初始状态完全相同的状态。但若在传输过程中出现微小误差， 最终结果可能毫无价值，甚至变得滑稽。王红与扎尔发现，颗粒性正是控制这类损耗的关键。要理解原理，需回顾卡亚级的构造特性。 在小尺度下，管状体呈现无序纠缠状态。例如可以设想这种情况，当管状体通过高效重叠，使得三维卡压机能够压缩至更 低维度空间。若此类现象过度发生，卡亚猜想将被证为。王红与扎尔另辟其境，转而分析颗粒分布，证明空间任意点无法被过多颗粒覆盖。该结论限制了 管状体重叠程度及集合压缩空间。他们运用此结构驯服尺度变换时的混沌。每次论证都能将卡亚及为数估计值逐步提升，直至最终突破三维。通过逐级提升 为数下界，最终在明可夫司机与豪斯多夫维度下正得三维清晰。这正是数学发展的典范模式，众人贡献局部成果，最终融入为完整证明，实乃学界盛世。数学家期待借此成 构建更宏大上层猜想证明体系，虽未完全解决其中遗留问题，但已扫清半臂难关。如今，我们坚信这些精妙猜想 终将得以证实，学界将严正猜想体系涉及而上，其余猜想定将要么彻底解决，要么我们将见证并取得重大突破。

这种能以特殊形态旋转，没有剪切力，不会产生旋涡并且摩擦力接近于零的搅拌器就是三维搅拌器。上面的搅拌讲叫做 ollet， 它是以两个相同直径的母圆相互横竖交叉，再用单联通的光滑曲面把两个圆的边缘完全包裹起来所形成的特殊几何形态。这种形态在平面上滚动时会自我翻身， 单曲面的连续贴合，在滚动时，表面上的每一个点都会依次接触滚动平面。这种均匀的接触方式意味着 olay 在 滚动时几乎没有滑动摩擦，只有极小的滚动阻力。其特殊形状使接触点与滚动面保持顺时相对静止。 它在滚动时的所有能量几乎全部用于维持滚动而非克服摩擦上面，这会使它在水中保持着超低剪切力与近乎零摩擦的物理本质，再加上它的几何形状，决定了它的重心不再几何中心。 因此这种独特的非中心对称搅拌方式使液体无法形成稳定的漩涡结构，能量被直接导向全方位混合而非维持旋转， 且他在滚动时重心会规律起伏，这种起伏不仅不消耗能量，反而是将重力势能直接转化为动能的能量循环利用。因此在实验中我们也可以看到， 即使给他很小的能量，就能使他滚的很远。而这些特性使他在转动时形成的连续波浪轨迹应用在搅拌器中，就会使其比传统搅拌设备节省百分之七十以上能耗， 并且有着前所未有的搅拌均匀性。这种无旋涡、低剪切、近零摩擦的均质化三维搅拌方式彻底重构了搅拌的基本原理，已被逐渐应用到污水处理、制药和化妆品等对温和搅拌却要求高效均匀的工艺中。

本演示展示了如何将参数化的三维空间曲线转换为三维曲面。具体方法是，通过使用 mathematica 内置的 fourier 系统命令提取空间曲线的单位法向量和单位负法向量。 将空间曲线的单变量参数方程与结面的极坐标方程相结合，可以得到曲面的双变量参数方程。 该方程表示为空间曲线方程，加上由截面积净乘以法向量与余弦值的积，加上负法向量与正弦值的积所得到的向量。

这个三维格式化程序就是把点、线、面、体的递进过程生动的展现在你眼前，从最基础的点开始，一步步观察它如何延展生长，最终形成完整的几何体。 抽象的空间观念在这里变得触手可及，用它来上课，孩子们一看就懂，一想就通，空间想象力自然就建立起来了。

这个外形奇特、推出机后会像八字一样向前滚动的装置，就是一种非常独特的三维几何体。奥洛伊德。他虽然是在人类的一次意外中被发现，却凭借许多非常奇妙的运动和物理特性被应用到了许多工程领域。 一九二九年，德裔数学家保罗沙茨在研究一种名为反转立方体的几何结构时，意外生成了一种全新的曲面形状。后来，人们就把这种由两个圆构成的几何体，并对他的数学性质展开 研究。奥洛伊德的构造其实并不复杂，只需两个半径相同的圆将它们相互垂直摆放，先让每个圆的圆心刚好落在另一个圆的圆周上，然后再用一层平滑的曲面把两个圆的外侧连接起来，就形成了完整的奥洛伊德。它的表面全部由直线段组成， 属于一种特殊的可展曲面，理论上可以完全展开成一张平面，而不会产生拉伸或压缩。此外，当他在平面上滚动一圈时，整个表面都会依次接触地面，且中心高度基本保持恒定， 同时有一独特的几何不对称性，他的运动轨迹呈现出经典的八字形。这种第三种运动形式在已知几何体中独一无二。 这些奇妙的特性也是奥洛伊的被应用到的一些工程领域。在污水处理中，奥洛伊的形状的搅拌器可以产生复杂而均匀的流动，从而提高混合和补气的效率。

你拿什么跟我比？我上班从来不看节假日啊。牛马哪来的假？牛马只有驾驾驾。 你拿什么跟我比？我上班从来不看节。

我看到了情。

什么是拓扑流行？我们假设一只蚂蚁在弯曲的纸带上爬行，它如何知道自己是在弯曲的空间中？ 答案就藏在拓扑流行里。拓扑流行是一个拓扑空间，它在每一点的局部领域 都同配于欧式空间的开级。简单来说，局部是平的，整体可以是弯曲的。图册是定义在拓扑流行上的局部坐标卡几何使得流行局部同配于欧式空间，获得坐标结构。 圆周直线都是一为拓扑流行。拓扑流行局部欧式整体弯曲现代几何的基石。 核心要点，一、局部看起来像欧式空间。二、由图色覆盖。三、圆周直线都是一位流行。四、拓扑不变量区分流行。拓扑流行是现代几何的基石。