八下数学第一章四边形做法

好，我们继续看四边形第六个模型， t 字模型。首先它给你的条件是，线段 a、 b 的 两端点在坐标轴上滑动，角 a， b， c 等于九十度， ab 的 中点为 q， 连接 o q c q o c。 它的结论是，当 o、 q、 c 三点共线时， o c 取得最大值，最大值为 o q 加上 c q。 我 们一起来看一下这道题。 三点共线，这个 o c 是 最大的证明， 因为角 a、 o b 是 不等于九十度，同时 ab 的 中点 为 q， 对 吧？所以 o q 是 不是等于 q b 等于二分之一 ab， 对 吧？ 然后在二 t 三角形 b q、 c 中，就这个 b q c 这个三角形 能得到什么？ three 角的 c q 等于根号下 q b 的 平方，再加上 b， c 的 平方，等于 二分之一 ab 的 平方，再加上 b c 的 平方，对吧？ q b 是 不是等于二分之 a b 啊？给它等下，再换一下，然后再三角形 o q c 中 o c 小 于等于谁呀？三角形 两边之隔是不是大于第三边？小于 o q 加上 q c， 对 吧？所以当 o q、 c 三点共线时， o c 取得最大值， 此时什么？此时？是不是所以 o c 等于 o q 加上 c q 共线了吗？这个 o c 是 不等于这个 o q 加上 c q 啊，对吧？ 所以继续。所以 o c 等于二分之一 ab， 再加上 根号下二分之一 ab 的 平方，再加上 b c 的 平方，对吧？ 最大值为 o q 加 c q， 这个 o c 怎么求？是不是等于这个公式，明白吗？你做这种题，你就知道它 a b， d， c 的 长度，然后这个 o c 就 可以直接求出来， 明白吗？求最大值是不是比较简单？大家理解怎么样？

数学的重点在哪里？抓住这几块，孩子的成绩大概率不会差。我是北京海淀任老师，今天我们讲第三部分，四边形， 初二下册几何最难最容易出压轴题的就是这张了。从普通的四边形到平行四边形，再到菱形、矩形、正方形，性质特别多，变化也多，引含的条件多，辅助线 思路自然就多，难度几乎没有天花板。学这一张，千万不能碎片化学习，一定要形成框架，系统化去学，从边角、对角线、对称性四个角度理清他们之间的转化关系，把性质和判定彻底吃透。 很多孩子都说辅助眼画出来我也会，可是自己做的时候想半天也不知道这个辅助线到底该怎么做。核心就是要吃透各种几何模型， 比如矩形的翻折模型、菱形正方形的对称模型、正方形的对角线旋转模型、悬图十字架十字架模型、半角模型、手拉手模型等等。 常考的题型也给大家梳理清楚了，比如用方程的思想在平行四边形中构造全等，结合勾股定律求线段的长度，线段的坠值问题与将近一码问题的综合，还有动点问题，构造中位线 啊，特别是直角、三角形、斜边中线等，都是压轴体高频考法。我是北京海淀任老师，关注我，带孩子一起学好数学！如果你的孩子数学有困惑，欢迎私信我，咱们具体问题具体分析。

这是一道仅用五刻度的直尺进行作图的一道八年级作图题，很多同学不会做，那么现在作图题是近几年考试的热点。好，我们来看一下这道题。 在图一中的菱形 a、 b、 c、 d 的 边找一点 f 作线段， b、 f 等于底一， 那么说是在菱形的边上，他并没有说是在哪条边上，而且我们必须是用的是无刻度的智齿， 那么既然是用无刻度的支持，所以我们只能通过连线来找出相应的点，那么这里面用的知识点就比较多。首先我们先用一个全等法来找 b， f 等于 d、 e， 首先我们连接 i、 c， 这时候菱形 abc 的 对角线 i、 c 和 d、 e 有 一个交点，然后我连接 b 和这个点交点， 和 a、 d 相交于一点，这一点就是 f， 那 么这个 b， f 就是 等于 d、 e 的。 那么朋友们，为什么我们可以通过证明三角形 a、 d、 e 全等于三角形 a、 b、 f 来说明 d、 e 和 b、 f 相同的，那证明的过程我就不再追溯了 啊。这是一个方法，另外一个方法就是我们可以构建平行四边形，就是在 cd 边上找一点 f， 在 cd 的 边上找一点 f， 这时候 beef 是 平行四边形，这时候 bf 就 等于 d、 e 了，这也是很多同学想采用的方法。 那么我们怎么找到 b、 f 和 d、 e 平行？好，我们的方法是，首先连接 i、 c， 再连接 b、 d， 那 这时候 i、 c 和 b、 d 有 一个交点 这点，那么我再连接 e 和这个交点 并延长，这时候它就会和 c、 d 有 一个交点 f， 这时候我们再连接 b、 f， 那 么 b、 f 就 等于 d。 一， 此时的 b、 f 也是等于 d 的， 我们同学们想一想，你可不可以证明这个 b f 是 等于 d 的 呢？ 那么我们可以证明 d b b e， d f 是 平行四边形， 怎么来证明它是平行四边形？特别客户想一想。这里面我就不讲了啊，就不讲了。好，第二问，在图二中的菱形 a b c d 的 边找点 f g， 使 b f 等于 b g， b f 等于 b g 等于 d e， 并作出等腰三角形 b f g。 那 么第二位恰好就是运用了我们刚刚讲的这两种方法，那么这个是 b f， 那 么我这种找的话就是 b g 了，所以我在连接这个点， 那么这个位置就是 g 的 位置。根据我们刚才讲的电路方法，我们知道 b g 是 等于 d e 的， b f 也等于 d e 的， 所以 b g 等于 b f， 那 么三角形 b f g 一定是一个等腰三角形。 那么这是八年级的一道特殊四边形当中用无刻度知识来进行作图的一个一道题比较好。好，这道题就分享到这里，朋友们再见！

四边形和将军印码结合的题，是八下月考期中考试一定会考的一类压轴题型。 由于这道题要用到四个步骤，缺一不可，而很多的孩子呢，只会里面的两到三个步骤导致丢分，所以错误率非常之高。那这道题呢，李老师将带你重新打通这四个必要的步骤。 学完这道题之后，再把林老师给大家整理了四边形十大必考题型，拿去练习一下，只要把重难点都搞定了，月考多拿二十分。我们来看题， 如图，菱形 a、 b、 c、 d 的 边长是十啊，也就是说这四条边它都是十对角线， b、 d 等于十六。好，这条是十六啊，我们标记一下它是十六， 然后 p 和 q 是 两个动点，它是一个双动点模型。然后呢，让你求 a p 加 p q 的 最小值。 好，那这种题呢，我们一共要经历四个步骤，分别是构造、对称化、折为直垂线段最短和等面积。好，那具体怎么做呢？林老师将带着大家从底层逻辑给他梳理一遍。 首先第一件事情，我们要求这两条边相加的这个最小值，就得先把它们处理成同一边。那怎么处理最好呢？这个位置呢？我们需要把这个 q p 给它，想办法折叠到这个 a p 的 另一侧， 把它从同侧折成另外一侧。所以我们怎么构造呢？我们在这个 b、 c 上去截取一个点啊，咱截取个点 m 吧。 ok， 然后呢，我们要令这个 b q 和这个 b m 它相等。 相等完之后呢，就可以利用首先这两个角相等，这两条边相等，再加上中间这是一个公共边，对吧？所以我们可以构造出两个全等的三角形出来啊，所以呢，我们 本来是要求 a p 加 p q 的， 现在就转移成了求 a p 加 pm， 所以呢，这一步呢，我们要构造对称。解决了第一步，好，紧接着我们看第二步，我们要化折为直， 为什么要这么处理呢？你想啊，现在是这条边加这条边要最短，对不对？所以呢，我们折线肯定不如直线来得短嘛，对不对？所以呢，我们把这个 p 点呢和 m 点呢就整成三点共线， 那这样子呢，我们就可以得到这条 a m 啊，它是属于整个 a p 加 pm 里面最短的一种情况。那现在呢，第二步也解决了第三步，垂线段最短又是什么意思呢？你想啊，现在我变成了要求 a m 的 最小值，那 a m 是 不是有无数种情况啊， 对不对？其中最短的情况必然是什么？做垂线的情况才是最短的，所以 n 点在这里的时候呢，我们就可以得到一条最短的这个和，也就是垂线段最短，我们也解决了。好，解决完前三步，我们看最后一步，等面积法求高是什么意思？ 现在我们已经梳理出来了， am 就是 我们要求的最短的啊，那个最小值。所以呢，我们现在想办法把它处理成什么？把它处理成高来求就行了，那我们需要把这个 ac 给它连起来， 然后呢，用等面积的方法来处理，你看条件里面给了我们这个是十，这个是十，这个是十，这个是十，对不对？ 然后呢， v d 作为对角线给了我们的，它是十六啊，那么一半它就是八喽，这是十六，这是八，这利用菱形的性质，对角线相互垂直，所以呢，中间这个 o 点啊， a o 它就是多少，它就是，这是八，这是十，那这些六勾股定律六八十。 好，所以这个 a o 是 六啊，那么 c o 它也是六，就这一整条 a c 作为对角线，它就是十二。然后呢，我们就可以利用菱形的面积公式，怎么求啊？就是 s 等于二分之一，乘以对角线，乘对角线就是十六，乘以十二 等于多少呢？等于九十六啊，这个就是整个菱形的面积。好，那得出面积之后，我们最要求的这个 a m 呢？它是怎么求的？我们就可以利用啊面积公式，把这个 b c 看作是底啊，也就是十，对吧，乘以这个 a m 啊，乘以这个 a m， 它就等于我们刚刚求出来这个面积九十六啊，九十六，对吧？十，乘以 a m 等于九十六，所以 a m 我 们就可以得到，它等于九点六，所以最后我们答案就是九点六 搞定。最后林老师再总结一下，这道题一共要用到四个步骤，分别是构造对称化折为直垂线论最短和等面积求减四个步骤，缺一不可，请务必掌握。

好，同学们，今天我们来讲八年级下册的第二讲平行四边形。好，我们来讲个问题啊，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中，直线 f、 h 与 a、 b、 c、 d 相交过点 a、 b、 c、 d 与直线 f、 h 做垂线。 呃，垂足分别是 g、 f、 e、 h。 我 们要证明什么呢？我们要证明 a、 g 减 d， f 等于 c、 e 减 b、 h， 我们发现它就是两四条垂线的差相等。 这句话要弄一点啊，它要证明 a、 g 减 d， f 等于 c， e 减 b、 h， a g 减 d， f 等于 c， e 减去 b、 h。 原来就是这四条垂线。我们先把垂线标上， 这里是垂直的，这里是垂直的，这里是垂直的，以及这里是垂直的 啊。如果我们的解析思路啊，我们通过结论来倒推过程，如果我们能从结论推导出来已知条件，那么把已知条件再转化成结论，就是我们的证明过程了。 你会发现 ag 的 话，如果能转化到 df 上面，就会变成一个叉值。为什么我这样讲呢？因为我发现这四条垂线都是和 eg 是 垂直的，那也就是说这条和这条、这条、这条它的四条 b 是 平行的，这个转化是有这样一个前提的， 那怎么转化过去呢？哎，我在这里做一个垂线，把它设置成 m， 你 会发现 a、 g、 f、 m 自然然就是什么，就是一个矩形，因为它有三个角，是直角、直角、直角、直角，所以它必然是个矩形，也就意味着 这条线也就意味着 a、 g、 f、 m 本身是个矩形。那同时这边的话，我也给它做一个垂线 垂足，把它设置为 n， 那 a g 减 d， f 就 变成什么，变成负的 d m， a g 减 d f 就 应该等于负的 d m， 与此同时， ec 减 b h 的 话，就应该等于负的 b n。 同学们看到了吗？ 因为它是矩形，所以 a g 必然等于 m f， 因为它是矩形， ec 必然等于 h n， 所以 我们现在要证的就是 d m 等于 b n， 如果我们能证明出来，这个我们就能证明出来。整道题能不能证明出来呢？当然可以的，你会发现 dm 的 话是在直角三角形 a、 d m 当中， b n 的 话是在直角三角形 b、 c n 当中，那 a、 d 又等于 bc， 因为它是一个平行四边形，现在还缺一个角或者是一个边，能不能再出来一个角或者边呢？当然是可以的，我们从角的角度去思考啊，我把它设置成角一，这个设置成角二，这个设置成角三，这个是角四， 这个是角五，这个是角六。同学们，我们要证明什么呀？我们要证明的就是，如果角一能等于角六，那么这个题就成功了。 a a s。 首先我们知道的是什么呢？就是角一加角二肯定是等于九十度的，这个是没问题的。那 角二加角三加角五加角六是等于一百八十度的，因为 a、 d 是 平行于 bc 的， 角三是等于角四的，因为它是同位角， 角三是等于角四的，角四加角五是等于九十度的。来，同学们，我们注意观察，角三等于角四，这个地方就变成了角四。 来，我换一个颜色啊，这个地方就变成了角四，对吧？这个条件就用掉了。那角四加角五等于九十度，哎，我把它圈着了啊， 它等于九十度。同学们，那剩下的角二加角六等于多少呀？ 角二加角六就等于九十度。哎，同学们，角一加角二等于九十度，角二加角六等于九十度。所以我们可以得出来一个非常重要的结论，是什么呢？是角一等于角六。哎，同学们，我们证明出来了，角一等于角六， 于是的话 a a s 就 成立了，你学会了吗？

垂直于 ab 的， 嗯，他说四边形，这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，面积等于八， 然后让我们求一下 b、 e 的 方，那这吧，我们看一看这道题，就是说你怎么看他都是没法算的， 那他难在哪？难度难在你做的这条辅助线，如果你把这个辅助线做出来了，那么这道题也就写上了，那这个辅助线怎么做啊？ 它是一个不规则的四边形，对吧？不管你是学的平行四边形好，还是学特殊的四边形，就是我们后边要讲的菱形、长方形、正方形这些特殊四边形，对吧？那么它是一个不规则，我们学的是规则的，对吧？那么你就想办法看什么？给他看看能不能组成一个规则。 那么这道题是干什么？把这个 b、 c 给它延长，把这条线给它延长，然后呢？从点 b， 从这个点往它的延长线上去做垂线， 往这做一条垂线，那么这个垂足呢？可以给它逆时针一下垂一下走， 那么做辅助线的时候要一样，就是说尺规作图，明白吧？就是你尺规作图，你去量，你可以量倍数，对吧？你不能说我延长这个长度等于五厘米，那不行，明白吧？啊？ 那么这个耻骨动作是可以做到的，延长它一般指的延长，对吧？然后做一条垂线，那么这个时候你看如果这个地方是垂直的，看看这个地方是垂直的，对吧？这个地方他说也是垂直的，对吧？那这个地方呢？是垂直的吗？ 四百九十点和三百六减去三百九十，那肯定的，这个，呃， b、 f、 e 呢？他至少是一个长方形，或者说呃，矩形， 对吧？那我们下一步要证明什么？就是证明我这个 a、 a、 b、 e 这三角形和 c、 b、 f， 看它是不是全等了。 那如果他们两个全等，那你就要想一下 a、 b、 c、 d 这个四边形的面积和我们 b、 f、 d、 e 的 面积相等， 明白吗？啊？那我们看三角形 a、 b、 e 是 不是宇宙的三角形？呃， c、 b、 f 是 全等呢？ 我们去照我们说这个 e、 b、 f 是 九十度，对吧？那减去 e、 b、 c， 是 不是就是我们那个 c、 b、 f， 嗯，对吧？那么说 abc 是 九十度，对吧？那减去 abc 呢？是不是就是 a、 b、 e 啊？ 对吧？那是不是我就能得到这个角 c、 b、 f 等于角 a、 b、 e， 这两点？是这样的，是吧？嗯，这个，那然后他还给了个已知条件，这个 b、 e， 嗯， ab 跟 bc 是 相等的， ab 与 bc 是 不是相等的？那我们还说这个角是九十度，这个角是九十度， 那角 e、 f、 c 等于角 b、 b、 a 等于九度啊？嗯，给它们做个到一起 就好了吧？小点，是吧？是不是要在这边呢？对吧？那写下面 a、 b 角角 b、 c 是 不是这两边全等了？对，在这边是吧？嗯，然后全等了以后，那你看它们对应边 右边是谁？是不是 b、 e 和 b、 f， 我 们是不是得到了 b、 e 就 等于 b 了，对吧？对，那 b、 e 跟 b、 f 如果相等的话，刚才我们说它本身就是一个长方形，对吧？那长方形的邻边相等，那它受什么作用？ 是正方形吗？嗯，长方形的两条相邻的边相等，那他是不是正方形，对吧？对，明白不？那你要是明白，我们就证明了他不仅是长方形，他还是一个正方形，是吧？嗯，而正方形的面积，我们就好说他边长的地方啊？对， b e 是 不是 b e？ b f 的 那个？那是不是 b e 的 平方？对，那 b e 呢？是等于它这个平方二。

好，这个十八题啊，呃，难度系数我觉得不止五颗星，这道题难度系数超高啊，因为他有新定义在里面。呃，新定义？对，然后一起来研究一下这道题啊，新定义指的什么呢？他说在正方形他画了一个图给你， 正方形呢，首先得四四方方直棱棱的放在这，不能是斜着这样去放啊，他首先是有要求的，然后呢，哎，随机在这里边选一个屁点，这个 c 呢，是正中心的意思啊，正中心这个屁点是你随便可以选的点， 但是你选完之后呢，永远要跟这个正中心位置去连接，连完之后是不会跟你的正方形是外围会有两个交点， 是不会有两个焦点？是不是？如果满足，来，大家看一下这个式子，如果满足，屁屁撇介于 c m 和两个 c m 之间的时候，当然可以相等啊，临界值可以相等，我们就称屁撇，就是屁的限称点， 有对称的意思嘛。哎，先称点啊，这个新定义就出现来，再来深入理解一下。也就是说正方形摆的好好的，正中心是不是在这儿？你随便想来一个屁点，那么一来你是不是就得连？连完之后是不是会有两个焦点？所以你肯定纠结的第一个点在于， 凭什么说这个就是屁屁，这个就是 m 呢？能不能换一下位置？这肯定是你需要思考的东西了，是不是？但是它需要满足这个 c m 是 什么？是不是你连的这个线的？是不是一半 对两个 cm？ 是 不是正好是完整的这条线？如果这个屁屁撇介于一半和整个完整的这条线之间的时候， 大家可以相等啊，我们就称这个屁撇就是它的现成点，现在这个能理解了是不是？好，那至于为什么屁撇和 m 的 位置不能换一下，因为按他这个图来说，这时候的屁屁撇还符合题吗？不符合了，因为他连 cm 是 不是都没有超过， 听懂意思了啊？所以你自己来总结，如果这个点处于这个正方形内部的时候，内部的时候焦点不是有一个屁撇有个 m， 这个屁屁是不是应该离这个屁是较远还是较近的那个点？ 是比较远的那个点，如果比较近的，这个屁撇能放这吗？不能放这了，是不是？这个都是你需要分析的点？听懂了啊，而且每一个在内部的点是不是都成立？你看我随便找一个 来，我们再找一个点，比如说屁点我们找这儿啊，然后这么一连接，根据刚刚的经验所谈，这个屁撇放这儿， m 是 不是应该放这个位置？ 是不是要这样来？是不是？你看每一个来是不是都是符符合 t 的 这段确实超过这个 c， m 就是 超过这个一半了，但是又没有超过完整的这段。也就是你有一个小结论，当点屁落在正方形内部的时候，是不是又没有超过完整的这一段？也就是你有一个小结论，当点屁落在正方形的时候存在， 听懂意思吗？而且这个现成点是不是要离我这个 p 点是不是较远的那个位置？因为有两个焦点是不是要较远的那个点？ 看懂了吗？是不是来再总结一下啊？当点 p 落在正方形内部的时候，永远存在现成点， 是不是？而且这个限制点离点屁是教育的那个点，这是我们的第一条结论，是不是你要分新定义？就是这样，你要先总结再去做题，或者你通过第一问比较简单的题目先去自己总结，要抽历出来一些有用的信息，你才好展开二三问的，懂了吧？ 那在外部的时候呢，来开始继续分析，我们要先探讨是不是，那我随便先找一个点，如果这个屁点它在这儿，咱们开始思考了啊，那这时候来根据定义连接它和正中心，是不是一个屁撇一个 m， 这时候的屁撇应该放在哪？首先绝对不能放这儿， 知道原因吗？这时候屁屁撇多长啊？你肯定超过这个正方形里头的截的这条线了，看到了，绝对不符合题。所以如果在外部首先确定的这个屁撇是离得较近的那个点， 这我都能判断出来是不是好 m 应该在这，再根据我们的这个范围要求屁屁撇要介于 c m 和两个 c m 之间，哎，所以看图， 屁屁撇这个 c m， 当然 c m 就 指的是一半的意思，你明显看出来这个是不是偏小一点，不符合题吧？直到它们相等的时候，是不是达到临界值状态了， 也就是说在这不行，但是我可以让这个屁是不是在这，是不是有个领界值，是不是就可以达到相等的时候了？是不是？哎，也就是说，也就这段跟这段来，这三段是不是应该是一样的？ 那也就是说，哎，这样的点有无数个，也就是如果我放在这也得满足这样的一个情况，你看我这样连的话，这段跟这段，也就是这段跟这段是不是也得相等？是不是应该这样状态？是不是每次都发散性？这个等于这个它形成的框不就是刚刚正方形外围的这个框线吗？ 你想想看是不是只有这一段框线是不是正好符合的？正好就是放大的？你看我这一段跟这段，我是不是只有这样来放置？是不是永远都是符合题的？ 看到了是不是？好，你比如说你这段长是一的话，我这段长是不是再增加一个一是不是就可以了？看到了，哎，就是看这个间隔就行了啊，哎，所以我们好像找出来了一个领界的状态，领界的状态，哎，对不对？他这个我们来画，你看 假如说这段长是一，或者你说 a 都可以啊，好，也就是在外面，哎，再画一个，这样子， 对吧？你假如这半是多少？这段是不是应该跟他是相等的状态？是不是？但是是不是无穷尽的呢？你假如屁在这肯定是符合的，是不是？你看确实超过， 但是直到有一个时刻，我是不是不能超过这段长两个 cm 是 不能超过，是不是？所以又一个局限的状态出现了？也就是说当我这个屁到这个位置，当他俩相等的时候，是不是又到达领界之状态了，不能超出这个范围，也就是你看这一段，两段，三段，所以在外面是不是又继续扩一个，这么长的长度是不是就可以了？ 有没听懂？这样解释的话，你其实就更清晰一点了。所以这道题其实是三个正方形在做题，其实有三个正方形的，所以先把它理清楚之后再做这道题，就会变得思路就很清晰了，所以看来看似是做一个正方形，实则这道题呢？ 看这三段都是一样，他其实是三个正方形的问题，他其实三个，而且这三个正方形大家有没有看出来？假如说第一个长方形，这个边长是 a， 第二个是不是在这边二分之 a， 这边是不是也是二分之 a， 是 不是变成二 a 了？看到了是不是？然后你如果嫌 a 麻烦的话，你也可以这样来看，你看假如说这个是二 a， 这边看到是多了 a， 这边是不是也多了 a， 是 不是变成四 a 了，看到是不是变成四 a 了，然后这边又多 a， 这边又多 a， 是 不是变成六 a 了？所以其实是一比二比三的关系。 听懂啊，其实是一比二比三这样去放大的。然后所以这个点屁的所在的区域，如果在外侧，是不是只能在这个环里边去， 是不是只能在这个区域里边？超出都不可以听懂啊？当然可以在边界线上，因为可以相等吧， 思路有没有梳理清楚，是不是好？分析完之后再去做题，你会变得更简单了。来，我们看这道题，第一问，如果正方形的中心呢？是 o 点，边长为二，所以我们先把这个正方形给它画出来，边长为二，所以每边跨度就是一啊，就这样放， 是不是啊？那画一个，我刚经验，我们就知道这次的边长是二，接下来边长是不是要画一个四，正中心都是同一个点，所以我在做题的时候就应该把这个正方形全部画出来啊，边长是四，然后再来一个边长为六的状态，我们再画一个，所以三个正方形全部把它画出来， 哎，全画出来啊，好，也就是刚我们分析完之后，是不是在两个区域，一个是在这个正方形以及呢这个环里边都是可以的，所以先要把这个要画出来，这样才好做题呢。 你这个梳理清楚之后，接下来就非常简单了，现在听懂了没？我们还真希望考到这道题，真希望考到它啊，好，来，分析完之后来一个一个来，首先第一个点是负二分之一，二分之一在这个位置， 负二分之一， f 一 是不是在这儿？然后我们根据定义，我们要连接它跟正方形的正中心。刚才总结了，如果在内部的话，离得较远那个点是不是 f 撇？是不是现称点？还记得吗？ 哎，因为你这条线跟这个正方形的交点有两个，到底谁是 f 撇，谁是 m？ 是 不是离得比较远的那个点，对不对？所以 f 撇在这儿，所以第一个点的现称点就出来了，叫 f 撇， 他是一逗号负一，那么第二个记点根号三逗号，一根号三逗号，一是跑在第二个框线里面了，不符合题了吧？是不是第二框线里是不存在的，所以他是不存在的， 哎，这个是不存在的啊，那么第三个零逗号，负二分之五零逗号，哎，可以的吧，因为它在这个第三个框线里边是可以的，是不是？好，然后将它跟圆这个正中心去连接，离得比较近的那个点 是不是就是现成点？我们刚是不是总结了，是不是如果在第三个在外侧的时候，我们离得较近的那个点叫现成点，哎，所以 h 撇就在这儿了，所以第三个点它是存在的，这个 h 撇它是零逗号负一，零逗号负一啊。 呃，这个题当然因为上周让大家做的时候，可能回去会有同学去搜这个网上的答案，呃，参考答案基本上都是错的，所以不要去看那个作业帮这些啊。呃，它就答案是错的啊。 这第一问 ok 了吧？现在理解了啊，好，理解之后来看第二问，当你看到这个构造的时候，应该知道轨迹了，这个点你会发现它是不是在 y 等于发现这个 n 是 不是二分之一的是一半，所以如果给个横坐标，是不是应该二分之一？ x 加二 是不是应该这样来的？我们先把它轨迹画出来吧。 y 等于二分之一， x 加二来画图啊， y 等于二分之一， x 加二是，不过零逗号二，还有一个是这个负四逗号零，所以呢，就是这样去连啊。 呃，会过这上面一个二的位置对不对？好，呃，然后呢，你们发现这条线跟这个正方形已经没有公共点了， 所以是不是只能在这个环里边去找公共点了？所以在这个环里边的公共点也非常明确，是不是在这里有一部分看到了，在这是不是有一小部分，然后在这里是不是也有一小部分？只有这两段是不是符合题的 对不对？好，这两小段问 a 的 取值范围，这一小段来看，第一小段说明横坐标，横坐标，这道题横坐标是不是二？ n 是 不是介于是不是负三到负二之间？负二，负三到负二之间， 你看到了没？是不是？你看从这个位置到这是负三到负二，那么这段你当然可以把这个坐标求出来，你可以自己算，这个算着正好是二的位置啊，所以从这到这是正好是零到二，对不对？好，所以它是两个区域啊，或者是 二， n 大 于等于零，小于等于二，可以去等号啊，所以 n 呢，是大于等于这个，嗯，这个自己算了，我把结果写给大家就可以了啊。这个负二分之三到一啊，负一是不是负一啊？ 或者是 n 大 一点零小一点一啊？这是我们第二问的答案，你看第一问，弄清楚是不是就直接画三个正方形找区域是不是就可以了，就变得简单了啊，对吧？好，来最后一问啊。最后一问， 呃，如果正方形的正中心的 t 在 x 轴上边长为二，所以跟上一位的正方形大小是不一样的，对不对？但是它会移动了，它会左右去移动，因为它的正中心位置不是圆点了啊，所以将这个东西相当于在移动， 就是刚刚这个图形是不是在平移的过程，是不是平移的时候说了啊？这个直线在零到一之间的部分记作 k， 所以我这个直线肯定要画出来，是不是只要零到一的部分，是不是？所以当 x 等于零的时候带进去， y 等于一，当 x 等于零的时候， y 等于一，当 x 等于一的时候带进去， y 等于负一，所以这个直线我其实只要这一部分，哎，我们不要其他的， 其实只要了这一部分而已，它说这一部分图形记作 k， 如果 k 上的任意一个点都有现成点存在， 说明这一部分区域就是这样的。一个斜杠的东西是不是要么能落在这个正方形，要么是不是能落在这个框里面？ 那么先来分析啊，第一种要落在这个框，你有没有看到这个这段他横向的跨度是不是一个单位？一个单位好说，有一种情况是这样放。第二种零件是不是应该这样放？ 是不是正好在这个区域里边，是不是都可以放？只要不超出这个是不是都可以？他是首先有一个范围，其次如果想放在这个范围是不是都可以？他是首先有一个范围，其次如果想放在这个范围是不是一个单位， 那么跨度是一个单位的话，所以咱们在放的时候是不是只能这样子去放？是不是只能正好卡在里面，稍微移动一点是不是都不行了？都超出去了？因为这道题是任意看到吧，什么叫任意？每个点是不都得符合， 所以好，这么分析完有点感觉了啊，如果这条线落在的是这个距离，只要满足这个小正方形里边，所以第一个零戒指是不是在于他是不是恰好，是不是卡这条边，对不对？好，所以我们把这个零戒指画出来啊，也就正好卡着这条边去放， 我的正中心是不是零的位置是不是？好，那么第二种情况，如果我卡着这边去放，所以我的正中心是不是就在一的位置了？ 所以是不是正好两个正方形对不对？在这个之间是不是都符合题的，对吧？好，所以第一个啊，他问的是什么？呃，任意一个点问这个正方形 t 的 横坐标，那你横坐标咱们先设成小 t 吧，好吧。啊，那么这个小 t 应该是介于零到一之间， 零到一之间，当然我们刚刚说了还有一种情况了啊，也就是大的他在这个框里边的时候是不是也是符合的？是不是？好，那如果这段长他能放在这个三的，你看最外层的那个里边和内层里，那他的构造大概是不是？你看 我是不是应该把它放在首先六的这个长度里边，然后，哎，里边是不是就变成四的这个长度了？是不是应该这样正好是不是给卡进？因为他跨度是不是正好就是一个单位正正好能放进，所以这时候是不是一个特殊的点只有一个点的看到了，哎，所以咱们接下来应该要放 就是你，但是你画不画无所谓啊，其实你真画出来，但是这个线不够了，因为它应该标到六的位置了吧，是不是它标到六的位置，正中心是不是应该在三的位置？ 是不是应该在三？正好在三的时候它的内侧是不是正好是四的一个边长？四的边长的话这段是不是正好就卡进去了？完美快卡进去了，是不是？所以它正中心应该是在三的，就是或这个 t 等于三，当然还有一种情况呀，对吧？还有一个，你就这条线我也可以这样去卡 还是三的，这个是不是，哎，还是这样卡啊，那它这个时候正中心是不是就在负二的位置了？我这条边是不是也卡进去了？看到了，哎，我这条边正好就卡在了这个，接下来不是有一个四的这个 正正好，是不是，哎，所以还有一个呢啊？或 t 等于负二啊， t 等于负二，看到没，这道题难度系数就很高了， 因为它题目你可能首先读不懂，所以这道题的宗旨在于讨论，如果 p 在 正方形内部的时候， 我们画的时候说明这个现成点是离我较远的那个点，如果这个点在外侧的时候，我们需要画三个正方形，依次呢就增加一倍的就可以了。比如本来边上是 a， 那 么接下来二 a， 然后呢？三 a 是 不是好，然后呢？哎，画完之后呢，在那个框线里边也是存在一部分的， 如果你这个理解清楚，然后呢，接下来画那个现成点就是离我较近的那个点了，比较近的那个点啊，然后呢，这道题就好去解决了啊。哎，这是完整的这道题啊。

好，来看到二十一张四边形这个单元，我们会学很多的特殊四边形，比如说平行四边形、矩形、菱形和正方形，这些后面都会学到。 那我们先来了解一下什么是四边形，可能一说大家都知道什么是四边形，但是它具体是怎么定义的呢？来看到 这里有写，它是与三角形类似的，在平面内由不在同一条直线上的四条线段，首尾顺次相接组成的图形叫做四边形啊，这是它的定义。 而第二个就是什么是四边形的边，组成四边形当中它各条线段就叫做四条，这个四边形的边就是我们刚才 拿了四条线段首尾顺次相接，对不对？好，这四条线段就叫做四边形的边， 这是它的边，那什么是四边形的顶点呢？每两条那就会有一个焦点，每两条线段就会有一个焦点，所以它是这么说的，每相邻的两条线段的公共端点就叫做四边形的顶点。好，咱们也把它画出来， 那么四边形用表示它的各个顶点的字母来表示，那比如说这个图，我们就可以把它叫做四边形 a、 b、 c、 d 这样去读，它是按照逆时针的读法去读的，那这个是按照逆时针的读法去读的， 其实也可以顺时针读，如果你顺时针读的话，那就是 a、 d、 c、 b， 我 们写一下也可以读作四边形 a、 d、 c、 b， 这个就是顺时针去读，但是绝对不允许跳着读啊，你比如说你说 a、 c、 d、 b， 那 就不行啊，你不能隔着去说，然后的话呢，从 d 点出发也可以， 就是说不一定非要从 a 点出发，你也可以读作什么呢？ d， c， b a 也是没有问题的，知道吧？

好，今天我们一起来看思路一的第四题。如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为八， e 为对角线， a、 c 的 动点 三角形 d， e p 中角 e， d p 等于九十度 d， e 等于 d p。 当点 e 从点 i 运动到点 c 的 过程中，三角形 e、 p、 c 周长的最小值是多少？ 那么要求三角形 e， p、 c 的 周长， 三角形 e、 b， c 的 周长等于 e， c 加 c p， 再加上 e， c 加 c p， 再加 e p。 其中三角形 d， e p 是 等腰直角三角形。三角形 a， d、 c 也是等腰直角三角形高顶顶 d 双等腰直角三角形。所以三角形 a、 d、 e 和三角形 d， c， p 就 全等三角形 a， d、 e 全等于三角形 c， d p， 所以， 所以 a、 e 等于 c p。 所以 把 e， c 加 c p 加 e p 就 可以写成 e， c 加 c p 呢，就是 a， e 再加上 e p， e， c 加 a c 是 等于 a， c 加 e p。 所以 三角形 e p 的 周长最小值呢？等于 a， c 加 e p。 其中 a、 c 是 定定长， a， c 等于 八根二啊，必然，这万一必然是八， a、 c 等于八根二，那么 e p 是 多少呢？ e p 它两个点都是动点，那么要求它最小值，我们就转化为 d， e， e p 等于根号二 d， e， d， e 的 最小值就是当 d e 垂直 a， c 的 时候， d e 最小， 当 d e 垂直 a、 c 的 时候， d、 e 最小。那么当 d， e 垂直 a、 c 的 时候呢？ d、 e 它是等于二分之一 a， c， 也就是说 e、 p 就 等于根号二乘以第一是二分之一 a， c， a、 c 呢，是八根号二，所以第一就是四根号二，四根号二乘以根号二呢，就等于八。 所以三角形 e、 b、 c 的 周长的最小值就是八加八根二，所以选择 a。

今天我们再来看一道八年级的尺规作图题，那么现在新教材之后，七年级和八年级经常好考尺 规作图，不写做法，但要保留作图痕迹。如图，四边形 a、 b、 c、 d 在 边 a、 d 上求作一点 e 在 边 bc 上求作一点 f 在边 c、 d 上求作一点 g， 使四边形 e、 f、 c、 d 为菱形，让我们做的是菱形。那么这道题的尺规作图的依据就是运用菱形的对角线 三个性质，一、互相垂直。二、互相 平分。三、平分对角。 那么同门想一想，首先 e、 f、 c、 d、 e 点我们是要保留的啊， e 点是要保留的啊， c 点是要保留的， e 点在 a、 d 上， f 在 b、 c 上， 那么 g 点是在 c、 d 上。大概是这样一个图形啊，大概是这样一个 菱形啊，大概这样一个菱形的位置。那么我们首先怎么要考虑是怎么运用 c 点来找到 e 点？ 很显然，我们用的是对角线平分，没读对角。所以这道题的第一步先找到 e 点，那么是作角 c 的 角平分线， 那么脚碎的脚皮中线， 那么我们说脚碎的脚皮中线和 a、 d 的 交点就一定是一点的位置。因为菱形对角线平分，每一组对角有 c 点，我们可以很容易找到一点的位置。 那么我们再怎么去找 f 和 g 的 位置，那么 f 和 g 是 菱形的另外一条对角线，所以我们利用它们对角线垂直平分 这两个性质来做，所以那个 f、 g 肯定是要垂直平分 c、 e。 所以 第二步我们只要做出 c、 e 的 垂直平分线就可以了。 那么 c、 e 平面和 bc 的 交点就是 f 的 位置，和 cd 交点就是 g 的 位置，最后我们再连接 ef 和 eg， 那 么四边形 ef， c， g 就是 让我们做的菱形。 好这道事物做头题运用的就是菱形的对角线，它的三个性质来进行做头的，你学会了没有？好，这道题就讲到这里，同城再见。

提醒一下我们很多八下的孩子啊，我们现在不是正在学拼音四边形吗？学这一招你会发现这招是整个初中除了相似之外啊，它是整个初中集合里面最难的一部分了， 因为他的概念定力非常非常之多，而且他的综合性非常强，他肯定会与八年级上册的这个全等三角形结合起来的啊，是一定一定会的，所以我们很多孩子在八年级上册这个全等三角形学的不是很扎实的情况下，你在学平四边形的时候，你会感到非常的吃力， 那么我们应该怎么做呢？首先我们应该做的就是把八年级上册的这个全等三角形这一块的内容再拿出来再过一遍 啊，不是说过那个全等三角形的五个判定定律，那大家都会，对吧？所以你要过的是全等三角形的那些模型， 像什么一线三垂直模型啊，半角模型啊，手拉手模型啊，背场中线模型啊，截长不断模型等等，这些模型你至少要有一个概念在里面，对吧？我发现我们很多孩子在这个做这个平四边形或者前面勾股定律这一章的时候，他看到这个东西之后， 他反应不过来，然后他没有思路，其实就是八上的东西，只是与勾股定律结合了一下，你还是主要运用的是八上的这个全等三角形的这个思想去解这个题的。 但是很多孩子反应不过来了啊，那么我们一定要做好复习工作啊，在学这一块的时候，不然的话，嗯，这一块你肯定学的是非常非常不好的，甚至考不及格，好吧。

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部练会，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最值点将军引马问题技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形加做对称点 技巧五，旋转构造圈等技巧七，构造手拉手圈等技巧八，平移线段线段的拼接完整版分享！

这个是练习的第一题，你可以先暂停一下，看看自己能不能做出来。好，我们这边直接讲了，这里都是四边形，我们前面讲了四边形内角和是多少度，是三百六十度，对不对？我们写一下四边形 内角和为三百六十度，所以我们就可以根据这个性质，把它的所有内角加起来等于三百六十度，就可以把里面的未知数算出来了。好，来看第一个，那 因为四边形内角和为三百六十度，这个我就不写了啊，这是因为，所以我们可以得到的是什么呢？这个 x 度加上一百四十度，再加上 x 度，再加上九十度，他就会等于三百六十度。合并一下 变成二 x 度，加上二百三十度，等于三百六十度。一项二 x 度就会等于三百六十度。减去二百三十度，减完之后还剩一百三十度， 所以二 x 度等于一百三十度，所以 x 度就会等于一百三十度。除以二 x 度就会等于六十五。那他叫我们求的是 x 的 值， 你不要写个 x 等于六十五度啊，是不对的啊，这个 x 是 带了单位度的，明白吗？除非题目里面设的就是 x 等于多少多少度，知道吧？好，再看第二个，也是因为四边形内角和为三百六十度，所以我们可以得到这第一个。 第二个，所以我们可以得到三 x 度，加上四 x 度，再加上三 x 度，再加上二 x 度，也会等于三百六十度。好，全部加起来， 三加四等于七，再加三等于十，再加二等于十二，所以是十二 x 度等于三百六十度，所以 x 度就会等于三百六十度，除以十二，所以 x 度就会等于三十度，所以 x 就 等于三十。 第三个呢？你需要用一下零补角，对不对？你看我们这里标一个角，一角一和这个 x 度是不是误为零补角，对不对？好，这里写一下。因为角一与 x 度误为零补角， 所以我们可以得到角一会等于一百八十度减去 x 度。好了，那这个我们已经表示出来了，再加上另外三个角也可以等于三百六十度。因为四边形内角和 为三百六十度，所以我们可以得到七十五度，加上一百二十度，加上八十度，再加上这个角一，这个角一，它就是等于 一百八十度减 x 的， 所以加上一百八十度，减 x 度等于三百六十度。然后再合并，把这些都合并起来，对吧？好，这两个一加等于两百度，两百度加上一百八十度，等于三百八十度。三百八十度加上七十五度，它就会等于 四百五十五度。好，四百五十五度减去 x 度等于三百六十度，所以负 x 度会等于三百六十度。 减去四百五十五度，负 x 度就会等于负九十五度，所以 x 度就会等于九十五度，所以我们就可以得到 x 就 等于九十五。啊，这是第三问，我这里单独圈起来，不要和其他的步骤混在一起了啊？好，这第三位就可以了。

大家好，今天我们来看思路 e 的 第三题。如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中角， b 等于九十度， b、 c 等于四， ab 等于三点 d。 在 b、 c 上， 以 a、 c 为对角线作平行四边形 a、 d、 c、 e 求 d， e 的 最小值是多少？ 第一呢，两个点都是动点，所以要求第一的最小值，我们就要转化为一定一动两个那一条线段。 由于平行四边形的对角线互相平分，所以点 o 就是 a、 c 的 中点，是个定点。第一次动点，所以 o、 d 的 最小值我们就能求到。但 o、 d 垂直于 a、 b 的 时候，物 d 最小，当物 d 垂直于 a、 b 的 时候， d 是 b、 c 的 中点，所以物 d 等于二分之一， a、 b 等于二分之三， d、 e 等于二， d o 就 等于三，所以 d、 e 的 最小值就是三。我们同学如果没有啊，不好画动图的话呢， 可以做 o、 h 垂直 a、 c， 那 么 o、 d 的 最小值就是 o、 h、 h 呢，等于二分之一， a、 b 等于二分之三，所以 o、 d 的 最小值就是二分之三， d、 e 等于 r o、 d， 所以 d、 e 就 等于三。 我们也可以这样想，点 d 和点 e 在 平行线 b、 c 和 a、 e 上运动，所以 d、 e 是 平行线间的一条线段，那么平行线间的线段就是当 d、 e 垂直 b、 c 的 时候， d、 e 最小。也就是说 d、 e 平行线间的距离最小， a、 b 垂直于 b、 c， 所以 d、 e 的 最小值就是 a、 b 啊，就是三。

八下数学，咱们期中考和期末考的压轴题型也是几何里面的压轴平行四边形和特殊的平行四边形，这个模块最大的挑战表面上来看是他的压轴题型比较多，包括他的变换形式比较多，但实际上最本质的东西实际上还来自于这张图， 也就是从四边形到平行四边形，从平行四边形到特殊的菱形、矩形和正方形， 他的性质和判定，我们这个视频呢，带着大家一网搞定他所有的难点。你真正理解了这张图的底层逻辑，你会发现很多题目实际上是在于这张图的变形。 那么当然你听完这个视频之后，关于视变形和特殊的平行视变形，杨老师呢给大家做了一个系统的内部专题的分享， 那么一共呢二十大经典题型的汇总，家长朋友们呢，咱们也可以呢，那么在视频的最后呢给大家去分享，家长朋友们呢，咱们也可以领回去打印出来，带着孩子呢去举一反三系统练 啊。那这个图呢，我们重点来给大家梳理，从四边形到底是怎么样变成平行四边形，那从平行四边形变成菱形、矩形和正方形又需要哪些要素？ 那我们在思考这个问题的角度的时候呢，为了保证所有的我们全部都能考虑进来，我们考虑这三条，一个叫边，一个叫角，一个呢 叫对角线。实际上我们讲从四边形到平四边形，无非是边角对角线的问题，那么其他的也是一样，从边的角度上来进行入手，应该是两组对边，可以进行平行的，当然这两组对边呢，也可以进行分别相等， 那如果我们用一组对边的话呢，我们就要把这两个信息都给他加上，也就是有一组对边既平行又相等， 那这是我们从边的角度上来进行入手。那如果我们从角的角度上来进行入手呢？比如说他的两组对角分别是相等的也可以，但是这一点呢，大家注意哈，我们往往 是来进行证明的。那么第五条呢，关于两组对角啊，那么第五条关于菱角互补， 如果有两组菱角互补不一定，比如说角一和角二，角一和角三是可以的，这叫两组菱角互补，那么如果说出现了角一和角三，角二和角四，实际上这个时候呢，是不构成的，所以第五条和第四条呢，我们一般 需要单独来进行证明，你不能把它作为一个判定来直接去用。我们上面讲完了边和角，那么第六个我们来看一下对角线，对角线呢，我们讲的是互相平分啊，如果说对角线互相平分就可以构成了平行四边形，好，那么从平行四边形是怎么变成菱形的？同样呢，还是从边 角对角线的角度上来进行入手啊？那我们如果从边上来看，从平行四边形到菱形，菱形的四个边是相等的，那我们只需要呢出现菱边相等就可以了， 因为本来对边就相等，再加一个菱边相等就相等，那从角的角度上我们会发现呢，他没有特殊性，那从对角线的角度上来说，原来平行四边形呢，他的对角线是相互垂直的，所以这个里面呢，我们只需要再加上一个垂直就可以了 啊，那么从平行四边形到矩形，我们依然是从边角对角线上来说，但是大家会发现从边上来说呢，他没有特殊性，平行四边形变成矩形，他需要的是把其中一个角变成九十度，所以他更多的来说呢，从角的角度上来说，应该是出现一个角是九十度， 那边上没有角上有九十度，那对角线的角度上来说，对角线对于矩形而言是两条对角线啊相等的。首先它的前提是平行四边形啊，已经平分了，那么我们呢，再给他加上一个对角线是相等的。好，这是我们讲的边角对角线，那这里面还有一个从平行四边形直接到正方形，会出现什么情况？ 还是从边角对角线，从边的角度上来说，加上其中有一个角是九十度 啊，那么这两个要必须同时来用，也就是正方形是最特殊的，他要把边和角同时用上。那第二个呢，是从对角线的角度上来说，对角线的角度上来说，大家一定要拿出纸和笔啊，跟着我一块去思考。从对角线的角度上来说，他应该是加上原来已经有了平分了，再加上一个 相等，再加上一个垂直，要把菱形和矩形的一个垂直和一个相等全部都加上，才能变成正方形的结构。 那接下来如果从菱形变成正方形呢，依然是边角对角线的逻辑，那菱形变成正方形，其实边上已经没有 啊这个特殊性了。那从角的角度上来说，其实我们可以把菱形呢，其中有一个角九十度，它就可以变成正方形，那从对角线的角度上来说，那正方形它是最特殊的，它的对角线呢，是垂直平分且相等，那 这个菱形呢，是平分并且是垂直的，那么他还差一个相等，所以对角线只需要加一个相等，那接下来是从矩形到正方形，从边角对角上来说哈，那么从边的角度上来说，我们只需要让菱边相等，角上来说呢，他没有特殊性，那从对角线上来说呢，我们只需要补充上一个 垂直，对角线本身已经平分了，然后又相等了，然后再加上一个垂直的结构好，他就可以变成正方形。那这里面呢，还有几个比较特殊的变化，从四边形到矩形的变化，包括从四边形到正方形的变化，以及我们讲的从 四边形到菱形的变化，他是怎么直接到达的？如果从四边形到菱形上，我们可以加上一个叫四个边是相等的图形，他就是菱形，那从边的角度上达到了最大的特殊性，四个边都相等，那从角的角度上来说呢，我们发现单独的用角 是不行的哈，那从对角线的角度上来说，实际上我们可以加上一个对角线既平分，其实平分的时候，他就已经变成了平行，四边形平分，再加上一个呢， 对角线垂直，那就可以变成菱形，那同样呢，从四边形到矩形的逻辑上，我们从边上来说没有特殊性，但是从角的角度上来说呢，我们其实可以加上一个四个角都是九十度，实际上也就是三个角都是九十度， 因为剩下的那一个角呢，一定是九十度的。那么从对角线的逻辑上来讲，首先你要把这个四边形变成平四边形，所以你要加上一个， 首先是平分，那平分之后呢，矩形它是要要求对角线要相等的，所以要加上一个四边形的对角线平分并且相等的四边形，它就是属于叫矩形的。那我们直接一步到位，从 最一般的四边形到最特殊的正方形，那这里面呢，从边的角度上来说，我们没法直接加，从角的角度上来说呢，也没法直接加，一般来说我们是把边和角放在一块，比如说我们把边和角放在一块，可以说四个边都相等，四个角也相等的，那这个图形呢，是正方形 啊，或者说你说三个九十九十度也可以啊。那么还有一个呢，叫从对角线的角度上来说，应该把我们之前讲的所有的对角线的性质全部加上，对角线既平分又垂直又相等，那所有都加上，那以上这个图呢，我建议咱们所有的同学们呢，你自己在你的草稿纸上画一遍， 你把四边形的性质，平行四边形的性质，菱形、矩形、正方形的性质，自己独立梳理一遍，再把从四边形到平行四边形的判定，从平行四边形到菱形到矩形到正方形的判定，完全的自己搞定一遍， 你会发现这个流程你越来越熟练，你在做题的过程中呢，你会发现你在这些内容上呢，你是越来越熟练，你真正做压轴题的过程中呢，你的思路也是越来越多的。 那关于我们刚才给大家说的平行四边形，特殊的平行四边形这二十大经典题型的汇总呢？家长朋友们可以领回去带着孩子呢去举一反三，系统练！

八下一共就有两大亚洲难点，一个是依次函数，另外一个就是平行四边形，平行四边形对应这个章节，菱形、矩形、正方形性质判定加起来有二十多条，所以需要孩子足够的熟悉才能够解除这种题目，快速的选出方法来解析。 那有关平行四边形这一章节啊，有关于题目当中常考的这二十三个几何模型和题型，我都给大家做了一个梳理啊， 孩子几何证明题没思路，不会做辅助线的，抓紧时间，孩子可以根据这套题目逐个题型的去进行练习，家长们监督，帮着孩子查缺补漏， 赶紧把孩子整个的几何思维咱们建立起来啊！下面咱们就来看一道平行四边形这一块的经典考题吧。 平行四边形和角平分线结合在一起说 b、 f 在 这平分，然后呢， c、 e 在 这平分，告诉你， ab 等于六， ef 这一段等于二，想要求 bc 的 场平行四边形有什么性质， 叫做对边平行且相等对不对？所以对应这是六，这也是六，这是不是又有平行线，又有角平分线，所以引含了一个角分相等腰成的结论， 这两边小的三角形都是等腰三角形，所以你会发现这是六，那整个这条长度也是六，那这的长度 a、 e 不 就是四了吗？ 同样啊，这是六，那这个角分平等腰乘，这也是六，所以这不也也是四了吗？那整个 bc 的 长度不就等于 a、 d 的 长度等于四加二，再加四也就是等于十了吗？直接秒出答案！