理想气体绝热可逆过程方程式推导

今天易老师跟大家讲一下绝热过程，绝热过程隔绝热量，那么吸放热就是零，可以 q 等于零，那么有热力学第一，零 q 等于多少？ a 加 a 等于零， 他可以把它表示成内能变化和做工的和好。那么取一个小的过程来看啊，那么这含义是等于什么呢？ 那就是 n r 的 t， e， t， 嗯，用微分表示这个小组成好，那么做工是什么呢？ pdv， 在这个小过程里面 p 不变啊，乘以这个体积的改变量，那么根据上面是它是一个零的。 好，这个 t 和 v 关系不是很好。球，我们把它稍微变换一下， n r t 是等于 b 的，那么取个微分第一啊， t d p v， 然后这里是长量提出来 n r d t 啊，右边是复合函数，我展开 p， d v 加 v， d p 带到这边来， 嗯，这里还有一个二分之 i 啊，也是二分之 ipdv 加上二分之 ivdp， 再加上，然后合并同类下， 后面有个 pdp， 他就合到里面去了。 好，这次是等于零的，那我们再把它变换一下啊，你看这个 p 和平，这样不好，积分，我们把它变成相同的，那我们同时出一个二分之二，再同时出个 pv， 那 p 除以 pb 就是 v 分之一了，那后面呢？就变成 p 分之一 p， 好，我们把这一下我们记为伽马， 嗯，阿玛贝啊， v d v 加上 v p 预定 好，这时候再积分啊，积分，那就是罗恩 v 伽马贝，罗恩 v 加上罗恩皮，那么等一个场上是我们社会四一，然后把它合起来，那么就是 pv 的 赶马吃饭等于十一，那么也可以写成 pv 的赶马吃饭等于十一号 pv 的赶马吃饭等于一个长数，保持一个恒定就是绝对过程的性质，那么还可以进行一些变化，那么 pv 跟踢有关系对不对？那我们把 pv 提出来，那么就还剩一个 v 的钢板剪一次，放他成一个 t， 他也是个等于一个场数的啊。 好，我们还可以把这是有 v 和 t 的 v 和 t， 那我们还可以就 p 和 t 吗？ 我们还可以进行一下，把它剩下 p 和 t 的关系发射含量，这个就要留给同学们自己完成。

上个视频咱认识了理想气体，他在任何温度、任何压枪下都遵从气体实验定律，也就是这三条定律对应的分别是等温、等溶和等压变化。 那如果温度、体积和压强这三个餐量都发生改变，能不能总结出一个万能的关系式呢？ 来试试看。掏出一团一定质量的理想气体，它的变化过程如图所示，咱用 a、 b、 c 表示其中的三个状态， 依次来分析从 a 到 b 的过程，温度不变符合波伊尔定律，可以写成这样。再根据温度不变，再让等式两边分别除以相等的 ta 和 tb， 等式就依然成立。再看从 b 到 c 的过程，因为是体积不， 所以满足查理定律可以写成这样，咱在左右两边分别乘上 vb 和 vc 这两个相等的体积，那等是依然成立。 发现没？这两组得到的关系适中，都有 p b 乘 v b 除以 t b， 那就可以连立起来。这个 b 状态其实就相当于从 a 到 c 的中间状态， 咱不妨把它省去。这样从起点 a 到终点 c， 就有这么一个关系式，与压强、体积和温度的变化都有关，他就是理想气体。状态。方程 三，把其中的 a 和 c 换成一和二，用文字表述，就是一定质量的某种理想气体，再从状态一变化到状态二时，压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变，那咱也可以把公式写成这样， 其中的 c 是直与气体种类和质量有关的常量，与压强、体积和温度都无关，明白了吧？ 那这个公式该如何使用呢？举个例子告诉你，一定质量的气体初始状态 p 一、 v 一和 t 一的值以及末状态 p 二、 t 二的值。要你求 v 二，那你只要利用公式先变形，再带入数据直接计算就行。这种题就不用我细说了吧？ 但要提醒你一句，计算前一定要先确定是一定质量的气体才行哦。 下面研究有点难度的。咱在视频开头用寨三条定律推出了理想气体状态方程，反过来他也可以印证寨三条定律，比如温度不变时，就相当于波伊尔定律。那么灵活运用理 理想气体状态方程，或者说综合应用这三条定律，就成了咱更高的目标。举个例子，一定质量的理想气体经历了如图所示的 a、 b、 b、 c、 c、 d 和 d a 四个过程，其中 b、 c 的延长线通过原点 c、 d 垂直于 a、 b， 且与水平轴平行， d、 a 和 b、 c 平行，则气体体积在如何变化呢？来分析一下。这是一个压强温度图，那么过远点的直线，也就是 b、 c 所在的直线就应该是等容线， 所以从 b 到 c 是等容变化。体积不变看选项 b 说 bc 过程中保持不变就是正确的。回到图像， da 与 bc 平行，那就也是等容变化了。你要这 这么想可就被坑了。别忘了这条线根本不够圆点，那就不是等容线。要想分析它，应该分别过圆点，做与 da 有关的等容线。你已经学过，等容线斜率越大， t t t g 越小， 那 d 所在的直线斜率大，所以从 d 到 a， t 就减小。那选项 d 所说的 da 过程中保持不变就是错误的。 然后咱再来看 ab 过程，显然温度没有改变，所以是等温变化，并且压强是减小的，那根据波伊尔定律，体积就应该增大。于是选项 a 所说的 ab 过程中不断增大就是正确的。 最后看 c、 d 过程，他对应的压枪不变，所以是等压变化并且温度不断减小，那根据盖里萨克定律， 体积也会不断减小。然而选项 c 说 cd 过程中不断增大，那就肯定错了。分析完毕，正确答案应该是 a 和 b， 明白了吧。 以上就是这个视频的全部内容，理想气体状态方程，反映一定质量的某种理想气体，再从状态一变化到状态二时，压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变，可以表示为这两种形式。 利用这个公式，你可以直接带入数据去计算所求的餐量，但是必须先确定是一定质量的气体餐箱。 另外，你也要理解，理想气体状态方程和这三条定律是互相印证的，所以在分析复杂的图像时，你要学会灵活的运用。他们怎么样都听懂了吗？听懂了就快去刷题去吧！

上个视频咱认识了理想气体，他在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律，也就是这三条定律对应的分别是等温、等容和等压变化。 那如果温度、体积和压强这三个餐量都发生改变，能不能总结出一个万能的关系？是啊， 来试试看。掏出一团一定质量的理想气体，他的变化过程如图所示，咱用 abc 表示其中的三个状态， 依次来分析从 a 到 b 的过程。温度不变复合波伊尔定律可以写成这样，再根据温度不变，再让等式两边分别处以相等的 ta 和 tb， 等式就依然成立。再看从 b 到 c 的过程，因为是体积不变， 所以满足查理定律可以写成这样。咱在左右两边分别呈上 vb 和 vc 这两个相等的体积，那等式依然成立。 发现没？这两组得到的关系适中，都有 pb 乘 vb 处以 tb， 那就可以连立起来。这个 b 状态其实就相当于从 a 到 c 的中间状态， 咱不妨把它省去。这样从起点 a 到终点 c， 就有这么一个关系式，与压强、体积和温度的变化都有关，他就是理想气体状态方程。 咱把其中的 a 和 c 换成一和二，用文字表述，就是一定质量的某种理想气体，再从状态一变化到状态二时，压枪跟体积的成绩与热力学温度的笔直保持不变，那咱也可以把公式写成这样， 其中的 c 是直，与气体种类和质量有关的常量，与压强、体积和温度都无关，明白了吧？ 那这个公式该如何使用呢？举个例子告诉你，一定质量的气体初始状态 p 一、 v 一和 t 一的值以及末状态 p 二、 t 二的值。要你求 v 二，那你只要利用公式先变形，再带入数据，直接计算就行。这种题就不用我细说了吧？ 但要提醒你一句，计算前一定要先确定是一定质量的气体才行啊。 下面研究有点难度了，咱在视频开头用这三条定律推出了理想气体状态方程， 反过来，他也可以印证这三条定律，比如温度不变时，就相当于波伊尔定律。那么灵活运用离 气体状态方程，或者说综合应用这三条定律就成了咱更高的目标。举个例子，一定智障的理想气体经历了如图所示的 abbc、 cd 和 da 四个过程，其中 bc 的延长线通过远点 cd 垂直于 ab， 且与水平轴平行， d、 a 和 b、 c 平行，则气体体积在如何变化呢？来分析一下。这是一个压强温度图，那么过远点的直线，也就是 b、 c 所在的直线，就应该是挡容线， 所以从 b 到 c 是等容变化。体积不变，看选项 b 说 b、 c 过程中保持不变就是正确的。回到图像， d、 a 与 b、 c 平行，那就也是等容变化了。你要真 这么想，可就被坑了，别忘了，这条线根本不够远点，那就不是等容线。要想分析，他应该分别过远点，做与 d、 a 有关的等容线。你已经学过，等容线斜率越大，气体体积越小， 那 d 所在的直线斜率大，所以从 d 到 a 体积减小，那选项 d 所说的 d、 a 过程中保持不变就是错误的。 然后咱再来看 ab 过程，显然温度没有改变，所以是等温变化，并且压强是减小的，那根据波伊尔定律，体积就应该增大，于是选项 a 所说的 ab 过程中不断增大就是正确的。 最后看 cd 过程，他对应的压枪不变，所以是等压变化，并且温度不断减小，那根据概率萨克定律， 体积也会不断减小。然而选项 c 说 cd 过程中不断增大，那就肯定错了。分析完毕，正确答案应该是 a 和 b， 明白了吧。 以上就是这个视频的全部内容，理想气体状态方程，反映一定质量的某种理想气体，再从状态一变化到状态二十，压强跟体积的成绩与热力学温度的笔直保持不变，可以表示为这两种形式。 利用这个公式，你可以直接带入数据去计算所求的参量，但是必须先确定是一定质量的气体才行。 另外，你也要理解，理想气体状态方程和这三条定律是互相印证的，所以在分析复杂的图像时，你要学会灵活的运用他们。怎么样都听懂了吗？听懂了就快去刷题去吧！

嗨，各位同学大家好，在这个视频当中呢，我们来说一下关于气体这一部分变质量的问题。 那么对于变质量的问题呢，如果你还直接利用气体实验定律或者理想气体状态方程去求解的话，那肯定是不合适了。因为什么呀？因为你气体实验定律或者是理想气体状态方程呢？他的使用是有一定条件的，他只适用于哪种情况？ 他只适用于一定质量的气体，也就是说我们在研究这部分气体的时候，那这部分气体的质量呢？首先是一定的质量不能发生变化，所以呢，那对于变质量的问题，如果你还直接上来就利用理想气体状态方程去那方程求解的话，那肯定是从。 那么对于这种啊气体的质量发生变化的这个问题，我们应该怎么去求解呢？那问题的关键是什么呀？是咱们怎么去灵活的选择研究对象， 使这个编织的问题呢？给他转化为定质量的问题。关于研究对象的选取呢，我们可以选择原来的啊，也就是原有的气体， 也可以选择当质量发生变化以后，剩余的这部分气体作为研究对象。那不管你是选择哪一部分气体为研究对象，他的什么状态餐量呢？必须对应的是同一部分气体，你比如说 这是一个容器，容器呢，开始的时候里面给他将是 m 的气体，然后我把阀门打开之后呢，有一部分气体呢就会跑出来，假如这个容器内部他剩余的气体的纸张是 m 一瓶，那么放出的这一部分器体呢，质量是得他 m， 如果说我选择原有气体为研究对象的话，开始的时候也就初始状态质量是 m， 那末始状态呢？应该是 m 一撇，还有这是他 m 这两部分的总和，这样就保证啊，初始状态和末始状态他的气体的质量是一定的。那么对于啊，末始状态，他有两部分气体组成，我们可以这样去想，这放出的这一部分气体呢， 我可以把它看作是和剩余这部分气体 m 撇，他的状态餐量是相同的，这样呢就将变质上的问题转化为了定制上的问题，然后利用 理想起皮状态方程，拉练方程进行求解。下面呢我们通过一道例题来看一下， 下面我们来看一下这个立体 缸筒内呢，装有三千克的气体，温度是零下二十三摄氏度，压强式四个标准大气压，现在用掉一千克之后呢，温度升高到了二十七摄氏度， 让我们求这个钢筒内剩余气体压强是多少，那这个呢，就是一个气体变质的问题，下面我们说到了对于这类问题呢，首先我们要确定研究对象，我们可以选择最开始的这三千克气体为研究对象， 也可以选择剩余的这部分气体为研究对象。那首先啊，我们先选择这个剩余的两千克气体呢为研究对象。最开始的时候 p 一应该是四个标准打气压 温度， t 一告诉你是零下二十三摄氏度，我们转化为热力学温度之后应该是二百七十三，减去二十三那是二百五十 k， 然后体积是多少？因为我们现在 选的是剩余的这两千克气体。研究假设啊，这个钢筒的体敌是微零。最开始的时候呢，这里边是装了三千克的气体，因为我们选择的是两千克为研究对象，那我们开始的时候呢，也一定对应的是这两千克 集体，那这是一千克，因为这三千克啊，最开始的时候总体体是微量，那这两其中的两千克占有的体体应该是三分之二啊，所以呢，初始的时候，他的体力应该是三分之二的微量。然后我们再来看莫太片呢，是我们要求的一个力量 温度， t 二，告诉你是二十七摄氏度，那也就是三百 k。 然后看 v 二，因为用掉一千克之后呢，剩余的这两千克气体呢，他同样还会要充满整个缸筒，所以 v 二他就也 应该是等于刚从的这个体积为零。那我们再根据理想气体状态方程去求解， p 一 a 一比上 t 一等于一， p 二， v 二比上 t 二，我们就可以把 p 二来求出来， p 二应该等于 p 一 v 一， t 二比上 t 一 v 二，那带入数据以后，我们可以计算出来，最终 t 二，它应该是等于三点二个标准 大气压，这是我们选择的剩余气体为研究对象。下面我们再来啊，如果说我要选择原有气体，也就是这三千个气体为研究对象的话啊，现在我选了这三千个气体为研究对象。那我先来看， 初始的时候，同样 t 一呢，还是四个标准大气样，温度也是二百五十 k， 企及 v 一，一撇他就是等于什么？就是钢筒的溶解 v 零。那么看默态 莫太 pr， 我们要求的 tr 呢，同样是三百 k， 那我们看啊， beer 一撇儿，他应该是多少？然后大家画眼，这还是啊，这个钢筒，钢筒呢？它的容积还是 v 零？ 用掉一千克之后，这刚桶之内呢，他就剩余了是两千克的气体，那放出的这一部分，比如说放出的这一部分一千克气体呢？ 我刚才说了，我可以把这个放出的这些气体的状态餐量看作是剩余这部分气体的状态餐量是相同的，那它的压强也是 p 二，温度是 第二。咱们来看这三千克的气体的体积应该是多少，因为两千克是微量，那总共这三千克的气体的体积应该是多少？ 是不是二分之三为零？所以呢，墨菜石三千克对应了体积 vir 一品呢，就是二分之三倍的为零。同样在根据理想气体状态方程，我们就可以把皮二呢给他解出来，这是关于变质上气体的问题， 关于变质的问题呢，我们还可以采用另一种方法，可以根据气体密度方程进行求解。那什么是气体密度方程呢？下面我们来推导一下。假设我们要研究的是一定质量的气体，当他在状态 披衣、卫衣、 t 衣时，他对应的密度呢？是揉衣。那么根据密度公式我可以知道，肉 o 一他就应该等于质量比上体积，当他达到另一种状态的时候啊， p 二 v 二 t 二十，那此时呢，对应的气体密度是周二，那根据密度公式我们就知道，周二他就应该是 m 比上 v 二，那根据这个密度公式，我可以把体积 v 一 v 二给他推导出来， v 一就是 mb 商，周一同样 v 二应该等于 mb 商揉二，因为我们的研究对象是一定质量的气体，所以根据理想气体装载方程，我们可以练方程有 p 一 v 一比上 t 一，就等于 p 二 v 二 t 二。然后我们把 v 一和 v 二带入这个方程，就可以得出 p 一 m r e 比上 t e 等于 p r m 比上 ro r 比上 t 二。化解之后就可以推出 p e 比上 ru e， t e 等于 p r 以上 ro r t 二。那我通过这个公式可以看出啊，它是与气体质量无关的一个方程，所以我们可以利用气体密度方程呢来解决变质量的问题。那比如在前面的这个立体当中，开始的时候， 这个缸筒内充油质量是三千克的气体初始状态 p 一是四个标准大气压温度 啊，温度 t 一呢是二百五十 k， 体积为一，就是这个缸桶的容积为零。 那么末状态啊，因为放出了一千克，还剩余两千克，那么末状态 p 二呢？我设为是 p 二，是我们要求的物理量 t 二是三百 k， v 二呢，还是这个共同的容积 v 零。那么根据气息密度方程，我们就可以烈士有 p 一比上周一乘以 t 一等于 p 二 ro 二 t 二周一又等于什么啊？周一应该是质量 比上体积也就是三千克啊，比上体积呢是溶解微量肉二呢 是两千克啊，对呢，体力也是为零。那我们就可以算出啊，周一和周二的之比，周一比周二就等于三比二。知道了密度之比， 温度有知道，那我们就可以请出 p 一比 p 二的比值， p 一比上 p 二等于三倍的 t 一，比上 二倍的 t 二，因为 t 一、 t 二和 p 一呢，都是一质量，那么 p 二呢，就可以求出来，所以对于变质量的问题呢，我们也可以采用气体密度方程来进行求解，因为气体密度方程呢，它是与质量无关的一个方程，可以解决变质量的问题。

理想气体状态方程这类题，关键在于熟记理想气体状态方程的这几种形式，并且灵活应用。还有两个常数数值要记住， 最简单的考法是直接套用公式，比如这几个题，虽然简单，但比较常考。 我们先来看这道题，一个电子管已知管内压强，这是个毫米汞柱，一毫米汞柱相当于一百三十三帕。 当然很多题目也会直接给出以帕斯卡为单位的压强值二十七摄氏度时，这里注意把它换算成热力学温度，也就是二十七加二百七十三 k， 求分子 舒密度、已知压强温度和波尔兹曼长数。这个直接套用理想气体状态方程公式的这个形式 很容易就求出分子数密度题目也可以已知分子数密度和压强，让你求温度，或者已知分子数密度和温度求压强。 比如这个题，这是星际空间的轻云，已知轻原子数密度和温度求压强，这个我们就不写计算过程了。 再比如这道题已知压强，这个 a t m 表示一个标准大起压，题目 理精确到两位小数，所以压强就取两位小数。求二十摄氏度时有多少个分子已知压强温度 体积求分子数，我们就用这个式子，结果是二十五个分子。 这类题也有不那么简单的，我们看一下这道已知自行车，车轮直径、内胎洁面直径向空胎里打气， 打气筒长三十厘米，洁面半径一点五厘米，打了二十下，气打足了。问此时车胎内压强是多少？设车胎内最后气体温度为七摄氏度。看起来 来好复杂，我们画个图出来， 其实每打一次气，都把一个打气筒里这么多的空气，假设分子数为 n， 注入到车胎里，打二十下就注入二十倍这么多的空气， 所以最后车胎里的空气分子数就是这么多。我们对打气筒和车胎分别应用理想气体状态方程， 打气筒里的空气压强就是一个标准大气压，笔机通过这些就可以算 温度。已知车胎的体积怎么算呢？我们想象把车胎剪断，截面就是 一个圆形，再把车胎给拉直，就变成一个圆柱体， 那这个圆柱体的高呢？就是原来车胎的周长，所以车胎的体积就相当于一个直径。这么多高这么多的圆柱体，体积，温度也已知，带进去后得出结果， 这是简单的烤法。下面我们看稍微复杂一些的。这类题往往考察气体密度同压强温度的关系， 所以基于这个方程来变形。我们来看这道题，高空的大气压是零点一八帕，密度是三点二乘以十的负六千克每立方米， 求温度和分子数密度。空气摩尔质量取二十九克每摩尔，这个就涉及气体密度，那么就把它变形，把 v 挪到右边， 这个就是密度压强已知，密度已知，摩尔质量已知，就可以求温度了。 最后算出来是这个结果，这是个什么概念呢？就是比珠穆朗玛峰高出十几倍的地方，气温大约在零下七八十度。 通常呢我们不建议去背这个公式，这个变形其实很简单，考试的时候现场表演，简单又方便。 温度有了压强已知，就可以直接带入理想气体方程的这个形式，求出分子数密度，这是最后的结果。 好，我们再来看一个题，在这个基础上稍稍难一点。一个热气球体积已知，气球本身和负载的质量已知外部空气是二十摄氏度， 如果气球要上升，那么内部空气要加热到多少度？我们受力分析一下，热气球受到自身材料和负载的重力，含有内部气体的重力， roe 是内部气体密度，还有空气提供的浮力。先假设三力平衡 消去狙，这时候温度一旦高一点，气体密度减小，向下的力就减小，气球就飞起来了，所以就是要求这个平衡条件所决定的温度。 这里气球内外的空气密度都是未知量，都需要用这个式子把密度和温度建立联系。对于气球内部和外部，分别得到这两条， 因为热气球内外是联通的，所以压强都是大气压强 mr 空气的摩尔质量。 三个式子连立，解出气球温度 t e 的表达式推导过程不再写了，条件带入后解出 来是三百五十七 k， 也就是八十四摄氏度。说了这么多，最关键的是这个变形一定要记住方法， 注意下，这个密度是单位体积的气体质量，和前面讲的数密度不一样， 分子数密度是单位体积的分子数。最后说一下理想气体状态方程，不仅可以直接考，也是后面很多力学题目求解需要用到的重要条件。

知道吧？恩，也知道，最可可以求出最后的温度是七百九十五点二 k， 那么求出了温度 d 等于 q， p 等于 n 乘以 cpm 乘以 t 二减 t 一，对不对？那么 n 和 cpm 都可以，知道吧？这是单元子起点。好，我们就可以算出 答题是等于二零六六零九二，对不对？也可以算出答题 u 吧，所以怎么样？所以我就可以求出答题，又等于 n 乘以 cbm 乘以 t 二减 t 一，可以算出答题又等于 一万两千三百九十六卷。好，给大家五秒钟时间，大家来看这道题，如果还有疑问的话，可以刻下再看一下。 好，我们接下来讲理想季节的绝热。在绝热过程中，我们根据热力学低音定律可以得到什么？ d u 等于得儿 w， 为什么呀？ 因为 d u 等于得儿的 q 加得儿 w 对不对？而绝对过程中得儿的 q 是等于零的，是不是？所以 d u 等于 d w， 又因为 d u 等于 c v d t 对不对？ 所以可以得到？得出 w 等于得出 u 等于 cv 乘以 dt。 那么利用这个我们可以得到，如果体系对外做工怎么样？对外做工 又要下降，是吧？所以内能要下降，内能下降，那么怎么样温度也会降低，那么反正如 体系温度升高，则怎么样？则也就是升高的对不对？所以说，绝热压缩可以使体系温度升高 而觉热膨胀，怎么样可以使体系温度降低，我们可以获得超低温，可获得超低温。好，我们继续来看，我们知道 beyond cp 减 cv 等于 nr， 这个刚才您说了，那么 大陆上市可以得到什么呀？ cp 减 c 乘以个 lv 二比 v 一等于 c 位乘以落 t 一比 t 二，对不对？那么我们两边同除以 c 位 并列 cpbc， v 等于 cpm 比向 cvm 等于一个干嘛等于干嘛？那么我们可以得到什么？得到干嘛？减一乘以 v 二比 v 一等于了 t 一比 t 二，那么我们就可以得到 t 一乘以 v 一，干嘛？减一等于 t 二乘以 v 二，干嘛？减一？ 大家记住，这个 t 乘以 v 一的 gm 减一次方等于 t 二乘以 v 二的 gm 减一次方，那么我们可以得到什么呀？ t v gm 减一次方等于 k， 这是一个定值。注意 t 乘以体积的什么呀？ gm 减压次方是一个定制，是一个定制。那么我们继续来说， k 是一个长数，我们将 t 等于 pv 比上 n， r 带入上数，可以得到什么呀？ p 乘以 v 的干嘛？次方等于 k 撇，同理这也是一个定制，是不是 k 撇是另外一个乘数？那么 如果我们把 v 等于 n 二， t 比上 p 代入十一种，怎么样可以得到 t 的加 m 次方乘以 p 的一减 m 次方等于 k 撇撇，那么这个 k 撇撇也是一个常数，是不是？那么这个公式他也是一个定制对不对？ 那么由一二三什么呀？均为离氧气体在非提供等于零的条件下的绝惹可逆过程中的过程方程式，这三个一定要记住， 十一、十二和十三，一定要记住，一定要记住！好，我们继续往下看，看一下绝的过程所做的工，我们知道了，在绝过程中 q 是等于零的对不对？所以等于 w 等于负的 du 等于负的 c， v 乘以 dt， 那么通过积分可以得到 w 等于 t 到 t 二乘以个复古的 c， v 乘以 dt， 是不是啊？这是微积分的形式，那 如果温度变化范围不太大的情况下， c 位可是为长数，那么 w 等于 c 位乘以 t 一减 t 二， c 位乘以 t 一减 t 二。 如果对于一样气体，我们知道了 c p 减 c 等于 n 二，是吧？所以我们可以带入空乘中，可以得到什么呀？ w 等于 n 二乘以 t 减 t 二比上干部减一，就等于 p 乘以 v 一减去 p 二乘以 v 二比上 m 减一。注意 第一式和第二式均可以用来计算啊。理想器的绝热工程的工，绝热工程的工一和二适用于定组成封闭系统 营养基底的。一般绝学工程不一定是肯尼工程，只要是绝学工程，我们都可以用这个式来计算，都可以用这个式来计算。好，我们看到例题，三不二单元子理想基底从三百 k， 四百千帕膨胀到最终压力是二百千帕。如果你 你看第一个过程是绝热可逆膨胀，第二过程是绝热横外压，二百千帕膨胀到中台，让你计算两个过程的 q， w 得的，呦呵，得的 h， 那么这个应该怎么算呢？好，给大家三分钟时间，大家来看这道题目。 好，我们看一下他第一万是节日 可逆膨胀，我们一天的局面膨胀是得的， q 等于零，对不对？好，看一下，看下这个过程，我们知道了史泰的物质的量，温度和压力 是不是？那么中泰，我们最好是写写一下这个史泰和中泰的过程，最好是写下过程，那么写下过程我们就可以算了。我们要求的是什么呀？求的是 w 做的工是不是？那么首先怎么样应该求出 我们吧，是不是应该求出中泰的温度对不对？那么我们列下这个过程，我们可以求干嘛？是不是？干嘛等于 cpm 比上 cvm， 也就是说干嘛等于二分之五啊，比上二分三二等于一点六七，对不对？那么我们根据刚才讲的， t gm 次方乘以 p 的一减 m 等于 t 二 gm 次方乘以 p 二的一减 m， 那么代入数据，我们可以算出 t 二等于二百二十七 k， 这个要自己算一下，我们算出了中碳的温度是二百二十七 k， 对不对？ 好，我们知道这是绝工的，所以 q 是等于零的对不对？所以说 w 怎么样等于等于 u 吧，等于 n 乘以 cbm 乘以 t 二减 t， 那么 n 是三母二对不对？ cbm 是多少呀？是二分之三二， 那么七号减题我们都可以算吧，所以说可以算上 w 等于负的两千七百三十一九尔，对不对？同理也可以算点点 h， 也可以算点 h， 好，我们看一下第二位，第二位是绝对 不可逆过手。我们同样列下史泰和中泰的过程，史泰 t 等于三百 k， 中泰的温度是不知道的，那么史泰也 压力等于四百千帕，而中泰压力等于二百千帕，时代和中泰的问体积都不知道是吧？因为这个过程是觉热不可逆的，我们不能用上的方法，也就是不能用第一个方法，怎么样？那个觉热可逆过程来算啊？这道题目，那么应该怎么算呢？ 我们要求出 w， 首先 w 等于什么呀？ w 等于 w 等于 n 乘以 c 的 m 乘以 tit， 我们要把做的工和热理学能连接到一起，对不？ 所以说 w 等于负的横外压乘以个 v 二减为一对不对？而 v 又等于 n 二 g 比 p 对不对？ 利用的是利亚气体状态分成吧。 pv 等于二 t 对不对？所以说我们带入这个公式中可以得到， n 乘以 cvm 乘以 t 二减 t 等于负的 p 二乘以 n 二， t 二比上 p 二，再减去 n 二， t 一比上 p， 那么带了数据，我们就可以算什么呀？可以算出中彩的温度是二百四十 k， 所以说我们求出了温度，就可以求出 w 和等于是 u 了，是不是等于 c v m 乘以 t 二减 t n 我们知道， c v m 也知道， t 二也知道了， t 一也知道，所以可以求出 w 等于负的两千二百四十五加二是不是？ 同理，我们可以去除 d h， d h 等于 n 乘以 cpm 乘以题二减 t， n 是三， cpm 是二分之五二二 提二减七也也知道吧，所以说可以求求出点解是等于负的三千七百四十一角？ 好，大家看一下，我们算出来了，那么比较过程一和过程二的结果可可以知道什么呀？系统是从同一时代出发吧，一个是局月可逆，一个是绝月鳌不可逆。中大是不相同的对不对？当中大的压力相同时，可逆会上做的工要更多一些， 对热血能硬降低的也就更多一些，那么热力学能降低的更多，最后中带温度怎么样？也就更低，对不对？好，大家看一下这道题目，给大家五秒时间，来，大家看一下这道题目。

理想气体的内能公式既然理想气体不考虑分子势能，那内能就只剩下分子动能了， 所以理想气体的内能就是所有分子的总动能。那么按照能量均分定理，分子平均动能是二分之 i、 k、 t 共有 n 个分子，所以内能就是 n 倍的平均动能，也就是这一条式子。那这就是理想气体的内能公式，它不仅和自由度、温度有关，还和总分子数有关。 那我们根据 k 和 r 的关系，可以把上面的式子呢变成这样子，这就是理想气体内能公式的另一种形式了。那么这就说明，除了分子的自由度以及物质的量之外，理想气体内能仅与温、 温度有关。所以如果一定量的理想气体从状态一出发，经历一个过程，变成了状态二，那他的内能变化了多少呢？其实很简单，一定量的话，那物质的量就不变，自由度当然也没有变， 所以就只和变化前后的温差有关，也就是这一个式子。那么我们进一步分析一下这个结果。第一呢，他表明理想气体的内能变化呢，是和压强变化，还有体积变化都是无关的， 温度变了，理想气体的内能就变了，那温度不变，内能就不变。第二点，和状态具体怎么变的过程无关。标塔 t 呢，只取决于初始温度和末温度，和中间的 的变化过程是无关的，这也再一次说明了内能是状态量，而不是过程量。 最后，如果理想气体经历的是无穷小过程，那么这个式子他就会变成这个样子，那么这也是常用的理想气体内能公式。

理想气体状态方程，大家应该对这个式子有印象， p v 等于 n r t， 它是理想气体状态方程， n 是物质的量， r 是理想气体常数。 不过大学物理里面，我们用 new 表示物质的量，而小 n 则表示分子数密度。这个呢，一会详细说。为什么叫理想气体状态方程呢？因为只有理想气体才满足它。 明显偏离理想气体的话，比如气体稠密到快要液化的时候，就不再符合这个方程。如果气体的质量是大 m， 气体的摩尔质量是 mr， 那么它的物质的量 new 等于 m 除以 m 二，这就是方程的第二种形式。这里多说一句，有的课本上用小 m 表示气体质量，大 m 表示摩尔质量。 所以大家不要印记这些物理量，要在方程式中理解他们的物理意义。方程还有第三种形式， p v 等于 n k t， 大 n 是分子数， k 是波尔兹曼长数。这两个方程等价，也就是说 new r 等于 nk。 先看这两个量， 一、摩尔气体有六点零二乘以十的二十三次方格。分子这个树叫阿福加德罗长树 n a， 那么 new 摩尔气体就用 new n a 的分子，所以大 n 等于 new n a， 那所以 r 就等于 k n a 这两个长数的数值要记得， r 等于八点三一， k 等于一点三八乘以十的负二十三次方。可以这样子记，把 r 的八点三一倒过来，就是一点三八十的负二十三次方。是因为 r 要除以阿弗加德罗长数来得到 k， 所以得到负的二十三次方。最后我们在它的基础上变形出第四种形式，把体积挪到右边来，这一项表 表示单位体积有多少个分子，我们把它称为分子数密度，记作小 n。 所以大学物理热血里面的小 n 不再表示物质的量，而是分子数密度。这样我们就得到第四种形式的理想气体状态方程。好总结一下，第一，理想气体状态方程有这样四种等价形式。 第二， new r 等于 n k r 等于八点三一，小 k 等于一点三八乘以十的负二十三次方。

理想气理状态方程 pv 等于 nrt r 是一个常数，不用管他的两个变式。 pv 等于小 m 比大 m rt 及 p 大 m 等于 rt， 可以推导出十多个推论，其中最常考的是这四个推论。 第一个，同温同压下气体的物质的量之比等于体积之比。这个呢，适合做隔板类的问题。一个滑动的隔板，他间隔出来的两个部分，体积之比和物质的量之比是相同的。 第三个，同温同体积的情况，物质的量之比等于压强之比。这个呢，在我们做 kp 啊算平衡常数的时候能用到这个推论。 第四个呢，同温同压同体积的两种气体，物质的量相同，三同定一同啊。同温同压同体积才能确定物质的量是相同的，物质的量相同的，两种气体分子数也是相同的。大家。