初一常用12张平行图证明过程

初一必刷题，那这是一个平行的证明题，我们说平行的证明题有两类，一类是填表，就是填过程的题，是吧？可以直接做，也可以先做，然后再对比训练自己的思维， 那这种题呢，他就直接必须要写证明过程了。那么这种题呢，我们也可以分为两个步骤。第一个呢，我们把基本的思维的这个过程给他写出来，就是大致的一个你的思维的路径，就是说这种题怎么做，怎么思考，我们把它写下来，然后呢，左边呢，我们再写上证明的过程就可以了， 按照这个思维的路径来写过程，就不会那么容易丢分或者丢。步骤好，我们看一下，他说如图， ab 平行于 c 的这两个是平行的，角一等于角二，这两个角相等，这两个角相等意味着什么呢？意味着这个大角要等于这个大角，对吧？啊？当然了，我们先分析啊。嗯，第二个呢， ab 与 c 的平行， abc 的平行，意味着是没有内错角相的。那么角一和这个角，那为什么用角一呢？因为这个题里面出现了角一，我们尽量用已知角推出条件，对吧？所以角一就等于我们可以标一下等于这个角五， 我们大概分析了，我们就知道由这个 ab 平行 c 灯呢，我们可以知道什么呢？我们可以知道角一等于角五，然后题目中又告诉你，角一等于角二，所以我们可以得到什么呢？那就得到角二就等于角五，然后我们再看角三等于角四，角三等于角四，那有什么特点呢？ 角三等于角四，那么角四还有一个角啊，比方说角四和这个角六是对定角，所以我们就可以知道有什么来。第三个条件，我们知道角三等于角四等于角六好，那么基本上我们就知道这样一些角相等， 他要证明什么？要证明 a 的平行于 b， 我们想要这个 a 的平行于 b， 我们想，那么要么就正角二的用这个角是内错角相等， 对吧？或者这个角等于这个角，就是角 a 得 c 等于角得 c 一，哎，这两个角上面是不是也可以 或者同盘内角互补？就是说这个大角加这边这个角好像不太好正，对吧？就同盘内角互补不好正，然后呢？同外角他这里也没有，对吧？没有梳头，没有内个 f 的标志，我们说同外角是 f 嘛，对吧？同盘内角呢？是 u 嘛？啊？内触角是 j 啊，没有这种 没有这种形式的结构，那么就不看什么同位角，所以同位角我不看，而且同位角互补呢，这里面没有出现互补的关系，也很难证明。只知道角相等，题目中都给的是角相等，所以我们就想同位角相等 用这个来证明，那我们思考一下啊，那我们只能用什么内错角相等？那么内错角相等这里有几种呢？我们知道只有两组，第一种是角二等于这一个角角一，第二种是角的等于角 fc， 那么如果要正角二等于角一，那么有没有方法呢？我们知道角一等于角二，那么要正角一等于角一，那这个题就很麻烦，对吧？所以我正右边这个角呢，好像不那么直观，那我想 左边这个角如果要正角的，那么目的，如果要正角的等于角 fc 呢？如果角的要正面等于角七，怎么卖？能不能正面呢？那我们想角的正面角七，那么角的加角二，加角六是一百八十度，对不对 啊？然后呢，我们想，哎，角七加角五加角三也是一百八十度，那前面已经证明了角三等于角几啊，角三等于角六了，哎，那么还有角五，角五是不是等于角二呢？ 角五是不是等于二呢？是吧？角三等于角六，角五等于角二，一个是三角形的角和一百八十度有两个角相等，不是数五，是三个角的和等于一百八十度，他们也能够有两个角相等，所以第三个角根据等量代换，肯定是相等的， 所以你看这样子，我们就把这个题啊，这就也不是很难啊，有一点点的那个思维，对吧？那我们就把它分析完了，分析完以后怎么写过程呢？我们就按照这个思维的流程去写， 我这里是给大家大致分析一下，那么第一步干什么？第一步要证明加一等于加二，要证明加二等于加五，对不对？所以我们就先把这个东西证明完了，然后再证明这个东西，然后再用这个东西， 是不是三步就解决问题啊？那第一步我们先这边角等于角五，怎么着呢？角二等于角五，因为什么？我们说如图吧，因为你标了几个角啊，你先写如图， 当你前面要写个正名啊，正字，对吧？如果是求角，你就写个解字，如果是证明什么结论，你就写正字，好吧，如图，我们知道什么呢？因为 a b 平行于 c 的，所以你后面如果要写条件的话呢？那么第一个就是已知啊，对吧？所以就得到什么呢？角依旧等于 角五，这是两直线。我这里简写了啊，但是我用语言给你表述一下，两直线平行内错角相等。好，这是第一个。又因为角一等于角二，那这个是不是已知啊？ 又是一只，所以我们知道什么啊？我们要正角二等于角五，对不对？所以你看这样子，把思路理清楚了，你这样写过程就非常的轻松，也不会漏解。那这个是什么呢？这是等量代换，对吧？等量代换简单写一下， 知道角二等于角五了，我们第二步要证明，角三等于角四等于角六，角三等于角四是已知的，那么角四等于角六呢？是对顶角，对吧？ 对顶角的定义啊，又因为，哎，角三等于角四，这也是已知。然后呢，角四又等于角六，这是什么？这是对顶角的定义，所以就得到什么？ 角三要等于角六。哎，是不是我们第二个前提条件已经做完了？角三等于角六是因为什么呢？是因为又是一个等量代换。 好，正完角三等于角六了，角三等于角六，又正完角二等于角五了，那么就走到角七等于角得，对吧？所以我们还得写一个条件什么呢？ 在三角形 a 的 f 中，那我们就知道角二加角六，加角都等于一百八十度，这是三角形的内角合，对吧？ 你可以写个三角形的内角合适一百八十度。好，又因为什么呢？这个角三加角五加角四，角三加角四加角五 是等于一百八十度，对吧？这是什么？平角平角的定义，对吧？这他们不是互补了他们三个角，是吧？所以应该是平角的定义， 平角的地，他们三个加起来正好是一条直线，这个平角，角三加角五加角七啊，这里看错了， 好，所以就可以知道什么了，因为角二等于角五了，然后呢，角三又等于什么角六了，对吧？所以角七就等于什么 角的啊，所以角七要等于角的，这个也是一个什么等量代换，那么角七等于角的，我们就知道哦，内错角相等，对吧？所以就得到 两直线平行，也就说 a 的平行预约，这叫什么？内错角相等，内错角相等，这样的过程呢，在同学们最开始学的时候啊，他要注意几点，第一点呢，你先把这个思维理顺了， 有时候你思路理不顺，你这样子做正面题，你很难下笔，对吧？第二个，你把思路理顺了，你写过程的时候呢，就一步一步来，对吧？不要去跳步啊，也不要什么 后面这个解啊，这个原因一定要写清楚，然后因为所以格式要准确，你不能漏，你漏了之后，你后面就很麻烦，对吧？第三个呢，就是 每一个基础的证明和他的判定，和他的定理，和他的性质，你都要熟练，就是我们要通过这种练习去熟练我们所有的几何证明的说理的体系，以及这个基本的定理和性质的关系，这些东西一定要搞清楚，你不要写错了，对吧？你比如说等待那话，你不要写成别的东西， 是吧？有的同学可能这里写错了，导致丢分，这就很可惜，所以注意这三点呢，基本上经过一些系统的训练，那么几何的正面题呢，你就可以入门了啊，所以平行是几何入门的基础啊， 初中一定要学好，如果这里没有学好后面的几何正面题啊，你就会一直丢分了。好，关注火山哥数学两百分。

初一必抓题，那么这是一个平行的几何证明题啊。对于初一的学生呢，他们刚学证明题的时候，往往会遇到以下几个问题。第一个呢，是不会用条件， 就是我看到这个条件，我没有感觉，不知道这个条件怎么用。第二个呢，我知道这个条件怎么用，但是我不会写过程。那第三个呢，我知道写过程，但是我过程写不完整，不完整我会漏是吧，漏一些核心的步骤。 第四个呢，有可能是我说理的时候呢，就是我写这个原因啊，他写的不规范，或者写错了，对吧？那我们通过这个题给大家讲讲这四个问题怎么解决。好吧， 所以这个视频会有点长啊，虽然题目不难。好，那我们先看如果说给的条件怎么做，那么条件怎么去变析呢？应该是这样去分析的，就是一定是把 条件与已经学过的知识把它挂连起来。好，我们来看题。根据这三个条件，我们来分析一下啊。那么第一个条件角一等于角 c， 如果角一等于角 c 是同位角相的，所以两字经平行。所以由第一个条件呢？角一等于角 c， 我马上可以反映出来。什么？ 我马上可以反映出来这个 b 一平行于 fc。 第二个呢，我们说 b 一平行于 fc， 那么还有没有还有同位叫相等吗？有。是不是角二和角 b 加相等对吧？所以角二还等于角 b。 这就是我们说第一个条件啊， 你要分析完对不对，顺着这条思路往下走，走到底。那么我们再分析第二个。第二个角二，角角得等于九速度。哎，角二等于角 b， 角二角角得等于九速度，那意味着什么？意味着角 b 加角度呢？是不是等于九十度啊， 对吧？所以第二个条件我们可以得到角 b 加角度等于角数。那么第三个条件呢？我们就是看 b 垂度 f 得。那么也就是说角 b 加这个角 是九十度，角一等于角 c， 然后角二等于角 b， 然后角 b 加角都等于九十度。这个有点乱了。那我们就要看我们要证明的是什么。我们要证明的是角 b 等于角 c 对吧？那我要证明角 b 等于角等于什么？因为角 b 已经等于角二了。那我是不是需要证明角二等于角十一就可以了？ 或者角一等于角二对不对？或者角一等于角 b 对吧？那也就是说我要证明的问题是什么？问题是角一等于什么呢？我要证明角一等于角 b。 那也就是说我要证明什么？我要证明 ab 平行于 c 多，对吧？所以我要通过前面的条件证明这个东西。 那我现在已经有什么了？我再标上去啊，已经有什么？我看一下。角一是等于角 c 的，我们把它标成 x 啊，在 x 相等，然后角二等于角 b， 我们这个是 y， 这个 yy 相等是吧？然后呢？这个是九十度，这是九十度。然后我还有什么条件？ 角二角角都是九十度，角二等于角 b， 所以角 b 加角度呢？是九十度。你这个有个直角，所以这个 y。 如果说这个是 j 的话，那么 y 加 z 等于九十度对吧？角 b 加角 d 也等于九十度，所以这个也是 j 没错吧？所以这两个角相等，那么 a、 b 与 c、 d 就 平行。大家看啊，这个条件虽然有点乱，但是我们通过 xy 标角的方式呢，我们就可以把这个思路理清楚，对吧？理清楚这个思路就是第一个条件，怎么用把已经学过的知识把它理清楚。第二个呢，过程是什么？ 刚刚我是不是分析的有点乱了，你们觉得对吧？那么你在分析的时候，你自己分析，你就可以有个过程。怎么过程呢？过程就是思路，先写思路，再有过程。怎么写思路呢？就是第一步，第二步，第三步干什么？我们这个题第一步干什么？第一步是得到什么？这两个脚相等，这两个脚相等 x xyy 乡的对吧？第二个呢，是通过垂直来得到什么？来得到 j 和 j 相等，对吧？所以我们说这个题要分两步，正完这两个结论，我们就可以正第三个。最后的结论就是他们平行相等，对吧？所以我们 知道这个思维的过程，那么接着就什么？接着就按这个思维的过程写这个完整的一个证明过程对吧？你写不完整，因为什么你思路不完整，思路不清楚，你就写不完整，你思路清楚了，你才能写完整。那么写完整的时候，如果说你有问题怎么办？ 说理有问题，这个问题啊，给给大家讲一下。如果你讲原因讲不清楚的话，那一定是什么？一定是平时这个对定理公司记忆的不够，你去把书上的定理公司每个都记下来，然后你就知道怎么说理了，对吧？就不会写错了。好，那么说理这个东西我们也讲完了，那我们现在怎么去写这个过程？首先呢，它是证明，那么证明 就写个正，如果是求某个角，那么就写减对吧。好，那我们第一步干什么呢？第一步就是说因为什么角一等于角 c 啊？因为什么？因为角一等于角 c。 然后呢，我们就可以知道什么角一等于角 c， 那么就是所以 b 一平行于 cf。 那么第一个目标呢？是要证明什么？是要得到这个 xsy 相等对吧？ 所以呢，这个是已知。那么我们说 b p、 c、 c、 f 是什么？那这是什么呢？这是两直线平行头和脚相等对吧？好，那么第一步我们是不是得到这个结论是完了。 好，那么接下来我们要挣第二个，第二个呢？我们说要挣这两个真相等，那么前提是还有垂直对吧？所以又因为什么？又因为角二加角的等于，所以角 b 加角的就等于九十度。好，这个是已知。那么这个呢？是等量代换对吧？等量代换， 我把角二替换成角 b 啊，等量再换。那么知道角 b 加角度等于角数啊。我们把这两个角圈起来， b 垂直于 f 度，那属于什么垂直？我们就知道角 b 加角 bf g 等于九十度吧。这个是一个三角形内角合对不对？ 所以角 b 加角 bfg 等于九十度。这个是三角形的内角，合适一百八十度。好，那我们知道这两个角是 九十度，那我们要知道角 b 加角的是九十度，角 b 加角 bf 机是九十度。所以呢，所以角的就等于什么？角 bfg， 这个是什么？同角的与角相等对吧？同角的与角相等。好，那你看我是不是正完了？角得的与角 b f 级正完了对吧？所以正到哪一步呢？这一步正完了，正到这一步了，对不对？要正他们平行了。 所以呢，第三步我们就震了，震出来了。所以就得到什么 ab 平行于 c 德，这是什么？这是内错角相等两直线。 哎，做完这个，那最后的结论是不是角 b 和角十一相等了，角 b 和这个角一相等对不对？所以角 b 等于角一。这是什么呢？这是两直线平行，什么内错角相等。好，那做完这个结论以后，那是不是最终角一和角十一相等， 角 b 和角一相等，所以角 b 就等于角 c， 这是什么？等量代换对吧？所以大家看一下啊。 那么整个这个题呢，我们就从一个最基本的这个题型的思路，怎么去分析到过程，怎么书写，然后怎么去说明。这个理由全部给大家讲了一遍啊。所以呢，这个视频会稍微长一点。那么后面的题型呢？我们主要还是分析方法。好吧，关注火山哥，数学满满分！

七年级下册一个比较重要的题型就是证明题，那么很多同学在学到这一块的时候，不是没有思路，就是不会写这个证明过程。那么老师将通过几个视频由简单到复杂 来告诉大家如何来解决这个问题。那我们先看这样一个简单的例题， a、 b 平行于 cd， cb 平行于 d， 一球正角 b 加角 d 等于一百八十度。那我们看这里，角 b 和角 d 脚臂在这里，脚地在这里，他他俩不是一个领补脚或者是一个同旁内脚的关系，领补脚或者是同旁内脚相加，才有可能 等于一百八十度。所以咱们必须得通过找一个中间的角来替换其中一个角来达到这个目的。所以我们看这个已知条件， cb 和 d 平行， 那他俩平行是不是就可以得到较 c 和较 d 互补呀？ 因为两条直线平行，同旁内角互布。我们再看 ab 和 cd 平行， ab 平行与 cd 是不是可以得到角 b 又等于角 c 呢？ 因为两条直线平行，内错角相等，我们看 角 c 加角 d 等于一百八，而且角 c 又等于角 b， 如果我们把这个角 c 用这里的 脚臂来替换的话，是不就得到了这个结果呢？所以接下来我们书写证明过程。那么首先咱们写一个证明俩字， 其实这个证明的过程呢，就是咱们如何通过已知条件得到这个结论这样一个推理过程。那么写因为 b、 c 平行于异地， 那我们刚开始写这个证明过程时候，老师一般要求你们会 在括号里边写出每一步的理由，所以 b、 c 平行于。第一是我们题题目中已知的，所以这里写已知。 接下来由 b、 c 和 d、 e 平行，我们可以得到什么？角 c 加角 d 等于一百八十度， 那这个括号里边的理由是什么呢？就是两条直线平行，同旁内角互补。 接下来因为 a、 b 平行于 cd， 同样这里理由是已知，所以角 b 就等于角 c。 这里的理由就是两条直线平行，内侧脚向等 角 c 加角 d 等于一百八，而且角 c 又等于角 b， 你用这个角 b 去替换这里的角 c， 是不是得到了这个结论啊？所以 角 b 加角 d 就等于一百八，用了一个相等的角角 b 来替换了角 c， 那所以这里的理由就是等量代换， 那这就是一个完整的证明过程。

哇哦，我们来讲昨天那道题的变式题，检验一下这种题型你掌握了没有？如图，已知角一加角二是一百八十度，角三呢是等于角 b 的。 要我们判断这个角 a、 e、 dog 和角 c 的大小关系，目测是相等的。他们俩是同位角，要正相等，只要证明上下两条线平行即可。 已知角一加角二是一百八十度，而角一和角四是零补角加和是一百八十度。从而角二和角四它都是角一的补角。于是角二等于角四，同角的补角相等。 角二角四又是内错角，相等的话， a 博位和 e、 f 就平行了。于是本题仍旧处于双平行问题。这种题的核心思路就三个字中间角。只要我们能找到一个中间角来沟通，这两次平行题目就破解了。难点在于如何寻找中间角。 教你一个我自己瞎总结的方法。直接把这两条平行线啊标出来，左右是平行的，要证明的是上下平行。既然是中间角，那肯定跟这两次平行都有关系。于是我们就可以去寻找红蓝线的假角。比如这个角角五， 他同时跟角三和角 b 相关，由左右两条线平行得到内错角。角五和角三相等，而三和 b 相等，那么这个角五跟角 b， 他就相等的。这一组同位角相等，显然推出蓝线平行，于是这两个角就相等了。 但是本题理解到这里啊，还不够。事实上，红线和蓝线还有这样的一个假角，也可以用来充当中间角。 比如红线平行这个角 boy dove 一，它跟角三是同旁内角互补，那么由于三臂相等，那么这个角它跟角臂也是互补的， 这组同方的咬互补，同样可以推出蓝线平行。本题依然可以搞定题目千变万化，但核心方法始终如一，你学会了吗？

哈喽，大家好，这里是长颈鹿数学，我是长颈鹿博哥，我们今天继续来进行初中数学的题目学习。首先来看题目，如图，已知叫 oeb oeb， 我在图当中标记一下，等于一百三十度 角 fod， 这个小角等于二十五度， o f 平分角 eod 证明这两个这两条直线平行，那么我们如果去进行证明平行的话，是不要用到了平行线的叛逆定理，对吧？因为角 fod 等于二十五度，又因为我们可以知道原本是不是 o f 是平分角 eod 的，所以大角等于小角的二倍。大角是谁呢？叫 eod 等于二倍的角，哪个角 fod 等于五十度，对吧？五十度大小 算出来叫 eod， 算出来之后，那么还有一个已知信息是什么？又因为 角 o e b 等于一百三十度，所以我让这两个大角进行相加，角 e o d 和角 o e b 这两个角相加，来看一下他的度数，一个是五十度，一个是一百三十度，两者相加为一百八，他俩本身是同棚内角，那么同棚内角相加得一百八，所以能够证明 两直线平行，对吧？用到了平行线的判定性判定条，判定定理啊，利用他来去进行证明，所以步骤就是这样的一个书写方式，希望大家能够进行消化以及掌握。好了，我是长颈鹿博哥，如果你喜欢这条视频，请点赞、分享、转发，感谢大家支持，我们下个视频再见！拜拜！

关注张老师轻松学数学，一起看七年级数学下册的这道核心素养探究题。其实他也是 平行线哎，两支线平行的前提下，三个角之间数量关系的探究题，也是基本的平行线之间的。什么呢？模型，哎，第一个什么模型呢？燕尾或者猪蹄模型。第二个铅笔头模型。 第三个呢？哎，牛角模型或者叫什么呢？点赞模型，老师，这样叫第四个呢？什么呢？骨折模型或者叫错位模型，哎，四种情况我们分析一下，一和二，第一个点都在平行线之间，也就是内部， 哎，三图和四图，他点披在平线的外部，其实我们归类哎，总结一下可以发现了，这其实就是平行线的什么问题呢？拐点问， 我们通常的做法，遇拐点过拐点做平行线就非常简单了，来看一下，一个一个看一下。第一个图形里面我们可以这样来做，我们首先过 p 点做个 pm 平行与 ab， 哎， p 做了以后，我们会发现的来有两个角，标一下角一和角二了，那么我们不难发现，角 b 和角一就是相等的， 哎，角 b 等于角一了，两直线平行，内错角是相等的，那么我们又发现了，因为 ab 和 cd 是平行的， ab 平行于 cd， 这已知条件，哎，那么我们就得到了 pm 就平行于 cd 的平行，同一条直线的两条两直线平行，这是平行公里的推论吧。 那发现他相等以后，那么角 bpc 就刚刚好，是谁呢？哎，就是角 b 和角 c 的核了，所以 我们就得到第一个结论，就是叫 bpc 等于角 b 加角 c， 理由就是刚才推倒的这一个过程了，哎，因为七年级同学刚做这种题目，老师把它写的比较完整，把理由都写出来了。 好嘞，看一下第二种情况。第二种情况，铅笔头模型同样过批点做 pm 平行于 ab， a 做一下，也有两个角，把它成为角一和谁？角二，那么不难看出，角一和角 b 是同旁的一角 a， 那么角二和谁呢？角 c 是同旁内角，那么我们就可以得到了。角 b 加角一就多少？一百八十度，哎，同样，我们也可以正得 pm 平行 cd 的，这没有问题的， 哎，就可以发现，哎，平行以后，那么角二和角 c 也是，哎，互补的，他们的核是一百八十度，那么我们不难发现了这样的结论了，把它加一下 下，就会得到什么呢？哎，这三个的核就是多少呢？三百六十度，所以三个角的核是三百六十度，是第二个结论了。铅笔词模型下来第看一下第三个，哎，牛角模型， 牛角模型，这种模型一样的过点批，我们可以做什么呢？哎，做一个平行线， pm 平行于 ab， 做一下以后来也标一下角一和谁角二，那么不难发现了，角 b 加角一，他是怎样同旁内角合适？一百八十度， 哎，接着走，我们又发现了，那么角一角一就等于一百八十度，减掉谁呢？角 b 了，哎，可以写成这样的情况，哎，又因为 ab 是平行 cd 的，那么 pm 和谁也平行呢？ pm 和 cd 也是平行的。接着走， 我们会发现，角谁呢？ mpc， mpc 也就是角一和角二的和，哎，他就再加上谁呢？角 c 刚刚好就是什么同行内角是互补的， 那么我们换一下，把 npc 换成角一和角二的话，那么不难发现了，哎，一百八十度，减掉这个角 b 的话，刚刚好，再加上角二再加角 c， 他就等于多少呢？一百八十度了，那么这样做一下，把它整理一下，就会得到了，角 b 就等于角二加 角 c， 角 b 等于角二加角 c 的话，那么不难发现，其实就是角 b 就等于角 bpc 加角 c 了，哎，可以得到这样的结论了。第三种模型，哎，牛角模型，他 的结论就是角 b 就等于角 bpc 加角 c 了。那第四种情况呢？哎，古筝模型，古筝模型一样的，我们过点批做一下，谁呢？ a pm 平行于 aba 做一下，那么我们也可以发现有个谁呢？角一和谁？ 角二，哎，角一和角二，角一和角二的话，那么我们发现了角 mpb， mpb， 哎，这个角再加上谁呢？角 b， 哎，他就等于多少呢？一百八十度 mpb 加角 b， 他就是一百八十度，同旁内角互补的，哎，那么角一加角二再加上角 b 就是谁呢？就是一百八十度，因为角 mpb 就是角一加角二嘛，哎，我们接着走，又因为 ab 是拼音 cd， 那么 mp ipm 就平行于谁呢？ cd 了，哎，平行 cd 平行以后，我们就会得到什么呢？那么角一角一加角 c 就等于一百八十度，他也是通旁内角的，那么继续推导一下，角一就等于一百八十度，是不是减掉了谁？角 c， 哎，减掉角 c， 那么继续走，我们会发现了，一百八十度减角 c， 再加上角二加角 b， 哎，角二加角 b 就等于多少呢？一百八十度，这等量的代换了 来。接着走，我们会发现，角 c 就等于角二加谁呢？角 b， 哎，角二加角 b， 那么我们就可以得到了，那么角 c 其实就等于角谁呢？ bpc， 角二就是角 bpc 吗？哎，等就角 c 就等于角 bpc 加上角 b 了。得 这样的结论了，那么我们就会发现了，四种模型下，哎，四种情况有四个什么呢？结论，有四个结论，大家对这种题目他是必考题型，一定得认真的掌握了，哎，好嘞。

亲爱的同学们，大家好，我是妮妮老师。今天和大家学习一道特别经典的证明题。要证明两直线是互相平行的，我们要从他的定义和他判定方法来入手。 很明显的，我们要从他的判定方法入手。已知 cd 和 ab 是互相垂直的，垂直方就出来了。同时我们也可以说明这个角一和。我们给他取个名字叫角三。哎，他的核也是九十度， 又一只角一和角二的合适九十度。证明第一和 bc， 我们把第一和 bc 做上记号。 我们要考虑到角。对于角来说，同位角内错角和同旁内角。你会发现二和三恰好是内错角哎，他俩相等就可以了，其实他俩就是相等的。来。我们把这个过程写清楚证明。因为 cd 垂直于 ab， 那所以我们就找 adc 是等于九十度，其实 adc 他是等于角一加角三是等于九十度的。又因为题目已知角一加角二是等于九十度。 这个时候通过这两个式子，我们就会发现小二和角三石匠就是相等的。因为右边都是九十度，左边都有角一， 所以二和三一定是相等的啦。二和三恰好是 d 一和 bc 当中所夹 两个背节线，背节线 cd 所节之后的内错角。所以我们就有 b。 一和 bc 是互相平行的，这个叫内错角相等，两直线平行。内错角相等， 两直线平行。

讲一道考试真题，是一道经典常考的老题。来看这道题已知 e f 垂直 a c d b 垂直 a c， 哎，这两个都垂直， 然后角一等于角二，角一和角二相等，角三等于角 c， 角三和角 c 相等。然后让我们求证的是， a b 和 m n 是平行的， a b 在这和 m n 是平行的，在这正这两条线平行。那我们要思考这两条线平行的方法， 要么是同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，这是一种方式。还有一个叫做平行于同一条直线的两条直线互相平行。哎，就用这个 来，我们先看这里边给的已知条件啊。首先呢，告诉两个垂直，垂直，垂直说明这两条线是不是就互相平行了？ 九十度，九十度垂直于同一条直线的两条直线互相平行，或者说九十九十，这是同位角，同位角相等，两直线平行好，平行完之后，这角二和这个角 假设角四什么关系？两直线平行，是不是角二就等于角四？这叫同位角，两直线被他一截截出，同一角同一角相等。然后已知又告诉角一等于角二，那现在角一是不是就等于角四了？ 因为角二等于角四好，角一等于角四以后是不是 m n 怎么着又和这里边的 cd 就平行了？这叫两条直线被他一截内错角， 内错角相等，两直线平行。我们要正 m n 和 a b 平行， a b 平行 m。 现在我是不是只需正 c d 和 a b 平行了？哎，还有一个条件没用的，就是角三等于角 c， 如果角三这个角等于角 c 这个角，这是不是内错角啊？ 两条直线被他一截的内错角，内错角相等，两直线平行，所以这里的 ab 和这里的 cd 是平行的，而刚刚又正出来，因为角一等于角四， cd 和 mn 平行，所以这里边的 ab 是不是和 mn 就平行了，听懂了吗？ 啊？就相当于 m n 平行于 c d， a b 平行， c d 平行于同一条直线的两条直线互相平行，就这完了。 好了，整个思路听懂了吗？这道题非常好，他把平行线的性质和判定进行了有效的综合，是一道非常经典的题目，也是现在我们正需要会的啊。过程我这里不写了啊，平时上课我们都要完整的过程，这里边大家重点听思路方法和技巧。好，赶紧点赞收藏！

这一题是初一必刷的一道几何证明题，我们来看一下，如图， a、 b 平行于 c、 d。 角一等于角二，角三等于角四， 是证明 a、 d 平行于 b、 e。 首先从证明的结果来看呢，我们是不是什么要证明两条直线平行？证明两条直线平行的话，有哪些 定理啊？是不是有有三个一共同位角相等？还有一个我们首先来观察一下图的话， a、 d 如果想平行于 b、 e 的话， 同位角我们会发现这些线其实都没有出去的，所以其实是什么没有同位角的 ad 跟 b 之间，所以我们这个暂时不看同样的同旁内角互补的话，因为他只存在什么 这个跟这个关系，并没有直接的一些度数的相关的，所以这个可能也不大好直接证明。再看一下内错角， 这个跟这个包括脚三跟什么，这个脚是不是有多个内错角，那我们就试着从内错角方面去来突破一下，这是一个分析的过程，首先呢，由同旁内角的部分，首先呢从内错角的组啊，有三组，第一个是什么 角三等于角 c、 a、 d， 第二个 角 d 等于角 d c、 e， 第三个角 e 等于 角二。这题我们以这个为视力来证明给大家看一下，分析给大家看怎么样去做这样的题。 我们要证明角三等于角什么？ c、 a、 d。 首先要看一下角 c、 a、 d 是有什么角二跟什么角 c、 a、 f 这两个角构成的，是不是我们可以把这个角称之为角五， 那实际上角三的话是什么 跟角四是相等的，这个我们可以利用一下。而角四呢，是怎么样去跟角五挂上钩的是不是一个外角？ 是不是加上这一个角？我们假设为角六，那这样子我们是不是就转化成了什么？要证明角二等于角六是不是就可以了？ 我们是不是还有条件没有用？题目中给了 a b 平行于 c d， 角一等于角二， a b 平行于 c d， 角一跟角 是不是就是什么内错角？所以我们可以得到什么？角一等于 角一等于角六，是不是也就等于角二？那这样子这个是不是就正出来了？那同样的往上面推的话，是不是就可以正面出来？角三等于角五 加上角六，角六是什么？其实就是角二， 那同样的是不是就证明出来这个了？ 那推理过程的话就是我们刚才这么一个分析的过程，剩下的两个的话作为科科的一个考讨论，大家有什么不理解的可以在评论区讨论一下。

各位同学大家好，我是高中数学周老师，今天我们来学习面面平行的证明技巧啊，下面来看我们的解题秘诀，那解题秘诀呢，我希望同学们能够理解以后把它给背下来啊，这样的话你用起来才会非常的自如啊。 那我们来看一下解题秘诀他的具体内容啊。要正面面平行，我们可以转化为证明线面平行，为什么可以这么转化呢？因为面面平行判定定理告诉我们的对吧？ 好，那接下来要证明线面平行，我们又可以由线面平行判定定理啊，把它转化为证明线线平行，对吧？所以我们就由再将证明线面平行转化为证明线线平行。 线线平行该怎么去挣呢？哎，其实我们之前讲过这个证明技巧啊，就是在分别在两个平面内查找啊，顶点与顶点，顶点中 终点以及终点与终点之间是否存在平行关系即可。最终总结起来，其实也就是我们的面面平行判定定理的推论，也就是想办法给我在其中一个平面内寻找两条相交直线， 在另外一个平面内寻找两条相交直线，第一个平面内的两条相交直线和第二个平面内的两条相交直线呢，分别平行就可以了， 也就是说只需要两对相交线平行就可以了。接下来呢，借助例一来理解一下我们的解题秘诀啊，结合这个几何图形，我们来理解一下例一，这道题题目所给的已知条件以及题目所问啊，在多面题 abcdef 中， a、 b、 c， d 是正方形， a、 b 等于二啊， d， e 等于 b， f 等于四啊， b， f 呢和 d e 又是平行的，哎，同学们你注意了啊，读题的时候，我希望你一定要读出来， d e 和 b f 呢是平行且相等的，也就意味着 四边形 bd， ef 是一个平行四边形，也就意味着这里边 ef 与 bd 呢，也是平行且相等的啊。这些已知条件，如果你把它读明白了，那么它能够极大的帮助你去解决这道题啊。啊，题目又告诉我们， m 点呢，是 ae 的终点啊，最终让我们证明平面 bmd 啊，这样的一个平面啊，与哪个平面呢？与平面 efc 啊，这样的一个平面是什么位置关系呢？是平行的位置关系啊，同学们好好的去感受感受啊，直观感受告诉我们，他俩确确实实是平行的对吧？ 好，那我们该怎么去进行证明呢啊？解题秘诀告诉我们，其实我们只需要分别在这个平面以及这个平面内去寻找两对相交线，来证明这两对相交线平行就可以了。哎，读题的时候呢，我们已经明确知道了啊，这里边 bd 和 ef 呢，是一个平行 的位置关系，所以接下来呢，我们只需要在平面 bmd 内以及平面 efc 内分别去寻找与 bd 相交以及与 ef 相交的两条线，并且呢，这两条线还得是平行的位置关系就可以了。这个时候再结合我们所讲过的这个秘诀啊， 好，那我们明显可以发现这里边 m 点与 bd 终点的连线啊，那么这个点呢，我们假如记为 o 点啊， mo 显然和这里边的 ec 呢是具有平行关系的， 那这个平行关系该怎么去进行证明呢？哎，我们不妨连接 ac 啊，这个时候由底面 abcd 是正方形，我们可以得到 ac， 这条线呢，一定是过欧点的对吧？ o 点是 ac 的终点， m 点呢是 ae 的终点，所以我们就可以得到 mo 呢，应该是三角形 ac 的中微线，也就意味着 mo 与 ec， 那这条线他的平行关系呢，就得到证明了。所以我们在平面 bmd 内以及平面 efc 内分别找到了两条相交线，并且他们的是平行的位置关系啊，那么平面 bmd 和平面 efc 他俩的这种平行关系呢，就得到证明了好吧啊，那当然 要证明面面平行，我们只能用面面平行判定定理来去答题啊，面面平行判定定理的推论是不能够直接作为证明依据的，这一点呢，同学们务必要记好啊。 接下来呢，我们来写一下这道题他的证明过程啊。当然呢，在这里我也只写第一这道题他的证明过程后面立二立三，他的证明过程呢，我都不在写，直接帮同学们进行一下分析就可以了啊。 首先呢，应该是交代清楚辅助线是怎么做的啊，那我们应该是连接 ac， 然后呢，设它与 bd 相交于点 o， 并且呢，我们再将 m 点和 o 点 点呢进行连接，所以我们就可以得到欧点呢，应该是 ac 的终点，又因为 m 点呢是 ae 的终点，所以我们就可以得到 mo 呢，应该是平行于 ec 的。 接下来呢，我们再来说明 bd 与 ef 啊，这种平行关系是为什么成立的啊？也就是说，我们把所有的准备工作做好，做好以后，我们再去用面面平行判定定理来去证明两个平面平行。 那又因为啊，第一平行且等于 bf， 那所以我们就可以得到四边形 bdef 应该是平行四边形，所以 bd 平行于 ef。 好了，一个平面内两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行啊，我们已经全部准备就绪，接下来我们用面面平行判定定理来去证明两个平面平行。首先呢，我们得先证明啊，一个平 平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，那在这里呢，我们只需要证明一次就可以了。另外一次呢，我们直接用同礼仪去得到我们紧接着这个条件啊，接下来呢，去证明 b d 平行于平面 e f c。 又因为 b d 不在平面 e f c 内， e f 在平面 e f c 内，所以我们就可以得到 b d 平行于平面 e f c 同理可证。 mo 呢，应该也是平行于平面 efc 了。又因为 mo 与 bd 相交于 o 点啊，并且呢， mo 以及 bd 全部都在平面 bmd 内， 所以我们就可以得到平面 bmd 平行于平面 efc。 好了，朋友们，利益这道题的话我们就讲到这里，接下来呢，我对利益这道题呢，来进行一个总结啊，我们想要去证明平面与平面平 平行，我们其实只需要在两个平面内分别找两对相交直线，证明这两对相交直线平行就可以了。接下来呢，看我们的立二。首先声明，立二这道题呢，我只讲解他的证明思路，不再进行过程的书写啊，那我们来读一下题。首先啊， 在正话题 abcd abcd 第一中啊， s 呢，是 b 一第一的终点啊， efg 分别是 bc， dcsc 的终点，求证平面， efg 平行于平面 bd 第一 b 一，那这个平面， 哎，与这样的一个平面啊，他们两个的这种平行关系，我们该怎么去进行证明呢？那我们只需要在这个平面内哎，以及这个平面内去寻找两对相交直线，证明这两对相交直线平行就可以了。我们一定要注意观察 这个平面内顶点与顶点的连线，顶点与终点的连线以及终点与终点的连线是否与这个平面内顶点与顶点的连线，顶点与终点的连线以及终点与终点的连线存在平行关系啊。 我们把这里边的 s 点和 b 点连接起来，那显然这里边记忆是平行于 sb 的。再把 s 点与地点连接起来，那显然这里边 fg 是平行于 sd 的，所以这个平面内就有两条相交直线分别与这个平面那两条相交直线平行了，所以这两个平面之间的平行关系呢，就得到证明了。 那这道题呢，我们就分析到这，接下来呢，看我们的例三。首先呢，结合这个几何图形，我们来理解一下题以及题目所问啊，如图，长方体 a， b， c， d， a， b， c， d 第一中啊， e， f， g 分别是 c， e， d， e， a， b 以及 d c 的终点 a， b 等于 a， a 一 又等于二倍的 a d 来求证平面 e， f， g 平行于平面 b， b， e， c， e， c 首先找到这两个平面啊，这个平面呢，就是我们的平面 e， f， g 啊，这个平面呢，就是我们的平面 b， b， e， c， e， e， c 啊， 好，那他俩显然是具有平行关系的，那怎么去挣呢？哎，其实我们只需要在这个平面内去找两条相交直线，在这个平面内呢，再找两条相交直线，证明 两对相交直线分别平行就可以了啊。那一定要注意观察这个平面内顶点与顶点的连线，顶点与终点的连线以及终点与终点的连线是否和。这个平面内顶点与顶点的连线以及顶点与终点的连线，还有终点与终点的连线存在平行关系， 显然这条线和这条线呢是平行的。接下来呢，我们再来寻找另外一对平行关系啊。哎，你注意，在这里我们取 bb 一的终点啊，然后呢，我们 记这个点呢为点 p。 好，那我们将 fp 呢进行连接，然后呢再连接 pc， 显然这里边 fg 与 pc 呢是具有平行关系的，那证明也非常好挣对吧啊， f 点是终点， p 点是终点，所以 f p 呢，是三角形 a 一 b 一 b， 他的中意线，所以 f p 呢，应该就平行且等于 a 一 b 一。 又因为 gc 也是平行且等于 ab 的，所以我们就可以得到 fp 和 gc 呢，应该是平行且相等的，所以四边形 pfgc 应该是一个平行四边形，所以 fg 与这里 pc 他的平行关系呢，就得到证明了啊，这就是这道题他的分析过程啊，当然呢，是非常简单的啊。好了，同学们面面平行的证明技巧，这讲的内容呢，我们就讲完了啊，最终总结起来也就一句话，要证明面面平行。哎，其实我们 只需要去证明一个平面内两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行就可以了。好，老铁们，今天的内容呢，我们就讲到这里，预知后事如何确听下回分解。

每天半小时轻松学数学，这节课咱们来看几个概念，关于命题、定理以及证明的这几个概念。首先咱们来看本节课的学音标，第一个理解命题，定理以及证明，这三个概念 会区分命题的提示和结论，会判断一个命题是真命题还是假命题， 了解证明的意义以及证明的必要性，了解返利有什么样的作用。 那通过这几个学习目标，咱们也可以知道这几个概念性的知识比较多，所以呢，咱们学完之后还要继续复习概念，背这些概念，理解的概念。好，咱们来看小花 小刚呢，正在津津有味的阅读着，我们爱科学，他们俩一言一语的说着，好，那在这里边这个黑客终于被逮住了啊，哒哒哒哒哒哒，这个黑客是小偷，然后这个黑客呢，是个喜欢穿黑衣服的贼等等等等， 那他们说的这些话有什么的特征呢？然后来接着看汇报成绩的时候，小明的百米成绩有进步，达到了九秒九， 然后好继续努力，争取超过十秒啊，不要太强了，每人发一个球等等等等。那所有的这些语句，有的是进行了判断，有的呢没有进行了判断。 那什么样的像判断一件事情的语句叫做命题，他对事件呢进行了 一种判断啊，比如说太阳从西边出来，当然咱们知道他不可能，那 他对这个事情进行判断没有对进行了判断，进行了判断，咱们就不用管他判断的结果是对的，还是判断的结果是错的，只要他做出了判断，咱们就称他是命题， 那如果他做出的结果判断的是正确的，咱们就承担为是真的真命题。如果他判断的是错误的呢？那咱们承担为假的，也就是假命题。 好，首先要看命题。命题呢，是判断一件事情的语句，叫做命题，命题有真命题，有 假命题，如果判断的对了，那他就是真命题。如果判断错呢，他就一个假命题。比如说相等的角是对顶角，那在这里他做出判断没有做出来了，他说有一对相等的角，他怎么样呢？对，他是对顶角，这不是就得对他做出来了判断了吗？ 假如说一个句子没有做出判断，没做出判断的话，它当然就不是命题了。比如说画线段 a b 等于 c、 d， 它这相当一个起始句儿描述性的语句，它并没有判断 他只是画一条线段而已。好，那咱们来看一看，在这里边这四个余句中，哪一个是命题？哪些不是命题？第一个对顶角相等吗？那他是一般疑问句，他不是做出来的判断句，所以第一个 不是。第二个画一条线段等于两厘米，他还是一个起始，就相当于画一条线段。第三个两直线平行，同位角相等，那这个做出来判断没有啊？做出来了，就是如果有两条线平行线，那么他们所结的的同位角是相等的，他做出来的判断。 第四个相等的两个角一定是对等角，那他也做出来了判断。所以三和四都是属于命题。 判断下的语句是不是命题？刚才咱们说了什么是命题呢？对一件事情做出判断的语句是命题，主要看他，他有没有做出来判断。第一个有问号的疑问就是他就不是命题。 第二个，两条之间相交，尤其只有一个焦点，那做出来的判断，所以是命题。第三个不相等的两个角，不是对立角，什么什么是什么呀？不是什么呀，他也是做 来了判断，相等的两个角是对对的，你看它什么什么是什么哦，曲线段 a b 的终点 c， 那没有做出判断，画两条线的，那这个也是没有做出判断。 关于命题有什么样的结构特征呢？咱们来看一看。这三个如果怎么怎么样，那么他做出判断没有呢？做出判断了。第二个，如果两个是绝对值，那么这两个也相等，那也做出来判断。这三个都是命题。这三个都是命题，有什么共同的特征呢？ 是如果怎么怎么样，那么怎么怎么样，他是符合这样的结构，也就是说命题呢，一般可以改写成如果怎么怎么样，那么怎么怎么样这样的形式。如果后边引导的这些部分呢？是一个提 使，又称为是条件，那么引导出来的后边引导出来，这是一个结论。 好，什么是提示？什么是结论？在命题之中，命题可以改写成如果怎么样，那么怎么样的形式。如果后边引出来的就是提示，那么引出来的就是一个结论。 比如说熊猫没有翅膀，他做出判断没有呢？做出来判断。如果有一个动物，有一种动物，他是熊猫，那么他没有翅膀。好，这也是做出来了判断。 注意改写成如果怎么样，那么怎么样的时候呢？他的意思意义不能改变，句子呢？要通顺，不能生搬硬硬套。比如说熊猫没有翅膀，你改成如果熊猫那么没有翅膀， 那是不是不通顺呀？所以你可以适当的给他添加一些主语，使他的意义不改变，而且呢，要让他保持通顺 好。命题是由提示和结论组成的，提示是已知的，结论呢，就是由已知事项推出来的事项叫做结论。比如说两直线平行，同一脚相等，那在这里边的两直线平行，就是提设同一脚相等，就是结论。 好，这是提示与结论。 好，那咱们来看几个练习。在这里边把这五个命题都改写成如果那么的形式。第一个， 如果有一对角是对顶角，那么他们相等。第二个，如果有对角是内错角，那么他们相等三个。如果两条直线被第三条直线所结，那么所得到的同一角相等四个。如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行。 第五个，如果两个角是同一个角的补角，那么他们相等。好，这是改写成如果那么的一个形式。 咱们再来看真命题，假命题。刚才咱们讲了一个命题，而且又讲了命题的构成。命题呢，是由条件和结论组成的，又有提示和结论组成的。那在这两个命题中， 如果一个数能背四正轴，那么他也能背二正，那对不对呢？嗯，如果他背四正的话，他也背二正，那是的，那那这个命题他就 就是一个对，他是一个真命题。第二个，如果两个角互补，那么他们是零补角，那第二个对不对呢？两个角互补了，他们就一定是零补角吗？这个不一定，所以命题二，他是假命题。 如果一个命题他判断的是正确的话，那么他就是一个真命题，如果他判断的错误的话呢？他就是一个假命题。好，这是咱们讲命题是有真假之分的，有真命题和假命题， 这七个命题判断真假。第一个同旁内角互补，那同旁内角就一定互补了吗？同旁内角如果两条之间不平行，那捷德的同旁内角，那这俩角还互补互补呢 啊，就不一定不补了。一个角的补角大于这个角，那不一定吧。比如说三十度的角，他 补角是一百五十度啊，那这个是大，那假如说是一百五十度的角，他的补角呢？是三十度，那就不大意了。所以第二个也是错误的，他是一个假命题。 相等的两个角是对顶角。相等的两个角不一定是对顶角。比如说，假如说画了一条平行线，那在这里边，那这两个他们角也相等，那他们是对顶角吗？嗯，他们不是对顶角。 第四，两点可以确定一条直线，这个是真命题。两点之间线段对短也是真命题。同角的与角线，咱们之前也学过同一个角，他们的与角是相等的， 互为邻补角的两个角，他们的角平面互相垂直，那这个是真命题还是假命题呢？那咱们来看一看。互为邻补角，那 这两个角是互为零角，那咱们把它的角平分线分别给画出来。 好，如图所示，角一等于角二，角三等于角四， a、 b、 o、 p、 e、 f、 o e 和 o f 分别是这一对零补角的角平分线， 那 o e 和 o f 是否垂直呢？也就是角二加角三等于多少呢？那咱们可以看出来，角二加角三就等于二分之一的角 aop， 加上二分之一的角 bop， 那就等于二分之一 a o p 加 b o p， 二分之一乘一百八等于九十度，那所以互相垂直，它也是一个真命题。 好，这是命题，有真假之分，如果判断正确，它就是真命题。如果判断错误呢，它是一个假命题。然后咱们来看第三个大的知点证明。举反例， 一天早上，李老汉来到衙门边告状张三，刚刚他在地里边偷了一袋子玉米，吕县令立马派这个衙役把张三拘捕到县衙审讯。吕县令问李老汉， 你怎知是张三偷了你的玉米呢？那因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一点东西搬回家，我还发现呢，我地里边的玉米被人给偷了， 我知道张三家他没种玉米，所以我家玉米肯定是张三偷的。嗯，这是张张三，这是李老汉他的一个 逻辑，他想证明啥呢？他是想证明张三偷他的玉米，他怎么证明的呢？他陈述了如下的语句进行证明的。那像这种从已知条件出发，推出结论这样的证明方法呢？叫做综合法 啊。你感觉通过李老汉证明，你能不能判定玉米肯定就是张三偷的？有没有疑点呢？ 好，那这里边县令呢？一时拿不定主意，就问旁边的师爷说，师爷，这事你怎么看？ 事业说，这事想要证明是张三干的，还要弄清楚那袋子里边装的是不是刚掰的玉米，还要看地里边脚印是不是张三的才行。那假如说袋子里边装的是刚掰的玉米，而且地里边脚印是张 张三的，那就是他偷的了。好，从结论出发，咱们呢逆着寻找所需要的条件，思考过程呢，叫做分析，就是想分析出来是张三干的，咱们需要得到哪些条件？ 在分析的过程中，如果发现所需要的条件，或者是已经具备所得的条件证明就非常简单了。比如说在这里边 已知角一等于角二，那咱们说明 a、 b 和 c、 d 平行，那咱们从结论出发，想要正 a、 b 和 c、 d 平行，那咱们可以正角一和角三相等。想要正角一和角三相等，那咱们知道角一和角二相等，角三和角二相等，那么角 一和角三就相等了，那所以他俩就平行了。好，那咱们来看一看。好， 因为角二与角三是对顶角，所以它俩相等。又因为角一等于角二，所以角一等于角三，这是等量代换。角一等于角三之后，所以 a、 b 就与 c、 d 平行了。好书写步骤， 左边和右边这两个步骤都可以，但是咱们推荐右边的语言比较简洁一些，左边是咱们分析的一个过程。 关于基本事实，什么是基本事实呢？有些命题他正确的命题呢，是在人们长期的实践生活中总结出来的， 而且呢，把这些命题作为判断其他命题真假的原始依据。像这样的命题叫做基本事实，而且呢是真命题。什么样的真命题呢？咱们在实践中总结出来的真命题叫做基本事实。常见的基本事实， 关于直线的基本事实，两点确定一条直线。关于线段的基本事实，两点之间线段最短。 关于平行公里的基本事实，过直线外一点，有且只有一条直线与直线平行，那这些基本事实 他是真命题，也不需要咱们再证明，咱们知道这都是大家所公认的，所认可的。 再看什么叫定理，有些面 定题他是不是正确呢？他是经过推理论证得到的，如果经过推理论证得到的真命题就叫做定理。定理呢，就可以作为继续推理的一个依据。 那咱们学过的定理有哪些呢？咱们来回顾一下。第一个关于补角和余角的性质。同角或等角的补角相等，同角或等角的与角相等，那这个就是一个定理。定理肯定是命题，而且是真命题。 就是说咱们有一系列的事实，然后推推推推推推推出来了这样的一种真命题，就叫定理对顶角相等，然后在同一平面内，有且这个一条直线与一直之间垂直以及垂线落对。答案，这些都是定 定理可以作为继续推理的依据。就是这些呢，咱们可以把它作为理论依据，继续往后推理。 很多情况下，一个命题是不是正确，咱们需要推理才能判断。并不是说啊，你想着他是正确，那他的对，你想让他错他就错。咱们是数学，是讲理的一门科学，是有理有据的，科学证明每一步的推理呢，都要有根据，不能想当然。 比如说在这里边儿， b 平行于 c， a 平行于 b， 证明 a 垂直，那我看着 a 就垂直于 c 了，还正啥呢？ 你直接说观察得所得， a、 h、 c 行不行？肯定不行，咱们数学要有推理看一看，想要正 a、 h、 g、 c， 也就正角二等于九十度，那咱们来看，怎么能正出来角？角九十度， a 和 b 垂直，那所以角一是九十度， b 和 c 平行，角二和角一是同一角，那所以角二等于角一，角二也等于九十度， 那这样的话 a 和 c 就垂直了啊。咱们来看，因为 a 垂直于 b， 所以角一等于九十度，又因为 b 平行于 c， 那所以角二等于角一也等于九十度， 这样咱们就正出来了， a 垂直于 c。 好，第六个大概念，什么叫做举反例？ 刚才呢，咱们要证明真命题有一些基本的事实不需要证明，有一些定理也不需要证明，还有一些呢，真命题需要证明，但是呢，一个命题是假命题的时候， 咱们怎么样判断他是假的呢？那咱们就需要举出来返利。什么是返利？咱们来看看。相等的角是对定角，那咱们先找出来一对相等的角，但是呢，他不是对定角。就是说咱们举返利的时候，要满足一个命题的 条件，但是不满足它这个命题的结论，那这样的话就叫做一个返利。那假如说咱们举的这样的一个例子，你看一看， 在这里边角一和角二是对顶角，那相等的角是对顶角，那这个是不是它的返利呢？ 不是，你这个例子不是刚好佐证了他这个命题吗？而后边这个例子是他的一个返利。返利，啥叫返利？就是满足 他命题的条件，但是不满足命题的结论，这叫做返利。好。看，本节课的一些练习题，第一个下句中不是命题。 好，那咱们讲了什么是命题呢？对事情做出判断的语句，那咱们来看看 a、 b、 c、 d 对顶角相等，不是对顶角不相等，那 a、 b、 c 都做出判断了，或这样一点做一点 p 下。第一，他是一个陈述性的，他做垂线啊。第二个，真命题的， 若怎么样，则呢，就是如果，那么这四个都是命题，但是真命题的话，如果 a 乘 b 等于零， a 乘 b 等于零， a 等于零， a 等于零和 b 等于呢？第四个是真命题。下列句子哪些是命题？是 命题的话呢？就要判断出来他是真命题还是假命题。马有四只脚，那他是命题，他做出来判断了，而且呢，他是一个真命题。 第二个，内错角相等，内错角如果两直线平行的话，内错角是相等的，那如果两直线不平行的，内错角不相等，内错角相等，首先他是命题， 他是一个假命题。好，第三个，画一条直线，画直线他就不是命题。四边形是正方形，四边形是正方形，做出来判断了，所以他是命题， 那它是一个假命题。你的作业写完了吗？这是一个疑问。 没有做出判断，那他就不是命题。内错角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行， 那内头血相等，两直线平行，它是不是命题呢？对，它是命题，而且它是一个真命题。 好，第七个，垂直于同一条直线的两直线平行，他做出判断没有呢？做出来判断了，所以他是命题。那他是真命题还是假命题呢？ 咱们讲的是在同一平面内垂直于同一条，这样两点平，他没有加同一平面，所以呢，他是一个假命题。比如说墙角的三根线， 那墙角的三根线的话，直线 a 直线 b 直线 c， 你看 c 垂直于 a， b 也垂直于 a， 那 c 和 b 它平行吗？嗯，不一定平行。所以呢？第七个，它是一个假命题。好，第八个，过点 p 画线段的垂线。那这还是一个作图的陈述句，他不是作图的题，他不是一个没有做出判断，所以他不是一个命题。 举反例，说明下一命题是假命题，也就是说这一和二都是假命题。让他们举出来一个反例，如果两个角不是对钉角，那这两个角不相等，咱们举反例的话，就是满足他不是对钉角，而且这俩角相等，举出来这样的例子就行了。那这样的例子不就 好举吗？那这两个角他不是对顶角，那这两个角他相等，那这个返利。可以啊。比如说，咱们再画一个角，平分线的这两个角也不是对顶角，那这两个角也相等，所以这两个都可以是他的返利。 好，第二个， a、 b 等于零，则 a 加 b 等于零，那这个比如说 a 等于三， b 等于零， 那 a 加 b 就等于不等于零了，所以它是一个范例。那 a 等于五， b 等于零，也可以。你比如说举 a 等于零， b 等于六也可以。那能不能举 a 等于零， b 等于零这个例子呢？ 不能。你如果举 a 等于零， b 等于零这个例子的话，既满足条件，又满足结论了，而所谓的返利是只满足条件，不满足结论，这叫做返利。 好，那咱们来看这些题目。推理与证明，在下面的括号里边填上推理的理论依据。好，如图，已知 a、 b 平行于 c， d， b、 c 平行于 d。 求证，角 b 加角， d 等于一百八，证明， 因为 a、 b 平行于 c、 d， 那所以角 b 就等于角 c， 理由是两直线平行，内错角相等， 因为 b c 平行于 d e， b， c 平行于 d e， 所以角 c 加角 d 等于一百八。 c 加角地位，也就是两只线平行同旁内角互补，然后所以角 b 加角地一百八。那咱们得到的是角 c 加角地一百八。为啥 角 b 加角 d 也白发呢？因为角 b 和角 c 相等，往这里边代换，这称为是等量代换 啊。这样咱们就挣来了这一个结论。这是咱们本节课所学的主要的内容。这节课咱们讲了什么是命题？命题是由提舍和结论组成的。 命题呢，有真命题和假命题。常见的真命题啊，基本的事实呀，定理呀，还有一些其他情形都是真命题。而假命题呢？想要证明一个命题是假命题，咱们需要举出来返利， 取返利的时候满足这个假面题的条件，但是不满足他的结论。好，那咱们这节课就学这么多内容，下一节课再见。

如何判断两条线平行？我们直接上结论，同位角相等，两直线平行。如果你不太清楚什么是同位角，你可以去看一看。上一集视频，我们从图直观的感受一下。你看这个图形，这两条线很明显不平行， 我们再画一条线，看这两个同位角也很明显，这种同位角的度数大小根本就不一样。我们调整一下上面这条直线啊，使这一组同位角的角度是相同的， 转一转来转好，你看这一回，这组同位角的角度相同了，直观的去看，这组直线也平行了。很简单吧，用角度来判断平行，其实啊，就这一条就足够了，但是有的时候吧，题目中不会给你那么多角，比如说 这种情况，如果你不去画一些延长线，你根本找不到有同位角，那该怎么办呢？这时需要你回 上节课提出的一个重要的理念啊，就是两条直线相交，只需要知道一个角的度数，其他的都能推算出来。比如这里我就可以把线延长，你看这回同一角就出来了。你说这个角是咱们延长出来的，他多少度不太清楚啊，那你可得复习一下上节课内容了。 这个咱们讲的很清楚了，它与角 a 呢，为对顶角，对顶角角度是相同的，这样我们就能通过对比角 a 和角 b 来判断两条线是否平行。第二个图也是差不多， 延长之后呢，这里形成一个零补角，那么这里就是一百八十减去角三的度数，我们只需要判断一百八减去角三的度数与角是是否相同，就能判断两直线是否平行了。当然了，有的时候吧，做延长线实在是有点麻烦，所以呢，我们还 两头重要的推论，注意是推论，其实啊，就是根据同位角相挡推导出来的，虽然是推论，但是你可以直接拿来用作为判断两直线平行的判定条件。好了来了，第一个，内错角相等，两直线平行，第二个，平旁内角互补， 两直线平行。这里呢，就不进行证明了，你自己呢，可以试试证明一下。由此呢，我们可以得到这样一张图，可以在左边的三条中的任意一条推断出两直线平行，但其实啊，反过来也可以， 你也可以通过两直线平行，直接来推断出左侧这三个条件，就是说，以至两条线平行，同内角必定相等，内所角呢，必定相等，同旁内角必定互补。我们之前就说过，当两直线相交的时候，只需要知道一个角， 剩下的就知道了。这一次呢，我们继续升级了，当我们知道两条线是平行的，注意前提必须是平行的才行。与第三条线呢，所形成的是八个角，你只需要知道一个，那么其他七个你就都知道了。还是假如这个角的角度是角 a， 那么其他角度是多少呢？这里我直接给出结果，相信你应该能知道怎么做的。好了，那么除了通过角度来证明平行， 真的就没有其他的办法了吗？其实啊，还真有一条，但是这条怎么说呢，挺有意思，当两条线平行的时候，此时出现了小三第三条直线，我们知道这条线跟其中一条平行， 那么我们可以直接推断出它与另一条线平行，我们用数学符号表示，就是已知 a 平行于 bb， 平行于 c， 那么我们直接能推断 导出 a 也平行于 c。 好了，关于平行的判定呢，其实就讲完了，最后呢，我们再额外说一个事，我想你应该在刷短视频的时候刷过一个段子，说抄作业在数学上就平移， 那什么是平移呢？看这是一个图形，我们移动一下，嗯，哎，这就是平移，图形的移动就是平移，在实际画图的时候，我们就可以利用平行线完成图形的平移，比如说这里有个三角形， 我们要怎么在他旁边画一个一模一样的呢？你说可以用尺和两角气量出三角形的长度和角度，然后在旁边画一个就好了。 其实这样倒也没有错，但是对于一个稍微复杂一点的呢，比如这个逐个去测量非常的麻烦呢，但是没关系，我们有一个妙计， 用一种平行线来辅助我们画一个一模一样的图形，具体要怎么做呢？首先我们找出构成这个图形的端点，然后经过每一个端点呢，都画他一条直线，就像这样，我们使画的这些直线呢都是平行的， 对这种直线呢，不应非得是水平的，也可以是倾斜的，取决于你想在哪个位置去画，反正只要是平行线就行。然后我们只需要让每个点沿着平行线移动的距离相同就可以了，这里呢我们就移动五厘米，我们把所有的点 沿着各自平行线的方向呢移动五厘米，把移动后的点呢标记出来。之后呢，我们用尺子再把这些点呢给连接好，就画出一个一模一样的图形了。好了，今天这节课呢，就讲到这里的，平行的判定非常非常重要，希望你能够牢牢记住。 就我们通过一个例题来简单复习下这两节课学习的主要内容吧，看这个图形也是角一和角二加起来是一百八十度，角三呢为 a 度，我们角四是多少度？快暂停视频，试着做一做吧！好的，首先需要特别声明一点， 我们在做几何题的时候，千万不要异想天开，就比如这道题，我们看着这两条线像是平行的，答题的时候就直接说他是平行的，这样是不可以的，我们看看已知条件里有没有很明显，已知条件里并没有明说是平行的，但如果你看的感觉像啊， 你可以沿这个思路去想一想，有没有方法把它证明出来呢？好，我们说回这道题的分析思路，如果我们需要求角四的度数，最明显就是看这三个角有没有一字的，没，很明显，没有。再来就是，假如直线 a 和直线 b 如果是平行的话，那么这八个角就建立了联系，而这八个角啊，恰巧有一个是已知的，角上的度数是 a 吗？那么我就想办法证明子线 a 和子线 b 是平行的。思路就来了，你看条件里有角一加角二 等于一百八十度，角一和角二正好是一组同旁内角，有一天结论同旁内角互补，两直线平行。你看思路就很明晰了，我们在解答的时候呢，步骤是这样的，首先证明呢，直线 a 和直线 b 平行，然后由于角三的角度呢，是已知的，所以这三个角啊， 求哪个都可以。好了，具体解答了，解答时尽量用数学符号，数学家特意发明了这两个符号，这两个符号代表的意思呢？非常常用，希望能牢记。这个呢是因为这个是所以的意思。解题步骤呢，我写一遍接先写一 一个解。首先，因为角一加角二等于一百八十度，逗号角一角二互补，又因为角一和角二是同旁内角，所以直线 a 和直线 b 平行。为了方便序数呢，我们需要额外标定一个角，比如这个角呢，我标定为角五。当然了，这是需要你开始解题时声明的。 我们在前面加一小段话这样说，如图所示，为角五。好，我们说回来继续做。因为角五与角三为零补角，所以角五等于一百八十度减 a 度。因为角五与角四为同位角，所以角四等于角五等于 一百八十度减 a 度。这道题就很简单做完了。好了，今天的内容呢，就到这里了，下节再见。拜拜！

哈喽，大家好，我是东东老师，欢迎来到东东七年级下学期预习计划，今天我们要预习的呢是第五章相交线与平行线，五点三平行线的性质，五点三点二命题定理证明的预习。那其实这一节的内容啊，跟我们整张的关联性 那么大，而且他的难度啊，也比较小，但是他却是非常重要的，熟练掌握这些概念呢，可以为我们整个初中阶段几何思维大厦的建立打下坚实的地基。好，那就马上开始我们的预习吧， 我们首先来学习命题，那命题呢，是判断一件事情的语句，核心在于啊，这句话要做出判断，那通过具体的例子，你更能加深体会来判断下面的语句是不是命题呢？第一个，一加一等于 二，有没有做出判断？有啊，明确的告诉我们了，一加一就等于二，那这个是命题，并且呢，我们还知道这句话啊，其实他是对的，是吧？第二句话，对顶角互补，很熟悉的一句话，有没有做出判断？有啊， 给了你一组对顶角，然后他就告诉你，他们俩是互补的啊，虽然我们知道这句话是错的，因为对顶角应该是相等，但是啊，人家也做出判断了呀，只不过做出了一个错的判断呗，错的判断也是判断啊，哈，所以第二个试命题， 第三个啊，明天太阳会升起来，妈，这是一个什么疑问句，那有判断吗？没有，只是提出了这样的一个问题，所以啊，这一个不是命题啊。第四个，快去做作业，没判断啊， 这个如果按我们英语上来说，它叫做起始句，对吧，妈妈在命令你快去做作业，没有判断，所以啊，它也不是命题。 接下来呢，我们研究一下命题的组成，其实通过刚刚的例子啊，我们能感受到，命题啊，就是给你一个条件，然后呢，我们针对这个条件做出判断，那么前面的条件呀，我们就把它叫做提射， 而后面判断的部分呢，我们就把它叫做结论。比如说刚才很简单的那个命题，一加一等于二，相当于就给了我们一个题设一加一， 那我们做出的判断就是什么呢？等于二倍。而其实在初中阶段，我们已经学习过的类似的命题很多，比如说两直线平行，这就是提示 啊，接下来那么他们的同位角是相等的，这就是结论。再接下来什么内错角相等呀，同旁内角互补呀，是不都是结论呀？哎，那一般啊，我们会把一个命题呢，给他固定去写成如果那么的形式，那如果后面的这个 不就是提射，给了你一个条件呗，那么就是结论，我们做出的判断呗。比如说你把刚刚的这句话改写成如果那么的形式，就可以写如果两直线平行，那么同位角 相等啊。再比如说，如果你把一加一等于二，改成如果那么的形式，那你就说如果一加个一，那么结果等于二，是吧？再比如说，举一个生活化的例子啊，说如果 明天晴啊，明天是晴天，那这不就是一个条件，一个提射，那么我要去春游啊，那春游是不是就是我们做出的判断 啊？那其实就会有一种题啊，让我们把一些省略的语句写成如果那么的形式，你一定是没有问题的，对吧？接下来我们来说说命题的分类，其实通过刚刚的例子啊，大家能感受到，命题啊，不一定永远是对的，比如说对顶角互补， 那我们的判断是不就是错的呀？再比如说极端一点，一加一等于三，他也是个命题啊，而我们的判断也就是结论就是错的，是吧？那我们说能判断对的，那他就叫做生命题呗。对的，那判断错的 肯定就叫假命题，是吧？好，先来看例子啊。第一个，两直线平行，同位角相等，那这是我们非常熟悉的，它是对的呀，所以是什么真命题？ 第二个，东东老师是女生，东东老师怎么会是女生呢？我是个男的呀，他是错的，所以呢，就是假命题。第三个，明天会下雨， 那明天到底会不会下雨呢？我们不知道对不对？那这个命题啊，可以认为是无法判断的。那无法判断的是什么命题呢？来，东东老师告诉你啊，无法判断的属于 假命题。那这个时候其实我们回头来体会一下真命题，那就是说判断一定是正确的，而假命题呢，错， 或者说无法判断他是否正确的，都属于假命题啊。好，你掌握了没有呢？ 学习过的命题，接下来我们介绍两类特殊的真命题。第一个，公里，这个词我们不陌生啊，两点之间线段最短，这叫线段公里。两点确定一条直线，这叫直线公里。再比如说刚刚预习过的 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这叫做平行公里。那么所谓的公里啊，我们可以认为是 公认的道理，他是一个基本事实，我们不需要推理，大家约定俗成，他就是对的，并且呢，可以在他的基础上继续往下去，作为推理的依据。那我们可以说公理啊，就是数 学世界中最高级的证明题。那通过公理啊，我们就能推出一些结论，而有些结论啊，用途是非常广泛的，我们把这些结论呢，可以起个名字，就叫做定理。那定理呢，就是 需要推理证实，其实一般就是用公理来推理证实，那证实以后，因为他的用途很广，所以呢，可以作为继续推理的依据，比如说我们熟悉的勾股定理啊，比如说小学有同学学过的必刻定理等等等等。 其实啊，定理啊，如果在我们自己的小世界里，我们自己都可以规定一个定理啊，举个例子，比如说星期一的下一天是星期二是吧，我把这个定理叫做咚咚定理，可不可以呢？其实也可以， 只不过呀，有些定理人家用的人比较多，所以很重要。而这个所谓的东东定理没人用，可能只有我或者屏幕年前的你在用，是吧？好，接下来呢，那我们说推理证实的这个过程就叫做 证明啊，就类似于咱们说方程一样，说解方程的解的这个过程就叫做解方程，是吧？最后我们来做一个这一节经常会考到的练习题， 有以下四个命题，其中真命题的个数是，其实你会发现啊，做这类题跟这节课学的知识哈关联不大，反而呢，是用别的知识去判断每句话分别对不对。那首先第一个 相等的角是对顶角，这是错的，虽然我们知道对顶角相等，但是相等的角不一定是对 对顶的吧？比如说，我这里画个角，这里画个角，他俩相等，是对顶吗？不是啊，好，第二个同位角相等显然也是错的。为什么这么说？只有两直线平行，那么同位角才相等，而任意的线，你能说他们的同位角相等吗？ 不行。好，咱们先来看第四个啊，第四个说什么呢？从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，粗看是对的，但是他的错误 你们应该也能想到，应该是垂线段的长度，对吧？距离不是线段，距离是一个长度，所以第四个也是错的。那老师着重给大家介绍一下第三个啊，一个角的两边与另一个角的两边互相平行， 则这两个角一定相等。嗯，我们画个图感受一下啊。哎，这里有个角，那在他的下面也有个角，他们的两条边分别平行。那其实我们感受一下，这两个角在这个图中当然是相等的，但是注意啊， 不只有这种情况，万一是这样子的呢？一个角是这个，而另一个角呢？哎，往左边偏着来，那这个时候我们也能说，你看 这一组边是平行的，而另一组边也是平行的，而显然这两个角不相等，这两个角应该是什么关系？我们会发现啊，上面的这个角应该是等于这边这个小的角，对吧？那他们两个角应该是 互补的关系啊，所以第三个这个结论啊，也是错的。应该是什么呀？这两个角相 等或互补。那希望大家把这个结论记住啊，可能在做一些题的时候会用到的，所以呢，一二三四都是错的。那真命题的个数是零个，这道题你做对了没有呢？关注我不迷路，带你学习更好玩、更有用的数学。