ggb函数单调性

大家好，今天我们来讲一讲函数的单调性和基友性。那么什么是函数的单调性呢？快速的来说一下。函数单调性呢？它指的是局部的性质啊，那么我们来看一下它的定义是什么。首先单调性需要满足的是，看了 假设函数的定义域是 d， 我们研究的是区间这样一个定义域上的一个子级区间碍是定义的某一部分。比如说我们可以看到这一段，也就是当 x 在负四到负二之间的时候，随着 x 的变大， 我所对应的这个函数值也是变大的。那这个时候我们就说函数啊，在哪，在负四到负二这样一个区间上是一个增函数，就这样一个定义啊。那好了，具体详细 这个电影是这么说的，如果对于曲江爱上任意，任意这俩字特别重要，无论是在证明单调性还是使用单调性的时候，都非常重要啊。来任意两个自变量， x 一和 x 二， 当 x 一小于 x 二的时候，我们还是看这样一个图中，在负四到负二这一段上， 你随便取 x 一和 x 二，只要 x 一在图中是小于 x 二的，那么我所对应的函数之 f x 一就一定是小于 f x 二的。 也就是说当自变量越大的时候，函数值一定就越大，当自变量变小的时候，函数值就一定变小，这个就是任意的作用清楚了吧，那么当满足这样一个要求的时候，我们就称函数 fx， 在曲江 i 上是曾函数，还是好理解的。 那么接下来我们在研究另外一段啊，比如说负一到三之间，我们把这一段的图像，函数图像呢给画出来看到了吧？显然在负一到三这样一段函数图像上， 它这个 f x 随着 x 的变大，函数值显然是变小了。我们就说函数在一到三这样一个区间上， 它是什么函数啊？它是减函数。那详细的定义是这样的，如果对于区间爱上任意的两个，咱这样一个区间爱就是区间一到三上啊。任意的两个变量， x 一和 x 二，那我随便取吧，比如说 x 一在这个位置呢， x 二在这个位置呢？当 x 一小于 x 二的时候，我这个 x 一所对应的函数值和 x 二所对应的 函数值反而是大于的，也就说资变量越小，函数值反而越大。哦，资变量的大小关系和函数值大小关系是反过来的，当资变量变大的时候，函数值就变小了。那我们就称函数在区间爱上是减函数。我们在说这个单调性的时候， 一定要指明在哪一部分是增函数，在哪一部分是减函数，这个非常重要。那这一部分叫做什么呢？其实就叫做单调区间，能清楚吧？单调性啊，我们在说单调性的时候，一定要指明单调区间了。 那比如说，就以我刚刚画的这样一个图呢为例，出一道题来，图就是这样一个图啊，那 f x 这个函数呢？就长这个样子，定义在负四到四必须上的函数图像如下图已经画出来了，请你根据图像说出这个函数的单调区。 区间很好说呀，负四到二，他是一个单调区间，你写开区间也行，必须也行，这个不会扣你分的啊。负二到负一也是单调区间， 负一到一，一到三，然后三到四都是单调区间。那详细来说，是增函数还是减函数？咱们应该这么说啊，必须写明白这个单调区间了，在什么范围内是个减函数啊？在负二到负一，一到三这样一个范围内是减函数，要写清楚，对吧？ 那么在什么范围内，什么区间上是增函数呢？显然在负四到负二，在负一到一， 在三到四这样一个区间上，他呢是增函数，咱们一定要写清楚，写增减性，就一定要带上这样一个区间了。那好，继续。现在还有一类问题，就是单调性的证明，他就是分 四步，从电影里头其实就已经告诉你这四步了。第一步是什么？任意那俩字还记得吧？任意就是说在对应的区间上，我要任意取两个值。那么举一个例子，比如说现在有一道题啊，让你证明的是什么？ 让你证明的是函数二， x 加一这样一个函数在区间 r 上是单调递增的。那么有同学就说了，老师，我知道啊，一次函数他就是单调递增的，还需要证明吗？需要的啊，因为不是所有的函数都学过的。来吧，咱们看一下怎么证明。第一步应该干嘛？取值吧， 在这样一个 r 上，在规定的区间上认取两个自变量， x 一和 x 二，不妨就规定 x 一小于 x 二。接下来你既然已经规定好自变量的大小了，肯定接下来想比较 f x 一和 f x 二这两个函数 值，究竟是大与好的关系，还是小与好的关系，对吧？那怎么比较两个函数值大小呢？一般来说都是作差的，作差变形吗？第二步对吧？那么变形变到我们容易判断正负的时候为止，好， 把这个一减一消掉，就是零，就不写了。你看，因为 x 一小于 x， 我们已经规定好了，那小的数字减大的 x 当然是小于零的，二乘负数小于零，也就是说什么意思啊？ 当我们规定好任意曲的这个自变量 x 一一定小于 x 二的时候，所规定的这个 fx 一和 fx 二一定也是，怎么样也是小于。好吧，那么就能看出来了，既然是任意曲的，那就说当自变量变大的时候，函数值一定变大，这不就是增的函数的定义啊。所以最后 下结论吧，这一行就是下结论啊，这其实是第四步。所以说函数单调递增不对，应该写明确了，函数在 r 上，在整个式数方向内是单调递增的，清楚了吧，就是四步。那么接下来我们真正看一道题，就是根号函数啊。 嗯，根号 x 这个函数呢？初中没学过吧啊？他在领到政务群上单调递增，这个怎么证明呢？领到政务群我们可以看出来 就是他的定义域啊，怎么证明？还是那几步。第一步，认取吧，我们在规定的大约等于零这个范围内，认取 x 一和 x 这两个数字，这个显然就是 x 一小于 x 二了。 既然已经规定的话， x 一小于 x 二，那接下来所对应的函数值究竟是大于还是小于？作差吧，对，我们作差来比较大小好。作完差之后 后的话，有同学就要说了，老师，我这个位置呢，就可以直接写，我告诉你，你如果这么写的话，错了，知道哪错了吗？你犯了个经常容易犯的错误，就是说 你循环论证了。什么叫循环论证？就是我用还没有证明完的这样一个结论当成已知条件来证明了。你要这么写的话，你肯定就是说老师，因为资本量 x 比较小，所以跟号 x 就比较小， 比较小的根号 x 一减比较大的根号加 x 二，小的减大的，那当然是小于零了，错了，清楚了吧？那是因为你已经把这样一个还没有证明完的结论当成已知条件来用，所以就是错了。那应该怎样改掉这样一个循环论证的毛病？怎么写才是正 正确的呢？我们应该这么写，这个才是正确的。怎么写 f x 一减 f x 二，如何判断？我们利用分子有理化。什么叫分子有理化？也就是说啊，你这个根号 x 一，减根号 x 二，我们首先看成根号 x 一，根号 x 二，你这个分母是一吧？ 分母是一的话，但是分子是个无理式，根号啊，根式就是个无理式，那怎么办啊？我们来一个分子有理化，利用平方差公式， 分子和分母同乘，根号加根号，这样的话，利用平方差公式，至少我分子里边这两个根号不就消掉了吗？ 你分子里边乘它了，分母里边也得乘啊，一乘 x 一根号 x， 一根号 x， 那经过处理以后，根据平方差公式，根号 x 一的平方，那不就是 x 一减 x x r 吗？对吧？好，这就写完了。当写到这一步之后的话，你说还容易判断正负吗？容易啊，因为我们一开始已经规定好了， x 一是小于 x 二的，小的减大的，你说是不是小于零？所以说分子是负的， 那分母呢？分母的话肯定是啊，一个是大于等于零，另一个严格的大于零，两个正数加起来当然是正数了，负数比上正数，你说怎么样？当然是小于零的，所以那第一步取值 座差变形，他这个变形用了一个技巧，就是分子有理化的技巧，然后定号吧，定号就是定出来，最后这个结论是小于零的。 最后我们是不是就该下结论了？下结论的意思就是说，只要在规定范围内， x 一小于 x 二，我此时的 f x 一也必然小于 f x 二，你说是不是曾函？ 所以说接下来这一步我们下结论就行了啊。那最后一步的话就是，所以 f x 等于根号， x 在哪？在零到正无穷上为曾函数。考试时候你写全写文字啊。那么继续来看函数的基友性。 那什么是函数的基友性呢？也好理解，基函数，如果单看图像的话，只要这个函数有图像啊，那这个函数图像必然关于原点对称。比如说我们举一个常见的例子， x 的三次方，他是几函数啊？他的图像关于原点对称，关于原点对称的话，就是说你左边找了一个负 x， 那我右边就找一个正 x。 首先这俩自变量肯定是关于什么关于零对称的，是互为相满数的，当自变量互为相满数的时候，我所对应的函数值，一个是负 x 的三次方，一个是正 x 的三次方，我所对应的函数值也是互为相函数的。那这种情况下就成为什么就成为积函数了？拓展一下所有的函数图像，如果说啊，关于什么对称，关于圆点对称的话，这样的函数就叫做积函数。 那如何用数学语言来表达呢？就这样来表达呀。看了，他是整体性质啊，对于定义内任意的一个矮 正的 x， 就必然会有一个负的 x， 也就是说，首先我们讨论定义域的必要条件，必须保证定义域怎么样。我这个定义域第 是关于原点，或者说关于 x 等于零是对称的， x 等于零，左边有什么，右边就必须有什么。比如说，举个例子，如果你写的定义域 是负三到正三的左开右臂，那他一定是非机非有函数，不具备机油性，清楚了吧？首先保证定音域是关于 x 等于零对称的，那什么定音域符合要求呢？那比如说负二到负一，你右边并的是正一到正二，他显然是关于 x 等于零对称的。 当定义域满足关于 x 等于零对称之后，再讨论，即有性，清楚了吧，这是一个必要条件。 那好，继续来看另外一类啊，他这个积函数的特点就是次变量相反的时候，就这样一个特种方程，我的函数值也是互为相反数的，这是一种写法。也有另外一种写法啊，一样的， 这就是资本量相反的时候，函数值加起等于零，这个也意味着两个函数值是互为相满数吗？都是同一个概念，同一个意思啊。 那么从形式上来看的话，这个奇函数就是说括号里头的负号，只要你是奇函数，我就可以提出来。那什么是偶函数呢？我们也举一个例子，看图像， y 等于 x 方，显然它的对称轴是 y 轴，对吧？ 哦，左边有一个负 x， 右边就一定有正 x， 这首先得保证这样一个定义，关于 x 等于零对称了，对吧？当你保证了这样一个必要条件之后，接着继续看。那么函数就叫做偶函数，什么呢？最关键的地方来了，我写一下啊，我写大一些， 他就代表当资本量相反的时候，函数值居然是相等的。他确实是相等的呀，当资本量一个是负三，一个是正三的时候，他的函数值肯定等于九啊，都等于九。所以这个特征方程表达的是什么含义？当资本量相反的时候， 函数值相反。从形式上来理解的话，就是说我这个括号里头，当 j x 是偶函数的时候啊，我这个括号里的负号是提不到外头来的，只有这个函数是积函数，这个负号啊才能够提到外头来。所以说积函数，偶函数形式上还是要注意的。那么接下来练一道题， 请你证明一下他是偶函数吧。有些上来就啊，老师，我知道负 x 等于什么，什么巴拉巴拉整理了一堆，他等于他，所以说他是一个偶函数。 错了，至少你的过程是不严谨的，知道为什么吗？因为所有的函数问题，你应该先讨论地域，并且基偶函数他的地域必须关于 x 等于零对称。所以我们第一步是不是应该先写他的地域啊？夫君到零，零到这么穷，因为他 x 方在分 的位置， x 不能去零，对吧？先写定义，然后才是写这个 f 负 x。 我符号都不可能从偶次方里头提出来，进而得到了。当自变量相反的时候，函数值相等，所以说它是偶函数，清楚了吧，应该这么写。那如何证明是积函数呢？也是 奇函数？你首先第一步应该先写的就是定义域，因为你 x 做分母，当然不能等于零，定义域保证了是关于 x 等于零对称的。其次，接下来再讨论 g 负 x 和正 x 锁定函数值的关系， 当自变量相反的时候，最终我们得出来函数值也是相反的时候，自变量相反，函数值也相反，这不就代表图像是关于圆点对称的吗？所以说下结论， j x 是几函数，现在清楚了， 必须先写定律非常重要啊。那么好了，现在我们来练一道题，力三这道题啊。这道题的话说的是，如果这个函数是偶函数，那么他的递减区间是什么？这种题我觉得还是挺简单的啊。首先，第一种情况，我们肯定要是讨论当什么当这个 k 减二等于零的时候，这种情况下 k 就是等于二的， k 等于二，不就意味着它就变成了 x 加三正和谈基友性的既不是奇函数也不是函数，对吧？它是不可能是偶函数的，所以说就舍掉了依次函数啊。 第二种情况就是，当 k 减二不等于零，也就是说 k 不等于二的时候，当 k 不等于二的时候，我们这个方程 才保证了是什么呀，这样一个函数才保证了是二次函数。是抛物线，那么抛物线的话，它是有对称轴的，它的对称轴不就是外轴吗？偶函数就是说我关于外轴对称的意思啊， x 等于负比出而已。这道题的头就是哦，一减 k 比上二倍的 k 减二 等于零吧。所以接下来 k 不就等于一了吗？既然 k 等于一，那函数不就写出来了？那函数长什么样子啊？长的就是负 x 方加三。 那他的减区间很好画呀，外轴开口向下嘛，左边右边开口向下，所以他的减区间就是零的右边。你写零到正无穷的开区间也行， 你写零到正方形的左 b u k 也行，这个位置呢，无所谓，都算对的啊，清楚了吧，是这样一种方法。那好，这道题的话我们就做完了用， 有没有更快一些的方法呢？反正他其实归根结底就是求 k 的值吗？所以我们讲另外一种方法，你干嘛不直接这样写呢？ f 一等于 f 负一，对吧？哦，你如果这直接利用的话，是这样一个特殊值带入的话，可能更快一些哈，那就变成了 k 减二， k 减一，加三等于 k 减二，一减 k 再加三，最后我们会得出来，二 k 等于二，也就是 k 等于一，这样他是不是更快呀？所以此时函数就变出来了，负 x 方加三，你说 一样不一样，结果还是一样的，但是我感觉好像这个方法二更快一些，对不对？零到正无穷的这样一个开区间，或者走比我开都对啊。行了，那么例三咱们就做完了，继续来做一下。例四，刚才做的是偶函数，现在我们 来做一个积函数的问题，他说的是这个函数当 m n 取什么值的时候，能够是积函数？首先啊，我们已经知道了这个函数啊，等号右边是整式嘛，所以对 x 没有要求的，他的定义域是 r， 关于零对称没有问题。 其次，你积函数如果在零的地方有定义，那必然怎么样的？必然是过圆点点，为什么圆形点呢？因为你 f 负零和 f 正零其实都是零， 当自变量相反的时候，零和零其实就是互为相反数啊。那么函数值互为相反数，那这不就是二倍的 f 零等于零哦，懂了，也就是说只要积函数在零的地方有定义啊，在 x 等于零的地方定义必然是过圆点的。所以我们首先带 f 零等于零，这马上就算 出来了， n 是等于负二的，对吧？先算出来 n 等于负二，那这种情况下，我们 f x 就写出来了 m 方减一 x 方，然后再加上这个 m 减一倍的 x， 后边因为是零嘛，咱就不写了。 那么接下来还要求 m 的值，怎么去求 m 的值，保证它是一个积函数呢？我觉得也是简单的吧，要么你就是带那个特殊值，咱们就带特殊值吧， f 一 加上 f 负一等于零吧。这个不就是当自变量相反的时候，函数值也相反吗？最终我们就得出来了。得出来什么？得出来这个二倍的 m 方减一，他是等于多少的？等于零，那不就是 m 方等于一， m 等于正负一吗？所以第一个横向是两个答案，正 负一，第二个空间是负二，然后就做完了，现在应该清楚了。还有一类问题，咱们最后介绍一下，当你把这个单调性和基友性放在一块的时候，我们画图来解决是容易的。比如说看这个，例如 定在负一到一上的积函数，那你要画他的图，很好画呀，他说零到注意这个位置是必须减啊。所以说，既然积函数在零上有定，他必然过圆点连起来了。哦，就这个意思，这就是一啊，然后的话继续看。 嗯，他既然关于圆点对称的话，那咱就画完这个图好，画完了，这是负一是吧？那整个图画完以后的话，所以我们就知道呀，这个 f x 其实在整个负一到一开期线上，他 就是一个增函数。那么好，我们 f x 改变了，不就小于负的 f 二 x 减一吗？你要注意积函数的特点是什么？ 积函数的特点咱们再回到之前看啊，积函数的特点就是说你是可以把这个符号给提出来的， 你反过来不也相当于可以把括号外头这个符号给扔到 f 这个括号里头去吗？能清楚吧？符号给扔进去了，从形式上来看是这样的，所以说接下来要做这个例务的话，咱就这样来做 看了，符号可以扔进去吧，你把这个符号扔进去的话，就变成什么样子了，不就变成了 f 一减二 x 吗？所以既然是增函数的话，增函数的特点就意味着，当自变量大小关系确定了以后，我这个函数值大小关系也确定了。反过来也是， 当这个函数是比较大的时候，词变量也比较大，这就是增函数的特点，所以最后就算出来了， x 是一个什么范围啊？有同学说不够，为什么不够？ 因为你这个 fx 的定义域是负一到一，所以我们光写这不够，还应该写什么？还应该写是哦，清楚了，大于负一小于一吧，然后解这样一个不等式就行了。 那么我们解一下啊，首先 x 大于负一，那中间这样一个不等号的话，其实解出来就是 x 小于三分之一， 最后一个解出来的话是多少呢？是 x 大于零，这三个是且的关系，求下交集，所以最终的范围是零到三分之一的，这样一个开区间就够了。零到三分之一是吧？画图就行了啊，那我们再来做一个关于偶函数的问题， 他说定义在 r 上的偶函数，首先在零的左边是减的，那么在零的右边，你是不是也可以画出这个图来啊？很简单嘛，你看 这不就是左边是一个减函数吗？那右边就是一个增函数，这就连起来了。这个呢，我们画的中间就是外轴，然后呢，这个草图就是 fx 的草图，那么画完之后的话，我们知道了，其实呀， 当这个函数的自变量怎么样的时候，当这个自变量越小，他的绝对值越小的时候，我这个函数值就越小。为什么呢？ 你这个绝对值其实就代表了 x 跟零的距离啊，显然自变量跟 y 轴，也就是跟零越近，它这个函数值就越小就越低，是吧？因为它两面是对称的，所以我写这样一个不等式的话， 我应该怎么去理解它呢？应该这样来理解，我二、 x 减一的绝对值是要小于三分之一的，绝对值其实也就是三分之一，绝对值越小，就意味着自变量的绝对值越小，就意味着函数值越小， 清楚了吧？啊，所以这个地方写三分之一的绝对值，直接写成三分之一就行，所以解这样一个不等式多简单呢。绝对值不等式 啊，负三分之一到三分之一之间，所以最终的话，我们求出来这样一个 x 的范围是多少呢？是三分之一。我直接写了啊，三分之一 到三分之二。那这道题的话，我们直接选 a 就行了。那么这节课大家应该学会了函数的单调性还有基友性了吧，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见。

大家好，今天我们来系统讲一下函数的单调性，上节课呢，刚刚讲完函数，那么什么是函数的单调性呢？我们来说一下。在介绍函数单调性的定义之前呢，我们思考一个问题，就是看以下的这些曲线图啊。首先我们了解的是身高与年龄的关系， 他这个年龄呢，咱们就写上 x 轴，就代表年龄多少岁了，对吧？这个外呢就代表你的身高，那么他有这样一个相对正相关的关系，也就是说在一定范围内，你的年龄越大，身高肯定是越高的，当然你要变老的话，那就另外说了啊，咱只画了，比如说只画了你前三十岁的这样一个图像， 所以他就是这样一个增加的关系，对吧？年龄增加了，身高也增加了。那么另外就是在你学习的过程中，比如说你背英文单词的时候，有这样一个很重要的爱宾豪斯遗忘曲线，大家肯定学过吧？ 那么什么是 i 编号是遗忘曲线呢？首先这个 y 代表什么？比如说你在某一天，某一天呢，背会了一百个单词，然后啊，这个地方啊，我们就记成一百，然后这个 x 周代表什么？代表时间啊，第二天只剩下六十个了， 第三天只剩下四十个了，然后忘的越来越多，界限的越来越少，这个就就就是 ib 号是遗忘曲线了。那么我们看第二个图像的话，可以看出来， x 和 y 有这样一个负相关的关系，什么意思啊？ 随着时间 x 的增加，你记住的东西啊，反而是越来越少的，或者说遗忘的是越来越多的，对不对？所以有一这样一个互相关的关系，那么第三个，我们讨论一下学习效率和紧张程度之间的关系。肯定啊，大家应该知道这样一个道理吧，你越紧张，你如 如果紧张绷紧到一定程度的话，你学习效率肯定是不高的。当然，如果你太过松散，直接躺平了，你学习效率也是不高的，只有适度紧张。适度紧张，比如说就是 x 点的位置，如果你真的是适度紧张到这个位置的话，你的学习效率才真正是最高的。这个外轴就代表学习效率的意思，现在清楚了吧， 显然，我们看第三个区间，它在 x 零的左边，它是在增加的， y 是增加的，随着 x 增大， y 也增大，但是如果在右边就反了啊，如果超过 x 零的话，就变成了 x 增大了， 也就说紧张程度呢变大了，学习效率反而又降低了，是负相关的，左边正相关，右边呢负相关。那么这些呢，应该按照函数的什么性质来总结呢？其实说的就是函数的单调性。我们先来说什么叫增函数啊？第一个图像， 看右边这个图像，只要你 x 变大了，那你所对应的函数值 f x 一， f x 二肯定也变大了吧，这是正相关的关系。那么怎样用标准的数学符号来定义呢？就是这样来定义的。首先啊，我们看好了， 假设函数的定域为 d， 我们取的是哪个区间？是定域的某一个子级，对吧？所以函数的单调性，他是函数的什么性质啊？他是函数的 局部性质，或者说局部特性。为什么叫局部性质呢？因为你研究的是定义域某个子级上的这样一个增函数，还是假函数清楚吧啊，如果对于这样一个子级爱上，对于区间爱上的任意两个变量，注意， 任意非常重要，我们在考试时候经常写成这样一个任意符号，这个没问题啊，任意拿出两 数字来，只要当 x 一小于 x 二的时候，那么函数必然满足 f x 一小于 f x 二。怎么理解第二行呢？就是任意的， 在这样一个区间内，只要是字变量比较大，函数字一定就比较大，也就是说看成一个趋势的话，就是字变量 随着自变量的变大，函数值也会变大，那么我们这个时候就称函数 fx， 在曲江 i 上，它是一个增函数还是非常清楚的吧。自变量变大，函数值一定变大，就是用第二行来定义的，注意别忘了任意这俩字。 那么总统函数完了，减函数呢？减函数的话，我们看形式就能看出来，随着自变量 x 二大，它对应的函数值反而小，就是随着自变量的增大呀，这个函数值反而越来越小，这个叫减函数。那么如何用 用数学语言严谨的定义这个假函数呢？是这样定义的，首先第一条前提都是一样的，假设函数定义是 d， 区间 i 是他的一个子级啊，我们讨论的是区间 i 上的局部特性，如果对于区间 i 上的任意很重要，这俩字啊，很重要，很重要。任意两个变量 x x r， 只要当自变量比较大的时候，函数值反而变小了，随着自变量的变大，函数值反而变小了，那么这个时候我们看 就成函数 fx 在区加 i 上是减函数，什么意思啊？减函数，增函数其实看的就是自变量和函数值之间究竟是正相关的关系还是负相关的关系，是不是啊？ 那继续，什么叫单调性啊？增函数，减函数，合称单调性。如果函数在区，加 i 上是增函数或者减函 函数，我们就说函数在这个区间爱上具有单调性，所以你在说单调性的时候一定要说清楚这个区间爱他究竟是增区间还是减区间，清楚了吧，那好，我们继续往后啊，所以现在其实你自己都可以总结出来，函数单调性的本质是什么？其实就是自变量 x 的变化趋势， 还有函数值，他的变化趋势究竟是相同的还是相反的？如果变化趋势相同，就是增函数，如果 x 和 y 的变化趋势相反，就是减函数。清楚了哈，那现在的话看我们需要注意三点。 首先的话，我举一个例子啊，大家非常熟悉的这个函数叫什么？函数 x 分之一，这个函数叫反比的函数，大家非常非常熟悉，它的图像呢，也很容易画第一象限和第三象限，它其实是双曲线吧，对吧？是分开的啊，两只， 那么在这样一个，嗯，反比例函数图像或者是这个双线上，我们可以发现在第一项线肯定是个减函数，在第三项线也是个减函数，那么我们在写的时候是不是就可以这么写呢？我们就写 y 等于 x 分之一，这样一个反比例函数 在服务穷到零啊，因为零他取不到啊，零不在领域里头和啊，这个地方是单调递减呢，你这样写就大错特错了，知道为什么吗？单调递减的特性是资变量大，函数值反而小。来，我取一个 x 一 和一个 y 一，我取一个 x 二和 y 二。你看，如果单独看这两个点， a b 这两个点的话，显然是自变量大，函数值也大，它应该是增函数的特性，所以你不能把这两个区间并到一块的。那 写的时候应该怎么写呢？我们应该写的是 y 等于 x 分之一在服务群到零用逗号隔开不就行了吗？还有这个零到中国球上都是单的地啊。那你分开来写，或者中间写个和字也可以，要么写逗号，要么写和，但是确实不能用 编辑符号并在一块来讨论，现在清楚了吧，这是第一条，那第二条的话就是说区间端点，有同学说了，老师，比如说 y 等于 x 方，我这么写啊，就是说他在夫穷 到零之间是单调递减的，大家都知道，那么如果我写负无穷到零这样一个开局键写单调递减，对不对？两个都对。你如果只是说这样一个端点，他这个位置写的是 b 选或者开选，这个不影响的啊，你写开写 b 都行，只要你算对中间那个区别的值就行了啊。 好，来看第三点，第三点的话一开始就说清楚了吧。人家呀，这个单调性一开始就说的是研究的是区间，什么研究是地域上某一个子级区间爱啊。所以说单调性不管是增还是减，还是说单调性， 说的是函数的局部性质啊。所以你说单调性的时候必须需指明单调区间，清楚了吧。啊，来看了 离就很好一道题，我们可以清楚看出这个图像的趋势来。嗯，那怎么说他是增函数还是减函数呢？我说其中两段啊，或者写清楚也行哦， y 等于 f x 在什么上面啊？首先 在这个负四到负二上，当然你负二这个地方，你写必选也行，写开选也行，我就统一都写上开选了啊， 他是单调递增的吧。然后呢，哦，在负一到一之间，他也是单调递增的啊？还有没有增选？有，在三到四上也是单调递增的，这是增区间。 那么减去间呢？是不是也有两段，我得写清楚啊，在负二到负一之间，他是个减函数，然后在正一到正三之间，他也是个减函数吧。你把这个单调性得说清楚啊。所以说一定要注意函数的单调性，必须指明单调区间啊。 来看了，接下来就是单调性的证明。关于这个函数单调性的证明的话，嗯，怎么去证呢？因为电影里头说了，任意的在某一个部分来第一步。第一步是什么？第一步就是假设 x e x 的二是区间 i 上的任意两个值啊， 我们取的是 x 一小于 x 二，那么当自变量的大小确定了之后，现在我们肯定想比较的是这个 f x 一和 f x 二的大小。百分之九十以上的情况都是做差变形的。做比变形必须要求分子和分母同正或者同负才行啊，所以我们百分之九十以上的，可能我们就用做差变形就行了啊。 变形完之后的话，你想知道他的正负吧，因为你想比较他俩的大小，所以要做差呀。那么做完差之后，看比零大还是比零小，如果这个东西比零大，比如说他大于零，那不就是 fx 一 大于 f x 二吗？结合一开始的假设，自变量 x 二大，但是对应的函数值小，那不就是说自变量越来越大，函数值反而越来越小吗？那最后下结论的时候，我们就说 f x 在规定的那样一个区间 i 上为减函数就行了， 能清楚吧？那么讲完这个之后的话，大家可能觉得干巴巴的啊，也具体不到例题上，我们讲到例题自然就清楚了啊。来第一步 怎么样取值吧，任取，必须写这样一个任意符号，或者写任取这俩字啊，都行，任取。他现在想证明的是 y 等于 x 方这样一个最简单的抛物线二次函数，在零的左边是单调递减的，怎么正？首先在区间服务群到零上任取两个数， x x 很重要啊， 任意取出来的 x x r 满足这样的大小关系， x c 小于 x r。 那么现在我如何比较两个函数值的大小呢？用作差的方法来作差完了之后的话，你到这可不行啊，你到这的话不容易比较大小。如果有同学要说，老师，因为你不行吧，所以怎样比较大小合适呢？ 你直接来一个平方差公式不就行了呀？请告诉我这个框里头是正的还是负的？就是第二框里头 x 一加 x 肯定是负的呀，为什么？因为 x 一 x 二都是小于等于零的， x 一还小于 x 二，所以肯定是负数，就算是负数加上零，那也是个负数。 那第一个括号呢？第一个括号是正的，负的小的数减大的数肯定也是负的。负负怎么样了反而得正了呀？下边就是分析过程，对吧？既然负负得正了，所以 fx 一是大于 fx 二的， 也就是说什么意思啊？当自变量比较大的时候，对了，函数值反而越小，那加上任意这俩字，不就是说在区间服务穷到零上，自变量越来越大，函数值反而越来越小，随着资变量增大，函数值变小了。所以最后下结论啊，下结论， f x 写明了这个区间啊，在负无穷到零上是单调递减的，或者说是减函数都行，都对。 好了，现在应该清楚这四步了吧，取值作差变形，定好，下结论，那么现在我就要考考你了，咱们来一个非常非常简单的反比例函数，他在零到正无穷，也就是说那个图像在第一象限的部分肯定是个减函数。那么怎样严格的 来证明呢？用单调性的定义来证明呢？首先第一步，取值吧，取值的话，你肯定是任取 x e x r， 不妨假设 x e 小于 x r， 缩差变形吧，用函数值减函数值，那么最后通分之后为什么要通分？因为通分之后他就是一个除法关系，你看这个分子是正的还是负的，大的减小的，所以是正的，你看这个分母是正的还是负的。 你看好了， x x 二都是正数，所以两个都是正的，正数比上正数容易判断正负吧，所以要这样处理啊，既然大于零的话，其实我们后边应该多写一步， f x 一是大于 f x 二的，也就是说对于任意的自变量，当自变量比较大的时候，函数值反而小了，所以说这个函数在零到正物群上是单调递减的，是个减函数，清楚了吧？ 曲直坐插变形，然后定号，然后下结论。这四步一步都不能少，就是单调性证明的标准过程。 我们来看第二步啊，其实这个函数人家有专门的名字，我之前呢也详细的讲过他叫什么函数，叫对勾函数，因为他这个对勾函数，他的形状就很像一个对号啊。咱详细先不说，之后讲完就先再来说啊。来 函数怎么了？他在一到中求上是曾函数，怎么证明呢？哎呀，在一到中求上任取两个数，不妨假设 x 小于 x， 当然你要假设 x 大于 x， 最后结论，不会变的啊，来继续 做差吧，变形吧。变形变到这一步之后的话，你说现在容易判断正负了吗？好像还不太容易判断正负啊， 大家可能不知道哎，这个等号它是怎么出现这个东西的？其实好说， x 一减 x 二，这俩合并了一下，然后 x 一怎么样？分之一，然后再减去 x 二分之一。那接下来的话，我们只需要怎么处理呀？通分一下吗？那就变成了 x 一乘 x 二， x 二减 x 一，现在清楚了吧。所以你既然提出来的是 x 一减 x 二的话，这这个位置肯定剩下一个一是一乘它啊。 后边这个位置，你提提出来的是 x 一减 x 二的相反数吧，所以会剩下一个负的 x 一 x 二分之一，这个知道怎么变上去就行。那么变到这一步之后的话，接下来判断正负还不太容易。我建议你就因式分解啊，或者配方写成那种容易判断正负的形式。 首先它是正的还是负的？它是负的啊，小的数字减大的数字，其次呢，它是正的还是负的？ n、 x， e， x 二都是大于等于一的，所以它是正的，都是正数。那现在，哎呀，好算吗？ x 一 大于，怎么 x 一是大于等于一的啊？因为 x 二是大于 x 一的，所以说我这个 x 其实肯定比一大。那你左右两边相乘吧，所以 x 一乘 x 二就大于一，大于一的话，那不就相当于 x 一乘 x 减一大于零，原来他也是正的，两 和正数相除是正的，再乘一个负数，确实小于零。这个讨论过程其实应该体现出来，一开始的时候好， 既然小于零，那不就意味着 f x 一必然小于 f x 二吗？当自变量比较大的时候，在这样一个区间上，函数值一定比较大，所以现在可以下结论了吧。所以函数在 一到正无穷上是一个曾函数。那么讲完前两个之后的话，还有两个需要你掌握，你就背，过程你也得背会。当然了，杨老师最重要的还是希望你能够理解。我们来看第一个根号， 对于这样一个根式的话，首先定义域就是领导中文穷，如何验证呢？第一步完全一样，在领导中文穷上认取 x 一 x 二，并且假设 x 一小于 x 二，接下来就得剪了吧。剪完之后的话，大家非常非常容易犯错的一个地 地方是什么呢？啊？我们这么分析了，因为 x 一小于 x 二，所以根号 x 一小于根号 x 二，所以这个地方就能够写小于号。呵呵， 错了，知道错在什么地方了吗？循环论证了，人家现在是让你证明这个函数是个增函数呢，你怎么就直接利用结论了？用结论来证明过程，这是犯忌讳的，这是最大的忌讳。证明题里头 你犯了循环论证的毛病了，你现在还不知道 x 变大的时候， y 已经变大的，也就是说你现在还不知道函数在零到征询上是递增的， 你要证明他的，你不能使用这个结论啊。你画圈里头这两步就利用了结论了，结论还没正完呢，你就用结论啊，是不是循环论证啊？啊？自变量大了，函数就大了，你不就已经知道他是正函数，你还正常干嘛呢，清楚了吧。啊，不要犯这个错误啊。所以接 接下来怎么办？嗨，他不就是比上一吗？比上一嗨，接下来就是什么？来一个分子有理化嘛，根号 x 一加根号 x 二，分子分母同城这个东西，分子就变成了 根号 x 一减根号 x 二啊，你也乘一个相同的根号 x 一加根号 x 二来，不用我多解释了吧，分子里头不就是一个平方大公式，轻而易举的分子里头就变成了 x 一减 x 二了， 你说这个位置是大的还是小的，是大于零还是小于零一目了然。小的减大的哦，负数根号加根号肯定是正数，负的比上正的小于零， 清楚了吧。所以现在才能够说，无论你这个 x 一 x 二怎么取，只要是自变量比较大的时候，函数这一定比较大，所以下结论啊。所以说这个函数 在规定的领导种球上是增好函数。现在清楚了啊，那么再来一个什么？这道题记住了，分子有理化这样一个技巧。第二题的话是 这样，证明 y 等于 x 三次方，这样一个立方函数，在定域上，它这个定域其实就是 r 啊，在 r 上是一个增函数。为什么呢？ 看，首先这个地方我们就不写 d 了啊，我们写成 r， 不妨假设在 r 上 x 一小于 x 二，那么接下来这一步，谁都会注意。这里有一个立方差公式啊，我之前讲过，就不再详细讲了。立方差公式 变化大公式的话，第一个括号很容易判断正负啊，小的减大的，那必然是个负数，但是他是负数的话，第二个括号里头，大家看他呢是什么？他是反正是大于等于零啊，因为 x x r 是什么数啊？是任意十数嘛，平方的话，肯定 也是大于等于零，但是啊，这个里头万一压 x e x 二，一个正一个负，他有可能是正的，也有可能是负的，甚至有可能是零，如果中间是负的，两旁边是正的，那有什么用呢？所以你写到这一步啊， 还无法判断第二个括号里头他究竟是正的还是负的。所以接下来的变形，你必须变形成容易判断正负的形式。怎么变形了？大家难道不知道一个平方差公式吗？ a 方 加二 a b， 哦，知道了，二 a b， 那接下来肯定就是四分之 x 二的平方啊。那你把 x 二的平方分成四分之一和四分之三这两部分，那不就 行了吗？那你说前三项是谁？前三项其实就是 x 一，再加上四。呃，这个二分之 x 二整体的平方啊，平方再加平方， 那个是正的了吧？哎，清，现在清楚了吧。所以经过刚才配方的这样一个小小的技巧，我们就画成这样一个形式，首先前头肯定是负的，后边有同学可能要跟我打别扭了，他是怎么说呢？他说老师，他平方只能说大于等于零，万一他俩都等于零呢？不可能啊，同志，你想什么时候等于零？ 只有 x 一等于 x 二等，并且它俩都同，同时等于零的时候，这个地方才能去零啊，否则其他情况都是正数的。为什么 你看了我们假设的就是 x 一 x 二就不可能相的肯定是一个大一个小，所以那个等于零的等于号肯定取不到的肯定是正的啊，你也不用想去说什么，你就知道他是正的就行了。 负的成分呢？小于零，也就是说 f x 一必然是小于 f x 二的，也就是说在实数范围内，自变量比较大的话，函数值一定比较大，所 随着字面上的增大，函数值越来越大，你说是不是增函数，那这个地方也是改成 r 啊，所以说 f x 在 r 上是增函数，这道题的技巧是配方，上一道题矿山，它这个技巧是 分子有理化清楚了吧。那么我们继续往后啊，来看。第三点，复合函数的单调性，大家只需要记四个字，其实啊，中间这个表格你爱看的话就看，不看也不要紧，什么叫同等意见？首先我们看一个复合函数啊，他的话，最简单的复合函数他也是分成了两层， 它这个外层的话写的是 y 等于 f u， 这个 u 是外层函数的自变量，那么它这个内层函数的话写的是 u 等于 j x， 那么在内层的话，这个 u 是作为内层函数的函数值来的。看，现在有了这一条之后的话，什么意思啊？就是当内层 层和外层现在看了，内层函数，如果是增的，外层函数是增的，那最后这个复合函数就是增的。继续来看另外一条，如果内层函数是减函数，外层函数是减函数，他最后复合以后 还是增，有点负负得增的意思。如果说内层函数和外层函数一个增一个减，那复合函数肯定是减函数。如果内层函数，你看嘛，如果内层函数是减的，外层函数是增的，那复合函数确实是减的。所以什么叫同增异减？同增的意思就是内层函数、外层函数单调性相同， 复合以后就是个增函数。什么叫意减啊？内层函数和外层函数单调性相反，那复合以后，他这样一个复合函数就是减函数。现在应该清楚同增意减的意思了吧？那想起来介绍。这句话我已经介绍完了。那怎么 来理解呢？很好理解啊，比如说啊，外层是一个减，内层也是一个减，随着 x 变大，这个优变小吧，因为减函数就代表自变量和函数值，他这个变化确实相反。 哎，随现在看外层啊，现在看外层，随着外层自变量的变小，函数值肯定变大吧，因为他都是反过来的。你看 自变量函数值啊，它的趋势反过来，自变量函数值，它的趋势反过来，你反了两遍，相当于没反。所以最终我们看的是 x 和 y 的关系，随着 x 变大， y 一定变大。所以说，当内层函数和外层函数都是减函数的时候，最终的函数 确实一个增函数，这是不是很有意思啊？记住同增异减这四个字，那么它的话还是大有用处的，尤其是小题里头啊，大题也可以用。我们看一减 x 根号这样一个函 函数，所有的函数问题是不是应该先求的是什么？先求的是定义域啊，我们这个定义域的话，一减 x 小于等于零，所以说他的定义域就是什么呀。一减 x 大于等于零啊，所以 x 应该是在服穷到一之间的。在这样一个定义域内，我们看内层， 这个内层，一减 x 是个减函数，我们看外层这个外层外等于根号，又是个增函数，内层减，外层增，所以说负和函数怎么样，我们写清楚了。再富无穷 到一上，它都是减的内层函数，外层函数单调性相反，所以说复合函数它就是个减函数。写清楚了啊，来看第二个啊，第二个也是这样，首先它的定义率是 r， 其次这个内层函数的话，也就是说这个 u 等于 x 方加一，它是分成两部 部分的啊，也就是说当 x 在零到什么正无穷的时候是个增函数，当 x 在负无穷到零的时候，是个假函数。 y 增函数的话，咱们这样来看，根号 u 永远是个增函数，所以应该分两段吧。所以说 y 等于根号下 x 方加一 在哪啊？在 x 属于零到正数上，内层外层都是增，它就是增函数吧，符合函数， 那么在零的左边，也就是负五行到零的时候，内层函数，外层函数单调性相反，所以它是个减函数。应该这样来看，好清楚了，也不是很难。那第三个呢？ 第三个我们首先要求的是什么？要求的是定义域啊，他这个定义域的话，我们可得写清楚了， x 方减三， x 加二大于等于零，那 x 减一， x 减二大于等于零，所以定义域的话，大取两边，小取重点，那就是夫穷到一一的左边吧，然后还有这个二的右边。那么我们来分析的话，你说他内层这个函数好画吗？我们先看这个内层啊， 内增函数优等于 x 方减三， x 加二，很好画呀，我们画一下这个 x 轴，它开口是向上的。 哎，为什么用虚线？我相信大家应该知道我的意思，他意思就是说一的左边是个减函数呗，二的右边是个增函数。啊，那我清楚了， 在 x 服务穷到一上是个什么呀？它是个减函数，当 x 在二的右边的时候呢，它是一个增函数，然而外层呢？外层不就是一个根号，由它永远是单调递增的吗？所以我们最后综合的写一下 这个复合函数， y 等于 x 方减三， x 加二，它在夫穷到一之间， 内层函数是减，外层函数是增，所以统增一减，他是个减函数啊，一的右边内层，外层都是增函数，所以他是个增函数，现在肯定清楚了吧。啊，当然当然，这个地方应该写二的右边啊，这个地方写二的右边。那好， 讲完了这个复合函数单调性之后，最后就剩一点了。单调性的应用其实主要是利用单调性求参数啊。看了，首先看 f x 是减函数，如果我给你打包看成一个整体，这个整体是 t。 哎，你说这个 f t 和 f e 的大小怎么判断呀？那其实就是看 t 和一的大小来，你看这个整体合一怎么比大小啊？我们看第一个嘛， a 方减二， a 加 三配方，他其实就是 a 减一的平方，再加二，他肯定比一大哦，也就是说 a 方减二， a 加三，比一大了。那这样一个 fa 方减二， a 加三和 f 一哪个大哪个小？里边的函数值大， 他这个怎么样？自变量大，函数值反而小，这其实就是减函数的特性啊。减函数什么特性？自变量的趋势和函数值的趋势正好反过来的，这就是减函数。所以大小关系，第一个横向就这么写就行，是个小于号。我们来看第二个，第二个的话是 他在 r 上是个减函数，如果他在 r 上是个减函数的话，那不就意味着里边这俩字变量，一个是 m 加一，一个是二 m， 他俩是大于的关系还是小于关系？因为是减函数，所以这个应该反过来吧。 应该是大于吧，字变量大的时候，函数值反而越小嘛。所以这样一解的话，最终就解完 m 小于一了，所以取值范围我们写成集合， m 小于一写完了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下集课再见！

函数的单条性，同号递增，一号递减，你知道吗？函数的单调性，说白了就是函数的增减性，描述的是他的图像是往上走的还是往下走的。 初中也学习过增减性，比如说递减的一次函数，我们就会描述成外随着 x 的增大而减小，或者外随着 x 的减小而增大。那这里的规律呢，就是外与 x 的变化趋势是相反的。 对于一直往上走的直线呢，我们会说外随 x 的增大而增大，或者呢外随 x 的减小而减小，那外与 x 的变化趋势呢，就是相同的。初中对于增减性的描述呢，非常形象。那到了高中呢，我们会把这些语言呢转化成代数式。 现在有一个二参数在外轴的左边呢，他是往下走的，那外轴的左边这一句话我们就要用区间来表示，也就是从服务 从拉到零，他一直往下走的。这个趋势呢，我们需要找两个点来对比出来。首先找了一个 x 一，对的函数值呢是 fx 一，还有一个点呢是 x 二，函数值呢是 fx 二。当 x 一小于 x 二时， 从图像上可以观察到， fx 一呢，是大于 fx 二的。这两个式子呢，就可以理解成随着 x 的增加，人数值呢是在减小， 那 x 跟 y 的变化趋势呢，就是相反的。我们就说函数在这个区间内是单调递减的，那同理。再来看单调递增的这一段，在外轴的右边呢，给它描述成零到正物穷大。这个区间内还是要找两个点， x 一，还有 x 二。当 x 一小于 x 二的时候，对的函数值 f x 一呢，是小于 f x 二的，也就是 x 的变化跟函数值的变化，他们是同 同步的，这个时候我们就说函数在这个区间内单调递增，这些呢就是从文字描述到符号语言的过程。对于单调性的定义呢，还有几点需要注意。假设函数 fx 定义为 i 区间， d 包含于 a， 为什么会出现两个区间呢？ d 还有 a 是因为到高中学习的函数有些还是比较复杂的，有增有减，那这个函数整个定义域呢？给他记为，哎， 在这里边呢，把增加的部分或者减少的部分单独拿出来看的，他呢就相当于整个定义域的此结。就这句话的意思，在这一小段上呢，随便找两个点， x e x 二来对比他们的变化。这里要注意的就是 x 一 x 二，这两个点呢，他是任意的， 也就是所有的点都要满足后边的这两个式子。当 x 一小于 x 二时，有 f x 一呢，小于 f x 二。刚刚解释过这 这句话呢，就可以给他理解成，随着这个 x 的增加，他们的函数值呢，也在增加。两个式子他们的符号是一致的，就给他总结成同号递增。那同理， x 一小于 x 二， f x 一呢，大于 f x 二，一个小于一个大于 x， 值的变化与函数值的变化是相反的， 所以呢，就是一号递减。除了这些呢，单调性的定义呢，还会有其他的描述。我们刚刚说同号递增，也就是说这个式子跟这个式子他们的符号是一致的。 现在呢，给他一项就得到 x 一减 x 二， fx 一减 f x 二，这两部分他们是同号的， 那可以继续往下推，他们的成绩大于零，或者他们的比值大于零，都表示这两部分是同号的，只要所有的点都满足，下边这些柿子，我们也可以说他是一个单调递增的，对于单调递减两个柿子，他们的符号不一 一样，说明这两部分他们是一号的，那他们的成绩或者他们的比值呢，都小于零，那最终呢，其实只需要记住八个字就可以了，叫做同号递增，一号递减。 下面呢，我们来看个例题，一致函数 fx 是定在零到五上的，增函数 m 呢，满足这个十字球 m 的取值范围。 根据提议呢，我们可以得出来两个信息，第一个呢就是 fx 是一个增函数，第二个呢，左边这个 f 比右边这个 f 要小，既然是单要递增的话，那说明 x 值越小，对呢，函数值越小，所以这个式子呢，可以不看 f， 直接看括号里边的大小。可以得出来，左边这个括号 肯定是小于右边这个括号的，就得到 m 加一小于二减三 m。 同时这个函数有个定义域要求就是零到五，那要保证这个括号里边的数得在零到五之间，后边这个括号里 的数呢，也得在零到五之间。这三个不等式的要同时满足，分别解一下他的范围，最终呢再取交集就可以得到 m 的范围呢是负一到四分之一之间，这个呢就是单调性的简单应用，今天讲的单调性的定义，你听明白了吗？

大家好，今天我们继续来讲导数与函数单调性之间的关系，那么教材上是这样引入的啊，大家来看一下。你看图中其实这个函数的话，我们完全可以理解为之前学过的一个非常熟悉的函数，哪个函数呢？ y 等于 x 方这样一个抛物线， 显然这个抛物线在外轴左边，它是单调递减的，在外轴右边，它是单调递增的。那么如果通过求导的这样一个方法判断断掉性，怎么判断呢？也可以判断啊， 函数的切线，其实它就是倒数，那么切线的斜率的正负其实就是倒数的正负，它是可以反映函数单角性的。具体来说，倒数 f 撇 x 零，咱们以哪个点为例啊？ 以这个点 a 为例，它的横坐标是 x， 零，那么这个切线的斜率的话，显然是等于多少？是等于 f 撇 x 零，之前是讲过的，那么 么这个斜率显然是往上走啊，直线往上走，不就是斜率大于零的意思吗？好，我清楚了，当这个导数大于零的时候啊，怎么样？此时他这个 fx 在 x 零的附近，在点一的附近，确实是单调递增的，导函数大于零，就是原函数单调递增的意思。 那反过来我们看另外一个点啊，点臂左边这个是点臂，那么点臂的话，横坐标是 x 一，它的切线呢？我们也已经做出来了， 显然它的斜率是多少？它的斜率是 f 撇 x 一，显然是小于零的，因为它这个切线往下走，当然斜率就是负数的意思啊，此时应该清楚了吧， 原来导数小于零的时候，就代表圆函数单调递减的意思啊，那么继续来看第二点啊，第二点的话，也是教材上的这个图像 更加具体一些吧，显然，在一的左边单调递减，一到四中间呢，是单调递增，然后啊，四的右边就大于四的时候呢，他是单调递减的。那么看图这一看就看出来了呀，啊，你看， 在一到四中间，倒数是个正的吧，你随便哪一个点做一个切线，它都是往上走，所以说倒数为正，就是单调递增的意思， 然后导数为负，就是单调递减的意思。那么在 x 等于一和等于四这两个点处呢？在点 a 和点 b 处，它的导数当然是正好水平的了，所以点 a 和点 b， 我们称为极小值和极大值点啊， a 点的横坐标一就是那个极小值点，然后这个四呢，就是极大值点。 继续来看，如果是大题，我们如何快速的通过导函数来判断原函数的增减性，这样 来判断，如果说啊，函数在某个开区间内，比如说 a 到 b 这样一个开区间内，倒数大于零，就代表在 a 到 b 上，原函数是一个增函数，那么反过来，如果 a 到 b， 它这个 他的导函数为负，那么原函数就是单调递减的意思。是这样的，其实我们可以举个例子，我这个箭头啊，只能向右，他不能向左，也就是说呢，这个 f 撇大于零和这个函数是增函数，他是一个充分条件，而不是必要的条件。 那么为什么会这样呢？我们举两个例子，你自然就清楚了啊，我们判断的时候呢，先看第一个例子， y 等于 x， 三次方经常做题的时候，其实啊，我们不是说严格大于零，只需要 f 撇大于等于零，也可以判断这个函数在高中阶段啊， 它是单向递增的，为什么会这样呢？我们就拿 y 等于 x 三次方这样一个立方函数为例啊，求导它的话，三 x 方显然永远是大于等于零吧，只有哪个地方，你一画图，其实你就知道它这个函数非常特殊， 在 x 等于零，在圆点这个地方啊，它的切线是水平的，对吧？当且仅当什么 x 等于零的时候，我们这个导函数才能取到等于零，其他地方都是严格的大于零，也就说零的左边 严格大于零，严格单调递增，然后呢，零的右边当 x 大于零的时候，他这个三次方立方函数也是单调递增，零的这个原点处呢？原点处他就放到那了，稍微停了一下，实际上原点他这个点叫什么呢？我们可以把它称为注点，注点 就是停了一下又往上走的意思，只停一下啊。所以呢，在函数里头，如果只存在一个点，他的导函数等于零，比如说立方函数，其实这个函数还是在整个定义而上是单调递增的，就这样一个立方函数。记清楚这个例子啊， 那么另外一个例子呢？就是常数函数啊，另外一个例子，为什么呢？如果你有连续的 y 等于一这样一个常数函数，它的图像非常好画，你只需要画一条水平线就行了， 是这样吧，画完这个图像之后的话，他的导数常数函数吗？他的导数永远等于零，他在每一个地方都连续的，他这个导函数都都等于零，是水平的。那此时我们就不能说 y 等于一这个常数函数 是单调递增或者单调递减的了，他既不单调递增，他也不单调递减，他是个不增不减的函数，对吧？是个常 数函数，理解清楚了吧？那第二条和第三条其实都差不多，你理解一下就行了。所有的函数问题，我们应该优先考虑他的定义域，其次是让导数等于零，解除导数的零点了。为什么？因为我们之前刚说完啊，导数为正的时候， 圆函数在对应的区间上是个增函数吧，导数为负的时候，圆函数在对应区间上是个减函数。所以说导数主要是跟零比较呢？我们求出导函数所有的零点来，还有函数的间断点。 那可能你要问了，为什么要求间断点啊？如果你不求间断点的话，会产生这样一个后果，比如说 x 分之一这样一个反比例函数，你不求定律啊，不求他的间断点，直接来了个求导啊，负的 x 方分之一小于零啊。所以有些人就说了， 老师他在整个 r 上是单调递减的，就这样一个 f， x 肯定错了。为什么错了？原因很简单，因为首先他的定义域内就没有 x， 零， 懂了吧？ x 等于零是没有定义的，它是一个间断点，是没有定义的这样一个点，懂吧？啊，所以应该清楚我的意思，你应该写的是，夫穷到零上 是单量递减的。零到真空球呢，也是单量递减的，用逗号隔开也行，写盒子也行，但是就是不能并起来，如果你并起来就不行了，原因在于他就是一个没有定义的点，原来 x 等于零这个点没有定义是间断点的话，是不能连起来写的， 清楚这个意思吧，你可以写上这样一个，嗯，例子啊， y 等于 x 分之一。第四点的话，就是根据我们刚刚确定的所有的导函数的零点，还有定域里头的间断点， 然后把整个定义分成了好多好多段，根据每一段上倒数的正负来判断元函数在每一小段上的增减性。那么第三点的话也是这样一个总结，知道就行了，一定记住， f 片大于零是函数增函数的充分条件，他不是必要条件啊。 那第一点的话，第一题咱们来简单的说一下， y 等于 x 这个函数，导函数会画吧，原函数给你了。导函数很简单呀， y 等于一，我们画一个 y 等于一的长数函数就行了，这个地方是一，好了，原函数导函数继续看啊。 第二个呢，也是左边是单调递减的， x 大于零的时候呢，是单调递增的，所以我们求导之后的话看一下。二、 x 确实是啊，你看在导函数的图像啊，下边这个， 嗯，在原点左边他就是负的，倒函数在原点右边他就是正的，所以原函数就代表递增，符合我们之前总结的这样一个规律。 那么 y 等于 x 三次方，在整个 r 上都是单调低增的，所以它的导函数你判断一下怎么样？三、 x 方它就是大于等于零，只有当 x 等于零的时候， 才怎么样才能够让导函数等于零停了一下吧。所以说圆点其实就是那个注点的啊，是这个意思吧，行，分析清楚了。那么其实我们刚刚从这三个图，圆函数和导函数之间的关系啊，可以总结出来， 当导数大于等于零的时候，原函数是单调递增的。当导数小于等于零的时候，原函数是单调递减的，只不过这个等于号，不要让他一直去那个等于号啊，某个别的 点不连续的点取到等于号等于零，没关系啊。嗯，来看第二题，第二题啊，两道题。第一道题先给你导函数的，注意，我们右边这个图是 f 撇 x 是导函数的图， 显然导函数的特点是什么呀？他在零到几之间告诉我哦，他在零到，应该说是负穷到二之间吧，到负二之间他是负的啊，我们先写个减号，然后在这个负二到零之间呢，导函数是正的， 然后到零到正无穷呢，又变成负的，所以约函数单调性就确定了吧。先减后增再减，所以负二左边必须是个减函数， a 和 d 好像都符合这个要求啊。然后呢，继续来看负二， 二到零是个增函数哦，然后呢？他这个零到钟琼又是个减函数，那只有 a 选项是符合要求，其他都不符合。那继续来看第二题，刚才是给的导函数，现在给的是原函数啊，原函数，我们从这个原函数啊 x 小于零的这一部分呢，可以看出来。 圆函数怎么样，在零的左边永远是单调递增的，所以在零的左边，这个导函数应该是个严格，是，这是一个正数，对吧？啊，好了，所以说在外轴左边， 他这个导函数的图像应该怎么样？他这个导函数的图像应该他是严格在 x 轴上方，那只有 b 和 d 是符合要求的，那在零的右侧呢？当 x 大于零的时候，我们啊这个元函数看，这就是元函数增减增吧，先增 后减再增，那倒数的正负的话，他应该是先正后负再正。在图像上来说，就是先在 x 轴上方，再到 x 轴下方，再到 x 轴上方，那只有四 d 是符合要求的，清楚了吧？导函数跟元函数之间的这样一个关系， 导函数的正负决定了原函数的增减性。那例三的话，我们就来详细说一下大题怎么去写了。 首先第一题我们应该写的是什么？应该写的是定义域啊，他定义域是 r 求导吧， 这个求导的话，相对来说是比较容易的啊，我就快速的来写一下了，把三提出来呢， x 方减二， x 减三，音是分解之后就是 x 加一，再成了 x 减三了，所以我们让这个导数啊，等于零 零得出两个解来，一个是负一，另外一个是三。其实这个导函数的图像也是非常容易画的，开口向上的抛物线，这是负一，这是三吧，那清楚了，所以既然在负一的左边，也就是负无穷到负一， 我这个倒数是小于是大于零的啊，所以说函数呢，原函数就是单调递增的负一到三，我这个倒数小于零，那原函数就是单调递减，同样的三到正无穷倒数啊，他是严格大于零，所以说这个 元函数就是单调底层增减增，就这样一个关系。那么第二题，这个圈二的话怎么回事？圈二的话，他不就是好？其实第一步你应该先求的是定义域啊，他的定义是零到正无穷。 学到以后我就直接写他的结果了啊。嗯，写出来之后的话，是 x 分之二倍的 x 方减一，其实这个分子的话，可以因式分解， x 加一乘 x 减一，你要注意一下，因为边域 x 是大于零的，所以 你这个二倍的 x 加一其实也是大于零的。懂了，也就是说让这个导航数等于零，我们只有一个结， x 等于正一吧。哦， x 等于正一的话，那就是零到一之间， 他这个倒数怎么样？显然是一个负数，所以零到一之间，元函数就是单调低减的， 一到正无穷。我这个导函数，它的正负仅仅取决于 x 加一这个正负嘛，所以说它是正的，那原函数在一到正无穷上就是单调递增，就这样一个了。但是一般这种问题，咱们最好是写 写一下。综上所述啊，因为不止一种情况。那还有第二题和第三题，我们先来看第二题。第二题的话，首先，其实即便这道题他没有让你求定义欲，你第一步也应该先求出这样一个定义欲来，他的定义欲的话，就是富无穷到 a 在病上， a 到争穷，知道为什么吧？ 因为分母是不能等于零， x 是不能取 a 的，是这样一个道理。然后通过求导的方法，我们先求导啊，求导详细过程我就不写了。 最后，求导完了之后，是 x 减 a 的平方，再乘以 e 的 x 次方，这个里头是 x 减去 a 加一这样一个整体。如果一开始没有求定义域的话，很多同学会这样做。 老师，我知道分母肯定是二大于等于零，不用管了，然后分子一的 x 方也不用管，主要是什么？哦，原来让这个导 倒数等于零，我们得出来一个结，就是 a 加一啊，所以夫穷到 a 加一上，怎么样？是单调地讲的？因为倒数为负，然后 a 加一 啊，当 x 大于 a 加一的时候，呃，这个导函数大于零，那这肯定就错了。为什么？很简单， 因为 x 是不能等于零。你怎么哦？应该怎么办？应该是负无穷到 a 上，倒函数为负，但在底线， a 到 a 加一也是单调递减，然后呢？ a 加一到刚才的正目全部单调递增，也就说这两段是单调递减，是必须分开的。 x 等于 a， 这个地方是没有定义的，清楚我的意思了吧。啊，好，继续来看第三题。第三题的话就涉及到分类讨论。分类讨论的话，我们最重要的是把分类讨论的依据给考虑清楚了。首先还是先把这个定义 写上。定义是多少啊？定义的话是零到这么穷，写完定义的话，求导，求导的话是 x 等于。嗯， f 撇 x 等于负， ax 加二，分母肯定是正的， x 大于零嘛，不用管它。 也就是说呀，你这个正负仅仅取决于这个分子里头的负。 ax 加二，这是一个什么函数？是一个依次函数，这个依次函数主要取决它的写率吧，它的增减性。所以你看 g x 正负就是 f 撇的正负啊。如果说这个负 a 大于等于零的话，他跟外轴永远交于零的话。二这个点 你看 y 轴右侧吧，它这个图像永远是在 x 轴上方。我清楚了，所以分类讨论的依据实际上就是这样一个依次函数的增减性，或者说依次函数的性质。那第一点，分类讨论依据就是 当负 a 怎么样大于等于零，其实也就是什么 a 小于等于零的时候， 这个时候呢？这个一次函数负 ax 加二永远是在 x 轴上方的，也就是说 f 撇肯定是大于零，你将 f 撇肯定大于零的话，所以 f x 在整个定义与零到正宫群众上都是单调递增的。那第二类肯定就是 a 小于零的时候， 这种情况下呢，我们让这个 f 撇儿等于零，求出来 x 等于 a 分之二，那肯定是以 a 分之二作为依据啦。 零到 a 分之二之间这个导数怎么样啊？大于零吧。所以说原函数在零到 a 分之二是一个增函数，但是 a 分之二到正无穷的话，导函数啊，你根据一次函数图像或者性质吗， 就得出来这个圆函数在 a 分之二到中轴上是单调递减的。应该清楚我这节课的内容了吧，但是写到这之后的话，分类讨论的题目一定要写什么？一定要写综上 所述，综上所述几种情况，两种情况嘛， a 小于等于零一类， a 大于零一类。最后把这个单调性说清楚就可以了。分享课堂知识，感受数学之美。我是万老师，下节课再见！

各位新高一的同学大家好，我是数学老师王老师。呃，我们今天来练习函数的单调性及单调区间。第一道题，下列个函数中，在零到重无穷上是增函数的是这个是直线型的斜率，需要零，他一定是个减函数。第二个函数必答案，这是个抛物线， 因为没有长竖。像我们呢，可以快速算出与 x 的交点和与 y 轴的交点是零三零三，这里我就可以确定出他在零的重圈有减有增。 第三个是反比例函数，应该过二次象限，过二次象限在零到正无穷上刚好是增函数，所以答案选 c 得答案。这个绝对值函数再加个符号， 你可以先画去对折函数数，然后整体加符号，就是沿着这个 x 轴翻折，他刚好在这个 x 轴的下方，所以在零的中控图上是个减函数。 第二题呢，说这个二参数在三到中五球上递增，这个二参数是开口向上的，哎，我假设 随意画一个他的草图，然后把对称轴取出来，是负的二分之一，三到中控条上递增，那我就可以判定三应该是大一点。负的二分之一的这个三到中控球就出现一定在对称轴的右边或者三，这个端点刚好跟对称轴重合，两边同时乘以负二， a 就大于等于负六选 b。 第三题重点，你先把这个定律求出来，就是五减四， x 减 x 方大于等于零，我们把它看成开口向下的二参数，十字相乘，这是五一，然后呢，负 xx， 这时也就说他开口情况下，与 x 的焦点一个是负，一个是这个一，那么因大于零，所以 x 的取出范围就是 大顶负五小于等于一，那我们看地增区间在哪？应该在负五到对称轴，这个对称轴是不是刚好是负二啊？所以就负到负二是个单调递增区间。第四题练习的同样，我们先把这个定律解出来，他是大于等于零的因式分解， 也就说这个二次函数开口向上与 x 数焦点一个是三，一个是这个负一。 哎，这是大于等于零的部分，在哪呢？要不就是 x 小于等于负一，要不就是 x 大于等于三，我们看再找递增区间，递增区间应该是在三到，结合图像三到正无穷，所以答案选二 b， 然后下一个题，下一个题，这个是这样的说 fx 等于三 s 加一的绝对值，他的单调减去键是负穷的三，然后求这个 a 的值。你首先需要 会画三 x 加一的这个图像的草图，你想他是一条直线，画完之后，然后夹角的直就是指沿沿着这个焦点向上翻折。那这个焦点是不是 x 等于负的三分之一啊？负的三分之一， 这个是负的三分之一，那么单调递减区间是负穷到负三。结合这个条件我就知道了， 这个负三分之一跟这个负三的一个关系，因为他的单调地点曲线是完整的，负负重到三，那我的单调地点区间是负重到负三分之一，他端点值一定是对上了，也就三等于负的三分之 aa 就等于三三得九，负九。答案选三 c 实体家里绝对正确的是四个的选项都是让我们选区间的。那我们先把这个函数画出来，画剪出来，无非就是带个绝对值，当 x 大于零的时候去绝对值是它本身 大于等于零的时候， x 小于零的时候，区觉对值是他非相反数，这时候我们画出图像就可以知道单调区间了，然后我们只需要画出图像就可以看出他的增点区间了。你比如说 x 大于等于零的时候， 是这样的一个图像，与 x 这是对称轴是一，与 x 小圆的时候，开口向上对称轴是负一，是这样的一个图像，所以这个增区间应该是从负一到一。那我们看题中给的增区间，那得答案是符合题的。然后其他的减区间你要分成两段去说，负穷的负一和一到正无穷。 下面立期这个函数我们看说要解是个分段函数，减 fx 小一点 x， 那么在这里边我们就需要对应的不同的定义去建立不同的不等式。你比如说 x 大于等于零的时候，希望呢是 x 方减二， x 小于等于 x， 如果 x 是小于零的时候，相当于是 x 分之一小于等于 x， 那我们解第一个是相当于是 x 方减三， x 小于等于零， 这是减一二次不等式。零三小于等于零的解集是在哪呢？是在零三之间最 x 大于等于零，小于等于三，这是一个答案，对吧？在这个小于零的里面呢，我两边同时称 x 区分母，因为 x 小于零不等号改变方向， 所以相对 x 方小等一开跟 x 小于零大于等于负一，那综合起来就是负一到三应该都是符合题的答案，就应该选 a。 然后第八题，在零到正无穷上是单调减函数 f 二， a 减一大于 f 三分之一。首先啊，这里我们我们要 二 a 减一必定在定域内，所以他肯定是大于等于零的。再次，减函数，函数值越大，自卑量越小，所以二 a 减一应该是小于三分之一的。这两个求解，我们要取交集，那第一个解出来， a 大于等于二分之一，第二个解出来， a 是小于 三分之二的，大于等于二分之一，小于三分之二。答案，选四得 第九题， f x 在定义的在零到正骨球上的单标增函数，这是增函数，若有这个式子成立，则 a 的取胜范围。那这个题我们需要注意的，它是增函数，函数值大，自备量也大，肯定有 a 方加 a 加四大于二，一方减五， a 加四这样一个不等式，同时我们只需要再保证这个最小值二一方减五， a 加四大于等于二就可以了，他肯定要在第 定域内嘛。然后这样同时去求解，解出来这个 a 是大于零，小于等于二分之一，然后获 a 大于等于二小于六的。这样我们选的答案十三 c。 第十题就单调 d 增区间，我们看这个分母是个二参数，这个二参数它不等于零，然后它的增区增减区间是在在分母，这可以去给它分开啊，也就是说 分母我可给他看成 t 等于 x 方减二， x， 他是开口向上的，开口向上的，那么从哪去分呢？ 因为他分母不能等于零，所以这元素指导点，一个是零，一个是二，对称头是一，那应该分成几段？一个是服从到零，在分母是减的，在零到一分母也 也是减的，然后一到二分母是增的，二到正无穷，分母是增的，这时候我取到处之后，减函数就会变成增函数，所以找增区间就应该找这两个减区间，一个是富穷到零，一个是零到一，所以答案选二 b。 第十一题 f x 是这样的，然后让我们说 f x 二到中国群众上是单调递减了，求 m 的取值范围。这时候同学看这是一次函数比一次函数的形式。我们要想到我们讲的分离常数法， 分子写上 x 减 m 加 m， 分母是 x 减 m， 拆开就是一加上 m 比成 x 减 m， 题中提到了他在定义上是单调递减的。 那我们来看一下单调递减呢？我们当时讲过，这里边 m 一应该是对称中心， m 一应该是对称中心， 有反比孩子的性质，当分那个上面 x k， 这个 k 大于零，他才是低减的。所以我们这个 m 首先那个呢，是大于零的，大于零的，那这个对称如新，假如在这里，哈 这样地点二的中心地点，那你说这个二应该在哪？在这个对阵中心的右边，或者刚好跟对阵中心重合，那我这个二应该大于等于这个 m 二大于等于 m， 也就是 m 小于等于二，同时 m 是大于零的。答案是不应该是选这个二 b。 第十二题是个多选题，第十二题让大家再练一个，就是说一看这个一次的函数比一次函数形式，我们要走分离长数法，分子写成 x 加一，然后乘个二，然后再把二减掉，再减去原来那个 a 比成 x 加一，这样拆分之后分离长数，就是加上 负二减 a， b 上 x 加一。这是我们看说在 b 到中国球场地增，他要想是增的，那么原来的这个反比例函数必定是走的是这个二四强线这种，那这个分子负二减 a 必定是小于零的。 然后我们再看，通过平移之后，他的对称中心应该是负一负一二这个位置，这时候想在 b 到正物琼上是单调递增的，那只需要这个 b 大于等于我们这个对称中心负一就行了啊。然后这个 a 呢？这个 a 我们通过求解， a 是 一项大于负二， b 大于等于负一， a 大于负二，选的是 a、 c 两个选项。填空问题，第一个在 e 三上是单调函数，求 m 的取值范围，那我们看这个对称轴是多少负担？ 百分之 b 是二分之 m 加二，开口向上，如果想在一三单调，那么一三就应该在二分之 m 加二的一侧就可以了，对吧？要不就是二分之 m 加二小于等于一，这种情况我们解除。 m 小于等于零，要不就是二分之 m 加二大于等于三， 那么此时算出的 m 是大于等于二十三点六十四，所以这个我们算出来， m 就是小于等于零，负无穷到零并上四到中无穷， 这都可以。下一道题说这个 fx 等于这个函数，他在区间一到正确上不单调，那首先我看 a 可不可以等于零？ a 等于零是一次函数，必定单调，对吧？ a 等于零舍，这种情况变成一次函数肯定不行。第二种情况就是 a 不等于零， a 不等于零，在一 掉重物球上不单调，那我看这个一到重物球一定跨过了对称轴，对不对？是不是这这个意思？ 也就是说我们就对称轴，看是多少负的二， a 分之， b 就等于 a 分之一，这个是对称轴， 这是对称轴，那么他不单调的话， a 分之一就应该在这个区间里边，对吧？那也就是只需要 a 分之一大于一就可以了。在这个区间里边，你区间夸我，对称轴一定不单调， a 分之一大于一， a 又大于零，那你一解释， a 是小一大于零的，所以我们的范 a 是零到一开区减。第十五题跟前面选择题练的一样，就是再给大家出一道求在这种形式的单对区间，先解定域，他的单对区间一定在定域出产上，他大约等于零， 那么二六十二，我们进行因式分解，符号放在这，也就是说你这个开口向下的二参数与 x 轴的焦点，一个是六，一个是负二。单调增区间呢？从对称轴处抛开六和负二的合适。四除以二是 x 减二，那也就是说在负二到 二这个区间，他是单调递增的。当然我们也可以写成 b 区间，也可以写开区间，因为这个端点值对定定增增减区间一个点不影响，所以你看你怎么写，写开区间， b 区间都可以。第十六题求单调减区间， 我们这个定律是多少啊？是 x 不等于负一，那么分母是增的，倒过来就是减的，所以这个减区间就是负无穷到负一，从负一支拆开，和这个负一到正无穷。这个是七题练习的也一样。 二 s 减 x 方大于等于零，那么 x 乘以二减 x 大于等于零。开口向下的二次函数与 x 的交点，一个是零，一个二大于等于部分，是不是在零二之间增区间，那不就在零到一之间吗？所以这个零到一你写，同样你写开区间和 b 区间，这都没问题。第十八题 说这个 fx 等于 x 减一的绝对值， 他的减去间是负穷到这个四比全球 a 的值，这样的函数，我们还是先把绝对值去掉，它就是 y 等于 x 减 a， 那你画出来之后，他就是类似于这种画法，家具对折是不发生了患者，所以这个点就是增减区间的分解点，也就是这个点是 x 等于 a， 那么四到正物减去间是肤穷到四，对不对？那 a 不就得四吗？ a 零零四。第十九题，求这个函数的减去减，那么这个二次函数啊，中间加了个绝对值，还是你讨论当 x 大于零的时候，大于等于零的时候， fx 就等于负， x 方加二， x 加三， x 小于零的时候， fx 就等于负， x 方减二， x 加三。我们画草图就知道他的单特减区间了。 在大二零的部分我们看当我们画这个区间的时候，十四项成 x， x 加个符号，对吧？那么这个三应该放在这一放在这，这就好了，所以 x 数交代一个是三，一个是负一，因为他取大二零的部分开口，就像下雨 这样的话，你你画出来的时候就是这样的一种形式，那么小零的你画的时候就是这样一种形式，这个对称轴我们给他找到一个是一，一个是负一， 那么这个减去间呢？就是从负一到零和这个一到中午穷。 这里边注意就是说两个相同的增减区间不能用并集，需要用和连接。然后第二十题说严格的增区间，对吧？严格的增区间，这个题啊，我们需要对这个函数处理一下，找找他这个单调增区间。 当 x 不等于零的时候，我们看等于零的时候，它是一个值，不等于零的时候，我们能把 x 除到分母来， y 就等于一比上 x 加上 x 分之四，分母满足机式定值和有个最小值， 对吧？也就是 x 大于零的时候，他有个这个最小值，而由分母基本不等式的性质能 找到他一个分界点，虽然 s 可正可负，但由于他是基函数，他应该是在当 x 方得四， x 以二或负二的时候作为分界点，那么由对勾函数的形式我们就知道了。哎，分母你想找增区间应该在零到二，而分子呢？是这个负二到零， 呃，这里边啊，负二道零，因为我们刚才把零单位分开了，对吧？因为我们取了一个倒数，所以实际上这个题 这样我们就能猜出来他已经从富二到二，因为你取了这个倒数吗？那剩下的最 最简单的一种办法啊，就是利用我们这个函数的单调性的定义，我是 x 一小于 s 二，我来检验一下它单调性。 fx 一减去 fx 二，它就等于 x 一， b 上 x 一方加四，减去 x 二， b 上 x 二方 加四，然后进行通分，通分之后就是 x 一方加四，乘以 x 二的平方加四。分子呢？你乘开在因式分解是 x 减 x 二乘以四减 x 减 x 二， 这是我们来找一下他的增减区间，我们需要让他 fx 一减去 fx 小于零，对不对？他小于零了，那说明对应的就是减去减，而此时我们设的是 x 一小 s 二，所以就是说四减 x 一， x 二需要大于零， 那也就说 x 一乘以 x 二需要小于四。两个乘积小于四的，那只能是负二到二这个之间。 下面没有提了啊。

同学们好，这节课我们继续来学习函数的相关性质，那么在前面呢，我们已经学习了函数的概念，同时了解到函数啊，还可以通过他的图像来进行表示。 那么这节课呢，我们想先借助函数的图像来了解函数的一些其他性质。我们先来看到老师画的 这个函数图像， 同学们能够从这个图上面看到或者观察到函数的一些什么性质呢？ 嗯，很明显，我们从这个图上可以看到这个函数的一种变化区 趋势，比如说我们在函数图像的前半部分，它是一个上升趋势，中间是一个下降趋势，后面呢又是一个上升趋势，那么这种变化趋势在函数里面，我们把它称之为函数的单调性， 那么这节课呢，我们就一起来学习函数的单调性。 好，那么刚才同学们一起说到我们这个函数的图像啊，它具有一种变化的趋势， 那么在数学里面，我们能不能用更加准确的语言来把这种变化趋势给它描述出来呢？好， 同学们注意到，之所以会产生这种变化趋势，是因为这个函数的函数值，它在随着自倍量 x 的改变而改变，所以呢，我们下面呢，就来分析它的函数值是怎样随着自倍量的改变而改变的。那好，首先呢， 我们将这个函数的变化趋势，我们给它分成三个部分，那么在第一部分里面，我们任意的取两个这个量， x 一 x 二，那 x 一是小于 x 二，那么这个时候他所对应的函数值，这里是 y 一，这里是二，我们发现这个时候外一显然是小于 y 二的，那么这样呢，就造成了不像是呈上升取， 那么相反，如果我们在下一个局件上，我们也做 这项工作， x 一 x 二，哎，这个时候呢，我们又发现它所对应的函数值外一和外奥又出现了外一的字大于外二的字，就造成了图像成一个下降趋势。 好，通过这个分享，其实我们就不难得出函数单调性的定义， 那么定义呢？首先我们要指明，我们讨论这种性质的前提应该是在这个函数的定义狱当中的一个区间上面，所以我们可以 正描述 在函数 地域，我们讲述了地域为地，那么在函数地域地类的 啊，应该强调某个区间，我们假设为区间。哎，上面好，比如说我们刚才的这个上升的，这也是一个区间。好，这个时候如果 对任意的 x 一 x 少属于我们这个缺陷爱，而且帮 x 一小于 x os， 那么在第一段里面，我们出现都有 fx 小于 fx， 那么这个时候我们就称这个函数啊，在这个局限上 得乘 y 等于 fx， 在区间挨上 单调地震。 那么香港呢，在第二个区县，在中间这一幢就出现了，都有 fx 一大于 fs， 那这个时候我们称 y 等于 f x 在 i 上 为单调递减。好，其实呢，我们发现通过这个表述，我们就比较精确的把刚才函数的这个特征给他通过定义的方式表述出来了。 好，同时啊，我们发现我强调了地狱地以及某个区间，那为什么又说了地域同时还要把区间说上呢？大家注意到，单调 应该是一个函数的局部性质，在这个函数里面地域很大， 但是呢，在有些区间上它是递增的，而有些是递减的，因此呢，我们要特意强调应该是在地域上的某个区间，所以讲单调性应该是函数的一个局部性质。同时呢，我们这个区间 a， 这个区间 a 在这里呢，我们把它称之为函数的一个单调区间 啊，当你是递增的时候，他就是一个单调争取减，相反呢，就是一个单调减去 先好，通过我们这个第一，我们就可以用来判断我们这个函数的单调系。当然了，同学们会说，那么函数单调系的判断其实还可以直接通过函数的图像观察，图像很容易得到他的真曲线和减曲线。 但是呢，有时候啊，我们一个函数的图像你可能之前是未知的，那么这个时候我们只能够通过我们这个电影来进行判断，比如我们要判断 这个函数在区间零到一上面的半条信，我们可以怎么来做呢？那么首先 这个函数的图像我们现在是未知的，那么我们不能够从图上直接观察，所以呢，我们必须利用我们刚才的这个分析的方法。那么首先 我们进行一个取值啊，就是在我们这个区间上进行取值。好，我们按取 x 一， x 二属于零到一，好，不妨呢，再假设 二 x 一小于 x， 当然他要大于你小于一。好，取完之之后呢，我们要进行比较他们的函数值，所以呢，我们就用 f x 一与 f x 二进行比较，方法呢就是我们的做差相减，那么结果等于 x 一加上 x 一分之一，减去 x 二减去 x 二分之一， 那么这样一来，我们这个符号现在还不能判断，所以呢，我们要做一些变化，或者做一些变形，我们通过结合这两项与 这两下，好，我们再提取他们所具有的工艺是 x 一减去 x 二，那么括号里面剩下一减去 x 一， x 二。 好，通过这个变形啊，我们接下来判断一下，这个是指最后的符号，我们注意到，因为 x 一是小于 x 二借于零到一之间，所以呢， x 一减去 x 二自然是小于零的。 同时呢，后面的这个是指一减去 x 一， x 二分解，那么这个是指我们来判断一下它的成绩，因为小一，所以呢，会使得我们这个词它依然是小于零的， 所以最后可以得到这个成绩， x 一减去 x 二乘以一减去 x 一， x 上进 这个字大于零，从而我们判断出这个时候 f x 一是大于 f x 二， 好，我们结合刚才的单调性的定义，可以发现，当 x 一小于 x 号的时候，出现了 fx 大于 fx， 那么它显然是符合我们这一条， 也就是说我们这个函数啊，在这个区间上应该是一个单调递减函数，所以我们可以下结论， fx 等于 x 加 x 等于在零到一上面是单调， 你捡的好。通过我们这个问题的 我们发现，要判断一个函数单调性，除了借助于图像之外，我们还可以通过刚才的地给出严格的一个证明，而且呢，我们注意到这个证明过程我们分成了这样的几个步骤，第一，我们要进行一个取值， 好在指定的区间上进行取值。第二呢，我们再进行函数值的比较，我们进行了一个捉差，那么捉差的目的是为了碰到符号，但是呢，这个过程我们需要做一个想要的或者必要的变形，然后呢，判断出 结果的符号。最后我们再讲结论，好铺成客户思考。如果我将原皮当中的去 间改为一到正无穷大，那你能不能再次放到这个函数在这个区间上，他又是递增还是递减的呢？好，通过我们这节课的学习呢，我们掌握了 函数的一个非常重要的性质，单调性，同时呢，我们也学会了通过利用函数单调性的定义来判断函数的单调性。好，本节课内容到此结束，谢谢。

这节课我们一起来学习函数单调性的概念，来看下边六个函数，以及这六个函数所对应的函数图像。第一个外等于 x 是经过圆点的一条直线，当 x 越来越大的时候，那么他的外值函数值也是越来越大，那么 像这样的函数，我们称之为单调增函数 fx 随着 x 的增大而增大，质量越大，他的函数值也越大。比如说 y 等于 x， 他就是一个单调增函数，他的 单调增区间呢，是在副无穷到正无穷这个区间都是单调增的，在全体实数范围内都是单调增。第二个外等于负的 x 经过二四象限且经过圆点，当 x 越来越大的时候，他的函数值反而 越来越小。像这样的函数呢，我们称之为单调减函数 fx 随着 x 的增大而减小，这边要越大，他的函数值反而越小。比如说这里外等于负的 x， 那么他的单调减去间是在实数范围内都是单调减的，复穷到 正无穷都是单调递减。第三个 y 等于 x 分之一反比例函数，他是双曲线。我们看一下负无穷到零这个开区间，他的函数图像，当 x 越来越大的时候，函数值越来越小，所以在 复无穷到零这个开区间外等于二十分之一，他是一个单调减的。而看一下右侧是零到正无穷，当 x 越来越大，他的函数值也是越来越小，所以在 零到正无穷也是单调减的。那么 y 等于 x 分之一，他有两个单调减去间，负无穷到零和零到正无穷。 第四个 y 等于根号 x， x， 这里取值是 x 要大于等于零，所以他是这样的一个曲线， 当 x 越来越大的时候，函数值也是越来越大，所以他是一个单调真函数，他的单调真区间是零到正无穷。注意零这个点能取，所以我们用方括号，当 x 等于零的时候， y 的值也是等于零， 那么 y 等于根号， x 单调增区间是零到正无穷。第五个 y 等于 x 平方，是一个二次函数，二次函数我们看外轴的左侧和右侧。先来看外轴的左侧，负无穷到零， 然后 x 越来越大的时候，他的函数值反而越来越小，所以富穷到零这个区间，他是单调减区间。 零到众无穷来看一下零到众无穷。 x 越来越大，外的值也是越来越大，所以零到众无穷这一块，它是一个单调增取间，那么 y 等于 x 平方，他有两个区间，负无穷到零这个区间，他是单调减区间，而零到正无穷，他是单调真区间。 最后一个外等于 x 的三次方是这样的一条曲线。那么虽然说一三象限他的图稍微有点不同，但是我们来看一下，不管是在第三象限，还是在第一象限 x 越来越大的时候，他的函数值都是越来越大的。 x 越来越 越大的时候，他的函数值都是越来越大，所以他在富无穷到真无穷整个时数范围内，他都是单调增的，他是一个单调增函数， 这是有关单调性的概念。单调增函数 fx 随着 x 的增大而增大，这边要越大，函数值也越大。单调减函数 fx 随着 x 的增大而减小，这边要越大，函数值反而越小。接下来看一下练习题， f s 在二上单调递减，且 fx 分之一大于 f。 一。先问 f 取值范围是多少？单调递减函数 f x 随着 s 的增大而减小，比如说 x 越大，他的函数值 fx 反而越小。当然我们反过来也可以，如果说 fx 他的值越大，他的 x 的值也反而越小，那么这里考察的就是这一点。在二上单调递减，且 fx 分之一大于 f 一函数值越大，说明它里边的自闭量越小，那么就有 x 分之一小于一。 好，根据这个我们一起来做一下 x 分之一小于一。接下来我们一项把一移到左侧， s 分之一减去一小于零，然后再做通分， x 分之一减去 x 小于零。这样的一个分式不等式。我们把相除变成相乘的一个形式， 一减去 x， 乘上 x 小于零。然后我们解这个不等式，得出 x 小于零或 x 大于一大于取两边，小于取中间，这里是大于零，所以取的是两边，那么 x 取值范 为是 x 小于零或 x 大于一，这是练习题。一是单调减函数 x 越大，那么他的函数值反而越小。 接下来看一下练习二， fx 加二上单吊针， x 一小于零， f 二大于零，那么问 f 的 x 一和 f 的 x 二，他们俩谁大谁小？ 单调真函数 f x 随着 x 增大而增大， x 越大，那么他的函数值 fx 也越大。同样 fx 越大， x 值也是越大的。 这里他现在问 f 负的 x 一和 f 的 x 二谁更大一点？那么要知道他们俩的大小。首先要知道负的 x 一和负的 x 二谁更大。题目已知 x 一小于零， x 二大于零，那 那么我们把这里画一下，看负的 x 一和负的 x 二谁更大一点？因为 x 一小于零，所以负的 x 是大于零的，而 x 二大于零，那么负的 x 又小于零， 那么这里他是单调真函数，因为这里 fx 是单调真函数，所以我们得出负的 x 二是小于负的 x 一也有 f， 负的 x 二也是小于 f 负的 x 一的，那么这里就是一个大于号。 接下来看一下例题三，下列函数中，在父母穷到零上单调递减的是哪一个？这个题该怎么做呢？我们画函数图像来辅助了解一下。 第一个 y 等于一，减去 x 平方，二次函数负 x 的平方，所以开口方向向下，那么找出他对称轴是外轴，找出他 与 x 轴的两个焦点，一个是负一，一个是一，画出还是图像大概是这个样子。我们看一下在负无穷到零这个范围里边，他这个区间里边，他是单调真的。而在 在零到正无穷这个区间里边，他是单调减的， x 越来越大，他的函数值也越来越大，这边呢， x 越来越大，他的函数值反而越来越小，所以不满足条件， a 选项排除， b 选项 y 等于 s 平方，加上 x， 他 也是一个二次函数。开口方向向上，找出他对称轴是 x 等于负的二分之一，所以在对称轴的左侧，他的函数图像单调递减。而在对称轴的右侧呢，函数图像单调递增，左侧是负无穷，他负的二分之一，他是单调递减的， 也不满足复乘到零上单调递减，所以 b 选项也排除 c 选项 y 等于 x 比上 x 减去一，那么他的函数图像该怎么做呢？我们在讲函数图像的变换的时候有讲过，首先 我们把分子里边的 x 去掉，那么分子我们换成 x 减去一，再加上一个一，然后 x 减去一，那么是一加上一，比上 x 减去一，首先画出 x 分之一的函数图像，然后再画出 x 减去一 分之一的函数图像，最后再画出他的函数图像，好画出他的函数图像，大概是这个样子。因为这里分母 x 减去一，左加右减，所以是向右平移了一个单位，而整个式子加上了一上 加下减，所以是向上平移的一个单位。他的开始的一个今天线是 x 轴和 y 轴，现在变成了 x 等于一和 y 等于一这两条直线， 那么他的单调递减区间呢？我们来看一下副无穷到一两个都是原矿，他是单调递减的，而从一 到正无穷，他也是单调递减的，所以两个单调递减，负无穷到一和一到正无穷，是不是满足富无穷到零单调递减，因为富无穷到零，他 是在负无穷到一这个范围里边的，那么 c 选项是可以的。最后我们来看一下 d 选项，他的函数图像 y 等于负的根号负 x， 那么他的函数图像大概是这个样子。注意，负 x 他需要大于等于零， 所以 x 他需要小于等于零的。好，我们用秒点法来画出函数图像，大概是这个样子，当 x 越来越大的时候，函数值也越来越大，所以富无穷到零这个区间，他是单调，真的不满足条件。最后答案选 c 选项。 最后我们来做一下小节，这节课我们就学习了单调性的概念，单调增函数 fx 随着 s 的增大而增大，字变量越大，函数值也越大，他就是单调增函数。 单调减函数 fx 随着 l 增大而减小，增长越大，函数值反而越小。好，这节课我们就讲到这。