圆拆分成三角形的过程详解

如果把圆形切成八块，然后再拼接成矩形，边缘会凹凸不平，无法规整。但只要将圆形无限细分，切成扇形碎片，再把它们交错拼接后，就能组成标准长方形。这个矩形的短边等于圆的半径二， 而圆的周长二乘以派乘以二，再除以二，也就是派乘以二会等于矩形的长边，长宽相乘，得出面积。派二的平方正好对应圆的面积计算公式。另外，如果不断将圆形的周长拆分， 拉伸成直线，再层层堆叠，直到圆形完全分解，最终会堆叠成一个三角形。这个三角形的底边等于圆的周长高等于圆的半径。根据三角形面积公式， 底乘高除以二，代入数值换算后，会发现原地面积与这个三角形的面积完全一样。一名营销人员拿出两罐可口可乐垫在脚下，采购到自动售货机高处的百世按钮，只因自己个子太矮。 这则广告是百世用来回击可口可乐在二零零一年宣布销量反超自己的官宣，并有家营销公司在自助机前摆了座奶牛雕像，承诺同时触碰雕像并按下按钮， 就能领取免费巧克力。可只要有人尝试，雕像就会悄悄挪远。见状，大家纷纷牵手协助，连成长长的队伍终于同时触发机关，巧克力成功掉落，所有人都领到了。

如何将一个圆形变成三角形？同时也讲解一下平滑顶点、直线点、脚步顶点、开放路径、曲线段和伸直弓形这些之间的区别和运用。 我是春哥，喜欢点赞并关注或者长按点赞键可能会有意想不到的效果， 下面讲解圆形变三角形。在菜单栏中点击插入，选择椭圆，按住 shif 键就成为一个正圆。 选中圆形并右击鼠标，点击编辑顶点，在四个方位出现实心小黑点，这个实心小黑点 点就是平滑顶点。将鼠标移到小黑点处，右击鼠标选择删除顶点，将鼠标移动到线条处，右击鼠标， 点击伸直弓形。在另外两条线使用于同样的操作，变直线之前成为曲线段，变直线后成为伸直弓形，这样三角形就已经完成。 鼠标一到到实心小黑点处，按住鼠标左键拖到顶点，可以改变该顶点位置。 我是春哥，长按点赞键可能会有意想不到的效果， 点击插入一个矩形，右击选择编辑顶点， 这个实心小黑点就是角度顶点。再点击鼠标左键 出现空心小白点，移动小白点位置可以将直线变成平滑曲线，也让该角度顶点变成平滑顶点，拉长或拉短。了解曲度变化程度， 选择矩形，点击编辑顶点。将伸直弓形改为曲线段， 但是曲线的区域固定感觉不美观， 右击鼠标点击开放， 这样矩形就打开了。 在右击鼠标，点击关闭路径。以上就是圆形变成三角形 以及编辑顶点一些基本操作讲解，我是春哥，喜欢的点赞并关注或者在评论区留言，谢谢！

cad 二维练习图，我们来看下面这个图形，首先我们拿到图之后要进行图纸的拆分，我们看看分成哪几个部分，怎样绘制比较合适。 首先我们看这个图形，它是由两部分组成，第一部分呢就是外面的等边三角形，第二部分呢是里边有规则的圆。 好等边三角形，我们学过数学都知道，它的三个角都是六十度 啊，一会我们绘制的时候需要用到他这三个边都是六十度，那么来看圆圆形能给到的数值是一个半径十三，其他的都没有，那么我们今天要用到的命令就只有 圆复制，旋转和多边形。好，接下来我们进行绘制， 首先输入圆命令 c 敲空格，指定一个基点，画出半径是三的圆， 画完之后我们要进行复制，选中圆之后输入 co 指定基点。好，我们这个时候有一个隐藏的功能，一定要打开，就是对象捕捉 f 三， 把对象捕捉，打开之后你就可以捕捉到点位，你如果不打开的话，假如我输入 ceo 选择对象之后，我来这里捕捉 啊，你是很难捕捉到的，你根本就捕捉不到。嗯，我打开之后大家看一下这个点位，它就出来了。好，输入阵列命令 a 空格 这边数量五，敲空格，再点击我们的参照点，也就是圆的下限点。好，这样底部这一排圆我们已经做出来了，那么刚才我们分析图的时候，你已经知道了这个角度是六十度， 那么我们将这一排圆给它旋转加复制做成六十度，这样这一排圆我们自然就有了。好，选中圆之后输入旋转命令 r o 敲空格，指定圆心， 要注意二级命令，我们需要复制 c 敲空格，角度六十，确定好这一排圆有了，那么剩下的操作是一样的。 好，选中之后空格重复命令，选择基点，输入二级命令。 c， 复制好，注意，这个时候要给负六十度敲空格。好，重复命令，将剩余的圆全部补充上来。 角度六十，敲空格好，空格重复 c， 角度六十，好，画完之后我们就要画外面的三角形， 这个三角形呢，与圆他是相切的，全部都是相切的，那么我们就要找到三角形的中心点和圆的边来进行相切，那中心点怎样找呢？ 从左下角这一个圆到右边的中间，圆的中心点位置，我们画两个辅助线，他们交点的位置就是圆的中心点。好，我们来 做一个辅助线。 l 画线好，画完之后两条线存在的交点到下面圆的下线点中间就是我们多边形的尺寸。 好，我们输入 p o l 敲空格。好，我们把辅助线给它画上。 好，输入 p o l 敲空格边数三敲空格，让我们指定三角形，也就是多边形的中心点，我们选择焦点，选择外切于圆 往下拉伸，好，触碰圆的象限点，点击，这样三角形就做出来了。好，我们给一下标注半径，标注 d r a 小 空格， 半径十三。好，我们将多余的辅助线删除掉。好，这样图形就会制完成了，你学会了吗？有问题请在评论区留言。

抖音上到处是谁人？哈？之前我讲过这样一个问题，说单位质量为 m 零的绳子搭在咱们这一个半球上，然后不计摩擦力的话，让你求顶点 a 处的张力大小。我之前的做法呢，我们不看这四分之一的圆，我们只看剩下这四分之一。那如果搭上去这么长一条绳子的话，另外一端咱们让它自然下垂， 自然下垂这一段绳子的重力实际上就等于 a 点处的拉力嘛。那我的做法是把圆拆分为一个一个一个的这一条小直线组 成了这么一个图形之后，在直角三角形当中，我们呢得出一个结论，绳子是搭在一个直角三角形上的话，如果搭在斜边上的长度等于斜边的长度的话， 那么竖直下垂的这一段，它的长度就应该等于这条直角边的长度。回到半球当中，那么就是我们搭这么长一段绳子，然后它竖直下垂的这段长度就跟半径 r 是 一样长的，所以这里的拉力就等于半径 r， 这么长的绳子的重力也就是 m 零小 g 乘以 r。 有个网友给我提供了一种思路，你都把它当成搭绳子了，那我们搭上去的就别用绳子了，我们用绳环，如果搭上去的是绳环的话，那么这里开始自然下垂，然后到这里开始剩余的绳子就会，哎，这样连过来，是不是连过来之后，很容易想到它是左右对称的， 并且现在此时肯定是平衡的，因为不平衡的话，它就转起来了，不就出永动机了吗？所以呢，我们这里是左右对称的话，我如果用绳子从 c 点剪断，再从 o 点剪断的话， 那么剩余的绳子也一定都是平衡的，所以这段绳子的长度就是半径长，那么重力就是 m 零小 g 乘以 r， 然后这里的拉力就出来了，根本就不用像我那样拆分。这个想法非常的好，如果你有更简单的办法，欢迎留在评论区。

如果你不断将圆的周长分割成一条条线，并将这些线堆叠起来，直到圆完全消失，那么这些线最终会形成一个三角形。这个三角形的底边长度等于原来的圆周长高度则等于圆的半径。这是因为三角形的面积等于底边长度乘以高度的一半， 所以这个三角形的面积就等于圆周长乘以半径的一半，从而证明了圆的面积与三角形的面积是相等。如果用一个方块表示一的立方，二的立方就有八个方块，三的立方有二十七个方块。现在如果我们像这样重新排列二的立方的八个方块，再像这样排列三的立方的二十七个方块， 三的立方留下的空隙可以用二的立方填满，剩下的空隙再用一的立方填满。这就说明了一的立方加二的立方加三的平方和这个规律对 d n 个数同样成立。

如果告诉你一个二次函数表达式，并且告诉你在这个二次函数的对称轴上存在一点和 a 点、 c 点，它们三点共构成一个等幺三角形，你能够把所有的情况完整的罗列出来吗？今天我们要讲解的就是这样的一道题目， 我们大家来观察一下这个图像以及这个辅助线，是不是感觉眼花缭乱的，怎么这么多线呀？这个其实就是我们的方法，一、做图法， 那怎么样用做图法来把这个所有的等腰三角形的情况都给罗列到呢？这个我总结为四句，四个字，也就是两圆一线，那具体什么圆什么线，我们具体来做一下。首先点 n 是 抛物线 位于点 d 上方的一个动点，也就是这个 d 作为顶点，你只能求这个以上的点，如果你求出来一个在 d 以下的，我们要舍弃掉对不对？那是否存在以 n、 a、 c 为顶点的，我们要舍弃掉对不对？那我们分别让它为顶点不就好了？ 大家都知道等三角形是两个边相等，那我们让三个点分别为顶点，那会得到三种情况，也就是 a， n 等于 a， c， na 等于 n， c c， a 等于 c， n， 对 不对？怎么这三种情况？然后紧接着，如果说当 a 作为顶点的时候， 此时 a n 是 不是等于 a c 啊？那也就是说我只要把 a c 旋转一圈，那么它与这个对称轴的交点就是我要求的 a n， 那 么我们以 a c 为半径，以 a 为圆心做一个圆， 这样能保证我们得到的 an 和 ac 的 长度是相等的，那么会有两个交点，一个交点在这，一个交点在这，那么我们知道此时的 an 是 不是等于这个 ac 啊？那这个 an 是 不是也等于这个 ac 啊？紧接着我们看第二种情况， na 等于 nc， 也就是说当 n 作为顶点的时候，它距离 a 和 c 应该是相同的， 那么我们想同时到达两个点，距离相同，那是不是只有一个方法呢？就是做垂直平分线呀？我们 a c 连在一块，此时我们做 a c 的 垂直平分线，垂直平分线上的点到线两段的距离是不是相等的？也就是此时在这条线上，我们随便找点都能和 a 和 c 的 距离是相等的。但是我们这道题，它必须让你在这个对称轴上，所以说我们有一个焦点，也就是这个焦点， 那当然我我注意，大家注意，这里面我用了不同颜色作为区分，这个 n 作为顶点时候，是这个绿线，是吧？这是个等腰三角形，刚刚以 a 为顶点，是这个蓝线，也就是这个 以 a 为顶点两个情况，然后我们紧接着看以 c 为顶点是什么？怎么回事？是这个紫色的以 c 为顶点，那也是 c a 等于 c n， 是 不是我把 c a 连接起来，这个时候我们会注意到，如果为了让这个 c n 等于 c a， 我 是不是依旧是以 ac 为半径，以 c 为顶点旋转做一个圆，这样子是不是我能保证得到的？ c n 和 c a 是 相同的，那么我们以这个 对称轴有两个交点，一个在上面，一个在 d 的 下面，那这个 d 下面我们肯定要舍弃掉呀？因为他说是在 d 上方的动点，对不对？所以说我们最后只能得到一个子线，也就是这个点， 然后那么我们现在可以来求这些点的坐标了。首先我们知道这个 a c 它的长度，因为这个 a 是 三， o a 是 三， oc 是 三，那么 a c 应该是三倍根号二，对不对？ a n a n 是 不是也是三倍根号二？那么我们在这个三角直角三角形里， 这个短直角边的长度是不是应该是 x d 减去 x a 也就是二，这个斜边是三倍根号二，那么得到这个 y 值，应该是用购物店来算，应该是根号十四， 那么我们知道这个这个点它的横坐标是负一，那么我知道这个 n 的 坐标，其实最后应该是负一，负根号十四，那同理可得这个也是 a n， 这个 a n 也是三倍根号二，这个底边也是二，那么我得到这个 y 值也是 根号是四，那么这个点它的坐标就是负一，根号十四。我们来看以 n 为定点的情况。呃，首先它既然这个 o a c 是 等腰直角三角形，那么它过这个斜边的中点，那么很明显这个分割出来也是个等腰直角三角形， 很很轻易的。如果我们这样子连接一下，会发现这是一个正方形，对不对？那这个是负一，那这个是一，那我们得到这个点，他其实应该是负一负一 这一个点。然后紧接着我们看以 c 为顶点，以 c 为顶点，我们不是舍弃了一个吗？舍弃下面一个，那我们就算顶上这个就行了。他这个也等于 ac， 也等于三倍根号二，那他这个他这个短直角边应该是一，对不对？ 那他这个高度为十八，减去一，那就是根号是七，但是这个我们只要上半部分，这个 y 轴对不对？那减去下面这个，这个是 y 为三，那就是根号是七减三， 然后同时他这个横坐标为负一，也就是这个答案是负一，根号是七减三。 相比于作图法呢？我更希望大家用这个法二代数法，这个也是我们解二函数比较常用的一个方法。既然他问你 n 的 坐标，那我们就设 n 的 坐标，我们知道 x 为负一，那么我们设 n 的 纵坐标为 m， 然后紧接着我们知道了它这个 a c， 它的长度是三倍，根号二，那么 a c 的 平方是不是就是十八呀？ a n 的 平方，我们用那个距离公式 是不是也能求出来等于四加 m 的 平方 c， n 也用距离公式能得出来是一加上 m 加三的扩展的平方，然后我们知道还是让它们两两相等，那么当 a 为顶点的时候， ac 等于 a， n 的 时候，让它们两个相等就行了。 得出来 m 等于正负，根号十四，那得出来两个点， n 为负一，正负根号十四。然后紧接着让 c 为顶点和让 n 为顶点，我们让它分别相等就行了。最后我们得到 m 等于负三，加根号十七或负一。 我已经舍弃过在 d 以下的那个值，然后那么就得到 n 的 坐标，另外两个坐标。紧接着综上所述，我们得到 n 一 共是这几个坐标。

哈喽同学们，解三角形不迷糊，定力题型全 hold 住，这个视频依旧是小题专场，借助这个视频，我们将学习三角形的多解问题和外七元、内七元半径问题，这两个 a 问题套路性强，公式固定，今天我们就用一个视频搞定，接下来让我们开始吧。 哈喽同学们，今天我们来解决解三角形当中比较喜欢质考的两类小题，一个呢是涉及到外七元半径和内七元半径之间关系， 那像这里呢，我们一般来讲啊，都是这种套路性比较强，所以呢，我们今天就借助几道例题，我们简单的来学习一下。那我们首先先来讲三角形的多解问题，那我们在正式讲多解问题之前呢，我们首先先要来了解一下我们做这种题的一个原理，或者说我们怎么去理解它的。 为什么我们说一个三角形可能会涉及到不止一个节，因为它给的条件呢，只有两个，也就一般来讲，我们给的都是一角一边啊，大多数情况下，我们喜欢的呢，可能比如都是一个角和它的邻边啊， 你像角 a 呢，它对应邻边是 b 或 c， 对 吧？那比如说我这以 b 为例，比如说这个时候 b 是 四，那现在相当于我已知了角，已知了小 b， 但这个时候能不能确定出来一个三角形呢？并不能，对吧，因为它其实和什么很像呢？和我们之前在初中学的这个三角形全等是很像的，光一角一边我肯定正不出来。三角形全等，也就是我不能确定唯一的一个三角形， 那这个时候也就意味着随着哎我其中一条边的变化，那这个三角形的解的个数会也会发生一个改变，对吧？那我们说像这种题可以怎么做呢？你就以画图的思路去做，比如说角 a 已知，那我就可以先把角 a 给它定下来， 那可能会想，那我把角 a 定下来，那我两条边也不知道呢？那这个时候没关系，我们先把角定下来，那这个时候我知道 b 和 c 是 不一定会在这两条边上，而同时我又知道 b 的 长度，那我不妨另这一段 就为 b， 那 对应的 b 等于四。好，那接下来我们需要结合谁的范围来去看到底有几个角呢？这个时候我们结合 a 的 范围来看， 好，那现在思考一下，因为我们说 a 对 应的就是角 a 所对的边，那什么情况下它会只有一个结呢？ 那这个时候我们会发现有一种临界的情况是过 c 去做一个垂直下来，对吧？那这个时候这一条边对应的其实就是小 a， 那 小 a 这个时候和 b 还有角 a 有 什么关系？你会发现因为是垂直，所以它还可以构成一个直角三角形， 那此时我就知道了，在这种情况下呢，应该是 a 等于 b 乘上 sign a 的 时候，对吧？那这个时候我知道它一定只有一个解，它其实就相当于是什么？ 我以 c 为这个就像是冲尺规作图哈，以 c 为圆心，以这个 b 三 a 为半径，你去画这个圆弧，发现它与底边，也就是这条边只有一个交点，那也就意味着这个三角形只有一个解，对吧？那同理我就可以发现，如果是 a 小 于 b 三 a， 那 这个时候有没有解？显然是没有解，对吧？因为我和另一边没有交点，所以此时它对应的是无解。 好，那接下来等于 b 三 a 呢？是一解，那接下来大于 b 三 a 应该是几解？那我们就会发现大于 b 三 a， 那 我就会和底边应该是有两个交点，对吧？所以这个时候可以确定 大于 b 三 a 的 时候啊，这个时候呢是两解。好，那我是不是一直无限的都是两解？那这个时候你就要注意它会有一个零界的情况，什么情况呢？当它正好等于 b 的 时候，因为它正好等于 b， 你 就会发现，我以 c 为圆心，以 b 为半径，我与底边交于两点，其中一点恰好是 a， 但是我不可能说 b 点和 a 点是重合，对吧？这个时候勾不成三角形，所以你会发现这个时候是不是只有一个解？好，所以 a 等于 b 只有一个解，那如果说 a 大 于 b， 有 几个解呢？这个时候还是两个交点，而且可以保证不和 a 重合，那我们说是不是两个解，那这个地方要注意它不是两个解。为什么？因为我如果 大于 b， 那 这个时候与这边是不是应该会交于这一段？那这个时候你就要注意，如果 b 在 这啊，那此时角 a 就是 哪个角，就是这个钝角了，它就不符合条件，是一个锐角三分之派了。所以要注意，大于等于 b 的 时候，它都是只有一节，所以这个情况呢，我们和最上面的去给它合并。 a 大 于等于 b 都是易解，然后，所以我们底下刚才这两解啊，他的范围也需要限制，他必须要小于 b， 我 们才对应的是两解，所以这个是我们三角形多解问题的一个根本的处理方法，一个原则。但是我们正在做的时候呢，题目未必会给你 一个角和它对应的邻边，它可能会改一下，改成给什么呢？它改成去给你，比如说是 a 和它的对边，也就是小 a， 然后这个时候让你去讨论，比如说求这个 b 在 什么范围时， 在范围多少的时候，然后仅有一解。好，那这个时候我们怎么去解呢？那你就需要知道，不管怎么样，它归根到底一定会符合这三个式子，对吧？那比如说你像仅有一解，那我就给它带到一解的式子里就完了， 因为我们这个三组不等式，它是不是都是三个变量？不管题目给我的是哪两个变量，我一定能把另一个变量的范围或者具体的取值给它定下来，所以 正常还是套用这个不等式就可以了。那我们正在做的时候，不等式想不起来怎么办？那你就考虑，我就把它当成是角 a 已知，小 b 已知，我去画图，然后呢，我去做出这个对应的不等式，然后你再反过来把小 a 代入，把角 a 代入就可以了。好，这是我们讲原理。那我们比如说结合例题具体来看一下， 在三角形 a、 b、 c 当中，角一角 b、 角 c 所对的边啊，小一，小 b、 角 c 啊，这都已知条件，然后已知小 a 等于根号，二角 a 等于四十五度，那这个就是我们刚刚前面说的非常典型的给的是对边对角，对吧？那我们说像这种题，你可以考虑怎么做，你可以给他当做视为 a 一 只，也就是四分之派，对吧？然后 b 一 只，虽然 b 是 未知的，但是我反正我做图的时候，我可以利用小 b 去列式子，对吧？好，那接下来首先还是一样先把角 a 做出来。 好，这个时候我们对应的角 a 是 四分之派，然后呢，小 b 是 它对应零点后，具体不确定在哪，我可以假设，比如说这一段就有小 b。 好， 那接下来我们来看对应的选项。首先 a 选项是让我们找的是 b 等于什么范围内，它无解，对吧？那我们前面讲了，在什么情况下应该是无解的， 当我的小 a 是 不是应该是要小于 b 三 a， 所以 就是 a 要小于 b 三 a 的 时候， 那我们说了这道题已知的是小 a 和角 a， 那 你正常代入就可以了，对吧？根号二小于 b 乘上三 a 三，也就是二分之根号二，所以我们会解得此时 b 的 范围应该是要大于 二，所以 b 大 于二的时候，就可以满足这个三角形。无解，那我发现 a a 选项是对的，对吧？根号无限大于二。 好，再来看 b 选项， b 选项呢，是说恰有异解。好，那我们现在来回到这儿，我们假如说知道是角和零边，什么情况下恰有异解？当我的对边正好是垂直，也就是 a 等于 b 向量 a 的 时候，这是一种， 还有一种是什么呢？是它大于等于 b 的 时候，对吧？所以它是两种情况。好，那接下来也是一样带变量。那这个时候第一个式子应该是根号二等于 b 乘上三 a， 也就是二啊，二分之根号，我这里就直接带数值了啊，乘二分之根号二 或者 a 大 于等于 b， 那 也就是根号二大于等于 b， 对 吧？所以我们解出来的这个范围呢，应该是 b 等于二，或者 b 小 于等于根号，但前提肯定 b 还要大于零。啊，这是因为它边长 好，那接下来看 b 选项是否能满足，恰好能符合要求，对吧？因为我们有一个是 b 等于二的时候，是可以成立的，所以 b 选项正确。再来看 c 选项， b 等于根号三的时候有两解，那我们再来看两解的范围。两解我们说应该是在 b 三 a 和 b 的 范围之内，对吧？所以是大于 b 三 a， 然后小于 b， 那 也是一样，代变量把小 a 角 a 代入，所以是二分之根号二。 b 小于根号二小于 b， 所以 我们解出来这个 b 对 应的范围， b 呢？首先是要大于根号二的，其次这个式子我们还可以解的。 b 呢，应该是要小于二，所以这个地方还要小于二。 好，那接下来看 c 选项是否满足，根号三是否能满足？在根号二到二的范围内，它显然是满足的，所以这个时候确实有谅解。那我们说它要在什么范围内，是不是必须得在这个范围内才是谅解？ 那这个时候显然不符合，一是小于根号的，所以 d 错误答案选 a b c。 啊，所以这个就是我们做这种多解问题怎么去考虑？那像这的话，我们给对边对讲，那你正常 给它看成是已知角和邻边的，但最后呢，我们代入的时候，反正还是三个变量带两变量，一定能解第三个变量。好，那接下来我们再来看第二题，三角形角 abc 等于四十五度， ab 等于六，那像这呢，我们直接直观的来看，可能会有点乱，我们可以给它换一下 角 a b， c 等于四十五，其实也就是什么 b 等于四分之派，对吧？然后呢， a b 等于 c， 呃， a， b 等于六，所以也就等对应的是 c 等于六，那这个就是我们比较喜欢的了。哎，它给的是角和邻边，那我们就正常直接画图就可以了。 好，比如说我们画出来这个图啊，就长这个样子，好，这个是角 b， 然后呢，这个是邻边， c 等于六啊，比如说这个就是 a 点， 好，然后接下来呢， a， c 等于 b， 也就是角 b 所对的边，有且仅有一个解，对吧？那有且仅有一解，我们是有两种情况，一种是垂直的时候，一种是大于等于 c 的 时候，所以列式子 b 等于 c 乘上三乘以 b， 或者要满足 b 要大于等于 c。 好， 那代入这个具体的数值就可以了，所以是 b 等于六，乘上二分之根号二，或者 b 大 于等于六， 那接下来你就会发现，这已经能看出来了，答案一定会选 d， 因为只有 d 选项，它会额外的列出来一个单独的情况， 那所以这里我们答案选 dog 就 解决了。然后接下来呢，我们来讲一下涉及到外接圆内切圆半径的相关问题。那像这个问题它主要都考察什么呢？主要都是结合我们的面积公式去考，就是我们说在这一 部分，在解方程当中，我们主要学的一个公式呢，是 s 等于二分之一， a b sin c， 对 吧？那我们像这里呢，我们就可以借助面积，哎，我还可以再进行转换， sin c 结合我们的正弦定理，也就是 c 比上 sin c 等于二啊， 我可以把这个上引 c 去进行一个代换，上引 c 可以 去替换成 c 除以二啊，对吧？所以这个时候我们代入呢，你就会发现 a 它可以换成等于四 r 分 之， a 乘 b 乘 c， 那这地方就是把 sin c 去进行了一个代换，所以我可以找到面积和外切圆半径之间的关系。那同样的道理，那我也可以去找到和内切圆半径的关系，那这个主要考察什么呢？这个主要考察是初中所学的内容了，我这简单的画个图来表示一下啊，就是我们说对于一个内切圆半径 内切圆来讲啊，这个时候我们一定可以满足圆，内切圆的圆心到各边的距离是相等的，都是小耳，对吧？所以这个时候面积我就可以去拆解成三个三小三角形，也就是二分之一， a 乘二加二分之一， b 乘二加二分之一， c 乘二，合起来也就是二分之一， 括号 a 加 b 加 c 乘以二，它借助的就是内切圆，圆心到各边的距离都等于内切圆半径啊，主要就借助这个性质来，所以我就会发现我外切圆半径和内切圆半径，它们 都通通都和面积有关，所以我要想算它俩之间的联系，我是不是只需要知道面积，同时当然它都涉及到三边，所以我只需要知道面积以及三边长度，我就可以去进行一个计算了。好，那接下来我们来看具体第一题，比如说我们来以这个第三题为例， 已知算 a 比算，以 b 等比算，以 c 等于五比七比八，那结合我们这张所学的正弦 d， 我 们就能快速反应过来，正弦之笔可以转换成边之笔，所以这地方我们可以直接去转换成 a 比 b 比 c 等于 五比七比八，对吧？严格来讲呢，我们设的时候应该是设 a 等于五 x， b 等于七 x， c 等于八 x， 这是我们说严格来写，那我们这阵在做的时候，你可以直接不妨令啊， 你可以直接不妨令他们呢？哎，正好就是五七八。然后接下来题目让我们求的是外切呃，外切圆半径和内切圆半径的比值，那就是我们刚才讲的借助面积来，对不对？那首先三边是已知了，那接下来我要求面积还需要装什么？ 还需要知道一个角的正弦，对吧？那我这个正弦怎么来呢？已知三边怎么求角？那我们想到三边和角有关的话，那我可以直接利用余弦定米来算，对吧？那比如说你，就像我们这里为例，我们就以角 c 来解，那我们接下来要求的是 cosine c cosine c 代公式是 a 方加 b 方减 c 方除以二 a b， 那 我们接下来直接代数值，我们刚说了啊，不妨令 a b c 正好是五七八，所以对应的也就是二十五，加上四十九减六十四除以二 a b 二 a b 对 应的正好是七十。 好，那接下来我们解一下的话呢，正好就应该是上半部分，应该是十哈，所以对应七分之一，这是 cosine c， 我 们还要去转换成 sine c， sine c 对 应的就应该是根号下一减七分之一的平方，所以是七分之四倍杠三。 好，那接下来我们的面积自然也就出来了， s 呢，就等于二分之一， a 乘 b， 也就是二分之一乘五乘七，再乘上撒赢 c， 七分之四倍根号三，所以我们来算一下，这七和七可以约掉，二和四可以约掉一个，所以对你的算出来结果呢，应该是十倍根号三。 那再结合四 r 分 之 a、 b， c 和内切圆半径的公式，我们还可以再写，对吧？比如说这就用蓝笔来写外切圆半径，那我们代值对应的也就是四 r 等于 a 乘 b 乘 c， 对 应的也就是五乘七乘八，所以应该是四十乘七啊，所以是二百八。 好，然后接下来同理也等于我们内切圆半径的话，应该是用后面这个公式，也就是二分之一三边之合，对应的正好是二十，所以对应的是十 r。 好，那接下来我就可以解出一些对应的值了，比如说像大 r， 我 就可以解出来，它对应的应该是四十倍根号三， r 等于二百八，所以对应的 r 就 可以等于。这个除过来的话呢，应该是根号三分之七， 这个我们可以先不用画到最减，我们等到后面呃直接算比例的时候再化减就可以了。然后小 r 呢，对应的就两边同除以十就可以了，所以小 r 等于杠三， 那自然而然大比小二，我就可以算了，对吧？也就是根号三分之七除以根号三，上下同乘，根号三正好是三分之七， 所以我们对应的比例算出来了，答案应该选 c， 所以 这个地方就是借助面积我们去进行一个计算就可以了啊。那接下来我们来接着来看第四题，第四题这道题的话呢，给的条件是相应二分之 c 是 等于五分之根号五，已知 bc 等于二。那像这种条件我们看着啊，不太习惯，我们可以给它换一下， 直接给它换成，对应的是小 a 等于根，呃，等于十，然后呢，对应的小 b 等于二，那塞二分之 c 等于五分之根号五，这个条件我要想用的话，我们需要转换成三角形内的角，对吧？二分之 c 显然不是三角形内部的角，所以我需要去转换成 角 c， 那 这个时候我们就需要利用到一个半角公式，或者说二倍角公式都可以，那比如说我们像这里我可以去借助单独的一个 sine 二分之 c， 我 可以算什么？我可以算余弦，对吧？借助二倍角公式， ok 的。 cosine c 呢，是等于 一减去两倍的 sine 方二分之 c， 那 么接下来代数值即可，所以是一减去二，乘上它的平方，对应的就是五分之一，所以我们可以算出来 cosine c 呢，对应的就是五分之三。 好，那角 c 解决了，我们来看选项，首先 a 选项让我们算的其实就小 c 等于四倍，根号五，那我可以借助什么来位置两边和一个角的余弦，那我可以利用余弦定理来算，对吧？所以接下来 cosine c 再带余弦定理， a 方加 b 方减 c 方除以二 a， b。 好，那接下来解方程即可， a 方加 b 方对应的是一百加四减 c 方等于这边除以二 ab， 那 也就乘过去变成二 ab 乘以 cosine c， 所以 对应的应该是二，乘上 ab 也就十，再乘上二，再乘上五分之三， 所以化简一下呢，这个正好可以约掉一个五，所以右侧呢，对应的应该是三八啊。三乘八，所以对应是二十四啊。那我们接下来 c 方就应该是一百零四，减去二十四，对应的正好是八十，所以我们就可以解得 c 对 应呢，应该是这个我们可以提一个， 提个多少出来呢？我们可以提个十六出来啊，十六的话呢，正好是四倍，刚好五，那所以 a 选项是正确的。再来看 b 选项，让我们算面积，那我们说了面积的话，我得知道两边及加角，那我们题目已知 a， b 又已知角， c， 就正好就符合我们的条件，所以这个我们直接代入算即可。 s 呢，就应该等于二分之一， a 乘 b， 也就乘以十，再乘以二，再乘以 c， 可 c， c 是 五分之三，那 c， c 应该是多少啊？等于呢？是五分之四，对吧？直接代入计算即可。 那好，这边一约，所以对应你的面积应该是八，所以 b 选项也是正确的。然后 c 选项外接圆的直径啊，看清楚，他问的不是外接圆半径，他问的是外接圆直径，那他其实要求就是什么二啊。那我们说外接圆直径和面积有什么关系？结合我们刚才讲的结论， s， g 等于二分之一， a， b， c 也等于四， r 分 之 a， b， c， 对 吧？那直接代入也就是四， r 分 之 a， b， c 呢，我们也都是算过的，对吧？对应的也就十乘二，再乘上四倍根号五。好，所以该化解的我们可以化解一下， r 的 话呢，对应的就应该是三十二分之 上面，对应的是八十倍根号五。那接下来就化简的问题，但是要注意题目让我们算的是直径，所以你还要再乘一个二，这边再乘一个二，那这边的话也乘以二，这边就像约掉一个分母，上下呢，正好在同除十六，得到是五倍根号五，所以它的直径应该是五倍根号五，它这里多除了一个二啊。 好，然后 d 选项让我们算内圈半径，那也是一样的道理。 s 等于二分之一， a 加 b 加 c 乘上弦，对吧？面积已知，所以是八，等于二分之一。好，来看内部这个值算出来是多少？ a 加 b 呢，是十二，十二再加上 c， 所以 是十二加上四倍的根号五乘上弦，那接下来我就可以接 r 了， r 呢，对应的就应该是十六除以十二加四倍根号五， 那这个时候上下可以先约掉一个四，四除以三加上根号五，那接下来怎么做？分母上是 无理数，那我们首先要有理化，对吧？上下可以同乘三减根号五，所以得到的呢是四倍的三减根号五， 底下的话呢，是完全平方，所以是九减五，正好十四啊，所以该约的约。哎，三减根号五，所以 dog 是 正确的，那这个地方他问的就是半径了，所以这道题答案就应该选 a、 b， d， 那 我们就解决这个问题了。

填空压轴题，圆的计算技巧大家好，今天这个视频是这个系列的第四个视频，我们要分享的是今年八月初三下学期的月考题，我们一起看一下，他说 a b c， d 是 平行四边形， 连接 a o 并延长和 b c 相交于点， m m 呢，是 b c 的 终点，这终点，所以 o m 和这个 b c 是。 那读题读到这个地方的话，实际上我们就得到 a m 呢，实际上是 bc 的 中垂线，那这里是不是肯定就存在等腰三角形呀？哎，如果我们把 ac 连起来的话， abc 实际上是等腰三角形啊，好，他又告诉我们， n 呢，是弧， ac 上的点，满足这个角度条件啊， b a m 等于二分之一 m a n。 如果我们设 b a m 是 阿尔法的话， 哎，那左边这个是不是也是阿尔法？ m a n 是 两阿尔法，所以最左边这个角也是阿尔法，对吧？哎， 好。而这个 n a c， 他 所对的弧是 n c， 我 们接下来是不是找角的话，就要去找一下这段弧，他有没有其他的圆周角或者说圆心角呢？那很容易我们就发现，哎，他有这一个圆周角，这是他的一个圆心角，所以他也是阿尔法。 然后 b h 比上 ab 是 等于三分之一的 o h 等于三，我们要求 m h 和 b m 的 比值。我们来看一下， 实际上我们很容易就可以在三角形 abm 当中去发现有一对儿相似，这实际上是一对儿母子形相似， 这是一个比较重要的相似模型，大家可以记一下啊，就是我们有直角，我们有一个三角形 abc， 在 这个 abc 里面呢，啊，又有夹了一个小的三角形 a d， a， b c 和 a d e 是 有公共的角角 a 的， 如果说这个角和这个角 也相等的话，那么很明显三角形 abc 相似于三角形 a d， 这就是拇指形相似，就是一个大的三角形夹了一个小的三角形好。那么在三角形 a b m 当中，是不是夹了一个小三角形 b h m， 并且 m b h 和 b a m 都等于 r 法，所以呢，就有拇指形相似， 三角形 a b m 相似于三角形 b h m 好， 我们就得到对应的边是成比例的，对吧？ m h 比上 mb， 这就是我们要求的第一个空好，它实际上就等于 mb 比上 ma 好，也等于 b h 比上 ab， 而这个 b h 比上 ab， 你 看现在就等于三分之一好，所以第一个空是三分之一，第二个空求 e f 的 长啊。 我们在第一个视频当中讲过，求线段的长度，可以有三种思考的方向，第一呢，就是利用平行线啊，分线段成比例去找这样金字塔这种相似，或者去找这种漏斗型的相似。 第二个思考的方向呢，就是从解三角形出发，利用正余弦定律去直接计算啊，正余弦定律。 第三个思考的方向呢，就是用圆密定律进行计算， 像橡胶弦定律、切割线定律、割线定律都是属于圆密。那么在这里呢，我们看一下 cd 和 ab 是 平行的，所以这里天然就会有一个 金字塔形的相似啊， n e f 和 n a b 是 相似的，所以 e f 比上 ab， 它就等于 n f 比上 n b， 如果我们能够把 ab n f n b 求出来的话， e f 就 可以算了。 好，那接下来我们就按照这个思路去进行求解，那首先我们从哪里开始呢？我们应该从半径开始。 对于圆的这类计算题啊，我们首先应该关注的就是它的半径，如果告诉了你半径，你就可以跳过这一步，没有告诉你半径，那你首先要把半径求出来。一般来说，求半径我们都是 去做一条弦的中垂线，不知道只要三角形，像这样啊，这是一条弦，这是圆心，做一个垂线，然后这样连起来， 这就是一个直角三角形，我们用勾股定力去进行计算，那么在这里的话， o m 已经是垂直于 b c 了，所以呢，我们只需要把 o b 连起来， o b m 就是 个直角三角形，我们看能不能把它的三条边都表示出来，然后用勾股定力去求。 好。根据前面的相似啊，我们如果设 m h 是 x， b m 呢，就是三 x 了，那 a m 呢，就是三 x 的 三倍九 x， 所以 这个 o a 啊，它就是九 x 减三减 x， 那 就是八 x 减三啊，所以半径它就是八 x 减三，这个 o b 也是八 x 减三，我们就把 obm 三条边都表示出来了。接着用勾股定律，三加 x 的 平方， 加上三 x 的 平方，是不应该就等于八 x 减三的平方呀？好，通过计算，这个计算实际上不复杂，可以得到 x 是 等于一的好，所以我们就可以算出这个半径应该是八 x 减三，是等于五的 好，那所以呢，在这我把这些未知数啊，都改一改，改成具体的数，这是三，那这是一， 这个 b m 是 三，所以 c m 也是三。好，这个半径呢，是五，好吧，这个半径是五， ok， ab 我 们现在就可以求了呦，啊，我们就可以求 ab 了， ab 呢，在三角形 abm 当中用勾股定律， ab 就 等于横号 am， am 呢，是五加三加一十九平方，再加上 bm 是 三的平方， 等于三倍根号十。好，咱们现在把这个 a b 解决了，那接下来解决 n f 和 n b 的 问题，那就要聚焦到 n b 这条线段上面， 对吧？哎，我们怎么去求这条线段呢？哎，我们可以注意到这个阿尔法，实际上它是一个确定的角，它是三角形，我们画一下这个阿尔法的辅助角，辅助三角形，这是阿尔法，这是一，这是三，这是 根号十。好，所以我是不是可以去求 b h 啊，对不对？它应该就等于 b m 除以括号二法，那你把它带进来， b m 是 三，括号二法也可以通过这个辅助的直角三角形去算得到根号十，所以这个 b h 是 根号十就算好了， 那接下来我们是不是要去看一看 n h 怎么算？ n h 算出来以后， n b 就 算出来了，对吧？好，如果说我们设这个焦点，它是 g 的 话，哎，我们的目光就集中到 g 这个点附近。 好，我们其实还是比较容易能够发现。哎，这个 a g h 这样是一个直角的啊，前提是你对有一个模型要数，就是倒角当中的模型叫做八字形的模型，或者叫蝴蝶模型。 倒角会用的倒啊，就是这样的一个八字形，或者叫蝴蝶。如果说这两个角是相等的，那么左边两个角 肯定也相等嘛，这个就是很简单的一个模型，对吧？那么在这里它也有类似的这么一个八字形啊，就是 a h g 和 b h m 不 就是这样的八字形吗？它们有一对相等的角，就是 m b h 是 r 法，这个 h a g 也是 r 法，对不对？那么很自然的第三个角， a m b 和 a g h， 它也就相等了，所以 这是垂直的，对吧？这是垂直的，那么 bc g 不 就是一个直角三角形的吗？我们可以求谁啊？我们可以求 b g， 看到没有，我们可以求 b g。 来，我们写一下 b g， 它是不应该就等于 bc， 这是一条斜边乘上扩展，而法 bc 呢，是等于六的，是已知的，所以这个算出来是根号十分之十八，我们在这里 不需要着急忙慌的把这个分母的根号使化简啊，不需要，不需要化到分子上，这是中间计算过程啊，你就这样摆着就可以了啊。好吧，不需要化简，这样，不然的话，你还哎还更加的费事。好，那毕竟有了，如果你要求 a b 的 话，是不是要想办法求一下 ng 啊？哎，实际上在这里其实它已经很明显了，因为这个 a g 是 n h 是 垂直的， a g 垂直 n h， 而你看这两个角， n a g 和 h a g 是， 都是两个角，都是阿尔法， 所以实际上这个 a n h 是 一个等腰三角形，对吧？ ag 是 它的三线合一的那条线，所以 ng 是 等于 g h 的， 对不啊？好，这个 g h 呢？因为我们已经算出 g b 了嘛，是不就用 b g 减去这个 b h， ok， 所以 这个减呢，就等于根号十分之八，这是 g h， ok， 所以 这个减呢，就等于根号十分之八，这是 g h， 它现在就等于 n g。 好，所以到这里 n b 我 们终于就算出来了，哎，它就是 n g 加上 b g， n g 是 根号十分之八， b g 呢，是根号十分之十八，也就是根号十分之 二十六。好，我们把 n b 也解决了，接下来我们解决 n f 我 们求的问题啊，我们看一下 n f， 那 么求同样的就聚焦到 n f 附近，聚焦到 n f 附近，我们知道了 ng， 对 吧？是根号十分之八，那如果我能求出 ng， 它们一减，不就可以得到 n f 了吗？啊，而这个角是 九十度啊，那很自然的，我们想到在直角三角形当中，我们用三角函数去求它的边， 对吧？去求它的边。好，那就要解决两个问题，第一，你必须知道其中一条边。第二呢，你你必须得知道角度的三角函数， 而在这里 c g 是 很容易求的，对吧？ c g 是 很容易求的，因为在直角三角形 b c g 当中，你这个 c g 不 就应该等于 b g 乘上探间的阿尔法，探间的阿尔法是三分之一嘛。啊，所以这个 c g 就是 b g 的 三分之一，现在就是根号十分之六。 哎，好，我怎么由 c g 去求这个 f g 呢？我们是不是得知道 c f g 这个直角三角形当中的其中一个锐角，我们来看看啊，导一导，它的角啊，是什么？ 很容易发现，实际上这个角我们是可以把它得到的，因为 d c 是 平行于 a b 的 呀。啊，内错角相等，这个 d c a 实际上就等于 b a c 了，它就等于两倍二法。那接下来是不是确定一下两倍二法的任何一个三角函数啊？根据我们前面讲的正确公式，我们可以直接去算 弹性的尔法是多少，那它是不是两倍的弹性的尔法应该是三分之二除以一减弹性的尔法的平方三分之一乘 三分之一，好，这个呢，我们可以立马就算出来，它是四分之三，所以这个 c f g 啊，它其实是一个勾三股四弦五的这么一个直角三角形，那么这个 f g 不就有了吗？它应该是 c g 乘上减，减它两 r， 好， 所以呢，这个就是两倍根号十分之九。 f g 有 了以后，那是不是 n f 就 等于 n g 减 f g， n g， 我 们在前面算出来了，是根号十分之八，减去两倍根号十分之九，这个就等于两倍根号十分之七。 ok， n f 也有了， a f， 这是 n f 也有了。我们最后一步是不是马上就大功告成了？ e f 比上 ab 对 不对？ ab， 我 们算出来是三倍根号十， 好，就等于 n f 这里的两倍根号十分之七以上。 n b n b 是 根号十分之 二十六，好，然后这个根号十，这样就约掉了。哎，最后一个项 e f 就 等于 五十二分之二十一倍根号十，那么这道题就算出来了。好，我们来做一个总结。这道题的话，我们用到了拇指形相似，用到了像这样平行线分线段成比例， 用到了三角函数，用到了正确的公式等等。而标准答案是怎么做的呢？标准答案他去找了 b f c 和 a b h 相似啊，我为什么没有讲这种方法呢？因为这个相似很难找，比较难找。 我在这里讲的是常规这种思路，用三角函数啊，用相思，用那个比较好找的母子型相思啊，用周瑜弦丁力啊等等去算，这个是比较常规的，是每个人都能够掌握的， 而这种去找一对很巧妙的相思，这个呃是不太容易找的，不适合所有的人。好，这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

啊，上个视频我们已解决了，第一位是三角形 a， c， d 是 一个等腰直角三角形，好，我们来看下第二位，教我们求 df 是 一个角平分线啊，是一个是平分角 b、 d， a 型的啊，是一个角平分线， 那我们想到角平分线，要么就是要么证明角两个角相等通过圈的，要么我们就想到我们初二所学的是角平分线上的点到线段两段的距离相等，那反过它的逆定律，那到 角的两边距离相等的点，这点在角的平分线上。好，我们通过它，这个好，我们通过这个图发现啊，图发现啊，它不在任何一个三角当中，对不对？是一个角的平分线，那我们就可以就可以根据啊，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，那我们可以过 o 点啊，可以过 o 点做垂直 啊，比方说是 g 点 d， f 啊，平分 叫 b， d 也赢了，那我们刚才说了，好，那我们就要证明 o g 等于 o h 就 可以了啊，等于 o h， 就是 说，那我们把 o g 等于 o h 为什么再加上垂直，我们刚才已经做出来了，对不对？是 o g 垂直于 ab， o h 垂直于啊， a b 的， 如果，对吧，有垂直，就这么加上距离相等，那么它就是它的角平分线，那我们关键是如何来证明 o g 等于 o h 呢？好，我们发现哦， 我们在圆当中，那么 o a、 o g 和 o h 分 别是垂直于两条斜， a， b 和 c 也赢的，那我们写什么叫 o g 和 o h， 我 们在圆当中，我们称之为叫做弦心距，叫做弦心距， 那我们证明，也就我们经常所说的啊，弦心距相等，那么弦就相等，那我们要证明啊， o g o h， 那 我们如果能证明出来 a b 等于 a c 就 可以了，那证明 o g 等于 o h 相等，那我们证明 a、 b 等于 a、 c 相等。好，我们通过发现好 a、 c 和 a、 b 分 别位于三角形 a、 m、 b 和 三角形 a、 m c 当中。好，题目中已经告诉我们了 a、 a、 m 和 a m c 相等的同时，我们又知道了一个什么角 c 和等于角 b 的， 为什么呢？是什么相等的？弧所对的圆周角相等都等于多少度来？四十五度。好，如果我们再找一个角相等，那么这两个三角形就全等了，全等以后，那必然就有 a、 b 等于 a、 c。 好， 那我们找下全等的条件。已经刚才说了，有两个具备两个条件了，我们再找出一个角相等。好，我们发现啊，弧 mc 和所对的圆周角是这个角 好，这个角也等于这个角相等。如果多为阿尔法，这个等于阿尔法。刚才说了，这个角是四十五度，而这个角也等于四十五度，多等于四十五度减去阿尔法，所以这两个角也是相等的啊。也就是说角 c a n a 和角 m a b 是 相等的好，那相等边就有三角形全等。好，那我们就说要证明 ab 等于 ac， 我 们要证明啊，三角形 a、 n、 c 全等于三角形 m、 b a 的 好，全等的条件，我们刚才说了角 c 是 等于角 b 的， 都等于四十五度啊，都等于四十五度。题目中已经告诉我们了好， a n 啊， a n 是 等于 am 的 好，这我们证明这个角刚才说过了，好，证明角 c a a 等于角 b a m， 他都等于一个四十五度，减去角 r 啊，减去角 r。 好， 所以全等。有两个角对应相等，两三角形全等，全等就有对应边相等，也就是说弦相等，那么弦心距相等，弦心距相等，那么到角的两边距离相等的点在角的平分线上啊，那所以这个角 是 o f 啊， d f 是 平分角 b d a 的。 好，这个题目我们就可以解决掉了。好，通过我们题目的分析，我们把倒推对不对？有角平分线，我们想到角平分线对不对？那想到倒角的两边距离相等点在角的平分线上。好，我们发现了，你们就做垂直，做垂直，垂直，我们知道是弦心距，那么证明弦心距相等，我们证明 弦相等，弦相等，我们通过观察啊，它位于两个三角当中，我们证明三角形全等，去找条件。好，这个问题就这样解决掉了。好，你学会了吗？

如果说你还不懂方圆三角的话，那么今天一个视频给大家讲清楚什么叫方，什么叫圆，什么叫三角。首先第一点，方形他代表什么呢？看 方形线条代表底部方，底部方，他这是个方，裁剪的话，他是一个方形的个面，像这个就属于顶部方，顶部方剪出来的头发，他是 层次感，落差感会更强，他的参照就是固定提拉到一个面上，然后的话他的参照就是固定提拉到一个面上，然后的话， 假如说你如果说剪一个后部方的话，那么整个发片全是平行于地面的，如果说你要剪一个三角形的话，三角形是属于高层次跟低层次的三角形，那么 如果说是低层次的三角形剪出来，他是比较堆积的纱圈发波波头。如果说高层次的三角形，他是属于一个长发的，一个高层次落差感的，好吧，如果说你要剪一个圆形层次的话，那么他整个是个圆，标准的一个九十度， 好吧，今天呢，我这本书里边全部所有的资料都会有。如果说你想了解怎么去剪一个好看的发型的话，但是在理发店里面没有任何人去教你，只有你自己去领悟的话，那么你过来找我，我来帮你做一个规划，让你在三到五个月就能成为一个合格的发型师。