如何找出曲线数据的拐点

我们看这个题怎么做设函数的拐点啊，函数的拐点是什么让我们求拐点呢？那么我们求拐点呢？我们就有这以如下几个步骤，那么第一步呢，他的定义域是全体式数，对不对？这个容易看出来，那么呢，我们求拐点就要用到二阶导数，所以呢，我们先求一阶导数，这是五倍的 x， 四四方减去四，我们拐点是用二阶导数去判断的， 所以我们啊，找一下二阶倒数等于零或二阶倒数不存在的点，所以求二阶倒数，那么这是二十 x 的三四方啊，那么求出他的二阶倒数来，那么二阶倒数有了之后，我们这里边呢，只有二阶倒数 等于零的点，是吧，没有不可导的点吧。啊，那么只有二阶导数等于零的点，二阶导数等于零，马上我们可以推出来，这个 x 是等零的，对不对？那么当这个 x 大于零时，那么我们二阶导大于零啊，当我们这个 x 小于零时，那么我们这个二阶导小于零，也就是在零这一点左右，二阶导一号，那 那么这个时候呢，他是拐点，对不对？是拐点，那么也就是啊，当 x 等于零时啊，为 y 的拐点， 拐点，他让我们求拐点，我们判断出来是拐点，那么我们还得求是不是？那么 x 是零， y 是多少？ y 是二，说代入我们这个函数吧，求出 y 是二了，所以拐点就是这个坐标，同学们要注意，拐点是曲线上的点， 是曲线凹凸性改变的点，所以我们要写成坐标的形式啊，你不能写成 x 等于零，写成 x 等于零啊，不算对，那么必须给出坐标来。好，那么这个题啊，是个基本的题目，希望同学们掌握，好吧？

什么是曲线的拐点？我们怎样求曲线的拐点？呃，首先第一个什么是曲线的拐点呢？就是说在联系的曲线上，凹壶以凸壶的分界点，凹壶以凸壶的分界点，那么就是曲线的拐点。 那么我们怎样判定是凹的还是凸的？我们前面的时候讲过了，主要就是看二阶导函数，那所以的话，这个拐点肯定就是在二阶导函数的那个分界点，或者是不存在的点。 好，那我们具体来看。先看这个图形，我们先来看这个图形，那么这个我们可以知道 x 轴上方的图形是凸的， x 轴下方的图形是凹的，因为这个是以前函数的图像吗？ 啊， x 轴上方是凸的， x 轴下方是凹的。所以我们就可以知道 x 轴这些的焦点曲线与 x 轴这的焦点，这些点都是呢这个拐点啊。首先第一，你要知道什么叫做拐点。第二，那我们怎样求这个拐点呢？比如说我们要求这个函数他的拐点，那我们刚才已经说了吗， 是凹凸的分界点，那么凹凸就是看二阶倒数对不对？所以这边的话呢，其实和那个判定函数的凹凸性会求他的凹凸期间方法是一样的啊。那么首先第一步我们求定义，第二步求一阶倒数和二阶倒数，第三步找分界点。 要注意这个时候的分界点同样的啊，是要看二阶倒数的哈，要看二阶倒数的，那么一就是二阶倒数等于零的地方。第二二阶倒数不存在的地方啊，不存在的点啊，两个地方哈，要看二阶倒数。然后我们就可以呢列表列表，因为这个时候分界点只有一个零吗？ 然后要注意，我们要看的是二阶导航数。二阶导航数，那么我们可以判定出这是负，这个是证。那么在这个负无穷大道零，它是图的零到正无穷大凹的。所以从这边就可以知道他们的分界点零就是呃，就是拐点。那么你怎样求出这个拐点的坐标呢？那一开始我们已经知道是零了对不对？ 只要求这个歪就行了。那么这个歪是怎么求来的呢？啊，这个歪是怎么求来的呢？因为这个是 x 吗？ x 是零。那么我们这个歪是怎么求来？你一定要小心，要带入到原函数，要带入到原函数，把 x 等于零带进去，所以他的拐点就是零，零啊，要会求， 那么所以我们就可以写出结论。所以从这边的话我们就可以知道，我们求拐拐点的题目，其实和求函数凹凸期间的题目其实是属于同一种类型。因为你只要求出了凹凸期间，那么你其实就可以知道他的拐点了，对吧？ 所以还有一个要特别要注意哈，不管是凹凸期间也好，还是球拐点也好，我们的分界点都是看二阶导航数。我们的分界点都是看二阶导航数。

如何判断曲线的拐点？ 求曲线外等于三乘以 x 四次方减四乘以 x 立方加一的关点结函数的定义为，负无穷大到正无穷大 一角数 y 一撇等于十二， x 立方减十二， x 平方 二节档数 y 两撇等于三十六， x 方减二十四， x 提供音式等于十二 x， x 乘以三， x 减二。利用二阶导数等于零，得 x 等于零，或者 x 等于三分之二 三级答数 y 三撇等于七十二， x 减二十四代入二级答数等于零的点。 于是 y 三撇零等于负，二十四不等于零。 以及呢， y 三撇三分之二等于二十四不等于零， 所以点零一和三分之二、二十七分之十一为所求拐点。

朋友大家好，欢迎来到柠檬数学微课堂，今天我们学习曲线的拐点。 首先我们了解一下什么是曲线的拐点，那么上一次的视频中介绍了曲线的凹凸性以及他的判别方法， 那如果一条连续的曲线，他在某一点 x 零 fx 零的两侧凹凸性相反，那也就是说凹凸性发生了改变，那我们就称这一点 x 零 fx 零为曲线的拐点。 那么要注意这个曲线的拐点，他是曲线上的一点，所以呢，我们要求曲线的拐点话得到的是一对坐标 x 零外零，他是曲线上的一点。好，那 这里我们来回顾一下另外一个点叫注点。什么是注点呢？是函数的一阶倒数值为零的点，那么他的点呢，只是 x 等于 x 零，二只是一个坐标 x 等于 x 零，而我们的拐点呢，是一对坐标。 好，这是要注意的地方，这是他的定义。那么接下来我们来呃分析一下那一条曲线的拐点他有可能在哪些地方取得。我们先来看上次视频中的这样一个例子， y 等于 x 的三次方， 那么我们利用呃，他的二阶倒数啊，他的二阶倒数就是一个六倍的 x， 对吧？ y 的二阶倒数，那么 y 的一阶倒数是三 三倍的 x 平方啊， y 的一阶倒数是三倍的 x 平方，那么 y 的二阶倒数就是六 x， 那 x 大于零的时候 啊，那么外两撇是大于零，那 x 小于零的时候呢？ 歪凉皮是小鱼鳞，那也就是说，呃， x 大鱼鳞和 x 小鱼鳞的时候呢，他的凹凸性呢？发生了改变。那对于第一个例子来说呢，我们发现零零点是他的拐点，那在这一点函数有什么性质呢？ 我们发现，嗯，这一点，当嗯 x 等于零带进去以后，他的二阶倒数值是为零的。那我们看一下他的函数图像，是这样的啊，凹凸性 发生了改变，小于零的时候是凸的，大于零的时候是 o 的。那么再看一个例子， y 的 y 等于 x 的三分之一词命，那么它的一阶倒数，那我们来求一下，三分之一 x 的负三分之二词 二阶倒数，那就等于嗯，负的九分之二啊，九分之二乘以 x 的负的 三分之二再减一，那就是三分之五次密。好，我们来讨论一下啊，那就是说当 x 大于零的时候，那么外两撇啊，那你带进来，他是小于零的啊，那此时他是凸的，当 x 小于零的时候呢，外两撇是大于零的，哎，他是凹的，那也就是说，那这条曲线上在零零点啊，还是这一点呢？ 的领两侧呢？凹凸心也发生了改变了，所以呢，零零点也是他的拐点，但是我们发现呢，这一点呢，他是外两撇，零不存在的点。我们刚才求出来的外两撇是等于 嗯，负的九分之二， x 的负的三分之五次啊，那我们看一下，当 x 等于零的时候，他的二阶倒数值是不存在的。 所以啊，我们来看一下他的函数图像，那是这样的一个图像啊，嗯，小于零的时候是小于零的时候呢，嗯，是大于零，是凹 大。当 x 大于零的时候呢，嗯，外两撇是小于零，他是凸的啊，那我们通过这两个例子发现呢，就是说，嗯， 函数的拐点可能在两类型点取得，第一类型，二级导数为零的点。第一个例子，那第二类型就是二级导数不存在的点。第二个例子，那有了这个，呃， 知识呢，有了这个结论，我们就可以给出如何来寻找曲线的拐点的方法。第一步，确定函数的定义率， 那第二步，我们来求二阶函，二阶导数为零或者二阶导数不存在的点，因为我们的拐点只可能在这两类型点取得。第三步，用上述这些点呢，分割你的定义为一个一个的小区间， 在每个小区间用二阶倒数符号判断曲线的凹凸性，那么我们来找凹凸性发生改变的点呢，就是我们的拐点。好，那么这就是根据前面的呃，这个拐点的定义，以及拐点有可能在哪些点取得得到的这样一个判断方法。 好，我们拿一个例子来看一下，求这样一条曲线的凹凸区间以及拐点，因为我们要求 拐点的话，必然会用到二阶倒数，那二阶倒数的符号确定了，凹凸区间也就确定了。 好，第一步啊，求一阶倒数，那这个求一阶倒数的话比较简单啊，密函数的求，等二阶倒数继续求，那为了求出拐点呢，我们把二阶倒数啊，得到，这个 表达是进行整理，把供音子提出来，那就是三十六倍的 x 乘以 x 减三分之二，那我们来找可能的拐点，那一类型就是，而且倒数为零的点，那一个是 x 等于零，一个是 x 等于三分之二， 那没有不可导啊，二结导数不存在的点啊，没有，他每一点都是可导的。这里要注意啊，虽然这个题我们不存在二结导数啊，二结导数不存在的点是没有的，但是你要考虑这样一点啊。 好，那么我们把 x 等于零和 x 等于三分之二带进去，相应的外值也就给定了啊，可以可以，算出来。好，第三步，嗯，分割，拿这两个点分割 我们的定义，所以我们要考虑一下这个函数的定义是什么呢？富无穷到正无穷。好，分割。先把零和三分之二写上，那第一个小区间是富无穷到零，第二个小区间是零到三分之二，那第三个小区间是三分之二到正无穷。 那么把零点的二阶倒数值和他的函数值写上三分之二处的。呃，二阶倒数值和函数值写上，接下来判断二阶倒数的符号。呃，当 x 小于零的时候呢？二阶倒数 在这判断正的，那所以他是凹的。大于零小于三分之二呢？负的，所以曲线是凸的。大于三分之二呢，外两撇是正的，所以是凹的，所以从这个列表我们发现负无穷到零和三分之二到正无 曲线为凹弧，零到三分之二呢，是凸弧。在这点啊，零一这一点以及三分之二、二十七分之十一这一点的两侧，我们看凹凸性均发生了改变，所以这两点都是 拐点。那么这个函数图像大致就是这个样子的啊，那在这一点呢，我们可以看一下啊，左边 是凹的，右边是凸的，那在这个三分之二二十七分之十一这边呢？左边是凸的，右边是凹的。哎，所以这两点都是我们曲线的拐点。好，这就是我们今天的内容，感谢大家的聆听，再见。

同学大家好，那我们来看这道题，这是二零零八年数学二的题目，他说曲线这个的拐点的坐标是就是找拐点的坐标， 那么首先我们得清楚，就是找曲线的拐点在哪里去找，我们知道这个可能 的拐点就哪，哪些点可能是拐点的由变得只有两种点，如果你二节导受存在，那我知道这个这点钥匙拐点，那这个二节必须等于谁啊？零， 那么或者呢，那就是谁啊？那就是你这一点的二阶倒数怎么样？不存在啊？所以拐点，因为拐点的必要条件是 如果你二阶可倒取得拐点，必要条件就是二阶等于零，但是拐点也可以在二阶倒出不存在的点，所以找拐点，那么只需找二阶等于零和二阶不存在的点。 好，那我们现在看，首先来看谁啊？一节才能看二节。好了，那这个呢，我们把它拿来求一节， 那这是两个相乘，实际上呢，这个时候我们一求啊，这个一接，这个 x 减五，求到是 x 三分之二十八，他不动，后面求到这已经有副指数了，实际上我们已经看出了这个 这个一阶倒数在零点，这个都不存在，所以这个时候就要注意了，一阶都不存在， 零点的二节肯定怎么样不存在啊，所以这就是可能的一个拐点，这个又在做讨论，但是还有没有二节等于零的点呢？ 这时候把这个拿来，这个再求一下啊，你看这个二阶也就这个再求一次，然后后面这个地方呢，就是他求到说他不动，然后跟前面这个整理到一起，还有一个就这个不动，后面这个再求到最后得到这个识字， 那么在这呢，如果我们令这个等于零，实际上我们还可以得到一个二接等于零的点就负一，所以从这也可以看出，是呀，零点二接导数是不存在的，那么所以呢，我们现在就 有两个点可能是拐点，那么一个呢就是零点，一个呢就是谁啊？这个负一这一点，他的二界是等于零的，就只有这两个点上可能是拐点， 但是这两个点上到底是不是拐点，那这个要做具体判定啊，那么具体判定的时候，一个呢，就是这个三节，如果不等于零，肯定是，或者这点两侧二阶怎么样变好，但是你想这一点 他的这个二阶都不存在，但三阶肯定不存在，所以不好用三阶不等于零来判定这个呢，那当然这一点负一这点的三阶，到时候你可以再求，但是就有点慢，所以呢我们在这就两个点 都用这一点两侧二阶是否变号来判定。我们首先看负一地点，那么注意在负一地点，因为上面是个四次方，所以负三分之四方，这个始终是个正的。而在负一地的左右两侧， 如果在负一这点右侧这个是正，负一这点的左侧呢，那这个就是负，所以就导致二阶倒数在这点两侧变号， 那么这个时候呢，也就是负一界在左右两侧外的两品是一号的，那这个时候我们就知道对应这一点肯定是拐点， 但是我们不能说 x 等于负一是拐点，因为拐点是曲线上的点，必须用两个坐标来表示，所以我们得知道负一这一点外等于谁，那么等于负六， 所以这个时候我们就可以断定谁啊，这个负一负六，他肯定是拐点，但是注意，零点，实际上也可能是啊，零点也要做判定，终于在零点两侧， 这个始终小鲢鱼啊，它始终是正的，那么这个呢？因为是三分之四次方， 那么零点两侧本来 x 有正有负，但是一四次方，这个始终是谁啊？正的，所以零点两侧这个二阶倒数怎么样？就不变号。那么既然零点倒侧两侧二阶倒数不变号，所以这一点就不是拐点， 那么所以这两个可能的观点里面只有这个负一对应，这点是观点。而 零那点虽然二节导致不存在，但是因为那点两侧二节不变好，所以那点不是拐点好。这个题目最后的结论就是，拐点的坐标是负一负六， 但是在考场上有同学这些拐点的坐标写负一，这就是经典错误啊。注意，如果说极值点，你可以说是 x 等于负一，因为极值点是指的 x 轴上的点， 拐点是指的曲线上点。你回去看大学书，什么叫拐点？曲线两侧二向发生变化的点叫拐点，既然是曲线上点，必须用两个坐标来表示， 所以我们总结一下，就这种找拐点的题目，拿到以后，首先找可能是拐点的这种 重点就两种点，二届等于零和二届不存在。那我们呢，在零点二届不存在，在负一届点二届等于零，所以可能的拐点两个，但是怎么来确定他是不是拐，进一步确定是不是拐点呢？ 那么一个呢？就可以这点三节不等于零，肯定是，但是我们这个呢，一个二节不存在一个要求，三节很复杂，所以两个都用这一侧二节、两侧二节是否变号做了判断，最后得到负一对应，这一点是观点，零对应那一点不是关点， 所以这考察的是关于拐点，然后如何来求，如何来判定这个基本方法和基。