解三角形公式大全钝角

由脚到直或者反过来，由直到脚都要熟练，好，都要熟练，这个我们需要把它记住啊，需要记住。那么一旦出现钝角怎么办呢？ 假设我们建一个直角坐标系，这个角是一个钝角 钝角，这个时候他这个组成这个角的两个边是不可能形成直角三角形的，对吧？ 他俩这个角度张开超过了九十度了，你怎么可能去找一个直角三角形呢？不可能的，所以这个时候我们在做的时候呢，是在相反方向把它补齐，做一个直角三角形，相反方向补齐 做制药三星。这个时候啊，其实他和这个对应的这个锐角完全相同，对吧？完全相同，但是边的关系不同，边的关系，对于这个角来说， 正弦是谁啊？对，边比斜边，余弦是林边比斜边都是长度的伤。 但是现在对于这个阿尔法角来说，他本身是个钝角，这个角只是一个补充角，所以相对于阿尔法来说，这个点，这个端点是在第二象线的，第二象线呢，我们给他这样一个特征，就是 往上他是在歪的正半轴上，所以这个边长，这个所谓的对边长是正的。但是这 这个阿尔法所对应的这个锐角的这个鳞边是在 x 的副板轴上的，所以这个时候我们就要把它的长度前面加上一个副号，加上一个副号， 比如说这是三十，假设说这是三十，那么这边阿尔法就得是一百五十度了，对吧？一百五十度，好了，这是三十度，那这个地方是一，对边是一，斜边是二，那么这个林边呢？就得记成副跟三 是一百五十度角的鳞边记成负根三，相对于三视角来说，这是根三，对不对？但是相对于这个一百五十度来说，你把这个角折到那边去了，所以就加上一个负号，这个时候再按定义做的话，三一百五十度 这个时候是对边比斜边正好跟三三十度是一样的，就是一比二，对吧？就是一比二。但是求口算一百五十度的时候， 他等于什么呢？等于林边比斜边，而这个时候的林边是负跟三，斜边是二，所以口算一百五十度是负的二分之跟三。 这样一来，我们得出一个规律，两个角的核是一百八十度，我们称两个角互补，互补 互的两个角，正弦直相等， 与弦直相反。互补的两个角，正弦直相等，与弦直相反 啊，相反的意思也就是符号相反，是相反数啊。那这样一来， 第二项线的角也就是钝角，我们也能够求他的三角函数值，因为只要有了正弦，有了鱼弦了，正切和鱼切，用他俩的商就表示就行了呀。所以你就记住这一个就行啊，互补的两个角，正弦不变，鱼弦相反。

好，咱们看一下啊，这个题已知钝角三角形的三边长为二三四，求这个三角形的一个面积， 我们知道球三角形面积的话是二分之一底乘高啊，底边的话四三二这三条边都知道啊，就高，怎么去求呢？嗯，其实呢，也也比较简单啊，那这个题呢，我们直接去过点 a 做 b、 c 边上的一个垂线就 ok 了啊， 垂直，垂直于点地就可以了。那么这个时候呢，做了以后呢，有同学还是没输入，哎，该怎么去做呢？ 就这个题呢，它涉及到一个知识点呢，就是这个勾股定理啊，勾股定理呢，一般呢，就是说我们在同一个三角形当中，嗯，知道一条边，另外两条边呢，可以用相同的这个代数式去表示啊，用相同字母的呃，代数式去 去表示就可以了，对不对？但这个题呢，你看一下啊，我们 acd 当中呢， ac 为二，而另外两条边不知道，然后你的这个 abd 当中呢，你的 ab 知道另外两条边也不知道。这种题我们怎么做呢？ 实际上我们可以另外两条边很特殊啊，这个 a d 这个高就很特殊，像这种， 你的 a d 的平方是不是就是等于 a c 的平方来减掉一个 c d 的平方？ 还有呢，你的 ad 平方是不是也是等于 ab 的平方，然后呢，我们再来减掉一个 bd 的平方，那么你这个的话，是不是就找到一个等量关系？好，那现在我们是可以设 cd 为 x， 然后你的 bd 呢，就应该是四减 x， 那么由此的话，也就是三的平方再来减上减掉这个什么，呃， 哎，我是不是写错了啊？没写没写错啊， ac 平 ac 平方减 cd 方就是。呃，先写的下边这个啊，就 ab 方，就三平方，减 b 地方就是四减 x 的平方， 等于上边 a、 c 平方，就是二的平方，再来减 c、 d 平方，就是 x 的平方，再整理一下的话，它应该是九减十六， 然后呢我们再加上一个八 x， 再减掉一个 x 方，然后呢他就是等于四再减掉一个 x 的平方，那两边都有 x 平方，直接消掉整理一下的话就可以了。这个八 x 他应该等于多少？二十减十九，也就是等于十一， 二十减九等于十一等于十一，那么 x 呢，也就是等于八分之十一就可以了，对不对？那我们把这个八分之十一算出来以后呢？现在去算这个 a、 d 这个 ad 呢，我们就随便写吧，就比如说用第一个 ac 方减 cd 方，也就是等于二的平方，再来减掉一个八分之十一括号的平方，然后呢我们再去开根号就可以了，是不是？所以这个最终呢，他应该是等于八分之 三倍的根号十五，是这样子的。那么所以说你最终 诶，三角形 a、 b、 c 的一个面积应该是二分之一，底乘高乘四，能再乘 一个八分之三倍的根号十五，那么整理一下最终结果多少呢？就是四分之三倍根号十五就可以了。好吧， 四分之三倍跟二十五啊，没问题。嗯，这个题还值得给大家说一下啊，有一个公式叫做海伦公式啊，我我觉得应该评论区啊，有同学会说这个题用海伦公式直接去做就可以了， 但是呢，我想说的是海伦公式呢，我说实话我都记不住，因为他用的太少了，也不难太少了就是说。 嗯，基本上我们不会去直接用这个公式，也记不住。当然你能够直接记住的话，作为选择填空这些的话，你也可以直接去用，对吧？直接套公式的话确实速度很快，但是呢，我平常没怎么用，所以说我自己也记不住，感兴趣的同学可以自己去百度一下。好吧。

一分钟学会一个几何模型，给出一个三角形点， d 平分 b、 c， 让我们求角 b 的度数。初中阶段让我们求一个钝角的度数。大体分为两类，第一类，特殊角的补角，例如一百二十度，一百三十五度或一百五十度。第二类，两个特殊角的和，例如 一百零五度。题目中给出三十度、四十五度。显然我们要做垂线去构造一个直角三角形，可以这样做，也可以这样做。这时我们要观察另外一个重要的已知条件，就是这个终点 直角三角形。有一个非常重要的结论，就是斜边中线等于斜边的一半，显然这个三十度角的直角三角形很好的利用到这个终点，所以我们选择这条垂线并连接。第一，因为你是三十度，所以你 是六十度，并且三十度所对直角边等于斜边的一半，而点地又是终点，异地又是斜边中线，所以图中这些绿色线段都相等。显然我们能得到一个等边三角形，而这里又是四十五度，我们能得到这个小角就是十五度， 而这个四十五度又是这个大三角形的外角，它等于不相邻的两个内角，和这里是三十度，所以这里也是十五度。那这个三角形就是一个等腰三角形，能得到 ae 等于 e、 d， 并且也等于 b、 e， 这里又是九十度，所以这个三角形就是一个等腰直角三角形。我们的这个角就是四十五度，那角 b 的度数不就算出来了吗？等于一百零五度。同学们，你学会了吗？

哈喽，大家好，我是牛老师啊，今天呢，牛老师将带着大家去研究一下啊，勾股定理。我们都知道所有的直角三角形都有勾股定理，对不对？那其他的，比如说锐角三角形，钝角三角形，有没有勾股定理啊？ 有没有一块来研究一下，对吧？虽然咱们课本上没有提过啊？ ok， 呃，首先大家得默认一个事实，叫什么呢？叫大角对大边， 还有一个叫大边对大脚，就是在一个三角形里面，如果这条边越长的话，那么他所对的那个角一定是越大的， 对吧？你比如说在直角三角形里面，斜边是最长的，对吗？是因为斜边所对的角是直角，直角是最大的，对吗？同样的，反过来，如果这个角越大，在一个三角形里面，哈，在 同一个三角形里面，如果这个角越大的话，那么他所度的边肯定是越长的，那你首先得默认这样一个基本的事实， ok， 那有了这样一个事实以后，我们都知道，如果在一个三角形里面，三个角所对这边分别是小 a、 小 b、 小 c， 我们默认 c 是最长的，可以吗？我们假设，假如他是最长的，可以吧？ ok， 假如他是最长的，那如果最长这条边的平方等于两个短边的平方和，这不就是勾股定理吗？哎，我们就说角 c 是直角，这个时候三角形 abc 是不是就是一个直角三角形， 你就看第一个图就可以了，对吗？好，那反过来，现在这个 a 呀和这个 b 啊，我都不动，看见没有，这个 a 和 b 的长度，我不动，我现在怎么办呢？你角 c 原来是直角，我把这个角 c 往里掰掰 的时候，这个角 c 是不是越来越小了，对吗？那这个时候角 c 所对的这边小 c 肯定也是越来越短的， 对吗？这个 c 是不是就变小了？这个时候我的 c 方是不是小于 a 方加 b 方了？是不是？这个这个道理？我 a b 没有变啊，但是我 c 变短了，所以 c 方是小于 a 方加 b 方， 那我们知道你 c 是最长的这个边，那么角 c 一定是最大的那个角，对不对？ 如果你最大的那个角都是锐角的话，最大的那个角都是锐角的话，那么这个三角形就是不就是锐角三角形了吗？ 是这个道理吗？对吗？因为角色是锐角啊，而角色是最大的角啊，是吧？ ok， 那从第一个图往第三个图看， 原来是一个直角，我现在这个小 a 和小 b 我都不动，长度不动，我把这个角 c 掰的越来越大，从直角掰成钝角了，掰的过程当中，角 c 所对的这个红色的边是越来越长，这个 c 是不是就变大了？这个时候我的 c 方是不是大于 a 方加 b 方了？ 你要知道，这个时候的角 c 可是一个钝角啊，你角 c 是钝角，那我这个三角形 abc 不就是一个钝角三角形吗？ 明白了吗？这就是所谓的锐角和钝角三角形的构补定理。现在呢，我只是让大家直观的去感受一下，并没有严格证明。当然，到了高中以后，大家会学到一个东西叫于心定理 啊。到高中大家会学到一个叫预先定理啊，学了预先定理以后，这个东西就可以正儿八经去证明了，好吧，这现在呢，初中大家， 呃，先感受一下就可以，好不好？ ok， 那我们接下来看一下底下这个问题，非常的经典哈，四个小问，四连问啊。呃，第一问，不是一个三角形的三边，是三四 x 啊，题目没有说他是一个直角三角形对不对？所以 x 的取值范围只能用三角形的三边关系吧。 x 是大于四减三，所以是一，小于四加三，所以是七， 没问题哈。第二题，一个三角形的三边是三四， x 并没有说谁是直角边，谁是斜边，对不对？他说了他是直角三角形， 这个时候是不是要分类讨论？哎，我们我们上一集跟那个购物定的易错题是不是刚讲过，对吗？那这个时候如果你的这个 x 是斜边的话，那么 x 的支撑就是五，如果你的四是斜边的话， x 是不是更好七， 所以这里的 x 区分应该是五或根号七，前两个还特别简单，对吗？来，重点看一下底下这两个啊，前面条件都没有变。如果这个时候你是一颗锐角三角形， 问 x 的取值范围怎么算？如果你是钝角三角形，那 x 的范围又是多少？ 这就不会了，是不是？这就不会了呀？这事我怎么办呢？教给大家一个大招。 ok， 总结在这啊。第一步，先找出构成三角形的范围。 这个第一题咱们已经帮助咱们解决了，对不对？是不是 x 大于一小于七，这是我画一个竖轴， 来，我画一个， 我画一个竖轴，在这竖轴上标出这里的一和七，在这个范围内，我是能构成三角形的，对吗？第二步，找出构成 rt 三角形的直 x 的直哈， 找出构成 rt 三角形的纸， 我们已经找到了，五或根号七，我把五或根号七也把它标在数轴上，可以吗？啊？根号七明显是比较小的，对吧？把它标一下啊，这个这个随便标，比如根号七在这，比如五大概在这，我也不知道，是吧？ 好了，在一到七这个范围内，你是能构成三角形的，这是基础。那现在这个根号七和五刚好把这个一和七这个范围内分成几段了？ 是分成三段了，对吗？分成三段了，这个时候你会发现根号七和五是什么？是不是刚好是构成 r、 t 三角形的？ 这是一个临界点，那么在根号五和七之间的时候，根号五和七之间的时候，就是构成锐角三角形的时候，听明白了吗？这是构成锐角三角形的时候 x 的取值范围 啊。所以咱们这里的 x 应该是写着大于根号七小于五，大于根号七小于五，那两头的范围是什么呢？哎，我用这个橙色的笔去写， 一到跟号七跟五到七这个范围是什么？是构成钝角三角形的范围， 这个结论大家可以记住，这个方法大家也可以直接用，明白了吗？所以咱们这个 s 范围应该是大于一，小于根号七或者。哎， x 大于五，小于七， 是不是感觉特别简单？有才老师，为什么呀？为什么呀？我来解释一下，好吧。呃，我，我解释一个，比如我解释一下钝角三角形，可以吗？我解释一下钝角三角形， ok， 给大家推倒一下。呃，你既然是一个钝角三角形的话，那哪条边应该是钝角组对对边呢？钝角组对边一定是最长的，对吗？ 所以有可能啊，有可能，这个，这个四是钝角组队那边，是吧？有可能吗？哎，第一种情况，弱 四为钝角所对的边， 那根据咱们刚才上一页 ppt 给大家展示的这个时候钝角的平方，钝角随着四的平方是应该大于三方加上 x 方的，对吗？ 对吧？所以我可以得到 x 方是不是小于七？因为你 x 是正的呀，所以我是不可以得到 x 是不是小于刚好七，但你小不能无限小，撑死了再小到一对吗？你得比一大呀，你要比一小，我连三角形都做不成了， 对吧？我连人都做不成了，是这个道理吧？哎，所以我这里的 x 是不应该是大于一，小于刚好七，这不就是第一个范围吗？对吗？第二种情况， x 是钝交， 对，对别，有可能吗？ 所对的边，那根据咱们刚才上页 ppt， 这个钝角所对的边数应该大于剩下的两边和三方加四方，对吗？ 算一下 x 方是不是大于二十五，对吗？所以，因为 x 是正的，所以 x 是大于五的，那大不能无限大呀，你不能超过七啊，超过七连三角形都够不成了，哎，所以你综合一下，这里的 x 是不是应该大于五，小于七，那不就是他吗？ 哎，简单的给他推倒了一下，对吧？但是你掌握了这个方法以后，我是不是可以瞬间给他秒杀了？方法就是我右边红笔总结的，这个听明白了吗？是不是很神奇 啊？很神奇啊，自己画一竖手就可以了， ok， 特别简单。好，那接下来就是咱们的老规矩啊，作孽环节，给大家留了这么一个看着很恶心的一个问题啊，啊，其实跟咱们刚才那个题是一模一样的。呃，我把答案告诉大家，第一个题是一个，嗯，顿酒三角形， 对吧？你们可以自己做一做啊啊。第二题， x 的值是十三或根号幺幺九，嗯，这个锐角三角形的范围是 x 大于根号幺幺九。 呃，小于十三啊，然后钝角三角形的范围应该是七到刚好幺幺九或者呢？啊，十三到十七 啊，然后最后一个，他是一个 rk 三角形。来验证一下，我们在验证的时候一定是什么啊？拿最长的那条 秒边，他的平方跟最短两边的平方和去比较，一定是这样的，这是最便捷的方式，听明白了吗？好，每天一个小视频，初中数学轻松赢，一起讲。

解三角形是我们经常遇到中线的问题，如果是小题，我们直接用这公式就可以了，如果是大题，我们需要把这个公式完整的推导出来，那么下面我们一起来推导一下。这是一个三角形， a、 b、 c 对应边分别是小 a、 小 b、 小 c， 然后 d 是终点 a、 e、 d 的长度，那么咱们现在为了求成长度，咱们设成是 x， 那么解这个中线长度呢？我们需要用到双这个双三角形的一圈零点，这边一个三角形，这边一个三角形，那么这两个三角形的关键点在哪？就是关联在这个角上，这个角和这个角是互补的，所以我们可以知道叫这个角为阿尔法，这边叫阿派减去阿尔法。 那么这个三角形来预选定理怎么去处理呢？ cosin alpha 等于塌方加塌方减，塌方比上它乘它二倍点，它乘它，那么也就是这块是二分之一的平方， 这块呢是 x 方，那这块是 c 方，比上两倍的他乘他，也就是 a x， 那同样呢，这个三角形我们可以做相同操作， cosin 派减去 alpha 应该等于他方二分之一的平方， 然后它的平方呢是 x 平方，减去它的平方是 b 方除以啊， 两倍的叉叉也是 a x， 对吧？那问题的关键呢，就是扣三二法跟扣三拍减二法这两个角是互补的，所以他们的余选值应该是相反的，也就说这个值加上这个值应该是等于零的， 所以咱就可以把它和它直接加起来，而且我们要注意到它们的分母是相同的，所以只需要把分子相加就可以啦，也就是二分之 a 的平方加上 x 次方减去 c 方，加上二分之 a 的平方加上 x 方减掉 b 方。应该是等于零的，他们两个相加等于零，那这样的话，二 x 方就等于把 b 方 c 方挪到右边去， b 方加上 c 方 四分之一方，四分之一方是二分之一方挪到右边去之后边上减去二分之 a 的平方，把二除过去， x 方等于四分之 二， b 方加上二 c 方减掉 a 方。所以 x 开根号等于二分之根号下二 b 方加上二 c 方减去 a 方。掌握这个公式很多题目里边我们用的着。

现在我们来展示一下三角魔方的复原方法，来三个公式，下下上上。第二个， 下，左上左下，左上下，左上左下左上。第三个，右下，左右下，左右上，左右下，左右上， 做三个公式。公式记下来之后就是第一个第一步就是先恢复底面，底面是我们通常为黄色，黄色这个动作主要是做下下向上就可以恢复。

大名鼎鼎斯库顿。如果 ad 为角， bac 的角平分线，我们就有一个很经典的公式，也就是说呢，叫做 ad 的平方等于 ab 乘 ac， 减去我们的 bd 乘 dc， 你就可以记忆为中间 ad 的平方等于上面的积， ab 乘 ac， 减去下面两个相乘 bd 乘 dc， 也就是说用处非常广泛。我们来看这道例题， ac 等于根号十，然后呢？我们的 ad 也等于根号十， 然后别人告诉你 cd 等于二，让你求 ab 的长，你看你怎么求呢？你把 ab 设成 x， 你把 bd 设成 y， 根据我们的脚平分线定理，那是不是应该是二？ x 应该是等于根号十万，也就是这段乘这段等于这段乘这段，那那根据我们的斯库顿定理呢，中间的平方也就是中方，那也就是 根号十的平方是十，等于上机减下机，上机的话，那也就是根号十。 x 减去下边两个相乘，二乘外两个方程，两个位置数，可以很快解得。 x 等于三分之五乘根号十，轻松搞定。

求三角形的面积公式，不只有底乘以高除以二。下面这七个公式你知道几个？全知道的都是真学霸，如果不知道还不快保存。

好在高考中啊，解三角形，我把它归为中档体。那么解题方法和规律呢？我总结了这样的三个方面， 一是一个关键，二是两个公式，三是三个意识。那么一个关键就是指从已知条件中抽象出可以利用郑宇轩定理的条件， 那么两个公式就是正旋定理、预旋定理以及他们的变形。那么三个意识就是边角互化意识、向量意识和三角形面积。公式意识。提分秘籍我给他归纳为三方面， 灵活选用公式，涉及中线和线段分点等问题，可考虑项量工具。涉及中线和角并分线等问题，可以考虑三角形面积。

这就是学霸口中的背脚公式，还有不知道的感觉，收藏起来。

学校不教考试却非常好用的高级公式，今天给大家介绍的是非常漂亮的正切横等式。那么什么是正切横等式呢？就是在三角形 a、 b、 c 中，必然会有摊着 a 加摊着 b 加摊着 c 等于个摊着 a 乘摊着 b 乘摊着 c。 比如说这样一个题目，直接套用正接口等式上下比对可得摊整 c 就会等于个根号，三角 c 等于三分之败。所以答案选 a， 关注我得高分！

无独有背角定理，湖北十一项联考刚考，这不广东高三联考也考到了。 a 等于二 b。 利用背角定理，我们就有 a 的平方等于 b 的平方加上 bc， 所以 b 等于是带入 a 的平方等于十六加上 cc， 也就是 a 等于根号 十六加上四， c 等于两倍的根号， c 加上四。而三角形当中两边之和大于第三边，所以 a 等于两倍，根号， c 加上四， b 等于四大于 c 减得 c 属于零到十二。三角形边长均为正整数，所以只有当 c 等于五十， a 等于两倍，根号， c 加四才是一个整数，也就是两倍根号，五加上四等于六。你学会了吗？