鸽巢问题解题技巧

割草原理三大题型求至少数，我们把苹果尽量平均分，这样每个框里的个数最少，如果有余数再加一就是至少个数了。 求物体数。假说我们太倒霉了，每个颜色都抽出了四个，那么最后再抽一个就肯定有颜色是五个了。 求抽屉数，我们先藏起来一个，然后每人分四个，看看要分多少人，再把那一个加给其中一人，就能求出人数了。

这道题搞懂了以后，这类至少才能保证的题目，你就再也不会掉坑了，至少就是最少保证就是一定这里摸出的球要满足两个颜色相同，这是一个最不利原则问题， 也就是运气最差的时候，那最倒霉的情况是什么呢？这里有六个黄球，五个红球，四个篮球，要保证摸出两个球的颜色相同。比方说，第一个摸出的是黄球， 如果第二个还是黄球的话，就摸到了两个颜色相同的球，但是呢，他是要保证能够摸到，所以运气不太好的话，第二个摸到的是红球， 第三个摸到的是篮球，这时已经摸了三个。接下来如果再去摸一个的话，如果是黄球，黄球就有两个，如果是红球，红球就有两个。如果是篮球，篮球就有两个。所以说第四个球不管摸到的是什么颜色的，都可以保证有两个球的颜色相同。 所以说至少摸出的个数是三种颜色的球，列式是三加一等于四个， 所以至少摸出四个球，才能保证有两个球颜色相同。接下来第二问，保证有两个不同颜色的球。最倒霉的情况就是一直摸到同一种颜色。首先考虑选数量最多的， 这里把最多的六个黄球全部摸出来，全是同一种颜色，因为黄球全部摸出来了，剩下的只有红球和篮球。这时再摸一个，一定是红球或篮球， 就能满足有两个不同颜色的球了。那就是至少摸出六加一等于七个，所以至少摸出七个球，才能保证有两个不同颜色的球。第三问，保证三种颜色的球都有， 还是考虑最倒霉的情况，就是一直摸到同一种颜色，按顺序把数量最多的先摸出来。我们先把数量最多的黄球有六个全部摸出来，这时是不是只有两个颜色？ 题目要求是三种颜色的球都有，因为黄球和红球已经全部摸完了，那接下来任意摸出来的一个球一定是篮球。 现在是不是三种颜色的球都有了？也就是至少摸出六个黄球加五个红球，再加一个篮球等于十二个，所以至少摸出十二个球，才能保证三种颜色的球都有。

今天咱们来挑战一道经典的割草问题，很多孩子总是傻傻弄不清楚，其实用最不利原则几步就能算明白。首先咱们先把扑克牌的构成理清楚，这是解析的关键。 一副扑克牌共五十四张，包含两部分，两张大小王盒，四种花色，共五十二张，黑桃、梅花、红桃、方块，每种花色各十三张。接下来用割草问题的核心思路，最不利原则也就是先想最倒霉的情况， 要啥没啥来解决这个问题，至少就是摸出最少，保证就是一定能符合要求。好，现在开始摸牌，我们要摸三张牌的花色相同，最倒霉的情况就是 先把两张无花色的大小王全摸出来了。接着假设取出了一张黑桃，请问你接下来最想拿到什么？是不是黑桃？别忘了要啥没啥。我们继续拿到一张梅花一张红桃一张方块。 现在各种花色都有了一张，那我们继续取黑桃一张，梅花一张，红桃一张，方块一张。这时四种花色都有了两张，如果我再拿一张，肯定不会是大小王了，这张牌只能是这四种花色其中的一种。假设拿出来的是一张黑桃， 现在黑桃就有三张，也就是说不管摸到哪一种，这种花色的牌数都会从两张变成三张，刚好满足了题目要求， 所以摸出的总张数就是两张大小王加上四种花色，每种各两张，再加上最后任意一张，花色列式为二，加二乘四，再加一等于十一张，所以至少摸出十一张，才能保证有三张牌的花色相同。

你知道吗？数学里有一句话，听起来蠢到令人发笑，却让全球顶尖密码学家到今天都绕不过去。就这一句话，五只鸽子，四个笼子，必有，一个笼子挤了两只，就这对，就这。但接下来我要告诉你的是，可能会让你重新怀疑你以前对简单这个词的所有判断。 先给你出一道题，我现在闭上眼睛，你在地球上任意指五个地方，我保证我一定能找到一个半球，把其中四个地方全部装进去，一次都不会失手。你第一反应是不是这人在说大话？不是的，这不是运气，不是技巧，是一条铁律。 任何人，任何时候，任意五个点百分之百成立，我们后面会揭开这个谜底。先给你一个更直观的震撼，想像一个标准的国际象棋棋盘，八乘八六十四个格子，黑白相间，像一块冷静的世界地图。 现在我们用多米诺骨牌来铺满它，每块骨牌恰好盖住两个格子，三十二块刚好铺满，没有遗漏，没有重叠，完美的让人愉快。好，现在挑战开始了。我把棋盘两个对角的格子各去掉一个，剩下六十二个格子，按理说三十一块骨牌应该能铺满吧？ 很多人听到这里，第一反应是，换个摆法不就行了吗？我见过有人真的拿纸捡了棋盘，坐在地上拼了一个多小时，拼的眼睛发花，就是拼不满。数学家的答案更直接， 你别费劲了，这辈子都拼不满，换一万种摆法也没用。为什么？因为每一块多米诺骨牌，不管横放竖放，必然同时盖住一个深色格子和一个浅色格子，这是这种骨牌的宿命，逃不掉的。 完整的棋盘有三十二个浅色格子，但是被我们挖走的那两个对角，恰好都是浅色的。现在只剩下三十个浅色格子了。可我们有三十一块骨牌，每块都要压住一个浅色格子。 三十一只鸽子，三十个笼子，鸽子比笼子多了一只。结论是什么？必然有一个浅色格子同时被两块骨牌争抢，但规则说，每个格子只能被一块骨牌覆盖。矛盾死局，你连试都不需要试。数学在你动手之前就已经宣判了。 这就是歌潮，原理朴素到像一句废话，却能在你毫无准备的时候一刀封喉。现在回到那个地球的谜题，你在地球上随机选了五个点， 我怎么保证一定找得到装下其中四个的半球？做法出奇的简单，从五个点里随便挑两个，以这两点连成的线为轴，画一条大圆，把地球切成两个半球，这两个点就站在分界线上，两个半球都算他们的，剩下还有三个点飘在那里， 每个点只能落在这两个半球里的其中一个。三个点，两个半球，鸽子比笼子多了一只，所以必然有一个半球装了至少两个漂流的点。那个半球加上切割线上原本的两个点，一共至少四个， 全在同一个半球里。没有例外，没有意外，没有侥幸。有时候，最无懈可击的力量，不是复杂到无人能懂， 而是简单到无处可逃。说到这里，你可能觉得好玩是好玩，但这跟我有什么关系？关系大了。你现在手机里存着多少照片、视频文件？这些东西能塞进手机，靠的是压缩技术。 压缩分两种，有损压缩，牺牲一点画质，换来更小的体积。无损压缩，压缩之后还能百分之百还原， 一个像素都不差。那有没有可能发明一种神级算法，对所有文件都无损压缩，而且还原完美？很多人觉得，技术只要够厉害，迟早能做到。歌潮原理说不可能，永远不可能。 这不是技术瓶颈，是数学判的死刑。道理是这样的，一个有 n 个比特的文件，能表达的内容种类是二的 n 次方，压缩之后变成 m 个比特， m 小 于 n， 那 能表达的种类就只有二的 m 次方，比原来少得多。输入是鸽子，输出是笼子，鸽子数量远多于笼子。 于是，必然有两个完全不同的原始文件，压缩之后变成了一模一样的东西。到了要还原的时候，机器傻眼了，他根本不知道该还原成哪一个无损，就此破功。所以，任何宣称能对所有文件实现无损压缩的算法，都是数学意义上的谎言， 不是还没做到，是永远做不到。现在你看棋盘、地球压缩算法这三个问题，表面上风马牛不相及，一个是天文地理，一个是计算机科学， 但打开它们的是同一把钥匙。五只鸽子，四个笼子，必有一个笼子挤了两只，这就是鸽巢原理。数学家们也叫它鸽笼原理，或者笛利克雷抽屉原理，得名于十九世纪的数学家笛利克雷。它的厉害之处不在于它有多复杂，而在于它几乎无处不在。 图论、信息论、密码学、概率论都有它的身影。数学史上有一类定律，越深入研究，就越让人后背发凉。原来在某些地方，事情的发展根本没有其他可能性，不是大概率，不是几乎确定，是必然，是铁律哥潮原理就是这样一种存在，他教会我一件事， 世界上最危险的力量不是那些声势浩大的复杂，而是那些简单到你根本没把它当回事的道理。当一个足够简单足够深刻的想法站在那里，你绕他多远，他就追你多远。最后送你一句话，那些看起来像废话的道理，往往才是这个世界真正的骨头。

割草问题算不上什么难题，也不是什么核心的知识点，但往往他在选择或者填空题里面会占有着一道题的份额。而解答这类型的题型，我们只需要保持一个原则，叫做最不利原则。好，我们看黑板上的第一道题目， 在四种花色共五十二张的扑克牌中，至少抽出多少张能保证有四张是同一花色的？这个我知道，我一个运气好，抽四张就是同一花色， 你说什么？我说四张就可以，不是上一句话，我一个运气好，但你能不能保证你每次都运气那么好，抽出四张是同一花色呢？那你有没有可能就是说比较倒霉的情况下，抽出的四张是每一种花色 各一张，那只抽出四张，我们就无法进行一个保证了，那这个时候你可能很不服气的再抽出四张来，但是我国有句古话叫做福无双至，祸不单行， 此次又是一字排开的每一种花色各一张，然而你一气之下再抽出四张，但是命运弄人呐，这一次还是一字排开的每一种花色各一张，然后你感觉到很沮丧， 但是这个时候大保底悄然而至。我们来看一下，现在我们已经抽了三轮，然后每轮是抽了四张。好了，接下来我再抽一张的话， 无论他是哪一种花色，是不是必然会有其中一个花色都有四张啊？所以接下来我只需要再抽上一张，就能保证有四张是同一花色的， 所以总共至少我要抽出十三张来。这就是利用最不利原则来解这个割草问题了。那接下来我们看一下第二道题目，在一个班里要保证总有四人在同一个月生日。好，记住啊，这里是在同一个月，不是每一个月。然后问 这个班至少有几人，那我假设每个月他都有三个人， 刚好没达到四个人这个标准，那这个时候需要有多少人？是不是有三十六人啊？那此时我只需要在这个班里面再加入一人的话， 无论这个人是在哪一个月生日的，是不是总有一个月就有四人生日了？所以正确的答案就是三十六加一等于三十七人。

六下鸽巢问题非常难，今天用一个视频讲清楚，包你一看就懂。比如现在有三只鸽子，它们要飞回两个笼子里面，那么总共有几种情况呢？我们要考虑极端情况，比如说这个笼子里面飞进了三只，那另一个笼子就是零只， 当这里是两只，那这边就是一只，这里是一只的时候，这边就是两只，这里没有的时候，这边就是三只， 是不是总共就是这几种情况？我们得出来的结论就是，每一种情况都是总有一个笼子至少有两只鸽子。大家仔细看一下，这四种情况是不是都会有一个笼子里至少有两只鸽子？ 这种题其实是有公式的，就是把鸽子尽量平均分给每个笼子，现在平均分完还剩下一只鸽子， 剩下的这只终究还是要飞回笼子，所以就会有一只笼子至少有两只鸽子。现在我们来实操一下，有十四名亲戚来你家做客，但是你家只有四间客房，应该怎样安排呢？ 是不是要先让这十四人平均的安排到这四个房间里面，也就是用十四除以四等于三于两人。现在每个房间住了三个人，还有两个人没有房间， 那就让这两个人随便挑，不管他们怎么挑选房间，是不是总有一个房间至少有四个人呢？所以不管余数是多少，只能加一。老师说你学会了吗？

歌潮问题谁还不会？一个口诀教会你歌除以潮有余商加一无余商本身上题目十四本书借给四个小朋友，借到最多本书的那个小朋友至少可以借到多少本书？ 我们用数量较多的作为歌，数量较少的作为潮，那么歌除以潮，也就是十四除以四，商三于二，好有余数。我们说了商加一，也就是三加一等于四本。

有黑白红三色珠子各九个，要保证拿出的珠子有五个颜色相同，至少要拿出多少个珠子。 这道题易错，就是填五。很多孩子认为，那如果我拿五个白色，那不就是至少能拿到的珠子数吗？但是忘了一个非常重要的词，叫保证你运气好的时候，你是能拿到五个同颜色的。那么如果是运气不好的时候呢？ 所以呢，这道题就是典型的割草问题当中的最不利原则，也就说我们要考虑他最倒霉的时候， 比如说黑色的，我们摸出来了四个，那按道理这个时候如果摸出第五个也是黑色， 那它就是五个，但是这个时候呢，就得考虑最倒霉。我接着第五个就是摸到白色六七八，也就再摸四个，它都是白色。 那当我第九个要摸的时候呢，我又摸到了红色，而不是黑色和白色当中的任何一个，那继续摸，摸了四次， 你看这会儿黑有四个，白有四个，红也有四个，那当我再摸下一个的时候， 你想想，不管我摸的是黑色或者是白色，或者是红色，都能够保证有一个颜色，它是有五个珠子的。所以这个答案应该是四乘三加一等于十三个珠子。

这个视频我们来看一下五下常考的一个割草问题。那这个题的考点除了考察了解一副扑克牌的组成情况之外，还要利用我们的最不利原则解决我们的割草问题。 好，首先先读题，他说一副扑克牌有五十四张，至少摸出几张才能保证至少有三张牌的花色相同， 所以很明显能够判断出来，他就是我们之前所学过的最不利原则。那首先来分析一下扑克牌的组成情况，大家都知道，我们的五十四张扑克牌中，首先会有一张大王，一张小王各一张，然后接下来会有五十二张 普通的牌，那这五十二张因为他们是花色，所以你必须清楚这五十二张的花色是怎么组成的。非常好，我们有黑红眉方，这个没问题吧？啊，那现在你知不知道 他们的一个张数呢？非常好，黑的有几张？有十三张，红的十三张，梅花十三张，方十三张，这个是清楚的哈。好了，那在搞清楚一副扑克牌的组成情况之后，现在人家要求你是保证有 至少有三张牌的花色相同，所以我们的最不利原则就是说，让最最坏的情况发生完毕之后，你就会逆风翻牌。 所以也就是说我要和你唱反调，你现在想要的是花色相同，那我偏偏给你的是花色不同好不好？所以我现在给你一组黑红眉方，你满足条件了吗？不满足，然后老师再给你一组黑红眉方， 哎，还是打不了三张。接下来想一想，比如说老师，这个时候呢，你无论给我一张黑的、红的、没的或者方的， 我就可以满足有三张牌的花色相同，但是我为了唱反调，偏偏不给你黑红梅芳，我给你个大王，给你个小王行不行？接下来 我最后你还要的情况下，没有办法只能随便给你一张，那么你是不是就能满足至少有三张牌的花色相同？

歌潮问题如果用原理老是理解不过来，那么也可以尝试用公式法，把二十五本书最多放进几个抽屉，才能保证一定有一个抽屉至少有五本书。 那么孩子的老师肯定给过像这样子的三个公式，那其实第二和第三个公式，他是由第一个公式变形而来的，那我们先把公式写出来之后，看如何应用这个公式。物体数除以抽屉数等于商，余余数至少数等于商加一，其实也就是根据平均分 得到了这样子的一个公式，那我们看平常我们更多的遇到的题是求至少数，而这道题我们一个个数据来分析，他说把二十五本书放到抽屉里面去，那也就是说物体数就是二十五， 而抽屉数在这里是未知的。我们先打个问号，一会我们要求他，那商呢？我们看他说才能保证一定有一个抽屉至少有五本书，那么这里的五本书他就是至少数，也就这个地方就是五，那么商呢？就应该是 四加一等于五，所以商就是五来减掉一得到四，所以我们把这个四给带进来，那他说保证一定有一个抽屉至少有五本书，理解一下这个商四在这里是什么意思啊？也就是说平均放到每一个抽屉里面，每个抽屉有四本书了， 而这个余数我们取一，那待会这个余数当中的这本书，我直接放到其中一个抽屉里面去，那就能保证有一个抽屉至少是五本。好，那我们再观察一下这个式子，这个式子它是这样子的，二十五除以抽屉数，我们用个括号来表示等于三十四，余数 是一，那要求这个除数是不是我们用被除数先来减掉余数得到的这个差，再来除以商四就可以得到除数，也就是抽屉数，最后算出来是等于六个抽屉。

六年级今天我们来学割草拓展式，盒子里有同样大小的红球和篮球各八个。 第一题，要想摸出的球一定有两个同色的，至少要摸出几个球。什么是同色？就是 你摸出来的球要么两个红色，要么两个蓝色，这种情况下就叫做同色。现在我们要保证一定的情况下呢，就不能说有特殊情况，只要说我运气好啊，两次摸出来都是红球，或者两次摸出来都是蓝球， 那这种情况是摸两次就能中。但是我们不能保证你两次摸出来一定都是同个颜色，那至少要摸几次球，就是最不利的情况下。假设说我第一次摸出的是红球，第二次摸出来的是蓝球，这种情况下就最不利的条件下， 那不管第一次是红还是第一次是蓝，那你摸出来的两次不同颜色的话，这是最不利的。那接下来你再摸一个球，不管你摸出来的是红色还是蓝色， 那么一定会有两个是同色的。假如说你第二次摸出来的是红球，那么就是两个红的。那假如说你第二次摸出来的是蓝球，那说明就是两个蓝色的。那不管哪一种情况， 那么我们至少要摸出三个球，也就二加一等于三，三个球的情况下，那一定会出现两个是同色的，所以要摸出三个球。第二题要想摸出的球一定有两个不同色的， 至少要摸出几个球。两个不同色什么意思？就是一个红，一个蓝，这种叫做两个不同色。 那你现在看红球有八个，蓝球也有八个，也许我运气好，一次摸出红，一次摸出蓝，那这种情况下有没可能？有可能，但是你不能保证一定就是两个摸出来的颜色是不同的， 所以这个时候我们要至少摸出几个球，那就是最不利的情况下。假如说我摸出来的球呢？一直都是红色的球， 或者一直都是蓝色的球，这种情况有没有？有，因为红球有八个啊，篮球也有八个啊，假如说我一直摸一直摸都是摸到红球，那只有一种颜色好，那红球给他摸完，最多也就是我们 摸出八个红球，最多就是八个红球。你摸完八个红球以后，里面没有红球了，那么你再摸一个，一定会出现是蓝球，所以也就是你要保证一定是两个不同色的话，那么就是八个 红球加一个篮球，这种情况下一定能摸出也就是九个球。那当然还有另一种情况，那另一种情况就是我一直摸都是篮球啊，摸了八次 都是篮球，那你把篮球摸完了，那你下一次再摸一个球，那一定就能摸到红球， 那你看不管哪一种情况，他会出现两个不同色，那这种情况呢？也就是八个球再加一个球，一定能摸出两个不同色，所以我们要保证摸出的球一定是两个不同色的，至少要摸出九个球。

箱里有黑白两种颜色的袜子，各十只，它们材质大小都相同，袜子不分左右。一，至少摸出几只，可以保证配出一双同色的袜子。又是至少又是保证，我们就考虑最不利原则，也就是最倒霉的时候， 黑白两种颜色。假设我先摸一只袜子，那么他有可能是黑色， 有可能是白色，随便选一个，那最倒霉的时候，我再摸第二次的时候，肯定是尽量不能配成一双同色的袜子。所以呢，我第二次最倒霉摸的是白色， 那只有两个颜色，那当我摸第三次的时候，不管摸出黑还是白，假设摸出来的是黑，他都会凑成一双同色的袜子，所以答案就是一、二三，三只。 二，至少摸出多少只，可以保证配出颜色相同的两双袜子？颜色相同的两双袜子，实际也就相当于四只颜色相同的袜子， 那有至少又有保证，那我们还是考虑最不利原则。假设我第一次摸的是黑色，那为了尽量让它们颜色不要相同，那么第二次最倒霉，我摸到的是白色， 那第三次我不管摸黑还是白，假设摸的是黑，那么都会凑成两只颜色相同的袜子。接下来，因为 考虑最倒霉是尽量不要让他太快凑出四只颜色相同的袜子。那我第四次倒霉的时候，我应该摸到的是白色，而不是黑色，因为如果摸到黑色，他就凑成三只，那么就越来越接近四只颜色相同了。好，那第五次呢？ 我继续摸，不管摸黑还是白，都有一种颜色凑成了三只。那么第六次最倒霉，我就不能摸到黑，因为摸黑就凑成四只，那么接下来还是摸到白，那当第七只的时候，不管是黑还是白，比如说是白，他都会凑成四只颜色相同的袜子，所以答案就是七只。