八年级下册数学海伦公式

呃，我们看一道具有补充知识的题目。那么如果一个三角形的三边长分别是 a、 b、 c， 那么设 p 等于二分之 a 加 b 加 c 啊。那么因为它有一点点知识，我们顺便呢，在这儿 呃拓展一下。那么我们把 p 呢？呃，设成是二分之 a 加 b 加 c， 那么 a 加 b 加 c 呢？呃，是周长，所以我们一般把 p 呢，称为是半周长啊，或者周长的一半儿。 那么则三角形的面积呢？有这样的一个公式，那么三角形面积 s 就等于根号下 p 乘以 p 减 a， p 减 b， p 减 c 啊，那么 p 就是我们的半周长。这是一个三角形的面积公式。那么这是什么？古希腊的几何学家呃， 起初的。那么海伦呢？一般把这个呢称为海伦公式。注意，这个特殊情景下还是有一点点用处。 那么说中国南宋时期的数学家琴九勺，那么曾提出了利用三角形的三边球面积的琴九勺公式啊。那么 s 等于这样的一个 表达啊。当然呢，这个就略微看起来复杂一点点。四分之一的 a 方 b 方，什么减后面这些 a、 b、 c 呢？就是三角形的三边啊。 那么他说其实呢，海伦公式和秦酒勺公式呢，本身上是同一个公式，那么因此呢，常称为海伦秦酒勺公式啊。当然，这都无所谓。那么题目呢，是让我们利用秦酒勺公式推导出海伦公式，把这个呢，当已知推出， 我们上面的这个称为海伦公式。呃，那么我们观察一下两个公式啊，其实宏观的形式上就是呃，不接近也得接近啊，他俩本质上就是同一个公式。那么已知呢，是四分之一，我们的这个 a 方 b 方减去 二分之 a 方加 b 方减 c 方。呃，然后呢再平个方，这是海伦公式，要拿它。呃，这是秦九勺公式，要拿它推出。 s 等于根号下，那么 p 乘以 p 减 a， p 减 b， p 减 c 啊。那么因为两个都带括号，所以呢我们可以那么也就意味着只要得到这个根号下两 两部分啊，两个都带根号啊，只要得到根号下两部分相等就行啊。那么前面呢我们能看出来这个最起码呢，我们从因式分解的角度来讲，这可以 这是 a 方 b 方。后面呢是一个括号的平方，可以使用这个平方差公式。那么后面呢，我们也可以把这个形式给他变一下。那么我们现在呢根号就不处理了，两边都有。那么 p 呢，二分之 a 加 b 加 c， 那么然后呢 p 减 a， 那么就二分之 a 加 b 加 c， 再减 a， 那么二分之二 a， 呃，那么就二分之 b 加 c 减 a， 以此类推。二分之 a 加 b 减 c， 二分之 a， a 加 c 减 b 啊。那么就是这是我们从问题倒着来推。那么接下来我们从已知来出发啊，刚露了一个中括号， 呃，融合好在外面。那么我们呢？从已知来出发。呃，我们就根号就忽略掉了啊。那么原是等于 四分之一。然后呢，中括号里面呢是 a 方 b 方减去二倍的 a 方加 b 方加 c 方的平方，所以呢就是方减方。我们可以使用这个 平方差公式。那么 a b 加二分之 a 方加 b 方减 c 方。 然后呢 a b 再减去二分之 a 方加 b 方减 c 方。 呃，使用因式分解。那么接下来呢四分之一，呃，给他通一下分，那么二分之 二 a b 加 a 方加 b 方减 c 方，再乘以二分之二， a b 减 a 方，减 b 方，再加 c 方，我们再继续四分之一的 二分之，那么二 a b a 方， b 方平，呃，完全平方啊。那么 a 加 b 的平方减 c 方，再乘以，那么这块二分之，那么我们观察到这个二 a a， b 减 a 方减 b 方，后面是 c 方，那么就是 c 方，减去这个 a 减 b 的平方。那么再来继续啊，分子呢， 都是这个平方减平方，平方差啊。那么四分之四乘二，再乘二，那么上面呢是 a 加 b 加 c， a 加 b 减 c 啊。 那么接下来呃乘以 c 减 a 加 b， 那么 c 加 a 减 b， 得到这样的一个形式。那么这个形式和我们最终的目标 呢？来对应一下。最终的目标呢？是分母呢，四个二，那么这呢四乘二乘二，所以分母没问题。之后呢， a 加 b 加 ca 加 b 加 c， 那么 b 加 c 减 ab 加 c 减 a 是这个， 那么 a 加 b 减 c 是这个，那么 a 加 c 减 b 是这个。所以， 呃，从已知的前九朝公式，我们最终推出这个所谓的海伦公式。呃，当然呢，作为一道知识题，这个海伦公式尽量在脑海中过一下，因为呢，这个在特定的情形下，有时候呢会有点用处啊。那么 三角形的面积等于根号下的半周长，乘以半周长依次减去三边的乘七啊，得到三角形的一个特殊的面积公式。 ok。

好，我们有很多同学喜欢用这个海能公式直接算三角形的面积，是吧？也就是我们知道三角形的三条边长，就可以直接利用这个公式来算 哇，看一下 pb 的 p 减 a 乘 p 减 b 乘 p 减 c， 其中这个 p 是三角形周长的一半啊，那今天我们来看一下海南公式到底是怎么回事？ 其实我们学习了勾股定理，就可以直接印算出来，他就是我们基础的计算嘛，是吧？我们三角形本身的面积公式，底层高除二啊，所以我们要做条高，我们就做最长边的 把这个高 h， 那这个时候是不是有两个直角三角形啊？ a 就分成两部分，我们假设这是 x， 那这边就 a 减 x， 那么 h 方是不等于左边 c 方减去 a 减 x， 他的平方就等于右边 b 方减 x 方的。然后我们把这个块去掉 a 方加上二 a， x 减去 x 方啊，左右两边 x 方消掉，那是不是可以表示出 x 呀？ x 就等于 a 方加 b 方减 c 方除以二 a 把表示出 x 之后，这高 h 就能算出来，我们可以直接带入到这个里面。 h 方是等于 b 方减 x 方，随着 h 就等于 c 二下 b 方减去 x， 是这个直接灯去二 a 分支， a 方加 b 方减 c 方，他的平方，是吧？这个面积就等于二分之一乘底乘以高，底是 a， 高是 h， 那么就乘以隔二下 b 方减去 二 a 分之 a 方加 b 方减 c 方，他的平方。那么这里我们是不是可以把根号下面的先化解一下啊？是吧，可以利用平方插钩式吗？ 就等于二分之一， a 跟二下 b 加上二， a 分之 a 方加 b 方减 c 方乘以 b 减去二， a 分之 a 方加 b 方减 c 方，是吧？然后通分， 前面就是二分之二， ab 加上后面，那后面一项二 ab 要变号，减去他 减去加上。那接下来这个分子是不是可以凑成完全平方式啊？ a b a 方 b 方啊，随着就是 a 加 b 他的平方啊，然后减去 c 方，后面这个也是 led a 方 b 方提个符号之后也是一个完全平方式， 这就是 c 方减去 a 减 b 他的平方。那接下来这个分子是吧？又可以用平方叉，那就是 a 加 b 加 c 乘以 a 加 b 减 c， 块就不用了啊，看清楚中间这个乘二，然后第二项就是 c 加 a 减 b 乘以 c 减 a 加 b， 挂减成这样的了。接下来这两个分母的 a 是不是可以跟跟上外面的 a 给约掉啊？这个 a 跟这个 a 把跟上外面的 a 约掉，然后把这个二分之一一到跟上里面，那就是四分之一，后面还乘一个四分之一。那我们看一下，分子有四项，然后分母是十六，所以就等于跟二下， 每一项都分一个二分之一，就二分之 a 加 b 加 c 乘以二分之 a 加 b 减 c， 再乘以二分之 c 加 a 减 b， 再乘以二分之 c 加 b 减 a。 好，那我们算到这里，实际上他就是个半成品了，我们为了看起来简便，把这个三角形他的周长登进去，所以说我们第二项里面 a 加 b 加个 c 加个 c， 是不是要减去二 c 啊？然后我们这里加上 b 减去二 b 这里加上 a 再减去二，也就可以了。那接下来这二分之 a 加 b 加 c， 他就周长一半嘛，我们就可以用个 pb 表示啊，第一项是 p， 第二个就是 p 减去二， c 除以二，也就是 p 减 c， p 减 c， 第三项就是 p 减 b， p 减 b， 第四项是吧？ p 减 a， pga 啊， p 就是这一个。实际上我们这种思路在学习勾股地理那一块也经常用到嘛啊，比如说我们知道三角形三条边长， 比如说是五八，这个是十的话，那要求出他的高，是不是做条高，你用勾股地理把这个高求出来啊？啊？就我们这个思路，只不过现在我们用一个通式啊，也就是一个公式把它表示出来了啊。

如果到了初中，你还只知道三角形的面积是二分之一乘以底乘以高，那可是不行的。今天这道题呢，我们就要利用三角形面积的另外一个公式，那么我们先来读题啊，看一下要用哪一个。这里告诉了三角形 abc 的三边 abc 啊，他们之间有这样的关系，首先 a 长度是六，然后呢，另外两个边 b 加 c 呢？长度是一个十啊，加起来是十，求的是他的这个面积的最大值。 好，那么这里啊，你都不知道这个三角形到底是长什么样子，对吧？谈不上底，谈不上高， 那么此时我们可以利用海伦公式，从三角形到三边来求他的面积。那么海伦公式说的是什么？说的是三角形的面积等于根号下 p 乘以 p 减 a， 再乘以 p 减 b， 再乘以 p 减 c。 好了，这里的 p 是谁呢？ p 是三角形周长的一半啊，但是我们这个式子呢，它就等于 a 加 b 加 c， 除以一个二 啊，直的话呢，应该是六加十，除一个是一个八，对吧？好，那接下来呢，我们就利用这个公式来把它的面积往下哎，写一写，看看能不能去求这个最值啊。 那么这里我们直接带进来， p 是一个八，好， p 减 a， 那就是八减六，这边八减 b， 这边八减 c， 放在这里， 然后前面这两个可以乘十六，开出来是一个四倍的，对吧？好，根号下是什么呀？八减 b， 再乘以一个八 减 c， 好，到这我们看到这里面 b 和 c 两个变量，对不对？然后再结合前面已知条件， b 加 c 呢，是一个十，我们不妨呢把它先变成一个变量啊，也就是说我把这个 c 进行一个替换，把 c 等于十减 b， 好，带进来之后，我们就会有 四倍的根号下八减 b， 再乘以这边十减 b， 带起来应该是一个 b 减二，好，到这之后啊， 哎，我根号下这一串是关于 b 的这样的一个式子了，那么此时我要 s 的最大值，也其实就是要这个东西的最大值，那么他的最大值是多少呢？ 我们不妨把它展开去看一下啊，这里，哎，是一个负 b 方加十， b 减十六， 好哎，你看到这个东西是不是想着可以配方呀？所以我们来看一下这块配方完了，应该是一个负的 b 减五括号平方后面啊，数字应该是一个加九。好，接下来再来看 这个东西，我要让他最大，简单了吧，因为前面这是一个完全平方式，他是大于等于零的，带上负号之后呢，这一项一定是小于等于零的， 那么我要让你这个整体最大，是不是我让你前面这一块等于零就行了，也就是说我让这个 b 等于 五，此时这一项是零，整个跟哈尔夏这一块是最大的，最大是一个九，那么此时我的 s 是不是就是最大的了？最大应该是四 四乘以根号，九四乘以三，结果就是一个十二，那么这样我们就要面积的最大值求出来了。那么这道题啊，我们在整个求最大的过程中呢，是给他进行了一个配方，然后利用完全平方式这样去求的最大值。 除此之外啊，你像在这一块呢，我们也可以借用君子不等式，或者呢，你到了这一段之后啊，也可以把它看作关于 b 的一个二次函数，然后画出来图像， 这边是一个二，这边是一个八，哎，得到在对称轴的时候有最大值啊，根据二参数的这个角度也是可以去求他的，最值的方法比较多啊，看同学们擅长用哪一个。那今天呢，我们就要讲到这里。

海伦琴九勺公式，柔和丝滑转变好，各位同学，大家好，我是你们的严老师，今天我们来看海伦琴九勺公式如何推导。今天的计算量比较大，并且我在结尾给大家留了一个挑战题，希望大家能耐心观看完。首先我们有一个三角形， 现在我们要求它的面积，那我们直接就是做高，然后呢把这一条直角边设为 x， 它就是 a 减 x， 利用勾股定零点方程，我们减 x 求高面积 s， 这个时候就直接等于二分之一倍的底，就是 a 高就是 h， 就是这一个庞然大物，所以话我们就直接等于二分之一 a 倍的他， 这个时候我把 a 直接乘到根式里面，他就变成是根号下相当于乘的一个 a 方，所以我们就可以处理成是这样一种形式，此时我们就可以得到秦九朝公式，他就是我们老祖宗的智慧结晶。而秦九 九勺公式如何变成海伦公式，我们继续来进行处理。通过观察根号下面 c 方 a 方可以直接变成是 ca 整体的平方又减一个平方，平方减平方直接因式分解，所以我们就变成是 ca 加它， ca 减它，两者相乘， 再次通分，把 c 通到分子上去，此时我们这三项可以加一个括号，这三项也可以加一个括号，因为他们刚好又是两个因式分解的完全比方公式，所以我们这个时候 就变成是 c 加 a 和的平方减 b 方以及 b 方减 c 减差， c 减 a 差的平方，此时我们平方减平方，平方减平方，又可以因式分解，所以分子的话可以处理成是这样的两个整体相乘，他也是这样两个整体相乘。 然后我们把根号外面的二分之一提到根号里面，相当于乘了一个四分之一。我拆成两个二分之一，分别写到两个分母里面，四十 十。我们再次令第四个字母小 p 等于我们三角形周长的一半，那说明我这个根式下面的这个整体，他除以二是不是刚好就是一个 p？ 这个整体除以二，刚好就是一个 p 减 b， 这个整体除以二的话，刚好就是 p 减 a， 那它就是 p 减 c。 所以我们就得到了我们的海伦公式，这就是我们九勺边海伦的全过程。我们的挑战题是， 这三边分别是根号五，根号六、根号七，那他的面积又是多少呢？知道答案的同学请在评论区留言，如果你能听懂并理解的同学，麻烦给钥匙点波关注和小爱心，谢谢大家！

上个视频啊，我们讲过，任意的三角形，只要知道他三边的长度，那么我们就可以求出他的面积，那么我们用的方法呢，是做某一条边上的高射位置数啊，根据勾股定理列方程求出高，从而求出面积。 那么这个视频我们要放大招了哈，我们用海伦公式啊，来求三角形的面积，话不多说，我们直接上公式啊，这个公式这么说的啊，若三角形 abc 三边的长分别为 abc、 g、 p 等于二分之， a 加 b 加 c 啊，啥意思呢？ a 加 b 加 c， 那就是周长喽，再除以二，所以这个 p 啊，就是这个三角形的半周长啊，周长的一半，那么这个三角形 abc 的面积啊， s 就等于根号 倒下， p 乘以括号 p 减 a， 再乘以括号 p 减 b， 再乘以括号 p 减 c。 哎，这个同学，这个式子怎么这么复杂，好吓人呐啊，我们还以上面的例那个那道题为例啊，直接套公式哎，上面三角形，我们说这三边啊，分别是十三、十四，十五啊， 那我们按照这个步骤，按照我们先算 p 啊，先算周长的一半， p 呢，就等于二分之啊，十三加十四加十五等于二十一。然后直接套公式啊， s 呢，就等于根号下 p 乘以括号 p 减 a， 那 p 是二十一就乘以括号 p 啊，分别和三边相减吗？这个半轴长二十一啊，减十三十八，减十四十七，那个减十五呢，是六啊，就等于跟下八十四。 这个地方有个计算的技巧，我顺便说一下，有同学啊，他说根号里面，哇，这么大，二十一乘以八乘以七乘以六啊，算出来开根号好难啊。这个地方是有计算的技巧的啊，怎么做比较容易呢，不需要算出来哎，我们可以把这个二十一啊，我们观察一下，他 后面不是有个七吗？二十一可以拆成七乘以三啊，这样的话，两个七相乘，我们就可以开出一个七出来了啊，用同样的方法啊，去找到两个相同的因素就可以开出来。 好，那么这个海伦公式啊，是怎么来的呢？有同学说，哎呀，我直接记住了就行了，直接套公式计算对吧。那么我们一个公式啊，不光要知喜人，还要知己所以然，这个就是我们学霸跟我们普通同一般同学的区别了，对不对？他 想的更多啊，比如说，有同学可能会想啊，这根号里面 p 减 a， p 肯定是正数了， p 减 a， p 减 b， p 减 c， 这三项可不可能出现某一个负的呢啊，那到时就尴尬了啊，出现一个负数的话，结果为负数，那就没有意啦，这个面积对吧？ 那可不可能呢，我们不妨去啊，去证明一下，去探讨一下对不对啊？很显然，我们要证明正负性的话，根据这个 p 啊， p 减 a 为正还是为负呢？我们可以用三角形的三边关系啊，那呃， b 加 c， 我们看这个整体， b 加 c， 两边之和要大于 b， 三边他是不是要大于 a 的 啊？那么再加一个 a 呢，这个分子不就大于二 a 了吗？再除以一个二啊，那就大于 a， 所以 p 是大于 a 的，那同样的方法， p 是大于 b 也大于 c 啊，所以这三项都为正啊，遇到问题，我们不妨多 思考思考，那这个公式是怎么来的呢？怎么证明哈？哎，那我们就要推广到一般的结论了，这个三角形就不再是具体的数了啊，这三条边，那我们记这条边呢，就是 a 啊，这条边是 c， 这条边是 b， 所以啊，方法其实是一样的啊，我们仍然是过 a 点向 bc 边做一个水线段，做这个 bc 边上的高 ad 啊，只不过呢，这个时候啊，我们用这个字母来计算了，这个计算量，就有点恶心了哈，没有具体的数了，仍然设 bd 为 x， 那么 cd 就是 a 减 x 啊，这条边是 c， 这条边是 b， 那么下面我们的思路啊，啊，就是要把这个 x 啊，用 abc 表示出来啊， x 表示出来以后呢，再用勾股定理表示出这个 a d 啊，然后再算出面积啊，这个好像有点吓人哈，我们不妨把这过程去推倒一下。很多时候我们数学啊，就是摸着石头过河啊，一步一步的去推倒出来的啊，没有哪个天才说我一眼就看出结论啊， 那我们不妨去写一下啊，方法其实是一样哎，根据前面的勾股定理列方程， c 方减 x 方等于 b 方减去括号， a 减 x 括号方在前面的勾股定理哈，有人说下面那个什么玩意，不好意思啊，这个 ppt 玩的有点菜， 请将就看一下啊。好，我们列出这个方程以化，然后把右边这个完全平方给他展开啊，所以下一步， c 方减 x 方等于 b 方减去 a 方，注意变符号啊，加二 a x 再减 x 方，那两边减 x 方消掉，我们要表示出 x 嘛，好，所以这种 x 呢，二 a 分之， a 方加 b， c 方再减 b 方， 好表示出 x 以后啊啊，下面要算 a d 了，这个高啊，那 a d 呢，根据购物定理，就等于根下 c 方减 x 方啊，我直接带入了啊，调一步 c 方减去 x 方，那么这个 x 平方呢？分母 二 a 括号的平方就是四一方，那这个分子啊，哎，这个整体的平方，不要急着把它展开了啊，因为你展开了以后呢，会出现四四方，而且像数 很多，对吧，比较恶心，先别急着展开来，等会看看有没有其他简单的方法啊。好，然后呢，下一步就是通分了啊， c 方分之 cc 减去括号，这一 火的平方啊，哎，我们发现这不是平方差公式吗？啊，这个整体的平方前面啊，四 a 方 c 方是不是可以看作二 ac 这个整体的平方啊，哎，这不就是平方差公式吗？ 所以啊，我们用平方大公式。为什么用平方大公式可以实现降次啊，对不对，避免出现四次方啊，所以平方大公式啊，就是啊，两个相加乘以两个相减了，就二 ac 加上后面括号里面这一坨啊，然后再乘以括号，减的时候要注意变符号啊， 就减 a 方减 c 方，再加 b 方啊，那下一步怎么处理呢？我们继续降刺去观察一下这个分子，哎，这个不是完全平方吗？ 你把它写成完全平方以后啊，再减 b 方，不又可以用平方差公式，是不是二次可以降为一次啊，那右边呢？哎，这个好像也是完全平方，但是符号不对呀，哎，符号好像不对劲，但是如果我把符号提出来，不就可以表示出啊，写成完全平方了吗？ 啊，所以啊，这个地方啊，翘一步，分母仍然是四一方，那分子呢？ 啊，这三个写成这三项啊，正好是 a 加 c 括号方减去 b 方啊，然后第二个中括号里面啊，我跳了一步，那就是把 b 方写到前面去，减去括号那三个，那三个正好是啊，完全比方 a 减 c 括号方啊， 好，然后下一步又可以用平方答公式了。好，所以 a 分子上呢啊，前面的就是 a 加 c 加 b， 然后呢，乘以两个的差，就是 a 加 c 减 b 啊，这边呢，就是 b 加上 a 减 c， 然后注意变符号啊，两个的差的时候 b 减呃， a 再加 c， 注意这个变符号啊。 哦，下面怎么办呢？哎，我要推出这个海伦公式啊，下面我要换成 p 了，对不对？哎，怎么换 p 呢？哎，我们 p 是半轴长呐， 哎，我们可以整体啊，我们可以凑整啊，凑 a 加 b 加 c 这个整体， a 加 b 加 c 不就等于二 p 吗？ 哎，二 p 啊，为什么要这么凑呢？你看，我发现这里有一家 bjc， 然后这边字啊，我要想办法凑出 a 加 b 加 c， 怎么办呢？哎，我可以把 a 加 c 啊， 由这个 a 加 c， 我是不是可以写成二 p 减 b 这个整体啊，二 p 减 b 啊，然后再减一个 b， 不就是二 p 减二 b 吗？那同样的 a 加 b 啊，这个整体 a 加 b 这个整体，我把它移过去，是不是二 p 减 c 啊 啊，二 p 减 c 再减一个 c， 就二 p 减二 c， 那同样的这一项啊，我把 b 加 c 看作一个整体，这个 b 加 c 可以换成二 p 啊，减 a 啊，然后再减中间的一个 a 啊，所以就得到这个 啊，然后呢，我直接算面积了啊， s 就等于，因为刚刚算的是 ad 高啊，那二分之一乘以几乘以高二分之一 几边是 a 啊，我就这样写了，二分之 a 乘以根号下这一坨啊，然后呢，因为，因为我这个海轮公式全部在根号里面啊，所以我把二 a 方呢，哎，放到根号里面去，平放一下，就是四 a 方啊，四分之 a 方，那么 a 方和分母的 a 方啊，约掉， 然后呢？分母就变成十六了吧，四，四十六哈，好，然后 a 加 b 加 c， 直接换成二 p 啊，然后这个呢，换成二 p 减二 b， 好，把 a 加 c 看作一个整体 啊，然后我们发现啊，这分子上这四坨相乘，那每一项是不是都有个二，那中间这一项我可以把二提出来，是吧？二倍的括号 p 减低啊，啊，这个每一个都提一个二出来，哎，四个二相乘正好是十六哎，跟分母上的十六就约掉了，所以 最终的结果啊，就是 p 乘以括号 p 减，哎，这个海轮公式就出来了哈。好，那么这个视频我们就讲到这里哈， 那下个视频呢，我们讲海伦公式跟这个二次函数的一个最值问题的一个结合，一个综合题啊，难度有一点点大， 那么这个数学公式啊，做 ppt 很不容易，尤其是这个公式编辑实在太麻烦了哈，所以麻烦大家高抬贵手哈，点个赞呗。好，谢谢。