作三角形的三条高的方法步骤

大家好，数学中有这样一个命题，叫做三角形的三条高必会相交于一个点，它等价于这样一个问题。就是有这样一个三角形，先做两条高 b、 e 和 c 的， 然后相交于 f， 那 么 a、 f 连接起来之后一定会垂直于 bc， 因为你说三条线交于一个点，他就等价于什么。你先让另外两条，你先让两条线交于一个点，然后你你再让第三条线，怎么样呢？你再再让第三条线过那个点就行。 所以我刚才说，你可以这个面题变成什么？变成 b、 e 和 c 的 相交于 f， 然后你去证明这个第三条高，经过 f， 你 还可以证明 a、 f 是 垂直于 b、 c， 加上 a、 f 往往前延长是第三条高都行。那么我们选取其中的一种，其中一种命题的表述方法就是 有这个 b、 e 和 c 的 相交于 f， 我 现在就证明 a、 f 垂直于 b、 c 来证明 a、 f 垂直于 b、 c。 哈，怎么证明？我们可以用四点共圆，当然也可以用相似哈，这里四点共圆是非常清楚明白的证明， 大家请看这个的和 e， 这个两个地方是垂足，自然就有九十度。 a 的 f、 e 四点共圆， 它的理由是什么呢？写一下对角互补嘛，好，然后呢？ b、 c、 e 的 也是四点共圆， 那有的听人说，老师这个也没有 b、 c、 e 得，也没有四点共圆，也没有对角互补呀，咱们可以看成是什么 b、 c 的 上方有个 b 得 c 这样一个直角三角形，还有个 b、 e、 c 这样一个直角三角形， 那么我们可以认为是什么呢？是同弧所对的圆周角相等，是不是？所以就是如果在一个三角形的同侧，同侧有两个顶角相等，则一定是四点共圆的 同侧顶点相等。惠斯顿公园，当然这个地方写的可能不太严谨，但是我觉得写的越多，学生听得越迷糊，我就把主干给说清楚就行了。 好，那么我们来看哈，我现在连接 a、 f 并延长到 h， 现在的问题就是要证明这个地方是一个直角，对不对？好，大家请看。 刚才咱们说了，这个地方有个四点公园来， b、 c、 e 的 四点公园来。我们用黑笔来表示这个地方的角一和这个角二， 角一和角二相等吧，同弧是吧？这个弧过会儿有个弧弧 e、 c 所对的圆周角有个角一，还有个角二吗？ 角一等于角二。好，我们再看，我们想办法搞出这个角这角三， 这角四对零角，这肯定相等。好，再看啊，角三和角四肯定相等，我们想办法搞出二加三等于九十，对不对？如果二加三等于九十，咱们这道题就大功告成。来，大家，咱们再看啊，四，哈， 哎，你看四是这个 a、 e 这个弧哈，过了一个弧所对的这个圆周角，那么同弧所对的圆周角还可以对到这里来。五， 哦，发现四和五相等，四和三相等，所以五和三相等。 角三等于角四等于角五。 好，因为这个一加五等于九十度。同学们，一加五等于九十度，所以你看一和五嘛，黑的和蓝色的加起来等于九十度，所有的黑的都相等，所有的蓝色都相等，所以二加三等于九十度。 角二加角三等于九十度，所以这个 f、 h、 b 等于九十度，所以 a、 h 垂直于 b c。 好， 我是用的是四点共圆的方法来证明四点共圆 特别强大，四点公园特别强大。那么我们这本书里面有详细介绍四点公园，并且里面觉得有十几个例子非常好，证明他在多边形里面去解决一些问题是非常非常方便的。 呃，这种四点公园的方法，我们往往都可以用反 a 形的相似来证明，反 a 形的相似来证明。好吧，好，这题我们就说到这里。

问题就出在钝角三角形，这高指的是对边顶点向对边去做垂线段。第一个三角形是不是用个一共就三个顶点？有大傻子就这么做？ 你这玩意垂直吗？你看不出来吗？然后接着说过，对边引不了垂线，就对边所在直线去引垂线 延长，这个这个就做完了，接着还剩谁啊？飞向对边的直线做垂线，那这边也得延长。标垂组 f 一定要有套画，如图所示，间断 a 对 cfbe 即为所求。

大家好，今天我们来研究一个新的话题，三角形的三条高为什么会交于点？那我们用两种方法，第一种方法的话，我们使用代数求长的方法来做， 那我们首先来看，在三角形 a b c 当中，我们的 b e 是 a c 边上的高，我们的 c f 是 ab 边上的高，我们的 a h 是 bc 边上的高，那我们先忽略掉 h a h 这条边，我们先看假如说 c f 和 b e 交于 m 点，那我们首先能够看出来呀，这个角角 e 是 等于 角二的，为什么？因为这两个角是对顶角，然后呢，它又是一个直角，那所以说这个角一是等于角二的。那所以说在三角形 a b e 和三角形我们的 c m e 当中，我们能知道这两个三角形有两个角相等，所以说它是一个相似的，那为什么找它俩相似呢？因为我们想把 m e 给它求出来。好，那我们知道三角形 a b e， 它就是相似于我们的三角形 c m e， 它就是相似于我们的 m e 比上一个 b e 好， 那我们再看一下啊，这里面的话， a b e 这个是一个短的角，那所以说这个我们对应点的话写的不对，这边 c m e 的 话，应该是 m c e 好 了，那 m c e， 那 m e 的 话应该比上的是一个 a e， 不好意思啊， m e 比上一个 a e， 它就等于我们的 c e 比上一个 b e， 所以 说我们的 m e， 它是等于 a e 乘上一个 c e， 然后再比上一个 b e 的 好。这个式子比较重要，我们先放在这个，先放在这里，那假如说我们的 a h， 它交我们的 b e 的 话，它不交于 m 点，它交于 m 撇点， 这是我们的假设，那它交于 m 撇点的话，我们知道我们又能找出来两个三角形相似，那我们的三角形 a m 撇 e， 它肯定是相似于三角形 b c e 的。 好，那我们有这两个三角形相似的话，我们再次把 m 撇 e 给它写出来，那我们的 m 撇 e， 它就比上一个 c e， 它就等于我们的 a e 比上一个 b e 好。 我们进一步解出来 m 撇 e， 那 m 撇 e 就 等于 a c 乘上一个 c e 比上一个 b e 好。 我们观察我们这个是二式，我们观察一式和二式分子的话，它是 a e 乘上一个 c e， 那 分母的话只有 b e， 所以 说它俩是完全相等的，它俩完全相等的话，我们就知道了，那 m 点和 m 撇点是重合的。 进啊，我们的三条高线交于一点，我们就不说了。好了，这次我们用纯代数的方法与用三角形相似，把三条高交于一点这个结论给它证明出来了。那么我们再看我们有没有第二种方法。在高中啊？我们学习了平面向量，那我们看一下，假如说在这个三角形 a b c 里面，我们 a e 是 垂直于 a c 的， 也就说 a e 垂直于 a c 的， 也就说 b f 是 a c 边上的高，那我们要正 c m 啊，它延长过以后是不是 b c 边上的高？那因为我们的 a e 是 b c 边上的高，所以说我们有 a e 是 垂直于 a c 的， 那 a m 也垂直于 a c， 所以 说我们的 a m 点成我们的 b c， 它是等于零的。那接下来我们该怎么做？接下来的话，我们要把 a m 表示成 c m 的 形式，那我们知道 a m 的 话，它就等于 c m， 然后再减去我们的 c a， 然后这边是乘上一个 bc 等于零。好了，我们把这个展开，那也就是 c m 乘上一个 bc， 就 等于一个 c a 乘上一个 bc， 这是我们的一式。那同理，我们的 b f 是 垂直于 s a c 的， 所以说我们的 b m 点成我们的 ac 也是等于零的。那我们把本把 b m 表示成我们的 c m 的 形式，也就是说我们的 c m 减去我们的 c b 点乘我们的 a， c 是 等于零的。好，这里面我们能够得到 c m 点乘我们的 a， c 是 等于我们的 c b 乘上我们的 a c 的， 那这是我们的二式。 c b 乘上 a c， 那 边是 b， c 乘上 c a， 正好两个相反，所以说它俩是相等的，也就是说等于 c a 点乘 b c， 那 它又是什么呢？它又是我们把这个式子给它带过来，它就是 c m 点成 bc。 好 了，这里面的话，两边都有 cm， 我 们移向，然后 cm 点成 ac 减去 bc， 它等于零。所以说呢，我们的 cm 点成我们的 ab 是 等于零的。那 cm 点成 ab 等于零是什么意思呢？是说明 cm 是 垂直 ab 的， 所以说只需要把 m 点延长到 h 点，然后我们就知道我们的 c h， 它就是垂直于 a b 的。 所以我们从这里也能证明三角形的这样一个三条高交于一点。好，大家体会一下这两种方法。

开口说数学标，数学思维，好，我们来看一下三角形，按角度分，按边长分，都有哪些三角形，分别做出它们的高，好，我们来看，按角度，那最熟悉不过的肯定是直角三角形，它就是我们的三角板， 哎，这里有个直角，对吧？那如果角度呢？比九十度要大一点点，哎，就要斜过来 这里，啊，比九十度大，我们把它叫钝角三角形。 好，那如果这个比九十度小呢？哎，如果三个都比九十度小，哎，这个呢，我们把它叫锐角三角形， 好，按边长分呢，哎，首先第一个我们比较熟悉的，三边都相等，我们把它叫等边三角形，哎，他也叫正三角形， 哎，就和我们正方形一样，每条边啊，都一样长，哎，所以也叫正三角形。好，那如果只有两条边相等呢？ 哎，我们把它叫等腰三角形，好，每条边都不相等呢，好，一般三角形我们也把它叫不等边三角形， 哎，好的，怎么画它们的高呢？好，第一个我们直角板，哎，这个高已经帮我们画好了， 那高从顶点出发，哎，到底点就像一个小球掉下来一样，从这个顶点，哎，一个小球掉下来，哎， 两个高就画好了，那还有第三个高呢，那这个点怎么办？哎，也像一个小球掉下去，画个垂直符号，哎，所以有第一条高，第二条高和第三条高， 那蹲角三角形怎么画，哎，我们先来看顶上这个点，他要掉下来，我们知道肯定是这样垂直掉下来，对吧？这是地面， 那这里是垂直符号，这是第一个高，哎，他在外边。好，那这个顶点呢？首先呢，我们知道啊，地面在哪里？ 地面在这里，那我往地面掉，肯定得这样掉，是吧？哎，所以这个是第二条高。 好，那第三条高怎么办呢？第三条高我们还是找地面，这个地面找过了，这个地面找过了。哦，第三条边地面在这呢，对吧？ 我们把它画长一点，这个顶点啊，要朝地面一锤子砸过去，啊，肯定是这样子，垂直砸过来，哎，这里是它的高， 所以啊，第三条高，我们把线延长，这样子垂直掉下来，哎，才是它的高，这个呢是我们的第三条。 那锐角三角形就好办一点了，那这是顶点往地面掉下来，这是顶点，往地面掉下来，这是顶点，往地面，哎，掉下来，这是我们的三个高。 好，那等边三角形呢？哎，等边三角形和这个锐角三角形，哎，有点像，对吧？好，那我们这样子，这样子， 这样子，哎，掉下来就可以了，好，等腰三角形呢，哎，其实也是类似， 哎，这样就可以了，一般三角形呢，哎，那我们也是往地面上掉就可以了， 哎，这里面呢，我们尤其需要关注，哎，三角板直角三角形的，还有这个钝角三角形的，哎，比较难画，尤其是第三条，那我们记住关键要领就可以了，哎，三个顶点 到三条对边的距离 就是三条三角形的高了。

我们试卷上有这样一道操作题，画出三角形比边上的高，这个呢，跟我们之前书本上的知识点不一样，我们书本上一般是这样讲的啊，啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这里是 c 啊，他会说过 a 点做 bc 的 垂线，一般会这样讲，但是这里给了你一个三角形，你就要会画， 这里是一个锐角三角形，这里是一个钝角三角形，他在这里都给我们标上了 底，不同的底对应着不同的高，那么画三角形的高啊，老师教大家一招，找对应的顶点。第一个三角形是以 bc 为底，那它对应的点在哪里？相对应的点在哪里？ bc 相对应的点就是 a， 所以 我只要过 a 点做 bc 的 垂线，那做垂线的步骤大家还记得吗？ 还记得吗？点对点，边对边，画垂线，标垂直符号。画高的时候我们要画虚线。好，那我们首先把这个绳子拿过来， 你看点对点啊，或者点对边，那么也就是 a 点对着这个直角的一个边啊，对齐，然后边对边， b、 c， 这个边要对齐。三角形底边上的边对齐之后画垂线。 画垂线标干什么？标垂直符号，这就是它的高，注意，我们要用虚线画上去，那这里给我们标上了底，你在这里可以写上 高啊，你可以写上高。好，这是第一个，第一个我们班做的都非常好，那我们主要来看第二个。好，第二个老师给他标上符号， 依然是 a、 b、 c， 同学们看，在第二个图形当中啊，哪一个是底啊？ b、 c 是 底，对应点就是 a 点，那么我现在只要过 a 点做 bc 的 垂线，做 bc 的 垂线。好，一样的方法，一样的方法，你来看。 好，那我首先要点对边啊， a 点跟三角形的垂直边对齐啊，边对边，下面的这个 bc 这条边要对齐，三角板的 下面对齐。好，有的同学他就这样画了啊，他画下来做垂线，哎，他发现 有没有在三角形内画？没有啊，这个题目我们做的非常的少啊，但是这个是不是垂线呢？是的，是垂直的线段。所以啊，我们一般是把 b、 c 进行延长啊，把 b、 c 进行延长， 把 bc 这名在这里标上垂直符号，多余的把它擦掉。那么 a d 啊， a d 这条虚线表示的就是三角形 abc 的 高。