重心为什么是中线的三等分点

三角形的五颗星，一个视频全拿下一重星三角形三条中线的焦点高频考点性质，二重星到顶点的距离与到对边中点距离之比为二比一。 二、外形，三角形三边垂直平分线的交点，这个点到三个顶点的距离相等，所以它也是三角形外切圆的圆形。常考性质，一和二、 三内形，三角形三条内角角平分线的交点，这个交点到三边的距离相等，所以它也是三角形内切圆的圆形。常考性质，一和二、 四垂形，三角形三边垂线的交点。常考性质如下， 五旁形，将一个三角形三边延长做两外角，以内角的角平分线，三条角平分线交于一顶，这个点就是三角形其中一个旁形。每个三角形有三个旁形， 常考性质，一二搞定收工 so easy！

你看在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 那么低点如果为 bc 的重点，一点为 ac 的重点，那么我连接 ad 叫做中线 be 所要的中线，他们的焦点就是重心，对吧？ 那么我连接 d e， d， e 是不是三角形 a、 b、 c 的中危险？所以说 d e 比上一个 a、 b 就是一比二，那么因为三角形这个三角形和这个三角形是相似，所以说 o d 比上 a o 也是一比二， o e 比上 o b 也是一比二， 那所以说这个 a o 就等于三分二倍的 a、 d， 说明相量 a、 o 就等于三分二倍的相量 a、 d。 那么我们要知道这个项量 a、 d， 他是不是可以 写成二分的一倍的项链 a、 b 加上一个项链 a、 c 的是不是？那所以说最终这个项链 a， 哦，他就等于三分的二倍的 a d， a、 d 给他换成二分的一倍的 a、 b 加上一个 a、 c， 他是就等于三分之一倍的限量 a、 b 加上一个相当 a c， 对吧？

hello， 大家好啊，今天的话，我们学习解题，说巧用，巧用，重心之巧，正角相等。我们来看今天这道题，如图， c a 等于 ab 等于 b d， 其中 ab 为圆 o 的 直径， c t 切圆 o 于 p， 求证，角 c p a 等于什么角 d p t 那拿到这道题之后，我们怎么去思考呢？我们其实这里面包含了一个隐藏条件，也就是说我们 a o 和这儿之比是一比二，那我们是不是可以构建一个三角形是重心啊？ 那我们看一下怎么去做？且 我们连接 p o 并延长 交 y o 与 e， 我 们做一下， 然后这个位置是 e， 我 们继续。那这样的话，我们因为它是什么相切，所以我们有什么？我们是不是有 p， e 则是 p e 是 垂直于 p c 的， 然后我们接着干什么？连接 e d e c b 延长 e a 交 c e 于 f， 那 我们做一下， 我们连接 e d， 然后我们含什么？延长 pa 交这个位置域为 f， 那 这样的话，我们有什么呢？在什么直角三角形 p c e 中， 当然是不是证明了这个垂直，但在这个三角形中，它是不是直角三角形啊？然后我们知道 co 为一条中心， 为什么？因为它是过什么？过圆心的一个直径，那自然这这两个半径呢？必然是相等的，所以我们从而证明了什么 co 是 对称。比如我们知道什么 c 等于二， a o 不 a， 为什么三角形 c p e 的 重心，也就是说我们是重心，那同样的， 那我们是不是就知道了什么 p f p f 为 c e 边上的中线 是不是也是？我们推出 a 为直径，然后再利用直径的性质去推其他条件， 那这样的话，我们知道什么？故 c、 f 等于 p f， c， f 等于 p f， 也说这个是等于这个，为什么？因为直角三角形斜边上中线等于斜面的一半，而四 f 又等于斜面的一半，所以我们就可以推出什么四 f 等于 p、 f， 那 我们知道这两台边相等，那对应的这两个角是不是也是相等的？所以 角 f、 p、 c 等于角 f、 c、 p， 我 们假设这个是一， 因为我们知道什么 b 与 c、 d 是 互相平分， 为什么？因为我们是不是这儿是 一半，这儿也是直径的一半，然后这个这三个是相等的，然后这儿是一半，这儿是一半，那自然而这一块和这一块也是相等，那也就是它是什么？互相平分，那互相平分的什么？四边形？是平行四边形，故 b、 c、 e、 d 为平行四边形，所以我们知道什么角 f、 c、 p 等于角 d、 p、 d， 我 们利用这个是二十 f， c， p， f、 c、 p， 这个角等于什么？ d， p、 d， d、 p、 t 这个角，而平行线的性质啊，然后我们什么呢？是不是知道这个角是等于这个角，而这个角也等于这个角，这样的话这个角就等于这个角 有一二之 角 c， p、 a 等于角 e、 p、 d， 那 今天就到这里了，谢谢大家。

重心 abc 重心这个概念是什么？三角形的中线交点，那如果说我们把 b、 c 这个位置找一个中点当 d， a、 c 这个位置找一个中点，当 e， a、 b 这个位置找一个中点，当 f， 我将三条中线连起来，连完以后所得到的这个焦点啊，就叫重心。那重心我们需要记住几个点呢？第一个重心是中心焦点这个定义你一定要知道。那接下来第一个小点， 对于重心而言的话，它是将中线分成了一比二两部分，也就是 ag 比上 gd 等于 b， g 比上 g， e 等于 c， g 比上 g f 等于二，对吧？将中间分两部分，然后你要知道啊，这个角到这个重心的这个长度是二，然后这个重心的长度到底边这个位置是一啊，别比反了，二比一，一比二两部分。第二个 g a 向量加上 g， b 向量加上 g、 c 向量等于零向量，这也好推啊，加法去推一推就可以了。中线定义和加法一推就行了。好了，这是第二部分。第三部分，三角形面积。嗯，来中线的话，我们可以理解为将这个整个分成了什么 a、 b、 g、 b、 g、 c 以及 a g c 啊，三个三角形的面积呢，是完全相等的。 然后呢，咱们来想想啊，如果这三个面积相等的话，你看每一个什么 a、 b g 啊，又分成什么了？ a f g 和 b f g 对 不对？那如果把这当 s 一， 这当 s 二，这当 s 三，这当 s 四，这当 s 五，这当 s 六，分割的六个小三角形是不是应该也是相等的？ s 一 等于 s 二等于 s 三，一直等到 s 六啊？好了，这几个结论呢，都是和重心都是冲，要条件就有它们就能推它们啊，而且要求你务必要背下来，明天或者后天吧，我们要讲讲四心， 四心的话包含了重心、垂心、内心、外心，然后还有一个奔驰定律，四心加奔驰定律，中间能隐身出一些方得起的小结论啊。但是重心这个事呢，要求我们务必要提前背起来，因为重心的应用范围更广泛一些，超级的重要啊。

好，我们来看一下啊。咳，那个我们复习一下那个三角形的重心啊，我们说重心是什么的焦点啊， 什么的焦点啊，同线的焦点。对三，三角形的重心是三条中线的焦点嘛，对不对啊？来，你说，看过来，比如说三角形 a、 b、 c 当中，然后告诉我们点 d、 e、 f 后面是三条边的中点嘛，对不对？然后呢，三条中线的焦点就是重心啊，我讲这个重心是 g 啊， 那重心有什么性质呢？ ag 比上 gf 啊，是二比一，记住，二比一啊，然后呢？ cg 比上 bg 也是二比一， bg 比上 g 比上 g 也是二比一啊。 还有一个是面积的性质啊，面积的话就是重心所围成的三三个三角形啊，面积相等 g、 a、 d 这个三角形会等于 g， bc 这个三角形面积，然后等于把三分之一的总的三角形面积啊，这个是重心的一个性质，要记住啊，三角形的重心，这， 那我们来看一下另外一道例题啊，就是告诉我们 a、 c、 b 是 一个直角角角， a、 c、 b 等于九十度，然后告诉我们 a、 e 等于三啊， 然后点 d 是 啥？三角形的重心啊，点 d 是 啥？三角形的重心？对啊，然后呢？ e、 b 跟什么？ c、 f 就是 三角形的中线嘛？对，那 f 呢？是 a、 b 的 中线嘛，点 e 也是 a、 c 的 中线嘛？对，然后点 d 是 重心，然后告诉我们 a、 e 等于三， c、 f 等于五 啊， c、 f 是 等 c、 f 等，然后让我们求 e、 f 等于多少，怎么求啊？点 b 是 a、 c 的 中点对不对？所以 a、 c 等于到哪六等于六啊？对， a、 c 这个等于六。对，然后直角三角形有一个限制定律啊，直角三角形斜边的中点等于斜边的 一半啊。直角三角形的中点斜边一半，所以它 c、 f 是 不是等于二分之？ a b 等于 a， f 等于 f b， 所以 它 c、 f 等于多少？ f b 啊，所以 a、 b 是 等于十，那六这个是十，那是多少？八角五等于八。很好。 b 七等于八。那 e、 f 是 这个三角形 a、 b、 c 的 什么线呢？ 啊？两边的中点中中位线对不对？那中一线怎么是这样？是 b、 c 的 一半啊？中一线平行于第三倍，等于第三倍的一半。好，除了等于一半还是什么？ 两条直线平行。平行平行吗？对，那等于一半，那个 b、 c 等于八又等于多少？四等于四啊，听懂吗？好。

好，今天呢，我们来分享一道初中关于三角形的几何题，那通过这道题我们听完了之后呢，我们会对三角形中线连接之后的一些特性呢，有了更加清楚的一个认识。好，那首先呢，我们来读题， 如图，你看这有一个三角形是吧？然后在三角形 a、 b、 c 中， a f c e b g 为中线。哎，什么叫中线？ 这个一定要记住，中线是三角形的点跟对边中点的连线，这个叫中线。 所以通过这句话我们应该知道， g 这个点是 a、 c 这条边的终点， e 就这个点是 a、 b 这条边的终点， f 这个点是 b， c 叫这条 边的终点，是否能理解？而且你可以发现，即使题目我们不往后面看，我们应该知道，在三角形里面这个终点你立马可以给想到他的终点，可以把三角形分成面积相等的两部分，有没有？那其实 这很显然，你看我们的这三角形的 abc 是吧？是，是不是等于三角形呐？ a， 我们就指这个 f， 他这个点三角形 abf， 对吧？这个加上三角形 a、 f、 c， 那你可以发现它的面积是不是底层高，那底你看 b f 和 c f 高是同高是吧？所以等底同高面积一定相等是吧？所以你可以发现 a b f a、 c、 f 面积相等，我们再反过来， a b g c， b g 面积相等，我们再反过来，对吧？就这个 a c e 和 b c e 的面积相等是否能清楚？所以当我们读题的时候，我们一定要引起这某些思考 明白的，当你在读题的时候，你的头脑里面就闪现出很多个跟题目相关的知识点，那你这个题目我跟你讲，能做出来的几率要高很多，我看好，然后呢？再继续并相交于欧点，非常好，并相交于欧点， 之前我们都讲过了，在三角形里面有四个心，在初中阶段经常给使用的哪四个心呢？看啊，垂心好，然后呢？ 重心好，然后呢？内心还有外心 好，那首先这四个心是什么？或者我说这个题目上的这个 o 点是这个三角形的哪个心？ 每次只要跟这四个心相关的知识点，我都会把这个，把这四个心给大家做一个重复，对吧？我目的就是让你们一定要记住这四个心是个就怎么回事。好，现在我们来讲一下， 三角形的垂心是他的顶点到对面边垂线的焦点，所以他的叫关键字就是垂线的焦点。三角形的重心，注意，其实在我们这个图上就这个就是重心，他是中线的焦点， ok 啊，中线的交点，然后呢？三角形的内心，注意，这个内心是简称，对吧？它的全称叫内切圆，你看内切圆的圆心，对吧？这个是呢？什么呢？角平分线的交点， 角平分线的焦点， ok， 好，三角形的 y c 也是简称，它的全称叫 y 切圆啊，叫 y 接圆，我看 y 接 圆的圆心，是吧？这个是什么呢？边的垂直，平分线的交流，既要垂直也要平分，垂直平分线 的焦点，对吧？就相当于是他的终点，但是要过垂线，有没懂？好，所以这四个心一定要注意，所以通过这个知识点我给你们复习，你们应该清楚，这个欧点应该是他的重心，因为是中线的焦点，是否就能理解？ 好，那我们给再继续，他说三角形 abc 的面积是二十四平方厘米，求阴影部分的面积，你们有没有觉得那阴影部分是两个三角形，是吧？ 两个就三角形，我们如果直接求的话，是不是要知道底或者高，但是他这个里面给出的数据是二十四，那面积是二十二十四的这个三角形有很多种了，是吧？那所以这个题目你就应该有所 想法，叫什么想法？他一定不是通过我们底层高的方式来求的，一定是计算出这两个阴影部分面积的和跟总的面积的一个比例关系。然后呢，我们通过总的面积乘以这个比例，是不是就得到了一亩面积， 对吧？所以你的思路基本上要在考虑的一个正确的范围之内，这个题目就容易把它给答出来。其实我告诉你啊，如果你们对 这重心、外心、内心和垂心的性质比较比较给了解的话，我其实我可以把结论给给告诉你啊，看这两个面积加起来是整个面积的三分之一， 你看啊，阴影叫部分的面积等于三分之一，三角形 a、 b、 c 的面积，而且不仅是这三分之一，你看它的中线所形成的这个重心，是不是把这个叫三角形分成六部分，而且我告诉你这六部分的面积都相等， 所以这个是重心当中一个非常重要的一个性质，有没懂？都相等 当了，除了这个性质之外，还有个性质，等我们把这道题给讲完了之后呢，我再继续把另外一个性质给你们讲完，就是在重心里面只要知道这两个性质一一个呢就是这六块的面积就相等，第二个性质我等一下来给你们讲。 好，然后呢？当然我们知道这个性质，你在这个题目目当中，因为这个题是一个解答题，你没法说，就叫直接就使用的，是吧？那我们要 是叫论证是吧？那怎么来论证呢？我们刚才给出了这个结论之后，我们怎么来写呢？看我们的思路是，那个叫这样子的 b o f， 对吧？跟 c o f 肯定给相等，是吧？然后呢， i o g 跟 c o g 肯定相等，因为中线，那我怎么来证明 b o f 跟 i o g 给相等的就是叫这块的面积，因为你等一下证明的话，你要证明这六块这面积都相等，我首先把交叉的这个给证明，然后其他的证明是同理的，是吧？好，然后呢，我们再写，然后解 好。那由于 i f c e b g 为中线，对吧？然后呢，所以三角形这个 b c g b c g b c g 的面积等于三角形 i c f 的面积， i c f 的面积， 对吧？好，然后呢，我们再加一条等于二分之一的 s。 三角形 a b c 是否可以理解？那你可以发现啊， 由于这两个三角形，他们共同拥有了一个叫四边形，叫 o f c g， 所以这块面积就相等， 能理解吗？那我再写一下，因为三角形，对吧？这个 b c 借等于 b o f b o f 加上四边形， 加上四边形 o f c g o f c g， 对吧？然后呢，同样这个三角形 a c f 一定要注意啊， a c f 也是等于三角形 a o g a o g 加上四边形 o f c g o f c g， 那由于这两个面积相等，你可以发现他们有个公共的四边形，所以 你看啊，三角形的面积 b， o f 就等于三角形的这面积 a， o g。 看 iog， 那这个这两块面积呢，已经被我给证明是一样的，然后同理我跟你讲，其他的证明都是同理。 然后呢，这六块的面积是一样的，看啊， b， o f 等于三角形 o c f， o c f， 对吧？等于三 角形的面积 o c g， o c g。 等于三角形的面积 i o g。 再等于三角形的面积 a o e， a， o e 再等于三角形的面积 b， o e， o e， 是吧？好，所以 看啊，阴影部分的面积。看啊， s， 阴影 等于三角形 b， o e， b， o e。 加上三角形 c o e， c， o g 就等于三分之一的三角形面积 a， b c， 这样是否就可以理解？所以得了这个结，结论之后就等于三分之一乘以二十四，那就等于八平方厘米就可以了，对吧？所以呢，答， 阴影部分的面积部分面积为八平方厘米。好，到现在为止呢，我们这一题呢，就已经 给剪完了。当然了，我刚才来给出了一个结论，就是第一个叫结论啊，关于叫众星啊的结论。什么呢？这六块三角形的叫面积相等，还有一个结论 是什么？第二个叫结论，你看啊，这个重心，他把这个中线分成了两部分，这两部分的面积比是一比二，那叫怎么讲？你看， o e 比上 o c， o g 比上 o b， o f 比上 o y， 他的密，他的比是一比二。看我，我来写一下， o e 比上 o c 等于 o g 比上 o b， 我看，然后呢，再等于我把这给擦掉啊，再等于，再等于 o f， o f 比上 o a， 然后它的面积是一比二啊，它的 长度啊，你看 o e 比上 o c， o g 比上 o b， o f 比上 o y， 它的面积是一比二。那这个有兴趣的话，你们可以去做一个证明，在重心里面 这两个性质是非常重要的，而且是在考试里面，特别是在一些填空题啊，或者选择题上面出现的频率还是蛮高的，所以这个呢，一定要给我把它记住，好吧？好。那关于三角形的这个题目呢，我们就先分享到这，我希望通过这个题目能够让你们记住这两个关于 这个重心的性质，好吧？好。

hello， 大家好，今天好好我们学习解体数，巧用巧用，重心之巧，正线段相等，角相等，弧相等。我们来看今天这道题。 三角形 a b c 中 a d 是 b c 边上的中线， e 是 ab 上一点，且 a e 等于三分之一 ab c e 交 a， d 于 f， 求证，什么 a f 等于 d f， 我 们抓见关键信息，中线三分之一，我们就要想到什么中心， 那我们看一下怎么去做点 延长 c 至 m， 我 们使什么 am 等于 ac， 然后我们连接 bm， 我 们做一下呢， 然后这个位置是 m， 那 这样的话我们有什么呢？则 a b 是 三角形，什么 m b， c 的， 然后中心， 因为什么 a， e 等于三分之一 a b， 故什么 e 是 三角形 m， b， c 的 形， 然后我们做什么呢？延长 c e x b m 与 n， 那 我们则什么 c n 是 e m 沿的中线，这个就是由呃两条中线相交， 然后确定中心，然后我们再根据中心的性质，然后再去推另外的那转化，我们延长一下， 然后假设这个位置为 n， 因为 a， d 是 三角形 m， b， c 的 什么中位线？ 为什么 a d 平行于 b f， 所以 我们有什么 a f 比 d f 等于 m n b n b 什么就是一比一啊，所以等于一比一乘二等于 e f 大家可以看一下，就是整个题的思路的话，就是从呃我们两条中线相交得到了什么重心，然后再由重心的性质，然后再去反推，然后从连接什么两个 中点，我根据中微线的性质，然后再去求证啊，这就是整个题的一个解体思路，那今天就到这里了，谢谢大家。

这个视频咱来讲讲三角形的高角平分线和中线。先说三角形的高，这个你小学就会了。在三角形中，过三角形的一个顶点，做对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高了。显然三角形有三条高，那怎么区别他们呢？ 这条高垂直于 b、 c， 就叫 b、 c 边上的高。同理，这条高是 a、 c 边上的高，这条高是 a、 b 边上的高。 锐角三角形的高都在里面。那钝角三角形呢？过点 a 做调高就是他，过点 b 做调高就是他。过点 c 做调高就是他钝角。三角形的高有两条在外面， 如果高都在里面，那他们相交于同一个点。如果有的高在外面，那他们所在的直线交于同一个点，这个点 有个名字叫垂心高。说完了，咱再来看角平分线。在三角形中，这三个角是三角形的内角。拿角 a 来说，他的角平分线是这条射线，其中在三角形内部的这条线段就是这个三角形的角平分线。 你可以说它是角 b、 a、 c 的角平分线，也可以说它是 b、 c 边上的角平分线。类似的角 b 的角平分线是这一条，而角 c 的角平分线是这一条。 你看，三角形的三条角平分线也交于同一个点，这个点也有个名字，咱以后再说。高和角平分线都 o 了。来看看中线这个词你相对陌生， 在三角形中，一个顶点和他的对边终点连线，这条线段就是中线了，这条中线你可以叫他 b、 c 边上的中线。那中线有啥用呢？中线主要的特点是照 是终点，这两段线段长度相等，你看被中线切开的两个三角形底边长度相等高呢，都是从 a 向 bc 做的这条垂线段，那这两个三角形底相等高，相同面积自然就一样了，所以中线可以平分面积。 那你能画出另外两条中线？不？对了，取 a、 c 中点和点 b 相连，是 a、 c 边上的中线。 取 a、 b 中点和点 c 相连，是 a、 b 边上的中线。那你说这仨中线交于一点吗？显然的，这妥妥交于同一点，这个点叫重心。 没错，就是你物理科上学的重心。如果这个三角形是个厚度一致的纸板，顶住这个点就可以支起三角形哦。好了，以上就是三角形的高角平分线和中线了，这三都是三角形中比较重要的 线段。三角形的高是顶点到对边的垂线段，三条高所在直线交于同一点，这个点是垂心三角形的角。平分线是平分三角形，那一角的三条角平分线也交于同一点。 三角形的中线是顶点，与对边终点连线，它可以平分三角形面积。三条中线也交于同一点，这个点是三角形的重心。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

大家好，我是来自金县嘉祥中学的陈家浩同学，接下来我来带大家一起证明三角形的重心是三角形中线的三等分点。 首先我们先来了解两个结论，已知如图，在三角形 abc 边上的中点 a、 d 是 三角形 abc 的 中线，那么我们可以得到结论一， b、 d 等于 c， d， s 一 等于 s， 二等于二分之一三角形 a、 b、 c。 再看结论，二、已知如图，在三角形 a、 b、 c 中点 d 是 bc 上任意一点，那么我们可以得到 s 一 比上 s 二就等于 b， d 比上 c、 d。 了解完前面两个结论，我们再来看这一道题，求证三角形的重心是三角形中线的三等分点，并写出已知求证 a、 b、 c 三边的中线 a、 d、 b、 e、 c、 f 交于点 o。 求证 ob 比 o， e 等于 o， a 比 o， d 等于 oc 比 f 等于二比一。 证明因为 a、 d 是 三角形 abc 的 中线。根据前面得到的结论一，我们可以知道 s 三角形 a、 b、 d 等于 s， 三角形 a、 c、 d 等于二分之一的 s 三角形 abc， s 一 等于 s 二。 同理 s 三角形 a、 b、 e 等于 s， 三角形 c、 b、 e 等于二分之一 s 三角形 abc， s 三等于 s 四， s 三角形 a、 c、 f 等于 s 三角形 b、 c、 f 等于二分之一 s 三角形 abc， s 五等于 s 六。根据以上条件，我们可以知道这些三角形的面积都等于二分之一 s 三角形 abc， 所以 这些三角形的面积都相等。 又根据 s， 三角形 a、 c、 d 等于 s， 三角形 c、 b、 e。 我 们可以知道 s 一 等于 s 四。同理， s 二等于 s 五， s 三等于 s 六。所以 s 一 等于 s， 二等于 s， 三等于 s 四等于 s 五等于 s 六， 所以 s 一 加上 s 二等于二倍的 s 三、根据前面得出的结论，二、我们可以知道 s 三角形 b， o c 比上 s 三角形 c， o e 等于 o， b 比上 o e 等于二比一。 同理，我们可以知道 o a 比 o d， o c 比 off 都等于二比一。所以 ob 比上 o e 等于 o， a 比上 o d 等于 o， c 比上 o f 都等于二比一。由此，我们可以证明三角形的重心是三角形中线的三等分点。 这就是证明三角形的重心是三角形中线的三等分点的全过程。同学们，你们听懂了吗？