山东临沂数学锐角三角函数带答案

同学们好，我们来看一下这套三角函数的应用问题。好，首先第一个它给我们锐角 alpha 的 中边与单位圆的焦点的纵坐标是这一个，我们根据三角函数定义，我们就可以得到 sine alpha 是 等于五分之根号的。同样的，后面这个这句话，我们可以得到 cosine beta 是 等于十分之三倍根号十。 所以第一题能让我们去求塞阿法和塞口塞阿法和塞贝塔的值，那以及对吧？阿法和贝塔都是一个锐角，所以我们可以得到口塞阿法等于根号下的一减 塞方阿法，然后我们直接计算出来是等于五分之二倍根号，同样道理，塞贝塔等于根号下 e 减扩散方贝塔等于十分之根号十啊，这是第一个问， 一个是五分之二倍根号，一个是十分之根号十，好，第二个问他让我们去求阿法加贝塔的一个角度的值。 这里我们首先肯定要要么利用塞阿瓦加贝塔，要么利用 cosine 阿瓦加贝塔或者是 tanning 阿瓦加贝塔，这些都可以用，让我们来看一下题目的已知条件，对吧？我们结合题题目以及第一个问，我们得到的是塞阿尔法， cosine 法塞贝塔和 cosine 贝塔，如果我们用第三个的话也可以用， 但是相比比较起来是不是还要多求一步 tina 阿法和 tina 贝塔的值，对吧？所以我们选择塞和苦塞，然后具体选择哪一个，我们还要看这个角度的范围， 阿法是属于零到二分之派的，贝塔也属于零到派，那根据这两个角的范围，我们是不是可以得到阿法加贝塔的范围是属于零到派的，如果我们选择正弦函数的话，我们应该知道，对吧？ 同样的一个正弦值，在锐角和钝角的情况下，它是有两个的，对吧？比如说三 x 是 等于二分之一的，那我们 x 既可以等于六分之派，也可以等于六分之五派，这样的答案就不为一。 但是在第一和第二象限里面，他的余弦是有正有负的，所以我们就可以根据余弦值的正负去得到距离的角度的度数。 所以我们要做的就是首先先判断出来，他让我们去求这个角到大概在哪些象限，对吧？然后再根据这个象限里边三个三角函数的正负情况去讨论。好，接下来我们决定了用 cosine 的 值之后，那就是 cosine alpha， cosine 减去 cosine， 然后我们把各自的值带进去算就可以了。等于 五分之二倍根号五，乘以十分之三倍根号十。减去五分之根号五， 乘以十分之根号十，那这个我们去计算一下就可以了，它是等于二分之根号二。 然后因为苦赛阿法加贝塔的值是一个正数，阿法加贝塔又是第一项线和第二项其中的一个范围，那我们知道苦赛只有在第一项线是正的，在第二项线它都是负的了， 所以我们就可以得到阿法加贝塔是等于四分之派。好，这是这种问题，我们要如何去解决？

家人们，三角函数化简总卡壳啊，你这个辅助角公式一用就错啊！今天一分钟给你讲透从此这一类题啊直接秒！首先咱把辅助角公式给你掰碎了讲公式就是， a 被 sin omega， x 加减， b 被 cosine omega， x 等于根号下 a 方加 b 方乘以 sine omega， x 加减反，其中贪婪的反等于 a 分 之 b。 咱们不用去死记硬背它，记住三步傻瓜操作一提，把这个 a 和 b 的 平方和提出来开，根号变成系数二凑，这括号里我们把它凑成 si omega x 加减反的这种形式，其中这个反的贪婪的值为 a 分 之 b。 三定 原式是加就是加，原式是减就是减，再也不用去踩符号的坑了。对了，这题化减 f x 等于 si omega， x 减，根号三 cosine 平方 x 第一步，先化减乘以二分之 pi 减 x 就 等于 cosine x 乘以 cosine x 减去根号三 cosine 平方 x， 我 们把它化减，能够化得二分之一加 cosine 二 x， 那 这就乘以二分之一加 cosine 二 x， 整理一下就得到了二分之一 cosine 二 x 减去二分之根号三， cosine 二 x 减去二分之根号三。第一步，我们套用辅助角公式， 第一步题， a 等于二分之一， b 等于二分之根号三，我们就能够把它的系数算出来，等于一凑，括号里面凑成 x 加减 f 的 形式，其中 time 等于 a 分 之 b 就 等于根号三。 暂不定原符号是减号，所以这里的 x 二 x 就是 减 f。 最后我们就得到了等式乘以二 x 减 f 减二分之根号三。 总结一下，辅助角公式就是一题二凑三定号。记住这个口诀，所有的化简题直接通杀！再来一道综合题，化简 f x 等于二倍 cosine 平方 x 减一乘以 c x 加上 cosine 四 x。 大家把答案打在评论区，学会的同学评论区扣一个一，让我看看有多少人掌握了！关注我，每天一个高中数学秒杀技巧，帮你轻松提分！

同学们好，欢迎来到初中数学同步讲练课程。今天我们讲九年级的内容，锐角三角函数。本节课我们将学习锐角三角函数的定义，推导特殊角度的三角函数值， 研究如何利用直角三角形已知的元素求解其他未知元素及解直角三角形。我们还会讲解例题，复习和巩固上述知识点。 什么是锐角三角函数？它指的是在直角三角形 a、 b、 c 中，如果角 c 是 九十度，那角 a 是 一个锐角，这个锐角它的对边及 bc 这条边和斜边及 ab 这条边，它们长度的比值就叫做角 a 的 正弦写作三 a， 即三 a， 它是等于 bc 除以 ab。 当然也可以写成是小写的 a、 除以小写的 c。 与正弦对应的还有余弦。同样在这个三角形内，角 a 的 余弦指的是它的邻边及 a、 c 和斜边及 ab 的 比值，写作 cosine a。 此外，角 a 的 正切写着探界体 a， 它指的是角 a 的 对边及 bc 和它的邻边及 ac 的 比值。 用公式表示，扩散与 a， 它就等于 a， c 除以 ab 也等于小写的 b、 除以小写的 c。 探见 a， 它等于 bc 除以 ac， 也等于小写的 a 除以小写的 b。 而上述角 a 的 正弦、余弦和正切都是角 a 的 锐角三角函数。 特殊的角度，我们通常指的是三十度、四十五度和六十度这些角度的三角函数值。我们就总结在这个表格当中。这些数值都是需要我们记忆的。比方说，三十度角的正弦，它等于二分之一。 四十五度角的余弦，它等于二分之根号二，然后六十度的正切，它等于根号三。类似这些数值我们都需要记忆，这些数值虽然比较多，但是其实我们并不需要死记硬背，下面我们来推导一下其中的一些三角函数值，从而更好的帮助我们记住它们。 比方说如图所示的三角形 a、 b、 c， 其中角 c 等于九十度，角 a 等于三十度，那角 b 肯定就是六十度。 假设 b、 c 的 长度为一，那么 a、 b 的 长度肯定就是二， a、 c 的 长度就是根号三。所以三引 a， 它肯定就是 b， c 比上 ab， 它就是二分之一。 扩散以 a， 它就等于 a， c 比上 ab， 它肯定是二分之根号三，然后探见 a， 它是等于 bc， 比上 ac 就是 e， 比上根号三。我们把它化简一下，就得到它的正切值，就是三分之根。号三。而六十度角的三角函数值，它的推导过程和三十度角相似。 我们接下来推导一下四十五度角，它的三角函数值。如图所示的三角形 abc， 它是一个等腰直角三角形，其中角 c 等于九十度，那角 a 肯定就等于四十五度。我们假设 bc 的 长度是一，那么 ac 的 长度肯定也是一。 ab 的 长度就是根号二。 那么三引 a， 它就等于 bc， 比上 ab 就是 一。比上根号二，化简一下，就是二分之根号二。而角 a 的 余弦，它的推导和正弦相似。我们看一下角 a， 它的正切值。 find a， 它是等于 bc 比上 ac， bc 和 ac 相等都是一， 所以角 a 的 正切值，它也是一。这样我们通过推导的方法，很容易就记住三十度、四十五度、六十度这样的特殊角度，它们的三角函数值。 对于一个直角三角形，除开直角之外，还有三条边和两个锐角这样五个元素。 那么由直角三角形当中的已知元素求出其余未知元素的过程，我们就叫做解直角三角形。 比方说，如图所示的直角三角形 abc， 其中角 c 等于九十度，那么另外五个元素分别就是角 a、 角 b 的 度数以及三条边长 abc。 那么我们能够通过其中哪些元素已知，从而去求出其余的未知元素呢？第一个我们能够想到的就是三边关系。既然三角形 a、 b、 c， 它是一个直角三角形，所以它的三条边一定是满足勾股定律，即 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。 第二，对于一个直角三角形来说，他的两个锐角之合肯定是等于九十度。第三，在学习了锐角三角函数之后，我们知道对于其中的一个锐角 a， 他的三角函数值可以表示成三角形三条边两两之间的比值。 同理，对于锐角 b， 他的三角函数值也同样能够表示成三角形三条边两两之间的比值。 利用上述关系，如果我们知道一个直角三角形的两个元素其中至少有一个元素是边，那么我们就能够求得其余三个元素。 接下来看例题。如图，在三角形 abc 中，角 c 的 角度它是一百五十度， ac 的 长度为四， 而探见它 b， 它是等于四分之一。让我们求 bc 这一段线段它的长度。三角形 abc， 它并不是一个直角三角形，而题目告诉了我们已知角 b 它的正切值，所以我们应该补齐一个直角三角形， 过 a 点做 bc， 延长线的垂线垂足为 d， 因为角 c 等于一百五十度，那么角 a、 c、 d 可能就等于三十度。而三角形 a、 c、 d 它是一个直角，三角形 a、 c 的 长度为四，那么 a、 d 的 长度就是二， c、 d 的 长度就是二倍的根号三。又因为它见得 b 等于四分之一，所以整个 b、 d 它的长度就是八， 所以 bc 的 长度，它就等于整个 b、 d 的 长度，再减去 c、 d 的 长度。所以正确的答案， bc 的 长度是八，减去二倍的根号三。这个题目考察了我们对于锐角三角函数的理解，以及使用到了特殊角度的三角函数值。 第二个例题，已知阿尔法和贝塔均为锐角，而且满足三角阿尔法减二分之一的绝对值，加上根号下面 tangent， 贝塔减一，它的平方，最终结果等于零。让我们求阿尔法加贝塔，它的角度 很显然，两个非负数之和等于零，那么这两个非负数就都等于零，也就是三眼阿尔法减二分之一等于零，所以三眼阿尔法等于二分之一，即阿尔法等于三十度。探见的贝塔等于一，即贝塔等于四十五度， 所以阿尔法接贝塔，它是等于七十五度。正确的答案为 c。 这个题目考察了我们对于非负数性质的认识，以及特殊角度的三角函数值。 第三个例题，在三角形 a、 b、 c 中， b、 c 的 长度为十二，探见它 a 等于四分之三角， b 等于三十度。让我们求 ab 和 ac 这两条边的长，我们过 c 点做 cd 垂直于 ab， 垂直为 d， 因为 bc 的 长是十二角， b 等于三十度，所以 cd 的 长就是六， b、 d 的 长就是六倍的根号三。 又因为角 a 的 正切值是四分之三，所以 ad 的 长就是八。根据勾股定律， ac 的 长就是十。而 ab 的 长度，它是等于 ad 的 长度，加上 b 的 长度，那也就是八，加上六倍的根号三。所以正确答案， ab 的 长是八，加上六倍根号三， ac 的 长为十。 这个题目考察了我们如何解直角三角形，使用到了特殊角度的三角函数值以及勾股定律。 本期视频我们讲解了锐角三角函数，学习了锐角三角函数的定义，推倒了特殊角度的三角函数值，研究了如何解直角三角形。最后讲解了例题。 下期视频我们将学习投影和矢图，我们将了解投影的定义和种类，学习三式图的概念和作图。最后通过讲解例题去复习和巩固上述知识点。 以上内容是初中数学同步讲练系列课程，本课程紧扣人教版教材，帮你系统梳理并掌握中考数学重难点，每一期都是提分干货，掌握方法。数学并不难，形有界，思维界，这里是无界数学，我是王老师，我们下期再见！

初中数学几何板块核心内容，锐角三角函数，那作为中考的高频的考点，这一部分知识大概占分八到十二分，希望能通过今天的学习，让大家能够吃透用好这一部分知识。 那为什么要学习锐角三角函数那在我们的生活里面，我们经常会遇到这样的问题，那想知道教学楼的高度有多高，却没有办法直接爬上去测量，那想知道河对岸的这是个距离，却不能直接跨过去度量。 而锐角三角函数呢，就是解决这类不可及不可测的问题的一个数学工具。 从中考的角度来说，他既会以选择填空的形式考察基础的概念，也会在解答题中结合解直角三角形、 坡度测量、航海测距等实际的场景，出题必须掌握的核心的考点。好，我们看一下基本的概念。 首先呢，我们要牢牢的抓住锐角三角函数的定义，他所有的性质公式都源于定义好，这是他的根本。 在直角三角形中，角 c 等于九十度啊，我们把锐角 a 的 三角函数定义为正弦啊，他是对边比斜边，即三 a 等于 a 比 c 啊。大家可以记住，正对斜，正是正弦，对是对边，斜是斜边，余弦 口三 a， 它是临边对斜边。记口三， a 等于 b 除以 c。 记住啊，余临斜，余是余弦，临是临边， 斜是斜边。好，正切正切呢，是正对零啊，记着，正对零，它是正切，是对边比零边。 那鱼切呢？鱼切是零边比对边，既可摊上 a 等于 b 除以 a， 记住鱼鳞。对啊，鱼切等于零边对对边。 这有个关键的提醒啊，这边的对应关系啊，绝对是不能错的啊，对边邻边都是相对锐角 a 来说的，斜边呢，永远是最长的那一条啊，如果记错了，那后面的所有的计算都会出错， 这也是很多人容易踩坑的一个地方。知道了定义，我们再来树立一下核心的性质，这些规律呢，能帮助我们快速的解析。第一个呢是取值范围，锐角 a 是 大于零， 小于九十度，那三角函数表示范围是三， a 是 大于零，小于一。 cosine a 啊，是大于零，小于一。 tanthan a 是 大于零， cosine cosine a 也是大于零的， 那增减性那进入了趋势，那比较大小。 sin a 和 tanta a 都随着 a 的 增大而增大，随着 a 的 减小而减小。 cosine a 和 cotanta a 都随着角 a 的 增大而减小，随着它们的减小而增大。同一锐角 a 的 三角函数的关系， 第一个呢是平方的关系啊，三 a 的 平方加口三 a 的 平方等于一。第二个呢是商数关系，即摊着它 a， 它等于要三 a 除以口三 a， 倒数关系，就是摊着它 a 乘以口摊着 a 等于一。那互余两角之间的函数关系呢，就是三 a 等于口三英九十度减 a， 口三 a 等于三英九十度减 a， tan tan 等于可得 tan， 九十度减 a， 可得 tan tan 等于 tan tan 九十度减 a。 那 对于一些特殊的三角函数值，我们需要准确的记忆啊，三十度，四十五度，六十度，这都是必考的。一些特殊的角，那这些特特殊的三角函数值，他也需要把它记住，在这儿也就不一一的去念了。 如果遇到三角函数的代数式化简，我们优先呢，使用平方的方法啊，商数关系降次，然后呢，再化同， 比如化解一减三 a 的 平方，那就直接利用平方关系转化成口三 a 的 平方。如果已知探塔 a 等于二，那可以求三 a 除以口三 a， 那 就直接用商数关系知道结果，那就是二。 但比较大小同名的函数就看单调性异名的函数就需要先通过互余的关系换为同名 啊。比如说我们要比较三四十度和口三五十五度，那我们先把口三五十五度换成三三十五度，然后呢，再来比较三四十度和三三十五度啊，就能快速的得出结果， 好回归本质，规避误区。最后我们总结一下核心的要点，那定义是根本所有的性质和公式都源于直角三角形中的边的比值，理解为 对边、斜边邻边的对应关系啊，这就抓住了。核心公式呢，是工具，有平方关系， 商数关系，还有互余关系。那记忆呢？像这个三十度、四十五度或六十度的正欲悬的，它分母多少？二，那它的分子呢，分别是根一，根二，根三 啊，余弦呢，是根三，根二，根一就是二分之根一二二分之根一就是二分之一哈，二分之根二，二分之根三，那正切余切他的分母都是三，他的分子呢？分别是啊， 根三、根九和根号像二十七啊，他余弦就根号二十七，根九和根三，这样。 因为三 a 大 于零小于一，口三 a 也是大于零小于一啊，那我们就转化一下啊，三 a 等于口三角九十度减 a 啊，因为三 a 在 零到九十度，它随着角度的增大而增大，所以它单调性易增的， 我们可以这样利用这个性质来比较大小。那我们要规避到学习的误区，就三角函数的定义中没有注意到边和边的对应关系出错了。第二个呢，特殊角的值记错了，这个比较悲催啊，余弦正弦的互换关系记错了 啊，这都是对于基本概念的一些误读哈，所以我们要把基本的概念把它牢牢的记住啊，解析呢，就会又快又准。

三角公式不用死背，今天我们带来的是一道三角函数问题，我们先一起来读题。已知 f x 图像过零，根号三，说 f x 在 零到 pi 上尤其仅有两个零点为 omega 的 一个最值情况， 我们把这个点给它代入根号三等于二倍的 sine， 也就是 sine 等于二分之根号三。又因为 f 呢，题目中已经说了在九十到一百八之间，所以说 f 只能取一百二等于三分之二 pi。 此时 f x 的 解析式就变成了二倍的 sine， omega， x 加上一个三分之二派，我们让 t 等于 omega， x 加上一个三分之二派，此时 t 的 范围 x 是 在零到派， t 的 范围应该是在三分之二派到 omega 派加三分之二派， 我们这个图像就转换成了 f t 等于二倍的三 t 的 一个图像，我们去画一下它的整体的一个趋势， 这是派，这是二派，这是三派。三分之二派从这开始起步，他要想有两个零点，只能是派和二派，也就是我们需要控制 omega 派加三分之派，那加三分之二派，它得在二分之派和三派之间，并且三派是能取到的，因为三派取到，这是取不到的，根本上还是取不到。我们给它解一下， 三分之四派小于 omega， 派小于等于三分之七派。 omega 是 大于三分之四，小于等于三分之七的，所以他应该是没有最小值，有最大值，最大值是三分之七，应该选 c 选项。 好，今天的分享到此结束。

今天我们来看一道九年级中考三角函数题，如图，码头 b 位于码头 a 的 南偏东三十度的方向， a、 b、 d 的 距离是四十千米，灯塔 p 在 a、 b 的 中点处，轮船甲从 a 出发，沿正南方向航行，轮船乙从 b 出发，沿正东方向航行， 当甲航行到 c 处时，乙航行了相同的距离，到达 d， 那 么这句话是什么意思？ 那这句话的意思就是图中的 a、 c 是 等于 b、 d 的， 一个是向正南方向航行，一个是向正东方向航行，而且航行了相同的距离，它的意思就是 a、 c 等于 b、 d， 此时 c、 p、 d 三点恰好在同一条直线上，求距离 i、 c 的 长度。好，我们这道题是一个典型的锐角三角函数题，那么这里面有个三十度， 而且告诉了我们 a、 b 是 四十，所以我们很容易就要构建一个第一个直角三角形，延长 i、 c， 再延长 d、 b。 因为一个是正南方向，一个是正东方向，所以这个角是九十度， 这点就是点 e 吧，那么这是三十度。 a、 b 的 长度是四十，所以我们很容易得到 b、 e 的 长度是二十， 那么 a、 e 的 长度就是二十倍的根号。三。 那么这道题里面又告诉我们， p 是 a、 b 的 中点啊， p 是 a、 b 的 中点，那么 a、 p 是 二十， p b 也是二十。 那么还有一条线就是 i、 c 是 等于 b、 d 的， 让我们求 i、 c 的 长度。那么这道题啊，又一道比较灵活的一道辅助线，就是再一个构建一个直角三角形，那么我从 b 这个地方 过 b 点做一条垂线，垂直于 b、 d 的 垂线， 交点是 f， 那 么同学们看一看，过 b 点做 b、 f 垂直于 b、 d， 那 么这是垂直的，这也是垂直的，所以这两条直线平行， 那么我们就很容易挣出来这个三角形。 a、 c p 好 四个三角形， b、 f， p 是 全等的，因为 p 是 中点， p 是 ab 的 中点，这是平行的，所以很容易这样的平行。那么这两个全等之后，我就很容易得到 i c 的 长度是等于 b f 的， i c 是 等于 b f， 那 我们知道 i c 还是等于 b、 d 的， 由此我们可以得到 b、 f 是 等于 b、 d 的， 那么也就是说这个角就是四十五度， 所以我们就可以得到 c， e 是 等于 d e 的， c e 的 长度是等于 d e 的 长度。 好了，那么咱们也想想， c、 e 的 长度等于 d 的 长度，那么我们就可以构建一个方程了。那么 c e 等于 d e， 而 i c 又等于 b d， r c 等于 b d。 所以 我们假设设 a、 c 是 x 的 话，那么 c、 e 就是 二十倍的根号，三减 x 等于那 d， e 就是 b， d 也是 x， d， e 就是 二十。加上 x， 那 么两 x 就 等于二十倍的根号，三减 x 二十，那么 x 就 等于 十倍，根号三减十。所以 i c 的 长度等于十倍的根号，三减十，那么参考值是 根号下一点七三，那么如果让我们求它的小数值的话，那就等于 十七点三减十就等于七点三啊七点三。 那么这就是这道题的解离过程。那么这道题里面最巧妙的就是它运用了一个屁是终点做了个垂直，构建了一个圈，等构建了一个圈等之后，可以得到一个等腰直角三角形， 达到了一个灵活解题的目的。好，这道题就选到这里，同学们再见！

好，今天我们继续聚焦初中数学第十章锐角三角形中的第二节，即直角三角形。这一部分是中考数学的重头戏，大概分值会占到百分之五到百分之八，既有两到三分的选择填空， 还有四到七分的解答。而且呢，解答呢，常常要结合仰角、俯角、坡度、方位角等实际的场景命题啊，这是我们必须吃透的中档题的核心考点。好，我们先看一下基本的概念。 解直角三角形的过程呢，就是由已知元素求未知元素的过程，就像解密一样，只要掌握了已知的条件，就能一步步算出未知的边和角。 那么解谜的钥匙是什么呢？就是直角三角形中的边角关系。在直角三角形中，角 c 等于九十度。这三种关系呢，必须烂熟于心啊！一个呢，是勾股定律，是 a 方加 b 方等于 c 方， 然后角的关系是角 a 加角 b 等于九十度，它边角的关系 a 等于 c 分 之 a。 口三 a 等于 c 分 之 b。 探查， a 等于 b 分 之 a， 这是连接边角的关键，也是解直角三角形中的核心公式。解直角三角形只有两种基本的类型啊，一呢，是已知一边一角，二是呢，已知两边所有的题目不管多复杂，都是这两种类型的变形。 另外，中考中常考的实际的应用，这几个概念必须要分清，阳角、辅角，阳角是往上看的角， 辅角呢是往下看的角。那坡角，坡角是坡面与水平面的夹角 or 法？ 坡度坡面垂直高度与水平宽度的比， i 等于 l 分 之 h 等于它的 r 法它方位角啊，比如说西偏南三十度， 那就要准确的在图中找出对应的这个角度，那在直角三角形中呢的解法啊，我知道了基础的概念，接下来就是怎么去解了， 那么下面呢，给大家梳理一下啊，清洗的一个解体的步骤啊，如已知两边啊，利用 a 方加 b 方等于 c 方，求第三边。那首先利用边角关系啊，求求出一角， 利用角 e 加角 b 等于九十度，然后再求另一角。第二种情况，如果已知一边一角，那先利用角 e 加角 b 等于九十度，先求的另外一个角，然后呢再利用边角关系，然后求出其他的两边， 或者说也可以求一边，以后利用 a 方加 b 方等于 c 方，然后呢来求第三边边角关系的应用。而如果已知两边呢，求另一边，那就直接 a 方加 b 方等于 c 方， 你知道一角求另一角呢？角 a 加角变成九十度啊，边角关系，两边可求角 一边，一角呢，可以求另一边啊，这是另边角关系，那他在其他图形中的应用，比如他可以用来计算多边形的面积，还可以解斜三角形，就是通过做高啊，把斜三角形构造成两个直角三角形， 还可以解决复杂的多变性计算的问题，中考的实际的应用题啊，常考这些场景，坡度坡角的问题，方位角的问题，仰角俯角的有关的问题 啊，其实还有航海工程建设方案决策类等的一些开放性的问题，但是不管场景怎么变，核心呢，都是要构造直角三角形，利用边角关系来进行纠解， 好避开误区啊，我们精准提分，我们要啊，要避开几个常见的学习的误区啊。第一个呢，找不准边角的关系，比如把三 a e 勾三 a e 搞混了， 或者说并错了直角边和斜边。解决变解决的办法是先标清直角三角形的直角、已知边和角，再对照定义写公式。第二个呢，是构造图形错误， 比如解决实际问题的时候，画出了仰角、俯角，或者说坡度的垂直高度和水平宽度搞反了，那这时候画画图的时候一定用不同的符号来标注已知条件啊，对照概念进行进行检查。 最后呢，就是概念混淆，把阳角、辅角、坡度、坡角、方位角的描述搞混了，同时要多结合画图来理解。另外，做辅助线是解复杂问题的关键，核心的思想是由已知和未知选辅助线构造直角三角形的条件， 比如遇到了斜三角形，那就做高，把它分成两个直角三角形。如果遇到多边形呢，那就是找直角做垂线，把位置边转化到 直角三角形的里边。总之，解直角三角形呢，看似是复杂，实际上呢，万变不离其宗啊，主要就抓住呢，勾股定律，锐角互余，还有三角函数这三个核心。

哈喽大家，我是你们的西西老师，上期视频我们学习了初接三角函数的巧记小口诀，这期视频带大家揭晓锐角三角函数的底层逻辑。 那么很多同学会问，为什么不讲钝角三角函数呢？钝角以及其他的角度马上会在高一与大家见面，所以我们初中只学到锐角三角函数，那么我们开始吧。 回归课本，我们看到书本上对三角函数的定义。以角 a 的 正弦为例，在 r d 三角形 a， b， c 中，角 c 等于九十度，我们把对角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 正弦记作 side a。 那 么我们要求一个锐角的正弦值，是不是必须要把这个锐角放在直角三角形中，再用对边与斜边的比去求出它的正弦值呢？也就意味着 我们首先要去构造一个含有锐角 a 的 直角三角形。那么我们知道三角形的内角和为一百八，有一个角为锐角 a 的 度数就必须有一个角等于九十度。那么这样的三角形能构造出几个呢？ 对了，当两角确定的时候，三角形的形状是不是就是唯一且确定的，只能改变大小，不能变形？那么哪怕这样的三角形，我们可以画出无数个，这些三角形的关系都是什么呀？是不是都是相似的呀？那么以其中一种类型为例，我们在这个绿边的两段标上 df， 那很多同学都发现了，这个是不是我们相似里面的 a 字模型啊？那根据相似，我们知道对应边乘比例，我们是不是可以列出 d f 比 bc， 它会等于 a， d 比去 ab 呢？这个是由我们相似里面可以得到的，对不对？那根据相似的这个等式，我们是不是可以交叉生成得到 d f 乘 ab， 它会等于 bc 乘 ab？ 好， 我们这里的 ab 除到左边， ab 除到右边，我们是不是可以列出一个式子，是什么呀？ d f 比 ab， 它是不是就会等于我们这里的 b、 c 比 ab 呢？而这个两组数据是不是都是我们角 a 的 对边与斜边的比值啊？也就是我们所说的萨因 a。 那 么根据我们相似的比例关系推导，我们是不是都可以推出角 a 的 对边与斜边的比值是相等的，也就是唯一的呢？点锐角三角函数值与锐角 a 的 度数有关，与角 a 的 位置无关。 因为我们要求的是将这个锐角放在直角三角形中的时候，角 a 的 对边与斜边的比值。 我们看到下面这道例题，如图 r、 t 三角形 abc 中角 a、 c、 b 等于九十度，在图上给它标上 d 垂直 ab 与点 d， 则 sine a 等于什么？角 a， 它存在于两个直角三角形中，一个是直角三角形 a、 c、 d。 根据我们所说， sine 等于对面的鞋子，等于角 a 的 对边与斜边的比值。在三角形 a、 c、 d 中，是不是就是我们的 cd b 去 a、 c 呢？那他同样也是我们直角三角形 a、 b、 c 中的一个锐角，而我们直角三角形 a、 b、 c 中角 a 的 对边是什么呀？对了，他是不是我们的 b、 c 斜边是谁啊？是不是 ab？ 那 角 a 的 上移值只有这两种？我们都写完了，那我们再继续往下看看，有没有与角 a 相等的角呢？它的上移值是不是与角 a 会相同呢？那我们看到这里角 a 与我们的角 a、 c、 d 是 不是互余啊？角 a 加角 a、 c、 d 等于九十度，而角 a、 c、 d 加角 b、 c、 d 是 不是也等于九十度啊？ 那么同角的与角角 a 和角 b、 c、 d 是 不是就会相等呢？那么我们是不是可以把上影 a 转化到上影的角 b、 c、 d 呢？那我们再看到 b、 c、 d 的 上影值等于什么呀？ b、 c、 d 它是不是在三角形 b、 c、 d 中，它的对边是 b、 d， 斜边是 bc？ 所以 这张图中表示赛引 a 的 是不是有这三组的比例关系都可以呢？那我们再看到选项中第一个 bc 比 ac 可以 吗？ 对了，不行，我们 bc 应该要比去 ab 对 不对？所以 a 选项给它排除掉，那 b 选项等于 ac 比 ab， 这个有在这三个里面吗？没有对不对？也给它排除掉。 c 选项等于 a， d 比 a、 c， 同样也没有排除 d 选项等于 b， d 比 bc 是 不是等于我们的这个最后一个比值呢？对了，所以这道题的正确答案选择 b， 你 听懂了吗？跟着西西老师学，越学越爱越自觉！

老师最近学到了锐角三角函数，那几个数我真的是经常被你记混，导致我计算题丢八分，导致我解答题丢十分。能不能快快救救我， 必须救，我不仅要救你，我还用两个方法救你。来看黑板，第一，咱们用一个图形的方法，就可以让你快速的记住这九个数。首先大家要知道三引是不是指的是对边比斜边， cosine 是 指的是 临边比斜边，而摊肩的是不是指的对边比临边。当然如果还可以拓展的话，他还有一个括摊肩特，这个呢和摊肩特就几乎一样了，他是摊肩特的倒数就是临边 比对边，这个你只需要记住摊肩特就 ok 了，这个咱们不记都无所谓，听到没有？好，咱们看这个图，如何教你快速的记住那九个数呢？ 先这个图当中有一个咱们八年级特别熟悉的一线三等直角，全等，这里直角，这里直角，这个边等这个边，而这两个直角是两个三角板， 这个三十度，这个六十度，这个四十五度，这个四十五度，然后咱们把它拼接上去，是不是就形成了一个 a、 d、 八、 f 的 矩形？那这个角是不是自然而然可以知道是十五度，而这个角是不是自然而然可以知道是七十五度，这个角是直角，那根据咱们这个三角板的比例， 一比根号三比二，那么这个长度是一，这个长度是等于根号三，这个长度是等于一，这个长度是二。 而根据咱们等腰直角三角形 a、 c、 e， 一 比一比根号二，那二二，这是个二倍根号二，这整个 b 大 是不是一加根号三，那这里是不是 a e 就是 一加根号三， 这里是不是根号三？ ab， 那 这里的 f 大 是不是也是根号三？这里用掉一，那这里是不是根号三减一，那你告诉我这里面哪一个度数你不能求你如果通过这个表格，你不仅能够记到三十度、四十五度和六十度， 你还能够记住十五度和七十五度，这两个没有在咱们学习范围之内的角度，所以说周老师更建议大家记住这幅图，当然你觉得这幅图你还是不喜欢周老师还有第二个方法来，这个表格大家是不是 所需要记住的就是这这么九个数，但是这九个数你经常用结婚，按照周老师的五秒记忆方法，一定可以让你完美的记住。首先第一秒他们全部都有分数线， 无差别记忆。第二秒他们全部都戴帽子，都有根号，无差别记忆。第三秒三引和扩散引， 发现他们的分母是不是都是斜边，所以他们的分母都相同，都是二，而摊肩的的分母不一样， 它是三。好到这里已经用了你四秒钟了。最后一秒跟着周老师一起读，一二三三二一三九二十七， 一二三三二一三九二十七，写上去就 ok 啦，一二三三二一三九二十七。 完成。当然这个方法有一个小小的瑕疵，就是咱们需要化解一下根号一，很轻松化为一，同理这个化为一，这个根号九是大家都知道等于三啊，三分之三，这个数字应该记为一， 根号二十七，三倍根号三，三三，推掉对根号三，你也可以快速的记住这几个数，听懂了吗？祝你考试顺风顺水下课！

上面两个房间，哪个房间大家更加愿意居住呢？一个一个，因为它不仅美观，而且采光效果更好。好了，陈老师也想买一个采光效果好的房子，看中了长沙市天心区某楼盘开盘销售的三号楼， 该楼盘的楼层有三十三层，层高三米，南北楼间距为五十米。老师就希望全年中午都有太阳照射，至少需要多少层？同学们给老师建议，请一位同学说一说，好，请你住， 我会选择中上层。为什么是中上层？因为中上层它的视野遮挡可能就会更少一点，它的采光应该也就更好一点。每天中午 被太阳照射的部分是固定不变的还是变化的？我觉得是变化的，因为每天的正午太阳直射角他都是不一样的， 正午太阳高度角会发生改变对不对？请坐，大家同不同意？同意，好的，那我们今天一起来复习我们学过的正午太阳高度角。在复习之前，同学们昨天完成了一个地理的课前预习的问卷调查， 其中回答了四个问题，在大家答题的过程中，出现了如下的关键词和关键句， 而且四个问题的正确率分别如下说明，还有部分同学存在一点疑惑，接下来通过一个微课视频一起进一步的复习 正午太阳高度。我们将太阳光线与地平面的夹角称为太阳高度角，简称太阳高度。早上太阳刚刚升起时，日出光线与地面平行，太阳高度为零度。 接下来太阳逐渐升高，直到正午时分，太阳位置最高，此时的太阳高度到日落时分，太阳高度又接近零度，因此一天 最大的太阳高度就是该地的正午太阳高度。不同纬度的地区，正午太阳高度可能是不同的，我们画出春分日当天的太阳光照情况， 当天太阳直射点在赤道上，光线与赤道平行。当太阳光线落在正午经线上时，我们画出各地的地平面，光线与地平面的夹角就是不同纬度地区的正午太阳高度。可以看出，同一时刻，正午太阳高度由太阳直射点向南北两侧递减。 春分日太阳直射点位于北回归线， 同一时刻，正午太阳高度由北回归线向南北两侧递减，而冬至日太阳直射点位于南回归线。同一时刻，正午太阳高度由南回归线向南北两侧递减。显然距离直射点所大纬度越近，正午太阳高度越大，距 离直射点所大纬度越远，正午太阳高度越小。好了，我们通过微课视频一起来学习了正午太阳高度。 正午太阳高度指的是正午时太阳光线与地面所形成的假太阳。我们知道长沙在冬至这一天，正午太阳高度达到全年的最小的太阳， 因为此时太阳直射难回回现，而且经过测量和计算，这个太阳高度角约为三十八度。 好，那么接下来我们所知道的这一个知识，对于解决这个问题有何帮助呢？下面通过具体的实验，一起来探究，解开我们的这个空白，我们一起来看。 用手电筒的光源来模拟太阳光源。接下来请大家仔细的观察左边这栋楼楼层有太阳光照是否会发生变化，如何变化呢？ 首先，夏至日时候的太阳光照，秋分日、冬至日。好，我们再看一遍夏至日正午太阳光照， 秋分日、冬至日的正午太阳光照。接下来请一位同学说一说，你观察到了什么？又得到怎样的结论？请你说， 我们可以观察到这个受太阳正午受太阳光直射的楼层是越来越少的，到了冬至日，受正午受太阳光照射的楼层最少最少，那有什么结论？结论是，我们可以得出， 在冬至日正午受太阳光照的楼层，全年都可以受到太阳光照。同不同意他的说法？同意，讲的很好， 也就是说啊，我们买房子考虑采光问题，得要在冬至这天才行。下面通过一个具体的实力，进一步的反应这一个情况。有一户人家啊，他在夏天看房 选中了中间五彩，发现夏天正有太阳光照。到了秋，到了秋天 发现也有太阳光照，但是到了冬天这一天，特别是冬至的这有没有太阳光照，没有光照了，所以我们确定是冬至这一天，看房选楼层，考虑采光。那么冬至确定了 具体楼层是多少层呢？接下来还需要经过精确的计算， 我们将所得到的数据通过数学建模，将生活问题转化为平面几何问题。长沙市冬至正太阳高度角约为三十八度，好照着的这个点做一条地平面的平行线， 交线段与一个点。此时为了方便表示，我们对应的点标上字母，这个角等于九十度，锐角等于约等于三十八度。结合罗盘的数据，因为有三十三层，层高三米，所以楼高是 南北楼间距为五十六厘米，好说明 a、 c 的 长度是。现在我们已知了在直角三角形 a、 b、 c 中， 锐角 a 的 大小和零边长度。下面要求的是哪一段线段的长度呢？ a、 b、 c、 a、 b、 c 的 长度，因为 b、 c 的 长度等于有太阳光照的长度。 那如何求 bc 的 长度呢？我们学过正弦和余弦的概念，我们知道正弦指的是对边与斜边的比值，是一个定值，余弦是零边与斜边的比值是一个定值，类比正弦和余弦。 我们对于这个问题可以提出怎样的猜想呢？请同学们说一说。 好，你说我们可以在三角形，在三角形 a、 b、 c、 d 中，当对角 a 的 度数大小确定时，我们可以猜想为角 a 的 对边就是 b、 c 和角 a 的 零边和 c、 c， 它们之间的底值成定值猜想是一个定值同步作业，讲的很好，请坐。 那么接下来我们通过几个画板直观的验证我们的猜想。在直角三角形 a、 b、 c 中，首先度量出对边 b、 c 和邻边 a、 c 的 长度，改变长度，我们发现数据会有所变化，接下来度量出它们的比值， 再次改变长度，我们会发现随着长度的改变，比值却没有发生变化。也就是说，当角 a 确定的时候， 它的对边与邻边的比值是一个 b 值。我们度量出角 a 的 大小，在角 a 约为三十八度的时候， 比值约等于零点七。三、改变角 a 的 大小，我们发现比值会随之变变好， 也就是说明在角 a 的 大小确定的时候，他的比值是唯一确定的。如何来证明这个比值是一个定值呢？通过怎样的方式？ 请被等去除？好，你说我们可以类比正弦与弦的概念形成过程，然后利用相似三角形的知识来进行证明。好，可以利用相似三角形的知识 请做。讲的很好，那如何来利用相似三角形的知识证明？接下来这个任务就交给大家，接下来小组合作探讨。根据陈老师给到温馨提示， 限时五分钟。证明的话，请分为已知、求证和证明三个部分，先自己证明问题，再好时间到。接下来我拍了一张同学的证明过程，写的很好， 接下来请这位同学上台进行展示。好，斜对着大家。这个题告诉我们，已知在直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形 a 次、 b 次 c 次。中角 c 等于角 c 次，等于九十度角 a 等于角 a 次。我们需要求证的是， bc 比上 bc 等于 b 次 c 次，比上 a 次 c 次。证明过程如下，已知角 c 等于角 c 次，等于九十度角 a 等于角 a 次。所以在直角，所以直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形 a 次、 b 次、 c 次是相似的， 所以我们可以得出的是， b、 c 比上 b 次 c 次，等于 a， c 比上 a 次 c 次。经过变形可得出 b、 c 比上 a、 c 等于 b 次 c 次，比上 a 次 c 次。所以我们可以得出一个这样的结论，在任意两个相似的直角三角形中，对边比上零边的值是相等的。 他说的好不好，好表述的也非常规范美观。好， 我们得到了任意两个直角三角形，他们的对边和菱边比值是相等，也就是说明，当一个锐角的大小确定的时候，在直角三角形中，他的对边与菱边的比值是一个逆角值，也就证明了我们的猜想。 我们把这个定值叫做正切，这就是正切的定义。正切可以用符号 摊减底来进行表示，角 a 的 正切值用摊减 a 来进行表示。 如果说对边用小写字母 a， 零边用小写字母 b 来进行表示的话，那么对边与零边的比值也可以写成 b， 正好 b 一 分值。我们学习了正切的概念， 到目前为止，我们学习了正弦与弦和正确的概念，这三者都随角 a 的 变化而变化，当角 a 为一确定的时候，这三者的值也是为一确定的。 所以我们可以把这三者看成是关于角的函数，称为内角三角函数。那么内角三角函数和这三者之间的关系老是通过一个思维导图来进行 呈现，这就是他们之间的关系。好了，我们学习了知识，我们还需要利用知识去解决实际的问题。接下来通过三个简单的小题， 我们一起来对知识进行圈圈，请同学们把时间完成。看到大部分同学已经完成，下面抽一位同学来说一说你的结果吧。沈一飞，第一题我写的是四分之三， 第二题是十六，第三题是九，同不同意？同意好，请做好。第一小题，已知的是 对边和邻边求正切值。第二小题，已知对边和正切值，求邻边。第三小题，已知邻边和正切值，求对边。从这三个题目中间，你有什么发现？找到了什么规律？请一位同学说一说。同学来，罗成心， 从这三个小题中我可以得出一个结论，就是知道两个量可以求出另外一个量哦，知道表达式中间的两个量可以求出另外一个， 可以简称为直拉求一，直拉求一去做。讲的很好，完成了第一小题，接下来我们一起再看一个小题，同学们做题做答好，同学们停下笔，因为同学的证明过程如下，求看紧的 b 的 一个直的求法如下，过 a 点 做 a 的 垂直于 bc 于点的，因为这是一个等腰三角形，所以它的高也是它的中线，所以 b 的 长度是 bc 的 长度的。 那已知 bc 的 长度为四， ab 长度为十。可以根据勾股定律求出 a 的 长度。

好，那么今天呢，我们学习新的内容呢，用一种新的方式来进行啊，那么上新课之前呢，我们先来复习一下前面学过的直角三角形的一些性质。 好，第一个锐角尖有什么关系？就是相加五十。好，第一个，第二个边有什么性 质？勾股，勾股，定点，按上面的字母的话是 a 八，哎，对，没错，那么现在在这个角位的位置，我给他增加一个三十度，请问哪两条边有关系？ a 跟 c， a 跟 c， a 是 三十度的对边，就是对边跟斜边，刚好是几分之几，二分之一。哎，二分之一，那我们说三十度的对边是斜边的一半比值就是三十，对边比斜边等于二分之一。好，那么现在马上看你们选项，完成前面的三道题。 好，那么接下来可以了啊，我直接口答，第一道题多少度？六十五，第二道题三道四。哎，非常好，那这三道是刚刚我们练习的三个定义啊，三个性质。好，那么现在大家看一下这个三角形啊，看这个三十度的直角三角形。好，大家注意观察右边左边的三组数据啊。 好，请问什么在发生变化？就是三角形的大小发生变化，什么发生什么？不变，笔直不变。那么大家觉得这个笔直不变是由这个三角形中的哪部分因素决定呢？你们觉得角 角度吧，是什么角度？三十就够了吗？九十，哎，对，还有九十。那我们说其实九十度的话，是不是可以想，可以理解为这个比值不发生改变的话，应该是在什么三角形当中产生直角三角形，而我们也看到也 猜到，在这个三角形的大小发生变化的情况下，这个三十度是不是一直是保持不变？所以他这个比值永远都是零点五，是不是这样我们可以猜测到，所以有了这个猜测我们就有了一个大胆的猜想啊，大胆猜想。在直角三角形当中，当锐角 a， 对角 a 取一个确定的度数时，它的对边与斜边的比值是一个固定值啊，那么这个我们可以猜想一下，那到底是不是呢？我们想想，如果把这个三十度我改成别的度数，那么它的对边跟斜边的比会不会也是一个定值？好，那么大家看一下我们手上的电脑啊，用我们的几何画板来验证一下是不是可以 做好了同学可以对照一下你们同组的两台电脑，看一下你们的笔直是不是都是一样啊？做好之后把你们得到的笔直写在黑板上啊，写在黑板上 好，写上去。写上。把笔写上。 甩一下，芒果甩一下。炸， 看见没， 红笔在那里，别拿红笔。这个 做好的同学也可以讨论一下。小组内啊，你们能够发现什么啊？也可以像我刚刚一样改变一下三角形的大小。你们觉得发现了什么规 律？ 谁老婆谁老婆。把你们发现的规律写下来啊，写在圈上。 小组内可以讨论一下啊，你们发现了什么规律？度越大笔直越大，怎么会是角度的笔直越大？别走， 不要想笔直。 哎，要不要用啊？不要。 咳咳。唉，你哋唔写清楚唔得 㗎？ 写清楚抄返个相畀我拆咗好，抄返我拆咗快写畀我哋写啦。咩啊？ 冇玩 𠮶 啲咩啊？冇玩 𠮶 啲咩啊？ 好，大家看一下这里， 这个是其中一个同学发现的一个规律啊，任意放大或缩小三角形的三边长度，它们的对边与斜边的比值是不变的，行不行？不行，比值不变的确是，当然我们大家看到，但是这个比值不变，觉得有没有什么条件？那什么条件啊？哎，对了，在直角三角形当中，没错，还有没有什么条件？呃， 有一个角怎么样？有一个角是保持不变吧，所以刚刚你们在画图当中，这二十三度是不是一直保持不变？所以的笔直零点三九，不管你怎么拉大，他笔直有变化吗？没有，三十七度是 不对了，所以在写法当中应该要写完整。好，这是第一个同学，那第二个再看一下第二个，他们找到是这个。哎，这个其实两个合在一起，刚好在角度固定时，他看到了。角度固定吗？固定时对边与斜边的笔直是不变，那么他其实是缺了一个什么条件 在直角三角形中，所以刚刚那个同学跟这个同学合起来，那是不是就已经是完整了？哎，对了，所以呢，这个是我们通过几何画板啊，几何画板找出来的一个规律，拿计算机的形式去验证。 那么这个规律我们可以简单说为，在直角三角形当中，当锐角角 a 的 度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，角 a 的 对边与斜边的比都是一个固定值，知不知道？那么这个是用现代化的手段去验证的，那么就想我现在只拿了几个角，如果我没有告诉你那个角是多少，你能用数学的原理去证明这个定律吗？ 好，那我们看一下下面的探索啊探索在阿迪三角 a b c 和 d e f 中角 c 跟角 e 九时 a 跟 d 相等那么这两个比值会不会相等。 组长可以帮一下自己的组员啊你可以互相讨论一下。行可以啊都可以啊 组长可以带一下组员啊 可以吧。好， 嗯 啱啦可以呢呢个再写成 𠮶 个对称形式就可以啦。系 好我们看下这两个同学的单。 好，这是第一个大家看出来他是用什么方法做的吗。相似那我这里再问多一句为什么你们会想到相似两个角相等哦两个角相等那是证明相似的方法但是为什么这道题你会想到相似哪里有没有提示哎对了非常好。是不是那个 笔直是是不是这个笔直在我们前面一张学习相似当中是不是只有相似笔才会这个笔直？是所以我们当然是想相似啊那么看下这个同学相似对吗？对， 会不会条件多了会。其实原理当中这部分有没有错因为三角形的内角和怎么样是一样的所以两个角相等就相当于三个角相等但是相似当中我们只需要多少个对了两个角相等所以他的答案其实对就是多了一步啊多了一步好，那么另外一个同学的我们看一下啊 另外一个那这个就比较标准了啊 a 等于 d 小 c 等于角 e 等于九十相似然后相似比十相等好，那么从这个地方我们就应该是得到刚刚我们的猜想在直角三角形当中如果有一个锐角是固定了那么这个锐角的 b 跟斜边的比值，对边跟斜边比值会不会改变？不会就是一个固定值吧？所以用电脑我们验证了，用数学知识我们也验证了，所以这个就是我们直角三角形当中的一个规律啊，一个规律好，然后大家再看一下这个，这个表格，刚刚你们填的这个表，好，那你们发现了什么呢？首先一个大家看一下，随着度数慢慢的增加， 这个比值有什么变化，一样大，一样增大吧，那增大你们觉得应该是趋向于接近哪里接近一吧，哎，接近一吧，哎，没错，相当好。那么第二个大家看一下，当这个角位的度数确定了二十三度的时候， 有多少个比值跟它相对应？有啊？二十三度比值零点三九，三十七度的时候零点六，那么这种我们是不是叫做叫做一对一的关系啊？那么在数学当中这种一对一关系我们是叫做什么？函数，哎，对了，函数关系没错啊，那么就今天我们讲的锐角三角函数也是从这里来的啊，这里来的。好，那么这个 我们先来看一下，我们这个根据我们得到这个规律啊，我们就得到我们今天的第一个概念啊， 就是叫做正弦啊，它就是我们其中的一个锐角三角函数啊，那什么叫正弦呢？根据刚刚的规律啊，首先一个先看一下这里角 a 的 对边我们记作小写 a， 角 b 的 对边记作小写 b， 角 c 的 对边记作小写 c。 那 等下这些对边跟斜边就用这些小写字母来表示啊，我们怎么表示呢？ 在 r、 t 三角形中，角 c 等于九十，我们把锐角 a 的 对边与斜边的比值，那么刚才这个比值是不是一个固定值？所以我们把这个比值定义为角 a 的 正弦，那怎么记住呢？用字母 s i n 读作 sin a， 一起读一下，三 a， 三 a 对 了，那么三 a 等于什么呢？看一下写吧，三 a 等于角 a 的 对边比上斜边，那用字母就是 a 比 c 好， 那我再问一句，如果我现在换一下，如果让你出三 b 的 话 怎么办呢？会不会写会。三 b 是 等于什么？那我需要改的是哪一部分？因为它是笔字吗？是分子改变还是分母改变？分子，分子就把角 a 对 边改为角 b 的 对边，然后分子就只有一条，那如果用一个小写字母的话，是谁比谁 对了？ b 比 c 没错，所以我们要求哪一个的正弦，就看清楚它到底是哪个角啊，哪个角度好，那这个是它的一个正弦啊，正弦。那么刚才我们是不是求了一个二十三度啊？求二十三度。如果现在我写 sin 二十三度的话，你们觉得答案应该写什么？ sin 二十三度， 哎，对了，就刚好就是零点三九，因为这个就比值嘛，正弦求的就是一个比值，对边跟斜边的比值，那么它的答案答案就是零点三九啊，零点三九。好，让我们看一下后面。好，我们看一下这个立体， 在 r t 三角形当中，角 c 等于九十， 求三 a 和三 b 的 值啊。那么求这个，首先一个我们怎么做？应该怎么想？首先是不要先确定什么，因为我们的公式当中要求的是对边跟斜边的比值，那么看这个图，我们有个三，有个四，就缺了什么？ 斜边？缺了斜边吧，那斜边能直接口算吗？刚好是多少？五？刚好五，一共五数是三四五，所以三 a 的 话，请问是谁的对边跟斜边的比 角？ a 的 对边与斜边的比？好，那这是例题，我们看一下啊。写法当中第一个，首先先把 b 先出来二十五，然后三 a 就是 bc 比 ab， 那 先把公式先写出来啊，写完再把数据带进去，那就五分之三，那么三 b 的 话，那就应该是多少， 那就应该是谁比谁四比五。对了，因为三 b 的 话对边是 ac 嘛，是不是？所以三 b 的 就这个好，然后下面大家看一下，求三 a 和三 b 根据我的过程来写啊啊，就是立一立一下面那个第二题 跟着我的立题写写那个格式啊， 这个没化解啊，化解一下它分叉不能放分母， 做完那道题目的，就马上给把 a 主题的前三题给完成啊。前三题。 好，我们看下这个同学答案啊，这很快，你们啊基本上都可以了。好，先看答案对不对？ 对，那我就觉得奇怪了，三四五不是一个组合吗？斜边我觉得应该是四啊，勾股竖当中的三四五，五一定是怎么边？斜边，但是现在五是跑哪去了？直角边，哎，所以这个位置呢，一般同学还是不错的啊，我没看到有人写的五啊，等于根号三十四，好，结果对不对？对，好，那这次你们觉得对是吧？好，我给你再看第二张，你们觉得哪个写的格式应该好一点？ 这是第二个同学，你们为什么觉得第二个会好一点？步骤比较什么？比较完整是吧？那好像他步骤好像又缺了点什么，哎，对了，为什么一定要加阿梯三角形？因为阿梯三角形 第一个，由于勾股定律必须是在 r t 三角形当中使用，第二个，你的三角函数也必须在 r t 三角形也是这样在一起吗？所以两个合在一起，那这个前提是必须要写出来。对了，那所以这个位置它就缺了一个，但是它在写求三 a 和三 b 的 时候又比前一个好，因为他先写了什么， 是不是先把那条公式先写出来，是哪个对边跟斜边，写完了再把数据带进去，那这样是不完整一点，严谨一点。所以呢，我建议大家是用这个是稍微好一点，不过这个同学就缺了一个 r t 三角形啊，好，那么这个是前面几好，然后我们看后边的 a 主题啊，直接我们对，那么这个同学做的很快啊，你们看下行不行啊？跟你们答一不一样， 第一个，第一题答案选 a， 哎，对，没问题，翻过来第二道，第二道题答案是选择刀，有没有问题，没有吧。然后第三题 a， 那 么今天我们画的图，其实就是不管他怎么拉，笔子怎么样，笔子是不变的，非常好。好，那么现在重点大家看下，能力提升的立体 这道题我就不会做了，我就不会做，你们有没有谁教一下我怎么做？因为我有个疑问，我找不到一个直角三角形怎么做？ 好，这里我请个人上来给我们展示一下啊，教一下我啊，我也不会啊，因为我只有一个问题，第一个，你现在求的是不是三角 b？ 那 三角 b， 我 们说刚才求三角函数当然是在什么三角形，直角三角形吧，但是我看来看去 a b c 都仅仅只是个什么三角形。钝角钝角三角形，那三角 b 求这个这个我就觉得奇怪，哎。不行， 不会做，找不到，找不了对边也找不了斜边公式成立不了。那我就三眼皮做不出来了自己做，哎。那怎么办画一个对吧。好，我请同学给我画一下。你怎么给我构造这个三角形就可以把这个三角形求出来啊。来小木来试一下你是如何构造这个三角形。直角三角形 整个画出来整个直角三角形用红色。对，嗯好， 行不行。行吧那。哎直角再找到了的确是那边没有啊。哎。数格子，哎没错，格子都这样。那数格子的话这段是多少四然后这个也是四吧。这个就可以用公母定律吧。哎。四倍根号二所以这个三 b 的 答案就等于什么 四。比上四倍根号二那就是根号二分之一，哎，没有没有，哎。因为我们说根是不能够分母还有根号吧，所以化简的话结果是多少二分之根号二啊。所以答案是选什么，哎选 b。 那 我想问一下是不是只有这一种方法是还有没有第二种。我说我不想那个角尖那么大我想小一点行不行啊。小一点，各位好， 哎小宇试一下，你画一下。哎。用绿色吧。我不想那么大我想小一点，看下答案是不是一样的。 嗯好好，他画的也是这样行吗这样行不行？行一样的吧。这个是二吗？这个二这个是二，别跟他二一比的话是不是还是这个答案，哎对了还可以再小再小就大了，哎，就一格，哎，对了，非常好，那是不是就这边小小的， 哎，对了，非常棒啊，不错啊。好，那么这个呢，从这道题当中，其实我们可以发现一个，如果我要求三角函数，但是那个角不在直角三角形当中，但是我一定要求他，那就叫做，那就变成叫做一个直角三角形，哎，没错，好，那么大家现在马上看第四题，看第四题，看第四题怎么做。学会了这个例题方法，那第四题怎么做？ 他也是好像没有直角三 角形啊。 嗯，好的，一样， lily 哥的，我知道，还有这个答案，我中了一个答案， 好，给我，我要你的图， 老师，是这个吧？对，对的对的，这个忘了化简是吧，不过好像不对啊，对啊，这是图是对的，图是对的。 好，我们来看这题啊。呃，先看其中一个同学画的图，那这个同学呢？还没做出来啊，不过他的图呢，我觉得值得有一个参考。 呃，先别说怪怪的啊，你们先说他，首先是画这个图，有点感觉像什么三角形，直角，也就是说他很明显知道三角函数必须在直角下边使用，所以他画的时候就先入为主，我要先画个直角，但是你们觉得奇怪，如果是直角，这条是不是斜边？斜边跟直角边不是一个长度吗？怎么会？这两条边是相等的，所以这个时候就变成在画图当中，一定要记住这道题，其实我只是知道什么三角形， 等等腰三角形，那所以只有等腰三角形，怎么能画成直角呢？是不是？所以真正的图就我们应该是怎么画，我们应该是不是画成这样？ 哎，那这个同学画出来画的是不是刚好三三二？不过大家没发现他中间画条线，虽然他没有直角号，但是我看到这里写了个一，我就知道他应该是直角，为什么？对了，等腰三角形有三线合一吧，所以二的一半是不是一一三，那这个是不是，哎，他写了个他这里写的刚好吧，然后你要求的三 b 的 话，他就直接怎么样， 三 b 就是 对边比斜边，那就是根号八除以三，是这个答案对吗？对吗？不对，哪里不对？方法是对的，因为根号八还要怎么样化减，它是等于二倍根号二，所以答案这个是不是还缺了一个化减？所以这个同学非常可惜啊，非常可惜啊。 好，那所以答案我们看这个答案就应该就是这个，你们答案是不是这个三分之二倍根号二，那这个同学在做的时候是不是这个地方也写了二倍根号二，所以他就不会错，所以根号八的同学注意一下啊，注意一下。好，那么这个呢？也验证了，等一下，如果没有直角三角形，我们一定要算正弦值的话，必须要构造直角三角形啊。好，然后下面我们看下题，看第五题， 第五题有没有哪个同学可以快速的帮我解决呢？快速的方法耶， 唔系我张券嚟嘅，我哋 𠮶 个系根好白 㗎。 嗯， 𠮶 张 时间关系。我先请个同学先说说这题啊，他已经解出来了， 这道题我答案是选选 c 的， 然后我的方法是这样子的，呃，他说是三角 a c d， 也就说是这个角， 这里一共是有三个直角三角形，所以，呃，三个直角三角形，所以三个直角三角形是相似的， 所以这个角等于角 b， 那 这里我们就可以写成是三角 b， 嗯，因为 ac 是 四， bc 是 三，所以勾股数的话， ab 是 五， 嗯，三眼是脚，三眼，脚 b 是 脚 b 的 对边与鞋边一起的。答案就是，你们听得懂吗？ 从我开始呢，我已经听到有人说为什么他是相似的，其实答案是没错啊，为什么相似？这个图当中是不是前面一张我们学习相似三角形，这个直角三角形鞋边上的高，知不知道这里出现的三个直角三角形全部是相似的吗？用两脚相的就可以了。那我现在这里擦一擦啊，鞋怎么是相似呢？很简单，这个，比如说这个脚跟，这个我们先看这个三角形， 跟这个大的，哎，对了，跟这个大的，跟这个大的 a、 b、 c 三角形 a、 c、 d， 跟我们的三角形 a、 b、 c， 首先角 a 是 不是应该是一个公共角，是吧？然后再加上这个是不是九十， 这个大是不是九十，那相似吗？相似，那相似对应角是不相等，那相等的话，这个角是不是等于这个角，那就错了啊，所以这个是相似，那相似的。我们先想想，好多人在下面就在想，这到底怎么做啊？没有对边跟斜边，那其实有没有看到三 a、 c 的 在这个角，在我们不能够求这个的对边跟斜边的时候，我们能换一种思维， 换一个跟它相等的角算一下，因为这个 a、 c， d 的 角是不是跟角 b 一 样，所以我要求三 and a， c， d 是 不是可以把它直接改为求三 and b 的 值？因为角 b 跟 a、 c、 d 的 值是一样吗？那换了这个是不是一样可以求出来？所以变成角 b 的 话，那角 b 的 对边跟斜边有没有呢？ 有了，这个是四三。那这道是什么？五，所以三 b 答案就是五分之四，所以这个答案当然就是五分之四，所以这个就是一种比较简练的方法啊。所以刚才我说有没有人快速能解答这道题？好，那么现在，呃，学到这里呢？我们先暂未暂落。啊。那我们这节课学了什么东西？数学上函数，我第一个学的一个政弦公式是什么？ 三三 a 是 等于角 a 的 对边比上斜边。第二个正弦必须是在什么三角形当中使用 r t 三角形。如果没有 r t 三角形，但我一定要求这个正弦值，这个表对了，自己构造直角三角形。好，非常好，好，下课。

达到一个图形之后，我们要先对他进行观察，在观察之后我们可以对他进行折叠和测量一类的操作，在操作完之后，我们要对这个图形的一些特殊性质提出猜想，提出猜想之后要对这些，呃猜想进行证明，嗯，很好，请坐。 那本章我们研究直角三角形的边角关系。对于直角三角形，我们从哪些方面研究它的性质呢？王思默， 呃，在边方面我们可以研究，呃，就是比如说，呃，他的两条直角边啊，互相垂直 啊。然后在数量关系方面，我们探索出了，比如说勾股定力，还有一些特殊，呃，还有一些角的关系，比如说直角三角形内有一个角是九十度，还有两个锐角互余。 在边和角方面的关系我们研究过，比如三十度角所对的直角边啊，这在还有三十度角直角三角形中啊，三十度角所对直角边等于斜边的一半。还有包括一些延伸出来性质，比如斜边上中线等于斜边的一半。嗯，非常棒，请坐。同学们还有补充吗？ 彭思明，呃，在这个研究直角三角形边的性质的时候，我们还有一个直角三角，呃，还有一个三角形，它共性的性质就是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。嗯，很好，请坐 好。那这两个定力哪一个反映了直角三角形的边角关系呢？直角三角形从三十度角所得的角两边等于斜边的一半吧。好，那么这一定力反映了相关要素中线和斜边的关系。 那这一定律反映了一种特殊的边角关系，当一个锐角是三十度时，它所对的直角边和斜边存在着特定的等量关系。那当锐角是其他度数时， 直角三角形的边之间还有这种确定的等量关系吗？那本章我们就来探索直角三角形的边角关系，并利用它解决实际问题。 下面我们借助刻画梯子倾斜程度的活动来探索直角三角形的边角关系。请同学们观察梯子变陡的过程。 我们怎样用数学的方式刻画梯子的倾斜程度呢？ 何宇泽，呃，我认为我们可以通过这个梯呃梯子和地面的夹角来刻画它的倾斜程度。嗯，好，请坐。同学们还有补充吗？ 段一，如老师，我认为可以通过梯子底部距离强的呃距离来反应梯子的倾斜程度。嗯，很好，请坐。在数学中刻画事物差异时，往往将其量化，比如用角的大小、线段的长度来刻画。 那我们将梯子与地面的夹角角 b、 a、 c 称为倾斜角， ac 为水平宽度， bc 为铅直高度。 好，下面我们来看这组梯子， a、 b 和 d e 哪个更陡呢？ d e 更陡， 为什么呢？倾斜角的大小影响着梯子的抖缓，倾斜角越大，梯子越抖。 在生活中有时候并不容易测得倾斜角的大小，反而更容易测出牵直高度和水平宽度。同学们，再看第二组，我们测出了牵直高度和水平宽度。同学们有什么发现呢？ 哎，那我们怎么比较他的倾斜程度呢？我们可以将 d e 平移到 b m 的 位置，那角一就移到了角二的位置，此时我们比较 倾斜角。倾斜角角二和角三的大小就可以比较两个梯子的倾斜程度。好，那角二和角三哪个角大呢？ 角二，嗯，五号星。通过观察，我们可以知道，这个角二是三角形 abm 的 一个外角，所以说，角二等于角三加角 abm， 由此可知，角二大于角三。 嗯，非常棒，请坐。那么同学们，我们的结论是什么呢？ d、 e 更陡。那我们发现，当铅直高度相等时，水平宽度越怎么样？梯子越陡。嗯，很好， 我们再看第三组，这组梯子有什么特点呢？嗯，那我们可以用同样的方法来比较， 平移 a、 b 到 e、 n 的 位置，然后比较 倾斜角，倾斜角，角二、角二、角三，嗯，角二大于角三。所以呢， a、 b 等于 b， d， 嗯， ab 更陡。好，那我们发现，当水平宽度相等时，牵直高度越高， 越长，越长，长，梯子越陡。好，那么我们就发现了，当水平宽度相等或牵制高度相等时，我们只需要比较另一个量即可。 那这组梯子的倾斜程度我们怎么比较呢？ 韩语书，我认为我们可以把 t 子 d、 e， 它的水平光宽度和铅直高度同时乘以二。嗯，然后呢，是它们的， 他们的水平宽度统一，从而比较牵制高度，就可以得出哪个梯子更陡。嗯，好，请坐。他提供了一种思路，将水平宽度乘二，那牵制高度也乘二。这样的话， 原来的三角形和现在的三角形相似，相似，那倾斜角 相同，那二和三乘以二以后，就是四、四和六。哦，所以，这两个梯子一样陡，一样陡。嗯，那我们还可以从尖值高度与水平宽度的比值来看一看，尖值高度和水平宽度的比都等于 二分之三，二分之三，那比值相等，我们同样可以证明相似，得到梯子一样陡的结论。 好，那这一组梯子有什么特点呢？和前几组一样吗？不一样，不一样，他的梯子梯子高，水平宽都不相等。嗯，那笔直相等呢？也不相等，也不相等。 那这种情况我们怎么比较呢？请同学们自主探索，然后在小组内交流。好，开始。 好，下面我们请刘诗雨同学上来讲解它的思路。 呃，我的想法是 a c 是 一点五，然后 e f 是 三，然后 e f 正好是 a c 的 二倍，所以就可以让呃 a， c 同乘以。呃， a， c 和 b c 同乘以二， 然后就把它的水平，嗯，宽度，嗯，扩大到相同，然后所以 a、 c 撇乘以二十三， b 撇 c 乘以二就是八， 然后就可以，嗯，转化到那个，呃，它的水平宽度相同，比那个铅直高度，所以它的 b， 嗯， b 撇 c 应该是大于 d、 f 的， 所以我认为是第二个梯子更陡一些， 同学们认同吗？认同，嗯，好。呃，同学们，这位同学选择了将一点五米化为三米，转化为了水平宽度相等的情况，然后比较 牵制高度。哦，那老师想问你，嗯，本来是比较 a、 b 和 d e 的 倾斜程度，为什么可以转化为比较 a 片， b 片和 d e 的 倾斜程度呢？呃，因为他那个 b a， c， 嗯， b a。 呃，三角形 b， a， c 和 d， e， f 它是那个相似的，然后扩，扩大之后两个就是。 嗯，嗯，三角形 b， a、 c 和三角形 b， a， c 和 d e， f 三角形 d， e、 f 是 相似的，是，嗯，同学们有补充吗？ 好意思。呃，老师，我认为应该是三角形 b， a、 c 和三角形 b 撇 a 撇 c 是 相似的。 呃，因为它呃都有一个公共角，是角呃，呃 b 撇，呃 b 撇 c a 撇， 而且他们经过扩背之后，他们的呃 b 撇呃 b 撇 c 和 a 撇 c。 呃，仍然这个是成成比例的。所以说，我认为，呃，三角形 b a c 和三角形 b 撇 a 撇 c 是 相似，认同吗？ 哎，好，没关系。哎，那这样相似了以后，好，请坐。相似了以后，我们的倾斜角 b a 和 b 撇 a 撇的倾斜角 相同。哎，所以我们比较的时候不改变倾斜程度，我们仍然可以比较。哎，非常好，请回， 好，那我们再请彭芮从同学来展示他的思路 就是，我的想法就是，呃，因为这个 e f 是 等于二倍的 a c， 然后我的想法是，呃，把 e f 缩成一半，就是 呃，这个 m f， 它只是等于 a c 的 都是一点五，然后这个时候它们的水平宽度相同。呃，因为这个 d e f 这个相似于三角形 m m n f， 所以 我们这个它的倾斜角度改变，我们就可以通过比较 m n f 和呃，就我们就可以通过 比较 m f 和 b c 的 大小。呃，最后来判断那个梯子更陡。呃，因为 b c 等于四， m f 等于二点五。呃，所以呃， b c 大 于 m f， 这个梯子 b a， 也就 呃他的倾斜程度也要低，就是大于第一的倾斜程度。嗯，讲解的非常清晰。那我们发现在这种情况下，我们可以通过缩小或者放大直角三角形大小转化为高相等比较宽，或者宽相等比较高。 那通过以上五组梯子倾斜程度的比较，我们可以发现倾斜角的大小可以比较梯子的倾斜程度。那当不能测量倾斜角时，我们只需要转化为 水平宽度相等时或牵制高度相等的情况就可以比较。嗯，那接下来老师想让同学们比较这五个梯子的倾斜程度，你又用什么方法呢？ 好，段，一如老师，我想把它们的牵制高度都统一 一个数，把它们都乘以它们的最小公倍数，然后呃，通过呃，在牵制高度相同时，我通过比较它们的水平宽度，我就可以给这些梯子的倾斜程度排序。嗯，非常棒，请坐。同学们还有不同的思路吗？ 好，周子怡老师，我认为我们同样也可以把他的呃水平宽度统一，然后统统一成他们的呃最小公倍数，然后我们通过比较这个他们的牵制高度，然后我们同样也可以 呃得到这五个梯子的清洁程度。嗯，好，请坐。那么我们如果将水平宽度化为相等，那我们应该选一个什么样的数呢？我们都化为几呢？ 根据刚才这位同学的描述，我们可以把它化为这些水平宽度的最小公倍数。哦，那他们的最小公倍数是几呢？ 同学们好找到吗？哦，那我们化为最小公倍数，相当于是等比例放大这个直角三角形，我们发现不好找他的最小公倍数。那可不可以等比例缩小呢？ 可以哎，那我们把水平宽度都化为数字几最简单。嗯，那我们不妨把水平宽度都化为一，那牵值高度呢？ 就相应的。哎，对，就相应的变化，是吧？好，请同学们计算变化后的铅值高度。 好，来，左，金可同学你说一下你的答案。我的答案是，第一个，它的铅值高度应该是两米，第二个的铅值高度是三分之八，第四个的铅值高度是三分之八， 第五个的清直高度是二分之三。由此我们可以排序，呃，四的清直程度最大，其次是一号、二号、三号、五号。嗯，那你是根据什么排出的顺序呢？嗯，我是根据画完之后 五个梯子的倾值高度的大小，由大到小来排除他的宽。呃，倾斜程度是由陡到缓。嗯，同学们和他答案一致吗？嗯，好，请坐。那么根据以上分析，我们能不能总结出比较梯子倾斜程度的一般思路呢？ 王思墨老师，我觉得可以。呃，将他们的水平宽度都化为一，然后来比较牵制高度。嗯，很好，请坐。那我们来看，将水平宽度化为一，那高就化为了。 呃，高宽之宽，分之高，高比宽宽之高，是吧？哎，那此时这个笔直越怎么样？ t 字越陡大，大。嗯， 好，那我们发现倾斜角和铅直高度与水平宽度的比值都能刻画梯子的倾斜程度，那么这两个量之间一定存在某种内在联系。下面我们继续探索。 将梯子靠墙的图形用数学的眼光可以抽象为一个直角三角形， a、 b、 c。 好， 那倾斜角就是直角三角形中的锐角角 a， 那铅直高度和水平宽度分别是边 b、 c、 a、 c。 那 我们把角 a 所对的边叫做角 a 的 对边，角 a 相邻的直角边叫做角 a 的 零边。那这个比值就转化为了 角 a 的 角对边，比角 a 的 角边边。 那问题就转化为了在直角三角形中，锐角和它的对边与邻边的比值之间的关系，也就是直角三角形中边和角之间有什么关系呢？那我们从特殊到一般展开研究。 我们先研究当角 a 等于三十度的情况，做出直角三角形 a、 b、 c， 角 a 的 对边 bc 比角 a 的 零边 ac 的 比值是多少呢？ 三分之根号三。 那我改变直角三角形边的长度，保持角 a 的 度数不变，做出直角三角形 d、 a、 e， 那 d e 比 a、 e 的 比值是多少呢？ 哦，那我改变了直角三角形的大小，但是比值没有改变，这是为什么呢？ 彭思明，呃，因为他，呃，因为他们都是这。这个三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 e 他 们是相似的关系。嗯，可以说一下为什么吗？呃，因为他们都有一个。呃，因为他们都是直角三角形，他们都有一个内角是九十度， 然后还有一个都为三十度的公共角，两个角相等，所以他们是这个。呃，相似三角形。 嗯，很好，请坐。那么我们发现，在直角三角形中，如果一个锐角是三十度，那无论边的长度如何，它的对边与零边的比值都相等等于三分之三，三分之三， 那我们还研究过四十五度、六十度这样的特殊角， 在含四十五度、六十度锐角的不同的直角三角形中，锐角的对边与零边的比值是否相等呢？请同学们类比角 a 等于三十度的研究过程，自主探索。 好，我们请习雨桐同学来展示 我，我先呃，呃，在 呃，从这边做一个垂线，然后然后得出这是一个含，呃，这是一个等腰直角三角形，它们的分分比就是，呃，一比一，比根号二。呃，然后 就得出来 bc 比 a， 呃， bc 比 a、 c 是， 呃，等于一的比值是一，然后又做 b e 垂直，然后最后做呃， 这样一个垂直，然后又得出这也是一个呃等腰直角三角形啊，比值一样，是一比一，比二，所以角 a 的 对边比，角 a 的 邻边就是呃，呃，比值就是一啊，因为这个又是一样的，然后 呃这三十度呃所对的直角边是斜，占了一半，所以这是呃，这是根号三，这是一，所以呃 f g 比 a g 就是 一个呃的比值，就是根号三。然后也同样呃，它们都是，就是做 h l 就是 这个垂直，然后与这个呃 f a g 和 h a l 是 呃一个相似的关系，所以它们的呃这个比值是一样的，所以 h l 比 al 呃的比值也是很好算 的。嗯，非常好。请回。他还提到了用相似的知识去证明。 好，那么我们就知道了，当角 a 等于四十五度时， 角 a 的 对边比，角 a 的 邻边的比值是一，都是一。当角 a 等于六十度时， 它对应的比值，那在这些特殊的直角三角形中，只要角 a 确定了，它所对应的比值也确定了，那当角 a 是 一般角的时候，你能提出什么猜想吗？ 范雪瑶，角 a 的 对边与零边，就是也是，就是比例相等。嗯，很好，请坐，那我们借助几何画板来验证。 同学们，当角 a 等于二十八点二度时，做出直角三角形 a b c 计算 b c 比 a c 的 值， 做出直角三角形 a d e 计算 d e 比 a e 的 值， 同学们有什么发现呢？哦，那我改变点 d 的 位置， 同学们观察什么量变化了，什么量没有变呢？但是笔直没有变好。那么当角 a 等于二十八点二度 是它所对应的比值都约等于零点五四。零点五四，那我要想让这个比值改变，我应该怎么做呢？改变角，变。好，我们来看老师改变角 a 的 大小， 比值呢？随之改变，随之改变。好，那当角 a 确定时， 嗯，笔直也确定了。那像这样的直角三角形，我们还可以做出无数个，在每一个直角三角形中， 只要角 a 的 度数不变，它的对边与邻边的比值都相等吗？为什么？ 嗯，好，这样我们就通过大量的例子和证明得出，当角 a 是 任意角度而法时，它对应的比值是一个定值。哎，唯一的定值。 好，那我们来总结一下 角 a 变化，角 a 的 对边比，角 a 的 邻边这个比值随之变化。角 a 确定。比值，唯一确定，唯一确定。 那比值和角度之间似乎存在一种特殊的对应关系。这让你想到我们之前所学的什么知识。函数。 好，那我们学过一次函数反比例函数，那比值是角度的什么函数呢？ 我们称在直角三角形中，锐角的对边与零边的比。