数学北京中考24年几何综合

好的，各位，我们来看一下二零二四年啊，北京这个中考海淀二模的啊，二十七题啊，二十七题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 啊，角 a 的小于六十度，习惯条件啊， d 在 a、 c 边上连接 b、 d。 平移线段，平移线段啊，平移， 哎，平移线段 b、 d 啊，使得，哎，现在 b、 d 啊，使得 b 一定要 c 连接 c、 e 啊，哎，这么一个图，这是 e。 呃，第一问啊，第一问，若 b， a、 c 等于二倍的角 e 啊，那么这个直接写就行啊，很简单，倒角啊，一题可得。 b、 d 呢，平行且等于 c， e 啊， b、 d 平写等于 c、 e， 所以我就有什么呢？呃， b、 d 平行等于 c、 e， 所以我就有四边形。这个 b、 c、 e、 d 啊，为平行四边形， 它是平行四边形，那我们就有了我的角 e 呢，就等于角 c， b、 d 啊， c、 b、 d， 那你想求啊，还有一个拼音线啊。呃， d、 e 平行于 b、 c， 所以啊，我就有角。题目要求的角 c、 d、 e 呢，就等于角这个角啊，角 a、 c、 b。 那么因为啊， a、 c 等于 a、 b 啊，所以 呃，角 a、 c、 b 就等于二分之一一百八十度减去角 a 啊。呃， 呃，那么你的角 d、 b、 c 等于啥呢？角 d， b、 c 就等于角 e 啊，等于二分之一角 a， 所以这两个角一加，对吧？一百八十度减去二分之一角 a 啊，九十度，九十度减去二分之一角 a 啊， 所以加啊，所以角 a， c、 b 加二角 d， b、 c 啊，等于九十度。那么再把那个结论抄上去啊，所以 c、 b、 d 与 c， d、 e 互与 啊，与谁啊？与 c、 d、 e 啊，物语啊。第一问呢，很简单。 第二问啊，连接 a、 e 啊，若 a、 c 平分它啊，我们先把这个 a c 平分角 b c e 画出来啊，这么一个图， 呃，角明明显啊，我看看啊，先对一下差不多啊，然后，嗯，挪上来， 嗯，差不多的位置，然后把它连起来，再连起来。 呃，这是 d， 这是 e， 对吧？ a c 平分角，呃， b a a c 平稳角 b a e。 呃， c b d 和 b a e 的 b a e 的关系啊？ c b d 和 b a e 的关系算关系啊？那我们怎么连出来感觉像一个菱形呢？我看一眼啊， 哎，这个怎么连出来感觉像个菱形哦，瞅一瞅啊，如果做一根垂线， 嗯，角度是差不多的啊，差不多。那 d e 挪挪啊，感觉有点像个菱形图形，我们看看能不能正出来啊。呃，角平温线，对吧？然后这放了一个平行四边形， 哎，对嘛，这你看啊，这是一个。呃，这不是垂直啊，比如这是 h， 如果我连接在平行四边形中啊，第二位在平行四边形啊， 呃， b c e d 中，我如果连接 b e， 那么我肯定知道了什么如果我连接 b e， 那我就知道了。 b h 等于 e h 啊， b h 等于 e h， b h 等于 e h。 呃，这怎么是个边边角呢？你角平分线 哎，这怎么是个边边角，这有点泛难啊。它是个菱形啊。呃，但是它怎么是个边边角？如果我把 b 连起来的话， 单杠啊，你看啊， b h 等于 e h， 那你只能用 三线合一了啊，等于三角形，三线合一。呃，那 a c 还是角平分线对吧？这 b h 等于 e h， 然后，呃， a c 平分角 叫 b a e 啊， b a e， 所以我的 a h 就垂直于 b e 这个地方。稍微有一点点奇怪，因为我要用论全等去正的话，你这是个边边角啊， a h 等于 a h， b h 等于 e h。 角一等于角二 啊，我们看下这个还有没有比较好的特征 啊？这就有点烦了，同学们，这要是个， 嗯，这怎么是个边边角呢？ 呃，他要是个，呃，那这个有点麻烦啊， 那我们先把它正了啊。我们先把它正了，那如果它跟它垂直，那就说明了这个 a、 h 是垂直平分啊。我们先把这个方法写在这啊，垂直平分 b、 e 啊，那说明的 b、 d 等于 d 啊，那说明呢？这个四边形啊。 b、 c、 e、 d 是个菱形，它菱形之后呢？那我的角 b、 a、 e 对吧？就等于二倍的角一啊。呃，二倍的角一，然后你的角 c、 b、 d 等于二倍的角 c、 b、 h 啊，等于二倍的九十度减去角 a、 c、 b 二倍的九十度减去角 a、 c、 b， 那它就等于一百八十度减去二倍的角 a、 c、 b 那 a、 c、 b 是啥？二倍的角 a、 c、 b 是九十度减去二分之一，呃，二分之一，这样写啊，二分之一一百八十度减去角 一啊，叫一，所以它合并起来就是把二一消掉，那就是 二消了，那就是角一啊，角一，所以 c、 b、 d 呢？实实际上就是角一啊。那么所以我的角角 b、 a、 e 呢？就等于， 哎，就等于二倍的角变异呢？就等于二倍的角 c、 b、 d 啊？ c、 b、 d 这是这个就是准备他这角明微线加这个，你三线合一，嗯，的逆定理啊。我 这个， 呃，就是你这个角平分线和中线能不能，能不能直接用呢？什么啊？ 不能的话我看看啊，如果是中线，那么想想怎么正啊？ 如果知道了，中线 能正吗？能正啊，能正，就是得正一遍我觉得。那我看啊，我过 h 做一个 p， 我做 h 做一个 q， 嗯， 这个三角形是这两个三角形是全等的啊，特别能正。是能正啊，如果我多加一步就能正了， 再多加一步，那就是过 h 做 h p 垂直于 a b 啊，于 p h q 垂直于 a e 与 q 啊，那我就相当于我把这个角平分线和中线这个再正一遍呗。 能用啊，这逆定理吧， h p 垂直于它， h q 垂直于它。那么我做了垂直之后啊，我第一个呢，就是，呃，角一等于角二，然后角 a p h 等于角 a q h 等于九十度，然后再来一个 a h 等于 a h 啊，甚至都不用 a h 等于 a h 啊，就有，有这个定理就够了啊啊，直接有讲究的定理就可以啊， 所以我就有了。呃， h p 等于 h q 啊， h p 等于 h q 之后呢，又因为角 b p h 等于角 e q h 等于九十度啊，然后这个 你又有了 b h 等于 h e 啊，所以这个三角形 r t 三角形 b p h 全等于 r t 三角形。呃， b p h e q h 啊， e q h， 所以我就有了。 呃，这样它就全等啊，所以我就有了。有了什么呢？我的我就有了角 a b e 等于角 a e b 了，对吧？所以角 a b e 等于角 a e b 啊，那就正出来，它是这个等腰三角形啊， 所以我的 ah 就垂直于 b 啊，我实在不行，我就把这个再正一遍呗，对吧，我把这三线合一正一遍加到这，可以吧， 但是总感觉这个题怪怪的，怎么感觉也没这个什么东西，这个题就结束了，我也挺奇怪的啊，对，这题出的好好没意思啊，奇奇怪怪的。

好，各位同学，大家好，那么我们今天这个课程呢，就开始来讲我们 二三年的中考的模拟题。我们先来讲几何综合这个题目，我们每一段课呢，就录一道题，嗯，我们会录海淀、西城、东城、丰台、石景山五个区的一模、二模题， 也就是说我们，嗯，几何综合这道呢，会给大家讲十道题，然后后面会有新定义专题，圆的专题，嗯，选择填空压轴题，还有二次函数的综合题， 分这样的几个专题来讲哈，因为现在的初三呢，我们几何的知识呢，现在都已经学完了，所以这个时候我们可以下 手去做的题目呢，就是几何综合题。好，那么今天呢，我们来看二三年海淀一摸的这道几何综合题， 如图，正方形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分别是 b、 c、 c、 d 上，那 b， e 是等于 c、 f， 我们画一下是这两段线端等号 b， e 等于 c、 f。 好，这个呢，又是一个正方形，然后是 a、 e， a、 e， c、 f 交于点 g， 没有了。第一问，要求角 a、 g、 f 的度数。好，那么 a、 g、 f 这是多少度呢？九十度垂直，对吧？怎么正？这是个正方形，所以我们有 a、 b 是等于 b、 c 的，又有红色两小段线段等，再加上这是九十度，所以我们就可以正三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 a、 c、 f 这俩三角形是垂直的。好，那，呃，这俩三角形是全等啊，所以我们就有角一这个对应角和角二这对应角等，那，因为我们角二加角三是九十度，所以角一加角三也就是九十， 那么 a、 g、 b 是九十度， a、 g、 f 也就是九十度，第一问我们就正完了哈。好，如果，嗯，你不想看写证明过程的话，就可以跳到我们的第二问当中啊。好，那我们就完整的把这个题 题目做出来，写一写我们的解题过程。第一问解好，因为 四边形 a、 b、 c、 d 为正方形， 所以 a、 b 是等于 b， c 的，还要角 a， b， c 是等于角， c 等于九十度。又因为 b、 e 是等于 c、 f， 所以三角形 a、 b、 e 全等于三角形 b、 c、 f 边角边正出俩，三角形全等。好，全等三角形，我们要的是 是这个对应角，等角一等于角二。好，因为角二加角三 是等于九十度，那我们呆换一下，所以角一加角三等于九十度，那所以就有角 a， g、 b 等于九十度，那么这个角 a、 g、 f 要求的， 嗯，他就是九十度，我们就正完了。好，那么继续呢，我们再来看我们这个第二问哈。第二问说在 a g 上截取 g m， 好，那么这儿是那个 m 截取 g m 要 g m， g m 是和 d g 的，然后呢，我们就连接一下 g d m， 好，然后还有就是做角 a， g、 f 的角分线， 角分线交 d m 于点 n。 嗯，一提一，我们先来给它补全图形了。好，那么接下来第二是用等式来表示一下，我们这个线段 表示线段 m n 和 n d 的关系，当然它俩就是等。好。那么第二问，我们怎么证明呢？它的思路是什么呢？我们上一问已经正了，这是九十 度，接下来我们又有角分线，是不是我们应该比较容易得到？这有两个四十五度角，对吧？那我们常用解决几何问题的方法是什么呢？就是利用 四十五度角来构造等腰直角三角形。 等腰直角三角形， 好，那你看我们要利用这个四十五度角，怎么才能构造出等腰直角三角形呢？那我这四十五度角，我把它延长一下，然后 我们再过 a 点做一个垂线。啊，这四十五度不太像，是吧？ 好，四十五度加哈，所以我们这里过 a 点去做一个我们这个字母呢，就叫做直接用 h 哈，过 a 点做 a、 h 是垂直于 a、 g 的， 然后交 g、 n 延长线于点 h， 那我们看这儿是四十五度，这儿是九十度，那我们画出这三角形，这儿就是四十五度，对吧？那这个就是直角 啊，这个我们画直角四十五度，这就是等腰直角三角形，那我们这里面 a、 g 就和 a、 h 这两条边等。 好再来看，我们这也是直角啊，对吧？这是我们正方形， a、 b、 c、 d 是直角，那么我们就有角一加角四和角四加角五都是九十度。 no， 就有角一和角五等。来看这个三角形，角一和角五等了。 a、 b 和 a、 d 是正方形的边等腰直角三角形， a、 g 和 a、 h 两个腰等， 是不是我们这个三角形就和把 h、 d 连上和这个三角形就全等了， 是吧？那我们就把 h、 d 连上全等三角形的对应边一个 b、 h 就和我们 a、 h、 d 是相等的，我也给它画成 绿色的了，他俩相同。好，那我们再来看这两个边等含有什么呢？ 那我们这里面我们目标是要正，他俩是相等的边，是不是我们现在能找到？我们是目标正这俩三角形全等了，现在已经有一个边相等了， 接下来我们这里还有一个对顶角相等了，那是不是再找一个角，或者再找一个边等就够了，对吧？那我们就再找一个角等， 好，找哪个脚蹬呢？那我们看这两条线是平行线，魏某看这九十度，对吗？这是垂直，为什么他是垂直呢？因为他 它和我们这个三角形的对应角，它俩都是九十度，好，那这也是九十度啊，同旁内角互补， a e 就和 d h 平行了，那我们再来看这内错角四十五度就等。 当然你说我说到这是垂直了，那这个四十五我们也能算出这个角四十五度，也能说这四十五度角跟他四十五度角是相等的。 好，那我们看这俩三角形是不是有一个边，有一个对顶角，有俩四十五度角等，那我们就可以正这俩三角形全等，那么他的对应边 n， d 和 m n 就相等了。而我们这个题呢，就可以证出了这个答 这个结果。那我们完整的写一下我们第二问的证明过程哈。证明， 我们先来添加一下辅助线哈，过点 a 做 a h 垂直， a g 好，小一点哈，交 g n 延长线于点 h， 然后再连接 h d。 因为四边形 a、 b， c， d 为正方形，所以我们就有 a， b 是等于 a、 d 一条边好，嗯，还有角 b， a、 d 等于角 g， a、 h 等于九十度， 所以角一加角四等于角四加角五等于九十度，角一就等于角五 哈，一角一边好，那我们再来说等腰直角三角形的边哈，好，因为角。这个先说平分线哈，因为 g h 平分角 a g f， 所以角 a g h 等于四十五度， 又因为角 g a h 等于九十度，所以三角形 g、 a、 h 为 等腰直角三角形 好等腰直角三角形，那么就有 a、 g 是等于 a、 h 的。好，现在我们全等的条件就都有了，所以我们就有三角形 a、 b、 g 是全等于三角形 a、 d、 h， 我们用的是边角边整成全等， 那我们就要全等三角形的对应边 h、 d 是等于 b、 g 的，还要一个角角 a、 h、 d 等于角 a、 g、 b 等于九十度。好，那我们先来代混一下边，因为 m、 g 是等于 g、 b 的，所以 h、 d 等于 m、 g， 一会我们全等的边有了。再来，又因为角 a、 h、 g 是等于四十五度，所以就有角 n、 h、 d 是等于九十度减四十五度等于四十五度，所以角 n、 h、 d 四十五度等于角 n、 g、 m 两个四十五度角相等。好，那我们再来写一个对顶角啊，再标一个角六和角七啊。 好，那么又因为角六等于角七，所以三角形 型 g、 m、 n 全等于三角形，对应的是 h、 d， n。 好，那么这个我们的证明呢，是用的角角边 角角边全等，那么全等三角形的对应边 m、 n 就等于 d、 n， 那我们想证明的结果呢？就正完了。 好，所以这道题整个解题的思路呢？最重要的一点，后面哈第二问是用的是四十五度来构造等条直角三角形来完成的。好，那么这道题呢，我们就讲到这里哈， 那么我们下一讲呢，再来看西城的那道题目。