x趋向于0的极限和x趋向于0的区别

十二本选名师，同学们好，我是你们的高数凯琳老师，今天的每日练大家都做完了吗？今天的每日练呢，我们开始拓展一个新的领域，求函数的极限。 在做这道题之前呢，我们首先了解一个知识点，也就是一个重要极限， 这里要给大家强调一下，我在这里标注一个重要极限，这个重要极限呢，需要大家记忆的高数中呢，总共有两个重要极限，今天呢，题目中我们遇到了一个，就先给大家介绍一个， 这个极限呢，就是因为他，当 x 趋向于零的时候呢， x 分之 上瘾 x， 他的一个结果呢，等于一等。这个式子意味着什么呢？我们可以观察一下上瘾 x 和 x 他的一个图像， 当 x 去向零的时候呢，也就是当 x 无限接近于圆点的时候呢，取之无限接近圆点的时候呢， x 和三 x， 他们趋向于零的速度是一致的，也就是他们趋向于零这一点的速度斜率呢，是一致的，因此他们的比值呢，就等于一。 这一点的证明方法呢？在数学上证明方法呢？在我们后面学习的洛必达法则会对他进行 证明。好，同学们，今天如果没有听明白这个重要极限呢，没有关系，大家先记住这个公式，我们做题需要在后面我们讲到诺贝达的时候，会对这个公式进行证明。 好在这里呢，在讲完重要极限之后呢，我们还要讲一下重要极限的应用方式。考试中不会直接考试重要极限，比如利美塔 x 去向一零三， x 比上 x 等于一，不会直接这样考，而考试是会怎么考呢？ 我们首先展示一下林美塔 x 虚线为零的时候呢，这里有一个框框，我们假设他是 gx， 而赛呢，这里也有一个框框，这个框框呢，我们假设为 fax， 当 x 去向于零的时候， yx 和 gx 也趋向于零的时候呢， 那么他们的比值结果就等于 yx 比上 gx， 当然另类，他 x 取向 a 零 好。同学们可能还不太了解，我们来做一道例题，就以题目中给的必选项为例， 我们可以看一下 b 选项， b 选项是不是等于一个雷梅塔 x 取向于零， x 分之赛二 x 啊，同学们首先分辨一下哪一部分是 fx， 哪一部分是 gx， 我们可以发现 fx 是不是就是三后面 这个函数的表达？是啊，在这道题 b 选项中呢，他给出的是二 x， 当然 fx 也可以是 x， 平光等等任何形式都可以按。这道题目中呢，给出的是二 x， 而哪一个是 gx 呢？我们可以看一下分母这个位置给出的 x 是不是就是 gx， 然后我们看一下范，当 x 去向于零的时候呢？极限就是当 x 无限接近于零的时候， 我们来看一下 fx 和 gx 是不是也是无限接近零呢？看一下 fx 是不是等于二 x， 当 x 趋向于零的时候呢？二倍的 x 是不是也等于零啊？ 是吧，也趋向于零，满足这个条件对吧？ gx 呢，我们来看一下 gx 是不是等于 x， 当 x 趋向零的时候， gx 是不是也去 下一题。因此呢，我们这个题最终呢，可以等于 fx 比上 gx 就是它的结果呢，就等于 雷美塔 x 取向于零，乱 x 比上 gx 等于多少呢？也就是二 x 比上一个 x， 然后呢，我们是不是可以把 x 约掉，最后的结果呢？等于二， 因此呢， b 选项我们可以直接选出来，题目中问的是极限存在的是，那我们来看一下 acd 选项为什么是不存在的？ 首先呢，我们来看一下 a 选项， a 选项呢，等于，当 x 趋向于无穷的时候，问 e 的 x 方等于多少？ 我们可以看一下 x 越大，这个方程的解是不是也越大呀？我们假设 e 的一次方， e 的二次方， e 的中间省略很多， e 的一万次方，是不是这个形式一直在增大呀？所以说呢， a 选项他有他极限存在吗？ 他不存在的，当 f 取值越大，最后的值也越大，因此呢，他最后的答案呢，就是等于无穷。好，接下来我们带 c 选项呢，题目中给出的是，当林美塔 x 取向于零时，扣三 x 分之一，他的极限是，我们可以看一下，当林美塔 x 去向于零正的时候呢，这个 x 分之一是不是趋向于无穷的？ 正无穷的对吧？是一个无穷大的一个数字。那我们怎么确定扣散 f 四分之一他的极限是否存在呢？我们可以这样假设一下，我们假设 雷美塔 k 取向于无穷，我们可以让 x 等于 k 取向于无穷，然后呢，就等于一个 k 二 k 百分之一， 这样的话， x 是不是也是取向于零啊？我们可以看一下， k 取向于正无穷的时候呢？二、 k 派分之一，这个分母是不是无穷，是不是取向于无穷大呀？分母取向于无穷大，那么整个分式是不是取向于无穷小，也就是取向于零的， 而 x 分之一呢， x 分之一呢，就是在这样的可以去向无穷的条件下， 分之一是不是等于一个二可以拍，我们可以这样带进去，发现当扣三二可以拍的时候呢，那是不是等于多少？是不是等于一这样的一个值？ 而另一方面呢，我们假设 x 等于 limat， k 趋向于正无穷的时候呢，等一个二 k 派加派分之一， 这样的话，他是不是也是去向于领证的一种，也满足题目中给的他去向领证这样的一个条件，对吧？但是在这种条件下呢， 我们可以看出 x 分之一是不是等于二 k 派加派，而如果把这个 x 等于二 k 派加 加派， x 分之一等于二 k 派加派这种情况带入到题目中，就是扣三 x 分之一等于一个扣三二 k 派加派的话， 我们可以得出最后答案是不等于多少负一这样的一个结果。所以说呢，他的极限值是在不断波动的，可能等于也可能等于负一，当然也有可能等于零，所以说他的极限是不存在的。 好，分析完 c 选项之后呢，我们再来分析一下 d 选项， 第一选项呢，给的比较特殊，第一选项中 x 是给的是取向于正无穷。 然后呢，我们可以分析一下 d 选项 limat f 取向于正无穷的时候呢，我们首 先来分析这样一个公式， x 分之 x 的平方，我们先把这个加二和减三，先不考虑 x 分之 x 的平方，他是等于多少呢？我们化减一下之后，是不是等于因为他 x 取向于正无穷， 乘上一个 x 只剩下一个 x， 因为 x 平方除以 x 是不值等于 x 这样一个结果，他是不是等于正无穷？ 所以说他的极限是不存在的。那我们可以分析一下在题目中这个 x 减三，对吧？ x 去向于正无穷的时候， x 减三会对分母的值造成太大影响吗？这个减三是不是可以忽略不计啊？同理，分子中 x 的平方加二， 当 x 的取值足够大之后，我们举个例子，例如他取了几百个亿，几千个亿，甚至上万亿，他加二之后造成的值会对 原本的几千亿、几百亿甚至上万亿这样的一个结果会产生太大影响，结果是这个加二是可以忽略不计的。 因此呢，我们只需要对比最大的这个 x 平方，比上 x 他的一个结果极限是否存在就可以了。 所以我们也可以判断出 d 选项的极限是不存在的。好，每天一分钟学会一道题，今天的每日练到此结束。

这道题如果你都不会做，那么你的大学真的是白学了。这是一道二零二二年专升门考试数学真题填空题的第一题，当 x 趋向于零的时候，上以 x 等价成 x。 但是大家需要对这个等价替换公式有更深一步的理解， 只要算引后面这个整体是趋向于零的，那么算引方框，这个整体就直接等价成方框。所以我们需要判断一下，当 x 趋向于零的时候，算引二 f 四，这个整体二 f 四是不是也是趋向于零的？ 因此我们能够得出上瘾二 f 四等价成二 f 四，所以分子我们直接等价成二， f 四分模保持不动，上下都有 f 四约掉，最终答案等于二，你做对了吗？

这道题如果你都不会做，那么你的数学真的是白学了。这是一道二零二二年专升本考试数学真题计算题的第一题，我们一起来看求极限等于多少。那么求极限是有固定的方法和步骤的，在我们的全程班里都为大家进行了详细的讲解，我们带着大家再回顾一遍。 那么求极线的第一步是先把点带进去，看能不能算出来，对吧？那把点往分子取代，这里是零，算以零还是零？因此呢，分母是趋向于零的。 把点往分子去带，把零往这里去带，算以零是零，那这里是一的零四方，对吧？一的零四方等于一，把零往这里去带，算以零还是零，再减去一，一减一还得零，因此呢，分子也是趋向于零的。所以说这道题是一个 典型的零比零的未定式，我们没有办法直接计算，那么我们只能想到第二步去化解。这道题化解是比较复杂的，因此我们不采用这种方法，那只能想到第三种方法，能不能等价替换？ 我们都知道啊，这个分母有一个上瘾 x， 对吧？并且这个上瘾 x 是跟这个整体的柿子是相成熟的关系，所以说我们能够把它等价替换，当 x 趋向于零的时候， 上瘾 x 是等价成 x 的，对吧？所以原式就等于分子，我们保持不动，分母把上瘾 x 等价成 x， 那么分母 x 乘以 x， 可以给他变成 x 的平方，没问题吧？现在我们再把点往里去带，你发现还是零比零的形式，对吧？带一点行， 第二步化减也行不通，那只能想到第三步，等价替换。这道题等价替换是明显行不通的，因此我们只能想到最后一种方法是落必打法则，落必打法则就是对分子和分母同时对 f 子求到就可以了，对吧？ 那么我们来看，这里是 e 的上瘾 x 求导， e 的上瘾 x 很明显是一个复合函数，复合函数求导，我们首先要把内层上瘾 x 看成一个整体，看成一个整体优，对吧？那 e 的优求导还是 e 的优， 也就是一的上瘾 app 四，但是大家需要注意，复合函数求导不要忘了，对最内层上瘾 x 再求一次，等上瘾 app 四求导等于扣上瘾 app 四，对吧？减去这里上瘾 app 四求导还是扣上瘾 app 四，那么一求导师 零我们就不用管了，再对分母求导 x 平方求导等于二 x， 那这道题继续带点，我们发现还是零比零行不通，那只能想到第二种方法化解， 那这道题化解的话，分子我们可以把扣上瘾 x 是不是可以提出来，对吧？那么扣上瘾 x 提出来，前面还剩下一的上瘾 x， 次方后面还剩下一分母，我们保持不动， 那大家来观察一下，当我们把零往里面去带的时候，分母是零，分子也是去向于零，对吧？但是大家需要注意，我们观察这里有一个抠算引 f 四 这个扣三 x 跟整体的这个表达是是相成熟的关系，对吧？并且我们把零往里去带，这里是扣三也零，扣三也零是等于一的，那么扣 算以零能算出来一个具体的数，对吧？我们把它叫做非零因子，非零因子是能够优先计算的，所以这个地方一我们就不用写了，对吧？那么给他整理一下，当 f 四趋向于零的时候，分子呢，就变成了一的 cx， 四方减一，分模 保持不动。转到这里我们观察分子很明显能够用等价替换的方法，当 x 趋向于零的时候， e 的 x 减一，是等价乘 x 的，对吧？ 这里大家需要注意，只要右上角这个方框趋向于零，那么他就直接等价成方框。所以我们来判断一下，当 x 趋向于零的时候，这个方框 sonyax 是不是也趋向于零，那么 e 的 sonyax 减一，就直接等价 成这个方框，上瘾 x， 分子就直接变成了上瘾 x， 分模保持不动。那么当 x 趋向于零的时候，上瘾 x 是直接等价成 x 的，分模保持不动，上下都有， x 直接约掉，最终答案等于二分之一。这道题你做对了吗？

真是要了命了呀！上一个视频一发，还真是有人认为这个极限真等于一呀。有同学说，这个 x 趋向于无穷，那不就是抓大头吗？上面这个平方开根号是一次，下面是一次，那笔直不 就是一吗？又有同学说，你这个 x 趋向于无穷，我为什么要考虑趋向于富无穷呢？而且趋向于富无穷为什么就不是一了呢？还有同学说，我不管你趋向正富无穷，我这个极限， 你看我给你平方一下，就相当于搞到根号吧。那他是不是根号里面 x 平方加上 x 除以 x 平方，这抓大头总是一了吧？那我们就来给大家扫扫盲，我们做极限他的趋向性。如果题目中没有提到 x 是趋向于正无穷还是富无穷，那么 通通认为它这个趋向与无穷是有两个方向同时趋向的，也就是说正负无穷都有，包括你 x 趋向于某一个点零，它也是从零正 和零负这两个方向都有。我们讲最经典的两个例子，就是 e x 的极限，还有阿克贪进来的极限，这两个的极限都是不存在的。为什么？因为你写的是趋向于无穷，而没有单独指向是趋向正无穷还是富无穷。所以这个极限 正富无穷的结果是不一样的。极限存在 b 为一，所以这个极限都叫不存在。但如果你单指某一个方向，它或许就存在了。比如说你单独趋向于富无穷，这个 e x， 它就存在，它等于零，这个两边都存在。这个经典的例子要熟悉，那这道 在什么情况下是对的呢？答，在算错的情况下是对的。那有同学老师不对呀，我确实见过有这样的题目，这个这个确实就没有符号，他就是对的。 那你借的那个题长这个样子，那叫雷美特 n 趋向于无穷，根号下 n 方加 n， b 上 n， 那他就是一。为什么？因为 n 是自然数，他趋向的无穷只能是正无穷这个地方省略了。 而 x 没有说是非富的，所以正无穷下这个极限确实是一。那么富无穷为什么就不是一了呢？ 因为你想，如果说 x 是趋向于负无穷的话，咱们简单来理解，我们做一个换元令， x 等于负 t， 你告诉我，请问 t 是不是趋向于正无穷？那么我们把这个极限通通 改成 t， 那就等于 limit， 你看啊，这个平方负 t 的平方是不是还是 t 方加 x 是不是减 t 下面是不是变成了负 t？ 那这样的理解，你想想，你再抓大头，他是不是就是负一了啊？ 所以我们 x 趋向于负无穷的时候，这个极限是负一， x 趋向于正无穷的时候，极限是一，所以极限不存在。 所以你不要再说这个极限是疑或负一，或者叫正负一都不对，这叫不存在。能懂打个懂，再换一个角度理解也行啊。 我们就说咱不做换元，哎，咱就直接写 x n 号， x 方加一。你想想，如果说你认为抓大头的极限是一的话，那你是不是认为的这个分子上，这个人可以忽略 不记，太小了。上面是不是剩一个平方？那你从根号里开出来，是不是带着绝对值开的？那 x 是负的，那去绝对值不得填负号不是负 x 吗？负 x 不以上， x 不还是负一？你包括你把 x 给我放到根号里面去，那你放到根号里，你是不是要先平方？ 你告诉我，你原来是个负的，你放到根号里能直接这么写吗？因为根号一定是正的， 你下面分母原来是个负的，所以你放进去不得负的根号平方。怎么理解这个趋向于负无穷，还都得是负一？ 总结一下，第一， x 趋向无穷，如果没提正负无穷，那么就是同时趋向，既趋向于正无穷，也趋向于负无穷。第二，极限存在 b 唯一，要么不存在，要么就是一个值，不可能是正义或者负义。第三， 数列极限 n 趋向于无穷，单指 n 趋向于正无穷，这是基本功啊，加油啊大家。

如果数学对你朋友感兴趣的话，让他看看极限吧！极限是微积分的基础概念，在导数和积分中都运用了极限的思想。那么什么是极限呢？我们以二次函数 fx 等于 x 平方为例，探究函数在 x 趋向于二的极限。 随着 x 与二越来越近， f x 就与四越来越近，那么当 x 无限趋近于二时， f x 也就无限趋近于四。 此时，对于任意一个正数 epsilon， 都存在一个以二为中心调特为半径的去心灵域。对于这个去心灵域内的任意 x， 均可使 fx 与四的距离小于 epsilon。 此时我们就称函数 fxx 趋向于二十的极限为四。我们再举个正常人能听懂的例子，当下趋向于零食的包子是馒头， 而当皮趋向于零食的包子是肉丸。说完极限的定义，我们来看看极限存在的冲药条件。我们仍以二次函数 fx 等于 x 平方为例，探究函数在 x 趋向于二的极限，我们先只从左侧逐步逼近二。如果 x 仅从左侧趋近于一个数 x 零时， 函数 fx 与长量 a 无限接近，则称 a 为函数 fx。 当 x 趋向于 x 零时的左极限。很明显，当 x 趋向于二时，二次函数 fx 的左极限为四。左极限我们都知道了右极限。同理，很明显， 当 x 趋向于二时，二次函数 fx 的右极限也为四。极限存在的冲要条件就是左极限右极限存在且相等。而对于这个函数 x 趋向于二十， 函数 fx 的左极限和右极限不相等。所以当 x 趋向于二时，函数 fx 的极限不存在。极限的内容就说这么多了，喜欢的点个关注吧！