22年数学最难的卷

大家好，我是王老师。我们开始分享二零二零年 全国统一高中数学浙江卷第二十二题。本题将函数与导数不等式相结合， 利用导数判断函数的单调性零点个数，并应用引领点证明不等式，考察了学生利用数学知识解决问题的能力。本题难度很大，区分度明显， 为高效选拔人才提供数学依据，突出高考的选拔功能。这道题也应该是二零二零年所有高考卷子中难度最大的一道题。 请看题已知 a 的取字范围函数 f x。 第一问非常简单， fx 在零到正无穷少，有唯一零点。因为我们在学零点存在性性质时，如果正出这个函数在一定范围内是单调的，两端点有一正一负，那这两个端点之间 必有唯一的一个零点，我们就按这个方向去做。第一步上来球的， 因为 x 在零到正无穷少，所以知道他的导函数是恒大于零的，而且这个导函数本身是一个单调递增的，所以 f x 为增函数，那么我们只需要证明 两个点所取的 y 值是一正一负即可。我们可以可以先取一个零点，那 f 零 是一减 a， 由于 a 是大于一的，所以 f 零是小于零，让我们再取一点 f 二，我们可以带入一方减二减 a， 由于 a 是有范围，所以他大于等于一方减四， 带入 a 的最大致他是横大于零的，所以二应该在这个位置。那么可以得出 fx 在零到重物球上，函数 y 等于 fs， 在零到重物取物上有唯一零点，这个分是应该必须得的。请看第二问，他分为两个小问。第一问也是比较简单，思路跟上面 是一样的。首先他告诉你 x 零为函数的零点，那所谓函数的零点就是代入之后，他的 y 值是得零， 那么我们要正 x 零在这个范围内，我们先把这两个值对范围表示出来。因为 a 的取值范围是小于等于二大于一的，所以可以得出根号 a 减一，小于等于一大于零，根号二倍的 a 减一，小于等于根号二大于零。因为第一问我们已经正出 f x 为单调递增，我们只需要证明根号 a 减一啊，所对应的 y 值是小于零 r f 根号 二倍的 a 减一，所对应的 y 值是代理。下面我们要把它带入它可以得出 e 的根号下 a 减一，减去根号 a 减一，减 a， 我们先擦掉，一会要涨。 要想证明这个数是大于零的，我们进行换元，列 t 等于根号下 a 减一，由于 a 的取值范围，我们可以得出 t 的取值范围。我们构造新函数列 g， t 等于一的梯子密剪 t 减去 t 方加一进行求到等于 mt， 这是我们设的新函数，因为我们在高中中没有二次到， 我要进行二次的 m 撇 t 等于 e， t 减二，我们知道 m 撇 t， 它是一个单调递增函数， 当 t 等于赖二十，他是有零点的，那么也就说 mt 这个函数，当 t 的零的时候，带去他是零的，那他是在零到赖二十，是先减后征。嗯，这 这个是 mt 的图像，那么我们可以得出 m 一 m 一是小于零的，但是之后那也就是说在零一之间 gps， 也就是 mt， 它是小于零的啊，在这之间它是小于零的，那小于零就说 说明 gt 这个函数是单调递减的，那么我们通过设置寄零代入，它是零的啊，所以这个是 gt 的函数单调的减，那由于 t 是零一之间左开右臂，所以 gt 整体它是小于零的，那也就是证明出 f 根号 a 减一是小于零的。下面我们要正一下 f 根号二倍的 a 减一，它是大于零，首先给它带进去 啊， t 等于根号下二倍的 a 减一。还原法 t 的取值范围呢？是在零 到根号二左开右臂，依然同力构造新函数 ht 等于 et 减 t 减去二分之一方加一进行求到 e t 减一减 t， 这是我们令他为 n t 再进行求到 n t 倒等于 e t 真名建议。嗯，我们可以看出 e 的 t 字密简易，它是一个单调递增的函数，当它的零的时候呢，恰巧是零，也就是 n 撇零的零那个二 说对应的 y 值一定是大于零的，那说明呢？他这个 n 撇 t 他是横大于零的，那也是说明 n t 他 八是一个单调递增函数。我们再继续往上带，我们可以推出 n 零也是的，零的，那零到根号二依然是大于零的，那也就说 说明 ht 他是单调递增的，我们把最小值带入 h 零 e s 零，那 t 都大于零，所以 h 七他也是大于零的。也进一步推出啊， f 跟号二倍的 a 减一是恒大于零的，那我们就正出 x 零一定是在这两个区间内啊，圈儿一就正完了。我们看一下第二个，第二问中的第二问是比较难的，首先 看 f e 的 x 零之密，这个就比较复杂，但是我们有一个已知条件非常的好，也就是 x 零是 f x 的零点，我们可以替换一下， 也能推出 e 的 x 零之密，等于 x 零加 a。 我们把所求的不懂事的左边表示出来。 这是一个非常复杂的柿子 整理合的， e 的 h m 减一 x 零方，加上 a 倍的 e 的 x 米减二 x 零。这里呢，我们先要放错一下，我们所要求的是它，我们知道呢， x 零方一定是大于等于 a 减一的，所以它中间呢，要放做一个 i 零方要大于等于 a 减一，那么我们在前面就需要凑型，第一个有 x 零方乘一减一倍的 a， 才会出现 所要的结论。我只需要证明我这个柿子横大于等于他即可。那么 我们现在就要做这个操作，我只需要证明 第一个大于等于第二个就 ok 了，就又进行了一次方说，那么我们都有 x 零方，我们可以先忽略不计。这是一个比较简单的函数进行求的，一的 a 字咪减一大于等于 一减一倍的 a， 一的 a 字咪减去一减一倍的 a 减一大于等于零。 我们只需要证明这个，这个结论就正出来。我们构造一个新的函数，因它为优。这是一个比较简单的函数进行求的，因为 a 的取值范围 是大一的，所以在这里 x 大一的话，这个导函数是很大于零的，那说明他的圆函数是单调递增的，也就是可以正出 u x， 他大于等于 u 一啊， u 一正好得零，也就正出结论。 这道题可以堪称高考题中最难的一道倒数题，这道题你听懂了吗？没有听懂可以给我留言。