2022年全国乙卷数学11题官方解释

大家好，我们一起来看一下全国已卷的选择题的第十一题，那么这道题网上也有很多的争议，就说这个题出错了，这是一道单选题，但是最后会有两个答案，我们一起来看一下这道题。双曲线 c 的两个交点， f 一 f 二，以 c 的十轴为直径的圆即为 d， 过 f 一做 d 的切线，交双曲线，以 m n 两个点，口三印 f 一 n f r 等于五分之三，我们设了个角为 c， 那么让求双曲线的离心力。 我们看看这个题，还是用拆题法的思路来给大家分享。这个图是我们根据题目的意思画出来的，第一个就是拆概念，同学们要了解的这道题当中的一个概念就是双曲线的十轴，那么双曲线的十轴是参照椭圆的顶点的那个思路，你像另 y 等于零， 那么求得 x 等于正负 a， 也是得到这两个点， a 一 a 二这两个点，那么这个就是双曲线的时轴，那么另 x 等于零的话，这里有个 b e、 b、 r 这两个点是它的虚轴， 这是同学们第一个要了解的概念。第二个过 f 一，就是过左焦点做这个圆的切线，交双曲线于两点 m n， 那么口三也 f 一 n f 二等于五分之三，让球这个椭圆的离心力。我们再看看拆完概念之后拆什么，拆目标，看看这个题到底要干什么。 我们知道椭圆的方程， a 方分之 x 方减去 b 方分之 y 方等于一，那么这里的 a 方加上 b 方就等于 c 方，这是双曲线的性质， a 方就是它的实半轴， b 方是它的虚半轴，那么 c 是它的交半径，那么 现在要求离心力 e 等于 a 分之 c， 也就是让求出 a， b， c 这三个数的关系。我们根据题目给出的已知条件，画出这样一个简图，那么过圆地的圆心，我们做 od， 垂直于这条线。 拆图像，我们第一个做 o d， 垂直于 f e n， o d 就等于 a， 那么再过 f r 做 f r e 垂直于 f e n f r e 等于多少？看这个三角形 f e， f r e 和三角形 f e o d， 这个 o 是 f 一和 f 二的终点，那么 o d 就是三角形 f 一 f 二 e 的中位线，那么很容易就得到 f 二一等于两倍的 o d， 那么 f 二 一的就等于 ra。 我们再看在三角形 odf 当中， od 是 afed， 是不是就等于 ba 方加 b 方等于 c 方， ofe 是等于 c 的 fed 其实就等于 b， 那么 fee 这条线就等于两倍的 b。 再看看第二个条件， 口三 inset 就是这个角等于五分之三，那么很容易得到。三 inset 等于五分之四，三 inset 又等于 f r 一比上 f r n， 那么是不是就可以推出 f r n 等于四分之五倍的 f r e f r e， 我们求出是等于 r a 代入的话就等于二分之五 a， 那么 f r n 求出来了 e n， 我们是不是就可以求出来？ e n 就等 等于 frn 乘以口三 ec， 它乘以五分之三嘛，就等于二分之三 a abc 之间的关系就出来了。 en 要是等于二分之三 a， 那么 fe 是等于二 bfrn 要是等于二分之五 a， 那么我们就可以得到 n f 一的长度 n f 一就等于 n 一加上 e， f 一就等于 a e 加上 e 的 fe， en 是等于二分之三 aefe 等于二 b 就加上二 b， 现在 nfr 也知道 nfr， 我们这里求的是二分之五 a， 那么再根据双曲线的定义，双曲线的一点到两个交点的距离差是等于十轴， 那么既有 n f 一减去 n f 二等于二 a， 我们将那个式子代入，也就是二分之三 a， 加上二 b， 减去二分之五 a 等于二 a， 从而求得 a 和 b 的关系， b 就等于二分之三 a， 那么求出 b 等于二分之三 a， 又由这个关系式，我们就得到 c 方等于 a 方加 b 方 就等于四分之十三。 a 方。题目让我们求的离心力， e 是等于 a， 分之 c 就等于二分之根号十三，那么得到的答案就是 c。 那么同学们看一下，为什么说这道题有争议，我们只是求出了一种情况，过 f 一与这个圆相切的 直线与这个双曲线的两边分别相交。那么还有另外一种情况，在这里给大家画个图，同学们自己做一下就行了。就是这样一种情况，这是 f 一， 那么过 f 一做它的切线值与这个双曲线的一边相交，不是与两边都相交，这里是 n， 这里是 m， 这是 f， 那么这个角同学们可以按照这个思路去做一下，那么得到的答案其实是 a。 这个题目如果想严谨的话，那么就是过 f 一做 d 的切线交 c 的那个双曲线的左右曲线分别与 m、 n， 那就只有一个答案了。如果根据题目的表示，我们其实有两种做法得到两个答案，二分之根号五和二分之根号十三都是符合题目要求的，那么这是说这个题确实是有争议的一道题，应该是选 a 选 c 都算对， 就是我们这个题按照拆题法的思路给同学们拆完，那么我们对照解题王给大家总结出的命题点，那么这道题考察的命题点相对比较简单，第一个是双曲线的性质，那么第二个其实相似三角形的概念， 这个是反复给大家强调，就初中当中的相似三角形，经常会跟圆锥曲线的结合，包括跟立体几何当中的图形结合来考察，同学们一定要引起注意。好，这个题就给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

大家好，我是高中数学罗老师。在今年的高考数学真题中，出现了一个严重的命题失误，那就是一道选择题出现了两个正确答案。 那么这道题目出自哪里？为什么会有两个正确答案呢？今天我们就来看一下。 这是二零二二年全国已卷理科选择题的第十一题。已知双曲线 c 的两个焦点为 f 一 f 二，以 c 的十轴为直径的圆，即为 d。 过 f 一做 d 的切线与双曲线 c 交于 mn 两点，且扣三叫 f 一 nf 二等于五分之三。问双曲线 c 的离心率为多少？第一种情况 如图所示，过 f 一的直线交双曲线 c， 左右两支分别于 mn 两点，此时我们设切点为 p， 如图所示，连接 o p， 则 o p 垂直于 m n， 过点 f 二做 m n 的垂线交 m n 与点 q。 在直角三角形 f 一 o p 中， 线段 o p 的长度等于 a， 线段 o f 一的长度等于 c。 根据勾股定理，我们可以解得，线段 f 一 p 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点， o p 平行于 f 二 q， 所以 o p 是三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以得到， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a， 线段 f 一 q 的长度就等于二 b。 在 r t 三角形 f r q n 中 后三角 f 二 nq 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度等于二 a。 由此我们可以解得，线段 qn 的长度就等于二分之三 a， 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度。加上线， 线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再加二 b， 因为点 n 是双曲线右直上一个点。根据双曲线的定义可知， 线段 nf 一的长度减去线段 nf 二的长度应该等于二 a， 也就意味着二分之三 a 加二 b 减去二分之五 a 等于二 a， 我们可以解得二 b 就等于三 a。 此时我们可以令 a 等于二 b 等于三，我们可以解得 c 就等于根号十三。这种情况下，离心率 e 就等于 cba 等于二分之根号十三。 刚才罗老师提到这道题有两个正确选项，那为什么还会有另外一种情况呢？我们来看一下图，如图所示，若过点 fe 的直线与双曲线的左支相交于 mn 两点，此时我们设 该直线与原地相切，点为点 p 连接 op， 则 op 垂直于直线 mn。 同时过点 f 二 做直线 mn 的垂线交直线 mn 与点 q 公里。在直角三角形 f 一 op 中，线段 op 的长度就等于 a， 线段 of 一的长度就等于 c。 我们可以解得线段 f ep 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点 o p 平行于 f 二 q， 所以线段 o p 为三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以解得 线段 f 一 q 的长度就等于二 b， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 直角三角形 nf 二 q 中 houssini 叫 f 二 n q 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 由此我们可以解得线段 qn 的长度就等于二分之三 a。 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度减去线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再减去二 b。 因为点 n 为双曲线左支上一个点由双曲线图向上点的性质，可支 线段 nf 二的长度减去线段 nf 一的长度应该等于定制二 a， 也就意味着二分之五 a 减去小括号二分之三 a 减去二 b， 整体应该等于二 a 化减以后，我们可以得到 a 就等于二 b， 此时我们令 b 等于一， a 就等于二， c 就等于根号五。这种情况下，双曲线 c 的离心率为 e 就等于 cba 等于二分之根号五。所以这道题目的答案有 a 和 c 两个选项。

好，我们再看一下二零二二年全国高考已卷啊，二十一期，据说这道题也很难啊，这个考生反应啊，全国已卷出的也挺难啊，还有全国新高考遗卷啊，全国新高考遗卷我已经给同学们呃，讲了很多了啊，呃，基本就算讲完了啊， 那么今天呢，我们再看一下全国已卷啊，最后一道压轴听啊，呃，以致函数 fx 等于异味的 e 加 l 对出，加上 a s e 的负 s b e， 求 a 的意识，求取现 wif 在点名 f 零处的切线方式。疑问呢， 我们得到的结果是 y 等于二 x 啊，这个我就不给同学们说了啊，第二个，横着看，第二个，若函数 fx 在区间负一零， 开局间零到正不凶，开局间各下有一个零点七五 a 的取之范围。我们看这道题，我们应该怎么去思考这个问题啊？ 那么你想一想，这韩束 f 在什么样的情况下，他在这两个开区间内各有一个零点的？我们首先对着函数图像的我们来，我们有一个大致的分析啊，首先呢，我们注意到 f 零点零，对吧？把零带去之后啊，是 f 零点零， 那么 f 零点零的话呢，那么图像他是经过原点对吧？经过原点以后呢？那么在什么样的情况下，他在这个区间和这个区间各有一个零点呢？ 我们可以通过图像我们给他分析一下啊，我们看一下。那么而且 我们还看到当 x 趋向于正无穷的时候，这个函数 fx 应该是趋向于正无穷，这能看出来对吧？呃，这个是趋向于零了对吧？ x 除以 e 的 x 是 m， 当 x 趋向正无穷的时候，我们用罗格达法则，我们发现这个趋向于零，这个趋向于正无穷。 而且当 x 的趋向负一的时候啊，因为他的有一条间接线呢，是 x 应该很低啊，那个 x 必须得会大，对吧？定义是大于规尿。那么当 x 趋向又负一的时候，这个是趋向某一个长数， 那么这个是趋向于富不穷。你看这个图像呢，经过原点，当孩子去向正不穷的时候呢，他趋向正不穷，当孩子去向富一的时候，他趋向于富不穷。而且我们还想让这个函数图像 在这两个区间上啊，各有一个啊？焦点，那你想一想，这个图像你说应该怎么画？那么这个图像我们是不是只能是应该是这个样子，那对吧？啊？错，应该是这个样子， 趋向正无穷啊，对吧？虚向正无穷，咱们这个图像应该什么样？应该是大概应该是这个样， 然后呢，我们看，对吧？他的图像啊，大致的走向啊，应该这样，那么只有这样的时候呢，我们才得到什么呢？得到这个函数 fx 啊，在这两个开局界内啊，各有一个零点， 那么如果是这样的话，那么我们很容易看到。那么就说这个函数啊，在负一段 上应该有一个机制点啊，在零到征求上也应该有一个机制点，对吧？ 所以说呢，我们又猜想到什么问题呢？那就说这个函数的导函数，在负一人上应该有一个零点，在零到正无穷上也应该有一个零点啊，而且这是个电话零点。 因此呢，我们就围绕着这个函数的导函数啊，在什么样的情况下，在这两个区间上各有一个零点啊，从这个角度啊，我们来分析，然后我们对 a 进行讨论， 所以说呢，我们首先呢对函数 fx 呢，我们应该进行求导，对吧？那么求导以后呢，我们发现他是一加 x 分之一啊，再加上 a 在秤上啊 e 的负 x， 再解决 a 秤上 e 的负 x 密，然后呢，我们把它通下分啊，通下分之后呢，是 e 加上 f， 再秤上 e 的 x 密， 上面一个是啥？应该是 e 的 x 是 b， 再加上 a， 再乘上 a 减去 x 的胸框，对吧？由于呢分母是正的，是吧？ x 大于灰机嘛， 所以说呢，我们要想考察这个导函数，在这两个区间上各有一个零点，我们只要看分子啊，这个函数就可以了，我们在令啊， u x 等于 e 的 x， b 再加上 a， 秤上一减去 x 平方，那么在这个函数啊，这个函数，我们定的这个函数呢，就是说 你能不能观察得到这个函数啊，在这两个区间上各有一个零点，如果这个函数在这两个区间上，在这个区间上，或者是在这个圈如果没有零点的话，那么 所确定的这个 a 肯定是不适合 t 啊，我们可以得到这样的猜一下， 那么在力所能及的观察的范围内，你能不能看出啊， a 在什么样的范围内，这个函数在这个区间上，或者是在这个区间上他没有零点呢？你能不能观察出来呢？ 那么很显然你看，很显然，如果当 a 要是大于等于零的时候， x 在这个区间， s 在这个范围内的时候，那么他显然没有零点，这能不能看出来是吧？ 那么 x 在负一到零这个范围的时候，那么他呢显然是大于零，恒成力， 如果他要是没有零点的话，那也就是说呢，导航数是吧？应该是大于防避，所以说导航数大于， 那就说 f x 呢，那就说在负一到零这个区域上应该得到，对的，所以说呢， f x 啊，那就横小于 f 零，而 f 零恰好对联， 这说明啊， f s 在负一到零这个区间上不可能有零点，当有大电影的时候，所以说呢，那么 a 大电影呢？应该是 这是啊，第一种情况呢，我们观察得到啊这么一个结论，那么首先我们再看第二种情况， 那么第二种情况呢，肯定就得 a 就得小于零了，对吧？当 a 小于零的时候，我们能不能看出这个函数在这个区间上或者是这个区间上没有零点呢？ 如果大一小而零的话，大 s 在负一到零的范围内的时候，那么这个是个负的，这是个正点，一正一负相加，是吧？一正一负相加，这是有可能有了点，对吧？啊？有可能有了点，也可能没有点， 那么当然是在这个区间内的时候，那么这个呢，是有证有数，对吧？有证有数呢，那么现在也无法判断这个函数到底是有零点还是没有零点， 那么这个时候我们应该怎么办呢？我们应该呀，对于这个函数的增点性进行分析，这对吧？然后我们判断 s 在这两个区间当中的某类区间里，他有没有零点的问题，那么这个时候我们应该需要对这个函数求导，我们利用导数去分析一下， 那么取完枣之后呢，他是得这个，对吧？得这个呢？现在我们观察一下，观察一下，说这个函数啊， 呃，是导航，是不是他，那么当 a 小于零的时候，咱们这个导航是显然是单调递增，这能看出来，是吧？那么他要是单调递增的话，那么我们现在看，我们看哪个区间呢？我们可以看这个或者是这个，那么如果看这个区间的话，那么导航是单调， 那么这个导航数的职业应该小，把零带上之后，他应该小一，对吧？那么在在这个区域上导航数小一，那么小一呢，也可能小于零，所以说呢，这个导航数呢，在这个区域上可能是有证有负啊，那这样一来的话呢，那么呃，这个 这个函数呢，那时候在负一到零呢，可能有根点，对吧？那么我们再看看这个函这个区间，当 x 在零到正不穷这个范围内的时候，那就说 他不单到地灯了吗？我们就得到啥呢？我们就得到了，把零带下去之后呢，他正好得一，所以说把零带下去正好得一的话呢，那么当 s 大于零的时候，是吧？ 当 s 大于的时候，这是在 s 大于的情况下啊，那么 大龄情况下，那么这个倒函数是正的，这说明啥呢？说明啊，这是 us 啊，在零到真无形这个区间上，应该是改造金增啊， 所以说呢，那么 ux 啊，就应该是大于啊，幽灵，那么把幽灵带上之后，我发现他正好等于一加上 a 啊，一加上 a， 那么做到这一步呢，我们很明显看到，如果当这个 us 的最小值要是大的那个人的话，那么 这个和数是吧？在零到真无雄这个区间上也是没有零点，对，对吧？所以说啊，当一加上 a 大于等于零，是吧？记， 当 a 大于等于负一小于零的时候，因为在 a 小的情况下，这十号这个时候呢，他的宝函数应该是大于零等于零，对吧？ 所以说呢， f x， 嗯，在这个区间上，他应该看到底子，所以说呢， f x 那就大于 f 零， f 零的账号对人衡成立，所以说呀，当 a 啊，在这个范围内的时候， 那么也不满足条件，对吧？所以说呢，负一小于代理 a 小于这种情况，也应该把它舍掉。所以说呢，我们 经过分析讨论，我们发现啊，这个 a 有可能比负一小，那么这是第二种情况，我们再看一下第三种情况啊，第三种情况啊，当 a 小与负一的时候， 那么根据我们刚才的分析看，那么我们就考虑他的导函数，在负一人和领导政务权上各有一个零点啊，也就是说这个函数啊，各有一个零点， 我们是不是就可以得到这样一个结论呢？我们需要说明一下，当 a 小于负一的时候，那么这个倒函数显然是当 x 啊， 当 x 大于零的时候，那么这个导函数啊，显然是正，对吧？这个导函数正，那，所以说呢， 这个函数在零到正无穷这个区间上是单调递增的啊，又因为我们把它把零带去，把零带去之后呢，发现他等于是一加上 a， 当一小于负一的时候呢，那么这是比零小， 那么我们再带一个纸巾，我们带一个一进去啊，带了一进去之后，他正好等于一一呢，是比零大，你看，所以呃，存在 x 零在零到一，也就是零到正无形这个范围内的时候， 呃， us 零正好等于零啊，那么 us 零等于零呢，我们就得到啥呢？得到这个 x， 在 啊，零到 x 零这个范围内的时候，这个 ux 是小育人啊，也就是近 f 导数应该是小人啊。然后呢， x 在 x 零到正无穷这个范围内的时候，那么 ux 呢，应该是大一点啊，也就是记 他的导函数应该是大一点，所以 fx 在 零到 x 零这个范围内的时候，应该是单调递减，在 x 零到正中求这个区间的时候，是单调低温，对吧？呃，所以啊，这个 x f x， 那么根据这个图像看，又 fx 就说这个待到地点，那就说 f 零，对吧？应该是这个大于啊， f s 零，对吧？跟到地点吗？是吧？那么 f 零呢？正好可以零，是吧？记 f x 零是小于零，哎， 那么小于零的话呢？我们看，那就说明 fx 啊在零到 x 零这个范围内啊， 在零到 x 零这个范围内啊，是不可能有零点的，对吧？实际上这个 x 就是，呃，这个零，对吧？不可能有零点，那么我们再看，我们再验证一个问题，验证个啥呢？就说又因为 s 零没有变，那我们还验证谁呢？我们再找一下，就说是比 s 零大的，只是看看能不能找到这样一个点，对吧？找到这样一个点，那么我们看怎么去找这个点呢？我们可以通过极限的思想，实际上可以看出来，当 s 曲项正不行，是 s 曲项正不行， 但是呢，我们可以把这个点找到，这个怎么找？又因为用放错法，又因为 fx 等于 e 加上 x 啊，再加上 a 乘上 xe 到负 xb， 他显然应该是大于， 这个是不是比一小啊，对吧？这个比一小啊， x 除以一的 x 肯定是比一小了，他比一小呢？我称上一个 a， a 是个负的，对吧？所以说他， 他应该是大鱼，是不是应该大一盘这把放色，因为他比例小， 两边乘上 a， 他就应该是大于，然后呢，我利用他大于等于零，所以说我们可以得到 这个 x， 一加上 x 应该是大等于一的负 a 四 m， 所以说 x 应该是大等于一的负 a 四 m 再减去一，这个显然是比零小，他，对吧？他是不是比零小啊？ 啊？比零大，比零大，因为 a 是负的，他显然是比零大，这个是比零大，那么他比零大呢？我们实际上就是找不到什么的，所以说就有 i e 的负 s 密，再减去一，他肯定是大一点，所以说呀， f x 在，嗯，零到正无穷上有归一的零点， 对吧？所以说当一小学负一的时候，我们已经正处 fs 在零到正中学上有唯一的零点。现在我们在证明，当一小的负一的时候，在负一到零这个区域上， f 也只有唯一的零点啊，就可以了。 呃，刚才的证明说，当 x 大于负一小于零的时候，我们在证明是 fx 在这个区域上有为零点啊。当 x 大于负一小于零的时候呢？那么这个导还是 数还是单调第三，对吧？我们可以把它看看导人数，把这个负一代去啊。导完数负一代去之后呢？他应该是等于什么呢？等于一的负一四方，是吧？然后再加上二 a 是吧？ 再加上二位，那么一的负一的方加上二一啊，这个数显然是比零小啊，这个不用补数，因为 a 小就会移动，对吧？显然是比零小，那么我们再看， 再把这零带去啊，把零带去之后呢，他得一的零私密啊，可以一啊，这个是比较大，所以说啊，啊，存在微一，存在 s 一，在负一到零这个范围内，实则 这个导函数啊，因为导函数可以，所以说呢，这个导函数啊， 啊，这个档是吧？在，呃，在负一到 x 一这个范围内的成绩，他应该是为负，是吧？ 然后呢，在 x 一到零这个范围，应该是为正，所以说呢， ux 在 负一到 x 一这个范围内，应该是单的递减，在 x 一到零这个期间上，应该是单的递增啊，所以说呢，这个 ux 应该是小 玉幽灵，看，对吧？而幽灵呢，我们看，应该等于什么呢？把幽灵带下去，应该是等于是一加 a， 是吧，一加 a 呢，应该是比零小，哎， 所以说啊，那么当 us 小于幽灵哈，那么 use 啊，是 us 一小幽灵啊， us 一小幽灵，那就说明啥嘛，说明是 us 在这个区间上啊，不可能有零点，对吧？ 那我们再看这个啊，又因为又负一，把负一带去啊，把负一带去之后，他应该是等于一的，负一次命，他显然是比较大。 说一说，一定是存在 x 二啊，属于谁呢？属， 属于是负一到 x 一这个范围内，对吧？呃，负一到 x 一这个范围内，嗯，因为是负一大人嘛， s 一小人嘛，嗯，实得。 呃，十得啥呢？呃，十得 us 二半截这地方， 呃，所以啊， ux 啊，在负一到 x 一这个范围内，他应该是 啊，在 s 二反应不到 x 二的范围内，应该是为为证啊，为证。然后呢，是在 x 二啊，到零的 这块地应该是为酷啊，他图像啊，大概就是这样啊，你看啊是什么意思？就是这么个意思，哎，这是 uf 啊， 啊，这点呢，是 s 二啊，这个是 s 一啊，这个是零啊，出墙大卫这么个意思啊， 呃，那么我们再看，我们再看，呃，所以说呢，也就是说呀，导函数啊，在负一到 s 二的范围内，他应该是为证，对吧？ 然后呢倒函数在这个区间上是破解， 所以说 fx 呢，在数一啊，一直到哪，从从数一一直到 呃， s 二，他应该是单到第三，对吧？然后呢是 s 二到零，他应该是单到第三， 呃，所以说呢， f x 二应该是大于一个 f 零，对吧？ f m 四二 大于 f 零 f 零，这说明啊，说明啊， fl 在这个区间上不可能有零点，那么我们再验证一下，哎，就是这个 s 二是吧，这个就是 s 二， 那么 f x 二大于零呢？我们需要看大 s 趋向于负一的时候啊，这个函数 f 显然虚向于负重，但是我们找一点，这点怎么去找呢？我们就放作法，又因为 f x 啊，等于 加上 a 乘 f c e 的负 s d， 他应该是小于谁呢？他是小于，这个 他为什么小于？他在给我说明啥话呢？这个 x 乘上 e 的负 x 是密啊，我们在当 x 大于负一小二零的时候啊，他的最小值是负一，这个我们可以，嗯，驱动出来，他的最小值是负一的话呢， 那么 a 是负的，那说明他应该喜欢这个狮子啊，喜欢这个狮子，你可以求一下 s 乘以的负 s b 啊，他最小值负 e 啊，当 s 再负一个零这个范围内的时候，这样一来的话呢，那么我只要让他小月港里人就可以了， 小点名的话呢，我们起不来，那么这个 x， 那就是一加上 x 呢，应该是小于等于 e 呢？ ea 四 m 啊，然后呢，我们把一移过来，那就是那叫啥，那就是 x 小于一趟啊， 这是 f 小点它，那么这个时候啊， fe 的 ea 次密再减去一，它正好是小一点，而且呢，这个数呢，显然是比零要小 九，对吧，因为 ea 是负的，对吧，显而比例小，所以说呢，这样哈，我们就找到啥呢？找到啊，就说是另外一个点，嗯，他比零小，所以说 fs 呢，在负一到零这个区间上也有 v 的顶点啊。 哎，这就是刚才啊，我把这个题啊啊进行了这个解析和讲解。呃，我的整体思路是这样，就说，首先呢，我们先对这个韩式的图像进行分析， 主要是抓住他过远点的特点，然后呢，我们再考察这个图像啊，当孩子去向正无穷，说去向正无穷，当孩子去向复习说他去向富无穷， 而且又经过原点，而且呢，这个行业图像，而且在这两个区间上各有一个焦点，那么这个时候呢，我复习成啥呢？这个行是导函数，在复习和联合和领导政府群众应该各有 一个变号零点，所以说呢，我们对他进行求导，然后呢，我围绕这个导栏数，在负一道联合零道正无穷这个圈上有无零点这个问题啊，对 a 进行分离讨论 啊，这就是我对这道题的解析啊，当然这个题是不是还有其他题的办法，你比如说能不能令他本野人分离常数啊？分离常数看可不可以，或者是 呃构造这个双函数啊，然后做叉再进行考虑。你得说的六大白眼睛是吧？六大白眼睛之后呢？然后两边称上一点 s 四 b， 这样的话呢？构造双人处，因为这是 as 嘛，他是表示一条直线。嗯，通过这个角度看看看能不能呃把这个问题解决啊。嗯，这个我也没有进行探讨，希望听众和同学们。嗯，有时间的时候呢，自己再研究一下啊。我的讲解仅供同学们参考。好。

大家好，我是刘老师。今天呢，特别巧的是，数学场上我刚好监考到我认识的一个同学。当然呢，全程那是我交流的，他之前跟我说数学大概能考九十分左右，我让他好好努力复习， 考试下来呢，他很失落，看他情况最多也就是能考五六十分，在我们那考场里边，有些艺术生基本上卷面都是白的。看来今年的数学是非常难的。 那么数学难就意味着什么呢？就意味着我们今年的分数线可能会下降。 所以说，天下乌鸦一般黑，我们不要把这个精力再投到数学上，要把时间和精力放在接下来的考试上啊，不要太焦虑，调整好心态，迎接下一场考试，好好准备吧，加油！

昨天高考数学一结束，家长群呢就炸锅了，群里一片哀嚎，有的学生哭着说要复读了，有的学生说只能上大专， 有的学生说今年高考数学难得离谱，从第四道选择题就开始卡，下面的题呢，不知道如何去做， 跟有的家长开玩笑，说全国数学已卷，让学生呢逐梦大专，让山区的孩子出不了大山，三十万考生，二十万要搬砖，还有十万永远要高三。 那今年的高考数学为什么那么难？各种创新提醒，改进提醒，让我们考生呢，防不胜防，连平时考试在六百五十分甚至六百六十分以 上的优秀学生，在亚洲题上啊，都没时间去做，也不会做前面做过的题呢，也不知道是对还是错，中等生呢，直接崩溃，连题都看不懂。高考数学的指挥棒可能会影响到中考数学的出题。 今年的高考数学大量的创新题型设计，增加试题开放性，鼓励学生运用创造性、发散性的思维分析问题和解决问题，培养学生的创新精神。 今年全国数学卷真的很难，即将中考的家长和同学们，你们准备好了吗？