t8联考数学平面几何

这个十七题是一个立体几何的题目，它说如图，在斜三棱柱 a b c a e b e c e 中， 这个角 b a c 等于九十度啊，就是 b a c， 这里是一个直角 a b 等于 a c a b 和 a c 相等，那这样的话就是等腰直角 角 a e a b a e a b 等于这个角 a e a c 啊，这两个角是相等的，然后 o 呢？是 bc 的 中点。第一问，让我们求证这两个平面垂直。面面垂直的话，它的定理应该是先证一个线面垂直，就是先证 a 垂直于阿尔法， 然后 a 属于 beta， 就 可以推出来 r 反垂直于 beta， 那 如果要正这个线面垂直的话，就要正一个直线垂直于平面上两条相交直线，那这样的话，我们就看题目给的这个等腰 ab， 你 看这个 ab 和 ac 相等， 这是 a， 这是 c， 那 这样的话 o 是 中点。一拉，那这个 a o 和 bc 就是 垂直的 a e a， 这里是 c， 这里是 b， 我 们把这个 a e b 跟 a e c 连起来，那这样的话，这个 a e a c， 这个三角形跟 a e a b 这个三角形应该是全等的，那这样的话，这个 a e b 跟 a e c 也就相等了。 a 一， 这里是 b， 这里是 c， 那 这样的话连这个中点 o， a e o 和 bc 也垂直，那也就是说，呃，第一问，我们先连这个 a e c 和 a e b。 因为 ab 等于 ac， 然后角 a e， a c 等于角 a e a b， 所以我们就可以得到这个三角形 a e a c 和三角形 a e， a b 是 全等的，所以我们就可以得到 a c 是 等于 a e b 的 啊，这个 a e c 等于 a e b， 然后又因为 ab 也等于 ac， 然后 o 为 bc 中点， 所以我们就可以得到 a o 是 垂直于 b c 的， 然后 a e o 也垂直于 b c， 并且呢，这个 a o 交 a e o 是 等于 o 的， 所以我们就可以得到 b c 是 垂直于 a e a o 的， 然后又因为这个 b c 是 属于面儿呃 b c c 一 b 一 的，那所以我们就可以得到面儿 b c c 一 b 一 垂直于面 a e a o 这个第一问这个垂直还是挺好整的，然后第二问的话，就是 a、 e、 o 垂直于底面，然后让我们呃直线 a， e a 和底面 a， b、 c 所成的角是六十度啊，线面角 d 是 b b， e 的 中点，然后求这个平面 a c， e d 和这个平面 abc 夹角的余弦值，那这样的话我们就直接求法向量就可以了。就是间隙，题目专门给了 a e、 o 垂直于底面，所以我们间隙的时候应该是呃， 这样间隙就可以了，这个是 a 点，这个是 o 点，然后这里是 c， 这里是 b， 那 这个是 y 轴，这个应该是 x 轴，这样间就可以，然后这轴的话就是 a 一 在这个上面， 然后题目说这个 a a 一 啊，先面角 a 一 的话， a， e、 o 和底面是垂直的，然后这样一拉，这里是 a， 那 这个角就是六十度， 那这样的话，这个题目没有给长度，我们就可以自己设一个长度。呃，底面，这里的话是等腰直角，所以我们就可以设这个 a o 等于一，所以这样的话，我们就是以 o 为圆点， 然后 o a 为 x 轴， o b 为 y 轴， o a 一 为这轴，然后建立如图空间直角坐标系。 并且我们设 a o 等于 o， b 等于 o， c 是 等于一的， 那又因为这个角这不是六十度吗？然后所以这个 a、 e、 o 他 应该就等于根号三啊。这样，然后我们现在要求的这两个反向量呢，是 a、 c、 e、 d 跟 abc， 那 这样的话，我们应该就需要他们几个点坐标， a 点坐标呢？呃， 自然就是一零零， b 点坐标就是零一零，然后这个 c 点坐标就是零负一零。 呃，那我们现在还需要的是这个 c 一 的坐标跟 d 点的坐标，这个 c 一 呢，没有在坐标轴上，并且它还是一个这个悬空的点，所以我们就可以用向量去解释， 就是 a、 c 向量是等于 a 一 c 一 向量的，然后它是等于负一，负一零。呃，因为这个 a 一 的坐标呢，是能求的零零根号三， 那这 a 一 坐标已知，那这个 c 一 的坐标呢？也就知道了，所以这个 c 一 就会等于啊，这就没有等于就是负一负一根号三。 那我们要求这个地点坐标地点是什么呢？是呃， b b 一 的中点，那这样的话，也就是说 b 点坐标是有的，我们只需要求 b 一 的坐标就可以了，那这个 b 一 的坐标的话，也是用向量，就是 c 一 b 一 向量 等于 c， b 向量是等于零二零的，然后这个 c 一 是知道的啊，所以这个 b 一 就可以求出来是负一一根号三，所以这个地点坐标啊，就是他们俩的中点负二分之一一二分之根号三。 那接下来呢，就比较简单了，就是求法向量这个平面，你看这个平面 abc， 它这个法向量，它就是这个 z 轴啊，其实就是用零零一就可以了，那也就是说我们主要求的是呃， a， c， e， d 的 法向量， 那我们就设这个 a， c， e， d 法向量 为 m 向量等于 x， y， z， ac 一 向量点乘 m 向量等于零，然后这个 ad 向量点乘 m 向量等于零， ac 一 啊， a 点有，然后 c 一， 这也求出来了，那这样的话就是 x 一 减，负二，负二， x 减 y 加根号三， z 等于零， 然后下面这个 a， d 啊，就是 d 和 a， 这个再减就是负二分之三 x 加 y， 然后再加二分之根号三， z 等于零， 然后这个负值的话就是三个。同时有的时候是不能负值的，所以我们可以消一下，先把它们俩加起来，这个在草纸上写就行了。就负二分之七 x， 然后加上二分之三位的根号三， z 等于零， 那负值的话就交叉负值，让这个 x 等于三倍的根号三，这个 z 等于七就可以了。然后再把它随便带到一个里边，带到上面这吧，负六倍，根号三减 y 加七倍，根号三等于零， 那这个 y 的 话就等于根号三，所以我们就可以写令 x 等于三倍的根号三，则 y 等于根号三，然后 z 等于七，所以这个法向量呢，就是三倍的根号三，根号三七，然后这个面设这个面 abc， 法向量 为 n 向量等于零零一，这样的话我们求 m 向量和 n 向量的夹角，求它扩散值加绝对值，上面的话应该就是七，下面就是根号 二十七，加三加四十九，然后再乘一，那这样的话就是根号七十九，就是七十九分之七倍的根号七十九。二面角求出来这个角 cos 值就对了。

刚考完的 t 八连考选填压轴题来了，这道题我们讲两种方法，一个是讲参考答案的方法，一个是讲我想到的方法。两种方法对比学，把这道高含金量的题轻松吃透。参考答案的方法当然也很常见，应该怎么去做呢？我们假设它是 x， 我 们假设它是 y 啊，或者反过来，我们假设它是 y， 它是 x， 没错吧？所以呢，我们看看，这道题立刻就出来了，正好是我们最近刚讲的一轮复习，正好讲过了几何意义，所以前面这个式子呢，就相当于 y 减去一个甚贝塔，甚贝塔的话，显然是绝对值吗？是一减 x 方等于零， 或者是后面等于零， x 减去考生的绝对值，就是根号下一减外方等于零，想能换元呗。那所以这是个什么东西？是不是 y 等于一个根号，下一减 x 方，那它是个单位圆，它是个什么东西？ y 等于根号，下一减外方，它也是单位圆的部分， 听明白了吗？一平方都是个圆，那它到底是单位圆的哪一部分呢？听懂了吗？我们先画出整个来，当然是或的关系啊，所以它是单位圆哪部分呢？这个地方的话，显然是 y 大 等零，那就应该是这半个圆， 那这个地方显然是 x 大 等零，显然是这半个圆，所以它表示的是这半个圆，或者是这半个圆。 听懂我的意思吗？那现在这是什么东西呢？来你就明白了啊，如果你还不明白，就那你看啊， c 二法是 y， 那 所以这个式子就相当于 x 加 y 减二， 你想到了它什么？求它的最小值，所以这是几何意义吗？常见的几何意义？你得知道 x 加 y 减二的绝对值，是不是我想到了点到直线的距离， 或者是想到了拮据？都可以，因为你想绝对值也可以，原因就在于参考答案想的是距，距离。原因是什么呢？原因就在于啊，这个数是负的吗？ x y 最大是一吗？所以呢，他加个绝对值也没这问题，听懂了吗？想到了几何意义？点到之前的距离， 当然你也可以把它想成一个结句， z 等于个 x 加 y， 然后呢，再减去个二，所以相当于 y 等于一个负， x 加 z 再加上一个二， 那 z 要取最小值的话，那就相当于这个直线要平移到最低，这叫什么拮据啊？直线啊，你让我求 z 的 最小值，那这个直线呢？他显然斜率为负一，斜率为负一的话，他要平移到最低才可以，那平移到最低的话，正好是在这。听明白了，这个点显然是能取到的，所以这个点是零。负一。 听明白了，平移到最低，截距就最小，截距最小值是负一，所以它的截距是 z 加二，负 x 加 b 嘛？所以 z 加二等于负一，所以 z 等于负三，能想到不？几何意义？想到了半圆，想到了截距， 想到了平移到最低，所以它的最小值是负三，听懂了吗？首先，它俩相乘等零，是不是说明我用我的方法的话，是不是说明它等于它？ 你的脑子得想明白，或者中间是或还是且？我问大家问题，或者是考生贝塔等于一个考生二发的绝对值。 ok， 结论不会就一步一步算。那你说他俩是中间是或还是且啊？好快想，中间一定是或， 因为他俩相乘等零，一定是他等零或者他等零啊，他不可能说且啊。但是呢，你对这两个式子，平方平完方之后，剩二发方等于一个剩贝塔方， 这个地方是考胜被他方等于一个考胜二发包。我问你，他俩平安方之后还是货吗？你比如我把他写成一减考胜二发包，这张是一减考胜被他方， 他算出来就是考胜二发包等于考胜被他方，所以平安方之后他俩是且同时满足这两式子。 哎，你知道他就能推出他来说明原来他俩什么关系，听懂我的意思吗？所以你能想明白这个，这道题做出来了， 大家再说他俩等于相乘等零，是他等零或者他等零。但是我想到了平方，因为有绝对值，我一平方，这是我想的方法啊。我一平方，我发现他俩是且的关系，所以本来两个式子是互的关系。他平完方之后相等，说明什么？ 说明原来是相等的，或者是相反的。你说平方方成立，所以这个式子我们就能够推出三种情况，这样，法等于个肾背，他的绝对值， 考甚贝塔等于个考甚而法的绝对值，同时满足啊。或者是啊，当然就是重复了嘛。 甚而法等于个啊甚贝塔的绝对值，或者是考甚贝塔等于个就是负的。考甚而法的绝对值，或者是啊甚而法啊。当然你算的时候都很简单，负的甚。这一步我不知道，你能想明白不？再说一遍，他俩是只要有一个成立就可以，但是我发现平完方之后他俩是同时成立的， 那说明平安方之前他俩是相等或者是相反，能想明白不？想明白这个往下做就简单了。好，能听懂不能听懂不懂的打个懂。他俩是互的关系， 这辆是且的关系，他俩他等于他且等于他，或者是他等于他且等于他。有一个加符号。因为平安方之后他俩是同时成立嘛。说明平安方之前一定是相同或者相反啊，能听懂吗？一定是相同或相反啊， 听懂了吗？平完方之后是这两式是一模一样的，这两式是一模一样，就相当于三等于三。平完方之后九等于九吗？或者三等于负三平完方之后平完方之后九等于九吗？ 听懂我的意思吗？原来也可能是相反，对不对？所以呢，我们一个一个算一算，由于这辆都等于绝对值了，所以我们假设二法和贝塔都是零的二分之派可不可以？可不可以？都是第一项线呗。都是零的二分之派的话，那他俩就是二法和贝塔就相等 没错吧。考辛法等于考辛贝塔嘛，都是对角嘛。所以二法和贝塔相等，那就说明肾二法再加上一个啊。考辛贝塔就是考辛二法再减去个二， 所以呢，它就应该等于根二倍的 sin。 二法加四分之派，然后减个二来个辅助角。公式求范围正弦型函数求范围法加四分之派。哎，我这个笔有点罢工啊。它有点不太粗， 他就应该等个四分之派到四分之三派，明白了不？所以他的最小值他就应该在四分之派的时候取到，那最小值就应该是负一，但是这个答案不一定是负一，因为他还有可能是这种情况，那这种情况的话，那肾等于正的，考肾是个负的，我就假设背他是什么， 我就假设背他等于一个负的吗？第二项线，二法，二法是第一项线， 对吧？二法是第一项线，没问题啊，你假设他是第一项线，没问题啊。听明白了，因为 c 二法是个正的，所以这时候呢，我们就发现这个四十九点个 c 二法，再加上一个考神贝塔，那你想一想，这两角什么关系？ 这两个角就应该是互补的关系，因为我们这两角就可以互补的关系，完全可以这样。二 k 派我都不写啊，互补的关系，好理解不？正弦是正的，余弦是负的，我就假设一个第一项线，一个第二项线互补的关系，那互补的关系的话，那所以，那我们就算出来了。好，你看你能想到不？ 那就申二法，再加上一个申考申贝塔，考申贝塔就应该是诱导公式，就应该是负的。考申二法再减个二，来一个辅助角公式，根二倍的申二法减去四分之派， 然后再减去二，由于二法再减去四分之派，这属于范围，就应该是负的四分之派到四分之派，所以整个的最小值就应该是负一减二。答案是负三，所以这个答案是负三。 这个是一模一样的道理啊，我就不想了，这个也是负三啊，这个也是负三。哎，能理解不？就说白了，我想明白了这二法和贝塔这两个角的关系了， 要么想二法和贝塔相等，要么是二法和贝塔是相加等派。这个二法和贝塔，你想想，你可以把它想成第几向下的角。考生，贝塔考生是正的，肾呢？是负的，所以我完全可以把它想成是相反角。你自己去做啊。 二、加倍差等于零就是相反的角，你看它是不是一个第一象限，一个第四象限就可以了。所以这个题的答案是负。三，这道题我给他负了个范围就可以了。 好，应该没问题吧。这是我想的方法，应该是比较严谨的啊。好，来我们再看啊。分类讨论想到了绝对值相乘等于零，分别等于零。然后呢，我就考虑他俩说的是或的关系。我想到了他俩原来是要么相等要么是相反就可以了。

好题分享，直接看最后一问，现在的考题要是有结论，考场上可以节省很多时间，这是逼着大家去高阶知识啊！废话不多说，直接上结论。以焦点 f 二为极点代入，可得极限 x 等于四，则 h a、 f 二 b 乘调和点列对应，获得调和限数。因为 y 等于 h， 可得圈内方程 四点。公务员对角互补可得角二 q a 等于角 a、 f、 r、 m 分 别列两角。正切公式消掉 k 一、 k 二项可得。关于 k 的 一与二次函数是一个开口向下对称轴在 y 轴右侧的二次函数，由于 k 小 于零，则在 y 轴左侧只有一个减。看完记得双击加关注！

二六届七八联考第十一题，一道人格分裂的几何题，前半段难度平稳输出，后半段画风突变，抽象到你根本画不出图，你能想象出来不？这边都是溜平，溜平的里边是个呼。别慌，显哥带你摸清这道题的规则，破解这道多选题。他说正四棱锥啊，他的高为 h 四棱锥，他的顶点在正方体的内部，包括边界上运动啊。问 h 的 角度范围， 你鄙视谁？出题你鄙视谁？你是在鄙视我吗？他这是一个正方体，你不用画了对不对？你这是个正方体， 你想想屁点在正方体的表面上和内部运动，那当然体高最大的时候就是一呗，体高最小的时候是接近零呗。 所以这个 a 选项他有点病啊，病的不轻，所以怒开两分，我就做下一道题了，如果我是学渣，一个对不对？明白了不？ b 选项，他说正四棱锥，他的侧棱长是二分之根三，我们画一画啊， 就当画了啊，就当画了，那所以他说侧棱长是二分之根三，然后呢？问体高是多少，那体高的话，那就应该是放在这个三角形当中来解决问题，那这个数的话，就应该是二分之根二， 那所以一勾五定里，那就是四分之三减四分之二，四分之一就二分之一啊，开根号是二分之一，所以这个选项错误的。也说 h 应该等于二分之一。 再说一遍，这个长度是二分之根三，这个长度是二分之根。二勾五定里，四分之三减四分之二，四分之一，开根号二分之一，所以这个选项错了。他说 p 在 正方体的正方体的中心上，底面的中心上，然后呢？外接球， 正能锥的外接球，这是我们高考考烂的东西，所以他这个在正方体上，底边那个中心上。来来来，大家思考一下，那是不是相当于我们假设外接球的球心 在这就是 o， 那 这个地方呢？显然球心到球面上的距离，这是半径，又因为他的体高是一，因为这个点在正方体的上，上底面上吗？啊？上底面上啊，所以呢，他的体高就是一，那所以这个长度就是一点二， 然后呢，这个长度呢，也是球的半径，所以是正能锥的外接球。他有个万能公式指出我们烫，所以我们现算就可以了。也就说一减二的平方就应该等于二方再加上一个 啊，二分之一，所以二方再减去个二二，再加上一个一，等一个二分之一啊，写反了。嗯，一减二的平方再加上一个二分之一，等一个二方，所以这量是二分之一，再加上它， 没错吧？所以呢，二方和二方约定了，二二就应该等于二分之三，所以二呢，就应该等于四分之三， 所以外接球的表面积是四派，二方就是十六分之九，所以答案是四分之九派，这个选项是正确的，明白了， ok， 好， 来我们讲讲第一个选项怎么做。我先画出一个正方起来，这道题你应该会，你会怎么想呢？好吧， 好，他说什么呢？屁，为这个正方体的内切球，既然他为他内切球，内切球的半径我们是知道的，内切球的半径就应该是一个二分之一，因为他体高是一。现在呢？呃，他说的是屁为他的内切球的球心就说白了是正方体的中心， 正方体的中心，这个没错，是吧？那正方体的中心的话啊，人家说这个正方体的正方体的内切球与这个正四棱锥公共部分的体积是多少？ 圆了？这道题它里边有个内切球啊，内切球它与这个正四面体的公共部分是什么？你能想象出公，公共部分是什么？不？ 能想象公部分，哎，你切过西瓜吗？切西瓜，这边切一刀，哎，就是这样的，哎，这边都是溜平，溜平的，里边是个乎啊。所以这个地方你想想，我要想求的话，我肯定不可能直接求出来，因为我们没学过呀， 我们又，他又不是什么公形，对不对？我们又不会双重积分，对不对？所以呢，我们就得想他占多个球， 听明白了吧？占多少球，那占多少球，那这个问题就解决了。你只要能想到这一点，这道题解决了。所以 d 选项考你的空间想象能力， 听懂吗？他是完全对称的，你得想他占多少个球，那你想想，这样的话，他占了一部分，那如果是这个点，哎，以他为底面啊，就是这个底面啊。就说白了，这个地方也同样有一个正四棱锥，哎，他与那些球交在一部分，是不是一样的体积？ 那上底面是不是也同样道理？这边左侧面是不是也一样的理解了？不，所以你们猜占几分之一，只需要打分母就可以了。几分之一的内切球？ 好，你可能还没听懂这样的话，是一个正四面体，他与这个内切球啊，切公共部分有一部分啊，是多少我不知道。然后呢？哎，我假设这条也有个正四面体，他与这个内切球他也有个公共部分，这个公共部分肯定是一模一样的。 一模一样的。那这个地方呢？他也有个内切球，对不对啊？也也有个正四面体，他与这个内切球公分一模一样的，所以就完了，就完了。这道题就完了，所以占六分之一个。六分之一个内切球的体积。 内切球的体积是三分之四 pi 二的三次方，三次方是八分之一，所以答案是六六三十六分之 pi。 好， 你能想到不？选 d 听到吗？想想西瓜啊，你直接求是求不出来的，所以得占多少个球？所以我就想全都是对称的就可以了。他正好把整个的那些球瓜分了，分成了六等份，所以这是十一题。 ok， 好， 十一题。

t 八联考的第十八题啊，这是一个解析即可的题目。先看题干，已知椭圆 a 方分之 x 方加 b 方分之外方等于一，左右焦点分别为 f 一 和 f 二，负二零和二零，这样的话就知道 c 等于二了。 椭圆 c 呢，经过点根号二，根号三，这个就可以代入，然后椭圆的下顶点为 e。 第一问呢，求椭圆 c 的 方程，这个还是比较好求的，就是这个 c 等于二，然后代入二比 a 方加上三比 b 方等于一，然后 a 方等于 b 方加 c 方。 三个等式，三个未知数啊，其实是 c 等于二，这个是已知的，就是两个等式，两个未知数，然后直接带进去， a 方等于八， b 方等于四，就解出来了。这个方程就是 x 方比八加上外方比四等于一啊，这是椭圆第二个 过右交点 f 二的一个直线与椭圆 c 交于 ab 两点。那这个时候呢，我们就画一个图， 这里有一个点， f 二过 f 二的直线呢，交于 ab 两点，上面是 a， 下面是 b 与 y 轴交于 p 点，并且这个 p 点呢，在 e 的 下方， q 为 p， 关于原点的对称点，那 q 呢，就在上方， q b 与交 x 轴与 r， 那 就是把 q b 连起来， 这里有一个交点啊，大二设三角形 p b q 啊， b f 二， q 的 面积分别为 s 一、 s 二、 s 三，那也就是把这个 q a 连一下，再把这个 q f 二连一下， 中间这三个面积呢，分别是 s 一、 s 二、 s 三啊，不太清楚的话可以再拉出来这样。呃， 它相当于这个是 s 一， 这个是 s 二，这个是 s 三啊。这三个小三角形， 若直线的斜率 l 等于二啊，然后求 s 一 加 s 三，除以 s 二加 s 三的值。如果这个直接求面积不太好求，但是这个呢是求的一个面积的比例，所以我们可以做一下转化。你看这个 s 一 加 s 三， s 一 的话， 这个 s 一 啊，它就是 s 三角形 p q b， 这个 s 三，我们可以写成 s 三角形 p q a 减去 s 三角形 p q f 二， 那下边这个呢，就是 s 二加 s 三， s 二可以写成 s 三角形 p q f 二减去 s 三角形 p q b， 加上 s 三角形 p q a， 减去 s 三角形 p q f 二减这个和加这个，这两个就消了。然后剩下这几个三角形的面积，它都是以 p q 为底的，所以我们只需要比上它的高就行，而这个高呢，刚好就是这个的横坐标。 那一比的话，这个 ab 我 们设成 x 一 y 一 和 x 二 y， 那 就是 x 一 加 x 二，然后再减二除以 x 一 减 x 二。那这个 x 一 和 x 二是怎么产生的呢？是由直线和椭圆连立产生的。那我们就现在设直线， 设这个 l 呢，是 y 等于二倍的 x 减二，然后 a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y， 这样的话我们给它连立啊，就是 y 等于二倍的 x 减二。 x 平方比八，加上 y 方比四等于一， x 方加上二倍的外方，外方的话四八 x 减二可得平方减八等于零。然后这个是二次函数，先写二次项，九 x 平方一次项减去三十二 x 四八三十二减去二十四等于零，那这样的话，就是 x 一 加 x 二等于九分之三十二，然后 x 一 乘以 x 二呢，等于九分之二十四。这个那我们代我们想求的这个东西， x 一 加 x 二减二，比上 x 一 减 x 二， x 一 加 x 二啊，九分之三十二减二，这样的话就是九分之十四。下面这个 x 一 减 x 二啊，就是根号下九分之三十二的平方减去四乘以九分之二十四， 那下面这个通分的话，我们知道就是通分成八十分母就是八十一嘛，开出来就是九，上下这个九就约了，所以上面剩十四，下面应该会剩根号下三十二的平方，减去二十四乘以三十六， 三十二乘以二十四乘以三十六，然后四四八八，然后这也是四和四。 呃，六九，呃，这个相当于是提出来一个十六十六，开放出来之后是四嘛，然后这个八八六十四，六九五十四，一减就是十，根号十啊，就是四倍的根号十，那这样的话上面是十四约一下 二七根号十七倍的根号十，然后这里是二十，这样的话第二本第一个就结束了，然后看第二个， 它让我们证是否存在 l， 使得 q r f 二 a 四点共圆，那四点共圆这个东西呢？我们先画一下它的示意图 q r， 然后这个是 f 二， 这里有一个 a q r f 二 a 四点共圆，那四点共圆，我们的正法呢？就只有一种正法啊，当然就是说最好用的一种正法就是直接正，这两个角互补就可以了啊，那也就是说我们叫正角 r q a 加上角 r f 二 a 等于 pi。 当然解析几何里边这个角度呢，是不能直接求的，都是转化成斜率，所以也就是 tangent， 那 我们可以考虑一下，就是 tangent 角 r q a 应该是等于负的 tangent 角 r f 二 a 等负的这个 tangent r f 二 r f 二 a， 其实就是这个角啊，但是这里这个，这是 s 轴吗？这个题目没标啊，我们就懒得写了。那也就是说这个的 tangent 负的刚好应该等于这个小角的 tangent， 也就是说刚好应该是等于 k a b 的， 那我们就主要解决前面这个问题就行了。 tangent r q a， 我 们把这两个再延长一下啊，这样延长，也就是说 这样延一下，这个是 q， 然后这个是 a 啊，这个是 r， r 在 下边呢，这个 a 在 下边呢？那我们想表示的是这个角，那这个角的话，其实就是 q a 的 直线且斜角减去 q r 的 直线且斜角，然后用 tangent 来表示的话，就是 tangent r q a 应该等于这个 k a q 减去 k q r， 然后除以一加上 k a q 乘以 k q r 这样，那也就是说我们现在呢，应该是需要这些点的坐标啊，那我们就设直线直接算就可以了。 设这个 l 啊，你看这个 a f 二，这根直线就 ab， 这个直线它应该不能是横着的， 但是竖着的不知道啊。所以如果我们设 y 等于 k x 的 话，就要分类讨论啊，考虑一下斜率不存在。那如果我们设 x 等于 m y 加二的话啊，这样的话就不用考虑这个不用分类讨论了。然后设这个 a 点呢？还是 x 一 y 一 b 点是 x 二 y 二， 然后给它连立啊，就是 x 等于 m， y 加二，然后这个 x 方比八，加上 y 方比四等于一。 呃， m y 加二，扩起来平方加上二倍的外方减八等于零啊这个式子，然后就是 m 方加二， 外方加上四 m y 呃，减四等于零，这样的话，我们就可以得到 y 一 加 y 二等于负四， m 比上 m 方加二， y 一 y 二就等于负四，这里是 m 方加二啊这个式子， 然后接下来呢，我们就标这些点的坐标就可以了啊，就是这个 p 点坐标应该是零，负的 m 分 之二，那这个 q 点坐标呢？应该是零 m 分 之二。当然题目还有一个问题啊，说这个 p 点在你看这个 p 点在 e 点的下方， 那也就是说负的 m 分 之二应该小于负二，这样的话，我们就可以得到 m 的 范围应该是大于零，小于一的啊，就可以出，需要限制一下范围。 那这个题里边啊，这延伸一下，这个是 b 点，因为这个 q r 的 坐标， q r 的 斜率可以直接用 q b 的 斜率来表示就可以了。那接下来呢，就是代入了那这个 tangent 角 r q a， 它就会等于上面是 a q 的 斜率， a q 的 斜率就是 y 一 减 m 分 之二，比上 x 一 减零，然后减去上面是 y 二减 m 分 之二，比上 x 二， 下面的话就是一加，这两个二相乘 x 一 分之 y 一 减 m 分 之二，乘以 x 二分之 y 二减 m 分 之二。 那这两个式子的话，上下同乘个 x 一 乘 x 二，然后这里就是 x 一 乘以 x 二加上 y 一 减 m 分 之二， y 减 m 分 之二，括起来，然后这个呢，就是 x 二乘以这个，那 x 二，你看这个 x 是 等于 m， y 加二的，所以就是 m y 二 加二啊，乘以 y 一 减 m 分 之二，然后减去 m， y 一 加二，乘以 y 二减 m 分 之二，括起来啊，这个式子 x 一 乘以 x 二和 y 一 减 m 分 之二乘以 y 二减 m 分 之二，这个都可以用那个点乘双根去算啊，特别好算。就是上面这个式子， m y 加二括起来的。平方加上二，外方减八，这个是等于 m 方加二， y 减 y 一 乘以 y 减 y 二， 那我们看这个 x 一 乘以 x 二， x 一 乘以 x 二，其实就是 m 方的。呃， y 一 加 m 分 之二， y 加 m 分 之二， 那这样的话，我们只需要让这个 y 等于负的 m 分 之二就可以了，负的 m 分 之二带进去，呃，这个就是零，加上 m 方分之八，然后再减八，再除以 m 方加二，然后再乘一个 m 方。 当然作为答辩，你代换的时候，这些代换完都是一个分式，并且分母都是 m 方加二，所以就直接不写了。那这里直接就是八减八 m 方，然后加上这个 y 一 减 m 分 之二和 y 二减 m 分 之二，其实就是。呃，这里就是 y 一 减 m 分 之二和 y 二减 m 分 之二， 那这样的话，我们直接让 y 等于 m 分 之二就可以了。 m 分 之二，这里就是四十六，加上 m 分 之八，然后再减八，那这样的话就是 m 方分之八再加吧。 呃，再展开上面这个，上面这个的话就是 m y 一 y 二减去二倍的 y 二加上二倍的 y 一 减四减去，这里也是 m y 一 y 二减去二， y 一 加上二 y 二，然后再减四， 这两个消一下，这个跟这个消了，这个跟这个消了。呃，二， y 一 负二， y 一 负的正的，也就是四倍的。呃， y 一 减 y 二，但是这个四倍的 y 一 减 y 二的话，也是用这个表达定义，直接代的话，应该它就等于 a 分 之根号下单调，那我们就直接写单调就可以了。十六 m 方 减去四 m 方加二，呃，负四括起来，然后负四的话，四 m 方减四，这不就是十六吗？这有个负的三十二，所以上面应该就是三十二 m 方加三十二，然后再开方，开方的话，这个可以开个十六出来，十六的话四，那就是十六倍的根号下二 m 方加二啊。这个式子， 呃，就不要这个了，就是十六 m 方加二，除以这个，那这个的话可以上下再约一个八，那这样的话就可以得到二倍的根号二 m 方加二。 八八十六二减 m 方加上 m 方分之一等于 m 分 之一，那这个式子的话，我们把它整理一下，就是二根号下二 m 方加二，然后减去 m 分 之二，呃，加上 m 减去 m 三次方分之一等于零， 呃，这个式子你就直接猜他的根就行了，把一和零带进去啊，但是这个零不能带，把一带进去猜一下啊，猜不出来，那就没办法了，就只能构造了。所以我们这个呢，就构造一个 f m 啊，等于二倍的根号二 m 方加二，减去 m 分 之二，加 m， 减 m 三次方分之一，然后对它求到，呃，二乘以二分之一，然后根号二 m 方加二，上面的话应该是四 m， 然后加上 m 方分之二加一， 负三次方，那就 m 负四次方加三啊。这个式子是一看就是大于零和成立的，当 m 趋近于零的时候， m 趋近于零的时候，这个这个式子是趋近于二倍。根号二，这个式子是趋近于 负无穷，这个是趋近于零，这个也是负无穷，所以合起来这个 f m 呢，就会趋近于负无穷。呃， f 一 就是当 m 等于一的时候， f 一 带进去应该是二倍的根号四减二加一减一，这样的话应该就是二大于零， fm 单调递增，并且这个零的时候趋近于负无穷一的时候是大于零的，所以这个 fm 等于零啊，有 且有一根，这样的话，也就说这个直线呢，应该就只有一条。

平面几何难吗？我这么跟你说吧，初中的这个平面几何呢，他的难度呢是没有上限的啊， 因为呢，总有你想不到的思路，他是一种呢无厘头啊，就是一种纯抽象的思维方式，就是一种纯粹的很。咱们很多的孩子呢，包括很多的老师呢，他都是呢各种的事，这条辅助线不行哎，我再换一条， 一条不行的，我就两条三条，他是不按套路出牌的啊，他是没有这种逻辑，也没有这种方法的考的呢，就是你的灵机一动，或者呢，你见过刷过很多的题型， 尤其初中的这个几何竞赛哈，他那不根本呢就不是人做的，关键是你不能用解新几何的思路呢来做，小题可以，大题呢，他是不给你这个分值的。我确实见过呢一个呢数学组呢，出题啊，他先是在这个电脑上把这个完整的 图呢给画出来，然后再抹掉一条或者两条线，你说这个谁能想的到呢？你只能靠各种尝试啊，就是，除非呢，你刷过很多的题，或者说呢，你也见过很多的题型，其实呢，最后呢很浪费时间。所以初中的这个平面几何呢，确实是有点难啊。

一份试卷让八省联考数学直接冲上热搜。这张由华中师大一附中命制的替八联考数学卷，试卷质量不错，但全部集中在两小时内完成， 对绝大多数学生而言堪称灾难级。它极度强化抽象建模、多步转化、复杂计算与严密推理， 是一张典型区分度拉满的竞赛像模拟卷。普通学生能及格已属不易，但对于目标一百四十加的顶尖学生，这是绝佳的思维磨刀史。核心题拆解第七题，双曲线加圆的切线几何性质与解三角形关键洞察双曲线乘二减 m 二 y 等于一， 故 f 一 作圆乘二加 y 二等于一的切线交双曲线又之于 m， 且 f 一 m f 二等于派三求 m， 需综合运用切线长定里双曲线定义解三角形解题思路，设切点为 n 连接 on 则 on f e n on 等于一， 由双曲线定义得 m f 一 减 m f 二等于二。设 f e n 等于 t， 则 m f 一 等于 t 加 m n。 在 f e m f 二中已知 f e m f 二等于六十度。用余弦定里建立关于 t m 的 方程，结合 f e n f 二中的几何关系，解出 m 等于一加三分之根号三、易错点提醒切线长使用错误。 双曲线定义中的绝对值处理不当解三角形时选错边角关系。第八题，分段函数加对称零点问题分类讨论与图像变缓关键洞察给出分段函数 f x 构造 g x 等于 f x 加 f x， 讨论零点个数，本质是利用奇偶性简化转化为两个函数。图像焦点问题解析思路，写出 g x 的 表达式。注意 x 大 于零和 x 零需分别讨论。令 g x 等于零等价于 f x 等于减 f x。 g f x 与减 f x 图像的焦点分别画出 f x 和减 f x 的 图像，观察焦点个数随参数 k 的 变化确定恰有四个零点时 k 的 取值范围，以错点提醒忽略 g x 的 定义。分段处理 图像画法不准确，导致焦点个数误判。临界情况如相切，需单独验证。第十四题，三角条件最值待数化规于几何转化，关键洞察给出条件 sinelfir sin beta cos beta， cos alpha 等于零，求 sin alpha 加 cos beta 减二的最小值，需将条件转化为方程或几何轨迹。解析思路，由乘积为零得 sin alpha 等于 sin beta 或 cos beta 等于 cos alpha， 设 x 等于 sin alpha， y 等于 cos beta， 则条件化为 x 二加 y 二等于一， 且 x 大 于等于零或 y 大 于等于零。极点 x y 在 单位圆的第一、二、四象限含坐标轴，目标是 x 加 y 减二的最小值转化为点到直线。 x 加 y 减二等于零的距离最值问题 最远点为一零代入的最小值位减三思维提升，将条件等式转化为轨迹，将代数最值转化为几何距离，是解析几何思想在三角问题中的高阶应用。第十九题，高斯函数加递推数列 新定义阅读与数学归纳，关键洞察结合高斯函数 x、 三角函数 cos x 与递推数列 x n 加一等于 g x n 考察新定义，理解 递推规律，规律不等式放缩与求和取整。解析思路。第一问，直接计算 f 四和 f 五，需注意 cos 四、 cos 五的符号与大小。第二问由递推函数 g 五大于三点九等归纳出 x 二 t 三 nine 四 乘二 t 加一四四点一判断 cos 的 符号区间得到 f x n 的 值零或负一，进而求 f 式构造。 phi x 等于 x 加 g x， 证明其单调性。利用 phi 乘二 t 减一大于八， phi 乘二 t 八对和式进行放松，得到式的表达式思维训练。此题融合新定义 函数性质，递推数列不等式放缩取整运算，是典型的材料题加压轴题。复合体，考察学生长链条推理与严密表述能力。备考建议，如果你这次得分较高，一百二十分以上，你的抽象建模、长链条推理、复杂计算能力已属顶尖。重点复盘第八、一、四、十九期题， 这些题的多知识点融合新的一转化，严密放松是冲击竞赛级高分的核心。第十九题的地推规划与放缩求和尤其值得反复推敲，书写逻辑。 如果你分数在九十到一百二十之间，你的数学基础扎实，但在时间分配、难题突破步骤、严谨性上仍有提升空间，确保低到六九一零一、二十三十五一十六一十七一二题全对。这些是集合复数、向量、数列、 三角、概率、立体几何的中档题，必须稳拿重点功课。第七、八，分析图像十四、转化思想十九、一二题掌握其核心思路。如果你分数低于九十分，不要灰心， 这张卷子的难度远超高考平均水平，能及格以证明你有不错的基础。首要任务是回归中档题，提升准确率与速度。反复练习第一到五、九十二、十五、十六一题， 这些是基础，预算概念判断简单见磨题，必须满分。看懂第七、八、十四题的答案解析理解条件转化、见磨求解的思维链积累转化策略。心里话，同学们面对这样一张为优等生定制的极限试卷， 感到挫败是正常的，但更重要的是透过这些高难度题目，看到高考命题的趋势与自身思维的边界。这种试卷你在哪道题上完全无从下手，哪道题的解法让你感到恍然大悟？在评论区一起交流吧！点赞、收藏、转发 at 你 的同学，加入这场思维极限挑战吧！

我可以证两个全等，全等值后就是 a e c 和 a e d 相等，所以 a e 没有水，所以 b c 水就不 a e d c 因为它是等腰对角三角形， a a e 与底面平行。那还好，那正极在哪？ 一个都没。 我可以设一一一，这个是 x， 好 一是它的。 什么意思？ 一是 一一 好，现在你要去 这个不 b 一 的话， x y 是 g 是 b e x 负一 y f 负一 c 一 是一比一，一比六负二。 a c e d a b c 的 反差量。 a 一 a c 状态就是我的预判里面就你。你这种题应该是能拿下来的 啊。你看是用什么 笔？ 我举证可以这个三 s 哦。

新鲜出炉二六届 t 八零考经讲抢先版填空压轴十四题超绝好题显哥教你两种解法搞定三角函数最直难题第一种显哥硬核解法第二种巧妙几何方法净看三角函数再看直线与圆。 难道他真的是富农哥？这道题我们讲两种方法，一个是讲猜好答案的方法一个是讲我想到的方法啊讲两种方法最后一道题对不对？ 好，来我们讲两种方法一个是参考答案的方法，一个是我的方法对吧？啊，参考答案我大概一看还是没想到但是一看答案呢这么简单对吧？也是，首先他俩相乘等于零说明什么？他俩相乘等于零是不是说明 我用用我的方法的话是不是说明他等于他？你的脑子得想明白或者中间是或还是且。我问大家问题或者是考生贝塔等一个考生二号的绝对值。好快说我们讲两种方法啊，先讲我想到的方法 ok 结论不会就一步一步算弦长公式那你说他俩是中间是祸还是且啊？中间是祸还是且听懂吗？他俩中间是祸还是且？嗯，好快想中间一定是祸 因为他俩相差等零一定是他等零或者是他等零啊。他不可能说且啊。但是呢你对这两个式子平方平完方之后肾二发方等于个肾背他方 然后呢这个地方是考胜被他方等一个考胜二法方我问你他俩平完方之后还是或吗？你比如我把他写成一减考胜二法方， 然后这张是一减考胜被他方，他算出来就是考胜二法方等于考胜被他方所以平安方之后他俩是且同时满足这两式子。哎，你知道他就能推出他来说明原来他俩什么关系， 听懂我的意思了吗？听懂我的意思吗？所以你能想明白这个？这道题做出来，大家在说他俩等于相乘等零，是他等零或者他等零。但是我想到平方，因为有绝对值，我一平方，这是我想的方法啊，我一平方，我发现他俩是且的关系， 所以本来两个式子是互的关系，他平完方之后相等，说明什么？说明原来是相等的，或者是相反的。你说平完方相等，平完方成立。所以这个式子我们就能够推出三种情况，肾二法等于个肾背他的绝对值， 考肾背他等于个考肾二法的绝对值，同时满足啊，或者是啊，当然就是重复了嘛。肾二法等于个啊，肾背他的绝对值，或者是考肾背他等于个啊，就是负的。考肾二法的绝对值， 或者是啊，肾二法啊，当然你算的时候都很简单，负的肾。这一步我不知道你能想明白不？ 再说一遍，他俩是只要有一个成立就可以，但是我发现平安方之后他俩是同时成立的，那说明平安方之前他俩是相等或者是相反，能想明白不？想明白，这个往下做就简单了。好，能听懂不能听懂，不懂的打个懂啊。 他俩是互的关系，这辆是且的关系，他俩他等于他，且等于他，或者是他等于他，且等于他，有一个加符号。因为平安方之后他俩是同时成立嘛，说明平安方之前一定是相同或者相反啊，能听懂吗？一定是相同或相反啊， 听懂了吗？平完方之后是这两式是一模一样的这两式是一模一样，就相当于三等于三平完方之后九等于九吗？或者三等于负三平完方之后平完方之后九等于九吗？ 听懂我的意思吗？原来也可能是相反啊，对不对？原来也可能是相反啊，懂了不？ ok？ 那 所以呢，我们一个一个算一算，由于这辆都等于绝对值了，所以我们假设阿尔法和贝塔都是零的二分之派， 可不可以啊，可不可以？都是第一项线呗。都是零的二分之派的话，那他俩就是啊，二法和贝塔就相等 没错吧。考生二法等于考生贝塔吗？都是对角吗？所以二法和贝塔相等，那就说明肾二法再加上一个啊，考生贝塔就是考生二法再减去个二，所以呢，他就应该等于根二倍的肾二法加四分之派， 然后减个二来个辅助角。公式求范围正弦型函数求范围。二法加四分之派啊，二法加四分之派。哎，我这个笔有点罢工啊。他有点不太粗，他就应该等个四分之派到四分之三派， 明白了不？所以他的最小值他就应该在四分之派的时候取到，那最小值就应该是负一。 听懂了，但是这个答案不一定是负一，因为他还有可能是这种情况，那这种情况的话，那肾等于正的考，肾是个负的，所以我就假设二法，嗯？对不对啊？背他是一个负的，我就假设背他是什么， 我就假设贝塔是一个二分之派到派，行不行，对不对啊？我假设嘛，对不对？贝塔等于一个负的嘛。第二项线，二法，二法是第一项线，对吧？二法是第一项线啊，他，他没问题啊。你假设他是第一项线，没问题啊。 听明白了，因为 c 二法是个正的，所以这时候呢，我们就发现这个四角形等于 c 二法再加上一个考神贝塔，那你想一想，这两角什么关系？ 这两个角就应该是互补的关系，因为我们这两角就可以互补的关系，完全可以这样。二 k 派我都不写啊，互补的关系好理解不啊。正弦是正的，余弦是负的。我就假设啊，一个第一项线，一个第二项线， 一个第一项线，一个第二项线啊，对吧？一个第一项线，一个第二项线，互补的关系，那互补的关系的话，那所以那我们就算出来了，那就相当于肾二法， 我用红笔写，那这道题做出来了，好，你看你能想到不？那就 c 二法再加上一个 c 考辛贝塔，考辛贝塔就应该是诱导公式，就应该是负的考辛二法，然后呢？再减个二，来一个辅助角公式跟二倍的 c 二法减去四分之派，然后再减去二，由于二法再减去四分之派，这属于范围，就应该是负的四分之派到四分之派。 嗯，所以他的最小值就应该是在负的四分之拍的时候取到，所以整个的最小值就应该是负一减二。答案是负三，所以这个答案是负三。 这个是一模一样的道理啊，我就不写了，一模一样的这个道，这个也是负三啊，这个也是负三。哎，能理解不？就说白了，我想明白了这阿尔法和贝塔这两个角的关系了， 要么是二法和贝塔相等，要么是二法和贝塔是相加，等于派这个二法和贝塔，你想想，你可以把它想成第几项的角。考生，贝塔考生是正的，肾呢？是负的，所以我完全可以把它想成是相反角啊，你自己去做啊，二法加贝塔等于零， 就是相反的角，你看它是不是一个第一项线，一个第四项线就可以了。所以这个题的答案是负三。 好，能听懂我的意思，不能听懂，不能听懂不？这道题就是啊，我给他附了个范围就可以了。好，应该没问题吧，这是我想的方法，应该是比较严谨的啊。好，来，我们再看啊，分类讨论想到了绝对值 啊，就是相乘等于零，分别等于零。然后呢，我就考虑他俩说的是或的关系，我想到了平方，我就想到了他俩原来是要么相等，要么是相反就可以了。好，来，我们再看第二种方法。第二种方法，参考答案的方法当然也很常见啊，对吧，只是我们往那方面想，一看答案绝了。 第二种方法的话，人家怎么去做呢？我们假设他是 x， 我 们假设他是 y， 他 是 x， 没错吧。所以呢，我们看一下，这道题立刻就出来了，正好是我们最近刚讲的一轮复习，正好讲过了几何意义，所以前面这个式呢，就相当于 y 减去一个甚贝塔。甚贝塔的话，显然是绝对值吗？是一减 x 方 等于零，或者是或者是后面的零 x 减去考生的绝对值，就是根号下一减外方等于零 啊，想当画圆呗，想当画圆呗。那所以这是个什么东西？是不是 y 等一个根号下一减 x 方，那它是个单位圆，它是个什么东西？ y 等于根号下一减外方，它也是单位圆的部分， 听明白了吗？一平方都是个圆，那它到底是单位圆的哪一部分呢？听懂了吗？我们先画出整个来，当然是或的关系啊，所以它是单位圆哪部分呢？这个地方的话，显然是 y 大 等零，那就应该是这半个圆， 那这个地方呢？是，显然是 x 大 等零，显然是这半个圆，所以，所以它表示的是这半个圆，或者是这半个圆。 听懂我的意思吗？那现在这是什么东西呢？来你就明白了啊，如果你还不明白，就，那你看啊， c 二法是 y， 那 所以这个式子就相当于 x 加 y 减二， 你想到了它什么？求它的最小值，所以这是几何意义吗？常见的几何意义，你得知道 x 加 y 减二的绝对值，是不是我想到了点到直线的距离， 或者是想到了拮据？都可以啊？因为你想绝对值也可以，原因就在于参考答案想的是距距离。原因是什么呢？原因就在于啊，这个数是负的嘛， x y 最大是一嘛，所以呢，它加个绝对值也没问题，听懂了吗？想到了几何意义？点到之前的距离， 当然你也可以把它想成一个截距， z 等于个 x 加 y， 然后呢，再减去个二，所以相当于 y 等于一个负， x 加 z， 再加上一个二， 那 z 要取最小值的话，那就相当于这个直线要平移到最低啊，这就叫绝对值的几何意义啊？不是，不啊，这叫什么截距 啊？直线啊，你让我求 z 的 最小值，那这个直线呢？他显然斜率为负一，斜率为负一，斜率为负一的话，他要平移到最低才可以。那平移到最低的话，正好是在这。 听明白了。哎，就这个点，这个点显然是能取到的，所以这个点是零负一。听明白了，平移到最低，截距就最小 啊。截距最小，截距最小值是负一，所以他的截距是 z 加二，负 a 加 b 嘛。所以 z 加二等于负一，所以 z 等于负三。能想到不？几何意义 啊？几何意义啊？几何意义？想到了半圆，想到了截距，想到了平移到最低。哈哈，想到平移到最低，所以他的最小值是负三。听懂了吗？这是一道非常好的题目啊。

我们继续来外接球。嗯，这个题目呢，是前两天刚考完的 t 八联考多选压轴题。我的天呐，这题目应该是够新了吧。哎，这里面也有我的外接和内切球，我们一起来看一看。 他说有一个正四轮锥，这样正四轮锥请问是啥意思？底面是正方形，侧面是等幺三角形的，然后你的顶点 p 在 底面的 摄影是我正方形的中心，信不信？ ok， 继续。他说底面边长是一好啊，高是 h 啊，这是 h。 完了之后呢？该正四棱锥的顶点 p 刚好是我在我这个正方体以 a， b， c， d 这个面为一个底面做的正方体的内部。 ok， 那么第一个线索呼之欲出，你这个点 p 既然是在这个正方体内部，而你这个正方体又是我这个四棱锥底面为一个面的正方体，可所以你的点 p 是 不是只能在 上下底面对角线交点的直线上 上下运动？也就你的点位只能在这里，只能在这里上下运动的，没问题吧？你不能破坏我的四人锥是个正四人锥，你也不能破坏我这个正方体。 他说点屁在我这个正方体的内部运动，其实他就是在一条直线上运动。你这不是晃我吗？细不细啊各位， 表面的话，你看他包括表面，表面不是统一来了吗？如果你的点屁还要往上走的话，细不细来看 a 选项。所以，并且人家告诉你了，他的底面边长是一，那不好意思，你这个正方体的人长都是一喽， 包括你这条高最大最大的地方也是一咯，信不信？所以 a 不 用判断了吧？既然我的 p 要在我这条线段上运动的话， 在我 o o 撇上运动的话，那我的 p 的 运动范围就是零到一，嗯，最长最长的时候一可以等于一，但是不能等于零，等于零的话，你没有四人追了是吧？好，所以 a 是 对的来看， b 是 选，若我的四人追， 他的侧人长是二分之根号三，你这是二分之根号三，然后所我的这个高是二分之根号二，你就不去解一个直角三角形就 ok 了吗？ 你的底面是一个正方形，并且边长为一，所以你的 d b 应该是会等于二分之 db 一， db 会等于根号二，所以我的 o b 就 会等于二分之根号二，对吧？好，既然你的 o b 都二分之根号二了，那我的 h 就 会等于二分之根号三的平方四分之三，减去二分之根号二等于等于二分之一 啊，他说二分之根号二，扯淡吗？太简单了， c 选项啊 c 选项，这是我要重点讲的。他说点 p 现在是我上底面的中心，那如果跑到上底面的时候，是不是他只能在对角线的焦点上，不会跑到哪里去吧？只能在这里中心的位置。完了之后呢？则这个四人追的 假设 p 点跑这里来了。其他我就不多话了，问我们这个四正四人追的外接球的表面积 第一步第一步干嘛啦？第一步是不是找一个外接圆圆心比较好找且半径比较好求的面出来？是不是我找个底面底面的圆心，外接圆的圆心就是 o 点， 然后我的球心是不是刚好肯定我假设这个就是我的球心，对吧？你这个是四人追 对不好？然后你这是我的球心，那请问 o p 这个 p 跑到这里来了哈，是不是等于 r？ 是 r 吧？哈，这个是 r。 好， 那么你这条这条边呢，是不是总高减去我的半径呢？所以我的 o o 撇 是 o 撇吧？球形是不是等于一减二啊？这条边不会变吧？还是二分之根号二吧该，所以嘞， 所以嘞，你的这个 o 撇 b 是 不是也要等于二？所以你的勾股定律出来了没？那就是一减二的平方加上二分之根号二的平方 再等于 r 方呗。展开，所以一减二 r 加 r 方加上二分之一等于 r 方，所以我的二 r 等于二分之三， r 等于四分之三， 外角角半径就出来了。那所以我的表面 g 四 pi， r 方会等于四乘 pi 乘平方十六分之九会等于四分之九 pi， 所以 c 也是对， a 和 c 都对了。那 dog 呢？ dog 应该大概率都是对的。 dog 确实是会有点难度了，他考验我们，考验我们的一个空间想象力。他说我把这一些图都删掉，他说有一个，他说点屁， 现在成为我内切球的球心重合的时候。那请问你的点 b 在 哪里？点 b 是 不是跑到我这条高线的终点上了？ 没问题吧？因为内切球嘛，内切球的半径就是二分之一能长，对吧？正方体的 ok， 所以 这个高就变成了二分之一了。完了之后，正方体和我这个内切球 的公共。我的内切球和我这个四人追的公共部分的体积是三十六分之八，注意是体积好吧。好，我打一个球出来，我把球已经划进去了。来，我们找一找公共部分呗。首先第一部分 p a， b， c， d， 你和我的球的公共部分映入眼帘的第一个关键节点就是我的窝点，对吧？你的四人追底面的中心点 在我的公共部分的区域里切了一个点，然后呢，这个球是往边上取向取过去了， 旁边是没有，这里是没有留到，但是呢，是不是等价于你这个点？你这个四人追将我这个球切成了一个类似于四人追的东西，但是它不是四人扇 形的一个立体图形， 是相当于这个吧，因为你的顶点在我的那个公共部分。那换句再通俗点的比喻，有一个西瓜， 首先我一半切开，切开之后就变成这个样子了，这是一个球体哈，不是一个，只是一个圆结面哈。好，中心点是 p， 首先你这个点我一定要关，一定要关注到，因为它是公共部分，完了之后，以这个 p 点为开刀口切四块下去， 还包含了这一部分，是不是相当于我切了一切，切切四瓣西瓜？这四瓣西瓜只是一个扇，类似于立体扇形的东西啊， 把西瓜分成四半，但是这是这个半个球的一部分，分成了四半是这个逻辑吧，是一个立体扇形的东西好， 咦，你这个球是这个 p 点，可是我那些球的球心等价于你这边也有一个四人追，和我 p， a， b， c、 d 是 一模一样的是不是？好，那你这一部分 四人追左边的哦，右边的四人追和我求的公共部分和我这一部分跟四人追起到了公共部分，是不是一一模一样的啊？是一模一样的，对吧？ ok， 那 同意了呗。 前后左右上下是不是都被这个球切成了六个公共部分。 首先第一个公共部分是底面，是这底面 a、 b、 c、 d 给我切球，切成了这一部分，是我的公共部分。我的球的右边啊，也切了一个一模一样的部分，球的上面也是 a、 b、 c、 d， 也是给我弄了一个一模一样的公共部分，上下前后左右都有。那总共是求 和我的 p、 a、 b、 c、 d 有 什么关系呢？它的重合部分有什么关系？就相当于什么 p 六个 p， a、 b、 c、 d 和球的公共部分。 把球平分了，把球的把球平分了， 是不是？六个这样的公共部分刚好把我这个球给平分了。为什么要把球平分了？因为它的顶点在我的各个 面的中心位置呀。你每个顶顶点，顶点，顶点，前后左右的顶点，它都在我的底面的中心位置，每一个面 等价于一个相同的 p、 a、 b、 c、 d 的 四人追。那这个球和这个 p、 a、 b、 c、 d 四人追它的公共部分都是一样的，那相当于有六个这样的读心，刚好把我这个球平分了， 是不是？好，那不就等价于六分之一我求的体积吗？你的体积的话，是不是因为四棱锥已经把我求给平分了，而你这四棱锥就相当于一个扇形的立体图形，那不就相当于一个 求的一部分的意思吗？ ok， 就 有几这样的部分。有几个啊？有六个嘛，那就六的体积呗。那求的体积是多少？三分之四 pi r 立方对不对？ r 是 多少？你中心点 r 是 二分之一啊，所以就会等于六分之一乘以三分之四，二二分之一的八分之一再乘以 pi 嘛，对不对？好，会等于 约一约二三十六分之一 pi 嘛？哦，所以 d 是 对的， a c d 还是要有一点点空间想象能力的。但是呢，我觉得还是可以能够理解的到的，因为他有一个关键节点，就是他和每一个面都相切了，信不信？好，我们这个题就分享到这里，拜拜。

好的，各位同学，我们来继续来看一下 t 八年法的这个第十四题，就是用几何意义去做，也就是出题的老师希望我们用的方法 就是这道题目，出题老师一定是想想要把我们导到这条路上去来，前面的条件是一样的，不用看，但是我们来感受，我们来感觉一下，我来我看一下。我手上有一个 sine 法和一个 cosine 法的绝对值， 就是 sine 法和 cosine 法是不是天生是平方加平方是等于一的对不对？但是为什么说这个人这里有一个绝对值，那么同理，贝塔这里是也有一个人为绝对值，并且最后面他问的这两个人 是不是没有绝对值的板块？比如说算法是扩散有绝对值 x， 呃，这个三三也是没有绝对值，所以这里我们就想到一个公式，就是换元，因为开根，因为开根能开出绝对值， 所以我们这里换元的话就是换元的是来自于这种小小的灵感，就是大圣老师刚刚讲为什么他有绝对值，他没绝对值，这就是这个灵感的来源。 就开根我们是能搞出一个绝对值来的，所以我们就换一下，我就令这个地方，我等于 x， 我 就令它等于 y， 你 会发现我的 x， y 就是 也就是这个人， 这个人和这个人都是刚好没有绝对值那个人，所以我们要用 x y 表达出那个有绝对值的人，所以我们再来看一下啊，三引而法，也就是 x 好 减去三引贝塔的绝对值是 y 的， 那么三引贝塔的绝对值是什么？ 是不是等于一减去扩散？以贝塔的平方，也就是一减去外方，然后再开根，你看这里是不是就很巧，刚好把这个绝对值搞出来了， 所以这个情况就是灵活的，就就灵活的这个地方，所以对于三角换元，其实，嗯，大家还是需要做的更熟练一些。那我这个地方我们再继续扩散。贝塔是不是就是 y 啊？ 括号 be 是 y， 然后再减去括号 y 法呢？三 y 法是 x， 所以 括号 y 法的绝对值等于一减去 x 方，一减三方再开根，是不是就是 bea 括号 y 吗的绝对值。很巧很巧的一个题目，所以这个地方等于零，所以出题的老师坏就坏在这里，他肯定是希望我们用这个方法来做的。 好吧，好，来继续看嘛，那就是老三样了呗。所以呢，所以 x 它减它等于零，也就是 x， 嗯，等于等于一减去 y 方开根，或 或 y 等于一减去 x 方开根，没问题吧？好巧吧，他们两个人化简完了，是个什么呀？他们两个公式化简出来是不是是单位元呐？ 所以说明什么？所以说明我们这个题目就画完圆之后 x 到 y 这个东西，它就是在单位圆上面的一个点，就是 x 到 y 这个点在单位圆上面。好，然后我们就开始了啊，呃，我们就开始画个图呗，画个图啊，就是我们要画一个，把一个圆画出来嘛？来，然后， 呃，画个圆，然后这个是个单位圆啊，这是个单位圆，没有问题。好，来，同学们开始写，对不对？好， 就有非常非常非常非常大的问题，为什么？因为它不是个圆，它不是个整圆，或者说它不是个整圆，因为这个地方我们要想清楚啊，这个货首先是这个货的问题，其次 这个 x 是 不是也要大于等于零呢？这个 y 等于根号， y 是 不是也要大于等于零呢？也就说明你要在 x 大 于等于零，是不是要在外轴的右边？你的 y 大 于等于零，是不是要在 x 轴的上面？ 所以你不是一个整圆？同学们，不是一个整圆能理解不？不是一个整圆，你中间还有一个或字在，所以呢，在 x 轴上面也行，在外轴的右边也行。说明什么？说明是个四分之三圆， 不是且是祸。所以这个题目中的图他是四分之三个圆，不是整圆，就是也就是第一项线，第三第二项线，还有第四项线的这个圆， 你们去吧。所以这个题目就是稍微恶心的地方，就在这个地方是这样的一个圆。好，呃，然后，那当然了，除了这三线还有在轴上点也可以啊，然后再继续看吧。题目中 问我的那个式子是什么？题目中问我的式子是 x 加 y， x 加 y 再减二。形容这种依次的式子是个什么意思啊？就是我们这里起码有起码有不低于三种做法，我们来可以做出来，主要跟大家讲解比较主流的两种啊， 怎么办？第一个，第一个常规的想法就是我们把它理解为直线方程，那么 x to y 是 不是在这个点，它只能在单位圆上面？所以这个就式子就是我们会变成 点到直线的距离公式，那么就是 x 加 y 减二的绝对值，然后再除以根号二。啊，为什么是乘除以根号二？ 嗯，回去好好复习一下。就是你这个系数系数的问题嘛，所以他问的是哪一条直线？他问的这条直线是不是这条直线，也就是 x 加 y 减二等于零，这条线 没问题吧？所以也就是这上面的点到这条线的距离是不全部都是用这个式子来表示的，所以我们把它画一下减，稍微画一下减，我们把这根号乘过来，根号二个的啊。 嗯，这个地方就先用这方来讲吧，就是在这个位置，其实这个是方法一啊。用方法一就是点到直线距离公式来理解，方法一的话，就是它等于 x 加 y 减二的绝对值，对不对？这里其实还有点反， 为什么？因为我看得出来这个在这里到这个线的距离是最短的，在这个地方或者这个地方距离是最大的，但是那我到底是要最大还是最小？那老师肯定是算最小吗？不是的，这个地方你的得要最大。 为什么？因为你要想一想，你的 x 是 不是小于等于一，你的 y 是 不是也小于等于一，所以你的 x 加 y 是 不是小于等于零，所以你的绝对值， 所以就是你的 x 加 y 减二是个负小于等于的一个数字，所以它的绝对值是一个它的相反数。所以我们最后我们把 x 加 y 减二拆出来，它是不是根号二倍的，它是负的，根号二倍的的， 没问题吧？所以你要让这个地方要最小，也就是这个的要最什么，这个的是不是要最大？这个 得就是要最大的，能理解不得最大的话，是不是这个点和这个点，因为，哎，因为这，因为这两个点的连线和这条线是平齐的， 所以你知道就可以了，这个地方，这个地方是负一，零斗，负一，零斗负一零斗负一往里面带一下，零斗负一往里面带就是，呃，负三三三除以根号二，也是二分之三倍根号二，所以得的最大值是二分之三倍根号二，二分之三倍根号二 二就是德 max， 我 们就把德 max 写出来，德 max 等于二分之三倍根号二，你乘以负根号，就那么就是这个地方的最小值了，最小值就是刚好就是负三。 这个是第一种做法，就是也是出题坏老头，他想要我们用的方法，但是第二种做法，第二种做法，呃，用限行规划的做法来做。限行规划，我不知道大家对于这个名词是否熟悉啊？但是 一定一定要会啊。线型规划，用线型规划的方法来做的话，是这样子的，我就设这个式子等于，嗯，不等于 z 吧？不等于 z， 我 设这个式子等于 m， 没问题吧？所以我要求的就是 m 最小值，那么把这个式变下形。第二种做法啊，第二种做法，也就是 y 等于负 x 加上 m 再加二，其中 x 的 y 要在这个圆上面，而且，而且这个是不是直线方程？所以 x 的 y 是 不是也要在这条直线上面？并且这条直线的斜率是不是等于负一？负一是什么？ 很巧的是，这两个点是不是一个是负一到零，一个是零的负一，所以刚好就是这条线吧，就是 这条线它的斜率也是负一，我只是这个意思。好，那么这条线我是不是可以把它这样子平移一下？平移一下，对吧？对，相切，是不是？这是一个临界的时候，这个地方是不是个临界的时候？没问题吧？好，我要算的是什么呢？我要算的是 m 的 最小值，其中 m 加二 叫做这条直线的纵截距，所以我要让这个地方整体最小，也就是纵截距最小，也就是与 y 轴要交的最低， y 轴交的最低，不就是这个零都负一吗？ 所以 m 加二的最小值就是负一， m 加二的最小值就是负一的话，所以 m 的 最小值就是 m 加一二等于负一， m 就 等于负三嘛， 这是一样的答案。所以可能于我而言啊，我更加希望大家去用呃，第二种做法来做，就是用这个现行规划的方法来做。 好吧，所以这道题目其实怎么讲呢？不管是第一种方法的思维讨论，还是第二种方法用几何定义，都 算特别的麻烦，所以我们都要多去想一想这个题目中最最最最灵泛的地方，也就是也最符合出题人的心意的地方，就是在于我给的是三样法，但是我们这边让你变的是扩散法呢，绝对值， 所以这个换元其实就是依靠那个根号来换出来的。好吧，好，感谢大家，我们今天就先这样，大家继续加油。

同学们大家好，我们今天来讲解一下二零二六年的一个 t 八的第一次联考填空的压轴题，那么这道题呢，它出现了一个三角函数，然后又附带了绝对值。 对于这道题来说，我们可以通过三角还原，然后赋予它几何意义，之后通过解析几何的方式去求解它的最值。那么接下来咱们看一下这道题如何进行操作，嗯，他说已知阿尔法贝特呢？满足这个关系式等于零， 然后求一下 sine alpha 加 cosine beta 减二的最小值。嗯，这个时候呢，我令 x 是 sine alpha， 然后 y 是 cosine， 嗯， beta 这个后边这个，然后这个式就可以变成 x 减去一个根号，下一减去一个 y 方， 再乘以一个 y 减去一个根号，下一减 x 方等于零， 然后两个式子乘积等于零，这个是 x 就 应该等于刚好下一减去一个 y 方，或者是 y 等于刚好下一减 x 方，然后这个时候第一个式子是 x 大 于等于零的，第二个式子是 y 大 于等于零的，所以说它最后呢，就会 都是圆嘛， x 方加 y 方等于一，也就是说它会形成一个 上面圆，在 y 大 于等于零的时候，然后还有一个是右边的这个圆，在 x 大 于等于零的时候， 它形成了一个一二四象限的一个圆，然后紧接着它问的这个问题呢是，呃， x 加上一个 y 减去一个二，它的这个最小值，那我们看一下 x 加 y 减二的最小值呢？我们可以看到 x 加 y 减二等于零这条直线， 那这条直线呢？点到直线的距离，这不圆上的一点吗？然后到直线的距离，那就就应该是 sine 加上一个 cosine， 它减二的绝对值，再除以一个 括号二，等于一个 d， 然后本身 sine alf 加 cosine b， 它肯定是减二，肯定是小于等于零的，所以说 sine alf 加上一个 cosine b， 再减去一个二，就应该等于负的 括号二得，也就是说我要求这个式子的最小值，我只要求得的最大值就可以，是吧？那也就是说我只要求一下得的最大值，然后大家看一下得的最大值是多少，这个点吧，或者是 这边这个点吧，负一到零吧，或者是零到负一，我们带进去负一加上一个零，减去二的绝对值，再除以一个括号二，应该是等于二分之三倍的括号二，然后再我们再乘以它那个前面那个系数，负括号二嘛， 那最后就应该是等于负三，所以说最后的答案是负三。那么这道题呢？我们就讲到这。