t8联考解析几何不联立

备受关注的 t 八十二月大连考，今天咱们来讲这套题里面的一道单选题目，这道题目考察的呢还是双曲线圆的一些几何性质，咱们一起来看看。这道题。 说双曲线，它的 a 方是知道的，等于一 b 方对应的就是 m 方左右焦点是 f 一 和 f 二，过这个 f 一 做这个圆的一条 小切线，这个圆的半径呢，恰好是一，与双曲线的右值交于点 m， 告诉我们 f 一 m f 二这个角是一个六十度， 然后让咱们求小 m 的 值。其实这道题拿到了之后呢，我们肯定要把 m f 二和 m f 一 这两条线连在一起， 我们看到了 f 一 m 是 切线，所以一定要把切点和圆心连线，那么这个切点假设它叫 n， 这个角对应的就是九十度。 那接着再来看在这个图形里面特别重要的点，就是大家一定要看清楚，这里面有一个中点， o 是 f 一 f 二的中点，那么 o n 和这条线垂直这个角呢，是一个特殊角六十度， 那么特殊角要是能放在特殊的直角三角形里面就特别好做了，所以我们来构造一个六十度的直角三角形，过 f 二做这条直线的垂线。这个图画的不是特别标准，大家看清楚这个地方，假设叫垂足是 h， 那 么大家来看 h f 一 f 二这个直角三角形里面有一条特别重要的线叫做中位线， o n 是 中位线， o n 的 长度是一，那么 h f 二的 长度自然就是二。咱们把这个 h m f 二这个直角三角形给它拿出来，因为这个图画的不是特别标准，所以拿出来之后去找它的边角关系， h m f 二这个地方是二，这个地方是六十度，那么自然 h m 这条边就是二，除以根号三，而 m f 二这条边对应的就是四，比上根号三，那么有了这几条边，大家再来看 m f 二的长度，知道了那 m f 一 和 m f 二一定满足双曲线的定义， 所以 m f 一 就应该等于二 a 加上 m f 二，二 a 的 长是二， m f 二的长度是根号三分之四。把它放在这里，也就是我们知道了 m f 一 的长度， 也知道了 h m 的 长度，那自然就可以算 h f 一 的长度，它就等于 m f 一， 减去 h m， 也就是二，加上根号三分之二。那接着再来看算出了 h f 一 之后， 咱们怎么去算这个小 m 的 值，这个小 m 其实就是 b， 那 大家注意，在这个三角形 f e o n 当中，这条边是 a， f e o 呢是 c， 那 对应的 n f e 自然就是 b， 所以 f 一 h 其实就是两个 b， 那 它就等于二 b， 也就是二 m， 所以 m 就 等于一，加上根号三分之一，也就是一加三分之根号三，答案自然选四 d。 所以 这道题目来说，难度不是特别大，大家要把图形画出来，然后注意第一个双曲线的定义，第二个三角形的中位线。

二六届七八联考第十一题，一道人格分裂的几何题，前半段难度平稳输出，后半段画风突变，抽象到你根本画不出图，你能想象出来不？这边都是溜平，溜平的里边是个呼。别慌，显哥带你摸清这道题的规则，破解这道多选题。他说正四棱锥啊，他的高为 h 四棱锥，他的顶点在正方体的内部，包括边界上运动啊。问 h 的 角度范围， 你鄙视谁？出题你鄙视谁？你是在鄙视我吗？他这是一个正方体，你不用画了对不对？你这是个正方体， 你想想屁点在正方体的表面上和内部运动，那当然体高最大的时候就是一呗，体高最小的时候是接近零呗。 所以这个 a 选项他有点病啊，病的不轻，所以怒开两分，我就做下一道题了，如果我是学渣，一个对不对？明白了不？ b 选项，他说正四棱锥，他的侧棱长是二分之根三，我们画一画啊， 就当画了啊，就当画了，那所以他说侧棱长是二分之根三，然后呢？问体高是多少，那体高的话，那就应该是放在这个三角形当中来解决问题，那这个数的话，就应该是二分之根二， 那所以一勾五定里，那就是四分之三减四分之二，四分之一就二分之一啊，开根号是二分之一，所以这个选项错误的。也说 h 应该等于二分之一。 再说一遍，这个长度是二分之根三，这个长度是二分之根。二勾五定里，四分之三减四分之二，四分之一，开根号二分之一，所以这个选项错了。他说 p 在 正方体的正方体的中心上，底面的中心上，然后呢？外接球， 正能锥的外接球，这是我们高考考烂的东西，所以他这个在正方体上，底边那个中心上。来来来，大家思考一下，那是不是相当于我们假设外接球的球心 在这就是 o， 那 这个地方呢？显然球心到球面上的距离，这是半径，又因为他的体高是一，因为这个点在正方体的上，上底面上吗？啊？上底面上啊，所以呢，他的体高就是一，那所以这个长度就是一点二， 然后呢，这个长度呢，也是球的半径，所以是正能锥的外接球。他有个万能公式指出我们烫，所以我们现算就可以了。也就说一减二的平方就应该等于二方再加上一个 啊，二分之一，所以二方再减去个二二，再加上一个一，等一个二分之一啊，写反了。嗯，一减二的平方再加上一个二分之一，等一个二方，所以这量是二分之一，再加上它， 没错吧？所以呢，二方和二方约定了，二二就应该等于二分之三，所以二呢，就应该等于四分之三， 所以外接球的表面积是四派，二方就是十六分之九，所以答案是四分之九派，这个选项是正确的，明白了， ok， 好， 来我们讲讲第一个选项怎么做。我先画出一个正方起来，这道题你应该会，你会怎么想呢？好吧， 好，他说什么呢？屁，为这个正方体的内切球，既然他为他内切球，内切球的半径我们是知道的，内切球的半径就应该是一个二分之一，因为他体高是一。现在呢？呃，他说的是屁为他的内切球的球心就说白了是正方体的中心， 正方体的中心，这个没错，是吧？那正方体的中心的话啊，人家说这个正方体的正方体的内切球与这个正四棱锥公共部分的体积是多少？ 圆了？这道题它里边有个内切球啊，内切球它与这个正四面体的公共部分是什么？你能想象出公，公共部分是什么？不？ 能想象公部分，哎，你切过西瓜吗？切西瓜，这边切一刀，哎，就是这样的，哎，这边都是溜平，溜平的，里边是个乎啊。所以这个地方你想想，我要想求的话，我肯定不可能直接求出来，因为我们没学过呀， 我们又，他又不是什么公形，对不对？我们又不会双重积分，对不对？所以呢，我们就得想他占多个球， 听明白了吧？占多少球，那占多少球，那这个问题就解决了。你只要能想到这一点，这道题解决了。所以 d 选项考你的空间想象能力， 听懂吗？他是完全对称的，你得想他占多少个球，那你想想，这样的话，他占了一部分，那如果是这个点，哎，以他为底面啊，就是这个底面啊。就说白了，这个地方也同样有一个正四棱锥，哎，他与那些球交在一部分，是不是一样的体积？ 那上底面是不是也同样道理？这边左侧面是不是也一样的理解了？不，所以你们猜占几分之一，只需要打分母就可以了。几分之一的内切球？ 好，你可能还没听懂这样的话，是一个正四面体，他与这个内切球啊，切公共部分有一部分啊，是多少我不知道。然后呢？哎，我假设这条也有个正四面体，他与这个内切球他也有个公共部分，这个公共部分肯定是一模一样的。 一模一样的。那这个地方呢？他也有个内切球，对不对啊？也也有个正四面体，他与这个内切球公分一模一样的，所以就完了，就完了。这道题就完了，所以占六分之一个。六分之一个内切球的体积。 内切球的体积是三分之四 pi 二的三次方，三次方是八分之一，所以答案是六六三十六分之 pi。 好， 你能想到不？选 d 听到吗？想想西瓜啊，你直接求是求不出来的，所以得占多少个球？所以我就想全都是对称的就可以了。他正好把整个的那些球瓜分了，分成了六等份，所以这是十一题。 ok， 好， 十一题。

好题分享，直接看最后一问，现在的考题要是有结论，考场上可以节省很多时间，这是逼着大家去高阶知识啊！废话不多说，直接上结论。以焦点 f 二为极点代入，可得极限 x 等于四，则 h a、 f 二 b 乘调和点列对应，获得调和限数。因为 y 等于 h， 可得圈内方程 四点。公务员对角互补可得角二 q a 等于角 a、 f、 r、 m 分 别列两角。正切公式消掉 k 一、 k 二项可得。关于 k 的 一与二次函数是一个开口向下对称轴在 y 轴右侧的二次函数，由于 k 小 于零，则在 y 轴左侧只有一个减。看完记得双击加关注！

t 八联考的第十八题啊，这是一个解析即可的题目。先看题干，已知椭圆 a 方分之 x 方加 b 方分之外方等于一，左右焦点分别为 f 一 和 f 二，负二零和二零，这样的话就知道 c 等于二了。 椭圆 c 呢，经过点根号二，根号三，这个就可以代入，然后椭圆的下顶点为 e。 第一问呢，求椭圆 c 的 方程，这个还是比较好求的，就是这个 c 等于二，然后代入二比 a 方加上三比 b 方等于一，然后 a 方等于 b 方加 c 方。 三个等式，三个未知数啊，其实是 c 等于二，这个是已知的，就是两个等式，两个未知数，然后直接带进去， a 方等于八， b 方等于四，就解出来了。这个方程就是 x 方比八加上外方比四等于一啊，这是椭圆第二个 过右交点 f 二的一个直线与椭圆 c 交于 ab 两点。那这个时候呢，我们就画一个图， 这里有一个点， f 二过 f 二的直线呢，交于 ab 两点，上面是 a， 下面是 b 与 y 轴交于 p 点，并且这个 p 点呢，在 e 的 下方， q 为 p， 关于原点的对称点，那 q 呢，就在上方， q b 与交 x 轴与 r， 那 就是把 q b 连起来， 这里有一个交点啊，大二设三角形 p b q 啊， b f 二， q 的 面积分别为 s 一、 s 二、 s 三，那也就是把这个 q a 连一下，再把这个 q f 二连一下， 中间这三个面积呢，分别是 s 一、 s 二、 s 三啊，不太清楚的话可以再拉出来这样。呃， 它相当于这个是 s 一， 这个是 s 二，这个是 s 三啊。这三个小三角形， 若直线的斜率 l 等于二啊，然后求 s 一 加 s 三，除以 s 二加 s 三的值。如果这个直接求面积不太好求，但是这个呢是求的一个面积的比例，所以我们可以做一下转化。你看这个 s 一 加 s 三， s 一 的话， 这个 s 一 啊，它就是 s 三角形 p q b， 这个 s 三，我们可以写成 s 三角形 p q a 减去 s 三角形 p q f 二， 那下边这个呢，就是 s 二加 s 三， s 二可以写成 s 三角形 p q f 二减去 s 三角形 p q b， 加上 s 三角形 p q a， 减去 s 三角形 p q f 二减这个和加这个，这两个就消了。然后剩下这几个三角形的面积，它都是以 p q 为底的，所以我们只需要比上它的高就行，而这个高呢，刚好就是这个的横坐标。 那一比的话，这个 ab 我 们设成 x 一 y 一 和 x 二 y， 那 就是 x 一 加 x 二，然后再减二除以 x 一 减 x 二。那这个 x 一 和 x 二是怎么产生的呢？是由直线和椭圆连立产生的。那我们就现在设直线， 设这个 l 呢，是 y 等于二倍的 x 减二，然后 a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y， 这样的话我们给它连立啊，就是 y 等于二倍的 x 减二。 x 平方比八，加上 y 方比四等于一， x 方加上二倍的外方，外方的话四八 x 减二可得平方减八等于零。然后这个是二次函数，先写二次项，九 x 平方一次项减去三十二 x 四八三十二减去二十四等于零，那这样的话，就是 x 一 加 x 二等于九分之三十二，然后 x 一 乘以 x 二呢，等于九分之二十四。这个那我们代我们想求的这个东西， x 一 加 x 二减二，比上 x 一 减 x 二， x 一 加 x 二啊，九分之三十二减二，这样的话就是九分之十四。下面这个 x 一 减 x 二啊，就是根号下九分之三十二的平方减去四乘以九分之二十四， 那下面这个通分的话，我们知道就是通分成八十分母就是八十一嘛，开出来就是九，上下这个九就约了，所以上面剩十四，下面应该会剩根号下三十二的平方，减去二十四乘以三十六， 三十二乘以二十四乘以三十六，然后四四八八，然后这也是四和四。 呃，六九，呃，这个相当于是提出来一个十六十六，开放出来之后是四嘛，然后这个八八六十四，六九五十四，一减就是十，根号十啊，就是四倍的根号十，那这样的话上面是十四约一下 二七根号十七倍的根号十，然后这里是二十，这样的话第二本第一个就结束了，然后看第二个， 它让我们证是否存在 l， 使得 q r f 二 a 四点共圆，那四点共圆这个东西呢？我们先画一下它的示意图 q r， 然后这个是 f 二， 这里有一个 a q r f 二 a 四点共圆，那四点共圆，我们的正法呢？就只有一种正法啊，当然就是说最好用的一种正法就是直接正，这两个角互补就可以了啊，那也就是说我们叫正角 r q a 加上角 r f 二 a 等于 pi。 当然解析几何里边这个角度呢，是不能直接求的，都是转化成斜率，所以也就是 tangent， 那 我们可以考虑一下，就是 tangent 角 r q a 应该是等于负的 tangent 角 r f 二 a 等负的这个 tangent r f 二 r f 二 a， 其实就是这个角啊，但是这里这个，这是 s 轴吗？这个题目没标啊，我们就懒得写了。那也就是说这个的 tangent 负的刚好应该等于这个小角的 tangent， 也就是说刚好应该是等于 k a b 的， 那我们就主要解决前面这个问题就行了。 tangent r q a， 我 们把这两个再延长一下啊，这样延长，也就是说 这样延一下，这个是 q， 然后这个是 a 啊，这个是 r， r 在 下边呢，这个 a 在 下边呢？那我们想表示的是这个角，那这个角的话，其实就是 q a 的 直线且斜角减去 q r 的 直线且斜角，然后用 tangent 来表示的话，就是 tangent r q a 应该等于这个 k a q 减去 k q r， 然后除以一加上 k a q 乘以 k q r 这样，那也就是说我们现在呢，应该是需要这些点的坐标啊，那我们就设直线直接算就可以了。 设这个 l 啊，你看这个 a f 二，这根直线就 ab， 这个直线它应该不能是横着的， 但是竖着的不知道啊。所以如果我们设 y 等于 k x 的 话，就要分类讨论啊，考虑一下斜率不存在。那如果我们设 x 等于 m y 加二的话啊，这样的话就不用考虑这个不用分类讨论了。然后设这个 a 点呢？还是 x 一 y 一 b 点是 x 二 y 二， 然后给它连立啊，就是 x 等于 m， y 加二，然后这个 x 方比八，加上 y 方比四等于一。 呃， m y 加二，扩起来平方加上二倍的外方减八等于零啊这个式子，然后就是 m 方加二， 外方加上四 m y 呃，减四等于零，这样的话，我们就可以得到 y 一 加 y 二等于负四， m 比上 m 方加二， y 一 y 二就等于负四，这里是 m 方加二啊这个式子， 然后接下来呢，我们就标这些点的坐标就可以了啊，就是这个 p 点坐标应该是零，负的 m 分 之二，那这个 q 点坐标呢？应该是零 m 分 之二。当然题目还有一个问题啊，说这个 p 点在你看这个 p 点在 e 点的下方， 那也就是说负的 m 分 之二应该小于负二，这样的话，我们就可以得到 m 的 范围应该是大于零，小于一的啊，就可以出，需要限制一下范围。 那这个题里边啊，这延伸一下，这个是 b 点，因为这个 q r 的 坐标， q r 的 斜率可以直接用 q b 的 斜率来表示就可以了。那接下来呢，就是代入了那这个 tangent 角 r q a， 它就会等于上面是 a q 的 斜率， a q 的 斜率就是 y 一 减 m 分 之二，比上 x 一 减零，然后减去上面是 y 二减 m 分 之二，比上 x 二， 下面的话就是一加，这两个二相乘 x 一 分之 y 一 减 m 分 之二，乘以 x 二分之 y 二减 m 分 之二。 那这两个式子的话，上下同乘个 x 一 乘 x 二，然后这里就是 x 一 乘以 x 二加上 y 一 减 m 分 之二， y 减 m 分 之二，括起来，然后这个呢，就是 x 二乘以这个，那 x 二，你看这个 x 是 等于 m， y 加二的，所以就是 m y 二 加二啊，乘以 y 一 减 m 分 之二，然后减去 m， y 一 加二，乘以 y 二减 m 分 之二，括起来啊，这个式子 x 一 乘以 x 二和 y 一 减 m 分 之二乘以 y 二减 m 分 之二，这个都可以用那个点乘双根去算啊，特别好算。就是上面这个式子， m y 加二括起来的。平方加上二，外方减八，这个是等于 m 方加二， y 减 y 一 乘以 y 减 y 二， 那我们看这个 x 一 乘以 x 二， x 一 乘以 x 二，其实就是 m 方的。呃， y 一 加 m 分 之二， y 加 m 分 之二， 那这样的话，我们只需要让这个 y 等于负的 m 分 之二就可以了，负的 m 分 之二带进去，呃，这个就是零，加上 m 方分之八，然后再减八，再除以 m 方加二，然后再乘一个 m 方。 当然作为答辩，你代换的时候，这些代换完都是一个分式，并且分母都是 m 方加二，所以就直接不写了。那这里直接就是八减八 m 方，然后加上这个 y 一 减 m 分 之二和 y 二减 m 分 之二，其实就是。呃，这里就是 y 一 减 m 分 之二和 y 二减 m 分 之二， 那这样的话，我们直接让 y 等于 m 分 之二就可以了。 m 分 之二，这里就是四十六，加上 m 分 之八，然后再减八，那这样的话就是 m 方分之八再加吧。 呃，再展开上面这个，上面这个的话就是 m y 一 y 二减去二倍的 y 二加上二倍的 y 一 减四减去，这里也是 m y 一 y 二减去二， y 一 加上二 y 二，然后再减四， 这两个消一下，这个跟这个消了，这个跟这个消了。呃，二， y 一 负二， y 一 负的正的，也就是四倍的。呃， y 一 减 y 二，但是这个四倍的 y 一 减 y 二的话，也是用这个表达定义，直接代的话，应该它就等于 a 分 之根号下单调，那我们就直接写单调就可以了。十六 m 方 减去四 m 方加二，呃，负四括起来，然后负四的话，四 m 方减四，这不就是十六吗？这有个负的三十二，所以上面应该就是三十二 m 方加三十二，然后再开方，开方的话，这个可以开个十六出来，十六的话四，那就是十六倍的根号下二 m 方加二啊。这个式子， 呃，就不要这个了，就是十六 m 方加二，除以这个，那这个的话可以上下再约一个八，那这样的话就可以得到二倍的根号二 m 方加二。 八八十六二减 m 方加上 m 方分之一等于 m 分 之一，那这个式子的话，我们把它整理一下，就是二根号下二 m 方加二，然后减去 m 分 之二，呃，加上 m 减去 m 三次方分之一等于零， 呃，这个式子你就直接猜他的根就行了，把一和零带进去啊，但是这个零不能带，把一带进去猜一下啊，猜不出来，那就没办法了，就只能构造了。所以我们这个呢，就构造一个 f m 啊，等于二倍的根号二 m 方加二，减去 m 分 之二，加 m， 减 m 三次方分之一，然后对它求到，呃，二乘以二分之一，然后根号二 m 方加二，上面的话应该是四 m， 然后加上 m 方分之二加一， 负三次方，那就 m 负四次方加三啊。这个式子是一看就是大于零和成立的，当 m 趋近于零的时候， m 趋近于零的时候，这个这个式子是趋近于二倍。根号二，这个式子是趋近于 负无穷，这个是趋近于零，这个也是负无穷，所以合起来这个 f m 呢，就会趋近于负无穷。呃， f 一 就是当 m 等于一的时候， f 一 带进去应该是二倍的根号四减二加一减一，这样的话应该就是二大于零， fm 单调递增，并且这个零的时候趋近于负无穷一的时候是大于零的，所以这个 fm 等于零啊，有 且有一根，这样的话，也就说这个直线呢，应该就只有一条。

来这道题第一问，先读读题什么意思？一个置点在数轴上运动，向左或向右移动一个单位长，每次随机。 然后呢，移动了 i 的 单位就记为 i， 向左就记为负 i， 所以 往右就是加一，往左减一。这能明白？打个一往右就是加一，往左就是减一，跟坐标轴的正负是对应的。 然后呢，置点，每次向右移动的概率是小屁。所以其实第一问就是每次加一的概率是小屁，每次减一的概率是一减小屁。所以这是一个两点分布， 要么向右，要么向左，概率是屁和一减小屁。然后呢，置点，从 o 出发，移动两次之后，期望大于零到屁的取值范围。 那我问一下，这个期望是什么？ e x 等于什么？你每次要么就是加一的小屁，要么就是减一的一减小屁。所以这个期望，每一次的期望， 一次的期望是不就是加一乘以屁的概率，再加上负一乘以一，减屁的概率啊， 也就等于二 p 减一啊。这能明白？答案，就你有 p 的 概率往右走，然后有一间小 p 的 概率往左走，所以你每走一次，你走的平均值应该就是， 不就是各自的期望乘以概率吗？各自的这个这个随机变量乘以概率吗？所以呢，二 p 减一，那所以两次呢？ e x 是 不是等于二乘以每一次的二 p 减一，所以等于四 p 减一。呃，四 p 减二，现在你希望它大于零，所以 p 是 不要大于二分之一，所以 p 属于二分之一到一。第一问很简单，不说了 啊，第一问是非常简单的，这用的是什么性质啊？或者这种思想，我们在课上管它叫什么，有同学记得吧， 它是一个很简单的二项分布，或者你理解为两点分布也可以啊。两点分布或者二项分布都可以，但其实这个两点分布，二项分布为什么可以这么算？我们在课上是讲过大数定律的，理解的 啊，利用大数定律直接理解，这个期望是可以的。好吧，那我们来看看第二本 第二段。从 a 点出发啊，等可能的向上下左右移动一个单位，然后四次移动之后回到 a 点。那你说说怎么回到 a 点？从原点走四次能回来 啊？走四次能回来，那不就是上两次上上下下或者左左右右， 或者上下左右，还有其他情况吗？ 你觉得还有其他情况吗？对，这就是你们最近考的那个 t 八联考，对吧？ 从原点出发，走四步。咱先说走两步，走两步回来就是上下或者下上 回来，对吧？或者左右或者右左，所以走两步就上下走或者左右走。那如果你走四步呢？那就是上走两回，下走两回，谁先谁后无所谓，你可以上上下下， 也可以是上下上下，也可以上下下上，也可以下下上上都行，反正就上下走两上两下啊。那你左右走就是两左两右，你还可以怎么办？上下左右左右走两下是不是也回来了？就这三种情况，那咱们算算概率呗， 对吧？首先呢，你是移动四次，要回到原点，那你概率屁，咱先算算上上下下的吧。 上上下下意味着什么？意味着总共四次，你每次应该是一个特定的情况啊，所以你总共有多少种情况？你分母算一下，每一步有四种，上下左右四种，所以是四的四次方。 每一次有四种选择走四次，所以总数是四的四次方，那你能满足其中两上两下的是多少种？ 你能满足两上两下的有多少种？ 你现在已经四的四次方了，满足两上两下的 啊？满足两上两下的，那就想想，因为你确定是两上两下，那就是哪两次再上，是不是选元素哪两次向上？ 你是不是要选出来？四次里有两次向上，剩下两次向下，那是不是就是 c 四二没了？ 我只需要在四种情况里选两次，这两次向上的是第一，第二还是一三还是一四还是二，三还是二四还是三次。确定两次向上，剩下两次自然向下。你四步就是两上两下分配好了，所以就等于什么呢？就等于二百五十六分之 c 四二就是分之六 没了，就这个，那同样 p 左左右右呢？ 来屁左左右右四的四次方是你每一步有四种情况，四的四次方二百五十六。那咱们要求你正好是左左右右，意味着你就得有四次离，有两次是向左，所以 c 四二 四次离两次向左，剩下两次自然向右，那 c 四二就是分之六。那如果你是上下左右各一呢？ 四四怎么上边怎么想，来上边怎么办？你上下左右全都不一样，你的顺序可以随便打乱排，那是不是就是 a 四四呀？也就是二百五十六分之二十四， 于是最后三种情况加和屁就等于二百五十六分之六，加上二百五十六分之六，加上二百五十六分之二十四，就等于二百五十六分之三十六，也就是六十四分之九。 会了，大哥，会了 啊。这道题其实就是一个基本的问题啊，你可以就是一个， 就一个独立事件概率，虽然他算的概率吧，这概率就分成三种情况。这个分类讨论并不难，四四步回原点，大家都能想出两上两下，或者两左两右，或者上下左右，而他的难点就是在算每种情况里的技术原理 啊。这份卷子没有单独考技术原理，只考了一个二项式，二项分布，呃，二项式定律。但其实在这考了技术就是上上下下的时候，总情况呢？每步四就是四的四次方， 那符合 t 的 情况，你用枚举也就四种啊，那就六种啊。你把这上上下下的情况枚举一下，你也能枚举出来，那就是上上下下 上下上下下上就是一二一三一四是上三种了，然后二三上，二四上和三四上，再三种，总共六种，你枚举也能出六种，也不复杂啊。所以这两种情况都是 你用 c 四二理解或用美举都可以。那这种呢？上下左右这个应该不难，上下左右的可能性就是 a 四四二十四种，于是加和六十四分之九 啊。所以这道题是一个如果你的高考分数想上一百，一定要做下来的题，难度不高，属于概率经典题和概率基础题。 如果你的考试目标来，你的考试目标是上一百，如果你考试目标是一百加，应该怎么办？ 如果你考试目标一百加，就要做出来第一题和第二题的第一小问啊，再加上第二小问的回答，这加起来是十一分。 这些觉得不难的打个不难。我一会讲，我先来跟各位说，如果你的目标是一百以上，不是一百二以上，是一百以上，这题你就得拿，能拿到十一分， 因为这十一分好拿，后头那个特难拿啊。如果你的目标是一百二，那其实也就是十一分以上就行了。如果你的目标一百，其实你拿九分，可以接受九至十一分， 但是如果你的目标在高考里的目标是一百三十五，这题就得争取十五到十七分，就得争取满分了。 如果你的目标是八十到九十啊，那其实你其实做第一问就可以 死法啊。但第二问真的不难啊，你看一下你的目标分数跟你这道题拿的分数之间的匹配关系 来啊，这题就一个圆锥曲线啊。这道题是我把所有问放在这，我讲的时候是一问一问来，先看前两问。第一问不讲了， x 方除以八加 y 方除以四等于一，不难，打个不难啊，给了焦点，给了一个点坐标，很好求，咱就看第二问来。第二问怎么说的？ 第二问说啊，过焦点 f 二的直线与椭圆交于 ab 两点， 过这个直线交于 ab 两点，人家说 a 在 b 点上方，所以这图就长这样 啊，与 y 轴呢？交于 p 点啊， p 点在什么？ e 的 下方，那 p 点就在这底下啊，然后呢？ q 点为 p 的 对称点，那就在这啊，然后怎么怎么样？这交于 r 现在给的面积 p b q 这个面积 是 s 一 b f 二， q 这个面积是 s 二 a f 二， q 这个面积是 s 三。请问这道题问的它是什么东西？来发在评论区，你读完面积是谁之后，请问第一小问， s 一 加 s 三除以 s 二加 s 三是什么呀？ 这什么呀？ 能看出这不就是小学三角形面积的底边之比吗？ s 一 比 s 二比 s 三的比例是不就等于 p b 比上 b， f 二比 f 二 a 呀？这是小学三角形， 一个同高就等高，这是高是 h 一 样的一个同顶点叠在一条边上的面积比关系吗？这能看出来？能看出来打能就就底边之比吗？这小学数学，所以这个比例直接就是 p b 加上 s 三，就是 f 二 a 比上什么呢？比上这一块应该是 b f 二加上 f 二 a， 所以 就是 p b 加上 f 二 a 比上 ab 啊，这能想到的，答个 no。 这是我说这题第二问的第小问，不算难的原因，它就是这段线段的长度比 p b 加 a f 二再比上 ab， 而且这题没参数，那长度比要怎么换来下一个问题，当你化为共线线段长度比之后， 这是我们体系里专门有讲的共线线段长度比。那转为什么呀？转为坐标比。请问这题用横坐标比还是用纵坐标比？ 横坐标比纵坐标比，你看 f 点是二，零啊，纵坐标是零，是不是用纵坐标简单？所以咱们直接化为纵坐标比， a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 二化为纵坐标比，那来 p b 是 谁？ p b 这个的纵坐标就是 y 二减去 p 点的纵坐标减 y p 啊， y 二减 y p， 然后呢，再加上 f 二 a 的 纵坐标，那就是 a 点的坐标 y 一 减零，因为你这个纵坐标是零，那 ab 的 纵坐标呢？就是 y 一 减 y 二。 没问题，打个 ok 你 就写出来了。而这题由于斜率是二，没有字母啊，直接设直线， 因为你留的是 y， 所以 直线就可以写成 y 等于二倍的 x 减二。写出来应该是二分之 y 等于 x 减二，所以 x 等于减去二分之 y， 或者 x 等于二分之 y 加二。这没问题，打个一，这直线 ab， 但是你留 x 也一样， 直线 a d。 那 咱们就算呗。所以你的 y p 是 什么呢？令 x 等于零， y p 应该等于负四， 所以这个地方应该就是减 y， p 就 直接变成加四了。没问题，大杆直接就是加四 啊。所以写出来应该等于四，加外一，加外二除以外一减外二。问题大哥 好，那算数呗，连立它根椭圆 x 方加上二，外方减八等于零。化整式嘛，所以给它带进去就是二分之外加二的平方， 再加上二，外方减八等于零。展开之后应该等于四分之九倍的外方。交叉项啊，二倍的外再加这个平方，四减八，减四等于零， 于是画一下，同乘四九，外方加上八，外减十六等于零， 那咱们就算呗。所以 y 就 等于什么？你都是具体的数了，你说这题要用尾答吗？没必要用尾答，你都具体数了，咱男人可以写啊。你的 y 就 等于二， a 就是 十八分之负 b 就是 负八加减根儿下 b 方减 c， a c 六十四减四， a， c 就是 加上九乘以四乘以十六，所以应该等于负八加减八倍的根号十除以十八， 所以就等于九分之四加减四倍，根号十，你就把 y y 二算出来了，于是只要带进去算数即可。我来带进来两根之合，那就是四，两根之合就是九分之负八减去九分之八 y， y 减 y 二，应该等于九分之八倍，根号十。 对了，答对了，你就把这俩数嘛，负四加根号，负四减根，就直接硬算，算出根了往前带上下同乘九，上边是二八，底下是八倍，根号十， 于是等于八十分之二十八倍根号十。同除四，二十分之七倍根号十。 觉得难吗？觉得不难，打个不难。我觉得这道题的第二问比你平时做的原始选第二问我觉得还简单呢啊，简单在于他没有字母，但他又有点不太一样。 不太一样在于他没有字母，他得硬算，他不是套伪答案或者原来那些套路。所以这道题是一个很好的反套路的问题。 反什么套路呢？就是你觉得算数是不是都得套尾答？都得套嘚他。这道题用不着你非要套尾答嘚他，这反而绕弯了。不是说不能用，可以你说我这 y 加 y 二，非得要用尾答算， y 减 y 二非得要根号嘚他。除以 a 算可以没问题，但必要性不大。直接上求公公式完事了 好吧。啊，所以现在能明白我为什么说这第一问四分，第二问五分，这题第三问难，但这九分是必须要拿的了，能拿打个能拿这九分努努力能不能拿下来 啊？所以我就说，如果你的目标分数一百以上，这九分咱能拿吧。然后再来看第三问。第三问啊，四点共圆，各位可能不会处理，但你甭管会不会处理，是否存在直线。 l， 你 设一下这条直线， 设完这条直线之后，写一下 a 和 b 的 纬答，可不可以？可以打个？可以，你设直线写 a 和 b 的 纬答，那就有两分。 那我问一下各位同学，如果你这道题在考场里把前两问的九分做出来，第三问，我不做，我就写个纬答，定你懒，两分拿十一分。你觉得你需要用多长时间？打一个分？打一个时间发在评论区， 你需要用几分钟？这题能拿十一分？ 十五分钟可以吗？十分钟那就行了，你这道题十到十五分钟拿十一分可以了，对于大多数同学可以了。第三问用不着，第三问，就正常的一个四点公园来。那么接下来讲讲这题最后一问，怎么算。 首先，四点共圆。怎么算？四点共圆？我们在我们的系统课里有讲一个四点共圆的速算技巧，但那四点共圆必须在圆锥曲线上。这道题四个点在圆锥曲线上吗？ q 点 r 点， f 二点 a 点，他只有一个点在圆锥曲线上，所以他用不了我们这个。这个，这个叫做二零二一年高考。高考圆锥曲线那个四点光速算。二零二一年一卷 圆锥曲线那道几答题，我们是有一个技巧的，直接曲线系，直接秒，但那道题你得四个点在圆锥曲线上，这题不在，所以这题跟那题不是一类题，他不一样。那如果你不能用四点共圆曲线系速算了，那就是一个普通的四点共圆。什么时候学的？来发在评论区。 你在什么时候学了四点共圆的证明和判断？请告诉我什么时候学的？ 我刚说了，不能用二二次线，因为用这个取线细节，四个点必须在圆锥曲线上。这题四个点不在圆锥曲线上，什么学的？初中学的， 对吧？哎，所以初中学证明四边形四点共圆。怎么证明？发在评论区，现在我们是初中，初中让你证明，别想这椭圆让你证明，这样一四边形在同一个圆上，你会怎么证 啊？初中正四点公园， 完了不会做，又是初中的过对角互补吧。是不是对角互补四点公园啊？如何证明四点公园？那就是证明对角互补， 你只要对角互补就四点公园了， 对角互补就四点共圆了，对吧？那这道题我问一下啊，这个是一和二， 这两个角是三和四，你是用一和二互补还是用三和四互补？你觉得用一和二互补就打一二，你觉得用三和四互补就打三四等加的，但是你得挑一组证，你用一二还是用三四。 哎，很好，都能想出一二，非常好。为啥用一二啊？你想想为什么用一二啊？因为我设根本动直线一定设的是这条线，这条线的斜率 k 就是 这个角的正切，你就直接有一个角了， 明白了吗？明白了，大家明白了，你设的动直线肯定是 ab 这条动直线，因为你 a 点 b 点是有尾答的， 那这个斜率 k 本身就是这个角的正切了，那你这个 f 二这个角正切就是它的一个相反数嘛。哎，所以其实这个角我们记为 c 塔 啊，这角我记为 c 塔，这角我记为斐。好吧。啊，那其实你立马就已经知道了，贪婪的 c 塔就等于负 k 负 k ab， 这没问题，打个二你就已经知道一个角了。 那现在呢？我只需证什么证？证明对角互补，即证 tanthan。 tanthan 与 tanthan 斐什么关系？来发在评论区， 我们肯定要用正切，因为圆锥曲线里证明一个角度的大小关系，只能用正切算，也就转化为斜率问题。那你要证明这俩角互补，它们正切应该是什么关系， 这样互补，比如一个三十度，一个一百五十度，他俩正些什么关系啊？是不是差个符号啊？只需正这个即可，所以他就变成了一个斜率问题。 明白的打个 ok。 能拿咱们思维训练表的题，我前面已经讲完了，选填里有很多啊，选难题有很多， 这是高二的，高二高三的啊，高二高三的斜率问题。所以呢，现在核心是算这个斐的度数，对吧？那怎么算斐，那斐其实是一个差角，那这俩差角 其实是谁减谁啊？你想想斐这个叉角，斐这个叉角是不是？如果你要这么算，这条水平线应该就是这条线的角跟这个角的差。没问题，打个三，这俩角之差， 而这个角的斜率是 k q a， 这得捯清楚，不然你的符号错了，中不出来。 k q a， 这条线是 k q b， 所以 其实呢，如果你把这个角记为 c t a， 这个情角记为 c t。 二、 tangent c t a 等于 k q a， 然后呢， tangent c t b 等于 k q b， 一 会再化解，那 tangent 否？就等于 tangent c t a 减 c t b， 没问题，打个三，这看懂了吗？啊，一定捯清，你朝右下角不好看，但是这个角是一个大钝角，减去这个小钝角的叉角就是这个否？ 所以我们需要算这俩的差角，而算这俩差角就用差角公式，所以它就应该等于 k 什么呢？ k q a 是 第一个正切减第二正切 k q b 除以一，加上 k q a 乘 k q b 没问题，打个四差角公式。 我们现在只要把它的外这个化简出来，证明它等于负 k 负 k a b 即可啊，证明它等于 k 即可 啊，你知道证明这个差角就行，那咱们就现在算算这个吧。所以我现在要写的式子就是设 a 点为 x 一 y 一 b 点为 x 二 y 二。那怎么设直线啊？ 各位怎么设直线？ l a b 怎么设呀？我就这么设呗， y 等于 k 倍的， x 减二，可以吧？ y 等于 k 倍， i 减二，那于是你的 p 点坐标就是零负二 k， q 点坐标就是零二 k 没问题，打个五 这道题怎么设直线？其实计算量差不多就这样啊。我设完这个之后，那我们来看斜率 q 点跟 a 点的斜率， 使 y 一 减， q 点减二， k 除以 x 一 k q b 应该是 y 二减二， k 除以 x 二。 所以把这俩式子代入它，就等于 k q a y 一 减 y 二 k 除以 x 一 减去 y 二减二， k 除以 x 二，然后一加上两者之积，一加上 x 一 x 二， y 减二 k， y 减二 k 没问题，打个五 到这，能意识到这题是非常难算的，后头就是伟大定律硬算了。 那咱们代各位往下算啊。分子分母同乘 x x 二，那就是 x 二， y 减二 k 再减去 x 一， y 二减二 k， 分 母呢是 x 一 x 二加上 y 一 减二 k， y 减二 k 来把直线代入，把直线代入，把 y 消了。所以这应该是 x 乘以 y 一 减二， k 就是 它 k x 一 减四 k 再减去，这是 x 一 乘以四 x 二减四 k 底下除以呢？ x x 二不动 这块就是 y k x 一 减四 k 乘以 k x 二减四 k 加上到这没问题，打个六。 为什么 q 的 坐标是这个？提胜给了，提胜给了，叫做什么？这呢？ q 点为 p 点，关于原点的对称点啊。 你的 p 点是跟外轴底下的焦点， p 点坐标是它，因为直线是它，外轴焦点是零。负二 k， 那 相反不就变成正二 k 了吗？就这式子，这式子咱展开就是伟大定律。这个四啊，这不是 k 啊，这是 k， 这写错了，这是 k 啊，这消了， 这俩消了，所以剩什么呢？剩四倍的 x 一 减 x 二，因为这是负号嘛。这是四 k x 一， 这是四 x 二，剩四倍的 x 一 减 x 二 啊，四 x 一 减四 k。 呃，丢 k 四 k x 一 减四 k x 二，然后分母呢？展开应该是 k 方加一倍的 x 一 x 二，两根之积 减交叉项这块是四 k 方减四 k 方， x 一 加 x 二，再加十六倍的 k 方，这没问题，打个七， 这就是你正切用差角公式。然后这得什么来回来看啊。题上说了， tangent theta 等于负的， tangent theta 是 等于负 k 的， 所以贪婪 c 是 负 k， 负 k 等于它。你现在要正，如果你四点共圆，它是不是就等于 k？ 这没问题，打个八啊。再说一遍，这俩角互补，所以这俩角正切互反贪婪 c。 前面说我这条线的斜率是 k， 我 为什么用斜率？因为斜率是贪婪 c 的， 所以我保留 k 是 贪婪 c 的， 那这个角是贪婪 c 的， 它的补角 啊，本身就是，其实就是这个角跟这个 f 相等，所以你的贪婪的 f 就 得等于 k 啊，贪婪的 f 就 等于 k。 那 后边换尾答即可。来，把这式子放在这啊，咱们后边再算单起页算尾答来，连立 y 等于 k 倍的 x 减二， k 椭圆 x 方加上二，外方减八等于零， 所以算下来， x 方加上二倍的 k 方， x 减二的平方再减八等于零，所以是二 k 方加一倍的 x 方 减去八 k 方， x 再加上八 k 方减八等于零。自己慢慢算啊，我算的快一些啊，你们自己算慢一点。于是伟大定律， 先算个 d， 它等于 b 方六十四倍的 k 四次方减四， a c 减去三十二倍的 k 方减一乘以二 k 方加一，所以等于六十四 k 四次方减三十二，二 k 四次方减 k 方减一。 这没问题，打个 ok， 最高次项消了肯定没算错。我们在课上经常讲复杂的单调，最高次项是能消掉的，所以到这你放心，没算错，等于三十二倍的 k 方加一。 这个为什么确定？除了这能消掉，还有一个原因，我们是不是说过过焦点的直线跟椭圆连立算的单调倍的 k 方加一或 m 方加一。记得打个记得。 我算嘚儿的是一会儿要算 x 一 减 x 二用的啊。这个嘚儿它也不难算。对这道题的计算量而言，你多算个嘚儿的，少算个嘚儿的，没区别。 如果你只为了拿步骤分嘚儿，它算不算无所谓，因为这题嘚儿它是椭圆里头的直线，它永远大于零啊。不算，算不算都没分儿，但是你要想拿满分，嘚儿，它算完一会儿算两根之差好用。所以两根之合 x 一 加 x 二 等于二 k 方加一分之八 k 方，两根之积 x 一 乘 x 二是二 k 方加一分之八倍的 k 方减一， 然后两根之差 x 一 减 x 二，就等于二 k 方加一分之根号，得它四倍。根号二，再乘以根号下 k 方加一， 这是伟大定律。这没问题，打个九，有人说，老师这是什么？如果你想做正题还拿到满分，那你得知道，圆锥曲线离伟大定律不光有两根之和两根之积。请你把两根之差根号得的注意， a 也当成伟大定律 啊，也当成伟大定律好吧。哎，所以现在这些都有了，咱们带进来，把刚才算的这个拿出来 来。在这儿，这是贪婪的诈，因为四点共圆， 于是得到什么呢？得到贪婪的诈与什么呢？诈与 sita 要互补， 所以 tangent the five 等于负的 tangent the theta， 那 就等于 k， 所以 这等于 k 带进来。四 k 乘以两根之差，这个东西四倍。根号二，根号下 k 方加一，除以二 k 方加一分母 两根之积 k 方加一，乘以两根之积，是这个东西，那就是八倍的 k 方减一，除以二 k 方加一，然后再减四 k 方乘以两根之和，是这个东西。八 k 方除以二 k 方加一，再加十六 k 方， 它要等于 k 来消吧。分母消了，消了消了，这要乘一个二 k 方加一， 然后再把这个 k 跟左边这个 k 消掉，所以得到什么呢？上面是十六倍根号二，乘以根号下 k 方加一， 除以分母来展开八倍的平方差，八倍的 k 四次方减八，这是三十二倍的 k 四次方。减去三十二倍的 k 四次方啊。不好意思，对， k 四次方。没错，这块有一十六乘以它，所以是加上三十二倍的 k 四次方，加上十六倍的 k 方，这两个消了，它要等于一，于是就得到十六倍根号二， k 方加一 等于八， k 四次方加上十六倍的 k 方减八，觉得算吐了，打个算吐了， 你看到这，你就看你能不能冷冷静静往下算。两边约掉个八，再把两边平方，这应该是二倍根号二 根号下 k 方加一，这边应该是 k 四次方加上二倍的 k 再减一。现在这个方程有几个解？ 这道题问什么？到这得想问题了，试判断 l 的 条数有几个解，就意味着 l 有 几条，这能理解？打个一， 所以这道题就转换为了这个高次方程根的个数问题，所以到这要用导数了，到这圆锥曲线结束解这个方程有几个解是导数问题。 那既然是导数问题，选择什么呀？应该突然想到了，换元嘛。啊，这是 k 方啊，换元吧，所以射谁为 t？ 射根号下 k 方加一等于 t， 换元就要注意什么？ 换元就要注意什么？这是二倍根号二倍的 t， 右边呢？你要知道 t 方呢？ 换元就要注意定域，对吧？ t 方减一等于 k 方的，所以 k 四次方就是 t 方减一再平方再加二倍的 t 方减一再减一。那定域是什么？来，咱们一会再说方程。先说定域 啊，先说定域来看一下啊，注意一下，这道题 k 不是 没有限制，这道题有这样一个要求，叫做屁点在 e 的 下方， 是吧？所以这条直线这个 p 点要比 e 低，说明这条直线 e 点坐标是零负二， f 点坐标二零，说明这条直线斜率 k 要怎么样？发在评论区。 如果你这条直线正好过一点， k 是 等于一的，但你的屁点得比一点低，说明直线要更陡。所以这道题因为这个条件能推出来的是 k 要大于一。你这道题 k 得比一大，这道题 k 得比一大才行。所以呢， k 要大于一。 其实 k 大 于这个 t 就 要大于根号二，这没问题，打个二换元就要换定域， t 要大于根号。现在这个方程咱展开看看吧。就等于 t 的 四次方 减去二倍的 t 方再加一，加上二倍的 t 方减二，减一，再减二倍根号二。 t 这两个消了，这两个也消了，那我就擦掉了，咱省点地没地了 啊。减二倍根号二， t 再减二，这东西等于零，在 t 属于根号二到正无穷上有几个解？ 是不是这个方程的问题？到这就是一个纯粹的导数问题， m 缩小一点没地了， 到这会了，你能做到这，这个导数就不是难点。设它为 f t 求导， f t 撇 t 等于四， t 立方减二倍根号二， 那它显然大于四倍的根号二。立方减二倍根号二是不是大于零啊？它的导数长，这样你 t 比根号二大，肯定比这个大。 所以 f t 单增一个单增的函数，咱们算端点，那 f 根号二带进去，这应该等于四减四，减二等于负二小于零， 然后他又往上增，你再找一大于零不就完了吗？咱随便算一个，比如算个 f 二吧， f 二就等于十六，减去四倍根号二，再减二，是不是大于零？所以这个式子，一个单增的函数，这块小于零，这块大零推出来有唯一 姐，所以这样的 l 就 l 只有一条满分，懂了大哥。 ok， 所以 你看这一满篇纸，两页纸，不是一满篇啊，这是捣差角，这捣完差角再代入就是最后多六分， 这六分要还是不要？你看这六分要还是不要啊？所以这道题我觉得不适合出在第十八题，这道题适合在二卷考十九 啊，这道题还是很难的啊。但这道题其实你说他的能力呢，就是在基本能力和基本模型上计算量加大， 所以这道题放在二卷里，作为一个圆锥曲线。最后小结合了一下导数的问题，作为高考二卷的压轴，十九难度是正合适的。作为一卷十八题有点难了。 所以我说这份卷子里有些题比较刻意，指的就是这道题。这道题为了圆锥曲线结合导数设计，这个数有点太难算了啊。所以你去看高考题，虽然我们说高考十八题挺难的，但你看看二四年的十八题 啊，二卷就不用看，二卷简单嘛，一卷二四年的十八题啊，那道倒数问题横成理，其实他也没有这么复杂。然后二二五年一卷的那个十八题是圆锥曲线，那题就是一个动点轨迹，求完轨迹，求一个点到椭圆的距离，更简单 啊。所以这道题，我们说这题其实怎么讲呢？叫做如果你的目标不是一百三十五以上，这道题呢？拿十一分走人吧。 如果你的高考目标一百三十五以上，这道题得会，如果你的目标考一百三，一百二十五，你都满意，这道题拿十一分走人。第一问，第二问加第三问的回答，回答就是这个，你把这六写了两分 啊。所以请你把听完这道题之后，这道题你在接下来的高三复习里奔多少分去学，打在评论区。如果是这道题，你对自己的目标分数多少分打起来？ 我先说十九题啊，十九题是这个样子的。 这十九题，如果你的目标，我们说高考目标啊，因为 t 八的卷子比高考卷难啊。我再说一遍， t 八卷子比高考卷难，所以呢， t 八的分数其实应该是比高考分数要低的啊。高考目标，如果你的目标是一百四十加，你这道题呢？要会第二问， 二三问都要会一下。如果你的目标是一百四十减，也就是你的目标是九十也好啊，或者好啊，给给你个分段吧，如果你的目标分数是九十 到一百四之间，你第一问拿四分，如果你的目标是九十减，那这道题第一问都不用会 啊。懂了，打个 ok。 你 只要目标在九十分以上或一百分以上，低问还是要会的。那低问真的不难啊，高考里也是高考十九题的低问，三四分是能拿的。我们先来看，对于所有同学来讲，低问怎么回事？上面给了个高斯函数， 高次数就一个新定义，函数吗？不超过他的最大整数。人家说了，一点二取整是一，一点二底下的第一个整数负一点三取整要比一点三小，不超过一点三的最大整数，那就是负二。那我再问一下啊，二取整等于多少？ 发在评论区，二取证，零取证，负一取证，这都是自己啊，因为不超过它的整数就是它本身嘛。好吧啊，这个我们先保证这个熟悉，那现在我们要算 f x 值，先看第一问，如果 i 等于四， 那先说 f x 是 什么？ f x 是 cos 二倍的， cos 四除以四，也就等于二分之 cos 四，我们想算它的取整，就得知道它大概是多少。那四是个数啊。那请问四大概约等于几派？ 四约等于几派？四是不是差也等于一点？三派没问题，打个一你得用派写啊。所以我们就知道四应该是介于派小于四，小于二分之三派的， 所以 cos 四就是介于什么呢？介于负一和零之间的， 因为你四比比一百八十度大，比二百七十度小，你想单位圆，你四是在第三项线的，那它的余弦是不是在负一和零之间？那这个的范围就属于负四分之一到零， 因为你 cos 四在派到二分之三派嘛，那你 cos 四就在负一到零之间。哎，那所以呢？ f 四取整就等于 cos 四除以二？不好意思，不，不，写错了，这是负二 啊，这除以二啊。除以二，我想除以四了。除以二，这等于除以二。负二分之一到零啊。负二分之一到零，那它取整就是比这个小的那个整数，所以是不是也等于负一啊？ 这个对了，打个对了，你觉得这个难吗？觉得难打难，觉得不难打不难。两分，我觉得这两分可能比前一问回答都好。拿 正式课讲做题方法当然讲啊，可以可以，试听，可以，有体验课试听加小助理就行啊。 为什么四？听说四吗？听说 i 等于四的时候让算 f i 值，那所以我算 f 四吗？ i 等于四是 f 四是它吗？对吧？好，再来， i 等于五的时候， f 五就等于二倍的 cosine 五 是吧？除以五，那咱算算 cos 五吧，五大概是多少？五大概约等于一点七派派是三嘛？一点七派，所以呢，五就介于 什么呢？哎，就介于二分之三派小于五，小于二派， 二派是六点多，二分之三派呢，是四点五左右，所以呢，这个算出来就意味着 cosine 五应该介于它是第四象限啊， 五在第四象限，那 cosine 五就介于零和一之间，那这个东西就属于什么呀？就属于零到五分之二之间， 这能算出来打杠，那零到五分之二之间，所以取整呢？ f 五取整，那就等于，哎，二倍的 cosine 五除以五取整，零到五分之二不超过它的最大整数，就等于零两分。 各位看一看啊，这两分，这两分加起来，第一问四分，上一题最后这么多，这么多计算，加上这么多计算，六分，哪个值 啊？这个就是跟各位讲，就是十八题。有的时候对于程度好的同学也是，有的时候你把第二问做完，第三问写了一些步骤，当你发现极难算的时候，时间又剩十来分钟，时间不多的时候，你宁可先把最后一题的第一问写了，他可能比你硬算十八题的最后一步要更直一些 啊，所以这四分儿可以难啊。这样的话呢，咱们最后两问一会儿最后讲，然后对于我这块先总结一下，啊 啊，后两问，我们这这这问讲完了，第一问讲完了，后两问我们一会讲。所以呢，如果你的目标分数不是一百四十，加后两问，一会你可以不用听啊，我一会会讲完，如果你程度很好，你的目标一百三十五，一百四以上，就想听后两问的，我一会给各位讲完啊，如果你想考一百四以上，是吧，能给你讲最后两道题，老师也不多 啊，那我就一会给你讲完，你就熬会夜多听一会啊。但这我先给各位总结一下啊。对于其他同学来讲，这份试卷我们完整讲完，你有没有发现，其实解答题好像 该丢的分确实很难，但不该丢的分是比较容易的。于是，那这份 t 八给各位再次做个总结，你可以截下来。那这份 t 八卷子考完之后，没考同学可以回去自己做啊。我对他的评价是，什么呢？他有好的地方啊，好的地方就是 解答题出的还是不错的。当然，十八题的最后一问有点过分了啊。如果十八题最后一问没有那么复杂啊，带个尾答或者稍微算一算就出来了，这份卷子的解答题将是非常完美的解答题啊。所以，我给大家建议就是这份卷子呢，嗯， 你不用完整做完，或者你要考了的话，你要看看选择题，你做完之后自己的心态有没有稳下来。如果你真的想回去挑一些题练，我的建议是，这些题一定好好做一做。 如果程度好的话，做十九，程度没有那么高，就不做十九，但十一、十四、十六、十七是值得做的。那这份试卷呢？呃，秉承了 t 八的一贯风格 啊。 t 八的一贯风格就是为了难而难，为了新而新。这份卷子呢啊，为了难而难，为了新而新的情况稍微比以前好了一点点啊。然后呢，很多题目是为了过度追求出彩，以至于偏离性。高考主要体现在单选上， 单选五六七八单看都很好，单选第五题，单选第六题，第七题，第八题单看都还可以，但是把它放在一张卷子上 就太拥挤了，我这么说能明白吗？你单放在单独，比如你五六七八，我就把第五题和第六题作为某张卷子的后两道，挺好的，但你五六七八四道题挤到一张卷子的选择里，这就有点过难了啊。所以呢，选择题的部分，简单题太少， 包括十和十一，第十题出的也不错，十一题出的也不错，但是十和十一放在一张卷子上，难度密度过高了。如果把第九题不变， 第十题出一个简单点的函数，然后十一题保持原样，这会是一个非常像高考的卷子。或者说第十题出简单点，把现在的第十题放上第十一题也可以，但是十和十一出两个有点像双压轴啊。然后解答题呢，属于正常啊，填空里属于正常。 然后呢？所以选填我的建议是，复杂题过多，不是很友好。所以这份卷子如果论考场状态呢？选填会很搞心态 啊，备考心态来打一个备考了，对吧？啊，基本上就是你要真考场做，做完选择，十一道题基本上就吐了，尤其是中等生，会很难受。好学生还好，因为好学生他这种难题做多了，他能顶住压力。中等生做这道题呢，是最难受的。 你程度很弱也无妨，因为程度很弱，本来你觉得不会做就正常，你就挑能做的拿那份也还算正常。但中等生做这份卷子的选择会特别难受，但解答题部分整体不错。我建议是没有做这份卷子的同学，拿到这份卷子之后，单独做解答题部分 啊，你可以给自己限时一小时，因为选填一小时是比较多的，那解答题你应该挣至少能剩一个小时，对吧？你给自己限时一小时做解答题，不要求拿满分，要求的是我给你算的那多少分来着？ 第一道题十三分，第二道题十五分，第三道题十五分，第四道题十九至十一分， 第四道题四分，你看看，这应该是四十三，加上十一是五十四，这五十八分，这五十六至五十八，你能不能一个小时拿下来？如果能， 五十六至五十八分，能不能拿下？能，你的解答题就没有大问题。懂了，打个懂了，这是我给各位同学的建议 啊，高二没学完不说，高三的同学回去把这份卷子不看选填，就做解答，一个小时的时间，看看能不能争取拿到五十六到五十八分。 如果可以就行了，因为解答题前三道四十分钟做完，后两道题你只做第一问，第二问加上最后一题的第一问，一个小时是能搞定的啊。所以你这么一算，就这份卷子，你想上个一百一还好，但想上一百三很难啊。 啊，所以呢，这份卷子我认为最好题是第十七题啊，因为确实十七题出的太规矩了。好了，来，那最后呢？来，想听哪个？想听啊 啊，这个难度比较高啊，直接给各位讲完好吧，但这道题啊，你争论它的难度啊，本题的难度来，我认为这个此题 的难度 低于。低于什么呢？低于二零二四一卷十九， 高于二零二四二零二五的二卷十九。 啊，大概是这么样一个情况，然后呢，呃，其实呢，也略低于， 我会觉得他略也略低于二零二五的一卷十九，我是这么看的 啊，我认为，再说一遍，我认为这道十九题的难度肯定显然低于二四年十九，略低于二五年十九，高于二卷二四二五的十九啊。那么来看看这题怎么做这题的这一问啊， 其实这个提示是有的人看着老师这提示好难，怎么四点一，三点九，怎么回事？咱算算看啊。首先，这个式子 你可能不太会出例，对吧？这式子你不知道该咋做，但咱先学学看啊。先学学看。首先呢，我们先尝试第一问，我先试一试例比，先尝试，这是草稿啊， 因为解答压轴题你不可能上来就做啊，所以我们就先想想 x 一 等于五，那 x 二是什么呀？ 哎， x 二你一算等于什么？这个 g 五， g 五我是算过的呀，对吧？ g 五还记得吧， g 五不就是等于叫什么来的？叫二倍的 cosine 五除以五是吧，它是不是属于什么来着 啊？不对，不是 g 五啊，写错了，是，是这个啊，咱这么算啊，不好意思， x 二应该等于啊， g 五，也就是根号下五十减根号十 这样一个东西，但这样一个东西，你发现它不好算，等于什么？五倍根号二减根号十，然后你发现就没法往后算了，于是你直接算这个尝试失败，后边没法算了。但见到这个式子，有没有特别能想到另外一个处理？建俩根号，有一种固定的处理模式 叫做分母啊，分子有理化，能想到吗？ 叫做分子油理化。所以 g x 你 可以想到它等于四十除以根号下 x 加四十五， 加上根号加 i 减，那加四数，这没问题，打个一就。你第一步就是见到根号，你肯定先直接尝试，但直接尝试根号减，根号不好搞，搞不出来，那搞不出来我就不这么做了。那我换个式子，看它能不能变形呢？它变形变成这个样子，我立马发现它是一个单减的， 我立马发现它是单减的，我单调性就有了啊，这个是根号加减根号。我们在算什么的时候有讲过，在 高一刚开始学直域和高三总复习，复习通用基础根式型直域的时候，应该你可以复习到它双根号，直域的时候有可能直接平方，也有可能分子有理化得到它。那既然单减，我就会发现一个事，叫做 x 一， 如果 x 一 变大，或者叫 x 一 大，那 x 二等于 g， x 一 是不是就变小？因为你单减 x 一 大，你 g x 一 是不是就越小？ 这没问题，打高我们先定性分析， x 一 越大， g x 越小，那你就 x 二越小， x 二越小，那 x 三等于 g， x 二是不是反而越大？ 同理，那 x 四等于 g， x 三是不就越小？所以它是一个，你发现它就是一个 x 越大， x 二越小， x 越大， x 越小，它是这样一个有点像波动的这种感觉。那如果 x 一 变小呢？ 那你 x 二反而变大， x 三反而变小， x 四反而变大，这个过程，这能理解，打个三，这是非常重要的突破口。 再说一遍，这其实不是函数，这是一个迭代。数列啊，这个数列是一个数列的迭代，跟函数有关的迭代。 跟这个有关的课程我们是在哪讲的？高三二轮精英班有讲。什么叫通向型数列放松， 这是数列放松的最难一类，叫通向型。数列放松 不是求和型，是通向型。于是你发现，就是前一向越大，后一向会变小，后一向变小，在下一向变变大，所以它是一种隔向大小大小大小大小波动的这样的状态。 这也能理解，打个三，这个非常重要，你只有想到这个才能意识到，哎，我的 x 一 是五，那 x 二，我要看看它是什么，那人家给了，对吧？那你再看这提示就有用了。 于是你想到，那我就看看，提示， x 一 等于五，所以 x 二等于 g 五，那它是大于三点九的，没问题吧？那 x 三呢？ s 三等于 g x 二， x 二大于三点九，这个函数单减，它是不是就小于 g 三点九？证明你打四，这，这是最重要的。如果你能把这个想到这题就做出来了。 来，再看一遍。我想到大小波动，于是我想到，那 x 一 是五，那 x 二是大于三点九，那 x 三是 g x 二比三点九大，那 g x 二就比 g 三点九小，因为 g 是 单减， 对吧？那 g 三点九是什么呀？ g 三点九小于四点一，哎，小于四点一，于是再往下，那 x 四就等于 g x 三，这是单减的。 x 三小于四点一， x 三小于四点一，那它就大于 g 四点一。 g 四点一，什么呢？来， g 四点一，又大于三点九，大于三点九，你发现没？循环了，那 x 五呢？就等于 g x 四单减，那 x 四大于三点九，它就小于 g 三点九， 又小于四点一。发现循环了，第一个数是五，第二个数大于三点九，因为它大于三点九。下一个数就小于 g 三点九，就小于 g 四点一，就大于 g 四点一，就大于三点九，就小于 g 三点九。小于四点一，再大于 g 四点一，再大于三点九， 就说明这个数列第一项是五，然后波动波动，波动，波动在三点九和四点一之间波动， 看懂了吗？哎，你说这道题有多难吗？挺难的，但是你这种尝试就叫什么？有没有人经常听我讲叫做探索型思维，我觉得这道题为什么出的很漂亮呢？这道题真的是符合高考要求的亚洲十九了。 探索性思维，这是高考指导文件里明文指出，新高考命题着就是引导培养探索性创新型思维品质。这道题没有走套路，我就是，其实也不是啊，就是这个式子 到这步有点看你的做题经验，但一旦做到这步，单减你就想到，哎，单减就是一大一小，一大一小，所以你一试通过辅助条件就找到了这个范围， 那这题基本就能做了，因为你发现这个数一会是三点九，一会是四点一，一会三点九，一会四点一。那我们多说一步，如果你取整呢？ 五取整是五，然后三点九取整是三，四点一取整是四，三点九取整是三，四点一取整是四 啊，当然，这啊，不用不用啊，这，这说反了啊，想多了，想成最后一个了，说错了，不好意思，这个 f x 一 啊，那你现在知道这些是三点九跟四点一之间了，那你 f x i 是 不是就是介于 f 三点九和 f 四点一之间， 那这个范围是不是很小了？ 这范围是不是很小了？那它取整 十，问，你就猜它是个常数了，懂了，大哥。 ok， 这题做完了，这题这一小问就出来了，这叫探索型思维，所以咱们来回来完成这件事 啊，对吧？你，你 x 二在三点九、四点一、三点九之间交替这 x i 吗？那你 f x i 就 在 f 三点九跟 f 四点一之间交替啊，那这个数你就好估计了吗？啊？因为我们第一问，你看第一问，我们估计了什么？我们估计了 f 四， 也估计了 f 五，现在让你估计 f 三点九跟 f 四点一，那跟第一问就一样了。好来，曹丕有了。有了这些过程，我们在卷子上直接写来卷子 第二问的第一小问，首先先写 g x， 办到这卷呢，等于四十除以根号下 x 加四十五，加根号下 x 加五，所以它在 r 上或者不应该叫 r， 就 在这个，反正你定域是负五到中无穷，在定域上 是单减的，这没问题，打个一写在这上了。所以啊，因为 x 一 等于五，所以 x 二 等于 g 五。根据题目条件，大于三点九，那 x 三 等于 g x 二，因为单减就小于 g 三点九小于四点一， x 四等于 g， x 三 大于 g 三，四点一。把这个写过来，大于三点九， x 五等于 g x 四小于 g， 三点九，小于四点一，以此类推。 所以啊，任意 x 或叫任意 n 大 于等于二，都有，什么都有， x n 属于三点九到四点一之间，这没问题，打个二， 你就写省略，这卷子上就这么写，因为阅卷标准有写叫做可不用数学规范法，可不用数规证明。如果你听这文，你肯定是会数学规范法的。 这道题的答案里特意在评分细则里写了一句，叫做不用数学规范法证明，不扣分，你可以用省略号写， 懂了，打懂了，你看，这写着呢，以此规律，在这就写好，念一下，叫可得这个数介于这俩之间，以此规律啊，可不用，就不用数学向量法证明不扣分。但这时候你发现，算到这还不够 啊，算到这还不够，你下一件事就是他一会大，一会小，一会大，一会小，那么算一下这个数呗。 来算下这个数，那首先基于既然 x n 介于这个范围之内，我们来算一下 f x 或者 f 四前边算过，应该等于什么呢？等于二倍的 cosine 四除以四， 对吧？那它应该是约等于多少的？那咱就这么想，如果 x n 介于四点一和三点九之间， 那必有 x n 是 不是一定小于二分之三？ pi 大 于谁呢？大于 pi， 这没问题，打个四，你三点九到四点一之间，你肯定在这个范围里啊， 这门位打个四肯定在这范围里，那既然你在这个范围里，所以，那你扣三 x n 就 要小于谁啊？就要小于零，大于负一， 是吧？记这个数，那你扣三 x n， 我 看 f i 什么来着 啊？除以 x 乘以二 二倍的 cos x n 除以 x n， 因为你的 x n 是 三点九到四，所以这个数一定是小于零的，那它也一定大于。因为你乘个二，除了一个比二大的数，所以它一定也大于负一， 这没问题，打个五，因为你这个 x n 是 三点九到四点一之间，你乘个二，除一个，它等于除的更多了，那这个数比负一要大，那你乘了个二，比负二要大，再除个三点九到四点一，肯定比负一大 啊，肯定有这个结果， 对吧？那所以这括号 n 大 于等于二十， 那于是呢？ f x n 取整就等于二倍的 cos， x n 除以 x n 取整等于负一， n 大 于等于二十， 是不是你就证出来了？叫 n 比二大的时候，由于 x n 在 三点九到四点一这个很小的范围里，所以它的 f x n 取整是一个常数负一。那又因为 n 等于一十， f x 一 取整就等于 f 五取整。那前面算过，这玩意得零啊。第一问算的。所以呢，这道题让你求 c 个吗？ f x i 取整 就等于什么呢？一个数就是零， n 等于一十， n 大 于等于二十呢？你这个数列第一个是零，后头全是负一，负一，负一负一， 如果你这是负一，就是负 n， 他 再加一就是一减，这道题到这多少分就搞定了， 也还好啊这些。第二问是，如果你想上一百四，你争取把第二问做下来。我觉得你试一试，只要你发现这组叫做这个数在三点九、四点一、三点九、四点一之间徘徊，我觉得很容易想出这一串曲角是零，负一，负一，负一，全是负一啊。这题第二问就做出来了。 好啊，那我们来看第三问，我先看下第二问到这多少分了？ 第二问到这应该是多少分？十分。第一问四分，这问六分，这问七分。所以你坐到这十分已经到手， 觉得满满意的打个满意。十七题十分到手。呃，十九题十分到手。好，来，我们接下来讲讲最后这个最后这问 好。最后这问依然是我们要试一试，他现在要求的是，我们现在已经发现一个事了，叫我们还是尝试啊。 还记得我的 x 一 x 二， x 三， x 四， x 五、 x 六是什么呢？是五，然后大于三点九，小于四点一。大于三点九小于四点一吗？记得的，还记得 啊，大于三点九小于四点一，大于三点九小于四点一啊，那你发现这里边只有上下线，是不是？我们其实心里明白，他大于三点九的时候，应该是小于四点一的，应该介于三点九跟四点一之间， 这个应该介于三点九跟四点一之间，我们大小徘徊，而且你知道这个地方他一定是偏小的，这一定是偏大的，这能想到哪个能 这能想到就我们只证明了第二个数比三点九大，但并没有说明他比四点一小，但我心里明白，他肯定比四点一小，然后第三个数我说明他比四点一大，但他肯定也比三点，他比四点一小，但他肯定比三点九大。而且其实我心里知道， 就是我画一坐标轴吧，就是第一个数上限是五，这是五，然后这是四点一，这三点九， 这三点九，这是四点一。你知道第一个数在这，第二个数是比三点九大，所以第二个数可以在阴影区域的任何位置。理论上来讲，第三个数要比四点一小，理论是在这个位置的， 然后这个数是在这个范围里，这数在这个范围里。所以如果你非要找别扭，可不可能存在一种情况叫第二个数在这，第三个数在这，他有没有可能这个数列是这么波动的呢？ 你如果从第二问证明出的结果来讲是有可能的，但是你但凡稍微想一想，脑子转一转，你也知道他肯定不是这个意思，他肯定是在这个里，他肯定的范围是这个在这个里边，这个在这里边大小交替，他肯定是这样一种交替方式，他肯定是这个样子的。 这个我觉得是自然能能想到的，你不会觉得，哎，这个数它在这个范围里，它真的还比四点一大，不会的，而且它不光不比四点一大，其实你应该能想到的一定是 x 二小于 x 三， x 三大于 x 四，然后小于 x 五大于 x 六，一定能明白这些 是大的，然后这些是小的，可以打个可以。就你想做出最后一问这点直觉得有这行吧。 啊，这可以打个可以，如果你这个有，那你下一步就得证明他怎么证明？他这时能不能想到中间有个分界线是四， 你三点九，四点一，中间跨着一个整数四，这个整数四你得试试他有什么特殊性，因为地问可算过 f 四。那如果你发现这个，你试一下，你发现 g 四 不是等于什么呀？你看这不等于四十，还记得吗？等于根号除以 x 加四十五，再加上 x 加五，记得吧？你有没有发现 g 四，这是四十九，这是根号九，正好能把根号打开。 发现了，打个发现了。这道题最后一问突破口是，你要发现 f 四这个分界线是一个特殊的值，它正好等于什么呢？正好等于四十九除以七加三等于四， g 四等于四，它是个不动点，它是 g x 等于 x 的 不动点。 这道题背景是 g x 这个函数四是个不动点。 哎，发现了，你发现这个最最后一题能做出来没？发现这题没记，但我觉得这应该比较好发现，因为三点九，四点三点九，四点一，三点四点一波动，而且上一位还算了 f 四，然后这问你再想想这个整数，你试一试，盯一盯，你就发现四的时候俩正好能把根号打开，一试，发现这个如果你想到这个点， 那我现在的问题就是，我得把这式子变成什么呢？我得把这式子变成， 我得证明 x 一 是等于五的 x 二，我得证明它介于三点九到四之间。 x 三证明它是介于四到四点一， x 四介于四点就是三点九到四 x 五证明四到四点一，这能理解。打个三，你下一步得把第二问加强，你第二问只证明他跟三点九跟四点一的关系，我接下来我得加强证明第二个数。哎，这些数在这，这些数在这，我绝对，我绝对有这个目的， 我绝对有这个目的，你想想行不行啊？这个你觉得能完成，打个可以， 那如果这个能完成，我们再来就想想怎么证明这件事了。既然涉及到它的不动点，你是要构造叫做 h x 等于 x 减 g x 这个函数了， 这个函数 i 等于四为零点，没问题，打个四，因为你都想到这不动点了 啊。然后那你是不是就得找这个函数不动点你就得做差吗？那这个四就是它的零点，然后得说明 h 三点九怎么样， h 四点一怎么样你才能分出来啊？于是呢，这道题我就可以开始试着写过程了， 来，试着写一下， 咱看啊，那我这就构造新的函数，设 h x 等于 x 减 g x， 也就是 x 减根号， x 加四十五加上根号，那你构造新函数，这又是一个导数题，你会干嘛？ 会求倒吗？肯定要求吧，这等于一加，减去二倍的根号下， x 加四十五分之一，再加上二倍的根号下 x 加五分之一，他一定大于零。这个式子怎么判断的？ 因为你的 x 是 大于三的，因为你，你现在选的 x 都介于三点九跟四点一之间，你的 x 就 你的 x 是 大于三点九的呀， 没问题吧？你 a 大 于三点九这个式子，这这这个东西，它肯定大于 这，这肯定大于二倍。根号四十五啊，它肯定大于十二啊，那大于十二，这个式子是很小的，它肯定小于十二分之一。一减这个玩意加这玩意是不是显得大于零？没问题，打个 ok， 就 这个大于零是很显然的，你一定是单调， 这个很好挣。那现在他既然单增，于是你就推断出什么了，叫做 h 三点九小于 h 四是等于零的，小于 h 四点一， 这没问题，打个一，你用单增可以得到这个式子， 是吧？那好，咱们现在写一写吧，来写写看啊。首先呢，我要写 h x， 你 看，这是这个关系啊，于是你用这个式子就可以证明。什么呢？ 我看一下啊， 你用这个式子可以证明，这样叫做 g x n 大于小于 x n， 完全由什么？由 x n 大 于小于四决定，这没问题，打高 就如果这个自变量大于四，那因为你这个关系啊，你自变量大于四，它就大于零，所以，若什么呢？若 x n 大 于四， 那 h x n 就 等于 x n 减 g x n， 它就大于零，所以 x n 就 大于 x n 加一也就等于 g x n， 所以 如果 x n 大 于四，下一项就小于它，然后小于四就大于它啊，这样就可以证出来你的东西是加减交替的， 这没问题。打个三，这是用不动点，你可以说明它加减交替， 但反过来你发现你现在要求的并不光是加减交替。我们现在要求的叫做什么呢？我既 这个要求的叫做什么呢？叫做 sigma。 x i 等于 s n， 可以 吧？现在要求的是 x 一 加 x 二加点点点加到 x n 的 取整，也就是 x n 的 取整， 这没问题。打个四，我要求这个，那其实你关键要考虑的是，这是五，这是四点一，三点九，四点一， 这个东西比四小的这部分，跟他比四大的这部分能不能抵消掉？就是他到底比四小的多，还是他比四大的多，这能听懂？打个五，这他是三点九几，这四点零几，你这俩加起来到底是平均数，是比四大还是比四小，你得证明那个事。 那你能不能想到这两两应该是一组啊？想到了一个三点九几，一个四点一几，永远这样的， 他不是三点四，他是三点九几，四点一几比四，小比四，大比四，这两两应该是一组吧，你一组应该给他看跟八比，到底是大于八，小于八，你就好知道这一串求和求下来到底是五，加上多少倍的八多一点还是少一点， 这能想到吗？当你发现证明出这个事之后，那你下一步就是得发现这个规律了，那你发现这个规律怎么办？当你想到你要两两分组的时候， 想到你五三点九，四点一，三点九，四点一，你要两两分组的时候，那就要想到这个是 x n， 这是 g x n， 你 要两两分组，你要算的就是这个函数， 没问题，打个六，所以这道题你就得接下来就得设这个函数了。 f x， 当然你 h s 用过了，你就设 f x 等于 x 加 g x， 也就是 x 加上，根号下 x 加四，十五减根号下 x 加五，它显然也能证明单增，这个证明就略了，可以打个七，求个档。跟刚才那一样，这是 x 加二分之，根号分之一减二倍根号分之一这个东西，这是一， 这个东西显然小于零，肯定单增啊，这就整完了啊，那它既然单增，你发现 斐四等于几？斐四等于四加七加三啊。四加七减三等于八， 所以弱 x 属于三点九到四，或弱 x 小 于四，斐 x n 就小于八。若 x n 大 于四， f x n 就 大于八，而 f x n 是 什么？ f x n 是 x n 加 x n 加一。 懂了，打个八，看明白了吗？ 叫做如果 x n 是 他，那你翻 x n 不 就是他加他吗？这是 x n， 这是 x n 加一啊。所以你发现，如果这个项是一个小于四的项，那两项和就小于八，第一个项是大于四项，两项和就大于八， 那来，所以我就可以写了，来，咱算一算啊。所以，那你就知道这应该分基有列， 因为你第一个数，如果你这么组，它就小于八，小于八，因为你第一个数小于四，整体就小于八嘛。你这么组就小于八，那你这么组前面有个单边的五，所以，那你可以怎么办？你这么想啊，单边有个五，那你的 s 二 n 加一来看， s 二 n 加一 就等于五，加上什么 x 三加 x 四， x 加 x 五 加点，点点一直加到 x 二 n 加 x 二， n 加一， 而这个就等于五加什么？加上 f x 二，加上 f x 四，加点点点，加到 f 二 n， x 二 n， 然后因为这些偶数都是什么呀？你前面正出来了，你前面已经正出来了，叫做 x 二 n， 这个偶数项都是属于三点九到四的， 所以这个东西应该是小于五加上八加八加点点点加八，这能明白？打个二，也就是五加上八 n， 它是小于五加八的，对吧？那，那再怎么样，我再这么一组， s 二 n 加一，我这么组呢？如果这样叫 x 一 加 x 二一组，然后再加上什么呢？再加 x 二加 x 三一， x 三加 s， 我 这样组， 这样组一直加这点加到 x 二 n 减一，加 x 二 n， 最后于一个尾项加上 x 二 n 加一，那这个东西就是 f x 一 加上 f x 二，呃， f x 三，再加这点加到 f 二， x 二 n 减一，再加 x 二 n 加一，那这个东西它是大于八的呀， 那它就大于八加八，加点点点，一直加八，这个数多少？这数是那基数项，基数项它是介于前面正过 x 二 n 加一，是属于四到四点一的。 基数项呢？基数项是那大的，偶数项是那小的，那没写错吧？介于四到四点一的，所以它应该大于 这个介于四到四点一，咱们变小就加四，所以它应该大于八 n 加四。这懂了，大家懂了，我把上面缩小， 所以你就发现 s 二 n 加一是介于八 n 加五和八 n 加四之间的，现在会了吗？所以取整 s 二 n 加一，取整就等于八 n 加四。 会了，打个 ok， 但这没完，这是奇数项。同理，你再做一遍偶数项， 那你想 s 二 n 等于 x 一 加 x 二加点点点点，一直加 x 二 n 减一加 x 二 n， 怎么分组？是不是两两分组会了，打个会了。 两两分组等于 f x 一 加 f x， 三加点点加 f， 二 n 减一， x 二 n 减一 f 是 什么？ f 是 大于八的吧，所以大于八 n， 然后呢，那 s 二 n 还等于 x 一 不动 x 二 x 三分组，这么分组， 最后再分组，再加上 x 二 n， 他 是要小于，这是五加上八加上八，加上八加点点点。最后一项是介于什么呢？是介于三点九到四之间的，所以这再加上四，所以这等于什么呢？等于八 n 加一，于是 你就推出了，所以呢， s 二 n 就 介于八 n 加一到八 n 加一，于是你就推出了。所以呢， s 二 n 就 介于八 n 加一到八 n 之间，那 s 二 n 取整 属于等于八 n， 二 n 加一，取点是八 n 加四，二 n 取点是八 n， 所以 对于任意的 n 属于 n 星， s n 取整都等于四 n， sn 取整都等于四 n。 当然括号这个 n 得大于等于二啊，因为第一项是单独的， n 大 于二出来都是四 n， 所以 最后答案 sn 取整等于五，这是 n 等于一十 等于四， n 是 n 大 于二十。会了，大哥会了，满分啊！所以你看这道题，其实它的关键点在于你能不能发现三点九，四点一的循环，给他两两分组， 如果你知道这点，哎，我的波动多退少赌不退少，两两一组正好，一个比四多点，一比四小点，我俩加起来，看看你多的跟少的加起来怎么样？然后这个题，你如果真的在尝试的时候意识到了他这个函数是这条线是四，他是波动的话，那你应该知道我的波动一定是越波动越小，是一个衰减函数， 这可以想到答案可以，他一定是越波动越小，所以如果这两个加他一定小于八， 这两加也一定是小于八，因为你底下这个大，上面波动会越波越小。但如果反过来，你这两个加他就一定大于八，因为这个大的多，这个拨回来的小，这两个加就一定大于八。所以其实这道题就是当你知道它是大小波动之后，想到这个函数图像，就是一个 阻尼震动衰减的图像之后，你看看能不能想到三点九、四点一，两两组合，你只要想到两两组合，哎，这样一试，你试出一个来，马上就能把这题补全啊，这个就是满分。

同学们，这张是 t 八年考，按道理来说唐老师应该写全卷的，不过唐老师在考试拿到卷子的时候呢，就把整张试卷的解析呢全部都给写好了，但是后来考试一结束，答案就出来了，我这个解析呢都没有用武之地，所以呢，只是和同学们就说一下好了。这个一到十七题唐老师都做对了， 然后十八和十九的话，咱们现在开始花四十五分钟做一下，那么我们最后的分数怎么计算呢？咱们以十一百五减去十八和十九扣的分，然后再扣两分作为咱们 t 八年考最后的分数。那么话不多说，咱们现在开始计时。

高考数学幺四九做 t 八联考压轴题要多久？ 第二问，感觉题干已经不是暗示，是明示了。开始第三问，视频后面会给大家细讲， 如果你也喜欢刚刚这种答题速度的话，下面我们就一起来看一下，考场上一道题怎么能够快速获得思路，写出答案。首先，我们在考试做题的时候，一定要注意一个细节， 不要上来就直接去想这道题怎么算，答案是啥。如果你只是看这道题，想这道题，你的思路就会局限在这个里面，但我们应该做的是什么呢？发散 到外面，你却想这道题和你之前学过的哪些模型，哪些题型是相关的，是可以直接进行套用的。比如这道题，它就是竖列里的不动点， 形象一点的话呢？蛛网图，我怎么想到的呢？就是读题的时候，我看到了 x n 加一等于 g x n a 这个形式， 而且这个 g 它的表达式里边是没有 n 的， 与 n 无关的，这种情况下就是注网图或是不动点的适用条件啊。那我自然就想到这道题不动点是什么呀？我看 他告诉我， g 五在三点九， g 三点九，四点一， g 四点一啊，大于三点九基本上就属于明示我了。 s 等于四的时候，这函数值是什么呀？一算根号四十九，减根号九，正好是四，所以它的不动点就是四 四。有同学经常问，哎呦，我怎么能想到我要求这个 g 四的值，它是四啊，我想不到啊，就是因为你没有进行发散，你在考场上现想出来一个题型怎么做，可能性几乎为零。但如果你考前就知道 有这个题型，那你就看这道题它的适用条件是否满足之前你学习题型的那个适用条件。哎，你看这道题正好满足不动点，那我自然就想到要求这个 g 四了。那我们在这里直接一起复习一下不动点和蛛网图啊。 x n 加一等于 g x n， 这个 g x 长什么样呢？我可以先画一下求导，发现导函数是小于零的，函数单调递减，而且呢，当这个 x 趋于无穷的时候，函数值基本趋均于零吧，所以这函数图像怎么画呢？这样画，这是 g x 大 概的模样。 网图是啥？再画一个 y 等于 x， 它正是由于有 x n 加一，也就是我的下一项和上一项之间的关系，是一个函数关系，所以我就能够在图像上进行表示了。这道题告诉我了， x 一 等于五，对不对？在这呢， x 一 等于五， 我为了让大家看得清楚，所以我画的远了一些，这是 x 一， 那 x 二是不是 g x 一？ g x 一 在这吧，哎，这是 x 二。好了，那 x 三呢，就是 g x 二。 g x 二怎么表示呢？画过来，这是 x 二吧， 因为这条线是 y 等于 x 呀，也就是说，你把每一个函数点都向 x 轴 y 轴进行投影，与 y 等于 x 的 交点， 这里是 x 二，我再找上去，这就是 g x 二吧，也就是 x 三。下面 x 四就等于 g x 三，再投，这就是 x 三啊，所以这个点就是 x 三， g x 三，也就是 x 四。 哎，划到这，我基本上已经得到这个蛛网图了吧，蜘蛛网一样的，无限的去逼近于中间的不动点四四，这就是蛛网图。 其实看到这，这道题的思路已经完成了，下面就只是纯去计算了，就比较简单了，我们可以来快速看一下。首先第一问问你 x 等于四， x 等于五的时候， f x 这个中括号边是什么？一个向下取整的值带进来 符号看象限一下，因为这里面直接是数吗？ pi 等于三点一四二， pi 是 六点二八二分之三， pi 四点七一。 那我发现四啊，它在三点一四和四点七一之间，也就是在第三项线，所以 cos 四呢，是大于负一小于零的前面，再乘以个二分之一呢，依然大于负一小于零，所以它向下取整就是负一。同样道理， cos 五啊，五在四点七一和六点二八中间， 所以 cos 值就是大于零小于一的。那 f 五呢，也是大于零小于一的，因为前面乘以的是一个五分之二，所以 f 五向下取整就是零。 第一问完毕，看第二问，求 f x 向下取整之后的和，那么我就得看先向下取整每一项大概是多少。第一项是 x 一 等于五，上一问已经求了，函数值是零 x 二 等于 g x 一。 咱们在主网图上已经画了，这是 g x 一， 也就是 x 二。题里告诉我大于三点九的，那我还得知道一个上限，根据这个织网图，我知道 它就是四了，因为它要靠近这个不动点嘛。 g 四等于四，而且还求了导，由于五是大于四的，删掉递减函数， g 五就小于 g 四就小于四，所以说 g 五就在三点九和四之间，也就是 x 二在三点九和四之间， 还是在第三项线， f 函数值一取还是负一，那同理啊，接下来我再算 x 三等于 g x 二 x 二，上一问算完了，在三点九和四之间， 所以我的这个函数值呢，就在 g 四和 g 三点九之间。单调递减函数嘛，也就是在四和四点一之间，这是题里给我的已知条件，还是在第三项线向下取正还是负一？既然一直算偶数项都是在三点九和四之间的， 积数项都是在四和四点一之间的，那无论如何呢，它就是在四的左右两边摇摆，还都在第三项线，是吧？ 那我这个竖列每一项都是负一周和，太简单了，一减 n， 第二问完事。好，我们再看第三问，也就是第二问的第二小问求和之后，再向下取整。我就看这个竖列求和它的一些上下线呗，把它逼近出来呗。 因为我从蛛网图里已经看到了，大家都是无限接近四的，只不过一个比四大，一个比四小，这俩加一起和八之间有什么关系呢？这就是咱们经常用的一种方法。在竖列求和的时候呢，你可以两两一组，给它分组这一项和下一项的和 x n 加 x n 加一，它和八之间的关系。 x n 加一是啥？是不是就是 g x n 啊？所以我就得到了一个新的函数， 设 five x 等于 x 加 g x。 我 对这个 five x 求导，发现它导数是大于零的，也就是单调递增的。由于上一问我已经求出来了偶数相小于四，基数相大于四， 单调递增函数。那么函数值呢？一个小于八，一个大于八。我们看这个图， x 二加 x 三，这两项加是小于四的哎，像 x 一 加 x 二，基数项出发的，哎，这两三加就是大于四的，从图里可以说是一目了然，那下面我就可以进行求和了。 sn 我 给他两两配对一下，最后一项的这个项数是基数还是偶数呢？我就在分类讨论一下。假设最后一项是偶数， n 等于二 k 的 时候， sn 他 可以等于两两相加一下。 基数项的函数值都是大于八的啊，一共是 k 项，所以大于八 k， n 对 二 k 带进来，他就大于四 n 只有大于四 n， 和第二问一样，我还定不了他的下限是什么，我还得看一下上限是什么。 所以呢，我再利用一下，偶数项小于八，那就得从 far x 二开始了。那前面这个 x 一 别漏掉，后面呢？还有一个 x 二 k 别漏掉， x 一 等于五 x 二 k 本身是小于四的，中间这一大堆 k 减一项，每一项都是小于八的。最后一算，把 n 的 二 k 带进来，它又是小于四 n 加一的 大于四 n 小 于四 n 加一，那向下取整呢？就是四 n， 同样道理，基数最后一项求和也一样， 也是在四 n 和四 n 加一之间的，所以最后它的表达式去向下取整的话，等于四 n。 别忘了，第一项特殊等于五，这道题就做完了。所以我们回看一下这道题，即使是压轴题，他也不可能去考你一些新思路新方法， 我们在破题的时候不用自己去想这些什么新技巧新解法，你想不出来的，咱们就去结合题干。已知条件，我学过哪些题型是能够匹配上这道题的，自然就有解法了，直接可以快速写出答案。

t 八联考的含金量不用算老师多说，每年选政治的孩子，不管你是全国各地哪个地区的，我都是要求你们这套试卷一定要仔仔细细的研读一下，因为它可以说是每年高考的黄金风向标。那么在前天，也就是二零二五年的十二月二十五号啊，刚刚考完的二六届的这个 t 八联考呢，我看到很多同学反映这次的试卷难度感觉比较高， 尤其是在政治大题这块，出现了非常多一些活学活用的题目，大家会发现自己经常背的一些高频的知识点啊，什么我们的这个新型消费啊，高质量发展啊等等的，是直接出现在材料当中的，就用不着大家去默写的，所以很多同学面对这些试卷的时候呢，是一个字也写不上去。 这个其实也是我们现在高考的一个大势所趋，就是它会更加考察大家能不能够放在真实且具体的情境当中去灵活调动你的这个知识。如果你对于经济大题也是无从下手的话呢，那么今天孙老师这一个视频，就用我课上万能八法当中的 专门针对于经济解读类大题的逻辑推导这个方法，手把手的带着你去解读关于今年 t 八联考的这道经济的十分大题，通过这个方法也让大家知道现在高考政治在经济大题的考试的趋势，以及我们的应对办法。 首先啊，逻辑推导呢，对于经济大题来讲，我们分成三步啊，那第一步呢，就是面对一道大题，我们先去找涉问啊，涉问当中呢，大家要带这个目的就是你要去找涉问里面的起点和终点，什么叫起点？什么叫终点啊？我们简单来说，终点就是 你必须要达到的目标，也就是在这道题当中，我要实现的这个目的是什么？我举一个简单的例子啊，比如我给大家一个问题，请结合材料分析一下 孙老师是如何通过节食实现减肥目标的。那我经常会举这个例子，大家会知道在本个问题当中，我要实现的最终目标是什么？就是减肥，所以在这阵语境里边，那减肥就是我这个问题的终点。了解完终点之后，我们再来看什么叫起点，那起点呢？就是我为了要实现或者说达到这个目标， 我已经做过的事情，所以已经做的事情就是起点。还是放在我们刚刚例子里面，如果说减肥是咱们的目标是终点的话，我为了减肥做了什么呢？通过节食啊，所以在这个问题当中，节食就是我们要找到的起点。 为什么让大家先在一道生问当中去找起点和终点啊？他主要解决的问题就是会有很多同学反馈，老师，我的材料题为什么写了很多却一分不得？其实这百分之八十的第一分经济大题，大家都会犯的错误就是你的知识是 玻璃材料的，那就大家可以去看一看你有没有这个问题，把这个设问和问题一盖住，你就去看你的答题卡，恨不得都不知道你这答题卡他到底在回答的是什么问题。那这都是因为你没有去就题论题，所以逻辑推导的第一步，我们先在起点当中，或者先在设问当中， 起点终点去固定到，就类似于给你的答案设置了一个框架，你后边咱们所有的思考，所有的作答都是在这个框架当中的，以免出现跑题和脱离材料的这个问题。这是第一步，那么我们现在就用 t 八的这道题来检测一下，你能不能够在一道设问当中快速的找到起点和终点啊。我们来看 t 八联考今年的这个第十七题，材料都不用看， 先看社问，社问这一句话我给大家放在这，帮我迅速的找一下起点和终点是什么？让你结合材料运用经济社会的知识，这都无用，信息不用管。那说明数字消费如何成为支撑经济高质量发展的重要引擎？相对比较简单的来，先帮我找一下我们的终点吧，最重要达到的目的是什么？ 支撑经济的高质量发展？好，那他就是我们本道题当中我们要找的这个终点。那第二个起点呢？我们为了达到经济的高质量发展做了什么事呢？起点是谁？ 数字发展非常好啊，从数字发展开始推，一直推到我们最终的目的，经济的高质量发展。那这样，关于提八这道题，你的整个答题的框架先立在这里，那这是我们逻辑推到的第一步，也是极其重要的一步。 那讲完第一步，我们再说第二步啊，第二步其实更简单，干嘛呢？第一个啊，认不认识句号？分号、省略号，这恨不得咱幼儿园语文学的第二个会不会概括断义啊？小学语文学的内容。那第二步其实你就需要做这两步啊，就是第一个，你先在整个材料当中把我锁定有效信息，然后去数句子， 找分号，看在有效信息这块一共有几句话，然后我都不用你去概括断义，你去逐句给我概括句义就行，所以我们逻辑推导。第二步呢，就是材料当中逐句概括，这孙老师插一嘴啊，给大家两个小诀窍，就是第一个，很多同学会觉得现在的经济大题非常长，比如今年提八这道题，很多同学就反馈说老师 题改忒长了，这好几百字读不明白，我们可以做一个减法啊，教给大家一个小诀窍，一般啊，在材料题当中第一次出现你找的起点和终点的位置，往后的内容就是它的有效信息。我们 以提八这道题为例啊，你看它整个第一段都是我们非常熟悉的咱们的起点和终点，那数字消费，咱刚刚找的起点，支撑经济高质量发展的重要引擎，咱找的重点， 所以在整个第一段往后，也就是第二段才是咱们真正有效信心的内容啊。所以在这我需要咱们屏幕前的各位宝贝跟着我一块来做一下，帮孙老师数数整个第二段，他一共有几句话叫句号、分号或者说省略号都行啊。来，首先第一句话，到新范市长啊，第二句话， 市场潜力为指，第三句话，我们能看到的是全链条生产效率的提升，第四句话，新活力， 第五句话，一直到数字化共享。为什么我要求大家你们在考场上也是像孙老师似的，你把每一句话向边标一个圈，一圈二，圈三、圈四呢？这样给大家也是一个小秘诀，一般我们在答经济大题的时候，它这段材料一共有几句话， 往往也就对应着他最后在给分的时候，他会要求你读出几个角度，他会给到你多少个角度分数。所以你像提八这道题来讲的话，他一共是给了我们五句话，你看他最后参考答案，也是让我们分成五个角度去答啊。就先把通篇的材料，你先给他拆解，由这个成篇的内容给我拆解成一句一句话。然 第二步干嘛呢？概括句意啊，这为了方便咱们大家去看，我给大家呢先给他标注出来五句话，我用不同颜色给大家标注出来每一句话。现在大家跟着孙老师一起，你来概括一下这句话他主要强调的内容是什么？那在概括句意这块，我对大家提两个要求，第一个，具体 不要概括的太过于抽象，换句话说，这不要怕出现材料的时候才能够就题论题。第二个， 精简不要太笼长，因为我们答题时间有限，你的答题卡大小也是有限的，那这个抄材料写的太多的话，你后边的知识点没地写，那这就很难得分了啊。那在概括句语这块，如果有些宝贝真的吃力的话，我再教你们一个小诀窍，什么呢？聚焦关键词， 你就在他这一句话当中，你就去看哪些是孙老师让你背过的，你背过知识点的，你非常眼熟的关键词，你把它们给我提溜出来啊，在你去概括的时候，把它们给我突出，这概括的就基本没问题。 举个例子啊，比如第一句话，孙老师用绿颜色的笔标注出来的这句话，从新一代信息技术一直到什么创造新范式，那在这句话当中，你去看哪些是我们的老朋友？我们在课堂上孙老师反复强调的，你背过很多知识点的一下，大家应该就能发现，第一个技术， 第二个创新，第三个动力，是不是我们的老三要来了？科技创新啊，动力技术，我们的老朋友了。所以你在概括这句话的时候，你就把这几个关键词给我突出，所以我们来概括第一句话，它主要讲的什么呢？那简单来说，数字消费促进信息技术的 创新运用啊，我把创新这个点突出就行了。后边每句话都是一样的，比如咱们的第二句话，我们画橙颜色的这句话啊，数字消费从商品交易向体验服务的延伸催生出来，吧啦吧啦，很多，你也就去看我们的老朋友，我们哪些是咱们在课上讲过比较多的，哎，有些人说，老师， 我认识这三个新哎，新业态、新模式、新场景，我知道他们仨，我还知道什么市场消费，这也是您让我背过的。行，那你就把这些关键词给我突出就行了。所以第二句话，我们在概括的时候没那么难啊，你不用写出非常高大上的内容。第二句话，你看宋老师概括的，数字消费催生新业态，释放消费潜力 啊，就我们的那些老朋友，你把他们概括出来就行了。第三句话，蓝颜色的这行也是一样，数字消费通过激活数据要素，什么重构这种传统组合出来就行了。第三句话，蓝颜色的这一行也是一样，数字消费通过会有些同学比较泛滥，说，宋老师，完了， 我读这句话的时候，我基本没怎么看到我们熟悉的一些朋友啊，什么数据啊，这个传统要素什么的，如果你基础知识相对差点啊，你说老师，我真想不起来这是关于生产要素的怎么办？你就把它适当的摘抄一下，原句也行啊。 水平好一点的同学说，老师，我记得数据是我们在生产要素学的，那你给我总结成数字消费，重构传统生产要素知识点出来的。你说老师，我水平差点，我想不起来生产要素怎么办？你就不写生产要素四个字， 你给我改成原文也行吧，数据要素，什么技术、资本等新要素的传统要素的组合，大不了就咱多写几个字的事，大家都放心大胆的去写。第四、第五句话我就不带大家一个看了。所以整个第二步来讲的话，就是在我们整个拆解材料的基础之上，每句话你在对材料进行一个概括。 那这一步，第二步能给大家解决的这个痛点是什么呢？就是说很多同学跟我反映，老师，材料读不懂啊，经济大题感觉字数又多，内容又多，我大题一个字写不上去，我感觉背了很多知识点，我不知道该什么东西往上去写。那在做第二步的时候，其实也是让咱们各位同学，你有一个有简啊到难的这样一个过程，我们先从最简单的开始， 脑海里边知识一锅粥的时候，我们就先聚焦看看他材料写的是什么内容。所以哪怕是基础再差的同学，你的经济大题也不能给我交白卷啊，因为一直到这一步为止，还不需要你真的网上写什么很难很高大上的知识点呢。我们先把题目给它吃透，然后再做完这几步之后，我们再来到第三步， 把它第一步、第二步，其实我们已经把整个答题的框架勾肩起来了，这道题整个的答题思路已经有了，我给大家放大这个答题思路就是什么， 从起点、数字消费，我们要一步步的推到最后的终点，经济的高质量发展。然后呢，我们刚刚从材料当中筛选出来的，这叫小起点，就是具体的起点，也就接下来我们要做的就是把这五点五句话对应的五个小起点吧， 每一个小起点，咱一步步的推，让他一直能够推到经济高质量发展为止。这也就是咱们的第三步，从起点推导到终点。这道题来讲的话，他一个要点一个要点带着你去分析，你会发现他没你想的那么难， 在这怎么推啊？有些同学老犯难，说老师，为什么我在推的时候，我老师老师不给我分呢？那是因为你在推导的时候，大家要注意两个要点，第一步步推导不跳步啊，你别说老师 科技的创新应用，下一步直接就去答，推动经济高质量发展，没了起点，直接到终点，中间一点东西没有。中间这块要写的我们叫逻辑链啊，这逻辑链是非常重要的， 这个链条是用来干嘛的呢？是用来吃知识分数的，我们要把知识给它答明确，所以我会给大家一个一二三原则。什么原则呢？ 豪首起见，每一条逻辑链，比如圈一，一直推到终点，这都是一条逻辑链。这一条逻辑链当中你至少要包括两个知识点啊， 去硬指标，去要求自己，也就是在推的时候，你至少给我写出来三个接头，这样才算是把这个逻辑链给它写饱满了。我们举个例子一块来看一下啊。咱们就先说绿色的这一行，第一句话啊，新一代信息技术的什么集群式突破，然后一直到创造新范式， 那刚刚我们总结完了啊，它的起点就是数字消费，促进信息技术的创新应用。好，那这个创新应用完了之后，它下一步带来的直接影响是什么？ 那这块大家有知识导向的这个意识啥意思呢？就是你看，先想一想这块 a 能不能和你背过的哪些知识点结合在一块， 在这你一下你就看到创新了。创新，咱们每一个学政治的孩子，你最后我都邀请你们肚子里边，你至少得给我背出五句创新常用的得分要点，是吧？关于创新，咱们能想到什么知识点？ 创新驱动发展战略可以进行创新驱动发展战略啊，还有什么？我们创新的新发展理念可以推动我们心智生产力的发展，也可以促进科技的自立自强。也可以就关于创新，先把知识点让给他突出。你比如在第一个推导的时候，通过这种创新的技术应用，我能够怎么样呢？那我先写 创新驱动发展的战略。建行创新驱动发展的战略我简写了啊，那通过这样一个创新驱动发展的战略，我再往后去推，能够达到什么？有了新的这个动力之后，这是不是也能够培育我们的 新制生产力？想我们常让大家积累的关于创新今年考的比较多的这些知识点，这不就用上了吗？啊？你说新制生产力都出现了，这能不能就推到经济的高质量发展啊？ 可以啊，三个箭头出现了啊，一个箭头，两个箭头，三个箭头，至少有两大知识点出现了，一个创新驱动发展一个新质生产力， 这个链条我们就打完了，那我给大家把语言咱们写完整，那就是这样的一个推导链，先从创新应用推到渐行创新驱动发展的战略，然后通过渐行这个战略培育新质生产力，最终为高质量发展提供动力支持。因为在新发展理念当中，咱们说了创新，它是经济发展的新动力，就是一个完整的逻辑量， 这条逻辑点你摆到我们的这个试卷上，给你两到三分，绝对没有任何问题，那这第一点我们就答完了，不难吧？啊？所以这这一步，第三步，为什么让大家有在这个推导过程当中有这样的一二三原则啊？有些同学经常是完美错过得分点，感觉写了很多，怎么偏偏就是答题卡或者最后得分点当中没有出现的？ 其实就是你在推导的时候，你转了向了啊，你要顺着咱们的这个终点一步步去推，这样能让我们踩到这道答题基本上所有的得分要点。这是第一个练习，然后我们再来看一共五个起点的吗？我们再来看第二个起点，那第二个起点是什么呢？数字消费从商品交易向体验服务的延展。然后刚刚我们给他总结完的是什么？ 数字消费催动啊？或者催生新业态，释放消费潜力带来的，紧接着下一步的这个影响是什么？ 会有同学说，老师，这我想不到怎么办？你把它拆解成大白话，那这种比较严谨、比较高级的话，会局限住你的思维，你就把它拆解成你听得懂的话。什么叫新业态？ 什么叫催生新业态？看材料、商品效交易，什么体验服务延展？你不管怎么说，交易商品也好，体验服务也好，这是不是都从生产者来讲的？所以我们讲的什么新业态、新模式、新产品，这对应的是生产吧？ 然后从生产又跟你说释放消费，这对呢？是消费吧？关于生产和消费，我们这学没学过知识点，知识导向，那个意识要出来，这是啥？让我们的生产更加的去服务于我们的消费，这能想到啥？供给侧 结构性改革，对吗？我简写，通过推动我们的供给侧结构性改革，让他去满足多样化的市场需求，通过供给侧结构群改革， 满足多样化的这样一个市场需求，满足了市场需求了，扩大有效供给了，你想买的东西我们市场当中都有了，这样能够怎么样？刺激消费可以，扩大内需也可以， 你想写哪个都行，把消费这个点再给我突出出来啊。那通过这样一个刺激消费，我们怎么从消费过度到咱们终点的高质量发展呢？最后这个桥梁再给我补上。消费和经济的发展有什么样的关系？通过扩大内需刺激消费，比如我们这可以写在推动我们产业的 转型升级，通过产业的转型升级，再进而助力我们经济的高质量发展，再到经济的高质量发展就可以了 啊，这就是一个完整的逻辑链。我把大家这个话给大家写完整，我们来看看啊，刚刚咱推出来的这个逻辑链，放大一些，通过啊起点推到的新业态释放消费潜力啊，进而推到以供给侧结构性改革满足多样化的市场需求。 共需匹配了之后，第一个能够扩大内需，第二个也能够推动生产的转型升级，进而助力高质量发展的一个根基啊，非常严谨，步步推倒，逻辑很通畅，这是我们的第二条逻辑链啊。来，再来看第三个逻辑链， 能跟上啊。第三个逻辑链，蓝色字体这一块的，从数字消费、激活数据要素的成熟效应，一直到什么全面条生产效率的提升，这个就是本道题当中我们讲的具有区分度的。这个分数什么意思？ 大白话来讲，就一般一点的孩子们平时不是那么努力用功的，基础不是很扎实的孩子，这个分就很难得了，为什么？因为这个知识点是我们教材当中没有的，但是我在课上我是反反复复跟我的孩子们强调过的，这一看到什么传统要素资源的组合方式的一个优化， 通过各种的这样一个技术啊，创新带来的这种复合型增长动能，最后还和生产效率搭在一起了，这能够想到什么知识点呀？全要素生产率 对吧？这个是我们今年我再次强调啊，我们十五五规划也是反反复复在强调的，二零二六届的高考试卷上，你一定能够看到他孙老师今年全程班课上我是专门录到的全要素生产率，而且今年我在写咱们十二月今年这个试题调研啊，这个我在编写的时候，我是专门把全要素生产率给大家拎出来， 在实体店当中也是专门有给大家单独录了两节课去说一说，包括我自己的直播课上，我也是反反复复在强调这个知识点的，所以如果你对它还比较陌生的话，一定要通过这一道题对它重视起来啊。所以像在这道题当中说重构我们的这个传统生产要素，其实就是在以科技创新助力我们全要素生产率的这样一个提升。 在投入不变的情况下啊，通过一些技术创新的一个加成，让我的产出增加，生产效率的一个提升，那它全要从生产队的提升，你如果了解它的含义，它能够带来的直接影响什么？效率的提升嘛，是吧？ 不光是提升生产效率，更重要的是还能够提升我们的生产质量啊。效率和质量的提升，那效率和质量都提升了，这能不能过渡到我们的 高质量发展呀？没问题吗？高质量，高质量，你这质量提升都出来了，直接过渡到终点就行了啊。所以你的第三条逻辑链，我们可以往卷子上写的，就是从重构传统生产要素，到以科技创新助力全要素生产率的提升，再到啊提升生产的效率与质量，最终到终点经济的高质量发展。 答完了第三条逻辑链啊。来，再看第四条逻辑链。第四条逻辑链说数字消费正在消除地理禀赋差异导致的吧啦吧啦很多啊，以及说激发传统市场的活力 这道题呢，会稍微有一点点难，有一点门槛，因为你发现，哎，在整个的这个材料当中，我好像没怎么找到知识点，我想不太出来知识点怎么办？孩子们，你们到考试的时候，哪怕是高考也会遇到这种情况。老师，这个具体情景下我想不到知识， 我该怎么办？这个时候不用去硬想，咱们就就提论题，那他问的就是说，从这个丰富我们的消费体验，最终怎么能够实现经济的高质量发展？我们把它内在这个逻辑给他说清楚就行了啊。大家想这种丰富消费体验，他能够怎么样 啊？之前来讲的话是你去消费场景比较单一是吧？那现在的话了不得了，什么文化长短、名人故居、地标景区，哎呀，各种各样新的一种消费形式啊，你这种沉浸式的感官体验服务，你愿不愿花钱买这个门票去？愿意啊， 对吧？所以通过这种消费体验的丰富能够怎么样？以消费形式的多变和创新，我们把这词给他整漂亮点，其实就是花样心，我愿意花钱了，让我花，爱花钱了叫做什么？ 激活消费市场的实力，突出消费是吧？那消费市场有活力的，这和经济的高质量发展有什么关系？哎，需要你搭个桥，把消费和高质量发展的关系说清楚，这叫什么？充分发挥消费对于经济的基础性作用，发挥完消费的这个基础性作用之后，哎， 我们把消费和经济的发展搭上一个桥了，那现在消费被激活起来了，那经济的发展是不是也有一个推动力的？那这条逻辑上就写完了 啊，完整的表述，大家来看一下。通过数字消费丰富消费体验这个起点，往后推消费形式的创新，激发消费市场的活力，进而发挥消费对经济的基础性作用，最后到终点推动经济的高质量发展。很严谨饱满的一条逻辑的 啊，这第四条咱们答完了，来最后第五句话啊，紫色的这一句话，这个比较难，很多同学没读懂啊，老师这说啥呢？矿区域医保、就业，民生教育、养老啊，什么远程医疗服务？ 大家做经济题最怕的两个，一个是养老问题，一个是医疗问题，是吧？这说啥呢？孩子们，孙老师那句话，如果通篇材料你读不懂的情况下，你就去找你认识的那些，那这道题你能看见谁？民生啊？ 是啊，其实医疗也好，养老也好，他往往就是会包括就业啊，都是在暗示你，我这答的就是民生相关的这个知识，所以咱在这道题当中，我们把民生给它答清楚就行，我就给大家把这个答案直接亮出来。我们来看一下这条逻辑链啊，比如起点上 通过消费满足多领域的民生需求，那满足这些民生需求什么样的一个好处呢？看他怎么满足的。这直接咱们从材料当中捡着现成的呗，他都告诉我们了啊，怎么满足的？第一个提升服务率，第二个实现各种资源的共享，那咱们就给他总结一下子，是不是第一个他说的推动的这种 提高的这种服务率吗？那我们改成提升了你的服务质量啊。第二个他说到了什么各种资源共享，那我们就写公共资源能够全民共享， 总结了一下材料，就这材料给了现成的，我们把它变成自己的东西，是吧？那这种民生服务质量全民共享带来的是什么？社会的公平正义啊？就一达民生，大家要形成一个条件反射，先从社会的公平正义去想，进而保障社会的公平正义。 那这些都体现了最主要的经济当中，我们看到民生必答，以人民为中心这条逻辑链最核心最亮眼的一点，就你一定要打出人民这个点来啊，进而推动经济的高质量发展，经济的高质量发展也需要人民的这样一个价值导向吧。那第五条逻辑链咱们就打完了， 难吗？孩子们啊，这样你就会发现其实一整个大题看着挺热闹的啊，叭叭叭的材料写的很多，感觉我们要写的知识点很多，我们就给它进行一个拆解。那拆解完了之后，大家接下来再把我们刚刚推完的这五条逻辑链写到你答题卡上就完事了。这样我特别提醒大家一点啊，就我们前面写的箭头，你在考场上你别给我写箭头， 一定要给我改成逗号圈，一圈二圈三分点作答。这样子大家可以来对比一下我们的这版答案，和他现在今年提八点考公开的这版参考答案和评分细则相比，你们来对比看看咱这道题十分的分数，咱能不能拿到满分 啊？所有在参考答案当中，咱们这一版答案当中能够覆盖到参考答案的，我都用黄色的笔给你标注出来了， 你会发现，其实我们这把答案跟参考答案相比，我们还要更饱满，我们还要更严谨，我们整个推导的，你会发现它会更详细。这个就是孩子们，你们到了考场上， 你们哪怕没有孙老师在旁边，你自己按照逻辑推导这三步的方法，你能自己推导写出来的一份满分的答案。而且逻辑推导这个方法，为什么我要求大家拿 t 八的这一道题，你在听完孙老师讲解之后，自己去写一写，写完了之后可以把作业交在评论区，让我检查看一下啊，这道题值得大家关注啊，我不觉得它难， 相反我很喜欢这道题，我觉得这道题是非常典型，值得大家好好练习的。为啥啊？因为通过逻辑推导这个方法，我们拆解完这道题之后，你不光这道题咱们能得到满分，更重要的是， 以这道题为例，我们能够得到五条逻辑链，这五条逻辑链是非常重要的，就刚刚咱们推出来的啊，从我们的这个数字消费一步步推到高质量发展，这每一条逻辑链都很值钱，都 都很值得大家好好地去积累理解。因为大家都知道 t 八今年的题考的是新型消费，叉是起点，然后推到的是高质量发展。我们要知道今年十五五规划特别提到的是什么，还是在大力提振消费。我们也知道必修二那本书最核心的一个经济的落脚点是哪？就是经济的高质量发展。 所以提八这道题，我觉得比起去讨论这道题，它到底有多难啊？到底简不简单？更重要的是这道题背后的它考到的是咱们必修二很重要的一个知识要点，以及我们在当下很重要的一个经济的实证核心，把它们俩组合在一块，这是很重要的。所以通过逻辑推导，我们得到那五条逻辑，让你们好好对待 下一次再做题的时候，甭管是月考、周考、期末考，你真把算二的方法你吃透了，你就会发现，只要你见到的下一道题，你甭管材料怎么换，甭管问题怎么换，只要我们拆解完第一步，你发现设问的起点、终点对得上，比如起点问的还是消费，终点问的还是我们的这个高质量发展。这些逻辑点你都可以去写， 远的不说，咱们就说二零二四年安徽高考，他当时考的是什么？是一个旅游消费对经济的回声向好。其实经济回声向好跟高质量发展也没什么区别，那其实起点和终点也基本一致，你会发现很多的一些知识点都是大家非常眼熟的，都是共同的，这些逻辑点在以后的每次考试当中还能帮你得到分。 我觉得这是 t 八这道题，我们今天要对它我讲的这么详细，让大家去练习，很重要的一点，那这就是今天孙老师的这样一个讲解啊，也期待大家呢配合着我这个这道题讲的比较详细，期待大家呢配合着我的这个视频讲解，自己也去动手写一写 t 八这道题，通 过这道题去练习一下逻辑推导这个方法，到时候可以把你的作业拍照交在评论区，期待大家的反馈。

这个写法是绝对要不得，对吧？写 c， 这就是自杀式写。我们请大家看看这个作文的题目，通过作文题目，最终再来感受一下整个 t 八联考命题的 水准。他给了两个选择嘛，一个是保留顶崖，维持顶端优势。一个是合理修剪顶崖，解除侧崖抑制，然后更加饱满。现在他是给了 ab 两个角度啊。请问 你的写法是啥？先写 a 还是写 b， 还是写 a 加 b 还是写 c？ 如果你听过咱一轮复习的讲解，如果你听过我们任何一次灯塔计划的答疑，你都会明确的知道，这个写法是绝对要不得，对吧？写 c， 这就是自杀式写作。 c 就 相当于什么呢？ 就是相当于你直接把这个树枝拦腰剪断，拦腰剪断我就可以让别的枝丫生活的好一些哈，生长的棒一些。你这不就是自杀式写作吗？这肯定不要啊。然后 a 加 b， 不要写 a 加 b， 写 a 加 b 有 点相当于什么呢？你面对的这棵植物，你是又给他合理修剪顶芽，你又给他保留顶芽，我就请问你，在现实中你怎么做的到呢？ 你在现实中这种情况他就不成立，你在考场上他的策略更不成立。你总共八百字，又要写 a 对， 又要写 b 对， 又要写什么时候选 a 或选 b， 你 这个论数就显得非常的笼统。而高考作文的一等作文评分标准要求什么？中心明确，利益突出，你这么写就不明确，也不可能突出那么好。这个时候选 a 还是选 b， 从逻辑上我认为都可以啊，写 a 也有成立的地方，写 b 也有成立，言之成理都可得高分。但是 如果你听完我们春季的讲解，你会有一个新的思路，就是人家让你谈当今青年的成长，你不能只谈当今青年的成长，你还要谈谈什么呢？我们这个时代的成长，个人与时代看。看到这个角度，这题目既跟自我认知有关，又要 个人与时代的结合。各位朋友，你觉得我们这个国家的发展的方式是什么？是合理修剪顶芽，让它的形态更丰富，还是维持顶端优势茁壮成长？我们这个国家的发展策略 a 还是 b？ 你 怎么写？很好选 a， 就是 要保持顶端优势。你说中国文化的发展到合理修剪顶芽，让下面的不断的这个更加饱满，还是要有一个像黑神话悟空这样的 哪吒闹海这样的突出出来呢？你绝对是，哎呦，因为你大国竞争，你就必须得有一个突出优势。你说简单点，为什么我们要发展核武器，你说我们手榴弹多造点不行吗？虽然教员曾经讲过，你用你的原子弹，我用我的手榴弹，那咱说这句话是因为咱能造出原子弹来，你没造出原子弹，你说这话就搞笑了吧？ 因此大国间的竞争，你就是要顶端优势。我们可以写中国发展的逻辑，肯定是谁，肯定是维持顶端优势。文化上我们找到自己的顶端，经济上找到自己的顶端，建高铁，我们全世界最长高铁，那绝对是维持顶端优势。你不可能说我们高铁维持的慢一点，让下面绿皮火车也发展发展，没必要了。 所以朋友们，你看到这个题目，听到杨老师的讲解，你才能够明白你作文怎么格局。打开，你一定要知道咱讲的那个作文主题啊，叫个人与时代。你马上是要通过这一次考试和写作，向阅卷老师证明，哥们至少得上个人大吧？ 结果你写的这个作，你在这写 c 呢，对吧？老师直接把一个 c 给你，你应该写 f 是 吧？肯定不合理。所以同学们，这时候你再想，你由此再往个人的维度想。同学 我请问你在面对高考的时候，你是要让自己更饱满还是顶端优势？我想让语文和数学都均衡发展。你不是想让语文数学均衡发展，你是想让语文数学都获得顶端优势，是吧？这大家肯定不会说，老师，我语文不能考一百四， 我想别的学科也都考的多一点，没必要这么想啊，是吧？你肯定十七万，我所有学科都一百四。你打开思路，你会发现你个人同学在面对这张高考试卷的时候，你的高考的复习的策略是什么？是解除侧压抑制，让植入形态更饱满吗？还是 维持顶端优势，让主干挺拔着壮？那肯定是挺拔着壮吧，我觉得选 b 的 肯定也有写的很好的，就是言之城里都可以得高分，但是 你写这个角度，会让你的事业和格局更大，你会更容易更轻松的把我们课上给你讲的内容都用上，这才是最重要的。你比如杨老师给你讲了个人与时代，中国的文化怎么发展，经济怎么发展，外交怎么发展，我们就是要取得全面的定断优势。哎，你上了考场，你直接写这段就完事了。

我刚刚结束的提拔联考，今年的这个题我觉得是中规中矩，还是我们平常备考范围内的知识，如果你学的比较扎实，一直跟着我去学，其实这些东西我都讲过。先每道题点评一下，好，来我们看。第一道题当然是比较弱智的，第二道题也比较弱智，只是有一个小技巧， 我觉得大家应该知道啊。第三道题考的是基本不等式啊，也是相对来说比较弱智啊，换理公式。第三道题考的是三角形，法则、重心这些基本概念课本上都有啊，也是比较基础的。 第五道题考的是老掉牙的东西，一个是当中既有 a、 n 有 s n 就 狂算就可以了，应该你在一轮复习都应该复习过。第六道题，教材原题啊， 我们新华教材也讲了第七道题，几乎是我们讲硬伤原题吧，考的是双曲线和圆，这个地方大家要重视，因为我们现在高考基本上都是椭圆啊，双曲线啊，后线啊圆啊，四个曲线里边可能有两个啊，结合在一起考察，今年也是这样， ok。 然后第八题的话， 我觉得比较简单，这道题就是考你画图像的能力呗，你只要会画图像，这道题轻松拿捏。这道题我觉得是正常难度的题， 高考第八题，这个难度也是可以的。然后第九题，弱智，第十题，哎呦，第十题很多同学没有做出来，原因就在于不会利用 a、 b 选项提供的信息， 就那他自己死做，那肯定不行，选个了自己的名媛。世界上没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的第一问，就说白了， a、 b、 c、 d， 它是层出底劲的， 所以如果你能读出来出题人的意图，这道题还是比较简单的。第十一题啊，立体几何，立体几何的话都是重点，什么球啊，外接球啊，内接球啊。所以说实话，这套试卷考的我认为压轴题难度低了， 如果十一题再上一个大难度，我觉得这套试卷挺好的。压轴题都放简单了，听明白了，前面的题都可以。高考题其实也是那样啊，十二题简单套公式，十三题弱智 这个，这个公式基本上高考必考。然后呢？十四题，这是一道好题，高考考这个难度也是可以。第十五题肯定是比较常规的，考的是解三角形。第十六道题是一个概率题，概率题的话向左向右运动。十七题就间隙吗？立体几何也算是一个比较常规的题。 十八题是圆锥曲线，这道题考的什么什么四点共圆，问题，方法也比较多。十九题相对来说他就难一点，他考了一个高次函数，和取等函数结合在一起呗， 和数列结合在一起呗。所以这确实也是我们高考的重中之重，可能你在备考过程当中没有复习到其他的，我觉得确确实实还是都是比较常规的，你像空间向量，你像是三角函数，你像基本不等式这些知识点，他是我们的重中之重，他和高考题很像，这都是有可能的。 所以他是不是今年高考的方向标？不要去想这个问题，我们就拿来去做一做，把这里边的考点都弄明白，我觉得就足够了。

t 八连考习八题，两种方法加计算技巧，圈一讲俩法，圈二讲个技巧 是吧。这个题确实有计算量。第一问啊，椭圆的左右焦点是 f f 二，那显然 c 取的是二，且椭圆过这个根二根三往里一带，根二一带的话，那就是，哎。二比上 a 方加上三比上 b 方得一， 那显然 c。 哦，这 a 方 b 方得了什么？得了 a 方等于 b 方加 c 方四呗，解 ab 就 可以了。呃，怎么解啊？很好解， 把 a 方换成 b 方加四，那是二比上 b 方加四加上三比上 b 方，得益。 整理一波啊，两边同时乘以他俩的乘积，那就是二， b 方加上三倍的 b 方加四等于几啊？他俩的乘积 b 方 b 方加四，你也可以直接蹬啊。但是我，我说实话，我不建议直接蹬。为什么你也可以到这？你其实能能看出来是几，你猜也能猜出来， a 方 b 方比三大的话，先是四，你是四的话，你就是八，结束了。 但是呀，为什么呀，这样是有风险的。如果这个卷子简单，因为实际算式一定是俩解的，你要舍解的。如果卷子简单的话，这是要扣你分的。好吧，我建议还是算算吧。 二 b 方三， b 方又是五， b 方加一个三四一十二等于几？ b 的 四次方加上四， b 方挪过来， b 的 四次方挪过去减， b 方减十二，得零。因式分解 至 b 的 四方就是 b 方的平方了。把把当一个整体啊，不用不用换元了， b 方减四， b 方加三得零，看懂哪个零 啊？因此呢，得了个 b 方等于四或者负三，舍了，因为你要直接出的话，是没有舍这个步骤的。我建议大家算一下 啊， b 方是四，那 a 方呢？那 a 方等于 b 方加四就是八了，椭圆是 x， 四方比 a 方加上外方比上 b 方等于一。看懂，打个一，我还是希望大家去算一下的，不要能结束结果，除非你保证没有多解。好吧 好，来吧来吧。看第二本的。第一本啊，第二问的，第一问，它是 x， 四方比八加上外方比四得一。 他说呀，过右焦点 f 二的直线跟椭圆交于 ab 两点啊，过右焦点 f 二的直线跟椭圆交于 ab 两点。那好，是 a， 这是 b 啊，那我们设成 x 一 y 一 吧啊 b， 咱们设成 x 二 y 吧，又交点 f 二呢？别忘了坐标它是二零， 然后 a 在 b 上方哦，规定好位置了，要 y 轴交了个屁，屁在 e 的 下方哦，这是个 e 啊，屁的哦，那是个斜立为正的一根直线了。 然后呢， q 关 q 为点， p， 关于原点对胜点哦， p 呀，关于原点对胜，那个 q 没问题。 q b 就 x 等于 r 啊， q b 的 连线就 x 等于 r。 明白了，然后呢？射呢啊？ q p b q b f 二 q a f 二 q， 面积为 s 一 s 二，什么意思？ p b q 啊，这个的面积， 这个的面积为 s 一， 然后呢， b f 二 q 啊，这个的面积为 s 二 a f 二 q， 嗯，这个的面积为 s 三，看懂哪个哦？哎，多亏啊，它这个顺序是给你安排好的啊，不至于搞乱了。 好，圈一给大家讲两法，圈一，同样，若直线 l 的 斜率为二 哦，那 l 呢？是一根已知的直线吧，它过二零且斜率为二的话，那就是 y 等于二倍的 x 减二吧。整理一波又是 y 等于二， x 减四倍。听懂打个一， y 等于二， x 减四是吧？过二连接这边他问你啊，让你求的是 s 一 加上 s 三，比上 s 二加上 s 三 啊，没卡啊，同学们，没卡。那好，这个呢，就有两种翻译方法了。首先，这个呢，就有两种翻译法，一， 我说面积比，我们最常干的事就是降维，翻译成线段比，我说啊，你得先看看，你想降维，你得先看，这些面积呢，得有共同特征，要么底是一样，要么高是一样。我说它们显然高是一样。同意，打个一 对吧。我说蓝色的三角形可以把这个当做底，是的，橙色的可以把这个当做底，红色的把这个当做底。高都是 q 到这根直线的距离。同意，打个六， 高统一的高，统一的都是 q 到这根直线的距离 h， 那 显然啊，那面积的比值就直接翻译成底的比，因为高是一样的嘛，因此呢， s 一 这个蓝色的底就是 b p 了， 加上 s 三，红色这个底啊，就是 a f 二了，哎，就是 a f 二了。那 s 二 s 三呢？ s 二的话啊，是这个橙色的底， s 三呢？红色底是 b f 二加 a f 二，那就是 ab 了呗。同意，打个一 是吧， s 二加 s 三就是这个点，加这个点了呗，啊，就是 s 二这个点， s 三这个点就是 ab 了呗。然后呢，那线段比呢，我们再降维就可以了。 什么意思？哎，我说呀，那怎么降呢？我说降维的话， 哎，首先啊，我这根直线是 y， 等于二 x 减四吧，因此呢，纵截距这个 p 呢， x 得零，它就是负四了啊，一对称 q 就是 四了。那行啊，再降维。那我问你啊， b p 比 ab 是 什么呀？ 你看一下啊， b p 比上 ab 是 不是就是 b p 两个点的坐标差呀， 对吧？ b p 两个点的对不对？ b 的 纵坐标是 y 二， a 的 纵坐标是 y 一， b p 比就是 b p 两个点的纵坐标的差，比上 ab 的 纵差相似嘛。 这 b p 的 纵差是几？是 y 二哦，是 y 二跟这个负四，那就是 y 二加四了，比上 ab 两个点的纵标差 y 一 减 y， 那同理的呢， a f 二比 ab 呢？是 a f 二两个点的纵坐标差哦， a 和 f 二这两个点的纵坐标差就是 y 一 了呗，加上哦 y 一 比，这个看懂哪个一。 因此呀，整理完之后是啥呀？是哎， y 一 y 二，哎，是 y 一 加 y 二加上四，比上 y 一 减 y 二 under 三 d， 哎，就可以去做了，用 y 的 回答去做你或者呢，阿良再给你们讲一个别的办法，再下一个法更重要了。为什么呀？你看好了？我说你看好了， 好， a 的 横坐标 x 一， b 的 横坐标 x 二，如果没法降维怎么办呀？ 那看好了，那，那我好好做。我，哎，这个蓝色的面积 s 一 怎么算？你告诉我 s 一 怎么算呀？哎，这个长度是已知的呀，八呀，八 乘以 b 的 横坐标除以二呀，意思是四 x， 看懂打个一，是不是这个长度？这个长度是八呀，八乘以 b 的 横坐标除以二， 就是四 x 二了。然后呢，但 s 二没法算，但是呢，我 s 一 加 s 二是可算的呀， s 一 加 s 二是这个大蓝色的面积啊，同意，打个六 是吧？是几啊？我底还是八乘以几呢？ f 的 横标二呀，是吧，这个底还是八。 f 的 横标是二呀，除以二八， 那同理的呢， s 一 加 s 二加 s 三呢？哦，是最后这个大红色的面积 是什么呀？是八乘以八乘以 a 的 横的标除以二呀，四 x 一 啊，这是我觉得最万能的方法，这样显然就能解出 s 一， 解出 s 二，解出 s 三了，这比前面的更屌。 因此呢， s 一 算完之后是四 x 二， s 二呢，是这个式子，减这个式子，它减，它是八，减四 x 二， 八减四 x 二， s 三呢，是这个式子减这个式子是它减它四 x 一 减八。你都把三个解出来了，问啥咱都会啊，听懂打个六啊，这比前面的法更高级。这好像就是答案的法，这是我的法， 明白了吧。因此你无论问啥啊，问 s 一， 你比你你你不用，其次我都能给你算出来。同意，打个六，你不用非得面具，面具我都你无论问啥，因为我都解出来了呀， s 一 加 s 三，他加他，那就是四 x 二加上四 x 一 减八， s 二加 s 三他加他，你看，八消了，四 x 减四 x 二，哎，四 x 一 减四 x 二 啊，都约个四的话，答案就是 x 一 减 x 二分之 x 一 加 x 二减二了，按得二三 d 啊。到这的话就直接被答了啊，把这个直线 y 等于二 x 减四， 呃，和这个椭圆啊，椭圆 x 方比八，加上外方比四得一，连理就快了啊。法二想给你们讲的 是吧？那好，连了一波，怎么连呀？两边乘一个八， x 方加上二倍的外方啊。二 x 减四的平方，减八得零， 他方是四 x 方乘二是八 x 方加一是九， x 的 平方，它是减去十六， x 乘以二，减去三十二， x 加几啊，十六乘以二，三十二减三十二，减八是二十四，等于零。 那显然， x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b 九分之三十二，然后呢？ x 别忘了，我算的是 x 一 减 x 二，已经保证是正的了。因为 x 一 大了， 所以呢？哎， x 一 减 x 二直接给大家上技巧了哈。是 a 分 之根号的它 耶。那怎么算呀？你这么算根号都是他根号下 b 方啊。三十二乘以三十二减去四 a c 四九三十六乘以 c 二十四。阿良教过你们怎么算呀。先提 我能不能提个四出来。你来个四，我来个四是吧。咱提个十六嘛。你来个四，我来个四，成八八了六十四，你来个四，我来个四，九六了。五十四减去五十四直接什么呀？四倍根号十了啊，所以是零计算的，一定要会算根号都是他 啊。做完了，做完了，做完了，因此呢，哎，往里一带就是答案了。答案是几啊 啊。分子是两根之合减二，两根之合九分之三十二减二分母是两个人之差。哎，九分之四倍根号十 等于几啊？分子是九分之三十二，减去十八，那就是十四了。分母是九分之四倍根号十，答案就是十四。比上四倍根号十了，没问题吧。 都约个二的话是二倍根号十分之七了都成根号十二十分之七倍根号十。听懂打个一， 其实我一直不赞成应姐的，我跟大家反复强调了，咱只是讲过，但是我真的不赞成。 好吧，听懂打个一。呵呵，三叶草不在是吧。 因为应解啊，你一旦背错，你就完蛋了。完蛋，咱是讲过的，我是我个人是不太推荐 的，是吧，因为你正常算的话，一是踏实，二是你只要掌握我这些很多的计算小技巧，完全不用应解的。高考唯一啊，历史上唯一一个必须要用应解的，就是出的最烂那年二二年 乙卷和相好一卷，其余情况压根用不着应解，你用了反而更慢了，你得先默写出来。好吧，好，接下来最后一问才是帅气的阿良 啊。讲最后一问之前呀，先给大家补充一个假角公式。什么意思呀？啊？也叫什么呀？哎，其实跟倒角公式差不多，我们讲 q 二，先给大家补充一个，我出去。 那好，哎，我，哎，有两根直线了，他的斜率为 k 一， 他的斜率为 k 二，问假角怎么算？ 我说，哦，很简单，假角的正切什么呀？是 a k 一 减 k 二，一加上 k 一 k 二，绝对值 啊，这叫假角公式，然后倒角反而你得你得考虑怎么旋转，你就记这个就可以了。听懂哪个音 怎么记呢？其实不用记，它就是两角差的正切公式。什么意思呀？ 超简单，你看着啊，比如这个斜率为 k 一， 这个斜率为 a 二，然后它的倾斜角为 alf 啊，他的请斜角为阿尔法，然后呢，这个的请斜角为贝塔，简单吧，我说，哦，贪这特谁塔，就是贪这特阿尔法减贝塔呀，做完了 是吧，就是贪这特阿尔法减贪贝塔。哎，两脚叉的计算公式嘛，然后一加上贪尔法贪贝塔。听懂哪个也 太二号呢，就是这个 k 一 的斜率啊，就是这个斜率， k 一 太没了呢，哎， k 二，这个呢，哎，一加上 k 一 k 二，这咱一轮二轮都讲过安德尔斯丹迪，简单吧，你就记住呀，假角的正切就是两角差的直线公式。 为啥加绝对值啊？因为你啊，你有时候他比他要，他要换个位置呀，你包括呢？有时候算完之后是这个补角呀，因为我们规定啊，假角是那个小角，所以呢，加绝对值。听懂打个六啊啊，这带带你们回忆回忆，咱们一轮二轮都见过。 其次呢哇，其次呢，我说呀，四点太依赖二一结论了。 四点共圆怎么翻译啊？这初中学的四点共圆的翻译，常翻译的就是对角互补。你俩一家是个派你俩一家是个派，听懂哪个？ 因为啊啊，那铜壶所对的圆，他的角是他的一半，所以他是他的一半。整个就夜八了吗？好了，这两个一掌握，最后一问直接结束了 好吧。行啊行，他说呀，是否存在一根直线啊，使得 q r f r a 向量共圆存在判断条数判断什么理由？ ok， 他 说了啊， l 已经斜率不是二了，所以是拼好题嘛， 回忆回忆啊，这也是一个过右焦点的直线，但右焦点是二零，那就是 y 等于 k 倍的 x 减二嘛？或者呢，设成 x 等于 m， y 加二，为什么我用它呢？ 你说阿兰你不是说过吗，这个好连累啊，但是你想，我为了方便算，有两个原因，其实都行哈。原因一，用假角公式呀，需要用到斜率就正切。原因二呢？你这个你这么说的话是好解，屁的屁起码不丑呀。屁是几啊？ 纵截距 x 零是负二 k 啊这是，这个是一个负二 k 撇一对称 q 呢，它是二 k， 你 要用 m 就 变成 m 分 之一了。阿良不喜欢分数，听懂打个六，因此啊，这都可以啊，稍作权衡。 哎，假角需要用到这个假角公式要用到斜率 k， 并且呢好算出这两个数也好看，所以我这么说的，都是可以，都是可以的。 好吧，然后嘞，你翻译翻译下，哪四个点公园呀？ q r f 二 a q r f 二 a。 首先，这题肯定你看你不会，怎么你不会怎么做呀？你不会说啊，阿玲，这点公园，比如说我随便取，比如说我取一个 a q f 二， 求出他的外接圆来带入这个 r， 你 肯定不会这么干的，太麻烦了。其次呢，这么做哪难呀？我说，哎，圆锥形里边 a 跟 b 是 对称的，未答有未答 r 是 个什么鬼啊？因此呀， 那我们怎么办呀？我尽可能做圆圈，我找对称的去。 a 跟 b 对 称， a 跟 r 显然不对称。那有人写啊，我既然这么设了，哦，斜斜绿码 k， 四点过圆，对角互补。用哪俩对角呀？用这俩吗？没什么好用的，哪俩用这俩 做完啊，直接，哎，用这两个角互补就可以了。听懂打个一 啊，这个四点共圆，直接来一波对角互补就可以了。为什么呀？你说，哦，如果他俩互补，你别忘他，你这个角跟他还互补呢。这个是 theta， 那 这个呢？也是 theta 结束了。 为啥呀？因为我的贪婪的贼。他是啥呀？贪婪的贼，他就是这根人之间的协力吧。是 k 呀， 那同理呢？哦，这个呢，也是能用夹角公式的呀，为啥呀？正好是两个很对称的东西。哪两个？ q a， 我 设斜率为 k 一， q r 就是 q b 了，我设斜率为 k 二。那显然太棒了，我就缺对称的呢， q a 和 q b 两个非常对称的式子，我一定能搞出尾答来，这个思路明显没问题。对啊，这样就用不着这个 r 了， r 反而是不舒服的。用 a b 两个对称的是肯定有尾答的，做完了 对不对？假角公式 tan 等于几啊？两角差的正弦公式也是 k 一 减 k 二一加上 k 一 k 二绝对值。但我们分析分析啊，这题 k 二 k 一 都是负弦率， k 二更负一点，因此呀， 这样已经保证是对的了，听懂哪个音？因此啊，它的翻译的结果就是， k 等于 k 一 减， k 二一加上 k 一 k 二，同意，打个六， 对吧？比如说 k 一 缓一点，斜率是负一， k 二陡一点，斜率是负三，你带你看，已经保证它是正的了。 under 三 d 好吧，直接就你你，呃，四点公务员。对，后边你不用说，你直接写这个老师就老师就知道了，满分了。 好吧，那接下来就做，做完了呀，你看着啊，直接算斜率呗。我 a 点设为 x 一 y 一， 我 b 点设为 x 二 y 是 吧，我的直线是 y 等于 k x 四减二 k 是 吧，我把它给撑开了哈， 是吧？然后呢，哎， q 的 坐标啊， q 的 坐标是几啊？是零，逗号二 k 呗，好，算吧。 哎，直接来一波 k 一 k 一。 什么呀？是 q a 的 斜率，它的斜率纵减纵啊， y 一 减二， k 比上横减横 x 一， 那同理的呢？那 k 二呢？ k 二就是哎， b q 的 斜率了，芭比 q 了。 b q 斜率讲纵减纵啊， y 二减二， k 比上横减横 x 二了， 没问题吧？没问题。然后别忘了我这样设直线，他要跟椭圆连立， x 方比上八，加上 y 方比四，得一 数字 x 为的啊，那显然把 k 用直线换掉啊，把 y 用直线换掉， y 用 k x 减二， k 一 换，那就是 k x 一 减二， k 又减二， k 减了个四， k 比上 x 一， 这个呢， x 二，同理呢，用 k x 二 y 换成 k x 二减二， k 减二， k 减去四 k 了 啊，其实也能再化简一下，约一个 x 一 k 减去 x 一 分之四 k， 这个呢， k 减去 x 二分之四 k， 是 吧？那接下来就很容易了 啊，这是第一步啊，第一步把这个翻译完了。第二步呢？哎，连力求完了。第三步呢，往里带呗。 啊， k 等于啊， k 一 减 k 二哦，他减他 k 消了，那变变成这玩意了？变成 x 二分之四， k 减去 x 一 分之四 k 没问题吧？ k 一 减 k 二嘛，他减他 k 消了，他变成正的了。 然后呢，分母是一加 k 一 k 二一加上一，相乘的话，用这个舒服一点是吧？那就是分母是 x 一 乘 x 二分子，你看，我能提 k 吧， 能提 k 吧，那变成 k 方了，剩 x 一 减四， x 二减四了，能不能看懂啊？是吧，能不能看懂啊？ 因为啊，它是不是 x 四一分之 k 倍 x 一 减四呀？ 它是不是 x 四二分之 k 倍 x 二减四呀？所以它俩一乘的话，分母是两个原子积分子呢， k 方倍的 x 一 减四， x 二减四，其实这儿就可以用双根式，但是没必要，没必要， 懂了吧，懂了吧，因此呢，整理一波，那 k 等于几啊？分子分母同乘 x 再好看一点， x 四一 x 二加上 k 方倍的 x 四一减四， x 二减四，分子呢？哎，四 k 倍的 x 四一减 x 二了，没问题吧？ 然后呢， k 肯定不得零消了，他跟他消了，你乘左面来， x 一 x 二加上 k 方倍的 x 一 减四， x 二减四，等于几啊？等于四倍的 x 一 减 x 二，没问题吧？ k 消了， 然后呢，你这可以用什么呀？双根式啊，但是其实差不多了，给大家算一下。那你可以双根试一下应解都是可以的， k 方倍的两根之积就一倍的就是 k 方加一倍的两根之积，这是减四 k 方倍的一个 减得到两个就是减四 k 方倍的两根之和十六倍的 k 方加上十六倍的 k 方。一定要像我这么熟练听懂，打个一等于四倍的 x 一 减 x 二 under 三了个底， 好吧，然后呢？尾答尾答尾答就行了啊，硬解的话也可以直接算，也可以给大家算一下吧。 x 方比八，加上外方比四得一和。那和什么呀？ 其实好算的， y 等于 k， x 减二 k 没那么难算的。 y 等于 k， x 减二 k。 一定要跟着我的思路哈，两面乘一个八，那就是 x 方加上二倍的外方 k， x 减二 k 的 平方，没问题吧？那，那我直接这样吧。 那 y 等于 k 倍的 x 减二吧，可以吧，好，连立一下啊。然后乘一个八，那又是 x 方加上二外方二外方 k 方倍的 x 减二平方，哎，减八得零， 二 k 方有一个一倍的二 k 方加一倍的 x 方，这是减四 x 二 k 方减八 k 方 x 四四八 k 方，哎，加上八 k 方减八等于零。 好吧，两根之和 x 一 加 x 二是负的 a 分 之一。马上到精彩环节了，负的 a 分 之 b， 两根之积是几啊？ a 分 之 c 二 k 方加一分之 c 八 k 方减八，没问题吧， 没问题吧，同志们 哦，口干舌燥。然后呢？接下来呀，我算两，我还得需要两根之差 x 一 减 x 二。什么呀？是 a 分 之根号 der 小 结论了是吧。二 k 方加一是根号 der， 你 算一下啊， 有技巧了根号嘚他根号下 b 方看好了啊，六十四 k 的 四方减去四 a c 四乘以它乘以它，你提个八的话，四八三十二了，你剩 k 方减一了，你不动二 k 方加一，一定要像我这么算啊，练练你们的基本功吧。 然后呢，我知道最高次肯定要消掉的，现在不用管了，他是根号级负三十二，我留着，负三十二留着，最高次一定会消的。里边呢，我们不看最高次 负二 k 方， k 方剩负 k 方了，还有个负一没了，因此呢，就是什么呀？就是根号下三十二倍的 k 方加一啊，很简单，提根号三十二。什么呀？是四倍根号二，然后剩 k 方加一了。看懂，打个六 啊，一定要像我这样把你们硬挤，你就像我这么算算，很有用的， 能否理解是吧。好，都求完了，一带就可以了啊。都求完一带快了，马上到技巧了。 k 方加一倍的两根之积， ok， k 方加一倍的，我加粗一点， k 方加一倍的两根之积，就是二 k 方加一倍的 k 方减一，然后呢？ 呃，减去，哎，减去四 k 方倍的两根之合，哎，两根之合是几？八 k 方。二 k 方加一，没问题吧？ 没问题的，到这儿减去四 k 方倍的两根之和，八 k 往上没问题。然后呢，哎，加十六 k 方，哎，加上十六 k 方等于几？等于四倍的两根之差， 这呢，四倍的两根之差，二 k 方加一分之四倍根号二倍的根号下 k 方加一。好整理一波哈，看好了， 两边同时乘以二 k 方加一，不要眨眼睛，这是几平方？差了 八倍的平方差 k 的 四四方减一，然后减几啊？四八三十二，三十二 k 的 四四方加几啊。十六 k 方，你别忘了乘这个二 k 方加一等于几呢？ 等于乘完之后呢？十六倍根号二十六倍根号二根号下不动， k 方加一，再一看， 这什么呀，这是八 k 的 四四方减八，这什么呀？三十二 k 的 四方消了，还剩一个十六 k 方啊，加上十六倍的 k 方，等于十六倍的根号二根号下 k 方加一，然后呢， 都消一个八 k 的 四次方加一个二 k 方减一等于二倍根号二根号下 k 方加一。算到这儿了，到这儿没问题吧？ 到这儿，下面问题来了，他问你啊，有几个解就有几个 k， 有 几个，他问你，有几个人直线吗？就有几个 k 有 几个解。而且 你想，他这个已经告诉你斜率是正的，他是撇相，一个正，斜率有几个解？到这技巧来了， 说问你啊，这个有几个解，你怎么做呀？你说，阿良，我知道，令 f x 四等于 x 四四方加二， x 四方减一，减去二倍根号二根号向 x 四方加一，求倒八八的， 不用吧？为什么呀？哎，我问你啊，如果这个题我改成让你求一个最值啊，大家都能想到什么呀？换元啊， 是吧，如果变成最值，问题大家都知道，把它换元呀，怎么来？求解问题忘了，换元呢，对吧？ 因此呀，这是本题的计算小技巧了。你为什么不换元呀？干嘛脱了裤子放屁，多此一举啊，是吧？我令， 干嘛呀，直接换元呀，直接令 t 等于根号下 k 方加一不就完事了吗？令，这个是 t 的 话， k 方大于零，加一呢， 反零一，而且因为 k 是 个正的， t 和 k 一 一对应，一一对应。是的， k 是 个正的呀，一一对应，意思有几个 t 就 有几个 k 呗。 那整理一波，那就是 t 方等于 k 方加一了，那 k 方显然就是 t 方减一了。好，往里一带 就是 t 方减一的平方加上二倍的 k 方， t 方减一是吧，然后减一等于几啊？二倍根号二，把这个换元变成 t 了， 能否理解？因此呢？我的妈呀，平方一下， t 的 四次方减二， t 方加一，加上展开二， t 方减二，减一，减三，等于二倍根号二 t， 你 发现了什么？ 哎哎哎，拜拜。好吧， t 的 四次方挪过来减二倍根号二， t 减二得零，太简洁了吧， 一换元倍儿简洁。我天呐，别忘了啊，我的 t 是 百一等于一的是吧。你别你，你只求最值时会换元。这忘了 问， t 大 于一这玩意有几个解？太简洁了。这时候我们利用 f x 等于 x 的 四次方减二倍根二， x 减二呀。 x 大 于一，有几个解呗。哎，求导，看它长什么样。四 x 的 立方减二倍根二呀。 天呐， x 大 于等于一， x 大 于等于一，它大于等于四，减，它一定是个正的，一定是个递增的。递增的话， f x 递增直接 零点存在定底就可以了。 f 一 等于几？ f 一 等于一，减，它减它一定是个负的。 f 二呢？十六减四，根二减二，一定是个正的。做完了，只有一个解一条，本题满分了，听懂打个六， 好吧，这个题啊，你如果我我我，因为我不知道你设 x 等于 m， y 加二，到最后好不好换元。反正啊你，你就老老实实的用谐语来做最后一换元，形式俱简洁。 听懂打个六，好吧，你，你只要射正经的射斜率的话，一换元巨简洁。所以我这感觉老师肯定是这么出的， 但好像标答给的是射 m 吧，反正我不知道有没有这么简洁啊，好不好？换元，好吧，讲完了讲完了。好，接下来。

大家好，今天呢，我们继续来讲 t 八联考的大题啊，刚刚考完的，然后第一道大题的话就是解三角形了，这道题很简单啊，咱们来说一说，它只有一个已知条件嘛。那首先根据二倍角公式，它是等于二分之一，一加上口算 a 的， 然后等号右边的话，它是等于二分之一，咱们单独拎出来嘛， c 分 之 b， 再加上 c 分 之 c， 这个 c 分 之 b， c 分 之 b， c 分 之 c， 不 就是一嘛，所以咱们对比一下左右两边，哎，等量代换嘛，那所以最终就得出来 q 三 a 是 等于 c 分 之 b 的， 但是接下来咱们要根据什么了？正弦定理了吗？正弦定理的其次，转化分子分母都是边长的一次方，所以根据正弦定理的话，你这个地方写一下正弦定理这几个字就行了。然后呢，就可以得出来，三 n b 是 等于再比上这个三 n c， 那 最终就转换成了三 n c， 乘法关系吗？等于口三 a， 再乘三 n c。 另外你得写一下原因啊，毕竟是大题，那么左边怎么办？因为 b、 a、 c 加起来是等于多少度的？等于一百八十度的，所以说这个三按 b 其实就是等于三按 a 加 c 的， 因为两个角互补的话，它的正弦值一样，这是右导公是吗？即变五变符号看象限， 那也就是说这个方程就变成了多少。三 a 加 c， 然后等于口三 a， 三三 c， 左边的话你写呗，三 a 再乘 口三 c， 口三 a 再乘三 c， 因为等号右边也是口三 a 乘三 c， 我 就跳步了，就这两部分就直接消掉，变成零了。也就说我们最终会得到这样一个方程，它等于零。 它等于零的话，你要说一下，因为角 a 的 取值范围，它不可能取到零度或者一百八十度的，所以三 a， 毕竟它永远是个正数，是大于零 的，所以只有可能是口算 c 这一部分等于零了。口算多少度等于零啊？那只有可能是九十度嘛？所以第一问就是九十度，这个非常简单。 那第二问的话，哎，你要注意，角 c 等于九十度能在什么里头？能在括号里头直接用吗？当然可以直接使用了。来，我们直接画图， 那么因为涉及到正切，所以我过这个三等分点点 d 啊，然后呢？直接做这个垂直 d， h 垂直于多少呢？垂直于 a、 c 约 h 点，那么既然它也是垂直的， bc 也是垂直于，垂直于同一条直线 a、 c， 所以 两条线，也就是 d、 h 是平行于 b、 c 的， 根据平行线分线的乘比例，是吧？啊，那此时我们可以得出什么结论来？你 d 点是三等分点，那此时这个 h 点也是三等分点啊。 a、 h 是 等于二分之一的 c、 h 的， 那我们不妨直接假设 a、 h 的 长度，它就是 x 呗， c、 h 的 长度，那就是二 x 呗。那摊着呢？ a 是 谁？哎，摊着呢？ a、 c、 d 是 谁一目了然。摊着呢？ a， 你 看上方这个直角三角形嘛，它是等于多少？ 它是等于 h、 d 再比上一个 x 的。 那另外再来看另外一部分， 这个 c、 h 在 c、 h、 d 这样一个直角三角形中，你说这个角 e 的 正确值就是它的 a、 c、 d 是 多少？那不就是 hd， 再比上二 x 吗？那一比最后得的是二啊。所以第二本其实更简单，画一个图就行了，但是建立在第一问结论的基础上啊。 那么接下来就是十六题了。十六题的话，是一个随机移动跟概率的问题，他的话怎么说呢？第一问他只有左右运动啊，你可以自己读一下题， 然后呢，每次向左移动或者向移动一个单位，从原点，从原点出发，然后问移动两次之后的位置。 那现在第一问的话，还是非常简单的，只要读懂题就行了。 x 可以 等于负二，为啥？向左移动两次吗？第一次向左，第二次再向左，所以最终的位置是零减二， 那么如果向右再向左或者向左再向右，那最终都回到原来的位置还是零。那如果两次都向右呢？那就不是零加一，再加一等于二吗？所以就这三种情况，那么接下来我们求它的分布列 x 等于几？先求负二吧。负二的话好说，每次向右移动的概率是屁，每次向左移动的概率不就是一减屁吗？两次向左，对啊， x 等于负二啊，等于负二， x 等于负二的概率的话，那就是，呃，一减屁，再乘一减屁，对， x 等于正二呢，哎，向右 p 再乘 p， p 的 平方。那如果是什么情况 x 等于零呢？先向右 再向左，或者先向左再向右分布乘法计数原理嘛，然后把两种情况分类相加起来，分类加法，计数原理都用了一下，那么最终计算出来就是二 p 一 减 p 这样一个值了。 那这道题的话，当然你不写分不列也行啊。咱们直接来求数学期望。求数学期望的话，那就很简单了，哎，多少数学期望哎，负二这个值再乘它对应的概率， 正二这个值乘它对应的概率，这就数学期望成就这样一个规定的算法吗？还有谁啊？还有 x 等于零，零的话，其实最终就不用写了啊。 对，零就是零吧，最后算出来啊。那么最终我们经过计算之后得什么呀？二屁的平方减去二的，屁的二的一减屁的平方平方差公式吗？ 对吧？两者相减两，两者相加，这个还是容易的。两者相加的话，应该是屁加一减屁，两者相减的话，应该是屁减一，再加屁。 呃，那最终的话，这是个一二乘，它四 p 减二吧。对，反正最后算出来是等于四 p 减二的， 你草纸上算出来写就行了。他说最终的数学期望四 p 减二得大于零，求对应的 p 的 范围。那不就是 p 大 于二分之一吗？但是 概率是天然有一个限制的，人家一开始说了只能在零到一之间，是吧？所以最终你写答话的时候，你应该写的是大于二分之一且小于一，这个才是最终的结果，行了吧，不要光写那个大于二分之一啊。 好，这是第一问，那么接下来咱就要做第二问了，第二问肯定更难一些。为什么？因为第二问呢？他除了左右运动，还有上下运动。一个置点在平面直角坐标系中，他从某点 a 出发，每次等可能的，有可能哦，是向上的， 也有可能是向下的。等可能的话，我们用什么？用样本空间的方法吧啊？因为每次都是等可能的，比如说咱们列这样一个矢图， 第一次写个一，第一次上下左右啊，都是四分之一的概率，第二次上下左右都是四分之一的概率。第四次上下左右移动也是四分之一的概率，都是四分之一的概率。 然后他怎么说呢？每次等可能的向上或者向下，或者向左或者向右移动一个单位，求该 a 置点，经过四次移动之后，回到点 a 的 概率。天呐，这个题啊，咱们用样本就总估计这样一个概率的方法，咱们看样本空间， 样本空间总的样本点的个数， 这个怎么算呢？第一次，四种可能，第二次，四种可能，四种可能，四种可能。几步？四步，四步是分布乘法极数原理，所以它是多少呢？所以它这个总数小 n 等于四的次方， 这个你要知道怎么算出来的。二百五十六个样本点啊，这是总数。那么每一个样本点它的概率都相等吗？你得写一句话，对，都是二百五十六分之一，每个这二百五十六个啊，每个样本点它出现的 概率怎么样？因为概率相等，我们才想到了这种方法，等可能啊。那么接下来就是看目标事件的样本点的个数了，对吧？好，现在目标事件是谁？目标事件是 四次移动之后，我简写了，四次移动之后呢？最终回归点 a， 好， 它这个事件呢，我们记为 大 m， 懂了吧？即为大 m， 用大买 m 来表示，然后大 m 的 话，咱们需要满足条件，什么条件？ 上下就怎么说呢？向上向下移动的次数必须怎么样？ 必须是相同的，肯定的向上移动两次，必须再向下移动两次，然后呢？或者也有可能左右嘛，向左移动两次，或者向右移动两次，或者是向左一次，向右也肯定只有一次，这样的话才抵消了，才回到了原来的初始位置。然后左和右 移动的次数呢？也相同，咱们就是根据这个限制条件来算事件 m 所对应的样本点的这样一个数字的样本点的个数。事件 m， 它的样本点咱们就不要用 n 了嘛， 样本点点数的话记成什么？用小 m 吧。那么这个小 m 的 话，首先有一个 a 四四。有同学就要说了，老师，我根本看不懂这个 a 四四什么意思，其实非常简单，就是你上下左右这四次都有了，一次上一次下，一次左，一次右。 至于是哪次上，哪次下，哪次左，哪次右，无所谓啊。比如说我们先来看上，如果向上，你可能第一次向上，可能第二次，可能第三次，可能第四次，所以是四， 那然后上已经占了一个空格了。接下来看下下的话，剩下的三个空格吧，那就是三种可能。然后左，哎，因为上和下已经占了两个位置了，剩下只剩下两个位置 来左，那最后呢？右只剩下最后一个位置，四三二一，所以是四的阶乘，咱们写成 a 四四啊，是四的这样一个全 排列，对吧？全排列。那么另外两种情况是上下左右都有，我又写了一个 c 四二，有同学说，老师我根本看不懂，要只有啊，只有上和下， 那么只有上和下的话，上是两次吧，下也是两次吧。所以我们先讨论上嘛。哦，哪次向上了，比如说第一次和第三次向上了，四个里头选两个，懂了吧？那剩下两个位置只能必须向下了，那就是 c 二， c 二等于一，所以我就不写了。啊。 对，那够了吗？不够啊，再来个四 a 四二。有同学说不会了，这个就是，呃，要有了上下啊，那就是还有个左右，嗯，还有个左右，有上下，还有左右吗？向左两个，向右两个， 四个空格里头找两个位置，然后咱们把左填进去，然后最后两个位置只能是一样的，对吧？那最后咱们算出来是多少个呢？ 啊？最后算，这应该是三十六，所以最终你说 m 等于多少？他这所对应的概率等于所对应就目标事件的样本点的总数和总的空间中的，就是样本空间中总的样本点数二百五十六，那最终算出来是多少？等于六十四分之九，一定要注意等，可能这三个字 好了，最终结果你写答话吧。所以这道题的概率是多少？六十四分之九。 那么来看十七题，十七题的话，第一问啊，咱们来看，首先是斜三楞柱，其次呢，给了个这么个玩意，就他说啊，这个角谁就这个角 a e， a b 是 等于 a 一 a c 的 啊，这样一个，然后又告诉你 ab 等于 ac， 然后 bc 等于九十，也就是说上下底面都是等腰直角三角形啊，都是等腰直角三角形，注意是直角啊，角 a 或者角 a 是 直角的上下底面， 然后他说 o 点呢？是 bc 的 中点，那肯定能想到等腰三角形三线合一吧，在等腰三角形的三角合一，那另外还有个什么呢？他现在让你证明的是这个东西。来吧，我觉得很好说，首先第一条，我们连接一下 a e b 没问题吧？第二条怎么的呢？我们连接一下 a、 e、 c， 看在这两个一个是红色的空间中的三角形啊，这两个三角形什么关系吧？你只要知道了这两个三角形的关系，那这个第一问直接用乘几何的方法呢，就已经解决了。第一问怎么来？因为 a、 e、 a 等于 a e a 公共边啊，又因为 ab 等于 a、 c 两组边相等，中间夹角呢？中间夹角 a e、 a b 和 a e、 a、 c 相等啊，所以边角边不就得出来了？三角形 a、 e、 a、 b， 它是全等于三角形 a、 e、 a、 c 的 吗？对呀，边角边，这是初中的知识，那这个全等有什么作用呢？事实上，我想说的是，图中的谁是等于谁的呀？ 哦，原来图中它这个 a、 e、 b 是 等于 a、 e、 c 的 呀，也就是说等腰三角形，又因为看好了啊， o 点为 bc 中点。 我们首先有第一个垂直了，三线合一吧，在 a 一 c、 b 中，就我画的这样一个等腰三角形中，所以此时这个 o、 a 一 是垂直于 b、 c 的。 同样的道理，谁啊？在 a、 b、 c 这个里头也是三线合一，等腰三角形，三线合一，你这个 o、 a 也是垂直于 bc 的。 原来是这么回事，那得完这个垂直之后的话，剩下好说了吧。哦，一条直线 b、 c 垂直于平面里头两条相交直线，但是你得写出这个原音来， o a e、 o a 是 哪个平面里头的？是平面 a e a o 里头的，并且这两条是怎么关系啊？相交直线相交于点 o 嘛。那么现在你可以说了呀，根据画圈这些五推一吧 啊， bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以 bc 垂直于整个平面，也就是说 bc 垂直于哪个平面？垂直于平面 a e a o， 那 既然垂直于平面的话，又因为 bc 在 哪个面里头？在平面 b c c e b 里头，所以你看一个平面内的直线垂直于另外一个平面，所以面面垂直不就得出来了吗？也就是说最终可以得出来 b c c e b e 是 垂直于平面 a e a o 的。 好了，第一问呢，用纯几何的方法来做就非常简单。第二问的话要间隙啊， 就是为什么第二问间隙呢？咱们先读一下题，看看为什么要间隙，原因嘛，非常直接，是因为它给了一个垂直，此时的 a e o 是 垂直于整个底面的，所以咱们呢，很容易结合括号一的这些结论，可以推出来 o a o b， 它本来三角合一就垂直，还有谁现在再加上一个 o a， 一 两两之间互相垂直吧，你只要得出这一条来，所以接下来我们就要间隙了。 你要间隙的话，肯定是以 o 点为坐标原点，比如说 o a 为 x 轴， o b 这个方向为 y 轴， o a 一 为 z 轴，这样建立空间直角坐标系就行了。第二问，肯定是间隙广宽啊，那好，那就间隙吧，间隙我已经完成了， 那么间隙完成之后，接下来是干嘛呢？肯定是要写每个坐标点，他这个题没有给数据啊，我们只能根据，比如说这有中点啊，然后呢，再结合这个六十度啊，再结合这个等腰直角三角形啊，咱们来写具体的数据。那我呢，直接就假设，什么 直接假设这个 a c， 还有包括这个 ab 等于四吧，那 a o 是 等于多少的呢？来看一下。 呃， a c a b 直角边是四，那这个斜边就是四倍根号二，斜边中线就等于二倍根号二。对，所以 a o 呢，是等于二倍根号二的。这个都好得啊，都是根据平面几何，这是得出来的，然后 o a 一， 它就等于根号三倍到 a， 这个根号三是怎么得的？是根据这个六十度得出来的，因为他说什么？他说直线 a、 a 一 跟底面所成的角，你看 咱们做出来了吧，没问题啊，所以他这个角，这个角是六十度啊，而且他还是个直角三角形。既然你求出这些来了，呃，所以说根据一比二比根号三，咱可以求出来他的长度是二倍根号六。嗯，那么写吧， a 点坐标二倍根号二， 然后呢？ b 点坐标零，二倍根号二，零，然后 c 点坐标零，负二倍根号二，零，然后呢？还有这个 a 一 点坐标零零，二倍根号六， 还有谁呢？还有咱们根据 a a 一 等于 c c 一， 因为你还得求这个 c 一 点的坐标吗？它的话就得出来这个 c 一 点的坐标是负二倍根号二， 负二倍根号二，二倍根号六。 c 一 都写出来了， b 肯定也更好写了，沿着 y 的 方向，咱们加四倍的根号二嘛，所以这个 b 一 点的坐标就是负二倍根号二，正二倍根号二，二倍根号六。没问题，该写的点都写出来了， 那么此时咱们咱们根据中点点 b 一 和点 b 是 不是都有了呀？那根据中点公式的话，点 d 也可以写出来负的根号二，反正这些该写的都能写出来啊，都没什么问题的。那既然该写的都写出来了，没问题啊， 咱们就可以干嘛了？咱们可以写 a、 d， a、 d 的 话是负三倍根号二，然后二倍根号二，然后根号六， 然后这个 a、 c 一 的话是负四倍根号二，负二倍根号二，二倍根号六，那么剩下就是法向量了吧，谁的法向量啊？咱们假设 x、 y、 z 就是 个 n 向量啊，为 平面 a、 c、 e、 d 的 发线量，那么根据发线量的通常的求法标准的求法，那就是 n， 然后 a、 d， n， a、 c 一 等于零，是吧？那最后写出来就是负三倍根号二 x 二倍根号二 y， 然后再加上根号六 z， 他的话是负四倍根号二 x 减去二分之根号二 y， 再加上二倍根号六 z 等等吧。 啊，那最终呢，不妨令 y 等于多少？不妨令 y 等于根号三代入，那最终就求出来了， n 是 等于多少的？就这个发现呢，是三倍根号三，然后呢根号三七。 那求完这个法向量之后，还有另外一个法向量，谁的法向量啊？还有 a、 b， c， a， b， c 的 法向量需要你求吗？不需要吧，因为 o， a、 e 就是 跟他垂直的，但是这个法向量的话，你垂直于就就是跟 z 轴平行就行了。所以咱们这个平面 abc 的 法向量呢，咱们写成多少？写成零零，跟 z 平行就行，写成零零一就行。那既然两个法向量求出来了，那剩下就好说了啊，求这两个平面所夹角的余弦值吧。显然根据图口算 alpha， alpha 是 锐角啊，所以口算是正数。然后呢， 带公式就行了啊，这样就很简单了， m n 的 数量机绝对值 m 的 模， n 的 模型，那最后就是七 啊，再来个这个最终是一乘根号下七十九。应该是啊，就这个 n 的 模长应该是根号下七十九，所以化简之后的话应该是七十。这个数据给的非常丑陋啊。七十九分之。 呃，七倍的根号下七十九，应该是这样一个数据了啊，应该是他，你自己来算一下吗？好，来，看什么？来看十八题？这个十八题啊，他给的什么？首先第一问，第一问，第一问。咱也说一下吧，快速的说一下就行。 左焦点有了，右焦点有了，所以这个小 c 也就是半焦距，这个一看是等于二的， 然后图案上有点，图案上有点的话，比如说这个点是点 n， 那 此时 f 一 n 再加上 f 二 n， 这不就是等于二 a 吗？咱把这个二 a 算出来也行。 那怎么算？根据两点之间距离公式是吧？也就是根号下谁啊？根号二加二的平方， 根号三减零的平方。对，两点之间距离公式吗？横坐标根号二减二的平方，根号三，它的平方。那继续算吧， 等于谁？等于这个化简以后是九减四倍根号二。第二个是啊，一个九加四倍根号二，一个九减四倍根号二。反正是一个加一个减，没问题。 那接下来干嘛？接下来好说，二分之十八减去八倍的根号二，就根号里头套着根号嘛，处理这个复杂的二次根式， 它这个里头也是二分之十八加上八倍根号二。为什么这么处理呢？好算， 那么最终就变成了十六减二乘四，再乘根号二，再乘二。那第二部分就写成二分之，你把十八拆成十六加二吗？ 哦，加二乘四倍根号二，再再加上这个二，再加上二啊，这个地方是加上二， 那么最终就好了。写成什么了？这个都是草纸上内容啊，你不需要写这么多的，那么就是四 减根号二的平方，对吧？这个是四加根号二的平方，那么最终的话就变成了根号二分之四减根号二，加上根号二分之四加根号二，那最终算出来不就是根号二分之八吗？ 八比上根号二，你说多少啊？二倍根号。呃，四倍根号二，四倍根号是谁？就是最终那个 r a。 啊，原来 a 是 等于二倍根号二的啊，就就这么回事啊，你自己算就行了。 好了， c 等于二， a 等于二，被根号二，那 b 的 话不就是等于根号下 a 方减 c 方吗？这个是等于二，所以最后的话咱就算出来了，是八分之 x 方，再加上四分之外方等于一。好了，这就是椭圆的方程，我们主要是研究第二问啊， 这个第二问啊，第二问啊，第二问怎么做呢？第二问的话他说的是 什么？说的是首先过右过这个二，逗号零过右焦点做了一条直线，交于 a b 两个点，然后跟外轴交于它， 然后呢？ p 点和 q 点是什么关系？ p 点和 q 点是关于 x 轴对称的。嗯， 那么接下来他给了三个面积，哪三个面积呢？ p b q， 这个是 s 一， 这个是 s 二，然后最上方这个是 s 三，然后跟让你来算最终的 s 一 加上 s 二。行吧， 这个圈一好算，因为斜率给定了斜率为二，那所以就是 ab 这条直线就可以写出来吧。 x 就 等于二分之一， y 再加上二，因为过二的号零，所以我们用这种倒斜横截式啊，跟谁连立？跟这个八分之 x 方 加上四分之外方等于一连利，那么连利之后，当然了，咱们默认 x 一 外一是 a 点啊，然后 x 二外二是 b 点啊。一会就不再多说了，这个会得出来，九外方消掉 x 吗？八外减十六等于零，那此时外一加外二为它定里啊。 负的九分之八外一乘外二等于负的九分之十六， 那此时 s 一 加上 s 三，再比上 s 二加上 s 三，那多好说呀，过 q 点做的高高度是一样的嘛。所以底边的比值就是对应面积的比值，也就是说， s 一 s 一 是谁啊？ s 一 就是 b p， 它的比值啊， s 三是谁啊？ s 三就是 a f 二呗。 s 二 s 二是谁？ s 二就是 b f 二。行，那么接下来就好说了，这三个点来吧， 相当于它们的纵坐标的比值啊，或者说这三条线段长度的比值没问题吧，那么它就变成了 b p b p， 呃，我看一下啊， b p 的 话， b p 再加上这个 a f 二，哎，这个 b p 的 话，是这两个高的这样一个长度，点 b 的 纵坐标，再减去点 p 的 纵坐标，点 b 纵坐标是 y 二 d n p 纵坐标是谁？是？咱们可以代入求出来啊。求出来应该是等于零，逗号，负四吧，当 x 等于零的时候， y 等于负四啊，所以减负四，所以是加四啊， 好，没问题，然后继续来，然后再加上多少再加上这个 y 一 啊。 你投影之后的话，咱们主要就变成了这三段的比值，一二三变成这三段的比值，对吧？ s 一 s 二 s 三分别等于，比如说 m 比 n， 再比 p， 反正就是三段的比值，咱们看纵坐标就行了， 那 b f 二 a f 二，那不就是这两段加起来，其实也就是纵坐标 y 一 的纵坐标，再减 y 二的纵坐标呗。对，那么最后呢，咱们就变成了四加上 y 一 y 二微调定点可以用了吧？ y 一 减 y 二肯定是个正数，它相当于根号下平方，那么根据根差公式的转变，咱们完全可以写成 y 一 加 y 二，再减去四倍的 y 一 乘 y 二。 这些操作都是为了利用什么回答定律的？现在你把负的九分之十八，负的九分之十六代入画圈部分这样一个式子，那么最终咱们算一下啊，四减九分之八没问题。然后呢，根号下这个是 八十一分之六十四，再加上九分之六十四，反正最终一计算呢，算出来是个二十分之七倍的根号十，这个就是第一问的结果了。第一问并不难，说真的， 第二问就难了啊，因为第二问他不是给定的斜率，人家是斜率是不确定的。所以现在我们开始讲第二问。注意第一问啊，就这样一个数字，七分之二，十分之七倍的根号十 这个圈二。最后一问，他说的是四点共圆，是否存在直线 l， 使得 q r f 二 a 这个四边形呢？四点共圆不知道， 咱们先这样先假设存在呗。首先还是连立 x 等于 m y 加二啊。现在这是 ab 这条直线，还是跟八分之 x 方，四分之外方等于一连立，我们消掉 x 之后，变成关于 y 的 一元二次方程 啊。外方四 m y 再减四等于零，这个判别是肯定大于零啊，肯定是有两个不同的交点的，因为定点在团内部嘛。 呃，接下来干嘛为它定义呗。 y 一 y 二加起来负的四 m 比上 m 方加二，外一乘外二呢，它是等于负四，再比上 m 方加二。 这个题后边会用到，所以我前头我先写一下，外一外二的平方等于外一加外二，我先算啊，然后减去四倍的外一外二， 然后呢，会化简出来这样一个结果，三十二倍的 m 方加一，再比上这个分母是 m 方加二，整体的平方。反正就算出个这么个玩意来。 那么接下来怎么办？四点共圆啊，你四点共圆等价于什么？请告诉我。四点共圆等价于四边形的对角互补。关键是找哪一组呢？ 找这一组角 a 和角 r， 还是找角 k 和角 f， 或者说外角等于内对角吗？肯定是找我现在角的标的。这个为什么？因为它会涉及到斜率。看了啊， 此时他说四点共圆了吧，这个四点共圆，咱们转化一下，它等价于角 a f 二，那我们延长一下吧，比如说延长 q a 到 s 点吧。对，这个是 s 点。 然后呢，这个角标个角一，这个角标一个角二，行 a f 二 s， 他就是等于角 a q r 贪婪的角，他，请告诉我等于多少？贪婪的角 a f 二 s 其实就是等于斜率的斜率。这道题不就是 m 分 之一吗？哦， 原来是这么回回事啊，这个 m 是 有实际含义，是斜率的倒数啊，所以咱们选择这两个角相等。 那么现在看了，根据我题目中标的意思，看好了，又因为什么？又因为你根据外角关系， 你这个角二再加上角 a q r 等于角一，是吧？所以这个角二我写成减法关系。呃，所以这个角 a q r， 我 写上这个减法关系，它就等于角一减角二呗。对啊， 那写成这个关系之后继续来，那不就是角 a f 二 s 等于角一减角二吗？ 那现在我们根据正切，为什么正切？因为只有正切才能涉及到斜率啊。哦，它是等于摊着它角一减去，摊着它角二。来吧来吧，继续看啊。最左边就这样写。右边呢？右边的话，咱们继续 角一减去贪婪的角二，这是正切函数吧，然后一加上贪婪的角一，贪婪的角二来，最左边是谁？最左边我想说的已经告诉你了，就是 ab 这条直线的斜率，它的斜率是等于 m 分 之一的呀。对啊，这就是 ab 的 斜率啊。 那么右边呢，贪婪的角一是谁的斜率？是 q a 的 斜率啊，然后贪婪的角二呢？贪婪的角二贪婪的角二，这是 q b 的 斜率啊。 那么接下来你根据两点之间的斜率公式不就可以了吗？原来是这么回事，现在看好了，我写了啊，我写了 摊着的角角一，也就是，呃，摊着的角一是 q a 的 斜率啊。 q a 的 话，两点都有嘛，一个 x e y e， 这是，然后再减去 m 分 之二，这个好说点 p 坐标是负的 m 分 之二啊。那点 q 坐标不就是正的 m 分 之二吗？所以都是有根据的啊。有理有据的， m y 一， 再加上二。对的啊，这个是这样一个纵坐标减纵坐标，横坐标减横坐标对， 然后 tan 值的角二它是等于多少呢？ tan 值的角二是等于 q b 的 斜率，它是 y 二，减去 m 分 之二，然后 m y 二，然后再加上二，这个其实就是横坐标减去，本来有个零零，咱们就不写了，现在带入哪？现在把它带入圈一里头啊。 行吧，也就是说最终我们会整理出来一个什么式子呢？圈一看好了，最左边刚才说过了，是 m 分 之一，我就先写这个 m 分 之一了。代入之后，最左边是 m 分 之一， 右边的话就是刚刚那个结果呗。你自己来算，它首先会化简成这个结果， y 一 减 y 二，然后呢？还有一个是 m 方加一，外一乘外二，然后还会有一个二 m 减去 m 分 之二， 对，然后呢，这个是 y 一 加 y 二，还有个什么？还有就是四，再加上 m 方分之四。好，这是它。 那么继续经过整理之后啊，这个 y 一 减 y 二，咱们算了，已经算过它的平方了，所以它本身也好算，它是个正数， y 一 乘 y 二有为，它定义吧。 y 一 加 y 二有为，大家定义吧。所以经过计算之后会得出这么个式子来，十六倍的根号下二 m 方加二 十六，加上 m 方分之八，再减去八 m 方，这是它，那么再经过计算之后就是二倍的 m， 这个后边就很好算了啊，二 m 方加二 等于二，加上 m 方分之一，再减 m 方。现在我们需要干嘛呢？ 哎，你就看他说判断 l 的 条数，判断 l 的 条数不就是判断时数 m 的 个数吗？ m 是 它斜率的倒数啊，是 ab 这条直线斜率的倒数。判断有几个 m， 使得这个等式成立吧。我们先求一下 m 的 范围， 首先因为点 p， 它是在 e 点下方的，对吧？点 p 的 纵坐标是负 m 二， 对吧？负 m 根号一点的坐标是负二，所以得出来 m 的 值是多少？正数 m 啊，它是在零到一之间的。原来如此， 那接下来我构造一个函数，因为这个方程相当于什么？相当于你减去后边这个东西等于零啊，所以我们就看等于零的这个方程有几个解。那就构造函数呗，二 m， 然后呢？二 m 方加二减二，减 m 方，再加 m 方，反正就这个东西，然后调换一下顺序吧， m 方减 m 方分之，然后再减二，求导，求导，求导之后的话，咱们看第一部分 没问题，那然后第二部分，第二部分的话是四 m 方根号下二 m 方加二， 第三部分二 m， 再加上 m 三次方根。这这个不用多说了，因为 m 是 正数，你看 这部分正数吧，正数吧，后边都是正数。正数，所以说它是个单调递增的函数。这个 fm 在 规定的零到一这个范围内是个增函数的。那我们看看有没有他有零点，他最多有唯一的零点啊。咱们求 f 零不太容易，求也求不了 f 零，那就求 f 二分之一吧。 f 二分之一的话，你自己求一下小于零，那 f 一 呢？右端点呢？这个可以求了，你代入之后求出来二乘一， 然后根号下四，再加上一减一，减二，哎，最后是大于零的 f 一 大于零，所以你画这个草图，这就是零点存在定律嘛。二分之一是吧， 然后呢，这个是一这个地方是吧？所以在二分之一到一之间存在唯一的啊，你得写存在 唯一的零点 m， 它这个 m 在 什么范围内？就零到一之间， 使得 f m 等于零。其实也就是刚刚画圈这样一个方程只有几个解，只有一个实数解啊，所以 m 是 唯一的，只有一条满足条件，所以也只有一条直线，一条直线 满足最终的这样一个要求，行了吧？一条啊，他是最后结合了一下构造函数求根的个数， 那么这一套试卷最难的肯定是最后一道题，他是结合了一下这个高次函数，也叫取整函数，怎么呢？向下取整，比如一点二整数部分是他，但是啊，你注意是小于等于一点三的，最大的整数是负二啊，这个注意一下， 那么我们先来做第一个吧，第一个函数减这个 f 四，一看就是二分之口算四， 口算四，这个四范围是多少？四的话属于是第三象限啊。口算第三象限角，那肯定是在负一到零之间的数字，所以二分之口算四，那肯定是负的二分之一到零， 反正呢，是负的零，负一到零之间的一个数字，所以我们对它取整 比他或者说小于等于这个整体的，比如说负的多少，负的零点几几几等于多少，那肯定是负一啊，不大于他的最大的一个整数吗？小于等于他的最大的整数，这是一个。那另外 f 五是吧？ f 五的话，那就是五分之二倍的 口算 x， 没问题，五分之二被口算 x， 首先口算 x， 此时五它是位于第四象限的啊，因为五这个数字的话，我说一下人家是在什么范围内的？是在二拍， 肯定比二拍要小，但是比二分之三拍要大。第三象限角，它所对应的口算值，那肯定是零到一之间， 所以五分之二 cos 五，它的范围就是零到五分之二之间。现在你对这个玩意取整，对零到五分之二之间，对，零点几取整对不对？ 反正是零到五分之二之间的一个数字，那取整的话，整数部分肯定是零。好了，所以最终答案一个是负一，一个是零。这个第一问的话，我相信大家还是可以拿分的。第二问第二问就有点难了，你要注意为什么偏偏给了你三点九、四点一这几个数字？ 来吧，首先看啊这个函数，这个函数的话，它属于减，减一个增函数，再减一个增函数，这个看不出来，我直接这样来啊，大家来看一下。 呃，这个题我改变一下，我分，我这样来一个。呃，分子有理化嘛，就是原来的分子是 x 加四十五，然后呢？我分子和分母同乘一个，什么同乘个根号，下根号加根号， 对，就这么来处理，根号加根号，那么这么处理之后的话，分子就是四十五减五是四十，分母不就是个这个玩意儿吗？ 所以我这么改造之后，我就得出来了，分母是增函数吧，在正数方向内做，分母越来越大，那整个分数不就越来越小吗？所以咱们一讨论就可以得出来， g x 这个函数怎么样？ g x 这个函数啊，它显然是怎么样的？显然是单调递减的， 对吧？显然是单调递减的。既然单调递减的话，那看了，先看 s 一， 咱们一步一步推嘛，从 x 一 推 x 二，再推 x 三，再推 x 四，这个 x 一 等于五的话，这个 x 二就等于 g 五， 这个 g 五的话不用多说，肯定是比 g 四要小的。 g 四的话，你需要对数字比较敏感。 四十九，根号九。哦，这不就是根号四十九减去根号九吗？也就是七减三哦，等于一个整数四啊，反正单调递减的嘛，它比四小， x 二比四要小一些。那么继续来看， 算完这个四以后，但是你不能说光得了一个什么，光得了一个 x 二是小于几的，是小于四的，你看看有没有下限吗？看看有没有下限， 有吧，看了啊，这个 g 五怎么样？这个 g 五大于三点九啊，人家在这个地方呢， g 五大于三点九，这不就是 x 二大于三点九吗？所以咱们其实先得出来一个范围， x 二的范围在什么？在三点九 到什么范围内？到四这个范围内。行了，来看，另外的一部分， x 二的范围出来了啊，来看 x 三， x 三又是通过 x 二推出来的，因为是个单调递减的函数， 所以说 g x 二它是在什么范围内的？哦，它就是在 g 三点九，反过来嘛，减函数到 g 四之间，左边不用管了， g 四不就是四吗？求过了， 没问题，右边呢？三点九，人家是小于四点一的呀。哦，对，右侧是小于四点一的， 所以它有个上限，四点一。反正 g x 二是在四点一， g x 二在四到四点一之间，那 x 三不也是四到四点一？其实这道题你推多了以后，你就发现它就是在三点九，四点一啊，就是等等，等等，就在这两个范围内一直来回循环，要么是比四略小一点点，要么是比四略大那么一点点啊， 那行吧，那再来推啊， x 三。知道了，那 x 四再推一下呗。 g x 四，那不一样的吗？ 是不是？那他的范围你说是在什么范围内？那不就是 g 四点一到什么到 g 四之间这样一个范围吗？ 其实也就是 x 四，他是小于 g 四，小于 g 四就是小于四，然后大于多少？ g 四点一咱们有啊，是比三点九大的，那所以他也比这个三点九大。 懂了，所以以此循环的话，同理咱们都可以推出来，对吧？同理 可以推出来这个 g 五吧，啊，推出来这个 x 五吧，那 x 五又变到了四到四点一之间了，那 x 六又变到了三点九到四之间了。反正就是来回循环，来回循环至。至于这个 x 几比四大，还是比比 四小，取决于这个下标是什么数，取决于这个下标是偶数还是奇数。所以咱们现在可以说了， 什么意思啊？ x 一， 你单独写一下，等于五，这是已知条件。那 x r k 如果下标是偶数的话，你看 x 六啊， 包括谁？包括 x 四啊，它都比四要略小一点点吧。所以它是在什么范围内的？它是在三点九到四之间的， 那至于二 k 加一，这在什么范围内？这个就是比四略大那么一丢丢了，就得出来这样一个结论，因为这个 f 这个表达式里头人家是有的啊。 f x 的 表达式是多少？ 哦，一开始人家说了， x 分 之二倍的口算，是吧？哦，等于 x 分 之二倍的口算 x 等于这么个东西。嗯，那咱们就看吧。首先口算 x 一， 它呢是零到一之间，没问题， 因为五这个数字，它是在第三项弦角嘛。然后继续那口算 x 二，它是属于多少呢？这个是属于第三项弦角，那就是负一到零。然后口算 二， k 加一也是第三项角，那还是负一到零，所以除了第一项之外，在零到一，其他都是在负一到零之间的，这个清楚啊。哎，那现在咱们清楚了，就分两类。 什么意思？只有 f x 一， 它最终求出来是多少？最终求出来是等于零的，这个第一问就求过它，其他的这两个求出来 f x n， 请告诉我都等于几啊？这个最终求出来都是等于负一的，对吧？哦，那所以我们要求和的话，就分情况就好了，就对这个东西求和。 如果这个 n 等于只有第一项吧，那就是零，那后边呢？后边好说，当 n 大 于等于二的时候，第一项是零， 最后都是负一，对吧？都是负一，几个负一， n 减一个负一， n 减一个负一，那最终不就是一减 n 吗？ 对了，一减 n 行了吧？这就是它的结果呀，就分两类就行了，一个是零，一个是一减 n。 好， 这是圈一，圈一的话，能不能得满分就要画一个大的问号了。至于最后这个圈二，那就更加不可能做出来了。咱们来说说这个圈二啊， 求二的话，他说什么呢？他说求什么？先把 x 一 加到 x n 求出来，然后再取整。那现在肯定是需要分类的，你看，首先咱们看 x 一 x 二一直到 x n 分 类吧。 首先最简单的，那就是 n 等于一的时候，此时咱们这个结果里头就只有一个 x 一 啊，五取整，那不就是五吗？所以第一类还是很简单的。 那么接下来 n 等于多少？等于二？ t t 的 话，注意啊，是一个正整数，当这个下标 n 是 一个偶数的时候，我们分两种情况，仔细观察啊，这两种，但其实它都是一回事，但是分组不一样。第一种分组呢， 咱们 x 一 单独拎出来，这是 x 二加上 x 三，这是一组，然后呢，这个 x 四 x 五，这是一组，噔噔噔一直往后边写。 那么最后呢，这个 x n 也单独拎出来，其实 x n 之前它也有啊， n 减二，倒数第三项和倒数第二项是分成一组的，这个 x 一 和 x n 是 单独拎出来的，可以这样分组。另一种分组方式是 x 一 x 二放一块， 然后呢 x 三 x 四放一块等等等等。平均分组，因为是偶数个嘛，那最后就是倒数第一个数字和倒数第二个数字数字，这个分成一组。 那为什么要这么分组？因为我们可以构造一个函数，大家可能在想，你要构造什么函数？因为 x 二是不是可以通过 g x 推出 x 三来， x 四可以推出 x 五来？所以你要这么来看的话，咱们就可以这么考虑了。这个 fly 等于 x 加上 g x 吧。对，那它就是 g x 二，它就是 g x 四，就是分奇偶，然后它就是 g x n 减二。哎，我们发现画圈这个里头这个自变量都是什么？ 哎，这个应该写成 f 啊，这个应该写成 f f x 二 f x 四， f x 它偶数可能会有一个结论，基数会有一个结论，那同样的下方也是，这个是 f x 一 基数吧， f x 三基数吧， f x 倒数第二项，这也是基数吧，它可能也满足另外一个不等式， 然后根据两个不等式，看能不能合计，求出它的范围来。写到这，不要把后边都忘了啊。有一个特殊的值，就是 x 等于四的时候，这是一个特殊的情况，斐四 它是等于四，再加上 g 四的， g 四等于多少？它肯定等于八呀。对啊，四加上四等于八，这是一个特殊值，一开始就已经求出来了。 那有了这个特殊值之后，咱们另外要看这个函数，它是一个增函数还是一个减函数呢？来我们研究一下。 看了啊，这个外撇首先对他求导这是一，然后对这求导，他求导的话，根据这样一个形式啊，对这求导这一撇的话，咱们写成什么结构呢？写成这个是一，这个是 x， 再加上四十五，然后再减去二倍的根号下 x 加五，然后一。现在你看一个问题，不用多说什么，它肯定比一小吧？ 对，这个东西肯定比一大吧，比一大的数字减，比一小的数字，你说是不是正数？所以它是什么？ 所以 f 撇大于零的话，那 f 在 整个实数范围内，人家就是一个增函数啊，在零到中乘这个范围内吧，人家就是一个增函数。写到这儿好说了，这个是 f 二吧，这个是 f 四吧， 这个 f 二， f x 二啊， f x 二， f x 四等等。 x 二人家对应的是三点九到四之间，对不对？ 所以它是小于多少的？小于，这个小于八点，每一部分怎么样？每一部分它算出来都是比八小的好，它小于八，它小于八，包括 n 减二，这个也小于八吧，每一个都小于八，所以接下来好说了。看了啊， 第一个是五，这我就直接写了，然后呢？再加上八乘二分之二 t 减二呗，一共有这么多个八，然后再加上， 那这个 x n 是 多少？注意它是一个偶数吧，偶数的话，它所对应的数字就是在三点九到四之间的，所以它比四小，所以咱们这写上一个四，那最终算出来是多少？四 n 加一，这是第一种分组， 那第二种分组的话，就是 far x 一， far x 一， 或者说 far x 三，这个就是 far x 三，它因为下标是基数， 所以 x 一， 咱们一开始就知道它比四大，那么一丢丢，它大于 far 四增函数吗？哦，大于八，每一个括号都比八大呀，那不就大于八乘多少乘二的， 原来是他吗？原来是这么回事吗？再说第一个，可能你在想，你一开始求出来不是八 t 加一吗？八 t 不 就是四 n 啊，清楚啊。好，他最后求出来是四 n 啊。呃，八 t 就是 等于四 n 的， 也就是说 咱们求出来了。求出来什么了？对于什么东西， x 一 加 x 二，一直加到 x n， 当这个 n 等于二 t 等于偶数的时候， 它是在四 n 到四 n 加一之间的一个数字。就这个括号里头，它既然是在四 n 到四 n 加一之间，那它的整数部分是多少？整数部分就是四 n， 清楚了吧？ 那接下来另外一部分我就留给大家来做了啊。一样的方法，当 n 等于二 t 加一的时候，自己来吧。同样的，咱们可以得出来，最终从 x 一 x 二一直到 x n 取整呢，也是四 n。 所以 最后咱们可以分两种情况， 两种情况啊，呃，多少？第一种情况五哦，当里头只有一个 x 一 的时候。另外，当 n 大 于等于二的时候，最终求出来都是等于多少的， 都是等于四 n 的。 行了，应该听懂这个了吧？最后一问的话，你听懂就听懂，听不懂就算了啊。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是阿凡老师，下节课再见。

哎，高三宝子的电子榨菜来了，哎，我们今天呢，从这个题目的难度，考点以及二级结论来给你点评点评咱们这张 t 八联考卷啊。首先来第一题啊， 咱们的这个集合的运算，哎，以及考不等式，对吧？考台子这两个点，哎，直接是顺分题啊，我只能给到一颗星，一颗星，那这道题呢，咱们要注意的是，求并级的话呢，咱们是取中间的，哎，这个是咱们要注意的。 那第二道题呢，考咱们的辅数四则运转以及咱们的共恶辅数性质，哎，这道题呢，也是顺分题啊，一颗星，哎，前两道题错了的，直接读出师门，哎，直接读出师门。 那第三题呢，哎，稍微上了那么一点点难度了啊，两颗星，哎，这道题呢，考的啥呢？哎，考察咱们的 基本不等式，对吧？均值不等式啊，以及咱们的这个形式，还想不到换底公式的，哎，今天熬夜去背这个公式，背到三点 好。第四道题啊，这个点既为三角形的重心，然后又给了两个向量，那这个啊，一定是跟咱们向量与三角形的四星相关的。那这个知识点啊，我之前已经讲过两次了，我之前已经讲过两次了，还记不住的啊，我们去翻一下高二期末考，哎，他这个知识点复习那一块好不好，哎，我写的很详细了。 那这道题呢，还考察咱们重心的性质啊，那咱们三角形的重心，它有什么性质呢啊？它这个重心是平分这条线啊，平分这条中线，它是二比一的一个性质，就是三等分，然后它上面是占两份，下面是占一份的啊，这个咱们要记住了，那这也是稍微稍微有那么一点点难度的好吧，两颗星， 好，哎，第五题，第五题，这道题啊，我说了多少遍了，看到咱们 a n 和 s n， 要么叫 s n， 对不对？哎，我说了无数次了啊，那这里呢，咱们来看啊，要求的是 s n 的 一个最值，对吧？因为是求那么大小等于 s n 嘛，那相当于就是求 s n 的 一个最值，那我们肯定就要想到去消 a n 了， 哎，去消 a n 了，那这里呢，我们一般来说是能找到另外一个这个竖列的，就是要让你自己去找这个竖列啊，并且它这个竖列有什么性质？可能是等比啊，可能是等差。哎，那这道题呢，我没具体算啊，那你看，反正你肯定能算出来。好，这道题也是略微有一点点难度啊，两颗星， 哎，第六题啊，看到这么多，看到这么多字我就烦啊，我最讨厌这种了，但是一般来说，这种题啊，你只要读懂了题目意思，他就是能拿分的，哎，就是能拿分的，我只能给到一点五颗星啊，这个我觉得你能读懂就行，那这里主最主要的地方呢？就是，哎，这句话， 哎，沉水桶 p 啊，刚浮出水面时开始计时，那就说明什么？说明 t 等于零的时候，咱们 d 也是等于零的。咱们这个欧米伽呢，就用这个二派除以 t， 哎，二派除以周期来求啊，那这个 就是三角，三角函数的一个表达式啊，非常简单的。我觉得这道题不该错，不该错。那第七题呢，咱们的双曲线啊，这道题呢，它属于是比较基础的考法， 没有什么特别大的心意，没什么特别大的心意。那这道题呢，我觉得最主要的一个点啊，就是需要竖形结合，你得把这个图形画出来，那你这道题解出来就很简单了啊。 哎，我们的要点呢，就是 a 等于一，并且我们会发现啊，它这个圆的一条一条切线，哎，刚好构成了这个直角三角形，应该是这样的一个形式， 这样的一个形式画的比较丑陋啊，然后我们会发现，这条直径啊，刚好是咱们的 a， 哎，这刚好是 c， 那 这里就是咱们的 b， 那 我们要求的，哎，就是一个 b 嘛，对不对？哎，就是这个 m 啊。这道题也是，只要你把图画出来了，关系找对了，哎，构造出了这个直角三角形，那这道题就能拿下。还是，嗯， 六，有点难度吧，两三颗星。好，那下一道题呢？第八题，第八题啊，我看到这里我啥都不想说了， 超越函数，超越函数啊，那关于超越函数的图像啊，八大超越函数图像，如果你现在还记不住的，赶紧下来背， 哎，赶紧下来背，那这道题呢，如果你能记住这个超越函数的图像啊，那你这道题基本上，嗯，能就能解出来了 啊。那还有一个点呢，就是咱们要注意啊，这个 g x， 你 要能看得出来，如果一个函数啊，它是由这样的一个形式构成的话，那它一定是个偶函数，这个点你一定要能看得出来，那偶函数呢，它因为它要求的是零点嘛，那偶函数它的零点是成对出现的，所以我们只只需要看一半，那另一半就出来了。 哎，这道题最主要的还是这个图像啊，那这道题还是有点难度的，三颗星，三颗半星吧。第九题，哎，第九题，我不想说，不讲不讲不讲不讲不讲吃汤饭啊，那这道题我不说了啊，直接送分，零颗星。 好，那第十题呢？第十题，这道题啊，最主要的就是有一个二级结论，哎，我们 g x 加上 g x 是 g x， 你 把这个带进去，看看你能不能看的出来， g x 它是 g 函数 啊，最主要的是这个啊，如果你知道这条二级结论，那你这这道题就不难。这道题不难，整体来说啊，就是考察函数的这个性质的综合运用，哎，周期性，哎，基友性，哎，单调性等等等等啊，那这道题两颗星吧。 好，十一题，我们来看一下。这道题呢，它是属于啊，这个空间立体几何里比较难的题了，哎，比较难的题了，哎，它是属于这种组合型的啊。空间几何，那它主要的考点啊，就是咱们的这个正四轮锥外接球的球心，它是在它的高线上的， 还有咱们正方体内接球的半径，它是棱长的一半，哎，这是它两个考点啊，那这个呢，还是需要有比较强的空间想象力啊，那这个计算也是一方面，这道题还是有点难度的啊，有点难度的， 哎，第十一题，那这种题啊，就对于这种稍微难点的题，你只要保证啊，你能拿分就可以了，哎，不是说咱非得哎，写三个 这个选项上去，哎，不是说非得写满的，哎，那前面两个呢？这两道题是需要拿分的啊，拿满的填空题来了啊，十二题，我又不想说，我又不想说，二项式定律你背就完了啊，一颗星吧，一颗星吧， 那十三题呢？哎，这个抛物线啊，交点斜率，哎，直线与抛物线交点，巴拉巴拉巴拉。哎，这个就不说了，最简单的抛物线定律，他这个距离相等，对吧？那还有一个呢，就是咱们的这个啊，斜长公式，斜长公式，背了就行了啊，两颗星， 十四题呢，这道题有点意思啊，我觉得这道题是咱们可以去注意的，哎，很多同学在学的时候啊，还是搞不清楚，还是搞不清楚，那 这道题呢，考的是直线与圆的距离，那最主要的啊，这道题的题眼就是，你能不能把圆的方程和咱们 sine alpha 和 cosine alpha 的 关系给它搞清楚，我们有什么？我们有 sine 平方二法加 cosine 平方二法等于一，哎，那我们圆的方程也有什么？ x 方加 y 方等于 r， 哎，你能不能把它们两个关联起来是这道题的重点啊，那这道题呢，哎， 三颗星是有点难度的啊，有点新颖的好解答题啊，解答题第一题简单，如果你， 哎，高三的小宝看到这个还想不起来，咱们的二倍角公式啊，今天晚上不准睡，复习到凌晨三点。这个二倍角公式，那二倍角公式呢？那等式右边呢？那肯定是要进行，哎，这个边角互换的啊，不管是你用正弦定理还是余弦定理啊，反正你就换就完事了。这道题啊，两分吧，大题两分。好吧， 那十六题呢？十六题最主要的是这个啊，哎，咱们的期望，哎，他最根本的是这个啊，哎，咱们的期望，哎，他这个曲值发生的概率， 哎，相加，相加和，那这是他最基本的，那这里呢，咱们就是根据这个公式呢，去求他的这个，嗯，垂直范围了。那这个也不多说啊，这道题概率难度不是特别大。不是特别大，我只能说两科或者两科半吧。 十七题，嗯，空间几何。那我觉得啊，这道题呢，如果说听过我高二复习的那个小伙伴，哎，我觉得这道题应该问题不大啊，最主要的就是一个计算，那面面垂直，我是不是要正线面垂直，然后从而有面面垂直， 哎，那这个线呢，肯定是另一面的上面的线，对吧？哎，这是他这个正面面垂直的一个思路。那空间角计算呢？哎，万能间隙法啊，就不多说了。那就找这个法向量呗。那法，向量两种方法啊，看过我视频的都知道，两个方法，一个，一个是，呃，基本的基本法， 哎，就是根据他的向量乘积为零。那第二个呢？就是，哎，我们有糖葫芦串法对不对？那个可以节省你的时间，哎，你会哪个你就做哪个。 好，这是咱们的立地集合，两颗半。那第十八题不用说了，三颗甚至三颗半啊，四颗我就要给四颗，哎，这道题我觉得第一问不用多说了，最主要的是咱们的第二问，哎，那第二问，哎，这个地方啊，很多同学就卡在这个位置了， 哎，不知道这个面积该怎么转换啊，但是你要注意，它题目中告诉了斜率为二，哎，且它们 a、 b、 p 它是共线的，对不对啊？那它是在一条直线上，那我们 p 是 不是到这条直线，它的这个距离是固定的，对不对？所以它们的面积之比，其实啊，我们可以转换为线段之比。 有没有想到啊，没想到的同学自罚三杯啊。好，那这个呢，是咱们的这个面积比转换成线段，线段长度比，那下面这道题呢，四点共圆啊，四点共圆呢？其实我们有六个判定方法，哎，感兴趣的同学呢，我们先来自己去看一下，然后，呃，这道题呢，我们要问有没有 这个存在，直线 l， 是 的，它四点共圆，那四点共圆，那我们一定要想到直线斜率和这个四点共圆。那他这这道题呢，他可能考察的就是这个他的，呃，内对角是互补的， 哎，那对角是互补的啊，那我想到的应该是这个啊，这道题大概率也是考这个第十九题，十九题就有一点点那种，嗯，高考的感觉了，有点高考的感觉了。那这道题他考的是咱们的高斯函数，也就是取整函数，哎，这个我们高一应该都学过啊高一应该都学过。第一问很简单，不多说了。 那第二问呢？哎，实际上啊，他考察的是一个竖列递推啊，但是他给了你这个结构，你第一想到的是竖列，那第二呢，你还要想到他其实也是一个函数， 哎，它其实也是一个函数，那这个数列它有单调性，对不对？那我们想到，哎，能想到什么？想到这个函数，它的导数，哎，想到它的一个单调性，那这样子咱们就把数列和导数给它结合起来了。 这道题说实话啊，难度大，难度大。哎，咱们如果基础还是比较薄弱的啊，比较薄弱的，或者说中等水平的，嗯，拿不下的咱们就不管了，就不管了，我们拿下第一问的送分题就好了。整体呢，这张卷出题还是出的非常好的啊。啊，咱们的送分题差不多百分之三十啊，中档题差不多百分之四十，难题呢，差不多也有百分之三十。咱们这张卷子我觉得，嗯， 整体出的还可以，但他的这个考点覆盖的不是特别全。不是特别全。那这张卷子我们就先点评到这啦，备考的高三的宝子们不要再当数学白烂人了，我们这一期下来好好看看这些二级结论。 那下期我们再继续点评其他的你想听的卷子好不好？那我们评论区你可以聊一下这张卷子，你觉得最难的是哪道题呢？我们下期再见。拜拜。

嗯，呃，接着我们看一下第八题啊，就我们这期视频呢，主要录三道题，这第二道刚才已经录过了，现在就是第八道。呃，第八道题我看网上的人就说的挺玄乎的，看着挺难。实际上我们注意观察一下， g x 等于这一个，那这个不是一眼能看出它是一个偶函数吗？判断一下，它定义域，一个是大于零，一个小于零，定义域刚好是两边对称的，所以它是一个偶函数。好，偶函数的话，那么我们大概猜一下，它图像 在 x 大 于零的位置啊，它可能是这样画的，我说可能 这样一来，在 x 轴的正半轴，它有两个焦点，那么对称过去之后，它的负半轴自然也会有两个焦点，这样就有四个零点了。所以本质上来讲，我们所研究的是 x 带零时的两个焦点。 好，我们要的是这个好，所以的话，我们限制它的范围呢，是 x 大 于零，我们只观察这一侧， 因此当 x 大 于零时， g x 等于 f x 就 就倒写它是在这个，也就是 一的 x 二 x 减一。好，然后呢，负 x， 要注意，当 x 是 大于零的时候，负 x 它是一个负数， 因此呢，它要代入的是下面这个 k， x 加一，而且是把负 x 带进去，也就是加上 k 乘以一减 x， 好得到这个。然后呢，简单化简一下啊，这个不化简也可以了。 好，这时候我们刚看到这个函数，先不用急着求导，我们来观察一下，当 x 在 趋向于正无穷大的时候，它图像大概是怎么样的？那很明显， x 趋正无穷时， 这是一个指数，而这一个呢，应该是一个正数吧，一个指数增到无穷大的时候，他肯定是大于后面的这一个也是函数的，所以不用想， g x 肯定是趋于正无穷 啊。图像大概是这样画的，也就说，无论如何他从正无穷拐下来碰到的第一个点就是他的这个零点， 导，是它的第二个零点，这个我记为 x 一 x 二。好，这是我们猜测的。图像是这样画的，我们可以简单的求证一下。就是我用求导嘛，求导的话呢，呃，这里也有一个比较快的技巧，一的 x 乘以一个函数 啊，比方说 y 等于一的 x 乘以这个，呃，我用 h 来表示吧， h x， 那 么它导数呢，就等于一的 x 乘以原函数加上 h x 的 导啊，这是一个比较快的计算方法。 好，所以呢，求导之后，取一撇 x 就 等于一的 x， 倒写这一个呢，二 x 减一，求导都是二，也就说在此基础上再加一个二，就是二 x 加一嘛， 而这一个呢，很明显是副 k。 好， 我们观察到，很明显，对，它整体在零到正无穷上，它是增的导航处。图像呢，大概是这样画 啊，这里有一个零点，我们求不出来，我们可以设它等于零啊，这个，这个零点呢，就是它的一个引零点嘛，对吧？设这个点呢，是 x 零啊，所以它是 在零到 x 零上是减的，先减后增，所以这里的话，我们稍微修改一点，他这里是直接减下来再增上去 啊，大概是这样画的。好，因此啊，这是他唯一这样的画法了。我们肯定这个不可能说这个点在下面吧，你想，如果在下面的话， 如果这个点的下面的话，他哪怕先减后增，他最多只有一个零点，所以他必须保证这个点是在上面的，因此他有一个隐含条件，也就是 居零等于一 加 k 啊。看一下零的话，就是啊，是负一加 k， 它必须得是大于零的，也就是 k 是 大于一的好，这是它的一个引含条件 好。然后呢，对于这一个呃，导函数的引零点 x 零，它实际上落在了就这个位置 x 零，我们只需要保证在这一点的函数值是小于零就可以了，因为根据函数函数的零点存在性定律，这个点是大于零的，这个点小于零， 因此它们中间会存在一个零点啊，只要函数是连续的，对于这个也是一样，因为它正无穷上肯定可以取到一个点，是让它大于零的，对吧？所以呢，啊，对于它有两个交点，它的重要条件就是 f x 零小于零就可以了，我们现在就是算这个范围，算出来之后，也就是本题答案就是 k 的 范围。那这里呢，因为 啊，知道它是这样的一个方程，我们很明显 k 是 啊，就是无法把 x 零给解出来了，这不是一个我们学过的有理方程，我们用引引理来表示，也就是 k 等于 一的 x 零，二 x 零加一好。然后呢，我们考虑把它 反带回原来的式子，让他小于零啊，就反带回去。这个其实是在学导数的时候，他是一个非常经典用法，所以我觉得就是对于吐槽这道题比较难的话，大概就是导数 大题写的不太好啊，正常的就是你数学能上一百三的话，写道题计算量算比较小的啊，也没有说网上说的就是达到导数的大题，计算量远远没有达到 好带入的话，呃，就是把 k 带入它呗，得到的是 g x 零，等于前面就倒写，然后这一个呢，加上的是 好代入之后，我们不难想象，这个 e 的 x 零和这一串一些东西应该是能消掉的。好简单口算一下 啊，先把，先拆这个式子，对于它先跟这个拆，然后再跟这个拆， 先跟这个拆呢，口算了之后，一的 x 零提出来，也就是四 x 零一的 x 零，后面这一个呢，它就是加上一减 x 零乘以一的 x 零吧。啊，算了，还算可以啊，呃， 这一个是啊，不对，这一个应该是 x 零乘以。啊，这个我写错了， 跟这个提了之后，剩下的是对它整个式子跟 x 零提出来，应该是二 x 零加一乘 x 零乘以一的 x 零，对吧？得到这样的一个式子，所以的话就会观察这一项呢，是能合并的，也就是等于 x 零一的 x 零，然后这里呢，就是二 x 零加五。好，这个我不知道有没有算错啊，看着这个数挺奇怪的，好像跟我想的不太一样。 加上这个减去啊，这个中间符号是减的，这里是减号啊，我靠，写错了，所以的话就他减他，我说这数怎么算那么奇怪呢， 好得到就是三减二 x 零。好，这次应该对了，对于这个数，我们该来说了，他是要小于零的，这是一个重要条件，小于零的， 好得到就是 x 零，要大于二分之三。好， x 零大于二分之三，我们把二分之三这一个数再代入回这个值来求 k 好 k 的 话，此时啊，如果，如果 x 零等于二分之三 得到就是 k 等于 一的二分之三，乘以这个三加一，也就是四倍的一的二分之三。好，算出这个数，我们就可以排除掉这道题里面的 a 和 d 选项。好，现在我们要看的是它处在哪个范围，因为 x 零呢，是大于二分之三的啊，这是我们求出的重要条件。而对于这个数，它是一个增函数， 增函数我们要保证，就是说当 x 零它很大的时候， k 也是相应的增大的， 对吧？ x 零大于二分之三， k 也相应的增大，所以的话， k 是 持续增大，它会比这个数还要大很多，所以它范围呢，就是四倍的一的二分之三。到这种穷。好，这方面的推理可能不够严谨啊，但大家自己理解就可以了。它是一个增的数， 增了速度。打比方， x 零持续增大的过程中啊，刚才我们求出当他等于二分之三的时候，他的四倍的一的二分之三次方，那他如果持续的增大的话， 他是一个增函数，我打比方，他可能取到一百，取到一百的话，导数等于零的点， k 也等于一百吧，所以我的意思就是他持续增大一百一千一万， k 呢，也是一样的，所以这道题他答案就是选 b 选项。 好，我简单总结下来，就是我看了网上的一些方法，他要么用了分离常数 啊，分离常住，是我把 k 啊单独给分离出来去讨论，实际上是有点麻烦了啊，没有必要正常的用 这个引零点就导数的一个很经典的技巧吧，就能解出来好，计算量也是一般，就注意。呃，像我写的时候就不要跟我一样把符号给写错就可以了。好，这是我对第八题的讲解，好听。

今天咱们来看一下 t 八联考的填空压轴题，这道题目呢，其实有一种方法，用两三分钟就可以解出答案。咱们先把这种方法给大家讲一遍。已知 alpha beta 属于 r， 并且满足这个等式求的是 sine alpha 加上 cosine beta 减二的最小值， 那么两个乘积等于零，那就说明它俩至少有一个为零。所以如果我们假设 sine alpha 等于 sine beta 的 绝对值，那么大家来看，问题 其实就变成了 sine beta 的 绝对值，再加上 cosine beta 再减二，那么要想让它取到最小值， 咱们来看一下。如果前面的绝对值是最小，说明它等于零，那么 beta 有 可能是零，也有可能是 pi， 而当它等于 pi 的 时候， cosine beta 恰好 为最小值负一，所以两个可以同时取最小，那对应的最小值当然就是负三。我们可以再尝试一下，让它等于零， 然后把 cosine beta 换成 cosine alpha 的 绝对值，那就变成了 sine alpha 加上 cosine alpha 的 绝对值再减二，同理让这个为零， alpha 可以 取负二分之派， 此时的 sine 阿尔法恰好是负一，也是最小值，那算出来的最小值还是负三。所以如果你不会做这道题，那么用这类方法直接把答案写出来，就是负三，就可以交卷了。那么如果我们想严格的去说明一下它为什么是负三，咱们可以使用下面的这种方法 来看。第一种情况，如果它俩相等，我们假设 sine alpha 是 x， cosine beta 对 应的是 y， 那 么其实问题就会变成 x 加 y 减二的最小值，是不是就可以转成函数的问题？ 那么我们来看一看这个 x 和 y 之间有没有什么必然的联系，那么这个 x 是 sine alpha， 也是 sine b 的 绝对值，所以 x 方加上外方，它一定等 于一，但是这个 x 呢，是 sine b 的 绝对值，那就说明咱这 x 一定要大于等于零。所以通过这个关系，咱们看出来了 x y 这个点呀，在一个 以零零为圆，心一为半径的圆上，并且是右半个圆，咱们把这个图给他画一下，先画出坐标轴，然后咱们来画一个圆。画出这个圆之后，大家注意， x 是 大于等于零的，所以它是这一部分，也就是右半个圆，从 a 顺时针转到 b。 接着咱们再来看第二种情况，如果这个东西等于零，那说明 y 等于 cosine beta， 也等于 cosine alpha 的 绝对值，并且它是大于等于零的。而 cosine alpha 和 sine alpha 之间也满足 平方和是一的关系，也就是 y 方加上 x 方，它是等于一的，只不过 y 对 应的是大于等于零，也就是这个圆的上半部分，所以从这个地方开始，所以整个 x y 所在的图形区域就应该是这个圆的四分之三部分。那接着再来看问题，求它的最小值，咱们把它看成一个小 m， 然后把它整理成一个直线的方程， y 等于负 x 加 m 再加二，一个斜率为负一的直线与这四分之三个圆要有交点， 求的是 m 最小值，相当于在求这个直线与 y 轴交点纵坐标最小的时候，所以只可能是经过 c b 的 这条直线，那么此时的 m 加二就等于负一，最终 m 就是 负三，所以最小值还是负三。 对于这道题目来说，如果同学们实在不会做，其实可以用第一种方法把它迅速的求结，但如果你想了解它的原理的话，可以使用第二种方法。

现在是凌晨四点五十五啊，今天就通宵，这套卷子我都得讲完。哈喽，家人们，我是交大大三的彭彭头学长啊，今天考的这套题吧，真的是太棒了，我一定要讲完，并且这套卷子对于今年高考有什么指导性啊？我的最后会讲， 而且我讲的讲法会和网上所有你见过的全都不一样啊，每一道题我都会讲他背后的题型以及方法论啊，像这些每一道题型，他背后的那些通法，我都会给大家讲的非常清楚，而且我会有很多我独创的方法以及结论啊，就可能表达他太繁琐了。而且啊，就算哪怕是涉及到了没考的考点啊，就比如说像这个第四题，他考了重心，但是呢，重心我会把他整个一系列的五大考法全都给大家讲一遍， 而且我会告诉你他抄的是哪一道题，就比如说这个第七题，他完完全全就抄的这一道题啊，我是二年高考的，他做的我 考场上的十一题啊，就是完完全全，你看两个图一模一样，并且考法都是一模一样的，好吧，我都会给大家讲透的，而且这是一道啊，这个错题我等会给大家讲，好吧啊，而且每道题我都会给你一道同类型的题，就比如说第五题，我会给你一道，哎，就是同类型的题啊，就确保你一定会的是一类题啊，说句实话，就是 任何一套卷子啊，哪怕你就是听老师讲，可能你都懂了，但是你如果不会背后的题型方法论，对吧？你下次稍微变一下，你又不会了，这就是你们学校老师讲，为什么？哎，你总感觉听了没用，对不对啊？我们的目的就一个，就是会一类题，而不是会一道题，只要听完啊，绝对保证你不会， ok， 我 们废话不多说，先开始好吧。 啊，首先啊，这个第一题啊，这个第一题非常简单啊，就是一个啊，解两个不等式，然后最后取一个并集啊，这个很简单啊，首先这是一个二次函数，明显十字相乘，对不对啊？分解出来就是一一，还有这个负三一，然后分解出来就这个东西，然后呢，他的零点是三，他的零点是负一，我们只需要画一个开口向上的二次函数，然后一个是负一啊，一个是三， 然后呢，他是大于等于零，那无非就取这两段吧，对不对？所以一个是小于等于负一，一个是大于等于三， ok， 这是哎，这个 a 的 一个解集，这个我觉得 高中生应该都没有问题，对不对？可能有问题的就第二个啊，就是这个捞引， x 大 于二分之一，这个可能很多人不会写啊，这个方法就是捞引，因为它是一个递增的，对不对？所以呢，直接 x 放在这里，就这个真数， 我不动它，然后呢，不等号，也不用编号，然后呢？哎，直接 x 又大于，把这个底数是 e 直接放过去，所以 e 的 二分之一次方，那就是根号 e， 所以呢， b 的 解析就是 x 等于根号 e， 那 这样的话，哎，就最后取一个并集呗，对不对？一个是 f 求到一，然后呢，这个大于三和这个大于根号大于等于根号 e 嘛，对不对？因为 e 是 多少二点七嘛， 对不对？那根号 e 肯定小于三，所以呢，最后就选 b， 好 吧，这是第一题，非常简单啊，然后我们先看一下第二题啊，第二题是一道复数的题，这个题啊，其实有很多种方法，包括那个标答器也给了两个方法，但是我给大家讲一个通法，就是基本上复数，如果考前面的小题，他通法非常简单啊，这个相声大家都会啊，就是直接设出来我的那个啊，这个这个复数 z 啊，等于 a i 再加上一个 b， 那 我的目的其实本质上就是根据题目给的这个信息，然后呢，把这个 a 和这个 b 给它解出来，对不对？然后呢，再带到最后的这个东西里面，就可以 求，就可以求出基本上所有的这个复数题了，对不对？然后呢，我们现在做一下这个题啊，我们先把这个 c 啊，先把这个复数 z 啊，给它设出来啊，等于 a i， 然后再加上一个 b， 然后呢题目给了一个这个东西，那我们你看这里有个 z， 这里也有个 z 啊，给它带进去啊，就得到这么一个式子， 对吧？然后呢？然后呢？哎，你把它整理一下，你看啊，三减去一个 a i， 然后减 b， 再乘一个 i， 三减 b， 然后呢，再减去一个啊，这个 a i 的 平方，然后 i 的 平方啊，众所周知，等于负一，所以呢，这个东西本来就加 a， 对不对？然后左边就是二 a r e， 再加上一个二 b 加一，那这样的话，其实你就已经能看出来了，是不是叫对应系数相等啊？对不对？你看啊，现在就是这个啊，这是 i， 然后呢，这个也是 i， 所以 i 前面的这个东西是相等的， 然后呢这个长竖线呢？哎，这个也是相等的，所以你就可以在旁边列一个等式，你看啊，就是二 a 就 等于这个三点 b， 哎，列出来，然后呢？二 b 加一等于这个 a 啊，也列出来，然后这是一道初衷的 二元一次方程组吗？对不对？然后解这个 a 和 b 就 可以了啊，非常简单，把这个 a 给它带进去，然后就可以解出 a 是 五分之一， b 是 五分之七，对不对？所以呢啊， c 这个就出来了，等于五分之一 i 加五分之七，当然就是，嗯，可能会有些其他解法，就比如说你直接通过这个式子啊，也能直接解出来 z， 但是呢啊，我给大家讲的这个东西是同法好吧， 啊，然后我们现在已经知道了这个复数的这个这个是多少了，然后现在题目问的是什么？问的是我的这个 z 乘 z 吧， 那这个就是啊，我一个负数乘以共讷负数，这是一个结论，这个学校老师肯定都讲过，就是一个负数乘以它的共讷，一定是等于我的一个这个魔长的一个平方，可以说是魔长，对不对？那魔长的平方等于 这个东西，它是怎么正的呢？啊？很简单，就是我的这个 z， 如果是 a 加 b i 的 话，那 z 一 拔，就是把这个加号变成减号，这个应该没问题吧，因为可能会有一些这个基础不是很好的，所以我会讲的很细啊，如果你这里会的话，直接往后翻就可以了，好吧， ok 啊，然后你把它展开，那就是 a 方，然后呢？减去 a b i， 然后再加 a b i， 再减去 b 方平方，然后呢 a 平方等于负一，所以这个东西就是什么 加 b 方吗？对不对？然后呢，这两个小的，哎，所以呢，就是 a 方加 b 方啊，然后我们也知道，如果你的 z 是 a 加 b i 的 话，那你的魔长等于多少？是不是等于根号下 a 方加 b 方，哎，所以你发现如果我的 z 乘以 z 吧，你不就是我的什么，那不就是等于 z 的 魔长的平方吗？明白了吗？ 好吧，所以现在啊，我们这个东西就已经知道了，它等于 z 的 魔长的平方啊，然后呢，那 z 的 魔长等于多少呢？哎，算一下， z 的 魔长，哎，就等于根号下 a 方加 b 方， a 方是等于五分之一的平方，那就是二十五分之一，然后呢， b 方是二十五分之七七四十九，所以等于根号二，对不对？所以魔长是等于根号，那这样的话，你的平方就等于二呗，明白了吗？所以这个题选 c， 好 吧，这就是啊，给你讲了一个这个复述的一个通法，当然你的平方就等于二呗，明白了吗？所以这个题选 c， 这就是啊，给你讲了一个方法去做其他的复述题，也一定是可以做出来的， 好吧， ok 啊，我们现在这个题过了，然后第三题啊，这个题，这个题非常的好，就是啊，你发现现在其实高考就已经有这种趋势了，这个等会我再最最后再说吧。就是啊，首先就是你看到这个东西，我不知道你的第一反应是什么， 如果说你的第一反应不是换底公式的话，那说明啊，你高一或者说函数这一块，你的基础是非常差的啊，所以今天就是给大家就是把这一类题型一定都给大家讲清楚，就是你记住一句话，当你在发，你在分母上啊，发现有对数的话，那一定是用换底公式的， 明白了吗？好吧，一定是用换底公式的，就比如说我下面给你的这道，就这个题，他本质上抄的是什么？抄的就是二四年，就是去年考过的一道假卷的一道题啊，就是这个题，你看，哎，是不是分母上啊？有这个对数，所以呢，一定是用什么？一定是用换底公式，明白了吗？好吧，我们现在看一下这道题，那什么叫换底公式呢啊？可能有人连换底公式都不会，那我们现在讲一下，好吧，就是 照顾一下这个基础不太好的同学，但是呢，嗯，很重要，所以一定要，一定要会，好吧。什么叫换底公式？就是 log 以 a 为底的 b， 我是 可以给他写成什么呢？ a 可以 给他写成 log b 比上一个 log a， 明白了吗？那有人可能问，那能不能写成 log 比上 log a 呢？当然也是可以的，就是我这个底数，这个底数是十吧，这个底数是 e 嘛？这个底数是什么都无所谓，只要把这个整数 b 放在上面， a 放在下面就可以了，对不对？那同样的话，是不可以就是随便写，对不对？ log 以 c 为底的 b 比上 log， 以 c 为底的 a， 就是 随便写，都可以，明白了吗？ 所以呢，就是你在题目里面如果看见你的对数在分母上一定有换底公式就可以了。那比如说你看 log 以 a 为底的二，它是不是就等于 log 二比上一个 log a 啊，对不对？然后呢，你给他取一个倒数，因为是分之一啊，取一个倒数，那不就是 log 二分之 log a 吗？ 明白了吗？那同理你这个东西啊，那就是 log 二分之 log b， 你 一发现你一旦用换底公式之后，你这个题就非常简单了，因为我们的分母是一样的呀，对不对？然后呢？ log a 加 log b， 那 就 log a b 啊，这个应该没有问题，对不对？然后到这一步了，你看是不是？哎，又是换底公式，直接 log 一 二为 a b， 你 发现 对吧？一道题，你通过换底公式就可以把这个题目给你，这个好像看着没什么头绪的东西就可以画的非常的啊规整，所以最后题目问的是这个东西的一个最小值，那你说白了，你题目问的这一坨东西等于 log 以二为底 ab， 那 其实本质上是不是在问 ab 的 一个最小值啊？ 明白了吗？好吧，所以这个题你明白之后啊，你明白要求 ab 最小值之后，那说白了就得根据左边哎，这个式子去求一下 ab 最小值， 对不对？那怎么去求呢？这就是一道非常经典的叫什么叫不等式，里面的求谁流水。你发现现在就这种题，就是真的是很综合，就是不再像，就是我们可能二二年，对吧，二一年就前几年啊，前三四年吧，就那个时候就是一道题，他可能就是考一个东西，但是现在呢，就是夸张点，综合就真的是，嗯，全是这样的啊，这个 给大家怎么指导就怎么去复习，我在最后会说，好吧，我先讲一下这个题型，就是什么叫求谁流水呢？就是你看啊，现在我这是一个东西，就明显能想到基本不等式吧，对吧？然后呢， 现在我们要求的是什么？要求的是 ab 的 最小值，那你看这个 ab 是 不是要求的，那么求谁留谁，那就得把这个 ab 给它留下来，然后呢，哎，把右面这一坨东西，不是我们要求 ab 的 这个形式，对不对？我们要把它用基本不等式，然后呢往 ab 上去转化， 那怎么怎么就用哪一个基本不等式就可以转化为 ab 呢？就可以出现 ab 呢，是不是啊？一坨加一坨大于等于两倍的根号，下一坨 啊，用这个东西，明白了吗？那所以现在 a 分 之一加 b 分 之一，那就大于等于两倍的根号加 a b 分 之一，哎，你发现现在整个这个式子里面只有 a b 了，而没有什么别的形式了，所以这个就叫求谁留谁，好吧，这个是基本不等式里面真的是非常非常常考的一个题型，而且也是最容易啊，就是和其他章节去结合的题型，所以一定要会，好吧，然后 啊，然后这个式子就可以写为这个根号 a b， 然后大于等于这个二，比上一个根号 a b， 然后呢把这个根号 a b 乘过来，所以呢，就 a b 大 于等于二，那换句话说， a b 最小值等于二嘛，对不对？那 a b 最小值等于二，哎，带到这里面，所以你的最小值那就等于 log 以二为底，二就等于一嘛，对不对？所以这个题就做完了，哎，所以这个题选这个得，哎，就可以了， 明白了吗？总结下这个题，这个第三题就是整套这道卷子啊，就从这个第三题开始就已经啊，有点意思了，好吧，首先先考了一个东西，叫对数，如果在分母上，我们一定要尝试用换体公式，然后呢，就是啊，这个求谁留谁，基本不能是里面非常重要的一个题型， 好吧，这是我们的第三题，然后这个题本质上是靠抄的，我刚已经说了，他抄的是二四年假宣的这道题啊，这个题大家去自行完成就可以了，就是和这个题是一样的做法，哎，出现对数在分母上，那么就用什么，用换体公式就可以了，明白了吗？ ok 啊，然后我们现在看下这个第四题，这个第四题也非常的好啊，又考了一个这个解三角形和这个向量啊，又是夸张解综合，所以呢啊，非常有意思，他说这为这个 abc 的 一个重心，那么你看到重心你能想到什么？ 如果是我或者是我的学生的话，他肯定第一反应，哎，直接五大考法，直接就像什么，就像是那种条件反射一样，像照片一样，直接出来了， 对不对？那我们看一下有什么考法。首先啊，什么叫重心啊？重要的心，对不对？非常重要，他叫中线的焦点，对不对？然后呢啊，你比如说你在这个三角形里面，你看啊，这个是 a 啊，然后这个是 b， 这个是 c， 然后呢，哎，我们是中线的焦点，所以呢，你看这个 e 是 终点，然后这个 d 也是终点，所以这个就是重心 g， 对 吧？然后呢，他有一个三等分点的一个性质，叫做 aj 比 j 等于二比一，就是一，他是一个二比一的关系，那同理对不对？那同理，你看啊，我这个比上这个是不是也是二比一的关系， 明白了吗？所以就是它还有一个三等分点啊，这个二比一的一个性质，然后第三个就是 a g 向量是可以写成三分之二的一个 g 的， 这个 a 的 这个是我们刚刚已经说过它是一个三等分点吧，所以呢，你看我的这个 a g 向量是不是就可以写成三分之二的一个 a 得向量，对不对？而 a 得，因为这个得是中点，你是不是就可以翻译成二分之一的 ab 加 ac， 对 不对？你看我的 a 得是不是就可以翻译成二分之一的 ab 加 ac， 明白了吗？所以你就可以把 a d 向量用 ab 加 ac 去表示，这是向量的第三个考法。 然后项链第四个考法就是 j a 加 j， b 加 j c 是 等于零的，就比如说这是我的这点，然后呢， j a 这个项链加这个项链加这个项链是等于零的啊，这个为什么自己去推，好吧，自己去推啊，然后啊， 这是一个怎么说呢？也可以说是这个项链里面是考的这个重心里面考的非常重要的一个东西。然后呢，我们就可以用奔驰定律这个结论啊，这个啊，我就我觉得不用多说了吧，烂大街了都已经，好吧，如果还不会的话，去这个网上去随便搜啊，什么叫奔驰定律？好吧，这个题没关系，我就不多说了。 然后呢，第四个，第五个考点就是 g g 的 这个重心的一个坐标表示，就比如说你看啊， a 如果是 x 一 啊， y 一， 然后呢？ b 是 x 二啊， y 二，然后 c 是 x 三 y 三啊，在上在在，这个可能你建完 c 之后啊，然后呢，那你就可以把这个 g 的 一个坐标就可以表示出来了，明白了吗？这是向量的五大啊，这个是重心的五大考法。 好吧，这个我希望就是啊，虽然这个题只考了前两个，但是我希望这五个啊，都可以啊，出现在你的笔记本上啊，都可以，就是你把它记下来，然后以后做题的时候可以用的。好吧，这也是我今天就是为什么通宵讲这个东西的一个初衷吧，就是你一定不要就是光想着我要会这一道题，没有用啊，真的，你做了那么多题啊，有什么用呢？ 你背后的一类题你不会有什么用呢？说句实话，有什么用呢？对不对啊？所以呢啊，一定要把这些题型的东西一定要好好的去记啊，好的，去，去做题去用 啊，然后我们现在看下这道题啊，他说我是重心，然后波 j 等于 lamb 的 倍的一个 b c 加上缪倍的 a j， 你 看啊，波 j， 波 j 在 哪？波 j 就是 这个向量等于 lamb 的 倍的一个 a j 加上缪倍的一个 b c。 我， 我用这个黑色笔把这个题目里面的这两个向量又标出来了，然后你 lamb 的 减缪，那姐，说白了，这个不就是减 lamb 的 缪吗？ 那换句话说，那不就是让你用 b c 和这个 aj 去表示这个 aj 吗？对不对啊？所以这个题就是一道非常经典的叫什么叫转化基地， 就是非常经典的项链里面的一个东西叫转化记忆。这个啊，相信很多人这种题都已经做了很多了，那他的方法论是什么呢？哎，跟我记，我的总结叫做先用显而易见的记忆表示法，然后呢，再往题目上转化啊。我们举我们说一下是什么意思，可能你不懂，就是什么叫显而易见的记忆表示， 就比如说你看这个波 j， 我 怎么样就是怎么样，表示是显而易见的，是不是三角形法则或者平行四边形法则啊？对不对？你看我的这个波 j 向量，是不是很显然等于波波德向量，再加上一个德 j 向量，对不对？这是不是非常显而易见的？所以我们就把这个先写出来， b j 向量等于波德加上一个德 j， 然后写出来之后呢，再往题目上去进行一个转化啊，题目上要的是什么？要的是用 b c 和 a g 啊，你这里写的波德和这个德 g， 那 肯定不行，所以呢，我们要把这个波德和这个德 g 往这个题目上的这个什么题目上的这个 b c 和这个 a g 上去转化，明白了吗？ 好吧，所以我们先看一下这个 b 的 啊波的，你看，哎，波的在这，哎，我们知道重心是中线的焦点，所以呢的是中点，那这样的话，你看我的波的不就等于二分之一倍的一个波 c 吗？对不对？那不就等于二分之一倍的波 c 吗？所以呢，你看这个题，直接 就可以把这个波的转化成二分之一的 b c 啊。那你看，现在已经成功的转化到了我们需要的这个题目，题目里面需要的这个向量了，对不对？然后呢， d j 怎么表示呢？哎，你看 d j， 它是这个绿色的向量，哎，我们说 重心它是有一个二比一三等分点的一个性质的，对不对？你看这个是一，这个一定是二，它有一个二比一的关系，那这样的话，你看的这向量是不是就等于负的一个啊，这个 g 的 向量对不对？你看我这里写了它等于负的一个 g 的 向量，然后呢， g 的 等于多少呢？你看 g 的 向量是不等于三分之一倍的一个 a 的 向量，对不对 啊？这个应该是等于二分之一的一个 a j 项，他用，他要用 a 这个 a j 表示他，你看这是一，这是二，他是不是等于二分之一的 a j 项呢？对不对？所以呢，你看啊，负的一个这个就等于负二分之一倍的一个 a j， 那 这样的话，你看，哎，题目里要的是 bc 和这个 a j， 我 已经成功的把这个显而易见的这个表示法已经转化成了题目要的这个东西了， 明白了吗？好吧，所以你就已经能直接写出来了，我的伯爵啊，就等于什么？就等于二分之一的 b c 减去二分之一 aj 嘛，对不对？所以来的等于二分之一，没有等于负的二分之一，哎，易减发现等于一啊，这个题做完了， 明白吗？好吧，这个题总结一下，就是他考了一个啊，转，第一个是考了一个重心的两个，就是最常考的两个性质啊，这个是啊，毋庸置疑都得会的，哪怕你现在只能考个一百分啊，只能考九十分啊，你都得会啊。但是呢啊，第二个转化机制也是都给大家讲了，我希望大家可以好好的去整理一下， 好吧， ok， 这个第五题，这个这个第四题挺好的，然后第五题这个就，嗯，怎么说呢，就比较常规了啊，但是我还是相信很多人还是没有做出来。我们现在跟他讲一下，就是他给了一个什么东西呢？给了一个这个东西，哎，这是个什么东西 啊？书列里面复习过了吧？这是个什么东西？这是不叫 is 的 一个混搭式啊，对不对？这在任何一本啊参考书或者说复习资料里面都有，这叫 is 混搭式。那 is 混搭式我们怎么处理呢？ 怎么处理呢？你记住啊， as 那 是有两种处理方法，第一种叫 s 划 a， 第二种叫 a 划 s。 那 这道题我们重点讲这个首选的叫首选的一定是 s 划 a， 那 s 划 a 有 两步，可能学校老师一般都只讲第二步，但是第一步其实也很重要，就是你得先把 s 的 系数给它去掉，然后第二步呢，叫退 n。 什么叫退 n 呢？退 n 就是 把 题目里的那个式子里的 n 全部换成这个 n 减一，明白吧？好吧，然后呢，再写一个形式，再去相减。这个我们等会就是给大家演示，然后现在把题读完，然后他说，哎，对，任意的一个 n 属于 n 心，然后来 m 大 于等于这个 s， n 横成立， 这就是竖列里面的一个横成立问题，无论是竖列还是别的题都是一样的，就是你这个一个数字啊，来， m 是 一个参数，是一个常数吗？对不对？然后呢，你这个常数要小于 s n， 什么意思？你想 我，哎，这个，这个，比如说是我吧，我要比你们全班人啊，就任何一个人都考的低。那是那，那是，不，说白了，就是我要比你们班的那个最后一名考的低啊，明白了吗？所以来呢，只需要小于等于这个 s 最小值就可以了。那其实说白了啊，你要求这个来呢范围，那不就是求这个 s n 的 一个最小值吗？ 对不对？哎，这个题又考了一个什么东西？叫 s n 的 一个最值问题。好吧，这都是题型啊，就是，我就我不理解，就是为什么学校老师他都不去总结题型呢？ 这题型会了这这整套卷子真的非常简单。好吧，那 s n 最值问题的方法论是什么？叫列一个核心不等式就可以了？就是啊，你想啊，这个 s n 的 最，这个如果是个最值，你想啊，嗯，就比如说，你看你有最小值，那说明什么？那说明 a n 它是一个一次函数的话，它是不肯定是长这个样子，可能前面是负的，然后呢，后面是正的， 你想可能，哎，这一项加这一项，那就是负的，加负的肯定是负的越多了，所以呢，你这个 s 就 递减的，然后呢，后面，哎，就开始加成正的了，你加完正的之后，你是不是就开始低增了？那说白了，你的转折点，你的最小值是不是就在这里啊，对不对？所以呢，你只需要列一个不等式，叫 a n 是 小于等于零的，然后 a n 加一是大于等于零的，然后去解这个 n 就 可以了。好吧，这就是核心最值不等式啊，这个等会还是可以会给大家演示的， 所以大家不用怕啊，如果你现在还听不懂啊，不用怕，然后我们现在看一下这个题啊，首先我们先完成第一个叫 a s 很 难式的处理方法啊，我们先把题目的这个式子抄下来，叫 a n 等于 s， n 比 n 再加两位 n 减一啊，抄下来之后，我们第一步是什么来着？叫把 s 的 一个系数给它去掉，那就比如说这个题，你看我 s 的 系数现在有一个 n 分 之一啊， 对不对？那这肯定是不行的，所以呢，我们先给等式两边同时乘一个 n， 得到这么一个式子啊，然后把这个 s n 的 系数给他，哎，给他去掉了，去掉之后呢，第二步叫什么叫退 n， 然后写一个新式子相减，那退 n 的 话，那就是把 n 变成 n 减一嘛，对不对？你看所有的 n 啊，全部变成 n 减一，那就得到一个新式子， 然后呢，上面这个叫一式，上面这个叫二式，我们只需要给两个式子相减就可以了，那众所周知， s n 减去 s n 减一，那不就是等于 a n 吗？对不对？然后呢，你给他两式相减完之后，就这个啊，如果你跟不上，你可以暂停视频慢慢看好吧。啊，然后呢，得到这个式子之后， 给他化简一下，把这个 a n 给他挪过去，那这样的话，就是 n 减一倍的 a， n 减一倍的 a， n 减一，等于四倍的 n 减一啊，然后呢，我们都有一个 n 减一啊，那这样的话，如果 n 大 于等于二的话，就可以给它消掉，对不对？所以呢，把这个 n 减一全部约掉， 遇到之后呢，就是 a a n 减 a n 减一等于四，哎，所以你发现，哎，好像是一个等差数列，那这时候我问你个问题啊，你这时候能就是百分之百啊，信誓旦旦的告诉我， a n 一定是一个公差为四的等差数列吗？能告诉我吗？ 啊，这个是绝对不行的，因为我们在这里默认了 n 是 大于等于二的，如果你这个 n 等于一的话，你这个式子是没法除以 n 减一的，对不对？你是没法把这个 n 减一约掉的，所以呢，我们现在还需要验证一下。怎么验证呢？哎，我们先求一下 a 二， 哎，怎么去求 a 二呢？你看题目里有这么一个式子，然后呢，告诉你了，这个 a 一， 那这样的话，你看 a 二是不是就等于 s 二比上一个二，再加上一个两倍的一个二减一啊， 对吧？然后把这个式子抄下来，所以呢， a 二就等于两二分之 s 二加二，然后 s 二呢，就等于这个 a 一， 题目告诉你呢，等于负五，所以呢，就等于负五加这个 a 二，所以这个式子解出来， a 二等于负一，哎， a 一 等于负五，没问题，哎，就是差了一个四，对不对？所以呢，你就可以就是非常 自信，非常信誓旦旦的告诉我，哎，这个，这个，这个 a n 他 就是一个公差为四的，就等他树立了，明白了吗？哎，那这样的话，首项为这个负五，然后公差是四，就可以把他的这个同向公式写出来了，等于四 n 减九 啊。然后这个题，呃，你如果就是按这个方法论就是通法去做的话，没问题啊，你就先列一个叫四， n 减九小于等于零，你发现 n 小 于等于四分之九，那说白就 n 等于一或者等于二嘛，对不对？四分之九就是这个二点几嘛，对不对？然后呢，你再列一个，这个应该是大于等于零，我写错了，然后呢，就是 n 大 于等于四分之九，也就说，哎，从 a 一 到 a 二这两项就是负的， 然后呢，从 a 三以后呢，就是正的，对吧？那你想 a 一 和 a 二是负的，那 s 一 和 s 二你觉得谁大呢？那 s 二是不等于在 s 一 的基础上又加了一个负的，就减了一点点嘛？那 s 二是不？肯定是哎，肯定是比 s 要小一点，对吧？ 然后呢？啊， a 三开始又正了，那你想 s 二，哎，又加一个 a 三，加一个正数，又变成 a， 又变成 s 三了，那这样的话，你看 s 三是不是又上去了，然后 s 四，哎，越来越大， s 五越来越大，所以你整个 s 的 图像应该是这个样子的，对不对？那你的最小值其实就是 s 二了， 明白了吗？好吧，所以 s 最小值就是 s 二， s 二等于负一，然后再加上一个负五，对不对？所以等于负六，哎，所以 s n 的 最小值等于负六，明白了吗？好吧，所以最后啊，只需要 number 大 小小于等于负六就可以了，所以这个题直接选这个 a 就 可以了，好吧，这个题 啊，其实当然就是这个题比较简单。简单在哪里呢？就是你想啊，这个 a 一 如果等于负五， a 二等于负一，然后我的公差又等于四，你其实 对吧，你其实稍微动一下脑子，你都能想清楚， a 三肯定是正的嘛，对不对？ a 三，那不就等于负一，再加上一个四等于三嘛，明白吗？所以，其实，哎，你其实完全可以不用列这里的不等式哎，直接就可以看出来我的这个啊，整个 a n 的 一个这个正负的一个关系了，对不对？但是呢，嗯， 我这里给大家讲的是通反，那你想如果下次呢？对不对？如果下次呢，可能学校老师就告诉你，直接看出来了，但是下次如果说可能从 a 一 一直到 a 七都是负的， 然后呢， a 八 k 胜了，那你的最小值可就是 s 七了啊， ok 啊，然后这道题我给大家准备了一道这个同类型的题，你看好像和这个题很像，对不对？所以呢，我希望啊，大家可以把这个题下来自己再做一遍，就基本上和这个题就是除了最后的那个求最值以外啊，就是这个 is 混纳是，这是一个 无敌无敌重要的一个题型，好吧，把这个题型能给大家练透啊，我觉得这个就是我的这个今天的这个初衷就达到了，好吧，所以这个题一定要下来自己练一下，好自己完成。好吧，如果这个第六题啊，这个第六题也非常有意思 啊，是一个和这个现实结合的一个东西啊，但是也很简单，也是常规题型。我们先读一下题，他说我这个车筒啊，他的半径是二，那你看，那我的半径这个就是二呗，对吧？然后呢？啊，他说我的每分钟转一点五圈啊，然后呢？什么啊？轴心 o 去水面的高度是根号三，哎，这个是这个长度是根号三， 呃，然后呢，他说我这个盛水桶就是我这个桶上，我这个这个这个圈上啊，这个这个马，这个这个应该不叫马车吧，这个应该叫什么东西啊？检车啊，检车啊，他这个这里有一个这个桶，然后这个桶呢距离这个水面的高度我们设为低了 啊，然后呢题目我们再读题，然后他说我这个什么，哎，从刚浮出水面时开始计时，也就说我这个 p 可能到这的时候往上转的时候，刚到这的时候开始计时，就那个时间 t 等于零的时候，对不对？然后呢？哎，这个 d 和这个 t 的 关系，哎，是一个啊，三角函数三的一个关系，然后最后让你求费，这不就是一个什么东西，这不就是求解析式的题型吗， 对不对？我给大家也准备了一道题，这个等会再说，这就是求解析式的题型啊，对不对？那怎么求呢？首先特殊点嘛，你看，哎，那明显 t 等于零的时候，我这个 d， 你 看，刚浮出水面，那不就 d 等于零吗，对不对？所以呢，你看啊，你如果说 f t 啊，就是我的这个 d 就是 f t 啊， f t 如果等于这么一个东西的话，那说白了，你的 f 零是不是就等于零， 对吧？我这个就我的就 t 等于零的时候啊，我的这个 d 是 等于零的嘛，对不对？这个能理解，就是刚浮出水面开始计时嘛，所以呢，你就能哎，把这个零如果给他带进去的话，那这样的话就是直接哎，这些就没有了，所以就 a 乘以三以内加 k 等于零， 那最后你看啊，我现在要求什么？要求我的 f， 那 且说白了，你只需要求这个 a 和 k 就 可以了，明白吗？那最后这个题就转化成了，我现在需要求出 a 和 k 啊，一个是我的一个这个啊， 加减的一个常数，那这个怎么求呢？哎，就记住一句话，就是，哎，只要是下次问你求 a 和 k 就 怎么求，我们应该怎么求 f， 这个啊，看我之前视频啊，自己去看，但是呢，怎么求 a， 怎么求 k 呢？这个很简单，你只需要去看我的最高和最低就可以了，明白吗？什么意思呢？就比如说我拿下面这个题给你举例子吧，你看啊，这个题我的最高叫六，你的最低是负二， 那么你想一下我的这个 a 等于多少呢？或者说你或者说你先想这么一个事情，就是，哎，什么时候我取到一个最大值就等于六呢？哎，什么时候我取到一个最小值等于负二呢？你可以思考一下什么时候 是不是当整个撒引这一坨东西，如果等于一的话，我就取最大值，如果取负一的话取最小值呗， 明白了吗？因为萨以本质上就是负一到一嘛，对不对？那你想，如果我取一的话，那就是 a 加 b， 所以呢，你是不就能得到 a 加 b 是 等于六的呀，对不对？然后呢，我如果取负一的话，那是不就你就能得到负 a 加 b 一定是等于这个最小值等于负二的呀，明白了吗？你只需要把这两个式子只要给它列出来，然后去解这个 a， 去解这个 b 就 可以了， 对吧？啊？那这个题你现在自己去解吧，然后我们现在看下题目，这道题啊，那怎么去求这个啊？怎么去求 a k， 你 看我这给你写清楚了啊， a 加 k， 也就说我这个算术费等于一的时候，最大的时候，那就是 a 加 k 啊，我是等于这个大 m 的， 然后呢， a 负 a 加 k 就 等于这个小 m， 这个刚已经讲过了，对不对？那我们现在看一下大 m 和小 m 都是多少啊？这个，我的这个，这个，这个，这个 f t 就是 d 吗？你看这个 d 最大是多少？ 这个 d 最大是不是在这，在这的时候最大吗？对不对？那你看我离水面的高度是多少，是不是等于这个？哎？二，然后再加上这个根号三吧，明白吗？所以呢，我的大 m 就 最高值最大点啊，最大的值就是这个二加根号三，然后呢，最小等于多少呢？最小怎么看呢？ 那肯定是在这这里的时候最小呗，对不对？那最小等于多少？那最小的时候，那不就等于负的这一点吗？那这点等于多少？那不就等于二减去这个根号三吗？明白吗？然后是负的就根号三减二吗？ 明白吗？哎，所以呢，你的这个 m 就 等于根号三减二，那所以你就能写出来，哎， a 加 k， 这里就 a 加 k 啊，等于这个大 m 等于二加根号三，然后呢，负 a 加 k 等于这个根号三减二，哎，你给它列出来，你还解不出来吗？ 对不对？哎，两式直接一相掐， a 直接没了，所以呢，解出来 k 是 等于根号三的，然后呢， k 如果等于根号三的话，那 a 不 就等于二吗？明白吗？这不就解出来了吗？所以呢， a 和 k 解出来之后，那说白了吗？所以呢， a 和 k 解出来之后呢？ k 就 刚刚的 k 吗？但是我们现在已经解出来了， 对吧？然后呢，所以呢，三一 f 等于负二分之三，所以这个 f 等于负三分之 pi。 好 吧，就是，这就是一道非常经典的一道就是三角函数求解析式的题啊。这个我给大家已经放了一道这个经典的例题啊，大家可以自己去把这道题独立去完成，好吧，我相信这一类题都已经会了， ok 吗？好吧，这就是这个第六题啊。这个题，嗯，很很常规，但是呢， 我觉得还是很重要，因为，呃，可能对我来说很惭愧，可能对这个大家来说，可能平时这种求呃经常做的可能是求我们应该求 five 的， 但是呢，求 a 和 k 的 可能见的不是很多啊，所以呢，大家还是得去好的把这个题型去再钻研一下啊。然后我们现在看下这个第七题啊，这个第七题真的是， 我看这个第七题我真的气死了啊，就是这个题就考的是我们我二二年啊，高考的时候坐到考场上哎做的那个十一题，这道题就是我，我们二年的时候是我们这个已卷是老二考，就是他是十二道单选择题，十二道单选择题，但这个题他只有两个答案， 就是我当时费劲把火哎做出来了，然后呢，选了一个，然后感觉，哎，怎么还有一种情况，然后我就不知道选哪个了，然后，哎，我就这个题花了好长时间，但是最后，哎，结果发现这是一道错题，就是明明有两个答案，但是答案选去出了啊，所以就很多人其实蒙哎，都二分之一的命中率，可能都蒙对了，我花了很多时间还在纠结到底哪个是对的， 所以这个题我真的，我看这个题真的很很烦啊。所以呢，这个这个二年，你觉得这个题的话再说。我们先把这个题看一下，嗯， 先把这题看一下这个题，呃，先读一下题，他是一个双曲线，然后呢，我的这个 a 是 一， a 是 告诉你的，然后呢， m 是 b， b 是 m 是 不知道的，然后他告诉你左右焦点 f 一 f 二，你看我都已经画出来 f 一 f 二啊，然后呢，读一下题啊，然后呢，他说啊，有一个圆，这是一个单位圆， 这是一个单位圆，然后呢，过 f 一 做圆的一个切线啊，做这个圆的一个切线，然后呢，交双曲线的一个右，至于点 m， 就 这个点是 m， 你 看啊， 我不知道你能不能看出来，就是我这个已经已经题目告诉你了， a 是 等于一的，对不对？你看这个长度是不就是 a， 然后呢，刚好你这个长度是圆的半径啊，是等于这个一的，所以呢，你就说这个圆，哎，是不是刚好和这个双曲线这里也是相切的呀？好吧，这个你应该能看出来吧，然后呢，他告诉你 f 一 m f 二，就说这个角是六十度 啊，然后呢，等于这个六十度，然后呢，问你 m 等于多少？那这个题怎么做呢？这个题就是考了一个非常经典的叫焦点三角形啊，这个我先不讲，下面这个题，我先给大家讲一下这个通法就是焦点三角形有六个考法啊，这个如果有需要的话可以在评论区告诉我，我会单独出一期视频给大家讲，因为这个比较复杂，嗓子有点疼啊，我 就这个东西比较复杂啊，就是，呃，大家可以评论区私信我，然后我单独给大家讲啊，然后呢啊，今天重点讲一个叫考法五，第五个考法就是在焦点三角形的题里面，只要你看见终点了，记住一个东西叫条件反射，干啥？ 做中位线，好吧，这是焦点三角形里面非常非常重要的一个考法，就是只要你看见终点了，条件反射做中位线就可以了，然后呢，有一句非常重要的话，叫什么叫别忘了圆点 o 是 天然的终点， 就比如说这个题，你看啊，我现在首先啊，我觉得应该能反应过来，这里是相切，那相切的话，肯定反应过来的话，就是做垂线呗，对吧？是垂直的嘛。然后呢，你看啊，我这个圆点 o 是 不是 f 一 f 二的一个中点，这是不是焦点三角形的一个天然的一个中点， 对吧？那这样的话就能明白了，我现在条件反射应该干嘛？是不是要做中位线？那怎么做呢？哎，你看这是一条线，那他是谁的中位线呢？那不就是过 m， 过这个 f 二，然后呢？做一条线，哎，那不就是这条线的一个中位线吗？ 画的有点不太好啊，画的有点不太 ok 啊。然后现在画好之后，你看，那说白了，你如果做一个垂点，如果这个是第一的话，那说白了，你看这个长度是不就等于二分之一的这个长度，对不对？那你看我这个长度是一，那这个长度就二呗，对吧？然后呢，这是六十度，那的话，这个长度是不出来了，这个是几啊？这垂直吗？那这个长度，那不就是这个？嗯 嗯，这个，这个，这个，这个，这个，哎，我想怎么就根号三分之四吧，对不对？然后呢啊，这个就是那这个小长度，那就是根号三分之二， 明白了吗？好吧，你就可以通过题目的这些信息就可以把这个东西表示出来，然后呢，有一个非常重要的一个结论，也不说结论吧，就这个题啊，为什么我说和这个题一模一样，等会你就知道了，你看啊，我这个告诉你了， a 是 等于一的，双曲线里面是不是有一个结论叫 a 方加 b 方是等于 c 方的， 对吧？然后你看啊，这里是有一个垂直的，那你看这个东西，如果是 a， 然后呢？这个东西没问题，是 c 吧，没毛病吧，对不对？那说明这个长度是不叫 b 啊，对不对？那说明，哎，这个长度那肯定也是 b， 因为是中位线嘛，明白了吗？然后呢？双曲线，这个双曲线里面有一个，这个双线的定义是什么？是不叫 m f 一， 减去 m f 二，他一定是等于二 a 的， 对不对？那二 a 呢？那在这个题里面， a 等于一，所以就等于二嘛，对吧？那 m f 一 是多少哎，那不就等于二 b 再加上一个根号三分之二嘛，对不对？所以等于二 b 加上一个根号三分之二，然后呢？减去 m f 二是多少？ m f 二，那就是根号三分之四嘛，对吧？根号三分之四，哎，所以就等于二，哎，是不？ b 直接出来了， 对吧？ b 等于多少？你看 b 二 b 就 等于这个二，然后呢，再加上一个三分之二，所以呢， b 就 等于一，加上一个三分之根号三，哎，这个 b 不 就是题目里问的这个 m 吗？明白了，所以呢，选 b 直接出来了， 好吧，这就这个题的可以秒杀的一个做法，就是很快啊。啊，这个你如果整体研究的不透的话，可能这个题还得想一会，因为像这个做中卫线，可能这里就已经啊，可能就就已经打败了很多同学了。 好吧，那我们现在看一下这个啊，我当年高考考场上让我非常头疼的一道题啊，这个题是是怎么个事啊？你看这个题还是一样的，哎，有一个这个圆和这个双圈是相切的，是一个单位圆啊，然后呢？他说，哎，过这个左焦点，然后呢？哎，坐我这个 这个圆的一个切线啊，这是一个圆，然后呢，与这个交与 m 两点，只只，只不过就是这个点的一个做，这个点的一个字母表示变了一下，哎，这时候这个变成 m 点了，然后呢，这个变成 n 点了，然后呢，他说考算以 f 一 n f 等于五分之三，他告诉你了，这个角的考算以只是五分之三，是不是一模一样， 对吧？只不过呢，这个题比较简单一点，他直接告诉你这个是六十度了，但是呢，这个题他没有告诉你是六十度，他只，他只告诉你我是五分之三， 是不是一样的。那这个题怎么做呢？哎，连了一下啊，这是一个垂直，这是 a， 然后呢？哎，你看这里做一个垂线连中位线，这个是二 a， 那 这个是二 a 的 话，因为这个考三是五分之三，所以这两个是都能求出来，对不对？一个是二分之三 a， 一个是二分之五 a 都能求出来，然后呢，这个是 b， 哎，这个也是 b 加上一个二分之三 a， 二 b 加上一个二 a 减去，哎，这个二分之五 a 等于二 a， 这不就 d 定义吗？然后呢， a b 是 等于三 a， 那 离心率不就出来了吗？是不是一模一样？ 所以这个题就是今年提八，这个题就抄的。是啊，三年前啊，二二年我当年高考的那道啊，这个 单选呲牙咒啊，就考就抄的这道题，当然这个题我为什么说是这个错题呢？就是因为除了这个情况，就是命题老师想的这个情况以外，还有一个情况，大家可以自己去思考一下。好吧，这个就给大家留成作业啊，自己去思考啊，这个题是有两个选项的啊，好吧，自己去做好了，这是我们今天的这个第七题，然后现在看一下这个第八题啊，这个第八题，嗯，非常有意思 啊。这个题如果说啊，你现在如果考不到啊，一百一十分吧，考不到一百一十分的话，你可以，呃， 听到这听到这就可以了啊，如果你能考到一百一十分以上，这个题一定要听完，好吧，你别看这个是单选羊肉题，但是这个题真的非常重要。 ok 啊，我们现在看一下，他告诉你了一个 f x， 我是 一个分段的，然后呢， g x 等于 f x 加 f 负 x 能看到你我，我不知道你看到这个东西的条件反射是什么，就是我的条件反射，就是你把 x 全部换成负 x 的 话，我的这个 g x 是 不变的，那换，那换句话说就是我的 g x 就是 一个偶函数啊，对不对？所以呢，我读到这个信息的时候，我就已经条件反射， 我就已经条件反射，想到我 g x 就是 偶函数，那你是偶函数的话，然后我说啊， g x 和啊，这个，这个恰好有四个零点，哎，是不是一道非常经典的零点问题？那零点问题我们说通法是什么？ 百分之九十九就记住我一句话，所有的零点问题，百分之九十九他一定是转化为图像焦点问题，这个东西能记住吗？好吧，这个东西就真的是。呃， 我给自己的学生就讲了无数次了啊，零点问题就是转化为图像焦点问题，当然简单的可能就是两条直线啊，可能就那个焦点，但是呢，如果稍微复杂一点，有可能像这个题就是一直一曲啊，一个直线，一个曲线啊，这个题啊，这个题。我这个怎么说呢？我讲的 我不按标答讲，标答那个太复杂了啊，还要用什么落必答？我看了一下，还用落必答，还用什么极限啊，就真的很复杂。但是呢，我给大家讲的这个方法非常简单，就是直接转换一直一曲就可以了。那么现在翻译一下这个题啊，这个题说 g x， 我是 一个偶函数，然后呢？你有四个零点，你想一下， 我一个偶函数，哎，如果有四个零点的话，那说白了是不是研究一半就可以了？我只需要在 x 大 于零的时候有两个零点就可以了，能明白吗？好吧，所以这个题我们只需要什么？只需要研究一半就可以了。那我们只需要求出 x 大 于零的时候，我的 g x 的 表达式是什么？这个，这个能理解吗？咳咳，嗓子有点不舒服啊，我这个， 咳咳， ok 啊， 今天讲了一天，嗓子确实有点不舒服，但是不影响。好吧，不影响，现在已经凌晨五点半了，五点半了，嗯，我们讲吧。啊，然后呢？现在我的 g x 是 一个偶函数，然后我们研究一半就可以了。那我们只需要求出来 x 大 于零呢？是我的 g x 表达式，那 g x 等于 f x 加上 f x， 你 想啊， x 现在是大于零的，那负 x 就 小于零呗， 对吧？那 f x 那 不就是大于零的这个东西，那 f x 不 就小于零的这个东西吗？明白了吗？所以直接把这个东西大于零的这个东西，所以 g x 不 就求出来了吗？ 明白了吗？然后我们现在要研究 g x 的 零点，那么我们就令 g x 等于零，哎，你发现那就是令它等于零，你把这个东西如果移到右边，是不是成功转化成了一直一曲啊？ 能理解我这个方法论的意思吗？什么叫一直一曲？你看我这个 k 乘以 x 减一，这个东西是一个直线吧，对吧？而且我是过什么？过一个定点的叫一斗零，我是过一个定点的一个直线，然后呢？这个东西是一个曲线， 那其实说白了，题目说，哎，我这个东西等于零，有两个解，那其实说白了，是不是我这个曲线和这个直线有两个交点，能明白吗？这就是为什么我说零点问题一定要转化成图像，这个这个图像交点问题，因为这样的话会简化很多思考， 明白吗？现在我这个曲线和这个直线有两个交点，然后我们现在看一下啊，我们已经翻译过来，然后我们现在看一下，那怎么办呢？那只需要把两个图像画出来呗， 对不对？那只要把两个图像画出来呗。那首先我们先画这个左边这个曲线的一个图像，对不对？你看令 h x 等于 e x 再乘以 x 减一啊？这个东西首先我不知道你能不能看出来我是这个东西是递增的，当然你如果看不出来，你求导也可以，但是我能直接看出来，为什么？因为这是单调性的结论嘛，对吧？哎，我这个东西是增的，这个东西也是增的，并且 x 大 于零的时候，我是一个正的，我也是正的， 对吧？两个正的，然后两个都是增的，那乘起来肯定也是增的嘛，对不对？那增的话，那就有两种情况，那要么可能就是，哎，斜率越来越大，要么可能斜率越来越小，都是增的，那到底是哪个呢？啊？你这里都看到 e x 方了，你能想到我的斜率肯定是增大的吗？对吧？所以呢，你的这个图像就能画出来了， 对吧？并且呢，哎，特殊点，那因为是这个初十指示这个 x 大 于零，所以把零的话，那就是 a 乘以负一，那就负一，所以我的这个 h x 这个曲线的图像是不是就大概就这个样子， 能明白吗？好吧， ok， 我 们现在研究出来这个 h x 图像了，然后我们现在研究一下什么？再研究一下这个直线的图像，那这个直线，哎，刚刚您说过了，他给我的定定点是一到零，然后呢？我的斜率是不确定的， 然后呢？那你想那一到零，那你现在可能会有一个问题呢？说，哎，我这个一在这呢，还是在这呢，对不对？那这时候我们就得研究一下什么？研究一下我这个 h 一 到底是正的还是负的？带一下啊？ h 一 就等于一的一次方，再乘以二乘一，再减一， 你反等于一嘛，对吧？他肯定是正的，所以呢， h 一 是正的，那说明什么？那说明一就在这嘛，能明白不？说明一就在这嘛？把这个图像再换一下， 他大概就是啊，这个一可能肯定是在这的，肯定是在这个零点的这个右边的，然后呢，现在我们这条直线是过这个定点的，那说明我这个直线是不是有可能是这个？有可能这个，但有可能也是这个， 总之就是过这个零点就可以了，能明白吗？好吧，那现在，我们现在研究一下，我们现在说，哎，我这个曲线和这个直线得有两个焦点，那你想有，有，有什么可能性呢？有什么可能性呢？是不是其中一个可能性？我这个直线可能就是 就这个样子，能明白吗？可能和左边哎，有两个交点，当然是不，也有可能，我这个直线可能是长这个样子，可能和右面上面这里有两个交点，能明白吗？是不是有两种可能性啊，对不对？所以呢，他最后问的是什么？问的是我的这个什么？问的是我的这个 k 的 一个范围， 那说白了，是不是问的是你的这个直线的一个斜率的范围啊，明白了吗？那怎么办？去找零件就可以了呗，对吧？我们找零件，那零件是什么零件呢？就相切呗，是不是啊？就是一个相切的一个问题。那我再问你啊，能能听到这的，那肯定基础不错了啊，那我问你相切问题的通法是什么？是不是设切点， 对吧？那我们直接设切点就可以了，对不对？那设切点就是 x 零，然后呢？啊，就比如说设这个 x 零，二 x 零减一嘛，对不对？所以呢，就是 x 零啊，然后呢， 二 x 零减一啊，这就是我的这个啊，切点。那这样的话，你想那，哎，只需要什么？只需要再求一下导，那 h 导 x 零是多少呢？在 x 零处的切线的斜率是多少呢？哎，求一下导，那就是啊，我，我写这里吧，那这个 x 导 x 的 话，那就等于这个 e 的 x 次方再乘以二 x 减一啊，然后再加上一个二，就等于二 x 加一吧， 对不对？所以呢， h 导 x 零就等于 e 的 x 零，然后再乘上一个二 x 零，再加上一个一，然后呢？现在你说，哎，我在这个 x 零处，我的一个切线的斜率在这， 然后呢，同时我如果是切线的话，是不和这个一斗零是不是一定是连线呀？所以呢，只需要列公式叫两点连线的斜率等于我这个导数就可以了，对不对？那就是这个点与一斗零连线的斜率等于。这个东西写一下呗， 对吧？写一下呗。所以呢，就它减零，那就是一的 x 零，然后呢，再乘上一个二 x 零，一的 x 零乘以二 x 零，然后再减一，然后呢，再减去一个零，再比上一个 x 零，再减一，就等于什么？等于一的 x 零，再乘上一个二 x 零，加一嘛， 对不对？然后呢，你发现这个一 x 就 约掉了，就是用这种话做的话，就没有任何计算量啊，约掉之后，哎，把这个东西乘过去，那这样的话就二 x 零减一，哎，就等于这个二 x 零方啊，加 x 零，然后减二 x 零，再减去一个一，减一减一，哎，没有了， 所以呢，哎，化简一下就是二 x 零方，这是减 x 零，再减去二 x 零，减三 x 零，哎，就等于零，所以呢， x 零背的一个啊，这个二 x 零再减三，哎，就等于零，说明你可以解除两个切点啊，第一个切点呢就是零，第二个切点呢，就是 x 零等于二分之三 啊，所以现在就这个图像就已经啊能搞清楚了啊，能搞清楚了，他长什么样子呢？我这个如果是一斗零啊，这个是啊，这个零斗负一，我这个图像，哎，我肯定是长这个样子，你看着我画的标准一些， 首先第一个零件，第一个切线是，哎，我这里镶嵌，明白吗？正好在 x 等于零的时候镶嵌，然后第二个切线是什么呢？第二个零件的切线是什么呢？它是在这， 哎，我在这个 x 零等于二分之三的时候是想起了，明白了吗？这就是两个这个零件啊。那你现在想想，我，如果我我，我们先看下面这个情况，先看这个第一种情况，那你看这个东西，我现在要有两个切线啊，要有两个切点，你觉得我能转过来吗？如果这样转一下，你觉得有几个切点，有几个焦点啊？ 是不是只可能有这一个焦点，对不对？你再转呢？你这个斜率能再小吗？你再小的话，你发现，哎，仍然是，不是啊？这个仍然是只有这一个焦点，能明白吗？也就是说你这个第一种情况，哎，你再怎么转，你再斜率再往下怎么转，你如果往上转的话，那就是第二种情况了，那你如果再往下转的话，你是永远都不可能有两个焦点的，所以呢，这个情况是不废了， 明白吗？但是我们现在看一下上面这个第二种情况，但是你稍微往左边转一点点，你看啊， 哎，是不是就有两个交点了，能明白吗？能明白这个道理吗？你是不是就有两个交点了？所以呢，只需要大于这个切线的斜率就可以了，哎，这就是这个题就已经做出来了，哎，所以现在我们只要求他的斜率就可以了，哎，那直接怎么说呢？直接这个 啊， x 到 x 在 这呢，对不对？那直接 x 到二分之三呗，对吧？ x 到二二分之三等于多少呢？啊？那就等于这个啊， e 的 一个二分之三次方，然后再乘一个二乘以二分之三，再加上一个一啊，所以等于四乘上一个 e 的 二分之三次方，那就说，哎，我这根直线的斜率就等于什么？就等于四乘 e 的 二分之三次方，那就说你只需要再转转什么呢？只需要比我的这个斜率大， 哎，你就可以，是吧，你就可以有两个焦点了，能明白吗？好吧，所以最后你的 k 的 斜率就是 k 大 于啊，这个四乘一的一个二四二分之三方就可以了，明白了吗？好吧，这个题做完了 啊，不用什么，就是像标答里面的那些什么极限法，就是没有必要啊，直接用这个转换一支一曲去研究它的斜率就可以了，好吧，这是啊，这个题我觉得最快的做法，好吧，所以这个题直接选这个 b 就 可以了， ok， 这是我们的第八题啊，这个题非常的非常的棒啊，然后啊，所有就是你，哪怕你你要冲一百三啊，冲这个稍微高一点的分的话，这个题一定是要拿下的，好吧，这个题型一定要拿下， ok 啊，这就是整个所有的单选题啊，非常就是非常棒啊，非常棒，就没有没有一道水题，只能这么说啊，没有一道水题啊，任何一道题都可以拿来直接当高考题的，好吧。 啊，然后我现在看一下这个多选择题，多选择题第一题非常简单，多选择题第一题真的，我觉得就是来来搞笑的，但，但是啊，这个会考验一下你对这个几个这个量啊，你对他的理解就是我现在有一组数据啊，是这个平均数为 x 一 把， 哎，这里是少打了一个 x 一 把，平均数为 x 一 把，然后呢，将这组数据分别加上你的平均数，那你看 x 一 加上一个 x 一 把，哎，得到了这么一组新的一个数据，然后他问你新的数据和原来数据相比？首先 你可以这么想，哎，我原来的数据的分布如果可以化成这样的话，那你现我给每一个人都加了 x 一 八，加了一个同样的数，那是不意味着我这个图像它就是往上平移了一个 x 一 八， 能明白吗？那首先我问你极差相同吗？极差叫什么？叫最大的那个减去最小的那个吗？明白吗？就比如说你原来里面最大的可能是 x 七啊，最小的是 x 七减 x 一 嘛，对不对？那你看，我加完 x 七加一八之后，那最大的就是 x 一 加 x 一 八了， 对吧？那你最后的你变变变完的这个新数据的级差，那就是 x 七加上 x 一 八，然后呢，减去 x 一 加上一个 x 一 八，你发现仍然是等于 x 七减 x 一， 所以呢，你的级差一定是相同的，这个没有问题吧？好吧，那平均数呢？ 啊，这个你可以这么想，就是啊，你们现在这就是你们班的成绩啊，现在突然发现有一道题啊，就比如说你们班现在平均成绩为五十分，只能考五十分，现在突然老师发现啊，有一道题，哎，遇错了， 现在给每一个人都给他加上五十分，你觉得你们班的均分会变吗？对不对？那肯定是变高呀，能明白这个道理吗？对不对？你们每个人都考了五十分，那平均数你的均分那肯定会变高呀，所以不同这个 b 也是对的。 那方差呢？方差代表的是什么？方差代表的是离散程度，哎，或者换句话叫集中程度啊，你就记住一句话，就是只要你的这个啊，分布的这个图形不变， 那你的方差是永远不变的，除非什么？除非就是你可能从哎这个状态，然后呢，变成什么了？变成一个哎，又高又瘦的，变得更集中了，你这样的话，你的方差才会变，能明白吗？就只要你的图像，你无论是上下平移还是左右平移，只要你这个图像是不变的，那你的方差一定是不变的，能明白吗？所以方差不同，哎，肯定是错了，因为方差是相同的， 然后中位数相同，那就想，哎，那就想你们班啊，你们班啊，这个，呃， 我这么说吧，就是你们班，还是拿刚刚那个例子，对不对？你们班这个排名啊，这个，呃，根据那个数学考试成绩会有一个排名，对不对？那最中间的那个人，现在啊，我们每个人都加了五十分，那你觉得最中间那个人变不变？可能最中间那个是小张，对不对？那现在啊，每人加了五十分，那最中间肯定还是小张呀，但是小张他的成绩变了吗？ 那肯定变了呀，对不对？你原来可能考四考，可能考个这个四十三分啊，可能考四十三分，但现在加了五十分，你成绩可能变成啊九十三分了。所以呢，你这个中位数肯定是变了呀，并且呢，中位数肯定是啊，虽然那个人没变，对不对？那个按照那个排名啊，你那个人没变，但是呢，你的分数肯定变了，对不对？所以呢，应该是肯定会啊，上升这个 x e 八的， 肯定会在原来那个中位数的基础上上 x 一 八的，明白了吗？这就是这个第九题啊，非常简单，然后现在看下第十题，这个第十题说实话，这个计算量不小，而且考了一个东西，叫飘带放松啊，这个你会的话，这个题很快。我们先看一下这个题，他说了一个 f x 等于三一拍 x， 然后呢， g x 等于这么一个东西，然后他说 h x 等于我俩相乘， 然后呢， a 选项 g x 分 之一加 g x 等于零，那 g x 这样，那就试一下呗，对吧？你看 g x 分 之一，那就把里面所有的 x 全部换成 x 分 之一，不就可以了吗？能明白吗？啊，然后呢，再加上一个 g x， 那 就把整个东西抄过来，哎，最后你发现，哎，哎，这两个直接约掉了，哎，约掉了，所以呢，就是负的一个 log x 分 之一，那 log x 分 之一，那不就是 log x 的 负一次方吗？ 对吧？那 x 负一，那么说指数是可以调提到前面的呀，所以呢，负一提前面，然后和这个符号就约掉了，所以呢，就是 log x， 然后再减去 log x， 那 不就等于零吗？所以呢， a 选项非常非常简单，直接就对了 好吧。啊，然后呢， b 选项他说 g x 大 于等于零的，解结为这个零。逗一啊，就是让你去解这个东西，令它大于零的话，你去解这个 x， 啊，这个怎么解呢？啊？我们就令啊，这个 g x 大 于零，哎，你发现稍微移一下项就得到这么一个东西，这两个函数我们都很熟悉啊， 对吧？啊，这个东西是什么？是对数函数啊？是劳力函数，然后这个东西叫什么？叫飘带函数，大家可能如果变成加号的话可能就认识了，叫对勾函数吗？对不对？那如果变成减号，这个东西叫飘带函数啊，这个如果啊，不知道可以去啊，网上自己去搜啊，去让别的老师给你讲一下 啊。那飘带函数和这个对数函数有什么关系呢？大家记一个，哎，导数或者说函数可能比大小里面经常用的一个东西叫飘带放缩啊，这个东西很重要， 就是我的学生是一定要会的。好吧，什么叫飘带放松呢？就是你看啊，我现在有三个函数啊，一个叫这个就是飘带函数，然后呢给他乘一个二分之一啊，乘一个系数，然后呢？ 啊，这个捞引 x 在 这，在中间啊，然后呢？这个两倍的这个东西在最下面啊，这就是我们三个的一个关系啊，就是无论是比大小还是说啊，这个导数的大题都有可能会用到，所以呢，这个一定要会啊，然后呢，这是第一个版本，然后第二个版本是什么？就是啊，我现在不要那个系数吗？对不对？然后呢再和捞引 x 他 们的图像是什么关系呢？ 首先捞引 x， 我 们说我们俩的焦点都是一到零，这个能理解吧？这个这个没问题吧？我们焦点都是一到零，然后你发现在 x 大 于一的时候，我这个飘带函数是要比捞引 x 高的， 但是呢，在啊，这可能是零啊，在零到一的这个区间里面，我的这个捞引 x 是 要比飘带函数要高的，明白吗？那我们现在要求的是什么？要求的是飘带比捞引高的， 那飘的比捞音高的是哪一部分？你看飘的比捞音高，那不就是 x 大 于一的时候吗？明白吗？所以呢？哎，你解出来应该是 x 大 于一啊，就是如果你对这个放松非常熟练的话，你这个题直接可以秒杀了，明白吗？今天我就给大家讲了，所以一定要会啊。 好吧，所以直接解出来 x 大 于一啊，所以这个错了啊，应该是 x 小 于零的解解才是这个零多一，能明白吗？好吧，这是我们的 b 选项，然后 c 选项，这个就挺啊挺，挺复杂了，他说 h 三分之十六小于 h 十一分之三， h 是 什么？是我们两个相乘， ok， 那 我们现在把它抄下来， c 选项，我们先把这个 h x 抄下来啊，这个就是 f x 嘛，对不对？然后呢？这个东西是这个 g x， 然后我们来相乘，等于这么一个东西，然后现在我们要比这个 h 三分之十六，和这个 h 是 一分之三， 这个怎么比的，对不对？那是不是直接把这个三分之十六带进去，哎，这个十一分之三也带进去，那是不是最终比的就是，哎，散以三分之十六派乘以这三分之十六，哎，和这个散以十一分之三派，和这个这十一分之三就比我们两坨东西啊，明白了吗？那现在很明显肯定是分开去比嘛，对吧？我比我，然后你比你嘛， 明白吗？好吧，那我们先比一下三以三分之六和这个十一分之派，所以呢？哎，就等于负的一个三以三分之派 啊，然后呢？这个是散以十十一分之三派，这个就不用变了。然后我们现在比一下这个散以三分之派和这个散以十一分之三派，散以三分之派和散以十一分之三派，这个怎么比呢？ 中间我们都是零到二分之派的，对不对？那就比谁大呗，比这个三分之派和这个十一分之三派谁大呗？怎么比呢？直接啊，这个通分啊，所以呢，就三分，我这个三分之派，那就是三十三分之十一派吗？对吧？那十一分之三呢？就等于三十三分之九，对不对？然后呢，你发现，哎，这个明显是要比散以十一分之三派要大，并且我俩都是正的 好吧？ ok 啊，这个就是，哎，你看，哎，我俩就已经啊，相关的这个大小都已经，哪怕是绝对值的大小都已经比清楚了。然后我们现在比一下这个 g， 三分之十六和三，这个 g 是 一分之三啊，这时候非常非常啊，这个题非常非常好的地方来了，就是没有无缘无故的 a 选项， 就是你发现一个东西就是三分之十六是一个大于一的，十一分之三的又是一个小于一的，对吧？他们俩这个倒数好像又有点关系哎。然后呢，你又想到这个 a 选项， a g x 分 之一加上 g x 是 等于零的，这个已经挣出来了，那你想，那我的 g x 是 不是就等于负的一个 g x 分 之一啊？明白了吗？我们现在就要用这个 a 选项的结论，这就像有的大题哎，导出大题，第一问，让你证明一个东西，那第二文是不是经常就要用到第一问的那个结论呀？ 明白了吗？这就是啊，大题里面可能是没有无缘无故的第一问，那多选题这种复杂题里面可能是没有无缘无故的 a 选项，明白了吗？把这句话记死啊。好吧， 所以你看啊，我们要比的是三分之十六和十一分之三，那其实本质上你看 g 十一分之三是不是就等于负的一个 g 三分之十一啊？对不对？哎，所以你其实比的是这两个，那我们现在比一下，哎，这个 g 三分之十六和这个 g 三分之十一到底是一个什么关系呢？哎， g x 它明显是个低增，这个能看出来吧？ 啊，你如果看不出来，你就求导。当然你如果啊，能看出来，如果这个图像已经刻在脑子里了，哎，你看吧，哎，左边那就是这个啊， 这个，这个飘带减去老影，你看啊，飘带减去老影，就是负的越来越少了，那不就变大了吗？对不对？然后呢，右边呢，就正的越来越多了，所以呢，也是变大了，所以整个肯定是低增的。相减肯定是低增的啊，这个如果你啊这个想不明白，你就去求导啊，也可以，那你其实是递增的，并且呢，这一是等于零的，这个没有问题啊。所以呢，你想这一是等于零的，你还是一个递增的， 你还是一个递增的，那说白了你三分之十六在这，对吧？三分之十一在这，那你看 g 三分之十一是一，并且是正的， 明白了吗？好吧，你只需要哎，把这两个只要能全部都能比明白啊，你这个题就做完了啊，不然你这个题还是有点够，还是够呛，好吧， 然后呢，哎，那就是最终，哎，你回到刚刚那个，哎，我要比的是这两个，然后我们现在看一下，哎，三以三分之十六派等于负的一个三以三分之派啊，然后呢？啊，你的这个这十一分之三等于负的一个这三分之十一，然后我们现在看一下，我们几个，哎，全都是正的，对吧？全都是正的，并且呢，我是大的，三以三分之派是大的，哎，这个是小的，然后呢，你看 十六三分之十六是大的，哎，所以这个是大的啊，然后呢？哎，这个是小，哎，这个是小的。所以呢，两个大的相乘呢？肯定是大的，所以一个是负的，一个大数，一个是什么？一个是负的，一个两个小的相乘，那就负的一个小数嘛，那比如说负八和负三，你觉得是什么号呢？ 那肯定是小于号嘛，明白了吗？所以小于，小于，所以全都是小于，哎，所以最后，哎，这小于，哎，小于，所以 h 三分之十六是小于， h 是 一分之三的，好吧，这个题做完了， 明白了吗？好吧，所以这个啊， c 选项，哎，就是对的，明白了吗？好吧，所以这个题 a c 读对了，然后得个选项，这个就比较简单了。他问你 h x 是 不是极大值点，那怎么做呢？哎，你只需要哎验证一下 h 一 h 倒一是否等于零就可以了，对不对？如果你这个一是极大值点的话，那一定 h 倒一是等于零的，你那里的导数肯定是平的吗？对不对？肯定是等于零的， 那所以我们现在求一下导数啊， h x 在 这啊，求一绕一绕一，不就是零吗？ 对吧？然后呢？散一派，然后再加一减一啊，你看，哎，那这个一减一，那说明左边这一坨等于零吗？然后右面的散一派，散一派是多少？那不也是零吗？对不对？所以呢，就零加零，哎，所以等于零，那所以 s 倒一等于零，那说明 s 等于一，那不就是你这个图像的什么极大知识点吗？明白了吗？好吧， ok， 所以呢，这个题选 a c 得啊，这个题非常的棒 啊，非常的棒，我觉得这个题啊，最棒的不是这个飘带放松啊，不是，后面怎么比？就这里比的这一坨东西其实我觉得还是有点繁琐的，嗯， 不是非常的好，但是呢，我觉得最重要的是这个最亮眼的是这个，他用到了一个 a 选项， a 选项的一个结论，好吧，这个就真的很重要， 好吧，所以这个题需要大家掌握的，第一个就是这个飘带放松，这个非常重要。第二个就是学会我这个方法就是没有无缘无故的 a 选项，你当一个题可能多选题啊， c 和的做不出来，哎，你去看一下这个 a 和 b 可能就能用到了，能明白吗？好吧，所以这个题是我们的这个第十题就 ok 了， 然后这个第十一题立体几何，这个得选项真的是非常有新意啊，但是呢， a b c 还是比较长，还是很常规的啊，然后他说我是一个正四能追啊， p a， b， c， d， 那 什么叫正四？正四能追？ 什么叫正四能追？就底面是一个正方形，对不对？底面是一个正方形，并且这些棱长全部都相等啊，这个叫正四能追。那什么叫正三能追？什么叫正三能追？正三能追？就底面是一个等边三角形，然后呢，三条侧呢？都相等啊，这个叫正三能追，这个要搞清楚，然后他说我的底面边上是一，那说明这个是耶耶耶啊，然后呢？该四能追的一个顶点，屁在正方的一个内部啊，包括表面， 啥意思啊？我是一个正方体的高，是不是也是一啊？然后你这个屁点不能捅破这个天花板， 那你这个屁点如果要在里面的话，那是不肯定是啊，得大于零，小于等于一啊，能明白吗？你等于一的时候，你就刚好就头碰到那个天花板上了，然后你再大于 a 就 一下捅出去了，明白吗？所以呢，你不能超过 a 啊，所以这个 a 直接打对，明白吗？那这个题如果我出的话，我可能会给这里加一个这个 圆括号啊，但是你的它它包括表面了，好吧，这个就是稍微有点坑，这个 a 选项我觉得没什么意思。然后呢，这个 b 选项他说如果，哎，你的测能长是二分之根号三，问你高度啥意思啊？ 他说我的这个测能长是二分之根号三。然后呢，问你这个高度高度就是这个屁啊，和这个屁一撇的一个这个连线吗？那你想我是正四能追啊，那正四能追的话，我的这个顶点，他在底面的那个投影是不一定是底面的那个中心啊， 能明白吗？是不一定是底面的中心，那这样的话，他现在已经知道这个了，然后问你这个高度还是怎么求呢？那明显是在这个直角三角形里面去求吗？对不对？哎，底面这个东西等于什么？这个怎么算？ 这个不就是对角线的一半吗？那对角线呢？就是一的平方加一的平方等于根号二啊，那所以呢，你这个长度就是二分之根号二吗？明白了吗？那你这个 s 的 平方加上二分之根号二的平方一定等于二分之根号三的平方，直接勾股定点，哎，一写，哎，解出来 x 等于二分之一，这个题就 ok 了，哎，所以 b 选项解出来 x 等于二分之一，所以这个就错了，好吧。然后 c 选项 他说点屁啊，是这个，你的一个上底面的一个中心，就是你这个点屁，现在是那个啊，那个那个正方体天花板的那个啊，中心就是刚好碰到头了， 怎么翻译呢？是不是就是你的那个屁的那个高度，就是我的一啊，这个能翻译，明白吗？这句话。这个这个 c 选项怎么翻译呢？就是翻译过来，就是啊，我这个正四能追啊，我的高度是一的时候，然后让你去求那个外接球的表面积，这不就是一个非常非常经典的一个外接球问题？外接球问题有几种考法？ 有三种考法，第一种叫什么？第一种叫顶点再过啊，第二种叫侧能垂直于底面，第三种叫一般的模型啊，这个如果想听的，这个我之前已经讲过了，如果想听的话啊，可以去翻啊，翻不出来的话你可以私信我，我可以给你单独发一下 啊，这个就是，嗯，一个顶点再过模型。什么叫顶点再过呢？就是我的这个顶点，我的这个屁啊，它刚好在这个，什么刚好在这个，哎，整个底面的投影它在这个最中心嘛， 明白了吗？那这种模，那这种题型怎么去求这个外界球的半径呢？或者求表面型呢？怎么去求呢？方法论啊？第一个，哎，记住一句话，如果是你这种顶点在罐的，就是你这个测能，哎，我干脆这么说吧，叫测能，哎，全都相等 啊，只要是侧能全都相等的，那么你的这个球形 o， 他 一定在这个啊，这个顶点和这个投影的一个连线上面，那这样的话，我们可以把半径射出来，然后呢，再去列勾股定里去解这个半径就可以了，这就是顶点在惯性啊，可能比较常考的是那个三能锥啊，这个三能锥，对吧？这是可能比较常考的，然后呢，哎，他的这个通法啊，那然后我们做一下，我们做一下 啊，那你看啊，我现在啊这个球形 o 假设在这，那这样的话，我射出这个半径啊，射射这个半径啊，比如说啊，这个半径的话就是 r 嘛，对吧？然后呢你看，那这个 o p 是 r， 那 你看 o a 啊，这是 a， 那 o a 是 不一定也是 r 啊，同样 o c 还有这个 o b 都是 r， 但是我们现在不需要写，我们现在只需要干嘛，你看这个如果是 r， 然后我的高度是多少来着？ 高度题目告诉你了，哎，我们已经翻译出来了，是等于一的，那这样的话，你看啊，那这样的话，我的这个 o p 一 撇，哎，这个东西是不是就是一减去一个二呀？因为整个高度是一嘛，对不对？那整个这个是一减二，然后底面这个这个长度呢？哎，对，角线的一半二分之根号二， 然后呢，只需要在这个哎三角形里面去列一个勾股定律，哎，就可以解除半径了呀，对不对？所以呢，一减二的平方加上二分之二的平方，等于二的平方，哎，解出来 r 是 等于四分之三的，那 r 等于四分之三，你的面积，哎，四排二方，哎，就出来了四分之九派。所以这就是这个 c 选项啊，这是一道非常非常常规的一个外界求问题啊，所以呢，这个题啊， c 是 对的 好吧，然后呢得选项，这个就啊，有点难，有点有新意啊，这个真的啊，眼前一亮，好吧，眼前一亮啊，他说我这个屁点是正方体，你内切球的一个球星式，你想我一个正方体现在有一个内切球，那你想内切球的球星是不是一定是那个正方体的中型啊？ 这个能想明白吗？就是啊，你看我现在这是一个正方体啊，那你那个球星那是不是一定是正那个正方体的一个中型啊，对不对？然后我这个屁点呢，就是我正方体最中间的那个东西，最中间的那个点， 那说明啥？那是不说明我的这个高度就是二分之一啊，明白了吗？因为整个测能查是一，整个高度是一，那一半就最中间那个位置，那不就二分之一吗？啊，先把这个题目意思先读懂啊。然后呢，他说，哎，我真的是没想到他会这么问，他说我这个内切球和正四能锥的一个公共部分的体积，哎，这个东西怎么做呢？没见过吧？ 我这个正方体他现在里面有一个球，然后这个球呢，和这个四能锥的公共部分的一个体积，怎么算呢？ 很有新意吧，对不对？哎，怎么去思考呢？很简单啊，我们现在想，如果以屁为顶点，然后一个正方体是不是有几个面，是不是有 六个面啊？对不对？那我们以每一个面为这个底面，你看，比如说我现在以最下面的这个 a、 b、 c、 d 为这个底面，你做了一个四能锥，那同样，如果以屁为顶点，然后呢？以，哎，这个侧面为这个底面的话，哎，你是不是仍然是可以做一个这个四能锥的， 明白吗？你发现这四轮锥都是长得一模一样的，因为什么？因为屁点是最终点吗？最中心的那个点吗？所以你发现以每一个店面为底面，你是不是可以做六个长得一模一样的四轮锥啊，对不对？那也就说你这个正方体那不就是由六个然后呢，长得一模一样的这个四轮锥拼接组成的吗？ 对不对？那说白了，你的那个内切球是不是就会被六个四能锥给他咔咔切成六份啊？这个能想清楚吗？想不清楚，慢慢想。那你想我那个球被六个四能锥给他切成六份了，那每个四能锥是不就占用六分之一的球体啊？这一套逻辑链能想明白吗？ 对吧？那所谓的题目要问的这个什么公共部分，那不就指的就是我这里的六分之一个球体的体积吗？对不对？所以呢？哎，公共部分的体积就等于六分之一乘以三分之四 pi r 的 三次方 r 是 等于二分之一吗？就等于那个正方体能长的一半啊，所以二分之一三次方最后是等于三十六分之一 pi 啊，所以这个题，哎，得也是对的啊，所以这个题 ac 的 好吧？ ok 啊，单选择题，多选择题，就说到这就 ok 了啊，这个终于是讲完了，现在已经凌晨六点了，已经啊，这个大家可能已经快起床了，但是我得去睡觉了。嗯， 这道题真的很棒啊，这个能听到这的真的很很感谢大家，很感谢大家。然后，呃，因为我讲的初衷就是真的是想让大家会一类题，因为 我刚高考完，也就是个三年时间啊，也就是个三年时间，因为我很清楚网上呃很多讲这种东西的老师吧，他就是很死板，跟学校老师一样，他会讲啊，这道题怎么怎么做啊，怎么怎么做，学校老师一样的，但是呢，不讲题型啊，不讲背后的方法论通法，下次稍微变一下，哎，不会了。所以呢，我就是想，呃， 陪大家到高考，今年会陪他结束，并且呢，明年我会一直就是做整个这个事情，我会一直做下去，然后呢，把所有的那些场，那些比较经典的模拟题也好，高考题也好啊，然后也会都给大家陆续都讲。所以呢啊，还是希望大家可以关注我一下，然后我们总结一下今天这道卷子 啊，这个我觉得已经讲的很透了，今天这道卷子，这个选择题啊，就是，嗯，个人觉得吧，对这个高考试卷其实没有什么太大指导性，就是很多人啊，会说什么把那个高考就已经这个难度啊，怎么考法都已经定了。但其实我觉得啊， 这才还没过年呢，对不对？还没过年呢，你这一套模拟题对高考能有什么指导性，对吧？那题都还没命出来呢。所以就唯一的可能就是真的是你发现现在有个趋势，就是其实不用这套卷子来指使我们就是那些烂大街的题型啊，烂大街的那些二级结论啊，已经不考了， 你平时在抖音上，在小红书上刷的那些烂大街的那些二级结论啊，题型啊，什么某帮某辅导那些给你讲的花几千块钱报名那些啊，给你上课讲的咔咔讲的那一堆什么大招啊，二级结论都不考了 啊，所以说就是不要报那个侥幸心理了，真的就不要去研究什么大招了对不对？你的秒什么秒题的人家对吧？练习时长两年半，你咔咔上来给人秒了对吧？你这现在高考已经不可能了 好吧，就是不要啊，去去去，报侥幸心理去钻研什么大招了，就老老实实的总结题型好吧，老老实实总结题型就是我现在就是已经把整个高考里面所有啊，高考数学啊，所有的题型全部都已经总结完了。 好，现在其实就差一个导数了，全部都已经总结完了，然后我会在今年寒假之前就是把整个所有的题型免费啊，在这个网上给大家，全部给大家讲，讲完啊，就是一定会对大家有帮助的，无论是今年高考还是明年高考，一定会有帮助的啊，就如果说啊，想一路赢到高考的就点个关注啊，我们下期再见！

t 八联考昨天下午数学刚刚结束，这张卷子呀，又难哭了一大片，高三的同学难度系数是非常的大，创新点非常密，知识之间的连接也非常的多，题目是比较综合的， 最重要的一点是计算量超级大。我想说这张卷子的成绩不作为孩子未来高考成绩的参考，但是我们可以参考的是什么？ 现在高考的形势下，命题的方向和趋势到底是什么？首先第一点，我们先从试题的结构来说，依然延续了二零二五年高考命题的结构，前段时间传的是八三三五要改了，八道单选三道多选三道填空五道，解答结构并没有发生变化。 其次呢，一轮复习没有多长时间就要结束了，那这张卷子反映了同学在接下来的复习过程中，需要把思路打开，不要形成思维定势，尤其是刷题，刷题的那些，你需要足够的灵活才行，因为里面有很多的创新点。那么我们一起来看几个。 比如说第六题，以天宫开物的统测为背景，考察的其实是三角函数的模型。第十六题以置点运动为背景，考察的是统计概率。十九题完全是一道创新性的 综合型的题目，以高斯函数为背景，里面有三角函数，有导数，有数列极限等等这些知识的一个融合。所以这一张试卷无处不在的体现。现在的高考的趋势叫创新， 需要有临场应变的能力，需要灵活的思维。就这张卷子的计算量是非常非常大的，这也是我们现在新高考的趋势之一，虽然题目变成了十九题， 题量比以前少了，但是你会发现啊，多选择题的第十题，第十一题相当于是八个小问啊，最后解答题的十八题，十九题你不留出来，十八到二十分钟你根本做不完。所以呢， 就要求同学们的计算能力要非常的强，并且要既快又对，你只会单纯的运算，远远不够， 那计算呢，也是需要你总结出一些方法和技巧的。另外一个就是你的心态，如何在两个小时之内答一百五十分的题，能抢到更多的分数呢，也是需要很好的答题技巧的。 所以呢，最后朗老师也总结一下啊，就这一套 t 八联考的卷子，确实是值得我们所有的高三同学去参考的，参考的不是他的分数啊，而是新高考命题的方向。所以呢，同学们在做题的过程中一定要拥抱这种趋势， 我们现在呢，高三还有最后的六个月的时间，我们应该尽快的从原有的，固有的这种套路，固有的思维当中脱颖而出，拥抱这种新形式的变化。 需要答案的可以免费领取啊，公屏区留下 t 八即可。建议呢，让孩子回去反复地琢磨琢磨这一套卷子，希望对孩子有帮助。