成都一诊数学14题怎么做

好，同学们啊，今天咱们来看一下成都一整填空压轴题，嗯，那么这个题的话，是外接球的一个中国题啊，也是考的非常的一个经典啊。来， pa 垂直底面 abc pa 垂直底面 abc， 然后侧面啊，面面垂直啊，一定要想到面面垂直性质定律，然后 p a 等于二， abc 底面的面积为四啊，条件就这么多，叫我们求外接，求表面积的最小值，那么求的表面积 就该等于四派大二平方，所以我们要求求的表面积，就该去找求的半径的最小值， 那么要找球的半径。好啊，我们方法是什么呢啊？数学上有讲过，方法就是找到底面的外心，做底面的垂线，我们假设在底面 a b c 取一个外心叫 o e 吧， 取底面 a b c 的 外心啊，咱们记为 o e， 那 么过外心 o e 做做底面的垂线，过 o e 做底面的垂线，那么球心 o 就 一定是在这个垂线上， 球心 o 就 一定在垂线上，那么 o o e 垂直底面， o o e 垂直底面，我们连接连接 o p 和 o a 啊，因为 o 我 们是球心，那么 o a 就 该等于 o p 等于球的半径到二。好，那么 o a 等于 o p， 我们三线和一啊，过 o 点做 a p 的 垂线，这个垂足啊，就已经是终点，这个垂足就已经是终点，所以啊，那么这里就是一，是吧， a 点到 a p 的 终点，这个距离是一啊，好，又因为 a p 垂直地面， 所以 ap 也垂直 l 一 o 一 垂直底面，然后三线合一啊，这里也是垂直，因此 o a 以 a 到这个终点啊，就是矩形，所以 三角形 a b c 底面外接圆的半径，我们假设为小二，假设为小二，好，那么这里也是小二。那么根据勾股定律啊，这个大 r 平方就等于四派乘以 小 r 平方加一，所以表面积要求最小，等价于这个小二，就是底面 abc 外接圆的半径小 r 要最小。好好，接着我们再来看啊，怎么求 r 的 最小值？好，这两个侧面与侧面垂直怎么用？ 方法就是什么呢？一定要想性质地理啊，做交线的垂线啊，我们做过 a 点做交线的垂线， 过 a 点做 a p b 的 垂线垂足。假设是 h 做 a， h 垂直， p b 给 h， 那 么因为面面垂直，面面垂直交线是 p b， 那 么 a h 就 一定垂直平面 p d c， 所以 a h 就 可以证明它垂直 b c 又因为 pa 垂直底面，所以 pa 也能够垂直 b c， 所以 b c 就 垂直两条交线啊， 所以 b c 就 能垂直平面 p a b， 所以 b c 就 会垂直面内的每一条线垂直 a b， 所以啊，底面它实际上是一个啊，直角三角形 a b 垂直 b c， 所以 底面是个 r t 三角形的话，那么底面外接圆的直径就是斜边，因为它是直角三角形，外接圆的直径就是直角三角形的斜边。所以二 r 就 等于 a c 的 差 啊。 a 四的长等于什么呢？等于根号下 ab 的 平方加这个 bc 的 平方啊， 又因为这个面积等于，又因为 s 三角形 abc， 它说了面积等于四，等于二分之一， ab 的 长乘以 bc 的 长， 对吧？这个等于几呢？等于四，所以我们得出 a b 的 长乘以 b c 的 长就等于八，所以二二，嗯，括号的平方吧。二二括号的平方就等于 ab 方 加 bc 方，那么根据基本不等式，就大于等于二倍。 a b 乘 bc 就是 二乘以八等于十六，所以 四 r 平方四， r 平方等于十六，那么 r 平方应该大于等于四，所以这个 表面积 s 它等于四派，乘以 r 方加一就该大一等于四派，乘以四加一的就等于二十派， 所以表面积最小是二十派，当前简单， 对吧？咱们 ab 和这个 bc 两个长度相等的时候，对吧？等于多少呢？ 因为二倍 abac， 二倍 abbc 等于十六，所以 ab 乘 bc 就 等于八，所以等于二倍杠二 十得去了。

这个十四题三棱锥里面 p a 是 垂直于底面的，我们看一下 p a 垂直于底面的，把它当成 z 轴啊，然后 p a b 垂直于 p b c， 那 么角 a b c 应该是个直角， 这个锥应该就长这个样子啊，然后我们跟它补成一个棱柱。好，这就是我们熟悉的长方体了啊，长方体的外接球应该就很好做了，对吧？就是对角线 p c 的 中点 h。 好， 我们把球给它画上 啊。所以整个题呢，它考的是一个长方体的外接球模型，然后直径的话就是 p c 啊，这个题就可以解了。

最近非常期待的二零二六届成都医学院，果然没有令我失望，无论是难度还是质量来看的话，这套试卷应该是新二卷地区的天花板级别了，它的质量甚至要超过前一阵子的这个绵阳医学院。 比如说十一题的解析几何与这个基本不等式的结合，十四题的外接球问题，十八题的立体几何动点问题，还有十九题的呃，这种组合数形式的函数都是让人眼前一亮，心意十足，都是非常不错的好题。 另外这个试卷的题型难度分布也是非常合理，与今年新二卷难度持平，同时也比较重视数学思维的考察，是一套十分难得的好卷子。我们来接下来看一下这个关键题位的一些分析。单选的话实际上都比较轻松，即使到了第八题的话，也是一路顺风， 分类讨论就可以出题，然后多选前两题的话，也是难度不大。 十一题出的也非常棒，虽然考点核心依然是基本不等式，却不落科，就结合这个双曲线和椭圆来考察，难度就直接上来了。你看这个是是不是很熟悉啊，它其实是椭圆的方程，就是它的这个长短轴，并不是 x 和 y 轴的。 另外像这个后面两个选项，我们如果说得到结果来讲的话，它其实不难，但要说到严谨计算的话，估计还是需要用到这个其次化啊，非常不错的一个小题。十四题呢，同样是外界求问题，却隐藏了一些一体几何的正在里面， 他比较注重这个数学思维的考察。如果说我们看不出这个 c b 是 垂直于这个 p a b 这个面的话，那么这个题做起来其实也是非常的困难，对吧？然后像这个解答，前面三个大题，基本上也是送分到位，没有什么特别大的一个难度。 十七题的话，这个形式好像比较新，这个信息商在以前的高考里面曾经出现过， 所以不算是一个什么有新意的题了。另外十八题我个人非常喜欢。这个题的话，比较有意思的是，前两位就是非常的简单，但到第三位，他的难度蹭蹭的就往上升了， 它是一个立体几何的重点问题。这个题的话，你如果说去解析处理，你会发现计算量非常大，但解析里面的一个做法，看看答案的做法，其实就是用的间间细，但是这个题你即使是用的几何法去做，你看我用的是几何法， 也是避免不了一顿死算，难度系数非常大，你要在考场中算对的话，对你的计算功底要求非常的高，所以它也是一个高质量的一个几何压轴题。 十九题他有点类似于今年新一卷的一个数列题，但此题考点核心却变成了函数。 他这个第二问本子上面其实是这个几点效应，可以先去猜出结果，然后再去证明，要去严格去说明 a 不 等于二的时候，他的一种情形。第三问也是相当精彩，他基本上将这个组合数的一些重要公式考察了一遍，这个题做完之后，真的是非常的舒服，意犹未尽啊。

就在昨天，十二月二十二号正式开启二零二六届成都义镇考试，昨天的数学也难，苦了好多学生，那么你觉得这次的数学难还是不难呢？欢迎在评论区讨论，视频有点长，欢迎点赞关注转发。 昨天晚上我也花了两个小时做了一下，说实话，有些题型跟之前成都七中、成都四十中学的义镇模拟试卷有一点相似。我说一下我的做题直观感受， 简单的题目比较常规，当然考点还是很灵活，主要出题的目的还是以反套路为主，重点考察学生的数学核心素养，也就是考察你数学多方面的能力， 不要以算题为主。其中难题重点考察了计算量，还考了思维分析。整体来看，这次的难度是高于高考题的难度的哈。 每个题给我一种感觉就是我可以做对，但是我又做不对的感觉，反正我两小时做完了以后，给我最直观的感受就是再有半个小时就好了。这道题目你想要两个小时得到一百四十分还是非常难的一个事情。 接下来我跟大家简单分析一下经典题目的一些做题切入点。单选第七题，需要同学们具备数形结合的能力，通过图形直观感受函数的魅力。 单选八题，考察分类讨论的思想，看到绝对这就讨论，所以纸老虎想到了就很简单，多选十一题，考察现行规划，重点还是对解析式的分析。能够看出来，第一个是椭圆，这个题基本上就做出来了一大半，当然还要考察了，基本没得事 填空十四题，立体几何外接球的问题，智能追模型很简单哈，属于中档题目。简单题、十五题、十六题都属于简单题目，我就不过多赘述了。十七题一问和二问相对来说比较简单，第三问有一点新颖，但是仔细想一下，放在十七题的第三问应该应该不会太难， 其实主要考察的就是对数的计算。十八题，立体几何的动点问题。这道题和我们去年半生联考的题型差不多，但是计算量相对来说要大一些，很多同学们会做，但是做不对算不对。 十九题以大学技术为专题，考察倒数，第一问考察了零点存在性原理，第二问考察分类讨论函数的单调性，第三问重点考察组合数的计算。当然这个同学们可以看成数量来进行思考。 这道题质量很高，但是对于高三的同学还是下手太狠了哈。关注汤老师带你填志愿找通缉，记得关注再走哦！

刚刚考过的成都一整，你们感觉如何呢？是简单的毛毛雨还是难的摸不着头脑？同一道题，你又能想到多少种解题方法？通过这套试卷是否能洞察新高考的出题方向？接下来鹏哥会逐一的对每个解答题进行讲解，分析方法不唯一，建议先点赞收藏加关注。 我们首先来看一下解答题的第一题啊，也十五题，他告诉了这个椭圆的离心率是二分之根号三，然后又告诉了左右顶点 a 一 a 二，这个 a 一 a 二不就是椭圆的长轴吗？也就是二， a 等于四。然后我们再结合这个离心率， e 等于 a 分 之， c 等于二，分之根号三。所以呢，我们就可以快速的 把 a 算出来，等于二， b 呢等于一，所以说椭圆的方程就是四分之 x 方加上 y 方等于一，这是第一问，还是比较简单的。 然后来看一下第二个，第二个呢，他说直线方程与椭圆相干于 p q 两点，让我们求一下这两个向量之几是多少？那么向量之几的话，你要么用我们的数量集中式，要么呢用坐标，那这肯定是用坐标要更加直接一些。我们首先啊，先把它的坐标先给它写出来， a 一 左零点负二负零， p 点呢，是 x 二负 y 二，所以呢， 我们把 a e p 的 坐标也给它写出来，那么就是 x 一 加上二都 y 一， a e q 呢，就是 x 二加上二都 y 二。 然后这个时候啊，我们要去得到他们两个知己的话，那就要涉及到坐标之合和知己，那我们就马上要把这个四分之 x 方加上 y 方等于一，和这个直线方程 x 减二， y 减一，等于力进行连力啊，当然这个直线呢，我们要给它连力了，肯定消 x 要方便的多，所以呢，这里 我们就把这个直线方程变个型， x 等于二， y 加一，然后代入到椭圆的方程就得到了八， y 平方加上四， y 减三等于零。所以啊，我们就可以得出 这个维达定律， y 一 加 y 二等于负的二分之一， y 乘 y 二呢，是等于负的八分之三。然后这个时候啊，我们再把这个 a 一 p 乘以 a 一 给它写出来，那么它就可以得到 x 一 加上二乘上 x 二加上二，再加上 y 一 乘 y 二。这个时候呢，我们需要把它的 x 给它消了，因为前面我们得到是关于 y 的 伟大定义和它的一二次方程， 所以这里呢，它就变成了二， y 一 加上三乘上二， y 二加上三，再加上 y 一 乘 y 二。 那么这个时候我们把它变个形啊，它就变成了五倍 y 一 乘 y 二加上六倍 y 一 加 y 二， 然后再加上九啊，这个时候呢，我们再把微大定律啊给它带进来，所以呢，就可以得到五乘上负的 八分之三，加上六乘以负的二分之一，再加上九。最后答案呢，就是八分之三十三啊，这个呢，就是这个题的整个过程还是比较简单的，那么接下来我们再来看一下十六题。十六题考察的是三角函数，那么这道题呢，也是比较常规的题，我们先来读下题， 他说啊，三 a 加 cosine， a 等于根号二三， b 呢加 cosine 二 c 等于零。第一问，让我们算一下 a 和 b 的 角度值是多少？首先我们可以根据这个三 a 呀，加 cosine a 等于根号二， 快速的反映出我们的辅助角公式，根号二倍三 e a 加四分之派，它是等于根号二，所以啊，我们就可以得出这个三 e a 加四分之派，它是等于一的啊，来想一下，三 e 多少等于一，是不是二分之派？当然这呢 朋友们一定要注意啊，我们一定要写上 a 是 属于零到派的啊，不然的话三的多少值等于一，这个多少它是有很多种情况的，所以这个时候我们就可以知道， a 加四分之派，它就直接是二分之派，算出来 a 角就是四分之派啊，这是第一个 a 角。然后我们再来看一下 b 角， 我们要肯定要用到第二个词了，这个 c 加上 cosine 二 c 等于零啊，出现了一个 cosine 和一个 cosine 相加，那么这个时候啊，你就要想到一个结论， sine alpha 等于 cosine beta 的 时候，那么你要知道这个东西啊，我们就可以知道 alpha 加 beta 它是互余的啊，这是一个啊，比较好用的一个结论，那么这里呢，我们看怎么样去利用它。 sine b 加上 cosine 二 c 等于零啊，我们需要把它转换一个形式，那就是 cosine 二 c 等于负的 三 e b 啊，也就是把它移过来，那么这个符号呢，我们把它放到三 e 里面去，是不是就可以得到三 e 负 b 了？ 这个就是我们的诱导公式来 cosine 多少等于 cosine 多少，那说明里面是不应该是布于的关系，但是这里一定要注意啊，我们这个二 c 啊，这个 c 和 b 一定要写上它是属于多少零到派的， b 和 c 二属于零到派的， 所以我们就可以知道二 c 减去 b， 它就是二分之派。然后再结合我们刚刚求的 a 角是四分之派，那说明 b 加 c， 它是不是应该就是四分之三派？有这两个式子，我就可以把 b 给它求出来， b 呢，它是等于三分之派， 这个是我们的第一问啊，第一问，有的老师或者同学啊，他们是直接把，因为这个 a 角等于四分之派，那所以说 b 角和 c 角之合呢，是四分之三派。通过这个关系式，把这个式子里面的 b 或者 c 啊给它换成同一个角度啊，也是可以算的。然后我们来看一下第二问， 第二问的话它给给你了。 bc 啊，是等于二的啊，这个 bc 的 话，不就是我们的 a 边吗？等于二，然后算一下这个面积，这个根号算了，然后我们画一个图， 这个是 a 角， b 角 c 角 a 呢是四分之派告诉我们的，然后 b 呢是六三分之派，然后这个 b c 啊是等于二的啊，这儿呢，我们首先可以通过我们的正弦定律，先把这个 a c 给它算出来。所以啊，又因为 a 比上 sign a 等于 b 比上 sign b， 所以 说我们就可以得出这个 b， 它是等于 sign a 分 之 a 乘 sign b， 然后再把值给它带进去。 a 呢是等于二三根， b 呢，刚刚求出来了，是二分之根号三三， a 呢是二分之根号二，所以呢，这个 b 边算出来过后，那么就是根号六啊，这个呢就是根号六，那我们要算面积的话，是不得通过这个角啊，那你想这是四分之派了，这是三分之派了，那这呢 啊，不就是我们多少度，是不是七十五度啊？所以呢，我们就可以直接利用我们的面积公式 s 三角形 abc， 它是等于二分之一啊，乘以根号六，再乘以一个二，再乘以一个三影七十五度 啊，二二约了，那就是根号六，这个三影七十五度啊，我相信很多同学都背过，他应该等于四分之根号六加上根号二，所以呢，这个最后算出来结果 就是四分之六加上二倍根号三，所以画完减过后呢，就是 二分之三加上根号三，这个就是我们的面积的最后答案。

哈喽，各位同学，本期视频我们要分享到的是成都二零二六届高三一站填空题的第十四题，考察到的是外接球问题。那么这道题目呢，其实需要大家能够根据他给到的相关信息，按判定 他可能是一个非常特殊的模型，然后呢，才能尝试去分析外接球表面积的最小值。 ok， 一 起来看题目条件。 在三棱锥当中， p a 跟底面 a、 b、 c 互相垂直，侧面 p a， b 垂直侧面 p b、 c。 并且 p a 是 等于二的，三角形 a， b， c 的 面积等于四。如果三棱锥的各个顶点都在求 o 的 球面上，然后想知道这个外接球的表面积最小应该等于多少？ ok， 那 还是老规矩，先来上图， ok， 那 么猛的一看呢，这道题它给的信息呢，好像是非常有限的啊，它只说 p a 跟底面互相垂直啊，当然，我们也能知道，平面 p a、 b 跟底面 a、 b、 c 呢，是互相垂直的， 两个侧面是互相垂直的啊，这个条件呢，给的非常奇怪，放在这个地方呢，可能是存在着某种意图的，可能是需要结合这个条件判定出几何体它的哪些特殊性质的， 并且呢，他又给到了这个底面的三角形的面积是等于四的。哎，那么这个三角形面积放在这个地方到底应该怎么来应用呢？ 嗯，相信大家呢，是能够想到，在三棱锥当中，如果知道它的底面积，又知道高度，也就能够表示出三棱锥体积。 而我们又发现 p a 跟底面是互相垂直的，所以结合这个面积，结合 p a 长度，应该就能够表示出这个三郎锥体积，也就是存在着 v p a、 b c 是 等于三分之一乘四，再乘二，也就应该是等于三分之八。 同时呢，为了方便描述，我在假定底面三角形，它的三条边长分别是 a、 b、 c， 那 么既然已经知道这个三棱锥体积啊，又知道这两个面是互相垂直的，我们知道在立体几何里边呢，面面垂直通常是能够推出现面垂直的前提是 有条线跟交线垂直，那这样子的话呢，也就能得到这条线应该跟另外的这个面是互相垂直的。那么在这个地方，其实可以尝试转换顶点，应用等体系法来表示出这个三棱锥体积。 因为我们现在呢，同样知道三角形 p a、 b 是 一个直角三角形，它的底面积相对来说呢，是比较好进行表示的。所以呢，也就不妨以 c 点为顶点， 然后过点 c 做 p b 的 垂线，假设垂足为 e， 也就能够根据面面垂直得到直线 c e 应该跟平面 p a、 b 同样是互相垂直的， 所以 c 点到这个底面距离对应的应该就是线段 c、 e 的 长度。所以呢，我们也就可以进一步把这个三棱锥体积表示成为 三分之一倍的三角形 p a、 b 面积，也就是乘以二分之一乘二，再乘 c， 然后再乘以线段 c 的 长度。 化简之后呢，应该也就是三分之 c， 然后再乘以 c、 e。 那 么如此一来，也就能够知道啊，这个边 c 再乘以 c e， 当然等同于是 a b 再乘以 c， e， 应该就是等于八等。 ok， 那 么进行到这一步之后呢，其实我们好像就不太知道后续的这个方向在哪里了啊？那其实可以尝试再去利用一下 c e 跟平面 p a b 互相垂直。我们知道，在线面垂直问题当中啊，有一个非常重要的三垂线定律， 也就是如果某条直线，它在面内的摄影和面内的某条直线是互相垂直的，那么这条线本身呢，和这条线同样是互相垂直的， 所以呢，我们也就可以尝试过点 e 做出 a b 的 垂线，假定垂足为 f， 当然这条直线跟 pa 是 互相平行的， 同时呢，我们再连接底面当中的 c f 两点，那么这样子的话呢，也就可以把 e f 当成是 c f 在 平面 p a b 当中的一条射线， 并且结合刚才的辅助线，也能知道这条射影跟 ab 是 互相垂直的。应用三垂线定律，自然就能够得到斜线 c f 跟 ab 应该同样是互相垂直的， 那么这样子的话呢，也就可以把线段 c f 看成是 ab 边上的高，也就可以应用 ab 和 c f 表示出三角形 a b c 面积， 也就是存在着三角形面积，它是等于二分之一乘以 a b， 然后再乘以 c f， 也就应该是等于四等，也就能够等价得到 a b 乘以 c f 应该是等于八等。 那么这样子的话呢，结合这两个等式关系，我们也就必定可以得到 c e 和 c f 的 长度是完全相等的啊，说明 e 点跟 f 点是完全重合的，其实呢，也就说明 e 点 f 点跟 b 点是完全重合的。 那么这样子的话呢，其实也就能够进一步推导出直线 b c 和平面 p a b 应该就是互相垂直的，并且 b c 跟 a b 也同样是互相垂直的， 那么这样子的话呢，也就能发现这个三棱锥它的几何特征是非常特殊的啊，首先它的侧棱跟底面互相垂直，并且它的底面呢，刚好是一个直角三角形，那么这样子的话呢，要想研究它的外接球问题，也就可以尝试用到补体法， 我们是可以把这个三棱锥呢直接补成一个长方形，这个长方形的长宽高呢，分别就对应着 b、 c、 a、 b 和 pa。 那么结合长方体的外球半径公式也就能够知道，大 r 应该是等于二分之一倍的根号下长方加宽方加高方，也就是等于二分之一倍的根号下 a 方加 c 方，然后再加上二方。 而我们又知道 bc 跟 ab 互相垂直，所以这个三角形面积自然也就等同于是二分之一倍的 a 乘 c， 也就是等于四，也就是有 a 乘 c 是 等于八的。 那么结合基本不等式，也就能发现， a 方加 c 方大于等于二倍的 a 乘 c， 也就是大于等于十六，那么外接球半径必定就是大于等于二分之一，然后再乘以根号二十，也就是大于等于根号五。 如此一来呢，也就可以进一步分析出，这个外接球的表面积等于四倍 r 方必定就是大于等于二十倍的。判取等条件呢，应该是 a 和 c 相等三角形， a、 b、 c 呢，正好对应着一个等腰直角三角形， 所以这道题目的最后结果呢，应该也就是二十倍的派。 ok， 那 么在这道题目里边呢，它的难点就在于啊，需要大家能够大胆的先过点 c 做出平面 p a、 b 的 垂线， 同时呢，再通过分析啊，结合这个等体积啊，包括结合这个三角形 a b， c 面积，发现这三个点是完全重合的，也就能知道 直线 b c 应该跟平面 p a b 互相垂直， b c 跟 a b 互相垂直。那么这样子的话呢，我在研究这个三角形的外接圆半径，也就可以直接尝试应用补体法， 然后呢，结合基本不等式，也就可以顺利的得到半径的最小值，从而呢，也就能够知道外接球的表面积的最小值应该等于多少。好的各位同学，那么本道题目婷婷老师也就给大家分享完毕了，我们下节视频再见。拜拜！

如图所示，在三棱锥 p a、 b、 c。 中，侧棱 p a 垂直于底面 a、 b、 c。 侧面 p a、 b 和侧面 p b、 c 是 垂直的侧棱 p a 的 长度等于二，三角形 a、 b、 c 的 面积等于四。 若三棱锥 p a、 b、 c 各个顶点都在求 o 的 球面上，也就意味着求 o 是 三棱锥 p a、 b、 c。 的 外接球。问， 求 o 表面积的最小值是多少？因为三棱锥 p a、 b、 c。 它的侧棱和底面是垂直的，侧棱 p a 的 长度为二。我们如果设 三角形 a、 b、 c 外接圆的半径为小 r， 三棱锥 p a、 b、 c 外接球的半径为大 r。 由此我们可以知道，大 r 就 等于根号下小 r 的 平方，加上二分之 p a， 整体的平方 就等于根号下 r 方加一。接下来，我们来求解一下三角形 a、 b、 c 外接圆半径的取值方。因为 pa， 它垂直于平面 a、 b、 c， 而 pa 又包含于平面 p a、 b。 平面 p a、 b。 要垂直于 平面 a、 b、 c。 题干中又告诉我们，因为平面 p b、 c， 它也垂直于平面 p a、 b。 也就意味着平面 a、 b、 c 和平面 p b、 c 都垂直于同一个平面 p a、 b。 同时且平面 p b、 c。 交 平面 a、 b、 c 与 b、 c， 由此我们可以得到，所以相交的棱线 b、 c 一定是垂直于平面 p a、 b 的。 又因为 a、 b 包含于平面 p a、 b， 所以 就垂直于 bc。 我 们设线段 a、 b 的 长度为小 m， 线段 bc 的 长度为小 n， 则直角三角形 a、 b、 c 的 面积就等于二分之一倍的 m 乘以 n。 由题义可知，三角形 a、 b、 c 的 面积等于四，所以 m 乘以 n 就 等于八。 由三角形的勾股定律可知，所以线段 a、 c 的 长度就等于根号下 m 方加 n 方。由基本不等式可知，它应该大于等于根号下二倍的 m n， 而 m 乘以 n 等于八，所以 a c 整体要大于等于四。 因为 abc 是 以点 b 为直角的直角三角形，所以该直角三角形 y 接圆的半径小 r 就 等于二分之 a c 整体要大于等于二，所以 该三棱锥 p abc， 它的外接球的半径大 r 就 等于根号下小 r 方加一，整体要大于等于根号五， 所以求 o 的 表面积 s 等于四。派大 r 方整体要大于等于二十倍的 pi， 所以 求 o 表面积的最小值，它就是二十倍的 pi。

这道题当然可以用像解一二次不等式、配凑均值不等式等这些不等式的基本方法来解决了。但是一道好题，他的方法总是多样的，所以我打算用下面的方法来解决，你们可以品鉴一下啊。 当我看见二式三式的时候，我首先想到了双曲线。这两个式子分别表示的是双曲线的两支所围的中间这部分阴影区域。 而一是，它显然表示的是一个以坐标原点为中心，且关于 y 等于 x 对 称的椭圆。为什么呢？一般像这种二次性，它表示的不是双曲线就是椭圆。 另外，我把 x 和 y 换成负 x 和负 y， 发现式子不变，那他当然是以坐标原点为中心了。我再把 x 和 y 互换，发现式子还不变，那他显然又是以关于 y 等于 x 对 称了。另外，我再用一个均值不等式，我发现 x 方加 y 方竟然有最大值， 那他不是椭圆又是什么呢？另外，这个椭圆又跟双曲线的四值分别交到了四个十轴的端点， 我再把这个椭圆跟其中的一个双曲线连立，就求出了另外一个焦点 p 一 的坐标。而显然， p 一 又和另外一个焦点 p 二是关于 y 的 x 对 称的，所以 p 二的坐标也可以直接写出来。 但是这个椭圆你不能取到全部，因为它只能取到左边阴一部分区域里面的一部分，所以它只能取到红色实线的部分。再加上题干说了， x 和 y 又得大于零，所以一、二、三这三个式子显然表示的是一象限的红色的这部分实线。 好，我再把这个椭圆跟 y 等于 x 连立，求出它的顶点 p 三的坐标。接下来答案马上就出来了。 直线 x 加 y 等于 k， 显然过 p 三的时候， k 取到最大值，把 p 三的坐标带进去，就求出了 k 的 最大值。 它显然过 p 一 p 二的时候取到最小值，把 p 一 或 p 二的坐标带进去，就求出了 k 的 最小值。反比例函数 x 乘外乘等于 t， 当它过 p 三的时候， t 取到最大值，把 p 三的坐标带进去，就求出了 t 的 最大值。当它过 p 一、 p 二的时候， 提取到最小值，把 p 一 或 p 二的坐标带进去，就求出了 t 的 最小值。所以你们看一下这道题，显然选 a、 b、 c、 d 是 错的。

高三的成都医诊这套题目的质量是非常高的，咱们今天再来讲一个里面的单选压轴题。这道题考察的是等比数列的性质，其实难度不大，但是大家要会分析， 一起来看看这道题目。一个等比数列，前四项和是一，前四项的绝对值的和等于三，问 a 一 是多少？这道题目拿到了之后，千万别着急去列方程，我们用前项和把它写出来，这个方法不是特别好，大家先来仔 去分析一下。对于一个等比数列来说，无非就是这么三大类，第一大类全都是正的，第二大类全是负的，第三大类就是正负间隔的，那么咱们来分析一下，前四项的和是一， 那么他就不可能全是负数。接着再来看，如果他全是正数，那么这个绝对值的和也就是前四项的和， 所以这个东西应该也等于一。通过这两个分析，咱们就得到了，这个竖列一定是正负间隔的，这样子的等比竖列， 也就是 q 一定是小于零的，那正负间隔不就无非是两种可能性，正负正负或者是负正负正。所以咱们进行一个分类讨论，如果 a 一 a 三都是正的， a 二 a 四就是负的，这个式子咱们别动，咱们来变一下绝对值，那不就变成了 a 一 减 a 二加 a 三减 a 四等于三了吗？然后这两个式子作合，两倍的 a 一 加 a 三 就等于四，所以 a 一 加 a 三就等于二。然后两个式子再作差，两倍的 a 二加 a 四就应该等于负二， 所以 a 二加 a 四就应该等于负一。那么这两个式子不就是一个乘以 q 的 关系吗？这个式子乘一个公比， q 就 等于下边这个式子， 所以 q 就 等于负的二分之一。那有了 q 了，再算 a 一 就非常简单，直接把它带入到第一个式子里面去。 a 一 加上四分之一倍的 a 一 就等于二，所以四分之五倍的 a 一 等于二，那么 a 一 就应该等于五分之四，再乘以二，也就是五分之八，所以有五分之八的，咱们就留下 c d 去掉。接着分析第二种情况， 当 a 一 小于零的时候，那么这个绝对值的式子就变成了负。 a 一 加 a 二减 a 三，再加 a 四等于三，然后这两个式子作和两倍的 a 二加 a 四就等于四， 所以 a 二加 a 四等于二。两个式子再作差两倍的 a 一 加 a 三就等于负二，所以 a 一 加 a 三就应该等于负一，那么 q 就应该等于负二，然后再代入到这个式子里面。 a 一 加上四倍的 a 一 等于负一，所以 a 一 就等于负的五分之一。所以 b 选项去掉答案选 a。 对于这道题目来说，千万别着急，列这个前 n 项和的公式去算 q 就 非常麻烦，咱们用讨论的方法把这个 a 一 a 三和 a 二 a 四解决掉，公比就很容易求出，那当然 a 一 也就很容易得到。

我们做 a、 g 垂直于 d、 e 与 g 备用，做 d、 f 垂直于 a、 e 与 f， 再连接 c、 f， 这样我们就把这个二面角的平面角给它做出来了。我们换个角度看一下， 它这个红色的部分就是我们所求的二面角的平面角，我们再转回来。好，我们先证明一下角 d、 f、 c 就是 这个二面角的平面角。 好，我们做的是什么呢？ d、 f 垂直于 a、 e 与 f， 这是我们自己做的，然后题目当中已知的这里有一个 a、 b 垂直于 a、 e， 我 们看一下是不是这个角，因为 c、 d 和 a、 b 是 不是平行线，这两个，你看这两个是不是平行线，所以我们得出什么呢？ c、 d 也垂直于 a、 e， 那 么这个 a、 e 既垂直于 d f， 又垂直于 c、 d， 所以 它就垂直于面 c、 d、 f， 而 c、 f 就 在这个什么面上，所以 a、 e 就 会垂直于这个什么 c、 f， 那 到这里，这个 d、 f 垂直于 a e， c f 也垂直于 a、 e， 我 们看一下 d、 f 和 c、 f 都垂直于 a、 e 了，所以中间这个角就是什么二面角的平面角了， 所以角 d、 f、 c 是 二面角的平面角， 也就是说我们求的就是角 d、 f、 c 这个角的余弦值的最大值。好，要求 d、 f、 c 这个角，这个角的什么余弦最大值？我们就需要把这个三角形的三条边给它解出来，哪三条边就是绿色的三角形的三条边，如果三条边的长度都能表示，我们最后用一个余弦定零是不是可以了？好，我们一个一个来找一下， 好，看一下我们已知这些东西啊。 ab 是 根号二，那这也是根号二了。好，那折起来，这个 a、 e 也是根号二，那斜着的 b， e 就是 什么 b， e 这条边数就是二，对吧？ a e 这条边我们是不知道的，那我们把 a e 把它设成二 a 吧，因为这里是 a， 这里也是 a。 好， 因为这个 o e 和 o d 是 相等的， o e 就是 o d 转上来的，对吧？因为 o e 等于 o d， o d 又等于 o b， 那 么脚斜边上的中线是不是就等于斜边的一半了？ 我们看一下 o e 是 不是这个三角形斜边上的中线，所以这就是直角，对吧？好，所以脚 d e， b， d 等于根号下 d， e 的 平方加上 b， e 的 平方好，这等于多少呢？就是四 a 方再加个四好，就等于二倍，是吧？等下 a 方加一。好，那我们就把 b d 求出来了， o b 是 不是 b 的 一半，所以 o b 就 等于什么？根号下 a 方加一。好，我们此时我们看下知道什么了？知道了 o b 又知道什么？ a b 是 不是就可以算 o a 了？行，我们算下 o a 啊， o a 等于根号下 a， b 方减 o b 方就等于根号下二，减去 a 方加一就是一减 a 方。 我们现在知道了两个非常厉害的东西啊，一个是 a， 一个是 o b， 有 了这两个的长度都好表示了。好，请问还是我要走我们的中心，对吧？我们想算什么呢？想算的是这个什么？整个绿色三角形，这三条边，对吧？看，怎么能用小 a 统一的表示出来。好，其中 c、 d 就 不用表示了，因为 c、 d 是 多少呢？是不是就是根二好，要表示的什么就是什么？ d f 和什么 c f， 我 们看下 d， f 怎么表示。 好，我们先看左边的三角形吧，好，在三角形 a、 d e 中，我们用等面积法试一下，二分之一底乘高 d e 是 谁呢？就是 a e。 好了，就是 df。 好， 我们想要的 d f 出现了啊，等于二分之一， d e 乘以高就是 a g 好， 我们算一下，二分之一单底销了。 a e 是 几来？ a e 是 根号二， d f， d e 又是几来？ d e 是 二 a a g 是 多少呢？是不是放在这个直角三角形里面看一下？根据勾股定它等于什么二减 a 方。好，所以 d f 出来了， 就等于根号二个 a 再乘以什么二减 a 方。先放着啊，我们去找 c f 就 可以再解决了啊。接下来我们去找 cf， 是 不是这个等面积法可以再用一次？ 我们看一下啊，在三角形 a c e 中，二分之一，我们想要的是 c f， 对 吧？底层高。那还是拿 a e 来当底，再乘一个 c f 就 等于二分之一底层高，这个底就是 ac， 再乘一个 o e， 好， 二分之一，这样抵消。 a e 是 不是根号啊？乘一个 c f 就 等于 ac ac 咱们是知道的。 ac 是 不是两个 o v 啊？ o v 在 哪里？我们回顾一下。 o v 在 这里是根号下一减一方，那两倍的 o v 呢？ 这是两倍的根号下一减 a 方 o e 怎么办？ o e 跟 b 是 相等的，我们看一下 o e 跟 b 是 相等的， o e 有 没有？有，在这。好，就是根号下一方加一。嗯， 好，就是根号下，我们写成加一方吧，好看一点啊。好，那么 c f 也算出来了，就等于根号二倍里面是不是平方差公式一减去 a 的 四次方了。好，到这里我们想要的东西就差不多了，你看我们的 d、 f 表出来了， c、 f 表出来了，然后 c、 d 已知根号三条边都清楚了，所以用余弦点就可以了。但是有个问题， 咱们这个条件是不是还没用上啊？体积不大于三分之一，是不是还没用上？这个条件到底是来干嘛的？应该是来约束这个小 a 的， 对吧？如果小 a 这个自变量的范围都不清楚，我们待会即便写成了 a 的 函数，咱们也不知道值域是多少，所以我们要用这个体积大于三分之一来约束一下这个小的范围来表示一下。好，这个体积， 哪个体积呢？整个对吧？ a、 b、 c、 d 我 们可以把它分成两个部分，哪个部分呢？我们以 d、 b、 e 这个三角形为分界，把它砍成两半，对吧？外面一半，里面一半，这样就形成两个嘴，嗯， 就是 a 杠 b， d 一 加上 v c 杠 b d 一。 当然我们知道这个 o、 c 和 a 是 相等的，对不对？ o、 c、 a 相等，也是说这两个锥的高就是相等的。好，这是两倍的一个锥，对吧？两倍的一个锥的体重是背一下三分之一底，面积 乘以高。好，前面就是三分之二了，写上啊，好， b、 d 的 面积怎么算呢？当三分之底乘高喽。 d 我 们看一下是和谁呢？ d 是 不是就是 d？ a 和 b 也是一致的，对吧？首先 d， a 是 二 a， b， a 刚才是不是也表示过了？好，最下面这个位置啊，这就是根号下一减 a 方。 好，它就等于，我们看一下啊，这是三分之四， a 乘以根号下一减 a 方，他说这个体积怎么样呢？是不是小于等于不大于什么三分之一？ 好，我们把它三分之四弄过来， a 除以什么？ a 除以根号下一减 a 方就小于等于多少了？四分之一，那么 a 方乘以一减两边同时平方啊，就小于等于十六分之一，呃，也可以继续解，对吧？咱们先放着看看，待会要什么，对吧？万一要的就是这个整体来，对吧？好，我们先放着，我们可以用余弦定了在三角形。看清楚了啊，我们合龙就会啊， d f c 中 口算角， d f c 就 等于来，我们看着这个三角形啊，哪个三角形？我们再画一遍这个三角形，我们是这个角，对吧？两个零边平方减对边平方，对吧？ 好，就是写一下， d f 方加 c， f 方减 c， d 方除以两倍的 d f 乘以 c f。 好， 我们继续等，找我们的 d f 在 哪里？ d f 是 不是在这个位置？ 让我们把它放一下， d f 的 方就是二 a 方，二减 a 方， c f 在 哪里？往下看一下，这里二倍的一减 a 地方， c f 是 根号的地方，就是二 行，然后再两倍的根号二 a， 二减 a 的 平方乘以根号二乘以什么？一减 a 的 四次方。好，我们刚刚的两个数据。好，我们把上面画出来讲，四 a 方减两个 a 的 四次方，加二减去两个 a 的 四次方，再减二， 然后再根号下二减 a 方，再乘以根号下一减 a 的 四次方。这是什么？四个四个 a 的 平方减四个 a 的 四次方，下面四 a 两个根号啊，上面是不是可以提个 a 方出来，一减去 a 的 平方， 下面四 a 根号下二减 a 方，我们发现这个一减 a 的 四十方是不是个平方？差？公式，我们把它写成两个看，一加 a 方，在一减 a 方，好，接下来我们发现上下有两个地方可以约，首先是四 a 方还是 a， 其次是一减 a 方和根号下一减 a 方。是不是两个地方都可以处理一下，我们约一下看看啊。上下同时四 a， 上面三个 a， 好，这里就是个什么了，根号下二减 a 方，然后上下如果同时约掉一个，这个约掉一个，根号下一减一方了，那上面是不是一减一方了？下面是什么？一加 a 方。好，就换成这样子，然后我们尝试着把它所有的东西都给它放进根号里面去，我就写下面，你们好联系啊。好，根号下 分子的话，肯定是 a 方减 a 的 四十方，把它弄到根号里面去，分五乘一下二加二， a 方减 a 方，再减 a 的 四十方。我们整理一下啊，为了方便你们联系好，根号下 a 方减 a 的 四十方，分五，也是 a 方减 a 的 四十方，但是加了个二，到这里分子分五非常接近，我们是不是可以平行数了？嗯， 好，就是 a 方减 a 的 四次方，加个二，再减个二就可以了。好，分母 a 方减 a 的 四次方，再加二。好，它就等于根号下这是一，再减去二倍的 a 方减 a 的 四次方，再加二。好，我们再回来看一下 a 的 范围，我们刚刚停在这了，对吧？我们说看需要怎么用再用它，不要盲目的用它，对吧？是不是它就是 a 方减 a 的 四次方，小于等于十六分之一，嗯， 这就是小于等于十六分之一，所以我把这十六分之一带进来，请你们看一下，一减去二十六分之一加二。好，算出来就是根号下三十三分之一结束。

大家好，我是三无居士，今天给大家讲一下成都市一等考试的第十六题。这是一道解三角形的问题，还是比较简单的。 已知在三角形当中，这里有一个等式，这里有一个等式。第一个问题，要求 a b 的 值，要求未知数 a b， 必然要建立关于 a b 的 方程。 第一个等式显然就是一个关于 a 的 方程，而且这个等式当中呢，只有未知数 a， 因此呢，可以以这个方程作为突破口，把 a 呢解出来。而后面这个方程呢，它有两个未知数，一个是 b， 一个是 c。 所以 显然我们要以第一个方程作为突破口， 因为三 a 加上括号 a， 等于根号二。这个等式呢， 有两个名称，一个是正弦，一个是余弦，但是角度相同，名称不同，角度相同的正余弦的加减，我们马上会想到什么呢？辅助角公式啊，辅助角公式。 所以提一个根号二出来，就得到根号二，被上印 a 加上四分之拍，等于根号二。这个等式两边都有根号二，直接把它约掉就得到上印 a 加四分之拍等于一。 a 加上四分之拍的正弦值要等于一，说明这个角 a 加四分之拍，它的中边只能在 y 的 正半轴上，所有中边在 y 的 正半轴上的角都等于二倍。 k 拍加上二分之拍的样子， 这里的 k 呢，属于整数，而我们要把这个 a 确定下来，要去把这个 k 呢确定下来。 由于 a 是 一个三角形的锐角啊，是是一个三角形的内角，所以它是在零到拍当中变化，因为 a 这个角呢，它要在零到拍当中变化。 那么根据上面这个等式来讲， a 要在零到拍当中变化的话，这个 k 只能取零啊，只能取零， 如果 k 大 于或等于一，或者小于或等于负一的话，那么它对应的值呢，显然都不在零的牌当中，所以这个时候 k 只能取零，因此 a 的 值呢，就只能等于四分之一，所以 a 解出来了， 那么怎么去求这个 b 呢啊，怎么去求 b？ 对 于三角形的问题啊，只要看到这样一个状语， 在三角形当中，这个状语一旦出现我们脑海当中，实际上首先要想到什么呢？要想到三大定力，正弦定力、余弦定力、内角和定力，那么这里既然 a 已经算出来了，所以这个 b 和 c 的 关系就清楚了啊， 所以 b 加上 c， 它只能等于什么呢？四分之三拍，根据内角和定力啊， 而第二个方程当中，这里有一个二倍 c， 所以呢，我们要把 c 呢用 b 来表示出来，然后把二倍 c 呢啊表示出来，先把 c 表示出来， c 就 等于四分之三派减去 b， 二倍 c 的 话就等于二分之三派减去二倍 b， 那 么把这个等式加 q 乘以二， c 等于零， 所以上面这个方程呢，我们可以把这个二 c 消掉，它就等于三根 b 加上 cosine， 二分之三 pi 减去二倍 b 等于零， 二分之三 pi， 它是一个特殊角，所以我们自然想到把这个展开啊，把它展开， 用我们的两角叉的余弦公式括括，加三三，所以就得到三硬币，减去三硬二倍币要等于零， 也就是三硬币要等于三硬二倍币，而三硬二倍币就又可以用什么呢？ b 角公式，把这个角度变小，就得到二倍三硬币乘以 cosine b， 我们知道这个三根 b 呢，它是大于零的，所以把这个三根 b 约掉过后，就得到了 q， 三根 b 的 值等于二分之一， 因为 b 这个角呢，它始终在零到盘当中变化，它的余弦要等于二分之一的话，这个角呢，就确定下来了，它就只能等于三分之拍啊，只能等于三分之拍， 别无选择啊，别无选择，只能等于三字派。因此呢， ab 这两个位置数呢，就解出来了啊， ab 这两个位置数解出来了，当然根据内角和定义的话，角 c 的 值呢，是可以算出来的啊，可以算出来， 那么需不需要算角 c 的 值呢？我们要看后面是否需要用到角 c。 第二个问题，若 bc 等于二， 也就是角 a 的 对边知道等于二，要求三角形的面积， 那么要求三角形的面积自然会想到正弦定律啊， s 等于二分之一倍， ab 乘以三角 c 等于二分之一倍， bc 乘以三角 b 等于二分之一倍啊 b， ac 乘以三角 b 等等。 那么用哪一个公式呢啊？用哪一个公式？我们来分析一下。 由于这个三角形的三个角显然就是可以算出来的啊，所以我们要用正弦定律的话，显然要把另外的啊一个角把它算出来啊，把它算出来，这样的话才好方便用我们的正弦定律。 由第一个问题知道， c 就 要等于拍，减去 a 减去 b 等于拍，减去 a 四等于四分之拍， b 四等于三分之拍， 就是等于拍展区这里后面是十二分之七拍，所以这个结果是十二分之五拍。 c 这个角呢，它不特殊啊，它是等于十二分之五拍， 那么有了这个 c 过后，我们是要去用到角 c 的 正弦呢？还是角 c 的 对边的值啊，看能不能求出来。因为我们要求面积嘛，所以这个地方求面积的时候，有多种公式可以利用啊，有多种公式可以利用， 由正弦定力， 这里的 b c 所对的角就是角 a， 所以 b c 分 之三 a 要等于啊，这里有个 b c， 如果我们假设以 b 这个角作为啊，我们的这个面积公式当中的这个要用的角的话，那么这个什么叫去寻找啊？ b a 的 场，要去寻找 b a 的 场， 我们想用到二分之一倍三 a b 啊，再乘以这里的 b c b a， 那 么要去寻找 b a 的 话， b a 所对的角呢？就是 c 这个角，所以要用到什么角 c 的 正弦啊？角 c 的 正弦， 如果你不用这个角是有阵形的话，又可以怎么做呢？我们可以用这个公式啊，但我们这里的三 a 除以 b 除以 bc， 这个肯定要用到，因为这里的 a 和 bc 都是一致的啊，肯定要用到它， 你也可以用什么呢？用我们的另外一个角，就是三 a， b 的 话， b 的 对边就是这里的 ac 啊 ac， 因此这个时候要去把 ac 求出来啊， ac 求出来， 那么显然我们如果去求 ac 的 话，好像看起来比较简单一点啊，那么你用了求了 ac 过后，这里面又要用到什么角 c 的 正弦，还是要用到角 c 的 正弦啊？所以无论如何呢，我们都会用到什么角 c 的 正弦啊？角 c 的 正弦， 所以我们干脆就把这个角 c 呢正弦的先求出来，三音 c 就 等于三音， 十二分之五拍就等于三音，那么十二分之五拍它不特殊，那么怎么办呢？十二分之五拍可以看作是十二分之三拍，加上十二分之二拍， 十二分之三拍的话，实际上就是四分之拍，十二分之二拍就是六分之拍。 根据两条和的正弦公式，它等于三扩加，扩散，三扩，那么就变成了 四分之根号六，加上扩散啊，就是四分之根号二， 这是假设的正弦。那么既然有了正弦，我们就最好是用前面这个吧，用前面这个公式啊，比较好一点。所以这个时候呢， b、 a 的 长可以算出来， b a 的 长就等于 b， c 乘以三 a， c 再除以三 a 啊三 a 是 等于二分之二，除以二分之二就乘以根号二， 就得到二分之，这里带进去是二，加上根号一是二倍。根号三二约的就是根号三，加上一啊 b 也可以算出来，所以这个时候三角形 a、 b、 c 的 面积 就等于二分之一倍， b， a 乘以 b， c 再乘以角 b 的 正弦 b， a， 这里是根号三加上一， b、 c 等于二三，因 b 角 b 是 等于三分之派啊，它的正弦二分之杠三， 好把这里二约掉，约掉过后就得到二分之三，加上根号三，这就是面积啊，这就是面积了。 总的来讲呢，这道题呢，比较简单啊，比较简单。我们这里没有用到余弦定力啊，没有用到余弦定力。 好，我们这个题呢，先讲到这里啊，感谢大家收看，我们下次再见。

大家好，我是山无巨氏，今天给大家讲一下成都市一等考试的第十七题，这是一道概率的问题， 口袋中里有两个白球和两个红球，这些球除颜色外完全相同，这句话 他拿来干嘛呢？这句话就说明我们这四个球呢，他们的形状是相同的，那么我们在摸球的时候呢，就能够做到完全的随机的去摸球啊，他代表是这个意思。 现有两种游戏方案，游戏一，从袋中有放回的摸球两次，即摸到白球的这个次数为大 x。 游戏二，从带中无放回的摸球两次，即摸到白球的次数为大 y。 两种游戏的结果相互独立，也就是说这两个游戏呢，互不影响结果，他们两个是啊，不相关的 相互独立的。第一个问题，分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率，要求概率。那么这显示一道古典概型的问题，要求概率的话，我们要把它的基本事件总数找出来 啊，把基本事件总数找出来。那么这个题应该具体怎么去操作呢？我们来看一下。 要找到基本线总数的话，我们通常情况下要把这四个球呢进行编号处理，然后呢再把它们对应的啊，每一次试验的这个结果呢？啊，可能的结果，把它罗列出来，然后就找到了它的基本线总数。 因此我们首先将这四个球编号， 比如说编号为一二三四， 编了号过后，哪些代表的是白球呢？比如说我们用一二代表白球， 三四代表这里是红球。 对游戏一来讲，我们看看它的基本上总数多少， 基本事件 包括哪些呢？ 由于我们是从袋中啊，有放回的，摸球两次，摸两次啊，注意有放回， 那么有可能第一次摸到的是一号球，而第二次呢，摸到的呢，也是一号球，因为你有放回嘛，这个一号球摸出来过后又放进去了，对吧？ 但有可能第一次摸到一号球，第二次摸到二号球，以此类推啊。第二次摸到三号球，第二次摸到四号球，有可能第一次摸到四二号球，然后你把它放回去，第二次又摸到二号球 啊，然后那么这里面呢？我们看这样子，这样子再写吧。啊，这样按照这个数这个规律来写，可能到了好方便一点。你说第二次的话啊，有第一次有可能是摸到的二号球，那么第二次呢？有可能摸到的什么？一号球？ 我们为了不重复，不遗漏啊。第二次摸到二号球，第一次摸到二球，第二次摸到三号球，有可能啊，这样以此类推吧。啊， 好，第一次摸到三号球，第二次摸到一号球， 好，有可能第一次摸到四号球，第二次摸到一号球， 好，那么显然这里有十六个啊，共十六个， 共十六个基本事件，而且我们知道，这显然每一个基本事件发生的概率呢，都是相同的，所以每个基本事件发生的概率实际上就是十六分之一。当然任何两个基本事件都是互斥的啊，都是互斥的， 那么对于游戏来讲的话，第二次摸到白球的概率，我们就可以算出来了， 第二次啊，摸白球，这个概率就可以算出来。那么第二次摸白球的话，它包含哪些基本事件呢？大家思考一下。第二次摸白球， 那么说明这里面的重坐标呢，只要小于或等于二就可以了啊，所以这两个是可以的啊， 这两个呢也是可以的啊，只要我们的重坐标啊，相当于是他要小于或等于二就行。这两个呢也是可以的啊，这两个也是可以的。所以总共有八个基本时间 就等于二分之一了啊，等于二分之一。好，接下来我们看游戏二啊，游戏二，那么对于游戏二来讲的话，他肯定有点区别了， 我们同样去找它基本事件包含哪些？游戏二的话是有啊，无放回啊，无放回， 那么无放回的话，你摸出来过后就把它放到一边啊，然后再继续摸第二次，那么有可能第一次摸到一号球，而第二次可能摸到十二号球， 但有可能第一次摸一号球，第二次摸的是三号球，有可能第一次摸一号球，第二次摸的是四号球。 好，第一次摸二号球，那么第二次呢？可能是摸的一号球，那么第一次摸二号球，第二次再也不可能摸二号球了啊，他摸三号球。 所以这里面实际上共有啊，三四十二，十二个基本事件啊，十二个基本事件。那么接下来我们来求由 c 二中 第二次摸白球，这个概率等于多少？那么第二次摸白球的话，也就是这里的重坐标要小于或等于二就可以了啊。第行，这里是可以的啊， 这里可以啊，他是重坐标啊，不是重坐标小等于二就可以了啊。 好，这两个呢是可以的啊，这两个是可以的，所以这里呢有六个啊，六个，这就是六来除以十二还是等于二分之一啊？等于二分之一 好，这是第一个问题啊，就可以这样算出来。我们看第二个问题，要求 x 等于 y 的 概率， x 呢是代表白球啊，游戏当中白球摸到的次数， 摸到白球的次数， y 呢，是代表游戏当中摸到白球的次数。那么这两个变量都是相互独立的啊，相互独立的，它们相等的话，有可能都等于零啊，是可能的，但这里面我们首先明确这个随机变量 x 和 y 分 别能够取哪些值啊？这是关键的，我们要要找这个问题啊，那么分别能取取哪些值呢？我们首先要明确，而且还要把这里的显然， 因为我们摸两次嘛，有可能这里 x 可能取零啊，可能取一，可能取二， y 是 零，一二都有可能取，然后它们相等的话，有可能都是等于一，都是等于零，都是等于二等等。那我们先把它交代一下这个问题啊，先交代一下， 在游戏一当中， 这个 x 的 可能取值为哪些啊？ x 可能取值 有哪些呢？我们要摸两次啊，有放回摸两次，那么有可能第一次摸到的是黑球，第二次摸到的呢，也是黑球，所以两次总共摸了零次白球， 当然有可能摸到一次白球，有可能第一次和第二次都摸到白球啊，这是完全可能的，所以这里 x 呢，它的曲值是零一二啊，零一二。那么接下来我们要求 x 的 分布列， 那么它每一个 x 对 应的概率是多少？把它求出来啊，分布列每多少把它求出来。 比如说随机变量 x 取零的时候，取零的时候，说明什么呢？说明两次都怎么样呢？摸到的是黑球啊，摸到的是黑球，那么来看它包含哪些基本事件？ 两次摸到都是黑球的话，也就是说他的横重坐标啊，都要大于二啊，横重坐标都要大于二， 那么显然这一个可以啊，横重坐标都大于二， 这个呢，很多时候没到代二，这个也是啊，这两这两个也是，所以这里实验有四个啊，有四个，因此呢，它的概率是多少呢？十二分之四 哦，十六，这是它基本上是是十六个啊，游戏机的基本上是基本实验总数是十六个啊，十六分之四， 十六分之四，当然就等于四分之一。 好，我们看十一变量等于一的时候呢，等于的时候，这概率是多少呢？等于一的话，也就意味着这里面的基本事件当中的这里的重横重坐标啊， 函数坐标，尤其减一个小于或等于二啊，尤其减一个小于或等于二， 那么包含哪些基本事件呢？我们看一下， 尤其仅有一个小点二，这是可以的，这个呢是可以的，这个是可以的，这个是可以的，这个是可以的。 尤其仅有一个小于或等于二啊，还有没有啊？这个是可以的， 所以这里呢，我们看还有没有啊？尤其仅有一个小于或等于二，这个是可以的啊，所以这里有八个啊，有八个， 所以它就等于多少呢？它就等于八来除以十六等于二分之一， 那么再根据概率的这个和为一啊，这个分不裂的和要为一啊，所以这个时候实际上你就不用去算，直接算出来 x 等于二的时候，它肯定要等于四分之一啊，等于四分之一，这样的话，他们加起来才刚好等于一嘛。啊？刚好等于 好，咱们在讨论游戏二当中，在游戏二中 y 可能取值 同样是零一二，对吧？同样是零一二，那么 y 的 分布列同样把它算出来， y 等于零的时候等于多少？我们看一下，在游戏二当中 y 等于零，说明这里的横重坐标啊，都要大于或等于都要大于二啊。横重坐标都要大于二， 横中坐标都要大于二的话，那么这里有一个啊，这里有一个，这里有一个，所以就只有两个啊，只有两个， 那么它就等于十二分之二，就等于六分之一啊。那么再来算一下， y 等于一的时候，这个概率 y 等于一的话，也就是说 这里的恒重坐标尤其仅有一个小点二啊，尤其仅有一个小点二，那么这个满足要求，这个来满足要求，这个满足要求， 这一个是满足要求的，然后这一个满足要求 横中坐标啊，因为它是 y 等于一次，是摸到一次白球啊，就是横中坐标的话，尤其仅有一个小一个等于二啊，这个是满足要求的， 这个满足要求啊，这个满足要求。这里是多少个呢？八个啊，八个， 总共是八个啊，这个蓝色的圈啊，蓝色的圈 就是十二分之八除以四，三分之二啊，三分之二，那么根据概率的这个和为一的话，我们同样可以算出来， y 等于二的时候，它的概率 这里要等于多少呢？就是一来减去六分之一 啊，再来减去这里的三分之二，我看你有多少啊？六分之六减一，再减去四 还是六分之一啊？六分之一刚好加起来是三分之。对，刚好就是一啊，六分之一， 所以这个呢，也是啊，六分之一啊，六分之一。那么我们接下来看我们的问题，就是要算 x y 相等的时候的这个概率啊， 就是这两个实验当中的随机变量值要相等的时候的概率。那么由于这两个随机变量呢，是相互独立的啊，相互独立的，那么 x 要等于 y 的 话，它包含了啊，多种情况了，对吧？多种情况包含哪些情况呢？我们来看看。 所以这个时候 p x 变量要等于 y， 这个变量它的概率等于多少呢？它包含的情况把它找出来， 这里的有可能是 x 等于 y 都等于零，或者 x 等于 y 等于一，或者 x 等于 y 啊，等于二， 这三种情况啊，只有这三种情况，因为这里的 x 都只能在零一二三个数当中取嘛，所以它们相等上只有这三种情况。那么这三种情况实际上两两之间呢，又是啊互斥的啊，又是互斥的啊互斥的，所以它的概率就等于多少呢？就把它加起来， x 等于 y 等于零这个概率，加上 x 等于 y 等于一这个概率，再加上 x 等于 y 啊，等于二这个概率。 因为这三个事件他们是互斥的啊，两两互斥的，所以他们的和事件啊，就等于他们分别的概率，加起来啊，和事件的概率就等于概率之和。 然后 x y 呢，它又是相互独立的，所以 x 等于 y， 这个都等同时等于零的时候，概率呢？ 就相对于什么呢？相对于是各自分别等于零的概率是几啊？就等于 p x 等于零的概率乘以 p y 等于零的概率啊，它们之几。因为这两个事件是相互独立的，相互独立的， 那么要同时发生的话啊，同时发生，所以他们之间是相互独立的啊，相互独立的，所以同时发生的概率呢，就等于概率的乘积啊，概率的乘积。 后面这个也是一样啊，就是 x 等于一的概率，乘以 y 等于一的概率， x 等于二的概率乘以 y 等于二的概率。 把前面这个乘起来啊，前面这个结果，把这个分部分把它乘起来，就是四分之一，乘以这里是六分之一，再加上这里是 二分之一，乘以这里是三分之二，再加上这里是四分之一，乘以这里也是六分之一啊，六分之一。 好，这里是二十四分之一，加上三分之一，再加上二十四分之一。 注意，结果呢，我们看一下，就是二十四分之二加上八二十四分之一，十啊，约掉一个二十二分之五啊，十二分之五，这是这个题目啊，第二题， 那么第二题的话，它的这个啊概率就算出来十二分之五啊，十二分之五。 好，我们再来看第四啊，第三的一个问题啊，第三的问题，第三的一个问题呢，看起来是比较复杂的啊， 它只是定义了一个新的东西而已啊，实际上对于随机变量克塞克塞在啊零到 n 当中取值，我们定义一个信息商啊，信息商 h h 克塞定了个新的东西出来 这个值的时候很容易啊，就是把这个可赛等于 i 啊， i 从零到 n 对 应的概率拿来乘以这个概率，以二为底的一个对数值乘起来啊，这就是它的这样一个信息商啊， 那么这个信息上表达什么意思呢？就是这个一个系统包含的不确定性的程度，这个商值越大，表明系统不确定性的，这个就越高啊，越大代表不确定性越高啊，注意这个这个意思代表系统的不确定性越高， 我们要比较 h 大 于 x 与 h 大 y 的 这个大小啊，那么谁大的话，谁的值呢？不确定性就更高啊，咱就是把这两个值来算出来， 所以这个题呢，实际上很简单啊，第三个问题啊，看起来有点复杂啊，我们看第三题该怎么做，那么由第二个问题我们知道啊，再结合这个定义，这里的大 h x 我 们来算一下， 根据这个定义，那么我们的 x 只能取两三个值，零一二零一二，所以它就等于什么呢？从这个定义来看的话，这里有一个负号啊，注意这里有一个负号， 这个符号选项可以把它提到前面来，然后就是求和 c 嘛，啊，就把它符号拿出来， 把符号先拿出来，拿出来过后，我们求的是和啊，求的是和就是求 p x 等于零，再来乘以什么呢？这里的 log 以二为底， p x 等于零的这个概率的对数值啊，再加上 p x 等于一的，这个概率 乘以 log 以二为底， p x 等于一的概率的对数值啊，再加上 p x 等于二，乘以 log 以二为底， p x 等于二， 好像是这个值啊，这个值把代入算下就可以了，好，负二代入去，那我们来看一下啊， x 取零的时候，它对应的是四分之一，就是 四分之一来乘以 log 以二为底，四分之一的对数，加上后面的 x， 取一的时候是二分之一啊，二分之一 就是二分之一。被 log 以二为底，二分之一的对数，再加上取二的时候呢，是四分之一啊，四分之一。 log 以二为底，四分之一的对数啊，写个小块就可以了，小块就可以了， 那么这个十把它加起来看看啊，加起来看看，这个负还是放在外面，暂时我们看里面，这里是四分之一再乘以多少呢？我们这里可以打一个正括号吧， 四分之一为增数的话，它实际上就是把这个负二拿下来，是个负一啊，四分之一可以看成把这个负二拿下来是负一，负负的幺二为底。设对数就是负二啊，就是负二乘以一个，负二乘以一个负二乘以上啊，再加上 二分之一的话，就乘一个负一，就相当于是啊，负二分之一。后面这个的话啊，也是一样的，就是四分之一乘以什么呢？负二， 所以这个值是多少呢？这是 第一个是负的二分之一，第二个呢，也是负的二分之一啊，第三的一个呢，也是负的二分之一。把这个符号再拿出来就是等于什么呢？二分之三啊，二分之三 啊，实际上是等于二分之三啊，二分之三。好，这是这个值。 接下来我们再来算这里的 h 大 y， h 大 y 同样有个符号提出来， 那么 y 取零的时候，我们看对应的是六分之一啊，六分之一， 所以是六分之一乘以二为底，六分之一的对数，再加上取 y 取一的时候是三分之二， 然后取二的时候是六分之一啊，又是六分之一， 好，我们来算一下这个这个值啊， 六分之一的话，就可以看是把这个负拿出来是六分之一乘以啊，负的，现在是负的六分之一吧， 把这个负拿去负六分之一，再来乘以二为底六的对数，六好像是二乘以三啊，二乘以三就是一，加上 log 于二为底三的对数。 好，再加上这里可以看到是三分之二，被 二为底就是一，减去 log 以二为底三的对数。后面这个也是负的六分之一啊， 变成这样子， 好，那么这里把它化简一下， 这里有负六分之一，加起来是负的六分之二， 就是负的三分之一啊。两个负六分之一加起来，你这里前面一个啊，后面一个啊，那么然后再加上什么呢？三分之二， 然后这里的 负的有六分之一个零幺二的上对数，这里还有一个 三分之二个啊，二为底三的对数，这里后面还有一个负的六分之一个啊，加上六分之一个三分之二， 好，我们看这里等于多少啊，那么这里三就是一，就是负的正，就是落于二为底三的对数，再来加上一个什么呢？ 看，这里是 负三分之啊，这是负三分之一吗？这里是三分之二。三分之一。负的。对，就是 low energy， 那 么就相当于减去啊，减去， 减去三分之一，注意是减去三分之一。好，这是 h y 啊，那么现在我们要比较 h x 和 h y 的 大小啊，比较上面的大小，我们做差就可以了嘛。大 h x 减去大 h y 就等于二分之三，加上三分之一来减去 log 以二为底上的对数就等于这里，是啊，通分一下就是六分之 九加二六分之十一，减去 log 以二为底上的对数啊， 那么做叉过后呢？我们显然都这个时候就痛风嘛啊，痛风过后就是六分之十一，减去六倍 log 以二为底，三的对数， 那么这个结果的正负就取决于这个分子了，对吧？取决于这个分子啊，主要取决于这个分子， 那么这个分子应该怎么去比较呢？我们可以把这个分子当中的这个全部化成对数形式，以以二为底吗？十一的话好像是二为底，二的十一次方减去这里是落于二为底，然后是三的六次方啊，三的六次方。 那么因此我们的核心就是要比较二的十一次方与这个三的六次方的大小关系啊。我们知道这个二的十次方是等于一千零二十四，这是我们比较熟悉的一个数字啊，那么三的六次方呢？ 三的六次方，你可以看到是这里的二三，三的啊，三的就可以看三的三次方，再来平方啊，就是二十七的平方，我们看二十七的平方等于多少啊？二十七乘以二十七，七七四十九啊， 二七十四，那你可以估算一下啊，这个问题，那么二十七的话肯定小于三十平方，就是小于九百嘛，它要小于九百啊， 这个值要小于九百，小于三十个平方，而我们这里的二的时数已经大于它了，对吧？已经大于它了，所以这个时候它肯定是大于零的啊，大于零的，那么因此呢，这个分子大于零，整个分式值要大于零，所以这个时候 h x 显然要大于什么 h y， 那 么就说明什么问题呢？ 我们要比较 h 大 h x 与大 h y 的 大小啊，不确定性更高的就是大 h x 啊，大 h x 的 不确定性更高，这是这个题的一个做法啊，这个题的一个做法。 那么这个题呢，给大家用的是这个古典概型啊，古典概型的这样一个计算概率的这个方式，当然这个题有其他的方式啊，大家可以在网上去搜一下，其他的方式呢，只能说比较简洁， 但是呢你要去认真分析啊，可能有些地方不好理解，但是通过古典概型来做的话，这个题呢是很容易理解的啊，我们只需要把每一个游戏的基本事件总数找出来 啊，找出来过后，那么对应的其他的事件的包含的基本事件的个数呢，是很容易找出来的，所以他对应的这个事件的概率呢，是非常容易算出来的啊，非常容易算出来的。这是这个题的一种做法啊，一种做法。 感谢大家收看啊，我们下次再见。

其实这道题我首先想到的是非限性规划，然后才是域线内里，最后才是解析法，解析法的方法很多，我这个视频的方法建议你们品鉴一下。 首先就是求 x 乘 y 的 最大值，它非常简单，你就用一式，用一个均值不等式就出来了，然后当前顶，当 x 等于 y 等于二的时候取等号，然后你再把 x 等于 y 等于二，你带到二式三式，发现是成立的，所以这个最大值是能够取到的， 关键就是怎么求它的最小值。我是这么处理的啊，你们看看啊，我先把一式和二式连立，得到一个 y 和 x 的 关系，再把一三式连立，又得到一个 y 和 x 的 关系，所以最后就得到了 y 小 于等于二， x 大 于等于二分之 x。 接下来这一步 我觉得就需要细细品味了啊，我把这个不等式组啊化成了 y 减二， x 乘上二分之 x 减 y 横大于等于零，然后展开以后就得到了二分之五 x， y 大 于等于 x 方加外方，然后再把 x 方加外方，利用一式进行替换。很有意思， x 乘外的最小值就求出来。好， x 加外的范围我就不说了，就是上一个视频所讲的，你把一式进行一个配方， 你看就变成了 x 加外，用 x 乘外表示，既然 x 乘外的范围小于等于四，大于等于三分之八，都知道了，带进去， x 加外的范围就出来了。

成都高三一整的成绩出来了，搞崩了很多家长和孩子的心态，你是不是也正在琢磨着啊，要去换算一个什么排名什么的啊，看看孩子这个分数能上什么学校。那孩子考了一个历史最低分，回来以后情绪很低落，脸是黑的，九八五二幺幺还有希望吗？ 又或者是你在担心哇，考的这么差，孩子是不是只能读个大专了？那今年的成都一整呢？确实意义有点特殊。首先他是四川进入新高考以后的第一次成都市一整考试， 那去年二五届的时候是八省联考，而今年的一整考试又要贴近新高考的出题难度，还要有很多的创新题，业界都在表扬成都这次的这套题出的相当有水准， 但是很多孩子觉得难啊，觉得这些题太诡异了，这就是新高考的要求， 我们怎么去适应这种变化。后面我今天也会给到大家建议。那老规矩，先给大家盘一盘这一次成都一等的划线数据，以及这一次一等考试到底有没有参考价值。就是我们在看到了这一次的成都一等的划线以后，会非常震惊的发现， 六年以来，我们从二零二零年到二零二六年，今年抛去去年，因为去年是用的八十年考，没有成都一整。那我们用原始分的方式，不是用的负分以后的方式来做一个横向的对比，我们会发现今年一整的划线分数是六年以来最低分。 什么意思？也就是说今年的成都一整是六年以来史上最难的一次考试题。 所以说你家的孩子如果反应出来是考蒙了，我觉得也不用太纠结这个问题，孩子高三第一轮大复习结束以后，上来就打了一个大 boss， 没打过也是很正常的。 我们刚刚讲的是整体的一个划线，体现出的这一次的全面的一个难度系数的问题。我们再来看一下单科这次考哭了所有考生的 英语这门学科，以前英语这个学科的这种难度系数都是相对来说中规中矩的，但是今年已经成为了五年以来最难科目，所以这个分数 可以佐证到说，我们今年的这一次英语的一整的考题的难度系数是非常高的。另外一点就是这一次的英语还有一个变化，就是他的听力题 已经按照新高考的一个模式进行了调整，他的听力题会出现呃念两遍的这个情况，所以导致了很多孩子在后面他的时间管理出现了问题。以前听力题就是你听懂就可以了，但是今年的听力题的要求不仅是你要听懂，你要理解，你还要思考。所以整体来说， 英语这门学科今年是考出了历史最难。数学这一次被称为是史上最有水平的一套题，为什么 大家都在研究成都市一等考试，这套数学题区分度非常高，而且它的知识点的布局创新性也是非常高的。这次一等里面其实还有一个比较有意思的，就是我们高一高二的家长可能会比较关心的就是复分。我们其实可以看得到，这一次的小四门的复分里面， 复分王的身份已经悄悄的发生了转移。我们这一次来看到复分，无论是历史组和物理组， 在小四门的负分以后，涨分最多的变成了地理，我们可以看到地理这一次无论是历史组还是物理组，他的负分在高线达到了二十一分和二十分，第二名是政治十五分和十三分，第三名是化学十二分，十分， 最低的仍就是生物组八分的九分。所以说我们其实会发现，今高考第二届成都市的考生的选择已经在悄悄的发生了一些变化，那这个数据出来，再加上最近的一纸限考令，如果说下一个阶段二等、三等合并或者是取消了， 那么后面我们再怎么去帮助孩子找定位呢？很多家长心里是没底的，那到底会不会取消，今天不好下定论， 但是我们现在已经拿到了一个一等考试的成绩，那么我们就一定要榨干它的价值，那这些是一部分，我们在线下给到我们的会员家庭去做规划时候，会让他们去做复盘的内容，非常有用。网介在这个部分做的比较好的孩子， 高考的时候比诊断考试多了八十分的，也有把今天免费的都交给你们，建议家长们点赞收藏下来，一一的去落实。具体怎么做呢？首先第一点，我们要通过的这一次的一整去定位自己的实战能力，一次真实的大考，实战演练，考前考中考后的状态， 那种紧张到洪温的心态，遇到难题时候出现的脑雾，写不完卷子的恐惧心理，这些课题 训练的怎么样？第二点就是定位后续的复习计划，有针对性的去进行查漏补缺，这是一句大家都知道的话，但是我们要知道经过高三一轮复习，哪些知识点还没有掌握，无法迁移， 属于跟着老师讲课的时候眼睛学会了，脑子还没有真正吸收吃透的盲区。那我们建议孩子们去多刷一刷新高考的专题， 比如说数学可以去练一练全国一卷的题，江浙那边的卷子就和这一次成都一整的模拟题的题型非常像。那第三点就是定位孩子的专业和院校目标，我们通过一整模拟的方案大本营准备怎么建， 让孩子知道自己接下来这五个多月每天起早贪黑拼命挣分是为了啥。 四点就是要去定位风险与按想保院校层次的家庭。如果说孩子的成绩不太稳定，你担心他发挥失常， 那要不要设计升学矩阵来对冲高考分数波动带来的风险？比如说我们要不要走强击？我们要不要考虑中频，我们经济条件允许的家庭，要不要设计港澳升学的路线？ 那这些都是一针以后我们家长和孩子要去尽快探讨的，因为这些都是有时间节点的，有可能你错过 就错过了一针考试呢。其实他只是一次定位，他并不是定局，我们这个会员家长的一个认知和心态，我觉得是非常有必要分享给大家的，也缓解一下大家的焦虑哈。这个家长拿到了孩子成绩发给我们的时候说，我们都觉得还行， 继续查漏补缺就好，道路千万条，安全最重要。所以上面我给到大家的这四个一诊以后的关键动作，远比你去着急忙慌的换算分数更重要。 家长们不妨借着这一次一诊的机会，找我们来给孩子做一个精准的定位，助力孩子在后续的五个月的时间里，有目标、有方向，高效复习，精准提分。

成都一整最难科目预测，据说百分之九十以上的学霸都倒在这道题上，考前多看一眼，至少帮你多拿二十分！记得数学的几何旋转题和二次函数综合题，还有物理的电学实验和逆学压轴题，这些都是拉开分数的重要题型， 考前不要再去死刷题型了，多看一些这些题型的解析思路，至少帮你多拿二十分！我已经把解析思路和模板整理好了，在评论区留下一整，或者私信我，免费发给大家，一整雄起！