2026陕西延安高三联考意义二

刚答完这份联考卷的你，是不是对着数列求和函数极值这些题既学有方向，又怕理不清细节？这份卷把集合向量、数列、函数、立体几何串成得分脉络链，咱们顺着理清楚。一、选择题，稳基础第一题， 集合的补集，抓全集与子集的补集元素。第二题，代数式的最小值，立均值不等式的应用第三题，向量的平行 算参数的取值。第四题，函数的单条性变条件的充分必要性。第五题，空间线面的位置关系，其线面垂直与平行的推倒。第六题，三角形的形状，抓面积与向量条件的关联。第七题， 三角函数的零点求参数的取值范围。第八题，等差数列与方程稀无实数解的方程数量。二、多选择题变考点第九题，复数的性质变魔长象限运算的正误。第十题，函数的稀有性与最值，离奇偶性的参数与取值范围。第十一题，正方的动点问题， 体积轨迹洁面线面角的正误。三、填空题练细节第十二题，指数增长的年份算资金达标的最少年份。第十三题，三角横等变换求正切的差值。第十四题，函数的期限与比值，其取之范围。四、 解答题，拼综合第十五题，对数函数一、求参数的值。二、解不等式的解析。第十六题，解三角形一、求角的大小。二、算三角形的周长。第十七题，立体几何折叠问题一、正线面垂直。二、 求二面角的正弦值。第十八题，竖列的性质与求通项。二、一求前两岸相合。二、求参数的值与不等式。 一、求函数的最小值，二、正不等式成立。二、正极值点的和的范围基础弱的同学先把集合运算向量平行条件记牢，冲高分的重点练数列的列向相交求和 函数的极值点证明思路。其实联考数学没那么难，先把基础题抓公式，综合题抓逻辑的节奏摸清，再练证明的严谨性，分数自然稳。

t 八联考语文作文新鲜出炉，生物与语文学科结合难度不大，算是历年 t 八联考最好写的作文之一吧。

道题目的格局可以更大，我们来看二零二六届全国 t 八联考的这个作文题目里头有两个关键词，顶芽和侧芽。 我们首先对关键词下定义，什么叫顶芽，什么叫侧芽？在做定义的过程当中，使用发散思维的方法找到顶芽可能象征着什么。对于我们青年人来说，如果这株植物就是青年人本人的象征，那么这个顶芽可以象征着 他的优势学科，可以象征着他的专长，可以象征他的主业，可以象征他的人生使命。那与之相对的侧芽就是什么呢？其他学科或者还没有成为专长的兴趣，跟主业相对的副业，以及可能将来会成为你使命的一些其他的人生选择。 所以主芽和侧芽确定完了之后，那么我们就可以知道了，任何一株植物在生长的过程当中都要维持一种动态平衡， 也就是说我要战略性去聚焦，阶段性去聚焦，聚焦于顶崖的发展，使得我整株植物的主干是立起来的，而在过程当中我又要进行策略性的调整，来维持某种微妙的动态平衡。注意几个关键词， 阶段性聚焦、策略性调整和动态平衡。那么刚才我们完成的顶牙是什么？侧牙是什么？是第一步是什么的问题？接下来就是什么关系的问题。 顶牙和侧牙是什么关系呢？它是对立统一的关系，它是动态平衡的关系，它是可以相互转化的关系。比如说那个兴趣将来是有可能会成为专长的，比如说那个主业和副业之间也可能是来回切换的， 我们这个都有感受，对吧？有些人一开始我们做的是一个副业，后来我们发现这个副业我们更加擅长。哎，我们把主业辞了去做副业，这也是当代很多青年人的选择，所以要活成动词。我记得二零二五年有一个上海的某个区的模拟考试题目，他就问你，人是不是要坚持做自己？ 我给的利益就是要活成动词。我们要坚持的那个自己应当是像水一样流动的，不断的拥抱一个更好的自我的那个自己，而不是固守某一个阶段的自己， 成为一个被限制性思维给框架住了的一个人，我们应当用发展性思维去看待自己。好，这是活成动词。其实这道题目也是对活成动词的一个解释，这是第二点， 对立统一。其实呢，这道题目他最后讲了一句话，哈，以上材料引起了你的哪些联想与思考？请联系当今青年的成长，写一篇文章。 我觉得这道题目格局可以更大一点，不用去限制说什么青年的成长，因为孩子本来就是青年，他不用你说，他也会联系自身的成长去思考问题的。而如果没有这句话的话，比如说，我们不限于谈青年人的成长，我们可以引导孩子去关注世界，关注生活。你会发现，如果这个职务不是青年人本人， 如果他是一个团队的话，那么每一个团队都有专家型的人才，那个就是传说中的顶芽，也都有辅助型的人才，那个就是那个侧芽。所以每一个团队都要有顶芽，也都要有侧芽。他们之间是分工合作的关系， 他们是共赢的姿态，他们是共赢共生的关系。第二点，如果这株植物是一个城市的话，那么每一个城市拥有自己的 先天的优势。比如说这个城市有矿产资源，这个城市有旅游资源，这个城市拥有先天的这种优势，我们把它发挥出来，然后再结合一些政策性的优势，我们可以优先的发展互联网，发展这个光电等等的。一个城市的发展是不是也会满足这个植物发展的规律呢？ 第三点，这株植物可以是一个国家，那么分开来就有两点，第一个先富带动后富，那个顶芽在发展的过程当中，应该带动底下的侧芽的发展，胖东来就是一个好例子。第二个，小我融入大我，大家想想看，在 我们新中国建立之初，有一批老一辈的新中国的建设者，比如钱学森，比如邓稼先这些人，他们回国报效祖国，他们投身的是国防建设，而这个选择本身就是当时我们国家的一个主干的选择， 那个就是顶压。当今的青年呢，我们依然面临着科技兴国的重任，所以国家在大力的发展科技，这是今日青年做选择的时候可以去考虑的方向。我们人人都要去争当那个 顶压，要去在某一个领域将小我融入大我，支撑国家主干的发展，这也是跟青年人息息相关的。那么第四点呢， 这个植物还可以象征什么？它可以象征不同阶段我们的育人目标。在过去我们是注重单一的评价体系，我们看分数，看一个人的工资，看他住的房子的面积，看他开的车子的贵贱。 当我们用这种单一的价值体系去衡量所有人的时候，那么我们就是只看那个顶崖的发展，而不看整个人。作为一株植物，它的生命状态是否蓬勃，是否有生机，充满活力。而未来我们的评价体系应当去发生改变， 应当从育分转变为育人，应该从工具化一个人转变为培养一个全面发展的人。 因此，我们在期待一个更饱满的人。为了成为一个更饱满的人，我们可能有些时候阶段性的牺牲了一些分数，阶段性的牺牲了一些收入，在所不惜，我觉得是值得的。好了，我就分享到这里，不知道大家还有什么看法可以在评论区里留言。

现在是凌晨四点五十五啊，今天就通宵，这套卷子我都得讲完。哈喽，家人们，我是交大大三的彭彭头学长啊，今天考的这套题吧，真的是太棒了，我一定要讲完，并且这套卷子对于今年高考有什么指导性啊？我的最后会讲， 而且我讲的讲法会和网上所有你见过的全都不一样啊，每一道题我都会讲他背后的题型以及方法论啊，像这些每一道题型，他背后的那些通法，我都会给大家讲的非常清楚，而且我会有很多我独创的方法以及结论啊，就可能表达他太繁琐了。而且啊，就算哪怕是涉及到了没考的考点啊，就比如说像这个第四题，他考了重心，但是呢，重心我会把他整个一系列的五大考法全都给大家讲一遍， 而且我会告诉你他抄的是哪一道题，就比如说这个第七题，他完完全全就抄的这一道题啊，我是二年高考的，他做的我 考场上的十一题啊，就是完完全全，你看两个图一模一样，并且考法都是一模一样的，好吧，我都会给大家讲透的，而且这是一道啊，这个错题我等会给大家讲，好吧啊，而且每道题我都会给你一道同类型的题，就比如说第五题，我会给你一道，哎，就是同类型的题啊，就确保你一定会的是一类题啊，说句实话，就是 任何一套卷子啊，哪怕你就是听老师讲，可能你都懂了，但是你如果不会背后的题型方法论，对吧？你下次稍微变一下，你又不会了，这就是你们学校老师讲，为什么？哎，你总感觉听了没用，对不对啊？我们的目的就一个，就是会一类题，而不是会一道题，只要听完啊，绝对保证你不会， ok， 我 们废话不多说，先开始好吧。 啊，首先啊，这个第一题啊，这个第一题非常简单啊，就是一个啊，解两个不等式，然后最后取一个并集啊，这个很简单啊，首先这是一个二次函数，明显十字相乘，对不对啊？分解出来就是一一，还有这个负三一，然后分解出来就这个东西，然后呢，他的零点是三，他的零点是负一，我们只需要画一个开口向上的二次函数，然后一个是负一啊，一个是三， 然后呢，他是大于等于零，那无非就取这两段吧，对不对？所以一个是小于等于负一，一个是大于等于三， ok， 这是哎，这个 a 的 一个解集，这个我觉得 高中生应该都没有问题，对不对？可能有问题的就第二个啊，就是这个捞引， x 大 于二分之一，这个可能很多人不会写啊，这个方法就是捞引，因为它是一个递增的，对不对？所以呢，直接 x 放在这里，就这个真数， 我不动它，然后呢，不等号，也不用编号，然后呢？哎，直接 x 又大于，把这个底数是 e 直接放过去，所以 e 的 二分之一次方，那就是根号 e， 所以呢， b 的 解析就是 x 等于根号 e， 那 这样的话，哎，就最后取一个并集呗，对不对？一个是 f 求到一，然后呢，这个大于三和这个大于根号大于等于根号 e 嘛，对不对？因为 e 是 多少二点七嘛， 对不对？那根号 e 肯定小于三，所以呢，最后就选 b， 好 吧，这是第一题，非常简单啊，然后我们先看一下第二题啊，第二题是一道复数的题，这个题啊，其实有很多种方法，包括那个标答器也给了两个方法，但是我给大家讲一个通法，就是基本上复数，如果考前面的小题，他通法非常简单啊，这个相声大家都会啊，就是直接设出来我的那个啊，这个这个复数 z 啊，等于 a i 再加上一个 b， 那 我的目的其实本质上就是根据题目给的这个信息，然后呢，把这个 a 和这个 b 给它解出来，对不对？然后呢，再带到最后的这个东西里面，就可以 求，就可以求出基本上所有的这个复数题了，对不对？然后呢，我们现在做一下这个题啊，我们先把这个 c 啊，先把这个复数 z 啊，给它设出来啊，等于 a i， 然后再加上一个 b， 然后呢题目给了一个这个东西，那我们你看这里有个 z， 这里也有个 z 啊，给它带进去啊，就得到这么一个式子， 对吧？然后呢？然后呢？哎，你把它整理一下，你看啊，三减去一个 a i， 然后减 b， 再乘一个 i， 三减 b， 然后呢，再减去一个啊，这个 a i 的 平方，然后 i 的 平方啊，众所周知，等于负一，所以呢，这个东西本来就加 a， 对不对？然后左边就是二 a r e， 再加上一个二 b 加一，那这样的话，其实你就已经能看出来了，是不是叫对应系数相等啊？对不对？你看啊，现在就是这个啊，这是 i， 然后呢，这个也是 i， 所以 i 前面的这个东西是相等的， 然后呢这个长竖线呢？哎，这个也是相等的，所以你就可以在旁边列一个等式，你看啊，就是二 a 就 等于这个三点 b， 哎，列出来，然后呢？二 b 加一等于这个 a 啊，也列出来，然后这是一道初衷的 二元一次方程组吗？对不对？然后解这个 a 和 b 就 可以了啊，非常简单，把这个 a 给它带进去，然后就可以解出 a 是 五分之一， b 是 五分之七，对不对？所以呢啊， c 这个就出来了，等于五分之一 i 加五分之七，当然就是，嗯，可能会有些其他解法，就比如说你直接通过这个式子啊，也能直接解出来 z， 但是呢啊，我给大家讲的这个东西是同法好吧， 啊，然后我们现在已经知道了这个复数的这个这个是多少了，然后现在题目问的是什么？问的是我的这个 z 乘 z 吧， 那这个就是啊，我一个负数乘以共讷负数，这是一个结论，这个学校老师肯定都讲过，就是一个负数乘以它的共讷，一定是等于我的一个这个魔长的一个平方，可以说是魔长，对不对？那魔长的平方等于 这个东西，它是怎么正的呢？啊？很简单，就是我的这个 z， 如果是 a 加 b i 的 话，那 z 一 拔，就是把这个加号变成减号，这个应该没问题吧，因为可能会有一些这个基础不是很好的，所以我会讲的很细啊，如果你这里会的话，直接往后翻就可以了，好吧， ok 啊，然后你把它展开，那就是 a 方，然后呢？减去 a b i， 然后再加 a b i， 再减去 b 方平方，然后呢 a 平方等于负一，所以这个东西就是什么 加 b 方吗？对不对？然后呢，这两个小的，哎，所以呢，就是 a 方加 b 方啊，然后我们也知道，如果你的 z 是 a 加 b i 的 话，那你的魔长等于多少？是不是等于根号下 a 方加 b 方，哎，所以你发现如果我的 z 乘以 z 吧，你不就是我的什么，那不就是等于 z 的 魔长的平方吗？明白了吗？ 好吧，所以现在啊，我们这个东西就已经知道了，它等于 z 的 魔长的平方啊，然后呢，那 z 的 魔长等于多少呢？哎，算一下， z 的 魔长，哎，就等于根号下 a 方加 b 方， a 方是等于五分之一的平方，那就是二十五分之一，然后呢， b 方是二十五分之七七四十九，所以等于根号二，对不对？所以魔长是等于根号，那这样的话，你的平方就等于二呗，明白了吗？所以这个题选 c， 好 吧，这就是啊，给你讲了一个这个复述的一个通法，当然你的平方就等于二呗，明白了吗？所以这个题选 c， 这就是啊，给你讲了一个方法去做其他的复述题，也一定是可以做出来的， 好吧， ok 啊，我们现在这个题过了，然后第三题啊，这个题，这个题非常的好，就是啊，你发现现在其实高考就已经有这种趋势了，这个等会我再最最后再说吧。就是啊，首先就是你看到这个东西，我不知道你的第一反应是什么， 如果说你的第一反应不是换底公式的话，那说明啊，你高一或者说函数这一块，你的基础是非常差的啊，所以今天就是给大家就是把这一类题型一定都给大家讲清楚，就是你记住一句话，当你在发，你在分母上啊，发现有对数的话，那一定是用换底公式的， 明白了吗？好吧，一定是用换底公式的，就比如说我下面给你的这道，就这个题，他本质上抄的是什么？抄的就是二四年，就是去年考过的一道假卷的一道题啊，就是这个题，你看，哎，是不是分母上啊？有这个对数，所以呢，一定是用什么？一定是用换底公式，明白了吗？好吧，我们现在看一下这道题，那什么叫换底公式呢啊？可能有人连换底公式都不会，那我们现在讲一下，好吧，就是 照顾一下这个基础不太好的同学，但是呢，嗯，很重要，所以一定要，一定要会，好吧。什么叫换底公式？就是 log 以 a 为底的 b， 我是 可以给他写成什么呢？ a 可以 给他写成 log b 比上一个 log a， 明白了吗？那有人可能问，那能不能写成 log 比上 log a 呢？当然也是可以的，就是我这个底数，这个底数是十吧，这个底数是 e 嘛？这个底数是什么都无所谓，只要把这个整数 b 放在上面， a 放在下面就可以了，对不对？那同样的话，是不可以就是随便写，对不对？ log 以 c 为底的 b 比上 log， 以 c 为底的 a， 就是 随便写，都可以，明白了吗？ 所以呢，就是你在题目里面如果看见你的对数在分母上一定有换底公式就可以了。那比如说你看 log 以 a 为底的二，它是不是就等于 log 二比上一个 log a 啊，对不对？然后呢，你给他取一个倒数，因为是分之一啊，取一个倒数，那不就是 log 二分之 log a 吗？ 明白了吗？那同理你这个东西啊，那就是 log 二分之 log b， 你 一发现你一旦用换底公式之后，你这个题就非常简单了，因为我们的分母是一样的呀，对不对？然后呢？ log a 加 log b， 那 就 log a b 啊，这个应该没有问题，对不对？然后到这一步了，你看是不是？哎，又是换底公式，直接 log 一 二为 a b， 你 发现 对吧？一道题，你通过换底公式就可以把这个题目给你，这个好像看着没什么头绪的东西就可以画的非常的啊规整，所以最后题目问的是这个东西的一个最小值，那你说白了，你题目问的这一坨东西等于 log 以二为底 ab， 那 其实本质上是不是在问 ab 的 一个最小值啊？ 明白了吗？好吧，所以这个题你明白之后啊，你明白要求 ab 最小值之后，那说白了就得根据左边哎，这个式子去求一下 ab 最小值， 对不对？那怎么去求呢？这就是一道非常经典的叫什么叫不等式，里面的求谁流水。你发现现在就这种题，就是真的是很综合，就是不再像，就是我们可能二二年，对吧，二一年就前几年啊，前三四年吧，就那个时候就是一道题，他可能就是考一个东西，但是现在呢，就是夸张点，综合就真的是，嗯，全是这样的啊，这个 给大家怎么指导就怎么去复习，我在最后会说，好吧，我先讲一下这个题型，就是什么叫求谁流水呢？就是你看啊，现在我这是一个东西，就明显能想到基本不等式吧，对吧？然后呢， 现在我们要求的是什么？要求的是 ab 的 最小值，那你看这个 ab 是 不是要求的，那么求谁留谁，那就得把这个 ab 给它留下来，然后呢，哎，把右面这一坨东西，不是我们要求 ab 的 这个形式，对不对？我们要把它用基本不等式，然后呢往 ab 上去转化， 那怎么怎么就用哪一个基本不等式就可以转化为 ab 呢？就可以出现 ab 呢，是不是啊？一坨加一坨大于等于两倍的根号，下一坨 啊，用这个东西，明白了吗？那所以现在 a 分 之一加 b 分 之一，那就大于等于两倍的根号加 a b 分 之一，哎，你发现现在整个这个式子里面只有 a b 了，而没有什么别的形式了，所以这个就叫求谁留谁，好吧，这个是基本不等式里面真的是非常非常常考的一个题型，而且也是最容易啊，就是和其他章节去结合的题型，所以一定要会，好吧，然后 啊，然后这个式子就可以写为这个根号 a b， 然后大于等于这个二，比上一个根号 a b， 然后呢把这个根号 a b 乘过来，所以呢，就 a b 大 于等于二，那换句话说， a b 最小值等于二嘛，对不对？那 a b 最小值等于二，哎，带到这里面，所以你的最小值那就等于 log 以二为底，二就等于一嘛，对不对？所以这个题就做完了，哎，所以这个题选这个得，哎，就可以了， 明白了吗？总结下这个题，这个第三题就是整套这道卷子啊，就从这个第三题开始就已经啊，有点意思了，好吧，首先先考了一个东西，叫对数，如果在分母上，我们一定要尝试用换体公式，然后呢，就是啊，这个求谁留谁，基本不能是里面非常重要的一个题型， 好吧，这是我们的第三题，然后这个题本质上是靠抄的，我刚已经说了，他抄的是二四年假宣的这道题啊，这个题大家去自行完成就可以了，就是和这个题是一样的做法，哎，出现对数在分母上，那么就用什么，用换体公式就可以了，明白了吗？ ok 啊，然后我们现在看下这个第四题，这个第四题也非常的好啊，又考了一个这个解三角形和这个向量啊，又是夸张解综合，所以呢啊，非常有意思，他说这为这个 abc 的 一个重心，那么你看到重心你能想到什么？ 如果是我或者是我的学生的话，他肯定第一反应，哎，直接五大考法，直接就像什么，就像是那种条件反射一样，像照片一样，直接出来了， 对不对？那我们看一下有什么考法。首先啊，什么叫重心啊？重要的心，对不对？非常重要，他叫中线的焦点，对不对？然后呢啊，你比如说你在这个三角形里面，你看啊，这个是 a 啊，然后这个是 b， 这个是 c， 然后呢，哎，我们是中线的焦点，所以呢，你看这个 e 是 终点，然后这个 d 也是终点，所以这个就是重心 g， 对 吧？然后呢，他有一个三等分点的一个性质，叫做 aj 比 j 等于二比一，就是一，他是一个二比一的关系，那同理对不对？那同理，你看啊，我这个比上这个是不是也是二比一的关系， 明白了吗？所以就是它还有一个三等分点啊，这个二比一的一个性质，然后第三个就是 a g 向量是可以写成三分之二的一个 g 的， 这个 a 的 这个是我们刚刚已经说过它是一个三等分点吧，所以呢，你看我的这个 a g 向量是不是就可以写成三分之二的一个 a 得向量，对不对？而 a 得，因为这个得是中点，你是不是就可以翻译成二分之一的 ab 加 ac， 对 不对？你看我的 a 得是不是就可以翻译成二分之一的 ab 加 ac， 明白了吗？所以你就可以把 a d 向量用 ab 加 ac 去表示，这是向量的第三个考法。 然后项链第四个考法就是 j a 加 j， b 加 j c 是 等于零的，就比如说这是我的这点，然后呢， j a 这个项链加这个项链加这个项链是等于零的啊，这个为什么自己去推，好吧，自己去推啊，然后啊， 这是一个怎么说呢？也可以说是这个项链里面是考的这个重心里面考的非常重要的一个东西。然后呢，我们就可以用奔驰定律这个结论啊，这个啊，我就我觉得不用多说了吧，烂大街了都已经，好吧，如果还不会的话，去这个网上去随便搜啊，什么叫奔驰定律？好吧，这个题没关系，我就不多说了。 然后呢，第四个，第五个考点就是 g g 的 这个重心的一个坐标表示，就比如说你看啊， a 如果是 x 一 啊， y 一， 然后呢？ b 是 x 二啊， y 二，然后 c 是 x 三 y 三啊，在上在在，这个可能你建完 c 之后啊，然后呢，那你就可以把这个 g 的 一个坐标就可以表示出来了，明白了吗？这是向量的五大啊，这个是重心的五大考法。 好吧，这个我希望就是啊，虽然这个题只考了前两个，但是我希望这五个啊，都可以啊，出现在你的笔记本上啊，都可以，就是你把它记下来，然后以后做题的时候可以用的。好吧，这也是我今天就是为什么通宵讲这个东西的一个初衷吧，就是你一定不要就是光想着我要会这一道题，没有用啊，真的，你做了那么多题啊，有什么用呢？ 你背后的一类题你不会有什么用呢？说句实话，有什么用呢？对不对啊？所以呢啊，一定要把这些题型的东西一定要好好的去记啊，好的，去，去做题去用 啊，然后我们现在看下这道题啊，他说我是重心，然后波 j 等于 lamb 的 倍的一个 b c 加上缪倍的 a j， 你 看啊，波 j， 波 j 在 哪？波 j 就是 这个向量等于 lamb 的 倍的一个 a j 加上缪倍的一个 b c。 我， 我用这个黑色笔把这个题目里面的这两个向量又标出来了，然后你 lamb 的 减缪，那姐，说白了，这个不就是减 lamb 的 缪吗？ 那换句话说，那不就是让你用 b c 和这个 aj 去表示这个 aj 吗？对不对啊？所以这个题就是一道非常经典的叫什么叫转化基地， 就是非常经典的项链里面的一个东西叫转化记忆。这个啊，相信很多人这种题都已经做了很多了，那他的方法论是什么呢？哎，跟我记，我的总结叫做先用显而易见的记忆表示法，然后呢，再往题目上转化啊。我们举我们说一下是什么意思，可能你不懂，就是什么叫显而易见的记忆表示， 就比如说你看这个波 j， 我 怎么样就是怎么样，表示是显而易见的，是不是三角形法则或者平行四边形法则啊？对不对？你看我的这个波 j 向量，是不是很显然等于波波德向量，再加上一个德 j 向量，对不对？这是不是非常显而易见的？所以我们就把这个先写出来， b j 向量等于波德加上一个德 j， 然后写出来之后呢，再往题目上去进行一个转化啊，题目上要的是什么？要的是用 b c 和 a g 啊，你这里写的波德和这个德 g， 那 肯定不行，所以呢，我们要把这个波德和这个德 g 往这个题目上的这个什么题目上的这个 b c 和这个 a g 上去转化，明白了吗？ 好吧，所以我们先看一下这个 b 的 啊波的，你看，哎，波的在这，哎，我们知道重心是中线的焦点，所以呢的是中点，那这样的话，你看我的波的不就等于二分之一倍的一个波 c 吗？对不对？那不就等于二分之一倍的波 c 吗？所以呢，你看这个题，直接 就可以把这个波的转化成二分之一的 b c 啊。那你看，现在已经成功的转化到了我们需要的这个题目，题目里面需要的这个向量了，对不对？然后呢， d j 怎么表示呢？哎，你看 d j， 它是这个绿色的向量，哎，我们说 重心它是有一个二比一三等分点的一个性质的，对不对？你看这个是一，这个一定是二，它有一个二比一的关系，那这样的话，你看的这向量是不是就等于负的一个啊，这个 g 的 向量对不对？你看我这里写了它等于负的一个 g 的 向量，然后呢， g 的 等于多少呢？你看 g 的 向量是不等于三分之一倍的一个 a 的 向量，对不对 啊？这个应该是等于二分之一的一个 a j 项，他用，他要用 a 这个 a j 表示他，你看这是一，这是二，他是不是等于二分之一的 a j 项呢？对不对？所以呢，你看啊，负的一个这个就等于负二分之一倍的一个 a j， 那 这样的话，你看，哎，题目里要的是 bc 和这个 a j， 我 已经成功的把这个显而易见的这个表示法已经转化成了题目要的这个东西了， 明白了吗？好吧，所以你就已经能直接写出来了，我的伯爵啊，就等于什么？就等于二分之一的 b c 减去二分之一 aj 嘛，对不对？所以来的等于二分之一，没有等于负的二分之一，哎，易减发现等于一啊，这个题做完了， 明白吗？好吧，这个题总结一下，就是他考了一个啊，转，第一个是考了一个重心的两个，就是最常考的两个性质啊，这个是啊，毋庸置疑都得会的，哪怕你现在只能考个一百分啊，只能考九十分啊，你都得会啊。但是呢啊，第二个转化机制也是都给大家讲了，我希望大家可以好好的去整理一下， 好吧， ok， 这个第五题，这个这个第四题挺好的，然后第五题这个就，嗯，怎么说呢，就比较常规了啊，但是我还是相信很多人还是没有做出来。我们现在跟他讲一下，就是他给了一个什么东西呢？给了一个这个东西，哎，这是个什么东西 啊？书列里面复习过了吧？这是个什么东西？这是不叫 is 的 一个混搭式啊，对不对？这在任何一本啊参考书或者说复习资料里面都有，这叫 is 混搭式。那 is 混搭式我们怎么处理呢？ 怎么处理呢？你记住啊， as 那 是有两种处理方法，第一种叫 s 划 a， 第二种叫 a 划 s。 那 这道题我们重点讲这个首选的叫首选的一定是 s 划 a， 那 s 划 a 有 两步，可能学校老师一般都只讲第二步，但是第一步其实也很重要，就是你得先把 s 的 系数给它去掉，然后第二步呢，叫退 n。 什么叫退 n 呢？退 n 就是 把 题目里的那个式子里的 n 全部换成这个 n 减一，明白吧？好吧，然后呢，再写一个形式，再去相减。这个我们等会就是给大家演示，然后现在把题读完，然后他说，哎，对，任意的一个 n 属于 n 心，然后来 m 大 于等于这个 s， n 横成立， 这就是竖列里面的一个横成立问题，无论是竖列还是别的题都是一样的，就是你这个一个数字啊，来， m 是 一个参数，是一个常数吗？对不对？然后呢，你这个常数要小于 s n， 什么意思？你想 我，哎，这个，这个，比如说是我吧，我要比你们全班人啊，就任何一个人都考的低。那是那，那是，不，说白了，就是我要比你们班的那个最后一名考的低啊，明白了吗？所以来呢，只需要小于等于这个 s 最小值就可以了。那其实说白了啊，你要求这个来呢范围，那不就是求这个 s n 的 一个最小值吗？ 对不对？哎，这个题又考了一个什么东西？叫 s n 的 一个最值问题。好吧，这都是题型啊，就是，我就我不理解，就是为什么学校老师他都不去总结题型呢？ 这题型会了这这整套卷子真的非常简单。好吧，那 s n 最值问题的方法论是什么？叫列一个核心不等式就可以了？就是啊，你想啊，这个 s n 的 最，这个如果是个最值，你想啊，嗯，就比如说，你看你有最小值，那说明什么？那说明 a n 它是一个一次函数的话，它是不肯定是长这个样子，可能前面是负的，然后呢，后面是正的， 你想可能，哎，这一项加这一项，那就是负的，加负的肯定是负的越多了，所以呢，你这个 s 就 递减的，然后呢，后面，哎，就开始加成正的了，你加完正的之后，你是不是就开始低增了？那说白了，你的转折点，你的最小值是不是就在这里啊，对不对？所以呢，你只需要列一个不等式，叫 a n 是 小于等于零的，然后 a n 加一是大于等于零的，然后去解这个 n 就 可以了。好吧，这就是核心最值不等式啊，这个等会还是可以会给大家演示的， 所以大家不用怕啊，如果你现在还听不懂啊，不用怕，然后我们现在看一下这个题啊，首先我们先完成第一个叫 a s 很 难式的处理方法啊，我们先把题目的这个式子抄下来，叫 a n 等于 s， n 比 n 再加两位 n 减一啊，抄下来之后，我们第一步是什么来着？叫把 s 的 一个系数给它去掉，那就比如说这个题，你看我 s 的 系数现在有一个 n 分 之一啊， 对不对？那这肯定是不行的，所以呢，我们先给等式两边同时乘一个 n， 得到这么一个式子啊，然后把这个 s n 的 系数给他，哎，给他去掉了，去掉之后呢，第二步叫什么叫退 n， 然后写一个新式子相减，那退 n 的 话，那就是把 n 变成 n 减一嘛，对不对？你看所有的 n 啊，全部变成 n 减一，那就得到一个新式子， 然后呢，上面这个叫一式，上面这个叫二式，我们只需要给两个式子相减就可以了，那众所周知， s n 减去 s n 减一，那不就是等于 a n 吗？对不对？然后呢，你给他两式相减完之后，就这个啊，如果你跟不上，你可以暂停视频慢慢看好吧。啊，然后呢，得到这个式子之后， 给他化简一下，把这个 a n 给他挪过去，那这样的话，就是 n 减一倍的 a， n 减一倍的 a， n 减一，等于四倍的 n 减一啊，然后呢，我们都有一个 n 减一啊，那这样的话，如果 n 大 于等于二的话，就可以给它消掉，对不对？所以呢，把这个 n 减一全部约掉， 遇到之后呢，就是 a a n 减 a n 减一等于四，哎，所以你发现，哎，好像是一个等差数列，那这时候我问你个问题啊，你这时候能就是百分之百啊，信誓旦旦的告诉我， a n 一定是一个公差为四的等差数列吗？能告诉我吗？ 啊，这个是绝对不行的，因为我们在这里默认了 n 是 大于等于二的，如果你这个 n 等于一的话，你这个式子是没法除以 n 减一的，对不对？你是没法把这个 n 减一约掉的，所以呢，我们现在还需要验证一下。怎么验证呢？哎，我们先求一下 a 二， 哎，怎么去求 a 二呢？你看题目里有这么一个式子，然后呢，告诉你了，这个 a 一， 那这样的话，你看 a 二是不是就等于 s 二比上一个二，再加上一个两倍的一个二减一啊， 对吧？然后把这个式子抄下来，所以呢， a 二就等于两二分之 s 二加二，然后 s 二呢，就等于这个 a 一， 题目告诉你呢，等于负五，所以呢，就等于负五加这个 a 二，所以这个式子解出来， a 二等于负一，哎， a 一 等于负五，没问题，哎，就是差了一个四，对不对？所以呢，你就可以就是非常 自信，非常信誓旦旦的告诉我，哎，这个，这个，这个 a n 他 就是一个公差为四的，就等他树立了，明白了吗？哎，那这样的话，首项为这个负五，然后公差是四，就可以把他的这个同向公式写出来了，等于四 n 减九 啊。然后这个题，呃，你如果就是按这个方法论就是通法去做的话，没问题啊，你就先列一个叫四， n 减九小于等于零，你发现 n 小 于等于四分之九，那说白就 n 等于一或者等于二嘛，对不对？四分之九就是这个二点几嘛，对不对？然后呢，你再列一个，这个应该是大于等于零，我写错了，然后呢，就是 n 大 于等于四分之九，也就说，哎，从 a 一 到 a 二这两项就是负的， 然后呢，从 a 三以后呢，就是正的，对吧？那你想 a 一 和 a 二是负的，那 s 一 和 s 二你觉得谁大呢？那 s 二是不等于在 s 一 的基础上又加了一个负的，就减了一点点嘛？那 s 二是不？肯定是哎，肯定是比 s 要小一点，对吧？ 然后呢？啊， a 三开始又正了，那你想 s 二，哎，又加一个 a 三，加一个正数，又变成 a， 又变成 s 三了，那这样的话，你看 s 三是不是又上去了，然后 s 四，哎，越来越大， s 五越来越大，所以你整个 s 的 图像应该是这个样子的，对不对？那你的最小值其实就是 s 二了， 明白了吗？好吧，所以 s 最小值就是 s 二， s 二等于负一，然后再加上一个负五，对不对？所以等于负六，哎，所以 s n 的 最小值等于负六，明白了吗？好吧，所以最后啊，只需要 number 大 小小于等于负六就可以了，所以这个题直接选这个 a 就 可以了，好吧，这个题 啊，其实当然就是这个题比较简单。简单在哪里呢？就是你想啊，这个 a 一 如果等于负五， a 二等于负一，然后我的公差又等于四，你其实 对吧，你其实稍微动一下脑子，你都能想清楚， a 三肯定是正的嘛，对不对？ a 三，那不就等于负一，再加上一个四等于三嘛，明白吗？所以，其实，哎，你其实完全可以不用列这里的不等式哎，直接就可以看出来我的这个啊，整个 a n 的 一个这个正负的一个关系了，对不对？但是呢，嗯， 我这里给大家讲的是通反，那你想如果下次呢？对不对？如果下次呢，可能学校老师就告诉你，直接看出来了，但是下次如果说可能从 a 一 一直到 a 七都是负的， 然后呢， a 八 k 胜了，那你的最小值可就是 s 七了啊， ok 啊，然后这道题我给大家准备了一道这个同类型的题，你看好像和这个题很像，对不对？所以呢，我希望啊，大家可以把这个题下来自己再做一遍，就基本上和这个题就是除了最后的那个求最值以外啊，就是这个 is 混纳是，这是一个 无敌无敌重要的一个题型，好吧，把这个题型能给大家练透啊，我觉得这个就是我的这个今天的这个初衷就达到了，好吧，所以这个题一定要下来自己练一下，好自己完成。好吧，如果这个第六题啊，这个第六题也非常有意思 啊，是一个和这个现实结合的一个东西啊，但是也很简单，也是常规题型。我们先读一下题，他说我这个车筒啊，他的半径是二，那你看，那我的半径这个就是二呗，对吧？然后呢？啊，他说我的每分钟转一点五圈啊，然后呢？什么啊？轴心 o 去水面的高度是根号三，哎，这个是这个长度是根号三， 呃，然后呢，他说我这个盛水桶就是我这个桶上，我这个这个这个圈上啊，这个这个马，这个这个应该不叫马车吧，这个应该叫什么东西啊？检车啊，检车啊，他这个这里有一个这个桶，然后这个桶呢距离这个水面的高度我们设为低了 啊，然后呢题目我们再读题，然后他说我这个什么，哎，从刚浮出水面时开始计时，也就说我这个 p 可能到这的时候往上转的时候，刚到这的时候开始计时，就那个时间 t 等于零的时候，对不对？然后呢？哎，这个 d 和这个 t 的 关系，哎，是一个啊，三角函数三的一个关系，然后最后让你求费，这不就是一个什么东西，这不就是求解析式的题型吗， 对不对？我给大家也准备了一道题，这个等会再说，这就是求解析式的题型啊，对不对？那怎么求呢？首先特殊点嘛，你看，哎，那明显 t 等于零的时候，我这个 d， 你 看，刚浮出水面，那不就 d 等于零吗，对不对？所以呢，你看啊，你如果说 f t 啊，就是我的这个 d 就是 f t 啊， f t 如果等于这么一个东西的话，那说白了，你的 f 零是不是就等于零， 对吧？我这个就我的就 t 等于零的时候啊，我的这个 d 是 等于零的嘛，对不对？这个能理解，就是刚浮出水面开始计时嘛，所以呢，你就能哎，把这个零如果给他带进去的话，那这样的话就是直接哎，这些就没有了，所以就 a 乘以三以内加 k 等于零， 那最后你看啊，我现在要求什么？要求我的 f， 那 且说白了，你只需要求这个 a 和 k 就 可以了，明白吗？那最后这个题就转化成了，我现在需要求出 a 和 k 啊，一个是我的一个这个啊， 加减的一个常数，那这个怎么求呢？哎，就记住一句话，就是，哎，只要是下次问你求 a 和 k 就 怎么求，我们应该怎么求 f， 这个啊，看我之前视频啊，自己去看，但是呢，怎么求 a， 怎么求 k 呢？这个很简单，你只需要去看我的最高和最低就可以了，明白吗？什么意思呢？就比如说我拿下面这个题给你举例子吧，你看啊，这个题我的最高叫六，你的最低是负二， 那么你想一下我的这个 a 等于多少呢？或者说你或者说你先想这么一个事情，就是，哎，什么时候我取到一个最大值就等于六呢？哎，什么时候我取到一个最小值等于负二呢？你可以思考一下什么时候 是不是当整个撒引这一坨东西，如果等于一的话，我就取最大值，如果取负一的话取最小值呗， 明白了吗？因为萨以本质上就是负一到一嘛，对不对？那你想，如果我取一的话，那就是 a 加 b， 所以呢，你是不就能得到 a 加 b 是 等于六的呀，对不对？然后呢，我如果取负一的话，那是不就你就能得到负 a 加 b 一定是等于这个最小值等于负二的呀，明白了吗？你只需要把这两个式子只要给它列出来，然后去解这个 a， 去解这个 b 就 可以了， 对吧？啊？那这个题你现在自己去解吧，然后我们现在看下题目，这道题啊，那怎么去求这个啊？怎么去求 a k， 你 看我这给你写清楚了啊， a 加 k， 也就说我这个算术费等于一的时候，最大的时候，那就是 a 加 k 啊，我是等于这个大 m 的， 然后呢， a 负 a 加 k 就 等于这个小 m， 这个刚已经讲过了，对不对？那我们现在看一下大 m 和小 m 都是多少啊？这个，我的这个，这个，这个，这个 f t 就是 d 吗？你看这个 d 最大是多少？ 这个 d 最大是不是在这，在这的时候最大吗？对不对？那你看我离水面的高度是多少，是不是等于这个？哎？二，然后再加上这个根号三吧，明白吗？所以呢，我的大 m 就 最高值最大点啊，最大的值就是这个二加根号三，然后呢，最小等于多少呢？最小怎么看呢？ 那肯定是在这这里的时候最小呗，对不对？那最小等于多少？那最小的时候，那不就等于负的这一点吗？那这点等于多少？那不就等于二减去这个根号三吗？明白吗？然后是负的就根号三减二吗？ 明白吗？哎，所以呢，你的这个 m 就 等于根号三减二，那所以你就能写出来，哎， a 加 k， 这里就 a 加 k 啊，等于这个大 m 等于二加根号三，然后呢，负 a 加 k 等于这个根号三减二，哎，你给它列出来，你还解不出来吗？ 对不对？哎，两式直接一相掐， a 直接没了，所以呢，解出来 k 是 等于根号三的，然后呢， k 如果等于根号三的话，那 a 不 就等于二吗？明白吗？这不就解出来了吗？所以呢， a 和 k 解出来之后，那说白了吗？所以呢， a 和 k 解出来之后呢？ k 就 刚刚的 k 吗？但是我们现在已经解出来了， 对吧？然后呢，所以呢，三一 f 等于负二分之三，所以这个 f 等于负三分之 pi。 好 吧，就是，这就是一道非常经典的一道就是三角函数求解析式的题啊。这个我给大家已经放了一道这个经典的例题啊，大家可以自己去把这道题独立去完成，好吧，我相信这一类题都已经会了， ok 吗？好吧，这就是这个第六题啊。这个题，嗯，很很常规，但是呢， 我觉得还是很重要，因为，呃，可能对我来说很惭愧，可能对这个大家来说，可能平时这种求呃经常做的可能是求我们应该求 five 的， 但是呢，求 a 和 k 的 可能见的不是很多啊，所以呢，大家还是得去好的把这个题型去再钻研一下啊。然后我们现在看下这个第七题啊，这个第七题真的是， 我看这个第七题我真的气死了啊，就是这个题就考的是我们我二二年啊，高考的时候坐到考场上哎做的那个十一题，这道题就是我，我们二年的时候是我们这个已卷是老二考，就是他是十二道单选择题，十二道单选择题，但这个题他只有两个答案， 就是我当时费劲把火哎做出来了，然后呢，选了一个，然后感觉，哎，怎么还有一种情况，然后我就不知道选哪个了，然后，哎，我就这个题花了好长时间，但是最后，哎，结果发现这是一道错题，就是明明有两个答案，但是答案选去出了啊，所以就很多人其实蒙哎，都二分之一的命中率，可能都蒙对了，我花了很多时间还在纠结到底哪个是对的， 所以这个题我真的，我看这个题真的很很烦啊。所以呢，这个这个二年，你觉得这个题的话再说。我们先把这个题看一下，嗯， 先把这题看一下这个题，呃，先读一下题，他是一个双曲线，然后呢，我的这个 a 是 一， a 是 告诉你的，然后呢， m 是 b， b 是 m 是 不知道的，然后他告诉你左右焦点 f 一 f 二，你看我都已经画出来 f 一 f 二啊，然后呢，读一下题啊，然后呢，他说啊，有一个圆，这是一个单位圆， 这是一个单位圆，然后呢，过 f 一 做圆的一个切线啊，做这个圆的一个切线，然后呢，交双曲线的一个右，至于点 m， 就 这个点是 m， 你 看啊， 我不知道你能不能看出来，就是我这个已经已经题目告诉你了， a 是 等于一的，对不对？你看这个长度是不就是 a， 然后呢，刚好你这个长度是圆的半径啊，是等于这个一的，所以呢，你就说这个圆，哎，是不是刚好和这个双曲线这里也是相切的呀？好吧，这个你应该能看出来吧，然后呢，他告诉你 f 一 m f 二，就说这个角是六十度 啊，然后呢，等于这个六十度，然后呢，问你 m 等于多少？那这个题怎么做呢？这个题就是考了一个非常经典的叫焦点三角形啊，这个我先不讲，下面这个题，我先给大家讲一下这个通法就是焦点三角形有六个考法啊，这个如果有需要的话可以在评论区告诉我，我会单独出一期视频给大家讲，因为这个比较复杂，嗓子有点疼啊，我 就这个东西比较复杂啊，就是，呃，大家可以评论区私信我，然后我单独给大家讲啊，然后呢啊，今天重点讲一个叫考法五，第五个考法就是在焦点三角形的题里面，只要你看见终点了，记住一个东西叫条件反射，干啥？ 做中位线，好吧，这是焦点三角形里面非常非常重要的一个考法，就是只要你看见终点了，条件反射做中位线就可以了，然后呢，有一句非常重要的话，叫什么叫别忘了圆点 o 是 天然的终点， 就比如说这个题，你看啊，我现在首先啊，我觉得应该能反应过来，这里是相切，那相切的话，肯定反应过来的话，就是做垂线呗，对吧？是垂直的嘛。然后呢，你看啊，我这个圆点 o 是 不是 f 一 f 二的一个中点，这是不是焦点三角形的一个天然的一个中点， 对吧？那这样的话就能明白了，我现在条件反射应该干嘛？是不是要做中位线？那怎么做呢？哎，你看这是一条线，那他是谁的中位线呢？那不就是过 m， 过这个 f 二，然后呢？做一条线，哎，那不就是这条线的一个中位线吗？ 画的有点不太好啊，画的有点不太 ok 啊。然后现在画好之后，你看，那说白了，你如果做一个垂点，如果这个是第一的话，那说白了，你看这个长度是不就等于二分之一的这个长度，对不对？那你看我这个长度是一，那这个长度就二呗，对吧？然后呢，这是六十度，那的话，这个长度是不出来了，这个是几啊？这垂直吗？那这个长度，那不就是这个？嗯 嗯，这个，这个，这个，这个，这个，哎，我想怎么就根号三分之四吧，对不对？然后呢啊，这个就是那这个小长度，那就是根号三分之二， 明白了吗？好吧，你就可以通过题目的这些信息就可以把这个东西表示出来，然后呢，有一个非常重要的一个结论，也不说结论吧，就这个题啊，为什么我说和这个题一模一样，等会你就知道了，你看啊，我这个告诉你了， a 是 等于一的，双曲线里面是不是有一个结论叫 a 方加 b 方是等于 c 方的， 对吧？然后你看啊，这里是有一个垂直的，那你看这个东西，如果是 a， 然后呢？这个东西没问题，是 c 吧，没毛病吧，对不对？那说明这个长度是不叫 b 啊，对不对？那说明，哎，这个长度那肯定也是 b， 因为是中位线嘛，明白了吗？然后呢？双曲线，这个双曲线里面有一个，这个双线的定义是什么？是不叫 m f 一， 减去 m f 二，他一定是等于二 a 的， 对不对？那二 a 呢？那在这个题里面， a 等于一，所以就等于二嘛，对吧？那 m f 一 是多少哎，那不就等于二 b 再加上一个根号三分之二嘛，对不对？所以等于二 b 加上一个根号三分之二，然后呢？减去 m f 二是多少？ m f 二，那就是根号三分之四嘛，对吧？根号三分之四，哎，所以就等于二，哎，是不？ b 直接出来了， 对吧？ b 等于多少？你看 b 二 b 就 等于这个二，然后呢，再加上一个三分之二，所以呢， b 就 等于一，加上一个三分之根号三，哎，这个 b 不 就是题目里问的这个 m 吗？明白了，所以呢，选 b 直接出来了， 好吧，这就这个题的可以秒杀的一个做法，就是很快啊。啊，这个你如果整体研究的不透的话，可能这个题还得想一会，因为像这个做中卫线，可能这里就已经啊，可能就就已经打败了很多同学了。 好吧，那我们现在看一下这个啊，我当年高考考场上让我非常头疼的一道题啊，这个题是是怎么个事啊？你看这个题还是一样的，哎，有一个这个圆和这个双圈是相切的，是一个单位圆啊，然后呢？他说，哎，过这个左焦点，然后呢？哎，坐我这个 这个圆的一个切线啊，这是一个圆，然后呢，与这个交与 m 两点，只只，只不过就是这个点的一个做，这个点的一个字母表示变了一下，哎，这时候这个变成 m 点了，然后呢，这个变成 n 点了，然后呢，他说考算以 f 一 n f 等于五分之三，他告诉你了，这个角的考算以只是五分之三，是不是一模一样， 对吧？只不过呢，这个题比较简单一点，他直接告诉你这个是六十度了，但是呢，这个题他没有告诉你是六十度，他只，他只告诉你我是五分之三， 是不是一样的。那这个题怎么做呢？哎，连了一下啊，这是一个垂直，这是 a， 然后呢？哎，你看这里做一个垂线连中位线，这个是二 a， 那 这个是二 a 的 话，因为这个考三是五分之三，所以这两个是都能求出来，对不对？一个是二分之三 a， 一个是二分之五 a 都能求出来，然后呢，这个是 b， 哎，这个也是 b 加上一个二分之三 a， 二 b 加上一个二 a 减去，哎，这个二分之五 a 等于二 a， 这不就 d 定义吗？然后呢， a b 是 等于三 a， 那 离心率不就出来了吗？是不是一模一样？ 所以这个题就是今年提八，这个题就抄的。是啊，三年前啊，二二年我当年高考的那道啊，这个 单选呲牙咒啊，就考就抄的这道题，当然这个题我为什么说是这个错题呢？就是因为除了这个情况，就是命题老师想的这个情况以外，还有一个情况，大家可以自己去思考一下。好吧，这个就给大家留成作业啊，自己去思考啊，这个题是有两个选项的啊，好吧，自己去做好了，这是我们今天的这个第七题，然后现在看一下这个第八题啊，这个第八题，嗯，非常有意思 啊。这个题如果说啊，你现在如果考不到啊，一百一十分吧，考不到一百一十分的话，你可以，呃， 听到这听到这就可以了啊，如果你能考到一百一十分以上，这个题一定要听完，好吧，你别看这个是单选羊肉题，但是这个题真的非常重要。 ok 啊，我们现在看一下，他告诉你了一个 f x， 我是 一个分段的，然后呢， g x 等于 f x 加 f 负 x 能看到你我，我不知道你看到这个东西的条件反射是什么，就是我的条件反射，就是你把 x 全部换成负 x 的 话，我的这个 g x 是 不变的，那换，那换句话说就是我的 g x 就是 一个偶函数啊，对不对？所以呢，我读到这个信息的时候，我就已经条件反射， 我就已经条件反射，想到我 g x 就是 偶函数，那你是偶函数的话，然后我说啊， g x 和啊，这个，这个恰好有四个零点，哎，是不是一道非常经典的零点问题？那零点问题我们说通法是什么？ 百分之九十九就记住我一句话，所有的零点问题，百分之九十九他一定是转化为图像焦点问题，这个东西能记住吗？好吧，这个东西就真的是。呃， 我给自己的学生就讲了无数次了啊，零点问题就是转化为图像焦点问题，当然简单的可能就是两条直线啊，可能就那个焦点，但是呢，如果稍微复杂一点，有可能像这个题就是一直一曲啊，一个直线，一个曲线啊，这个题啊，这个题。我这个怎么说呢？我讲的 我不按标答讲，标答那个太复杂了啊，还要用什么落必答？我看了一下，还用落必答，还用什么极限啊，就真的很复杂。但是呢，我给大家讲的这个方法非常简单，就是直接转换一直一曲就可以了。那么现在翻译一下这个题啊，这个题说 g x， 我是 一个偶函数，然后呢？你有四个零点，你想一下， 我一个偶函数，哎，如果有四个零点的话，那说白了是不是研究一半就可以了？我只需要在 x 大 于零的时候有两个零点就可以了，能明白吗？好吧，所以这个题我们只需要什么？只需要研究一半就可以了。那我们只需要求出 x 大 于零的时候，我的 g x 的 表达式是什么？这个，这个能理解吗？咳咳，嗓子有点不舒服啊，我这个， 咳咳， ok 啊， 今天讲了一天，嗓子确实有点不舒服，但是不影响。好吧，不影响，现在已经凌晨五点半了，五点半了，嗯，我们讲吧。啊，然后呢？现在我的 g x 是 一个偶函数，然后我们研究一半就可以了。那我们只需要求出来 x 大 于零呢？是我的 g x 表达式，那 g x 等于 f x 加上 f x， 你 想啊， x 现在是大于零的，那负 x 就 小于零呗， 对吧？那 f x 那 不就是大于零的这个东西，那 f x 不 就小于零的这个东西吗？明白了吗？所以直接把这个东西大于零的这个东西，所以 g x 不 就求出来了吗？ 明白了吗？然后我们现在要研究 g x 的 零点，那么我们就令 g x 等于零，哎，你发现那就是令它等于零，你把这个东西如果移到右边，是不是成功转化成了一直一曲啊？ 能理解我这个方法论的意思吗？什么叫一直一曲？你看我这个 k 乘以 x 减一，这个东西是一个直线吧，对吧？而且我是过什么？过一个定点的叫一斗零，我是过一个定点的一个直线，然后呢？这个东西是一个曲线， 那其实说白了，题目说，哎，我这个东西等于零，有两个解，那其实说白了，是不是我这个曲线和这个直线有两个交点，能明白吗？这就是为什么我说零点问题一定要转化成图像，这个这个图像交点问题，因为这样的话会简化很多思考， 明白吗？现在我这个曲线和这个直线有两个交点，然后我们现在看一下啊，我们已经翻译过来，然后我们现在看一下，那怎么办呢？那只需要把两个图像画出来呗， 对不对？那只要把两个图像画出来呗。那首先我们先画这个左边这个曲线的一个图像，对不对？你看令 h x 等于 e x 再乘以 x 减一啊？这个东西首先我不知道你能不能看出来我是这个东西是递增的，当然你如果看不出来，你求导也可以，但是我能直接看出来，为什么？因为这是单调性的结论嘛，对吧？哎，我这个东西是增的，这个东西也是增的，并且 x 大 于零的时候，我是一个正的，我也是正的， 对吧？两个正的，然后两个都是增的，那乘起来肯定也是增的嘛，对不对？那增的话，那就有两种情况，那要么可能就是，哎，斜率越来越大，要么可能斜率越来越小，都是增的，那到底是哪个呢？啊？你这里都看到 e x 方了，你能想到我的斜率肯定是增大的吗？对吧？所以呢，你的这个图像就能画出来了， 对吧？并且呢，哎，特殊点，那因为是这个初十指示这个 x 大 于零，所以把零的话，那就是 a 乘以负一，那就负一，所以我的这个 h x 这个曲线的图像是不是就大概就这个样子， 能明白吗？好吧， ok， 我 们现在研究出来这个 h x 图像了，然后我们现在研究一下什么？再研究一下这个直线的图像，那这个直线，哎，刚刚您说过了，他给我的定定点是一到零，然后呢？我的斜率是不确定的， 然后呢？那你想那一到零，那你现在可能会有一个问题呢？说，哎，我这个一在这呢，还是在这呢，对不对？那这时候我们就得研究一下什么？研究一下我这个 h 一 到底是正的还是负的？带一下啊？ h 一 就等于一的一次方，再乘以二乘一，再减一， 你反等于一嘛，对吧？他肯定是正的，所以呢， h 一 是正的，那说明什么？那说明一就在这嘛，能明白不？说明一就在这嘛？把这个图像再换一下， 他大概就是啊，这个一可能肯定是在这的，肯定是在这个零点的这个右边的，然后呢，现在我们这条直线是过这个定点的，那说明我这个直线是不是有可能是这个？有可能这个，但有可能也是这个， 总之就是过这个零点就可以了，能明白吗？好吧，那现在，我们现在研究一下，我们现在说，哎，我这个曲线和这个直线得有两个焦点，那你想有，有，有什么可能性呢？有什么可能性呢？是不是其中一个可能性？我这个直线可能就是 就这个样子，能明白吗？可能和左边哎，有两个交点，当然是不，也有可能，我这个直线可能是长这个样子，可能和右面上面这里有两个交点，能明白吗？是不是有两种可能性啊，对不对？所以呢，他最后问的是什么？问的是我的这个什么？问的是我的这个 k 的 一个范围， 那说白了，是不是问的是你的这个直线的一个斜率的范围啊，明白了吗？那怎么办？去找零件就可以了呗，对吧？我们找零件，那零件是什么零件呢？就相切呗，是不是啊？就是一个相切的一个问题。那我再问你啊，能能听到这的，那肯定基础不错了啊，那我问你相切问题的通法是什么？是不是设切点， 对吧？那我们直接设切点就可以了，对不对？那设切点就是 x 零，然后呢？啊，就比如说设这个 x 零，二 x 零减一嘛，对不对？所以呢，就是 x 零啊，然后呢， 二 x 零减一啊，这就是我的这个啊，切点。那这样的话，你想那，哎，只需要什么？只需要再求一下导，那 h 导 x 零是多少呢？在 x 零处的切线的斜率是多少呢？哎，求一下导，那就是啊，我，我写这里吧，那这个 x 导 x 的 话，那就等于这个 e 的 x 次方再乘以二 x 减一啊，然后再加上一个二，就等于二 x 加一吧， 对不对？所以呢， h 导 x 零就等于 e 的 x 零，然后再乘上一个二 x 零，再加上一个一，然后呢？现在你说，哎，我在这个 x 零处，我的一个切线的斜率在这， 然后呢，同时我如果是切线的话，是不和这个一斗零是不是一定是连线呀？所以呢，只需要列公式叫两点连线的斜率等于我这个导数就可以了，对不对？那就是这个点与一斗零连线的斜率等于。这个东西写一下呗， 对吧？写一下呗。所以呢，就它减零，那就是一的 x 零，然后呢，再乘上一个二 x 零，一的 x 零乘以二 x 零，然后再减一，然后呢，再减去一个零，再比上一个 x 零，再减一，就等于什么？等于一的 x 零，再乘上一个二 x 零，加一嘛， 对不对？然后呢，你发现这个一 x 就 约掉了，就是用这种话做的话，就没有任何计算量啊，约掉之后，哎，把这个东西乘过去，那这样的话就二 x 零减一，哎，就等于这个二 x 零方啊，加 x 零，然后减二 x 零，再减去一个一，减一减一，哎，没有了， 所以呢，哎，化简一下就是二 x 零方，这是减 x 零，再减去二 x 零，减三 x 零，哎，就等于零，所以呢， x 零背的一个啊，这个二 x 零再减三，哎，就等于零，说明你可以解除两个切点啊，第一个切点呢就是零，第二个切点呢，就是 x 零等于二分之三 啊，所以现在就这个图像就已经啊能搞清楚了啊，能搞清楚了，他长什么样子呢？我这个如果是一斗零啊，这个是啊，这个零斗负一，我这个图像，哎，我肯定是长这个样子，你看着我画的标准一些， 首先第一个零件，第一个切线是，哎，我这里镶嵌，明白吗？正好在 x 等于零的时候镶嵌，然后第二个切线是什么呢？第二个零件的切线是什么呢？它是在这， 哎，我在这个 x 零等于二分之三的时候是想起了，明白了吗？这就是两个这个零件啊。那你现在想想，我，如果我我，我们先看下面这个情况，先看这个第一种情况，那你看这个东西，我现在要有两个切线啊，要有两个切点，你觉得我能转过来吗？如果这样转一下，你觉得有几个切点，有几个焦点啊？ 是不是只可能有这一个焦点，对不对？你再转呢？你这个斜率能再小吗？你再小的话，你发现，哎，仍然是，不是啊？这个仍然是只有这一个焦点，能明白吗？也就是说你这个第一种情况，哎，你再怎么转，你再斜率再往下怎么转，你如果往上转的话，那就是第二种情况了，那你如果再往下转的话，你是永远都不可能有两个焦点的，所以呢，这个情况是不废了， 明白吗？但是我们现在看一下上面这个第二种情况，但是你稍微往左边转一点点，你看啊， 哎，是不是就有两个交点了，能明白吗？能明白这个道理吗？你是不是就有两个交点了？所以呢，只需要大于这个切线的斜率就可以了，哎，这就是这个题就已经做出来了，哎，所以现在我们只要求他的斜率就可以了，哎，那直接怎么说呢？直接这个 啊， x 到 x 在 这呢，对不对？那直接 x 到二分之三呗，对吧？ x 到二二分之三等于多少呢？啊？那就等于这个啊， e 的 一个二分之三次方，然后再乘一个二乘以二分之三，再加上一个一啊，所以等于四乘上一个 e 的 二分之三次方，那就说，哎，我这根直线的斜率就等于什么？就等于四乘 e 的 二分之三次方，那就说你只需要再转转什么呢？只需要比我的这个斜率大， 哎，你就可以，是吧，你就可以有两个焦点了，能明白吗？好吧，所以最后你的 k 的 斜率就是 k 大 于啊，这个四乘一的一个二四二分之三方就可以了，明白了吗？好吧，这个题做完了 啊，不用什么，就是像标答里面的那些什么极限法，就是没有必要啊，直接用这个转换一支一曲去研究它的斜率就可以了，好吧，这是啊，这个题我觉得最快的做法，好吧，所以这个题直接选这个 b 就 可以了， ok， 这是我们的第八题啊，这个题非常的非常的棒啊，然后啊，所有就是你，哪怕你你要冲一百三啊，冲这个稍微高一点的分的话，这个题一定是要拿下的，好吧，这个题型一定要拿下， ok 啊，这就是整个所有的单选题啊，非常就是非常棒啊，非常棒，就没有没有一道水题，只能这么说啊，没有一道水题啊，任何一道题都可以拿来直接当高考题的，好吧。 啊，然后我现在看一下这个多选择题，多选择题第一题非常简单，多选择题第一题真的，我觉得就是来来搞笑的，但，但是啊，这个会考验一下你对这个几个这个量啊，你对他的理解就是我现在有一组数据啊，是这个平均数为 x 一 把， 哎，这里是少打了一个 x 一 把，平均数为 x 一 把，然后呢，将这组数据分别加上你的平均数，那你看 x 一 加上一个 x 一 把，哎，得到了这么一组新的一个数据，然后他问你新的数据和原来数据相比？首先 你可以这么想，哎，我原来的数据的分布如果可以化成这样的话，那你现我给每一个人都加了 x 一 八，加了一个同样的数，那是不意味着我这个图像它就是往上平移了一个 x 一 八， 能明白吗？那首先我问你极差相同吗？极差叫什么？叫最大的那个减去最小的那个吗？明白吗？就比如说你原来里面最大的可能是 x 七啊，最小的是 x 七减 x 一 嘛，对不对？那你看，我加完 x 七加一八之后，那最大的就是 x 一 加 x 一 八了， 对吧？那你最后的你变变变完的这个新数据的级差，那就是 x 七加上 x 一 八，然后呢，减去 x 一 加上一个 x 一 八，你发现仍然是等于 x 七减 x 一， 所以呢，你的级差一定是相同的，这个没有问题吧？好吧，那平均数呢？ 啊，这个你可以这么想，就是啊，你们现在这就是你们班的成绩啊，现在突然发现有一道题啊，就比如说你们班现在平均成绩为五十分，只能考五十分，现在突然老师发现啊，有一道题，哎，遇错了， 现在给每一个人都给他加上五十分，你觉得你们班的均分会变吗？对不对？那肯定是变高呀，能明白这个道理吗？对不对？你们每个人都考了五十分，那平均数你的均分那肯定会变高呀，所以不同这个 b 也是对的。 那方差呢？方差代表的是什么？方差代表的是离散程度，哎，或者换句话叫集中程度啊，你就记住一句话，就是只要你的这个啊，分布的这个图形不变， 那你的方差是永远不变的，除非什么？除非就是你可能从哎这个状态，然后呢，变成什么了？变成一个哎，又高又瘦的，变得更集中了，你这样的话，你的方差才会变，能明白吗？就只要你的图像，你无论是上下平移还是左右平移，只要你这个图像是不变的，那你的方差一定是不变的，能明白吗？所以方差不同，哎，肯定是错了，因为方差是相同的， 然后中位数相同，那就想，哎，那就想你们班啊，你们班啊，这个，呃， 我这么说吧，就是你们班，还是拿刚刚那个例子，对不对？你们班这个排名啊，这个，呃，根据那个数学考试成绩会有一个排名，对不对？那最中间的那个人，现在啊，我们每个人都加了五十分，那你觉得最中间那个人变不变？可能最中间那个是小张，对不对？那现在啊，每人加了五十分，那最中间肯定还是小张呀，但是小张他的成绩变了吗？ 那肯定变了呀，对不对？你原来可能考四考，可能考个这个四十三分啊，可能考四十三分，但现在加了五十分，你成绩可能变成啊九十三分了。所以呢，你这个中位数肯定是变了呀，并且呢，中位数肯定是啊，虽然那个人没变，对不对？那个按照那个排名啊，你那个人没变，但是呢，你的分数肯定变了，对不对？所以呢，应该是肯定会啊，上升这个 x e 八的， 肯定会在原来那个中位数的基础上上 x 一 八的，明白了吗？这就是这个第九题啊，非常简单，然后现在看下第十题，这个第十题说实话，这个计算量不小，而且考了一个东西，叫飘带放松啊，这个你会的话，这个题很快。我们先看一下这个题，他说了一个 f x 等于三一拍 x， 然后呢， g x 等于这么一个东西，然后他说 h x 等于我俩相乘， 然后呢， a 选项 g x 分 之一加 g x 等于零，那 g x 这样，那就试一下呗，对吧？你看 g x 分 之一，那就把里面所有的 x 全部换成 x 分 之一，不就可以了吗？能明白吗？啊，然后呢，再加上一个 g x， 那 就把整个东西抄过来，哎，最后你发现，哎，哎，这两个直接约掉了，哎，约掉了，所以呢，就是负的一个 log x 分 之一，那 log x 分 之一，那不就是 log x 的 负一次方吗？ 对吧？那 x 负一，那么说指数是可以调提到前面的呀，所以呢，负一提前面，然后和这个符号就约掉了，所以呢，就是 log x， 然后再减去 log x， 那 不就等于零吗？所以呢， a 选项非常非常简单，直接就对了 好吧。啊，然后呢， b 选项他说 g x 大 于等于零的，解结为这个零。逗一啊，就是让你去解这个东西，令它大于零的话，你去解这个 x， 啊，这个怎么解呢？啊？我们就令啊，这个 g x 大 于零，哎，你发现稍微移一下项就得到这么一个东西，这两个函数我们都很熟悉啊， 对吧？啊，这个东西是什么？是对数函数啊？是劳力函数，然后这个东西叫什么？叫飘带函数，大家可能如果变成加号的话可能就认识了，叫对勾函数吗？对不对？那如果变成减号，这个东西叫飘带函数啊，这个如果啊，不知道可以去啊，网上自己去搜啊，去让别的老师给你讲一下 啊。那飘带函数和这个对数函数有什么关系呢？大家记一个，哎，导数或者说函数可能比大小里面经常用的一个东西叫飘带放缩啊，这个东西很重要， 就是我的学生是一定要会的。好吧，什么叫飘带放松呢？就是你看啊，我现在有三个函数啊，一个叫这个就是飘带函数，然后呢给他乘一个二分之一啊，乘一个系数，然后呢？ 啊，这个捞引 x 在 这，在中间啊，然后呢？这个两倍的这个东西在最下面啊，这就是我们三个的一个关系啊，就是无论是比大小还是说啊，这个导数的大题都有可能会用到，所以呢，这个一定要会啊，然后呢，这是第一个版本，然后第二个版本是什么？就是啊，我现在不要那个系数吗？对不对？然后呢再和捞引 x 他 们的图像是什么关系呢？ 首先捞引 x， 我 们说我们俩的焦点都是一到零，这个能理解吧？这个这个没问题吧？我们焦点都是一到零，然后你发现在 x 大 于一的时候，我这个飘带函数是要比捞引 x 高的， 但是呢，在啊，这可能是零啊，在零到一的这个区间里面，我的这个捞引 x 是 要比飘带函数要高的，明白吗？那我们现在要求的是什么？要求的是飘带比捞引高的， 那飘的比捞音高的是哪一部分？你看飘的比捞音高，那不就是 x 大 于一的时候吗？明白吗？所以呢？哎，你解出来应该是 x 大 于一啊，就是如果你对这个放松非常熟练的话，你这个题直接可以秒杀了，明白吗？今天我就给大家讲了，所以一定要会啊。 好吧，所以直接解出来 x 大 于一啊，所以这个错了啊，应该是 x 小 于零的解解才是这个零多一，能明白吗？好吧，这是我们的 b 选项，然后 c 选项，这个就挺啊挺，挺复杂了，他说 h 三分之十六小于 h 十一分之三， h 是 什么？是我们两个相乘， ok， 那 我们现在把它抄下来， c 选项，我们先把这个 h x 抄下来啊，这个就是 f x 嘛，对不对？然后呢？这个东西是这个 g x， 然后我们来相乘，等于这么一个东西，然后现在我们要比这个 h 三分之十六，和这个 h 是 一分之三， 这个怎么比的，对不对？那是不是直接把这个三分之十六带进去，哎，这个十一分之三也带进去，那是不是最终比的就是，哎，散以三分之十六派乘以这三分之十六，哎，和这个散以十一分之三派，和这个这十一分之三就比我们两坨东西啊，明白了吗？那现在很明显肯定是分开去比嘛，对吧？我比我，然后你比你嘛， 明白吗？好吧，那我们先比一下三以三分之六和这个十一分之派，所以呢？哎，就等于负的一个三以三分之派 啊，然后呢？这个是散以十十一分之三派，这个就不用变了。然后我们现在比一下这个散以三分之派和这个散以十一分之三派，散以三分之派和散以十一分之三派，这个怎么比呢？ 中间我们都是零到二分之派的，对不对？那就比谁大呗，比这个三分之派和这个十一分之三派谁大呗？怎么比呢？直接啊，这个通分啊，所以呢，就三分，我这个三分之派，那就是三十三分之十一派吗？对吧？那十一分之三呢？就等于三十三分之九，对不对？然后呢，你发现，哎，这个明显是要比散以十一分之三派要大，并且我俩都是正的 好吧？ ok 啊，这个就是，哎，你看，哎，我俩就已经啊，相关的这个大小都已经，哪怕是绝对值的大小都已经比清楚了。然后我们现在比一下这个 g， 三分之十六和三，这个 g 是 一分之三啊，这时候非常非常啊，这个题非常非常好的地方来了，就是没有无缘无故的 a 选项， 就是你发现一个东西就是三分之十六是一个大于一的，十一分之三的又是一个小于一的，对吧？他们俩这个倒数好像又有点关系哎。然后呢，你又想到这个 a 选项， a g x 分 之一加上 g x 是 等于零的，这个已经挣出来了，那你想，那我的 g x 是 不是就等于负的一个 g x 分 之一啊？明白了吗？我们现在就要用这个 a 选项的结论，这就像有的大题哎，导出大题，第一问，让你证明一个东西，那第二文是不是经常就要用到第一问的那个结论呀？ 明白了吗？这就是啊，大题里面可能是没有无缘无故的第一问，那多选题这种复杂题里面可能是没有无缘无故的 a 选项，明白了吗？把这句话记死啊。好吧， 所以你看啊，我们要比的是三分之十六和十一分之三，那其实本质上你看 g 十一分之三是不是就等于负的一个 g 三分之十一啊？对不对？哎，所以你其实比的是这两个，那我们现在比一下，哎，这个 g 三分之十六和这个 g 三分之十一到底是一个什么关系呢？哎， g x 它明显是个低增，这个能看出来吧？ 啊，你如果看不出来，你就求导。当然你如果啊，能看出来，如果这个图像已经刻在脑子里了，哎，你看吧，哎，左边那就是这个啊， 这个，这个飘带减去老影，你看啊，飘带减去老影，就是负的越来越少了，那不就变大了吗？对不对？然后呢，右边呢，就正的越来越多了，所以呢，也是变大了，所以整个肯定是低增的。相减肯定是低增的啊，这个如果你啊这个想不明白，你就去求导啊，也可以，那你其实是递增的，并且呢，这一是等于零的，这个没有问题啊。所以呢，你想这一是等于零的，你还是一个递增的， 你还是一个递增的，那说白了你三分之十六在这，对吧？三分之十一在这，那你看 g 三分之十一是一，并且是正的， 明白了吗？好吧，你只需要哎，把这两个只要能全部都能比明白啊，你这个题就做完了啊，不然你这个题还是有点够，还是够呛，好吧， 然后呢，哎，那就是最终，哎，你回到刚刚那个，哎，我要比的是这两个，然后我们现在看一下，哎，三以三分之十六派等于负的一个三以三分之派啊，然后呢？啊，你的这个这十一分之三等于负的一个这三分之十一，然后我们现在看一下，我们几个，哎，全都是正的，对吧？全都是正的，并且呢，我是大的，三以三分之派是大的，哎，这个是小的，然后呢，你看 十六三分之十六是大的，哎，所以这个是大的啊，然后呢？哎，这个是小，哎，这个是小的。所以呢，两个大的相乘呢？肯定是大的，所以一个是负的，一个大数，一个是什么？一个是负的，一个两个小的相乘，那就负的一个小数嘛，那比如说负八和负三，你觉得是什么号呢？ 那肯定是小于号嘛，明白了吗？所以小于，小于，所以全都是小于，哎，所以最后，哎，这小于，哎，小于，所以 h 三分之十六是小于， h 是 一分之三的，好吧，这个题做完了， 明白了吗？好吧，所以这个啊， c 选项，哎，就是对的，明白了吗？好吧，所以这个题 a c 读对了，然后得个选项，这个就比较简单了。他问你 h x 是 不是极大值点，那怎么做呢？哎，你只需要哎验证一下 h 一 h 倒一是否等于零就可以了，对不对？如果你这个一是极大值点的话，那一定 h 倒一是等于零的，你那里的导数肯定是平的吗？对不对？肯定是等于零的， 那所以我们现在求一下导数啊， h x 在 这啊，求一绕一绕一，不就是零吗？ 对吧？然后呢？散一派，然后再加一减一啊，你看，哎，那这个一减一，那说明左边这一坨等于零吗？然后右面的散一派，散一派是多少？那不也是零吗？对不对？所以呢，就零加零，哎，所以等于零，那所以 s 倒一等于零，那说明 s 等于一，那不就是你这个图像的什么极大知识点吗？明白了吗？好吧， ok， 所以呢，这个题选 a c 得啊，这个题非常的棒 啊，非常的棒，我觉得这个题啊，最棒的不是这个飘带放松啊，不是，后面怎么比？就这里比的这一坨东西其实我觉得还是有点繁琐的，嗯， 不是非常的好，但是呢，我觉得最重要的是这个最亮眼的是这个，他用到了一个 a 选项， a 选项的一个结论，好吧，这个就真的很重要， 好吧，所以这个题需要大家掌握的，第一个就是这个飘带放松，这个非常重要。第二个就是学会我这个方法就是没有无缘无故的 a 选项，你当一个题可能多选题啊， c 和的做不出来，哎，你去看一下这个 a 和 b 可能就能用到了，能明白吗？好吧，所以这个题是我们的这个第十题就 ok 了， 然后这个第十一题立体几何，这个得选项真的是非常有新意啊，但是呢， a b c 还是比较长，还是很常规的啊，然后他说我是一个正四能追啊， p a， b， c， d， 那 什么叫正四？正四能追？ 什么叫正四能追？就底面是一个正方形，对不对？底面是一个正方形，并且这些棱长全部都相等啊，这个叫正四能追。那什么叫正三能追？什么叫正三能追？正三能追？就底面是一个等边三角形，然后呢，三条侧呢？都相等啊，这个叫正三能追，这个要搞清楚，然后他说我的底面边上是一，那说明这个是耶耶耶啊，然后呢？该四能追的一个顶点，屁在正方的一个内部啊，包括表面， 啥意思啊？我是一个正方体的高，是不是也是一啊？然后你这个屁点不能捅破这个天花板， 那你这个屁点如果要在里面的话，那是不肯定是啊，得大于零，小于等于一啊，能明白吗？你等于一的时候，你就刚好就头碰到那个天花板上了，然后你再大于 a 就 一下捅出去了，明白吗？所以呢，你不能超过 a 啊，所以这个 a 直接打对，明白吗？那这个题如果我出的话，我可能会给这里加一个这个 圆括号啊，但是你的它它包括表面了，好吧，这个就是稍微有点坑，这个 a 选项我觉得没什么意思。然后呢，这个 b 选项他说如果，哎，你的测能长是二分之根号三，问你高度啥意思啊？ 他说我的这个测能长是二分之根号三。然后呢，问你这个高度高度就是这个屁啊，和这个屁一撇的一个这个连线吗？那你想我是正四能追啊，那正四能追的话，我的这个顶点，他在底面的那个投影是不一定是底面的那个中心啊， 能明白吗？是不一定是底面的中心，那这样的话，他现在已经知道这个了，然后问你这个高度还是怎么求呢？那明显是在这个直角三角形里面去求吗？对不对？哎，底面这个东西等于什么？这个怎么算？ 这个不就是对角线的一半吗？那对角线呢？就是一的平方加一的平方等于根号二啊，那所以呢，你这个长度就是二分之根号二吗？明白了吗？那你这个 s 的 平方加上二分之根号二的平方一定等于二分之根号三的平方，直接勾股定点，哎，一写，哎，解出来 x 等于二分之一，这个题就 ok 了，哎，所以 b 选项解出来 x 等于二分之一，所以这个就错了，好吧。然后 c 选项 他说点屁啊，是这个，你的一个上底面的一个中心，就是你这个点屁，现在是那个啊，那个那个正方体天花板的那个啊，中心就是刚好碰到头了， 怎么翻译呢？是不是就是你的那个屁的那个高度，就是我的一啊，这个能翻译，明白吗？这句话。这个这个 c 选项怎么翻译呢？就是翻译过来，就是啊，我这个正四能追啊，我的高度是一的时候，然后让你去求那个外接球的表面积，这不就是一个非常非常经典的一个外接球问题？外接球问题有几种考法？ 有三种考法，第一种叫什么？第一种叫顶点再过啊，第二种叫侧能垂直于底面，第三种叫一般的模型啊，这个如果想听的，这个我之前已经讲过了，如果想听的话啊，可以去翻啊，翻不出来的话你可以私信我，我可以给你单独发一下 啊，这个就是，嗯，一个顶点再过模型。什么叫顶点再过呢？就是我的这个顶点，我的这个屁啊，它刚好在这个，什么刚好在这个，哎，整个底面的投影它在这个最中心嘛， 明白了吗？那这种模，那这种题型怎么去求这个外界球的半径呢？或者求表面型呢？怎么去求呢？方法论啊？第一个，哎，记住一句话，如果是你这种顶点在罐的，就是你这个测能，哎，我干脆这么说吧，叫测能，哎，全都相等 啊，只要是侧能全都相等的，那么你的这个球形 o， 他 一定在这个啊，这个顶点和这个投影的一个连线上面，那这样的话，我们可以把半径射出来，然后呢，再去列勾股定里去解这个半径就可以了，这就是顶点在惯性啊，可能比较常考的是那个三能锥啊，这个三能锥，对吧？这是可能比较常考的，然后呢，哎，他的这个通法啊，那然后我们做一下，我们做一下 啊，那你看啊，我现在啊这个球形 o 假设在这，那这样的话，我射出这个半径啊，射射这个半径啊，比如说啊，这个半径的话就是 r 嘛，对吧？然后呢你看，那这个 o p 是 r， 那 你看 o a 啊，这是 a， 那 o a 是 不一定也是 r 啊，同样 o c 还有这个 o b 都是 r， 但是我们现在不需要写，我们现在只需要干嘛，你看这个如果是 r， 然后我的高度是多少来着？ 高度题目告诉你了，哎，我们已经翻译出来了，是等于一的，那这样的话，你看啊，那这样的话，我的这个 o p 一 撇，哎，这个东西是不是就是一减去一个二呀？因为整个高度是一嘛，对不对？那整个这个是一减二，然后底面这个这个长度呢？哎，对，角线的一半二分之根号二， 然后呢，只需要在这个哎三角形里面去列一个勾股定律，哎，就可以解除半径了呀，对不对？所以呢，一减二的平方加上二分之二的平方，等于二的平方，哎，解出来 r 是 等于四分之三的，那 r 等于四分之三，你的面积，哎，四排二方，哎，就出来了四分之九派。所以这就是这个 c 选项啊，这是一道非常非常常规的一个外界求问题啊，所以呢，这个题啊， c 是 对的 好吧，然后呢得选项，这个就啊，有点难，有点有新意啊，这个真的啊，眼前一亮，好吧，眼前一亮啊，他说我这个屁点是正方体，你内切球的一个球星式，你想我一个正方体现在有一个内切球，那你想内切球的球星是不是一定是那个正方体的中型啊？ 这个能想明白吗？就是啊，你看我现在这是一个正方体啊，那你那个球星那是不是一定是正那个正方体的一个中型啊，对不对？然后我这个屁点呢，就是我正方体最中间的那个东西，最中间的那个点， 那说明啥？那是不说明我的这个高度就是二分之一啊，明白了吗？因为整个测能查是一，整个高度是一，那一半就最中间那个位置，那不就二分之一吗？啊，先把这个题目意思先读懂啊。然后呢，他说，哎，我真的是没想到他会这么问，他说我这个内切球和正四能锥的一个公共部分的体积，哎，这个东西怎么做呢？没见过吧？ 我这个正方体他现在里面有一个球，然后这个球呢，和这个四能锥的公共部分的一个体积，怎么算呢？ 很有新意吧，对不对？哎，怎么去思考呢？很简单啊，我们现在想，如果以屁为顶点，然后一个正方体是不是有几个面，是不是有 六个面啊？对不对？那我们以每一个面为这个底面，你看，比如说我现在以最下面的这个 a、 b、 c、 d 为这个底面，你做了一个四能锥，那同样，如果以屁为顶点，然后呢？以，哎，这个侧面为这个底面的话，哎，你是不是仍然是可以做一个这个四能锥的， 明白吗？你发现这四轮锥都是长得一模一样的，因为什么？因为屁点是最终点吗？最中心的那个点吗？所以你发现以每一个店面为底面，你是不是可以做六个长得一模一样的四轮锥啊，对不对？那也就说你这个正方体那不就是由六个然后呢，长得一模一样的这个四轮锥拼接组成的吗？ 对不对？那说白了，你的那个内切球是不是就会被六个四能锥给他咔咔切成六份啊？这个能想清楚吗？想不清楚，慢慢想。那你想我那个球被六个四能锥给他切成六份了，那每个四能锥是不就占用六分之一的球体啊？这一套逻辑链能想明白吗？ 对吧？那所谓的题目要问的这个什么公共部分，那不就指的就是我这里的六分之一个球体的体积吗？对不对？所以呢？哎，公共部分的体积就等于六分之一乘以三分之四 pi r 的 三次方 r 是 等于二分之一吗？就等于那个正方体能长的一半啊，所以二分之一三次方最后是等于三十六分之一 pi 啊，所以这个题，哎，得也是对的啊，所以这个题 ac 的 好吧？ ok 啊，单选择题，多选择题，就说到这就 ok 了啊，这个终于是讲完了，现在已经凌晨六点了，已经啊，这个大家可能已经快起床了，但是我得去睡觉了。嗯， 这道题真的很棒啊，这个能听到这的真的很很感谢大家，很感谢大家。然后，呃，因为我讲的初衷就是真的是想让大家会一类题，因为 我刚高考完，也就是个三年时间啊，也就是个三年时间，因为我很清楚网上呃很多讲这种东西的老师吧，他就是很死板，跟学校老师一样，他会讲啊，这道题怎么怎么做啊，怎么怎么做，学校老师一样的，但是呢，不讲题型啊，不讲背后的方法论通法，下次稍微变一下，哎，不会了。所以呢，我就是想，呃， 陪大家到高考，今年会陪他结束，并且呢，明年我会一直就是做整个这个事情，我会一直做下去，然后呢，把所有的那些场，那些比较经典的模拟题也好，高考题也好啊，然后也会都给大家陆续都讲。所以呢啊，还是希望大家可以关注我一下，然后我们总结一下今天这道卷子 啊，这个我觉得已经讲的很透了，今天这道卷子，这个选择题啊，就是，嗯，个人觉得吧，对这个高考试卷其实没有什么太大指导性，就是很多人啊，会说什么把那个高考就已经这个难度啊，怎么考法都已经定了。但其实我觉得啊， 这才还没过年呢，对不对？还没过年呢，你这一套模拟题对高考能有什么指导性，对吧？那题都还没命出来呢。所以就唯一的可能就是真的是你发现现在有个趋势，就是其实不用这套卷子来指使我们就是那些烂大街的题型啊，烂大街的那些二级结论啊，已经不考了， 你平时在抖音上，在小红书上刷的那些烂大街的那些二级结论啊，题型啊，什么某帮某辅导那些给你讲的花几千块钱报名那些啊，给你上课讲的咔咔讲的那一堆什么大招啊，二级结论都不考了 啊，所以说就是不要报那个侥幸心理了，真的就不要去研究什么大招了对不对？你的秒什么秒题的人家对吧？练习时长两年半，你咔咔上来给人秒了对吧？你这现在高考已经不可能了 好吧，就是不要啊，去去去，报侥幸心理去钻研什么大招了，就老老实实的总结题型好吧，老老实实总结题型就是我现在就是已经把整个高考里面所有啊，高考数学啊，所有的题型全部都已经总结完了。 好，现在其实就差一个导数了，全部都已经总结完了，然后我会在今年寒假之前就是把整个所有的题型免费啊，在这个网上给大家，全部给大家讲，讲完啊，就是一定会对大家有帮助的，无论是今年高考还是明年高考，一定会有帮助的啊，就如果说啊，想一路赢到高考的就点个关注啊，我们下期再见！

二零二五年高三含金量最高的模拟考试期末联考，今天下午数学刚刚落下帷幕，这张卷考完呀，又难哭了一大片，高三同学们难度系数属实非常的大， 创新点非常密，知识之间的连接非常的多，题目比较综合。另外一个就是计算量超级大。那对于我们高三的同学们来说啊，老师可以告诉你，这张卷的成绩不作为你未来高考成绩的参考，但是我们可以参考现在新高考形势下命题的方向和趋势到底是什么。 首先第一个点，我们先从试题结构上来说，依然延续了二零二五年的高考命题结构，八三三五也打破了二零二六年高考数学结构改革的传言，八道单选，三道多选，三道填空，五道解答结构并没有发生变化，这个咱们高三的家长和同学们可以吃一个定心丸了。 其次啊，这张卷要求同学们在复习的过程中，你需要把你的思维打开，不要形成思维定势，你需要足够的灵活，因为里边有很多创新的点，我们一起来看几个，比如说呢，给大伙举几个例子。第六题，以天宫开物的统车为背景，考察的其实是三角函数模型。 第十六题，以置点运动为背景，考察的是统计概率。十九题完全就是一道创新性的综合题目，以高斯函数为背景，里边有三角函数、导数、数列极限等等，那这些知识的一个融合， 所以这张试卷啊，无处不在的体现。现在高考的趋势叫创新，需要的是同学们临场应变的能力，需要是同学们灵活的思维。第三个点啊，就这张卷的计算量非常的大，这也是我们现在新高考的趋势之一，虽然题目变成十九道题，题量比以前少了， 但你会发现多选择题的第十题，第十一题相当于是八个小问，最后解答题十八题，十九题你没留出，十八到二十分钟你根本都做不完。 所以呢，就要求同学们的计算能力得非常的强，你只会单纯的硬算，远远不够，那计算呢，也是需要你总结出一些方法和技巧。另外一个就是你的心态如何在两个小时之内达一百五十分的卷，能抢到更多的分数，也是需要有很好的一个答题技巧。 所以最后安老师给大伙做一个总结，就这套 t 八联考的卷，确实是值得我们所有的高三同学们和家长们去参考， 参考的不是他的难度，参考的不是你最后得了多少分，而是命题的趋势，而是新高考命题的方向。那大家呢，可以看到， 真正的高考命题，实际上是与你平时学校的各种各样的周练，期中期末完全是两种感觉，所以大家在做题的过程中一定要拥抱这种趋势。 我们现在高三还有最后六个月的时间，我们应该尽快的从原有固定的思路，固定的套路，固定的思维当中脱离出来，拥抱这种新形式的变化。

大家好，今天呢，我们来分析分析刚刚结束的高三年级的 t 八联考，这套数学试卷的话，出的还是非常好的啊，它的整体难度中等偏上，还是比较好的区分度的，然后高三年级拿来练习，是非常好的一套试卷。 然后除了参加 t 八联考的同学之外，其实全国各地的同学呢，高二高三同学都应该拿这套试卷专门练一练啊，质量很高。 然后咱们稍后啊，来带来这套试卷的主题讲解。然后这个视频呢，先主题来分析分析他的难度啊，题型这些， 首先还是试卷结构啊，仍然是符合八加三加三再加五的这样一个试卷结构的，也就是八个单选，三个多选，三个填空，然后再加上五个大题，然后呢还是十九个题目的这样一个结构。 那么咱们主体来说一说，这个第一题到第四题的话，就属于技术题了啊，大部分同学都能得到分，主要考察的是集合复数啊，不等式，基本不等式这些，还有向量的技术知识。 然后咱们来看第五题，这个第五题的话，就看到了是考察的数列还有不等式综合的这样一个题目，涉及到了这个恒成率问题，还有递推算是一个中等或者说中等偏上难度的题目。 那么关于这个第六题的话，文字性的内容非常多，而且还配有图。看到这道题了吧，这道题的话，就属于三角函数实际应用的问题，需要你有足够好的这样的数学建模的能力。嗯，属于中等难度。然后呢，第七题，第八题，先看第七题， 第七题是一道双曲线跟圆综合的题目，计算量在小题里头算是比较大的，所以他的难度也是中等偏上。那第八题属于单选的最后一道小压轴， 他的难度可以说就比较大了，他属于分段函数跟零点问题的综合，他需要分类讨论还有属性结合才能够把这道题做出来，难度属于比较高的。 这个是单选择题，那么接下来就是多选择题，多选择题的话，第九题第一问啊，就就第九题，它属于一个，怎么怎么说呢？它的属于一个基础题，没有什么太多可以说的。 第十题的话就涉及的东西比较多了，函数的性质不等式，涉及到了复合函数啊，还有极值啊等等等等，它属于一个中等偏上难度的题目， 然后例题几何，十一题啊，十一题的话就属于，呃，也是难度较大的题目了，例题几何综合的，它是一个正四棱锥 还有正方体关系的这样一个题目，你需要充分发挥你的空间想象能力，然后对计算的要求也是比较高的。然后关于小题的话，呃，我说说参考答案也不一定对，我自己做了做，嗯，单选的话， 反正我做的答案是 b、 c， d， b， 然后 a， a， d， b， 然后多选题的话，我这几个题分别是多少呢？嗯，第九个是 ab， 第十题是 a、 c、 d， 第十一题，是啊，也是 a， c， d 啊，两个都是 a， c， d， 这是我做的小题， 然后填空题，填空题的话也是，咱们来看看这个填空题啊，填空题咱们先对下答案吧。十二题我做的是六，然后这个值呢？是二分之根号二大题我还没做啊，然后这个是负三，这是我的这样一个答案吧。然后咱们来分析分析这些考点。 那么十二题的话，是一个很典型的二线是定律，他的系数比的问题，算是一个基础题，你只要明白二线是定律就可以做。然后十三题的话，难度一般吧，难度中等吧，是抛物线、焦点弦的性质的问题。然后关于这个十四题的话， 就涉及到三角函数的条件垂直了。十四题算是一道难题啊，他是需要分类讨论的，最终化简起来也比较有难度。这个是小题的分析， 那么大题的话，虽然我没有去做，但是往宏观上看了看啊，十五题的话，大概看了看，是解三角形的技术题，嗯，就不再多说了。 这个十六题的话，是概率跟这样一个随机游走的问题，然后第一问呢，是基础期望的计算啊，计算这个数学期望，然后第二问的话，就是路径技术啊，古典概型的这样一个问题了，中等难度吧。 十七题的话，肯定每年都会考立体几何，对不对？立体几何的大题嘛，然后他主要考的是斜三棱柱面面垂直二面角，然后计算量说真的还是挺大的。那么接下来这个十八题，十九题就真的很有难度了，咱们来看这个十八题啊， 十八题的话，它属于椭圆的综合大题，涉及到了这个四点共圆啊，还有这个面积比啊，计算是复杂的，然后思维要求很高，它就是压轴题的难度。 然后接下来看最后一道题，最后一道题的话，它就属于怎么说呢？有点这样一个新定义的这样一个意思在里头了，然后它的话是把这个高斯函数跟数列综合放到一块，题目是 挺新颖的啊。然后呢，你如果没有足够强的数学思维能力的话，我感觉这个十九题想拿满分几乎是不可能的啊，难度应该是这套试卷最高的吧，放到最后一题也是挺合适的。所以最后咱们宏观上整体上来说一说这套试卷，这套试卷的话，嗯，它的综合性很强， 对思维对计算的要求挺高的。然后知识面覆盖很广，不管是集合复述函数、数列概率、立体几何、三角函数、统计解析几何等等都考察到了。 另外我认为他出的好的一方面呢，并不是说他难度高，他出的就好，而是他有区分度，就基础题，中档题还有难题，他的占比，他的分布是合理的，适合检测，就是同学们不同的这样一个，呃，学习水平吧。 然后对于技术薄弱的同学的话，我认为呢，你重点应该把前四题，对吧？重点把前四题啊，还有十二题，十五题等等，你必须得都拿下来，然后水平中等。同学除了这些之外呢，比如说第五题啊，第六题，十六、十七也都应该拿下来。 至于就是平时非常优秀，一百二、一百三以上的同学呢，那你主要就是挑战第八，第十一我写一下吧，八十一， 十四，十八，还有十九的难度了，十九的话不说最后一问吧，至少你把前两问拿拿下来呗，对吧？好，这个呢，就是我对这套试卷的分析，咱们呢，下个视频带来这套试卷的主题讲解啊。

紧急通知家人们，紧急通知，尽快找一个安静的，没有人地方关好门。因为啊，我接下来讲的这些内容呀，特别特别的重要，大家看一下啊，我手里面拿的这一套卷子， 他是二零二五年 t 八联考的数学试卷，这套数学试卷呢，他直接透露出特别特特别多的讯息，直接关系到咱们二六年高考数学的一个大的方向。 我跟你说啊，接下来我说的些内容，很少有老师能讲的如此透彻，目前呀，有百分之九十的人对此一无所知， 无论家庭条件如何，一定要认真看完这条视频，你现在呢，就拿笔把它记下来，如果说你现在没有时间去记， 那么就把这条视频先收藏好了，或者是转发给孩子，等有时间的时候呀，一定要多看几遍。那么这一次 t 八联考的数学试卷，我已经仔仔细细的看过了， 整体来说，这是一套非常有质量，很有代表性的模拟卷，完全符合新高考的命题方向和难度要求。 试卷刚发下来呀，可能有同学做的顺手，有的同学觉得吃力，这都很正常，关键是我们要从这套试卷当中看出门道， 找到接下来我们复习备考的一个重要的指南，无论你是高一、高二还是高三，都需要看一看。我总结了以下几点，大家呢，都要听进去啊，落实到行动上，第一点呢，就是基础不牢，地动山摇。 你去看看咱们这个选择题的前五道题，填空题以及解答题的前两问，考的都是最核心的概念、公式和基本方法， 比如说集合的用算，还有咱们接三角形竖列的基本关系，向量的性质表示。这些呀，都是送分题，但是呢，他也是送命题，你粗心，公式记混啊，分就没了， 咱们一轮复习呢，一定要扎扎实实的，基础呢，该记的记，该背的背，该练的练，确保这一类题啊不丢分。第二个的话就是咱们现在考题啊，是越来越灵活了，你看咱们第六题啊，第六题他考什么呢？ 一个古代的发明，用三角函数来建模，这说明什么？说明高考题喜欢把数学知识和现实生活、传统文化结合起来考， 不是让你死，算是让你读懂题，建立模型，再用数学的工具去解题。以后呢，这道应用题不要怕，抓住关键信息，把它转换成你学过的方程、函数和图形。第三个集合和代数 再也不分家了。这份卷子里面啊，结合大体，你看啊，第十八道题，把椭圆、直线、三角形面积、四点共圆融合在一起， 你不单单要会算，你还得弄清楚结合关系，什么时候用，什么性质。 哎，椭圆怎么处理？这要求我们呀，不光要手熟，更要脑清。平时呢，你要多做综合题，把解析几何和平面几何的知识网络打通。第四个就是函数和导数，永远的压轴 啊，他是大哥呀，你看他们第八题，他是函数的零点问题。第十题，他是函数的性质判断，还有最后的高斯函数题，都指向同一个核心函数的性质，单调性、街舞性、周期性、极致零点，这些都是高斯函数的灵魂。 导数不仅要求单调性的工具，更是分析函数变化趋势的一个显微镜。这块内容呀，必须要深挖，多总结题型，多画图分析。第五呢就是新题型，要适应，要拿下来。你可以看一下咱们多学啊， 他是一些开放的探求题，比如说是否存在啊，在这份卷子当中啊，全都有。 这些题的特点呀，就是答案可能不唯一，思维要发散，数学要严谨，平时练习的时候，不要只满足于选出答案，更要问问自己为什么对，为什么错，有没有其他情况，把思维过程写清楚了，才能在考场上从容应对。 第六步呢就是计算能力，我说过很多很多遍啊，咱们结合题的数列的，三角函数的哪一步不需要精准的精确的计算？ 你看啊，这次有很多同学呢，就因为算错一个数，导致整道题崩盘。 所以说从今天起呢，你要限时训练，草稿清晰，步步检验，计算能力是能练出来的，没有捷径。 最后呢，郭老师呢，想给大家一点具体的实际性的经验建议。第一呢就是用好错题本，这次考试的所有错题，不管是粗心还是不会，全部整理进 错题本旁边的用红笔写上错音，分析正确思路，同类型题型每周复习一次。第二个呢就是专题突破， 找出你最怕的板块，比如说啊，你圆锥曲线，函数压轴，概率统计，综合啊这些不会，你就集中一段时间，每天做个一到两道经典题，总结套路，直到把它变成你的优势。 第三个呢就是模拟考场的状态，以后每周自己卡着时间做一套完整的试卷，现实训练，你看一下自己的时间分配，选择题，填空，填空题，大概你可以分配多久大题呢？你要用多长时间学会取舍？ 哎，然后呢，实在有不会的呢，咱们确保前面的要全对。第四个呢，就是重视中档题。高考真正拉开差距的往往不是最难的题，而是那些看起来不难，但综合性很强的很基础的题。 他特别容易丢分，哎，容易丢那个步骤分，务必要做到规范公正。同学们 考试，尤其是知识的比拼，更是毅力、心态和策略的较量。 这份提拔卷就是一面镜子，镜子他造出了我们现在的水平，也指明了前进的方向。不要因为分数高低而过度喜悦或者是过度焦虑，更重要的是发现问题，然后去解决他。 距离高考呢，还有一段时间，一切都来得及，咱们从今天开始呀，咱们紧跟老师的节奏，制定自己的计划，一步一个脚印， 明年六月份，我希望我们所有的孩子呢，都能够自信的走进考场，从容的写下答案，记住了，你的每一份努力，都在为你想要的未来铺路，加油！

先说一下 t 八联考是怎么回事啊？ t 八联考是由湖南、湖北、辽宁、福建、广东、江苏、河北、重庆八省市的重点学校联合命题的统一考试，上百所中学高三学生共同参加，按照最新的高考考试范围去命制。试题的原创程度很高，具有很高的参考价值。 这里面中学啊，包括了华中师范大学附属中学、福州第一中学、广东实验中学、湖南师范大学附属中学、南京师范大学附属中学、石家庄二中、西南大学附属中学等等各种名校啊。 这个作文题目的意图在于考察学生是否具备从自然现象中提炼人生哲理的能力。材料中说，植物生长中普遍存在的顶端优势的现象，当主茎芽占据生长主导地位时，会通过分泌生长素等方式抑制侧芽萌发与生长。保留顶芽，维持顶端优势， 可促使主干挺拔茁壮。合理剪芽剪顶，解除侧芽抑制，会让植株形态更茂盛。 首先啊，我们同学看一段文字或者阅读一段材料，我们要先明确一个基本的前提共识。这个材料的前提共识应该是，我们要知道树木的主干肯定是最重要的， 没有主干肯定就没有枝繁叶茂，所以我们必须要保证主干的挺拔。但材料告诉我们，不但主干要挺拔，还要解除侧芽的抑制，这样植物才会更加茂盛。这里有一个很重要的词是更， 就是之前他也是茂盛的，我们为了更茂盛才去解除侧芽的抑制。想到这里啊，我们是不是就能提炼出相应的人生哲理的呢？ 保留顶芽，让主干挺拔茁壮，就是强调专注主干发展，剪除顶芽，解除抑制侧芽萌发，植珠啊，更茂盛。就是强调多元， 全面发展，然后能够辨正看待青年成长中的专注与多元、主次与平衡的关系。所以，利益啊，应围绕青年如何在成长中把握主次、协调发展展开， 既不能一味强调专精，也不能盲目追求全面，需体现思辨性与现实关怀。如果只写要专注，或者只写要多元，忽略材料中两种做法各有价值的并列结构， 或者说脱离青年打团职务啊，或者说企业管理。为紧扣当今青年成长，或者误读简顶，将简顶理解为放弃理想或随波逐流，都属于偏题甚至跑题的利益。我归纳了五个利益，供大家参考，大家可以自己把握一下，如果有需要范文的，也可以在评论区留言。

二六年事业单位联考确实出了新大纲，但是第一类的变化并不大，咱们先看第一科职业能力测验，新大纲里面提到的要考常识判断、言语理解与表达、数量分析、判断推理、策略选择五个部分，直测部分一点都没变。 第二科综合应用能力，新大纲里面提到的题型包括辨析题、案例题、活动设计等，题型和去年相对比来说，表述是没有变的。但是我们大家不要完全相信大纲里面的题型的范围， 因为最近两年的考试呢，发言稿考的挺多的，还考过一千字的教育大作文。至于会考哪些题型，新题型的解答的技巧，老师已经给大家更新添加到我们二六版的网课里面了，作文、发言稿都有。 然后我们再看一下新大纲里面提到的中硬的考试模块，包括师资教育、教学核心能力、教师自主发展能力三大模块， 三大模块也是没有变化的，你看题型和模块没有变化，就意味着我们综合应用不会产生特别大的变化，我们的基本盘，我们的框架是非常清晰，也是不会产生大的变化的。 那么他的大纲里面有一些细节上的描述呢？我们需要去注意一下。这个大纲里面今年出现了一些新的没有提到过的一些词汇，比如要求考生了解国家的教育方针政策， 要求考生要有一定的政治素养，要注重师德的建行，尤其是提到了关爱学生和爱岗敬业两个师德， 提到了考生要提升专业素养、人文与科学技术素养，要求考生能够进行职业生涯规划 这些细节上的变化呢，我们大家还是不能轻视的，因为他有可能是我们二六年备考的重点，也可能是直接的考题， 根据这些细节怎么考，我会接下来进行研发，作为考前冲刺和预测的性质呢。放在我们课程的第三个阶段，三月初我再根据这些考试的热点，把这些东西放到我们的课程系统里面，最后进行临门一脚再提分。 我们来概括一下啊，现在离考试还有九十天的时间了，中间还要过年，所有的同学必须要行动起来了。 咱们二六版的中硬的网课呢，是全程班，包括理论的精讲，答题的技巧，模拟卷八套，真题卷十四套，更重要的是包括明年三月份的考前冲刺 和密押金卷的讲解，它是一个非常完整的一个系统的，一个闭环的学习，这个网课呢性价比是非常高的。

刚刚结束的高三七八联考的数列第五题，同学们猛的用你们敏锐的眼神看完这个题，同学们感觉难不难？难，确实他也有一定的难度， 但是同学们，毕竟他作为小题，大家如果对这个题感觉你从学到回推到过程中，即使不好推到，但是这个题不影响我们最终结果的正确性， 因为这里面朋友看到了三个字，非常的美丽迷人，叫恒成立是吧？但凡听到恒成立，咱们脑子里边作何感想， 是不是就是最值思想了，对吧？你要说那么的小于等于 s n 横强力，那我们其实本质意思就是求这个 s n 的 最什么值啊？最小值，哎，非常好最小值吧，那因此不要回头一看， a 等于负五，做了这么一串， 但是这个不重要，那么一定你会想到这个数点应该刚开始是负的，接下来一会就会出现正的，是不是这个感觉，对吧？因此同学们，别的你不用考虑了，你也不用推倒了， a 等于负，你接下来令 n 等于二，你立马非常完整就能算出 a 二等于负一。刚刚不是咱们已经算啦， a 二等于负一，再同样道理，再算一下这个 a 三 a 三，一会算出来三啊，对不对？你看这个数结果已经出现在大家面前了吧， 因为 s 幺最小了，前两项都是负数，再加一个正数就更大了吧，所以最小其实就是负五，加一个负一，负六，对不对？轻松就搞定了， 听懂了没有？因此我那么在做铁锅之后，一定要寻找这种好的感受，好的感觉，在考场上面，我们同学们才能所向披靡啊！

湖北省美术联考的孩子们，明天即将出分，联考完的高三美术生家长还没来得及喘一口气，这恐怕又要集体失眠了。 教育局呢，刚刚放出了一组重磅的一个信号，我们二零二六年的一个高考，真的是要变天了！这不是危言耸听，这是真真切切影响到了孩子们未来升学的一个关键转折。如果说您家有二零二六年高考的美术生，这条视频必须看完，点赞、收藏， 评论区打出一句高考必胜，为孩子攒一波好运。老师呢，用近三天的时间帮大家梳理了一个核心的一些标准。首先，最真实的政策动向调调，关乎到孩子能不能考上好大学。 名校扩招的机会真的来了，清华、北大、上交、复旦这些双一流的高校，今年呢，他也明确扩大了本科招生的规模，官方呢，也确认了全国优质本科名额新增大概两万多个， 可能美术生的一个专业也会增加。这意味着什么呢？意味着你家的孩子冲击名校的路可能比往年更宽一些。第二个就是二六年新大学首次招生，其中呢，桂林师范学院、德宏师范学院以及联谊上师范学院、北京科技职业大学等 新型的本科院校，他开始招收本科。然后，艺术生没有往年分数线的参考，是一种条件，是一种挑战，但也是捡漏的机会。越早关注呢，认真研究，你才有可能做到。我们说的弯道超车，就是我们说的一本，二本， 二本呢，彻底的退出了历史舞台。现在全国大多数一些省份的高考录取也只为提前批、本科批，还有专科批三大类填报志愿再也不会被什么一本二本给诓死了， 填报志愿呢，它更加灵活，策略也更加重要。第四个新高考它是全面铺开了，今年又多了八个省份加入了新高考。全国目前呢，已经有三加一加二的一个模式， 除了语数音物理组、历史组，其他选择课程呢，成绩都是按照等级赋分制的，看排名不看原始分。家长们一定要把你们当地的一个赋分规则搞清楚，别傻傻的还不知道， 毕竟美术生靠赋分拿分要比三大主科更容易一些。最后呢，就是我们的数学要回调了，这次的命题呢，就是他们更注重的是高考数学基本功扎实程度， 偏题怪题将会大幅度的去减少，这对于美术生来说是个好消息。所以说我们的家长们，高考改革是给我们美术生一个更多的机会，别焦虑，别躺平，扎实去走好每一步。

刚刚联考完的高三美术生家长，还没来得及喘口气，这恐怕又要集体失眠了。教育局啊，刚刚放出了一组重磅的信号，二零二六年的高考真的是要大变天了！这不是危言耸听啊，这是真真切切影响到咱们孩子未来升学的关键转折。 如果您家里有二零二六年高考的美术生，这条视频必须看完！点赞、收藏，评论区打上一句，高考必胜，为孩子攒一波好运！我用近三天的时间帮大家梳理了七条最核心、最真实的政策动向，条条关系到孩子能不能考上好的大学。 第一，名校扩招机会真的来了！清华、北大、上交、复旦这些双一流高校今年明确确定扩大本科招生规模，官方也已经确定了全国优质本科名额，新增大概两万多个。可能美术专业的招生也会增加，这意味着什么？ 意味着你家的孩子冲击名校的路可能会比往年更宽一些。第二，二十六所新大学首次招生，其中桂林师范学院、德宏师范学院、连云港师范学院、 北京科技职业大学等等新型本科院校开始招生本科艺术生。没有往年分数线的参考，是一种挑战，但也是捡漏的机会。越早关注，认真研究，你才有可能去做到我们说的弯道超车。第三，就是我们说的一本、二本、三本， 彻底的退出历史舞台。现在全国绝大多数省份高考录取只分为提前批、本科批还有专科批三大类，填报志愿再也不会被什么一本、二本给框死了，填报志愿更加灵活，策略也更加重要。第四， 新高考全面铺开了！今年又多了八个省份加入了新高考，全国目前已经有三十一个省市加入了新高考。全国目前已经有三十一个省市加入了新高考。全国目前都是按照等级赋分的， 看排名不看原始分。家长们一定要把你们当地的负分规则搞清楚，别啥啥都不知道，毕竟美术生靠副科拿分，要比三大主科更容易一些。 第五，数学难度要回调了。这次的命题组，他们更注重的是高考数学的基本功扎实，思维清晰，偏题怪题将会大幅减少。这对美术生来说是个好消息，毕竟美术生多数数学成绩是比较差的。难度回调，孩子的复习重点就明了了， 题容易了，这就可能在基础题和中等题上能拿到更多的分数。第六，语文方面，七大作文主题方向明确。语文可以说是大多数美术生主要拿分的科目，其中作文六十分呢， 一定是拉开差距的关键。虽然不能说压题，但是结合近几年命题的趋势和时代的热点，这几类主题值得大家重点准备。国家情怀、责任担当，比如南京照相馆背后的精神 青春、奋斗、理想信念，像挑扁担上大学的女孩。还有科技创新、 ai 浪潮，国产机器人、智能体育，还有什么传统文化，文化自信，像哪吒呀，非遗啊，中式美学等等。还有社会观察人文，关怀普通人的故事，平凡中的伟大。 这一点要记住，提前积累素材，训练思维能力，谁准备的早，思考的深，考场就写的比较快，更容易拿到高分。第七，填报志愿有了官方神器，这一点非常重要！ 教育局阳光高考平台已经上线全新服务，什么专业介绍啊，院校库啊，历年数据，所有的信息一站式搞定。这个官网解决了所有的填报志愿信息差，家长一定要多多关注 家长们啊！高考改革，它不是什么洪水猛兽，而是给所有的人一个更多的机会。二零二六年高考的美术生正处在一个新旧交替的关口，挑战又何尝不是孩子的机遇呢？ 别焦虑，别躺平，从今天开始，帮孩子看清方向，扎实走好每一步。你今天的关注和行动，就是孩子明年金榜题名的底气。愿所有二零二六年高考的美术生稳扎稳打，金榜题名！

刚答完这份顶尖计划圈的你，是不是对着农业资源匹配、城市人口圈层？这些题既学有框架，又怕漏区域关联。这份卷把农业、城市地貌、气候串成得分逻辑链，咱们顺着它清楚。一、选择题，稳基础农业系统题第一 题，结合谷地带农业人数少的原因第二题，变农业收入较低的主意第三题，选提高农户收入的合理措施。城市人口题第四题，盼人口增长最快的圈层第五题， 吸成都人口增长特征的影响因素第六题，便城市人口增长体现的格局。工业机器人体第七题，吸机器人市场增长快的主因第八题，便机器人应用对工业的影响。地质地貌题第九题，判假地的地貌类型第十题，吸地貌的内力作用。潮滩演变题第十一题， 盼潮滩界的变化方向第十二题，变潮滩活动的特征第十三题，其潮滩变化的人为原因。大气环流题第十四题，判图示季节第十五题，其净向风速小的原因第十六题，变气流运动对自然环境的影响二、非选择题，拼凑合第十七题，永兴岛 题，一、意所安为的空间分布特点二、其直被生态系统脆弱的自然原因三、树可持续开发的措施第十八题，第三空间题，一意其共享办公空间吸引企业的原因 二、说交通网络布局的好处三、树第三空间对城市创新区的作用第十九题，冰川退缩题一、吸冰川退缩对河流水纹的影响二、树冰川对地貌、气候、生态的影响三、退针叶林带位置的变化及原因四、设计并银行里面的保护措施，基础弱的同学先把农业区位、 城市圈层记牢，从高分的重点练区域题的要素关联生态题的脆弱性分析思路。其实高三地理没那么难，先把基础题抓去，为要素综合题抓区域逻辑的节奏摸清，再练表述的专业性，分数自然稳。

很多人在问，提八年考是一个什么水平的考试？应该是一个高水平、高难度、高参考价值的一个跨省的一个考试，是目前来说高考的一个风险标。几次高考的改革其实都是从提八年考的试卷开始的，包括前两年就是说做一个试题的一个改革，也是从这一块开始的，整体的一个难度 往往是大于很多，就是平时的模拟考的。刚才看了一下这个卷子，应该说不比上一次学校的卷子简单，这次考试会不会打击学生的一个信心？其实这个考试主要是考给就是各个省市比较优秀的这一些高中的，那么对于这些高中的学生来说，其实这个考试的一个难度 还是比较大，肯定是大于高考的，但是对他们来说是可以做的，尤其是跟数学跟物理这两个科目难度尤其的大，他会根据这一次考试，或者是咱们的三月份还有一次提拔的第二次联考，那么根据这两次考试，各个省会了解到就是大家的一个学习水平，学习情况作为我们将来高考命题的一个风向标，这个考试虽然难度很大，但是我们还是积极的去参与， 我认为分数倒没那么重要，我们见到了很多新的东西，新的题型，那么在这一块的话，就是说我们老师的研究价值可能更高一些，好吧。

这个试卷的质量那出的真叫一个字，高，哎，我们高三的哈，每年大大小小的联考特别的多，那么有什么联考我是值得大家都可以去试一下的呢？那就是八省联考，也就是 t 八的联考，哪八个省份呢？ 福建、广东、江苏、湖南，湖北，河北，重庆，辽宁，哪些一个学校呢？都是顶尖的学校，比如说福建的福州一中， 湖南的湖南师大附中，湖北的华师一，江苏的南京师大附中，广东的广东实验中学，河北的石家庄二中，辽宁的东北育才中学，重庆的西南大学附中。你说就这些学校联合起来考的， 每年都是一些方向标，非常值得大家去考一下。那如果没有参加这次联考的其他的学校，高三的或者是高二的， 哎，你们如果说想要体验一下这次联考的整个试卷跟答案，龙哥呢，都整理完了啊，全部会分享到我们的交流群里面，如果说大家还没进群的，想要这个试卷给孩子去体验的，那么记得点头像私信龙哥，跟上龙哥的节奏。