哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章依次函数的第四课，依次函数的应用啊，今天是第二个课时，首先来看一下知识点清单，总共两个。 好，第一个是一个依次函数图像的应用，我学了依次函数之后啊，我们看看能不能用它来解决一些实际的问题。 好，直接来看一道例题啊，小明放学以后步行回家，他离家的路程 s 与步行时间 t 的函数图像如图所示，这呢是一个 s 关于 t 的这样的一个函数图像。好，第一个问题，小明的家与学校之间的距离是多少米？首先我们还是来看一下这个图像啊，这图像很明显，他是一条，应该是一条 实线，对吧？那是因为呢，这个结合了实际的问题，所以呢，这个 s 和 t 啊，都是不可能取复制的，对吧？所以呢，展示出来的应该是一条线段，就说这个 t 啊，他是有一定区别范围。好，那么我们小明的家离学校的距离是多少距离，应该怎么找？我观察一下这个 图像啊，与这个重轴，对吧？他的焦点这里呢，重轴标应该是一千六百啊，那说明什么意思呢？是不是说当这个 t 等于零的时候，对吧？因为在这个 y 轴吗？对吧？哎，在这个 y 轴上的所有的点呢，他的横对标都等于零嘛，所以这个点对的， t 是等于零的。 哎，就七点零的时候，这个距离呢，是一千六百米，那是不是这个一千六就指的就是家与学校之间的距离，对吧？因为他还没走嘛，他从学校还没走的时候，与家距离是一千 六百米，所以呢，第一个问题答案就是一千六百。好。第二问题，小明步行回家的平均速度是多少？你每分钟这个速度应该怎么求？我们知道这个求速度的这个公式，对吧？我们解决行程问题的时候，路程呢，应该是等于这个啊，速度乘以时间， 对吧？还有这样的一个公式，所以呢，我求速度，我是不是得用路程除以时间，应该这样来求，对吧？那路程属于时间，应该怎么来求呢？我观察这个啊，这个图像，他呢是从当 t 等于零的时候，这个 s 是等于一千六百， 随着 t 的增增大呢，这个 s 是逐渐变小，对吧？哎，最后呢，他呢，与这个横轴的交点这里呢，横坐标是二十，也就是说呢，当 t 等于二十的时候，这个 s 啊变成了零，对吧？哎，那是不是说明呢，他走了二十分钟以后就 到家了呀，哎，二十分钟的时间内，他一共走了多少米？是不是走了一千六百米，对吧？哎，所以呢，这个速度是不是可以取快？就是用这个一千六百，然后呢，除以二十就行，路程除以时间，最后结果呢，应该是等于八十。 好。第三个，当 t 等于五分钟的时候啊，小明与家的距离是多少米？这个要怎么求？ 我是不是应该算一下这个，当他走了五分钟的时候啊，他走了多多远，对吧？那五分钟走了多远呢？是不是又要用到这个行程问题这个公式了，对吧？哎，五分钟就应该用速度乘以五呗，那他的速度我已经知道是八十， 那五分钟的时候呢，他肯定已经走了，这个五乘以八十，这个等于四百，对吧？也就说呢，他一共走了四百米，那他与学与这个家，家与学校距离一共是一千六百， 对吧？他往家的方向走了四百米，所以呢，这时候他与家的距离是不是就剩下了一千六百减去四百，哎，所以呢，最后的答案应该是这个一千两百米，对吧？好，以上啊， 我们所用的这种方法啊，基本上都是属于算数的方法，哎，我没有用到真正的函数的方法，因为我们知道学习函数的实话最重要一点一点是什么？是数形结合，对吧？ 哎，我们学习函数一定是跟这个图形啊，图像啊，是分不分不开的啊，我们刚才啊，是从这个函数图像当中啊， 读出了一些信息，然后呢，用的就是我们以前小学可以从小学学的知识，对吧？用些算数的方法去把这个解决。既然我们现在已经学习函数了，我们想一下怎么样用函数的方法把它解决，哎，这才是我们要解决这个问题的关键，对吧？否则我们这道题这么简单，好像没有 太太太多的这个啊，研究的价值，对吧？不过咱俩从函数的方法应该怎么研究？很显然，这个 s 和 t 之间是一个函数关系，那应该是一个什么函数，这是一条直线的，对吧？所以呢， s 啊，他应该是 t 的一次函数， 对吧？既然 s 是 t 的依次函数，我们学过依次函数，同样表示是 y 等于 kx 加 b， 对吧？哎，那这里呢，两个边量变成了 s 和 t， 是不是我可以设他们之间的函数表达是是 s 等于 k， 然后 t 加上 b， 哎，这是一色函数的一个分类表示，对吧？然后呢，我们观察一下函数啊，这个图像经过两个点，首先一个这个点，这个点的坐标应该是横坐标应该是零，对吧？坐坐标呢，应该是一千六百， 哎，经过这样的一个点，紧接呢，又经过这样的一个点，对吧？这个点的坐标呢，应该是横坐标是二十，纵坐标是。 那么我们在上一节课的时候学这个用带定系数法求函数的表达式，对吧？我，我，我知道，如果想求一个依次函数的表达式，我是需要两个条件，那这是刚好，是不是给了我们两个， 哎，我把这两个点坐标带到这个表达式当中，我是不是可以求出这个 k 和 b 的值啊？从而我可以确定这个函数表达式，对吧？来，我们一起来试一下啊。首先把这个零和一千六百，如果带一句的话，也就是说这个 t 换成零，对吧？ s 呢？换成一千六百，那是不是就变成了 b 等于一千六了，对吧？哎，这代理啊， b 求出来了， b 的值就等于一千六百， 好，接下来呢，把这个二十零给他带进去，对吧？当 t 等于二十的时候，那这个里是不是就变成二十 k 了，对吧？二十 k 加上 b， b 位求出来了，就等于一千六百，对吧？好，那 s 应该等于什么呢？ s 这个时候应该是等于零，对吧？那么这样的一个相关 关于 k 的一个方程吗？对吧？哎，我可以把这个 k 的这个值啊，可以给他求出来，这这里几个方程求了， k 应该是等于负的八十，所以呢，这个 s 和 t 之间的关系是不是变成了 s 等于负的八十 t， 然后加上这个一千六百， 哎，我得到了一个这样的 s 与天的 t 之间的一个函数的表示，我观察下这个 k 和 b 啊，在我们实际问题当中，他是有实际意义的，对吧？首先那个 kk 是负八十，负八十，这里表示什么？我们刚求出来， 它的速度应该是八十，对吧？那是不是也就是这 k 啊，它的绝对值速八是绝对值是八十，这 k 的绝对值表示就是速度，对吧？哎，那有的说呢，你速度也不能是负的呀，对吧？这里我要告诉大家，因为我们初中阶段呢，还没有学习这个啊，速度的这个使量的这个意义，对吧？这我们在以后呢学习当中会学，其实速度啊，可以用负的来表 说，我现在没有学到，那么以我们目前学的知识，你可以就认为这个 k 的绝对值，哎，他表示的是，所以呢，这就是 k 啊，他在我们实际这个啊题，题目当中所代表的这个实际的意义， 这个 b， 这个一千六百，他的实际意义又是什么呢？很小，我们刚才求出来了，小明家与学校之间距离就是一千六，哎，所以这个 b 呀，他的实际意义就是说什么呢？在一个初始的状态，初始的话就是说他还没走的时候，对吧？哎，那么初始的状态的时候， 这个家离学校之间的距离，那也就是表示的是家与学校之间的距离外都是一个强度，所以在这道题当中， k 表示速度，这个 b 呢，就表示家与学校之间的距离。 求出这个表达式之后啊，那上面两个问题其实我们都已经解决了，对吧？那你看第三个问题呢，当 t 等于五的时候，我直接把 t 等于五给他带进去，对吧？这个时候 s 就应该等于负的八十，然后呢， 乘以五，再加上一个一千六百，对吧？哎，这里呢，解一下求出来的最后的值还是也是等于乘二百，跟我们这个算数方法得出来的值是一样的，对吧？但是呢，我们这里啊，运用到就是这个函数的方法，有些人可能会觉得这个方法还挺麻烦的，对吧？还不如我们这个算数的方法简单。 这里我要告诉大家，对，就是简单的问题来说，实际情况确实是这样的，你可能确实用我们函数方法能显得麻烦一些，对吧？但是在一些解决复杂问题的时候，你就会发现他的好处。 我们后期呢，会啊，和大家一起来学习一些函数的一些复杂的一些图像，哎，实际的这个问题，对吧？那个时候大家就会觉得函数的好处。这里我给大家举个比方，我们刚开始学方程的时候， 大家也会觉得方程没有算数简单，对吧？我举个例子啊，这里因为我们这节课内容不多嘛，比如说我说啊，一个数，他呢 比这个五啊要大，大几呢？大二，哎，问你这个数是多少，那肯定脱口而出，比五大的数是五加二呗，对吧？五加二就等于七，是不是非常简单呢？哎，那同时我们学了方程，如果方程的方法应该怎么办呢？是不是得设这个数为 x， 他比五大二，就他减去五等于二，对吧？这就解除了 x 同样是等于七的这个方法，就是第一个方法就是算数，第二方法是方程。有些人可能觉得这个调题不需要列方程，方程很麻烦，对吧？对，简单的问题确实如此，但是我如果说我换一种啊，比如说一个数， 这个数的三分之二比这个数的二分之一要大五，问你这个数是多少？那你这个时候你想一下，我用算数的方法呢？也不是说不行，那肯定是麻烦一些，但是如果我列方程是不是非常简单，我设这个数为 x， 然后我就列三分之二 x， 减去二分 分之一 x， 对吧？哎，直接就等于几个方程，是不是就可以，哎，这个时候我们方程的优势就显示出来，对吧？他在解决复杂问题的时候，他会使我们的思路呢，非常简单。 但是对于越复杂的问题，其实我们在思路这一块学好的时间越多，那么你如果用一个简单的思路就可以解决这个问题，相当于是在替你节省时间，对吧？哎，那我们函数的方法呀，其实跟方程是同样的啊，虽然说表示的形式略为复杂，但是呢，思路是非常短哎，我直接 把这个函数表示给他求出来，对吧？然后呢，利用直线，或者利用一些相应的焦点这个方法来求实际的问题。这个大家以后啊，在做题当中会仔细体会一下这两种方法不同之数。 好，这个地方也说多了啊，直接看下个例题，如图，某植物七天后啊，它的高度为 y 厘米，然后呢，这个直线 l 啊， 它反映了 y 与 t 之间的关系。让我们根据图像回答下两个教材一道题啊，好，第一个，这图像可能看的不是特别清楚啊，大家可以到教材那个个性去找一下啊。 第一个问题，三天后该植物的高度是多少？让我观察一下这个，三天以后我如果看在图像上看呢， 三天以后这个高度啊，好像看的不是特别清楚，在 t 等于三的时候，对吧？这个焦点，然后呢，他对应的这个动作标到底是多少，看的不是特别清楚，所以这道题我们采取的方法应该是， 我是不要把想办法把它表达式，这很显示一条直线吗？对吧？应该对应的这个 y 啊，与 t 之间就应该是一个一四函数，对吧？既然是一四函数，我想确定它的表达式我需要两个。 首先根据这个图像啊，我知道这里有一个点，哎，这里点坐标应该是零三，然后再看呢，有哪个点比较明确呢？哎，最后我找到了这个点，对吧？这个点是很明确的，他的 坐标是十十，哎，也就说我根据这两个条件啊，零三，然后呢，这个啊，十和十跟这两个点，我是不就可以求出这个啊， y 与 t 之间的这个函数表示呗，对吧？好，我一起来试一下。首先呢，我就设了这个 y 等于啊，这个字边呢，还是 t 嘛，对吧？ a b 加上 b， 然后呢，把零三先代进去， t 等于零的时候， y 等于三，那是不是 b 等于三呢？这就奇怪了，然后呢，再把它实时代去，时代去呢啊， 这个 y y 是十，对吧？然后呢， t 也换成十，那就是十乘以 k， 然后加上 b， b 是三吗？对吧？这节的 k 的值呢？应该是，我看一下，应该是十分之七，对吧？哎，简单写写成零点七吧。所以呢，这个 y 和 t 之间的关系是不是 应该是 y 等于零点七七，然后呢，加上三，哎，这是函数这个表达式，对吧？好，接下来我看有了函数表达式之后，我看一下啊，他说三天以后高度是多少？三天以后，那就是 t 等于三呗，把 t 等于三往里带，你看这个 y 等于多少，是不是等于零点七，然后呢， 乘以三，对吧？然后再加上一个三，哎，这里呢，就应该等于二点一加三就等于五点五点一厘米。你看，有了表达式之后啊，我再用这种带入的方法，是不是直接可以求出高度了？这个五点一，你如果看图像，你可能很难确定会进入到底是多少，对吧？所以第一题答案就有了五点一厘米。好，第二题 他说呀，预测该植入十二天以后的操作，那这十二天从图像上更是不好找，对吧？没关系啊，我有了这个，呃，有了这个表达式之后，那我就变得简单了，十二天以后，我就像 十二呗，对吧？哎，所以十二天以后，这个 y 呢，就等于零点七，然后乘以个十二，然后再加上三，这里呢，应该是啊，八点四加三就应该等于十一点四厘米，对吧？ 所以呢，十二天以后的高度是十一点四厘米。好，第三个问题，几天以后该植物的高度为十厘米， 哎，这时候告诉我们高度是十厘米，是，实际上告诉我们，是不是 y 等于十啊，对吧？ y 等于十往这个表达室里面带，是不是十等于零点七啊？ t 加上三呐，对吧？这里相当于求 t 的值了。哎，那这里求出来的 t 的值应该是等于十，也就说呢，十天以后，哎，它的高度是十厘米。 好，最后，图像对应的一四函数 y 等于 k， t 加 b， 当中 k 和 b 的实际意义分别是什么？我看这里 k 就应该是这个零点七， 对吧？我们刚才说啊， k 啊，在这个行程问题当中，他表示的是速度，那在这个问题的当中表示的是什么？是不是表示的应该就是他的生长速度，哎，也就是说单位时间内 他这个啊歪的值，对吧？高度变化的量，那也就是每天增长量，所以这就是可以实际每天的增长量。那 b 表示的什么？ b 表示的就是当这个啊 t 等于零的时候歪的值，对吧？那很远，就是还没长，哎，这个也就表示这个植物原始初始的时候，他的一个高度， 高度就是三厘米，这就是 k 和 b 的实际意义。好，看，答案啊， 在这里啊，大家可以自己核对一下，看看自己的答案对不对啊？好，接下来第二知识点，一次函数与一元一次方程的关系，他们俩之间有什么关系？这教材的一个思考题啊，一元一次方程，零点五 x 加一，等于 与依次函数 y， 这里有个 y 啊， y 等于零点五 x 加一，哎，他们之间有什么样的一个关系？他们之间我们发现什么呀？首先这是零点五 x 加一，这也是零点五 x 加一，对吧？哎，这部分好像是一样， 那首先，那其他的其他方面有又有什么一样的？我们不妨这样思考一下，你说这个方程啊，既然零点五 s 加一在这边对应的是 y， 那我这里是不是就可以就给他直接给他写成 y 等于零啊， 对吧？哎，那么这个方程的解应该是什么呢？方程的解对应的 x， 我可以求一下啊， x 应该是等于负二的，也就是当 x 等于负二的时候呢，这个零点五， x 加一等于， 对吧？那也是不是也就说当 y 等于负二的时候，这个函数这个函数对应的这个函数值 y 就是等于零的，对吧？所以呢，我就找到了这个依次函数和约， 这里应该怎么样来描述呢？我可以说，当这个意思函数它的函数这个值 y 等于零的时候，那么它所对应的那个自变量 x 的值， 哎，就是这个方程的几，哎，大家这个清楚吗？对吧？哎，咱对这个异常数，如果 y 等于零，那么求出来 x 就等于负二，那 i 等于负二，同时就是这个方程的几， 所以呢，这就是这个一元一次方程啊，和一次函数之间的关系。但是注意啊，我们这里所描述的都是从数的角度来描述，对吧？我们说函数啊，它是数形结合，所以我们刚才总结出来的这个应该是作为他们两个数这一方面之间的关系啊。我看一下，从数的方面来讲，应该是说， 当这个异色函数 y 等于零点五， x 加一，它的函数值为零的时候，那么对应的自变量的值，哎，就是这个方程零点五， x 加一等于零的， 这从负数的方面研究好，接下来我们从行的方面来讲，我们把这个 y 等于零点往外加压，把图像画一下，应该是这样的啊，画图像之后，我们分析一下，我们刚才已经说了是什么呢？当这个啊，函数的函数值为零的时候，那函数值为零对应图像当中应该是哪个点 是不应该表示的？就是这个直线与 x 轴的焦点，因为与在 x 轴上面的点，这个 y 都等于零，对吧？哎，所以这个点啊，这个点对应的函数值就是。那我看一下这个点他的横坐标是多少，横坐标是不刚好就是负二啊？哎，所以这个点坐标就是负二和零。 哎，所以呢，我们从行的角度应该怎来怎样来讲这个函数啊，它的这个图像与 x 轴的这个焦点，这个焦点的横坐标就是这个方程的几，对吧？你看，焦点横坐标刚好就是， 那么这个方程的解也是负二，对吧？哎，这个呢，就是我们从行的方面来总结了一元一次方程与一次函数之间的关系啊。仔细看一下， 函数啊， y 等于零点五， x 加一的图像与 x 轴的焦点横坐标，对吧？哎，即为这个方程的解。这就是我们总结的一次函数与 e x 方程的关系啊，从数和形两个方面来进行理解。好看一个例题啊，已知函数 y 等于 k， x 加 b， 它的图像如图所示啊， 则关于 x 的方程 k x 加 b 等于零的解是什么？这里给我们图像，我们就从行的方面来进行研究，对吧？哎，行的方面我刚才说过什么呢？这个函数的图像与 x 轴交点是不是在这里啊？ 哎，焦点的横坐标就是方程的解，就是这个方程的解，对吧？哎，那我看一下这个焦点的横坐标是多少，是不是一呀？哎，因为这个 焦点已经告诉我们，他坐标应该是一零，对吧？哎，焦点横坐标是一，所以呢，对于这个方程来说，他的解就应该是 x， 哎，所以这道题答案就应该是这个 a 选项， 这里给大家稍微拓展一下啊，如果说我问你，这个方程 a x 加 b 等于一，你说它的解在这图像里面应该来怎样来找？ 他已经告诉我们等于一了，那是不是相当于是什么呀？对应的函数就应该是 y 等于一，对吧？ y 等于一的图像应该在哪里啊？是不是过这一点的一条与 x 平行的直线，我大概换一下啊， 这样的一条直线，它与 x 勾平行的啊，手画的有点不太标准啊。哎，那也就是说这条直线与这个 y 等于 k， x 加 v 的焦点，哎，这个焦点啊，它所对应的这个横坐标 标就是这个方程键，当然这里涉及到了已经涉及到两个函数的问题，对吧，不是我们这一个主要研究的一个一个知识点啊，可以作为一个拓展字典。其实 y 等于这个 k a 加 b 等于一，也就是 y 等于一嘛， y 等于对应的就是这样的一条直线，对吧？哎，那这条直线与这个 实现了。呃，这个函数的这个焦点就是这个 k x 加 b 等于这个方程的啊，这里拓展了啊，来能理解，当然就是这个最好的啊。好， 那么那这节课主要的知识呢，就和大家一起学习到这里啊。呃，下次课呢，和大家一起来学习我们这个呃意思函数应用的第三个课时，欢迎大家收看啊，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！
粉丝2.4万获赞6.4万
相关视频
18:49
13:15查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章依次函数的第四节，依次函数的应用啊，今天是第三个课时，来看一下知识点清单，只有一个啊，两个依次函数图像的应用。 好直接看例题啊，教材上的如图， l 一反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，这个上面这个啊，这是 l 一， 然后呢， l 二啊，他反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，这里是 l 二，根据图意来填空 第一个问题，当销售量为这个两吨的时候啊，销售收入等于多少元？销售成本等于多少元，这个我们可以直接从图像当中可以读出来，对吧？哎，下面这个横轴呢，它表示的是 这个销售量，对吧？我看一下啊，如果是两吨的话，应该是在这里，对吧？哎，从这里呢，我们找往上找做垂线，对吧？哎，一个焦点在这里， 这个是什么呀？这个 l 一指的是应该是这个销售收入，对吧？那销售收入对应的应该就是两千，所以第一个，第一个空啊，答案是两千元啊，那销售成本呢，是不是得找上面这个点了，对吧？找这个焦点，成本呢，应该是三千元，在这里啊，成本是三千元，也就是你卖了两吨的时候啊， 你收入了两千元，但是你的成本却是三千元，好看。第二问题，当销售量为六吨的时候，再问你这个销售收入和销售成本格式多少，再找呗，六六在这，对吧？哎，然后呢，我们顺着这个垂线再往上找与二二的焦点在这里，对吧？这里呢，对应的这个综合标数 五千，那是不是对应的应该就是说销售六吨的时候，这个成本应该是五千，后面这个应该是五千，对吧？哎，那前面呢，是要销售收入的，我再找 l e、 a， 在上面收入应该是六千，所以这两个库啊，分别应该就是啊，六千元和这个五千元。 哎，那我发现卖到这个销售量到这个六吨的时候，他这个收入啊，也比这个成本高了，对吧？好，第三问题，当销售量等于多少的时候，收销售的收入等于成本，他俩相等呗，对吧？哎，如果相等的话，我是不得找什么呀，是不是找这个焦点呢？在这个焦点的位置的时候呢， 这个他们的这个重坐标是相等的，相同的，对吧？也就是说呢，啊，在这个点的时候，他这个啊，销售的收入和销售的成本呢，是一样的，那我就看他对应的横坐标是多少，对吧？横坐标呢，这里是 四，也就是说呀，当销售量等于四吨的时候，他的销售的收入是等于销售的成本。好，接下来第四个问题，当销售量 什么的时候啊，这个公司盈利，什么叫盈利啊？就是说他的这个收入啊，要大于成本，对吧？那大于成本，对于图像上来讲，我们应该怎么样来看？那是不是谁在上面，谁这个就大呀，对吧？ l 一呢，他表示的是收入，那所以呢，我就想知道啊，在这个啊，横坐标在什么范围内的时候呢？在 l 一处于 l 二的上方，对吧？那很显，如果是在这一块的话， l 二在上面，对吧？你看这里是 l 二，这里是 l 一，但是过了焦点以后呢， l e 就跑到上面去，哎，所以呢，从图像当中我就可以得出，当这个销售量怎么样，是不是大于四吨的时候， l e 跑到上面去， 对吧？哎，也就是说呢，销售量大于四吨的时候，他是盈利的，哎，他的收入大于成本，这时候才开始赚钱。大于四吨，那很显然，当这个销售量如果说小于四吨，怎么样？你亏准呗，对吧？他赚的钱还没有他这个支出的钱多啊，这时候就属于亏损这个状态啊。好，第五问题， l e 对应的这个函数表达式是多少？而是这个这函数表达式，他可以是个正比的函数，对吧？我只要知道这个一个条件，就可以确定表达式，那这个点 坐标是啊，横坐标四，坐标四千，对吧？哎，他四四千，我把这个条件利用这个蛋的修法，就可以求出这个 l e 的表示，哎，这个过程啊，大家自己去求啊。 然后紧接来这个 l 二啊，它所对应的这个函数表达，是呢？ l 二，我发现它应该是一个依次函数， 我需要知道两个条件，那黑人在这里，这个条件我是知道的，对吧？这个点的坐标应该是横坐标是零，哎，中坐标是两千零两千，然后呢，同时我这个这个点座位也知道就四四千，对吧？哎，有了这两个条件，我利用这个单的输入法，同样也可以求得这个 l 二的这个标志。啊。 啊，我直接给大家看下答案啊，过程大家自己可以暂停一下去计算好， l 一的表达式就是 y 等于一千 x， l 二的表达式呢，就是这个 y 等于五百 x 加两千。好，接下来教材上其实还有一个问题，就是啊，让我们来说一下啊，这两个表达式当中对应的那个 k 啊和 b 的值，他有什么样的实际的意义？我们看一下 l e， 他说 y 等于一千 x， 那这个一千他表示的是什么含义？我们很显然我们可以观察到什么呀？当我如果说啊，销售了这个四吨的时候，我收入了四千元，对吧？那是不是一 一吨的价格就是一千元，所以呢，这个一千表示的是单价，对吧？哎，销售了一吨这个呃产品的时候，哎，他销售的就可以收入一千块钱，哎，相当于是这个产品的单价。对 l 二呢，他这个表达式当中前面的 k 啊是五百，那这个五百又表示的是 观察一下到这啊，他销售了四吨产品的时候，那么他的这个成本呢？从两千增长到了四千， 对吧？那说明什么呀？我这个四吨产品是不是他的成本其实相当于是四千减两千是两千元，哎，四吨产品这个价格是两千元，那一吨产品的价格应该就是五百元， 对吧？哎，所以呢，这里这个五百呀，其实他指的就是这个一吨产品他的成本价格，哎，这个一千指的是销售价格啊，这五百五百指的就是成本价，那这个两千指的是什么？我发现两千啊， 它是这个这边 x 等于零的时候对应的那个函数值，对吧？那是不是说明什么？我还没开始销售，哎，在没有进行销售的时候，它的成本就已经是两千块钱， 对吧？哎，所以两先表示的是这个时机的意义。那这道题如果稍微改一下，他没有给我这个焦点坐标的话，假如说啊，没有给我焦点坐标，给的呢，是这两条直线上另外的两个点的坐标，那我根据这个点的坐标，我同样是不是可以求出这个 l 一和 l 二的这个表示啊，对吧？ 有了两个表达式之后，比如还是这两个表表达式，我就是想求这个焦点的坐标，应该怎么办？想求焦点坐标，我就令这两个 y 的值啊，令他相等， 那第一个 y 呢，它的值就等于一千 x， 对吧？那么后面这 l 呢，表达是呢， y 是等于五百，所以这个 x 再加两千，哎，我只要令他们两个函数是相等，然后把这个 x 的值 求一下，这个 x 的值啊求出来，就是这个焦点他所对应的，大家可以自己试一下啊，求出来 x 应该等于四，刚好就是这个焦点，对吧？哎，所以用这个方法，另这个两个函数啊，表达是 y 值相等，然后呢，解出这个，求出这个 x 的值，那就是这个两个图像啊焦点。 如果现在想学焦点动动作标的，你把这个 x 啊带到这两边都可以，哪边计算简单，你就带到哪边去。哎，求出来呢，就是这个焦点对应的动作标，这个呢，是我们在解决这个函数图像求焦点问题的时候常用的一种方法。另两个函数表达是 y 的值，相当去求那个 x 的值啊，好， 来看第二个例题啊，也是教材上的 a、 a、 b 两地相距八十公里，甲乙两人沿着同一条路，从 a、 d 到 b、 d、 l 一、 l 二分别表示甲乙两人离开 a、 d 的距离， s 与时间之间的关系。然后呢，让我们根据图像来进行订货，那我先看一下吧，啊， l e 是这个，对吧？它呢应该是假 r， 是这个啊，这个应该是我们解决这类问题啊，其实是有一定的套路的一个顺序，对吧？首先我们就看一下，要确定一下这两个图像分别表示谁，这个一定要搞清楚，还要看什么呢？ 你要看这个横轴和纵轴分别表示什么啊？这个横轴啊，我们看他表示的是什么，是表示的时间，对吧？哎，在行程问题当中啊，通常他都是表示时间，但我要看清楚他到底表示的是谁的时间。这里 好，然后继续呢，就是这个重轴，重轴表示的是什么？我们这道题当中啊，重轴表示的是这两个人怎么样离开 ad， 也就是离开那个起点的距离，对吧？有的题目呢，表示的重轴呢，表示的是距离这个终点的距离。还有的题目呢，重轴可能会表示两个人 人或两辆车之间的距离，所以这个我们要一定要哎，给他这个看清楚。接下来呢， 再再一个就找什么，找图像当中的一些关键点，什么样点是关键点呢？图像与坐标轴的焦点，哎，是关键点。然后呢两如果是两个团式图像的话，看他们焦点，哎，这里肯定也是关键点， 如果说有的图像啊，中间带有这个拐弯的，是吧？哎，折线那个拐点也是我们一定要弄清楚各个关键点他所代表的一个实际的意义， 哎，搞清楚了这些才是我们解决这样问题的一个前提和基础啊。好，看，这道题，第一个问，乙先出发多少小时后甲再出发，那你看一下下面这个乙的图像，对吧？从积大于零开始， 他的这个 s 啊，就开始不断的增大了，对吧？哎，那从而我们看减呢，他就不一样，他在零到一这个， 呃，这个时间段里啊，他的这个，呃， s 啊，这个函数值没有变，没有，函数值始终是零，那这个表示没有出发呗，他一直没走，对吧？直到这个 t 等于一的时候， 他才出发，那很显乙呢， t 等于零时候出发，甲是 t 等于一的时候出发，所以那是不是就是说乙出发了以后，以后啊，过了一小时，我们这个这个甲才出发，对吧？第一个空法答案就是一， 好。第二步，大约在已出发多少小时后，两个人相遇，哎，这时离开 a、 d 的距离是相遇，哪个点表示相遇啊？很显然，这个点表示的是相遇，比如这两个图像的焦点，因为呢，在这个焦点位置上，他们俩的函数值是相等的，对吧？ 函数值相当，也就说这两个人距离起点的距离是相当，他很显就是他俩相遇了，对吧？哎，也就是呢，这个你先，你虽然先走，但假走的比较快，会追上，哎， 这种情况也是一种相遇，对吧？所以呢，也就是已出发这个时间应该是一点五小时以后便是相遇，对吧？那这里要注意的是一个情况，如果题目当中变化说是假出发，多少小时后相遇，那怎么办？你就得用一点五减去一了，对吧？哎，假从这里才开始出发，那相遇的时候他只走了半个小时， 这里一定要看清楚题目问的是什么啊？好，继续问，这时候他们离开 ad 的距离是多少？那就看这个焦点的重坐标呗，对吧？重坐标表示的不就是这个离开这个 ad 的距离吗？对吧？重坐标一看是二十，所以呢，这时候他们离开 ad 啊，距离就是这个二十公里。好，第三问题， 求这个甲乙的速度，那速度从图像当中其实就可以求出来，对吧？乙的速度呢，我们可以可以看，可以用这个一点五小时走了二十公里，你可以呃呃，二十除以一点五，或者是用这个四十除以三也行，得到的都是乙的速度啊， 那假的速度应该怎么求呢？这里你可以这样看，从一小时走到一点五小时，他走了二十公里，那是不是半个小时走了二十公里，那一个小时应该就走四十公里，对吧？所以假的速度呢，就是四十，你的速度算出来应该是等于三分之四十，那这里呢， 如果你求假数，看后面看这个点坐标其实也可以啊，这个点呢，相当于是什么呢？分为一小时走到三小时，这这一段其实走了两个小时，对吧？ 那他路上呢，走了八十公里，从八十除以二，同样是等于四十，这两种方法都可以求出这个他们各自的一个速度。当然，是不是还有其他的方法呀，我也可以通过函数图像的方法，对吧？哎，我求出一，这个 l 二，他呢是函数表达式， 对吧？我可以求出来。哎，有了表达式之后，我看一下那 k 是多少，形容为 dk， 不就表示速度吗？对吧？哎，那甲也是一样啊，我也求出，可以求出 le 他的表达式，对吧？因为这里这个点坐标是一零，这个点坐标呢，是这个一点五和二十，根据这两个 点坐标，或者你利用这个点也行，反正利用其中两个点坐标就可以了，把这 l e 他的表达是什么，那么那个 k 的值呢？对了，就是这两种方法，大家可以都这个啊，自己尝试一下啊。啊，这道题关键啊，就是我们一定要搞清楚解决这个问题啊，这个先后顺序，先，干嘛不干嘛，对吧？这样 我们今天啊，说实话，举的这两个例子难度都不大啊，在这个一生函数图像应用题当中啊，可以有一些比较复杂的一些图像，但是呢思路啊，其实跟我们这个都一样哎，就是按照我们刚才分析的那个顺序，先搞清楚什么，再搞清楚什么，一步一步的去对这个题目。 今天因为是这个同步课程，我们不讲这个啊，过于困难的一些题目，我们可以在后面的一些专门和大家一起进习题练习的时候来和大家一起。好，我们总结一下这三个课时学习内容啊，学习呢就是依次函数的应用，哎，主要内容呢， 一个是确定这个啊，意思函数的表达式，对吧？我们使用的就是这个带领系数法哎，先把他的表达式设成 y 等于 k， x 加 b， 对吧？然后呢把相应的点坐标往里带去，求出 k 和 b 的值，来确定这个函数的表达式。 接下来呢就是学习了用这个一次函数啊，来解决实际的问题，对吧？哎，方法呢，就是要获取图像当中的关键信息，哎，哪些信息属于关键信息呢？刚才你说过了对吧？有这个啊，坐标轴对吧？还有图像当中的一些关键点，然后呢就是利用这些关键的信息啊，去解决一些实际的问题。 好，那这节课内容呢，就和大家一起学到这里啊，那么下节课呢，和大家一起来进行一个习题的练习，欢迎大家收看，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
222明老师课堂
25:45查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四张依次函数的第三节依次函数的图像啊，今天是第一个课时，这个函数的图像和性质啊，在我们学习函数当中是一个重点啊，同时也是一个难点，这部分知识啊，非常的重要啊，大家一定要引起重视。 好，我看一下知识点清单啊，不多，只有两个知识点。好，第一个函数的图像，我们先来看一下什么叫做函数的图像啊，把一个函数自便量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标， 在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。哎，我们知道一个函数啊，你给定一个自便量的值，都有唯一的一个函数值与他对应，对吧？哎，那我就把自便量的值做行坐标，哎，对应的这个函数值 就做动作表，光看概念可能有点抽象啊，我们把这个摩天轮啊，这个图像拿出来，哎，这个呢，就是一个摩天轮的啊，旋转时候啊，他的那个啊， 高度随着这个时间变化的这样的一个图像，对吧？那我们当时也知道什么呢，你给定任意一个时间点，我都有对应的这个高度跟他相对应，对吧。哎，所以我们说这个摩天轮的高度啊，他是时间梯的函数，高度 h 是时间梯的函数， 那你说这个还是图像，他是应该怎么样来把它画出来的呢？是吧？哎，今天咱们就以他为例啊，咱们一起来研究一下啊，我先建立一个这个新的比较，说标细，因为这个 t 和 h 啊，都是不可能是负的，所以我只把这个这么画出来就可以了，对吧？ 根据概念是什么呢？自便量的每一个值与对应的函数值，我得找到这个对应关系啊，比如说我找一个 t 等于零的时候，我可以看一下 h 的值是多少，这就是 一组对应值，对吧？或者提点一的时候，看一下 h 的值是多少，这也是一组对应值，为了表示清楚这种对应关系呢，我们可以用一个列表的方式来把它展现出来，哎，上面这行表示就是时间，哎，时间替， 那我这边呢，取了三个点，分别是七等于零，七等于一和七等二的时候，但实际上我们后面还应该取更多的点，那空间有限，实在是取不下了，对吧？啊，我就以这三个值为例。啊，那对应的 h 的值怎么办呢？这里啊，在实际的时候，我们只有靠测量的方式，对吧？哎，这刚开始 还没开始转的时候，我量一下最底下这个座位，对吧？距离地面的高度是多少，哎，比如说我量出来呢，这个高度是三米了，那应该是根据概念，就把这个什么呀，把这个自变量替，对吧？哎，把他的值呢，就作为横坐标，把对应的函数值，也就是这个 h 等于三，作为重坐标，我就得到了一个对应点，哎，这个点的坐标很显然就应该 是零三，哎，应该这样的一个点，有了点的坐标，我是不是可以秒点了，对吧？零三应该在哪个位置？很显应该在歪轴上，大概在这个位置，对吧？哎，我把这个点给他描出来，好，这我就得到了一个点，好，继续看。七等于一的时候，我可以再去量一下，哎，这个时候呢，他 跑到离地面多高的距离去了，对吧？可以，这个是可以测量出来的呀，对吧？我测量出来，比如说这时候的高度呢，变成十二米了，那把它作为横坐标，把它作为重坐标，我又得到了一个点，对吧？这个点的坐标就应该是一和十二一十二，我再在这个坐标系当中给他描出来，啊，那应该就是，哎，大概在这个位置，对吧？ 然后继续当七等于二的时候，哎，我可以再量一下，比如这个时候呢，高度跑到三十七米去了，对吧？那对应点的坐标就应该是二三十七，对吧？哎，然后呢，我再把这个二三十七在这个啊坐标器当中拿出来，哎，以此 a 推啊，这三四五六我就不一个一个的去写了，总而言之呢啊，每当提取一个值都有唯一的一个 h 值跟他对应，我都可以得到一个明确的一个点的坐标，对吧？好，我把剩下点的坐标分别都给他描出来， 哎，好，把这些点子这边都描述了，以后剩下的我干嘛？我是不是开始画图像了呀，对吧？哎，我就需要把这些点呢给他连起来，但是连的时候要注意一点是什么呢？不要这样直直的连过去，中间好像都 拐拐角呢。这样的啊，我们描连线的时候必须要一个平滑的一种曲线把它连接上，哎，一定要平滑，那有人就说，你这两个点之间，我怎么知道我应该是直的连我还是往上面弯还是往 下面弯呢，对吧？哎，所以说啊，我们如果说需要更精确的作图，我们需要在零和一之间多取几个值，比如说你取零点一分钟，零点二分钟，你分别测量那个 h 的值，对吧？哎，这样你就可以在这两个点中间 标出来很多其他的点，这样我就可以知道你这个曲线到底从哪边拐了，对吧？哎，这是精确作图的时候，就需要我们多取一些值来做这个秒点的一个依据啊。好，我把这些点给他连起来，哎，这样我就得到了这个啊，摩天轮的高度， 这个与这个时间替啊这个函数关系，他的这样的一个图像，这个呢就叫做函数图像。那么回一下，我们刚才画图这个过程，我们经历了哪些的过程，对吧？哎，首先第一步呢怎么样？我呢通过这个啊，色变量和这函数值的关系，我找到点的坐标，然后呢 把点的坐标给他描出来，对吧？哎，最后呢再把点给他连起来，我们把这种啊画函数图像的方法呢，就叫做描点法，哎，就是描点法来画函数的图像，那在我们学习过程当中啊，所研究这函数图像都是通过这个描点法来 画出来。好，我们一起归纳一下，用瞄点法来画函数图像，他的一个步骤应该是什么？哎，首先看一下第一步干嘛呀？第一步是列表，对吧？列表呢主要是为了找到自卑量和函数组织的一个对应的关系，这两 注意的是什么呢？咱们自备量取出来要有一些代表性，比如刚才那摩天轮，对吧？你最好呢把他的最低点和最高点所对应的那个自备量的是都给他取到，对吧？有一定的代表性，并且呢要注意，最好是按照从小到大的顺序来进行选取， 这是列表，列完表之后呢，我就得到了点的坐标了，对吧？有点坐标之后，第二步我就可以描点了，哎，这里如果你描出的点越多，我们画出的图像就会越准确。 好，第三步呢，就是连线啊，把那描述的点呢，按照这个横作标，由小到大的顺序，哎，有有左向右呗，对吧？哎，咱把这个描述的点用平滑的曲线给他连接 起来，哎，不要那样拐直角那样连啊，是平滑的曲线，这个呢，就是我们用这个瞄点法来画函数图像他的一个步骤。好， 了解了步骤之后，接下来我们看一下啊，第二个指点，正比例函数的图像和性质。我们现在已经知道了怎么画一个函数图像了，对吧？那我们看了一下，对于最简单的这种正比例函数啊，我们呢怎样来画他的图像？好，第一个例子，画出正比例函数 y 等于 x 和 y 等于二 x 图像， 根据刚才的步骤，我们应该怎么办？第一步应该是啊，这个列表，对吧？第二步，秒点，第三步，连线，对吧？哎，我先把这三个步骤啊，先给他列出来啊。好，那列表的时候应该怎么列呢？ 首先我应该找到，比如说第一个 y 等于 x， 对吧？哎，我说 x， 取一个值，看看 y 的值是多少 x， 再取一个值，再看看 y 的值是多少，对吧？哎，对于第二个 y 等于二 x 来说呢，也是一样，所以这俩正常应该 是列两个表啊，我这边空间也是比较有限，所以呢，我这边啊就列了，把他们写在一起了，哎，大家能看的明白就行，同时要注意什么呢？因为对这两个函数来说呀，你这个 x 啊，其实他对这个取字放也没有什么限制，对吧？他取任意的实数都可以，所以你不可能取到这个 x 的最大值和最小值，所以啊，我在这两头分别用了省略号来表， 这后面还有，对吧？只是呢，我不可能写出来那么多，哎，那 x 的范围中间这些数我应该怎么样来写呢？我们观察一下这个坐标系最中间这个位置应该是圆点，对吧？既然你对 x 的学范没有要求，我最好呢 由这个圆点呢跟对称哎，在圆点的两侧这样一侧来进行选取，这样呢，我画出来图像是可以画在这个坐标系的中间这个位置的，如果你从四五六哎，你从这边开始开始选点的话，你画出的图像是不是拼到这边来了，对吧？哎，那 一个是也不方便我们看，对吧？另外也确实是不美观，也不利于我们发现他的一些特点，对吧？哎，所以呢，这都是选取这个自备量值的时候需要注意的一个地方。 那我最好呢是把原点零 x 等零放在中间，那这边就是负一负二，这边正一正二，哎，这样选取，你画出来的图像刚好在中间位置，哎，比较方便看起来啊，好，所以呢，根据以上的分析，我取了这五个值，负二，负一，零一二。好，接下来呢，我们要算一下， 对于这两个函数来说啊，对应的那个 y 的值应该是多少，对吧？对于 y 等于 x 来说，不用说了吧，对吧，他的和 s 都是相等的，对 y 的值，哎，就是这个跟 x 值是一样的，那接下来我是不得到了点的坐标了，对吧？首先第一个坐标就应该是负二，负二，那对应的点应该 在这个位置，第二个呢？负一负一，哎，这个点应该这个位置，对吧？零零就应该是圆点，一在这个位置，二，二在这个位置，这几个点是不是 都可以给他描出来了，对吧？好，我一次给他描出来啊，这里对应的应该就是有五个点，好，描点结束之后，接下来是不是就该连线了，对吧？哎，我把这五个点一连 就可以了，注意，这两边要出头啊，你不要从这个点刚好连到这个点去变成一条线段了，这为什么呢？你看这边为什么要出头啊？就是因为你两边人家还有啊，对吧？不代表这个负二就是个这个图像的终点呢，人家负三负四怎么取都行，那往上也一样，三四五六七八随便取啊，对吧？所以你，你必须得画出头啊，你不要把它 刚好锁在这两个点中间去了，对吧？哎，好像这里，这里是起点，这里是终点一样，那这样肯定就不准确了，对吧？好，别来歪点。二 x 也是一样啊， x 呢，我还是可以取这几个值，对吧？我算一下，对于 y 等于二 x 来说，对应的 y 的值应该多少，那就拿它乘以二就行了呗，对吧？这个计算就不用说了吧，对吧？哎，如果这个数还算是有困难的 话，可能听我们这个这个课也没有太大的意义了，是吧？好，我们对应的是啊，负四，负二，零二四，哎，那对应点的坐标呢？很显第一个点就应该是负二负四，应该这样看，对吧？负二负四呢，应该在哪里？ x 等于负二， y 负四，是不是大概应该在这个点，然后接下来呢？负一负二，那就应该是在这个点， 对吧？哎，零零，然后呢，一二在这里，二四应该就在这里，哎，根据这个呢，我可以描出另外五个点的这个位置，然后接下来呢，还是连线，对吧？连线这样一连，哎，注意两边出头，对吧？所以呢，这条黑色的就是 y 等于二 x 的图像， 通过这种瞄点法，我们分别做出了这两个正比例函数的图像。好，有了图像之后啊，我现在这样单独给他拿出来了啊，我们思考一下啊，你看一下这个两个正比例函数，他们的 图像有什么样的性质，哎，这个性质我们从哪几个方面来进行考虑呢？哈，首先第一个就是他的图像是什么样形状，我观察下这个红色的和这黑色的这两个图像啊，好像都是直线，大家发现了吧？哎，并且呢，这两个直线有个共同特点，好像都经过了圆点这个位置， 对吧？哎，所以呢，这两个函数啊，他们的图像都是经过圆点的一条直线，哎，那其次还可以从哪些方面进行呢？就是这个图图像啊，他所经过的象限， 我看一下，不管是红色的和和还是这个黑色的，都是经过的是第一象限和第三象限，他没有经过第二象限和第四象限，对吧？哎，这也是他们的一个特点，还有什么样特点呢？就是这个随着这个 x 的增大，他歪的姿势如何变化？他比如这红色的，他是这样再往上斜着走了， 对吧？那你看，随着 x 的增大， y 的值是不是也也逐渐增大呀，对吧？因为 y 是越往上越大的吗？你这样斜着往上走， x 越大， y 也越大，那黑色的也是一样啊，也就是说呢，随着 x 的增大， y 的值也是随着增大的， 那还有些什么样特点呢？就是这两个两条直线呢，好像倾斜的程度不太一样，大家发现了吧，好像这个黑色的这条直线呢，用我们通俗的化解，好像更陡一些，哎，也就是说呢，他好像更靠近这个歪轴，对吧？他离这个歪轴更近一些，更陡一些，哎，这也是他们的一个特点， 对吧？那我观察一下，他为什么会比他抖呢？他俩的表达是有什么特点？这里是二 x， 这里应该是可以认为是一乘以 x， 对吧？比如说 x 的系数呢，好像越大，这条直线呢，就越抖，哎，就越靠近这个外球，哎，这又是一条形式，对吧？所以呢，通过以上的归纳，我们 可以总结出来啊，正比例函数呢，他的图像是一条经过圆点的直线，哎，同时呢，应该是对于这两个函数来说啊，他经过的是第一和第三象限， 第三个呢，函数值随自便量的增大而增大。最后一个呢，就是啊， k 的值越大，那么这个图像越靠近歪手。这句话也可以换个说法， 黑的值越大，怎么样？随着 x 的增大， y 的值啊，增加的越快，你看是不是？哎， x， 比如说都是从一加到二，但是这个 y 的值，他上面黑色的明显增加的快，这个那个 y 的值好像增加的慢一些，平缓一些， 哎，这就是我们总结的这两个正比例函数，他图像的一些性质啊，好，接下来啊，我们再换一个，换两个啊， y 等于负 x 和 y 等于负二 x。 这里啊，我就希望同学们能够自己来画了啊，你可以不必把这个方格子画出来啊， 哎，你就直接呢在这个啊这边用这个小刻度啊，来给他比一下就行了，因为我这里呢是为了从上面直接拷贝过来的，这样用起来比较方便一点，对吧。啊，这里建议大家暂停啊，有答案之后我们再继续。 好，根据刚才的思路呢，肯定的，那三步呗，对吧，第一步列表秒点连线，还是老三样，对吧？哎，那取值也跟刚才也可以取的一样，没有问题啊，对吧？好，那对应的函数值呢，我也可以画出来，那对应的描的点的坐标呢？我也都得到了，对吧？好，秒点连线。好，一起看一下。 这个呢，就应该是 y 等于负 x 画图像，哎，是这样的，红色的啊，那 y 等于负二 x 呢？我画出来黑色的啊，那是这条，大家自己检查下，看自己画对了没有啊。好，那我们再分析一下吧，这两个正比两函数，这系数变成负的了，对吧？哎，刚才是正的，现在负的，那他这个图像又有哪些性质呢？我们还 还是还是可以从刚才的那几点来想，首先啊，形状也都是经过圆点的实线没错，对吧，那经过象限呢？不一样了，刚才那个经过一三象限，对吧？哎，那这两个呢，很显然他是经过的是二四象限， 对不对？哎，他经过的是第二和第四讲解，哎，跟刚才那两个不一样了是不是？那第三点呢，增减性我们发现什么呢？好像随着 x 的增大，歪是一路减小的，对吧？哎，那这个增减性跟刚才好像也不一样了。哎，函数值是随着这边量的增大而减小， 那么这个倾斜程度我们应该怎样来衡量呢？很显黑色的更陡峭一些，对吧？但如果你看系数呢，这个负二啊，他好像比负一小，对吧？那刚才那个呢，是 k 的值越大，越越抖，越靠近外轴，那这里呢？如果你又说 k 的值越小，越靠近这个外轴，那跟刚才那个不是 矛盾了吗？对不对？所以这里为了统一时间，我们可以怎么样负二啊，虽然比负一小，但是人家负二的绝对值比较大呀，对吧？那所以我们是不可以这样归纳黑的绝对值越大，那么这个图像啊，他越靠近外轴是不可以这样来说呀。 哎，那刚才正的时候呢，那他也是绝对值越大，越靠近歪轴啊，那这个，这两个不就统一了吗？对吧？所以呢，我们这样说， k 的值越大，那么随着癌症的增长啊，歪的值减小的就越快。 哎，这个因为挨歪的只是随着挨个，他是减小的，刚才那个是增大，对吧？那越靠近歪的越走向，那就说明什么呢？ x 随着他的增长，歪的是减小的就更快， 这两个说法其实都是一样的，哎，注意，当这个 k 是负数的时候，我们要加上绝对值，哎，这样表数才比较准确啊。好，接下来我们把刚才研究这四个函数给他放在一起，我们要 归纳一下正比的函数，这时候注意表达。是啊， y 等于 kx， 他的图像性质到底应该如何来进行归纳？很显，根据定义啊，这里 k 是不能等于零的，对吧？好，我们要第一条，他的形状，这四个我发现都是一条经过圆点的直线， 对吧？哎，那倾斜程度呢？刚才也总结过了， k 的绝对值越大，他越靠近怪兽。哎，没错吧，绝对值越大越靠近怪兽。哎，这形状这块总结完了啊，那么经过象限，哎呦，这可就不一样了， 我发现当这个 k 啊，他是正数的时候呢，经过一三象限，负数的时候经过二四象限，这是不是要分两种情况来进行讨论，对吧？哎， 这个经过的象限呢，跟 k 的正负是有关系的，你要分成两种情况来进行讨论。那增减性呢？也是不是也要分两种情况啊？ k 如果是正的大于零的，随着 x 的增大呢？歪是增大的， k 如果 我是负责小于零，随着 x 增大呢？ y 又是减小的，对吧？所以呢，我们总结一下这个函数， y 等于 kx， 他的图像性质的时候应该怎样来总结呢？就应该分成这两种情况。哎，大于零的时候经过什么象限？增减性如何？小于零的时候经过哪两个象限，增减性是什么样的？ 但是共同一点都是他们都是经过原点一条直线，并且呢， k 的绝对值越大越靠近怪兽。这个表格中的内容，我郑重的提醒大家啊，一定要记住，而且要非常的熟练。哎，非常的熟练，这是我们的一个学习的一个要求啊，非常的重要。好，先来看一个例题啊， 教材上来，下列正比例函数当中， y 的值随 x 的增大而减小的有，哎，随着 x 增大而减小，我们刚才已经分析过了，那这种情况的话，应该是说明什么呀？对于这个 y 等于 kx 来说，那 k 在什么样的范取值范围里面， y 会随着这个 x 那而减小，是不是要求这个 k 一定是要小于零的呀， 对吧？哎，那我就看这几个表达，是不是哪个 k 的值小于零啊，而且这个负零点六他小于零，对吧？那这个呢，根号五，他大于零，八也是大于零的，那一和三都不对，根号二减根号三，这肯定是小于零的，对吧？所以呢，我们就有 啊，只有第二个和第四个这两个啊，才是歪的值是随着 x 的增大而减小的。好，这样在思考一个 啊，就以这个 y 等于二 x 为例啊，大家观察一下，如果说满足这个关系是 y 等于二 x 的这个 x 和 y 的值，比如说 x 等于一， y 等于二， x 等于二， y 等于四，对吧？哎，那么他所对应的这个点啊，是不是 都在这个函数图像上？这里你可以自己去列举，对吧？哎，零零啊，然后等于一二啊，二四啊，等于三八等于六三六，我们会发现所有这样的点呢，都是在这条直线上，哎，大家可以自己去描一下，试一下啊。那第二种说法呢？是什么呢？ 这个函数图像上也就这个直线上啊，所有的这些点是否都满足这个关系式？哎，这个大家也可以自己去试一下，对吧？你过每个点像 x 轴和歪轴做斜线，对吧？你得到那个对应点，那个坐标，你可以看一下歪的值啊，他始终都是 x 的二倍，也就是说这上面图像上每个点坐标都满足这个关系式， 这里呢，我们又得出了一个结论，对于满足这个关系式， y 等于开 x 的 xy， 他们所对应的点，哎，横坐标就是 x， 中立标就是歪，对吧？哎，只要你的坐标满足这个关系式，那么呢，你这个点， 那就一定在这个函数图像上，哎，一定在这条直线上。同时反过来说，如果你这个点在图像上，那么你的坐标一定是满足这个关键式的，他俩一定是一一对应的这样的关系啊。 好，我们看一个例题啊，下列哪些点在正比的函数 y 等于负 x 负五 x 的图像上，如果他在这个图像上，就说明什么，你的点的坐标一定要满足这个关系式，对吧？ 那我接下来看一下吧，对于这个点来说，哪个是 x， 哪个是 y， 那前面这个他是 x， 他是 y 啊，对吧？哎，那你看这个五，他能等于负五乘以一吗？很显然不能等于啊，对吧？所以第一个是不是，不是啊， 一个他肯定不在这个图像上，哎，方法就是看他满不满的这个关键式就行，或者呢，你也可以说横坐标乘以负五，是不是等于中坐标，对吧？我看第二个负一和五，把这个负一乘以负五，是不是 刚好等于五啊？哎，所以这个点呢，就在这个函数图像上，你看是不是非常简单啊？哎，第三个，把这个零点五也乘以个负五，那刚好等于负的二点五，哎，刚好等于他，对吧？这第三个点也在图像上，第四个呢，把这个负五乘以负五，是不是应该等于正二十五啊？ 那你看你这个动作标是一不等于正二十五，所以这个点一定不在这个函数上，哎，是没什么难的，对吧？好，接下来就思考一个问题啊， 根据正比例函数 y 等于 ks 图像特点，如何快速画出他的图像？我们刚才啊，画画一个图好像都要描五个点，是吧？好像也很麻烦，大家应该感觉到了，对吧？我们怎么样先想办法快速的把这图像给他画出来？ 那大家思考一下，首先既然我们已经知道了正比例函数，他的图像是一个什么样的形状啊？是不是一条直线呢？对吧？哎，那我们学过跟直线有关的这个知识，我们学过什么呀？ 他是不是有一个基本事实叫做什么呀？两点确定一条直线，对吧？也就是说什么我想画一条直线呢？我只要知道这个直线上两个点的位置，我把这两个点一连，我就得到这个直线的位置了，对吧？ 那通过这个方法，我们是不是也思考，我们想画这个正比的函数图像，我只要确定图像上两个点的坐标，我只要找到两个点坐标，我在坐标系上啊，把这两个点，两个点一描一连线，我就可以快速的画出这个正比的函数的图像， 对吧？好，那这个方法叫做什么呢？就叫做两点法作图，但是要注意这个作图啊，只适用于你的图像是直线的时候，你的图像图像如果不实现就折线或者是曲线，你只画两个点，那你很显然不能准确的画出他的图像，对吧？哎，那么两点法作图，对于这个 y 等于 kx 来说，我们怎样 找到那两个点？首先经过刚才的分析啊，哎，这两个点怎么找呢？他肯定经过原点呢，因为从表达室也可以看出， l 等于零的时候，我不管你 k 等于几 y 都等于零，所以呢，我确定他肯定是经过原点的， 哎，是原点就已经可以做一个点了，那除了原点之外，我是不是还需要一个点？那另外一个点的坐标怎么找呢？对于这个表达是来说，已令 x 就等于一算了啊，等于一好算呢？还等于一歪是不等于 k 啊。所以呢，我们可以得到另外一个点的坐标，就是一和 k， 哎，那如果说 k 是大于零的啊，那一和 k， 你说这个点坐标在哪里？一大概是在这个位置，对吧？那 k 是我大于零，我就大概让他在在在这个位置吧。啊，哎，这里表示一这里是 k， 那说一 k 这个点应该在哪里啊？做垂线呗，这不，找到了这个点，哎，这个点的坐标就是一 k， 然后呢， 我把圆点和这个脸两点一连，哎，我是不是就快速的画出了 y 等于 x 他的图像了，哎，这就是两点法作图。 好，现在我们再看例题啊，教材上的画出下列正比例函数图像这两个题，哎，大家自己思考一下，就用我们那个两点法来来做一下啊，看能不能做出来啊。好，我先把这个这边系画出来再说一遍啊，这个格子啊，格子可以不画的，没关系啊， 既然我想只想知道两点，那其中一个点我已经知道了，不就是零零吗，对吧，你看第一个八点四 x， 哎，等于零，二八九等于零，那零零我已经找到了，我只要再找一个点就行了呗。那我对应的应该是谁啊？ 等于一，刚才说了一 k， 对吧？ x 等于一的时候， y 等于四，一和四，这是不是又是一个点呐，对吧？所以这里时候我列表的时候啊，我其实就找这两个点就行了，哎，一个呢，是 x 等于 零，比如说这个表啊，这里 x， 这里是 y， i 等于零， y 也等于零，对吧？然后呢， x 等于一， y 等于四，这不就是一 k 吗，对吧？所以这个两个点，一个是零零，一个是一四，一四在哪？一四应该在这，对吧？我把这两个点这样一连，这条直线是不是就出来了， 哎，这就是我们第一个啊，图像就可以这样快速的画出来啊。第二个 y 等于负三分之二 x， 那这个怎么列表啊？还是根据刚才的思路来呗。那零零肯定可以啊，对吧？哎，零零后面怎么找？你可以找这个一 和负三分之二，可以的，没有问题啊，就是一 k 吗？对吧？但这个负三分之二好像不是特别好画，大家发现了没有，这里为了再简单一点，我们可以考虑怎么办？既然你分母是三呢，这里，对我不妨，我就让 x 等于三，可以吧？ f 等于三的话， y 就变成整数了呀，这样一乘的话， y 是等于负 负二，对吧？我找这个点也可以啊，所以我们做图说要灵活一点，怎么方便怎么快就怎么来，对吧？那零零在这三，负二在哪呢？三在这，负二在这，在这里，点那把他和圆点这样一连，哎， 看图像是不是也快速的画出来了，对吧？好，大家看一下啊，自己的思维和我讲的是不是一样的啊？哎呀，好，列表，这这样列表就简单了，对吧？找两组数就可以了。好，然后呢，画图啊，这个是这个 y 等于四 x， 这个呢，是 y 等于负的三分之二，哎，这图像给报出来，报，再看一个下个例题啊，也是教材上的啊，写出图中直线 l 所对应的函数表达式， 你看这里给一条直线，这个直线很明显经过了原点，对吧？他应该就是一个正比例函数。但是这种啊，给图像求表达式的问题好像也有点陌 陌生，对吧？但是不要急，我们一起来分析下。这里呢，除了给了这个经过原点之外，我们还看到他还经过了这样一个点，一三，他是不是也给了我们两个点的信息了，相当于，对吧？哎，那我们其实就可以求出他的表达式，既然你是一个正比例函数，我们叫正比例函数。通用表达式就是 y 等于 kx， 对吧？我们就设你的表达式就为 八点一 kx， 哎，这里呢，对 k 一定是不能等于零的。好，那既然呢，你经过了一三这个点，也就 一三这个点呢？在你的头像上，那他的坐标这个一三就一定得满足你这个关系式，这我们刚讲过，他俩是一一对应的，对吧？一三如果满足你这个关系，是，我是不是就可以把一三带进去啊？把一三带进去， x 是谁呀？哎，这不就是一吗，对吧？哎，歪呢？歪是谁呀？歪就是三吗？对吧？哎，那就三等于 k 乘以一，对吧，那是不是 k 的值就可以求出来了？ k 就等于三呢？如果 k 等于三的话，你再把它带回到这个表达式当中，那这表达式是不是就求来了？那是不是就是 y 等于算 x， 对吧？哎，其实就是一个求 k 的一个过程，对吧？你看从这个方法是不是求这个表达是很容易的，对吧？好看答案啊， 哎，这个答案就是 y 等于三 x， 哎，你先射他的表达是为 y 等于 kf， 把点的坐标往里一带，就可以求出 k 的值，哎，最后呢，表达式的值就确定了。好啊， 今天内容呢，就和大家一起学到这里啊，下一次课呢，和大家一起来学习一四函数图像的第二个课时，欢迎大家收看，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果有问题欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！
9481明老师初中数学课堂
19:15查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章依次函数的第四节，依次函数的应用。今天是第一个课时， 来看一下知识点清单，只有一个知识点，因为我们在这个伊斯函数应用这一部分呢，内容比较多啊，所以呢，我们尽量啊，每次课讲的内容稍微少一点，对吧，这样大家比较有利于这个大家这个消化和吸收啊。 好，首先我们进行一下复习啊，正比例函数和一四函数，他的一般的表达式是什么？哎，这我想大家应该是这个张口就来的，对吧？正比例函数应该就是 y 等于 kx， 依次函数呢，是 y 等于 k， x 加 b， 对吧？这里唯一要强调的就是，这个 k 一定是不能等于零的，哎，这是他们这个一般的一个表达式。好，进来，第二个问题啊，大家思考一下，对于这样的一个依次函数， 等于二， x 加三，那么当 x 等于一的时候，歪的值是多少？这也很简单， x 等于一，就把这个一带进去呗，对吧，带进去是不是就变成了二乘以一再加三呢？对吧？有时候这个这个代入啊，这个词好像一直有点 啊，理解的不是很好，但是我其实就把这个 x 啊，用这个一替换掉就行了，就这个意思啊，所以歪就等于二乘以一再加三，对吧，所以歪的值应该就是五，哎，这个应该都是非常容易的。好，我们再看下一个问题， 对这样的一个一算函数 y 等于 kx 加 b 来说，这个时候如果 x 等于二，你说 y 的值应该是多少呢？我们发现啊，在这个表达式当中，这个 k 和 b 的具体的值没有给我们， 当我不明不明确这个 k 和 b 的值的时候，我只能简单的就把这个二给他带去，所以呢，带去之后啊，歪的值就应该是等于二 k 加 b， 哎，是不是这样的一个过程？ 所以说呢，我们啊，经过了这个复习以后，我们再次的明确了啊，对于一个依次函数来说，哎，你给了一个 x 的值，肯定是有唯一的一个歪的值跟他相对应的。 好，那接下来呢，我们一起来学习今天内容啊，求这个依次函数的表达式。好，首先我们来看一个例子啊，教材上的某物体沿一个斜坡下滑，它的速度微与其下滑时间梯之间的关系，如图所示。 第一个问题，写出微与梯之间的关系式，我们观察一下，这个图像应该是一条直线，对吧？同时我发现什么呢？这条直线是不是还经过原点了呀？ 那经过原点的直线，那所以说这个 v 和 t 之间，他应该是一种什么样的函数关系啊，是不是应该是一个正比例函数？我们说正比例函数的图像就是一条经过圆点 直线，对吧？哎，所以我得到 v 应该是 t 的正比例函数啊，既然是正比例函数，那我根据正比例函数一般的表达是，我是不是应该就有，因为正比例函数的表达是正常，应该是 y 等于 kx 吧，对吧？哎， 这里要求呢， k 是不等于零的，但这里要注意他是 v 与 t 之间的关系，对吧？所以呢，我可以列出来一个关系，是啊，我设他俩的关系呢，就是 v 等于 k 乘以 t， 哎，从这到这，我想大家应该没什么问题，对吧？哎，你主要是看他这个自备量和函数用什么字母来表示的啊？但这里呢，也要求是 k 应该是不能等于零的，好，我先把他的关系是用这个来给他射出来， 那你说我现在啊，要求关于是唯一需要解决的是一个什么问题？我是不是想把这个黑的值给他求出来啊？我如果求出了这个黑的值，那微和踢之间的关系是不就 就求出来了？如果 k 等于二，比如说啊，那 v 不就等于二 t 吗？对吧？哎， k 等于三， v 等于三 t， 所以我现在想办法要求出这个 k 的值，那求出 k 的值要怎么办呢？我观察已知条件当中，是不是给了这样的一个点， 哎，有这样的一个点，这个点呢，是在这个直线上的啊，然后呢，他的横坐标是二，他的重坐标呢，是五，对吧？哎，那这个点他的坐标给了我们一个什么样的信息？是不是 当 t 等于二的时候，这个 v 啊，是等于五的，对吧？哎， t 等于二十， v 等于五，哎，他告诉我们这样的一个条件，好，那我是不是就可以把这个带到这个表示当中了呀？哎，这代入又是什么意思呢？比如说 t 等于二的时候，我算 t 等于二的时候呢？正常 v 应该等于二 k， 对吧？应该是这样的。然后呢，我又知道了，微他其实是等于五的，所以我是不是得到了这样一个关于 k 的一个方程啊？是二 k 等于五，那我是不是可以把这个 k 值给他求出来了？ k 值就应该等于二分之五， 对吧？哎，这就叫代入，哎，把七等于二，微等于五带到这个表达式当中，这一步啊，其实啊，是我们多写出来的一步，哎，那我们在十 e 这个书写的时候，其实不需要这样写的，你只要应该怎样写呢？你将 t 等于二和 v 等于五直接带入这个表达式当中，哎，把 v 呢，就用这个五来替换掉，把这个 t 呢，就用这个二来替换掉，哎，那是不是应该就是应该是写成五等于 二 k 呀？正常应该是这样写的，对吧？哎，那通过这个方程是不是也可以求出 k 的值啊？哎，所以这一步啊，只是说因为我们刚接触这个知识点，对吧？哎，所以呢，我稍微多写了一点啊，正常情况下， 一等于二， v 等于五，直接往这个式子里面带就行，带出来之后呢，就得到一个关于 k 的方程，求出 k 等于二分之五， k 如果等于二分之五，你说他俩的表达式我能求出来吗？那是不是就应该等于 v 等于二分之五 t， 这个就是 v 和 t 之间的关键词了呀， 对不对？哎，但是要注意这点一点是什么呢？这里面呢，这个直线呢，他是怎么样？到了圆点以后，这就没有了，没有负值，对吧？哎，所以最好呢，这里标一个 t 的一个取值范围，哎， t 呢，应该是大于等于零的， 通常来说，我们在做题目的时候，题目如果说需要你写出这个字边的范围啊，那你是肯定要写的，对吧？哎，如果说没有做这个要求的话，那其实也是可以不写，但是如果你写上的话，肯定是更保险一点，对吧？但是有一点，你如果要写的话，一定要确保给他写，对啊，哎，如果说 题目没有要求写，然后呢，你把它写上了，但是呢，又写错了，那肯定也是需要扣分的，对吧？哎，这里提醒大家注意一下。好，现在第二个问题啊，下滑三秒钟的时候，物体的速度是多少？那我既然已经知道了威和题之间的关键是，那 下后三秒时，不就七等于三吗？当七等于三的时候，你这个微等于多少？是不是就等于二分之五乘以三呢？哎，那这算出来是不是应该等于二分之十五啊？单位呢，是 里面有，对吧？所以呢，七等于三的时候，我们就不需要怎么样，不需要再去做图了，哎，我正常来讲是不是还得做图啊？我过这个三这样做一条垂线，然后再看一下这个点，这个点呢，再看一下他的中国标是多少， 这样的一个是麻烦，另外也不精确呀，对吧？我们已经有了表达，是问我们下方三秒，我直接把七等于三带进去，我就可以求出威德词了，是不是？好，那这个例子啊，其实就是一个典型的求 由这个一四函数表达式的这样一个例子，不过呢，他特殊一点是啥呢？他给了我们一个正比的函数，也就相当于是这个情况，是比较简单的一种情况，对吧？因为我们正比的函数在一四函数当中肯定是最简单最基础的一种情况。 通过这道题，我们也可以一起总结一下，我们求这个函数啊，这个关系是，哎，我们的思路，我们的方法应该是什么？那这个题目当初给我们哪个已知条件？其实啊，就是给了我们一个这个点，对吧？给了我们一个这个点的坐标，哎，相当于只给了我们一个条件。另外呢，就是我们从图像中观察出来，他是一个正比的函数的。 好，接下来大家思考一下，我如果想确定一个正比例函数的表示，我一共需要几个条件呢？回忆下刚才那道题，其实是不是只给了我们一个条件呢？哎，就是七等于二的时候，归等于五，对吧？所以呢，我们说确定正比例函数的表示，我们只需要一个 条件就可以了。好，那接下来思考第二问题，如果我想确定一个一四函数的表达式，那么这个又需要几个条件呢？一四函数通用的表达式是 y 等于 ax 加 b， 对吧？哎，那这里面是什么呀？一个有一个 k 需要我们去求，那还有一个 b 也需要我们去求，对吧？那是不是我们需要求两个字母的值啊？ 求两个字母的词。如果你只给我一个条件，比如说你给我一个，当 x 等于一的时候， y 也等于一，那往里一带，那数就变成了一，等于 k 加 b 就变成这样的了。那你说 k 和 b 的值能求出来吗？ k 加 b 等于一，那 k 和 b 对应的值可以有无数无数种啊，我没有办法求出 k 和 b 的值，所以说呢，有一个条件肯定是不够的，对吧？哎，所以呢，我们说啊，求一字函数表达是你需要的是两个条件。 这个问题呢，我们可以从两个方面来进行理解。第一个从数的方面，因为表达式当中有两个常数， k 和 b， 这都要求，你是给我一个条件的，我没有办法求 k 和 b 的事， 我们从图形上来讲一字函数，他的图像是一条直线，对吧？那你只给我一个点，让我来画这条直线，我可以画出无数条啊，对吧？你必须得给我两个点， 给我两个点的情况下呢，我才能把这条直线给画出来。因此呢，我们从竖的角度和从型的角度，我们都得出同样的结论，就是我们确定一四函数的表达是需要的是两个条件， 有同学可能到这俩会有点有一点这个。晕，你说正比例函数，他不也是一次函数吗？对吧？那他凭什么只需要一个条件？那你到下面说一次函数时候，你又告诉我两个条件，对吧？那到底需要几个条件呢？这里我要说的是正比例函数啊，他确实是一次函数，但是呢，他有一个特例，对吧？他是 经过原点的一个一次函数，其实呢，给了我们一个正比的函数，他就隐藏了一个信息，就说他一定经过原点，也就是说啊，他告诉我们这个图像上肯定有这样的一个点， 那么除除了这个点之外呢？又告诉我们一个其他的一个点，那实际上是不是也是我们得到了两个条件呢？哎，就是说除了原点以外，我们还有其他的一个点，那过这两点当然可以画出一条直线了，对吧？哎，所以这个并不矛盾，给了证明的函数就已经告诉我们一个条件了，相当于，对吧？哎，所以呢，我们再只需要另外的一个条件就行， 但是对于一般的一次函数来说，我们必须要知道两个条件才可以啊。好，接来看下一个例题啊，写出 满足下表的一四函数的表达式。这里给了我们三组 x 和 y 的对应时，那我刚才分析了，我是不是只要两个条件就够了，那其实他这还多给了我们一个条件，对吧？哎，但是没有关系，既然已经告诉 我们啊，这个 y 和 x 之间是异色函数的关系，那我要求北拉式的怎么办？我先把这个北拉式一般形式给他射出来呗，我就射 y 等于 ks 加 b， 哎，这里的 k 肯定是不能等于零的。好，接下来我要选用两组值就够了，对吧？那你选哪两组？你这个负一七点五，这个值数好像不怎么整，计算起来不是很方便，对吧？我们看这种数是不是计算起来会很简单，当 x 等于零的时候， y 等于七，哎，把这组数呢给他带到里面去。 第二个游戏我看一下， y 用七来替换，那就是七，对吧？等于 x 呢？用零来替换，那是不是就是 k 乘以零啊？然后再加上 b， 哎，这组数据带到这个表达式当中，我得出这样的一个结论，那这个 k 乘以零肯定等于零了，所以我就得出 b 就等于七，你看 b 的值我就求出来了，所以这里 应该就是七啊。接下来我需要求 k 的值，求 k 的是什么？我就要再找一组对应的值，对吧？哎，那肯定找这个，这个数可能相对来说整一点，我把这个给他带到这里面去，这个如果带去怎么办呢？把 x 用二替换掉，把 y 呢？用六替换掉，那是不是就应该是六等于， 然后呢？ k 乘以二，对吧？然后再加上 b， 那 b 我已经求出来等于七了，对吧？哎，所以这里这里，我就这降调了啊，就等于七，对吧？哎，等于七，那你看这是不是一个关于 k 的一个方程啊，我是不可以求出 k 的值啊，这里求来 k 的值呢，应该是等于负的二分之一。好， k 的值有了， b 的值也有了，你说这个表达是，我是不是就清楚了？哎，表达是呢，就应该等于是这个 y 等于 kx， k 等于负的二分之一啊，所以就是负的二分之一。 x 后面呢？加上 b， b 等于七，对吧？后面再加上一个七，所以这个呢，就是啊，这个意思，函数的一个表示了，我们也回可以带回去验证一下。 l 等于零的时候，一看 y 确实等于七， x 等于二的时候，你往里一带， y 确实等于六，那这种数也可以往里带一下， x 等于负一的时候一带进去，那歪的确实是等于七点五，对吧？所以我们 球的这个表示啊，肯定是正确的答案啊。好，在这里啊，这就是最后的一个表示了。哎，思路呢，就是把每组 xy 对应的时候，往你射的这个表示里面带带入就可以了啊。 好看，下一个例题，如图，直线 l 是某一次函数的图像，在这里啊，这个直线 l， 然后我们填空啊， x 等于十八的时候， y 等于多少？ y 等于四十的时候， x 等于多少？我看这个图像啊，大概就只到 x 等于三这个地方，你要求 x 等于十八的时候，你怎么办？ 你还能把这个图像无限的往右画吗？然后找到表示十八那个点，然后做个垂线，看他与这个啊，直线焦点在哪里？然后呢，再向歪着做个垂线，看看那个垂竹在哪里？不可能的，这题肯定不可能这么做的，对吧？我观察图像可以发现，这图像其实经过了两个点，是不是？首先，一个是这个点，他经过了一个这个点， 这个点坐标呢，应该是零二，哎，然后呢，他又经过了这样一个点，对吧？这个点坐标应该是从什么呢？三零，哎，他经过了这样的两个点，那我们是不是就可以把这个函数他的这个表达式给他求出来了， 对吧？好，第一个点是零二，第二个点呢，是这个三零。好，根据刚才的思路，既然告诉我们一次函数了，我们是不是就可以设 y 等于 kx 加 b 啊？好，然后呢，给了我们两组 xy 对应的值，我分别往里带就行了呗，对吧？先把这个零二带进去，那就是二就等于 k 乘以零加上 b， 对吧？这里是零了，所以我就得到 b 呢，应该等于二啊，再把这个三零往里面带啊，那 y 呢，是等于零，然后呢，他就等于 x 呢？是用三替换掉，就等于三 k 加上 b， 哎，那这个 b 为球呢，等于二了，对吧？哎， b 的值如果是二呢？这里求出 k 的值呢，就应该是等于负的三分之二。 好， k 和 b 的值都有了，我是不是就可以把 y 和 x 的这个表达式给他写出来了，对吧？所以表达式呢，就应该是 y 等于负的三分之二 x， 然后呢，加上二，对吧？哎， k 用负三分之二替换掉， b 呢？用二替换掉，所以呢，表达式就是这个。有了表达式之后，那剩下的问题是不是就简单了？ x 等于十八的时候，我也等于多少？我把 x 等于十八往里带呗， x 等于十八，这一乘应该就是等于啊，十八乘以负的三分之二，这里应该等于负十二，负十二加二就等于负十，对吧？哎，所以呢，第一个空啊，答案就是负十， 好，第二步，歪点四十的时候，那就把这个边换成四十呗，姐，这个愿意吃方程就行了呗，对吧？好，大家自己算结果啊。最后答案 是负的五十七，哎，你肯定不可能通过画图的方式去找点嘛，对吧？哎，有了表达式之后，往表达式里面带一下就可以了。这里啊，其实啊，我们如果说做题做多了，可以有一个快速 解决这个求表达式的一个方法。首先我们看啊，这个直线是这样倾斜的，对吧？歪呢，随着 x 的增大而减小，所以我就知道你这个表达式当中，这个 k 啊，他一定是小于零的，对吧？哎，我现在不是要求 k 的值吗？ k 的值一定小于零的， 他肯定是个负的。好，那接下来呢，到底是负的多少呢？观察一下，他给了我呀，与歪轴的交点和与 x 的交点，这两点都有了，对吧？那么这一段我们把它叫做什么呢？叫做这个直线呢，与这个歪轴的拮据啊， 这种呢，你这一条线段呢，你可以把它叫做与 x 的结局，那这个 k 啊，等于什么呢？就等于 y 轴的结局，这个线段长比上，与 x 结局比上这段线段长，那很显然，这段长是二，这段长呢，是三，对吧？所以呢，这个 k 啊，就等于 二比三，哎，当然，这是绝对值，我们还得判断一下符号，因为我刚才已经判断出来了，这是负的，对吧？哎，所以呢，这题我可以快速的解决，如果是这个选择填空题，你可以快快速判断出 k 的值就是负的三分之二，那 b 的值是多少呢？这更好找了，因为你与 y 桌焦点这里呢，坐标是零二，对吧？ 零二，所以呢， b 就等于二，为什么这么快的得出结论呢？你看，你把 x 等于零往这个式子里一带，当 x 等于零的时候， y 是不是等于 b 啊， 对吧，那对于这个图像与歪轴的交点，那横坐标也是零啊，那不就是当 x 等于零的时候，歪等于二吗？所以 b 啊，就等于二。所以以后再见到这种依色函数的小表达式的问题的时候，你只要找到这个依色函数与歪轴的焦点坐标， 比如说节点最高是零二，那你就可以快速的判断出这个 b 就等于二。哎，如果我这样画一条啊，经过这个，呃，零负二，如果他经过这个点了，你可以快速判断出这个时候这个 b 应该得多少， b 就应该等于负二。哎，这个可以啊，通过这个方法可以快速判断出这个 b 的值，哎，那么这个 k 的值就已经条件了，你必须得知道，这里个 跟两个坐标组的焦点你都得知道，然后呢，你才可以用这个方法来快速的判断这个黑的啊，这都是解题以后的一些小技巧，大家可以自己尝试的归纳一下啊。好，接下来呢，我们一起来总结一下啊。求这个易四函数表达式，我们的步骤都有哪些？ 既然已经知道了是一次函数了，对吧？哎，这个呢，有的已经条件会给是一次函数，有的时候我观察图像发现的就是一条直线，对吧？我们也可以判断出他是一次函数。好， 判断出是一次函数之后，我们第一步要射出这个一次函数的表达式，哎，那就通用表达式就行了，比如 y 等于 k 加 b， 哎， k 是不等于零的，这里提示大家要注意一个什么地方呢？于是我们的题目当中，有的时候自变量和这个 函数啊，不是用 x 和 y 来表示的，比如说我们刚才第一个例题，对吧？自卑量是 t， 那函数呢？他是用的 y， v 来表示的，那所以呢，那种情情况下，你就得设什么呀？ v 等于 k， 七加 b， 对吧？哎，这个字母千万不要搞错了，虽然这个是我们习惯意义上的一个通用表达式，但是具体的题目，如果说他不是用 xy 表示的，你得根据人家题目的意思来， 这是第一步啊，把这个表示啊给他射出来，那第二步干嘛呢？将两个已知点的横纵坐标，或者呢， 把两对 x 和 y 的值分别带入到这个 y 等于 kx 加 b 当中，如果给的是点坐标，就把点坐标往这一带，如果没给点坐标，给的是 xy 对应的值，就像我们那个表格那个题一样的，对吧？你就把两组对应的值往这个里边带，带去之后呢，你就会得到两个关于 k 和 b 的方程， 哎，这个方程里就没有 x， y 了，对吧？只有 k 和 b 了。接下来呢，你把这方程解一下，两个方程解一下之后呢，你就可以求出 k 和 b 的值了。有了 k 和 b 的值，那么你把这个 通用的表达式里边一带，对吧？哎，这个函数的表达式呢，就可以把它确定下来，这就是呢，我们啊解决这个求一四函数表达式的这样的一个步骤，那这个步骤叫什么呢？他有一个专门的名字，就叫做待定系数法。 哎，先把这个表压式射出来，对吧？哎，我要求就求 k 和 b 啊，这两个系数呢就是待定的系数，这个球他们的值就可以确定这个一次函数的表示了。好， 这种用待定系数法求一四函数表达式的方法非常的重要。哎，我们后面啊，学其他的函数的时候也都是用这种方法来确定函数的表达式啊，大家一定要熟练的能运用。 好，那今天课程内容呢就到这里，我们下次课呢和大家一起来学习一四韩式应用的啊，第二个课时欢迎大家收看，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
8887明老师初中数学课堂
12:11查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章依次函数的第二节，依次函数与正比例函数。 好，来看一下知识点清单啊，总共两个知识点，这一课内容其实也不多啊。首先第一个，第一次函数的概念， 在我们上一次课的这个学习当中啊，我们一起来学习了什么是函数，对吧？这函数呢，包括很多种哎，其中有一种函数叫做一次函数。好，我们还是先看几个教材上的例子啊。第一个， 某弹簧的自然长度为三厘米，什么是自然长度啊？就是说他这个没有给他拉伸的情况下，对吧？哎，他是三厘米长。然后呢，在这个弹性线度内所挂物体的质量 x 每增加一千克，然后的长度 y 增加零点五厘米，你能写出 y 和 x 是之间的关系吗？哎，这个其实我们可以作为一个复习，对吧？我们主要就列一下，还有还 x 之间的这个关系式吗？是吧？好，一起来看一下。首先啊，自然长度是三三厘米， 你挂的东西啊，这个越重，那他被拉伸的这个长度也就越大，对吧？哎，所以呢，我这个歪啊，首先你得把这个三先得加进去，这是他的自然长度，对吧？哎，然后呢， 我们看一下，每增加一千克长度增加零点五厘米，也是挂一千克的东西呢，他就增加了零点五，也就三加零点五呗，对吧？那我要是增加两千克呢，是不是增加两个零点五啊？ 三千克就是增加三个零点五，对吧？哎，那现在我增加了挂了 x 千克的东西，那是不是就应该是零点五 x， 所以呢，这个表达是，就应该是三加上零点五 x， 是不是这样的一个表达是，对吧？好， 下一个啊，某辆汽车油箱中原来有汽油六十升，汽车每行驶五十千米啊，耗油六升啊。第一个问题，能不能写出耗油量这个歪与汽车行驶路程之间的关系， 耗油量，他就只是问耗油量，对吧？哎，那么看，行驶五十公里耗油六升，那我这个如果行驶了 x 公里呢？我是不是要看 x 是五十的多少倍啊，对吧？哎， x 如果是五十的一倍就耗六升，五十的二倍呢，就耗六乘以二升五十的三倍呢，就是六乘以 三这么多声，对吧？哎，那所以呢，我要求的是 x 和这个五十之间的一个倍数关系吧。所以呢，第一个问题， y 他就应该等于 x， 怎么办啊？肯定要除以五十啊，这里得出的是 x 和五十之间的倍数关系，对吧？哎，用求出来这个值呢，再乘以六，哎，这个是不是就是耗油量和这个行驶路程之间的一个关系，对吧？哎，这里给他进行整理啊，你可以整理成化解成分数，或者是给他换成小数都可以啊，换成小数的话，应该是啊，零点一二，哎，这就是 y 和 x 之间的关系了。好，第二题， 你能写出邮箱剩余啊，这个是剩余油量啊，剩余油量他用贼来表示的啊。然后呢，与汽车行驶这个路程 x 之间的这个关系，那剩余量怎么办？剩余量是不是得用原来有的这个量减去耗油量，对吧？哎， 所以呢，这个 z 啊，这个字母要注意变化了啊，他就应该等原来的总的油量六十，减去耗油量，耗油量，我们刚才你表示出来零点一二 x， 对吧？哎，他再减去一个零点一二，这个呢就是剩余的油量和行驶路程之间的关系。好， 看一下，这个是答案啊，好，接下来我们把刚才列的这个其中的两个关键字啊给他拿出来，一个是 y 等于三加零点五 x， 一个呢是这个 c 等于六十减去零点一二， 大家观察一下他们有什么样的共同特点？首先这两个应该都属于函数表达式，对吧？ y 可以看作是 x 的函数，那 c 呢，也是 x 的函数，对吧？那这两个函数表达式之间有什么共同的特点呢？我们可以一起来分析一下。首先是什么呢？ 我们观察 x， 他的这个指数都是一，对吧？哎，然后呢， x 前面呢，好像都有一个系数，这个系数是正的零点五，这个系数是负的零点一二，对吧？哎，除此之外还有一个长数，这样对吧？哎，这里呢是啊 三，这里呢是六十，哎，总而言之呢，这个表达是，首先他都是整式，对吧？哎，在这个前提下呢， x 的指数是一，前面有细数，然后 还有一个长竖项啊，通过归纳这些特点呢，我们就可以啊了解到一四函数的他的概念应该怎样来表示呢？如果两个变量 xy， 他们之间的对应关系可以表示成 y 等于 kx 加 b， 哎， 这里主要说明的是 k 和 b 呢，都是常量常数啊，并且 k 呢是不能等于零的，也就 x 前面这个系数啊，是不能等于零的啊，如果可以表成这样的一种形式，我们就称 y 式 x 的依次函数，我们刚才上面举的这两个例子，他们两个都属于依次函数， 对吧？哎，你看这 k， k 表示 f 前面的系数啊，那对于第一个式子来讲， k 就等于零点五呗，那 b 就等于三呗，对吧？哎，对于第二个式子呢， k 应该是等于负的零点一二，然后 b 应该是等于正的六十，对吧？所以呢，这里啊，就是一四函数，他的概念啊，主要是记住这样的一个表达式，同时这里还有 一个最重要的地方，就是什么呀，对于 k 的一个要求，哎， k 呢，必须是不等于零的，哎，这也是我们这概念当中很重要的一个部分，同时也是一个常考的一个考点，只要说一个函数是一次函数， 那么自然而然的就要求 x 前面的系数不能为零啊，非常的重要。好，接下来啊，大家可以自己尝试一下啊，可以举几个一次函数的这个例子，哎，写几个表达式，然后呢，还可以写几个法例，你可以写一些一些的这个其他的一些函数表达式，让他不是一次函数，哎，大家自己举例啊，这里，好， 我们一起来看看例题啊，下列函数中哪些是一次函数，我们一起看一下吧。选第一个， y 等于三 x， 这个是一次函数，我先把一次函数这个表达数给列出来啊，应该是 y 等于 k， x 加 b， 对吧？哎，这里有个要求是 k 是不能等 零的，对吧？哎，好，放在这啊，首先 y 等于三 x， 你看他跟这个表达之间一样吗？哎，好像有点不太一样，是吧？哎，虽然这个 kx， 哎，他这里有了，好像少了一个 b， 是吧？ 那这里其实要求什么？这个 b 是不是等于零了呀？我们在这个啊，一字函数概念的时候，有没有强调 b 是不能等于零的？这里好像没有吧，我们只强调了 k 不能等于零，那就说明什么呀，人家 b 可以等于零， 对吧？哎，那这个 y 等于三 x， 是不是其实就相当于是把这个长数线让他为零了呀？哎，然后呢，所以呢，我们就说这个他也是一次啊，确实是一次，那至于 b 等于零的时候，其实他还有一个更特殊的一个称呼啊，我们等一下会给大家一起来学习啊。 好，第二个， y 等于负的 x 分之三，这个是易算函数吗？这很显跟他不一样，对吧？哎，人家要求这里是什么？这最起码他肯定是整式，你这个分 当中啊，有这个啊，未知数了。什么？你这不是整式啊，对吧？哎，所以呢，第二个啊，他肯定不是一次函数啊。好，第三个， y 等于负三 x 加一，这个不用说了吧，这跟这个形式完全是一样的，对吧？哎，所以他是一次函数啊。好，第四个， y 等于二 x 平方，这个是吗？ 你看 x， 他的指数是二，对吧？人家这里指数肯定是应该是一，所以很显然他不是一次函数啊，其实我觉得这个返利啊，其实是更重要的一些，对吧？好，接下来第二只点啊，正比例函数的概念，我们一起来看一下，什么叫做正比例函数， 根据教材上面给咱的概念应该是什么呢？他是直接在这个一四函数的概念后面加了一句话，哎，你看前面这个描述呢，就是一四函数的概念，跟我们刚才学习的完全一样啊。那后面加了一句话，特别的，当 b 等于零的时候，称 y 是 x 的 正比例函数，这个就叫正比例函数了，是不？概念非常简单，哎，其实呢，他就是在这个一次函数这个表达式的基础上，我们说 k 不能等于零，但是没有说 b 也不能等于零，对吧？ 那当 b 等于零的时候，我们刚才也说了，他有一个特殊的称呼，哎，他的名字就叫做正比例函数。那么我们如果说用一个类似一四函数的这样一个概念对这个正比例函数进行描述的话，那你说正比例函数他的通用的表达是应该是怎么样的呢？是不应该这样说，形如 y 等于 kx， 哎，这里要求呢，是 k 不等于零的啊，这样的函数我们就称什么呀？ y 是 x 的正比的函数，是不是因为 b 已经等于零了呀，我就可以不写了。所以呢，他的正比的函数通用的表达是就应该是 y 等于 kx， 哎，这里也要说明 k 仍然是不能等于零的。那么通过这两个概念，我们是不能发现这个正比 函数啊，和这个一四函数之间有什么样的关系呢？首先，你说一个函数，他如果是正比的函数的话，他是不是一定是一四函数， 对吧？哎，这么两行数，这个关键是，那么他其实就是一次函数，一种特例吗？对吧？只是说 b 让他等于零了，所以呢，正比例函数一定是一次函数。那么如果说我反过来讲，如果一个函数他是一次函数，那他一定是正比例函数吗？这个一定是 肯定是否定了，不一定，对吧？哎，因为你只有当这个币啊，长寿卷为零的时候，我才说他是正比啊。数，如果长寿卷不为零呢，那你只能说他是一次大数，你不能说他是正比。 那这里还有一个问题，如果说一个函数他不是一次函数，那你说他有没有可能是正比的函数啊？那就更不可能了，因为正比的函数本身就是一次函数的一种特例吗？对吧？如果一个函数连一次函数都不是，那他 更不可能是正比的函数，对吧？这就是正比的函数和一次函数的关系啊。正比的函数呢，是一次函数的特例，也就说他是属于一次函数的， 但是呢，一次函数不一定是正规的函数，他们这个关系要把握清楚。好来看例题啊，写出下列课题当中 y 与 x 之间的关键是，哎， 并且呢，判断一下啊，这个 y 是否为 x 的依色函数和正比例函数。我看第一个啊，一辆汽车以八十公里每小时的速度匀速行驶，那么 行驶路程 y 与行驶时间 x 之间的关系是？这个非常简单的路程应该等于速度乘以时间吗？对吧？哎，所以呢，这个 y 呢，就应该等于速， 就是匀速行驶吗？就是八十，对吧？哎，时间呢，就是 x， 反正这就是就是关于和 x 之间的关系，是吗？好，我们判断一下，他是异色函数吗？刚才刚讲过他 是一次函数，对吧？那同时他是正比的函数吗？他后面长数限为零，对吧？所以呢，他既是一次函数又是正比的函数。好，第二个， 圆的面积歪与他半径 x 之间的关系，那面积公式就行了呗，对吧？哎，圆的面积应该是等于派二的平方，对吧？哎，派半径是 x， 注意啊，所以应该他就应该写成派 x 的平方，对吧？那你说他是一字还是吗？ x 上面指数是二啊，对吧？哎， 他不符合异色函数的概念，所以呢，他不是异色函数。那既然不是异色函数，那他就肯定也不是正比的函数，对吧？好。第三个，一棵树现在的高度为五十厘米，每个月长高两厘米。 问， x 月以后啊，这棵树的高度为 y 厘米，你说这个 y 和 x 之间这个关键是应该怎么来表示？ x 个月 以后，你说这个歪啊，他是不得用现在的高度，加上他又增长了那个高度，对吧？现在的高度呢？已经告诉我了吗？是五十， 哎，那加上他增长了多少呢？一个月增长长高了两厘米， x 月肯定要长高二 x 厘米，对吧？所以呢， vip 应该等于五十，加上二 x， 对吧？好，那这个式子他是这个异色函数吗？很显然他是，他符合异色函数的概念。那他是正比的函数吗？这里有长寿相，不为零，对吧？哎，所以他不是正比的函数啊，好，看一下啊。 好，那我们来总结一下今天学习的内容啊，更多的习题呢，我们放在这个后面的一个习题练习的时候，和大家一起来进行练习啊。好，我们主要学习了这个一四函数与正比的函数啊，两个知点。首先第一个就是一四函数啊， 记住，这个表达是 y 等于 kx 加 b， 最重要的是 k 的取值范围啊， k 是不能等于零的，哎，那是 b 呢，可以等于零，对吧？当 b 等于零的时候，他就变成了正比的，所以呢，正比的函数的表达是就是 y 等于 kx， 哎，同样，这里要求的是 k 是不能等于零的。 好，那今天内容呢，就和大家一起学到这里啊，下一个课呢，和大家一起做一个习题练习，欢迎大家收看，如果喜欢的话，记得关注一下明老师初中数学课堂，如果有问题欢迎大家留言或者给我发私信，我们下次再见。
6207明老师初中数学课堂
19:00查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第五章二元一次方程组的第六节，二元一次方程与一次函数。 好，来看一下知识点清单啊，一共有两个知识点，好，来看第一个，二元一次方程与一次函数的关系。那么我们第五章啊，到目前为止主要学习的就是二元一次方程以及方程组，对吧？哎，但是呢，我们呀， 把他跟我们的第四章的内容，哎，也就是这个一四函数之间要做一个综合起来的一个学习啊，也就是说啊，这个二元一次方程，他与一四函数之间啊，有着非常密切的关系。 那么说到一次函数呢，我们首先进行了一个复习啊，我这个一次函数，他的一般的表达是应该是什么？我们学了新的内容，一定不要把以前的内容给他忘记 啊，那么如果是一次函数的话，他的一般表达是应该是 y 等于 kx 加 b， 其中 k 是不等于零的，哎，我想到这啊，大家也一定应该是能够脱口而出的，对吧？好，既然大家 思考一个问题啊，就是说这个表达式啊，我们可不可以把它看成是一个二元一次方程啊？哎，因为这当中啊， xy 可以看成未知数，对吧？那这 k 个 b 呢，应该是常数，对吧？哎，所以呢，他是不是也符合二元一次方程的这个定义啊， 因此啊，我们可以把这个表达式看成是一个二元一次方程。哎，好，那接下来做一个练习啊，将下列二元一次方程给他转化为一次函数的形式，哎，这两个一和二，他们这两个应该都是二元一次方程，对吧？哎，那我们可不可以把它转化 化为一四函数的形式，也就是转化为这种啊， y 等于 kx 加 b 这种形式，其实这个难度应该不大，我们只要把 y 放在等号的这个左边，对吧？哎，把有 x 的相呢，以及常用项全部放等号的右边就可以了，这就是就是一个横等的一个变形而已嘛，对吧？哎，我相信这两个点大家应该都能够啊， 比较轻松的打开解决，对吧？大家可以暂停一下，自己进行一下转化啊。好，我看下答案啊。哎，第一个，第一个方程转化为函数形式，就是这个，对吧？第二方程转化为函数形式应该就是这个， 因此啊，我们其实可以得出一个结论，是吧？首先呢，一次函数啊，他的表达是我们可以看作是一个二元一次方程，那么对于一个二元一次方程来说呢，我们是不是都可以把它转化为一个一次函数的这样的一个表达方表达形式啊，对吧？这本身呢，也就是这个二元一次方程啊，与一次函数的一种关系， 是从表达式上面，哎，他们俩之间是有联系的，对吧？好，现在我们思考一下啊，对于方程 x 加 y 等于五来说，你说他的解应该有多少个呀？ 我们之前学的时候也知道了，对吧？对，一个二 a 字方程，如果你不给他限定什么条件了的话，他一般来说应该是有五数多个解的，对吧？比如说 x 等于一， y 等于四，对吧？哎， x 等于一， y 等于四，或者说呢， x 等于零， y 等于五， x 等于二， y 等于三等等，哎，有整数的，有小数的，对吧？有正数的，有负数的，他有无数多个减啊。 接下来我们思考一下这些解是否都满足这个依次函数 y 等于负 s 加五的表达式，那肯定是满足的，对吧？因为他从他到他是一个很冷的变形吗？我们甚至可以认为他俩怎么样，他俩是相等的，同样的一个表达方式，对吧？那你，你如果说满足了上面这个 成 x 加 y 等于五，你是不是一定会满足这个 y 等于负 x 加五这个北大师啊？哎，这不用多说了，应该非常容易理解，对吧？一定是满足的啊！好， 接来思考第二问题，以方程 x 加 y 等于五的解为坐标的点组成的图像，与这个一四函数 y 等于负 x 加五的图像之间有什么关系？首先我们想一下什么叫以它的解 为坐标的点，这是什么意思？因为我们知道一个二元一次方程啊，他的解一定是一组未知数的值，对吧？也就是相当所说的 l 等于一， y 等于四，哎，这一组未知数的值叫做这个方程组的解， 叫做方程的解，对吧？那我以这个解为坐标是什么意思？我就是说以这个横坐标呢，我就取这个 x 的值，对吧？动作标，我就取这个歪的值，比如刚才 x 等于一， y 等于， 那他对应的这个以他这组解为坐标的点，那不就是一和四吗？对吧？哎，那同样以 x 等于二， y 等于三这一组的解为坐标的点，那就对应的就是横坐标是二，坐标三就可以了，对吧？好，那接下来就思考这样的点所组成的图像与这个一字函数的图像之间有什么样的关系？ 首先啊，你这组这组坐标是不是一定要满足下面这个表达式啊，对吧？哎，你这组以这个解为坐标，那这个解呢？一定满足这个方程，满足这个方程就满足这个表达式。所以呢，你所有的以这个解为坐标的点呢，一定是满足这个表达式的。 你既然满足了这个表达式，那就说明什么呀？你这样的点一定是在这个函数图像上，对吧？这个之前我们是学过的，哎，那么你这个点在这个图像上，那么以以所有的解为坐标的点组成图像，那其实跟这个一次函数 图像怎么样？其实就是同一个图像，对吧？我们是依次函数的图像是直线，那么呢，你以这个方程的解为坐标的点组成的图像怎么样？同样也是一条直线，他俩其实是同一个， 同一个图像，都是一条直线。哎，这就是我们从图形上找出的这个二 x 方程与一次函数啊之间的一个关系啊。好，第三点，再反过来说啊，一次函数 y 等于负 s 加五的图像上的点， 哎，就是说我已知啊，这个点呢，已经在这个一品函数这个头像上了，对吧？那你说这个坐标是不是都适合这个方程啊？都适合方程 x 加 y 等于五，那 肯定都适合，对吧？哎，你只要这个点在这个函数图像上，你这个点的坐标一定满足函数的表达式，你满足这个表达式，那你就一定适合这个方程，对吧？因为他俩是等价的嘛，对吧？所以啊， 这里一定是肯定的，爱一定都适合这个方程。好，通过以上的思考，其实我们就找出了一些二元一次方程与一次函数的一些关系了。好，我们呢，接下来一起来归纳一下他们两个之间的关系到底 应该是怎么样来进行描述的呢？啊？第一个，任何一个二元一次方程都可以化成一次函数表达式的形式，这个应该没问题了，刚才我们已经分析过了啊，接下第二个 二元一次方程的解有无数个啊，那么以这个二元一次方程的所有的解为坐标的点 组成的图像，与相应的一四函数的图像相同，哎，是一条直线，这个我们刚才也分析过了，对吧？哎，只要呢你以这个解为坐标，那么你这个坐标一定是啊，满足这个方程的，满足这个方程呢，你就 满足相应的依次函数的表达式，那所以呢，一定在这个依次函数图像上，对吧？哎，那么以你这个所有的解，哎，他说以所有的解为坐标点组成图像，那与相应的依次函数图像一定是相同的，他们都是一条直线。 好，那刚才呀，是我们通过文字的形式来总结的这个二元一次方程与一次函数的关系。接下来我们画一个示意图，哎，来描述一下他们之间的关系。 先，对于一个二元一次方程，我用的是字母系数啊， ax 加 by 等于 c， 这样更具有代表性，对吧？前提呢，就是这个 x 和 y 的这个系数， a 和 b 啊，都不能等于零啊。那么对于这样一个方程来说，他的结，哎， 我怎么样来表示呢？我用 x 等于 m， y 等于 n 来表示，哎，也就是说这个 x 等于 m， y 等于 n 呢，就是这个方程的解，哎，他的解，我就设设 这样的一组未知数的值，啊，那么他的解怎么样？我以他的解为坐标确定一个点，对吧？这个点的横坐标我就取 x 的值，重坐标我就取 y 的值， 这样呢，我就确定了一个点的坐标，对吧？哎，点的坐标就是 mn， 那么这个点我如果在坐标系当中把它标出来的话，他一定是在哪个呀？是不是一定是在这个一四函数这个的图像上？ 这个一次函数的表达是看起来好像有点复杂，但是呢，他是怎么样？他就是根据我们刚才这个二元一次方程啊变形得来的， 看一下是不是，哎，我把歪呢留在等号的左边，把 x 和这个长竖向全部放在右边，同时我把歪的系数转化为一，他就是这样的一种表达式，这个表达式也就是一个一次函数的表达式，对吧？哎，那这个点 m 呢，一定在这个依次函数的图像上，哎，因为他呢，一定满足这个依次函数的表达式，对吧？这个表达式就是根据方程变形而来的，哎，这个呢，就是从方程到函数之间一步一步，他们之间的关系就是这样形成的。 那么如果我现在反过来说啊，我在这个一次函数 y 等于负的 a 分之 bx 减去 b 分之 c 的图像上，我找一点， 哎，我另这个假设，这个点的坐标就是 m n， 我现在反过来说了，这个点 m n 呢，在这个函数图向上，哎，然后紧接着呢，我以这个点的坐标确定一组未知数的值， 哎，那这个 x 呢？我就让他等于这个点的横作标， y 呢，就等于这个点的重作标，这样我得到了一组未知数的值，对吧？就是 x 等于 m， y 等于 n， 哎，那么这一组未知数的值 怎么样啊？他是不是一定是这个方程的解，对吧？哎，因为这个坐标满足这个表达是，所以呢，你这组解一定是满足这个方程的，哎，所以呢，他就是这个方程的解， 哎，这样呢，通过图的方式，我们也来总结了二元一次方程与一次函数的关系，那么归纳起来看，从方程到函数图像，它是一种由行到数的 啊，由数到型的一种变化，因为方程吗？他是数，对吧？但是函数图像他是行，哎，这是一种由行到数的变化，那么由函数图像到方程呢？反过来 就是一种由行到竖的变化，哎，刚才是由竖到行，对吧？哎，这里啊，这个嘴有点不好使了啊。由方程到韩式图像是由竖到行，哎，由函数图像到方程是由行到竖。好， 分析了二元一次方程与一次函数的关系之后，我们来看一个例题啊，以方程四分之一 x 减三位等于二的解为坐标的所有点 都在这个哪一个一四函数的图像上，那我刚才刚分析过，对吧？我怎么样？我只要把这个方程给他转化为一四函数的这个表达式的这样的形式是不是就可以了，对吧？把这四分之一 x 移过去，然后两边同时除以负三，是不是就可以了？好，直接看答案啊， 那么这个一字函数的表达是，就是 y 等于十二分之一， x 减去三分之二。好，先来看一下 第二只点啊，二元一次方程组与一次函数的关系，刚才啊，是二元一次方程与一次函数关系，对吧？接下来我们一起来学习二元一次方程组与一次函数的关系。好，首先我们还是做 练习啊，把这个方程组当中的两个方程分别转化为一四函数表达式的形式，哎，这两个方程吧，对吧？哎，每个都给他转化一下，这里呢，难度不大了啊，我们直接看一下转化的结果，第一个方程转化呢，就是 y 等于负 x 加五。第二个方程转化成一次函数表达式呢，就是 y 等于二 x 减一。 好，这一生应该是比较容易了。好，接下来第二个练习，在同一个直角周边线内分别画出这两个一次函数的图像，哎，把他俩图像画出来啊，这个呢，我直接给大家看答案吧。啊，哎， 画出来应该是这样子的。好，接下来我们开始进行思考了啊。首先第一个问题，大家看一下这两个图像有没有焦点，从图像当中可以很直观看出来，肯定是有焦点的，对吧？有一个焦点，那这个焦点坐标是什么呢？如果画图画的比较准确的话，我们可以直接从图像上看出焦点坐标，对吧？这里看出来焦点坐标应该就是横坐标是 二，纵坐标是三，哎，也就焦点坐标呢，就是啊，二三，好，进来思考第二个问题啊，你说这个焦点的坐标与上面这个方程组的解之间有什么样的关系呢？大家现在可以暂停一下，把这个方程组给他解一下啊，看看这个方程组的解是多少，哎， 解出的结果应该就是什么呀？ x 等于二， y 等于三，那你看这是不是刚好跟这个坐标能对上了，对不对？哎，所以呢， x 等于二， y 等于三，就是刚才上面这个方程组的解， 那通过这个，我们是不是又找出了二元一次方程组与这个一次函数之间的关系，对吧？哎，那这个关系又应该怎样来进行描述呢？我们一起来总结一下啊，他俩之间的关系就是确定两条直线交点的坐标就相当于什么呢？求相应的二元一次方程组的 同时，反过来说，我们解一个二元一次方程组就怎么样，就相当于我们去确定两条直线焦点的坐标，对吧？哎，因为一个二元一次方程组当中包括两个方程，哎，这两个方程呢，你分别都可以把它转化为两 个一四函数的表达式，对吧？那对应的图像呢？就对应的是两条直线吗？对吧？哎，我能确定两条直线焦点坐标，那我就确定了对应的这个二元一的方程组的解，那 我反过来，我把这个二 s 方组的解求出来，那就相当于我确定了两条，然后两条直线焦点坐标，对吧？哎，这里呢，有个通俗的一个说法，叫什么呀？坐标就是解， 解呢，怎么样？就是坐标，但这个话不是特别的严谨，对吧？所以呢，我没有把它打出来啊，大家心里明白这个意思就行，也就两条之间交警坐标和这方车主 都是最硬的这样的一组关系啊。好，再看一个例题啊，教材上的已知一算函数 y 等于三 x 减一与这个 y 等于二 x 的图像，他们的焦点坐标是一二， 求这个方程组的解。我们观察一下这个方程组怎么样？这个方程组是不是跟这个啊？两个函数的表达是，其实是是对应的，对吧？他就是跟他变形了吧，那这个连变形都不用了，是吧？所以我刚才经过刚才的分析怎么样？我只要确定了他们两个图像焦点，其实我就知道了，这样一组方程组的解，对吧？哎， 那这方案组我还要去解，其实根本不用去解了，我根据焦点坐标，我就可以判断出这个方向组的解是多少了。那焦点坐标是一二，所以方向组的解呢，就是 x 等于一二，对吧？哎，这个呢，可以就可以直接判断出来啊。接下来第三已知直线 y 等于 x 与 y 等于负二， x 加一相交，那么问我们他们的焦点坐标应该是多少？那这个我们刚才也分析过了，对吧？哎，我想确定焦点坐标，其实我就是把对应的那个方程组的解求出来就行了，对吧？那对应的方程组应该是哪一个？是不是就第一个方程就是 y 等于 x， 第二方程呢？就是 y 等于 负 x 加一，但是你如果非得说想把这个负二 x 移过来，其实也可以，对吧？那我不移也没问题啊。这同样，这也是一个方程组吗？对吧？ lv 等于负二 x 加一， 哎，一连立，我把这个方程组一解，求出那个 x y 的值对应的就是他们焦点的坐标，对吧？哎，这里呢，大家可以自己暂停一下解一下啊。好，答案呢，是三分之一，三分之一， 我们解了这个方程组，就求出了两条这个直线焦点的坐标了啊，好，接下来我们再看这样一个问题啊，在同一个直角坐标器内，依次含 注 y 等于 x 加一和 y 等于 x 减二的图像，有怎样的位置关系？然后问我们这个方程组解的情况如何？我们现在这两个图像啊，如果说这个对于这个一色函数啊，这个图像和性质比较熟悉，同学，其实我们可以不用画出这个图像，对吧？我们直接观察就知道了，他们 k 的值相， 也就是 s 系数都是一，这两条直线啊，肯定是平行的关系，对吧？哎，我们如果在这个助标器当中画出来，其实也得到同样的结论， 这两条直线呢，是平行的，那么对应这个方程组呢？这个方程跟他肯定就是对应的，变形得来的，对吧？哎，那下面这个呢，肯定跟第二个这 表达式啊，也是变形得来的，对吧？所以他俩都是对应的。你说这个方程组有没有解，大家可以自己尝试的解一下啊。哎，其实直观的就可以看出，他肯定是没有解的，为什么呢？你能找出这样的两个数，他们的差 既是负一又是二，那存在这样的数法，肯定是不可能的，对吧？所以这个方程组啊，是没有结的。哎，这里我是不是又找出了他们之间的关系，你看两条直线平行，那么他们对应的方程组就没有结， 那我如果反过来呢？如果这个方程组没有解，那么他们对应的两条直线怎么样啊？现在就是平行的呗，是不是？哎，那集合刚才那个怎么样？如果两条直线相交，也就是他们有一个交点，那对应的方程组怎么样？是不是就有一个解啊？ 哎，反过来说，如果分成组有一个结，那么他对应的两个一字函数的图像是怎么样？一定是相交只有一个小点，对吧？ 哎，这呢，我们又可以总结一下了，也就是这个二元一次方程组的解的情况，与这两个对应的一次函数的图像之间有什么样的关系？如果这个二元一次方程组没有解，那么他对应的两个一次函数图像 怎么样？是平行的，也就是说他们没有交点。如果这个二元一次方程组有一个结，那么他们对应的这两个一四函数的图像是相交的，也就是说他们有一个交点，因为两之间相交本身就只有一个交点，对吧？好，还有一种特殊的情况是什么呢？如果这个二元一次方程组啊，有无数个结， 那么对应的两个一次函数重合，那这个怎么理解？什么叫二元一次方程组有无数个解？我写在上面，比如说第一个方程 x 加 y 等于一， 对吧？好，那第二个方程怎么样？我写个啊，二 x 加二 y a 等于二，我这样写， 其实这个变形象跟第一个方程其实是一样的，对吧？哎，那你说这个方程组他有多少个结，那他肯定是有无数多个结的，因为这两个方程其实都可以转化一个同样的一个方程了，对吧？哎，他肯定是有无数多个结的，那对应的 两个一色函的图像呢？我可以把他们两个分别变形一下，我发现这两个一色函数的表达式是相同的。哎，那对应的图像也就是两条直线是重合的了呗，如果两条线重合在一起，那他肯定是有无数多个焦点，对吧？ 哎，所以呢，这种特殊情况也是对应的，如果二 a 的方程组有无数个结，那么他们对应的两个意思函数的图像是重合的，也就是说他们有无数个焦点。 好，那我们总结一下我们今天所学的内容啊，我们学的就是二元一次方程与一四函数的关系。首先，二元一次方程与一次函数的关系，他们怎么样来描述呢？任何一个二元一次方程都可以化为一次函数的表达式的形式， 二元一次方程的解有无数个，以这个二元一次方程所有的解为坐标的点所组成的图像与相应的依次函数的图像相同。哎，他们都是直线 啊。那么第二个呢，就是学习了二元一次方程组与一次函数的关系。那这个应该怎样来描述呢？我们确定两条直线交点的坐标，就相当于求相应的二元一次方程组的结， 反过来说，我们解一个二元一次方程组就相当于确定两条直线焦点的坐标。哎，剪辑，为什么呀？坐标是解解释坐标，哎，不太严谨啊，明白意思就行了。好， 那今天内容就到这里啊，我们下次课呢，和大家一起进行习题的练习，欢迎大家收看，如果喜欢的话，请关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
5820明老师初中数学课堂
19:08查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章依次函数的第四课，依次函数的应用啊，今天是第二个课时， 首先来看一下知识点清单，总共两个好，第一个是一个一字函数图像的，我学了一次函数之后啊，我们看看能不能用它来解决一些实际的问题。 好，直接来看一道例题啊，小明放学以后步行回家，他离家的路程 s 与步行时间 t 的函数图像如图所示，这呢是一个 s 关于 t 的这样的一个函数图像。好，第一个问题，小明的家与学校之间的距离是多少米？首先我们还是来看一下这图像啊，这图像很明显他是一条，应该是条 直线，对吧？那是因为呢，这个结合了实际的问题，所以呢，这个 s 和 t 啊，都是不可能去复制的，对吧？所以呢，展示出来的应该是一条线段，就说这个 t 啊，他是有一定区别范围啊。那么我们小明的家离学校的距离是多少距离，应该怎么找？我观察一下这个 图像啊，与这个重轴，对吧，他的焦点这里呢，重轴标应该是一千六百啊，那说明什么意思呢？是不是说当这个 t 等于零的时候，对吧，因为在这个 y 轴吗？对吧？哎，在这个 y 轴上的所有的点呢，他的横坐标都等于零，这个点对着 t 是等于零的， 哎，就七点零的时候，这个距离呢，是一千六百米，那是不是这个一千六就指的就是家与学校之间的距离，对吧？因为他没走吗？他从学校还没走的时候，与家距离是 六百米。所以呢，第一个问题答案就是一千六百。好。第二问题，小明步行回家的平均速度是多少？你每分钟这个速度应该怎么求？我们知道这个求速度的这个公式，对吧？我们解决行程问题的时候，路程呢，应该是等于这个啊，速度乘以时间， 对吧？还有这样的一个公式，所以呢，我求速度，我是不是得用路程除以时间，应该这样来求，对吧？ 那路上属于时间应该怎么来求呢？我观察这个啊，这个图像，他呢是从当 t 等于零的时候，这个 s 是等于一千六百，随着 t 的增大呢，这个 s 是逐渐变小，对吧？哎，最后呢，他拿与这个横轴的交点 这里呢，合作标是二十，也就是说呢，当 t 等于二十的时候，这个 s 啊变成了零，对吧？哎，那是不是说明呢，他走了二十分钟以后就 到家了呀？哎，二十分钟的时间内，他一共走了多少米？是不是走了一千六百米，对吧？哎，所以呢，这个速度是不是可以求出来？就是用这个一千六百，然后呢，除以二十就行，路程除以时间，最后结果呢，应该是八十八十。好，第三个， 当踢倒有五分钟的时候啊，小明与家的距离是多少米？这个呀，我是不是应该算一下？这个，当他走了五分钟的时候啊，他走了多多远，对吧？那五分钟走了多远呢？是不是又要用到这个形成问题这个公式了，对吧？哎， 五分钟就应该用速度乘以五呗，那他的速度我已经知道是八十，那五分钟的时候呢，他肯定已经走了，这个五乘以八十，这个等于四百，对吧？也就说呢，他一共走了四百米，哎，那他与学与这个家，家与学校距离一共是一千六百， 对吧？他往家的方向走了四百米，所以呢，这时候他与家的距离是不是就剩下了一千六百，减去四百对，所以呢，最后的答案应该是这个一千两百米，对吧？好，以上啊， 我们所用的这种方法啊，基本上都是属于算数的方法，我没有用到真正的函数的方法， 因为我们知道学习函数的时候，最重要一点一点是数形结合，对吧？哎，我们学函数一定是跟这个图形啊，图像啊，是分不分不开的啊，我们刚才啊，只是从这个函数图像当中读出了一些信息，然后呢，用的就是我们一些小学可以从小学学的知识，对吧？用算数的方法去把这个， 这样，我们现在已经学习函数了，我们想一下怎么样用函数的方法，哎，这才是我们要解决这个问题的关键，对吧？我觉得我们这道题这么简单，好像没有 太太太多了，这个啊，研究的价值，对吧？不过现在从函数的方法应该怎么研究？很显然，这个 s 和 t 之间是一个函数关系，那应该是一个什么函数，这是一条直线呢，对吧？所以呢， s 啊，他应该是 t 的一次函数， 对吧？既然 s 是 t 的依次函数，我们学过依次函数，通的表示是 y 等于 ks 加 b， 对吧？哎，那这里呢，两个 b 量变成了 s 和 d， 是不是我可以设他们之间的函数表达式是 s 等于 k， 然后 t 加上 b， 哎，这是一色函数的一个分类表示，对吧？然后呢，我观察一下函数啊，这个图像经过两个点，首先一个这个点，这个点的坐标应该是长坐标，应该是零，对吧？正坐标呢，应该是一千六百， 哎，经过这样的一个点，紧接呢，又经过这样的一个点，对吧？这个点的坐标呢？应该是乘坐标是二十，动作标是。 那么我们在上一节课的时候学这个用待定系数法求函数的表达式，对吧？我，我，我知道，如果想求一个一字函数的表达式，我是需要两个条件，但是是刚好是不是给了我们两个， 哎，我把这两个点坐标带到这个表达室当中，我是不是可以求出一个 k 和 b 的值啊，从而我可以确定这个函数的表示，对吧？来，我们一起来试一下啊。首先把这个零和一千六百如果在一起的话，也就是说这个 t 换成零，对吧？ s 呢？换成一千六百，那是不是就变成了 b 等于一千六了，对吧？哎，这代举啊， b 请出来了， b 的值就等于一千六百， 好，接下来呢，把这个二十零给他带进去，对吧？当 t 等于二十的时候，那这个里是不是就变成二十 k 了？ 二十 k 加上 bb， 我也求出来了，就等于七六百，对吧？好，那 s 应该等于什么呢？ s 这个时候应该是等于零，知道吧？这样的一个相当 关于是关于 k 的一个方程吗？对吧？哎，我可以把这个 k 的这个值啊，可以给他求出来，这这里几个方程求了， k 应该是等于负的八十，所以呢，这个 s 和 t 之间的关系是不是变成了 s 等于负的八十 t， 然后加上这个一千六百， 哎，我得到了一个这样的 s 与天的 t 之间的一个函数的表示，我观察这个 k 和 b 啊，在我们实际问题当中，他是有实际意义的，对吧？首先那个 k 是负八十，负八十，这里表示什么？我们刚求出来， 他的速度应该是八十，对吧？那是不是也就是这 k 的他的绝对值，不罚是绝对值，是八十，这 k 的绝对值表示就是数， 哎，那有他说，那你速度也不能是速的呀，对吧？这里我要告诉大家，因为我们初中阶段呢，还没有学习这个啊，速度的这个适量的这个意义，对吧？这我们在以后呢学一张数学，其实速度啊，可以用负的来表 说，我现在没有学到，那么以我们目前学的知识，你可以就认为这个 k 的绝对值，哎，他表示，所以呢，这就是 k 啊，他在我们实际这个啊题题目当中所代表的实际的意义。 这个 b， 这个一千六百，他的实际意义又是什么？本想我们刚才求出来了，小明家与学校之间距离，就是，哎，所以这个 b 啊，他的实际意义就是说什么呢？在一个初始的状态，初始的话就是说他还没走的时候，对吧？哎，那么初始的状态的时候， 这个家离学校之间的距离，那也就是表示的是甲与学校之间的距以外都是一起，所以在这道题当中， k 表示速度， b 呢，就表示家与学校之间的距离。 求出这个表达是之后啊，那上面两个问题其实我们都已经解决了，对吧？那你看第三个问题呢，当 t 等于五的时候，我直接把 t 等于五给他带进去，对吧？这个时候 s 就应该等于负的八十，然后呢， 乘以五再加上一个一千六百，对吧？哎，这里呢，解一下，求出来的最后的值还是也是等于一千二百，跟我们这个算数方法求出来的值是一样的，对吧？但是呢，我们这里啊，运用到就是这个函数的方法，有些人可能会觉得这个方法还挺麻烦的，对吧？还不如我们这个算数的方法简单。 这里我要告诉大家，对于一种简单的问题来说，实际情况确实是这样，你可能确实用我们韩式方法也显得麻烦一些，对吧？但是在一些解决复杂问题的时候，你就会发现他的好处。 我们后期呢，会啊，和大家一起来学习一些函数的一些复杂的一些图像。哎，实际的这个问题，那个时候大家就会觉得函数的好处。这里我给大家举个比方，我们刚开始学方程的时候， 大家也会觉得方程没有算数简单，对吧？我举个例子啊，这里因为我这一课内容不多吗？比如说我说啊，一个数，他呢 比这个五啊要大，大几呢？大二，哎，问你这个数是多少，那人家肯定脱口而出，比五大的数是五加二呗，对吧？五加二就等于七，是不是非常简单呢？哎，那同时我们学了方程，如果方程的方法应该怎么办呢？是不是得设这个数为 x， 他比五大二，就他减去五分二，对吧？这就解除了 x 同样是个七的这个方法，就是第一个方法就是算数，第二方法是方程。有的人可能觉得这个题不需要列方程，方程很麻烦， 对吧？对，简单的问题确实如此，但是我如果说我换一种啊，比如说一个数，这个数的三分之二比这个数的二分之一要大五， 问你这个数是多少？那你这个时候你想一下，我用算数的方法呢？也不是说不行，那肯定是麻烦一些，但是如果我列方程是不是非常简单，我设这个数为 x， 然后我就列三分之二 x， 减去二分 分之一 x， 对吧？哎，直接就等于几个方程数就可以，哎，这个时候我们方程的优势就显示出来，对吧？他在解决复杂问题的时候，他会使我们的思路呢，非常简单。 但是对越复杂的问题，其实我们在思路这块消耗的时间越多，那么你如果用一个简单的思路就可以解决这个问题，相当于是代替你节省时间，对吧？哎，那我们函数的方法其实跟方程是同样的，虽然说表示的形式略为复杂，但是呢，思路是非常简单，哎，我直接 把这个函数表示给他求出来，对吧？然后呢，利用直线或者利用一些相应的焦点这个方法来求实际的问题，这个大家以后啊在做题当中会仔细体会一下这两种方法不同之处。 好，这个地方也说多了啊，我直接看下个立体，如图，某植物七天后啊，这个高度为歪厘米，然后呢，这个直线 l 啊， 他反映了 y 与 t 之间的关系，让我们根据图像回答下载问题。教材一道题啊。好，第一个，这图像可能看的不是特别清楚啊，大家可以到教材那个购物细菌找一下啊。 第一个问题，三天后该植物的高度是多少？那我观察一下，这个三天以后，我如果看在图像上看呢，这三天以后这个高度啊，好像看的不是特别清楚，七等于三的时候，对吧？这个焦点，然后呢，他对应的这个动作标到底是多少看的不是特别清楚，所以这道题我们采取的办法应该是， 我是不要把想办法把它给到事情，这很显示一条直线吗？对吧？应该对应的这个 y 啊，与 t 之间就应该是一个依次函数，对吧？ 既然是，意思还是我想确定他的表达是，我需要两个人。首先根据这个图像啊，我知道这里有一个点，哎，这里点坐标应该是零三，然后再看呢，有哪个点比较明确呢？哎，最后我找到了这个点，对吧？这个点是很明确的，他的 坐标是十十，哎，也就算我根据这两个条件啊，零三，然后呢，这个啊，十和十，根据这两个点，我是不是就可以求出这个啊， y 与 t 之间的这个函数表设备，对吧？好，我一起来试一下。首先呢，我就设了这个 y 等于啊，这个这边呢还是 t 吗？对吧？ a 加上 b， 然后呢，把零三先带进去， t 等于零的时候， y 等于三，那是不是 b 等于三呢？然后呢，再把这十十带进去，十带进去呢啊， 这个 y y 是十，对吧？然后呢，七也换上十，那就是十乘以 k， 然后加上 b， b 是三吗？对吧？ 这节呢， k 的值呢？应该是，我看一下，应该是十分之七，对吧？哎，简单写写上零点七吧，啊，零点七，所以呢，这个 y 和 t 之间的关系是， 就应该是 y 等于零点七七，然后呢加上三，哎，这是函数这个表达式，对吧？好，接下来我看，有了函数表达式之后，我看一下啊，他说三天以后高度是多少？三天以后，那就是七等于三呗，把七等于三往里带，你看这个 y 等于多少，是不是等于零点七，然后呢， 乘以三，对吧？然后再加上一个三，哎，这里呢，就应该等于二点一，加三就等于五点五点一厘米。有了表达式之后啊，我再用这种单数的方法，是不是直接给求高度了？这个五点一，你如果看图像，你可能确定经录到底是，对吧？哎，所以第一题答案就有了，五点一零。好，第二题， 他说啊，预测该植物十二天以后的操作，那这十二天从图像上更是不好找，对吧？没关系啊，我有了这个，呃，有了这个表达式之后，那我就变得简单了，十二天以后我就要剃哪 十二呗，对吧？哎，所以十二天以后，这个歪呢，就等于零点七，然后乘以个十二，然后再加上三，这里呢，应该是啊，八点四加三就应该等于十一点四一，对吧？ 所以呢，十二点以后的高度是十一点四。好，第三问题，几天以后该植物的高度为十厘米， 这时候告诉我们高度是十厘米，实际实际上告诉我们，是不是 y 等于十啊，对吧？ y 等于十，往这个表达式里面带，是不就是十等于零点七啊？ t 加上三呢，对吧？这里相当于求 t 的值了，那这里求出来呢， t 的值应该是等于十，也就说呢，十天以后，哎，他的高度是十厘米， 好，最后，图像对应的一四函数 y 等于 k， k 加 b， 当中 k 和 b 的实际意义分别是什么？我看这里 k 就应该是这个零点七， 对吧？我们刚才说啊， k 啊，在这个形成问题当中，他表示的是速度，在这个问题当中表示的是是不是表示的应该就是他的生长速度， 哎，也就是说单位时间内他这个歪的直，对吧？高度变化的量，那也就是每天增长量，对吧？所以这就是 k 的时机，每天的增长量。那 b 表示的什么？ b 表示的就是当这个啊 t 等于零的时候歪的直，对吧？那很远，就是这还没长，哎， 这个也就表示这个植物原始初始的时候，他的一个高度，高度就是三厘米，这就是 k 和 b 的实际意义。好看答案啊， 在这里啊，大家可以自己核对一下，看看自己的答案对不对啊？好，进来第二，只点，一次函数与一元一次方程的关系，他们俩之间有什么？这教材呢？一个思考题啊，一元一次方程，零点五 x 加一等于 与一四函数 y， 这里有个 y 啊， y 等于零点五 x 加一，哎，他们之间有什么样的一个关系？他们之间我发现什么呀？首先这是零点五 x 加一，这也是零点五 x 加一，对吧？哎，这部分好像是一样， 那首先，那其他的其他方面有又有什么一样的？我们不妨这样思考一下。你说这个方程啊，既然零点五 x 加一在这边对应的是 y， 那我这里是不是就可以给他直接给他写成 y 等于零啊， 对吧？那么这个方程的解应该是什么呢？方程的解对应的 x， 我可以求一下啊， x 应该是等于负二，也就是当 x 等于负二的时候呢，这个零点五， x 加一等， 对吧？那也是不是也就说当歪等于负二的时候，这个函数这个函数对应的这个函数值歪就是等于零的，对吧？所以呢，我就找到了这个一四函数和约， 这里应该怎么样来描述呢？我可以说，当这个意思，函数他的函数这个直歪等于零的时候，那么他所对应的那个自便量 x 的值， 哎，就是这个方程的几，哎，大家这个幸福吗？对吧？哎，咱对这个意思来说，如果 y 等于零，那么求出 x 就等于负二，那也等于负二，同时就是这个方程的几， 对吧？所以呢，这就是这个约一次发生啊，和一生函数之间的关系。但是注意啊，我们这里所描述的都是从数的角度来描述，对吧？我们说函数啊，他是数形结合，所以我们刚才总结出来的这个应该是作为他们两个数这一方面之间的关系啊。我看一下，从数的方面来讲，应该是说， 当这个一次函数 y 等于零点五， x 加一，他的函数值为零的时候，那么对应的自便量值，哎，就是这个方程零点五 x 加一等于零的， 这从复数的方面来。好，接下来我们从行的方面来印象，我们把这个歪点零点玩意加一下，把图像画一下，应该是这样的，画图像之后，我们分析一下，我们刚才已经说了是什么呢？当这个啊，函数的函数值为零的时候，那函数值为零，对应图像当中应该是哪个点 是不应该表示的？就是这个直线与 x 轴的交点，因为与在 x 的时候，上面的点这个 y 都等于零，对吧？哎，所以这个点啊，这个点对应的还是就是，那我看一下这个点他的横坐标是多少，横坐标是不是刚好就是负二啊？哎，所以这个点坐标就是负二，合理。 哎，所以呢，我们从行的角度应该谁来点这个函数啊？他的这个图像与 x 字轴的这个焦点， 这个焦点的横坐标就是这个方程的记，对吧？焦点横坐标刚好就是说啊， 那么这个方程的解也是发，对吧？哎，这个呢，就是我们从行的方面来总结的一元一次方程与一次函数之间的关系啊，我去看一下 函数啊， y 等于零点五， x 加一的图像与 x 轴的焦点横坐标，对吧？哎，即为这个方程的减，这就是我们总结的一次函数与 es 方程的关系啊，从数和行两个方面来进行，好看一个例题啊，已知函数 y 等于 k 加 b， 他的图像如图所示啊， 则关于 x 的方程黑 x 加 b 等于零的解是什么？这个给我们图像，我们就从行的方面来进行研究就行，对吧？哎，行的方面，我刚才说过什么呢？这个函数的图像与 x 轴交点是在这里啊， 哎，焦点的横坐标就是方程的解，就是这个方程的解，对吧？哎，那我看一下这个焦点的横坐标是多少，是不是一呀？哎，因为这 焦点已经告诉我们，他坐标应该是一零，对吧？哎，焦点横坐标是一，所以呢，对于这个方程来说，他的解就应该是，哎，所以这道题答案就应该是这个。 这里给大家稍微拓展一下啊，如果说我问你，这个方程 ax 加 b 等于一，你说他的解在这头像里面应该来怎样来找？ 他已经告诉我们等于一了，那是不是就相当于是什么呀？对应的函数就应该是 y 等于一，对吧？ y 等于一的图像应该在哪里啊？是不是过这一点的一条与 l 平行的直线，我大概画一下啊， 这样的一条直线，他与 x 格平行啊，手画的有点不太标准啊。哎，那也就是说这条直线与这个 y 等于 ks 加 v 的焦点，哎，这个焦点啊，他所对应的这个横作 就是这个方形，当然这里涉及到了已经是一个两个函数的问题，对吧，不是我们这一个主要研究的一个一个知识点啊，可以作为一个拓展字典。其实 y 等于这个 k， i 加 b 等于一，也就是 y 等于 y 等于对应的就是这样的一条直线，对吧？哎，那这条直线与这个 之前呢？哎，这个函数的这个焦点就是这个 ks 加 b 等于这个方程的啊，这里拓展了啊，来能理解，当然是这个最好的啊， 那么那这节课主要知识呢，就和大家一起学习到这里啊。呃，下次课呢，和大家一起来学习我们这个啊，意思函数应用的第三个课时，欢迎大家收看啊，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
3701明老师初中数学课堂
17:07查看AI文稿AI文稿因此还符合几何压轴。六讲六练，今天我们是第二讲面积问题，来，先点赞收藏，听马哥给你讲，我们在平面直角坐标系当中啊，经常会遇到这样的问题，就是这有一个三角形 a、 b、 c 三个顶点都是已知的，看起来好像啥都知道，但是你试试你要求他的面积啊，就是很难求 啊，这是为什么呢？因为它的三边都是斜的，你以其中任何一条边为底，然后你要去计算它的高，都不是那么好算 啊。那么这类问题呢，我们经常的比较比较常见的处理方法呢，是割补啊，我通过呃通过好算的三角形去进行加加减减，把这个三角形的面积算出来，但是割补的方式虽然可行 啊，那么他有一个缺点，他就是每一道题你要去一道题一道题的去进行分析，而且有些情景下，这个胳膊还不是那么好处理。所以呢，马哥今天就给大 大家讲一个一劳永逸的方法，就是我们不要再拘泥于底层高了啊，我们我们来水平宽乘千尺高，就是在坐标系当中啊，任何一个三角形的面积，都可以用水平宽乘以千尺高直接去进行计算。 好，那我们第一件事就是先认识到底什么是水平宽，什么是情节高。好，那么在三角形当中啊，我可以任意选两个点啊，任意选两个点，比如说我选点 a 和点 b， 我们啊，我们把什么称作水平宽呢？就是这两个点的水平距离就是水平宽。哎，你比如说那么点 a 和点 b， 他们之间的水平距离其实就是横坐标差吗？就是 x b 减 x a， 这就是这个三角形的水平宽， 两个顶点的水平距离。哎，那么所以这个就是二分之一乘以 x a 减 x b， 那么铅垂高怎么去找呢？铅垂高，注意我们刚才是不是已经用过 a 和 b 了，我们去看它的第三个顶点，通过第三个顶点去做一个铅垂线，也就是说做一个竖线 和对边 a、 b 去找到一个焦点 d， 那么这个 c、 d 就是它的千尺高，所以它就是二分之一 x e， a 乘以 x b， 再乘以 c、 d， 这就是三角形 a、 b、 c 的面积。 好啊，大家可以在那个视频先品一下，到底什么是水平宽，什么是情商高？水平宽就是两个定点的水平距离， 千锤高怎么找？就是过第三个点，做一条竖线与这个对边找一个焦点。哎，这个 cd 就是千锤高。好，那小伙伴们可能会说了，凭啥啊？凭啥这是，呃，水平宽，千锤高就是这个三角形的面积呢？ 那接下来马哥就带大家来证明一下，注意我们所有的面积公式的证明啊，他其实都是什么啊？其实都是底乘以高来正的。哎，那么比如说这个三角形，这个阴影三角形，他其实被这个 cd 是不是切成了左右两个三角形？好，那我们来证明一下， 证明一下， s 三角形 a、 b， c， 哎，我可以认为它是左边的，这个三角形 a、 c、 d 的面积 加上右边 b、 c、 d 的面积就等于 s 三角形 a、 c、 d 再加 s 三角形 b， c、 d， 好，这是是这两个三角形的面积和。为什么要切成这两个三角形呢？哎，你会发现原本这个三角形三边都斜啊，没有办法计算面积，没有办法底层高，但是我如果用 cd 把它切开，那么左右两个三角形是不是都有一个竖线 cd 了？ 那我就让这个 cd 为底。来，我们看左边这个三角形的面积，他就是 cd 乘以 h 一除以二，就是二分之一的 cd 乘以 h 一，再加上右边这个三角形的面积。哎，那我也可以过 b 做一个他的垂线啊，过 b 做 cd 的垂线。 哎，我记这一段是 h 二，所以右边这个三角形的面积就是 c d 乘以 h 二， 二分之一的 c d 乘以 h 二。好了，那你会发现都有 c d 都有二分之一，我提出来就是二分之一的，哎，我 c d 放后面，这就是 h 一加上 h 二，来观察一下 h 一加 h 二是什么？ h 一加 h 二， h 一再加 h 二这一段，再加这一段是不是就是 x b 加 x a， 所以这个公式就出来了，二分之一的 x x b 减 x 的 a 再乘以 c d。 好，三角形 a b c 的面积等于二分之一，水平宽乘以千尺高， 那么他的证明思路大家可以下来，你再去领会一下。他其实就是通过这个铅球膏切成左右两个三角形，两个三角形都以这个铅球膏为底。我去，哎，用底乘以高表示面积，整理一下就可以得出最后的结果了。 好，小伙伴们到听到这啊，你可以自己把这个证明过程再捋一捋啊，再去感受一下。嗯，这就是水平宽乘以千尺高，那么这个水平宽乘以千尺高有什么意义呢？我们刚才不是说这个三角形 a、 b、 c 的面积不好算吗？ 来，我们现在品一下这个三角形的面积，哎，如果用水平宽乘以千锤高好不好？算来我们把正面过程就擦掉了。现在我已经 s 三角形 abc， 他就等于二分之一的水平宽，就是 xb 减 xaxb 减 xa 是这一段，哎，乘以千锤高是这一段，乘以 cd。 好来，首先水平宽是一目了然的，水平宽就是这两个点的横竖标，差吗？就是十减一，就是九， 而千锤高。什么呢？千锤高是这个竖线，竖线呢？我就需要点 d 的坐标了，很简单，那我求一下 ab 解释式嘛？ ab 解释式，哎，你一求，你会发现他是 y 等于 x 加二， y 等于 x l， 而点地的横坐标是四，那么纵坐标就是六，所以千锤高也就秒掉了。千锤高就是六，好，那我们都带进去，他就是二分之一，乘以九乘以六就等于二十七，简简单单，这个三角形面积就被我们 搞定了，这就是水平宽乘以千锤高。好了，那么当然了，水平宽乘以千锤高，他的形态啊，马哥刚才说了，就是他是以任意两个点的横坐标叉，也就是说任意两个点的水平距离做宽，然后呢，过第三个点做竖线， 那这任意两个点就不一定非得是 ab 做宽了，谁做宽，谁谁做宽其实都可以来，比如说我们换一种形式，我现在不让 ab 做宽了，我让 ac 做宽吧。啊，那么任意两个点的水平距离是不是就是这一段距离， 对吧？这就是水平宽。好，那我现在要找千锤高，找法还是一样的，过第三个点，去做一条竖线，与对面找焦点。那么注意，这次与 a c 找焦点，就会找到 a c 的延长线上， c、 d 就是千锤高，所以在这幅图上，我如果以 a、 c 的水平距离作为水平，宽作为宽，那么 b 往下做竖线与对边角找焦点， b、 d 就是高，所以这个 s 三角形 a、 b、 c 的面积就等于二分之一的呃， x c 减 x a 再乘以一个 b、 d， 好，那么有的小伙伴可能又不放心了，那么刚才刚才是从中间切开，我会做，那么现在你由臂往下做个竖向，好像跟跟跟刚才长得不一样了，可能很多学校里面，我们可能也没有见过这样的形式，那到底对不对呢？ 那为了让大家放心，马哥还是给你正一下，好吧，咱们再来正这次正的思路呢，还是以这个竖线这个牵垂高作为底，我去做找两个三角形，哎，以他为底，找到两个三角形，这是一个，这是一个，哎，跟 刚才的不同。什么呢？刚才是以这个竖线为叠找到的两个三角形做合是我们的目标，目标三角形，而这次呢，我们找到的两个三角形，很显然我做差就可以得到答，所以我们来证明一下， 这个 s 三角形 a、 b、 c 就等于呃，就等于 a、 b、 d 的面积减 a、 b、 c 的呃， c， b d 减 c， b、 d 的面积啊，减 c、 b、 d 好了，那么可以整理一下了，它就是二分之一的 b、 d 乘以我 a 做一个杠 h 一二分之一 h 一 b、 d 减去一个二分之一，还是以 b、 d 为底， c 往这儿做一 垂线 h 二减掉一个二分之一 h 二乘以 b、 d 好了，那么二分之一 b、 d 提出来，二分之一 b、 d 提出来，括号里面就剩了 h 一减 h 二，而 h 一减 h 二是什么？ h 一是这一段 h， 二是这一段 h 一减 h 二，那不就是这一段，这一段不就是 x c 减 x a 吗，对吧？好，那么最后得证，二分之一的 x c 减 x a， 再乘以 b d 就是我们的三角形面积了，好吧，好了，这是，呃，这是如果我过以同侧的啊，一边的两个点 a 和 c 为水平宽，那么第三个点一样做竖线，找到千水高，算出来的面积，大家可以自己试一下，算出来的面积肯定是一样的。好了，到这呢，我们就已经明确了，到底什么是水平宽， 认为铅水高了，那么来，咱们再做一些练习吧。啊，咱们随意找一个三角形啊，随意找一个三角形 a m n， 对吧？我可以以其中任意两个点的水平距离为宽啊，大家可以自己试一下，如果我以 m n 的水平距离为宽，哎，我以它为宽，那么高怎么长呢？ 高，就是第三个点去做一条竖线和对边去找焦点，这就是 a h 就是他的前垂高，所以三角形 a m n 的面积就等于二分之一的，呃，就是 x m 减 x n， 水平宽乘以前垂高 a h 这样的，你这样，如果有了这个这个这个技能掌握了以后啊，你会发现，任意三角形的面积啊，你都可以以任意的两个点为宽去炒到他的高， 水平宽乘以千尺高，就可以解决一个任意三角形的面积问题了。好，来，我们来做一道题试一试。听到这，大家可以暂停一下视频啊，你自己挑战一下，看一下这道题能不能用水平宽乘以千尺高自己把它搞定啊。这道题还有一点点要注意的细节啊，好了，马哥就继续了啊 啊，给了这样一堆点，最后它其实什么呢？就告诉我们， a、 d、 e 的面积就是这个阴影三角形的面积点， d 是在这个直线 y 等于三 x 上动的，让我让我们求在点 e 动的过程当中啊，这个 a、 d、 e 的面积 等于十二倍的 b、 o、 c， b、 o、 c 在这儿呢， b、 o、 c 在这儿呢。好，看到这样的面积等式，你的第一想法应该是什么呢？这两个三角形里面有没有面积是已知的，或者说 可以简单计算得到的？ a、 d、 e 是一个动三角形，我们先不管它，而 b、 o、 c 这个三角形啊，哎，它是一个很好求的，因为它是有一条竖线做底的，我们说任意三角形啊，只要有横竖线做底，你看，有竖线做底，我做它的高，这都很简单，有横线做底，我做它的高，这都很简单，可以求， 所以这个 boc 的面积是瞬间可以求出来的啊，我们来求一下他的底呢，其实就是四，对吧？高就是往这做个垂线，这是这，这段线段长就是一，所以二分之一乘以四乘以一， boc 的面积就是 二，那么 a、 d、 e 的面积等于十二倍的 b、 o、 c， 它其实就是给了一个条件，就是 a、 d、 e 的面积是二十四，哎，也就是说这个阴影三角形的面积是二十四，在这个条件下，让我们去求点 e 的坐标，好吧，这就是一个简单 的条件反应啊，那么我们现在已经有了这个三角形面积是二十四了，我要求这个点一坐标，那我想办法要去表示这个面积吗？那这个表示呢？肯定还是水平宽乘以千锤高，相当于对这个三角形来说，他的水平宽乘以千锤高就等于二十四， 对吧？那我现在就是就是要去找他的宽和高了，要找这个三角形的宽和高啊，这个我们说了，可以以任意两个点的水平距离为宽来 视频前的小伙伴，你这会你想一想，如果是你 a d e 这个三角形，你选两个点的水平距离作为水平宽，你会选谁？你肯定会去选这两个定点，对不对？我们说的是任意，但是你选的时候肯定不能给自己找麻烦，所以我就会去选 a、 d 两个点的水平距离作为水平宽。 好， a、 d 两个点的水平距离，这这一段作为水平宽啊，就是，呃，水平宽这一段作为宽， 一旦这一段做了宽了，那高怎么找呢？高就是过第三个点做一条竖线去对边 ad 去找焦点嘛，这个高也很好做了，过亿做一个竖竖线，那么 ef 就是他的高。 来，听到这你先认认一下，把高和宽认清楚好了。那么二分之一水平宽乘以千尺高，这个宽很明显是个定值，宽就等于四，减二就等于六嘛，所以就是二分之一乘以六乘以 e f 就等于二十四。 好，通过这个式子呢，其实我们就得到了 e f 是等于八的。好了，这就是利用水平方乘以千锥高，把一个面积问题呢拆解成，我现在 其实已知了这个高线是什么八，那相当于我要在高线为八的前提下去求这个点引索标，那我现在就是要表示这个高线 表示这个 ef， 最后要求点 e 坐标，那我就干什么？大家想想可以干什么？可以开始设了，对吧？我就设点 e 的坐标呢，就是，呃，因为他在直线外等于三 x 上，我就设他的坐标是 m 斗三 f。 好注意啊，点 e， 说完以后，点 f 的什么坐标都有了，你想一想， 这是一条竖线，那么点 f 的横坐标和点 e 的横坐标是相同的，所以它的横坐标是 m， 而点 f 的纵坐标也很简单了，这条直线是已知的，这条直线是已知的，这是负 x 加四，所以这是负 m 加四。 好了，那像 相当于这个 e f 这两个点都有了，这两个点都有了以后呢，那我要表示这条线段长，那我是不是用上面的点减去下面的点就是负 m 加四减三， m 就是负的四 m 再加四， 他减，他就表示出了 e f 的长。好到这暂停一下视频来想一想，这个 e f 的长表示成负四， m 加四，有没有问题？哎，这就是唯一一点点小细节。 注意，我们说了，一条竖线的长呢，是上面的点，点下面的点，但是你要千万注意，这个点 e 和点 f 是可以动的。 如果点 e 走走走走走，走到了，你看他沿着这条线走走走，走到了这边，这是 e， 那么他再做一条竖线，哎，再做一条竖线，去找和 a、 d 的交点，就找到这了，这就是 f。 所以你会发现，这个时候啊， e 点就在上边， f 点就在下边，这个时候我来我一还是 m 斗三 m f 还是 m 斗负四 m， 呃，负 m 加四，负 m 加四， 那么这一次你再再去做减法，是不是就变成了三 m 减 m 加四，就是四 m 加四了， 哎，也就是说，随着这个点 e 的运动啊， e 和 f 的上下关系是不定的，谁减谁是不知道的，所以当我们表示出来的这个 e f 的长以后呢，线段长加个绝对值，万无一失了， 对吧？好了，那我们就可以把这个 e f 表示什么呢？表示成负四， m 加四的绝对值就等于八，然后解绝对值方程也很简单，把绝对值号去掉，就是负四 m 加 加四等于八，负四 m 加四等于负吧。哎，这个时候你就解这两个方程嘛，这两个方程你一解 m 就可以得到了，点 m 得到以后代进这个 m 三 m 的这个一点坐标表达式就可以得出一点坐标，最后一点的答案呢，就是负一负三三九，剩下的计算大家就可以自己去完成了。 好了，这这道题呢，就是一个非常非常典型的，我们利用什么水平宽乘以千锤高去解决一个三边都斜的这个三角形 a， d， e 的面积问题。 那么唯一有一点，当你掌握了这个公式啊，唯一点，唯一有一点要注意的就是含有动点的这种千垂线的表示，含有动点的千垂线表示一定要注意他，有可能因为 e 和 f 谁上谁下不一定，所以坐插以后的这个线段长，带上绝对之号万物 来吧，兄弟们，听到这是不是应该把通透给我写在评论区了，对吧？好了，来吧，那么我们就练一道题啊，练一道题还是一样的，答满六天赠百大经典啊啊，这个， 呃，这个打卡的方式一定是你把这个题的过程写完以后拍照发到评论区啊，那么下个视频马哥会给大家讲解。
2467马哥数学
27:35查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们一起来学习十二点二一次函数。第七课时一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系。 首先我们来看这样的一个问题，让我们来观察以下平面直角坐标系，思考下列问题。 众，坐标等于零的点在哪里？ 在 x 楼上， y 等于零。纵坐标大于零的点在哪里？ 在 x 轴上方， y 大于零。纵坐标小于零的点在哪里呢？在 x 轴的下方， y 小于零。 再看这样一个问题，解方程二， x 减五等于零，当次变量 x 为和值时，函数 y 等于二， x 减五的值为零。 第一个问题，二， x 减五等于零。这是一个简单的一元一次方程， 在求解的过程当中，我们可以通过一项很快求解出 x 等于二点五。 第二个问题，当次变量 x 为和值时，函数 y 等于二， x 减五的值为零。同学们可以看到此时的 y 是等于零的，那么也就可以把函数转化为一元一次方程来进行求解， 很快也能得到 x 等于二点五。从函数值的角度上来看，实际上这两个问题属于同一个问题。 三，画出函数 y 等于 i x 减五的图像，并确定它与 x 的焦点坐标。 同学们很快通过列表描点连线的方式画出该预测函数的 图像。同学们也能发现，该函数的图像与 x 轴的焦点坐标是负 k 分之 b 二点五，零与 y 轴的焦点坐标是零， b 零负五。 那么从图像观察可以得到它与 x 轴的焦点坐标为二点五零。 那么思考直线 y 等于二， x 加二十，与 x 轴交点的坐标是多少呢？ 通过我们刚才的讲解，与 x 头相交的时候， y 为零，可以把 y 变成零，然后求解二， x 加二十 等于零，这个方程求出 x 的值， x 值即为它的焦点横坐标，也可以用我们的焦点横坐标的公式负 k 分之 b 来进行求解，得到横坐标为负十， 焦点坐标为负十零。这说明方程二 x 加二十等于零的结是 x 等于负十。 问题二，下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ 一、二， x 加一等于三。二、二， x 加一等于零。三、二， x 加一等于负一。同学们很快可以发现，这三个方程它的共同特点是左边的式子都是同一个代数式。二， x 加一， 我们可以把它理解为是依次函数 y 等于二， x 加一，分别 y 取三， y 取零和 y 取负一的时候，它所对应的 x 的值。 那么我们就可以通过图像法首先画出 y 等于 r， x 加一的图像， 在这个图像上找到，当 y 等于三十， x 所对应的值是等于一。 当 y 等于零的时候，所对应的 x 等于负二分之一，当 y 等于负一的时候，所对应的 x 等于负一。 那么通过刚才图像上面所找到的对应 x 的值，那么这时候 x 的值也就是这个方程它的结。 用函数的观点看解，一，元一次方程 a， x 加 b 等于 k， 就是求当函数的值为 k 时，对应的质变量的值。 好，那么下面请同学们完成这两道练习。直线 y 等于二， x 加六，与 x 的交点坐标 负三零，这说明方程二 x 加六等于零的解，次 x 等于负。三，练习二，若方程 k x 加二等于零的解，次 x 等于五， 而直线 y 等于 k x 加二与 x 轴的交点坐标为五零。练习三，利用图像解不等式，二 x 减二大于负 x 加四。 用代数的方法，同学们很容易求解出该不等式，我们可以用一元一次不等式的解法， 可以采用一项系数化为一的过程，求解出 x 的取值范围。 而这个题目要求用图像法来解不等式， 我们可以采用先一项把该不等式变形为三 x 减六大于零，然后另 y 等于三 x 减六， 画出 y 等于三 x 减六的函数图像。通过作图，我们可以发现它与 x 楼交点是二零，所以可以回答， 通过图像，直线 y 等于三 x 减六，与 x 头的交点坐标是二零， 当 x 大于二时，直线 y 等于三 x 减六，上的点都在 x 轴的上方，即三 x 减六大于零， 所以 r x 减二大于负 x 加四的结为 x 大于二。同学们再思考， 除此以外，我们还有没有其他的做法呢？ 我们还可以采用这样的方法， 分别做出直线 y 等于二 x 减二与直线 y 等于负 x 加四的图像。 从图像可以观察得到，这两个函数的图像焦点的横坐标为二， 当 x 大于二的时候，直线 y 等于二， x 减二，再直线 y 等于负 x 加四的上方， 即 r x 减二大于负 x 加四，所以它的解为 x 大于二。 我们一起想一想，一次函数与一元一次方程有什么样的关系呢？ 求一元一次方程 k x 加 b 等于零的结。从函数值看，依次函数 y 等于 k， x 加 b， 当中 y 等于零是 x 的值， 求一元一次方程 k x 加 b 等于零的结。从函数的图像看，求直线 y 等于 k， x 加 b 与 x 轴交点的横坐标。请同学们看下面这个例题。 已知方程 k x 加 b 等于零的结是 x 等于三，则函数 y 等于 k， x 加 b 的图像可能是。 从这个题目当中可以看到 它的解是 x 等于三，它所对应的依次函数是 y 等于 k， x 加 b， 那么说明它与 x 轴的焦点坐标一定是三零。 同学们可以看到 a、 b、 c、 d 四个选项当中只有 c 选项，它与 x 楼的交点是三零，所以正确的答案可以选择的是 c。 好，请同学们观察在 x 头上方的函数图像所对应的函数值 y 与自变量 x 的取值范围。什么时候 y 大于 为零呢？从图像上来看，该图像与 x 轴的交点是负三零 与 y 轴的交点坐标是零六。当 y 大于零时，它所对应的图像 x 的曲值范围在负三的右侧，所以此时所对应的 x 应该大于负三。 那么它们与不等式二 x 加六大于零及其解级有何关系呢？想一想， 你能通过观察函数的图像得出等式 r x 加六小于零的解题吗？首先呢， 我们可以画出 y 等于 r、 x 加六的图像，当 r x 加六小于零时，从图像当中看， 它所对应的 x 在负三的左侧，所以此时的 x 应该小于负三，那么即 r x 加六小于零的解积是 x 小于负三。 请同学们观察一次函数 y 等于 r x 加六和 y 等于三的图像。你能说出 r x 加六等于三的解和 r x 加六大于三的解级吗？ 首先呢，我们画出 y 等于二 x 加六的图像。另外呢， y 等于三，它是一条平行于 x 中 的直线，这两个直线在图像当中的焦点是负一点五、三，所以二 x 加六等于三的结是 x 等于负一点五，而二 x 加六大于三的减级 是 y 等于二 x 加六的图像在 y 等于三的上方，这时候呢，不难发现，此时的 x 对应的是大于负一点五。 请同学们思考一下，一次函数与一元一次不等式有什么样的关系呢？一次函数与一元一次不等式之间的关系是，求 k x 加 b 大于零或小于零的阶级。从函数值看， y 等于 k， x 加 b 的值大于或小于零时， x 的取值范围。 求 k x 加 b 大于零或小于零的解题，从函数图像看，确定直线 y 等于 k， x 加 b 在 x 轴上方或下方的图像所对应的 x 的取值范围。 例题金讲画出函数 y 等于负三 x 加六的图像。结合图像，求一方程负三 x 加六等于零的结。 首先画出 y 等于负三 x 加六的图像，从图像当中可以看到，该函数的图像与 x 柔交于二零，所以负三 x 加 六等于零的结为 x 等于二 二不等式负三 x 加六大于零和负三 x 加六小于零的解积。 负三 x 加六大于零，即所对应的函数图像位于 x 轴的上方， 该图像它所对应的 x 的取值范围在 r 的左侧，所以 x 小于二而不等式。负三 x 加六小于零的解题，图像位于 x 轴的下方， 那么所对应的 x 的取值范围是 x 大于二不等式负三 x 加六大于零和负三 x 加六小于零的阶级 画出 y 等于负三。 x 加六的图像由图像可知，或等是负三。 x 加六大于零的阶级是图像位于 x 轴上方时， x 的取值范围，即 x 小于二， 不等式。负三 x 加六小于零的剪辑是图像位于 x 轴下方时， x 的取值范围，即 x 大于二。 如图所示，直线 y 等于 k， x 加 b， 经过点负一三则不等式。 k x 加 b 大于等于三的解题 为，从图像观察可以得到，当 y 等于三的时候，所对应的 x 等于负一，那么 k x 加 b 大于等于三，所对应的 x 位于负一的右侧，即 x 大于等于负一。 刚才我们一起学习了 in 函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的关系，下面我们一起来看这样一道拓展题。 我们学校做一批校徽需要拍照，若到照相馆拍，每张需要八元。若学校自己拍，除买摄像机需要一百二十元，每张还需要成 成本四元。设，需要拍 x 张，到照相馆拍需要 y 一元，学校自己拍需要 y 二元。 第一个问题求 y 一和 y 二与 x 的函数关系是，请同学们想一想。这道题分两种情况，第一种是到照相馆拍，每张需要八元， 我们一共拍了 x 张，所以 y 一应该等于八 x。 如果学校自己拍，除了买摄像机需要一百二十元外， 每张还需要成本四元。总共拍摄了 x 张，所以 y r 的费用应该等于四 x， 再加上一百二十元。第二问， 拍这些照片到照相馆拍费用省还是由学校自己拍费用省？请说明理由。 通过第一问，同学们可以得到 y 一等于八 x， y 二等于四 x 加上一百二十。 我们可以在同一个平面直角坐标系当中画出这两个函数的图像。因为字变量 x 是非复数，所以这两个函数的图像均位于第一象限。从图像观察可知， 两个函数图像焦点的横坐标为三十，那么意味着当 x 等于三十时， y 一等于 y 二， 那么当 x 大于三十时，那么从图像观察可以得到， y 一在 y 二的上方，说明此时 y 一大于 y 二， 而 y 二代表的是学校自己拍，说明此时学校自己拍比较节省 在零到三十。当时，由图像观察可知，此时 y 一在 y 二的下方， y 一的费用比较节省。 由图像可知，当 x 等于三十时，两加费用一样，当 x 大于三十时，学校自己拍省钱。当 x 小于三十时，照相馆拍省钱。 同学们，通过这个例题我们可以发现一次函数与一元一次不等式之间的关系，可以通过图像法直观的比较大小归纳。利用一次函数的 图像解一元一次方程或一元一次不等式的步骤。一、 可以先将方程或不等式变形为 k x 加 b 等于零，或 kx 加 b 大于零，或 kx 加 b 小于零的形式，使右端为零。 二、画出依次函数 y 等于 k x 加 b 的图像。 三、观察图像与 x 轴的交点。四、根据交点横坐标确定方程 k x 加 b 等于零的结， 观察出 x 轴上方或下方图像上点的横坐标的范围，确定 k x 加 b 大于零或 k x 加 b 小于零的解题。下面请同学们完成课堂，练习一下列说法，当中正确的是 a 选项 方程 r x 减六等于零的结可以看作是直线 y 等于 r x 减六与 y 轴焦点的横坐标， 这是一个非常明显的错误。 r x 减六等于零，即 y 等于零，那么可以判断出它应该是与 x 轴交点的横坐表，所以正确选项应该选择的是 b。 第二题一元意思不等式负 x 加一大于零的结节， 就是使依次函数 y 等于负 x 加一取正值时， x 的取值范围。 从图像上看，负 x 加一大于零的解积是直线 y 等于负 x 加一位于 x 轴上方部分的点点的横坐标的去直范围。 三、依次函数 y 等于 k， x 加 b 的图像如图所示，则关于 x 的不等式 k x 加 b 小于零的解题为零。从图像当中可以看到， y 等于 k， x 加 b 与 x 轴的交点横坐标为一，而 k x 加 b 小于零，即为该函数的图像位于 x 轴下方所对应的 x 的取值范围。那么不难发现，此时的 x 位于一的左侧，即 x 小于一 四。用图像法解，不等式负 x 加三小于零，负 x 加三大于零。 这两个不等式左边都是负 x 加三，所以我们可以用图像法。首先可以画出 y 等于负 x 加三的图像，从图像当中可以看到，该图像与 x 都交于三零， 那么当 y 小于零时，所对应的图像位于 x 轴的下方，即 x 大于三。当 y 大于零时，该函数图像位于 x 轴上方，所对应的 x 取值范围在三的左侧，即 x 小于三， 即当负 x 加三小于零时， x 大于三。当负 x 加三大于零时， x 小于三五。 如下图是函数 y 一等于二， x 减四与 y 二等于负二、 x 加八的图像。观察图像，回答下列问题， 一、 x 取和之时， y e 大于零。从这两个函数的图像可以观察到， y e 与 x 轴的交点 坐标为二零， y 二与 x 轴的交连坐标为四零。那么当 y 一大于零时，该函数的图像位于 x 轴的上方，所对应的 x 位于 r 的右侧，即 x 大于二 二， x 取和值时， y 二大于零。从图像观察可以得到， 当 x 等于四时， y 二等于零，而 y 二大于零时，所对应的函数图像位于 x 轴上方， 所对应的 x 过于四的左侧，即 x 小于四时， y 二大于零。三、 x 取和之时， y 一大于零，与 y 二 大于零同时成立。这个问题既要考虑到万一，也要考虑到万二，而且他们是同时大于零。 那我们同学们可以看到， x 大于二十， y 一大于零， x 小于四十， y 二大于零。那么既要满足 y 一大于零，也要满足 y 二大于零，所取的 x 的取值范围就应该是介于二和四之间，即 x 大于二小于四 四。若 y 一等于 k 一， x 加 b 一， y 二等于 k 二， x 加 b 二， c 点的坐标为三二，那么 x 去和值时， y 一 大于 y 二呢？要解决这个问题，首先得了解 c 点的含义。当 x 等于三的时候， y 一和 y 二都等于二， 那么 y 一大于 y 二。从图像当中可以看到， y 一一定位于 y 二的上方。从图像当中可以观察到，此时所对应的 x 的取值范围 位于 c 点横坐标的右侧，即 x 大于三。所以当 x 大于三的时候， y 一大于 y 二。 同学们，这节课我们学习了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的关系。 一次函数与一元一次方程的关系是。解一元一次方程可以转化为，当某个一次函数的值为零时，求相应的自变量的值，即一次函数与 x 楼交点的横坐标 与一元一次不等式的关系是。解一元一次不等式时，可以看作是当一次函数的函数值大于或小于零时，求自变量相应的取值范围。 今天的作业是课本第四十七页、第六题、第七题、第九题。 同学们，今天这节课我们就上到这，同学们，再见！
37在线学习初中部
07:24查看AI文稿AI文稿哇哦，刚才有一个初二学员问了我这么一道题，那我一看，竟然是要求比例系数的范围，这个在初中里考的并不多啊。那这道题呢，对于绝大部分孩子来说都是比较困难的。 在讲这道题目之前，我首先需要做一些知识铺垫。学过一次函数的同学都知道啊， y 等于 k， x 加 b， 对吧？当然，这个 k 是默认不等于零的， 这个 k 呢，我们把它称之为比例系数。 k 的正负其实决定了直线的倾斜方向。当 k 大于零的时候呢， y c， x 增大，而增大 体现在图像上呢，直线是上扬的。比如我们可以来看这样的三条直线啊， y 等于二分之一 x， y 等于 x 和 y 等于二 x， 他们的比例系数 k 呢，分别是二分之一、一和二，这个 k 呢，都大于零，你看直线是不是都是上扬的？同样 的啊，如果当 k 小运的时候，比如我取三条直线，当 k 等于负，二分之一负一以及负二的时候，我们发现这三条直线都是下降的。所以我们说啊， k 的正负决定了直线的倾斜方向，这个是都能理解的。 但我接下来要说的这个知识点，可能大部分同学呢，是没有思考过的。我们看这三条直线，他们虽然都是上升的，但是他们的倾斜程度不一样，比如这条直线呢，相对比较平缓， 这条直线呢，更加陡峭，换句话说，他更偏向我爱轴。这个是由谁决定的呢？其实也是由这个比例系数 k 决定的，这个 k 从二分之一到一到二呢，是在逐渐增大，直线呢，也是更加陡峭。那我们能不能说 k 越大，直线越陡峭呢？ 这句话是有问题的，只能说当 k 大于零的时候，这个结论是成立的。但是当 k 小于零的时候，我们让这个比例系数从负二到负一到负二分之一，他是不是在逐渐增大？可是这三条线是在逐渐变平缓的， 也就是当 k 大于零和小于零的时候，它结论是相反的。那如何统一呢？也简单，我们只要说当 k 的绝对值 增大的时候，直线越陡峭，或者说越偏向 y 轴，这个是没有问题的。大家看啊，从负二分之一到负一到负二，他的绝对值是在增大的呀，对吧？那他确实越来越陡峭啊。所以我们理解 k， 不仅仅要从正负角度来理解， 还要从他的绝对值的大小角度来理解。当 k 的绝对值越大，直线越陡峭，越偏向瓦尔轴。这个知识点呢，书上没有明确说，很多同 同学呢，也没有深入思考过，而这道题却需要用到这个知识点，让我们一起来看一下吧。已知依次函数 y 一，他是含有参数 a 的直线啊，这个 a 呢，就相当于是 k 是一个比例系数， 还有一条五二二呢，是确定的直线。如果两条直线交点在第三项线，要我们直接写出比例系数 a 的取值范围。这种题目啊，肯定是首先抓不变量，我们发现五二二的图像完全是确定的，那我们先把它绘制出来，就是图中这样的一条 直线啊。然后我们聚焦 y 一这条含餐直线，因为它有参数啊，所以它的直线是不确定的，但也不是完全无需变化的，这条直线在变化过程中是有不变的东西的，它是横过一个定点的，我们可以找到一组 x y 的值，使得这个等式呢，横成立，也就是跟 a 是没关 关系的。那我们只要把 a 拎出来，大家看啊，这条直线可以写成 y 一等于 x 加三倍的 a 加二，对吧？跟 a 无关，我只要让他前面的系数 x 加三等于零， 那么 x 是不是就等于负三了？ x 等于负三的时候， y 它始终都是二，所以它横过一个定点负三二，这是本题的关键。所以这条直线啊，它其实就只要穿过负三二这个定点就行了，它表示的就是这里面所有的穿过负三二的 线。当然，由于本题是依次函数，那这里面要扣除两条，一条是竖直线，还有一条是水平线。他说两条直线的交点要在第三象限，我们把这个交点找到，此时呢，这两条直线是有交点的，对吧？交点确实在第三象限。好， 我们晃动一下这条红线啊，我发现这个时候他们的焦点就不在第三象线了，对吧？我们再晃一下，那我们其实可以找到这条红线的范围。首先这个应该是一个临界位置吧，往上的话呢，焦点就不在第三象线了，往下的话呢，焦点还在啊，那我们就往下继续走吧。啊，逆时针转吧， 这时候焦点没问题，对吧？走走走，走走走。哎，走到这个时候，我们发现焦点他不在第三象限了，对吧？然后 直至回到刚才的临界位置。那这里的交点为什么会从第三象限突然间跳到这个上面去了呢？实际上他经历了中间这么一个临界位置，也就是这两条直线平行的时候打开， 对吧？此时呢是没有焦点的，如果这条直线往这边来一点，他其实会交代第三象限，当然现在 我们看不到，对吧？只要往这边来一点的话呢，就会交到上面去了，所以平行又是另外一种临界的位置，实际上这条直线呢，他就应该在这么一个范围内啊，就这么一个范围内，对吧？从平行的临界位置，一直到 这么一个临界位置，哎，这个范围就是这条直线的范围，我们只要在这个范围里面确定出比例 c 除 a 的范围就可以了。 那这个比例系数 a 到底是什么范围呢？那就要讨论。因为此时的直线啊，它既有上扬的，也有下降的，也就是这个比例系数 a， 它既有大于零的情况，也有小于零的情况，对吧？那我们就分类讨论，比如我们先看 大于零的情况，我们先让这条直线啊竖直，像是一个裁判一样啊，从这个位置我们转转转，转到平行的位， 是呢，此时的直线都是上扬的啊， a 都是大于零的，那么这时候的 a 的范围是什么呢？大家看啊，当他们平行的时候呢，他们的比例系数应该相等，所以这个 a 跟这里的这个一应该相等， 也就此时的 a 是等于一的。那从这到这呢，实际上直线是越来越陡峭，大家看从这个地方走过来，是不是越来越陡峭了，所以他的 a 呢，是越来越大的。刚才我们说过了，当 k 到零的时候， k 越大， 直线越陡峭，所以这段红色区域，它指带的 a 的范围呢，应该是 a 大于一， 不能取等啊，因为取等的时候刚巧平行，没有焦点，那么这个是 a 大于零的情况。接下来我们再考虑 a 小于零的情况。同样的，我还是把这条直线啊放在竖直的位置，然后我将它换一种颜色啊，大家可以看得更 加清楚啊，换成绿色，此时的直线呢，应该是走这么一段范围，那这里 a 的范围又是什么呢？我们先看这个临界线的 a 的值，这个焦点应该是负一零，对吧？又经过负三二，那不难算出此时的 a 等于负一。 然后我们看啊，从这到这，直线是越来越陡峭的，也就意味着 a 的绝对值是越来越大的，而 a 本身小于零，那么 a 本身它是越来越小的。所以在 a 小于零的时候啊，它对应的范围是 a 小于负一，能不能等于负一呢？ 不行，因为等于负一时，这个焦点刚巧落在 x 轴上，不属于第三象限，对吧？所以本题的答案就是 a 小于负一或 a 大于一。
2774江苏初中数学老王
23:38查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四张依次函数的第三节依次函数的图像。今天是第二个课时，好，来看一下知识点清单，主要有两个，首先第一个依次函数的图像和性质， 那么在上一次课当中啊，我们也一起学习了正比例函数 y 等于 k x 啊，它的图像和性质，这里呢，我们一起来做一个复习啊。这里 k a 应该是不等于零的啊，正比例函数 y 等于 k x， 它的图像和性质应该是什么呢？ 我们啊，一起来看一下。哎，这是啊，上节课的时候画出了几个正比的函数的图像，对吧，我们也一起总结了，那么这里啊，要分 k 是大于零还是小于零两种情况，对吧？ k 大于零的时候呢，经过一三象限， k 小于零的时候呢，经过二四象限增 点性呢？ k 大于零时， y 随 x 的增大而增大，那么 k 小于零时呢？ y 随 x 的增大而减小，那么图像的形状呢，它是一条经过圆点的直线啊，那么 k 的绝对值越大，那么它就越靠近 y 轴，对吧，也就是它这个越陡陡效一些啊。好， 接下来我们再复一下啊，用这个秒点法画函数图像，哎，他的步骤有哪些？是不是就说的这个三步走啊，对吧，哎，第一个就是列表找到这个 x 和 y 的这个对应关系，然后呢，秒点对吧？哎，把自变量的值作为横坐标，函数值作为重坐标， 在坐标系当中啊，把点的位置描出来，然后呢，用平滑的曲线把各个点给他连接起来就可以了。好，接下来大家思考一下啊，我们呢，怎样来画出这个依次函数 y 等于二 x 加三，哎，怎么样来画出他的图像呢？其实方 法是不是还是用我们这个描点法呀？对吧？列表描点连线应该就可以了，对吧？好，我们一起来画一下啊， 画出一字函数 y 等于二 x 加三的图像。三步楼，列出来这边的话，其实 x 的范围其实是不是也应该都是任意实数啊，对吧？所以我们在上一次课的时候也说了，我们尽量的以原点为中心，对吧？哎，按照两边的跟原点对称这样的顺序来取， 好，一起看一下啊，哎，我可以取这五个值，对吧？下面这里是对应的函数值，然后接下来呢，就是秒点，把各个点的位置给他拿出来，然后再连线就可以了。好，我们得到了这样的一条，这也是一条直线，对吧？好， 接下来我们一起分析一下啊，你说一对一个依次函数来说，它的图像应该有什么样的特点呢？我们就以这个 y 等于二加三为例，首先啊，它的图像肯定也是一条直线， 对吧？好，那么还有其他的什么特点吗？我们说既然它是一条直线，我们在学习正比率函数当中啊， 一起学习过了，我们如果说啊，想画直线的话，是不是只要找两个点就够了，所以呢，对于依次函数来说呀，我们同样我们想画他的图像，只要确定两个点的坐标就可以。对于这个 y 等于 kx 加 b 来说呀，你看，当 x 等于零的时候，你在一起是不是 y 刚好等于 b 呀，所以他一定过零和 b 这一点， 那么如果我用 y 等于零呢，我可以算出来 x 等于负的 k 分之 b， 所以呢，他一定也过负 k 分之 b 和零这一点，那这两个点是不是刚好就是这个函数图像跟 y 轴还有跟 x 两个交点，对吧？ 实际情况下呢，我们可以根据这个具体的这个表达式啊，选择一些啊，比较适合于计算的计算简便的一些这样的数来进行计算。总而言之，只要你确定两个点， 然后呢，再过这个两个点画直线，那就可以了。我们说依次函数 y 等于 k， x 加 b， 他的图像我们也可以称为直线 y 等于 k， x 加 b。 哎，这两种说法其实都是可以的，所以说我们在函数图像这一部分，就很好的把数和 图形给它连接到了一起。哎，你既可以说依次函数 y 等于 cal 加 b， 你也可以说直线 y 等于 cal 加 b 啊，这都是可以的。 好，接下来我们看一下下一个例题啊，在同一直表系呃，直角坐标系当中，分别画出依次函数 y 等于二， x 加三， y 等于负 x， y 等于负， x 加三和 y 等于五， x 减二的图像。好， 这里是直角坐标系了，对吧？那这个画图的过程啊，我就不和大家按照刚才这个步手画那么细了，大家可以自己按照这个步手来画一下就可以了啊。我们直接给大家看一下最后的这个图像啊，这个二加三就是刚才画的这个图像，对吧？ 其他的几个啊，这个是 y 等于啊，负 x， 这个是 y 等于负 x 加三，然后呢，这个是 y 等于五， x 减二啊，这四条图像我们都画好了，其实画图呢，并不是我们这这个节的主要一个内容，我们的内容是要通过这个图像来研究这个依次函数它的图像和性质啊。 接下来我们思考一下，对于上面这四个函数来说，随着 x 这个值的增大，那么 y 的值分别是怎样来变化的呢？ 我观察下这两个这个红色的和这个紫色的这两个，对吧？他呢， y 应该是随着 x 的增大而增大的，对吧？哎，紫色的这个也是，但是这个黄，呃，这个橙色的和这个蓝色的他俩，他俩的 y 的值啊，又随着 这个 x 增大而减小了，对吧？那么观察于表达式，这个表达式最大的区别在哪呢？是不是这两个他表达式啊，这个 x 前面系数是负的， 对吧？然后这边这两个呢，这个 x 前面的系数都是正的，对吧？所以我就知道，如果 x 前面那个系数是正的，也就是说，对于 y 等于 k， x 加 b 来说，如果那个 k 是正的，那么我这个啊 x 的 y 呢，就随着 x 的增大而增大，如果这个 k 的值是负的， y 就随着 x 的增大而减小， 对吧？好，我们继续看第二个啊， y 等于负 x 与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是蓝色的和橙色的，对吧？他俩的位置关系应该是什么样的？我们观察下图像，应该可以看出他俩应该是平行的，对吧？ 你能通过恰当的移动将直线 y 等于负 x 变为直线 y 等于负 x 加三吗？通过移动可以移动吗？我把这个蓝色的好像向上给他平移一下，是不是好像就刚好可以和这个 y 等于负 x 加三重合在一起，应该往上平移几个单位呢？我们看这里他是过圆点了，对吧？往上 平移一个格子，两个格子，三个格子，是不是应该是向上平移三个单位长度啊？刚好他就可以与上面这个橙色的重合在一起，对吧？ 通过这个我们能总结一下吧，对于直线 y 等于 k 加 b 和直线 y 等于 k x 来说，他们有怎样的位置关系？这两个表达是，很显然，他们 x 的前面的系数是相同的，也就那个 k 的值是相同的，对吧？ 其实当 k 的值相同的时候，我们可以得出一个结论，他两条直线就是平行的，对吧？你看，对于这样啊，表达出来说也是一样的，他都是 k 嘛，对吧？哎， 如果说 x 前面的系数是一样的，这两条直线就是平行的，哎，这也是我们可以得出来的一个结论啊。这个呢，我们在后面讲平移的时候，还会带带大家做一个更详细的一个了解。 好，那么第三个呢，是什么呢？说这个直线 y 等于二 x 加三与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是这个红色的和这个橙色的它来 有什么共同点？我们观察一下这两个北大市啊，这个北大市和这个北大市，我发现他们这个 b 的值是不是相同啊？也就是长竖向，对吧？都是正三。 哎，那我观察图像的图像有什么特点？他们好像与 y 轴的焦点都交相交于这个点，这个点坐标应该就是零三，对吧？哎，也就是说什么呢，我可以从函数的表达式当中啊，这个 b b 的值只要相同，那么我就可以判断出这两个直线呢，相交于 y 轴上的同一个点。 好，接下来你能从函数 y 等于 k， x 加 b 的图像上直接看出这个 b 的数值吗？比如这个 y 等于二个。点赞啊，我现在只只给你看它的图像，我发现这个图像呢，与 y z 焦点是 零三，这一点，对吧？所以呢，我就可以判断出，你这个函数的表达式当中啊，对应的那个长竖向就应该是三， 对吧？哎，你只要能令 x 等于零，实际上 y 也是等于三的，所以我只要知道你这个图像与 y 轴的焦点重坐标，我就知道这个 b 的值了。哎，这个也是可以判断出来的。那么对于这两个函数来说，只要它的 b 的值相同，那么它与 y 轴的焦点就一定是同一个点。 那除此以外的，我们再观察一下这个紫色的和这个红色的，很显，这个紫色的也更陡一些，他离更靠近外轴一些，对吧？哎，那也就是这个紫色，他 k 的值比这个红色的更大。哎，那随着 k 的值的增大呢， 这个图像啊，也是越来越靠近外轴的，对负的情况下，其实也是一样的。那实际其实啊，这个姓字的跟我们学习正比的函数呢，其实是一样的，对吧？也就是这个 k 的绝对值越大。 哎，那这个图像怎么样，图像就越抖，对吧？哎，这个呢，跟正比的函数是一样的，我们就不再单独拿出来进行这个说明了啊。好， 接下来啊，我们就一起来总结一下啊，一次函数 y 等于 kx 加 b， 他的图像和性质分别有哪些？我们还是从以下几个方面，一个是图像的形状，一个是他经过的象限，还有他的增减性来进行判断。很显然，我们应该分成几种情况，首先呢， k 大于零和 k 小于零，这可以肯定是分两种情况，对吧？ 因为 k 的正负号不一样的话呢，你这个图像啊，他的性质肯定是不一样的。接下来我们还得对这个 b 这个长竖向进行一个分类，因为长竖向的正负号啊，如果是不一样的话，对这个图像也是有影响的，对吧？好，我们一起来看一下。第一种，当 k 等大于零， b 也大于零的时候，你说这个图像应该是什么样？ 很显然，他应该是啊， y 随着 x 增大而增大的，对吧？并且呢，这个图像与 y 轴的焦点就是零 b 嘛，对吧？你 b 如果大于零，这个焦点一定是在 y 轴的正半轴上，对吧？好，我们大概画一下图像啊， 图像就应该是这个样子，哎，应该是这样。这个地方应该怎么记比较简单一些呢？大家可以找自己的一呃 习惯的一些方法，对吧？比如说，你可以拿出你的，伸出你的左手，让你的手掌呢和这个小臂啊，保持在一条直线上啊，然后让你的指尖指向你的右上方，哎，这个时候呢，从你的指尖到你的小臂这个走向其实就是这个 啊，图像的他的一个一个方向，哎，这是一种方法，大家可以找自己的方法来记忆啊。那么对于 b 小于零的时候呢，肯定方向还是这个方向，只不过呢，他与歪轴的焦点呢，必须得在歪轴的副半轴上，对吧？所以呢，他图像画出来就应该是这样的，哎，方向是一样的，只是这个焦点焦点在歪轴的下方 啊，在 x 的时候的下方啊，好，接下来我们再看。当 y 小啊，哎，当 k 小于零的时候，那么又分两种情况啊， k 小于零， b 大于零，那应该怎么样的呢？它的图 图像就应该是这样走，哎，这个又怎么记呢？你可以伸出右手，对吧？哎，跟刚才左手刚好是相反的，哎，用同样的方法，你就可以想出这个当 k 小于零的时候，这个图像他的一个走向，那因为 b 呢，又是大于零的，所以呢，他与歪轴的焦点一定是在歪轴的正版轴上，也在上面，对吧？所以图像是这样， 那对于 b 小于零的时候呢，大致的方向不变，但是呢，他与 y 轴的焦点一定是在 y 轴的副半轴上，所以呢，这个图像又变成这样子，对吧？好，那么他们经过象限，这就很显然了，这个第一种情况经过一二三象限，对吧？哎，那么对于第二种情况呢，应该是经过的是一三四象限， 好，这种情况。第三种呢，应该经过的是一二四相见。好，最后一种情况应该经过的是二三四相见，对吧？好，那对于增减性来说呢，当 k 大于零的时候， 那这跟 b 就没有什么关系了，对吧？哎，只要你 k 大于零，那么 y 都是随着 s 增大而增大的，那么当 k 小于零的时候呢， y 都是随着 x 的增大而减小的，这个跟正比例函数就 都是一致的了，对吧？对于这个表格啊，我想说，只能用非常重要的四个字来进行了啊，这个表格上内容一定要记住，并且要达到一个非常非常熟练的程度，所以具体的记忆方法呢，大家可以用这个我刚才给大家啊介绍的这种方法，当然呢，也可以选择自己只能 啊适合自己记忆的一些方法。总而言之啊，这个方法啊，这个表格非常重要啊，一定要把它记住好。 先来做一个例题啊，已知直线 y 一啊，等于 k， x 加 b 经过一二四象限，那么问我们这个直线 y 二，它的是等于什么？它等于 b， x 加 k， 它不 经过哪一个象限？哎，这就考察我们对于这个依次函数图像的一个啊理解程度了，对吧？好，第一个经过一二四象限，那我是不是可以把图像先画出来，如果是一二四象限的话，应该是哪几个？一二四经过这三个象限，他不经过第三象限，对吧？所以呢，这个图像画出来一定是这样子 好，根据这个图像，我就可以判断出 k 和 b 到底是大于零还小于零的。首先这样 y 随着 x 的增大而减小，所以我就得到这个 k 啊，一定是小于零的。 好，那 b 呢，我们就看他关于歪轴这个焦点坐标呗，对吧，我发现这个焦点坐标呢，是在这个歪轴的正半轴上，所以呢，我觉得说这个 b 啊，他一定应该是大于零的 好，判断出 k 和 b 的符号以后，我们再看后面这个直线，他的表达是这个时候呢， b 啊，变成了 x 前面的系数，对吧？那很显 b 是大于零的，我们刚才说 b 大于零的时候，这个这 图像应该怎么样？是不是从左到右应该是上升的？也就是说呢， y 呀，应该是随着 x 增大而增大的，哎，是这样的，是这样往上写的， 那么对于 k 来说呢， k 是小于零的哎，他长竖向，如果小于零，就说明这个图像跟歪轴的焦点一定是在歪轴的副半轴上，对吧？哎，所以我这个图像我换一种颜色啊，画出来一定是这样子的， 对吧？你看，因为这里他大于零，哎，他又小于零，所以这个图像是这样的，并且与歪轴的这个啊，焦点是在歪轴的副版轴上，你只要你对这个图像非常的熟悉啊，那解决这种问题应该是 啊，没啥问题的啊，哎，对，今天，因为今天啊经我们新课刚讲，所以呢，有些地方大家可能记不住，对吧，没关系啊，课后呢，及时的进行复习巩固。哎，希望呢，我们在下次做习题的时候，大家对这个啊图像都已经记得非常清楚了啊 啊，最后答案是这个啊， b 选项啊，很显然这个蓝色的没有经过第二象限，对吧？好，接下来第二支点啊，一四函数的平移。 好，我们看一下，类似在同一直表直角坐标系当中分别画出一次函数，这个啊，一二三三个一次函数图像，这图像的话，大家就可以自己画一下了啊，我就不和大家这个啊一步一步的画了，我直接把这个图像给大家展示一下啊，这样的，这个是第一个啊， 这是第二个，这是第三个，为了看清楚啊，我这个歪轴上这个单位长度啊，我给他放大了一点，要不他三条直线挨得太密了，大家可能看不太清楚，对吧。啊，平时画图的时候也是可以根据实际情况，你这横轴啊，和重轴的单位长度是可以不一致的。好，接下来呢，这三条啊，直线我们都已经画出来了，接下来我们就要分 一下了，哎，他们有什么样的特点啊？看一下。首先看一下他们三个表达式有什么样的特点。光看表达式的话，我很明显应该看出 x 前面的系数是一样的，都是三分之一，对吧？哎，那同时呢，他们这三条直线与位置上有什么关系啊？很显然，三条直线是相互平行的， 对吧？所以这里啊，可以得到一个什么结论，是不是只要我们刚才总结过了，只要这个 x 前面的系数相同，那这个直线之间就是平行的这样一种关系，那如果反过来，如果直线平行，我们可以得到什么结论？那是不是同样也可以得到结论， x 前面系数也就 k 的值一定是相等， 对吧？哎，这就是我们得到的第一个结论啊。我们一起来看一下两条直线， y 一等于 k 一， x 加 b 一， y 二等于 k 二， x 加 b 二，如果他们平行，我就可以得到 k 一是等于 k 二。当然还有个情况就是 b 一是不能 等于 b 二，如果你两个 k 值也相等，两个 b 值也相等，那他不是平行，他是重合了，对吧？哎，所以这里要加上一个 b 一，要不等于 b 二。同时，如果说给你表达式当中告诉你了， k 一等于 k 二， b 一不等于 b 二，那么我们反过来也同样成立，这两条直线就是平行的， 这是我们得到的第一个结论啊，我们看第二个啊，直线一和三，哪个是一啊？这个是一对吧？哎，一就蓝色的和橙色的可以看作由直线二进行怎样的平移得到， 也就红色的，他怎么样平移能得到这个橙色的？又怎么样平移能得到这个蓝色的？很显然呢，他如果向上平移，是不是就可以得到 这个橙色的了？如果他向下平移呢，就可以得到蓝色的，对吧？那平移几个单位长度呢？往上平移这个这段距离是一啊，对吧？那很显然，他向上平移一个单位长度，是不是就与这个 橙色的融合了，对吧？所以我发现啊，向上这样我写在这里啊。向上，哎呦，换个颜色吧啊， 向上一个单位，那么我观察表达式是有什么特点？是不是在这后面加了一个一啊，对吧？哎，就加了一个一。 如果你向下平移一个单位呢？那是不是跑到蓝色的直线上面去了？而观察表达式呢，是不是就在后面减去一个一就可以了，对吧？哎，这我们就可以总结一个什么规律，如果你是向上平移一个单位长度，那就加一，那如果是两个单位长度啊，应该就是加二， 对吧？哎，向下也是同样，你如果向下平移一个单位长度呢，就是减一，哎，向下平移两个单位长度呢，就是减二，哎，这就是我们图像啊，通过上下平移与他的表达式之间的一个关系，我们一起来看一下啊。对于直线 y 等于 k x 来说啊，你如果把它向上平移，这里是 h 个单位长度啊，这里 h 是大于零的，那么得到直线呢，就是在这个 k x 后面啊，加上一个 h 就可以了。如果你向下平移 h 个单位长度呢，就是用 k x 减去一个 h 就可以了，这可以减去成什么呢？上加下减， 对吧？哎，具体加多少减多少呢？那你就看你平移了几个单位长度吗？对吧？哎，这样就可以了，这是把这个函数图像啊，进行上下平移与他的这个表达式之间的一个关系。好，接下来我们看一下， 有同学可能也发现了，为什么呢？我好像不单单可以通过上下平，我把这个蓝红色的这个直线呢，好像向右平移三个单位长度也能得到蓝色的， 同时呢，我把它向左平移三个单位长度也能得到橙色的，这个是不是涉及到一个左右平移的一个问题，对吧？哎，不管向左平移 还是先要平移，都是三个单位长度，但是呢，我们观察表达是你在后面加一啊，对吧？哎，加一和减一好像跟三是不是没有什么关系啊？ 哎，那这里我们又应该怎么样去考虑呢？我们观察一下这个函数这个表达，是啊， y 等于三， i 三分之一， x 加一，我如果给它变形一下，我是不是可以写成这样？ y 等于三分之一，我把它拿出来，把那个 x 和一啊放到括号里面，那它是不是应该变成 x 加三了， 对吧？哎，第三条直线啊，这个他是不是也可以写成他呀？哎，那这后边这里是不是有一个三了？那他跟我们这个平移三个单位长度是不是应该有一些关系了，对吧？哎，所以就说什么呢，当我们向左平移的时候， 我在 x 上面加上一个三，那如果 x 前面有系数怎么办呢？我就把 x 加三给它括起来就行了，对吧？所以这里我就得数向左平 移，向左平移啊，三个单位，我呢加上三就可以了，但注意，这张三是给 x 加三的啊，前面的系数是保持不变的，所以这里要加括号。同时呢，我如果向右平移，我观察一下向右平移三个单位长度，得到的是蓝色的直线， 对吧？好，蓝色的直线表达式呢？是这个，那他呢，是不是又可以写成是三分之一乘以括号里面的 x 减三呢？ 对吧？所以呢，我如果向右平移三个单位长度怎么样？我其实就是减去三，只是我把 x 减三，对吧？你这个前面的系数还保留啊， x 减三要放在一个括号里面， 对吧？所以我是不是就这里又得出来一个左右平移的一个规律，对吧？哎，向左平移几个单位，我就加几，向右平移几个单位呢，我就减几，这是不就是左加右减呢，对吧？哎，只是呢，如果前面 x 有系 的时候，一定要注意要把这个 x 加几啊，要给他括起来，因为我们操作的是 x， 如果上下移动的话，就不用了，你直接在函数值后面加上几就可以了，对吧？因为我们这里操作的是那个 y， 左右平移的时候操作的是那个 x， 一定要记住啊这里，这是他们两个之间的区别，也是比较容易出错的一个点。好，我们一起来看向左平移哎， h 个单位， 那这得到直线就是 y 等于 k， 乘以括号 x， 加一句，哎，这里是加，如果向右平移 h 个单位长度，得到直线，就是 y 等于 k， 乘以括号 x 减 h， 这里是不是就是左加，然后右减呢？对吧？所以呢，关于这个异色函数平角，我们得到了一个这样的一个规律，上加下减， 左加右减。哎，但是距离操作的对象是不一样的，上加下减我们可以直接在函数值后面进行加减，如果是左加右减， 我们必须要针对 x 进行加减， x 前面如果有了系数，你就要把它放在括号里给他括起来，哎，你变化的这个必须也要乘以相应的这个系数才行，那个他说了，你的操作的是 y 等于 kx， 对吧？哎，那我如果想操作这个 y 等于 kx 加 b 怎么办？ k f 加上 b 怎么办，对吧？我把这个 y 等于 kf 加 b 进行左右上下拼，那又怎么办？加上 b 你就不用管他，因为他只是个长竖向。如果是把这个函数向上拼一个单位，我们根据规律上加下减，对吧？那你就直接后面加一就行了啊，如果下一个单位呢，就直接减一就行了，对吧？这个 b 你就直接无视他就可以了。 但是如果是左右平移的话，我们又应该怎么办呢？如果把这个 kx 加 b 向左啊，我看向左平移一个单位，我们根据公式跟这个口诀的话，左加右减应该是加，对吧？ 加呢，但是我们操作的是 x， 所以呢，它的表达式应该就应该变成 y 等于 k， 注意，怎么办？放在一个括号里面，对吧？哎，左把 x 加上一个，那这个加 b 怎么办？正常写下来就行了。哎，所以呢，把这个向左平一个单位长度得到的表达式就是这个这里，当然你可以把括号去掉，进行进一步的一个整理， 对吧？所以呢，这就是我们这个函数平移的一个规律啊。好，接下来呢，我们看一个这个 例题，将直线 y 等于二 x 加一，向右平移一个单位后，哎，那么其直线表达是应该是什么？根据刚才口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，向右平移，你要减， 哎，这里操作的是谁啊？因为他是左右，对吧？左右我肯定要操作这个 x， 所以呢，表达式应该是 y 等于二倍的，应该把 x x 减去一个一，对吧？哎，那这里就得放括号里面了， x 减一就得是这样的，那后边这加一怎么办？加一正常写下来就行了，对吧？这里可以给他进行一个整理，去掉括号，他应该等于二 x 减去一，所以呢，哎，这样平一个单位长度以后，表达是就变为了 y 等于二 x 减一。所以这个题啊，最后的答案应该就是 b 选项。 好，我们一起来总结一下今天所学内容啊。啊，学的就是这个依次函数的图像，我们用了两个课时的时间来进行学习。首先一起学习了什么是函数图像，哎，他的定义应该是什么？ 把一个函数字变量的每一个值与对应的函数值分别作为一个点的横坐标和重坐标，在直角坐标系当中描述相应的点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图像。好，接下来呢，学习了画函数图像的一个步骤，对吧？ 我们用的是秒点法，哎，单步走，先列表，再秒点，后连线，连线的时候注意要用平滑的曲线进行连线。好，接下来学习了正比的函数的图像与性质，对吧？从以下几个方面，首先，它的形状经过圆点的一条直线，对吧？那经过象限和增点性呢，跟他那个 k 的正负是有关系？ 好，那一字函图像呢，也是这几个方面，对吧？哎，那形状呢，首先肯定也是一条直线，那经过的象线和增减性啊，这个是跟什么呢？跟 k 和 b 的这个正负是有关系的。哎，那个表格内容，大家一定要把它记清楚， 那么对于依次函数平移来说，那么总结一口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，上下移动的时候呢，直接操作的是 y， 哎，就直接在那个整个的表达式后面进行加减就可以了，如果左加右减的话，我们操作的是 x， 对吧？哎， x 前面如果有了系数，那一定要把那个呃加减， x 的加减呢， 放一个括号，哎，要把它系数藏在外面。好，那以上呢，就是我们啊今天这节课学习的主要内容啊，下次课呢，和大家一起来学习，进行一个习题的练习，欢迎大家收看。好，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
335明老师课堂
23:38查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四张依次函数的第三节依次函数的图像。今天是第二个课时，好，来看一下知识点清单，主要有两个，首先第一个依次函数的图像和性质， 那么在上一次课当中啊，我们也一起学习了正比的函数 y 等于 kx 啊，他的图像和性质， 我们一起来做一个复习啊，这里 k 应该是不等于零的啊，正比例还是 y 等于 ks， 他的图像和性质应该是什么呢？ 我们啊，一起来看一下。哎，这是啊，上节课的时候画出了几个正比的函数图像，对吧，我们也一起总结了，那么这里啊，要分 k 是大于零还是小于零两种情况， k 大于零的时候呢，经过一三象限， k 小于零的时候呢，经过二四象限， 分解性呢？ k 大于零时， y 随 x 的增大而增大，那么 k 小于零时呢？ y 随 x 的增大而减小，那图像的形状呢？它是一条经过圆点的直线啊，那么 k 的绝对值越大，那么他就越靠近 y 轴，对吧，也就是他这个越抖走，笑一些啊，好， 接下来我们再复一下啊，用这个描点法画函数图像，哎，他的步骤有哪些？是不是就说了这个三步走啊，对吧，哎，第一个就是列表找到这个 x 和 y 的这个对应关系，然后呢，描点对吧，哎，把这边的值作为横坐标，函数值作为重坐标，在坐标系当中啊，把点的位置描出来，然后 用平滑的曲线把各个点给他连接起来就可以了。好，接下来思考一下啊，我们呢，怎样来画出这个一四函数 y 等于二 x 加三，哎，怎么样来画出他的图像呢？其实方 法是不是还是用我们这个秒点法呀，对吧？列表秒点连线应该就可以了，对吧？好，我们一起来画一下啊，画出一字函数 y 等于二 x 加三的图像。三步骤列出来啊， 这边的话，其实 x 的范围其实是不是也应该都是任意时数啊，对吧？所以我们在上一次课时候也说了，我们尽量的以圆点为中心，对吧？哎，按照两边的跟圆点对称这样的顺序来取， 好，一起看一下啊，哎，我可以取这五个值，对吧？下面这里是对应的函数值，然后接下来呢，就是秒点，把各个点的位置给他拿出来，然后再连线就可以了。 好，我们得到了这样的一条，这也是一条直线，对吧？好，接下来我们一起分析一下啊，你说对于一个伊斯函数来说，他的图像应该有什么样的特点呢？我们就以这个 y 等于二跟加三为例，首先啊，他的图像肯定也是一条直线， 对吧？好，那么还有其他的什么特点吗？我们说既然他是一条直线，我们在学习正比例函数当中啊， 一起学习过了，我们如果说啊，想画直线的话，是不是只要找两个点就够了？所以呢，对于依次函数来说呀，我们同样我们想画他的图像，只要确定两个点的坐标就可以。对于这个 y 等于 ks 加 b 来说呀，你看，当 s 等于零的时候，你在一起是不是 y 刚好等于 b 啊，所以他一定过零和 b 这一点， 那么如果我令 y 等于零呢？我可以算出来 x 等于负的 k 分之 b， 所以呢，他一定也过负 k 分之 b 和零这一点，那这两个点是不是刚好就是这个函数图像跟 y 轴，还有跟 x 等于两个焦点，对吧？哎， 实际情况下呢，我们可以根据这个具体的这个表达式啊，选择一些啊，比较适合于计算的计算简便的一些这样的数来进行计算。总而言之，只要你确定两个点， 然后呢，再过这两个点画直线，那就可以了。我们说一四函数 y 等于 kf 加 b， 他的图像我们也可以称为直线 y 等于 kf 加 b， 这两种说法其实都是可以的，所以说我们在函数图像这一步法，就很好的把数和图形给他连接到了一起。哎，你既可以说一次函数 y 等于 kf 加 b， 你也可以说直线 y 点 k 加 b 啊，这都是可以的。好，接下来我们看一下下一个例题啊，在同一值表期的直角坐标期当中，分别画出依次函数 y 等于二， x 加三， y 等于负 x， y 等于负， x 加三和 y 等于五， x 减二的图像。好， 这里是直角坐标系了，对吧？那这个画图的过程啊，我就不和大家按照刚才这个部手画那么细了，大家可以自己按照这个部手来画一下就可以了啊。我们直接给大家看一下最后的这个图像啊，这个二加三就是刚才画的这个图像， 其他的几个啊，这个是 y 等于啊，负 x， 这个是 y 等于负 x 加三，然后呢，这个是 y 等于五， x 减二啊，这四条图像我们都画好了，其实画图呢，并不是我们这这个节的主要一个内容，我们的内容是要通过这个图像来研究这个一次函数他的图像和性质啊。好，接下来我们思考一下，对于上面这四个函数来说，随着 x 这个值的增大，那么歪的值 分别是怎样来变化的呢？我观察下这两个，这红色的和这个紫色的这两个，对吧？他那歪应该是随着 s 的增大而增大的，对吧？ 紫色的这个也是，但是这个黄啊，这个橙色的和这个蓝色的，他俩他俩的歪的值啊，又随着这个 x 增大而减小了，对吧？那观察表达是这个表达是最大的，区别在哪呢？是不是这两个他表达是这个 x 前面系数是负的， 对吧？然后这边这两个呢？这个 x 前面的系数都是正的，对吧？所以我就知道，如果 x 前面那个系数是正的，也就是说对于 y 等于 kx 加 b 来说，如果那个 k 是正的，那 那么我这个啊 x 的 y 呢，就随着癌症的增大而增大，如果这个 k 的值是负的， y 就随着 x 的增大而减小，对吧？ 好，我们继续看第二个啊， y 等于负 x 与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是蓝色的和橙色的，对吧？他俩的位置关系应该是什么样的？我们观察下图像，应该可以看出他俩应该是平行的，对吧？好，你能通过恰当的移动将直线 y 等于负 x 变为直线 y 等于负 x 加三吗？ 通过移动可以移动吗？我把这个蓝色的好像向上给他平移一下，是不是好像就刚好可以和这个 y 等于负 x 加三重合在一起，应该往上平移几个单位呢？我们看这脸，他是过圆点了，对吧？往上 拼一个格子，两个格子，三个格子，是不是应该是向上平移三个单位长度啊？刚好他就可以与上面这个橙色的重合在一起，对吧？ 通过这个我们能总结一下吧，对于直线 y 等于 k 加 b 和直线 y 等于 kx 来说，他们有怎样的位置关系？这两个表达是很显，他们 x 前面的系数是相同的，也就那个 k 的值是相同的，对吧？也是当 k 的值相同的时候，我们可以得出一个结论，他两条直线就是平行的，对吧？你看，对于这样啊， 拿出来说也是一样的，他都是 k 吗？对吧？哎，如果说 x 前面的系数是一样的，这两条直接就是平行的，哎，这也是我们可以得出来的一个结论啊。这个呢，我们在后面讲平移的时候，还会带带大家做一个更详细的一个了解啊。 那么第三个呢，是什么呢？说这个直线 y 等于二 x 加三与这个直线 y 等于负 x 加三，也就是这个红色的和这个橙色的，他来 有什么共同点？我观察一下这两个表达式啊，这个表达式和这个表达式，我发现他们这个 b 的值是不是相同啊？也就是常数项，对吧？都是正三。哎，那我观察图像的图像有什么特点，他们好像与 y 就是焦点都交，相较于这个点，这个点坐标应该就是零三， 对吧？哎，也就是说什么呢，我可以从函数的表达式当中啊，这个 b 的值只要相同，那么我就可以判断出这两个直线呢，相交于歪轴上的同一个点。 好，接下来你能从函数 y 等于 ks 加 b 的图像上直接看出这个 b 的数值吗？比如这个 y 等于二个。点赞啊，我现在只只给你看他的图像， 发现这个图像呢，里外就是焦点是零三，这一点，对吧？所以呢，我就可以判断出，你这个函数的表达式当中啊，对应的那个长数项就应该是三， 对吧？哎，你只要能令 x 等于零，实际上歪也是等于三，所以我只要知道你这个图像与 y 就是焦点重坐标，我就知道这个 b 的值了，哎，这个也是可以判断出来的。那么对于这两个函数来说，只要他的 b 的值相同，那么他与 y 就是焦点就一定是同一个点 啊。除此以外呢，我们再观察一下这个紫色的和这个红色的，而且这个紫色的更陡一些，他离更靠近歪轴一些，对吧？哎，那也就是这个紫色，他 k 的值比这个红色的更大。哎，那随着 k 的值的增大呢，这个图像啊，也是越来越靠近 y 轴了， 对负的情况下，其实也是一样的。那执意其实啊，这个性质呢，跟我们学习正比的函数呢，其实是一样的，对吧？也就是这个黑的绝对值越大，哎，那这个图像怎么样，图像就越抖，对吧？哎，这个呢，跟正比的函数是一样的，我们就不再单独拿出来进行这个说明了啊。好， 接下来我们就一起来总结一下啊。一四，函数 y 等于 ks 加 b， 他的图像和性质分别有哪些？我们还是从以下几个方面，一个是图像的形状，一个是他经过的象限，还有他的增减性来进行判断。本想我们应该分成几种形状，首先呢， k 大于零和 k 小于零，这可以肯定 是分两种情况，对吧？因为 k 的正负号不一样的话呢，你这个图像啊，他的性格肯定是不一样的。接下来我们还得对这个 b 这个长竖向进行一个分类，因为长竖向的正负号啊，如果是不一样的话，对这个图像也是有影响的，对吧？好，我们一起来看一下。第一种，当 k 等大于零， b 也大于零的时候，你说这个图像应该是什么样的？ 很显然，他应该是啊， y 随着 x 增大而增大的，对吧？并且呢，这个图像与 y 轴的焦点就是零 b 嘛，对吧？你 b 如果大于零，这个焦点一定是在 y 轴的正版轴上，对吧？好，我们大概画一下图像啊， 图像就应该是这个样子，哎，应该是这样，这个地方应该怎么记比较简单一些呢？大家可以找自己的一呃习惯的一些方法，对吧？比如说，你可以拿出你的，伸出你的左手， 让你的手掌呢和这个小臂啊，保持在一条直线上啊，然后让你的指尖指向你的右上方，哎，这个时候呢，从你的指尖到你的小臂这个走向其实就是这个啊， 图像的他的一个一个方向，哎，这是一种方法，大家可以找自己的方法来记忆啊。那么对于辟邪灵的时候呢，肯定方向还是这个方向，只不过呢，他有歪轴的焦点呢，必须得在歪轴的负半轴上，对吧？所以呢，他图像画出来其实应该是这样的，哎，方向是一样的，只是这个焦点 交点在 y 轴的下方啊，在 x 轴的下方啊，好，接下来我们再看。当 y 小，哎，当 k 小于零的时候，那么又分两种情况啊， k 小于零， b 大于零，那应该怎么样的呢？他 图像就应该是这样走，哎，这个又怎么记呢？你可以伸出右手，对吧？哎，跟刚才左手刚好是相反的，哎，用同样的方法，你就可以想出这个当 k 小于零的时候，这个图像他的一个走向，那因为 b 呢，又是大于零的，所以呢，他有 y 轴的焦点，一定是在 y 轴的正版走上在上面，对吧？所以图像是这样的， 对于 b 小于零的时候呢，大致的方向不变，但是呢，他与 y 轴的焦点一定是在 y 轴的副扳手上，所以呢，这个图像又变成这样子了，对吧？好，那么他们经过象限，这就很显然了，这个第一种情况经过一二三象限，对吧？哎，那么对于第二种情况呢，应该是经过的是一三四象限， 好，这种情况。第三种呢，应该经过的是一二四相见啊，最后一种情况，应该经过的是二三四相见，对吧？好，那对于增减性来说呢，当 k 大于零的时候， 那这跟 b 就没有什么关系了，对吧？哎，只要你 k 大于零，那么 y 都是随着 x 增大而增大的，那么当 k 小于零的时候呢， y 都是随着 x 的增大而减小的，这个跟正比的函数就都是一致的了，对吧？ 对于这个表格啊，我想说只能用非常重要的四个字来进行了啊，这个表格上内容一定要记住，并且要达到一个非常非常熟练的程度。最具体的记忆方法呢，大家可以用这个我刚才给大家啊介绍的这种方法，当然呢，也可以选择自己只能 适合自己记忆的一些方法。总而言之啊，这个方法啊，这个表格非常重要啊，一定要把它记住好。接着做一个例题啊，已知 直线 y 一啊，等于 kx 加 b， 经过一二四相限，那么问我们这个直线 y 二，他的是等于什么？他等于 bx 加 k， 他不 经过哪一个象限？哎，这就考察我们对于这个一次函数图像的一个理解程度了，对吧？好，第一个经过一二四象限，那我是不是可以把图像先画出来，如果是一二四象限的话，应该是哪几个？一二四经过这三个象限，他不经过第三象限，对吧？所以呢，这个图像画出来一定是这样子 啊，根据这个图像，我就可以判断出 k 和 b 到底是大于零还是小于零的。首先这样乖，随着 x 的增大而减小，所以我就得到这个 k 啊，一定是小于零的。 好，那 b 呢，我们就看他关于歪轴这个焦点坐标呗，对吧，我发现这个焦点坐标呢，是在这个歪轴的正慢轴上，所以呢，我就能说，这个 b 啊，他一定应该是大于零的。 好，判断出 k 和 b 的符号以后，我们再看后面这个直线，他的表达是这个时候呢， b 啊，变成了 x 前面的细数，对吧，那很显 b 是大于零呢，我们刚才说 b 大于零的时候，这个 图像应该怎么样？是不是从左到右应该是上升的，也就是说呢，歪呀，应该是随着 x 增大而增大的，哎，是这样的，是这样往上写的。那么对于 k 来说呢， k 是小 v 领的哎， 他长竖向，如果小于零，就说明这个图像跟歪轴的焦点一定是在歪轴的负半轴上，对吧？哎，所以我那个图像我换一种颜色啊，画出来 一定是这样子的，对吧？你看，因为这里他大于零，哎，他又小于零，所以这个图像是这样的，并且与歪轴的这个啊，焦点是在歪轴的副板轴上，你只要你对这个图像非常的熟悉啊，那解决这种问题应该是啊， 没啥问题的啊，哎，对于今天为今天啊，今我们新课刚讲，所以呢，有些地方大家可能记不住对吧，没关系啊，课后呢，及时的进行复习巩固。哎，希望呢，我们在下次做习题的时候啊，大家对这个啊，图像都已经记得非常清楚了啊， 最后答案是这个啊，必选项啊，很显这个蓝色的没有经过第二象限，对吧？好，接下来第二只点啊，第一次函数的平移， 好，我看一下。第四，在同一指表直角坐标器当中分别画出一寸函数，这个啊，一二三三个一寸函数图像， 图像的话大家就可以自己画一下了啊，我就不和大家这个啊一步一步的画了，我直接把这个图像给大家展示一下啊，这样的，这个是第一个啊， 这是第二个，这是第三个，为了看清楚啊，我这个歪轴上这个单位长度啊，我给他放大了一点，要不他三条直线挨的太密了，大家可能看不太清楚，对吧。啊，平时画图的时候也是可以根据实际情况，你这横轴啊，和重轴的单位长度是可以不一致的。好，接下来呢，这三条直线我们都已经画出来了，接下来我们就要分 记一下了，哎，他们有什么样的特点啊？看一下。首先看一下他们三个表达式有什么样的特点。光看表达式的话，我很明显应该看出 x 前面的系数是一样的，都是三分之一，对吧？ 哎，那同时呢，他们这三条直线位置上有什么关系啊？而且三条直线是相互平行的，对吧？所以这里啊，可以得到一个什么结论？是不是只要我们刚才总结过了，只要这个 x 前面的系数相同， 那这个直线之间就是平行的这样一种关系，那如果反过来，如果直线平行，我们可以得到什么结论？那是不是同样也可以得到结论， x 前面系数也就是 k 的值一定是相等的，对吧？哎，这就是我们得到的第一个结论啊。我们一起来看一下 两条直线， y 一等于 k 一， x 加 b 一， y 二等于 k 二， x 加 b 二，如果他们平行，我就可以得到 k 一是等于 k 二。当然还有个情况就是 b 一是不 等于 b 二，如果你两个 k 值也相等，两个 b 值也相等，那他不是平行，他是重合了，对吧？哎，所以这里要加上一个 b 一，不要不等于 b 二。同时，如果说给你表达式当中告诉你了， k 一等于 k 二， b 一不等于 b 二，那么我们反过来也同样成立这两条直线就是平行的， 这是我们得到的第一个结论啊，我们看第二个啊，直线一和三哪个是一啊？这个是一，对吧？哎，一就蓝色的和橙色的，可以看作由直线二进行怎样的平移得到？ 也是红色的，他怎么样平移能得到这个橙色的又怎么样？平移能得到这个蓝色的？很显然呢，他如果向上平移，是不是就可以得到这个橙色的了？如果他向下平移呢，就可以得到蓝色的， 那平移几个单位长度呢？往上平移这个这段距离是一啊，对吧？那很显然，他向上平移一个单位长度，是不是就以这个 橙色的融合了，对吧？所以我发现啊，向上，这样我写在这里啊。向上，哎呦，换个颜色吧，啊，好，向上一个单位，那么我观察表达事实有什么特点，是不是在这后面加了一个一啊，对吧？哎，就加了一个一， 如果你向下平移一个单位呢？那是不是跑到蓝色的直线上面去了？我观察表达式呢，是不是在后面减去一个一就可以了，对吧？哎，这我们就可以总结一个什么规律，如果你是向上平移一个单位长度，那就加一，那如果是两个单位长度啊，应该就是加二， 对吧？哎，向下也是同样，你如果向下平移一个单位长度呢，就是减一，哎，向下平移两个单位长度呢，就是减二，哎，这就是我们图像啊，通过上下平移与他的表达式之间的一个关系，我们一起来看一下啊，对于直线 y 等于 kx 来说啊，你如果把它向上平移，这里是 h 个单位长度啊，这里 h 是大于零的，那么得到直线呢，就是在这个 kx 后面加上个 h 就可以了。如果你向下平移 h 个单位长度呢，就是用 ks 减去一个 h， 可以，这可以剪辑成什么呢？上加下减， 对吧？哎，具体加多少减多少呢？那你就看你平移了几个单位长度吗？对吧？哎，这样就可以了，这是把这个行人图像啊，进行上下平移与他的这个表达式之间的一个关系。好，接下来我们看一下， 有同学可能也发现了，发现什么呢？我好像不单单可以通过上下平，我把这个蓝红色的这个直线呢，好像向右平移三个单位长度也能得到蓝色的，同时呢，我把它向左平移三个单位长度也能得到橙色的，这个是不是涉及到一个左右平移的一个问题，对吧？哎，不管向左平移 还是先要平移，都是三个单位长度，但是呢，我们观察表达是你这后边加一啊，对吧？哎，加一和减一好像跟三是不是没有什么关系啊？ 哎，那这里我们又应该怎么样去考虑呢？我们观念下这个函数这个表达是啊， y 等于三， x 三分之一， x 加一，我如果给他变形一下，我是不是可以写成这样？ y 等于三分之一，我把它拿出来，把那个 x 和一啊放到括号里面，那他是不是就应该变成 x 加三了， 对吧？哎，第三条直线啊，这个他是不是也可以写上他呀？哎，那这后边这里是不是有一个三了，那他跟我们这个平移三个单位长度是不是应该有一些关系了，对吧？哎，所以就说什么呢，当我们向左平移的时候， 我在 x 上面加上一个三，那如果 x 前面有系数怎么办呢？我就把 x 加三给他扩起来就行了，对吧？所以这种为得数向左平， 向左平移啊，三个单位，我呢加上三就可以了，但注意这样三是给 x 加三的啊，前面的系数是保持不变的，所以这里要加括号。同时呢，我如果向右平移，我观察一下向右平移三个单位长度，得到的是蓝色的直线， 对吧？好，蓝色的直线表达，是呢，是这个，那他呢，是不是又可以写成是三分之一乘以括号里面的 x 减三呢？对吧？所以呢，我如果向右平移三个单位长度怎么样？我其实就是减去三，只是我把 x 减三，对吧？你这个前面的系数还保留啊， x 减三要放在一个括号里面， 对吧？所以我是不是就这里又得出来一个左右平移的一个规律了，对吧？哎，向左平移几个单位，我就加几，向右平移几个单位呢，我就减几，这是不就是左加右减呐，对吧？哎，只是呢，如果前面 x 有细 注的时候，一定要注意，要把这个 x 加几啊，要给他扩起来，因为我们操作的是 x， 如果上下移动的话，就不用了，你直接在函数值后面加上几就可以了，对吧？因为我们这里操作的是那个 y， 左右平移的时候操作的是那个 x， 一定要记住啊这里，这是他们两个之间的区别，也是比较容易出错的一个点。好，我们一起来看向左平移，哎，哎，这个单位，那这个得到直线就是 y 等于 k， 乘以括号 x 加 h， 哎，这里是加。如果向右平移 h 的单位长度，得到直线就是 y 等于 k， 乘以括号 x 减 h， 这里是不是就是左加，然后右减的，对吧？所以呢，关于这个异色函数平角，我们得到了一个这样的一个规律，上加下减， 左加右减，哎，但是距离操作的对象是不一样的，上加下减，我们可以直接在函数值后面进行加减，如果是左加右减， 我们必须要针对 x 进行加减， x 前面如果有了系数，你就要把它放在括号里给它过起来，哎，你变化的这个必须也要乘以相应的这个系数才行。好，那个他说了， 你这操作的是 y 等于 k x， 对吧？哎，那我如果想操作这个 y 等于 k 加 b 怎么办？ k x 加上 b 怎么办，对吧？我把这个 y 等于 k 加 b 进行左右上下批那个怎么办？加上 b 你就不用管他，因为他只是个长数项。如果是把这个函数向上拼一个单位，我们根据规律上加下减，对吧？那你就直接 加一就行了啊，如果下一个单位呢，就直接减一就行了，对吧？这个 b 你就直接无视他就可以了。但如果是左右平移的话，我们又应该怎么办呢？如果把这个 kf 加 b 向左啊，我看向左平移一个单位，我们根据公式跟这个口诀的话，左加右减应该是加，对吧？ 加呢，但是我们操作的是 x， 所以呢，他的表达是应该就应该变成 y 等于 k 怎么办？放在一个括号里面，对吧？哎，左把 x 加上一个，那这个加 b 怎么办？正常写下来就行了。哎，所以呢，把这个向左平一个单位长度得到的表达是就是这个这里，当然你可以把括号去掉，进行进一步的一个整理， 所以呢，这就是我们这个函数平移的一个规律啊。好，接下来呢，我们看一个这个 题，将直线 y 等于二 s 加一向右平移一个单位后，哎，那么其直线表达式应该是什么？根据刚才口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，向右平移，你要减， 哎，这里操作的是谁啊？因为他是左右，对吧？左右我肯定要操作这个 x， 所以呢，表达是应该是 y 等于二倍的，应该把 x x 减去一个一，对吧？哎，那这里就得放括号里面了， x 减一就得这样，那后边再加一怎么办？加一正常写下来就行了，对吧？这里可以给他进行一个整理，去掉括号，他应该等于 二 x 减去一，所以呢，哎，现在平一个单位长度以后，表达是就变为了 y 等于二 x 减一。所以这个题啊，最后的答案应该就是 b 选项。 好，我们一起来总结一下今天所学内容啊。啊，学的就是这个一四函数的图像，我们用了两个课时的时间来进行学习。首先一起学习了什么是函数 数图像，哎，他的定义应该是什么？把一个函数字面量的每一个值与对应的函数值分别作为一个点的横坐标和中坐标，在直角对标系当中描述相应的点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图像。好，接下来呢，学习了画函数图像的一个步骤，对吧？ 我们用的是秒点法，哎，三步走，先列表带秒点后连线，连线的时候注意要用平滑的曲线进行连线。好，接下来学习了正比的函数的图像与性质，对吧？从以下几个方面，首先，他的形状经过原点的一条直线，对吧？那经过象限和增减性呢？跟他那个 k 的正负是有关系？ 好，那一字行图像呢，也是这几个方面，对吧？哎，那形状呢，首先肯定也是一条直线，那经过的象限和增减性啊，这个是跟什么？跟 k 和 b 的这个正负是有关系的。哎，那个表格内容大家一定要把它记清楚， 那么对于依次函数平移来说呢么总结一口诀，上加下减，左加右减，对吧？哎，上下移动的时候呢，直接操作的是歪，哎，就直接在那个整个的表达是后面进行加减就可以了，如果左加右减的话，我们操作的是 x， 对吧？哎， x 前面如果有了系数，那一定要把那个啊加减， x 的加减呢， 放一个括号，哎，要把它系数藏在外面。好，那以上呢，就是我们啊今天这节课学习的主要内容啊，下次课呢，和大家一起来学习，进行一个习题的练习，欢迎大家收看。好，如果喜欢的话，记得关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！
5479明老师初中数学课堂
27:51查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天我们将一起学习八年级上册第十二章第二节依次函数。第一课时， 看到这张图片，同学们一下子就想到了乌鸦喝水的故事。假设故事中 瓶子为圆柱体，每粒食指体积相同，瓶里原有水深五厘米，放一粒食指，水位上升零点三厘米。那么放矮粒食指后，瓶中 的水声 y 该怎样表示呢？ 对的，就是 y 等于零点三， x 加五。那这里 y 是 x 的函数吗？ 有些沉默，看起来我们有必要回忆一下韩硕的概念， 一般呢，在一个变化过程中，有两个变量 x y。 对于变量 x， 在它允许取值范围内的每一个值 y 都有唯一确定值与它对应。 那么就说 x 是质变量 y 是 x 的函数。 由概念可以知道，判内函数需要两个条件，一、两个变量二，变量 y 与变量 x 为一对一。 好，那根据概念我们可以判断本题 y 是 x 的函数。生活中还有许多类似的例子，请同学们写出下列问题的函数。关于式， 第一题，冷冻一个零摄氏度物体，使它每分钟下降二摄氏度物体的温度 y， 所以冷冻时 时间 t 的变化而变化 物体的温度等于原来的温度减去下降的温度，所以 y 等于零减二 t 等于负二 t。 第二题，正方形的周长 c 与边长 i 的关系？同学们一起回答。 三、一个游泳池内有水三百立方米，现打开排水管，以每小时二十五立方米的排水量排水。 游泳池内剩余水量 q 随排水时间变化而变化， 剩余水量等于原来的水量减去排出的水量，所以 q 等于三百减二十五 t。 因为解析式的右边是关于 t 的一次多项式，关于某个字母的多项式长按该字母的降密排列写作， q 等于负二十五， t 加三百。 另外，实际问题中字变量的曲折往往有限制，既要满足解题式，又要使实际问题有异议， 本节课暂不考虑。观察以上出现的四个函数解疑式， 你能发现他们有什么共同点吗？ 因为解疑式啊，是等式，我们可以分左右两边分别观察。解疑式的左边是一个表示啊 变量的字母，那解释的右边呢？有同学很纠结， g、 s 右边有的是单向式，有的是多项式，它们不一样呀， 别急， 通过两个途径，让你的思路豁然开朗。一、 单项式与多项式啊，统称为整式，所以解析式的右侧啊，都是整式。 二、单项式与多项式啊，像素不一样，那次数呢，都是一次的两方面结合可以知道，解析式的右侧都是关于自变量呢。一次整式， 如果把一次项系数用字母 k 表示，长错项用 b 表示， 那么以上出现呢？四个函数解题式可以统一地写成， y 等于 k， x 加 b。 因为是一次整式，所以一次项细数看不等于零 形如 y 零 k x 加 b， k b 为常数且 k 不等于零的函数，我们把它叫做一次函数。 当长数项 b 等于零时，我们得到 y 等于 k、 x， 此时函数叫做正比例函数。 由 d、 e 可以知道，正面的函数。解一式的右侧是一次单项式， 一次函数的右侧是一次整式。因为单项式属于整式，所以正比例函数和依次函数是特殊与一般的关系， 也可以用下图形象地表示这种关系。 认识了正比例函数和依次函数，下面我们来变一变下列函数中哪些是依次函数，哪些还是正比例函数？ 六的呼声很高，还有不少同学力挺一、三五，下面我们来一一分析。一， y 等于 five x 等号右侧是一次单项式，是一次函数，也是正比例函数。二、 解题式右侧是分式，不是一次函数。三解题式的右侧 可以看作是 x 减三于二的三除以二等于乘以二分之一，所以可以表示成 y 等于二分之一， x 减二分之三解。于是右侧是一次二项式，是一次函数 四， y 等于四， x 平方减六。哦，它的次数是 are 不是依次函数五， y 等于 cat 加 b， 看起来和概念中呈现的是一样的。等等，他确 缺少了 k 不等于零，所以它不是一次函数。 六。 y 等于五， x 减一等减一次的右侧是一次，二项式是一次函数。中上是一次函数的有一、三六是正面的，函数是一。 我们知道表示函数有三种方法， 列表法、解析法、图像法。那如何画函数的图像呢？ 列表描点连线前面我们按照上述三个步骤画出了正比例函数 y 等于 r x 和 y 等于 f r x 的图像。 观察图像可知，正面的函数图像是一条经过原点的直线。 因此我们也 也把正面的函数 y 等于 k x k 不等于零的图像叫做直线， y 等于 k x。 因为图像是一条直线，所以我们在描点时只需取两个点即可。为什么呢？ 因为两点确定一条直线。下面我们在统一坐标系中画出下列函数的图像。 画图像的第一步，列 表，为了方便描点自变量和函数值，尽可能的取整数，取较小的整数。 所以对于函数 y 等 x 和 y 等于三 x 而言，我们可以取零和一。 对于 y 等于二分之一 x， 自变量 x 最好取二的整数倍。但为了方便后面对比研究图像，这里自变量统一取零和一。 画图像的第二步，描点连线。 为了便于分析图像，我们在话术的图像旁边标注函数。解题式观察图像。 这三个函数解析式有什么共同特点呢？对 kitai 零，那图像呢？ 有同学说，图像再一三项线描述的不太准确，因为图像还经过原点，所以 应该说成图像经过一三象限。还有同学说，图像自左向右是上升的啊，自左向右上升，意思是说，从左向右自变量 逐渐增大，函数 y 值也逐渐增大，也就是说 y 随 x 的增大而增大。 由此，我们可以归纳出正比例函数当 k 大于零时的性质。 当开大连音时，图像经过一三象限， y 谁 x 的 增大而增大？ 那这三个函数有什么不同点呢？ 倾斜程度不同。具体一点，当 k 大于零时， k 越大，直线呢？倾斜程度越大，离外轴越近。 呃，除了观察图像，你还有其他的办法来解释这三个函数的图像为什么经过一三象限吗？ 我们可以从概念出发， 正面的函数解析式是， y 等于 k， x， 当 x 等于零时，图像经过原点。当 x 不等于零时，两边同时除以 x 得到 x 分之， y 等于 k。 因为 k 大于零，两数相除，同号得正，所以 x y 同号 同政在第一 象线，同负在第三象线，所以正。比例函数当太大于零时，经过一、三象线。 那当看小云时，你能直接说出他经过哪几个象限吗？ 二四象限很好，请同学们画出图像验证一下。好，同学们可以暂停三分钟。 嗯，好的，这位同学已经画好了，我们来一起欣赏一下。 这位同学书写的很认真，但有两处啊，不足，一、画函数图像没有列表。二、 没有在坐标系中标注圆点和坐标轴。希望 同学们在以后的画图中考虑要全面正确的。图像是 观察图像，你又能发现什么？ 同学们可以类比 k 大于零时的思路，归纳 象限图像经过二、四象限。第二个呢？函数 y 随 x 的增大而减小。不同点， 当看小于零时，看越小，直线的倾斜程度越大，里外 快走越近。我们也可以把看大于零和看小于零两种情况的不同点给他合并成一句话， 当 k 的举例值越大，直线倾斜程度越大，离外轴越近。 学了那么多，同学们掌握了吗？下面我们来检测一下。第一题，当 m 为和值时， y 等于二分之一， x， m 次方是正比例函数。 由概念可知，正面的函数解一式的右侧是一次单向式，所以 m 等于 一。第二题，若函数是正比例函数，则 a 等于几？ 还是有概念解析式的右侧是一次单项式，一次可以得到 a。 减一 不等于零，单项式可以得到长数项。 i 平方减一等于零。好， 由 i 减一不等于零，可以得到 i 不等于一，由 i 平方减一等于零， 得到 i 等于正负一，所以 i 等于负一。 第三题，函数 y 等于二 x 的大致图像是 有解疑式，可判断它是一个正比例函数。正比例函数的图像是经过圆点的一条直线，所以排除选项 c、 d。 又因为 k 等于二大于零，图像经过一、三象限，所以排除选项 a。 答案选 b， 难度加深。第四题，已知正面的函数 y 等于 k 减一，括号乘以 x， 且函数之 y 随之变量 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 本题的关键。是 y 随 x 的增大而减小。想一想，什么时候 y c、 x 增大减小。对 k 小于零，也就是说依次项系数 k 减一小于零， k 小于一。 第五题， 如图，是函数 y 等于 k 一 x 和 y 等于 k 二、 x 的图像，则 k 一 k 二有何关系？ 由图像可知，两条直线都经过一、三象线，所以看大于零。 观察图像又发现两条直线的倾斜程度不同。那直线的倾斜程度与什么有关呀？ 与 k 的值，那具体有什么关系呢？ k 越大， 直线呢？倾斜程度越大，离 y 轴越近，所以 k 二大于 k 一，即 k 一小于 k 二。 第六题，已知函数 y 等于负三， x 的图像经过点 i 负二， y 一 b 负一， y 二，则 y 一 y 二有何关系？ 有解析式可以知道， k 等于负三小于零，所以 y 随 x 的增大 而减小， x 越大， y 越小，所以 y 一大于 y 二。 不知不觉，本节课已接近尾声，下面我们对本节课做一小节， 通过实际问题得出函数形式，抽象得到依次函数的概念。 当 e、 s 函数的常数项 b 等于零时， 我们得到一次函数的特例正比例函数，然后重点研究了正比例函数的概念、图像和性质。 我们知道正面函数的图像是一条经过圆点的直线 啊。描述姓氏时，我们分两个方面， k 大于零和 k 小于零。这在课后习题中有着广泛的应用。 今天的作业是 好的，本节课啊，到此结束。好，再见。
402在线学习初中部
