湖南武冈初三数学锐角三角函数

每天半小时轻松学数学这节课，咱们来学习锐角三角函数这一单元的内容。先来学习第一课时正前函数。好，那么呢，咱们来看一看，意大利中部有一个比萨斜塔， 在这边呢，因为地面摊线，这个塔慢慢的变倾斜了，但是呢，他斜而未倒，如图所示，在这边，这是比萨斜塔的一张图片， 已知 ab 的长等于五十四点五米，他的垂直高度 ac 的长咱们不知道，要知道呢， bc 的长是五点二米，那么他倾斜的角度二发倾斜了 多少度呢？你会算吗？啊，那咱们来接着看，好，为了绿化荒山，在这里边打算呢，从位于山脚下的极房 a， 沿着山坡铺设水管，铺设 ab， 现在呢，对坡面进行灌溉测量，发现斜坡的坡 bc。 好，那咱们来看一看，知道了坡 bc 让球 ab 有多长。 在这样的情景中，怎么样结合数学问题把它给描述出来呢？啊，咱们来看，也就是说，知道了直角三角形，知道了角 a 的度数角 a 在这里边告诉咱们 三十度，知道了 bc 的长球 ab， 好，那咱们来看一看， bc 是三十五米，咱们知道在直角三角形之中，三十个角随着直角边等于系为了一半，所以很容易把 ab 给球出来，是七十米。好，如图，在直角形 abc 之中， 角 c 九十度，角 a 三十度， bc 是三十五，根据这样一个定理，可以得知 bcbab 是一，第二，这样的话就把 ab 给求出来。那通过这两个题，咱们来想一想。 好，在第二个引力中，咱们知道直角三角形中三十度的角所对的直角边等于斜边的一半，也就是说这个三十度的角所对的对边比上斜边 这个笔直是一比二啊。这是咱们三角板的话，刚好是三十度、六十度、九十度，那如果是四十五度、四十五度、九十度的三角形，那咱们来看看角 a 的对边与斜边的笔直是不是也是定直呢？ 好，通过计算，咱们发现，四十五度的角，他的对边比上斜边也是一个定制哦，原来三十多角最对的边 比上鞋边是一比二，四十五度的角所对的直角边比上鞋边是刚好二比二。那么如果他既不是三十度，又不是四十五度，他是任意的一个角，那如果是任意一个锐角的话， 他的对边与斜边的笔是不是仍然是一个固定的纸呢？好，咱们来看好，在纸上可以画两个三角形，画两个直角三角形，让角 c 和角 c 片都是九十度，角 a 和角 a 片都是二发。那么咱们来看一看， 在这里边，角 a 的对边与角 a 撇的对边，他们的与斜边的笔直是否对应相等。也就是说， bcbab 这个 b 值与 b 片、 c 片与 a 片、 b 片这个 b 值、 b 值是否相等， b 值相等不相等。咱们可以看出来，加 c 是九十度，加 a 等于加 a 片 r， 所以这两个也相似 相似。三角形对应边的比等于相似比。所以咱们可以得到 ab 比上 a 撇， b 撇的斜边比斜边等 等于直角变 b 上边，那咱们再给它交换，咱们可以得到 abb 上 bc 就等于 a 撇 b 撇， b 上 b 撇 c 撇啊。所以呢，咱们可以得到 bcb 上 ab 就等于 bprcp， b 上 aprbpr， 只要保证他俩交叉相乘是相等的，你看这是 ab 乘以 bprcpab 乘以 bpacpa， 他们呢，仍然这个 bt 是是成立的。 那这样的话，是不是就得到了角 a 的对边比斜边与角 a 片的对边比斜边，他们的笔直是相等的呀？也就是说，在直角三角形中，如果锐角角 a， 它度数确定的话，那么无论这个三角形它的 大小怎么样，他的对边与斜边的笔直确确实实就是一个顶直 好。所以呢，咱们呢，得到了一个概念，关于某一个角的正弦。什么是正弦呢？好在直角三角形 abc 之中。注意前提，咱们规定的正弦呢，是在直角三角形之中， 在直角三角形之中，有一个角是九十度，在这边咱们不妨记角 c 是九十度。什么是正弦呢？正弦是指的是某一个角的正弦，某一个角的正弦指的是这个角的对边与斜边的比，就叫做这个角的正弦。 比如说，在这里边角 a 的对边比上角 a 的斜边， 那这个笔直就叫做角 a 的正弦。记做三 a 好，记做三 a， 他这个读法三三 a 好，这是正弦 好。挣钱的话呢，咱们可以记住啊， cna 就等于 bcb 上 ab 好，又等于 abc， 那所以 cnb 等于什么？你看一看， 如果是 cnb 的话，那就等于角 b 的对边比上斜边， cnb 就等于 acbab， 就等于 bbc 好。尤其是角 a 是三十度的时候，咱们可以得到 bcba 是一比二，所以 cn 三十度是一比二。 cn 四十五度是等于二分之跟二这两个比较 常用的，你可以把它给记到心里边。虽然三十度是二分之一，虽然四十五度是二分之二。 如图，在直角上进行 abc 之中，已知角 c， 他是等于九十度，角 c 九十度， 求 cna 和 cnb 的指好，这样看图一三、四，所以斜边是五，那 cna 等于对边比以上斜边，所以是三比五，那 cnb 等于角 b 的对边 四比上斜边五， cnb 是四比五好。再看图二，根据勾股定理，这是五，斜边是十三，可以很容易算出来， ac 是十二，那所以 cna 就等于对边笔上斜边，所以五比十三。 cnb 等于 与脚臂的对边比斜边十二臂十三好。要掌握这两个，掌握这一个概念。关于一个角的正弦，这个角的正弦就是在直角的拧中， 这个角的对边比上斜边，这个笔直，就是他的正弦 好。看完之后呢，咱们来看练习判断对错。第一个， cna 等于 bcbabcna 等于 bcbab， 对边比斜边，那是对的， cna 等于 bcbacbcbacac， 他是个直角边，不是斜边。三 b 三 b 等于 bcbab， 不对，他是谁呢？应该是 ac， ab 上 ab 好， cna 是零点六， cna 六比十，零点六， cnb 六八十， cnb 的话呢，等于八比十，零点八啊，这是对于正先函数的一个概念，看你理解没有， 好理解以后呢，咱们来接着看。在三角形 abc 之中，角 c 等于九十度啊，他是一个直角三角形呢，咱们可以简单的画一个示意图， ab 是斜边， ab 是七， bc 等于三， bc 等于三。求 cna， 那 cna 就等于角 a 的对边三比上七，所以呢，是七分之三啊，这是求 cna。 如图，在平面直角做相应的有一个点点 p， 坐标是三斗四，连接 op， 求 op 与 x 轴 正方向所夹锐角 rf 的正弦直。好，咱们知道正弦的话，是在直角三角形之中，那在这里边，这个 fr 没有。在直角三角形中，咱们可以给他构造一个直角三角形。如何构造呢？ 想要让阿尔法置身于一个直角三角形之中，咱们可以过点 p 向下做一条垂线，在这边如图做 pa 垂直于 x 轴。 因为点屁的坐标是三斗四，所以这一段是三，这一段呢，是四，很容易算出来。根据直角，在您个口令里 op 就等于五，那么 求阿尔法的正，先只求 cnr 法， cnr 法就等于 pa 以上 po， 所以是四比五。好，这是这一个 cnr 法， 所以在平面直角做标系，求某一个角的正弦的话，一般咱们呢是向坐标轴做垂线，构造直角三角形，把这个角放在直角三角形中进行求解。好比如说在这个题里边， 求三二法好点 p 的坐标是 a 斗币，那说明他是第一象限，说明这一段长 oa 的长是 a pa 的尝试 b 求 cnrf， 那 cnrf 就等于 pabopop 的话，根号下 a 方加 b 方，这是根据各个定律，所以是 bb 上更好， a 方加 b 方啊，这是这样的一个题目。好，那咱们来看一看关于正弦的运用。第一个知道正弦直，求边长， 如图，已知正弦 cna 正弦值是一比三，又知道 bc 是三 啊，知道 cnacb 三，又知道 bc 是三，那很容易把 ab 给求出来啊，然后求 cnb， 求 cnb 的话，根据客户定理，能不能把 ac 给求出来， 然后求出来 ac， 然后直角上有 abc 的面积，二百零一乘以底乘以高，也容易求出来。哈，这个题很简单啊，咱们来看一看。好，在这里边的话呢，咱们也可以先求出来，斜边是 九，然后直角边 ac 是六倍根号二啊， ac 是六倍根号二，那这样的话， cnb 就等于六倍根号二比上九，然后 abc 的面积也可以求出来了。 好看，练习在直角三角形 abc 之中，那咱们要时刻的画草图。那咱们来看，角 c 是九十度， cna 是三比五，一支， bc 等于六，求 ab， 那 cna 是谁啊？ cna 就是六比上， ab 就等于三比上五，所以 ab 等于十 三乘 ab 等于五，六五乘六。好，第二个，在直角三角形 abc 之中，角 c 等于九十度， 如果 ca 是一比三， ab 是等于六，求 bc， 那 bc 就是等于二啊。这是这两个简单的练习，知道了正弦函数值和某一条边让球另外一条边 在直角探景。 abc 之中，角 c 九十度， ac 二十四厘米， cna 七百二十五，球，三角形的周长。好，那在这边的话呢，咱们可以简单的画一个草图来看一看。 角 c 是九十度 abcac 是二十四厘米，你觉得 cna 是七 b 二十五， cna 是 bcbab， 那所以咱们可以把 bc 假设为七， xab 假设为二十五 x， 那这 这样的话，根据客户定，你可不可以把 ac 给求出来？ ac 等于多少多少 x 等于二十四，肯定可以把 ac 求出来，那这样的话，赶紧跟他斗床就迎刃而解了。好，那咱们来看一看。好，在这里边的话呢，假设 bc 是七 x 二十五 x， 根据客户定理算出来他是二十四。 好，那这样的话， x 就等于一算出来他的周长。最后再做答。啊，这是这样的一个题目。 好看，练习题第一个，三边长都扩大，原人二倍锐角 a 的，他边长扩大了，角的大小并没有改变，只要角的大小不改变，他的正弦直角不改变，所以他不改变。 好。第二个，在支架上 abc 中叫 b 等于九十度，嗯，叫 b 等于九十度。 cna， 那 cna 就等于 bcbac， 所以是三比 c 好，这是这两个题目。第三个，在正方形网格中，角落线 abc， 那线角 abcac， 这是在这个直角三角形中，可以算出来， ac 是根号二 bc， 他是在这个直角分析中，这是三三，这是三倍，根号二 a b a， b 是在这个指甲单营中，这是二四，这是根号四加十六，根号二十。哦，根号二三倍，根号根号二十， 他符合不符合固固定律的判定定理呢？二加十八等于二十，符合固固定律判定率，所以说明他是一个直角三角形。他既然是一个直角三角形，那就好办了呀。那所以四线角 abc 就等于对边比斜边， 所以根号二比以上，根号二十，当然得需要化减根号十分之一，所以呢，等于十分之，根号十啊。这是这样的一个题，先判定出来他是直角三角形，那就好办了。 如图，点 d 的坐标点 o， 点 c 的坐标都在圆 a 上，已知 b， d 呢是一条弦，求心角 b d 三角 obd， 那这个角 obd 没有在直角三角形中，能不能把它放在直角三角形之中呢？ 好，在这里边咱们知道这个垂直，这个是垂直的，咱们可以连接 cd， 连接 cd 以后，那咱们来看一看 和 od 所对的圆周角是角 b 所对的圆周角，还有一个是角 ocd， 那这俩角相等，所以求线角 obd 也相当于求线角 ocd 好。一只点 d 是零，三，所以 o d 是三，点 c 是四零，所以 oc 是四，那么 cad 就等于五，所以先角 ob d 就等于线角 ocd 等于 cdb 上，等于 odb 以上， cd 等于三比五。好，这是这个好。另外，你想一想，咱们连接 cd 以后， cd 是不是一定经过点 a 对的， 是已经经过点，为啥呢？因为这个角的 oc 是九十度，九十度所对的弦在圆中，九十度所对的弦肯定是直径，这是咱们上特学的圆的那个内容。 好，这是这样一个球，线角 obd， 把这个角 obd 进行转移，转移到和他相等的角角 ocd 好。如图， abbc 等于五 线 a， 四比五线 a 四比五呢？咱们把它放在直角三角形之中，可以做一条高， 那做完高以后，他是一个等于二三角形 cnasb， cna 等于 bdbab， 所以 bd 是四。那根据固定的 ad 是三， cd 也是 三，他三减乘 abc 的面积二分之一乘以 ac 乘以 bd。 好，很简单这个题目 啊。第六个，在三角形 abc 之中，角 acb 等于九十度， cd 垂直于 abcnb， 可以用哪两条线段之笔来表示？那 cnb 如果放在指甲探行 cdb 之中，那就等于 cdb 上 bc， 如果放在直角上，已经 abc 之中，那就等于 acb 上 ab。 另外， 角 b 和角 acd 都是角一的余角，根据同角的余角相等，那所以角二和角 b 也相等，那 cnb 又 等于三角二，那三角二就等于 ad 以上 ac， 所以呢，在这里边，他们可以看成是这 个线段他们的笔直和第二个就 ac 的长是五， cd 的长是三，求三 b。 好，刚才说了啊，三 b， 那根据客户定律， ad 就等于四， cnb 就等于 adb 上 ac， 所以呢，是四比五 啊。这是咱们这节课所学的主要内容。这节课呢，咱们学习了正弦函数，了解了什么是正弦函数。正弦函数是指的是某一个角的正弦函数，指的是这个在直角参与中，这个角的对边与斜边 的笔直。然后呢，关于正弦还用到应用，知道边长求正弦直，或者是知道正弦直求边长。好，那咱们这节课就上到这里，下一节课再见。